Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Nội dung text: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

1. ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG • Trường hợp nào biến dạng nhiều hơn? • rỏ ràng khi tiết diện đặt nằm ngang
2. Trọng Tâm-Khối Tâm Của Hệ n Vật Gọi x,y,z là tọa độ của trọng tâm vật wi Gọi là x z y toạ độ trọng tâm của hệ Lực tổng tương đương WR Tổng momen lấy đối với trục y n n x.W x w x w x w WR  wi R  i i 1 1 n n i 1 i 1 z Vậy toạ độ trọng tâm là: n n n n xi wi xi wi yw yw w2    i  i x i 1 i 1 y i 1 i 1 W n n n R WR w1 w w G  i  wi i 1 i 1 y n n z x  zwi  zwi z i 1 i 1 y W n x R  wi i 1
3. TRỌNG TÂM CỦA MỘT VẬT z xdV xdW dV V G x x dW dV dw W ydW V z y z y dW ydV x x y V y zdW z dV y dW x V zdV z V dV V
4. Trọng tâm C Trọng tâm C của một mặt của một đường xdA ydA zdA xdL ydL zdL A A A x , y , z x L , y L , z L dA dA dA dL dL dL A A A L L L
5. CÁC VÍ DỤ Vd1: tìm trọng tâm của cung tròn ở hình bên. Bài giải Do đối xứng nên trọng tâm nằm trên trục x Chiều dài vi phân dL: dL rd Toạ độ x của chiều dài vi phân dL: x r cos Áp dụng công thức,ta được: xdL r cos.rd r sin x L dL rd L
6. • Nếu 2 = thì ta có nửa đường tròn: 2r x • Điều này đúng cho trường hợp ¼ đường tròn
7. Ví dụ 2: Tìm trọng tâm của hình phẳng bên Bài giải
8. • Nếu 2 = thì ta có nửa hình tròn: 4r x 3 • Điều này đúng cho trường hợp ¼ hình tròn
9. Ví dụ 2: Tìm trọng tâm của hình phẳng bên a Bài giải xydx Cách 1: dA ydx 0 x a ydx 0 x a thay y ( )1/3 va k k b3 Ta được 3a2b 4 2 x 7 a y b 3ab 7 5 4
10. Ví dụ 2: Tìm trọng tâm của hình phẳng bên b Bài giải a x (a x)dy dA (a x)dy 2 Cách 2: x 0 a x b x C 2 (a x)dy x 1/3 0 thay y b( ) a Tương tự b y(a x)dy 0 y b (a x)dy 0
11. Ví dụ 2: Tìm trọng tâm của hình phẳng bên
12. Giải: • Xác định k. y k x2 b b k a2 k a2 b a y x2 or x y1 2 a2 b1 2 • Tổng diện tích. A dA a 3 a b 2 b x y dx x dx 2 2 3 0 a a 0 ab 3
13. a b S x dA xydx x x2 dx y el 2 0 a a b x4 a2b 2 a 4 0 4 2 y a 1 b S y dA ydx x2 dx x el 2 2 0 2 a a b2 x5 ab2 4 2a 5 0 10
14. Cách giải 2 • Vi phân diện tích là dãy ngang. a x b a2 x2 S x dA a x dy dy y el 2 0 2 b 2 2 1 2 a a b a y dy 2 0 b 4 a 1 2 Sx yel dA y a x dy y a y dy b1 2 b a ab2 ay y3 2 dy 1 2 0 b 10
15. Kết Quả Cuối Cùng • Toạ độ trọng tâm. xA S y 3 ab a2b x a x 4 3 4 yA S x 3 ab ab2 y b y 3 10 10
16. MOMEN TĨNH TRỌNG TÂM • Momen tĩnh đối với 2 trục Ox và Oy như sau: S ydF, S xdF x y F F • Momen tĩnh có thể âm hoạc dương, đơn vị • Trục trung tâm:momen tĩnh đối với trục này bằng không • Trọng tâm:giao điểm của hai trục trung tâm • Momen tĩnh của trục đi qua trọng tâm bằng không
17. CÁCH XÁC ĐỊNH TRỌNG TÂM • Gọi C(xC,yC) là trọng tâm.Qua C dựng hệ Cxoyo song song với hệ Oxy x xC xo , y yC yo , voi C (xC , yC ) • Momen tĩnh đối với trục x: S (y y )dF y dF y dF y F S x C o C o C xo F F F • Vì xo là trục trung tâm Sx yC F , S y xC F nên Sxo=0 nên: • Công thức tính trọng tâm: S S x y , y x C F C F
18. Các Nhận xét về trọng tâm • Một mặt cắt được gọi là đối xứng qua trục BB’ nếu với bất kỳ điểm P luôn tồn tại điểm P’ sao cho PP’ vuông góc với BB’ và được chia làm 2 phần bằng nhau. • Mômen tĩnh đối với trục này bằng không • Trọng tâm mặt cắt sẽ nằm trên trục đối xứng • Giao điểm của hai truc đối xứng là trọng tâm • Mặt cắt đối xứng qua tâm O nếu bất kỳ vi phân tố dA tại (x,y) luôn tồn tại một phân tố dA’ cùng diện tích tại (-x,-y).
19. Đối với mặt cắt phức tạp được hình thành từ những hình đơn giản,ta chia làm những hình đơn giản n n x F y F S  i i S  i i x y i 1 , y x i 1 C F n C F n Fi Fi i 1 i 1
20. Ví dụ: tìm trọng tâm của mặt cắt với kích thước như sau: • Bài giải: • Chia mặt cắt thành 1 hình tam giác,1 hình chữ nhật,1 nữa đưòng tròn và một đường tròn khuyết
21. • Tìm tổng diện tích,momen 3 3 Sx 506.2 10 mm tĩnh của các hình đơn giản S 757.7 103 mm3 với hai trục tọa độ y
22. • Tìm trọng tâm của mặt cắt bằng cách chia tổng momen tĩnh cho tổng diện tích xF 757.7 103 mm3 X   F 13.828 103 mm2 X 54.8 mm yF 506.2 103 mm3 Y   F 13.828 103 mm2 Y 36.6 mm
23. Momen quán tính • Momen quán tính đối với hai truc x và y 2 2 J x y dF , J y x dF F F • Momen quán tính cực: J 2dF (x2 y2 )dF J J x y F F J xydF • Momen quán tính ly tâm: xy F • Momen quán tính cực và đối với trục luôn dương, momen quán tính ly tâm có thể âm. • Đơn vị chiều dài
24. • Công thúc chuyển trục song song của momen quán tính ly tâm:
25. CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MOMEN QUÁN TÍNH
26. MOMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ MẶT CẮT QUEN THUỘC • Mặt cắt hình chữ nhật: • Momen quán tính cực bằng bao nhiêu ? • Hãy tính lại đối với hệ trục đi qua góc trái của mặt cắt ?
27. MOMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ MẶT CẮT QUEN THUỘC • Mặt cắt hình tam giác: • Đối với cạnh đáy x1: dF b(y)dy b(y) h y b(h y) b(y) b h h h b(h y) J y 2dF y2 dy x1 F 0 h h b hy3 y 4 bh3 h 3 4 0 12
28. • Nếu x là trục trung tâm,theo công thức chuyển trục song song thì: bh3 h bh3 bh h2 bh3 J F( )2 . x 12 3 12 2 9 36
29. • Với mặt cắt ngang tròn r 4 D4 J J 0,05D4 x y 4 64 r 4 D4 J 2.J 0,1D4 x 2 32
30. • Với mặt cắt ngang hình vành khăn y x 4 J D 4 4 4 J x J y (1  ) 0,05D .(1  ) d 2 64 d D voi  D