›
›

Bộ đề thi vào lớp 10 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM

pdf 42 trang phuongnguyen 6500
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ đề thi vào lớp 10 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbo_de_thi_vao_lop_10_truong_pho_thong_nang_khieu_dhqg_tp_hcm.pdf

Nội dung text: Bộ đề thi vào lớp 10 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM

  1. CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN-TIN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM Copyright 2006 © www.diendantoanhoc.net
  2. MỤC LỤC Năm học 1993 – 1994 3 Năm học 1994 – 1995 6 Năm học 1995 – 1996 8 Năm học 1996 – 1997 11 Năm học 1997 – 1998 13 Năm học 1998 – 1999 16 Năm học 1999 – 2000 19 Năm học 2000 – 2001 22 Năm học 2001 – 2002 25 Năm học 2002 – 2003 28 Năm học 2003 – 2004 31 Năm học 2004 – 2005 34 Năm học 2005 – 2006 37 Năm học 2006 – 2007 40
  3. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 1993 – 1994 Ngày thứ nhất Bài 1 Ta nĩi số tự nhiên A là một số “Pitago” nếu A là tổng bình phương của hai số tự nhiên nào đĩ. a) Cho P và Q là hai số “Pitago”, chứng minh P.Q và 2nP cũng là các số “Pitago”. b) Tìm các số “Pitago” M và N sao cho tổng và hiệu của chúng khơng phải là các số “Pitago”. Bài 2 a) Giải phương trình căn thức : 3494312−=x 4 −xx3 − 3 b) Chứng minh đẳng thức 4449++− 20 6 49 20 6 = 3 2 Bài 3 Tám đội bĩng tham gia giải vơ địch trong đĩ hai đội bất kỳ phải gặp nhau đúng một lần. Biết rằng đến cuối giải khơng cĩ trận đấu nào kết thúc với tỉ số hịa. Chứng minh rằng trong tám đội nĩi trên, luơn tìm được bốn đội A, B, C, D sao cho kết quả các trận đấu giữa họ là A thắng B, C, D; B thắng C, D và C thắng D. Bài 4 Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ đang ở trong một căn phịng của kí túc xá. Một cơ đang sửa áo, một cơ đang chải đầu, một cơ đang viết thư và một cơ đang đọc sách. Biết thêm rằng : 1. Mỹ khơng sửa áo và khơng đọc sách. 2. Mận khơng viết thư và khơng sửa áo. 3. Nếu Mỹ khơng viết thư thì Mơ khơng sửa áo. 4. Mai khơng đọc sách và khơng sửa áo. 5. Mơ khơng đọc sách và khơng viết thư. Hãy nĩi chính xác mỗi cơ đang làm gì. 3
  4. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 5 Giả sử O là một điểm nằm bên trong tam giác đều ABC . Các đường thẳng AOBOCO,, cắt các cạnh đối diện của tam giác tại các điểm A1,B1,C1 tương ứng. Biết rằng : SSSSSS++ =++ +++ABOCAOBCOCBOBAOAC11 1 +++ 11 1O Chứng minh rằng O nằm trên một đường trung tuyến của tam giác ABC. Ngày thứ hai Bài 1 Chia hai tập hợp những số tự nhiên {1,2, ,2n} thành hai tập con rời nhau A và B, mỗi tập cĩ n phần tử. Kí hiệu các phần tử của hai tập hợp này theo thứ tự tăng : A ={aa12<<< an− 1 < an } và Bbb={ nn< −12<< bb <1 } Hãy chứng minh đẳng thức : 2 |a1-b1|+|a2-b2|+ +|an-bn|=n Bài 2 Cho một bảng kích thước 2n x 2n ơ vuơng. Người ta đánh dấu 3n ơ bất kì của bảng. Chứng minh rằng cĩ thể chọn ra n hàng và n cột của bảng sao cho các ơ được đánh dấu đều nằm trên n hàng hoặc n cột này. Bài 3 Cho hình thang vuơng ABCD cĩ AB là cạnh đáy nhỏ, CD là cạnh đáy lớn, M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng hình thang ABCD ngoại tiếp đường trịn bán kính R. Hãy tính diện tích tam giác ADM. Bài 4 Một hộp đựng 52 viên bi, trong đĩ cĩ 13 viên màu xanh, 13 viên màu đỏ, 13 viên màu vàng và 13 viên màu trắng. Cần phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi (mà khơng nhìn trước) để chắc chắn trong số đĩ khơng cĩ ít hơn 7 viên bi cùng màu. Hãy phát biểu và chứng minh bài tốn tổng quát hơn. 4
  5. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 5 Một dãy các con số 0 và 1 cĩ độ dài 32 được gọi là 1 xâu. Ta kí hiệu các xâu A,B,C , như sau : A=(a1,a2, ,a32) B=(b1,b2, ,b32) C=(c1,c2, ,c32) với ai,bi,ci, = 0 hay 1; i = 1,2, ,32. Giá trị của một xâu là số các con số 1 cĩ trong xâu ấy. Một máy tính cĩ thể xử lý các xâu bằng hai phép biến đổi sau : _ Phép dịch chuyển các phần tử của A đi k vị trí, 1 ≤ k ≤ 32 theo qui tắc : (a1,a2, ,a32) ⇒ (ak,ak+1, ,a31,a32,a1,a2, ,ak-1). _ Phép so sánh hai xâu A và B để được một xâu mới C theo qui tắc A&B ⇒ C, với 1 nếu (ai = 1,bi = 0) hay (a1 = b1 = 1) c1 = 0 nếu (ai = 1,b i= 0) hay (a1 = 0,b1 = 1) Cho xâu A cĩ giá trị bằng 16 và B là một xâu tùy ý. Chứng minh rằng, bằng cách dịch chuyển A đi k vị trí (thích hợp) và so sánh kết quả với B, ta sẽ được xâu C cĩ giá trị khơng nhỏ hơn 16. 5
  6. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 1994 – 1995 Ngày thứ nhất Bài 1 Sáu đội bĩng A,B,C,D,E và F tham dự một giải vơ địch. Dưới đây là năm khẳng định khác nhau về hai đội cĩ mặt trong trận chung kết : a) A và C b) B và E c) B và F d) A và F e) A và D Biết rằng cĩ bốn khẳng định đúng một nửa và một khẳng định sai hồn tồn. Hãy cho biết hai đội nào được thi đấu trong trận chung kết. Bài 2 a) Trên bảng cĩ viết 1994 số : 1,2, ,1994. Cho phép xĩa hai số bất kỳ trong những số trên bảng và viết thêm một số bằng tổng của hai số đĩ (Như vậy sau mỗi lần xĩa thì các số các số được viết trên bảng giảm đi 1). Chứng minh sau 1993 lần xĩa, trên bảng sẽ cịn lại một số lẻ. b) Nếu thay số 1994 trong câu a) bằng số 2000 thì sau 1999 lần xĩa trên bảng sẽ cịn lại 1 số chẵn hay số lẻ ? Bài 3 Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho y+1 chia hết cho x và x+1 chia hết cho y. Bài 4 a) Cho abcd<<< là 4 số thực tùy ý. Với các giá trị thực nào của x thì biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất : f(x) = |x – a|+|x – b|+|x – c|+|x – d| b) Hãy phát biểu và giải bài tốn tổng quát với n số thực. Bài 5 Cho tam giác ABC cĩ hai đường phân giác trong BD và CE cắt nhau tại I. Biết rằng ID = IE, chứng minh rằng hoặc tam giác ABC cân tại A hoặc gĩc ∠=BAC 600 . 6
  7. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Ngày thứ hai Bài 1 ⎧23xxyy22− +=13 ⎪ Giải hệ phương trình ⎨ ⎪ xxyy22+ 42−=−6 ⎩ Bài 2 Cho tam giác ABC vuơng tại A, cĩ O, I lần lượt là tâm các đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp. Đặt BC = a, CA = b, AB = c. a) Tính các độ dài IO, IB theo a,b,c. b) Biết rằng tam giác IOB vuơng ở I, chứng minh AB : AC : BC = 3 : 4 : 5. Bài 3 Chứng minh khơng tồn tại một dãy tăng thực sự các số nguyên≥ 0:aaa123,,, sao cho với mọi số tự nhiên n,m ta cĩ : amn = an + am . Bài 4 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hai số nguyên dương x và y thỏa mãn các tính chất sau : i) x và y đều cĩ hai chữ số ii) x = 2y iii) Một chữ số của y thì bằng tổng hai chữ số của x, cịn chữ số kia thì bằng trị tuyệt đối của hiệu hai chữ số của x. Bài 5 Một tam giác đều được chia thành một số hữu hạn các tam giác con. Chứng minh rằng sẽ cĩ ít nhất một tam giác con cĩ cả ba gĩc đều nhỏ hơn 1200. 7
  8. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 1995 – 1996 Ngày thứ nhất Bài 1 Trong một kì thi trắc nghiệm cĩ 5 câu hỏi, thí sinh dự thi chỉ cần trả lời “cĩ” hay “khơng” cho mỗi câu. Hãy chứng minh rằng nếu biết được các thơng tin sau về câu trả lời cho mỗi câu hỏi : a) Câu số 1 và câu số 5 cần trả lời trái ngược nhau. b) Câu số 2 và câu số 4 cần trả lời giống nhau. c) Nếu câu số 4 trả lời “cĩ” thì câu số 5 cần trả lời “khơng”. d) Số câu được trả lời “khơng” ít hơn số câu trả lời “cĩ” thì một thí sinh cĩ thể trả lời đúng bốn câu hỏi. Bài 2 Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD lấy hai điểm E và F sao AE CF cho = . Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của BEDF đoạn EF thì AC chia đơi diện tích tứ giác ABCD. Bài 3 Hãy tìm tất cả các số tự nhiên cĩ bốn chữ số A = abcd thỏa điều kiện : i) abd=+−(2 b d a)2 ii) A + 72 là một số chính phương Bài 4 a) Chứng minh với mọi giá trị thực của x ta luơn cĩ : 36125109xx24+ ++ x − x2 +≥5 b) Giải phương trình : 36125109342x24+++xxxx −2 +=−−x2 Bài 5 Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ đỉnh A,B cố định và C thay đổi trên nửa đường thẳng At vuơng gĩc với AB tại A. Gọi I là tâm đường trịn nội tiếp tam 8
  9. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net giác ABC và P, Q, R lần lượt là các tiếp điểm của đường trịn này với các cạnh AC, BC, AB. Đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D. a) Chứng minh rằng bốn điểm B, D, Q, R nằm trên một đường trịn. b) Chứng minh rằng khi C thay đổi trên At thì PQ luơn đi qua một điểm cố định. Ngày thứ hai Bài 1 Cho số tự nhiên n>1. Chứng minh rằng : a) Nếu n lẻ thì ta khơng thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2, ,n} thành một dãy sao cho với mọi kn≤ , tổng của k số đầu tiên trong dãy khơng chia hết cho n. b) Nếu n thì ta khơng thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2, ,n} thành một dãy sao cho với mọi kn≤ , tổng của k số đầu tiên trong dãy khơng chia hết cho n. Bài 2 Giải và biện luận hệ phương trình sau : ⎧ xyz = m ⎪ xy+ ⎪ ⎪ xyz ⎨ =1 ⎪ yz+ ⎪ xyz ⎪ = 2 ⎩ zx+ trong đĩ x, y, z là các ẩn số và m là tham số thực. Bài 3 Cho aa1, 2 , , a 1995 là các số thực dương. Gọi A là các số lớn nhất trong các số trên, hãy chứng minh bất đẳng thức : 1 Aa(+++ 2 a 1995 a ) > ( a ++ a )2 1 2 1995 2 1 1995 9
  10. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 4 Cho tứ giác lồi ABCD. a) Chứng minh rằng nếu hai đường trịn đường kính AB và CD tiếp xúc ngồi nhau thì ta luơn cĩ AB + CD ≤ AD + BC b) Chứng minh rằng, nếu hai đường trịn đường kính AB và CD tiếp xúc ngồi với nhau và hai đường trịn đường kính AD và BC cũng tiếp xúc ngồi với nhau thì tứ giác ABCD phải là hình thoi. Bài 5 a) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình vuơng. Chứng minh rằng luơn cĩ thể tìm được hai đỉnh A và B của hình vuơng sao cho : 135oo≤∠AOB ≤ 180 b) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình đa giác đều n cạnh (5n ≥ ). Chứng minh rằng, luơn cĩ thể tìm được hai đỉnh A và B của đa giác sao ⎛⎞1 oo cho: ⎜⎟1−≤∠≤ 180AOB 180 . ⎝⎠n 10
  11. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 1996 – 1997 Ngày thứ nhất Bài 1 Cho số nguyên k. a) Chứng minh k 2 ++5k 5 chia hết cho 11 khi và chỉ khi kt=+11 4 với t là số nguyên b) Chứng minh k 2 ++3k 5 khơng chia hết cho 121. Bài 2 Giải phương trình (2)(3)xx−+−=441. Bài 3 Cho tam giác ABC cĩ I là tâm đường trịn nội tiếp. Gọi C là đường trịn ngoại tiếp tam giác IBC. a) Chứng minh rằng tâm của C nằm trên đường thẳng AI. b) Chứng minh rằng : Tam giác ABC cân tại A ⇔ C tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC. Bài 4 Chứng minh rằng, cĩ thể chia các số 1,2, ,3N (N ≥ 2) thành ba nhĩm N số mà tổng các số chứa trong mỗi nhĩm đều bằng nhau. Bài 5 Trong giải Euro’96, sau vịng đấu loại, ở một bảng cĩ kết quả như sau : A nhất, B nhì, C ba, D tư. Các nhà quan sát nhận xét rằng nếu tính theo luật cũ là thắng 2 điểm (chứ khơng phải 3 điểm như hiện nay), hịa 1 điểm, thua 0 điểm thì thứ tự trên sẽ bị đảo lộn thành B nhất, A nhì, D ba , C tư. Hãy cho biết điểm thật sự của mỗi đội, biết rằng trong việc sắp thứ hạng, khi hai đội bằng nhau, đội nào cĩ hiệu số bàn thắng thua lớn hơn sẽ được xếp trên và trên thực tế cả bốn đội bĩng đều cĩ hiệu số bàn thắng thua khác nhau. 11
  12. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Ngày thứ hai Bài 1 Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình xpx2 + +=10; c,d là hai nghiệm của phương trình yqy2 ++=10. Chứng minh hệ thức : ()()()()(acadbcbd−−−−=− pq)2 Bài 2 Cho x, y, z là các số thực thỏa các điều kiện : ⎧xyz+ +=5 ⎨ 222 ⎩xyz+ +=9 7 Chứng minh : 1,,≤≤xyz 3 Bài 3 a) Cho tứ giác lồi ABCD. Hãy dựng đường thẳng qua A và chia đơi diện tích tứ giác ABCD. b) Cho tam giác ABC và đường thẳng d // BC và nằm khác phía của A đối với BC. Lấy điểm M lưu động trên d sao cho ABMC là tứ giác lồi. Đưịng thẳng qua A chia đơi diện tích tứ giác ABMC cắt BM hoặc CM tại N. Tìm quĩ tích điểm N. Bài 4 Chứng minh khơng tồn tại số tự nhiên n sao cho nn−1++1 là số hữu tỉ Bài 5 a) Chứng minh với N ≥ 3, luơn luơn cĩ N số chính phương đơi một khác nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương. b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên nm ≥ 3 bao giờ cũng xây dựng được một bảng chữ nhật gồm m x n số chính phương đơi một khác nhau sao cho tổng của mỗi dịng là một số chính phương và tổng của mỗi cột là một số chính phương. 12
  13. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 1997 – 1998 Ngày thứ nhất Bài 1 Chứng minh rằng, nếu xyz = 1 thì 111 + +=1 111++x xy ++ y yz ++ z zx Bài 2 Cho phương trình (2)(21)3mx+−−−+=2 mx m0. a) Chứng minh rằng phương trình cĩ nghiệm với mọi m. b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1,x2. Khi đĩ hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia. Bài 3 Hai thị trấn A và B cùng nằm trên một dịng sơng, cách nhau D km. Thị trấn B cĩ địa thế cao hơn nên dịng nước luơn chảy từ B đến A với vận tốc d (km/h) khơng đổi. Nếu nước khơng chảy, tàu Hi vọng cĩ vận tốc x (km/h) khơng đổi, tàu Tương lai cĩ vận tốc y (km/h) khơng đổi. Vào lúc 8 giờ sáng, tàu Hi vọng xuất phát từ A đi về hướng B và tàu Tương lai xuất phát từ B đi về hướng A. Vào lúc 12 giờ trưa hai tàu gặp nhau lần đầu tiên tại một điểm cách A 1 một khoảng cách là D . Khi đến A tàu Tương lai nghỉ nửa giờ rồi quay về B; 3 tương tự khi đến B tàu Hi vọng cũng nghỉ nửa giờ rồi quay về A. Hai tàu gặp 5 nhau lần thứ hai tại một điểm cách B một khoảng cách là D . Hãy tìm vận 27 tốc của các tàu Hi vọng và Tương lai biết rằng nếu ngay từ đầu, mỗi tàu tăng vận tốc thêm 7,5 km/h thì hai tàu sẽ gặp nhau lần đầu vào lúc 11 giờ trưa. Bài 4 Hai đường trịn tiếp xúc ngồi với nhau tại điểm D. Từ một điểm A bất kỳ nằm trên đường trịn thứ nhất kẻ tiếp tuyến của đường trịn thứ nhất cắt đường 13
  14. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net trịn thứ hai tại hai điểm B và C. Chứng minh rằng điểm A cách đều các đường thẳng BD và CD. Bài 5 Số nguyên A được tạo thành bằng các chữ viết liền nhau các số nguyên dương từ 1 đến 60 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : A =12345 585960 . a) Hãy chỉ ra cách xĩa 100 chữ số của A sao cho số A1 tạo bởi các chữ số cịn lại là nhỏ nhất; b) Hãy chỉ ra cách xĩa 100 chữ số của A sao cho số A2 tạo bởi các chữ số cịn lại là lớn nhất. Ngày thứ hai Bài 1 a) Tìm tất cả các số dương x, y thỏa : ⎧14 ⎪ + ≤ 3 ⎨ xy ⎪ ⎩xy+ = 3 b) Tìm tất cả các số dương x, y, z thỏa : ⎧149 ⎪ + +=3 ⎨ xyz ⎪ ⎩xyz+ +≤12 Bài 2 a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2n + 3n chia hết cho 5. b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2n + 3n chia hết cho 25. Bài 3 Một nhĩm 21 người đã đi du lịch đến các nước Anh, Pháp và Ý, trong đĩ mỗi người đã đi ít nhất một nước và khơng cĩ người nào đã đi cả ba nước. Biết rằng : i) Số người đã đi được cả hai nước Ý và Anh gâp đơi số người đã đi được cả hai nước Pháp và Ý. Cịn số người đã đi được cả hai nước Pháp và Ý lại gấp đơi số người đã đi được cả hai nước Anh và Pháp. 14
  15. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net ii) Số người đi Ý (mà khơng đi Anh, Pháp) hơn số người chỉ đi Anh (mà khơng đi Pháp, Ý) là một người và bằng với số người đã đi Pháp. a) Hãy tìm số người chỉ đi đúng một nước. b) Hãy tìm số người đi ít nhất một trong hai nước Anh, Pháp. Bài 4 a) Chứng minh rằng trong hình thang cân ABCD với hai đáy AB//CD , ta cĩ : AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB.CD b) Chứng minh rằng với mọi tứ giác lồi ABCD với hai đáy ta cĩ: AC2 + BD2 ≤ AD2 + BC2 + 2AB.CD Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra. Bài 5 Cho dãy n số a1, a2, , an (trong đĩ các số ai chỉ cĩ thể nhận các giá trị 0 hoặc 1) thỏa : (*) Bất kỳ hai bộ 5 số liên tiếp nào lấy từ dãy đã cho đều khơng trùng nhau. a) Chứng minh n ≤ 36 b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một số an+1 tùy ý (0 hay 1) thì tính chất (*) sẽ khơng cịn đúng nữa. Chứng minh rằng 2 bộ 4 số liên tiếp a1, a2, a3, a4 và an-3, an-2, an-1, an trùng nhau. 15
  16. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 1998 – 1999 Ngày thứ nhất Bài 1 a) Giải phương trình 52− xx=−7. ⎧231xy+ −=5 b) Giải hệ phương trình ⎨ ⎩327xy+= Bài 2 a) Chứng minh hằng đẳng thức : (1)44(mm2222+− + m + mmm = ++1)2. b) Cho phương trình mx22− (1)1 m+− m x ++= m 0 (1). Tìm điều kiện của m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt khác – 1. Bài 3 a) Giải và biện luận theo m bất phương trình (2)(3)(3)(1x +−>−+−xm x xm) ⎛⎞ab33−− ab− 2−2 b) Cho Aa=−⎜⎟b: . ⎜⎟−11− ⎝⎠ab− ab− Tìm điều kiện của a, b để A cĩ nghĩa; rút gọn A. Bài 4 Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng 3. Lấy điểm M trên cạnh BC. Đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P. Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài tại Q. BP cắt CQ tại I. a) Cho CM = 1, hãy tính BI, CI. b) Khi M di động trên đoạn BC, hãy tìm qũy tích điểm I. Bài 5 Một giải bĩng đá cĩ n đội tham dự. Các đội thi đấu vịng trịn một lượt. Trong mỗi trận, đội thắng được 2 điểm, đội hịa được 1 điểm và đội thua được 0 điểm. Các đội cĩ cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đĩ. 16
  17. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Khi kết thúc giải, đội vơ địch được 8 điểm, đội xếp thứ nhì được 6 điểm và đội xếp thứ 3 được 5 điểm. Các đội cịn lại cĩ số điểm khác nhau. Hãy cho biết số đội đã tham dự giải và số điểm của các đội cịn lại (cĩ giải thích rõ). Ngày thứ hai Bài 1 a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho 2n-1 chia hết cho 7. b) Cho số nguyên tố p ≥ 5. Đặt A = 3p – 2p – 1. Chứng minh A chia hết cho 42p. Bài 2 Cho hai số nguyên dương a và b. Biết rằng trong bốn mệnh đề P, Q, R, S dưới đây chỉ cĩ duy nhất một mệnh đề sai : P = “a = 2b + 5” Q = “(a + 1) chia hết cho b” R = “(a + b) chia hết cho 3” S = “(a + 7b) là số nguyên tố” a) Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong bốn mệnh đề trên (cĩ giải thích). b) Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b thỏa ba mệnh đề đúng cịn lại. Bài 3 a) Trong hình vuơng cạnh bằng 1 cho 5 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng, trong các điểm đã cho cĩ thể tìm được 2 điểm sao cho khoảng cách 2 giữa chúng khơng lớn hơn . 2 b) Trong hình vuơng cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong các điểm đã cho cĩ thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác cĩ 1 diện tích khơng lớn hơn . 32 Bài 4 Cho x, y, z, p, q, r là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : 1 x + y + z = p + q + r = 1 và pqr ≤ . 2 17
  18. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net a) Chứng minh rằng nếu : x + y x ≤ y ≤ z thì px + qy + rz ≥ 2 b) Chứng minh rằng : px + qy + rz ≥ 8xyz Bài 5 a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, , 8 thành 1 dãy a1, a2, , a8 sao cho với 2 số ai, aj bất kỳ (i < j) thì mọi số trong dãy aaij+ nằm giữa ai và aj đều khác . 2 b) Hãy chứng minh rằng với N số nguyên dương đầu tiên 1,2, , N luơn tìm được cách sắp thành dãy a1, a2, , aN sao cho dãy thỏa mãn điều kiện như câu a). 18
  19. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 1999 – 2000 Ngày thứ nhất Bài 1 Cho fx()=− x2 2( m + 2) x + 6 m + 1. a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 cĩ nghiệm với mọi m. b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đĩ tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 cĩ hai nghiệm lớn hơn 2. Bài 2 a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện xyyx11−+22 −=1 (1) Chứng minh rằng xy22+=1 (2) b) Từ đẳng thức (2) cĩ suy ra đẳng thức (1) được hay khơng ? Giải thích rõ câu trả lời. Bài 3 a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện 1111 x + yz+=3, + +=. xyz3 Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 3. b) Áp dụng câu a), giải hệ phương trình : ⎧xyz+ +=3 ⎪ ⎪1111 ⎨ + += ⎪ xyz3 ⎪ 2 ⎩yz+=21 Bài 4 Cho hai đường trịn (),()CC12 cĩ bán kính lần lượt là 1 và 4 tiếp xúc ngồi với nhau. Một tiếp tuyến chung ngồi của (),()CC12 tiếp xúc với (),()CC12lần lượt tại A, B. Tìm bán kính của đường trịn (C) tiếp xúc đồng thời(),()CC12 và AB. 19
  20. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 5 a) Cĩ n đội bĩng thi đấu vịng trịn một lượt (n ≥ 3). Chứng minh rằng dù lịch thi đấu thế nào sắp xếp ra sao thì tại bất kỳ thời điểm nào ta cũng tìm ra được hai đội bĩng cĩ số trận đã đấu là bằng nhau. b) Giả sử n = 3 và ba đội bĩng thi đấu vịng trịn hai lượt. Điều khẳng định của câu a) cịn đúng khơnng ? Giải thích rõ câu trả lời. Ngày thứ hai Bài 1 a) Biết rằng x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0. 33 Viết phương trình bậc hai nhận x12, x làm hai nghiệm. b) Giải bất phương trình : (410)7(411)7xx222++ − xx +++<0 Bài 2 a) Khai triển biểu thức nn4+ (1)+ 4 thành dạng 2k + 1 và phân tích k thành các thừa số. b) Cho số nguyên A là tổng bình phương của hai số nguyên dương liên tiếp. Hãy chứng minh rằng A khơng thể là tổng lũy thừa bậc 4 của hai số nguyên dương liên tiếp. Bài 3 Cho tam giác ABC cĩ diện tích S và một điểm P nằm trong tam giác. a) Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của tam giác PBC, PCA và PAB. 222 Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của SSS12+ + 3. b) Gọi P1, P2, P3 lần lượt là các điểm đối xứng của P qua BC, CA và AB. Đường thẳng đi qua P1 và song song BC cắt AB và AC tại B1B và C1. Đường thẳng đi qua P2 và song song CA cắt BC và BA tại C2 và A2. Đường thẳng đi qua P3 và song song AB cắt CA và BC tại A3 và BB3. Hãy xác định vị trí điểm P để tổng diện tích ba hình thang BCC1BB1, CAA2C2 và ABB3A3 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đĩ. 20
  21. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 4 Người ta lát nền nhà hình vuơng kích thước n x n ơ bằng các viên gạch dạng như hình vẽ bên dưới sao cho cịn chừa lại một ơ khơng lát. a) Hãy chỉ ra một cách lát như trên với nền nhà kích thước 4 x 4 và 8 x 8 và ơ trống nằm tại một gĩc nhà. b) Hãy chứng minh rằng,. luơn luơn tồn tại cách lát nền nhà cĩ kích thước 2k x 2k (k nguyên dương) với ơ trống cịn lại nằm ở vị trí (i, j) bất kỳ. Bài 5 a) Chứng minh đẳng thức x ++yxy||2max{,}, − = xyxy ∀ ∈\ b) Chứng minh đẳng thức ab+− ab221 ab +− ab ⎧⎫11 +−+++=4max⎨⎬ , , ∀abc , ,≠ 0 ab ab c ab ab c⎩⎭ a b c trong đĩ max là kí hiệu số lớn nhất trong các số đi kèm. 21
  22. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 2000 – 2001 Ngày thứ nhất Bài 1 Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 7x + 3 =0 a) Hãy lập phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm là 2x1 – x2 và 2x2 – x1. b) Hãy tính giá trị của biểu thức : A =|2xx12−+ | |2 xx 21 − |. Bài 2 ⎧xy− 26= a) Giải hệ phương trình : ⎨ ⎩xy = 8 ⎧x +=yz2 ⎪ b) Giải hệ phương trình : ⎨x = 2(yz+ ) ⎪ ⎩xy= 2( z + 1) Bài 3 1 a) Giải phương trình xx++=1 . x b) Gọi α,β là số đo mỗi gĩc trong của hai đa giác đều cĩ số cạnh lần lượt α 5 là m và n. Tìm m và n nếu = . β 7 Bài 4 Cho tam giác ABC cĩ đường cao BD. Giả sử (C) là một đường trịn cĩ tâm O nằm trên đoạn AC và lần lượt tiếp xúc với BA, BC tại M, N. a) Chứng minh rằng 4 điểm B, M, D, N nằm trên một đường trịn. b) Chứng minh rằng ∠ADM=∠ CDN . Bài 5 Trong một giải bĩng đá cĩ 10 đội bĩng thi đấu vịng trịn một lượt. Trong mỗi trận, đội thắng được 3 điểm, đội hịa được 1 điểm và đội thua khơng cĩ điểm. Các đội cĩ cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đĩ. 22
  23. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net a) Gọi A là đội bĩng tham dự giải, hỏi đội bĩng A cĩ thể đạt được những điểm số nào. b) Giả sử đội bĩng A được xếp thứ nhì khi kết thúc giải. Tìm số điểm tối đa, số điểm tối thiểu mà đội bĩng A cĩ thể đạt được. Ngày thứ hai Bài 1 a) Cho số nguyên khơng âm A. Hãy xác định A biết rằng trong 3 mệnh đề P, Q, R dưới đây cĩ 2 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai : P : “A + 51 là số chíng phương” Q : “Chữ số tận cùng của A là 1” R : “A – 38 là số chính phương” b) Cĩ thể xếp hay khơng các số 0, 1, 2, , 9 lên các đỉnh của một đa giác đều 10 đỉnh sao cho hiệu số trên 2 đỉnh kề nhau bất kỳ nhận một trong các giá trị −−−3, 4, 5,3, 4 hoặc 5. Bài 2 Giải các hệ phương trình : ⎧()x ++yz3 =12 t ⎧xy=+ x3 y ⎪ ⎪ ⎪()1yzt++3 =2 x a) ⎨yz=+2( y z ) b) ⎨ ()1ztx++3 =2 y ⎪zx=+3(3 z 2 x ) ⎪ ⎩ ⎪ 3 ⎩()txy++ =12 z Bài 3 a) Cho bốn số nguyên dương a1, a2, a3, a4 sao cho 1≤≤akk với mọi k =1, 2, 3, 4 và tổng S = a1 + a2 + a3 + a4 là một số chẵn. Chứng minh rằng cĩ ít nhất một trong các số dạng ± a1, ± a2, ± a3, ± a4 cĩ giá trị bằng 0. b) Cho 1000 số nguyên dương a1, a2, , a1000 sao cho 1≤≤akk với mọi k =1,2, ,1000 và tổng S = a1 + a2 + + a1000 là một số chẵn. Hỏi trong các số dạng ± a1, ± a2, , ± a1000 cĩ số nào bằng 0 hay khơng ? Giải thích vì sao. 23
  24. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 4 a) Cho gĩc vuơng xAy và đường trịn C tâm O tiếp xúc với Ax và Ay lần lượt tại P và Q. d là một tiếp tuyến thay đổi của C. Gọi a, p, q lần lượt là các khoảng cách từ A, P, Q đến đường thẳng d. Chứng minh rằng a2 khi d thay đổi thì tỷ số khơng đổi. pq b) Khẳng định trên cịn đúng khơng nếu xAy khơng phải là gĩc vuơng ? Vì sao ? Bài 5 a) Cho a, b, c là 3 số khơng âm thỏa điều kiện : abc222++≤2( abbcca ++ ) (1) Chứng minh bất đẳng thức a++≤ b c2( ab + bc + ca) (2) Hỏi từ (2) cĩ thể suy ra (1) hay khơng ? Vì sao ? b) Cho a, b, c là 3 số khơng âm thỏa điều kiện (1) và p, q, r là các số thực thỏa điều kiện p + q + r = 0. Chứng minh apq + bqr + crp ≤ 0. 24
  25. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 2001 – 2002 Ngày thứ nhất Bài 1 a) Giải bất phương trình x +12>−x 1. b) Giải hệ phương trình ⎧ 17 x + = ⎪ y 2 ⎨ 17 ⎪y + = ⎩⎪ x 3 Bài 2 Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình x2 ++=ax 10 và x2 ++=bx c 0 cĩ nghiệm chung, đồng thời các phương trình x2 ++=xa0 và x2 ++=cx b 0 cũng cĩ nghiệm chung. Hãy tìm tổng a + b + c. Bài 3 a) Trên các cạnh AB và CD của hình vuơng ABCD lần lượt lấy các điểm AB M, N sao cho AM== CN . Gọi K là giao điểm của AN và DM. 3 Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ADK nằm trên cạnh BC. b) Cho hình vuơng ABCD với giao điểm hai đường chéo là O. Một đường thẳng d vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên d. Chứng minh rằng ()()ACSBD⊥ và ()()SAC⊥ SBD . Bài 4 Cho tứ giác lồi ABCD cĩ AB vuơng gĩc với CD và ABBCCDDA==2, 13, == 8, 5 . a) Đường (BA) cắt đường (DC) tại E. Hãy tính AE. b) Tính diện tích của tứ giác ABCD. 25
  26. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 5 Trong một giải cờ vua cĩ 8 kỳ thủ tham gia, thi đấu vịng trịn một lượt, 1 thắng được 1 điểm, hịa được điểm, thua được 0 điểm. Biết rằng sau khi tất 2 cả các trận đấu kết thúc thì cả 8 kỳ thủ nhận được các số điểm khác nhau và kỳ thủ xếp thứ hai cĩ số điểm bằng tổng điểm của 4 kỳ thủ xếp cuối cùng. Hỏi ván đấu giữa kỳ thủ xếp thứ tư và kỳ thủ xếp thứ năm đã kết thúc với kết quả như thế nào ? Ngày thứ hai Bài 1 a) Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 2000a là số chính phương. b) Tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho (b – 1) khơng là bội của 9, b là bội của bốn số nguyên tố liên tiếp và 2002b là số chính phương. Bài 2 1 1 Cho x, y là các số thực sao cho x + và y + đều là các số nguyên. y x 1 a) Chứng minh xy22+ là số nguyên. x22y 1 b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho xynn+ là số xnny nguyên. Bài 3 a) Cho a, b là các số dương thỏa ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 4 Aab=++(1)() ab22 + + ab+ 111 b) Cho m, n là các số nguyên thỏa + = . Tìm giá trị lớn nhất của B 23mn = mn. 26
  27. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 4 Cho hai đường trịn COR111(,) và COR222(,) tiếp xúc ngồi với nhau tại D điểm A. Hai điểm B, C lần lượt di động trên C1, C2 sao cho ∠BAC = 90 . a) Chứng minh trung điểm M của BC luơn thuộc một đường trịn cố định. b) Hạ AH vuơng gĩc với BC, tìm tập hợp điểm H. Chứng minh rằng 2R R độ dài đoạn AH khơng lớn hơn 12. R12+ R c) Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự như câu a) và câu b) trong trường hợp C1, C2 tiếp xúc trong với nhau tại điểm A. Bài 5 Giải hệ phương trình ⎪⎧ xxx++13513 ++ + = yy −+ −+ y −5 ⎨ 22 ⎩⎪xyx++ + y =80 27
  28. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 2002 – 2003 Ngày thứ nhất Bài 1 Cho phương trình xxmm+−−+−=212 6110. a) Giải phương trình khi m = 2. b) Chứng minh phương trình cĩ nghiệm với mọi m. Bài 2 Cho hệ phương trình : ⎧x+ ||ymxxy++ (32 2 ||2 ++=− xyy 23 ||)1 m ⎨ ⎩xy||=− 6 a) Giải hệ phương trình khi m = 0. b) Giải hệ phương trình khi m = 1. Bài 3 Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD của hình chữ nhật ABCD. Biết rằng đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD cĩ đường kính bằng 823+ và tồn tại điểm I thuộc đoạn MN sao cho ∠=DAI 45D và ∠=IDA 30D . a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD. b) Gọi K, H lần lượt là trọng tâm của các tam giác AID và BIC. Tính diện tích tam giác NKH. Bài 4 Tam giác ABC cĩ ∠=ABC 30D và ∠ACB =15D . Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB, OC. a) Tính ∠PON . Chứng minh A, M, I thẳng hàng. b) Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN. Bài 5 28
  29. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net a) Tìm tất cả các số thực a và b sao cho |2x + a| = |bx + 5| với mọi số thực x. b) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực thỏa điều kiện : |ax + b| + |cx + d| = |ex + f| với mọi số thực x. Biết a, c và e khác 0, chứng minh rằng ad = bc. Ngày thứ hai Bài 1 Cho phương trình x −+=x1 m (1) trong đĩ m là tham số. a) Giải phương trình (1) khi m = 1. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt. Bài 2 Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình x22+ yz= 2. a) Chứng minh rằng trong hai số x, y cĩ ít nhất một số chia hết cho 3. b) Chứng minh rằng tích xy chia hết cho 12. Bài 3 Cho đường trịn (C) đường kính BC = 2R và điểm A thay đổi trên (C) (A khơng trùng với B, C). Đường phân giác trong gĩc A của tam giác ABC của đường trịn (C) tại điểm K (K ≠ A). Hạ AH vuơng gĩc với BC. a) Đặt AH = x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất. b) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AHHK2+ 2 luơn luơn là một đại lượng khơng đổi. AH 3 Tính gĩc B của tam giác ABC biết rằng = . HK 5 Bài 4 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 111 abc+ =+ =+ bca a) Cho a = 1, tìm b, c. 29
  30. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đơi một khác nhau thì abb222=1. c) Chứng minh rằng nếu a, b, c đều dương thì a = b = c. Bài 5 Trong một giải bĩng đá cĩ N đội tham gia thi đấu theo thể thức vịng trịn một lượt (hai đội bất kỳ đều gặp nhau đúng một lần). Sau mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua khơng được điểm nào, cịn nếu trận đấu cĩ kết quả hịa thì mỗi đội cùng được 1 điểm. Các đội xếp hạng dựa theo tổng điểm. Trong trường hợp một số đội cĩ tổng điểm bằng nhau thì các đội này được xếp hạng theo chỉ sồ phụ. Két thúc giải người ta nhận thấy rằng khơng cĩ trận đấu nào kết thúc với tỉ số hịa; các đội xếp nhất, nhì, ba cĩ tổng điểm lần lượt là 15, 12, 12 và tất cả các đội xếp tiếp theo cĩ tổng điểm đơi một khác nhau. a) Chứng minh rằng N ≥ 7 . b) Tìm N và tổng điểm của mỗi đội tham gia giải. 30
  31. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 2003 – 2004 Ngày thứ nhất Bài 1 Cho phương trình mx22+++−=23 mx m m 30 (1) a) Định m để phương trình (1) vơ nghiệm. b) Định m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa ||xx12−=1. Bài 2 a) Giải phương trình xx(2)(5)(3− +−=+ xx xx ) b) Giải hệ phương trình 2222 ⎪⎧(xyxy+−= )( ) 144 ⎨ 22 22 ⎩⎪ x + yxy−−=y Bài 3 Cho tam giác ABC cĩ ∠=A 45D . Gọi M và N lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC. MN a) Tính tỉ số . BC b) Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng OA⊥ MN . Bài 4 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều; mặt bên SCD là tam giác vuơng cân tại S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính diện tích tam giác SIJ theo a. b) Gọi H là chân đường cao kẻ từ S của ∆SIJ. Chứng minh rằng SH⊥ AC . 31
  32. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 5 Lớp 9A cĩ 28 học sinh đăng ký dự thi vào các lớp chuyên Tốn, Lý, Hĩa của trường Phổ thơng Năng khiếu. Trong đĩ: Khơng cĩ học sinh nào chỉ chọn thi vào lớp Lý hoặc chỉ chọn thi vào lớp Hĩa; cĩ ít nhất 3 học sinh chọn thi vào cả ba lớp Tốn, Lý và Hĩa; số học sinh chọn thi vào lớp Tốn và Lý bằng số học sinh chỉ chọn thi vào lớp Tốn; cĩ 6 học sinh chọn thi vào lớp Tốn và Hĩa; số học sinh chọn thi vào lớp Lý và Hĩa gấp 5 lần số học sinh chọn thi vào cả ba lớp Tốn, Lý và Hĩa. Hỏi số học sinh chọn thi vào từng lớp là bao nhiêu? Ngày thứ hai Bài 1 a) Chứng minh rằng phương trình ()2()abx222−+−+−= abxab 33 440 luơn cĩ nghiệm với mọi a, b. b) Giải hệ phương trình ⎧xyxy+ +=5 ⎨ 33 ⎩(1)(1)3xy+ ++ =5 Bài 2 21nn++ 1 a) Với mỗi số nguyên dương n, đặt an =−+221, 21nn++ 1 bn =++221. Chứng minh rằng với mọi n, abnn chia hết cho 5 và abn+ n khơng chia hết cho 5. b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đơi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng. Bài 3 Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ đường cao AA1. Hạ A1H vuơng gĩc AB, A1K vuơng gĩc AC. Đặt A1B = x, A1C = y. a) Gọi r và r’ là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC và tam r ' giác AHK tương ứng. Hãy tính tỷ số theo x, y, suy ra giá trị lớn r nhất của tỷ số đĩ. 32
  33. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net b) Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong đường trịn. Tính bán kính của đường trịn đĩ theo x, y. Bài 4 a) Cho đường trịn (C) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đường trịn. Một đường thẳng thay đổi, qua A nhưng khơng đi qua O cắt (C) tại M, N. Chứng mih rằng đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN luơn đi qua một điểm cố định khác O. b) Cho đường trịn (C) tâm O và một đường thẳng (D) nằm ngồi đường trịn. I là một điểm di động trên (D). Đường trịn đường kính IO cắt (C) tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định. Bài 5 a) Cho một bảng vuơng 4 x 4. Trên các ơ của hình vuơng này, ban đầu người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ơ một số). Với mỗi phép biến đổi bảng, cho phép một hàng hoặc một cột bất kỳ trên hàng hoặc cột được chọn đổi đồng thời các số 0 thành số 1, các số 1 thành số 0. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta khơng thể đưa bảng ban đầu về bảng gồm tồn các số 0. b) Ở vương quốc “Sắc màu kỳ ảo” cĩ 45 hiệp sĩ: 13 hiệp sĩ tĩc đỏ, 15 hiệp sĩ tĩc vàng và 17 hiệp sĩ tĩc xanh. Khi hai hiệp sĩ cĩ màu tĩc khác nhau gặp nhau thì tĩc của họ lập tức đổi sang màu tĩc thứ ba (ví dụ khi hiệp sĩ tĩc đỏ gặp hiệp sĩ tĩc vàng thì cả hai đổi sang tĩc xanh). Hỏi cĩ thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau như vậy ở “Sắc màu kỳ ảo” tất cả các hiệp sĩ đều cĩ cùng màu tĩc được khơng ? 33
  34. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 2004 – 2005 Ngày thứ nhất Bài 1 a) Giải phương trình xx− 43−=2. b) Định m để phương trình xmxm2 − (1)2++=0 cĩ hai nghiệm phân biệt x12, x sao cho x12, x là độ dài hai cạnh gĩc vuơng của một tam giác vuơng cĩ cạnh huyền bằng 5. Bài 2 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc222++=−()()( ab 2 +− bc 2 +− ca)2 a) Tính a + b+ c biết rằng ab + bc + ca = 9. b) Chứng minh rằng nếu c ≥ a, c ≥ b thì c ≥ a + b. Bài 3 Cùng một thời điểm, một chiếc ơ tơ XA xuất phát từ thành phố A về hướng thành phố B và một chiếc xe khác XB xuất phát từ thành phố B về hướng thành phố A. Chúng chuyển động với vận tốc riêng khơng đổi và gặp nhau lần đầu tại một điểm cách A 20km. Cả hai chiếc xe, sau khi đến B và A tương ứng, lập tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần thứ hai tại một điểm C. Biết thời gian xe XB đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ, hãy tính vận tốc của từng chiếc ơ-tơ. Bài 4 Gọi I, O lần lượt là tâm đường trịn nội tiếp và đường trịn ngoại tiếp (C) của tam giác nhọn ABC. Tia AI cắt đường trịn (C) tại K (K ≠ A) và J là điểm đối xứng của I qua K. Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của I và O qua BC. a) Chứng minh rằng tam giác IBJ vuơng tại B. b) Tính gĩc BAC nếu Q thuộc (C). c) Chứng minh rằng nếu Q thuộc (C) thì P cũng thuộc (C). 34
  35. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 5 Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý khơng lớn hơn 20, luơn chọn được 3 số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác. Ngày thứ hai Bài 1 ⎧⎪xy+ +=51 a) Giải hệ phương trình ⎨ ⎩⎪yx+ +=51 b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện |x |< 1,|y |< 1. Chứng minh x + y rằng ||||xy+≥ . 1+ xy c) Tìm tất cả các số nguyên m ≥ 0 sao cho phương trình xm22− (1)−+= xm0 cĩ các nghiệm đều nguyên. Bài 2 a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho đa thức x31nn+ ++x 2 1chia hết cho đa thức x2 ++x 1. b) Tìm số dư trong phép chia A = 3338++ 6 2004 cho 91. Bài 3 Cho tam giác đều ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hạ PA1, PB1, PC1 vuơng gĩc với BC, CA, AB tương ứng. Tìm tập hợp các điểm P sao cho tam giác A1BB1C1 là tam giác cân. Bài 4 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường trịn (C) và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BC. N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB. a) Chứng minh rằng trực tâm K của tam giác NAB thuộc một đường trịn cố định. 35
  36. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net b) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ NE vuơng gĩc với BC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm J của HK. Bài 5 a) Trong một giải bĩng đá cĩ k đội tham gia, thi đấu vịng trịn một lượt (2 đội bất kỳ đấu với nhau đúng một trận). Đội thắng được 3 điểm, đội hịa được 1 điểm và đội thua khơng được điểm nào. Kết thúc giải, người ta nhận thấy rằng số trận thắng – thua gấp đơi số trận hịa và tổng số điểm của các đội là 176. Hãy tìm k. b) Tìm tất cả các số nguyên dương A cĩ hai chữ số sao cho số A chỉ thỏa mãn đúng hai trong 4 tính chất dưới đây : i) A là bội số của 5 ii) A là bội số của 21 iii) A + 7 là số chính phương iv) A – 20 là số chính phương. 36
  37. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 2005 – 2006 Ngày thứ nhất Bài 1 Cho phương trình xx(+ 1)[ mx2 ++++= 2( m 2) x m 3] 0. a) Giải phương trình khi m = 1. b) Chứng minh rằng phương trình trên khơng thể cĩ ba nghiệm phân biệt. Bài 2 ⎪⎧xy−=5 a) Giải hệ phương trình ⎨ ⎩⎪ 21xy+ −+= 22 ⎧xyz= ⎪ b) Giải hệ phương trình ⎨yz= 4 x ⎪ ⎩zx= 9 y Bài 3 a) Giải phương trình xxxx+ 6312+−−+−−=0. b) Cho các số thực a, b, c thỏa điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng : ab++≤23 bc ca 0. Bài 4 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O). Gọi M là chân đuờng cao kẻ từ A của tam giác ABC. Đường thẳng AM cắt đường trịn (O) tại I (I ≠ A). Gọi H là điểm đối xứng của I qua BC. a) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC. b) Gọi N là giao điểm của BH và AC; P là điểm thuộc cạnh AB sao cho ∠=∠PMB NMC . Chứng minh rằng các điểm C, H, P thẳng hàng. c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI. Chứng minh tam giác ABC đều. 37
  38. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 5 Trong một kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi của trường, nếu sắp xếp mỗi phịng thi 22 học sinh thì cịn thừa một em, cịn nếu giảm một phịng thi thì số học sinh được chia đều cho mỗi phịng. Hỏi cĩ bao nhiêu học sinh tham dự kỳ thi, biết rằng mỗi phịng thi khơng thể chứa quá 40 học sinh. Ngày thứ hai Bài 1 a) Cho a, b > 0, c ≠ 0. Chứng minh rằng 111 ++=⇔0.ab += ac ++ bc + abc b) Giải hệ phương trình ⎧ 11 +=1 ⎪ 22 ⎨ xy ⎪ 22 ⎩ xyxy−11+−=+2 Bài 2 a) Cho p ≥ 5 là số nguyên tố sao cho 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6 và 2p2 +1 khơng phải là số nguyên tố. b) Tính tổng các số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà trong cách viết thập phân của chúng khơng chứa chữ số 4 và chữ số 5. c) Cho tam thức bậc hai Px()= ax2 ++ bx c (a ≠ 0) thỏa mãn điều kiện Px(2)()22−= Px −2. Chứng minh rằng Px()()− = Px với mọi x. Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC. Điểm D di động trên cạnh BC. Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường trịn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD tương ứng. a) Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp tam giác AO1O2 luơn đi qua một điểm cố định khác A. b) Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và I là tâm đường ngoại tiếp tam giác AO1O2. Hãy xác định vị trí điểm D trên BC sao cho IO nhỏ nhất. 38
  39. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 4 a) Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng 1. M là một điểm bất kỳ nằm trong hình vuơng. Chứng minh rằng MAMBMCMD22+ ++≥ 2 22 . b) Cho x, y, z, t là các số thực bất kỳ thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh rằng ta luơn cĩ bất đẳng thức : x(1− yy )+−+−+−≤ (1 zz ) (1 tt ) (1 x ) 2 . Bài 5 Xét 81 chữ số, trong đĩ cĩ 9 chữ số 1; 9 chữ số 2; ; 9 chữ số 9. Hỏi cĩ thể xếp được hay khơng tất cả các chữ số này thành 1 dãy, sao cho với mọi k =1,2, 9, trong mỗi khoảng giữa hai chữ số k liên tiếp ở trên dãy cĩ đúng k chữ số ? 39
  40. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 2006 – 2007 Ngày thứ nhất Bài 1 Cho phương trình 310||47xxm2 −+−=0 (1). a) Xác định m để phương trình (1) cĩ một nghiệm bằng 3 và tìm các nghiệm cịn lại của phương trình (1). b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) cĩ nghiệm. Bài 2 a) Giải phương trình xx+ 426−−=1. ⎧⎪xy22+ 26= b) Giải hệ phương trình ⎨ 2 ⎩⎪23xy− y = Bài 3 a) Cho a, b, c thỏa abc ≠ 0 và ab + bc + ca = 0. ()()(abbcca+ ++) Tính P = . abc c) Cho a, b, c thỏa (abbcca+++≠ )( )( ) 0 và abcabc222 222 ++=++ ab++++++ bc ca bc ca ab Chứng minh rằng a = b = c. Bài 4 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm O, cĩ ACBD⊥ và AC cắt BD tại I. a) Chứng minh tam giác ABC cân. b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính độ dài đoạn MN. c) Gọi P là giao điểm của IO và MN. Tính độ dài đoạn PN. 40
  41. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 5 Để tặng thưởng cho các bạn học sinh đạt thành tích cao trong kỳ thi Olympic Tốn dành cho học sinh lớp 9, ban tổ chức đã trao 30 phần thưởng cho các học sinh với tổng giải thưởng là 2.700.000 đồng, bao gồm: mỗi học sinh đạt giải nhất được thưởng 150.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải nhì được thưởng 130.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải ba được thưởng 100.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải khuyến khích được thưởng 50.000 đồng. Biết rằng cĩ 10 giải ba và ít nhất một giải nhì được trao, hỏi ban tổ chức đã trao bao nhiêu giải nhất, nhì và khuyến khích ? Ngày thứ hai Bài 1 ⎪⎧21x2 + xy = a) Giải hệ phương trình . ⎨ 2 ⎩⎪21yxy+ = b) Giải bất phương trình 35xx− 2 ≤− 5 x2. c) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y = 2 . Chứng minh rằng xy() x22+≤ y 2. Bài 2 Cho phương trình (3)2(3)mx+−22 mmxm + ++= 3 120 (1), trong đĩ m là tham số. a) Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt. b) Ký hiệu x12, x là hai nghiệm của (1). Tìm số nguyên m lớn nhất 22 sao cho x1+ x2 là một số nguyên. Bài 3 Cho tam giác đều ABC. P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x, y, z lần lượt là khỏang cách từ P đến các cạnh BC, CA, AB tương ứng. a) Biết rằng x = 1, y = 2, z = 3. Hãy tính diện tích tam giác ABC. 41
  42. Trường Phổ thơng Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net b) Tìm quỹ tích những điểm P trong tam giác sao cho x +=yz. Từ đĩ suy ra tập hợp những điểm P trong tam giác sao cho x, y, z lập thành 3 cạnh của một tam giác. Bài 4 Cho đường trịn (C) tâm O, AB là một dây cung của (C) khơng đi qua O và I là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường trịn (C1) tâm O bán kính OI tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP.AQ khơng đổi và đường trịn ngọai tiếp tam giác BPQ đi qua một điểm cố định khác B. Bài 5 a) Trong một giải bĩng đá, cĩ 4 đội thi đấu vịng trịn 1 lượt (trong một trận, đội thắng được 3 điểm, đội thua được 0 điểm và đội hịa được 1 điểm). Khi kết thúc giải, người ta thấy cĩ 3 đội đạt được tổng số điểm lần lượt là 6 điểm, 5 điểm và 1 điểm. Hãy cho biết đội cịn lại của giải cĩ tổng số điểm là bao nhiêu và giải thích tại sao ? b) Cho 13 số thực thỏa mãn điều kiện: tổng của 6 số bất kỳ trong chúng nhỏ hơn tổng của 7 số cịn lại. Chứng minh rằng tất cả các số đã cho đều dương. Copyright © www.diendantoanhoc.net Ngày 5 tháng 6 năm 2006 42