›
›

Đại số tổ hợp (Phần 2)

pdf 24 trang phuongnguyen 6760
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đại số tổ hợp (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfdai_so_to_hop.pdf

Nội dung text: Đại số tổ hợp (Phần 2)

  1. ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Chöông V NHÒ THÖÙC NEWTON (phần 1) Nhò thöùc Newton coù daïng : n 0 n 0 1 n-1 1 n 0 n (a + b) = Cn a b + Cn a b + + Cn ab n knkk− =∑Can b (n = 0, 1, 2, ) k0= k n Caùc heä soá Cn cuûa caùc luõy thöøa (a + b) vôùi n laàn löôït laø 0, 1, 2, 3, ñöôïc saép thaønh töøng haøng cuûa tam giaùc sau ñaây, goïi laø tam giaùc Pascal : (a + b)0 = 1 1 (a + b)1 = a + b 1 1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 1 2 1 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3 1 3 3 1 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 1 4 + 6 4 1 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 1 5 10 10 5 1 Caùc tính chaát cuûa tam giaùc Pascal : 0 n (i) Cn = Cn = 1 : caùc soá haïng ñaàu vaø cuoái moãi haøng ñeàu laø 1. k nk− (ii) Cn = Cn (0 ≤ k ≤ n) : caùc soá haïng caùch ñeàu soá haïng ñaàu vaø cuoái baèng nhau. k k1+ k1+ (iii) Cn + Cn = Cn1+ (0 ≤ k ≤ n – 1) : toång 2 soá haïng lieân tieáp ôû haøng treân baèng soá haïng ôû giöõa 2 soá haïng ñoù ôû haøng döôùi. 0 1 n n n (iv) Cn + Cn + + Cn = (1 + 1) = 2 Caùc tính chaát cuûa nhò thöùc Newton : (i) Soá caùc soá haïng trong khai trieån nhò thöùc (a + b)n laø n + 1. (ii) Toång soá muõ cuûa a vaø b trong töøng soá haïng cuûa khai trieån nhò thöùc (a + b)n laø n. k n – k k (iii) Soá haïng thöù k + 1 laø Can b .
  2. Daïng 1: TRÖÏC TIEÁP KHAI TRIEÅN NHÒ THÖÙC NEWTON 1. Khai trieån (ax + b)n vôùi a, b = ± 1, ± 2, ± 3 0 1 n Cho x giaù trò thích hôïp ta chöùng minh ñöôïc ñaúng thöùc veà C,n Cn , , C.n Hai keát quaû thöôøng duøng n n 0 1 2 2 n n kk (1 + x) = Cn + Cn x + Cn x + + Cn x = ∑Cxn (1) k0= n n 0 1 2 2 n n n kkk (1 – x) = Cn – Cn x + Cn x + + (–1) Cn x = ∑(1)Cx− n (2) k0= 0 1 n n • Ví duï : Chöùng minh a) Cn + Cn + + Cn = 2 0 1 2 n n b) Cn – Cn + Cn + + (–1) Cn = 0 Giaûi a) Vieát laïi ñaúng thöùc (1) choïn x = 1 ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh. b) Vieát laïi ñaúng thöùc (2) choïn x = 1 ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh . 2. Tìm soá haïng ñöùng tröôùc xi (i ñaõ cho) trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa moät bieåu thöùc cho saün n k n – k k • Ví duï : Giaû söû soá haïng thöù k + 1 cuûa (a + b) laø Cn a b .Tính soá haïng thöù 13 trong khai trieån (3 – x)15. Giaûi Ta coù : 15 0 15 1 14 k 15 – k k 15 15 (3 – x) = C15 3 – C15 3x + + C15 3 .(–x) + + – C15 x Do k = 0 öùng vôùi soá haïng thöù nhaát neân k = 12 öùng vôùi soá haïng thöù 13 Vaäy soá haïng thöù 13 cuûa khai trieån treân laø : 15! C12 33(–x)12 = 27x12. = 12.285x12. 15 12!3! 3. Ñoái vôùi baøi toaùn tìm soá haïng ñoäc laäp vôùi x trong khai trieån nhò thöùc (a + b)n (a, b chöùa x), ta laøm nhö sau : - Soá haïng toång quaùt trong khai trieån nhò thöùc laø : k n – k k m Cn a b =cm. x .
  3. - Soá haïng ñoäc laäp vôùi x coù tính chaát : m = 0 vaø 0 ≤ k ≤ n, k ∈ N. Giaûi phöông k0 nk− 0 k0 trình naøy ta ñöôïc k = k0. Suy ra, soá haïng ñoäc laäp vôùi x laø Cn a b . 18 ⎛⎞x4 • Ví duï : Tìm soá haïng ñoäc laäp vôùi x trong khai trieån nhò thöùc⎜⎟+ ⎝⎠2x Giaûi Soá haïng toång quaùt trong khai trieån nhò thöùc laø : 18− k k k ⎛⎞x ⎛⎞4 kk182k18kk− −− k3k18182k−− C18 ⎜⎟ . ⎜⎟ = C218 .2.x.x = C218 .x ⎝⎠2 ⎝⎠x Soá haïng ñoäc laäp vôùi x trong khai trieån nhò thöùc coù tính chaát : 18 – 2k = 0 ⇔ k = 9 9 9 Vaäy, soá haïng caàn tìm laø : C18 .2 . 4. Ñoái vôùi baøi toaùn tìm soá haïng höõu tæ trong khai trieån nhò thöùc (a + b)n vôùi a, b chöùa caên, ta laøm nhö sau : – Soá haïng toång quaùt trong khai trieån nhò thöùc laø : mn knkk− p q Can b = K c.d vôùi c, d ∈¤ m n – Soá haïng höõu tyû coù tính chaát : ∈ N vaø ∈ N vaø 0 ≤ k ≤ n, k ∈ N. p q Giaûi heä treân, ta tìm ñöôïc k = k0. Suy ra soá haïng caàn tìm laø : knkk00− 0 Can b . 7 • Ví duï : Tìm soá haïng höõu tyû trong khai trieån nhò thöùc ( 3 16+ 3) Giaûi Soá haïng toång quaùt trong khai trieån nhò thöùc laø : 7k− k ⎛⎞1 ⎛⎞1 7k− k k 3 2 k 3 2 C167 ⎜⎟.⎜⎟3 = C.167 .3 . ⎝⎠⎝⎠ Soá haïng höõu tyû trong khai trieån coù tính chaát :
  4. ⎧7k− ∈ N ⎪ 3 ⎪ ⎧7k3m−= ⎧k=− 7 3m (m ∈ Z) ⎪k ⎪ ⎪ ⎨ ∈ N ⇔ ⎨k chaün ⇔ ⎨k chaün ⇔ k = 4 2 ⎪ ⎪0k7≤≤ ⎪0k7≤≤ ⎪0k7,kN≤≤ ∈ ⎩ ⎩ ⎪ ⎩ 42 Vaäy, soá haïng caàn tìm laø : C17 .16.3 . Baøi 120. Khai trieån (3x – 1)16. 16 0 15 1 14 2 16 16 Suy ra 3 C16 – 3 C16 + 3 C16 – + C16 = 2 . Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 1998 Giaûi 16 16 16− i i i Ta coù : (3x – 1) = ∑(3x) (− 1) .C16 i0= 0 16 1 15 2 14 16 = C16 (3x) – C16 (3x) + C16 (3x) + + C16 . Choïn x = 1 ta ñöôïc : 16 0 16 1 15 2 14 16 2 = C16 3 – C16 3 + C16 3 – + C16 . Baøi 121. Chöùng minh : n0 n11−− n22 n n a) 2 Cnn++++= 2 C 2 C nn C 3 n0 n11−− n22 nn n b) 3 Cnn−+++−= 3 C 3 C n ( 1) C n 2 . Giaûi n 0n 1n1− n a) Ta coù : (x + 1) = Cnn x+++ C x Cn. Choïn x = 2 ta ñöôïc : n 0n 1n1− n 3 = C2nn+++ C2 Cn. n 0n 1n1− n n b) Ta coù : (x – 1) = Cnn x−++− C x ( 1) Cn. Choïn x = 3 ta ñöôïc : n n0 n11−− n22 nn 2 = 3 Cnn−+++− 3 C 3 C n ( 1) Cn. n1− n kn1− kk Baøi 122. Chöùng minh : ∑C2(21n =−) ; ∑C(1)n − = 0. k1= k0=
  5. Ñaïi hoïc Laâm nghieäp 2000 Giaûi n n 0 1 22 nn kk Ta coù : (1 + x) = Cnn++ C x C n x ++= C n x∑ C n x (*) k0= Choïn x = 1 ta ñöôïc n n k0 1 2 n1− n 2 = ∑CCCC CCnnnn= ++++ n +n k0= n 12 n1− ⇔ 2 = 1++++ Cnn C C n + 1 n1− n k ⇔ 2 – 2 = ∑Cn k1= n kk Trong bieåu thöùc (*) choïn x = – 1 ta ñöôïc 0 = ∑C(1)n − . k0= 02244 2n2n2n12n− Baøi 123. Chöùng minh : C2n++++= C 2n 3 C 2n 3 C2n 3 2 (2 + 1) Ñaïi hoïc Haøng haûi 2000 Giaûi 2n 0 1 2 2 2n−− 1 2n 1 2n 2n Ta coù : (1 + x) = C2n++ C 2n x C 2n x ++ C2n x + C2n x (1) 2n 0 1 2 2 2n−− 1 2n 1 2n 2n (1 – x) = C2n−+ C 2n x C 2n x +− C2n x + C2n x (2) Laáy (1) + (2) ta ñöôïc : 2n 2n ⎡ 022 2n2n⎤ (1 + x) + (1 – x) = 2 ⎣C2n+++ C 2n x C2n x ⎦ Choïn x = 3 ta ñöôïc : 2n 2n ⎡⎤022 2n2n 4 + (–2) = 2 ⎣⎦C2n+++ C 2n 3 C2n 3 224n+ 2n ⇔ = C022+++ C 3 C 2n 32n 2 2n 2n 2n 2(21)2n 2n + ⇔ = C022+++ C 3 C 2n 32n 2 2n 2n 2n 2n− 1 2n 022 2n2n ⇔ 2(21+ ) = C2n+++ C 2n 3 C2n 3 Baøi 124. Tìm heä soá ñöùng tröôùc x5 trong khai trieån bieåu thöùc sau ñaây thaønh ña thöùc : f(x) = (2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7.
  6. Ñaïi hoïc Kieán truùc Haø Noäi 1998 Giaûi 4 5 4 i4−i 5 i5−i Ta coù : (2x + 1) = ∑C(2x)4 ; (2x + 1) = ∑C(2x)5 i0= i0= 6 7 6 i6−i 7 i7−i (2x + 1) = ∑C(2x)6 ; (2x + 1) = ∑C(2x)7 i0= i0= Vaäy soá haïng chöùa x5 cuûa (2x + 1)4 laø 0. 5 5 05 soá haïng chöùa x cuûa (2x + 1) laø C(2x)5 . 5 6 15 soá haïng chöùa x cuûa (2x + 1) laø C(2x)6 . 5 7 25 soá haïng chöùa x cuûa (2x + 1) laø C(2x)7 . 05 15 25 Do ñoù heä soá caàn tìm laø = 0 + C25 + C26 + C27 125 = (1++ C67 C )2 = 28 × 32 = 896. n 8 ⎛1 5 ⎞ Baøi 125. Tìm soá haïng chöùa x trong khai trieån ⎜3 + x ⎟ bieát raèng ⎝⎠x n1+ n CCn4+− n3+ = 7(n + 3). Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái A 2003 Giaûi n1+ n Ta coù : CCn4+− n3+ = 7(n + 3) (vôùi n ∈ N) (n++ 4)! (n 3)! ⇔ − = 7(n + 3) 3!() n+ 1 ! 3!n! (n+++ 4)(n 3)(n 2) (n +++ 3)(n 2)(n 1) ⇔ − = 7(n + 3) 66 ⇔ (n + 4)(n + 2) – (n + 2)(n + 1) = 42 2 2 ⇔ (n + 6n + 8) – (n + 3n + 2) = 42 ⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12. 12 511 ⎛⎞1 12 12 −+36 i +=x5i3 C (x−− )12iii .(x22 )= C x Ta coù : ⎜⎟3 ∑∑12 12 ⎝⎠x i0==i0
  7. 11 Yeâu caàu baøi toaùn ⇔ –36 + i = 8 (vôùi i ∈ N vaø 0 ≤ i ≤ 12) 2 11i ⇔ = 44 ⇔ i = 8 (thoûa ñieàu kieän). 2 Vaäy soá haïng chöùa x8 laø 12!x8 12× 11×× 10 9 Cx88= = x8 = 495x8. 12 8!4! 432×× Baøi 126. Bieát raèng toång caùc heä soá cuûa khai trieån (x2 + 1)n baèng 1024. Haõy tìm heä soá a cuûa soá haïng ax12 trong khai trieån ñoù. Ñaïi hoïc Sö phaïm Haø Noäi 2000 Giaûi 2 n 02n12n1−− i 2ni n Ta coù : (x + 1) = C(x)nn+ C(x)++ C(x) n ++ Cn Theo giaû thieát baøi toaùn, ta ñöôïc 01 i n Cnnn+++++ C C Cn = 1024 ⇔ 2n = 1024 = 210 ⇔ n = 10 Ñeå tìm heä soá a ñöùng tröôùc x12 ta phaûi coù 2(n – i) = 12 ⇔ 10 – i = 6 ⇔ i = 4 10!10987× ×× Vaäy a = C4 == = 210. 10 4!6! 4×× 3 2 Baøi 127. Tìm heä soá ñöùng tröôùc x4 trong khai trieån (1 + x + 3x2)10. Giaûi Ta coù : (1 + x + 3x2)10 = [1 + x(1 + 3x)]10 01 22 233 3 = C10+ C 10 x(1++ 3x) C10 x (1 + 3x) + C10 x (1 + 3x) + 44 4 10 10 C10 x (1++++ 3x) C10 (1 3x) 4 22 2 33 3 Heä soá ñöùng tröôùc x trong khai trieån chæ coù trong Cx(13x)10 + , Cx(13x)10 + , 44 4 Cx(13x)10 + ñoù laø : 10! 10! 10! C9234++= C9 C 9. + 9 + 10 10 10 8!2! 3!7! 6!4!
  8. = 405 + 1080 + 210 = 1695. Baøi 128. Tìm heä soá cuûa x8 trong khai trieån [1 + x2(1 – x)]8. Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái A 2004 Giaûi Ta coù : 2 8 012 242 [1 + x (1 – x)] = C88+−+− Cx(1x)Cx(1x)8 + 36348451056126 +−+−+−+− C888 x (1 x ) C x (1 x) C x (1 x) C 8 x (1 x) + 714 7 816 8 +−+− C88 x (1 x ) C x (1 x) 8 36 3 48 4 Soá haïng chöùa x trong kh a i trieån treân chæ coù trong Cx(1x)8 − vaø Cx(1x)8 − 36 2 48 ñoù laø Cx.3x8 vaø C8 x 8 3 4 Vaäy heä soá cuûa x laø : 3C8 + C8 = 238. x1− x n x1−−nnx1 −1x ⎛⎞− ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞− 2 3 01223 Baøi 129. Cho ⎜⎟22+ = C2nn⎜⎟+ C2 ⎜⎟⎜⎟ 2+ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ x1− xxn1− n ⎛⎞⎛⎞−− ⎛⎞ n1− 2 33n + + C2nn⎜⎟⎜⎟ 2+ C2 ⎜⎟ . ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ 31 Bieát raèng C5Cnn= vaø soá haïng thöù tö baèng 20n. Tìm n vaø x. Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái A 2002 Giaûi 31 Ta coù : C5Cnn= (ñieàu kieän n ∈ N vaø n ≥ 3) n! n! n(n−− 1)(n 2) ⇔ = 5 ⇔ = 5n 3!() n−− 3 !( n 1)! 6 ⇔ (n – 1)(n – 2) = 30 ⇔ n2 – 3n – 28 = 0 ⇔ n = 7 ∨ n = –4 (loaïi do n ≥ 3) ⇔ n = 7 Ta coù : a4 = 20n = 140 x1− 4 x 3 ⎛⎞⎛⎞− 3 2 3 7! x2− ⇔ C27 ⎜⎟ .2⎜⎟ = 140 ⇔ 2 = 140 ⎝⎠⎝⎠ 3!4! ⇔ 2x – 2 = 22 ⇔ x – 2 = 2 ⇔ x = 4.
  9. 12 ⎛⎞1 Baøi 130. Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån ⎜⎟x + . ⎝⎠x Ñaïi hoïc Kinh teá Quoác daân 1997 Giaûi Ta coù : 12 i ⎛⎞1 012111⎛⎞11i 12i− ⎛⎞ 121 ⎜⎟x + = Cx12+++++ Cx 12 ⎜⎟ Cx12 ⎜⎟ C12 12 ⎝⎠x ⎝⎠xx ⎝⎠ x Ñeå soá haïng khoâng chöùa x ta phaûi coù i 12− i ⎛⎞1 0 12 – 2i 0 x ⎜⎟ = x ⇔ x = x ⇔ 12 – 2i = 0 ⇔ i = 6 ⎝⎠x 12!121110987× ×××× Vaäy soá haïng caàn tìm laø : C6 == = 924. 12 6!6! 65432×××× 7 ⎛⎞3 1 Baøi 131. Tìm soá haïng khoâng chöùa x (vôùi x > 0) trong khai trieån ⎜⎟x + ⎝⎠4 x Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái D 2004 Giaûi 7 1 1 7 ⎛⎞3 1 ⎛⎞− x + 3 4 Ta coù : ⎜⎟4 = ⎜⎟xx+ ⎝⎠x ⎝⎠ 11111 1 −−− 07163344i3 7ii− 747 = C77 (x )+++++ C (x ) (x ) C7 (x ) (x ) C7 (x ) Ñeå tìm soá haïng khoâng chöùa x ta phaûi coù 11 (7−− i) i = 0 ⇔ 4(7 – i ) – 3i = 0 ⇔ 28 – 7i = 0 34 ⇔ i = 4 7! 7× 6× 5 Vaäy soá haïng khoâng chöùa x laø C 4 = ==35. 7 4!3! 3× 2 28 n ⎛− ⎞ Baøi 132. Trong khai trieån ⎜xx3 + x15 ⎟ haõy tìm soá haïng khoâng phuï thuoäc x bieát ⎝⎠ nn1n2−− raèng CCnn++ C n = 79.
  10. Ñaïi hoïc sö phaïm Haø Noäi 2 naêm 2000 Giaûi nn1n2−− Ta coù : CCnn++ C n = 79 n! n! nn( − 1) ⇔ 1 ++ = 79 ⇔ n + = 78 ()n1!−− 2!n2!() 2 ⇔ n 2 + n – 156 = 0 ⇔ n = –13 ∨ n = 12 Do n ∈ N neân n = 12. 28 12 4 28 12 ⎛⎞⎛−−⎞ 3 15 3 15 Ta coù : ⎜⎟⎜xx+=+ x x x ⎟ ⎝⎠⎝⎠ 4212− i 8 16 12 ⎛⎞ −−i112 6i ii315 5 = ∑∑Cx12 ⎜⎟ .x= Cx12 i0==⎝⎠ i0 16 Yeâu caàu baøi toaùn ⇔ 16 – i0= ⇔ i = 5 5 12! Vaäy soá haïng caàn tìm C5 == 792. 12 5!7! 124 Baøi 133. Trong khai trieån sau ñaây coù bao nhieâu soá haïng höõu tæ: ( 35− 4 ) Giaûi 11124 124− k 124 ⎛⎞124 ⎛⎞11 35−=−4 3524 =kk24 Ta coù : ()⎜⎟ ∑C3124 ⎜⎟ .(5)− ⎝⎠k0= ⎝⎠ kk 124 62− kk 24 = ∑(1)C− 124 3 .5 k0= Soá haïng thöù k laø höõu tæ
  11. ⎧ k 62−∈ N ⎪ 2 ⎪ ⎧0k124≤≤ ⎧iN∈ ⎧iN∈ ⎪k ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ∈ N ⇔ ⎨k ⇔ ⎨0k124≤≤ ⇔ ⎨0i31≤≤ 4 ∈ N ⎪ ⎪ 4 ⎪k4i= ⎪k4i= ⎪kN∈ ⎩ ⎩ ⎩ ⎪ ⎩0k124≤≤ ⇔ i ∈ {0,1, ,31} Do ñoù trong khai trieån treân coù 32 soá haïng höõu tæ. ∗ 3n-3 Baøi 134 . Goïi a3n -3 laø heä soá cuûa x trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa (x2 + 1) n . (x + 2)n. Tìm n ñeå a3n-3 = 26n. Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái D 2003 Giaûi n n i2n knkk 2 n n −i − Ta coù : ( x + 1 ) . (x + 2) = ∑C(x)n . ∑Cxn .2 i0= k0= nn ikk3n2ik− − = ∑∑CC2.xnn i0== k0 Do yeâu caàu baøi toaùn neân 3n – 3 = 3n – (2i + k) ⇒ 2i + k = 3 ⎧i0= ⎧i1= Do i, k ∈ N vaø i, k ∈ [0, n] neân ⎨ hay ⎨ ⎩k3= ⎩k1= 033 111 Vaäy a3n – 3 = CC2nn + Cnn C 2 = 26n n! ⇔ 8 . + 2n2 = 26n 3!() n− 3 ! 4 ⇔ n(n – 1)(n – 2) + 2n2 = 26n 3 ⇔ 2(n – 1)(n – 2) + 3n = 39 ⇔ 2n2 – 3n – 35 = 0 7 ⇔ n = 5 ∨ n = − (loaïi do n ∈ N) ⇔ n = 5. 2
  12. 10 ⎛⎞12 Baøi 135*. Trong khai trieån ⎜⎟+ x ⎝⎠33 9 10 a0 + a1x + + a9x + a10x (ak ∈ R) Haõy tìm soá haïng ak lôùn nhaát. Ñaïi hoïc Sö phaïm Haø Noäi 2001 Giaûi 10 10 ⎛⎞12 1 10 1 kk Ta coù : ⎜⎟+ x = 10 (1+ 2x) = 10 ∑C10 (2x) ⎝⎠33 3 3 k0= 1 kk Do ñoù : ak = C2 310 10 k k k1−− k1 ⎧aakk≥ −1 ⎪⎧C210≥ C 10 2 Ta coù : ak ñaït max ⇒ ⎨ ⇔ ⎨ aa≥ kk k1k1++ ⎩ kk+1 ⎩⎪C210≥ C 10 2 ⎧ 2kk 10! 2−1 .10! ⎪ ≥ ⎪k!() 10−−− k ! (k 1)!() 11 k ! ⇔ ⎨ 210!kk 2+1 .10! ⎪ ≥ ⎪ ⎩k!10k!()−+− (k1)!9k!() ⎧21 ≥ ⎪k11k− 19 22 ⇔ ⎨ ⇔ ≤≤k 12 33 ⎪ ≥ ⎩⎪10− k k+ 1 Do k ∈ N vaø k ∈ [0, 10] neân k = 7.Hieån nhieân ak taêng khi k ∈ [0, 7], vaø ak giaûm khi k ∈ [7, 10]. 7 2 7 Vaäy max ak = a7 = C . 310 10 (coøn tieáp) PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG (Trung taâm Boài döôõng vaên hoùa vaø luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)
  13. ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Chöông V NHÒ THÖÙC NEWTON (phần 2) Daïng 2: ÑAÏO HAØM HAI VEÁ CUÛA KHAI TRIEÅN NEWTON ÑEÅ CHÖÙNG MINH MOÄT ÑAÚNG THÖÙC – Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n. – Ñaïo haøm 2 veá moät soá laàn thích hôïp . – Choïn giaù trò x sao cho thay vaøo ta ñöôïc ñaúng thöùc phaûi chöùng minh. Chuù yù : k • Khi caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa kCn ta ñaïo haøm hai veá trong khai trieån (a + x)n k • Khi caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa k(k – 1) Cn ta ñaïo haøm 2 laàn hai veá cuûa khai trieån (a + x)n. Baøi 136. Chöùng minh : 123 nn1− a) C2C3Cnn++n++= nCn2 n 123 n1n− b) C2C3C.nnn−+− (1)nC0+−n = n1−− 1 n1 2 n3− 3 n1 − n c) 2Cnn−+ 2C 3.2C n −+−= (1)nCnn. Giaûi Ta coù nhò thöùc n 0n 1n1−− 2n22 nn (a + x) = Cann++ Ca x Ca n x ++ Cxn. Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc : n-1 1n1− 2n2−− 3n32 nn1 − n(a + x) = Cnna++ 2C a x 3C n a x ++ nC n x a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : 123 nn1− C2C3C nCn2nnn++++= n b) Vôùi a = 1, x = –1, ta ñöôïc :
  14. 123 n1n− C2C3C (1)nC0nnn−+−+−n = c) Vôùi a = 2, x = –1, ta ñöôïc : n1−− 1 n1 2 n3 − 3 n1 − n 2Cnn−+ 2C 3.2C n −+− (1)nCnn=. 100 2 100 Baøi 137. Cho (x – 2) = a0 + a1x + a2x + + a100x . Tính : a) a97 b) S = a0 + a1 + + a100 c) M = a1 + 2a2 + 3a3 + + 100a100 Ñaïi hoïc Haøng haûi 1998 Giaûi Ta coù : (x – 2)100 = (2 – x)100 0 100 1 99 k 100−k k 100 100 = C2100 −++C2.x C2100 100 (x) Cx−++100 a) ÖÙng vôùi k = 97 ta ñöôïc a97. 97 3 97 Vaäy a97 = C2100 (1)− 100! −8××× 100 99 98 = –8. = = – 1 293 600 3!97! 6 100 2 100 b) Ñaët f(x) = (x – 2) = a0 + a1x + a2x + + a100x Choïn x = 1 ta ñöôïc 100 S = a0 + a1 + a2 + + a100 = (–1) = 1. 2 99 c) Ta coù : f(x)′ = a1 + 2a2x + 3a3x + + 100a100x Maët khaùc f(x) = (x – 2)100 ⇒ f(x)′ = 100(x – 2)99 99 2 99 Vaäy 100(x – 2) = a1 + 2a2x + 3a3x + + 100a100x Choïn x = 1 ta ñöôïc 99 M = a1 + 2a2 + + 100a100 = 100(–1) = –100. Baøi 138. Cho f(x) = (1 + x)n vôùi n ≥ 2. a) Tính f(1)//
  15. b) Chöùng minh 234 n n2− 2.1.Cnnn++++−=− 3.2.C 4.3.C n(n 1)Cn n(n 1)2 . Ñaïi hoïc An ninh 1998 Giaûi a) Ta co ù : f(x) = (1 + x)n ⇒ f(x)′ = n(1 + x)n – 1 ⇒ f// (x) = n(n – 1)(1 + x)n – 2 Vaäy f// (1) = n(n – 1)2n – 2 . b) Do khai trieån nhò thöùc Newton n 0 1 22 33 44 nn f(x) = (1 + x) = CCnn+xCxCxCx C+ n + n + n ++ nx n - 1 122334n1n− ⇒ f(x)′ = n(1 + x) = Cnn+ 2xC +3x Cn + 4x C n ++ nx Cn n - 2 2324 n2n− ⇒ f(x)′′ = n(n – 1)(1 + x) = 2Cnn++ 6xC 12x C n + +−n(n 1)x Cn Choïn x = 1 ta ñöôïc n – 2 23 4 n n(n – 1)2 = 2Cnn++ 6C 12C n ++− n(n 1)Cn. Baøi 139. Chöùng minh n1−− 1 n1 2 n3− 3 n4 − 4 n n1− 2Cnn++ 2C 3.2Cn+ 4.2C n ++= nC nn3. Ñaïi hoïc Kinh teá Quoác daân 2000 Giaûi Ta coù : n 0n 1n1−− 2n22 3n33 − nn (2 + x) = C2n+C2n x+ C2 n x + C2 n x ++ Cxn Ñaïo ha øm 2 veá ta ñöôïc n – 1 1n1−− 2n2 23n3 −−n1n n(2 + x) = C2nn++ 2xC2 3xC2 n ++ nx C n Choïn x = 1 ta ñö ôïc n – 1 n1−− 1 n1 2 3 n3 − n n3 = 2Cnnn++ 2C 3C2 ++ nC n. 1n1−−− 2n2 3n3 n n1− Baøi 140. Chöùng minh Cnnn 3++++= 2C 3 3C 3 nC n n4 . Ñaïi hoïc Luaät 2001
  16. Giaûi Ta coù : n 0n 1n1−− 2n22 3n33 − nn (3 + x) = C3n+C3n x+ C3 n x + C3 n x ++ Cxn Ñaïo ha øm 2 veá ta ñöôïc n – 1 1n1− 2n2−− 23n3 nn1− n(3 + x) = C3nn++ 2xC3 3xC3 n++ nCxn Ch oïn x = 1 n – 1 1n1−−− 2n2 3n3 n ⇒ n4 = C3nnn++++ 2C3 3C3 nC n. 1234 n1− n Baøi 141. Tính A = C2C3C4C (1)nCnnnn−+−++− n Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 1999 Giaûi Ta coù : n 01 2233 nnn (1 – x ) = Cnn−+ C x Cnx− C n x ++ (−1) Cn x Laáy ña ïo haøm hai veá ta ñöôïc n – 1 1223 nnn1− –n(1 – x) = −+C2xC3xCnn − n + (1)nCx+− n Choïn x = 1 ta coù : 123 nn 0 = −C2nnn+C3C (1)nC− ++− n 123 n1n− ⇒ A = C2C3C (1nnn−+++−)nC0n= Baøi 142. Chöùn g mi nh vôùi n ∈ N vaø n > 2 1 (C123++++ 2C 3C nC n ) < n! (*) n nnn n Giaûi n 0122 nn Ta coù : (1 + x) = CxCxCnn++ n + xC+n Laáy ña ïo haøm theo x hai veá ta ñöôïc : n – 1 12 n1n− n(1 + x) = C2xC nxCnn+++ n Choïn x = 1 ta ñöôïc n – 1 12 n n2 = Cn++ 2Cn + nCn
  17. 1 Vaäy (*) ⇔ (n.2n1− ) 3 nghóa laø ta ñaõ coù : k! > 2k – 1 Vaäy (k + 1)k! > (k + 1)2k – 1 ⇔ (k + 1)! > 2 . 2k – 1 = 2k (do k > 3 neân k + 1 > 4 ) Do ñoù ( ) ñuùng khi n = k + 1. Keát luaän : 2n – 1 2. Baøi 143. Chöùng minh 23 nn− 2 a) 1.2Cnn+++−=− 2.3C (n 1)nCn n(n 1)2 23 n2n− b) 1.2Cnn−++−−= 2.3C ( 1) (n 1)nCn 0 n1−− 2 n2 3 n4− 4 n n2− c) 2 Cnn++ 3.2 C 3.4.2 Cn ++−= (n 1)nC n n(n −1)3 n1−− 2 n2 3 n−4 4 n2 − n d) 2 Cn−+ 3.2 Cn 3.4.2 Cn−+−−=− ( 1) (n 1)nCn n(n 1) . Giaûi Ta coù nhò thöùc n 0n 1n1−− 2n22 nn (a + x) = Cann++ Ca x Can x + +Cxn. Ñaïo haøm 2 veá 2 laàn , ta ñöôïc : n – 2 2n2− 3n3−−nn2 n(n – 1)(a + x) = 1.2Cnn a+++− 2.3C a x (n 1)nCn x a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : 23 n n2− 1.2Cnn+++−=− 2.3C (n 1)nCn n(n 1)2 b) Vôùi a = 1, x = – 1, ta ñöôïc : 23 n2n− 1.2Cnn−++−−= 2.3C ( 1) (n 1)nCn 0 c) Vôùi a = 2, x = 1, ta ñöôïc : n2−− 2 n3 3 n n2− 1.2.2 Cn+++−=− 2.3.2 Cn (n 1)nC n n(n 1)3 n1−− 2 n2 3 n4− 4 n n2− ⇔ 2 Cnn++ 3.2 C 3.4.2 C n ++−=− (n 1)nC n n(n 1)3 d) Vôùi a = 2, x = –1, ta ñöôïc :
  18. n2−−− 2 n3 3 n4 4 n2 −n 1.2.2 Cnnn−+−+−−= 2.3.2 C 3.4.2 C ( 1) (n 1)nCn n(n − 1) n1− 2 n2− 3 n4 − 4 n2 − n ⇔ 2 Cn− 3.2 Cn+ 3.4.2 C n −+−−= ( 1) (n 1)nCn n(n− 1) . Baø i 144. Chöùng minh : 01 nn1− a) 3Cnn++++= 4C (n 3)Cn 2 (6 +n) . 01 n n b) 3Cnn−++− 4C ( 1) (n +3)Cn = 0 . Giaûi n 0n 1n1−− 2n22 nn Ta coù nhò thöùc (a + x) = Cnna++ Ca x Ca n x ++ Cxn Nhaân 2 veá vôùi x3, ta ñöôïc : 3 n 0n3 1n14− 2n25−+ nn3 x(a + x) = Caxn++++Can x Ca n x Cxn. Ñaïo haøm 2 veá, ta ñöôïc : 2 n 3 n – 1 0n2 1n13− nn2+ 3x(a + x) + nx (a + x) = 3Cnn a x++++ 4C a x (n 3)Cn x . a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : 0 1 n n n1−− n1 3Cnn++++ 4C (n 3)Cn=+ 3.2 n2 = 2 (6 + n) . b) Vôùi a = 1 , x = –1, ta ñöôïc : 01 n n 3Cnn−++− 4C ( 1) (n+ 3)Cn = 0 . Daïng 3: TÍCH PHAÂN HAI VEÁ CUÛA NHÒ THÖÙC NEWTON ÑEÅ CHÖÙNG MINH MOÄT ÑAÚNG THÖÙC + Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n. + Laáy tích phaân xaùc ñònh hai veá thöôøng laø treân caùc ñoaïn : [0, 1], [0, 2] hay [1, 2] ta seõ ñöôïc ñaúng thöùc caàn chöùng minh. Chuù yù : Ck • Caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa n ta laáy tích phaân vôùi caän thích hôïp hai veá k1+ trong khai trieån cuûa (a + x)n.
  19. 1 • Caàn chöùng minh ña ún g th öùc chöùa Ck ta laáy tích phaân vôùi caän thích hôïp km1+ + n hai veá trong khai trieån cuûa xm(a + x)n. Baøi 145. Cho n ∈ N vaø n ≥ 2. 1 a) Tính I = x(1x)dx23n+ ∫0 111 1 2n1+ −1 b) Chöùng minh : CCC01+++ 2 + Cn = . 369nnn 3( n1)3(n1)+ n + Ñaïi hoïc Môû 1999 Giaûi 1 1 1 a) Ta coù : I = x(23n1+ x)dx = (1+ x3n ) d(x 3+1) ∫0 3 ∫0 3n1+ 1 1 (1+ x ) ⎤ 1 n1+ I = . ⎥ = ⎣⎡21− ⎦⎤ . 3 n1+ ⎦0 3(n+ 1) 3 n 01326 n3n b) Ta coù : (1 + x ) = Cnn++++ C x C n x Cnx 2 3 n 20 51 82 3n2n+ ⇒ x(1 + x ) = x Cnnn++++ x C x C x Cn Laáy tích phaân töø 0 ñeán 1 hai veá ta ñöôïc : 369 3n3+ 1 ⎡⎤xxx01 2 x I = ⎢⎥CCC nnn++++ ⎣⎦369 3n3+ 0 21n1+ − 1 1 1 1 Vaäy : =++++C01 C C2 Cn 3(n++ 1) 3nnn 6 9 3n 3 n n Ck 21n1+ − Baøi 146. Chöùng minh ∑ n = k0= k1+ n1+ Ñaïi hoïc Giao thoâng Vaän taûi 2000 Giaûi n 01 22 nn Ta coù : (1 + x) = Cnn++ C x C n x ++ C n x 1 1 Vaäy (1+ x)n dx = C01++ C x C 22 x ++ C nn x dx ∫0 ∫0 ( nn n n) n1+ 1 23 n1+ 1 ⎡⎤(1 + x) ⎡⎤01xx 2 n x ⇔ ⎢⎥ = ⎢⎥Cnn x++++ C C n C n ⎣⎦n1+ 0 ⎣⎦23 n1+ 0
  20. 21n1+ − 11 1 ⇔ = C012++++ C C Cn n1+ nnn23 n1+ n 21n1+ − n Ck ⇔ = ∑ n n1+ k0= k1+ 2123−− 21 2 n+1−1 Baøi 147. Tính : CCC012++++ Cn. nn23n n1+ n Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái B 2003 Giaûi n 0 1 22 33 n n Ta coù : (1 + x) = CCxCxCx Cxnn++ n + n ++ n 2 2 Vaäy (1 + x) n dx = C0++ C 1 x C 22 x + C 33 x ++ C n x ndx ∫1 ∫1 ( nn n n n) n1+ 2 234 n1+ 2 ⎡⎤(1+ x) ⎡⎤01xxx 2 3 n x ⇔ ⎢⎥ = ⎢⎥Cnn x+++++ C C n C n C n ⎣⎦n1+ 1 ⎣⎦234 n1+ 1 n1++ n1 32 112212 ⇔ − = C[x]Cx02++++ 12⎡ ⎤⎡⎤ Cx 23 Cxnn1 ⎡⎤+ n1++ n1 n123 n⎣ ⎦⎣⎦11n n1+ n⎣⎦1 32n1++− n1 2123− 21−− 2 n+1 1 ⇔ = C0++C1 C 2 ++ Cn n1+ nn23 n n n1+ Baøi 148. Chöùng minh : 1 1 (1)− n 1+(1)− n 2C02132−+++= 2 .C 2 .C 2n1n+ C nnn23 n1n1++n Ñaïi hoïc Giao thoâng Vaän taûi 1996 Giaûi n 01 22 nnn Ta coù : (1 – x) = Cnn−+C x C n x ++− ( 1) Cn x 2 2 Vaäy (1− x) n dx = CCxCx (1)C01−+ 22 ++− nnxdxn ∫0 ∫0 ( nn n n) n1+ 2 3nn+12 ⎡⎤(1− x) ⎡ 02121x (1)x− n⎤ ⇔ ⎢⎥− = ⎢Cxnnn−+++ xC C Cn⎥ ⎣⎦n1+ 0 ⎣ 23 n1+ ⎦0 (1)−−n1+ 1 2223 (1)2− nn1+ ⇔ − = 2C01−+++ C C 2 Cn n1+ nnn23 n1+ n 1(1)+− n 2223 (1)2− nn1+ ⇔ = 2C01−+++ C C 2 Cn n1+ nnn23 n1+ n
  21. Baøi 149. Chöùng minh : 11(−1)n a) (1)C−+−++=n0 (1) n1− C 1 Cn nn2n1n+ n+1 111 b) C01−++− C ( 1) n C n =. nn2n++1nn1 Giaûi Ta coù nhò thöùc n 0n 1n−−1 2n22 nn (a + x) = Cann++ Ca x Can x ++ Cxn. 1 1 Vaäy : (a+ x)n dx = Ca0n+++ Ca 1n1− x Cxnn dx ∫0 ∫0 ()nn n n1+ 1 1 (a+ x) ⎛⎞0n11 1n12−+nn1 ⇔ = ⎜⎟Caxnn+++ Ca x Cxn n1+ 0 ⎝⎠2n+10 (a+− 1)n1++ a n1 11 ⇔ = Ca0n+++ Ca 1n1− Cn. n1+ nn2n1+ n a) V ôùi a = –1 , ta ñöôïc : 11(1)(1)− −−n1+ n (1)C−+n0 (1−)n1− C 1 ++= Cn = n2n1n1nn+ n++1 b) Ta coù nhò thöùc n 0n 1n1−− 2n22 nn (a + x) = Cann+Ca x+ Ca n x ++ Cxn. −1 −1 Vaäy (a+ x)n dx = C0n a+++ C 1n1 a− x Cnn x dx ∫0 ∫0 ( nn n) n1+ −1 −1 (a+ x) ⎛⎞0n11 1n12−+nn1 ⇔ = ⎜⎟Caxnn++ Ca x + Cxn n1+ 0 ⎝⎠2n+10 (a−− 1)n1++ a n1 11 ⇔ = −+Ca0n Ca 1n1−+ −+− ( 1)n1 C n. n1+ nn2n+1n Vôùi a = 1, ta ñöôïc : 111− −+C01 C −+− ( 1) n1n+ C = . nn2n+1nn+1 111 ⇔ C01−++− C ( 1) n C n =. nn2n+1nn+1
  22. 1 Baøi 150. Tính x(1− x)19 dx ∫0 111 1 1 Ruùt goïn S = C01−+++ C C 2 CC1819− 23419 19 19 202119 19 Ñaïi hoïc Noâng nghieäp Haø Noäi 1999 Giaûi • Ñaët t = 1 – x ⇒ dt = –dx Ñoåi caän x 0 1 t 1 0 1 0 Vaäy I = x(1− x)19 dx = (1− t)t19 (− dt) ∫0 ∫1 1 1 11⎤ 11 1 ⇔ I = (t19 − t20 )dt = tt20− 21 = − = ∫0 ⎥ 20 21 ⎦0 20 21 420 19 0 1 2 2 18 18 19 19 • Ta coù : (1 – x) = C19 −+C19x Cx 19 ++− Cx19 Cx19 19 01223 18191920 ⇒ x(1 – x) = xC19−+++C 19 x Cx 19 Cx19 −Cx19 2 3 20 21 1 1 ⎡xx x x⎤ Vaä y I = x(1− x)19 dx = C01−+ C + C 181 − C 9 ∫0 ⎢ 19 19 19 19 ⎥ ⎣ 2 3 20 21 ⎦0 1 11 1 1 ⇔ = C01−++−C C 1819 C 420 219 3 19 2019 21 19 1 Vaäy S = . 420 Baøi 151. 1 a) Tính x(1− x2n ) dx ∫0 1111 (−1)1n b) Chöùng minh C01−+−++ C C 23 C Cn= 2468nnnn 2n+ 22(n1)n + Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 1997 Giaûi
  23. 1 1 1 a) Ta co ù : I = x(1− x2n ) dx = −(1− x2n ) d(1 − x 2) ∫0 2 ∫0 2n1+ 1 1(1x)⎡⎤− 1 n1+ ⇔ I = − ⎢⎥ = −−⎣⎡01 ⎦⎤ 2n1⎣⎦+ 0 2(n+ 1) 1 ⇔ I = . 2(n+ 1) b) Ta coù : 2 n 0122436 nn2n (1 – x) = CCxCxCx (1)Cxnn−+−++−n n n 2 n 0132537 nn2n1+ ⇒ x(1 – x ) = xCnn−+−++−Cx Cxn Cx n ( 1)Cxn 2468 n 1 1 ⎡⎤xxxx (1)− Vaäy I = x(1− x2n) dx = CCC01−+− 2C xC3++ 2n2n+ ∫0 ⎢⎥nnnn n ⎣⎦2468 2n2+ 0 1 1111 (1)− n ⇔ = C0−C1+−++ C 23 C Cn 2(n+ 1) 2468nnnn 2n2+ n Baøi 152* .Chöùng minh : 11 1 2(n2)2n1+ 2+ n+− C01+++ C Cn = . 3nn 4 n ++++3n (n 1)(n 2)(n 3) Giaûi a) Ta coù nhò thöùc n 0n 1n1− nn (a + x) = Cann+++Ca x Cx n 2 n 0n2 1n13− nn2+ Suy ra : x (a + x) = Cnna x+++ C a x C n x 1 1 Vaäy x(ax)dx2n+ = C0n2 a x+++ C 1n13 a−+ x C n xn 2 dx ∫0 ∫0 ( nn n) 11 1 = C0n a++ C 1n1 a− +Cn 3nn4 n3+ n Ñeå tính tích phaân ôû veá traùi, ñaët t = a + x ⇒ dt = dx Ñoåi caän : x 0 1 t a a + 1
  24. Suy ra : 1 a1+ x(ax)dx2n+ = (t− a)2n t dt ∫0 ∫a a1+ n3+++ n2 2n1 a1+ n2++ n1 2n ⎛⎞t2atat = (t−+ 2at a t )dt = ⎜⎟−+ ∫a n3++ n2 n1 + ⎝⎠a n2++ n2 2 n1++ n1 (a+− 1)n3++ a n3 2a⎡ (a+− 1) a⎤⎡ a (a +− 1) a ⎤ = −+⎣ ⎦⎣ ⎦ n3+n2+ n1+ Vôùi a = 1, ta ñöôïc : n3+++n2 n1 1 212(21)21− −− x(ax)dx2n+ = −+ ∫0 n3+ n2++ n1 n1+ ⎛⎞441⎛ 211⎞ = 2 ⎜⎟−+ +⎜ −−⎟ ⎝⎠n3n2+++ n1⎝ n2 +++ n3n1⎠ nn22 ++ 2 = 2n1+ − (n++ 1)(n 2)(n+ 3) (n ++ 1)(n 2)(n + 3) 2(nnn1+ 2++2)2− = (n++ 1)(n 2)(n+ 3) 11 1 2(nn2)2n1+ 2+ +− Suy ra : C01+++ C Cn = . 3nn 4 n+ 3n (n++ 1)(n 2)(n + 3) PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG (Trung taâm Boài döôõng vaên hoùa vaø luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)