›
›

Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng

pdf 31 trang phuongnguyen 4110
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfcac_phuong_phap_giai_phuong_trinh_ham_thuong_dung.pdf

Nội dung text: Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng

  1. Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng
  2. CÁC PH ƯƠ NG PHÁP GI I PH ƯƠ NG TRÌNH HÀM THƯNG DÙNG Ph ươ ng pháp 1 : H s b t đnh. Nguyên t c chung: +) D a vào điu ki n bài tốn, xác đnh đưc d ng c a f(x), th ưng là f(x) = ax + b ho c f(x) = ax 2+ bx + c. +) ðng nh t h s đ tìm f(x). +) Ch ng minh r ng m i h s khác c a f(x) đu khơng th a mãn điu ki n bài tốn. Ví d 1: Tìm f: R→ R th a mãn: fxfy( ( ) +=+ x) xy fx( ) ∀ xy, ∈ R ( 1 ) . Li gi i: x =1 Thay  vào (18) ta đưc: ffy( ( ) +1) = yf + ( 1 ) ( a ) . y∈ R Thay y= − f (1) − 1 vào (a) suy ra: f( f(− f ()111 −+) ) =− 1 . ðt a= f( − f (1) −+ 1) 1 ta đưc: f( a ) = − 1. y= a Ch n  ta đưc: fxfa( ( ) + x) = xa + fx( ) ⇒ xa+ fx( ) = f (0) . x∈ R ðt f(0) = b⇒ fx( ) = − axb + . Th vào (1) và đng nh t h s ta đưc: a = 1 a2 =1   f() x= x ⇒  a = − 1 ⇒  . −ab − a =− a   f() x= − x b = 0 Vy cĩ hai hàm s c n tìm là f( x) = x và f( x) = − x . Ví d 2: Tìm f: R→ R th a mãn: ffx( ( ) += y) yfxfy( −( )) ∀∈ xyR,( 2 ) . Li gi i: Cho y=0; xR ∈ :(2)⇒ ffx( ( )) = 0 ∀ xRa ∈ ( ) . Cho xfy= ()(): (2)⇒ fffy( ( ) + yyf) = () 0 ( a ' ) . (a) + ( a' ) ⇒ fy( ) = yf (0). ðt f(0) = a⇒ fy( ) = ayyR ∀ ∈ . Th l i (2) ta đưc: ax2( 2+ y 2 ) + ayxy( −) =∀∈0 xyR , ⇔a = 0⇒ fx( ) = 0 ∀ xR ∈ . V y cĩ duy nh t hàm s f( x ) = 0 th a mãn bài tốn. Ví d 3: Tìm f, gR : → R th a mãn: 2fx( ) − gx( ) = fy( ) −∀∈ y xyR , ( a )  .  fxgxx()()()≥+1 ∀∈ xR b Li gi i: Cho x= y ∈ R khi đĩ (a) ⇒ fx( ) = gx( ) − x .Thay l i (a) ta đưc: 1
  3. gx( ) =−+2 x 2 ygy( ) ∀∈ xyR , (c). Cho y=0; x ∈ R : t (c) ta đưc: gx( ) =2 xg + ( 0 ) . ðt g(0) = a ta đưc: gx( ) =+2 xafx , ( ) =+ xa . Th vào (a), (b) ta đưc: 2xa+ = 2 xa + (a), (b) ⇔  ()∀x ∈ R ⇔2x2 +( 31 axa −) +−≥∀∈ 2 10 xR ()()xa+2 xa +≥+ x 1 ⇔()a −32 ≤⇔= 0 a 3 . V y fx( ) =+ x3; gx( ) =+ 23 x . Ví d 4: ða th c f(x) xác đnh v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn điu ki n: 2()fx+ f (1 − x ) = x2 , ∀∈ x ℝ (1). Tìm f(x). Li gi i: Ta nh n th y v trái c a bi u th c d ưi d u f là b c nh t: x, 1 – x v ph i là b c hai x 2. Vy f(x) ph i cĩ d ng: f(x) = ax 2 + bx + c. Khi đĩ (1) tr thành: 2(ax 2 + bx + c) + a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c = x 2 ∀x ∈ ℝ do đĩ: 3ax 2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x 2, ∀x ∈ ℝ  1 a = 3a = 1  3   2 ðng nh t các h s , ta thu đưc: b−=2 a 0 ⇔  b = 3 a+ b +3 c = 0    1 c = −  3 1 Vy: fx( )= ( x2 + 2 x − 1) 3 Th l i ta th y hi n nhiên f(x) th a mãn điu ki n bài tốn. Ta ph i ch ng minh m i hàm s khác f(x) s khơng th a mãn điu ki n bài tốn: Th t v y gi s cịn hàm s g(x) khác f(x) th a mãn điu ki n bài tốn. Do f(x) khơng trùng v i g(x) nên ∃x0 ∈ℝ :() gx 0 ≠ fx () 0 . Do g(x) th a mãn điu ki n bài tốn nên: 2()gx+ g (1 − x ) = x2 , ∀∈ x ℝ 2 Thay x b i x 0 ta đưc: 2gx (0 )+ g (1 − x 0 ) = x 0 2 Thay x b i 1 –x0 ta đưc: 2g (1− xgx0 ) + ( 0 ) =− (1 x 0 ) 1 T hai h th c này ta đưc: gx()= ( x2 + 2 x −= 1) fx () 03 00 0 ðiu này mâu thu n v i gx()≠ fx () 0 0 1 Vy ph ươ ng trình cĩ nghi m duy nh t là fx( )= ( x2 + 2 x − 1) 3 2
  4. Nh n xét: N u ta ch d đốn f(x) cĩ d ng nào đĩ thì ph i ch ng minh s duy nh t c a các hàm s tìm đưc. Ví d 5: Hàm s y = f(x) xác đnh, liên t c v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn điu ki n: f(f(x)) = f(x) + x, ∀x ∈ ℝ Hãy tìm hai hàm s nh ư th . Li gi i: Ta vi t ph ươ ng trình đã cho d ưi d ng f(f(x)) – f(x) = x (1). V ph i c a ph ươ ng trình là m t hàm s tuy n tính vì v y ta nên gi s r ng hàm s c n tìm cĩ d ng: f(x) = ax + b. 2 Khi đĩ (1) tr thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x , ∀x ∈ ℝ hay (a –a )x + ab = x, ∀x ∈ ℝ 2 15+  15 − a− a = 1 a=  a = 1± 5 đng nh t h s ta đưc: ⇔ 2 ∨  2 ⇒ f( x )= x . ab = 0 2 b=0  b = 0   Hi n nhiên hai hàm s trên th a mãn điu ki n bài tốn (vi c ch ng minh s duy nh t dành cho ng ưi đc). Ví d 6: Hàm s f : ℤ→ ℤ th a mãn đng th i các điu ki n sau: affn) ( ( ))= n , ∀ n ∈ ℤ (1) bffn) ( (+ 2) + 2) = nn , ∀∈ ℤ (2) c) f (0)= 1 (3) Tìm giá tr f(1995), f(-2007). Li gi i: Cũng nh n xét và lý lu n nh ư các ví d tr ưc, ta đư a đn f(n) ph i cĩ d ng: f(n) = an +b. 2 Khi đĩ điu ki n (1) tr thành: an+ ab + b = n, ∀∈ n ℤ a2 =1 a=1  a = − 1 ðng nh t các h s , ta đưc: ⇔  ∨  ab+ b = 0 b=0 b = 0    a =1 Vi  ta đưc f(n) = n. Tr ưng h p này lo i vì khơng th a mãn (2). b = 0 a = − 1 Vi  ta đưc f(n) = -n + b. T điu ki n (3) cho n = 0 ta đưc b = 1. b = 0 Vy f(n) = -n + 1. Hi n nhiên hàm s này th a mãn điu ki n bài tốn. Ta ph i ch ng minh f(n) = -n +1 là hàm duy nh t th a mãn điu ki n bài tốn: Th t v y gi s t n t i hàm g(n) khác f(n) c ũng th a mãn điu ki n bài tốn. T (3) suy ra f(0) = g(0) = 1, f(1) = g(1) = 0. S d ng điu ki n (1) và (2) ta nh n đưc: g(g(n)) = g(g(n+2)+2) ∀n ∈ ℤ. 3
  5. do đĩ g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2)) ∀n ∈ ℤ Hay g(n) = g(n+2)+2 ∀n ∈ ℤ. Gi s n 0 là s t nhiên bé nh t làm cho fn()0≠ gn () 0 Do f(n) c ũng th a mãn (4) nên ta cĩ: gn(−= 2) gn ()2 += fn ()2 += fn ( − 2) 0 0 0 0 ⇔gn(0 −= 2) fn ( 0 − 2) Mâu thu n v i điu ki n n 0 là s t nhiên bé nh t th a mãn (5). Vy f(n) = g(n), ∀n ∈ ℕ Ch ng minh t ươ ng t ta c ũng đưc f(n) = g(n) v i m i n nguyên âm. Vy f(n) = 1 – n là nghi m duy nh t. T đĩ tính đưc f(1995), f(-2007). BÀI T P Bài 1 : Tìm t t c các hàm s f : ℝ→ ℝ th a mãn điu ki n: 2 fxy(++−− ) fxy ( )2()(1 fxf += y )2(3 xyyx −∀∈ ), xy , ℝ . ðáp s : f(x) = x 3. Bài 2 : Hàm s f : ℕ→ ℕ th a mãn điu ki n f(f(n)) + f(n) = 2n + 3, ∀n ∈ ℕ. Tìm f(2005). ðáp s : 2006. Bài 3 : Tìm t t c các hàm f : ℕ→ ℕ sao cho: ffn( ( ))+ ( fn ( ))2 =++ n 2 3 n 3, ∀n ∈ ℕ. ðáp s : f(n) = n + 1. x−11 − x 8  2  Bài 4 : Tìm các hàm f : ℝ→ ℝ n u: 3f − 5 f   = , ∀∉− x  0, ,1,2  32x+ x − 21 x −  3  28x + 4 ðáp s: f( x ) = 5x Bài 5 : Tìm t t c các đa th c P(x) ∈ℝ[x] sao cho: P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y), ∀x, y ∈ ℝ ðáp s : P(x) = x 3 + cx. Ph ươ ng pháp 2 : ph ươ ng pháp th . 2.1. Th n t o PTH m i: 2x + 1  Ví d 1 : Tìm f: R\{2} → R th a mãn: f  = xxx2 +2 ∀≠ 1() 1 . x −1  2x + 1  Li gi i: ðt t=   ⇒ MGT t= R \{} 2 (t p xác đnh c a f). Ta đưc: x −1  x≠1 t +1 3t 2 − 3 x = th vào (1): f( t )= ∀ t ≠ 2 . Th l i th y đúng. t − 2 ()t − 2 2 4
  6. 3x2 − 3 Vy hàm s c n tìm cĩ d ng f( x ) = . ()x − 2 2 Nh n xét: + Khi đt t, c n ki m tra gi thi t MGT t⊃ D . V i gi thi t đĩ m i đm b o tính ch t: “ Khi x∈ D x t ch y kh p các giá tr c a t thì x = t c ũng ch y kh p t p xác đnh c a f ”.  3x2 − 3  2 ()x ≠ 2 + Trong ví d 1, n u f: R → R thì cĩ vơ s hàm f d ng: f( x ) = ()x − 2 (v i a ∈R  a() x = 2 tùy ý). Ví d 2 : Tìm hàm f : (−∞−; 1] ∪( 0;1 ] → R th a mãn: fxx(−2 −=+ 1) xx 2 −∀≥ 1 x 1() 2 . x− t ≥ 0 Li gi i: ðt txx= −2 −1 ⇔ x 2 − 1 = xt − ⇔  2 2 x−1 =() x − t x≥ t x≥ t  t 2 +1 t ≤ − 1 2 . H cĩ nghi m x t ⇔2 2 2 ⇔  t +1 ⇔ ≥ ⇔  x−=1 x − 2 xt + t x = 2t 0<t ≤ 1  2t ⇒ t ∈( −∞; − 1] ∪ ( 0;1 ]. V y MGT t= D =( −∞−; 1] ∪ ( 0;1 ]. x ≥ 1 1 1 Vi t= x − x 2 − 1 thì xx+2 −1 = ⇒ ft ( ) = th a mãn (2). t t 1 Vy f( x ) = là hàm s c n tìm. x 2  3x− 1  x + 1 Ví d 3 : Tìm f : R\ ;3  → R th a mãn: f  = ∀≠ x1, x ≠− 2 () 3 . 3  x+2  x − 1 3x − 1 2  2t + 1 t + 4 Li gi i: ðt t= ⇒ MGT t= R \ ;3  ⇒ x = th vào (4) ta đưc: f( t ) = x + 2x≠1  3  t t ()x≠2 3− 3− 2 x + 4 th a mãn (3). V y hàm s c n tìm là: f( x ) = . 3x − 2 Ví d 4 : Tìm f : (0;+∞) →( 0; +∞ ) th a mãn: xfxfy( ())= ffy (()) ∀∈+∞ xy ,( 0;) (4) . Li gi i: Cho y = 1, x ∈(0; + ∞ ) ta đưc: xfxf( (1))= ff ( (1)) . 1 1 Cho x = ta đưc: ff( (1)= 1⇒ xfxf ( (1))= 1 ⇒ f( x f (1)) = . ðt: f (1) x 5
  7. f(1) a txf= . (1)⇒ ft ( )= ⇒ ft ( ) = (v i a= f (1) ). Vì f(1)∈( 0; + ∞ ) ⇒ MGT t =( 0; + ∞ ) . t t x∈()0; +∞ a a Vy f( x ) = . Th l i th y đúng (a > 0) . Hàm s c n tìm là: f( x ) = v i (a > 0) . x x Ví d 5 : Tìm hàm f: (0;+∞) →( 0; +∞ ) th a mãn: 1 3   3  f(1)= ;() fxyfxf = ().  + fyf ().  ∀∈+∞ xy ,()() 0; 5 . 2 y   x  Li gi i: 1 Cho x = 1; y = 3 ta đưc: f ()3 = . 2 3  Cho x = 1; y ∈(0; + ∞ ) ta đưc: f() y= f   . Th l i (5) ta đưc: y  3 fxy()2()()= fxfy ∀∈+∞ xy ,( 0;) (5') . Thay y b i ta đưc: x 2 3  1 2 f()()3= 2 fxf ) ⇒  = () fx() . Th l i th y đúng. x 2 1 Vy hàm s c n tìm là: f() x= ∀ x > 0 . 2 Ví d 6 : Tìm hàm f: R → R th a mãn: ( xyfxy−) ( +−+) ( xyfxy) ( −=) 4 xyx( 2 + y 2 ) ∀∈ xyR ,( 6 ) . Li gi i: Ta cĩ: (6)⇔−( xyfxy) ( +−+) ( xyfxy) ( −=) 12 1 2  =+−−+++−()()()()xyxy  xyxy  ()() xyxy ++−  −()() xyxy +−−   4 4  u= x − y 1 2 2 ðt  ta đưc: vfu()()− ufv =+()()()() uvuv − uv +−− uv v= x + y 4 ( ) ⇒ vfu( ) − ufv( ) = uv3 − vu 3 ⇔vfu( ( ) −= u3) ufv( ( ) − v 3 ) + V i uv ≠ 0 ta cĩ: fuufvv( ) −3( ) − 3 fuu( ) − 3 = ∀uvR, ∈ * ⇒ = a⇒ fuauuu() = +3 ∀≠ 0 . u v u + V i u=0; v ≠ 0 suy ra: fuu( ) −=⇔30 fuu( ) = 3 ⇒ f ( 0) = 0 . Hàm f( u) = au + u 3 th a mãn f (0) = 0 . V y fu( ) = auu +3 ∀∈ uR Hàm s c n tìm là: fx( ) = ax + x3 ( a ∈ R ) . Th l i th y đúng. 2.2. Th n t o ra h PTH m i: 6
  8. Ví d 1 : Tìm hàm f: R → R th a mãn: fx( ) + xf( − x) =+∀∈ x1 xR ( 1 ). Li gi i: ðt t= − x ta đưc: fttft(−−) ( ) =−+ t1 ∀∈ tR ( 1 ) . Ta cĩ h :  fx( ) + xf( − x) =+ x 1  ⇒ f() x =1. Th l i hàm s c n tìm là: f( x ) =1. −xfx()() + f −=−+ x x 1 x −1  Ví d 2 : Tìm hàm s f: R \{ 0,1 } → R Th a mãn: fxf() +  =+1 xxR ∀∈ * () 2 . x  x −1 Li gi i: ðt x=,()()() 2 ⇔ fxfx + =+ 1 x . 1 x 1 x1 −1 1 ðt x2 = =,()()() 2 ⇔ fxfxx1 + 2 =+ 1 1 . x1 x −1 x2 −1 ðt x3= = x,()()() 2 ⇔ fxfx 2 + =+ 1 x 2 . x2  fx( ) + fx( ) =1 + x  1 1+x − x1 + x 2 1 1 1  Ta cĩ h  fxfx()()2+ 1 =1 + xfx 1 ⇒ () = =++ x  . Th l i th y  2 2x 1 − x   fx()()+ fx2 =1 + x 2 1 1 1  đúng. Vy hàm s c n tìm cĩ d ng: f() x= x + +  . 2x 1 − x  x −1  Ví d 3 : Tìm hàm s f: R \{ − 1;0;1 } → R th a mãn: xfxf() +2  =∀≠− 1 x 13() . x +1  Li gi i: x −1 ðt x= ,3()()()⇒ xfx+ 2 fx = 1 . 1 x +1 1 x1 −1 1 ðt x2= = − ,3()()()⇒ xfxfx 112+ 2 = 1 . x1 +1 x x2 −1 x +1 ðt x3 = = ,3()()()⇒ xfxfx2 2+ 2 3 = 1 . x2 +1 x − 1 x3 −1 ðt x4= = x,3()()()⇒ xfx 3 3 + 2 fx = 1 . x3 +1 xfx( ) +2 fx( ) = 1  1 2 xfx1()() 1+2 fx 2 = 1 4x− x + 1 Ta cĩ h  ⇒ f() x = . Th l i th y đúng. xfx2()() 2+2 fx 3 = 1 5x() x − 1  xfx3()() 3 +2 fx = 1 7
  9. 4x2 − x + 1 Vy hàm s c n tìm là: f() x = . 5x() x − 1 BÀI T P 1  1) Tìm f: R \{ 1 } → R th a mãn: f1+  = x2 + 1 ∀∈ xR . x  a  b− ax  x2 a 2) Tìm f: R \ −  → R th a mãn: f  = ∀≠− x (a, b là h ng s cho b  bx+ a  x4 + 1 b tr ưc và ab ≠ 0 ). 3) Tìm f: R→ R th a mãn: f(2002 xf−( 0)) = 2002 xxR2 ∀∈ . 1 1  4) Tìm f: R \{ 0 } → R th a mãn: fx() + f  =∀∈1 xR \{} 0;1 . 2x 1 − x  1− x  5) Tìm f: R \{ ± 1;0 } → R th a mãn: ()fxf()   =64 xxR ∀∈ \{} − 1 . 1+ x  2  2x  2 6) Tìm f: R \   → R th a mãn: 2fxf() +  = 996 xx ∀≠ . 3  3x − 2  3 x−3  x + 3  7) Tìm f: R \{ ± 1 } → R th a mãn: f + f  = xx ∀≠± 1. x+1  1 − x  8) Tìm f: R→ R th a mãn: 2fx( ) + f( 1 −= xx) 2 ∀∈ xR . 1  9) Tìm f: R→ R th a mãn: fxf() +  = x2008 ∀∈ xR * . x  1  x −1  1 10) Tìm f: R \ ±  → R th a mãn: fxf() +  =∀≠ xx . 3  1− 3x  3 a2  11) Tìm f: R→ R th a mãn: fxf() +  =∀≠ xxaa() > 0 . a− x   fx(2++ 122) gx( += 1) 2 x  12) Tìm fgR, : \1{ } → R th a mãn:  x  x  ∀x ≠ 1.  f + g  = x  x−1  x − 1  Ph ươ ng pháp 3 : Ph ươ ng pháp chuy n qua gi i h n. 2x  3 x Ví d 1 : Tìm hàm s f: R→ R liên t c, th a mãn: fxf() +  = ∀∈ xR () 1 . 3  5 Li gi i: 2x 3 ðt x= ;()()() 1 ⇒ fxfx+ = x . 1 31 5 2x 3 ðt x= 1 ;()()() 1 ⇒ fxfx+ = x . 23 121 5 8
  10. 2x 3 ðt x=n , nN ∈ * ;()()() 1 ⇒ fxfx+ = x . n+1 3n n+ 1 5 n  3  fx()()+ fx1 = x ()1  5 3  fx()()+ fx = x ()2 Ta cĩ h  1 25 1    3 fxfx()()+ = x() n + 1  n n+1 5 n Nhân dịng ph ươ ng trình th (i) v i (-1) i+1 r i c ng l i ta đưc: 2 n  n+2 322  2 fx()()()+−1 fxn+1 = x  1 −+ −+−⋯   () * . 533  3  ()f l.tơc Xét lim− 1n+2 fx  = lim fx  = fx lim = f 0 . ()()n+1  () n + 1  () n + 1 () n+2 Mt khác (1) suy ra f(0) = 0 nên lim()()− 1f x n+1 = 0 . 3 1 9 x Ly gi i h n hai v c a (*) ta đưc: f x= x = . Th l i th y đúng. () 2 51+ 25 3 9x Vy hàm s c n tìm là: f() x = . 25 Ví d 2 : Tìm hàm s f liên t c t i x o= 0 th a mãn: f: R→ R và 2f( 2 x) = fx( ) + x ∀∈ xR ( 2 ). Li gi i: t  t ðt t= 2 x ta đưc: 2ftf() =  + ∀∈ tR ()2 ' . 2  2  1 t= t, ∀ nN ∈ *  n+1 2 n Xét dãy:  . Thay dãy {t n} vào (2’) ta đưc: 1 t= t  1 2  1 1  ft() = ft()1 + t ()1  2 4 1 1  ft() = ft() + t ()2  12 2 4 1 . Th (n) vào (n−1) →( n − 2 ) → ⋯ ta đưc: ⋯⋯   1 1 ft() = ft() + t() n  n−12 n 4 n − 1 11 1 1 ' ft() =n ft()n + n+1 ft() n−1 + n ft() n − 2 ++⋯ 2 t ()* . 22 2 2 9
  11. 1  n 1 11 1  ’ đư " Thay tn =   t vào (* ) ta c: ft() =n ft()n + t 2 +++ 4⋯ 2 n  ()* . 2  2 22 2  1  ” t Vì f liên t c t i x o = 0 nên limf() t  = 0 . L y gi i h n 2 v (* ) suy ra: f() t = . Th 2n n  3 li th y đúng. Nh n xét: +) N u dãy {x n} tu n hồn thì ta gi i theo ph ươ ng pháp th r i quy v h pt hàm. +) N u dãy {x n} khơng tu n hồn nh ưng f liên t c t i x o = 0 và {x n} → 0 thì s d ng gi i h n nh ư VD1. + N u {x n} khơng tu n hồn, khơng cĩ gi i h n thì ph i đi bi n đ cĩ dãy {t n} cĩ gi i h n 0 và làm nh ư ví d 1. BÀI T P 1) Tìm f: R→ R th a mãn: a) f liên t c t i x o = 0, b) nfnx( ) = fx( ) + nx ∀∈ nNn, ≥∀∈ 2; xR . x  10 2) Tìm f: R→ R liên t c t i x o = 0, th a mãn: fxf()3 +  = x . 3  3 3) Tìm f: R→ R liên t c t i x o = 0, th a mãn: mfmx( ) − nfnx( ) =+( mnx) ∀∈ mn, N* , m ≠∀∈ n , x R . Ph ươ ng pháp 4 : Ph ươ ng pháp xét giá tr . +) ðây là ph ươ ng pháp c ơ s c a m i ph ươ ng pháp khác. +) Khi v n d ng ph ươ ng pháp c n chú ý s d ng k t qu v a cĩ đưc. (afx) ( ) ≥0 ∀ xR ∈ Ví d 1 : Tìm f: R→ R th a mãn:  . ()()()()bfxy+≥ fx + fy ∀∈ xyR, Li gi i: x = 0  f (0) ≥ 0 Cho  suy ra  ⇒ f ()0= 0 . y = 0  f()()0≥ 2 f 0 f(0) ≥ fxfx( ) +−( )  fxfx( ) +−≤( ) 0 Cho y= − x ⇒ ⇒  fx()()≥0, fx −≥ 0  fx()() ≥ 0, fx −≥ 0 ⇒ fx( ) = fx( −) =0 ∀∈ xR . V y f( x ) = 0 . Th l i th y đúng. Ví d 2 : Tìm f: R→ R th a mãn: 1 1 1 fxy() + fyz()()() − fxfyz ≥∀∈ xyzR, ,() 2 . 2 2 4 Li gi i: 10
  12. 2 2 1 1  1 Cho x= z, y = 1 ta đưc: fxfx()()−() ≥⇔ fx() −≤⇔  0 fx() = . Th l i th y 4 2  2 đúng. Ví d 3 : Tìm f: R→ R th a mãn: fx( ) = Max{ xyfy −( ) } ∀∈ xR ( 3 ) . y∈ R Li gi i:(3) ⇒ fx( ) ≥− xy fy( ) ∀∈ xy , R . t 2 Cho xytR= = ∈ ⇒ ft() = ∀ tRa ∈ () . 2 T (a) suy ra: 2 2 2 2 y x1 2 x x xy− f() y ≤−=− xy() x −≤ y ⇒ fxM()()=ax {} xyfy − ≤∀∈ xRb() 222 2 y∈ R 2 x2 ()()()a+ b⇒ fx = . Th l i th y đúng. 2 Ví d 4 : Tìm f: R→ R th a mãn: fxy( +≥) fxfy( ) ( ) ≥2008x+ y ∀∈ xyR ,( 4 ). Li gi i: 2 Cho xy= = 0⇒ f()() 0≥( f 01) ≥ ⇒ f () 01= . Cho 1 xyR= − ∈ ⇒10= f()()()()()() ≥ fxfx −≥ 1⇒ fxfx− = 1 ⇒ fx= ∀ xRa ∈ () . f()− x  f( x ) ≥2008x > 0 Cho yxRfx=0; ∈ ⇒ ≥ 2008 x ⇒  b . () − x ()  f()− x ≥2008 > 0 1 1 Theo ()()()abfx+ ⇒ = ≤ = 2008 x () c . (b) + ( c)⇒ fx( ) = 2008 x . Th l i f()− x 2008 −x th y đúng. Ví d 5 : Tìm f:[ ab ;] → [ ab ; ] th a mãn: fx( ) − fy( ) ≥−∀∈ xy xy,[ ab ; ] (a < b cho tr ưc) (5). Li gi i: Cho xayb=; = ⇒ fa( ) − fb( ) ≥−=− ab baa( ) . vì fa( ), fb( )∈[ ab ; ] nên fa( ) − fb( ) ≤−=− abbab ( ) . 11
  13.  f() a= a   f() b= b ()()()()a+ b⇒ fa− fb = ba − ⇔  .  f() a= b   f() b= a  f( a) = a +) N u  thì:  f() b= b Ch n ybx=; ∈ [ ab ;]⇒ fx( ) ≤ xc ( ). Ch n yax=; ∈ [ ab ;]⇒ fx( ) ≥ xd ( ) . (c) + ( d) ⇒ fx( ) = x .  f( a) = b +) N u  thì:  f() b= a Ch n y= bx; ∈ [ ab ; ] r i ch n y= ax; ∈ [ ab ; ] nh ư trên ta đưc: fx( ) = abx + − . Th li th y đúng. Nh n xét: +) T VD1 → VD5 là các BPT hàm. Cách gi i nĩi chung là tìm các giá tr đc bi t – cĩ th tính đưc tr ưc. Sau đĩ t o ra các B ðT “ ng ưc nhau ” v hàm s c n tìm đ đư a ra k t lu n v hàm s . +) Vi c ch n các tr ưng h p c a bi n ph i cĩ tính “ k th a”. T c là cái ch n sau ph i da vào cái ch n tr ưc nĩ và th các kh n ăng cĩ th s d ng k t qu v a cĩ đưc. Ví d 6 : Tìm f: R→ R th a mãn:  π  f()0= af ;   = bab() , chotr−íc  2  ()6 .   fxy()()()++−= fxy2 fx cos y ∀∈ xyR , Li gi i: π π  π  Cho y=; x ∈ R ta đưc: fx+  + fx −  = 0 () a . 2 2  2  Cho x=0; y ∈ R ta đưc: fy( ) + fy( −) = 2 a cos yb( ). π π  π  Cho x=; y ∈ R ta đưc: f++ yf  −= ybyc  2 cos (). 2 2  2  12
  14.  π  π   fx+  + fx −  = 0  2  2   π π  π ()()()abc+ + ⇒  fx−+ f −= xax2 cos  − .  2 2  2  π  π   fx+  + f −= xbx  2 cos  2  2  Gi i h ta đưc: fx( ) = acos xb + sin x . Th l i th y đúng. Ví d 7 : Tìm f: R→ R th a mãn: fxfy( ) ( ) =++ fxy( ) sinsin x y ∀∈ xyR ,( 7 ). Li gi i: Ta th y f( x) = cos x là m t hàm s th a mãn. 2  f (0) = 0 Cho xy= =0 ⇔() f() 0 = f () 0 ⇔  .  f ()0= 1 Nu f (0) = 0 thì: Cho y=0; xR ∈ ⇒ fx( ) =− f( 00) = ∀∈ xR . Th l i ta đưc: sinx sin y= 0 ∀ xyR , ∈ ⇒ vơ lý. V y f( x ) = 0 khơng là nghi m (7). Nu f (0) = 1 thì cho xyfxfx= − ⇒ ( ) (−=+−) 1( sin2 x) = cos 2 xfxfx⇒ ( ) (−) = cos 2 xa ( ) .  π   f   = 0 π 2  Cho x = ⇒  . 2  π   f −  = 0  2  π  π Nu f   = 0 thì: Cho x=; y ∈ R th vào (7) suy ra: 2  2 π  fy+  +sin y = 0⇒ fy() = cos yyR ∀ ∈ . Th l i th y đúng. 2  π  Nu f −  = 0 t ươ ng t nh ư trên ta đưc: fy( ) =cos yyR ∀ ∈ . 2  Vy hàm s c n tìm là: f( x) = cos x . Ví d 8 : Tìm fgR, : → R th a mãn: fx( ) − fy( ) =cos( xygxy +) ( −∀∈) xyR , ( 8 ) . Li gi i: π π  π Ch n x= − yyR; ∈ () 8⇒ f−− yfy() =⇔ 0 f  −= yfya()() . 2 2  2 π π  π Ch n x= + yyR; ∈ () 8⇒ f+ yfy −() =− sin2. yg  () b . 2 2  2 13
  15. π π  π ()()abf+ ⇒ + yf − − y =− sin 2 yg .  () c . 2 2  2 π  π  Theo (8): f+ yf  − − y  =− gyd()()2 . 2  2  π  ()()()cdgy+ ⇒ 2= sin2. yg  ∀ yRgxa ∈ ⇒ ()() 2= sin2 xgxax⇒ = sin ∀x ∈ R . 2  π  (v i a= g   cho tr ưc.) 2  a Cho y=0; xRfxf ∈ ⇒ ()()()()− 0cos. = xgx⇒ fx= sin2 xbbf += (() 0), ∀∈ xR . 2  a  fx() =sin 2 xb + Th l i 2 hàm s :  2 (V i a, b là h ng s cho tr ưc). Th a mãn (8).  gx() = asin x    f()()()− x =− fx ∀∈ xRa  Ví d 9 : Tìm f: R→ R th a mãn:  fx()()()+=1 fx +∀∈ 1 xRb .   1  f() x f  = ∀ x ≠ 0 () c  x  x 2 Li gi i: x +1  Ta tính f   đn f( x ) theo hai cách: x  x +1  1   1 f( x ) ff =11 +=+  f  =+ 1 ∀≠ xa 0 () . x  x   xx 2 x 1  f f 1−  2 x+1x+1 x + 1   x + 1 1  f = = = 1 +−=f  xx 2  x  2  x x +1      x+1   x + 1  x+12   1   x + 1 2 f() x +1  =1 +−f = 1 −  =     2  x  x+1   x ()x +1  x +1  2 1+ f() x  1−  ∀≠x 0, x ≠ 1 b .   2  () x  ()x +1  (a) + ( b)⇒ fxxx( ) =∀≠ 0; x ≠ 1 . Vi x= 0;( a)⇒ f ( 00) = th a mãn f( x) = x . Vi xaf=1;( ) ⇒ (− 1) = − f ( 1 ) : Cho xbf= 0;( ) ⇒ ( 11) = ⇒ f (− 11) = − th a mãn f( x) = x . 14
  16. Vy fx( ) = x ∀ x ∈ R . Th l i th y đúng . Ví d 10 : Tìm f: R \{ 0 } → R th a mãn:  f(1) = 1 ( a )   1  1   1  f = ff  .  ∀ xyb , ≠ 0 () .  xy+  x   y  ()()()()()()xyfxy++= xyfx fy ∀ xy ,tháamn xyxy +≠ 0 c Li gi i: 1   1 Cho x= y ∈ R*,( b ) ta đưc: f = 2 f  ⇒ fxfxx()()()= 22 ∀ ≠ 0* 2x   x 2 2 Cho x= y ∈ R*,( c ) ta đưc: 22xfxxfx()()=2 ( ) ⇔ 22 fxxfx()() =( ) ∀≠ x 0 (* ' ). 2 Th (*) vào (* ’) suy ra: fx()()= xfx( ) ( * " ) . * ” Gi s : ∃xo ≠1, x o ∈ R sao cho: f(xo) = 0. Thay x= 1 − xyxo ; = o vào (* ) ta đưc: f(1) = 0 trái v i gi thi t f(1) = 1. V y fx( ) ≠∀≠0 x 1; x ≠ 0 . 1 Vì f (1) = 1 ≠ 0 nên t (* ”) suy ra f() x= ∀ x ≠ 0 . Th l i th y đúng. x Ví d 11 : Tìm f: R→ R th a mãn:    f()()1= 1 a   fxy()()()()+= fx + fy +2 xyxyRb ∀∈ , .   1  f() x f  = ∀ x ≠ 0 () c  x  x 4 Li gi i: Cho xy==0,( b) ⇔ f ( 00) = Cho xyt==≠0,( b) ⇔ ft( 22) − ft( ) = 21 t 2 ( ) . 1 1  11  Cho xy==,() b ⇔ f − 2 f   = () * 2t t  2 tt  2 2 1ft( )  1 ft(2 ) ft( ) ft(2 ) 1 T ()c⇒ f=; f  = . Th vào (*) ta đưc: −2 = () 2 . t t4 2 t ()2t 4 t4()2t 4 2 t 2 (1) + ( 2)⇒ ft( ) = t2 ∀ t ≠ 0 . T f(0) = 0 ⇒ ftttR( ) =2 ∀ ∈ . Th l i th y đúng. Ví d 12 : Cho hàm s f :0;( +∞→) ( 0; +∞ ) th a mãn: f( x )  f  = yfyffx()()() ∀∈+∞ xy,()() 0; 12 . y  15
  17. Li gi i: Cho: xy= = 1⇒ ff( ( 1)) = fff( 1.) ( ( 1)) ⇒ f ( 11) = vì ff( (10)) ≠ ⇒ ff( ( 11)) = . 1  f   f ()1  y  xy=1; ∈() 0; +∞ ⇒ f  = yfyff()()() 1 =⇔= yfyfy()() () a . y  y Mt 1     f      y   1   f() y khác: ffy()() == f yfyff()    = yfyfyfy()()() = yfyf()   y   y   1        y  1 1  = yfy() f  ffy()() . y y  1 1  1 Vì f( f( y )) ≠ 0 nên yfy() f=1 ⇔ fyf()  = 1 () b . y y  y 1 ()()()ab+ ⇒ fy= ∀∈ y ()0; +∞ . Th l i th y đúng. y Ví d 13 : Tìm f: R→ R th a mãn:  1  f()0 = () a  2 .  ∃∈aRfayfx: ()()()()()() − +− faxfy =+∀∈ fxy xyRb, Li gi i: 1 Cho xy= = 0, ()() b⇒ fa = . 2 Cho y=0; x ∈ R ta đưc: fx( ) = fxfa( ).( ) + f( 0) . fax( − ) ⇒ fx( ) = faxc( − ) ( ) . 2 2 Cho y= a − xx; ∈ R ta đưc: fa()()=( fx) +( fax() − ) () d .  1  f() x = 2 1 ()()()c+ d⇒ 2() fx = ⇔  2 . 2 1  f() x = −  2 1 Nu ∃x ∈ R sao cho: f() x = − thì: o o 2 2 1 ()b xx   x x ()c   x  −==+=fxf() oo 2. f  o fa −= o  2 f  o  ≥ 0 ⇒ Vơ lí. 2o  222   2   2  1 Vy fx() = ∀ xR ∈ . Th l i th y đúng. 2 16
  18. Ví d 14 : (VMO.1995) 2 2 Tìm f: R→ R th a mãn: fxy(()−=−) x2 2 yfx()() +( fy) ∀∈ xyR ,() 14 . Li gi i: 2  f (0) = 0 Cho xy= = 0⇒ f()() 0=() f 0 ⇔  .  f ()0= 1 y = 0 Nu f (0) = 0 : Cho  ta đưc: fx( 2) = x 2 ⇒ ft( ) = tt ∀ ≥ 0 x∈ R 2 2 Cho x= y ∈ R ta đưc: f()()()0=− x2 2 xfx +( fx) ⇔( fxx() −=⇔) 0 fxx() = . Th l i th y đúng. y = 0 Nu f (0) = 1 : Cho  ta đưc: fx( 2) = x 2 +⇔1 ftt( ) =+∀≥ 1 t 0 . x∈ R 2 2 Cho x=0; y ∈ R ta đưc: fy( 2 ) = −2 yfy + ( ()) ⇒ ( fy()) = fy( 2 ) + 2 y  f( y) = y + 1 =y2 ++1 2 y =() y + 1 2 ⇒  .  f() y= − y − 1 Gi s ∃yo ∈ R sao cho: f( yo) = − y o − 1. Ch n x= y = y o ta đưc:  f y= y − 1 2 2 ( o) o 1=yooo − 2 yfy()() +() fy o ⇔  .  f() yo= y o + 1 Nu fyy( oo) = − 1⇒ − y o −= 1 y o − 1⇒ y o = 0v f ( 01() = − lo¹i) . Nu fyy( oo) = + 1⇒ − yy o −= 11 o + ⇒ y o = − 1⇒ f (− 10) = . Th a mãn: f( yo) = y o + 1. V y fy( ) = y +1 ∀∈ yR . Th l i th y đúng. Ví d 15 : (VMO.2005) Tìm f: R→ R th a mãn: ffxy( ( −=)) fxfy( ) ( ) − fx( ) + fy( ) −∀∈ xyxyR,( 15 ) . Li gi i: 2 Cho xy= = 0⇒ ff( () 0) = ( f () 0 ) . ðt f(0) = a ⇒ faa( ) = 2 . 2 2 Cho xyR= ∈ ⇒ ( fx()) = xfa2 + ()()⇒ ( fx) = xa 2 + 2 () * . 2 2  fx( ) = f( − x ) ⇒ ()fx() =() fx() − ⇒  .  fx()()= − f − x * Nu ∃xo ∈ R sao cho fx( o) = f( − x o ) : ⇒ + Ch n x=0; y = − xo ffx( ( o)) = afx( − o) −+ afxa( − o ) ( ) . 17
  19. ⇒ + Ch n y=0; x = − xo ffx( ( o)) = afx( o) + afxb − ( o ) ( ) . ⇒ (abafx) + ( ) ( ( o) −−− fx( o)) ( fx( o) +−+= fx( o )) 2 a 0 ( c ) . ()* ⇒ 2 22⇒ 2 22 ⇒ Vì fx( o) = f( − x o ) nên fx()o= a() fx() o = xa0 + axa= 0 + x o = 0 trái v i * gi thi t xo ∈ R . Vy fx( ) =− f( − x) ∀∈ xR . Ta th y (c) khơng ph thu c vào x o nên ta cĩ: afxfx( ( ) −−−( )) ( fxfx( ) +−+=( )) 2 a 0 ( c ) . Thay fx( ) = − f( − x ) suy ra: a = 0 a() f() x +1 = 0 ⇔  .  f() x = − 1 ()* 2  f( x) = x + N u a= 0⇒() fx() = x 2 ⇔  .  f() x= − x * Gi s t n t i xo ∈ R đ f( xo) = x o . Khi đĩ (b) suy ra: * xo= fx( o) = ax o +− ax oo⇒ x = 0 trái gi thi t xo ∈ R . Vy fx( ) =− xxR ∀ ∈ . Th l i th y đúng + N u fx( ) =−1 ∀ xR ∈ . Th l i ta đưc (15) ⇔xy =∀ 2 x , y ∈ R . Vơ lí. Vy hàm s c n tìm là: f( x) = − x . Nh n xét : Cĩ m t suy lu n hay nh m l n đưc s d ng các VD:  1   f() x =    2 1 2 2 2 f() y= y + 1 VD13 ()f() x = ⇔   ; VD14 ()f() y=() y +1 ⇔   ; 4  1   f() y= − y − 1  f() x = −     2    2  f() x= x VD15  f x= x 2 ⇔   , đĩ là hi u sai: ()()   f() x= − x   1  fx() = ∀ xR ∈ 2 1 2 ()f() x = ⇔  ; 4 1  fx() =− ∀∈ xR  2 2  fy( ) = y +1 ∀∈ xR ()f() y=() y +1 2 ⇔  ;  fy() =− y −1 ∀∈ xR 2  fx( ) = x ∀ xR ∈ ()f() x= x 2 ⇔  .  fx() =− x ∀ xR ∈ 18
  20. 2 1 Th c t th ưng là nh ư v y nh ưng v m t logic thì khơng đúng. ()f() x = thì f( x ) cĩ th 4 1  1  ()x ≥ 0  f() x = 2 2 1 2 là hàm khác n a nh ư f() x =  . Nh ư v y ()f() x = ⇔  ch 1 4 1 −()x < 0  f() x = −  2  2 1 đúng v i m i x c th ch khơng th k t lu n ch cĩ hai hàm s fx() = ∀ xR ∈ ho c 2 1 fx() =− ∀ xR ∈ . 2 1 1 ð gi i quy t v n đ này ta th ưng “ th ” fx() = ∀ xR ∈ ho c fx() =− ∀ xR ∈ vào đ 2 2 1 bài đ tìm hàm s khơng th a mãn (trong VD13 thì f() x = khơng th a mãn) sau đĩ l p 2 1 lu n ph đnh là ∃x: f() x = − đ d n đn vơ lí! o o 2 Ví d 16 : Tìm f : (0,1) → ℝ th a mãn: f(xyz) = xf(x) + yf(y) +zf(z) ∀x, y , z ∈ (0,1) . Li gi i: Chn x = y = z: f(x 3) = 3xf(x). Thay x, y, z b i x 2: f(x 6) = 3 x 2 f(x 2). Mt khác: f(x 6) = f(x. x 2 .x 3) = xf(x) + x 2 f(x 2) + x 3 f(x 3). ⇒ 3 x 2 f(x 2) = xf(x) + x 2 f(x 2) + 3x 4 f(x) ⇔ 2 x 2 f(x 2) = xf(x) + 3x 4 f(x) 3x3 + 1 ⇒ fx(2 )= fxx ( ), ∀ ∈ ℝ 2 Thay x b i x 3 ta đưc : 3x9 + 1 fx(6 )= fxx ( 3 ), ∀ ∈ ℝ 2 3x9 + 1 ⇒ 3xfx2 () 2 = 3(), xfxx ∀ ∈ ℝ 2 31x3+ 31 x 9 + ⇒ 3x2 fx ()= 3(), xfxx ∀ ∈ ℝ 2 2 ⇒ f( x )= 0, ∀ x ≠ 0 Vy f(x) = 0 v i m i x ∈(0; 1). BÀI T P 5 1) Tìm f: N→ R th a mãn: f()()0≠ 0; f 1 = ; 2 fxfy( ) ( ) = fxy( ++) fxy( −) ∀∈ xyNxy, , ≥ . 2) Tìm f: N→ R th a mãn: fmn( ++−=) fnm( ) f(3 n) ∀∈ mnNnm , , ≥ . 19
  21. 3) Tìm f: R→ R th a mãn: fxfy( ( )) = yfx( ) xy, ∈ R . 4) Tìm f: R→ R th a mãn: fx(( +1) fy( )) = yfx( ( ) + 1) xyR , ∈ . 5) Tìm f :0;( +∞) →( 0; +∞ ) th a mãn: fx( ) = Max xyyxfy2 +− 2 ( )  ∀∈+∞ x ( 0; ) . y∈()0; +∞   6) Tìm f: R→ R th a mãn: fxy( ) − fxy( −+) fxy( ++=++∀∈1) xy 21 x xyR , .  fxy( ) = fxf( ) ( y ) 7) Tìm f :[ 1;+∞) →[ 1; +∞ ) th a mãn:  ∀x, y ∈[ 1; +∞ ) .  ffx()() = x 8) Tìm f: R→ R th a mãn: fxy( ) = fxfy( ) ( ) −++∀∈ fxy( ) 1 xyR , . 9) Tìm f: R→ R th a mãn: ( fx( ) + fz( ))( fy( ) +=−++∀ ft( )) fxyzt( ) fxtzy( ) xyztR, , , ∈ . 10) Tìm f: R→ R th a mãn: fx( 2−= y 2 ) xfy( ) − yfx( ) ∀∈ xyR, . 11) Tìm f: N →[ 0; + ∞ ) th a mãn: 1 f()()()11;= fmnfmn ++−=() fmfn()() 22,, + ∀∈≥ mnNmn . 2 x+ y  fx( ) + fy( ) 12) Tìm f: Z→ R th a mãn: f  = ∀∈+ xyZxy, ;()⋮ 3 . 3  2 13) Tìm f: N→ N th a mãn: 3fn( ) − 2 ffn( ( )) =∀∈ n nN . 14) Tìm f: Z→ Z th a mãn: f(1;) =∈ aZfmn( ++−=) fmn( ) 2( fm( ) + fn( )) ∀∈ mnZ , . 15) Tìm f: R→ R th a mãn: fx( 3 +2 y) = fxy( ++) fxy( 31, ++∀∈) xyR . 16) Tìm f: R→ R th a mãn: xfx2 ( ) + f(1 −= x) 2 xx −4 ∀∈ xR . Ph ươ ng pháp 4 : S d ng tính ch t nghi m c a m t đa th c. Ví d 1 : Tìm P(x) v i h s th c, th a mãn đng th c: (x32+++ 3 x 3 x 2) Px ( −=−+− 1) ( x 32 3 x 3 x 2) Pxx ( ), ∀ (1) Li gi i: (1)⇔+ (x 2)( xxPx2 ++ 1) ( −=− 1) ( x 2)( xxPxx2 −+ 1) ( ), ∀ Ch n: x= − 2⇒ P (2)− = 0 x= − 1⇒ P (− 1) = 0 x= 0 ⇒ P (0)= 0 x=1 ⇒ P (1)= 0 Vy: P(x) = x(x – 1)(x + 1)(x + 2)G(x). 20
  22. Thay P(x) vào (1) ta đưc: (x+ 2)( xx2 ++−− 1)( x 1)( x 2) xxGx ( + 1) ( −=− 1) ( x 2)( xxxx2 −+ 1) ( −++ 1)( x 1)( xGxx 2) ( ), ∀ ⇒ ( xx2++1) Gx ( −=−+ 1) ( xx 2 1) Gxx ( ), ∀ Gx(− 1) Gx ( ) ⇔ =, ∀ x xx2−+1 xx 2 ++ 1 Gx(− 1) Gx ( ) ⇔ =, ∀ x (x−+−+ 1)2 ( x 1) 1 xx 2 ++ 1 G( x ) ðt R( x )= (x ≠ 0, ± 1, -2) x2 + x + 1 ⇒ Rx( )= Rx ( − 1) (x ≠± 0, 1, -2) ⇒ R( x )= C Vy Px( )= Cx (2 ++ x 1) xx ( − 1)( x + 1)( x + 2) Th l i th y P(x) th a mãn điu ki n bài tốn. Chú ý: N u ta xét P(x) = (x 3 + 1)(x – 1) thì P(x + 1) = (x 3 + 3x 2 + 3x + 2)x. Do đĩ (x 3 + 3x 2 + 3x + 2)xP(x) = (x 2 – 1)(x 2 – x + 1)P(x + 1). T đĩ ta cĩ bài tốn sau: Ví d 2 : Tìm đa th c P(x) v i h s th c, th a mãn đng th c: (x 3 + 3x 2 + 3x + 2)xP(x) = (x 2 – 1)(x 2 – x + 1)P(x + 1) v i m i x. Gi i quy t ví d này hồn tồn khơng cĩ gì khác so v i ví d 1. Tươ ng t nh ư trên n u ta xét: P(x) = (x 2 + 1)(x 2 – 3x + 2) thì ta s cĩ bài tốn sau: Ví d 3 : Tìm đa th c P(x) v i h s th c th a mãn đng th c: (4x2++ 4 x 2)(4 x 2 − 2 xPxx ) ( ) =+ ( 22 1)( xxPx −+ 3 2) (2 +∀∈ 1), x ℝ Các b n cĩ th theo ph ươ ng pháp này mà t sáng tác ra các đ tốn cho riêng mình. Ph ươ ng pháp 5 : S d ng ph ươ ng pháp sai phân đ gi i ph ươ ng trình hàm. 1. ðnh ngh ĩa sai phân: Xét hàm x(n) = x n: Sai phân c p 1 c a hàm x n là: △xn= x n+1 − x n 2 Sai phân câp 2 c a hàm x n là: △xxnn= △+1 −= △ xx nn + 2 −2 xx nn + 1 + k k i i Sai phân câp k c a hàm x n là: △ xn=∑ ( − 1) C knki x + − i=0 2. Các tính ch t c a sai phân: +) Sai phân các c p đu đưc bi u th qua các giá tr hàm s . +) Sai phân cĩ tính tuy n tính: ∆k(af + bg ) =∆ a k f +∆ b k g k +) N u x n đa th c b c m thì ∆ xn : Là đa th c b c m – k n u m > k. Là h ng s n u m = k. Là 0 n u m < k. 21
  23. 3. N i dung c a ph ươ ng pháp này là chuy n bài tốn ph ươ ng trình hàm sang bài tốn dãy s và dùng các ki n th c dãy s đ tìm ra các hàm s c n tìm. Ví d 1 : Tìm f: N → R tho mãn : f(1) = 1 và 2f(n).f(n+k) = 2f(k-n) + 3f(n).f(k) ∀ k, n ∈N, k ≥ n. Li gi i: 2  f (0)= 0 Cho n = k = 0 ta đưc: (f(0)) + 2f(0) = 0 ⇔  .  f (0)= − 2 + N u f(0) = 0 thì chn n = 0, k ∈ N ta đưc: f(k) = 0 trái gi thi t f(1) = 1. + N u f(0) = - 2 thì ch n n = 1, k ∈ N * ta đưc: 2.f(k+1) - 3.f(k) - 2.f(k-1) = 0. u= −2; u = 1 ðt u = f(k) ta đưc dãy s : 0 1 . k  * 2uk+1− 32 uu k − k − 1 =∀∈ 0 k ℕ 1 k T đây tìm đưc u k = f(k) = −2.( − ) ∀∈k N . Th l i th y đúng. 2 Ví d 2 (D tuy n IMO 1992): Cho a, b> 0. Tìm f: [0; + ∞) → [0; + ∞) tho mãn : f(f(x))+a.f(x) = b.(a+b).x ∀x∈ [0; + ∞) (2) Li gi i: C đnh x ∈ [0; + ∞) và đt u 0 = x, u 1 = f(x), u n+1 = f(u n). T (2) ta đưc : n n un+2 + a.u n+1 - b.(a + b).u n = 0. Gi i dãy s trên ta đưc: u n = c 1.b + c 2.(-a -b) (*). un b n n b Vì u n ≥ 0 ∀n∈N nên ta cĩ: 0≤ =c .( ) +− c .(1) . M t khác: 0 0 thì khi n l và n đ l n thì < 0 vơ lí !; cịn n u n→+∞ a+ b (a+ b ) n un c2 < 0 thì khi n ch n và n đ l n thì < 0 vơ lí !. V y c 2 = 0. Thay vào (*) ta đưc (a+ b ) n n un = c 1.b . T u 0 = x suy ra c 1 = x và f(x) = bx. Do đĩ f(x) = bx ∀x∈[0;+ ∞). Th l i th y đúng. Ví d 3 : Tìm t t c các hàm f : ℝ→ ℝ th a mãn: f(f(x)) = 3f(x) – 2x , ∀x ∈ ℝ Li gi i : Thay x b i f(x) ta đưc: f(f(f(x))) = 3f(f(x)) – 2f(x) , ∀x ∈ ℝ ffx( ( ))= 3 ffx ( ( )) − 2 ffx ( ( )) n+2 n + 1 n Hay fn+2() x= 3 fx n + 1 ()2 − fxn n (), ≥ 0 ðt x= fxn( ), ≥ 0 ta đưc ph ươ ng trình sai phân: x=3 x − 2 x n n n+2 n + 1 n Ph ươ ng trình đc tr ưng là: λλ2 −320 +=⇔ λλ =∨= 1 2 22
  24. n Vy xn = c1 + c 2 2 x= c + c = x Ta cĩ:  0 1 2 x1= c 1 +2 c 2 = fx ( ) T đĩ ta đưc c1=−2 xfxc ( ), 2 = fx ( ) − x Vy fx( ) = x + c 2 ho c fx( )= 2 xc − 1 Ph ươ ng pháp 6 : Ph ươ ng pháp s d ng ánh x . Ví d 1 : Tìm f: N *→ N * tho mãn: f(f(n)+m) = n+f(m+2007) ∀ m, n ∈N* (1). Li gi i: Tr ưc h t ta ch ng minh f là đơ n ánh. Th t v y: f(n 1) = f(n 2) ⇒ f(f(n 1)+1) = f(f(n 2)+1) ⇒ n 1 + f(1+2007) = n 2 + f(1+2007) ⇒ n1 = n 2. V y f là đơ n ánh. Mt khác t (1) suy ra: ∀ m, n ∈ N *, f(f(n) + f(1)) = n + f(f(1) + 2007) ⇒ f(f(n)+f(1)) = n + 1 + f(2007+2007) = f(f(n+1)+2007). Vì f là đơ n ánh nên ta cĩ: f(n) + f(1) = f(n+1) + 2007 ⇒ f(n+1) - f(n) = f(1) - 2007. ðt f(1) - 2007 = a. Khi đĩ ta cĩ f(n) = n.a + 2007. Thay l i (10) ta đưc a 2n = n ∀n∈N* ⇒ a 2 = 1 ⇒ a = 1 ⇒ f(n) = n+2007. Ví d 2 : Tìm f: R → R tho mãn: f(xf(x)+f(y)) = (f(x)) 2+y ∀ x, y ∈R (2). Li gi i: D ràng ch ng minh f là đơ n ánh. Mt khác, c đnh x thì ∀t∈R t n t i y = t - (f(x)) 2 đ f(xf(x) + f(y)) = t. V y f là tồn ánh, do đĩ f là song ánh. Suy ra t n t i duy nh t a ∈R sao cho f(a) = 0. Cho x = y = a ta đưc f(0) = a. Cho x = 0, y = a ta đưc f(0) = a 2 + a. V y a = a 2 + a hay a = 0 ⇒ f(0) = 0. Cho x = 0, y ∈R ta đưc f(f(y)) = y (a). Cho y = 0, x ∈R ta đưc f(x.f(x)) = (f(x)) 2 ⇒ f(f(x).f(f(x))) = (f(f(x))) 2. Theo (a) ta đưc f(f(x).x)) = x 2 ⇒ (f(x)) 2 = x 2 ⇒ f(x) = x ho c f(x) = -x. Gi s t n t i a, b ∈R* đ f(a) = a, f(b) = -b. Khi đĩ thay x = a, y = b thì t (2) suy ra: f(a 2 - b) = a 2 + b. Mà (a 2 + b) 2 ≠ (a 2 - b) 2 v i a, b ∈ R * trái v i kh ng đnh (f(x)) 2 = x 2. V y cĩ hai hàm s là f(x) = x, ∀x∈R ho c f(x) = -x ∀x∈R. Th l i th y đúng. Ph ươ ng pháp 7 : ph ươ ng pháp đim b t đng. 1. ðc tr ưng c a hàm: Nh ư ta đã bi t, ph ươ ng trình hàm là m t ph ươ ng trình thơng th ưng mà nghi m c a nĩ là hàm. ð gi i quy t t t v n đ này, c n phân bi t tính ch t hàm v i đc tr ưng hàm. Nh ng tính ch t quan tr c đưc t đi s sang hàm s , đưc g i là nh ng đc tr ưng hàm. +) Hàm tuy n tính f(x) = ax , khi đĩ f(x + y) = f(x) + f(y). Vy đc tr ưng hàm tuy n tính là: f(x + y) = f(x) + f(y) v i m i x, y. 23
  25. x+ y +) Hàm b c nh t f(x) = ax + b, khi đĩ f(x) + f(y) = 2 f ( ) . Vy đc tr ưng hàm đây là 2 xy+  fx() + fy () f  =, ∀ x , y ∈ ℝ 2  2 ðn đây thì ta cĩ th nêu ra câu h i là: Nh ng hàm nào cĩ tính ch t fxy(+= ) fx () + fy (), ∀∈ xy , ℝ . Gi i quy t v n đ đĩ chính là d n đn ph ươ ng trình hàm. Vy ph ươ ng trình hàm là ph ươ ng trình sinh b i đc tr ưng hàm cho tr ưc. k +) Hàm l ũy th a fx()= x , x > 0 ðc tr ưng là f(xy) = f(x)f(y). x +) Hàm m ũ fx( )= aa ( > 0, a ≠ 1) ðc tr ưng hàm là f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ ℝ +) Hàm Lơgarit f( x )= log x (a>0,a ≠ 1) ðc tr ưng hàm là f(xy) = f(x) + f(y). a +) f(x) = cosx cĩ đc tr ưng hàm là f(x + y) + f(x – y) = 2f(x)f(y). Hồn tồn t ươ ng t ta cĩ th tìm đưc các đc tr ưng hàm c a các hàm s f(x) =sinx, f(x) = tanx và v i các hàm Hypebolic: ex− e − x +) Sin hypebolic shx = 2 ex+ e − x +) cos hypebolic chx = 2 shx ex− e − x +) tan hypebolic thx = = chx ex+ e − x chx ex+ e − x +) cot hypebolic cothx = = shx ex− e − x +) shx cĩ TX ð là ℝ t p giá tr là ℝ chx cĩ TX ð là ℝ t p giá tr là [1,+∞ ) thx cĩ TX ð là ℝ t p giá tr là (-1,1) cothx cĩ TX ð là ℝ \{0} t p giá tr là (−∞− , 1) ∪ (1, +∞ ) Ngồi ra b n đc cĩ th xem thêm các cơng th c liên h gi a các hàm hypebolic, đ th c a các hàm hypebolic. 2. ðim b t đng: Trong s h c, gi i tích, các khái ni m v đim b t đng, đim c đnh r t quan tr ng và nĩ đưc trình bày r t ch t ch thơng qua m t h th ng lý thuy t. đây, tơi ch nêu ng dng c a nĩ qua m t s bài tốn v ph ươ ng trình hàm. Ví d 1 : Xác đnh các hàm f(x) sao cho: f(x+1) = f(x) + 2 ∀x ∈ ℝ. Li gii: Ta suy ngh ĩ nh ư sau: T gi thi t ta suy ra c = c + 2 do đĩ c = ∞ Vì v y ta coi 2 nh ư là f(1) ta đưc f(x + 1) = f(x) + f(1) (*) Nh ư v y ta đã chuy n phép c ng ra phép c ng. D a vào đc tr ưng hàm, ta ph i tìm a: f(x) = ax đ kh s 2. Ta đưc (*) ⇔ax( += 1) ax + 2 ⇔a = 2 Vy ta làm nh ư sau: ðt f(x) = 2x + g(x). Thay vào (*) ta đưc: 24
  26. 2(x + 1) + g(x + 1) = 2x + g(x) + 2, ∀x ∈ ℝ ðiu này t ương đươ ng v i g(x + 1) = g(x), ∀x ∈ ℝ Vy g(x) là hàm tu n hồn v i chu kì 1. ðáp s f(x) = 2x + g(x) v i g(x) là hàm tu n hồn v i chu kì 1. Nh n xét: Qua ví d 1, ta cĩ th t ng quát ví d này, là tìm hàm f(x) th a mãn: f(x + a) = f(x) + b, ∀x ∈ ℝ , a, b tùy ý. Ví d 2: Tìm hàm f(x) sao cho: f(x + 1) = - f(x) + 2, ∀x ∈ ℝ (2). Li gii: ta c ũng đư a đn c = -c + 2 do đĩ c = 1. vy đt f(x) = 1 + g(x), thay vào (2) ta đưc ph ươ ng trình: g(x + 1) = - g(x), ∀x ∈ ℝ  1 gx(+ 1) = − gx ( ) gx()=[] gx () − gx ( + 1) Do đĩ ta cĩ: ⇔  2 ∀ x ∈ ℝ (3). gx(+ 2) = gx ( ) gx(+ 2) = gx ( ) 1 Ta ch ng minh m i nghi m c a (3) cĩ d ng: gx()=[] hx () − hx ( +∀∈ 1),xℝ đĩ h(x) là 2 hàm tu n hồn v i chu kì 2. Nh n xét: Qua ví d này, ta cĩ th t ng quát thành: f(x + a) = - f(x) + b, ∀x ∈ ℝ , a, b tùy ý. Ví d 3 : Tìm hàm f(x) th a mãn: f(x + 1) = 3f(x) + 2, ∀x ∈ ℝ (3). Gi i: Ta đi tìm c sao cho c = 3c + 2 d th y c = -1. ðt f(x) = -1 + g(x). Lúc đĩ (3) cĩ d ng: g(x + 1) = 3g(x) ∀x ∈ ℝ Coi 3 nh ư g(1) ta đưc: g(x + 1) = g(1).g(x) ∀x ∈ ℝ (*). T đc tr ưng hàm, chuy n phép c ng v phép nhân, ta th y ph i s d ng hàm m ũ: ax+1 =3 a x ⇔ a = 3 x Vy ta đt: gx()= 3 hx () thay vào (*) ta đưc: h(x + 1) = h(x) ∀x ∈ ℝ . Vy h(x) là hàm tu n hồn chu kì 1. Kt lu n: fx()= − 13 + x hx () v i h(x) là hàm tu n hồn chu kì 1. Nh n xét: ví d 3 này, ph ươ ng trình t ng quát c a lo i này là: f(x + a) = bf(x) + c ∀x ∈ ℝ ; a, b, c tùy ý. +) V i 0< b ≠ 1: chuy n v hàm tu n hồn. +) V i 0< b ≠ 1: chuy n v hàm ph n tu n hồn. Ví d 4: Tìm hàm f(x) th a mãn f(2x + 1) = 3f(x) – 2 ∀x ∈ ℝ (4) Gi i: Ta cĩ: c = 3c – 2 suy ra c = 1. ðt f(x) = 1 + g(x). Khi đĩ (4) cĩ d ng: g(2x + 1) = 3g(x) ∀x ∈ ℝ (*) Khi bi u th c bên trong cĩ nghi m ≠ ∞ thì ta ph i x lý cách khác. T 2x + 1 = x suy ra x = 1. Vy đt x = -1 + t ta cĩ 2x + 1 = -1 + 2t. Khi đĩ (*) cĩ d ng: g(-1 + 2t) = 3g(-1 + t ) ∀t ∈ ℝ . m m ðt h(t) = g(-1 + 2t), ta đưc h(2t) = 3h(t) ( ). Xét 2t= t ⇔ t = 0 , (2)t= 3. t ⇔ m = log32 Xét ba kh n ăng sau: 25
  27. +) Nu t = 0 ta cĩ h(0) = 0. +) Nu t> 0 đt ht()= tlog2 3 ϕ () t thay vào (3) ta cĩ: ϕ(2)t= ϕ (), t ∀ t > 0 . ðn đây ta đư a v ví d hàm tu n hồn nhân tính. ϕ(2)t=− ϕ (), t ∀< t 0 +) Nu t < 0 đt ht()||= tlog2 3 ϕ () t thay vào (3) ta đưc ⇔  ϕ(4)t= ϕ (), t ∀ t < 0  1 ϕ()t=[] ϕ () t − ϕ (2), tt ∀< 0 ⇔  2 .  ϕ(4)t= ϕ (), t ∀ t < 0 Nh n xét: Bài tốn t ng quát c a d ng này nh ư sau: f(α x+= β ) faxb () + α ≠± 0,1 . Khi đĩ t ph ươ ng trình αx+ β = x ta chuy n đim b t đng v 0, thì ta đưc hàm tu n hồn nhân tính. +) Nu a = 0 bài tốn bình th ưng. +) Nu a = 1 ch ng h n xét bài tốn sau: “Tìm f(x) sao cho f(2x + 1) = f(x) – 2, ∀x ≠ -1 (1)”. Xét: 2x + 1 = x ⇔x = − 1 nên đt x = -1 + t thay vào (1) ta đưc: f(-1 + 2t) = f(-1 + t) + 2, ∀t ≠ 0 . ðt g(t) = f( - 1 + t) ta đưc: g(2t) = g(t) + 2 ∀t ≠ 0 (2). T tích chuy n thành t ng nên là hàm logarit. 1 Ta cĩ loga (2t )= log a t − 2 ⇔a = . V y đt gt( )= log1 tht + ( ) . Thay vào (2) ta cĩ 2 2 ht(2)= ht (), ∀ t ≠ 0 . ðn đây bài tốn tr nên đơ n gi n. Ph ương pháp 8 : ph ươ ng pháp s d ng h đm. Ta quy ưc ghi m = (b ibi-1 b 1)k ngh ĩa là trong h đm c ơ s k thì m b ng b ibi-1 b 1. Ví d 1 (Trích IMO n ăm 1988): Tìm f: N *→ N * tho mãn: f(1) = 1, f(3) = 3, f(2n) = f(n), f(4n+1) = 2f(2n+1) - f(n); f(4n+3) = 3f(2n+1) - 2f(n) ∀n∈N* (12). Li gi i: Tính m t s giá tr c a hàm s và chuy n sang c ơ s 2 ta cĩ th d đốn đưc: * “∀n∈N , n = (b ibi-1 b 1)2 thì f(n) = (b 1b2 b i)2” (*). Ta s ch ng minh (*) b ng quy n p. + V i n = 1, 2, 3, 4 d ki m tra (*) là đúng. + Gi s (*) đúng cho k < n, ta s ch ng minh (*) đúng cho n (v i n ≥ 4). Th t v y, ta xét các kh n ăng sau: • N u n ch n, n = 2m. Gi s m = (b ibi-1 b 1)2, khi đĩ n = 2m = (b ibi-1 b 10) 2 ⇒ f(n) = f((b ibi-1 b 10) 2) = f(2m) = f(m) = f((b ibi-1 b 1)2) = (b 1b2 b i)2 = (0b 1b2 b i)2 ⇒ (*) đúng. • N u n l và n = 4m + 1. Gi s m = (b ibi-1 b 1)2, khi đĩ n = (b ibi-1 b 101) 2 ⇒ f(n) = f((b ibi-1 b 101) 2) = f(4m+1) = 2.f(2m+1) - f(m) = 2.f((b ibi-1 b 11) 2) - f((b ibi-1 b 1)2) = (10) 2.(1b 1b2 b i)2 - ( b 1b2 b i)2 = (1b 1b2 b i0) 2 - ( b 1b2 b i)2 = (10b 1b2 b i)2 ⇒ (*) đúng. 26
  28. • N u n l và n = 4m + 3. Gi s m = (b ibi-1 b 1)2, khi đĩ n = (b ibi-1 b 111) 2 ⇒ f(n) = f((b ibi-1 b 111) 2) = f(4m+3) = 3f(2m+1) - 2f(m) = 3f((b ibi-1 b 11) 2) - 2f((b ibi-1 b 1)2) = (11) 2.(1b 1b2 b i)2 - (10) 2.(b 1b2 b i)2 = (11b 1b2 b i)2 ⇒ (*) đúng. Vy (*) đúng và hàm f đưc xác đnh nh ư (*). Ví d 2 (Trích đ thi c a Trung Qu c): Tìm hàm s f: N * → N * th a mãn: 1) f(1) =1; 2) f(2n) < 6f(n); 3) 3f(n)f(2n+1) = f(2n)(3f(n)+1) ∀n∈N*. Li gi i: Vì f(n) ∈N* nên (3f(n), 3f(n)+1) = 1. T 3) suy ra 3f(n) | f(2n). K t h p v i 2) suy ra f(2n) = 3f(n) và f(2n+1) = 3f(n)+1 ∀n∈N*. Th m t s giá tr ta th y f(n) đưc xác đnh nh ư sau: * “V i n = (b 1b2 b i)2 thì f(n) = (b 1b2 b i)3 ∀n∈N ” (*). Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. + V i n = 1, 2, 3, 4 thì hi n nhiên (*) đúng. + Gi s (*) đúng cho k < n (v i n ≥ 4). Ta ch ng minh (*) đúng cho n. • N u n ch n: n = 2m. Gi s m = (c 1c2 c j)2 thì n = 2m = (c 1c2 c j0) 2. Khi đĩ: f(n) = f(2m) = 3f(m) = 3.f((c 1c2 c j)2) = (10) 3.(c 1c2 c j)3 = (c 1c2 c j0) 3 ⇒ (*) đúng cho n ch n. • N u n l : n = 2m + 1 ⇒ n = (c 1c2 c j1) 2. Khi đĩ: f(n) = f(2m+1) = 3f(m) + 1 = 3f((c 1c2 c j)2) + 1 = (10) 3.(c 1c2 c j)3 + 1 3 = (c 1c2 c j1) 3 ⇒ (*) đúng cho n l . Vy (*) đúng cho m i n ∈N* và f(n) đưc xác đnh nh ư (*). Ph ươ ng pháp 9 : ph ươ ng pháp s d ng đo hàm. Ví d 1 : Tìm f: R → R tho mãn: | f(x)- f(y)| 2 ≤ | x- y| 3 ∀x, y ∈R (14). Li gi i: C đnh y, v i x ∈R, x ≠ y t (14) ta đưc: 2 fxfy()()− fxfy ()() − ≤xy − ⇒ 0 ≤ ≤ xy − . Vì lim0= lim x − y = 0 nên suy ra xy− xy − xy→ xy → fx()− fy () lim= 0 ⇒ f’(y) = 0 ⇒ f(y) = c ∀y∈R (v i c là h ng s ). Th l i th y đúng. x→ y x− y Ví d 2 : Tìm f: R → R cĩ đo hàm trên R và tho mãn: f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy ∀x, y ∈R (15) Li gi i: + Cho x = y = 0 ta đưc f(0) = 0. 27
  29. fxy(+− ) fx () fy ()2 + xy fy () − f (0) + V i y ≠ 0, c đnh x ta đưc: = = + 2x (*). Vì f(x) y y y − 0 cĩ đo hàm trên R nên t (*), cho y → 0, suy ra f’(x) = f’(0) + 2x = 2x + c ⇒ f(x) = x 2+cx+b ∀x∈R; b, c là các h ng s th c. Th l i th y đúng. Ph ươ ng pháp 10 : ph ươ ng pháp đt hàm ph . Mc đích chính c a vi c đt hàm ph là làm gi m đ ph c t p c a ph ươ ng trình hàm ban đu và chuy n đi tính ch t hàm s nh m cĩ l i h ơn trong gi i tốn. Ví d 1 : Tìm f: R → R tho mãn: f(x) ≥ 2007x và f(x+y) ≥ f(x)+f(y) ∀x, y ∈R (1). Li gi i: D th y f(x) = 2007x là m t hàm s tho mãn (1). ðt g(x) = f(x) - 2007x và thay vào (1) ta đưc: g(x) ≥ 0 (a) và g(x+y) ≥ g(x) + g(y) (b) ∀x, y ∈R. + Cho x = y = 0, t (b) ta đưc g(0) ≤ 0, k t h p v i (a) suy ra g(0) = 0. + Cho x = -y, x ∈R, t (a) và (b) ta đưc g(x) ≥ 0, g(-x) ≥ 0, 0 ≥ g(x) + g(-x); suy ra : g(x) = g(-x) = 0 ⇒ h(x) = 2007x, ∀x∈R. Th l i th y đúng. Ví d 2: Tìm f: R → R liên t c trên R tho mãn: f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) ∀x, y ∈ R (2). Li gi i: Xét ph ươ ng trình: λ = 2 λ + λ2 cĩ nghi m λ = -1 khác 0. ðt g(x) = f(x) - (-1) = f(x) + 1. Th vào (18) ta đưc: g(x+y) = g(x).g(y) ∀x, y ∈R (*). t Cho x = y = ta đưc g(t) ≥ 0 ∀t∈R. 2 Cho x = y = 0 ta đưc: g(0) = 0 ho c g(0) = 1. + N u g(0) = 0 thì (*) suy ra g(x) = 0 ∀x∈R ⇒ f(x) = -1 ∀x∈R. Th l i th y đúng. + N u g(0) = 1: Gi s t n t i a đ g(a) = 0 thì (*) suy ra g(x) = 0 ∀x∈R. Trái v i gi thi t g(0) = 1. V y g(x) > 0 ∀x∈R. ðt h(x) = lng(x) ta đưc : h(x+y) = h(x) + h(y) ( ). T f(x) liên t c trên R suy ra h(x) liên t c trên R. Theo ph ươ ng trình hàm Cơsi ta đưc h(x) = cx (v i c là h ng s ) ⇒ f(x) = e cx - 1 ∀x∈R. Khi c = 0 thì f(x) = -1. V y trong m i tr ưng h p f(x) = ecx - 1 ∀x∈R th l i th y đúng. Ph ươ ng pháp 11 : S d ng tính liên t c c a hàm s . S d ng tính liên t c c a hàm s cĩ 3 con đưng chính: Xây d ng bi n t N đn R, ch ng minh hàm s là h ng s , s d ng ph ươ ng trình hàm Cơsi. Ví d 1 (xây d ng bi n t N đn R): Tìm hàm f: R→ R th a mãn: 1) f(x) liên t c trên R; 2) f(1) = 2; 28
  30. 3) f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) +1 ∀x,y ∈R. Li gi i: Cho x = y = 0 ta đưc: f(0) = 1. Cho x = 1, y ∈R ta đưc: f(y+1) = f(y) +1 (a). T f(0) = 1, f(1) = 2 và (a) quy n p ta suy ra f(n) = n+1 ∀n∈N. Vi n ∈N, (a) ⇒ f(-n) = f(-n+1) - 1 = f(-n+2) - 2 = = f(0) -n = -n + 1. Vy f(z) = z +1 ∀z∈Z. 1 1 1 Vi ∀n∈N*, 2 = f(1) = fn(.)= fnf ()() −++ fn ( )1 (b). M t khác t (a) ta cĩ: n n n 1 1 1 1 fn(+ )1 =+ fn (1 −+ )2 =+ fn (2 −+ ) ==+ nf () . Th vào (b) ta đưc: n n n n 1 1 f ( )= + 1 . n n m m 1 1 1 Vi q∈ℚ, q = , m ∈ ℤ , n ∈ ℕ * ta cĩ: fq()== f () fm (.) = fmf ()() −++ fm ( )1 = n n n n n 1 1 = (m+ 1)( +− 1) f ( m ++ ) 1 (c). T (a) ta d dàng ch ng minh đưc: n n 1 1 fm(+ ) = mf + () . Th vào (c) ta đưc f(q) = q +1 ∀q∈Q. n n Vi r ∈R, t n t i dãy {r n} v i r n∈Q th a mãn lim rn = r . Khi đĩ, do f liên t c nên ta cĩ: f(r) = f(limr n) = limf(r n) = lim(r n+1) = limr n + 1 = r + 1. V y f(x) = x + 1 ∀x∈R. Th l i th y đúng. Ví d 2 (ch ng minh hàm s là h ng s ): 1 1 Tìm hàm f: [0; ] → [0; ] th a mãn: 2 2 1 1) f(x) liên t c trên [0; ] 2 1 1  2) fx( )= fx (2 + ) ∀∈ x 0; . 4 2  Li gi i: x= a 1  0 ; V i a ∈[0 ], xét dãy s :  2 1 . 2 xn+1 = x n + ∀∈ n ℕ  4 D ch ng minh {x n} khơng âm (a). 12 1 1 1 x≤ ⇒ x≤ x + ≤ . Quy n p suy ra x n ≤ (b). 02 1 0 4 2 2 29
  31. 1 xxx−=( − )2 ≥ 0 ⇒ xxn≥ ∀ ∈ ℕ (c). nnn+1 2 nn+ 1 1 1 T (a), (b), (c) suy ra x n∈[0 ; ] và {x n} cĩ gi i h n h u h n là limx = . 2 n 2 1 1 Vy v i m i a ∈[0 ; ], f(a) = f(x 1) = f(x 2) = = limf(x n) = f(limx n) = f( ) = c (c là h ng s ). 2 2 Th l i th y đúng. Ví d 3 (s d ng ph ươ ng trình hàm cơsi - VMO n ăm 2006(b ng B)): Tìm f: R → R liên t c trên R tho mãn: f(x-y).f(y-z).f(z-x)+8 = 0 ∀x, y, z ∈R (3). Li gi i: −8 Cho x = t, z = -t, y = 0, x∈ R ta đưc: f(t).f(t).f(-2t) = -8 ⇒ f(2)− t = 0). Th l i th y đúng. Ht 30