›
›

Các chú ý và lời giảI cho một số bài toán cơ bản

pdf 25 trang phuongnguyen 4960
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các chú ý và lời giảI cho một số bài toán cơ bản", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfcac_chu_y_va_loi_giai_cho_mot_so_bai_toan_co_ban.pdf

Nội dung text: Các chú ý và lời giảI cho một số bài toán cơ bản

  1. C¸c chó ý vμ lêi gi¶I cho mét sè bμi to¸n c¬ b¶n Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - A. to¸n rót gän biÓu thøc I. VÝ dô : 2x x 3x3 2x 4 Rót gän biÓu thøc P:1 ( víi x x3 x3x9 x3 0,x 1,x 9) 2x x 3 x x 3 3x3 2x 4 x 3 Gi¶i : Víi x 0,x 1,x 9 ta cã P: x3 x3 x3 2x6xx3x3x32x4 x3 3x3 x1 :: x3 x3x3 x3 x3 x3 3x1 x3 3 x3 x3 x1 x3 II. Chó ý : Khi rót gän c¸c biÓu thøc lμ c¸c phÐp tÝnh gi÷a c¸c ph©n thøc ta th−êng t×m c¸ch ®−a biÓu thøc thμnh mét ph©n thøc sau ®ã ph©n tÝch tö vμ mÉu thμnh nh©n tö råi gi¶n −íc nh÷ng thõa sè chung cña c¶ tö vμ mÉu. Tr−êng hîp ®Ò bμi kh«ng cho ®iÒu kiÖn th× khi rót gän xong ta nªn t×m ®iÒu kiÖn cho biÓu thøc. Khi ®ã quan s¸t biÓu thøc cuèi cïng vμ c¸c thõa sè ®· ®−îc gi¶n −íc ®Ó t×m ®iÒu kiÖn. VÝ dô víi bμi nμy : + BiÓu thøc cuèi cïng cÇn x0 + C¸c thõa sè ®−îc gi¶n −íc lμ : x1v μ x3 cÇnx1vμ x9 VËy ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜa lμ x 0,x 1,x 9 B. ph−¬ng tr×nh bËc hai vμ ®Þnh lÝ viÐt I. VÝ dô §Ò bμi 1: Cho ph−¬ng tr×nh x2 – (2m-1)x + m – 1 = 0 5 a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi m 3 b. Chøng minh ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt c. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu d. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu e. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d−¬ng f. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng ©m g. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm d−¬ng h. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lμ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau i. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tháa m·n 2x1 + 5x2 = -1 22 j. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tháa m·n xx112 k. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm x1 vμ x2 cña ph−¬ng tr×nh l. T×m GTNN cña xx12 222 2 m. T×m GTLN cña x1x1221 x14x www.VNMATH.com www.VNMATH.com 1
  2. n. Khi ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vμ x2 , chøng minh biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vμo m Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - x1x112 B 22 xx12 xx 21 Gi¶i : 5 a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi m 3 5 72 Víi m ta cã ph−¬ng tr×nh : xx22 03x7x20 3 33 72 4.3.2 49 24 25 0; 5 ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : 75 1 75 x;x2 1263 6 5 1 VËy víi m ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt lμ vμ 2 3 3 b. Chøng minh ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2m 12 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 2 1 V× 2m 122 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäim nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m c. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu khi ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1 VËy víi m 1 th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm cïng dÊu. e. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d−¬ng Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d−¬ng khi 2 0 2m 2 1 0 m1 ac 0 m 1 0 m1 1 m 1 2m 1 m b2m10 0 2 a VËy víi m > 1 th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm cïng d−¬ng. f. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng ©m Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng ©m khi www.VNMATH.com www.VNMATH.com 2
  3. 2 0 2m 2 1 0 m1 Simpo ac PDF 0 Merge m and 1 Split 0 Unregistered m1 Version1 - v« nghiÖm 2m 1 m b2m10 0 2 a VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nμo cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm cïng ©m. g. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm d−¬ng Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 §Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm d−¬ng ta cã c¸c tr−êng hîp sau : Ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm d−¬ng vμ mét nghiÖm b»ng 0 Thay x = 0 vμo ph−¬ng tr×nh ta cã m - 1 = 0 hay m = 1. Thay m = 1 vμo ph−¬ng tr×nh ta ®−îc x2 - x = 0 xx 1 0 x 0hoÆcx1 ( tháa m·n ) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d−¬ng, ®iÒu kiÖn lμ : 2 0 2m 2 1 0 m1 ac 0 m 1 0 m1 1 m 1 2m 1 m b2m10 0 2 a Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu, ®iÒu kiÖn lμ : ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1 KÕt hîp c¶ ba tr−êng hîp ta cã víi mäi m th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm d−¬ng h. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lμ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 1 V× 2m 122 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vμ x2 víi mäi m c Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã x .x = m1 1 2 a Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lμ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau khi x1.x2 = 1 m11 m 2 VËy víi m = 2 th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lμ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau. i. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tháa m·n 2x1 + 5x2 = -1 Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2m 12 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 2 1 22 V× 2m 1 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vμ x2 víi mäi m xx 2m1(1) 12 Theo ®Þnh lÝ Viet vμ ®Ò bμi ta cã : x.x12 m 1 (2) 2x12 5x 1 (3) Nh©n hai vÕ cña (1) víi 5 sau ®ã trõ c¸c vÕ t−¬ng øng cho (3) ta ®−îc : 10m 4 5x + 5x – 2 x – 5x = 10m – 5 + 1 3x 10m 4 x (4) 1 2 1 2 113 10m 4 10m 4 6m 3 10m 4 1 4m Thay (4) vμo (1) ta cã : x 2m1x 2m1 3322 33 (5) Thay (4) vμ (5) vμo (2) ta ®−îc ph−¬ng tr×nh : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 3
  4. 10m 4 1 4m . m 1 10m 4 . 1 4m 9 m 1 10m 40m2 4 16m 9m 9 33 Simpo 40m PDF2 17mMerge 5 and 0 Split Unregistered Version - 2 17 4.40. 5 1089 0; 33 17 33 1 17 33 5 m;m 1280 5 80 8 15 VËy víi mhoÆcm th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Ò 58 bμi. 22 j. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tháa m·n xx112 Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 1 V× 2m 122 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vμ x2 víi mäi m xx 2m1(1) Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã : 12 x.x m 1 (2) 12 22 22 2 Theo ®Ò bμi : xx1xx2xx2xx112 12 1212 xx 12 2xx1(3) 12 Thay (1) vμ (2) vμo (3) ta cã (2m – 1)2 – 2(m – 1) = 1 (2m - 1)22 - 2(m - 1) = 1 4m 4m 1 2m 2 1 4m 22 6m 2 0 2m 3m 1 0 c1 Ph−¬ng tr×nh cã d¹ng a + b + c = 0 nªn cã hai nghiÖm lμ m = 1 ; m = 1 2 a2 1 VËy víi m1hoÆcm th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Ò 2 bμi. k. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm x1 vμ x2 cña ph−¬ng tr×nh Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2m 12 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 2 1 22 V× 2m 1 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vμ x2 víi mäi m. Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã : xx112 xx 2m1 m xx112 12 x.x 1 x x 2x.x 1 x.x m 1 2 12 1 2 12 12 2 mx.x1 12 VËy hÖ thøc cÇn t×m lμ xx2x.x112 12 l. T×m GTNN cña xx12 Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 1 V× 2m 122 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vμ x2 víi mäi m xx 2m1(1) Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã : 12 x.x m 1 (2) 12 2222 22 §Æt A = xx12 0 A xx12 xx 12 x2xxx 1 122 xx 12 4xx 12 Thay (1) vμ (2) vμo ta cã A2m14m14m4m14m44m8m412m211222 2 2 víi mäi m (3) Mμ A0nªntõ(3)A1víimäim DÊu b»ng x¶y ra khi (2m - 2)2 = 0 m1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 4
  5. VËy GTNN cña Axx 12 lμ 1 x¶y ra khi m = 1 222 2 Simpom. PDF T×m Merge GTLN and cña Split x1x1221 Unregistered x14x Version - Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2m 12 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 2 1 22 V× 2m 1 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vμ x2 víi mäi m xx 2m1(1) Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã : 12 x.x m 1 (2) 12 2 222 22222 2 Ta cã Ax1x 12211212121212 x14xx x 5xx x x 2xx5xx (3) Thay (1) vμ (2) vμo (3) ta ®−îc : A 2m 1 22 5 m 1 2 m 1 4m22 4m 1 5m 10m 5 2m 2 m 2 4m 2 2 2m4m42m2 2 V× m 222 0 víi mäi m A 2 m 2 2 víi mäi m DÊu b»ng x¶y ra khi (m – 2)2 = 0 hay m = 2 222 2 VËy GTLN cña Ax1x 1221 x14x lμ 2 khi m = 2 n. Khi ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vμ x2 , x1x112 chøng minh biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vμo m : B 22 xx12 xx 21 Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2m 12 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 2 1 22 V× 2m 1 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai xx 2m1(1) nghiÖm ph©n biÖt x vμ x víi mäi m. Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã : 12 1 2 x.x m 1 (2) 12 xx22 xx x1x112 x1.xx1.x1122 12 12 Ta cã: B 2 2 22 22 xx12 xx 21 xx 1 2 xx 1 2 22 xx12 xx 12 2xx2m1 12 2m12m1 22 2 xx12 m1 2 4m22 4m 1 2m 1 2m 2 4m 8m 4 4m 1 2224 m1 m1 m1 VËy biÓu thøc B kh«ng phô thuéc vμo gi¸ trÞ cña m. §Ò bμi 2. Cho ph−¬ng tr×nh (m+1)x2 - 2(m+2)x + m + 5 = 0 a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi m = -5 b. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm c. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt d. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt e. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu f. *T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d−¬ng g. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tháa m·n x1 + 3x2 = 4 h. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm mμ tÝch cña chóng b»ng -1 22 i. Khi ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 .TÝnh theo m gi¸ trÞ cña Ax 12 x j. T×m m ®Ó A = 6 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 5
  6. 1 k. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x , x trong ®ã cã mét nghiÖm lμ . Khi ®ã 1 2 2 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 6x 1 6x 1 h·y lËp ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lμ 12vμ 3x21 3x Gi¶i : a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi m = -5 Thay m = -5 vμo ph−¬ng tr×nh ta cã : -4x2 + 6x = 0 x0 2x 2x 3 0 2x 0 3 2x 3 0 x 2 3 VËy víi m = -5 , ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lμ 0 vμ 2 b. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . Ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 '22 m2 2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 1 Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi 2m 1 0 m 2 1 Tãm l¹i ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi m 2 c. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 '22 m2 2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 1 Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt khi 2m 1 0 m ( tháa m·n ) 2 1 Tãm l¹i ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt khi m1hoÆcm 2 Chó ý : Tr−êng hîp ph−¬ng tr×nh bËc hai cã 0 còng ®−îc coi lμ cã nghiÖm duy nhÊt d. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 2 '22 m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 1 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi 2m 1 0 m 2 1 Tãm l¹i ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi mv μ m1 2 e. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 6
  7. Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = Simpo PDFm+5 Merge and Split Unregistered Version - Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu khi ac 0 m >-5 Tr−êng hîp chØ cÇn biÕt kÕt qu¶ cña c¸c BPT d¹ng nh− (1), h·y häc thuéc tõ “ngoμi cïng trong kh¸c” vμ dÞch nh− sau : ngoμi kho¶ng hai nghiÖm th× vÕ tr¸i cïng dÊu víi hÖ sè a, trong kho¶ng hai nghiÖm th× vÕ tr¸i kh¸c dÊu víi hÖ sè a ( hÖ sè a lμ hÖ sè lòy thõa bËc hai cña vÕ tr¸i khi khai triÓn, nghiÖm ë ®©y lμ nghiÖm cña ®a thøc vÕ tr¸i ) VÝ dô víi BPT (1) th× vÕ tr¸i cã hai nghiÖm lμ -1 vμ -5 , d¹ng khai triÓn lμ m2 + 6m + 5 nªn hÖ sè a lμ 1 >0. BPT cÇn vÕ tr¸i 0 (2) sÏ cÇn m ngoμi kho¶ng hai nghiÖm (cïng dÊu víi hÖ sè a), tøc lμ m -1 Mét sè vÝ dô minh häa : m3m7 0 m 7hoÆcm3; 2m43m90 3m2 2m 6 1 m 0 1 m 3 ; 5 m 2m 8 0 m 4hoÆcm 5 f. *T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d−¬ng Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 '22 m2 2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d−¬ng khi 11 mm1 0 2m 1 0 22 ac0 m1m5 0 m1m5 0 m 5hoÆcm 12 I b 2m 2 m 2 m 1 0 m 2hoÆcm 13 0 0 a m1 1 m5hoÆc1m 2 Chó ý : §Ó t×m nghiÖm cña hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh (I) ta lÊy nh¸p vÏ mét trôc sè, ®iÒn c¸c sè mèc lªn ®ã vμ lÊy c¸c vïng nghiÖm. Sau ®ã quan s¸t ®Ó t×m ra vïng nghiÖm chung vμ kÕt luËn. ViÖc lμm ®ã diÔn t¶ nh− sau : (1) (3) (3) www.VNMATH.com(2) www.VNMATH.com(2) 7 5 2 1 1
  8. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ë h×nh trªn c¸c ®−êng (1) ; (2) ; (3) lÇn l−ît lμ c¸c ®−êng lÊy nghiÖm cña c¸c bÊt 1 ph−¬ng tr×nh (1) ; (2) ; (3) trªn trôc sè. Qua ®ã ta thÊy m<-5 hoÆc -1 < m < lμ 2 c¸c gi¸ trÞ chung tháa m·n c¶ ba bÊt ph−¬ng tr×nh (1) ; (2) ; (3) nªn ®ã lμ tËp nghiÖm cña hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh (I) g. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tháa m·n x1 + 3x2 = 4 Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 2 '22 m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 khi nã lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã 0 m1 Tøc lμ m1 1 2m 1 0 m 2 b 2m 2 xx12 1 am1 cm5 Khi ®ã theo ®Ò bμi vμ ®Þnh lÝ Viet ta cã x.x12 2 am1 x3x4 3 12 Tõ (1) vμ (3) ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh 2m 4 2m 4 2m 4 m m 4 2m 4 xx x x x xx 12 1 2 1 12 m1 m1 m1 m1 m1 m1 2m 4 m m x3x412 2x22 4 x x 2 m1 m1 m1 Thay vμo (2) ta cã ph−¬ng tr×nh : m4 m m5 .m4.mm5m1dom1 m1m1 m1 5 m22 4m m 5m m 5 2m 5 0 m tháa m·n 2 5 VËy m lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. 2 h. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm mμ tÝch cña chóng b»ng -1 Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 '22 m2 2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 8
  9. Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 khi nã lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã 0 m1 SimpoTøc l μPDF m1 Merge and Split Unregistered1 1 Version - 2m 1 0 m 2 m5 Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Viet ta cã x .x = 1 2 m1 VËy ®Ó ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm tháa m·n tÝch hai nghiÖm b»ng -1 th× m ph¶i m5 tháa m·n ®iÒu kiÖn (1) vμ 1 m 5 m 1 m 3 tháa m·n m1 VËy m = -3 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. 22 i. Khi ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 .TÝnh theo m gi¸ trÞ cña Ax 12 x Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 '22 m2 2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 khi nã lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã 0 m1 Tøc lμ m1 1 1 Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Viet : 2m 1 0 m 2 b 2m 2 xx12 1 am1 cm5 x.x 2 12 am1 2 22 2 2 2 2m 4 2m 5 Ta cã A x1 x 2 x 1 2x 12 x x 2 2x 12 x x 1 x 2 2x 12 x m1 m1 2 2m 4 2 m 5 m 1 4m22 16m 16 2m 12m 10 2m 2 4m 6 222 m1 m1 m1 2m2 4m 6 1 VËy A 2 víi m 1vμ m m1 2 j. T×m m ®Ó A = 6 2m2 4m 6 1 Ta cã A 2 víi m 1vμ m m1 2 2 12m 4m6 2 Víi m 1vμ m tacã A 6 6 2m2 4m 6 6 m 1 2 m1 2 2m22 4m 6 6m 12m 6 4m 2 8m 0 4m m 2 0 m 0hoÆcm 2 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta cã m = -2 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. 1 k. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x , x trong ®ã cã mét nghiÖm lμ . 1 2 2 6x 1 6x 1 Khi ®ã h·y lËp ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lμ 12vμ 3x21 3x Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 9
  10. 2 '22 m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 SimpoPh−¬ng PDF tr×nh Merge cã haiand nghiÖm Split Unregistered x1 , x2 khi nãVersion lμ ph -− ¬ng tr×nh bËc hai cã 0 m1 Tøc lμ m1 1 1 2m 1 0 m 2 1 Thay x = vμo ph−¬ng tr×nh ®· cho ta cã 2 1 1 (m+1).( )2 - 2(m+2). + m + 5 = 0 m+1 - 4m - 8 + 4m + 20 = 0 m = -13 ( tháa 2 2 m·n (1)) 1 VËy víi m = -13 th× ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x , x trong ®ã cã mét nghiÖm lμ . 1 2 2 Thay m = -13 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -12x2 + 22x - 8 = 0  6x2 - 11x + 4 = 0 11 4 2 Theo ®Þnh lÝ Viet : xx :xx . Khi ®ã : 12663 12 2 11 2 11 22 2 6. 12. 6x 1 6x 1 6x x 6x x 6x x 12xx x x 63614 1 2 11 22 12 1212 7 3x 3x 3x x 3x x2 2 2 1 12 12 3. 3 211 36. 6. 1 6x 1 6x 1 36x x 6 x x 1 36 12.6 12 1 2 36 3x 3x 9x x2 6 21 12 9. 3 Do ®ã ph−¬ng tr×nh cÇn t×m cã d¹ng y2 - 7y + 6 = 0 (2) Chó ý : Ph−¬ng tr×nh (2) kh«ng nªn lÊy Èn lμ x v× dÔ g©y nhÇm lÉn víi ph−¬ng tr×nh cña ®Ò bμi II. Chó ý : Khi gÆp ph−¬ng tr×nh cã tham sè ( th−êng lμ m) ë hÖ sè a (hÖ sè cña lòy thõa bËc hai)ta cÇn xÐt riªng tr−êng hîp hÖ sè a = 0 ®Ó kÕt luËn tr−êng hîp nμy cã tháa m·n yªu cÇu cña ®Ò bμi hay kh«ng. Sau ®ã xÐt tr−êng hîp a kh¸c 0, kh¼ng ®Þnh ®ã lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai råi míi ®−îc tÝnh . C. hμm sè vμ ®å thÞ I. VÝ dô 5 §Ò bμi 1: Cho hμm sè bËc nhÊt : y = ( 2m – 5 )x + 3 víi m cã ®å thÞ lμ ®−êng 2 th¼ng d T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó a. Gãc t¹o bëi (d) vμ vμ trôc Ox lμ gãc nhän, gãc tï ( hoÆc hμm sè ®ång biÕn, nghÞch biÕn) b. (d ) ®i qua ®iÓm ( 2 ; -1) c. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 3x – 4 d. (d) song song víi ®−êng th¼ng 3x + 2y = 1 e. (d) lu«n c¾t ®−êng th¼ng 2x – 4y – 3 = 0 f. (d) c¾t ®−êng th¼ng 2x + y = -3 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ -2 g. (d) c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm ë bªn tr¸i trôc tung ( cã hoμnh ®é ©m) h. (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 3x + 1 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é ©m (hoÆc ë bªn tr¸i trôc tung) www.VNMATH.com www.VNMATH.com 10
  11. i. (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 5x – 3 t¹i ®iÓm cã tung ®é d−¬ng ( hoÆc ë trªn trôc hoμnh) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - j. Chøng tá (d ) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh trªn trôc tung Gi¶i : Hμm sè cã a = 2m – 5 ; b = 3 a. Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d vμ vμ trôc Ox lμ gãc nhän, gãc tï Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d vμ vμ trôc Ox lμ gãc nhän khi ®−êng th¼ng d cã hÖ sè a > 0 5 2m – 5 >0 m > ( tháa m·n) 2 Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d vμ vμ trôc Ox lμ gãc tï khi ®−êng th¼ng d cã hÖ sè a 2 5 gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d vμ vμ trôc Ox lμ gãc tï khi m < 2 b. (d ) ®i qua ®iÓm ( 2 ; -1) Thay x = 2 ; y = -1 vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d ta cã 3 -1 = 2. ( 2m - 5) + 3 4m – 10 + 3 = -1 m = ( tháa m·n) 2 3 VËy víi m = th× (d ) ®i qua ®iÓm ( 2 ; -1) 2 Chó ý : Ph¶i viÕt lμ “Thay x = 2 ; y = -1 vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d ”, kh«ng ®−îc viÕt lμ “Thay x = 2 ; y = -1 vμo ®−êng th¼ng d ” c. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 3x - 4 (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 3x - 4 2m 5 3 m 4 m4( tháa m·n) 34 34 VËy m = 4 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m d. (d) song song víi ®−êng th¼ng 3x + 2y = 1 31 Ta cã 3x + 2y = 1 yx 22 31 (d) song song víi ®−êng th¼ng 3x + 2y = 1 (d) song song víi ®−êng th¼ng yx 22 37 2m 5 m 7 7 24 m m 11 ( tháa m·n) . VËy lμ gi¸ trÞ cÇn t×m 33 4 4 22 e. (d) lu«n c¾t ®−êng th¼ng 2x - 4y - 3 = 0 13 Ta cã 2x - 4y - 3 = 0 yx 24 13 (d) lu«n c¾t ®−êng th¼ng 2x - 4y - 3 = 0 (d) lu«n c¾t ®−êng th¼ng yx 24 111 5 11 2m 5 m . KÕt hîp víi ®iÒu kiªn ta cã m vμ m lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. 24 2 4 f. (d) c¾t ®−êng th¼ng 2x + y = -3 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ -2 Thay x = -2 vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng 2x + y = -3 ta ®−îc 2. (-2) + y = -3 y = 1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 11
  12.  (d) c¾t ®−êng th¼ng 2x + y = -3 t¹i ®iÓm (-2 ; 1 ). Thay x = -2 ; y = 1 vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d ta cã 1 = ( 2m – 5 ). (-2) + 3 -4m + 10 +3 = 1 m = 3 ( tháa m·n). Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - VËy m = 3 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. g. (d) c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm ë bªn tr¸i trôc tung ( cã hoμnh ®é ©m) 3 Thay y = 0 vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d ta cã 0 = (2m - 5)x + 3 x = 2m 5 35 (d) c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm ë bªn tr¸i trôc tung 02m50m ( tháa 2m 5 2 m·n). 5 VËy m lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. 2 h. (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 3x + 1 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é ©m (hoÆc ë bªn tr¸i trôc tung) (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 3x + 1 2m – 5 3 m 4 Hoμnh ®é giao ®iÓm cña (d) vμ ®−êng th¼ng y = 3x + 1 lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Èn x sau : 2 ( 2m – 5 )x + 3 = 3x + 1 ( 2m - 8)x = -2 x ( v× m 4 ) 2m 8 (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 3x + 1 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é ©m 2 5 02m80m4 ( tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn m vμ m 4 ) 2m 8 2 VËy m > 4 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. i. (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 5x - 3 t¹i ®iÓm cã tung ®é d−¬ng ( hoÆc ë trªn trôc hoμnh) * (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 5x - 3 2m – 5 5 m 5 * Hoμnh ®é giao ®iÓm cña (d) vμ ®−êng th¼ng y = 5x - 3 lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Èn x sau : 63 ( 2m – 5 )x + 3 = 5x - 3 ( 2m - 10)x = -6 x ( v× m 5 ) 2m 10 m 5 3 Thay x vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng y = 5x - 3 ta cã y = m5 3153m153m 5. 3 m5 m5 m5 (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 5x - 3 t¹i ®iÓm cã tung ®é d−¬ng 3m 03mm50mm500m5 m5 5 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã 0 < m < 5 vμ m lμ gi¸ trÞ cÇn t×m 2 j. Chøng tá (d ) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh trªn trôc tung Gi¶ sö (d) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh cã täa ®é ( x0 ; y0). Khi ®ã : y0 = ( 2m – 5 )x0 + 3 víi mäi m 2x0m – 5x0 – y0 + 3 = 0 víi mäi m 2x 0 x 0 00 5x y 30 y 3 00 0 VËy (d ) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh trªn trôc tung cã täa ®é lμ ( 0 ; 3 ) Chó ý ®Ò bμi 1: www.VNMATH.com www.VNMATH.com 12
  13. 5 * Ta lu«n so s¸nh m t×m ®−îc víi ®iÒu kiÖn cña ®Ò bμi lμ m ( ®iÒu nμy rÊt 2 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - rÊt hay quªn) * NÕu ®Ò bμi chØ “Cho ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt” mμ kh«ng cho ®iÒu kiÖn ta vÉn ph¶i ®Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt ( tøc lμ ph¶i cã a 0 vμ lÊy ®iÒu kiÖn ®ã ®Ó so s¸nh tr−íc khi kÕt luËn) §Ò bμi 2: Cho ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh y = ( m + 1)x – 3n + 6 . T×m m vμ n ®Ó : a. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = -2x + 5 vμ ®i qua ®iÓm ( 2 ; -1) b. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 3x + 1 vμ c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ -1 3 c. (d) c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ vμ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lμ 2 1 d. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 2x + 3 vμ c¾t ®−êng th¼ng y= 3x + 2 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ 1 e. (d) ®i qua diÓm ( -3 ; -3 ) vμ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lμ 3 f. (d) ®i qua ( 2 ; -5 ) vμ cã tung ®é gèc lμ -3 g. (d) ®i qua hai ®iÓm ( -1 ; 3 ) vμ ( -3 ; 1 ) Gi¶i : a. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = -2x + 5 vμ ®i qua ®iÓm ( 2 ; -1) m3 (d) song song víi ®−êng th¼ng y = -2x + 5 m1 2 1 3n 6 5 n 3 (d) ®i qua ®iÓm ( 2 ; -1) -1 = ( m + 1).2 – 3n +6 2m - 3n = -9 Thay m = -3 vμo ta cã 2. (-3) – 3n = -9 n = 1 ( tháa m·n ) VËy m = -3 , n = 1 b. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 3x + 1 vμ c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ -1 m2 (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 3x + 1 m13 5 3n 6 1 n 3 (d) c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ -1 0 = ( m + 1 ). (-1) – 3n + 6 m + 3n = 5 Thay m = 2 vμo ta ®−îc 2 + 3n = 5 n = 1 ( tháa m·n ) .VËy m = 2 , n = 1 3 c. (d) c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ vμ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã 2 tung ®é lμ 1 3 3 (d) c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ 0 = ( m + 1 ). – 3n + 6 m - 2 2 2n = -5 5 (d) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lμ 1 1 = -3n + 6 n = . 3 5 5 Thay vμo ph−¬ng tr×nh m - 2n = -5 ta cã m - 2. = -5 m = - 3 3 5 5 VËy n = , m = - 3 3 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 13
  14. d. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 2x + 3 vμ c¾t ®−êng th¼ng y= 3x + 2 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ 1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 2x + 3 m12 m1 3n 6 3 n 1 (d) c¾t ®−êng th¼ng y= 3x + 2 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ 1 m 1 .1 3n 6 3.1 2 m 3n 2 . Thay m = 1 vμo ta cã 1 – 3n = - 2 n = 1( kh«ng tháa m·n ) VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nμo cña m vμ n tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bμi. Chó ý : Ta th−êng quªn so s¸nh víi ®iÒu kiÖn n1 nªn dÉn ®Õn kÕt luËn sai e. (d) ®i qua diÓm ( -3 ; -3 ) vμ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lμ 3 (d) ®i qua diÓm ( -3 ; -3 ) 3m1.33n6mn2 (d) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lμ 3 33n6n1 Thay vμo ph−¬ng tr×nh m + n = 2 ta ®−îc m + 1 = 2 m = 1 VËy m = 1 , n = 1 f. (d) ®i qua ( 2 ; -5 ) vμ cã tung ®é gèc lμ -3 (d) ®i qua diÓm ( 2 ; -5 ) 5m1.23n62m3n13 (d) cã tung ®é gèc lμ -3 33n6n3 Thay vμo ph−¬ng tr×nh 2m - 3n = -13 ta ®−îc 2m – 3.3 = -13 m = -2 VËy m = -2 , n = 3 g. (d) ®i qua hai ®iÓm ( -1 ; 3 ) vμ ( -3 ; 1 ) (d) ®i qua hai ®iÓm ( -1 ; 3 ) vμ ( -3 ; 1 ) 3m1.13n6 m0 m3n2 2m0 2 1m1.33n6 3m 3n 2 3m 3n 2 n 3 2 VËy m = 0 , m = 3 §Ò bμi 3: Cho hai hμm sè bËc nhÊt y = ( m + 3 )x + 2m + 1 vμ y = 2mx - 3m - 4 cã ®å thÞ t−¬ng øng lμ (d1) vμ (d2) T×m m ®Ó : a. (d1) vμ (d2) song song víi nhau , c¾t nhau , trïng nhau b. (d1) vμ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm n»m trªn trôc tung c. (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoμnh d. (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm n»m bªn ph¶i trôc tung e. (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm n»m bªn d−íi trôc hoμnh f. (d1) c¾t (d2) t¹i ®iÓm ( 1 ; -2 ) g. Chøng tá khi m thay ®æi th× ®−êng th¼ng (d1) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh , ®−êng th¼ng (d2) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Gi¶i : §Ó c¸c hμm sè ®· cho lμ c¸c hμm sè bËc nhÊt ta ph¶i cã : m30 m 3 2m 0 m 0 Chó ý : §iÒu kiÖn trªn lu«n ®−îc dïng so s¸nh tr−íc khi ®−a ra mét kÕt luËn vÒ www.VNMATH.comm www.VNMATH.com 14
  15. a. (d ) vμ (d ) song song víi nhau , c¾t nhau , trïng nhau Simpo 1PDF Merge2 and Split Unregistered Version - (d ) vμ (d ) song song víi nhau m32m m3 m3 1 2 2m 1 3m 4 m 1 (d1) vμ (d2) c¾t nhau m32mm3 (d ) vμ (d ) trïng nhau m32m m3 ( v« nghiÖm ) 1 2 2m 1 3m 4 m 1 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã: Víi m = 3 th× (d1) vμ (d2) song song víi nhau m3 , m0 , m3 th× (d1) vμ (d2) c¾t nhau Kh«ng cã gi¸ trÞ nμo cña m ®Ó (d1) vμ (d2) trïng nhau b. (d1) vμ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm n»m trªn trôc tung (d1) vμ (d2) c¾t nhau m32mm3 (d1) vμ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm n»m trªn trôc tung khi 2m + 1 = - 3m - 4 m 1 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã víi m = -1 th× (d1) vμ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm n»m trªn trôc tung. Chó ý : Giao ®iÓm cña ( d1) vμ ( d2) víi trôc tung lÇn l−ît lμ ( 0 ; 2m + 1) vμ ( 0 ; -3m -4 ) nªn chóng c¾t nhau t¹i 1 ®iÓm trªn trôc tung khi hai ®iÓm ®ã trïng nhau, tøc lμ 2m+1 = -3m – 4. Do ®ã lêi gi¶i trªn nhanh mμ kh«ng ph¶i lμm t¾t. c. (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoμnh (d1) vμ (d2) c¾t nhau m32mm3 Thay y = 0 vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) vμ (d2) ta cã 2m 1 x m3x2m10 m3 ( V× m3 , m0 ) 2mx 3m 4 0 3m 4 x 2m 2m 1 3m 4 Giao ®iÓm cña (d1) vμ (d2) víi trôc hoμnh lÇn l−ît lμ ;0 vμ ;0 m3 2m (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoμnh khi 2m 1 3m 4 2m 2m 1 m 3 3m 4 4m22 2m 3m 13m 12 m 2 11m 12 0 m3 2m Ph−¬ng tr×nh trªn lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a - b + c = 0 nªn cã hai nghiÖm m1 = -1 ; m2 = 12 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m = -1 hoÆc m = 12 th× d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoμnh Chó ý : Ph¶i kÕt hîp víi c¶ ba ®iÒu kiÖn lμ m3 , m0 , m3 råi míi kÕt luËn. d. (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm n»m bªn ph¶i trôc tung (d1) vμ (d2) c¾t nhau m32mm3 Hoμnh ®é giao ®iÓm cña (d1) vμ (d2) lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Èn x sau : 5m 5 m3x2m12mx3m4 m3x5m5 x ( v× m 3 ) m3 (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm n»m bªn ph¶i trôc tung khi hoμnh ®é giao ®iÓm d−¬ng www.VNMATH.com www.VNMATH.com 15
  16. 5m 5 05m5m30m1hoÆcm3 m3 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m3,m1hoÆcm3 e. (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm n»m bªn d−íi trôc hoμnh (d1) vμ (d2) c¾t nhau m32mm3 Hoμnh ®é giao ®iÓm cña (d1) vμ (d2) lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Èn x sau : 5m 5 m3x2m12mx3m4 m3x5m5 x ( v× m 3 ) m3 5m 5 Thay x vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ( d ) ta cã m3 1 5m 5 5m222 20m 15 2m 5m 3 7m 15m 12 ym3. 2m1 m3 m3 m3 * (d1) c¾t (d2) t¹i ®iÓm n»m bªn d−íi trôc hoμnh khi tung ®é giao ®iÓm ©m 7m2 15m 12 0(*) m3 2 22295 2 3 15 Ta cã7m 15m 12 6m 12m 6 m 3m 6 m 1 m 0 44 2 4 Nªn (*) t−¬ng ®−¬ng víi m-3<0 m3 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã : m3,m3,m0 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m f. (d1) c¾t (d2) t¹i ®iÓm ( 1 ; -2 ) (d1) vμ (d2) c¾t nhau m32mm3 (d ) c¾t (d ) t¹i ®iÓm ( 1 ; -2 ) 2m32m1 m2 m2 1 2 22m3m4 m2 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m = -2 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. g. Chøng tá khi m thay ®æi th× ®−êng th¼ng (d1) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh , ®−êng th¼ng (d2) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Gi¶ sö khi m thay ®æi c¸c ®−êng th¼ng (d1) lu«n ®i qua ®iÓm ( x0 ; y0 ) , tøc lμ : y00 m3x2m1víimäim x00 2m3x y010víimäim x20 x 2 00 3x y 1 0 y 5 00 0 VËy khi ma thay ®æi th× c¸c ®−êng th¼ng (d1) lu«n ®i qua ®iÓm ( -2 ; -5 ) cè ®Þnh 3 Chó ý : Víi ®−êng th¼ng ( d2 ) ta lμm t−¬ng tù , ®iÓm cè ®Þnh lμ ;4 2 §Ò bμi 4: Cho hai ®−êng th¼ng d1 vμ d2 lÇn l−ît cã ph−¬ng tr×nh y = -2x + 4 vμ y = 2x - 2 a. T×m täa ®é giao ®iÓm A cña hai ®−êng th¼ng trªn. b. VÏ trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é c¸c ®−êng th¼ng d1 vμ d2 c. Gäi B vμ C lÇn l−ît lμ giao ®iÓm cña d1 vμ d2 víi trôc hoμnh; D vμ E lÇn l−ît lμ giao ®iÓm cña d1 vμ d2 víi trôc tung.TÝnh diÖn tÝch c¸c tam gi¸c ABC , ADE , ABE. d. TÝnh c¸c gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d1 vμ d2 víi trôc hoμnh. Gi¶i : e. T×m täa ®é giao ®iÓm A cña hai ®−êng th¼ng trªn. www.VNMATH.com www.VNMATH.com 16
  17. Giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng lμ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh sau : 4 y 41 3 Simpoy2x4 PDF Merge andxx Split Unregistered Version - y2x2 222 2y 2 y 1 3 VËy giao ®iÓm A cña hai ®−êng th¼ng lμ A ;1 2 f. VÏ trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é c¸c ®−êng th¼ng d1 vμ d2 XÐt ®−êng th¼ng (d1) : y = -2x + 4 Víi x = 0 y = 4 ; y = 0 x = 2. §−êng th¼ng (d1) ®i qua hai ®iÓm ( 0 ; 4 ) vμ ( 2 ; 0 ) XÐt ®−êng th¼ng (d2) : y = 2x - 2 Víi x = 0 y = -2 ; y = 0 x = 1. §−êng th¼ng (d1) ®i qua hai ®iÓm ( 0 ; -2 ) vμ ( 1 ; 0 ) y 4 D d2 3 2 K 1 A O CB -4 -3 -2 -1 1 H 2 3 x -1 -2 E -3 d1 g. Gäi B vμ C lÇn l−ît lμ giao ®iÓm cña d1 vμ d2 víi trôc hoμnh; D vμ E lÇn l−ît lμ giao ®iÓm cña d1 vμ d2 víi trôc tung.TÝnh diÖn tÝch c¸c tam gi¸c ABC , ADE , ABE. 3 Ta cã : A ;1 , B( 2 ; 0 ) , C ( 1 ; 0 ) , D( 0 ; 4 ) vμ E( 0 ; -2 ) 2 Do ®ã : BC = | 2 – 1| = 1 , DE = | 4 - (-2)| = 6 , BO = | 2 – 0 | = 2 3 Gäi AH lμ ®−êng cao cña ABC , AK lμ ®−êng cao cña ADE AH = 1 , AK = 2 Gäi SABC , SADE , SBDE , SABE lÇn l−ît lμ diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c ABC , ADE , BDE , ABE. Ta cã : 111 S AH.BC .1.1 ( ®¬n vÞ diÖn tÝch ) ABC 222 1139 SAK.DE 6 ( ®¬n vÞ diÖn tÝch ) ADE 2222 11 S BO.DE .2.6 6 ( ®¬n vÞ diÖn tÝch ) BDE 22 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 17
  18. 93 SSS6 ( ®¬n vÞ diÖn tÝch ) ABE BDE ADE 22 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - h. TÝnh c¸c gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d1 vμ d2 víi trôc hoμnh. Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d1 vμ d2 víi trôc hoμnh lÇn l−ît lμ DBx vμ ACx OD 4 Tam gi¸c OBD vu«ng t¹i O cã : TgOBD 2 OBD 63,40 OB 2 BDx 18000 63,4 116,6 0 OE 2 Tam gi¸c OCE vu«ng t¹i O cã : TgOCE 2 OCE 63,40 OC 1 ACx 63,40 0 VËy gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d1 vμ d2 víi trôc hoμnh cïng lμ 63,4 . II. chó ý : Khi ®Ò bμi kh«ng cho ®iÒu kiÖn cña tham sè m mμ nãi lμ cho hμm sè bËc nhÊt th× khi lμm bμi ta vÉn ph¶i t×m ®iÒu kiÖn ®Ó cã ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt vμ dïng ®iÒu kiÖn nμy ®Ó so s¸nh tr−íc khi kÕt luËn D. HÖ ph−¬ng tr×nh §Ò bμi 1: Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau : 5x 2 y 9 x 2 y 5 x3 7 x y3 7 y a) b) c) 2 2 2 2 4x 3 y 2 x 2 y 2 xy 5 x y x y 2 13 2 x yxy 7 d) x2y ( §Æt Èn phô ) e) ( ®èi xøng lo¹i 1 ) 22 21 xy 3316 xy 1 x2y 232xy22 y 32xxyy22 11 f) ( ®èi xøng lo¹i 2 ) g) ( ®¼ng cÊp bËc hai ) 22 22 232yx x xxyy 2525 Gi¶i : x1 x1 a) 5x 2y 9 15x 6y 27 23x 23 24 4x 3y 2 8x 6y 4 4x 3y 2 413y2 y 2 3 VËy hÖ cã mét nghiÖm lμ : ( x ; y ) = ( -1 ; 2 ) x2y5 x52y x52y b) 2 x222 y 2xy 52 52y 2y252yy52 5 20y 4y222y 10y 4y 25 x52y x52y 1 2 2 10y 30y 20 0 y3y202 Ph−¬ng tr×nh (2) lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a + b + c = 0 nªn cã hai nghiÖm lμ c y 1; y 2 12a Víi y = y1 = 1 thay vμo (1) ta cã x = 5 – 2.1 = 3 Víi y = y2 = 2 thay vμo (1) ta cã x = 5 – 2.2 = 1 VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ( x ; y ) lμ ( 3 ; 1 ) vμ ( 1 ; 2 ) www.VNMATH.com www.VNMATH.com 18
  19. x7xy7yxy7x7y033 33 x y xx22 yy 7x y 0 c) 22 22 xyxy2 xyxy2 22 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -xyxy2 xyx 22 xyy 7 01 22 xyxy2 2 Tõ (1) => x - y = 0 hoÆc x2 + xy + y2 + 7 = 0 NÕu x – y = 0 x = y thay vμo (2) ta cã : xxxx2xx1022 2 2 15 15 14.1.150 . Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : x;x 1222 15 15  HÖ cã nghiÖm xy vμ xy 22 NÕu x2 + xy + y2 + 7 = 0 kÕt hîp víi (2 ta cã hÖ : xyxy7022 xy2xy70 xyxy90 22 22 2 xyxy2 xyxy2 x y 2xy x y 2 PS9 SP90 §Æt x+y = S , xy = P ta cã hÖ 2 2 PS9 S2PS2 S2S9S2 2 SS160* Ph−¬ng tr×nh (*) lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã 12 4.1.16 63 0 nªn (*) v« nghiÖm. HÖ v« nghiÖm 15 15 VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lμ xy vμ xy 22 13 2 d) x2y . §iÒu kiÖn x0,y2 21 1 x2y 11 §Æt a, b ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh : x2y 1 a a3b2a3b2 5a1 5 2a b 1 6a 3b 3 2a b 1 1 3 b2a12.1 55 11 x5 Do ®ã x5 511 ( tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn ) 13y2 33 2y 5 11 VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lμ x;y 5; 3 xyxy 7 xyxy 7 e) 22 2 xy 3316 xy xy 23 xyxy 16 SP 7 P7S P 7S §Æt x+y = S , xy = P ta cã hÖ 2 2 2 S2P3S16 S27S3S16 SS20 2 Ph−¬ng tr×nh S – S – 2 = 0 cã d¹ng a - b + c = 0 nªn cã hai nghiÖm lμ S1 = -1 , S2 = 2  Víi S = S = -1 ta cã P = -7 + 1 = -6 x y 1 . 1 xy 6 x vμ y lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai sau : A2 + A - 6 = 0 14.1.62502 5. Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 19
  20. 15 15 A2;A3 => HÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ( 2 ; -3 ) vμ ( -3 ; 2 ) 1222 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  Víi S = S2= 2 ta cã P = -7 - 2 = -9 . => Tù lμm tiÕp. KÕt luËn : HÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm lμ : ( 2 ; -3 ) , ( -3 ; 2 ) , 110;110,110;110 2321xy22 y f) 22 2322yx x Trõ tõng vÕ hai ph−¬ng tr×nh cña hÖ ta cã : 2(x22 - y )-(x-y ) = 3(y22-x ) 2 x y x y x y 3x y x y 0 x-y2x2y13x3y0 xy5x5y1 0 x-y=0 5x 5y 10  NÕu x - y = 0  x = y thay vμo (1) ta cã 2x2 + x = 3x2 - 2  x2 - x - 2 = 0 Ph−¬ng tr×nh cã d¹ng a – b + c = 0 nªn cã hai nghiÖm lμ x1 = -1 , x2 = 2  HÖ ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = y = -1 vμ x = y = 2 15x  NÕu 5x + 5y – 1 = 0 y thay vμo (1) ta cã : 5 2 222215x 15x 2x 3. 2 50x 5 25x 3 1 10x 25x 50 25x 5x 52 0 55 52 4.25. 52 5225 0 5 5225 1 209 5 5225 1 209 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x;x 1250 10 50 10 1 209 1 209 1 209 Víi x = x = ta cã y = (1 – 5. ) : 5 = 1 10 10 10 1 209 1 209 1 209 Víi x = x = ta cã y = (1 – 5. ) : 5 = 2 10 10 10 KÕt luËn : HÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm ( x ; y ) lμ : 1 209 1 209 1 209 1 209 1; 1 , 2; 2 , ; , ; 10 10 10 10 Chó ý : NÕu hÖ ®èi xøng bËc 3 th× c¸ch lμm vÉn thÕ nh−ng lêi gi¶i dμi vμ khã h¬n rÊt nhiÒu cÇn quan s¸t kÜ xem ë b−íc thø hai cã c¸ch nμo ®¬n gi¶n kh«ng 22 22 22 32xxyy 111 25. 3xxyy 2 25.11 75xxyy 50 25 275 g) xxyy22 2525222 112255275 x22 xyy 11. xxyy 2 5 11.25 75x22222222 50 xyyx 25 11 22 xyyx 55 64 28 xyy 30 0 32 x 14 xyy 15 0 * 3x2 11 Víi y = 0 thay vμo hÖ ph−¬ng tr×nh ta cã : 2 ( hÖ v« nghiÖm) x25 Víi y 0 chia hai vÕ cña (*) cho y2 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh : 2 32x2 14x x x 2 15 0 32. 14. 15 0 y yyy x §Æt t = ta cã ph−¬ng tr×nh : 32t2 + 14t – 15 = 0 y Ph−¬ng tr×nh trªn cã ' 72 32. 15 529 0 ' 23 72315 7231 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : t;t 1232 16 32 2 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 20
  21. 15 x15 15  Víi t = t = x y . Thay vμo ph−¬ng tr×nh (2) ta cã : 1 16 y 16 16 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 2 15 15 2222 yyyyyyy2. 5 25 225 480 1280 6400 16 16 256 16 16 1025yyyy22 6400 hoÆc 41 41 41 16 15 16 15 Víi yx . 4116 41 41 16 15 16 15 Víi yx . 4116 41 41 1 x1 1  Víi t = t = x y . Thay vμo ph−¬ng tr×nh (2) ta cã : 2 2 y 22 2 11 2222 2 2 y 2 yyyyyyyy 2. 5 25 4 20 100 25 100 y 4 22 y 2 1 Víi y = 2 x.21 2 1 Víi y = -2 x.21 2 Tãm lai hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm ( x ; y ) lμ : 15 16 15 16 ; , ; , 1; 2 , 1; 2 41 41 41 41 Chó ý : NÕu trong hÖ cã c¸c biÓu thøc cÇn ®iÒu kiÖn th× tr−íc khi gi¶i ta ph¶i t×m ®iÒu kiÖn cña biÕn tr−íc, sau ®ã dïng ®iÒu kiÖn nμy ®Ó so s¸nh tr−íc khi kÕt luËn vÒ nghiÖm cña hÖ 3x m 1 y 12 §Ò bμi 2: Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: m1x12 y 24 a. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi m = 2 b. Gi¶i vμ biÖn lu©n hÖ ph−¬ng tr×nh. c. T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt ( x ; y ) sao cho x 1 f. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n x + y = -1. g. T×m m nguyªn ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt lμ nghiÖm nguyªn h. Víi ( x ; y ) lμ nghiÖm duy nhÊt cña hÖ .T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vμ y kh«ng phô thuéc vμo m. Gi¶i : a. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi m = 2 ( tù lμm ) b. Gi¶i vμ biÖn lu©n hÖ ph−¬ng tr×nh. 3x m 1 y 12 1 36x 12 m 1 y 144 2 m1x12y242 m1x12m1 y 24 m 1 Trõ tõng vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh trªn ta cã : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 21
  22. m 122 x 36x 24 m 1 144 m 1 36 x 24m 24 144 Simpo m PDF 7 Merge m 5 xand 24m Split 168Unregistered 3 Version -  NÕu m = 7 thay vμo hÖ ph−¬ng tr×nh ban ®Çu ta cã : 3x 6y 12 x 2y 4 x2y 4x42y 6x 12y 24 x 2y 4 HÖ v« sè nghiÖm d¹ng ( 4 – 2t ; t ) víi t R  NÕu m = -5 thay vμo hÖ ph−¬ng tr×nh ban ®Çu ta cã : 3x 6y 12 x 2y 4 HÖ v« nghiÖm 6x 12y 24 x 2y 4 24m 16824 m 7 24  NÕu m5v μ m7 tõ (3) ta cã : x m7m5 m7m5 m5 Thay vμo (2) ta cã: 24 24 m 1 2 m 1 12 m 1 . 12y 24 12y 24 y 2 y m5 m5 m5 m5 Tãm l¹i :  NÕu m = -5 hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm  NÕu m = -7 hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã v« sè nghiÖm x = 4 – 2t , y = t víi t R  NÕu m5v μ m7 hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt: 24 12 x,y m5 m5 24 Chó ý : Khi t×m ®−îc x ta kh«ng nªn thay vμo (1) ®Ó t×m y v× khi ®ã hÖ m5 sè cña y vÉn cßn m vμ ta l¹i ph¶i xÐt c¸c tr−êng hîp hÖ sã ®ã b»ng vμ kh¸c 0 ®Ó t×m y c. T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt ( x ; y ) sao cho x 0 . Nh©n hai vÕ cña (1) víi (x + 5)2 >0 ta ®−îc bÊt ph−¬ng tr×nh 24 m 5 12 m 5 24m 120 12m 60 12m 60 m 5 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m < -5 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m Chó ý : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 22
  23. Khi nh©n c¶ hai vÕ cña mét bÊt ph−¬ng tr×nh víi cïng mét biÓu thøc ta Simpo PDFph¶i Merge chó andý xem Split biÓu Unregistered thøc ®ã Version d−¬ng - ©m ®Ó ®æi chiÒu hay kh«ng ®æi chiÒu bÊt ®¼ng thøc NÕu ®Ò bμi cho lμm c©u c ( hoÆc d, e, f, g ) mμ kh«ng cho c©u b th× khi lμm, b−íc 1 ta ph¶i t×m ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt, khi ®ã ta tr×nh bμy nh− c©u b tíi (3) vμ lËp luËn hÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi (3) cã nghiÖm duy nhÊt m5vμ m7 d. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ©m.  Theo c©u trªn, ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi m5v μ m7 . 24 12  Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lμ : x,y m5 m5 24 0 HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt ©m khi m5 m50 m50 m 5 12 m 5 0 0 m5 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m 1  Theo c©u trªn, ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi m5v μ m7 . 24 12  Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lμ : x,y m5 m5 HÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y > 1 24 12 36 m 5 31 m 100 m5m5 m5 m5 31 m 0 m 31 m50 m 5 m31 5m31 31 m 0 m 31 m5 v« nghiÖm m50 m 5 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã 5m31 vμ m7 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m f. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n x + y = -1.  Theo c©u trªn, ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi m5v μ m7 . 24 12  Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lμ : x,y m5 m5 HÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y = -1 24 12 36 2m 10 46 2m 200462m0dom5m23 m5m5 m5 m5 KÕt hîp c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m = - 23 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m g. T×m m nguyªn ®Ó hÖ cã nghiªm duy nhÊt lμ nghiÖm nguyªn  Theo c©u trªn, ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi m5v μ m7 . www.VNMATH.com www.VNMATH.com 23
  24. 24 12  Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lμ : x,y m5 m5 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 24 12 HÖ cã nghiªm duy nhÊt lμ nghiÖm nguyªn khi vμ lμ c¸c sè nguyªn m5 m5 V× m nguyªn nªn m + 5 lμ −íc cña 24 vμ 12 m 5 12;6;4;3;2;1;1;2;3;4;6;12 m 17;11;9;8;7;6;4;3;2;1;1;7 KÕt hîp ®iÒu kiÖn ta cã m 17;11;9;8;7;6;4;3;2;1;1  lμ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m h. Víi ( x ; y ) lμ nghiÖm duy nhÊt cña hÖ. T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vμ y kh«ng phô thuéc vμo m. 3x m 1 y 12 3x my y 12 my y 3x 12 Ta cã I m1x12y24 mx x 12y 24 mx x 12y 24 3x 12 Thay y = 0 vμo hÖ ta cã : x4 m1x24 m7 Thay m = 7 vμo hÖ ta ®−îc 3x 6y 12 x 2y 4 x2y 4 ( hÖ v« sè nghiÖm ) 6x 12y 24 x 2y 4 Do ®ã nÕu hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ( x ; y ) th× y 0 y3x12 m y3x12 I y .x x 12 24 y mx x 12 24 xy 3x22 12x xy 12y 24y 3x 12x 12y 0x4x42y 0 VËy biÓu thøc cÇn t×m lμ x2 – 4x + 4y = 0 Bμi tËp tù lμm Bμi 1 Giaûi caùc heä phöông trình sau : x2 xy y 2 4 x yxy 7 xy x y 11 x2 y 2 13 1) 2) 22 3) 2 2 4) xy x y 2 xy 3316 xy x y xy 30 3(x y ) 2 xy 9 0 x2 y xy 2 30 x y y x 6 x y 4 x4 y 4 34 5) 6) 7) 8) 3 3 2 2 x y 35 x y xy 20 x y xy 4 x y 2 §¸p ¸n 1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10) 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 10 10 10 10 4) (3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 ) 5) (2;3);(3;2) 6) 22 22 (1; 4), (4;1) Bμi 2 Giaûi caùc heä phöông trình sau ( ®¼ng cÊp bËc hai ): www.VNMATH.com www.VNMATH.com 24
  25. 32xxyy22 11 6x2 xy 2 y 2 56 1) 2) 3) 22 2 2 Simpo PDF Merge xxyy and2525 Split Unregistered Version - 5x xy y 49 23xxy32 5 32 yxy 67 Bμi 3. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: x2y3m 2x y 3(m 2) a) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh khi thay m = -1. b) Gäi nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lμ (x, y). T×m m ®Ó x2 + y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. a1x y 4 Bμi 4. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh (a lμ tham sè). ax y 2a a) Gi¶i hÖ khi a = 1. b) Chøng minh r»ng víi mäi a hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y 2. Bμi 5 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vμ n ®Ó c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh 21726 mx n y a) mn 12 cã nghiÖm (x ; y) = (1 ; 2) xy 2 66 41mxn 8 2 y 11 b) cã nghiÖm (x ; y) = ( 1; 3 ) 32mxny 5 1 4 Bμi 6 Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau : 22 313 2 22 xy 21 35xy yx 124 a) b) c) d) 23 xy22 31 5329 1 xy 21 yx 1212 112 xy xy 3 111 xy xy 3 xy 1 xy 3 22 22 x 129xy 756 uuv e) yz 1 f) yz 6 g) h) 22 22 y 325 yx 264 vvu zx 8 zx 1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 25