Chuyên đề Nguyên hàm

Nội dung text: Chuyên đề Nguyên hàm

1. Nguyên hàm
2. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt NGUYÊN HÀM VẤN ĐỀ 1: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA: ĐN1: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a; b) ⇔ F’(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b) ĐN2: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] ⎧ ⎪F'(x)=∀∈ f(x); x (a;b) ⎪ ⎪ F(x)− F(a) ⇔=F' (a) lim =f(a) ⎨ + + ⎪ xa→ xa− ⎪ F(x)− F(b) F' (b)== lim f(b) ⎪ − − ⎩ xb→ xb− Ký hiệu hình thức ∫ f(x)dx = F(x) + C gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) hay tích phân bất định của hàm f(x). VẤN ĐỀ 2: BỔ SUNG VI PHÂN - DẠNG VI PHÂN HÀM HỢP: y = f(x) ⇒ dy = d[f(x)] = f’(x)dx (1) Giả sử tồn tại y = f(t) mà trong đó t = g(x); để cho hàm hợp y = f[g(x)] có vi phân được viết: dy = d[f(t)] = f’(t)dt (2) NHÓM HÀM LŨY THỪA NHÓM HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC dx d(xn)=nxn-1dx d(arc sinx) = 1-x2 *Các trường hợp đặc biệt: dx d(ax+b) = adx d(arc cosx) = - 2 ⎛⎞1dx 1-x d=-⎜⎟ 2 dx ⎝⎠xx d(arc tgx) = 1+x2 dx dx= dx ()2x d(arc cotgx) = - 1+x2 NHÓM HÀM LƯỢNG GIÁC NHÓM HÀM MŨ & LOGARITHM d(sinx) = cosxdx dx d(lnx) = d(cosx) = -sinxdx x dx dx 2 d(tgx) = = (1+ tg x)dx d(loga x) = cos2 x xlna dx d(ex) = exdx d(cotgx) = - sin2 x d(ax) = axlnadx A. BẢNG CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN: NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA xn+1 dx 1/ xdx=n +C ()n¹-1 2/ xdx=-1 =lnx+C ()x ≠ 0 ∫ n+1 ∫∫x dx 1 Trường hợp đặc biệt của nhóm I 4/ =- +C ∫ 2 3/ ∫ dx = x +C xx 1 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
3. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt mmn +n dx -1 5/ xdx=nn x +C 6/ =+C ∫ m+n ∫ xn-1xnn()-1 n n n n+1 dx n 7/ ∫ xdx = x +C 8/ =x+n n-1 C n+1 ∫ n x n-1 NHÓM II: DẠNG HÀM LƯỢNG GIÁC 9/ ∫ sinxdx = -cosx + C 10/ ∫ cosxdx = sinx +C dx dx 11/ =tgx+C 12/ =-cotgx+C ∫ cos2 x ∫ sin2 x 13/ ∫ tgxdx = -ln cosx +C 14/ ∫ cotgxdx = ln sinx + C NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ – LOGARITHM 15/ ∫ edx=e+Cxx 16/ ∫ edx=-e+C-x -x x x a 18/ lnxdx=x lnx-1 +C x>0 17/ a = +C () 1 ≠ a > 0 ∫ ( )( ) ∫ lna NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC (a > 0) dx dx 1 x -1 19/ =arctgx+C 20/ =ln +C ∫ x+12 ∫ x-12 2 x+1 dx 1 x 21/ = arctg +C dx 1 x - a ∫ 22 22/ =ln+C x+a a a ∫ x-a22 2a x+a NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC (a > 0) dx dx x 23/ = arcsinx +C 24/ =arcsin +C ∫ 2 ∫ 22 1-x a-x a dx dx 25/ =lnx+ x2 ±1+C 26/ =lnx+ x22 ±a +C ∫ 2 ∫ 22 x±1 x±a xax2 27/ a22 - x dx = a 22 - x + arcsin +C ∫ 22a xa2 28/ x±adx=22 x±a± 22 lnx+x±a+C22 ∫ 22 B. BẢNG THAM KHẢO CÁC TÍCH PHÂN MỞ RỘNG: NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA MỞ RỘNG (α ≠ 0) 2 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
4. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt (ax + b)n+1 1/ (ax + b)n dx = +C (n ≠ -1) ∫ a(n +1) dx 1 2/ (ax + b)-1 dx = = ln (ax + b) + C (ax + b ≠ 0) ∫∫(ax + b) a Các trường hợp đặc biệt của nhóm I dx -1 3/ d(ax + b) = ax + b + C 4/ =+C ∫ ∫ (ax + b)2 a(ax + b) mmn +ndx -1 5/ (ax + b)nn dx = (ax + b) +C 6/ =+C ∫ a(m + n) ∫ (ax+b)nn a(n-1)(ax+b) -1 n dx n 7/ n (ax + b)dx =n (ax + b)n+1 + C 8/ =(ax+b)n n-1 +C ∫ a(n +1) ∫ n (ax + b) a(n -1) NHÓM II: DẠNG HÀM LƯỢNG GIÁC MỞ RỘNG (α ≠ 0) 1 1 9/ sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C 10/ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C ∫ a ∫ a dx 1 dx 1 11/ =tg(ax+b)+C 12/ =- cotg(ax+b)+C ∫ cos2 (ax + b) a ∫ sin2 (ax + b) a 1 1 13/ tg(ax + b)dx = - ln cos(ax + b) +C 14/ cotg(ax+b)dx= lnsin(ax+b)+C ∫ a ∫ a NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ - LOGARITHM MỞ RỘNG (α ≠ 0) 1 a(ax+b) 15/ edx=e+(ax+b) (ax+b) C 16/ adx=+C(ax+b) (1≠ a>0) ∫ a ∫ alna 1 17/ ln(ax+b)dx= (ax+b)[ln(ax+b)-1]+C (ax+b>0) ∫ a NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC MỞ RỘNG (α ≠ 0; a > 0) dx 1⎛⎞ ax + b dx 1 (ax + b)- a 18/ 22=arctg⎜⎟ +C 19/ 22=ln +C ∫ (ax + b) + a aa⎝⎠ a ∫ (ax + b) - a 2aa (ax + b) + a NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC MỞ RỘNG ((α ≠ 0; a > 0) dx 1 (ax + b) 20/ =arcsin +C ∫ 22 a-(ax+b) aa dx 1 21/ =ln(ax+b)+(ax+b)±a+C22 ∫ 22 (ax + b) ± a a (ax + b) a2 (ax + b) 22/ a22 -(ax + b) dx = a 22 -(ax + b) + arcsin +C ∫ 2a 2a a 3 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
5. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt (ax + b) 23/ (ax+b)22 ±a dx= (ax+b)22 ±a ±ln(ax+b)+ (ax+b)22 ±a +C ∫ 2a VẤN ĐỀ 3: THUẬT PHÂN TÍCH HÀM TRONG DẤU TÍCH PHÂN VỀ DẠNG CHUẨN TRONG BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN: Biến đổi hàm tích phân về dạng: ∫∫[Af(x) ± Bf(x) + ]dx = A f(x)dx ± B∫ g(x)dx + B1B : Cụ thể phải 1/ Nhân phân phối: (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd 2/ Khai triển các hằng đẳng thức: (A ± B)22 = A ± 2AB+ B 2 (A ± B)33 = A ± 3A 2 B+ 3AB 23 ± B ; Xb 3/ Thêm bớt hạng tử: X=(X+B)-B;X= (b≠ 0); b 4/ Nhân lượng liên hợp: A ± B←⎯→llh A m B; 5/ Biến đổi lượng giác sơ cấp bằng các công thức: sinx cosx 1=sinx+cosx;22 tgx= ; cotgx= ; cosx sinx 1122 22=1+tgx; =1+cotgx; tgxcotgx=1; cos x sin x 1-cos2x 1+cos2x sin22 x = ; cos x = ; 22 3sinx - sin3x 3cosx + cos3x sin33 x = ; cos x = ;v.v 44 B2B : Mục đích là hàm số trong dấu tích phân được biến đổi: • Tích thành tổng; đặc biệt một hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích. • Căn thức thành lũy thừa; ở đây ta áp dụng các tính chất lũy thừa sau: m x x 1A-mn m n m n mn x x x ⎛⎞A m =A ; A =A ;(A ) =A ;AB =(AB);x =⎜⎟ AB⎝⎠B B3B : Một việc quan trọng là sử dụng được công thức tích phân hàm hợp ∫ f[g(x)]d[g(x)]= F[g(x)]+C với F là một nguyên hàm của f thì bài toán giải quyết nhanh và gọn. Ghi chú: Khi tính toán ta dùng hàm y = f(x) = sgn(x) để thay dấu (±) cho gọn. Ta có định ⎡⎡1 khi x > 0 mở rộng 1 khi f(x) > 0 nghĩa: sgn(x) = ⎢⎢⎯⎯⎯⎯→ sgn[f(x)]= ⎣⎣-1 khi x < 0 -1 khi f(x) < 0 VẤN ĐỀ 4: HẰNG SỐ C TRONG HÀM NGUYÊN HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH: Dạng 1: Tìm hằng số C trong hàm nguyên hàm Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên [a;b] khi nó thỏa một giả thiết nào đó tại x0∈[a;b]. f(x)dx = F(x ) + C (1) ()∫ 0 tại x0 4 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
6. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Ghi chú: Thực tế ta viết một họ nguyên hàm của f(x) là F(x) =∫ f(x)dx mà vẫn không mất tính tổng quát của nguyên hàm so với định nghĩa họ nguyên hàm. Dạng 2: Phân tích biểu thức thành tích Dùng định nghĩa nguyên hàm và ứng dụng cách xác định hằng số C qua 4 bước: • Xem biểu thức A(x, a, b, c, ) đã cho là một đa thức một biến (giả sử biến đó là x) và đặt f(x) = A(x, a, b, c, ). • Tính f’(x) và đưa nó về dạng thừa số. • Tính f(x) là một nguyên hàm của f’(x). • Tìm hằng số C bằng cách thay x = x0 là giá trị cụ thể nào đó vào nguyên hàm ở trên, lúc đó xuất hiện các nhân tử và ta kết thúc bài toán bằng cách đặt nhân tử chung. Ghi chú: Hằng số C ở bước 4 không phụ thuộc vào x nên viết C = g(a; b; c ). Dạng 3: Tính tổng hữu hạn B1B : Xét một tổng f(x) có nguyên hàm là tổng liên tiếp các hạng tử của một cấp số nhân mà 1-qn số hạng đầu là a1, có n hạng tử và công bội q thì: F(x) = a . 1 1-q B2B : So sánh f(x) = F’(x) ta được tổng cần tìm. VẤN ĐỀ 5: THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ: ∫∫f(x)dx = f[ϕϕ (t)] '(t)dt . Với x = ϕ(t) ∫f[ϕϕ (x)] '(x)dx =∫ f(t)dt . Với t = ϕ(x) là biến mới. A. BIẾN ĐỔI NGHỊCH ĐẶT t = ϕ(x) DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI 1. ∫ f(ax + b)dx Đặt t = ax + b ⇒ dt = dx 2. ∫ f(xn+1 )x n dx Đặt t = xn+1 ⇒ dt = (n + 1)xndx dx dx 3. f( x) Đặt t= x ⇒ dt= ∫ x 2x 4. ∫ f(cosx)sinxdx Đặt t = cosx ⇒ dt = -sinxdx 5. ∫ f(sinx)cosxdx Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx dx dx 6. f(tgx) Đặt t = tgx ⇒ dt = ∫ cos2 x cos2 x dx -dx 7. f(cotgx) Đặt t = cotgx ⇒ dt = ∫ sin2 x sin2 x 8. ∫ f(exx )e dx Đặt t = ex ⇒ dt = exdx dx dx 9. f(lnx) Đặt t = lnx ⇒ dt = ∫ x x 5 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
7. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎡ 1 f(arc tgx) dx ⎢ 1+x2 ⎡t=arc tgx dx 10. ⎢ Đặt ⇒ dt= ± ∫ 1 ⎢t=arc cotgx 1+x2 ⎢f(arc cotgx) dx ⎣ ⎣⎢ 1+x2 ⎡ 1 f(arc sinx) dx ⎢ 2 ⎢ 1-x ⎡t=arc sinx dx 11. ∫ Đặt ⎢ ⇒ dt= ± ⎢ 1 ⎣t=arc cosx 1+x2 ⎢f(arc cosx) dx ⎣ 1-x2 ⎛⎞⎛⎞11 11⎛⎞ 12. fx±⎜⎟⎜⎟ 1 ∓ 2 dx Đặt t=x± ⇒ dt=⎜⎟ 1∓ 2 dx ∫ ⎝⎠⎝⎠xx xx⎝⎠ B. ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN ĐẶT x = ϕ(t) DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI a 1. fx,x+adx22 x=atgt ⇒ dx= dt ∫ () cos2 t 22 2. ∫ fx,a-xdx() x=asint ⇒ dx=acostdt aasint 3. fx,x-adx22 x= ⇒ dx= dt ∫ () cost cos2 t VẤN ĐỀ 6: THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN RIÊNG PHẦN: ∫∫udv = uv - vdu (*) hay ∫∫uv'dx = uv - u'vdx Các dạng tích phân từng phần: Dạng 1: ⎡⎤sin(ax + b) ⎢⎥ ⎢cos(ax + b)⎥ P(x) dx. Trong đó Pn(x) là đa thức bậc n. ∫ n ⎢e(ax+b) ⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎡⎤sin(ax + b) ⎢⎥ ⎢⎥cos(ax + b) Ta đặt u = Pn(x) và dv = dx ⎢⎥e(ax+b) ⎢⎥ ⎣⎦ Chỉ số (n): cho ta số lần tính tích phân từng phân phải thực hiện cho dạng này. Dạng 2: ⎡⎤ln(ax + b) ⎢⎥arcsin(ax + b);arccos(ax + b) I= P(x)⎢⎥dx ∫ n ⎢⎥arctg(ax + b);arccotg(ax + b) ⎢⎥ ⎣⎦ 6 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
8. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎡⎤ln(ax + b) ⎢⎥arcsin(ax + b);arccos(ax + b) Ta đặt u=⎢⎥ và dv = Pn(x)dx ⎢⎥arctg(ax + b);arccotg(ax + b) ⎢⎥ ⎣⎦ TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ 1: ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH: I. DIỆN TÍCH HÌNH THANG HỖN TUYẾN: 1. Định nghĩa: y Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm xác định trên đoạn [a;b]. Khi đó hình B phẳng giới hạn bở trục hoành, đường y=f(x) cong y = f(x) và các đường thẳng có A phươngtrình x = a vµ x = b được gọi là hình thang cong (Hình thang hỗn tuyến AA’B’B). A' B' x O a b 2. Diện tích hình thang cong: Định lý: Nếu hàm số y = f(x) xác định, liên tục, không âm trên đoạn [a;b], thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a vµ b x = b có giá trị là: S=F(b)-F(a)=Sa . Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên [a;b]. II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH: III. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] chia đoạn [a;b] thành n phần tùy ý bởi các điểm chia: a = x0 < x1 < x2 < < xn = b. Trên mỗi đoạn [xk-1;xk] với 1 ≤ k ≤ n lấy một điểm ξk bất kỳ. Ký hiệu: Δxk = xk - xk-1. Nghĩa là: Δx1 = x1 - x0, Δx2 = x2 - x1, n Lập tổng ∑ f(ξΔkk ) x =ξΔ f( 11 ) x + f( ξΔ 22 ) x + + f( ξΔ n ) xnĐược gọi là tổng tích phân của hàm số k1= y = f(x) trên [a;b]. 7 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
9. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Ta gọi tích phân xác định của hàm số y = f(x) trên [a;b] là giới hạn (nếu có) của tổng tích phân khi maxΔxk → 0. Giới hạn này không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn [a;b] và việc chọn ξk. Ký hiệu: b n f(x)dx=ξ lim f(kk )Δ x ∫ Δ→0 ∑ a k k1= Lúc đó ta bảo hàm f khả tích theo Riemann hay khả tích. Chú ý: • a được gọi là cận dưới và b được gọi là cận trên. b • Ý nghĩa hình học của tích phân xác định: Nếu f(x) > 0 trên [a;b] thì ∫ f(x)dx chính là a diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường:y = f(x), trục hoành, x = a, và x = b. • Từ trên ta có công thức Niutơn - Lépnit (Newton - b Leibnitz): f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x) b . Trong đó: F’(x) = f(x). ∫ a a VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA (PHÂN HOẠCH) VÀ SỰ KHẢ TÍCH: b Dạng 1: Tính tích phân ∫ f(x)dx bằng phép phân hoạch và bài toán ngược a 1) Điều kiện cần: Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] thì nó bị chặn trên đoạn [a;b] đó. 2) Điều kiện đủ: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó khả tích trên đoạn [a;b] đó. • Khi tính tích phân bằng định nghĩa cần thực hiện: b-a B1B : Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia x=a+k . Với k = 0, 1, 2, k n , n. B2B : Chọn ξk bằng xk (hoặc xk-1) trong đoạn [xk-1,xk]. n B3B : Lập tổng tích phân Snkk =∑ (x - x-1 ).f(xk ) k=1 b B4B : Ta có xf(x)dx= limSn ∫ n→∞ a Cần nhớ một số kết quả: n(n +1) 1) 1+ 2 + 3 + + n = 2 n(n +1)(2n +1) 2) 1222 + 2 + 3 + + n 2 = 6 2 333 3⎡ n(n +1)⎤ 3) 1 + 2 + 3 + + n = ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ 8 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
10. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt b 4) F(x)= ∫ f(t).dt x ∈ [a;b], hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và F’(x) = f(x). a Dạng 2: Nhận biết hàm khả tích Riemann b ĐL1: (Điều kiện cần: suy ra từ định nghĩa ∫ f(x)dx ) a Mọi hàm f không bị chặn trên đoạn [a;b] thì f không khả tích trên đoạn [a;b] đó. ĐL2: (Đk đủ) Mọi hàm f liên tục trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó. ĐL3:Mọi hàm f bị chặn trên đoạn [a;b] và gián đoạn tại hữu hạn các điểm x0 ∈ [a;b] mà lim f(x)∈ R (*) thì f vẫn khả tích trên đoạn [a;b] đó. ⎧ − ⎪xx→ 0 ⎨ + ⎩⎪xx→ 0 Cần nhớ: f liên tục trên đoạn [a;b] thì f bị chặn trên đoạn [a;b]. ĐL4:Mọi hàm f bị chặn và đơn điệu trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó. Dạng 3: Sử dụng đúng đắn công thức Newton – Leibnitz. Công thức Newton - Leibnitz: b ∫ f(x)dx = F(b)- F(a) khi nó thỏa đồng thời hai điều kiện: a • Hàm dưới dấu tích phân f(x) liên tục trên [a;b]. • Hàm nguyên hàm của F(x) cũng liên tục trên [a;b]. Ghi chú: Trong một số trường hợp hàm dưới dấu tích phân có dạng y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] ta chưa áp dụng ngay công thức Newton - Leibnitz trên [a;b] mà cần xử lý cận trung gian c ∈ (a;b) để xét dấu f(x) và dễ dàng tìm F(x) chẳng hạn: bcb ∫∫∫f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx (*) .(*) còn sử dụng khi x0 = c là điểm gián đoạn của f(x) và aac F(x) trên đoạn [a;b] (tích phân suy rộng). Thuật đổi biến số: b Khi đã quan sát ∫ f(x)dx và thấy hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]: a βϕ()β • PP1 - ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN: là sử dụng công thức ∫∫f[ϕϕ (x)] '(x)dx = f(t)dt αϕ()α • Với các ghi nhớ: ) Đặt t = ϕ(x); với t là biến đổi số mới. ⎧xt(=α⇒ =ϕα) ) Trong đó: ⎨ và t = ϕ(x) là hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm ⎩xt(=β⇒ =ϕβ) trên [α;β]. b ϕ−1 (b) • PP2 - ĐỔI BIẾN SỐ NGHỊCH: là sử dụng công thức ∫∫f(x)dx=ϕϕ f[ (t)] '(t)dt (2) a ϕ−1 (a) 9 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
11. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Với các ghi nhớ: ) Đặt x = ϕ(t) hay t = ϕ-1(x); với t là biến mới. ⎪⎧xa=⇒=ϕ t−1 (a) ) Trong đó: và t làm hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm trên ⎨ −1 ⎩⎪xb=⇒=ϕ t (b) [a;b]. Ghi chú: Tính đơn điệu của hàm t = ϕ(x) là quan trọng như tính liên tục và khả đạo hàm của t trên [α;β] . Chẳng hạn trong (1), ta giả sử t = ϕ(x) không đơn điệu trên [α;β] thì sẽ có trường hợp ⎪⎧VP(1) = 0 ϕ(α) = ϕ(β); ∀α ≠ β mà ⎨ . Lúc đó (1) không còn đúng! ⎩⎪VT(1) ≠ 0 VẤN ĐỀ 2 : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC Dạng 1: Các dạng tích phân hàm phân thức cơ bản thứ nhất b dx Tính tích phân I(=α≠0) 1 ∫ 2 a α+β+γxx Ta làm 2 bước: dx B1B : Kiểm tra tính khả tích của f(x) = trên [a;b]. αxx2 +β +γ 2 B2B : Đưa về dạng chuẩn để sử dụng một trong ba công thức sau với Δ=β −4 αγ và sau khi 1 đặt ra ngoài dấu tích phân: α b b dX 1⎡ X ⎤ 1) = arctg Nếu Δ 0 ∫ 22 ⎢⎥ a X-A 2A⎣⎦ X+A a b b dX⎡⎤ 1 3) =- Nếu Δ = 0 ∫ 2 ⎢⎥ a XX⎣⎦a b b dx⎡⎤ 1 ∫ =lnax+b⎢⎥ a ax + b⎣⎦ a a Dạng 2: Các dạng tích phân hàm phân thức thứ hai b mx+ n Tính tích phân Id=αx(≠0;m≠0) 2 ∫ 2 a α+β+γxx Ta làm 2 bước: B1B : Kiểm tra tính khả tích của hàm dưới dấu tích phân và đưa tích phân về dạng: m2xbbα+β⎛⎞ β m2ndx −α Id=−x 2 ∫∫22⎜⎟ 2xxαaa α +β +γ⎝⎠ 2 α α xx +β +γ 10 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
12. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt b mm2 ⎛⎞β−α2n B ⎡⎤ B2: Tính I2 và I2 phụ thuộc vào 3 trường hợp của I1. Ilnxx21=α+β+γ−⎜⎟I 22αα⎣⎦a ⎝⎠ Dạng 3: Bài toán tích phân hàm phân thức tổng quát b P(x) Tính tích phân I=∫ dx; trong đó P(x) và Q(x) là những đa thức. a Q(x) Ta để ý hai trường hợp: TH1: Bậc P(x) ≥ bậc Q(x) thì đem chia P(x) : Q(x) để đưa về trường hợp 2. TH2: Bậc P(x) < bậc Q(x) thì ta đã có 2 phương pháp nhân tích thành tổng các tích phân phân thức thành phần mà phép giải khả thi như sau: • Phân tích theo yêu cầu đề bài hướng dẫn. • Phân tích theo định lý Taylor. TH1: Q(x) = 0 có các nghiệm đơn x1; x2; x3 thì phân tích P(x) AA12A3 =+++∀∈ ;Ai ; i 1;n là hằng số. Q(x)xx−−−123 xx xx Tìm Ai bằng phương pháp thế giá trị riêng (nghiệm mẫu). TH2: Q(x) = 0 có các nghiệm bội x1; x2. Thì ta phân tích, thí dụ: P(x) P(x) AAB121 B 2B3 ==++++23 2 3 2 + Q(x) (x−− x12 ) (x x ) (x − x 1 ) x − x 2 (x − x 2 ) (x − x 2 ) x − x 2 Tìm Ai; Bj bằng phương pháp giá trị riêng (nghiệm mẫu) và phương pháp giá trị tùy ý; ∀∈j 1, 3 và ∀∈ i 1,2 2 TH3: Q(x) chứa các tam thức bậc hai α1x + β1x + γ1 có nghiệm x1; x2 hay có nghiệm kép hay 2 α2x + β2x + γ2 (vô nghiệm) thì ta phân tích, thí dụ: P(x) P(x) AA12 Bx+ C ==22++ Q(x)α−11 (x x )(x − x 2222 )( α+β+γ− x x ) x x 1 x − x 222 α+β+γ x x 2 P(x) P(x) AA12Bx++ C Ex F ==22 2++2 +2 2 Q(x)α−1 (x X) ( α+β+γ 2 x 22 x ) (x − X) x − X α+β+γα+β+γ2 x 22 x ( 2 x 22 x ) CHUYÊN ĐỀ 2: TÍCH PHÂN SUY RỘNG I. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1: • Cho hàm f xác định trên [a;+∞) và khả tích trên đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞. Ta định +∞ b +∞ nghĩa: f(x)dx= lim f(x)dx . Khi giới hạn ở vế phải hữu hạn ta nói f(x)dx hội tụ, ∫∫b→+∞ ∫ aa a +∞ ngược lại ta nói ∫ f(x)dx phân kỳ. a • Tương tự bb +∞ b f(x)dx== lim f(x)dx ; f(x)dx lim f(x)dx ∫∫a→−∞ ∫b→+∞ ∫ −∞ aa−∞ {a→−∞ 11 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
13. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt +∞ c +∞ Hay ∫∫∫f(x)dx=+ f(x)dx f(x)dx; ∀ c∈ R −∞ −∞ c • Việc sử dụng công thức Newton - Leibnitz cũng không khác mấy khi gọi F(x) là +∞ b nguyên hàm của f(x), ta có: f(x)dx=− lim F(b) F(a) f(x)dx=− F(b) lim F(a) ∫∫ba→+∞ →−∞ a −∞ II. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2: Cho hàm f giới nội và khả tích trong đoạn [a + ε; b] nhưng không giới nội hoặc không khả bb tích trong toàn bộ [a; b] ta định nghĩa: f(x)dx= lim f(x)dxkhi lim f(x) =∞. ∫∫ε→0 xa→ aa+ε bb Hay: f(x)dx=∀ lim f(x)dx; c∈ (a;b] ∫∫ca→ ac bb−ε Tương tự trên [a;b) ta có: f(x)dx= lim f(x)dx ∫∫ε→0+ aa bc Hay: f(x)dx=∀ lim f(x)dx; c∈ [a;b)khi lim f(x) = ∞ ∫∫cb→ − xb→ aa Ghi chú: Có loại tích phân vừa là tích phân suy rộng loại 1 vừa là tích phân suy rộng loại 2. Chẳng +∞ ln x1 ln x+∞ ln x hạn: Idxdx==+dx. Và ta chứng minh được I = 0. ∫∫∫22 2 001x++ 1x 1 1x + SRL2 SRL1 III. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: b Dạng 1: ∫ sinmn x cos xdx a 1) Nếu ít nhất một trong 2 số m hay n lẻ: • m lẻ (⇒) Đặt t = cosx • n lẻ (⇒) Đặt t = sinx ⎡m≥⇒ n ( ) Đặt t = sinx ⎢ • m; n đều lẻ ⎢m≤⇒ n ( ) Đặt t = cosx ⎣⎢m=⇒ n ( ) Hạ bậc nâng cung 2) m; n chẵn (m; n > 0) ⇒ Dùng công thức hạ bậc nâng cung. 1−+ cos2x 1 cos2x sin22 x ==cos x 22 3 sin x−+ sin 3x 3 cos x cos 3x sin33 x ==cos x 44 3) m; n chẵn (m;n < 0) ⇒ Đặt t = tgx. b Dạng 2: ∫ R(sin x;cos x)dx (Trong đó R là 1 hàm hữu tỷ) a 12 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
14. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Sử dụng các phép thế sau: 1) Phép thế tổng quát (Phép thế vạn năng): ⎧ 2dt dx = x ⎪ 1t+ 2 Đặt ttg=⇒⎨ 2 2t 1− t2 ⎪sin x== và cos x ⎩⎪ 1t++221t 2) Ba phép thế đặc biệt: • R(-sinx; cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = cosx • R(sinx; -cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = sinx • R(-sinx; -cosx) = R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = tgx Dạng 3: Các dạng khác b ⎡⎤sin(α+β x )cos( γ+δ x ) ⎢⎥⎡Công thức biến đổi 1) ∫ ⎢⎥sin(α+β x )sin( γ+δ x ) dx ⇒ ⎢ a ⎣tích thành tổng ⎣⎦⎢⎥cos(α+β x )cos( γ+δ x ) 2) Biến đổi tổng thành tích. 3) Các dạng khác trên IV. TÍCH PHÂN HÀM CHỨA CĂN THỨC: b m p r Dạng 1: ∫ R(x;xn ;xq ; ;xs )dx a 1) Đặt txt=⇒=k k xvới k = MSC (n; q; ; s). Nhớ để ý tính khả tích của f trên [a;b]. m p r 2) Phương pháp vẫn khả thi khi gặp các hàm hợp của hàm: f(x)= R(x;xn ;xq ; ;xs )dx • f(α+β⇒ x ) Đặt t =k α+β x ⎛⎞α+βxxα+β • fĐ⎜⎟⇒=ặt tk ⎝⎠γ+δxxγ+δ bbdx Ax+ B Dạng 2: (0)α≠ và dx ∫∫22 aaα+β+γxx α+β+γxx ⎡ 2 ⎤ 2 ⎛⎞β B1B : Kiểm tra tính khả tích và biến đổi α+β+γ=α+xx⎢⎜⎟ x + k⎥ ⎣⎢⎝⎠2α ⎦⎥ 1 ⎛⎞β B2B : Phân biệt ba trường hợp sau khi đưa ra ngoài dấu tích phân và đặt Xx=+⎜⎟ α ⎝⎠2α ⎧α>0 b dX b 1) ⎨ ⇒=Áp dụng: ln X+ X2 + k ∫ 2 ⎩k0≠ a Xk+ a b ⎧α>0 b dX ⎛⎞β β 2) ⎨ ⇒=Áp dụng: sgn x+ ln X + k0=α∫ β ⎜⎟2 2α ⎩ a x + ⎝⎠ a 2α 13 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
15. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧α>0 b dX X b 3) ⇒=Áp dụng: arcsin (H> 0) ⎨ ∫ 22 ⎩k0 0 22Xk2 TH1: ⎨ ⇒+Áp dụng công thức: X k= X+ k+ ln X+ X+ k ∫ a ⎩k0≠ a 2 2 a b ⎧α>0 b ββ⎛⎞⎛⎞xx2 β TH2: ⎨ ⇒+Áp dụng công thức : x dx= sgn x +⎜⎟+ k0=α∫ 2 ⎜⎟2α 2 2α ⎩ a ⎝⎠⎝⎠a b b b 2 ⎧α>0 22XH 22 X TH3: ⎨ ⇒+Áp dụng công thức: H X= H+ X+ arcsin ∫ a ⎩k0 0) a ⎛⎞kx+ h Đặt t=⇔ arctg⎜⎟kx+ h= m tgt ⎝⎠m b 22 TH2: I=−+∫ () x; m (kx h) dx (m> 0) a ⎛⎞kx+ h Đặt t=⇔ arcsin⎜⎟kx+ h= m sin t ⎝⎠m b 22 TH3: I=+−∫ R() x; (kx h) m dx (m> 0) a 14 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
16. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎛⎞mm Đặt t=⇔ arccos⎜⎟kx+ h = ⎝⎠kx+ h cos t b Dạng 5: Giới thiệu phép thế Euler tính IRx;xx=α+β+γ∫ ( 2 ) dx a Một cách khác phép thế Euler như sau tỏ ra tiện lợi: • Đặt α+β+γ=±α+xx2 xt nếu α>0 • Đặt α+β+γ=±x2 x xt c nếu c ≥ 0 2 • Đặt α+β+γ=α−x x (x x12 )(x − x ) = t(x − x 1 ) ( Δ> 0) Dạng 6: Giới thiệu các dạng chuẩn và các thuật đổi biến đặc trưng Xử lý đúng thuật đổi biến đặc trưng cho từng dạng chuẩn được giới thiệu ở sau: ta luôn được cách giải quyết tích phân bằng phương pháp tích phân đặc trưng cho các hàm căn thức đã biết (chú ý điều kiện khả tích). b dx 1 1) Dạng I = Đặt t = 1 ∫ 2 a (x+δ ) α x +β x +γ x + δ b Ax dx 2) Dạng I = Đặt tx= α+γ2 2 ∫ 22 a (xω+δα+γ ) x b Bdx 3) Dạng I = Đặt xt= α+γ x2 3 ∫ 22 a (xω+δα+γ ) x bb(Ax+ B) dx Ax dx bB dx 4) Dạng I ==+ 4 ∫∫∫22 22 22 aa(xω+δα+γω+δα+γ ) x (x ) x a (x ω+δα+γ ) x b (Ax+ B) dx 5) Dạng I =δ Với (2 − 4ωξ< 0) 5 ∫ 22 a (xω+δ+ξα+β+γ x ) x x b (Ax+ B) dx Đưa về dạng I = 4 ∫ 22 a ('xω +δ ')'x α +γ ' b P(x)n dx 6) Dạng I = Với Pn(x) đa thức bậc n ≥ 2. 6 ∫ 2 a α+β+γxx Bằng cách biến đổi Euler, tích phân I6 tính được một cách tổng quát nhưng rất phức tạp. Người ta đã chứng minh được công thức sau và nếu áp dụng nó thì việc tính tích phân I6 có phần đơn giản hơn: b b b P(x)n 2 dx dx=+++ Qn1− (x) ax bx c λ (*) ∫∫2 a 2 a ax++ bx c a ax++ bx c Trong đó Qn-1(x) là đa thức bậc n-1 với các hệ số cần được xác định và λ là một số thực cũng cần được xác định. Để xác định λ và các hệ số của Qn-1(x) ta đạo hàm hai vế đẳng thức (*). Rồi đồng nhất hệ số hai vế để suy ra hệ phương trình đặc trưng mà việc giải hệ phương trình đặc trưng đó sẽ cho ta λ và các hệ số của Qn-1(x). (Gọi là phương pháp đạo hàm đẳng lập). VẤN ĐỀ 3: CẬN TRUNG GIAN: 15 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
17. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt bcb Cơ sở của phương pháp là áp dụng hợp lý công thức (1): ∫∫∫f(x)dx=+ f(x)dx f(x)dxqua hai aac bước (để tính các tích phân xác định mà hàm dưới dấu tích phân có chứa | |; max; min và cả trường hợp đoạn lấy tích phân không áp dụng được công thức Newton - Leibnitz). B1B : Chọn cận trung gian c thích hợp (đôi khi phải chọn hai, ba giá trị cận trung gian khác nhau tùy điều kiện bài toán). B2B : Áp dụng công thức Newton - Leibnitz cb ∫∫f(x)dx=− F(c) F(a)và f(x)dx=− F(b) F(c) để tính tích phân (1). ac Chú ý: Thận trọng khi f(c) ∉ R (trường hợp tích phân suy rộng loại 2). VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ CÁC THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ RÀNG BUỘC HAI CỰC Chứng minh (VT = VP). Đôi khi ta cần chứng minh đẳng thức trung gian. Ví dụ: * AB0−=⇔= AB ⎧AC= * ⎨ ⇔=AB ⎩BC= ⎪⎧AB;AB22== * ⎨ ⇔=A B ⎩⎪AB0≥≥ Ở đây ta lưu ý đến phép đổi biến số kết hợp cận trung gian, tính chẵn lẻ tuần hoàn - liên tục Ngoài ra tính chất không phụ thuộc biến và tính chất hoán đổi cực cũng rất thường sử dụng: bb b ∫∫f(x)dx=== f(t)dt ∫ f(n)dn aa a bb ∫∫f(x)dx=− f(x)dx aa bcb ∫∫∫f(x)dx=+ f(x)dx f(x)dx aac Ghi chú: Khi hai vế không cùng cực ta phải đổi biến số để tính cực là đồng nhất. 10 ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN ĐÁNG NHỚ 2a a ⎧f liên tục trên [0; 2a] 1 ∫∫f(x)dx=+−[] f(x) f(2a x) dx biết ⎨ 00 ⎩∀>a0 bbab+ ⎧f liên tục trên [a; b] 2 ∫∫xf(x)dx= f(x)dx biết ⎨ aa2 ⎩f(a+− b x) = f(x) bb ∫∫f(x)dx=+− f(a b x)dx aa 3 bb biết f liên tục trên [a; b] (HQ): ∫∫f(x)dx=− f(b x)dx 00 16 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
18. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt aa ⎧f liên tục trên [-a; a] 4 ∫∫f(x)dx= 2 f(x)dx biết ⎨ −a0 ⎩f chẵn; ∀> a 0 a ⎧f liên tục trên [-a; a] 5 ∫ f(x)dx= 0 biết ⎨ −a ⎩f lẻ; ∀> a 0 aT+ T ∫∫f(x)dx= f(x)dx a0 ⎧f liên tục trên R 6 biết ⎨ nT T ⎩f có chu kỳ T (HQ): ∫∫f(x)dx= n f(x)dx 00 ππ22 7 ∫∫f(sinx)dx= f(cosx)dx biết f liên tục trên [0; 1] 00 π π 2 8 ∫∫f(sin x)dx= 2 f(sin x)dx biết f liên tục trên [0; 1] 00 π π 2 9 ∫∫xf(sin x)dx=π f(sin x)dx biết f liên tục trên [0; π] 00 ttf(x)dx ⎧f liên tục trên [-t; t] = f(x)dx biết 10 ∫∫x ⎨ −t0a1+ ⎩f chẵn; ∀ a>∀∈ 0; t R VẤN ĐỀ 5: THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG TÍCH PHÂN PHỤ TRỢ VÀ HÀM PHỤ TRỢ Dạng 1: Tính tích phân bằng thuật tích phân phụ trợ • Muốn tính tích phân I ta sử dụng tích phân phụ trợ J và việc chọn J (khả tích) như các tiêu chuẩn sau đã tỏ ra là tiện lợi: ⎧g(I;J)= 0 1) Hệ phương trình ⎨ là giải được. ⎩h(I;J)= 0 2) Chứng minh I = J và giải phương trình: 2I = I + J ⇒ I = (Hiển nhiên tính được cả J vì J = I) b b • Cũng có thể chọn J sao cho: IJ+=∫ h(x)dx (1) và IJ−=∫ g(x)dx (2) với chú ý cả hai a a tích phân ở (1) và (2) đều khả thi. Dạng 2: Tính tích phân bằng thuật hàm phụ trợ b • Muốn tính tích phân If(x)d= ∫ x mà trong đó hàm f(x) khả tích trên [a;b] nhưng không a tính được nguyên hàm bằng các phương pháp đã nêu (hay không tính được một cách đơn giản bằng tính chất hàm sơ cấp). Người ta chọn một hàm phụ trợ g(x) khả tích cho f(x) như sau tỏ ra hiệu quả: (1) h(x) ≡ f(x) + g(x) = const; ∀x ∈ [a; b] 17 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
19. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧ b ⎪∫ h(x)dx=− (const)(b a) ⎪ a (2) ⎨ b ⎪ ⎪∫ g(x)dx : Khả thi theo các phương pháp trước ⎩ a • Thông thường tìm f’(x) để dự đoán g(x) cần tìm. VẤN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức bằng đại số và giải tích Cho các hàm liên tục trong đoạn [a; b]; ∀b > a, như sau: bb f(x)≥∀∈⇒ g(x); x [a;b]∫∫ f(x)dx ≥ g(x)dx aa bb • Nếu tìm được (α; β) ⊂ [a; b] mà f(x) > g(x):⇒>∫∫f(x)dx g(x)dx (dấu đẳng thức không aa xảy ra) • Trường hợp g(x) = 0 trên đoạn [a; b]; ta có: b f(x)≥∀∈ 0; x [a;b] ⇒∫ f(x)dx ≥∀∈ 0; x [a;b] a bb • ∫∫f(x)dx≤=⇔ f(x) dx (dấu " " xảy ra f(x) ≥ 0;∀ x∈ [a;b]) aa b • m≤≤∀∈⇒−≤ f(x) M; x [a;b] m(b a)∫ f(x)dx ≤ M(b − a) a • Xét một bất đẳng thức mà cả hai vế đều chứa dấu tích phân ta lưu ý: ) Khi hai cận hai vế như nhau ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức xảy ra giữa hai hàm dưới dấu tích phân. ) Khi hai cận hai vế khác nhau ta cần chọn biến số để đổi ở một trong hai vế để hai cận hai vế như nhau và làm tương tự như trên. ⎧f(x)≤∀∈ g(x); x [a;b] b ⎪ • Vậy muốn chứng minh f(x)dx≤ A . Ta tìm hàm g(x) thỏa ⎨ b ∫ g(x)dx= A a ⎪∫ ⎩ a • Đôi khi còn sử dụng dấu của tam thức bậc hai, quy nạp, đạo hàm để chứng minh bb ∫∫f(x)dx≤ g(x)dx aa Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức bằng bài toán hình thang hỗn tuyến (PP hình học) 18 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
20. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho hai hàm f(x) và g(x) liên tục trên y x=a x=b [a;b], diện tích hình phẳng giới hạn A2 B2 bởi các đồ thị y = f(x); y = g(x) và hai y=f(x) đường tung x = a và x = b (a < b) như S trong hình vẽ được tính bởi: B1 y=g(x) b A S=−∫ () f(x) g(x) dx 1 a x O a b VẤN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN VÀ CÔNG THỨC TRUY HỒI (QUY NẠP) b Xét If(x;n)d= x. Nếu lập được một quan hệ giữa các I hay I hay I ; với I của dãy (I ) n ∫ 0 1 2 n n a thì được công thức truy hồi của In. Thông thường ta sử dụng: 1) Phương pháp tích phân từng phần; Phương pháp đổi biến. 2) Phương pháp lùi dần các số hạng của dãy (In) để rút gọn các số hạng ở khoảng giữa của dãy, để rồi từ đó tìm ra số hạng tổng quát tùy ý của dãy (In). Ghi chú: 1/ n! = 1.2.3 (n-1).n 2/ (2n)!! = 2.4.6 (2n-2).(2n) 3/ (2n + 1)!! = 1.3.5 (2n-1)(2n+1) 4/ 0! = 1! = 1 5/ (-1)!! = 0!! = 1 VẤN ĐỀ 8: HÀM TÍCH PHÂN b Xét tích phân If(t)d= ∫ tvới hai cận a = a(x), b = b(x) thì I không là một hằng số thực. Lúc a đó I là một hàm số thực theo biến số thực x : I(x) gọi là một hàm số - tích phân hay gọn hơn hàm tích phân. Thường ta xét: x ϕ(x) I(x)= ∫ f(t)dt hoặc I(x)= ∫ f(t)dt (f(t) liên tục trên [a;x]) a a x Ta có: I(x)= ∫ f(t)dt là một nguyên hàm của f(x) thỏa điều kiện I(a) = 0 a ′ ⎛⎞x ⇒=I'(x)⎜⎟∫ f(t)dt = f(x) ⎝⎠a Như vậy ta có các chú ý: khi hai cực là một hàm số của x: ′ ⎛⎞ϕ(x) 1) ⎜⎟∫ f(t)dt=ϕ f[] (x) . ϕ '(x) ⎝⎠a 19 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
21. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ′ ⎛⎞ϕ2 (x) 2) ⎜⎟f(t)dt=ϕ f⎡⎤ (x) . ϕ ' (x) −ϕ f ⎡⎤ (x) . ϕ ' (x) ⎜⎟∫ ⎣⎦22 ⎣⎦ 11 ⎝⎠ϕ1 (x) Ghi chú: Khi tìm giới hạn của một hàm tích phân đôi khi phải sử dụng quy tắc L’hospitale. Tất cả 0 ∞ các dạng vô định 0×∞ ; ∞ - ∞ ; 1∞ ; ∞0 ; và 00đều đưa được về dạng vô định hay để sử dụng 0 ∞ quy tắc L’hospitale thì việc tìm giới hạn mới chính xác. VẤN ĐỀ 9: GIỚI HẠN VÀ TÍCH PHÂN Dạng 1: Dãy tích phân và giới hạn của dãy tích phân b + Xét If(x;n)dx;n =∀ nZ∈. Khi n thay đổi ta có dãy tích phân (In). Để tính giới hạn lim In ta ∫ n→∞ a lập công thức truy hồi In và sử dụng các tính chất: • lim Inn= lim I −1 nn→+∞ →∞ ⎪⎧aIbnn≤≤ n • ⎨ lim ann==α⇒ lim b lim I n=α ⎩⎪nn→+∞ →+∞ n→+∞ Dạng 2: Giới hạn mở rộng cực tích phân n Muốn tính lim f(x)dx . Ta đi tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) và áp dụng gián tiếp công n→∞ ∫ a n thức Newton - Leibnitz trong giới hạn lim f(x)dx=−⎡ lim F(n) F(a)⎤ . nn→∞ ∫ ⎣ →∞ ⎦ a DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG y D (C):y=f(x) b C 1) S== Sb (x) f(x)dx (1) a ∫ a x=a S(x) x=b • Ghi chú 1: Khi sử dụng công thức trị tuyệt đối ở (1) sẽ luôn đúng cho cả hai trường hợp f(x) ≥ 0 hoặc f(x) ≤ 0. A B x O a b 20 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
22. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt y D (C):y=f(x) b C 2) S== Sb (x) f(x) − g(x) dx (2) a ∫ [] a S(x) x=a • Ghi chú 2: Khi sử dụng công thức trị tuyệt đối ở (2) sẽ x=b luôn đúng cho cả hai trường hợp f(x) ≥ g(x) hoặc A (C):y=g(x) f(x) ≤ g(x); ∀x ∈ [a; b] B x O a b y cb 3) S== Sb (x) g(x) − f(x) dx + f(x) − g(x) dx (3) D (C):y=f(x) C a ∫∫[][] ac cb • Ghi chú 3: Thực chất S=+= S12 S S a (x) + S c (x) E B Khi gặp trường hợp tổng quát phải phân nhỏ A (C):y=g(x) x S = S1 + S2 + S3 + + Sn ta làm tương tự cho (3). O a c b b β • Ghi chú 4: Khi S(x)a phức tạp ta có thể chuyển sang tính S(y)α nếu phán đoán được nó b đơn giản hơn khi tính S(x)a . • Ghi chú 5: Khi diện tích giới hạn ở vị trí phức tạp, ta có thể sử dụng tính chất: Diện tích S bất biến qua một phép dời hình. b TÍNH THỂ TÍCH BẰNG ∫ f(x)dx a Dạng 1: Thể tích cố thể tròn xoay Áp dụng các công thức sau: y y a (C):y=f(x) (C):y=f(x) x b O a b x O b b 2 2 Vf(x)=π∫ []dx Vg(y)=π∫ []dy a a • Ghi chú 1: Khi gặp các cố thể tròn xoay phức tạp thì phương pháp cộng thể tích thành phần là quan trọng lúc tính thể tích: VV= 12+⇔=− V V 1 VV2. Trong đó: 21 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
23. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt V1: là thể tích cần tìm trong giả thiết. V; V2: là các thể tích liên đới tính nó đơn giản hơn V1. • Ghi chú 2: Đôi khi ta còn áp dụng tính bất biến của S và V qua 1 phép dời hình. Dạng 2: Thể tích cố thể do hình thang hỗn tuyến đáy Ox quay quanh Oy Ta xét một trường hợp đặc biệt của dạng 1 khi cho hình thang hỗn tuyến AA0B0B B (đáy A0B0B ⊂ Ox) quay quanh Oy. y y f(b) B x) B' B f( y= ): (C f(a) A' A A A0 B0 B0 -b -aO a b x O a b x b Lúc đó cố thể tạo thành có thể tích: V2=π∫ xf(x)dx (1) a Vậy (1) thay có cách tính phức tạp hơn của phương pháp tổng thể tích: f(b) ⎛⎞2 Vbf(b)=π21 − π ⎡⎤ f(y)dyaf(a)− +π 2 ⎜⎟∫ ⎣⎦ ⎝⎠f(a) Dạng 3: Thể tích cố thể tùy ý y Sử dụng công thức tính thể tích b A A VB(x)d= ∫ x x a H S • B là đáy (diện tích đáy) a b x B O B • B(x) là diện tích thiết diện song x song với đáy B tại x tùy ý trong Cx [a;b]. C Ghi chú: Thường chọn trục Ox hợp lý để biểu thức B(x) đơn giản. 22 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân