›
›

Chuyên đề Nguyên hàm và tích phân

pdf 28 trang phuongnguyen 4450
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Nguyên hàm và tích phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfchuyen_de_nguyen_ham_va_tich_phan.pdf

Nội dung text: Chuyên đề Nguyên hàm và tích phân

  1. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN I. Bảng các nguyên hàm thường gặp 1 1 ax b 1 ax b dx c, 1 cos ax b dx sin ax b c a 1 a dx 1 1 ln ax b c c sin ax b dx cos ax b c ax b a a 1 1 eax b dx eax b c tg ax b dx ln cos ax b c a a 1 1 max b dx max b c cotg ax b dx ln sin ax b c a ln m a dx 1 x dx 1 arctg c cotg ax b c a2 x2 a a sin2 ax b a dx 1 a x dx 1 ln c tg ax b c a2 x2 2a a x cos2 ax b a dx 2 2 x x ln x x a c arcsin dx x arcsin a2 x2 c x2 a2 a a dx x x x arcsin c arccos dx x arccos a2 x2 c a2 x2 a a a dx 1 x x x a arccos c arctg dx xarctg ln a2 x2 c x x2 a2 a a a a 2 dx 1 a x2 a2 x x a ln c arccotg dx xarccotg ln a2 x2 c x x2 a2 a x a a 2 b dx 1 ax b ln ax b dx x ln ax b x c ln tg c a sin ax b a 2 x a2 x2 a2 x dx 1 ax b a2 x2 dx arcsin c ln tg c 2 2 a sin ax b a 2 eax asinbx bcosbx eax acosbx bsinbx eax sinbx dx c eax cos bx dx c a2 b2 a2 b2 1
  2. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com II. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12 Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm d x 1 x ad x 1 a x 1. Ví dụ 1: Chứng minh: l n c ; l n c x2 a2 2 a x a a2 x2 2 a a x d x 1 1 1 1 d x d x 1 x a Chứng minh: d x l n c x2 a22 a x a x a 2 a x a x a 2 a x a dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x dx l n c a2 x2 2a a x a x 2a a x a x 2a a x d x 2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: ln x x2 a2 c 2 2 x a 2 2 2 2 1 x a Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có: l n x x a c x x2 a2 1 x 1 x x 2 a2 1 1  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x a x a x x a x a x a dx 1 x 3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: u c (với tgu ) a2 x2 a a x dx d a t g u 1 1 Đặt tgu , u , du u c a 2 2 a2 x 2 a2 1 tg2 u a a dx x 4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng: u c (với sin u , a > 0) a2 x2 a x d x d a sin u Đặt sin u ,u , du u c 2 2 2 2 2 2 a a x a 1 sin u Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm d x 1 x d x x a r c t g c và a r c s i n c (a > 0) nhưng sau đó không giống bất cứ 2 2 2 2 a x a a a x a nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x , arcsin x . Cách trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này. III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN III.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN: 1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc: 2
  3. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 1 m m n x x n ; n xm x n ; n k xm x nk 1 1 1 1 m 1 m x n ; x n ; x n ; x nk n n n m x x x n k xm 2. Biến đổi vi phân: dx d(x ± 1) d(x ± 2) d(x ± p) adx d(ax ± 1) d(ax ± 2) d(ax ± p) 1 x 1 x 2 x p dx d d L d a a a a III.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ 3 3 x x 1 1 2 1 1. dx dx x x 1 dx x 1 x 1 x 1 d x 1 1 1 x 2 x 1 dx x 3 x 2 x l n x 1 c x 1 3 2 1 2. x 4x 7 dx = 4x 7 7 4x 7 dx 4 1 3 1 1 25 2 3 4x 7 2 7 4x 7 2 d 4x 7 4x 7 2 7  4x 7 2 c 1 6 1 6 5 3 d x 1 d 2 x 1 10 3. I arctg x c 17 2 2 2 2x 5 2 2 x 5 10 5 x x d x 1 d 2 1 1 1 x 1 2 4. d 2 l n c 2 x + 5 l n 2 2 x 2 x 5 5ln2 2 x 2 x 5 5ln2 2 x 5 cos 5 x 5. dx cos 3 x 1 s i n x dx 1 sin 2 x cos x cos 3 x s i n x dx 1 sin x sin3 x cos 4 x 1 sin 2 x d sin x cos 3 xd cos x sin x c 3 4 III.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI x 1 x 2 x 3 x 4 7x 3 3x2 7x 5 J1 d x ; J2 dx ; J3 dx x x 2x 5 x 2 2x3 5x2 7x 1 0 4x2 9x 10 2x2 3 x 9 J d x ;J d x ; J d x 4 5 6 10 x 1 2x 1 x 1 x3 3x2 4x 9 2x3 5x2 11x 4 J dx ; J dx 7 15 8 30 x 2 x 1 100 3 2 15 33 J x 3 x 1 dx; J x 1 5x 2 dx; J x2 3x 5 2x 1 dx 9 10 11 3
  4. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 2 3 x 3x 5 4 J 2x2 3 .5 x 1 d x ; J d x ; J x4 .9 2x5 3 d x 12 13 14 7 2x 1 4 x9 x x3 J15 dx ; J16 dx ; J17 dx 4 2 2 5 2 3x10 x x 1 x x 1 dx dx dx J ; J ; J 18 19 2 2 20 2 2 x 2 x 5 x 2 x 6 x 2 x 3 x dx dx dx J ; J ; J 21 2 2 22 2 2 23 2 2 x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3 l n 2 l n 2 2x l n 2 ln 2 x dx e dx x 1 e J24 ; J25 ; J26 e 1dx; J27 dx x x x 1 e 1 0 e 1 0 0 1 e 2 2 x x 1 e x dx 1 1 e dx 1 dx 1 1 e J ; J ; J ; J dx 28 x 29 2x 30 2x x 31 3x 0 1 e 0 1 e 0 e e 0 e l n 2 dx ln 4 dx 1 e 3x dx e 1 l n x J ; J ; J ; J dx 32 x 333 x x 34 x 35 0 e 0 e 4e 0 1 e1 x 3 1 1 6 5 2 5 3 3 2 J36 x 1 x dx ; J37 x 1 x dx ; J38 x 1 x dx 0 0 0 2 x 1 dx 1 dx 1 2 1 dx 1 J ; J ; J ; J e2x 1 ex dx 39 x 40 x x 41 x 42 0 4 3 0 4 2 0 4 0 BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2 A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI du 1 u d u 1. arctg c 4. 2 u c u2 a2 a a u du 1 u a du u 2. ln c 5. arcsin c a 0 2 2 u a 2a u a a2 u2 a du 1 a u du 3. ln c 6. ln u u2 p c 2 2 a u 2a a uu2 p Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2: 2 2 b b 4ac 2 1. ax2 bx c a x 2. ax2 bx c mx n p2 2 2a 4a B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN 4
  5. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com d x I. Dạng 1: A = ax2 + bx + c d x dx 1 mx n 1. Phương pháp: arctg c 2 2 2 ax bx c mx n p mp p d x dx 1 mx n p ln c 2 2 2 ax bx c mx n p 2mp mx n p 2. Các bài tập mẫu minh họa d x d x 1 d 2x 2 1 2x 2 3 • A l n c 1 2 2 2 4x 8x 1 2x 2 3 2 2x 2 2 3 4 32x 2 3 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: dx dx dx A ; A ; A ; 1 3x2 4x 2 2 4x2 6x 1 3 5x2 8x 6 2 dx 1 dx 1 dx A ; A ; A 4 2 5 2 6 2 1 7x 4x 3 0 6 3x 2x 0 4x 6x 3 mx+ n II. Dạng 2: B = dx ax2 + bx + c m 2ax b n mb m x n 2a 2a 1. Phương pháp: B dx dx ax2 bx c ax2 bx c d ax2 bx c m mb m 2 mb n A ln ax bx c n A 2a a x 2 b x c 2a 2a 2a Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm) 2 2 • Nếu mẫu có nghiệm kép x x0 tức là ax bx c a(x x0 ) mx n  thì ta giả sử: x ax2 bx c x x 2 0 x x0 Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm , . mx n  Với ,  vừa tìm ta có: B dx l n x x c 2 0 ax bx c x x0 2 • Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 : ax bx c a(x x1 )(x x2 ) thì ta giả sử mx n  2 x ax bx c x x1 x x2 5
  6. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm , . mx n Với ,  vừa tìm ta có: B dx l n x x l n x x c ax2 bx c 1 2 2. Các bài tập mẫu minh họa: 1 11 2x + 3 1 8 x 6 1 1 8 x 6 d x 1 1 d x • B = dx 9 3 d x 1 9x2 6x + 1 9x 2 6x 1 9 9x 2 6x 1 3 9x 2 6x 1 1 d 9x 2 6x 1 11 d 3x 1 2 11 l n 3x 1 c 2 2 9 9x 6x 1 9 3x 1 9 9 3x 1 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 7 3x dx 3x 4 dx 2 7x dx B ; B ; B ; 1 4x2 6x 1 2 2x2 7x 9 3 5x2 8x 4 dx III. Dạng 3: C = ax2 + bx + c du 1. Phương pháp: Bổ đề: l n u u2 k c u2 k Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau: dx dx 1 2 C l n mx n mx n k c ax2 bx c mx n 2 k m dx d x 1 mx n C arcsin p 0 ax2 bx c p2 mx n 2 m p 2. Các bài tập mẫu minh họa: d x 1 d x 5 5 2 45 • C3 l n x x c 2 2 4x 10x 5 2 45 4 4 16 x 5 4 16 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: dx dx dx C1 ; C2 ; C3 2 2 3x 8x 1 7 8x 10x 5 12x 4 2 x2 mx+ n dx IV. Dạng 4: D = a x 2 + bx + c 1. Phương pháp: 2 m 2ax b d x m b d x m d ax bx c mb D  C 2 2a a x 2 b x c 2a a x 2 b x c 2a ax bx c 2a 2. Các bài tập mẫu minh họa: 6
  7. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 1 x 4 d x 1 x 2 d x 1 d x • D1 = 2 2 2 2 0 x 4x 5 0 x 4x 5 0 x 4x 5 1 1 d x2 4x 5 1 d x 1 2 x2 4x 5 2ln x 2 x2 4x 5 2 2 2 0 x 4x 5 0 x 2 1 0 3 10 10 5 2ln 3 10 2ln 2 5 10 5 2ln 2 5 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 5 4x dx 3x 7 dx 8x 11 dx D ; D ; D 1 2 3 3x2 2x 1 2x2 5x 1 9 6x 4x2 dx V. Dạng 5: E = px + q ax2 + bx + c 1 dt 1 1 1. Phương pháp: Đặt px q p dx ; x q . Khi đó: t t 2 p t d x d t p t 2 d t E 2 2 2 p x q a x b x c1 a 1 b 1 t t  q q c t p2 t p t 2. Các bài tập mẫu minh họa: x 2 t 1 3 dx 1 t 1 x 3 t 1 • E1 = . Đặt x 1 x ; 2 2 t t 2 x - 1 x - 2 x + 2 dx dt t 2 1 2 3 dx dt t2 Khi đó: E1 2 2 x-1 x 2x 2 1 2 1 t 1 2 t 1 2 t t t 1 dt 1 1 5 2 2 2 l n t t 2 1 l n 1 2 l n ln 2 2 1 2 t 1 1 2 1 5 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 2 3 3 d x d x d x E1 ; E2 ; E3 2 2 2 1 2x 3 x 3 x 1 2 3 x 4 2x 3 x 7 2 x 1 x 1 mx+ n dx VI. Dạng 6: F = px + q ax2 + bx + c 7
  8. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com m mq px q n mx n d x p p 1. Phương pháp: F dx 2 2 px q ax bx c px q ax bx c m d x mq dx m mq F n C n E p ax2 bx c p px q ax2 bx c p p 2. Các bài tập mẫu minh họa: 1 1 1 2x 3 dx dx dx F1 2 2I J 2 2 2 0 x 1 x 2x 2 0 x 2x 2 0 x 1 x 2x 2 1 1 1 dx dx 2 2 5 I l n x 1 x 1 1 l n 2 2 0 0 x 2x 2 0 x 1 1 1 2 x 0 t 1 1 dx 1 x 1 t 1 J . Đặt x 1 2 . Khi đó: 2 t 0 x 1 x 2x 2 dx dt t 2 1 2 dt t2 1 dt 1 2 2 2 J l n t t2 1 l n 2 2 1 t 1 1 2 1 5 1 1 1 2 1 1 2 1 2 t t t 2 5 2 2 2 2 9 4 5 F1 2I + J 2ln l n l n 1 2 1 5 1 2 1 5 1 5 - 3 2 3 2 2x 1 x + 3 dx 2 2 • F2 = dx 2 2 -2 2x + 1 -x - 4x - 3 2 2x 1 x 4x 3 3 2 3 2 1 d x 5 dx 1 5 I J 2 2 2 2 2 2 2 x 4x 3 2 2x 1 x 4x 3 3 2 3 2 dx dx 3 2 I arcsin x 2 2 2 2 6 2 x 4x 3 2 1 x 2 x 2 t 1 3 2 3 dx 1 1 t 3 1 J . Đặt 2x 1 x ; x t 2 t 2t 2 2 2 2x 1 x 4x 3 dt 2 dx t 2 1 2 1 3 d t 2 t 2 d t J 1 2 5 t 2 6 t 1 1 3 1 1 1 2 1 1 3 1 2 t 4 t t 1 3 1 3 1 d t 1 5 t 3 1 2 1 arcsin arcsin arcsin 5 2 2 5 2 5 3 4 1 2 2 t 3 1 2 5 5 8
  9. 5 Vậy F 1 I 5 J arcsin 2 arcsin 1 2 2 2 12 2 3 4 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 1 4x7dx 1 67xdx 1 79xdx F;F;F1 2 3 2 2 2 0 85x3x 4x2 0 2x5x x4 0 4x32x x1 xdx VII. Dạng 7: G = ax2 + b cx 2 + d t2 d t dt 1. Phương pháp: Đặt t cx2 d t 2 cx 2 d x 2 ;xdx c c 1t dt 1 dt 1 Khi đó: GA  2 2 2 c a t2 d c at bc ad c b t c 2. Các bài tập mẫu minh họa: x 0 t 1 1 xdx 2 • G1 = . Đặt t 6 x 1 x 1 t 7 . Khi đó: 2 2 0 5 - 2x 6x + 1 6x dx t dt 7 7 7 1 tdt 1 dt 114t 1 3 4 7 G1 ln ln 6 16 t2 2 42 t 2 2 8 4 t 16 5 4 7 1 t 1 1 3 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 2 2 1 x dx x dx x dx G;G;G1 2 3 2 2 2 2 2 2 1 4x35x 1 5x1173x 0 87x 2x1 dx VIII. Dạng 8: H = ax2 + b cx 2 + d 1. Phương pháp: d td.dt Đặt xt cx2 d xt 2 2 cx 2 d x 2 xdx 2 2 t c t2 c 2 dx xdx td.dt t2 c dt . Khi đó ta có: 2 cx2 d x xt td t2 c t c dx dt dt HA 2 2 2 ad 2 bt ad bc ax b cx d b t c t2 c 2. Các bài tập mẫu minh họa: 9
  10. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 2 3 2 x 3 t dx 2 x 3 3 • H1 = . Đặt xt x 3 t 2 2 x 7 2 x - 2 x + 3 x 2 t 2 3 3t dt và x 2t 2 x2 3 t 2 1 x2 3 x2 x dx 2 2 t 1 t 2 1 2 dx x dx 3t dt t2 1 dt . Khi đó ta có: 2 x2 3 x xt 3t t2 1 t 1 2 3 2 3dt 1 t 2 5 1 2 2 1 5 14 2 5 H 1 l n l n 2t 2 5 2 10 t 2 5 2 10 7 2 7 2 2 2 15 14 2 5 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 2 d x 2 d x 2 x 2 5 H 1 ; H 2 ; H 3 d x 2 2 2 2 2 1 3x 1 5x 2 1 x 3x 2 x 3x 1 1 x 2 mx+ n dx IX. Dạng 9: I = ax 2 + b cx 2 + d x d x d x 1. Phương pháp: I m n m G n H a x 2 b cx 2 d a x 2 b c x 2 d 2. Các bài tập mẫu minh họa: 3 3 4x + 3 dx 4 x 1 7dx • I1 = 2 2 2 2 2 x - 2x - 4 3x - 6 x + 5 2 x 1 5 3 x 1 2 2 2 2 4u 7 du u d u du 4 7 4J 7L 2 2 2 2 2 2 1 u 5 3 u 2 1 u 5 3 u 2 1 u 5 3 u 2 2 udu t 2 2 tdt Xét J . Đặt t 3u2 2 u2 udu 2 2 3 3 1 u 5 3u 2 14 2 udu 14 tdt 14 dt 1 t 17 J l n 2 2 2 t2 17 2 17 t 17 1 u 5 3 u 2 5 t 17 t5 5 1 17 14 17 5 1 17 14 17 5 l n l n l n 2 17 1 7 14 17 5 2 17 17 14 17 5 2 du 2 Xét L . Đặt ut 3u 2 2 u 2t 2 3u2 2 u 2 2 2 2 1 u 5 3u 2 t 3 2 2tdt du udu 2tdt t 2 3 dt udu . Khi đó: 2 2 2 t 2 3 3u2 2 u ut 2t t 3 t 3 10
  11. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 14 2 14 2 2 du dt dt L 2 2 2 2 2 17 5t 1 u 5 3u 2 2 5 t 3 2 t2 3 14 2 1 1 17 t 51 7 0 2 1 7 2 5 1 7  l n l n 5 2 1 7 17 t 52 8 5 2 7 0 2 1 7 2 5 1 7 4 1 7 1 4 1 7 5 7 7 0 2 1 7 2 5 1 7 I1 4 J 7 L l n l n 2 1 7 1 7 1 4 1 7 5 2 8 5 7 0 2 1 7 2 5 1 7 6 -1 2x + 1 dx 6 1 2 x 1 1 dx • I2 = 2 2 2 2 2 -1 x + 2x + 6 2x + 4x - 1 2 1 x 1 5 2 x 1 3 6 6 6 2u 1 d u u d u d u 2 2J L 2 2 2 2 2 2 2 u 5 2 u 3 2 u 5 2 u 3 2 u 5 2u 3 6 udu t 2 3 tdt Xét J . Đặt t 2u 2 3 u2 udu 2 2 2 2 2 u 5 2u 3 6 3 3 u d u t dt d t 2 3 1 J a r c t g a r c t g 2 2 2 2 2 u 5 2u 3 1 t 1 3 t1 t 1 3 1 3 1 3 1 3 6 du 3 Xét L . Đặt ut 2u2 3 u2t2 2u2 3 u2 2 2 2 t 2 2 u 5 2u 3 2 3tdt du udu 3tdt 2 t2 dt udu . Khi đó: 2 2 2 2 t 2 2u2 3 u u t 3t 2 t 2 t 3 6 3 6 3 6 6 d u d t d t 1 d t L 2 2 2 u 5 2u 3 3 2 1 3 5t 5 1 3 2 2 1 2 5 2 t 1 2 1 2 t 2 t2 5 3 6 1 1 13 5 t 1 78 3 5 2 6 5  ln l n l n 5 2 13 5 13 5 t 2 65 78 3 5 26 5 1 2 4 3 1 1 78 3 5 26 5 I2 2J L arctg arctg l n 13 13 13 2 65 78 3 5 26 5 BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC 11
  12. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com Các bài tập mẫu minh họa: d x 1 x 5 x 2 1 1 1 1 x 2 • A = d x d x l n c 1 x 2 x + 5 7 x 2 x 5 7 x 5 x 5 7 x 5 d x 1 x 4 x 5 A = d x 2 x 5 x+2 x+4 9 x 5 x 2 x 4 1 1 1 1 x 2 x 5 1 x 4 x 2 d x d x d x 9 x 5 x 2 x 2 x 4 6 3 x 5 x 2 1 8 x 2 x 4 1 1 1 1 1 1 1 x 5 1 x 4 d x d x l n l n c 6 3 x 5 x 2 1 8 x 4 x 2 6 3 x 2 1 8 x 2 II. DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC 1. Các bài tập mẫu minh họa: dx dx 1 x2 x2 3 1 xdx d x B1 = dx x 3 3x x x2 3 3 x x2 3 3 x2 3 x 2 2 1 1 d x 3 dx 1 12 1 x 3 l n x 3 l n x c l n c 3 2 x2 3 x 3 2 6 x2 d x d x 1 x4 x4 1 0 1 x d x d x • B2 = d x x7 1 0 x 3 x3 x4 1 0 1 0 x3 x4 1 0 1 0 x4 1 0 x3 1 1 d x2 dx 1 1 x2 10 1 l n c 10 2 2 2 3 20 2 2 x 10 x 10 x 10 x 2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: d x d x d x d x d x B ; B ; B ; B ; B 1 x3 5x 2 x9 7x4 3 x11 8x5 4 x6 9x 5 x7 1 3 x d x d x d x B ; B ; B 6 x3 6x2 1 9 x 2 2 7 x3 3 x 2 1 4 x 1 2 8 x4 4 x 3 6x2 7x 4 III. DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4 d x d x 1 x2 1 x2 1 1 x 11 C1 = d x l n a r c t g x c x4 1 x2 1 x2 1 2 x2 1 x2 1 4 x 12 2 2 x d x 1 d x 1 1 1 2 1 x 1 C2 = d x l n c x4 1 2 x2 1 x2 1 4 x2 1 x2 1 4 x2 1 x 2 dx 1 x 2 1 x 2 1 1 1 1 C 3 = dx dx x 4 1 2 x 2 1 x 2 1 2 x 2 1 x 2 1 1 dx 1 dx 1 x 1 1 ln arctgx c 2 x 2 1 2 x 2 1 4 x 1 2 12
  13. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com x3 dx 1 d x4 1 1 • C = ln x 4 1 c 4 x4 1 4 x4 1 4 x4 d x x4 1 1 d x 1 x 11 C5 = d x d x x C1 x l n a r c t g x c x4 1 x4 1 x4 1 4 x 12 xdx 1 d x2 1 C = arctg x2 c 6 4 2 x + 1 2 x2 1 2 x3 dx 1 d x4 1 1 C = l n x4 1 c 7 x4 + 1 4 x 4 1 4 1 1 1 2 1 d x x 2 x 1 x2 x 1 x C = d x d x l n c 8 4 2 x + 1 2 1 2 2 21 x x 1 2 x 2 x2 x x 1 1 2 1 d x 2 x + 1 x2 x 1 x 1 • C9 = dx dx arctg c x4 + 1 2 1 2 2 2 x 2 x x 1 2 x2 x dx 1 x 2 1 x2 1 1 x2 1 x2 1 C10 = dx dx dx x4 + 1 2 x4 1 2 x4 1 x4 1 1 1 1 x2 1 1 x 2 x 2 1 C C arctg l n c 9 8 2 2 2 2 x 2 2 2x x 2 1 x2 dx 1 x2 1 x2 1 1 x2 1 x2 1 C11 = dx dx dx x4 + 1 2 x4 1 2 x4 1 x4 1 1 1 1 x2 1 1 x2 x 2 1 C C arctg ln c 9 8 2 2 2 2 x 2 2 2x x 2 1 x4 d x x4 1 1 1 1 x2 1 1 x2 x 2 1 C = d x x a r c t g l n c 12 4 4 2 x + 1 x 1 2 2 x 2 2 2x x 2 1 1 1 2 1 d x d x x -1 d x x2 x C = 13 4 3 2 2 x 5 x 4 x 5 x + 1 2 1 1 x 5 x 4 x 1 5 x 1 6 x2 x x x d u d u 1 1 1 1 x2 6 x 1 d u l n c u2 5 u 6 u 6 u 1 7 u 6 u 1 7 x2 x 1 d x 1 x2 1 x2 1 1 x2 1 x2 1 • C1 4 = d x d x d x x4 + x2 + 1 2 x4 x2 1 2 x4 x2 1 x4 x2 1 13
  14. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 1 1 1 dx 1 dx d x 1 d x 1 1 x2 x2 1 x x 2 2 2 2 1 2 1 4 x 1 x 1 x 1 3 x 1 1 x2 x2 x x 1 1 1 x 1 x 1 1 x2 1 1 x2 x 1 arctg x l n x c arctg l n c 2 2 3 3 4 x 1 1 2 3 x 34 x x 1 x IV. DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 dx dx d x 1 • D = 1 3 2 2 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3 dt 1 t2 3t 3 t 2 3t 1 dt t 3 dt dt t t2 3t 3 3 t t2 3t 3 3 t t2 3t 3 1 d t 1 2t 3 d t 3 d t 1 x2 2x 11 2x 1 l n a r c t g c 3 t 2 t2 3 t 3 2 t2 3 t 3 6 x2 x 12 3 3 dx dx d x 1 • D = 2 3 2 2 x + 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3 dt 1 t2 3t 3 t 2 3t 1 dt t 3 dt dt t t2 3t 3 3 t t2 3t 3 3 t t2 3t 3 1 dt 1 d t2 3t 3 3 dt 2 2 3 t 2 t 3 t 3 2 3 3 t 2 4 1 1t2 2t 3 1 x2 2x 11 2x 1 l n 2 3 a r c t g c l n 2 arctg c 3 2t 3t 3 3 6 x x 1 2 3 3 2 xdx xdx 1 x 2 x 1 x 1 • D3 = dx x3 1 x 1 x2 x 1 3 x 1 x2 x 1 1 1 x 1 1 d x 1 2x 1 d x 3 d x dx 2 2 3 x 1 2 3 x 1 2 2 2 x x 1 x x 11 3 x 2 2 1 1 2 2x 1 l n x 1 l n x x 1 3 a r c t g c 3 2 3 2 xdx xdx 1 x2 x 1 x 1 • D4 = dx x 3 + 1 x 1 x2 x 1 3 x 1 x2 x 1 1 1 x 1 1 d x 1 2x 1 d x 3 d x d x 2 2 2 3 x 1 3 x 1 2 2 2 x x 1 x x 11 3 x 2 2 14
  15. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 1 1 2 x 1 1 x2 2 x 11 2 x 1 l n x 1 l n x2 x 1 3 a r c t g c l n a r c t g c 2 3 2 3 6 x x 13 3 V. DẠNG 5: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6 dx dx 1 dx dx 1 • E = D D 1 6 3 3 1 2 x 1 x3 1 x3 1 2 x 1 x 1 2 1 1 x2 2x 11 2x 1 1 x2 2x 11 2x 1 l n a r c t g l n a r c t g 2 2 2 6 x x 12 3 3 6 x x 12 3 3 1 x2 2x 1 x2 x 1 1 2x 1 2x 1 l n a r c t g a r c t g c 1 2 x2 2x 1 x2 x 1 4 3 3 3 xdx 1 d x2 1 d u 1 • E = D 2 6 3 3 1 x 1 2 x2 1 2 u 1 2 1 1u2 2 u 11 2 u 1 1 x4 2 x 2 1 1 2 x 2 1 l n a r c t g c l n a r c t g c 2 4 2 2 6u u 12 3 3 1 2 x x 1 2 3 3 x 2 dx 1 d x3 1 1x3 1 1 x3 1 E =  l n c l n c 3 x6 1 3 x6 1 3 2x3 1 6 x3 1 x 3dx 1 x2d x2 1 udu 1 udu • E4 = x6 1 2 x6 1 2 u3 1 2 u 1 u2 u 1 1 u 1 2 1 2u 1 1 x4 2x2 1 1 2x2 1 l n a r c t g c l n a r c t g c 1 2 u2 u 12 3 3 1 2 x4 x2 1 2 3 3 x4 d x x4 x2 1 x2 1 2 d x d x d x E5 = d x 2 x6 1 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x4 x2 1 x6 1 1 x2 2x 1 x2 x 1 1 2x 1 2x 1 x2 1 l n a r c t g a r c t g a r c t g c 1 2 x2 2x 1 x2 x 1 2 3 3 3 x 3 x5 dx 1 d x6 1 • E = l n x6 1 c 6 x6 1 6 x6 1 6 x6 dx x6 1 1 dx • E = dx dx x E 7 x6 1 x6 1 x6 1 1 1 x2 2x 1 x 2 x 1 1 2x 1 2x 1 x l n arctg arctg c 12 x2 2x 1 x 2 x 1 4 3 3 3 1 4 2 2 2 1 dx x 1 x 1 x 1 dx x 1 dx x2 • E8 = 6 dx 4 2 x + 1 x2 1 x4 x2 1 x x 1 2 1 x 1 x2 15
  16. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 1 1 d x 1 x 3 1 x 2 x 3 1 x ln x c l n c 2 2 1 2 x 1 3 2 3x 3 2 3x x 3 1 x x x4 + 1 x4 x2 1 x2 dx x 2d x • E9 = dx dx x6 + 1 x2 1 x 4 x2 1 x2 1 x6 1 dx 1 d x3 1 arctgx arctg x3 c x2 1 3 x6 1 3 dx 1 x 4 1 x4 1 1 E = dx E E 10 x6 + 1 2 x6 1 2 9 8 1 1 1 x2 x 3 1 arctgx arctg x3 l n c 2 2 3 2 3x x 3 1 2 3 2 3 x + x 1 d x 1 d x 1 d x 1 2 • E = d x D (thay x vào D2) 11 x6 + 1 3 x6 1 2 x6 1 3 x6 1 2 2 1 1 1x 4 2x2 1 1 2x2 1 3 arctg x l n 4 2 arctg c 3 2 6x x 1 2 3 3 VI. DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR • Đa thức Pn(x) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x a là: n P a P a 2 P a n P x P a n x a n x a   n x a n n 1 ! 2! n! 1. Các bài tập mẫu minh họa: 4 3 3x 5x + 7x 8 4 3 • F1 = dx . Đặt P4 x 3x 5x 7x 8 x + 2 50 3 4 P 2 P 2 2 P 2 3 P 2 4 P x P 2 4 x 2 4 x 2 4 x 2 4 x 2 4 4 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 2 3 4 P4 x 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 66 1 4 9 x 2 4 8 x 2 2 2 9 x 2 3 3 x 2 4 F1 d x x 2 50 50 49 48 47 46 6 6 x 2 1 4 9 x 2 4 8 x 2 2 9 x 2 3 x 2 d x 6 6 149 4 8 2 9 3 c 49 48 47 46 45 4 9 x 2 48 x 2 4 7 x 2 4 6 x 2 45 x 2 VII. DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO 1. Các bài tập mẫu minh họa: 16
  17. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com d x dx 1 3x9 9 5 3x9 9 1 d x 3x9 8 dx • G1 = dx 3x1 0 0 + 5 x x 3x9 9 5 5 x 3x9 9 5 5 x 3x9 9 5 1 d x 1 d 3 x 99 5 1 1 1 x99 l n x l n 3 x 99 5 c l n c 99 9 9 5 x 9 9 3 x 5 5 9 9 4 9 5 3 x 5 d x 1 2 x 5 0 7 2 x 5 0 1 d x 2 x 4 9 d x G = d x 2 2 2 2 50 7 5 0 7 50 5 0 x 2 x +7 x 2x 7 x 2 x 7 2 x 7 1 1 2 x 50 7 2 x 5 0 2 x 49 d x 1 d x 2 x 4 9 d x 1 2 x 49 d x d x 2 5 0 2 7 7 5 0 5 0 4 9 x 7 5 0 x 2 x 7 2x 7 2x 7 2x 7 1 d x 1 d 2 x 5 0 7 1 d 2 x 50 7 5 0 2 4 9 x 5 0 2x 7 3 5 0 2 x 50 7 1 1 1 1 x50 1 l n x l n 2 x 5 0 7 l n c 4 9 4 9 . 5 0 3 5 0 2x5 0 7 4 9 . 5 0 2 x 50 7 3 5 0 2 x 50 7 dx 1 ax n b ax n 1 dx 1 d ax n b G = d x 3 k k k 1 k x axn + b b x axn b b x ax n b nb ax n b 1 dx 1 d ax n b 1 d ax n b   2 k 2 2 k 1 k b x ax n b nb ax n b nb ax n b 1 1 1 1 1 ln x    ln axn b c k k 1 k b n n b k 1 axn b b b k 1 ax b 1 x n 1 1 1 ln    c k n k 1 n n k 1 n nb ax b b k 1 ax b b ax b 1 x 2000 dx 1 x 2000 2x2000 dx 2x1999dx G = dx 4 2000 2000 2000 x 1 + x x 1 x x 1 x dx 1 d 1 x 2000 1 x 1000 ln x ln1 x 2000 c ln c x 1000 1 x 2000 1000 1 x 2000 19 10 9 10 10 10 x dx 1 x .10x dx 1 x d x 1 x 3 3 10 G5 = = d x 3 10 2 10 10 2 10 10 2 10 10 2 3 + x 3 x 3 x 3 x 1 d x10 3 d x10 3 1 3 3 ln 3 x10 c 10 10 10 2 10 10 3 x 3 x 10 3 x 99 50 49 50 x dx x .x dx 1 2x 3 3 50 G = d 2x 3 6 7 7 7 2x50 3 2x50 3 200 2x50 3 1 d 2x50 3 d 2x50 3 1 1 1 3 c 6 7 5 6 200 50 50 200 50 50 2x 3 2x 3 5 2x 3 2 2x 3 1 2 2x50 3 5 1 4x50  c c 6 6 200 10 2x50 3 2000 2x50 3 17
  18. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com x2n-1dx xn xn 1dx 1 ax n b b • G = d ax n b 7 k k 2 k a x n + b ax n b na ax n b 1 d a x n b d a x n b 1 1 b b c 2 k 1 k 2 k 2 k 1 n a a x n b a x n b n a k 2 a x n b k 1 a x n b 1 b k 2 k 1 ax n b kaxn b  c c 2 k 1 k 1 na k 1 k 2 ax n b na2 k 1 k 2 ax n b 2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 5 xdx x x dx xdx dx G1 ; G 2 d x ; G3 ; G4 ; G5 x8 1 x8 1 x8 1 x8 1 x8 1 VIII. DẠNG 8: KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC 10 10 3x 5 3x 5 dx • H1 = 12 dx 2 x + 2 x 2 x 2 10 11 1 3x 5 3x 5 1 3x 5 d c 11 x 2 x 2 121 x 2 99 99 99 7x 1 7x 1 dx 1 7x 1 7x 1 • H2 = 101 dx 2 d 2x + 1 2x 1 2x 1 9 2x 1 2x 1 100 100 1 1 7x 1 1 7x 1  c c 9 100 2x 1 900 2x 1 dx dx 1 1 dx • H =   3 5 3 5 5 6 2 8 x + 3 x + 5 x 3 x 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x 5 6 1 1 x 3 x 5 x 3 1 1 6  d  u 1 du 27 x 3 5 x 5 x 5 27 u5 x 5 1 u6 6u5 1 5 u 4 20u3 15u2 6u 1 du 27 u5 1 15 20 15 6 1 u 6 du 27 u u2 u3 u4 u5 2 1 u 20 15 2 1 6u 15ln u c 27 2 u 2u2 u3 4u4 1 1 x 3 2 x 3 x 3 6 15ln 27 2 x 5 x 5 x 5 2 3 4 1 x 5 15 x 5 x 5 1 x 5 20 2 c 27 x 3 2 x 3 x 3 4 x 3 18
  19. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: d x d x d x • H1 = ; H2 = ; H3 = 3 x 2 7 3 x + 4 3 2 x 1 3 3 x -1 4 3 x + 2 5 4 x -1 4 BÀI 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG 1. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON n 0 n 1 n 1 k n k k n 1 n 1 n n a b Cn a Cn a b Cn a b Cn ab Cn b k n! trong đó C và m! 1.2 m 1 m với qui ước 0! 1 n k! n k ! 2. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC 1 1 cos ax b dx s i n ax b c sin ax b dx cos ax b c a a dx 1 dx 1 t g ax b c cotg ax b c cos 2 a x b a s i n 2 ax b a B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN n n I. Dạng 1: A = sinx dx ; A cosx dx 1.1 1.2 1. Công thức hạ bậc 1 c o s 2x 1 c o s 2x s i n 3x 3s i n x c o s 3x 3c o s x s i n 2 x ;cos2 x ; s i n 3 x ;cos3 x 2 2 4 4 2. Phương pháp 2.1. Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc 2.2. Nếu n 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo 2.3. 2.3. Nếu 3 n lẻ (n 2p 1) thì thực hiện biến đổi: n 2p+1 2 p p A = sinx dx = si n x d x si n x sinxdx 1 c o s 2 x d c o s x 1.1 k p 0 1 2 k k 2 p p 2 C C cos x 1 C cos x 1 C cos x d cosx p p p p k p 0 1 1 3 1 k 2k 1 1 p 2p 1 C p cosx C p cos x C p cosx C p cosx c 3 2k 1 2p 1 n 2p+1 2 p p A = cosx d x = cosx dx cos x cos xdx 1 si n 2 x d sinx 1.2 19
  20. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com k p C 0 C1 sin2 x 1 k C k sin2 x 1 p C p sin2 x d sinx p p p p k p 0 1 1 3 1 k 2k 1 1 p 2p 1 C p sinx C p sin x C p sinx C p sinx c 3 2k 1 2p 1 3 3 6 2 1 cos 2x • A = cos xdx = cos x d x dx 1 2 1 3 1 1 cos 2x dx 1 3cos2x 3cos2 2x cos 3 2x dx 4 4 1 3 1 2cos4x cos 3x 3cosx 1 3cos2x dx 4 2 4 1 1 7x 6sin2x 3sin4x sin 3x 3sinx c 16 3 9 8 1 4 • A = sin5x dx s i n 5x sin5x dx 1 cos 2 5x d cos 5x 2 5 1 2 4 6 8 1 4cos5x 6cos5x 4cos5x cos 5xd cos 5x 5 1 4 3 6 5 4 7 1 9 cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x c 5 3 5 7 9 II. Dạng 2: B = sinm x cosn x d x (m, n N) 1. Phương pháp: 1.1. Trường hợp 1: m, n là các số nguyên a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng. b. Nếu m chẵn, n lẻ (n 2p 1) thì biến đổi: p B = s i n x m c o s x 2 p + 1 d x s i n x m c o s x 2p c o s x d x s i n x m 1 s i n 2 x d s i n x m 0 1 2 k k 2 k p p 2 p s i n x C C s i n x 1 C s i n x 1 C s i n x d s i n x p p p p m 1 m 3 2k 1 m 2p 1 m 0 s i n x 1 s i n x k k s i n x p p s i n x Cp Cp 1 Cp 1 Cp c m 1 m 3 2k 1 m 2p 1 m c. Nếu m chẵn, n lẻ (n 2p 1) thì biến đổi: p B = s i n x 2 p + 1 c o s x n d x c o s x n s i n x 2p s i n x d x c o s x n 1 c o s 2 x d c o s x k p n 0 1 2 k k 2 p p 2 c o s x C C c o s x 1 C c o s x 1 C c o s x d c o s x p p p p n 1 n 3 2k 1 n 2p 1 n 0 c o s x 1 c o s x k k c o s x p p c o s x Cp Cp 1 Cp 1 Cp c n 1 n 3 2 k 1 n 2 p 1 n d. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn. 1.2. Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u sinx ta có: 20
  21. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com n 1 m 1 m B sinm x cos n xdx sin x cos 2 x 2 cos xdx u m 1 u2 2 du (*) m 1 n 1 m k • Tích phân (*) tính được 1 trong 3 số ; ; là số nguyên 2 2 2 2. Các bài tập mẫu minh họa 2 4 1 2 2 • B = sinx cosx dx sin2x cos x dx 1 4 1 1 1 cos 4x 1 cos 2x dx 1 cos2x cos 4x cos 2xcos 4x dx 16 16 1 1 1 cos 2x cos 4x cos 6x cos 2x d x 16 2 1 1 sin 2x sin 4x sin 6x 2 cos 2x 2cos4x cos 6x dx 2x c 32 32 2 2 6 9 11 1 111 8 • B = sin5x cos5x dx cos 5x s i n 5x sin5x dx 2 1 111 4 cos5x 1 cos 2 5x d cos 5x 5 1 11 1 cos 5x 1 4cos2 5x 6cos4 5x 4cos6 5x cos 8 5x d cos 5x 5 1 cos 5x 112 4 cos5x 114 6 cos 5x 116 4 cos 5x 118 cos 5x 120 c 5 112 114 116 118 120 7 4 4 3 s i n 3 x 6 1 2 5 5 • B3 = d x c o s 3 x s i n 3 x s i n 3 x d x c o s 3 x 1 c o s 3x d c o s 3 x 5 c o s 4 3 x 3 4 1 2 4 6 cos 3x 5 1 3cos3x 3cos3x cos 3x d cos 3x 3 1 1 15 11 15 21 5 31 5 cos 3x 5 cos3x 5 cos 3x 5 cos 3x 5 c 3 11 21 31 3 dx d x 1 1 dx • B = 4 3 5 3 3 2 2 8 tg x cos x cos x sinx cosx sin x cos x cos x 3 2 1 tg x 1 3tg2 x 3tg4 x tg6 x d tg x d tgx 3 3 tg x t g x 3 3 3 1 3 2 1 4 t g x 3tgx t g x d t g x 3lnt g x t g x t g x c t g x 2tg2 x 2 4 4 4 • dx cos xdx d sin x 1 sin x sin x B5 = d sin x sin4 xcosx sin4 x cos2 x sin4 x 1 sin2 x sin4 x 1 sin2 x 1 sin2 x d sinx 1 1 1 1 sinx d sinx ln c sin4 x 1 sin2 x3 sinx 3 sinx 2 1 sinx 21
  22. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com dx 5 1 5 4 3 3 3 3 • B6 = sin x cos x dx sin x cos x cos x dx 3 sin5 xcosx 2 5 2 5 4 2 3 3 2 3 3 1 u sin x 3 cos x 3 d s i n x u 1 u du u du 2 u 1 3 1 3 2 2 2 2 1 u3 3 2 1 u cos x Đặt v 2u du 3v dv ; v tgx 3 2 2 2 u u s i n x 2 2 3 2 3 1 u 3 3 3 B u du dv v c tgx 3 c 6 2 u 2 2 2 1 dx 5 3 2 3 3 Cách 2: B7  tgx d tgx tgx c 5 2 2 3 sin x cos x cos x n n III. Dạng 3: C = tg x dx ; C = cotg x dx (n N) 3 . 1 3 . 2 1. Công thức sử dụng dx • 1 tg2 x dx d tg x tg x c cos 2 x dx • 1 cotg 2 x dx d cotg x cotg x c sin2 x s i n x d cos x • t g xdx dx ln cos x c cos x cosx cos x d sin x • cotg xdx dx ln s i n x c sin x sin x 2. Các bài tập mẫu minh họa 2 k 2k 2 2k 4 2k 6 • C = t g x d x t g x 1 t g 2 x t g x 1 t g 2 x t g x 1 t g 2 x 1 2k 8 2 k 1 0 2 k t g x 1 t g x 1 t g x 1 t g x 1 d x 2k 2 2k 4 2k 6 k 1 0 k tgx tgx tgx 1 tgx d tgx 1 d x 2k 1 2k 3 2k 5 tgx tgx t g x k 1t g x k  1 1 x c 2k 1 2k 3 2k 51 2k + 1 2k 1 2k 3 • C = tgx dx tg x 1 tg2 x tg x 1 tg2 x 2 2k 5 2 k 1 2 k tg x 1 tg x 1 tg x 1 tg x 1 tgx dx 2k 1 2k 3 2k 5 k 1 k tgx t g x t g x 1 tgx d t g x 1 t g xdx 2k 2k 2 2k 4 2 tgx tgx tgx k 1 t g x k  1 1 l n cos x c 2k 2k 2 2k 42 22
  23. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 2k 2k 2 2k 4 • C = cotgx dx cotg x 1 co tg2 x cotg x 1 co tg2 x 3 2k 6 2 k 1 0 2 k cotg x 1 c o tg x 1 c o t g x 1 c o tg x 1 d x 2k 2 2k 4 k 1 0 k cotg x cotg x 1 cotg x d cotg x 1 d x 2k 1 2k 3 2k 5 cotg x cotg x cotg x k 1cotg x k  1 1 x c 2k 1 2k 3 2k 5 1 2k+1 2k 1 2k 3 • C = cotgx dx cotg x 1 co tg2 x cotg x 1 co tg2 x 4 2k 5 2 k 1 1 2 k c o t g x 1 c o tg x 1 c o t g x 1 c o tg x 1 c o t g x d x 2k 1 2k 3 k 1 k cotg x cotg x 1 c o t g x d cotg x 1 cotg x dx 2k 2k 2 2 cotg x cotg x k 1 cotg x k  1 1 l n s i n x c 2k 2k 2 2 5 5 4 3 2 • C = t g x + cotgx dx t g x 5 tg x cotg x 10 t g x cotg x 5 2 3 4 5 10 tgx cotg x 5tgx cotg x cotg x dx 5 5 3 3 tgx cotg x 5 tg x 5 cotg x 10 tg x 10cotg x dx 5 3 5 3 tgx 5 tg x 10 tgx dx cotg x 5 cotg x 10cotg x dx 3 2 2 t g x 1 t g x 4tgx 1 t g x 6tgx d x 3 2 2 c o t g x 1 c o t g x 4cotgx 1 c o t g x 6cotgx d x 3 3 t g x 4tgx d t g x 6 t g x d x c o t g x 4cotgx d c o t g x 6 c o t g x d x t g x 4 c o t g x 4 2tg2 x 6lnc o s x 2cotg2 x 6lns i n x c 4 4 tg x m cotg x m IV. Dạng 4: D 4 . 1 = dx ; D4 . 2 = dx cos x n sin x n tg x m 1. Phương pháp: Xét đại diện D4.1 dx cos x n 1.1. Nếu n chẵn (n 2k) thì biến đổi: m k 1 t g x m 1 dx m 2 k 1 D4.1 = dx tg x tg x 1 tg x d tg x cosx 2k cos 2 x cos 2 x 23
  24. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 1 p k 1 tgx m C0 C1 t g 2 x Cp tg2 x Ck 1 t g 2 x d tgx k 1 k 1 k 1 k 1 t g x m 1 tgx m 3 tgx m 2p 1 tgx m 2k 1 C0 C1 Cp Ck 1 c k 1m 1 k 1m 3 k 1m 2p 1 k 1m 2k 1 1.2. Nếu m lẻ, n lẻ (m 2k 1, n 2h 1) thì biến đổi: 2k + 1 2h 2h t g x 2k 1 t g x 2 k 1 s i n x D4 .1 = d x t g x d x t g x d x c o s x 2h+ 1 c o s x c o s x c o s x c o s 2 x k 2h k 1 1 1 2 2h 1 1 d u 1 u du (ở đây u ) cos 2 x cos x cosx cosx k k 1 p k p k u 2h C0 u2 C1 u 2 1 Cp u2 1 Ck du k k k k 2k 2h 1 2k 2h 1 2k 2h 2p 1 2h 1 u u p u k u C0 C1 1 Cp 1 Ck c k 2 k 2 h 1 k 2 k 2 h 1 k 2 k 2 h 2 p 1 k 2 h 1 1.3. Nếu m chẵn, n lẻ (m 2k, n 2h 1) thì sử dụng biến đổi: 2k tgx s i n x 2k cos x s i n x 2k D d x dx d sin x ; u sinx 4. 1 2h 1 2 k h 1 k h 1 cos x cos x 1 s i n 2 x 2k 2k 2 2 2k 2 2k 2 u du u 1 1 u u d u u d u D du 4. 1 k h 1 k h 1 k h 1 k h 1 u2 1 u2 1 u2 1 u2 Hệ thức trên là hệ thức truy hồi, kết hợp với bài tích phân hàm phân thức hữu tỉ ta có thể tính được D4.1. 2. Các bài tập mẫu minh họa: 7 2 t g3x 7 1 d x 1 7 2 • D = d x t g 3 x t g 3x 1 t g 2 3x d t g 3x 1 6 2 2 c o s 3 x c o s 3 x c o s 3 x 3 8 1 0 1 2 1 7 2 4 1 t g 3 x t g 3 x t g 3 x t g 3 x 1 2 t g 3 x t g 3 x d t g 3 x 2 c 3 3 8 1 0 1 2 10 3 cotg5x 10 1 dx • D = dx cotg5x 2 8 2 2 sin5x sin5x sin5x 1 10 2 3 cotg 5x 1 cotg 5x d cotg 5x 5 11 13 15 17 1 cotg 5x cotg 5x cotg 5x cotg 5x 3 3 c 5 11 13 15 17 7 94 tg4x 6 1 tg 4x • D3 = dx t g 4x dx cos4x 95 cos 4x cos 4x 24
  25. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 3 94 1 1 1 1 1 94 2 3 1 d u u 1 du 2 4 cos4x cos 4x cos 4x 4 10 1 99 97 95 1 94 6 4 2 1 u u u u u u 3 u 3 u 1 du 3 3 c 4 4 101 9 9 97 95 1 1 1 3 1 c 10 1 99 97 95 4 101 cos 4x 33 cos 4x 97 cos 4x 95 cos 4x 9 40 cotg3x 8 1 cotg 3x • D4 = dx cotg3x dx s i n 3 x 41 sin3x s i n 3x 4 40 4 1 1 1 1 1 40 2 1 d u u 1 du 3 sin2 x sin3x sin3x 3 4 49 47 45 43 41 1 40 8 6 4 2 1 u u u u u u u 4u 6u 4u 1 du 4 6 4 c 3 3 49 47 45 43 41 1 1 4 2 4 1 c 49 47 45 43 41 3 49 s i n 3 x 47 sin 3x 15 sin 3x 43 sin 3x 41 si n 3 x tgx 2 dx 2 2 • sinx cosxdx sinx D 5 =  d sinx cosx cosx 2 cosx 2 1 sin2 x 2 2 1 sin x 1 sin x 1 1 d s i n x d s i n x 1 sin x 1 sin x 1 sin x 1 sin x 1 1 2 1 1 1 s i n x d s i n x l n c 2 2 2 1 s i n x 1 s i n x 1 s i n x 1 s i n x 1 s i n x 1 s i n x 4 tgx sin x 4 cos xdx sin x 4 • D = dx  d sin x 6 4 2 3 cosx cos x cos x 1 sin2 x u4du 1 1 u4 du 1 u2 du du I I 3 3 3 2 2 1 1 u2 1 u2 1 u 2 1 u2 1 2 1 du 1 2 d u 1 u du u u 1 u I1 c c 2 2 2 2 2 1 u 1 1 u 1 1 u u u u u u 3 3 du 1 1 u 1 u 1 1 1 I2 du d u 2 3 1 u 8 1 u 1 u 8 1 u 1 u 1 1 1 3 1 1 d u 3 3 2 8 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 2 2 1 1 1 du 1 1 u 1 u 1 u 2 1 u2 2 2 6 2 2 3 2 du 2 2 2 8 2 1 u 2 1 u 1 u 8 2 1 u 1 u u 3 1 u 2 du 3 du u 3 3 1 u I ln c 2 2 2 2 1 4 1 u 2 8 1 u2 8 1 u4 1 u2 8 16 1 u 25
  26. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com u 3 3 1 u D I I I l n I 6 2 1 2 1 1 4 1 u2 8 16 1 u u 5 u 3 1 u2u 5u 1 u2 3 1 u 2  2 l n c 2 l n c 4 1 u2 8 1 u 16 1 u8 1 u2 1 6 1 u 5u3 3 u 3 1 u5 s i n x 3 3sinx 3 1 sin x l n c l n c 2 4 8 1 u2 1 6 1 u8 cos x 16 1 sin x 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: t g 6x 20 c o t g 3 x 11 t g x 4 c o t g 2x 6 D1 d x ; D2 d x ; D3 d x ; D4 d x c o s 6x 8 s i n 3 x 2 1 c o s x 3 c o s 2x 5 V. Dạng 5: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng 1. Phương pháp: E cosmx cos nx dx 1 cos m n x cos m n xdx 5.1 2 E sinmx s i n n x dx 1 cos m n x cos m n xdx 5.2 2 E sinmx cos nx d x 1 sin m n x sin m n xd x 5.3 2 E cos mx sinnx dx 1 sin m n x sin m n xdx 5.4 2 2. Các bài tập mẫu minh họa: 1 • E = cos2x .cos5x .cos9x dx cos 2x cos 14x cos 4x 1 2 1 1 s i n 1 6 x s i n 1 2 x s i n 6 x s i n 2 x  c o s 1 6 x c o s 1 2 x c o s 6 x c o s 2 x d x c 4 4 1 6 1 2 6 2 3 3cos x cos 3x • E = cosx sin8x dx sin8x dx 2 4 1 1 3 1 3cosx s i n 8 x c o s 3 x s i n 8 x d x s i n 9 x s i n 7x s i n 1 1x s i n 5 x d x 4 4 2 2 1 3 3 1 1 c o s 9 x c o s 7x c o s 1 1 x c o s 5 x c 8 9 7 1 1 5 4 1 2 • E = sinx sin3x cos10x dx 1 cos 2x sin13x sin7x dx 3 8 26
  27. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 1 1 2cos2x cos 2 2x s i n 1 3 x s i n 7x dx 8 1 1 cos4x 1 2cos2x sin13x sin 7x dx 8 2 1 3 4cos2x cos 4x sin13x sin7x dx 16 1 3 s i n 1 3 x s i n 7 x 4cos2x s i n 1 3 x s i n 7 x c o s 4 x s i n 1 3 x s i n 7 x d x 1 6 1 3 s i n 1 3 x s i n 7 x 2 s i n 1 5 x s i n 1 1x s i n 9 x s i n 5 x 1 6 1 s i n 1 7 x s i n 9 x s i n 1 1 x s i n 3 x d x 2 1 s i n 1 7 x 4 s i n 1 5 x 6sin13x 3 s i n 1 1 x 3 s i n 9 x 6sin7x 4 s i n 5 x s i n 3 x d x 3 2 1 c o s 1 7 x 4cos15x 6cos13x 3 c o s 1 1x c o s 9 x 6cos7x 4cos5x c o s 3 x c 3 2 1 7 1 5 1 3 1 1 3 7 5 3 5 3 2 • E = cosx s i n 5 x dx cosx cosx sin5 x dx 4 cos 3x 3cosx 1 cos 2x  sin5xdx 4 2 1  cos 3 x 3cosx s i n 5x cos 3x 3cosx cos 2xsin5xdx 8 1 sin 7x sin3x cos3x 3cosx sin5x cos 3x 3cosx dx 8 2 1 2sin5x cos 3 x 3cosx cos 3x 3cosx s i n 7x sin3x dx 16 1 2 s i n 8x sin 2x 6 sin 6x s i n 4x sin10x sin 4x 32 3 sin8x sin6x sin 6x 3 sin 4x sin 2x dx 1 s i n 1 0 x 5sin8x 1 0 s i n 6x 10sin 4x 5sin2x dx 32 1 cos 10 x 5cos8x5cos6x 5cos4x 5cos2x c 32 10 8 3 2 2 sin3x sin4x sin3x sin 4x sin3x sin 4x • E = dx dx dx 5 tgx + cotg2x sin x cos 2x cos 2x x cos x sin 2xcosx .sin2 x 27
  28. Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com 1 sin2x sin3x sin4x dx cos2x cos6x sin3xdx 2 1 1 c o s 5 x c o s x cos9x c o s 3 x  s i n 5 x s i n x s i n 9 x s i n 3 x d x c 4 4 5 1 9 3 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 5 4 3 5 2 sin8x dx E sin3x cos 2x dx ; E sin x cos 5x d x ; E 1 2 3 2 tg3x tg5x Tài liệu được chia sẻ bởi thành viên cộng đồng học tập trực tuyến CungHocTap.Com 28