Chuyên đề Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán các tỉnh thành 2008 - 2009

Nội dung text: Chuyên đề Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán các tỉnh thành 2008 - 2009

1. Chuyờn đề Tuyển tập đề thi học sinh giỏi mụn toỏn cỏc tỉnh thành 2008 - 2009
2. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi cỏc tỉnh thành 2008-2009 phuchung - 11 Toỏn- THPT Quốc Học Huế Ngày 11 thỏng 5 năm 2009 Mục lục 1 Hải Phũng 4 1.1 Chọn sinh giỏi khụng chuyờn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Chọn đội tuyển quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Nghệ An 5 2.1 Chọn đội tuyển quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 Vũng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2 Vũng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Chọn đội tuyển Đại học Vinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Chọn học sinh giỏi khụng chuyờn . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Thừa Thiờn Huế 9 3.1 Chọn học sinh giỏi khụng chuyờn . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Chọn đội tuyển quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4 Hà Tĩnh 12 4.1 Chọn học sinh giỏi khụng chuyờn . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Chọn đội tuyển quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2.1 Vũng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2.2 Vũng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Cần Thơ 14 5.1 Vũng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.2 Vũng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1
3. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 MỤC LỤC 6 Bà Rịa Vũng Tàu 17 6.1 Chọn đội tuyển trường chuyờn Lờ Quý Đụn . . . . . . . . . . 17 7 Thanh Húa 18 7.1 Vũng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7.2 Vũng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7.3 Lam Sơn 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 8 Hải Dương 20 8.1 Vũng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8.2 Vũng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9 Đồng Thỏp 22 9.1 Chọn đội tuyển quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10 Tp. Hồ Chớ Minh 23 10.1 Tp. Hồ Chớ Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 10.2 PTNK ĐHQG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 10.2.1 Vũng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 10.2.2 Vũng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 11 Hà Nội 26 11.1 Tp. Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 11.2 Đại học sư phạm Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 11.2.1 Vũng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 11.2.2 Vũng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 11.3 Đại học KHTN Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 11.3.1 Vũng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 11.3.2 Vũng 2 - Ngày 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 11.3.3 Vũng 2 - Ngày 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 12 Quảng Bỡnh 30 12.1 Vũng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 12.2 Vũng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 13 Kon Tum 32 13.1 Chọn đội tuyển quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 phuchung- - - 2
4. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 MỤC LỤC 14 Vĩnh Phỳc 33 14.1 Học sinh giỏi lớp 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 15 Bỡnh Định 34 15.1 Học sinh giỏi lớp 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 15.2 Học sinh giỏi lớp 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 16 Thỏi Bỡnh 35 16.1 Đề thi học sinh giỏi 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 17 Khỏnh Hũa 37 17.1 Học sinh giỏi bảng B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 18 Nam Định 38 18.1 Ngày 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 18.2 Ngày 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 phuchung- - - 3
5. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 1 HẢI PHềNG 1 Hải Phũng 1.1 Chọn sinh giỏi khụng chuyờn Bài 1: (3 điểm) 2x + 1 Cho hàm số y = x − 2 1. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị lập với 2 đường tiệm cận một tam giỏc cú diện tớch khụng đổi. 2. Tỡm cỏc điểm thuộc đồ thị hàm số thoả món tiếp tuyến tại điểm đú lập với 2 đường tiệm cận 1 tam giỏc cú chu vi nhỏ nhất. Bài 2: (1 điểm) Cho phương trỡnh: (65 sin x − 56) (80 − 64 sin x − 65cos2x) = 0 (1) Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giỏc cú cỏc gúc thoả món phương trỡnh (1). Bài 3: (3 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là nửa lục giỏc đều cạnh a, đường cao SA = h. 1. Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD. 2. Mặt phẳng đi qua A và vuụng gúc với SD cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại cỏc điểm A’, B’, C’. Chứng minh rằng tứ giỏc AB’C’D’ nội tiếp trong 1 đường trũn. 3. Chứng minh rằng AB’>C’D’. Bài 4: (2 điểm) Cho phương trỡnh ax3 + 21x2 + 13x + 2008 = 0 (1). Biết rằng phương trỡnh (1) cú 3 nghiệm thực phõn biệt, hỏi phương trỡnh sau cú tối đa bao nhiờu nghiệm thực: 4 (ax3 + 21x2 + 13x + 2008) (3ax + 21) = (3ax2 + 42x + 13)2 Bài 5: (1 điểm) Cho hệ phương trỡnh sau: ẵ cos x = x2 y tan y = 1 Chứng minh rằng hệ đó cho cú duy nhất 1 nghiệm (x; y) thoả món 0 < x < y < 1 . phuchung- - - 4
6. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 2 NGHỆ AN 1.2 Chọn đội tuyển quốc gia Bài 1: Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh: x2 + y2 + z2 + t2 = 10.22008 Bài 2: Cho 3 số thực dương x, y, z thoả món x + y + z + 1 = 4xyz. Chứng minh rằng: xy + yz + xy ≥ x + y + z Bài 3: Cho hàm số f (x): N ∗ → N thoả món: ẵ f(1) = 2; f(2) = 0; f(3k) = 3f(k) + 1; f(3k + 1) = 3f(k) + 2; f(3k + 2) = 3f(k) Hỏi cú thể tồn tại n để f(n) = 2008 được khụng? Bài 4: Cho tam giỏc ABC với O, I theo thứu tự là tõm của đường trũn ngoại, nội tiếp tam giỏc. Chứng minh rằng AIO[ ≤ 900 khi và chỉ khi AB +AC ≥ 2.BC Bài 5.   u1 = 1 2 Cho dóy (un) thoả món: un  un+1 = un + ã á 2008 Pn u Hóy tớnh lim i i=1 ui+1 2 Nghệ An 2.1 Chọn đội tuyển quốc gia 2.1.1 Vũng 1 Bài 1 (2đ): Giải hệ phương trỡnh:   |y|√= |x − 3| (2 z − 2 + y)y = 1 + 4y  x2 + z − 4x = 0 phuchung- - - 5
7. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 2 NGHỆ AN Bài 2 (3đ) Cho số nguyờn a.Chứng minh rằng: phương trỡnh x4 − 7x3 + (a + 2)x2 − 11x + a = 0 khụng thể cú nhiều hơn 1 nghiệm nguyờn. Bài 3 (3đ) √ p √ Cho dóy số thực xn được xỏc định bởi: x0 = 1, xn+1 = 2+ xn−2 1 + xn∀n ∈ N n P i ∗ Ta xỏc định dóy yn bởi cụng thức yn = xi.2 , ∀n ∈ N .Tỡm cụng thức tổng i=1 quỏt của dóy yn Bài 4 (3đ) Cho cỏc số nguyờn a,b,c khỏc 0 thoả món:   a b c  + + ∈ Z b c a a b c  + + ∈ Z c a b 3a4 2b4 c4 Chứng minh rằng: + + − 4|a| − 3|b| − 2|c| ≥ 0 b2 c2 a2 Bài 5 (3đ) Trong mp toạ độ Oxy cho 9 điểm cú toạ độ là cỏc số nguyờn,trong đú khụng cú 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại ớt nhất 1 tam giỏc cú 3 đỉnh là 3 trong 9 điểm trờn cú diện tớch là 1 số chẵn. Bài 6 (3đ) Cho 2 đường trũn (O) và (O0) tiếp xỳc trong tại điểm K,((O0) nằm trong (O)).ĐiểmA nằm trờn (O)sao cho 3 điểm A, O, O0 khụng thẳng hàng.Cỏc tiếp tuyến AD và AE của (O0) cắt (O) lần lượt tại Bvà C (D, E là cỏc tiếp điểm).Đường thẳng AO0cắt (O) tại F .Chứng minh rằng cỏc đường thẳng BC, DE, F K đồng quy Bài 7 (3đ) Cho n ≥ 2, n ∈ N.Kớ hiệu A = {1, 2, , n}.Tập con B của tập A được gọi là 1 tập "tốt" nếu B khỏc rỗng và trung bỡnh cộng của cỏc phần tử của B là 1 số nguyờn.Gọi Tn là số cỏc tập tốt của tập A.Chứng minh rằng Tn−n là 1 số chẵn phuchung- - - 6
8. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 2 NGHỆ AN 2.1.2 Vũng 2 Bài 1 (2đ) √ Giải phương trỡnh: 16x3 − 24x2 + 12x − 3 = 3 x Bài 2 (3đ) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn a, b, c thoả món điều kiện 1 < a < b < c và abc chia hết cho (a − 1)(b − 1)(c − 1) Bài 3 (3đ) √ Cho a, b, c, x, y, zlà cỏc số thực thay đổi thoả món (x + y)c − (a + b)z = 6. Tỡm GTNN của biểu thức: F = a2 + b2 + c2 + x2 + y2 + z2 + ax + by + cz Bài 4 (3đ) Tỡm tất cả cỏc hàm f : R → R sao cho: f(x + cos(2009y)) = f(x) + 2009cos(f(y)), ∀x, y ∈ R Bài 5 (3đ) Cho tam giỏc ABC thay đổi.GọiH là trực tõm,O là tõm đường trũn ngoại tiếp và R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp của tam giỏc ABC.Xỏc định OH GTNN của số k sao cho < k R Bài 6 (3đ) Cho ABCD là tứ giỏc nội tiếp.M vàN là cỏc điểm lần lượt thay đổi trờn cỏc MA NC cạnh AB và CD sao cho = .ĐiểmP thay đổi trờn đoạn thẳng MN MB ND PM AB sao cho = .Chứng minh rằng tỷ số diện tớch của 2 tam giỏcP AD và PN CD P BC khụng phụ thuộc vào vị trớ của M và N Bài 7 (3đ) Gọi S là tập hợp cỏc số nguyờn dương đồng thời thoả món 2 điều kiện sau: 1.Tồn tại 2 phần tử x, y ∈ S sao cho (x, y) = 1 2.Với bất kỳ a, b ∈ S thỡ a + b ∈ S Gọi T là tập hợp tất cả cỏc số nguyờn dương khụngp thuộc S.Chứng minh rằng số phần tử củaT là hữu hạn và khụng nhỏ hơn s(T ),trong đú s(T ) là tổng cỏc phần tử của tập T (nếu T = φ thỡ s(T ) = 0) phuchung- - - 7
9. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 2 NGHỆ AN 2.2 Chọn đội tuyển Đại học Vinh Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x thỡ: 1 1 1 1 + cosx + cos2x + cos3x + cos4x > 0 2 3 4 Bài 2: Tỡm cỏc giỏ trị khụng õm của m để phương trỡnh sau cú nghiệm: √ √ √ x − m + 2 x − 1 = x Bài 3: Đặt A = {n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7}. Tỡm mọi số nguyờn dương n sao cho tồn tại hai tập B, C rời nhau thỏa mản đồng thời: 1.AQ= B Q∪ C 2. x = y(x ∈ B, y ∈ C) Bài 4: Trong mặt phẳng cho đường trũn (O) và đường thẳng d khụng cú điểm chung với (O). Gọi H là hỡnh chiếu của O lờn d, gọi M là một điểm trờn d ( M khụng trựng với H). Từ M kẻ cỏc tuyếp tuyến MA, MB với (O). Gọi C, D là hỡnh chiếu của H lờn MA, MB. Cỏc đường thẳng CD, AB cắt OH tại I và K. Cm I là trung điểm của HK. 2.3 Chọn học sinh giỏi khụng chuyờn Bài 1: (3 điểm) π Tỡm m để phương trỡnh sau cú 4 nghiệm phõn biệt thuộc đoạn [0; ] 4 sin4x + cos4x + cos24x = m Bài 2: (3 điểm) Cho hệ: ( a là tham số ) ẵ √ √ x + y = 4 √ √ x + 7 + y + 7 ≤ a Tỡm a để hệ cú nghiệm (x; y) thỏa món điều kiện : x ≥ 9 Bài 3:(3 điểm) Cho hàm số : phuchung- - - 8
10. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 3 THỪA THIấN HUẾ ẵ √ 3 1 + xsin2x − 1, khix 6= 0 0, khix = 0 Tớnh đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh rằng hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 Bài 4: (3 điểm) Cho 3 số dương a, b, c thay đổi . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : √ √ √ bc ca ab P = √ + √ + √ a + 3 bc b + 3 ca c + 3 ab Bài 5:(3 điểm) Cho n là số tự nhiờn , n ≥ 2. Chứng minh đẳng thức sau : 2 0 2 1 2 2 2 n 2 n n−2 n Cn + (n − 1) Cn + (n − 2) Cn + + 2 Cn − 2 + 1 Cn − 1 = n(n + 1)2 Bài 6: (2 điểm) Cho khối chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, AD, SC . Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia khối chúp S.ABCD thành hai phần cú thể tớch bằng nhau. Bài 7:(2 điểm) Cho tứ diện ABCD cú AB=CD, AC=BD, AD=BC và mặt phẳng (CAB) 1 vuụng gúc với mặt phẳng (DAB). Chứng minh rằng : cotBCD.cot\ BDC\ = 2 3 Thừa Thiờn Huế 3.1 Chọn học sinh giỏi khụng chuyờn Bài 1: (3 điểm) 1 1 Cho phương trỡnh cos x − sin x + − + m = 0 (1) sin x cos x à ả 2 π 3π a) Với m = , tỡm cỏc nghiệm của phương trỡnh (1) trờn khoảng − ; . 3 4 4 b)à Với giỏả trị nào của m thỡ phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm trờn khoảng π 3π − ; . 4 4 phuchung- - - 9
11. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 3 THỪA THIấN HUẾ Bài 2: (3 điểm) Cho điểm A cố định trờn đường trũn và điểm C di động trờn đường trũn đú. Dựng hỡnh thoi ABCD (hướng quay của tia AB đến AC và AD theo chiều √ dương lượng giỏc) sao cho gúc ABC[ = 2arc cot 2. a) Xỏc định phộp đồng dạng biến điểm C thành điểm B. b) Tỡm quỹ tớch của cỏc điểm B và D. Xỏc định cỏc quỹ tớch đú. Bài 3: (3 điểm) a) Giải hệ phương trỡnh  log8xy = 3log8x.log8y x 3 log = log x 2 y 4 y e) Giải bất phương trỡnh: 1 3 log2x.log 3 x + 3 > log2x + log 3 x 2 4 2 4 Bài 4: (2 điểm) 3 7 11 4n − 1 Cho dóy số u = + + + ããã + với mọi số nguyờn dương n. n 2 22 23 2n a) Chứng tỏ rằng cỏc tử số của cỏc số hạng liờn tiếp của un lập thành một cấp số cộng. b) Hóy biến đổi mỗi số hạng của thành một hiệu liờn quan đến 2 số hạng kế tiếp của nú, từ đú rỳt gọn un và tớnh lim un Bài 5: (3 điểm) a) Tớnh tổng cỏc số chẵn cú 4 chữ số được viết từ cỏc chữ số 1, 2, 3, 4. àb) Tỡm hệ số củaả số hạng khụng chứa trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 1 √ n √ + x 3 x2 biết rằng tổng cỏc hệ số của cỏc số hạng trong khai triển 3 x này là a0 + a1 + a2 + + an = 4096 Bài 6: (3 điểm) Cho cốc nước phần trờn là hỡnh nún đỉnh S, đỏy cú tõm O bỏn kớnh R, chiều cao SO = h. Trong cốc nước đó chứa một lượng nước cú chiều cao a so với đớnh S. Người ta bỏ vào cốc nước một viờn bi hỡnh cầu thỡ nước dõng lờn vừa phủ kớn quả cầu. Hóy tớnh bỏn kớnh của viờn bi theo R và h. phuchung- - - 10
12. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 3 THỪA THIấN HUẾ Bài 7: (3 điểm) Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cạnh đỏy a, gúc giữa mỗi mặt bờn và mặt đỏy bằng ϕ. a) Tớnh bỏn kớnh mặt cầu tiếp xỳc với mặt đỏy và cỏc cạnh bờn của hỡnh chúp. b) Mặt phẳng (P) tạo bởi đường thẳng AB và đường phõn giỏc của gúc giữa mặt bờn SAB và mặt đỏy (gúc này cú đỉnh ở trờn AB) cắt hỡnh chúp theo một thiết diện và chia hỡnh chúp đều thành hai phần. Tớnh tỉ số thể tớch của hai phần đú. 3.2 Chọn đội tuyển quốc gia Bài 1: (4 điểm) Tỡm cỏc cặp số thực (x;y) sao cho: ẵ 2x + 4y = 32 xy = 8 Bài 2: (6 điểm) Cho khối lăng trụ đứng (L) cú cạnh bờn bằng 7a. Đỏy của (L) là lục giỏc lồi ABCDEF cú tất cả cỏc gúc đều bằng nhau và AB = a, CD = 2a, EF = 3a, DE = 4a, F A = 5a, BC = 6a. a) Tớnh theo a thể tớch của khối lăng trụ (L) b) Chứng tỏ rằng cú thể chia khối lăng trụ (L) thành 4 khối đa diện trong đú cú một khối lăng trụ đều đỏy tam giỏc và ba khối hộp. Bài 3: (6 điểm) √ Gọi (C) là đồ thị hàm số y = x3 − 2 2x được dựng trờn mặt phẳng tọa độ Oxy. a) Chứng tỏ rằng nếu một hỡnh bỡnh hành cú tất cả cỏc đỉnh đều nằm trờn (C) thỡ tõm của hỡnh bỡnh hành đú là gốc tọa độ O. b) Hỏi cú bao nhiờu hỡnh vuụng cú tất cả cỏc đỉnh nằm trờn (C) Bài 4: (4 điểm) a) Cho tập hợp S cú n phần tử. Chứng minh rằng cú đỳng 3n cặp cú thứ tự (X1; X2) với X1 và X2 là cỏc tập con của S thỏa món điều kiện X1 ∪ X2 = S b) Hỏi cú bao nhiờu cỏch thành lập tập hợp {A; B}, trong đú A và B là hai tập hợp khỏc nhau sao cho A ∪ B = {1, 2, 3, , 2008} phuchung- - - 11
13. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 4 HÀ TĨNH 4 Hà Tĩnh 4.1 Chọn học sinh giỏi khụng chuyờn Bài 1 : 3 2 a/Tỡm cỏc giỏ trị của m để hàm số y = x − 3(m − 1)√x + 3(2m + 1)x + 1 đạt cực đại, cực tiểu tại (x1; x2) sao cho |x1 − x2| ≤ 2 5 √ b/Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm :(m − 1)x = (m − 2)( x − 1) Bài 2 : Giải hệ phương trỡnh:   x4 − 16 y4 − 1 = 8x y  x2 − 2xy + y2 = 8 Bài 3 : Nhận dạng tam giỏc: r r r √ √ √ A B C 4 sinA + 4 sinB + 4 sinC = 4 cos + 4 cos + 4 cos 2 2 2 Bài 4: Hỡnh chúp tứ giỏc đờu S.ABCD cú gúc giữa mặt bờn và đỏy là α.Vẽ đường cao SH của hỡnh chúp,Gọi E là điờm thuộc SH và cú khoảng cỏch tới 2 mặt(ABCD) và (SCD) bằng nhau.mp(P) đi qua E,C,D cắt SA,SB lần lượt tại M,N. a/Thiết diện là hỡnh gỡ? b/Gọi thể tớch cỏc khối đa diện S.NMCD và ABCDNM lần lượt là V1,V2.Tỡm α để 3V2 = 5V1 Bài 5 : Cho x, y, z ≥ 0 thỏa x + y + z = 1.TèM GTNN của: r r r 1 − x 1 − y 1 − z P = + + 1 + x 1 + y 1 + z 4.2 Chọn đội tuyển quốc gia 4.2.1 Vũng 1 Bài 1 : Giả sử đồ thị hàm số phuchung- - - 12
14. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 4 HÀ TĨNH f(x) = x3 − 6x2 + 9x + d cắt trục hoành tại 3 điểm cú hoành độ x1, x2, x3 với x1 < x2 < x3. Chứng minh: 0 < x1 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4. Bài 2 : Giải phương trỡnh: cos 2x 4 cot6 x + 3(1 − )4 = 7 sin2 x Bài 3: Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn (O; R). Cỏc tia đối của cỏc tia BA, DA, CB, CD cựng tiếp xỳc với đường trũn (I; r). Đặt d = OI. Chứng minh rằng: 1 1 1 = + r2 (d + R)2 (d − R)2 Bài 4: Tỡm tất cả cỏc hàm f : R → R, g : R → R thoả món đồng thời cỏc điều kiện sau: 1)∀x, y ∈ R thỡ 2f(x) − g(x) = f(y) − y 2) ∀x ∈ R thỡ f(x).g(x) ≥ x + 1 Bài 5 : Dóy số (xn) với n = 1, 2, 3, được xỏc định bởi: 1 x = 3, x = x2 − x + 2∀n ∈ N∗ 1 n+1 2 n n Pn 1 Tỡm giới hạn của dóy Sn = i=1 xi 4.2.2 Vũng 2 Bài 1: 1) Giải phương trỡnh: x2 − 10[x] + 9 = 0 2) Giải bất phương trỡnh: √ √ √ x3 − x2 + x − 1 < 5 + −x + 8 phuchung- - - 13
15. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 5 CẦN THƠ Bài 2: −1 x2 − 1 Cho dóy (x )∞ biết x = , x = n với mọi n = 1, 2, 3, n n=1 1 2 n+1 2 ∞ Tỡm giới hạn của dóy (xn)n=1 khi n → ∞ Bài 3: Cho hàm f : N → N thoả món tớnh chất f(f(n)) + f(n) = 2n + 3∀n ∈ N Tớnh f(2008) Bài 4: Cho tam giỏc ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). Đường thẳng d cắt cỏc cạnh AB, AC lần lượt tại M, N 1) Chứng minh rằng đường thẳng d đi qua I khi và chỉ khi AB + BC + CA 1 1 = + AB.AC AM AN 2) K là một điểm bất kỳ trờn đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC, K thuộc cung BC khụng chứa điểm A (K khỏc B, C). Cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc BKA,ˆ CKAˆ cắt cỏc cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Chứng minh rằng DE luụn luụn đi qua I khi K thay đổi. Bài 5: √ Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = 13 sin x + 9 cos2 x − 4 cos x + 3 với x ∈ [0; π] Bài 6: Cho p là một số nguyờn tố. Chứng minh đa thức sau bất khả quy trờn Z[x]: xp−1 + 2xp−2 + 3xp−3 + + (p − 1)x + p 5 Cần Thơ 5.1 Vũng 1 Bài 1: ( 2.5 điểm ) Giải phương trỡnh sau trờn R: phuchung- - - 14
16. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 5 CẦN THƠ x4 − 6x2 − 12x − 8 = 0 Bài 2: ( 2.5 điểm ) Giải hệ phương trỡnh sau trờn R: ẵ y2 − xy + 1 = 0 x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 Bài 3: ( 3 điểm ) Trong mặt phẳng cho tam giỏc ABC , cú AB = a , AC = b , BACˆ = 135o , điểm M nằm trờn cạnh BC của tam giỏc sao cho BAMˆ = 45o . Tớnh độ dài AM theo a,b . Bài 4: ( 3 điểm ) Trong khụng gian cho hỡnh chúp S.ABC , trọng tõm tam giỏc ABC là G , trung điểm SG là I. Mặt phẳng (α) qua I cắt cỏc tia SA , SB , SC lần lượt tại M , N , P (khụng trựng với S) . Xỏc định vị trớ mặt phẳng (α) để thể tớch khối chúp S.MNP là nhỏ nhất . Bài 5: ( 3 điểm ) Trong khụng gian cho hỡnh chúp S.ABC , T là điểm thay đổi trong mặt phẳng ABC. Đường thẳng qua T . song song với đường thẳng SA cắt mặt phẳng (SBC) tại A’ . Đường thẳng qua T . song song với đường thẳng SB cắt mặt phẳng (SBC) tại B’ . Đường thẳng qua T . song song với đường thẳng SC cắt mặt phẳng (SBC) tại C’ . Mặt phẳng (A’B’C’) cắt đường thẳng ST tại điểm I . SI Chứng minh tỷ số khụng thay đổi khi điểm T thay đổi trong mặt đỏy ST ABC trong mặt đỏy ABC của hỡnh chúp S.ABC. Bài 6: ( 3 điểm ) Cho đa thức với hệ số thực P (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d, biết rằng phương trỡnh P (x) = 0 khụng cú nghiệm thực . Chứng minh F (x) = P (x) + P 0(x) + P 00(x) + P 000(x) + P (4)(x) > 0 với mọi số thực x . phuchung- - - 15
17. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 5 CẦN THƠ Bài 7: ( 3 điểm ) Cho n√ số thực a1,√ a2, , an khỏc 0√ , đụi một phõn biệt . Chứng minh phương trỡnh 1 + a1x + 1 + a2x + + 1 + anx = n cú khụng cú quỏ hai nghiệm thực phõn biệt . 5.2 Vũng 2 Bài 1: ( 3 điểm ) Tỡm tất cả cỏc nghiệm thực của phương trỡnh : √ x2 + 5x − 10 = 60 − 24x − 5x2 Bài 2: ( 3 điểm ) Cho cỏc số thực dương a , b , c . Chứng minh bất đẳng thức : (a − b − c)2 (b − c − a)2 (c − a − b)2 1 + + ≥ 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 2 Bài 3: ( 3 điểm ) Trong mặt phẳng cho tam giỏc đều AEF và hỡnh chữ nhật ABCD . Cỏc đỉnh E , F của tam giỏc đều lần lượt nằm trờn cỏc cạnh BC , CD của hỡnh chữ nhật ABCD . Chứng minh rằng tổng diện tớch của hai tam giỏc ABE và ADF bằng diện tớch tam giỏc CEF. Bài 4: ( 4 điểm ) √ Cho hàm số f(x) = (x3 − 3x2 + 2) x2 − 2x + 3 . Chứng minh rằng với mọi số thực m , hệ phương trỡnh sau luụn cú nghiệm thực : ẵ f (2008)(x) + f (2008)(y) = 0 x2 − my = 4 − m Bài 5: ( 3 điểm ) Cho dóy số thực (an) được xỏc định bởi cụng thức truy hồi:  1  a = 1 2 a2  n an+1 = 2 2 an − an + 1 Chứng minh a1 + a2 + + an ≤ 1 với mọi số nguyờn dương n . Bài 6: ( 4 điểm ) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn (x, y) thỏa món : phuchung- - - 16
18. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 6 BÀ RỊA VŨNG TÀU 2008x3 − 3xy2 + 2008y3 = 2009 6 Bà Rịa Vũng Tàu 6.1 Chọn đội tuyển trường chuyờn Lờ Quý Đụn Bài 1: Giải hệ phương trỡnh: 8 2 18 x2 + y2 + z2 = yz + = 2zx − = 3xy + x y z Bài 2: 1 Cho dóy số xỏc định bởi x1 = 1; xn+1 = 2 − 2008. Chứng minh rằng 2(xn + 1) dóy số cú giới hạn hữu hạn. Cõu 3: Cho tam giỏc ABC nhọn, nội tiếp đường trũn (O). Gọi I là điểm giữa của cung BC khụng chứa điểm A và K là trung điểm của BC. Hai tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau ở M; AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng: 1) AI là phõn giỏc gúc MAK\ NB AB2 2) = NC AC2 Bài 4: Tỡm tất cả cỏc hàm số liờn tục trờn R và thỏa món: f(x) − 2f(2x) + f(4x) = x2 + x với mọi x Bài 5: Cho a, b, c là cỏc số khụng õm phõn biệt. Chứng minh rằng: √ 1 1 1 11 + 5 5 (a2 + b2 + c2)( + + ) ≥ (a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 2 Bài 6: Trờn bàn cờ vua kớch thước 8x8 được chia thành 64 ụ vuụng đơn vị, người ta bỏ đi một ụ vuụng đơn vị nào đú ở vị trớ hàng thứ m và cột thứ n . Gọi phuchung- - - 17
19. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 7 THANH HểA S(m;n) là số hỡnh chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ụ vuụng đơn vị của bàn cờ sao cho khụng cú ụ nào trựng với vị trớ của ụ bị xúa bỏ ban đầu. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của S(m;n). 7 Thanh Húa 7.1 Vũng 1 Bài 1: (5 điểm) a) Giải bất phương trỡnh: 3x2−4 + (x2 − 4).3x−2 ≥ 1 b) Xỏc định tất cả cỏc hàm số f(x): R → R thoả món: f(x) = max {2xy − f(y)} , ∀x ∈ R y∈R Bài 2: (4 điểm) Cho A là một tập hợp gồm 8 phần tử. Tỡm số lớn nhất cỏc tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỡ trong cỏc tập con này khụng phải là một tập hợp gồm 2 phần tử. Bài 3: (5 điểm) Cho hàm số: f(x) = xn + 29xn−1 + 2009 với n ∈ N, n ≥ 2. Chứng minh rằng f(x) khụng thể phõn tớch thành tớch của 2 đa thức hệ số nguyờn cú bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Bài 4: (6 điểm) Cho tam giỏc ABC, D là một điểm bất kỡ trờn tia đối của tia CB. Đường trũn nội tiếp cỏc tam giỏc ABD và ACD cắt nhau tại P và Q. Chứng minh rằng đường thằng PQ luụn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi. 7.2 Vũng 2 Bài 1: Giải phương trỡnh: log32x + 1 + log54x + 1 + log76x + 1 = 3x phuchung- - - 18
20. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 7 THANH HểA Bài 2: Chứng minh với mọi số dương a1, a2, an thoản món a1.a2 an = 1. Ta cú bất đẳng thức: p p √ 2 2 a1 + 1 + + an + 1 ≤ 2(a1 + + an) Bài 3: Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn dương (x,y) sao cho: x29 − 1 = y12 − 1 x − 1 Bài 4: Đường trũn (w) tiếp xỳc với hai cạnh bằng nhau AB,ÂC của tam giỏc cõn ABC và cắt cạnh BC tại K,L . Đoạn K,L cắt (w) tại điểm thứ hai M . P,Q tương ứng đối xứng với K qua B,C. Chứng minh đường trũn ngoại tiếp PMQ tiếp xỳc với (w) 7.3 Lam Sơn 11 Bài 1: √ √ Giải phương trỡnh: x + 4 − x2 = 2 + x 4 − x2 Bài 2: Giải hệ phương trỡnh: ẵ 2y(x2 − y2) = 3x x(x2 + y2) = 10y Bài 3: Cho tam giỏc ABC , M là trung điểm BC và H là trực tõm. Chứng minh rằng: 1 MA2 + MH2 = AH2 + BC2 2 Bài 4: √ √ Cho phương trỡnh: sinx + 2 − sinx2 + sinx 2 − sinx2 = m 1) Giải phương trỡnh với m = 3. 2) Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm. Bài 5: phuchung- - - 19
21. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 8 HẢI DƯƠNG 5 1 Cho dóy số (un) xỏc định bởi: u1 = un+1 = 1 + ; n = 1, 2, 3, 2 un So sỏnh : u2008 và u2009 Bài 6: Cú tất cả bao nhiờu số tự nhiờn cú 5 chữ số mà tổng cỏc chữ số bằng 9. Bài 7: Chứng minh rằng mọi ước nguyờn dương lẻ của số 32009 + 1 đều cú dạng 3k + 1 8 Hải Dương 8.1 Vũng 1 Bài 1: (2 điểm) 1 a)Tỡm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y = ( x + m)3 − x + 2 cắt 3 trục hoành tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ lớn hơn 2. b)Cho hàm số y = 2cos2x + 2sinxcosx + mx Tỡm điều kiện của tham số m để hàm số cú cực trị . Bài 2: (2,5 điểm) a)Cho đa thức: 1 2 3 2 2009 2008 P (x) = C2009 + 2C2009(2x) + 3C2009(2x) + + 2009C2009 (2x) . Tớnh tổng cỏc hệ số bậc lẻ của đa thức đó cho . b)Giải hệ phương trỡnh:  x  5 = 2y + 1 + 2log5(4y + 1) y 5 = 2z + 1 + 2log5(4z + 1)  z 5 = 2x + 1 + 2log5(4x + 1) Bài 3: (2 điểm) a)Cho tứ diện ABCD cú AB = a, CD = b ; gúc (AB, CD) = α,khoảng cỏch giữa AB và CD bằng d. Tớnh thể tớch của khối tứ diện ABCD theo a, b, d và α b)Trong cỏc tứ diện OABC cú OA, OB, OC đụi một vuụng gúc và thể tớch phuchung- - - 20
22. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 8 HẢI DƯƠNG bằng 36,hóy xỏc định tứ diện sao cho diện tớch tam giỏc ABC nhỏ nhất. Bài 4: (2,5 điểm) a)Chứng minh ∀x ∈ R thỡ x2 x3 ex ≥ 1 + x + + 2! 3! b)Tỡm a > 0 sao cho: x2 x3 ax ≥ 1 + x + + 2! 3! với mọi giỏ trị của x. c)Cho x, y, z là cỏc số dương và thỏa món: ẵ x + y + z = 9 x ≥ 5; x + y ≥ 8 Chứng minh rằng xyz ≤ 15 Bài 5: (1 điểm) Cho hỡnh lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh bằng 1. Lấy cỏc điểm M, N, P, Q, R, S lần lượt thuộc cỏc cạnh AD, AB, BB1,B1C1,C1D1, DD1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của độ dài đường gấp khỳc khộp kớn MNP QRSM 8.2 Vũng 2 Cõu 1: (4 điểm) Tỡm tất cả cỏc hàm số f : R− > R thỏa món điều kiện: f(x − f(y)) = f(x + y2008) + f(f(y) + y2008) + 1∀x, y ∈ R Cõu 2: (4 điểm) Cho dóy số xn thỏa món : 1 x ∈ R; x = x + (cosx + sinx )(∀n ∈ N∗) 1 n+1 n 2 n n Tỡm giới hạn của dóy (nếu cú) tựy theo x1 Cõu 3: (3 điểm) phuchung- - - 21
23. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 9 ĐỒNG THÁP Cho tứ giỏc lồi ABCD .Gọi M, N, P, Q lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của một điểm O trong tứ giỏc xuống cỏc cạnh AD, AB, BC, CD ; mặt khỏc M, N, P, Q cựng nằm trờn một đường trũn tõm I bỏn kớnh R. Kẻ Ax, By, Cz, Dt lần lượt vuụng gúc với cỏc đường thẳng MN, NP, P Q, QM. Chứng minh rằng Ax, By, Cz, Dt đồng qui tại một điểm. Cõu 4: (3 điểm) Cho p là số nguyờn tố khụng nhỏ hơn 5 .Chứng minh rằng tồn tại hai số p−1 p−1 nguyờn tố q1, q2 sao cho 1 0 sao cho bất đẳng thức sau đỳng với mọi n ∈ N∗ : 1.2α + 2.3α + + n(n + 1)α ≥ 2.1α + 3.2α + + (n + 1)nα Cõu 6: (3 điểm) Cho a, b và c là cỏc số thực dương sao cho a + b + c = 3 .Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức a2 b2 c2 P = + + a + 2b3 b + 2c3 c + 2a3 9 Đồng Thỏp 9.1 Chọn đội tuyển quốc gia Bài 1: (3.0 điểm) Giải phương trỡnh: (1 + tan10)(1 + tan20) (1 + tan450) = 2x Bài 2: (3.0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc đều nhọn. Gọi AH, BI, CK là cỏc đường cao của tam giỏc. Chứng minh rằng: S HIK = 1 − cos2A − cos2B − cos2C. SABC Bài 3: (2.0 điểm) Cho a, b là hai số nguyờn. Chứng minh rằng: phuchung- - - 22
24. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 10 TP. HỒ CHÍ MINH . A = ab(a2 + b2)(a2 − b2).30. Bài 4: (3.0 điểm) Cho hàm số f : N ∗ → N ∗ thoả hai điều kiện: f(a.b) = f(a).f(b) với a, b ∈ N∗ và (a, b) = 1 f(p + q) = f(p) + f(q) với p, q nguyờn tố. Chứng minh f(2008) = 2008. Bài 5: (3.0 điểm) Chứng minh nếu n chẵn thỡ 2n chia hết: 0 2 k 2k n 2n C2n + 3C2n + + 3 C2n + + 3 C2n . Bài 6: (3.0 điểm) Cho ba số thực a, b, c. Chứng minh rằng: (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ (ab + bc + ca − 1)2. Bài 7: (3.0 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Đường trũn (C) tiếp xỳc với đường thẳng AB, AC lần lượt tại B và C. M là điểm tuỳ ý nằm trờn đường trũn (C). Gọi d1, d2, d3 lần lượt là cỏc khoảng cỏch từ M đến cỏc đường thẳng AB, AC, BC. 2 Chứng minh: d1.d2 = d3. 10 Tp. Hồ Chớ Minh 10.1 Tp. Hồ Chớ Minh Bài 1: Giài hệ phương trỡnh:   2(x3 − y3) − x(x + 1)(x − 2) = 1 2(y3 − z3) − y(y + 1)(y − 2) = 1  2(z3 − x3) − z(z + 1)(z − 2) = 1 Bài 2: 1 1 1 Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa : a + b + c ≥ + + . Chứng minh: a b c 3 2 a + b + c ≥ + a + b + c abc phuchung- - - 23
25. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 10 TP. HỒ CHÍ MINH Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Dlà điểm di động trờn cạnh AC. Đường trũn (O) đường kớnh BD cắt BC tại điểm thứ hai là P. Đường cao vẽ từ A cựa tam giỏc ABD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Gọi F là giao điểm của CE và DP. I là giao điểm của AF và DE. Đường thẳng qua I song song DP cắt đường trung trực AI tại M. Chứng minh M di động trờn 1 đường cố định khi D di động trờn AC. Bài 4: Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tõm O. MẶt phẳng (Q) vuộng gúc OA, cắt AB,AC,AD tại M,N,P. Chứng minh B,C,D,M,N,P cựng thuộc 1 mặt cầu. Bài 5: Tỡm tất cả cỏc hàm f : R → R thoả: f(x − f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) − 1 với mọi x,y thuộc R. Bài 6: Cho số thực x,y,z thỏa :   x ≥ y ≥ z ≥ 1 2y + 3z ≥ 6  11x + 27z ≥ 54 Tỡm giỏ trị lớn nhất: 1 2008 2009 P (x, y, z) = + + x2 y2 z2 Bài 7: 2 3 k−1 k−1 Cho đa thức Pk(x) = 1 − x + x − x + + (−1) x , k nguyờn dương. Chứng minh: P x − 1 n CkP (x) = 2n−1P ( ) k=1 n k n 2 10.2 PTNK ĐHQG 10.2.1 Vũng 1 Bài 1: a) Chứng minh rằng tồn tại số n chẵn, n > 2008 sao cho 2009.n − 49 là số phuchung- - - 24
26. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 10 TP. HỒ CHÍ MINH chớnh phương. b) Chứng minh rằng khụng tồn tại số nguyờn m sao cho 2009.m − 147 là số chớnh phương. Bài 2: Cho số nguyờn dương n. Cú bao nhiờu số chia hết cho 3, cú n chữ số và cỏc chữ số đều thuộc {3, 4, 5, 6}? Bài 3: Cho tam giỏc ABC cú đỉnh A cố định và B, C thay đổi trờn đường thẳng d cố định sao cho nếu gọi A’ là hớnh chiếu của A lờn d thỡ A0B.A0C õm và khụng đổi. Gọi M là hỡnh chiếu của A’ lờn AB. a) Chứng minh rằng tõm I đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BMC thuộc một đường thẳng cố định. b) Gọi N là hỡnh chiếu của A’ lờn AC, K là giao điểm của cỏc tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc A’MN tại M và N. Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố định. Bài 4: Cho f (x) = x2 + ax + b. Biết phương trỡnh f (f (x)) = 0 cú 4 nghiệm phõn biệt x1, x2, x3, x4 và x1 + x2 = −1. Chứng minh rằng: 1 b ≤ − 4 10.2.2 Vũng 2 Bài 1: p q n n−1 n−2 Cho P (x) = (x + 1) (x − 3) = x + a1x + a2x + + an. Biết a1 = a2. Chứng minh rằng 3n là số chớnh phương. Bài 2: a) Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 8abc + ≥ 2. ab + bc + ca (a + b)(b + c)(c + a) b) Chứng minh rằng tồn tại a, b, c > 0 để: ab + bc + ca (a + b)(b + c)(c + a) + < 2 a2 + b2 + c2 8abc phuchung- - - 25
27. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 11 HÀ NỘI Bài 3: Cho gúc xOy và P là điểm trong của nú. Đường trũn (C) thay đổi nhưng luụn đi qua O, P cắt Ox, Oy tại M, N. Tỡm quĩ tớch trọng tõm G và trực tõm H của ∆OMN. Bài 4: Với mỗi số nguyờn dương n, ký hiệu S(n) là tổng cỏc chữ số của n. a) Chứng minh rằng cỏc số 999 và 2999 khụng thể phõn tớch được thành dạng a + b sao cho S(a) = S(b). b) Chứng minh mọi số nguyờn m thoả 999 < m < 2999 đều cú thể phõn tớch được thành dạng a + b sao cho S(a) = S(b). 11 Hà Nội 11.1 Tp. Hà Nội Bài 1: Cho hàm số: y = x3 + 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x + m3 + 1 1. Tỡm m để hàm số sau cú cực đại cực tiểu. 2. Chứng minh rằng với mọi m phương trỡnh y = 0 luụn cú 1 nghiệm duy nhất. Bài 2: 1. Giải phương trỡnh: q √ p p 2(1 + 1 − x2)[ (1 + x)3 + (1 − x)3] = 5x 2. Cho x2 + y2 − 4x − 6y + 12 = 0 Tỡm max A = x2 + y2 Bài 3: 1. Cho hỡnh√ hộp chữ nhật với kớch thước ba cạnh là a,b,c và độ dài đường chộo là 3. P a 3 Chứng minh rằng ≥ . b2 + c2 2 2. Cho dóy sốunđược xỏc định như sau: phuchung- - - 26
28. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 11 HÀ NỘI 1 u = n 4n2 − 1 và dóy sn được xỏc định: s1 = u1, s2 = u1 + u2, sn = u1 + u2 + + un Tớnh limsn Bài 4: 1. Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD với đỏy là hỡnh chữ nhật và SA vuụng gúc với mp đỏy và SA=a, AB=b, AD=c. Qua trọng tõm G của tam giỏc SBD kẻ 1 đường thẳng d cắt đoạn SB tại M và SD tại N. Vẽ mp (AMN) cắt SC tại K tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của VS.AMNK . 2. Trờn mp (ABCD) kẻ tia phõn giỏc trong At trờn At lấy E sao cho BEDˆ = 45o .Chứng minh rằng: p √ 2(b2 + c2) + 2(b + c) AE = 2 . 11.2 Đại học sư phạm Hà Nội 11.2.1 Vũng 1 Bài 1: Tỡm x, y, z tự nhiờn thoả món x2009 + y2009 = 7z Bài 2: Tim m lớn nhất để 1 1 m + ≥ ka + b kb + a a + b với mọi a, b > 0 và khụng thuộc [0.π]. Bài 3: Tỡm đa thức p(x) thoả món: 1. p(2) = 12 2. p(x2) = x2(x2 + 1)p(x) phuchung- - - 27
29. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 11 HÀ NỘI 11.2.2 Vũng 2 Bài 1: Cho số nguyờn dương a và dóy xn thoả món: ẵ x0 = a 2 xn+1 = 2xn + 3 1. Xỏc định tất cả cỏc giỏ trị cú thể của a để tồn tại 1 số xi chia hờt cho 2009 2. Chứng minh rằng với mỗi ước nguyờn tố p của 20092008 + 23 tồn tại vụ số số a thoả món xn khụng cú số hạng nào chia hết cho p Bài 2: Tỡm p(x) thoả món p(x2) = p(x)p(x + 2) Bài 3: Tập cỏc số nguyờn dương N ∗ chia thành 2 tập A, B thoả món: 1. 1 ∈ A. 2. Khụng cú 2 phần tử nào của A và 2 phần tử nào của B cú tổng bằng 2k +2 Hóy chỉ ra 1 cỏch chia. Chứng minh rằng cỏch chia tồn tại là duy nhất. Bài 4: Cho tam giỏc ABC nội tiếp (O),M trong tam giỏc A1,B1,C1 là hỡnh chiếu của M lờn BC, CA, AB. AM, BM, CM cắt (O) ở A2,B2,C2. Tỡm M sao cho A1B1C1 và A2B2C2 là ảnh của nhau trong 1 phộp vị tự. 11.3 Đại học KHTN Hà Nội 11.3.1 Vũng 1 Bài 1: Cho x, y, z khụng õm thỏa món: x2 + y2 + z2 = 1. Tỡm min, max: x y z P = + + 1 + yz 1 + xz 1 + yx Bài 2: Tỡm x, y, z nguyờn dương thỏa món: xz+1 − yz+1 = 2100 phuchung- - - 28
30. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 11 HÀ NỘI Bài 3: Tập cỏc số {1, 2, , 3000} cú chứa một tập con A gồm 2000 phần tử thỏa món: nếu x ∈ A thỡ 2x khụng thuộc A hay khụng? Bài 4: Cho tam giỏc ABC nhọn, trờn AB,AC lấy M,N. Cỏc đường trũn đường kớnh BN,CM cắt nhau ở P,Q, Biết P nằm trờn (ABC). a) Chứng minh: Q thuộc đường trũn Ơle của tam giỏc ABC. b) Chứng minh: MN đi qua tõm (ABC). 11.3.2 Vũng 2 - Ngày 1 Bài 1: Cho x,y,z>0, tỡm GTNN của: x7z y7z6 1 P = + + x5y2z + 2y6 y5z4 + 2x z2x2 + 2x6yz7 Bài 2: Tỡm hàm liờn tục f: R → R thỏa món: 6(f(fx)) = 2f(x) + x Bài 3: Cho tam giỏc ABC và đường trũn đi qua B,C cắt cỏc cạnh AB,AC tại P,Q. Gọi A1,B1,C1là trung điểm PQ, PB, QC. Chứng minh: cỏc đường thẳng đi qua A,B,C tương ứng vuụng gúc với B1C1,C1A1,A1B1 cắt nhau tại 1 điểm. Bài 4: Cho đa thức P (x) bậc n > 0, hệ số nguyờn và p nguyờn tố. Giả sử phương trỡnh P (x) ≡ 0(modp) cú đỳng m nghiệm phõn biệt x1, x2, xm ∈ [1, p], m ∈ ∗ 0 N và P (xi) 6= kp,(i ∈ [1, m]). Xỏc định số nghiệm phương trỡnh: P (x) ≡ 0(modp2008) trờn [1, p2008] 11.3.3 Vũng 2 - Ngày 2 Bài 1: 2 2 2 Cho x1, x2, , xn khụng õm (n > 2) thỏa món: x1 + x2 + + xn = 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất: phuchung- - - 29
31. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 12 QUẢNG BèNH P = (1 − x1)(1 − x2) (1 − xn) Bài 2: Cho m, p là số nguyờn dương sao cho m2 + 4p khụng phải chớnh phương và m > p. Gọi c là nghiệm dương của phương trỡnh: x2 − mx − p = 0. Xột dóy xn: ẵ x0 = a ∈ N xn+1 = c.xn Tỡm dư của phộp chia xn cho n . Bài 3: Cho (O) và A,B cố định sao cho AB ko là đường kớnh. C thuộc ung AB lớn, D là trung điểm AB. M là trung điểm AC, N là đường cao hạ từ M xuống BC. Vẽ d qua N vuụng gúc DN. Chứng minh: d tiếp xỳc 1 đường cong cố định. Bài 4: Cho cac số thực a1, a2 an thỏa món a1 ≤ a2 ≤ ≤ an và cho hàm số f(x) lồi trờn [a1, an]. Chứng minh: Pn Pn k=1 f(ak)a(k + 1) ≤ k=1 f(a(k + 1))ak 12 Quảng Bỡnh 12.1 Vũng 1 Bài 1: (2,5 điểm ) Giải phương trỡnh: p √ p 2 2009 (1 + x)2 + 3 2009 1 − x2 + 2009 (1 − x)2 = 0 Bài 2: (2,5 điểm) Tớnh giới hạn: π cos( cosx) lim 2 x→0 sin(tanx) phuchung- - - 30
32. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 12 QUẢNG BèNH Bài 3: (2,0 điểm ) Cho dóy số (un) xỏc định như sau: a) un > 0; ∀n ∈ N∗ b) u1 = 1; p 2 1 + un − 1 c) un+1 = ; ∀n ∈ N∗ un Chứng minh rằng: π 1 u + u + + u ≥ 1+ [1 − ( )n−1] 1 2 n 4 2 Bài 4: (3,0 điểm ) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang ( AD//BC ), SA = 2a và vuụng gúc với đỏy, AB = BC = CD = a. Gọi M, N, P lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn SB, SC, SD. a) Chứng minh rằng A, M, N, P đồng phẳng và tứ giỏc AMNP nội tiếp được trong một đường trũn. b) Tớnh diện tớch tứ giỏc AMNP theo a. 12.2 Vũng 2 Bài 1: (2,5 điểm) Giải hệ phương trỡnh: ẵ √ √ x2 + 2x + 22 − y = y2 + 2y + 1 p √ y2 + 2y + 22 − x = x2 + 2x + 1 Bài 2: (2,5 điểm) Cho 4 số nguyờn dương a, b, c, d trong đú tổng của 3 số bất kỳ chia cho số cũn lại đều cú thương là số nguyờn khỏc 1. Chứng minh rằngtrong 4 số a, b, c, d luụn tồn tại 2 số bằng nhau. Bài 3: (2,5 điểm) Cho hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn [0; 1], cú đạo hàm trờn khoảng (0; 1) và 2009 f(0) = f(1) = 2007 Chứng minh rằngtồn tại số c ∈ (0; 1) sao cho 2007f(c) − 2008f 0(c) = 2009. Trong đú: f 0(c) là đạo hàm của hàm số f(x) tại c Bài 4: (2,5 điểm) phuchung- - - 31
33. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 13 KON TUM Cho 4 điểm A, B, C, D cú cỏc điểm A, B cố định và C, D thay đổi sao cho A, B, C, D nằm trờn đường trũn; AC và BD là hai đường thẳng cố định vuụng gúc với nhau tại một điểm khụng trựng với cỏc điểm A, B, C, D. Chứng minh rằngtrung điểm của đoạn thẳng CD luụn nằm trờn một đường cố định. 13 Kon Tum 13.1 Chọn đội tuyển quốc gia Bài 1: −π π Tỡm cặp số (x, y) với x, y thuộc trong khoảng từ ( , ) thỏa món hệ: 2 2   tanx − tanyr= y − x y + 1  2x3 = 1 + 3 2 Bài 2: Tỡm số k bộ nhất để bất phương trỡnh luụn đỳng: √ √ 2 2 x2 − x4 + (1 − k)(|x| + 2 1 − x2 + 2 − k) ≤ 0 Bài 3: Tồn tại hay khụng đa thức P (x) sao cho P (25) = 1945 và P (11) = 2008. Bài 4: Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn (O).Đường thẳng qua C cắt cỏc tia đối của BA, DA lần lượt tại M và N. Chứng minh: 4S BD BCD ≤ ( )2 SAMN AC Bài 5: Cho dóy u(n) xỏc định bởi cụng thức: u1 = 8 1 u = (u2 − 7u + 25) n+1 3 n n Pn 1 Đặt k=1 ui − 2 Tớnh limv(n) khi n → +∞ phuchung- - - 32
34. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 14 VĨNH PHÚC Bài 6: Giả sử phương trỡnh x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 cú nghiệm. Tỡm GTNN của P = a2 + b2 Bài 7: Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 2x6 + y2 − 2x3y = 320 14 Vĩnh Phỳc 14.1 Học sinh giỏi lớp 11 Bài 1: Giải hệ phương trỡnh:   x3 + x(y − z)2 = 2 y3 + y(z − x)2 = 30  z3 + z(x − y)2 = 16 Bài 2: 1 Cho dóy số (a ) : a = 1, a = a + . n 1 n+1 n a a √ n Chứng minh rằng: lim √n = 2 n→+∞ n Bài 3: Cho x, y, z thỏa món điều kiện x + y + z = xyz. Tỡm giỏ trị lớn nhất của: P = (x − 1)(y − 1)(z − 1). Bài 4: √ Cho tam giỏc ABC nhọn nội tiếp đường trũn (O;R). Đường cao BH=R 2, D và E là hỡnh chiếu vuụng gúc của H lờn AB và BC. Chứng minh D, E, O thẳng hàng. Bài 5: Tỡm số p nguyờn tố để tồn tại cỏc số nguyờn dương x, y, n thỏa món: pn = x3 + y3 Bài 6: Xột tất cả cỏc số N gồm 2008 chữ số thỏa món chia hết cho 99 và cỏc chữ số phuchung- - - 33
35. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 15 BèNH ĐỊNH của N thuộc tập S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Tớnh trung bỡnh cộng của tất cả cỏc số như vậy. Bài 7: Cho hai đường trũn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. Từ điểm C trờn tia đối của tia AB kẻ cỏc tiếp tuyến CD, CE với (O) (D, E là cỏc tiếp điểm và E nằm trong đường trũn (O’)). AD và AE cắt (O’) lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng đường thẳng DE đi qua trung điểm MN. 15 Bỡnh Định 15.1 Học sinh giỏi lớp 12 Cõu 1: (5 điểm) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn dương m, n sao cho: n n (m2 − n2) m − 1 = n m (m2 − n2) m + 1 Cõu 2: (5 điểm) Gọi A, B, C là ba gúc của tam giỏc ABC. Chứng minh rằng: √ √ 3 3 A B C 3 (1 + cos2 )(1 + cos2 )(1 + cos2 ) an−1an+1 với mọi n = 1, 2, . . . a) Chứng minh rằng an > n ∀n. 1 1 2 3 n b) Tỡm lim 2 ( + + + + ). x→+∞ n a1 a2 a3 an Cõu 4: (5 điểm) Cho tam giỏc ABC với BE, CF là cỏc đường phõn giỏc trong. Cỏc tia EF, FE cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc theo thứ tự tại M , N. Chứng minh rằng: phuchung- - - 34
36. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 16 THÁI BèNH 1 1 1 1 1 1 + = + + + . BM CN AM AN BN CM 15.2 Học sinh giỏi lớp 11 Cõu 1: 1 Dóy số u , u , , u được xỏc định: u = với n = 1, 1 2 k n n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 2, 3, ,k. Đặt S = u1 + u2 + + uk 1 Chứng minh rằng: 18 < S ≤ 24 Cõu 2: Tỡm tất cả cỏc nghiệm thuộc đoạn [0;1] của phương trỡnh: 8x(2x2 − 1)(8x4 − 8x2 + 1) = 1 Cõu 3: Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số: √ √ y = cos2x − 4cosx + 5 + cos2x + 12cosx + 27 Cõu 4: Chứng minh rằng khụng√ thể tồn tại trờn mặt phẳng tọa độ một tứ giỏc ABCD mà AC = 2 3.BD;(AC,~ BD~ ) = 600 và tọa độ cỏc đỉnh đều là số nguyờn. 16 Thỏi Bỡnh 16.1 Đề thi học sinh giỏi 12 Cõu 1: (3 điểm) 1. Khảo sỏt và vẽ đồ thị của hàm số: y = |x|3 − 3 |x| − 2 (ξ) 2. Gọi d là đường thẳng đi qua M(2;0) và cú hệ số gúc k. Tỡm k để đường thẳng d cắt (ξ) tại 4 điểm phõn biệt. Cõu 2: (4 điểm)   x1 = 1 1. Cho dóy số (xn) xỏc định bởi: 2008 Chứng minh rằng  xn+1 = 1 + 1 + xn phuchung- - - 35
37. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 16 THÁI BèNH (xn) cú giới hạn và tỡm giới hạn đú. p 2. Tỡm m để phương trỡnh: x + y + 2x(y − 1) + m = 2 cú nghiệm. Cõu 3: (2 điểm) 1 Cho < a, b, c, d < 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 1 1 1 1 F = log (b − ) + log (c − ) + log (d − ) + log (a − ) a 4 b 4 c 4 d 4 Cõu 4: (3 điểm) √ 2 1. Giải phương trỡnh: x − x − 2008 1 + 16064x = 2008 √ 2. Tỡm nghiệm của phương trỡnh | cos x| − | sin x| − cos 2x 1 + sin2x = 0 thỏa món: 2008 < x < 2009 Cõu 5: (2 điểm) Cho tam giỏc ABC biết A(1; −2), hai đường phõn giỏc trong của gúc B và C lần lượt cú phương trỡnh là: (d1) : 3x + y − 3 = 0 và (d2): x − y − 1 = 0. Lập phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC. Cõu 6: (4 điểm) Cho một tam diện vuụng Oxyz và một điểm A cố định bờn trong tam diện. Gọi khoảng cỏch từ A đến ba mặt phẳng Oyz, Ozx, Oxy lần lượt là a, b, c. Một mặt phẳng (α) qua A cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại M, N, P. a b c 1. Chứng minh rằng: + + = 1 OM ON OP 2. Xỏc định vị trớ của mặt phẳng (α) để thể tớch của tứ diện OMNP đạt giỏ trị nhỏ nhất. Khi thể tớch tứ diện OMNP nhỏ nhất, hóy chỉ rừ vị trớ điểm A. 3. Chứng minh rằng: (MN + NP + PM)2 ≤ 6(OM 2 + ON 2 + OP 2) Cõuẵ 7: (2 điểm) 0 < a ≤ b ≤ c ≤ d Cho . bc ≤ ad Chứng minh rằng: ab.bc.cd.da ≥ ad.dc.cb.ba phuchung- - - 36
38. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 17 KHÁNH HềA 17 Khỏnh Hũa 17.1 Học sinh giỏi bảng B Bài 1: (4,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh: ( p 2 4 2 4 2 4 3q + 2x y − x y + x (1 − 2x ) = y 1 + 1 + (x − y)2 = x3(x3 − x + 2y2) Bài 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trỡnh: 1−x2 1−2x 1 1 2 x2 − 2 x2 = − 2 x b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của a để bất phương trỡnh sau cú nghiệm: √ √ √ ¯ ¯ 2 a 4 ¯ πx¯ a3(x − 1) + ≤ a3 ¯sin ¯ (x − 1)2 2 Bài 3: (5,0 điểm) Cho dóy số (un) xỏc định như sau: un+1.un+2 + 7 u1 = u2 = 1, u3 = 2, , un+3 = (∀n ∈ Z+) un + Chứng minh rằng un ∈ Z ∀n ∈ Z Bài 4: (3,0 điểm) Tớnh thể tớch khối cầu ngoại tiếp một khối đa diện hai mươi mặt đều cú độ dài cạnh bằng a (a > 0). Bài 5: (3,0 điểm) Cho một đa giỏc đều A1A2A3 An, (n ≥ 3) biết 4 đỉnh liờn tiếp A1,A2,A3,A4 1 1 1 của đa giỏc thỏa món đẳng thức = + . Tỡm số cạnh của A1A2 A1A3 A1A4 đa giỏc đều đó cho. phuchung- - - 37
39. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 18 NAM ĐỊNH 18 Nam Định 18.1 Ngày 1 Bài 1: (4 điểm) Chứng minh rằng trong 4 số thực dương khụng nhỏ hơn 1 luụn tồn tại 2 số a;b thỏa món: p √ (a2 − 1)(b2 − 1) + 1 3 ≥ ab 2 Bài 2: (5 điểm) x2 + y2 + 6 Cho x, y là cỏc số nguyờn thỏa món ∈ Z. Tỡm tất cả cỏc cặp số xy x2 + y2 + 6 (x; y) để là lập phương của một số tự nhiờn. xy Bài 3: (2 điểm) Tỡm tất cả cỏc hàm số f : R → R thỏa món đồng thời 2 điều kiện sau với mọi cặp số thực (x; y): i) f(x) ≥ e2009x ii) f(x + y) ≥ f(x).f(y) Bài 4: (5 điểm) Cho tứ giỏc lồi ABCD cú diện tớch là S. Đặt AB = a, BC = b, CD = d, DA = d. Chứng minh rằng: √ 13a2 + 6b2 − c2 + 2d2 ≥ 4S 2 Bài 5: (4 điểm) Cho dóy số (un) xỏc định bởi: ( x0 = 0 x x = n−1 + (−1)n n 2008 2 với mọi n = 1, 2, 3 Chứng minh rằng dóy số (xn) cú giới hạn và tỡm giới hạn đú. phuchung- - - 38
40. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 18 NAM ĐỊNH 18.2 Ngày 2 Bài 1: (2 điểm) Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món a + b + c = 1. Chứng minh rằng: r r r ab bc ca 3 + + ≤ c + ab a + bc b + ca 2 Bài 2: (5 điểm)   z2 + 2xyz = 1 3x2y2 + 3y2x = 1 + x3y4  z + zy4 + 4y3 = 4y + 6y2z Bài 3: (4 điểm) Cho cỏc số thực a, b, c, d, e. Chứng minh rằng: Nếu phương trỡnh ax2 + (b + c)x + d + e = 0 cú nghiệm thực thuộc khoảng [1, +∞) thỡ phương trỡnh ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 cú nghiệm thực. Bài 4: (5 điểm) Tỡm tất cả cỏc hàm f : R+ → R tăng và thỏa món điều kiện f(x + 1) = f(x) + 2−x với mọi số thực dương x. Bài 5: (4 điểm) Cho tam giỏc cõn ABC cú AB=AC. Trờn cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=2DC. Giả sử P là điểm trờn đoạn AD sao cho BAC[ = BP\ D. Chứng minh rằng: BAC[ = 2DP\ C. phuchung- - - 39
41. Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 18 NAM ĐỊNH Tài liệu được tổng hợp từ cỏc forum Toỏn học ở Việt Nam diendantoanhoc.net mathscope.org maths.vn chihao.info diendan3t.net To be continued phuchung- - - 40