Báo cáo tốt nghiệp - Đề tài: "Tìm hiểu mật mã lượng tử" - Trường Đại học Công nghệ-Đại học Quốc gia Hà Nội - Năm 2010 - Phạm Trường Sinh

pdf

77 trang phuongnguyen 3190

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Báo cáo tốt nghiệp - Đề tài: "Tìm hiểu mật mã lượng tử" - Trường Đại học Công nghệ-Đại học Quốc gia Hà Nội - Năm 2010 - Phạm Trường Sinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bao_cao_tot_nghiep_de_tai_tim_hieu_mat_ma_luong_tu_truong_da.pdf

Nội dung text: Báo cáo tốt nghiệp - Đề tài: "Tìm hiểu mật mã lượng tử" - Trường Đại học Công nghệ-Đại học Quốc gia Hà Nội - Năm 2010 - Phạm Trường Sinh

TRƯỜNG . KHOA . [\ [\ Báo cáo tốt nghiệp Đề tài: TÌM HIỂU MẬT MÃ LƯỢNG TỬ
LI CM N Tr c h t em xin g i l i c m n trân tr ng n TS. H V n H ng, cùng PGS- TS. oàn V n Ban, các th y ã t n tình ch b o s a ch a sai sót giúp em hoàn thành khóa lu n này. Em xin trân tr ng c m n các th y cô giáo Tr ng i h c Công ngh - i h c Qu c gia Hà N i. Phong cách gi ng d y, s ch b o nhi t tình c ng v i nh ng kinh nghi m quý báu c a th y cô ã th c s em l i cho em nhi u ki n th c và cái nhìn m i m. Giúp em sau khi ra tr ng s t tin h n trong công vi c, trong ngh nghi p mà mình ã ch n. Xin chân thành c m n t t c chi n h u ã cùng sát cánh trong su t th i gian hc t p. Hà N i, tháng 5 n m 2010 Sinh viên Ph m Tr ng Sinh
M U Cùng v i s phát tri n l n m nh c a ngành m t mã h c, các nhà m t mã h c ã nghiên c u và a ra m t h m t mã m i mang tên “m t mã l ng t ”. M t mã l ng t là h m t mã d a trên các tính ch t c a c h c l ng t và không ph thu c vào b t c s tính toán nào, do ó nó c cho là gi i pháp ch ng l i s tính toán ln c a máy tính l ng t . M t mã l ng t ã c ch ng minh có kh n ng b o m t vô iu ki n. Trên th gi i, ã có r t nhi u n c ang xây d ng m ng l ng t nh M , Anh, Vi t Nam cng ã có nhi u tài nghiên c u v m t mã l ng t nh ng do tính th i s c a nó, nên tôi v n nghiên c u v m t mã l ng t và ch n nó làm tài cho khóa lu n này. Ch ng 1: M t mã l ng t Gi i thi u s l c v m t mã l ng t , l ch s hình thành m t mã l ng t . Các lý thuy t v c h c l ng t , tính toán l ng t , t ó áp d ng nó vào m t mã l ng t . Ch ng 2: Phân ph i khóa l ng t Gi i thi u v phân ph i khóa l ng t , tìm hi u các giao th c trong phân ph i khóa l ng t . Ch ng minh kh n ng an toàn vô iu ki n c a các giao th c trong phân ph i khóa l ng t . Cách xác nh gi i h n l i, các ph ng pháp “làm m n khóa” và “tng tính bo m t”. Ch ng 3: Th c tr ng công ngh m t mã l ng t , xu t và xây d ng ch ng trình mô ph ng m t mã l ng t Gi i thi u th c tr ng c a công ngh m t mã l ng t trong th c t , các h ng i, xu t trong m t mã l ng t . Xây d ng ch ng trình mô ph ng phân ph i khóa l ng t theo giao th c BB84.
MC L C Ch ng 1. MT MÃ L NG T 1 1.1 GI I THI !U V " M #T MÃ L $%NG T & 1 1.2 LÝ THUY 'T L $%NG T & 3 1.2.1 Bit l ng t 3 1.2.2 (o l ng l ng t 5 1.2.3 Bt nh l ng t 6 1.2.4 Liên k t l ng t 7 1.2.5 (nh lý không th sao chép l ng t 9 1.3 TÍNH TOÁN L $%NG T & 9 1.3.1 Mt s ký hiu toán h c 9 1.3.2 Bi n ) i bit l ng t 10 1.3.3 Phép nhân tr ng thái l ng t 10 1.3.4 (o l ng l ng t trên c s * toán h c 11 1.3.5 Tr ng thái Bell 12 1.3.6 Ch ng minh không th sao chép l ng t 15 1.3.7 C)ng l ng t 16 1.4 TRUY "N THÔNG L $%NG T & 18 1.5 MÃ HÓA SIÊU DÀY (+C 20 1.6 K'T CH $, NG 21 Ch ng 2. PHÂN PH I KHÓA L NG T 22 2.1 GI I THI !U V " PHÂN PH -I KHÓA L $%NG T & 22 2.2 CÁC GIAO TH .C PHÂN PH -I KHÓA L $%NG T & 25 2.2.1 Giao th c BB84 25 2.2.1.1 Quy c trong giao th c BB84 25 2.2.1.2 Phép o l ng trong giao th c BB84 25 2.2.1.3 Các b c th c hi n giao th c BB84 27 2.2.1.4 Kh n ng t n công c a Nhân trong giao th c BB84 32 2.2.2 Giao th c B92 38 2.2.2.1 Các b c th c hi n giao th c B92 40 2.2.2.2 Kh n ng t n công c a Nhân trong giao th c B92 44 2.2.3 Giao th c EPR 47 2.2.3.1 Các b c th c hi n giao th c EPR 49 2.2.3.2 Kh n ng t n công c a Nhân trong giao th c EPR 50 2.2.4 Xác nh h s gi i h n l i ε 51 2.2.5 Làm m n khóa và t ng tính b o m t 51 2.2.5.1 Làm m n khóa 52 2.2.5.2 Tng tính b o m t 54 2.3 K'T CH $, NG 54 Ch ng 3. TH C TR NG CÔNG NGH M T MÃ L NG T , XÂY DNG CH NG TRÌNH MÔ PH NG M T MÃ L NG T VÀ XU T 55 3.1 TH /C TR 0NG CÔNG NGH ! M #T MÃ L $%NG T & 55
3.2 CH $, NG TRÌNH MÔ PH 1NG GIAO TH .C PHÂN PH -I KHÓA L $%NG T & 57 3.2.1 Mc ích mô ph ng 57 3.2.2 Giao th c truy n khóa l ng t 58 3.2.3 Gi i thi u ch ng trình 58 3.2.4 Kt Lu n 67 3.3 (" XU 2T .NG D 3NG C 4A M #T MÃ L $%NG T & 67 K T LU N 68 A. K'T QU 5 (0 T ($%C 68 B. H$ NG PHÁT TRI 6N 68 C. Ý NGH 7A 69
Danh M!c Hình Hình 1.1 Mô hình trao )i thông tin bí m t Hình 1.2 Mô hình trao )i thông tin bí m t d a trên c h c l ng t Hình 1.3 Hai tr ng thái c b n c a qubit Hình 1.4 Hình c 8u Bloch Hình 1.5 Hai c s * quan tr ng c a qubit Hình 1.6 Minh h a nh lý b t nh l ng t Hình 1.7 S 9 t o c :p tr ng thái Bell Hình 1.8 C)ng l ng t Hadamard Hình 1.9 C)ng l ng t Cnot Hình 2.1 Mô hình phân ph i khóa Hình 2.2 Mô hình phân ph i khóa l ng t Hình 2.3 Bng chuy n ) i bit và qubit trong giao th c BB84 Hình 2.4 Mô hình giao th c BB84 Hình 2.5 Bng giao c trong giao th c B92 Hình 2.6 C:p ôi không tr c chu ;n mà An s d ng Hình 2.7 Kt qu phép o l ng c a Bình Hình 2.8 S 9 tr ng thái c a qubit Hình 2.9 Bng giao c trong giao th c EPR Hình 2.10 S 9 tr ng thái c a Bình khi An g i qubit có tr ng thái − Hình 2.11 S 9 tr ng thái c a Bình khi An g i qubit có tr ng thái + Hình 2.12 Bng c s * dùng o l ng h t liên i Hình 2.13 S 9 th c hi n E91
Ch ng 1. MT MÃ L NG T 1.1 GI "I THI U V M T MÃ L NG T Mt mã l ng t là công ngh cho phép b o m t thông tin truy n i b ng quy lu t không th phá b c a t nhiên mà * ây là các tính ch t c a c h c l ng t , do ó nó c xem nh là m t s b o v m nh m ? nh t có th cho d > li u. Ngu 9n g c c a m t mã l ng t c a ra b *i Stephen Weisner[11], g i là "Conjugate Coding" t 8 u nh >ng n m 70. Sau ó, c công b vào n m 1983 trên t p chí Sigact News b *i Bennett và Brassard, nh >ng ng i ã nghiên c u nh >ng ý t *ng c a Weisner và phát tri n chúng theo cách riêng c a mình. H cho ra "BB84", giao th c m t mã l ng t 8 u tiên vào n m 1984, nh ng mãi n t n n m 1991, thí nghi m 8 u tiên v th th c này m i c th c hi n thành công qua m t ng truy n 32 cm. Nh >ng giao th ng ngày nay ã c th nghi m thành công trên quang s i * dài hàng tr m km. Hình d i ây mô t m t giao th c c a m t mã, thông tin nh y c m có th c làm ri lo n b *i ng i g i (An) thành m t d ng thông tin mà ng i ngoài không th nh n bi t. (iu này c th c hi n b *i m t công th c toán h c, g i là thu t toán mã hóa. Ng i nh n c (Bình) s ? có thu t toán gi i mã tìm l i d > li u ban 8 u. Hình 1.1: Mô hình trao i thông tin bí m t ( g i thông tin m t cách bí m t, khóa gi i mã ph i c truy n i m t cách bí m t. Nh ng khi ng i nh n nh n c m t khóa thì làm th nào xác minh c khóa này là - 1 -
th t và nó c gi > bí m t? Tr c ây, iu này là không th . M t mã l ng t gi i quy t vn này! Nó cho phép ng i g i và ng i nh n xác minh tính b o m t c a t ng khóa. .ng d ng tr c ti p nh t c a m t mã l ng t là quá trình truy n khóa bí m t. T i sao không dùng ng truy n l ng t này truy n tr c ti p thông tin c 8n truy n i? B*i vì l ng thông tin trong m t ng truy n l ng t không nhi u và t c không cao. Nh vào quá trình mã hóa mà s truy n thông tin này có th a n s b o m t cao cho ng truy n khác có t c trao ) i thông tin cao h n r t nhi u. Nguyên lí c a s trao ) i thông tin l ng t này d a vào s quan sát các tr ng thái l ng t ; nh >ng photon c truy n i c : t trong m t tr ng thái riêng bi t b *i ng i gi và sau ó c quan sát b *i ng i nh n. B *i theo thuy t t ng i, nh >ng tr ng thái l ng t liên h p không th c quan sát cùng m t lúc. Tùy theo cách quan sát, giá tr ca h o c s ? khác nhau, nh ng trong m t h các tr ng thái liên h p duy nh t; ví d nh phân c c c a photon c mô t b *i m t trong ba h khác nhau: phân c c ph @ng, phân c c c 8u hay phân c c elip. Nh v y, n u ng i g i và ng i nh n không th a thu n tr c v h quan sát c s d ng, ng i nh n có th tình c h y thông tin c a ng i nh n mà không nh n c gì có ích. Nh v y, s ti p c n n gi n nh t v ng truy n l ng t là: ng i g i mã hóa thông tin b *i các tr ng thái l ng t , ng i nh n quan sát các tr ng thái ó, sau ó nh vào th a thu n t tr c v h quan sát, ng i g i và ng i nh n trao ) i thông tin m t cách úng =n. Ta xét tr ng h p m t kênh truy n b o m t thông th ng và có "ng i t n công * gi >a" (man-in-the-middle attack). Trong tr ng h p này, ng i nghe lén (Nhân) c cho là có kh n ng iu khi n kênh truy n, có th a thông tin vào và l y thông tin ra không có thi u sót nào hay tr A nào. Khi An c g =ng thi t l p khóa bí m t cùng Bình, Nhân tham gia vào và tr l i tin theo c hai h ng, làm cho An và Bình t *ng r a An và Bình v i không m t phát hi n nào. Nh ng khi m t mã l ng t c áp d ng trong các quy lu t l ng t ; tr ng thái l ng t c a photon không th c sao chép. Nh v y, m t cách t nhiên, khi Nhân c g =ng l y thông tin mã hóa b *i m t photon, s nghe lén này s ? gây l i * phía Bình. (iu này s ? cho phép An và - 2 -
Bình nh n bi t c khi nào ng truy n c a h b tác ng b *i ng i nghe lén th ba, khi ó h có th chuy n qua kênh truy n khác, hay n gi n h n là làm tr A ng truy n li v i các khóa c thay ) i liên t c. Hình 1.2: Mô hình trao i thông tin bí m t d a trên c h c l ng t Ngoài kh n ng trao )i khóa nh các h m t mã thông th ng, m t mã l ng t còn có kh n ng phát hi n s xu t hi n c a bên th ba tham gia vào phiên truy n khóa. (ây là tính ch t n )i tr i so v i các h m t mã khác, c ng vì có tính ch t này hai bên trao )i khóa d A dàng bi t c khóa sau khi trao )i có th c s an toàn không. 1.2 LÝ THUY T L NG T 1.2.1 Bit l ng t Mt qubit (vi t t =t c a quantum bit[7]) hay bit l ng t là m t n v thông tin l ng t . Trong ó miêu t m t h c h c l ng t có hai tr ng thái c b n th ng c ký hi u là 1 và 0 (c là két 0 và két 1) ho :c 0 và 1 ( c là bra 0 và bra 1) t ng ng v i hai tr ng thái phân c c th @ng d c và phân c c th @ng ngang c a photon. Hình 1.3: Hai tr ng thái c b n c a qubit - 3 -
Khác v i m t bit c ) in thông th ng ch B nh n m t trong hai giá tr 1 ho :c 0, m t tr ng thái qubit thu 8n túy là ch 9ng ch p l ng t tuy n tính c a hai tr ng thái c b n trên. Nh v y m t qubit c bi u di An: ψ = α 0 + β 1 Trong ó α và β c g i là biên xác su t và giá tr chúng có th nh n là s ph c. ( n gi n ng i ta th ng bi u di An tr ng thái c a qubit d i dang vector: »α ψ = α 0 + β 1 = [α β ] ho :c ψ = α 0 + β 1 = β Khi o l ng ψ trong c s * c b n ch B cho ta 1 v i xác su t là α 2 ho :c cho 0 v i xác su t là ϕ = α 0 + β 1 , do ó ta có α 2 + β 2 = 1 Không gian tr ng thái c a b nh qubit có th miêu ta trên hình h c b <ng hình c 8u Bloch. Nó là không gian hai chi u, ngh Ca là tr ng thái l ng t c a m t qubit có hai b c t do. M t b nh ch a n qubit s ? có 2n+1 − 2 b c t do. Hình 1.4: Hinh c u Bloch Trong kh i c 8u Bloch, t t c các tr ng thái c a qubit có th vi t d i d ng liên h p ch 9ng ch p c a 1 và 0 . Nh v y ψ c bi u di An: ψ = cos( θ ) 0 + eiϕ sin( θ 1) = cos( θ ) 0 + (cos ϕ + isin ϕ)sin( θ 1) 2 2 2 2 V i: 0 ≤ θ ≤ Π , 0 ≤ ϕ ≤ 2Π Các giá tr c a (x, y, z) t i ψ trong hình c 8u c tính: x = sin θ cos ϕ y = sin θ sin ϕ z = cos φ - 4 -
Trong m t mã l ng t , ngoài hai tr ng thái c b n là 1 = ( 1,0 ) và 0 = )0,1( c s d ng chúng ta còn quan tâm n hai tr ng thái c b n khác c a l ng t là: 1 1 1 1 + = ( 0 + 1 ) = )1,1( và − = ( 0 − 1 ) = ,1( − )1 . 2 2 2 2 Tr ng thái − và + ca bit l ng t t ng ng v i s phân c c c a photon là phân cc chéo 45 o và 135 o . 1.2.2 (o l ng l ng t (o l ng l ng t là hành ng dùng các thi t b trong l ng t quan sát tr ng thái c a các photon phân c c. Trong m t mã l ng t , o l ng là m t hành ng không th tách r i, d a vào tr ng thái c a các pohoton phân c c o c mà ta quy t nh xem bit c ) in t ng ng c a nó là 1 hay 0. Mt khái ni m chúng ta c 8n quan tâm khi nguyên c u c h c l ng t là c s *. C s* c t o thành t c :p ôi tr c chu ;n. (iu ó có ngh Ca là n u hai tr ng thái ϕ và ψ trong cùng c s * ∗ luôn có tích vô h ng c a hai vector b <ng 0 hay ϕ ψ = 0 . M t tr ng photon b t k D c o trong c s * ∗ thì k t qu o l ng ch B có th cho là ϕ ho :c ψ . Xét b n thái c b n c a l ng t v a c p * trên là ,1 0 , + , − , ta có 1 0 = 0 . Nh v y c :p ,1 0 c g i là c :p ôi tr c chu ;n, c :p ôi này t o lên c s * ⊕ g i là c s* ngang. T ng t t + , − c ng là c :p ôi tr c chu ;n t o lên c s * chéo ⊗ . Hình 1.5: Hai c s quan tr ng c a qubit Khi o l ng l ng t , m t photon phân c c c sinh ra trong c s * nào s ? c o l ng úng trong c s * ó. Photon sinh ra trong c s * ⊕ và tr ng thái phân c c c a nó - 5 -
là 0 (ho :c 1 ) thì sau khi ta o l ng nó ta c ng c tr ng thái phân c c là 0 (ho :c 1 ). C ng nh v y, photon sinh ra trong c s * ⊗ và tr ng thái phân c c c a nó là − (ho :c + ) thì sau khi ta o l ng nó ta c ng c tr ng thái phân c c là − (ho :c + ). 1.2.3 Bt nh l ng t (nh lý b t nh l ng t phát bi u r <ng k t qu c a phép o l ng m t photon phân c c ch B úng khi và ch B khi t p h p các tr ng thái c a c s * o l ng ch a tr ng thái ca nó[7]. (nh lý này c ng nói r <ng, n u m t photon c t o ra trong m t c s * và c o l ng * c s * khác thì k t qu là photon b phân c c trong c s * m i và k t qu c a phép o l ng là ng u nhiên. Hình 1.6: Minh h a nh lý b t nh l ng t - 6 -
Ví d : N u ta sinh ra 1 photon 0 (ho :c 1 ) và o l ng nó trong c s * ⊗ thì k t qu s ? thu c là + ho :c − v i xác su t 50/50. Nh v y, n u ai ó mu n bi t thông tin v m t qubit nào ó thì h ph i bi t c s * mà nó c sinh ra. (ây là m t trong nh >ng tính ch t quan tr ng trong c h c l ng t c s d ng trong m t mã l ng t . 1.2.4 Liên kt l ng t Liên k t l ng t là hi u ng trong c h c l ng t trong ó tr ng thái l ng t c a hai hay nhi u v t có th liên h v i nhau dù chúng có n a hai photon ch ng t r a chúng có m t m i quan h t ng tác nào ó. Mi quan h t ng tác này là m t h qu c a các nh lu t trong c h c l ng t . Xét hai h th ng l ng t H A và H B H th ng g 9m hai h th ng H A và H B là tích tensor c a các tr ng thái trong h th ng H AΘH B . Nh v y n u h th ng H A có tr ng ψ H ψ thái A và h th ng B có tr ng thái B thì tr ng thái c a h th ng h p thành là: ψ Θψ A B , nh v y tr ng thái c a h th ng tính theo công th c trên là tr ng thái có th tách r i ho :c tr ng thái tích các h th ng. Vy hi n t ng liên k t l ng t c th hi n nh th nào? Gi s h th ng H A có i H i H ΘH c s * { A } và Gi s h th ng b có c s * { B }. Tr ng thái c a h th ng A B c bi u di An: ψ = C i Θ j AB ij A B i, j ψ = C A i ψ = C B i Trong ó: A i A và B j B . i j - 7 -
ψ c = c Ac B Tr ng thái AB c g i là có th tách r i c n u ij i j , và không th tách A B ri c n u cij ≠ ci c j . Tr ng thái liên k t l ng t là tr ng thái c a h th ng không th tách r i c. Trong m t mã l ng t chúng ta s d ng nhi u n tr ng thái Bell c a liên k t l ng t . B n tr ng thái Bell c a hai qubit c gi > b *i An(ch B s d i A) và Bình(ch B s d i B): 1 φ + = ( 0 0 + 1 1 ) 2 A B A B 1 φ − = ( 0 0 − 1 1 ) 2 A B A B 1 ψ + = ( 0 1 + 1 0 ) 2 A B A B 1 ψ − = ( 0 1 − 1 0 ) 2 A B A B Ta s ? xem xét ý ngh Ca c a các tr ng thái Bell trên. Xét trng thái φ + : Nu An o l ng qubit mà anh ta n m gi trong c s ⊕ thì k t qu là ng !u nhiên 1 ho "c 0 v i xác su t nh nhau. Nu k t qu phép o l ng c a An là 0 tr ng thái c a h th ng lúc ó là 0 0 . A B Nu k t qu phép o l ng c a An là 1 tr ng thái c a h th ng lúc ó là 1 1 . A B Sau ó Bình o l ng qubit mà anh ta n m gi trong cùng c s mà An thì k t qu mà anh ta nh n c ph # thu c vào tr ng thái c a h th ng lúc ó: Nu tr ng thái c a h th ng lúc ó là 0 0 thì k t qu phép o l ng c a An là A B 0 . Nu tr ng thái c a h th ng lúc ó là 1 1 thì k t qu phép o l ng c a An là A B 1 . Tính ch t quan tr ng c a liên k t l ng t là không th tách r i thành các thành ph 8n. (iu này có ngh Ca là không th tìm ra hai qubit σ và σ ′ sao cho σ Θ σ ′ = φ + . Xét v m :t m t mã, tính ch t này là c s * hình thành giao th c phân ph i khóa l ng t EPR mà chúng ta s ? tìm hi u * nh >ng ph 8n sau. - 8 -
1.2.5 (nh lý không th sao chép l ng t (nh lý không th sao chép l ng t là m t k t qu c a c h c l ng t . (nh lý phát bi u r <ng, không th t o b n sao c a m t qubit khi ch a bi t c s * mà qubit c 8n sao chép c t o ra[7]. 1.3 TÍNH TOÁN L NG T 1.3.1 Mt s ký hi u toán h c Trong tính toán l ng t , m t qubit ω = α 0 + β 1 th ng có th bi u di An d i hai d ng. »α ° Dng th nh t c là “ket”, ký hi u là ω = β ° Dng th nh t c là “bra”, ký hi u là ω = [α β ] ϕ ω (vi t t =t c a ϕ ω ) là tích c a ma tr n 1x2 và ma tr n 2x1. Ví d »α 2 ÿ ϕ = α1 0 + β1 1 và ω = α 2 0 + β 2 1 Ω ϕ ω = []α1 β1 Ÿ = α1α 2 + β1β 2 . β 2 ⁄ Chú ý r $ng: 1 1 = 0 0 = ω ω =1 và 1 0 = 0 1 = 0 t ng t v i m i ϕ ta có ϕ ϕ = 1 ϕ ω (vi t t =t c a ϕ Θ ω ) là phép nhân c a qubit trong l ng t . 2 »a11 a1n ÿ 4 6 4 Ÿ Cho ma tr n A = Ÿ là ma tr n vuông c p n trên tr ng s ph c, và có 2 Ÿ an1 ann ⁄ a = α + iβ ij ij ij (1 ≤ i, j ≤ n) »a 2 a ÿ 11 1n Ÿ 4 6 4 ° A = Ÿ là ma tr n liên h p c a A Ω aij = α ij − iβij 2 Ÿ an1 ann ⁄ »a T 2 a T ÿ 11 1n Ÿ T 4 6 4 T ° A = Ÿ là ma tr n chuy n c a ma tr n A Ω aij = a ji T 2 T Ÿ an1 ann ⁄ - 9 -
» + 2 + a11 a1n + + T ° A = 4 6 4 là ma tr n liên h p Hermitian Ω A = A hay + 2 + an1 ann + aij = α ji − iβ ji . 1.3.2 Bi n ) i bit l ng t Trong c h c l ng t , chúng ta có th bi n ) i photon phân c c t tr ng thái này sang tr ng thái khác. S bi n ) i c a m t qubit ϕ thành ϕ′ c di An t b *i “ma tr n n v bi n ) i” U. ϕ′ = U ϕ Ma tr n n v bi n ) i là nh >ng ma tr n Pauli, t c là các ma tr n U th a mãn iu ki n UU + = I , ngh Ca là U + =U −1 . »α ÿ Ví d : ϕ = α 0 + β 1 = Ÿ β ⁄ »0 1ÿ Và U = Ÿ 1 0⁄ »0 1ÿ»α ÿ »β ÿ Ω ϕ′ = U ϕ = Ÿ Ÿ = Ÿ = β 0 +α 1 1 0⁄ β ⁄ α ⁄ Ω ϕ′ = β 0 +α 1 1.3.3 Phép nhân tr ng thái l ng t Tr ng thái c a m t h th ng liên h p các qubit là tích tensor c a các tr ng thái qubit có trong h th ng liên h p ó. N u h th ng có n qubit v i tr ng thái riêng l E là ϕ2 , ϕ2 , ϕ3 , ϕn thì tr ng thái liên h p c a chúng s ? là ϕ1 Θ ϕ2 Θ ϕ3 Θ ϕn Ví d : Tr ng thái c a m t h th ng g 9m 2 qubit: ϕ1 = a 0 + b 1 và ϕ2 = c 0 + d 1 thì tr ng thái c a h th ng là: »ac ÿ Ÿ »aÿ »cÿ ad Ÿ ϕ1 Θ ϕ2 = ŸΘ Ÿ = = ac 0 0 + ad 0 1 + bc 1 0 + bd 1 1 b⁄ d⁄ bc Ÿ Ÿ bd ⁄ - 10 -
1.3.4 (o l ng l ng t trên c s * toán h c (o l ng l ng t c mô t b *i t p h p {M m } ( M m = am Θ am , am là tr ng thái ca qubit sau khi th c hi n phép o l ng) c a toán t o l ng. Ch B s m là 8u ra có th sy ra trong thí nghi m. N u tr ng thái c a qubit tr c khi o l ng là ϕ thì: + ° Xác su t s y ra m sau thí nghi m là p(m) = ϕ M m M m ϕ . M ϕ ° Tr ng thái c a qubit sau phép o l ng là: m . + ϕ M m M m ϕ + ° Tp h p {M m } ph i m b o: M m M m = I . m + ° Tng xác su t s y ra b $ng 1: P(m) = ϕ M m M m ϕ = 1. m m Ví d : N u ta th c hi n phép o l ng ϕ = α 0 + β 1 trong c s * ⊕ , t p h p c a toán t o l ng s ? là {M m }= (M 0 ,M 1 ) v i: »1ÿ »1 0 »0ÿ »0 0ÿ M 0 = 0 Θ 0 = []1 0 Θ Ÿ = và M 1 = 1 1 = []0 1 Ÿ = Ÿ 0⁄ 0 0 1⁄ 0 1⁄ + + + »1 0ÿ Ω ƒ M m M m =M 0 M 0 + M 1 M 1 = Ÿ = I m 0 1⁄ Xác su t s y ra sau thí nghi m cho ta 0 là: + »1 0ÿ»aÿ 2 p )0( = ϕ M 0 M 0 ϕ = []a b Ÿ Ÿ = α 0 0⁄ b⁄ Xác su t s y ra sau thí nghi m cho ta 1 là: + »0 0ÿ»α ÿ 2 p )1( = ϕ M 1 M 1 ϕ = []α β Ÿ Ÿ = β 0 1⁄ β ⁄ Ω ƒ p(m) = p )0( + p )1( = α 2 + β 2 = 1. Th a mãn t )ng xác su t b <ng 1. m Tr ng thái c a qubit sau o l ng: »1 0ÿ»α ÿ »1ÿ Ÿ Ÿ α Ÿ M ϕ 0 0⁄ β ⁄ 0⁄ α • Nu k t qu là 0 là 0 = = = 0 t 2 α α ϕ M 0 M 0 ϕ α - 11 -
»0 0ÿ»α ÿ »0 Ÿ Ÿ β M ϕ 0 1⁄ β ⁄ 1 β • Nu k t qu là 1 là 0 = = = 1 t 2 β β ϕ M 0 M 0 ϕ β Ngoài ra, n u o l ng ϕ = α 0 + β 1 trong c s * tr c chu ;n v = a 0 + b 1 và v′ = b 1 − a 0 (trong ó a 2 + b2 =1). Ta có: » b ÿ v v′ = []a b Ÿ = ab − ba = 0 Ω v và v′ là c :p tr c chu ;n c a m t c s * nào − a⁄ ó. »aÿ »a 2 ab ÿ v Θ v = []a b Θ Ÿ = Ÿ b⁄ ab b 2 ⁄ » b ÿ » b 2 − ab ÿ Và v′ Θ v′ = []b − a Θ Ÿ = Ÿ . − a⁄ − ab a 2 ⁄ »1 0ÿ Ω v Θ v + v′ Θ v′ = Ÿ = I 0 1⁄ Nh v y: ϕ = I ϕ = ( v Θ v + v′ Θ v′ ) ϕ = ( v Θ v + v′ Θ v′ )( α 0 + β 1 ) = α( v Θ v 0 + v′ Θ v′ 0 ) + β ( v Θ v 1 + v′ Θ v′ 1 ) = (α v 0 + β v 1 ) v + (ε v′ 0 + β v′ 1 ) v′ = (αa + βb) v + (αb − βa) v′ T bi u th c trên ta d A tính c xác su t o c v là (αa + βb)2 , và xác su t o c v′ là (αb − βa)2 . 1.3.5 Tr ng thái Bell Tr ng thái Bell là nh >ng tr ng thái c a liên k t l ng t :t theo tên c a nhà khoa hc J. S. Bell, c ng d ng vào trong m t mã l ng t [8]. ( t o ra liên k t l ng t theo tr ng thái Bell c a hai photon phân c c trong phòng thí nghi m ng i ta dùng hai qubit ϕ = 0 và ω = 0 - 12 -
1 »1 1 ° Bi n ) i qubit ϕ thành ϕ′ qua U1 = H = 2 1 −1 1 »1 1 ÿ»1ÿ 1 »1ÿ 1 Ω ϕ′ = H ϕ = Ÿ Ÿ = Ÿ = ()0 + 1 2 1 −1⁄ 0⁄ 2 1⁄ 2 ° Lúc này h th ng hai qubit s ? có tr ng thái »1ÿ Ÿ 1 »1ÿ 1 »1 0ÿ 1 0Ÿ δ = ϕ′ Θ ω = ŸΘ[]1 0 = Ÿ = 2 1⁄ 2 1 0⁄ 2 1Ÿ Ÿ 0⁄ »1 0 0 0ÿ Ÿ 0 1 0 0 ° Bi n ) i δ thành δ ′ qua U = C = Ÿ 2 not 0 0 0 1Ÿ Ÿ 0 0 1 0⁄ »1 0 0 0ÿ »1ÿ »1ÿ Ÿ Ÿ Ÿ 0 1 0 0Ÿ 1 0Ÿ 1 0Ÿ 1 + Ω δ ′ = Cnot δ = = = ()0 0 + 1 1 = φ 0 0 0 1Ÿ 2 1Ÿ 2 0Ÿ 2 Ÿ Ÿ Ÿ 0 0 1 0⁄ 0⁄ 1⁄ Nh v y ta ã t o c c :p liên k t l ng t có tr ng thái φ + t hai qubit 0 . T ng t th , t các c :p 8 u vào khác ta s ? t o c các tr ng thái khác c a Bell: 1 1 0 0 → ()0 0 + 1 1 = φ + ; 0 1 → ()0 1 + 1 0 = ψ + 2 2 1 1 1 0 → ()0 0 − 1 1 = φ − ; 1 1 → ()0 1 − 1 0 = ψ − 2 2 Nh v y các c :p tr ng thái Bell c a hai qubit có th c t o ra theo s 9: Hình 1.7: S t o c "p tr ng thái bell - 13 -
( ch ng minh s liên h l ng t c a các tr ng thái Bell ta l 8n l t th c hi n phép + o l ng σ và φ trên t p h p {M m }= (M 0 ,M 1 ) c a toán t o l ng. »1 0 0 0 »0 0 0 0ÿ Ÿ 0 0 0 0 0 1 0 0 Trong ó M = và M = Ÿ 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0Ÿ Ÿ 0 0 0 0 0 0 0 1⁄ ° (o l ng σ : • Xác su t s y ra 0 sau o l ng là: »1 0 0 0ÿ »1ÿ Ÿ Ÿ 1 0 0 0 0 1 0 p )0( = σ M + M σ = []1 0 1 0 Ÿ Ÿ = 1 0 0 2 0 0 1 0Ÿ 2 1Ÿ Ÿ Ÿ 0 0 0 0⁄ 0⁄ • Kt qu s y ra 0 sau o l ng là: »1 0 0 0ÿ »1ÿ »1ÿ Ÿ Ÿ Ÿ M σ 0 0 0 0 1 0 1 0 0 = Ÿ Ÿ = Ÿ = σ σ M + M σ 0 0 1 0Ÿ 2 1Ÿ 2 1Ÿ 0 1 Ÿ Ÿ Ÿ 0 0 0 0⁄ 0⁄ 0⁄ Ω (o l ng σ trong c:p toán t o l ng {M m }= (M 0 ,M 1 ) không làm thay )i tr ng thái c a h th ng, ngh Ca là phép o l ng m t qubit trong c:p không làm nh h *ng n qubit khác trong c :p ó. ° (o l ng φ + : • Xác su t s y ra 0 sau o l ng là: »1 0 0 0ÿ »1ÿ »1ÿ Ÿ Ÿ Ÿ + + + 1 0 0 0 0Ÿ 1 0Ÿ 1 0Ÿ 1 p )0( = φ M 0 M 0 φ = []1 0 0 1 = = 2 0 0 1 0Ÿ 2 0Ÿ 2 1Ÿ 2 Ÿ Ÿ Ÿ 0 0 0 0⁄ 1⁄ 0⁄ - 14 -
• Kt qu s y ra 0 sau o l ng là: »1 0 0 0ÿ »1ÿ Ÿ Ÿ 0 0 0 0Ÿ 1 0Ÿ 0 0 1 0Ÿ 2 0Ÿ »1 Ÿ Ÿ M σ 0 0 0 0⁄ 1⁄ 0 0 = = = 0 0 σ M + M σ 1 0 0 0 2 0 1 • T ng t ta có: K t qu c a phép o l ng s y ra 1 là 2 và k t qu sau phép o l ng là 1 1 Ω (o l ng σ trong {M m }= (M 0 ,M 1 ) làm thay )i tr ng thái c a h th ng, 8 u 1 1 1 0 0 1 ra là v i xác su t 2 và v i xác su t 2 . (iu này có ngh Ca là phép o l ng mt qubit trong c :p làm nh h *ng n qubit còn l i trong c :p ó Ω φ + là tr ng thái ca photon phân c c trong hi n t ng liên k t l ng t . 1.3.6 Ch ng minh không th sao chép l ng t Gi s có th sao chép c tr ng thái c a qubit σ mà ta ch a bi t thông tin b <ng cách bi n ) i t tr ng thái ϕ khác v tr ng thái c a σ thông qua m t ma tr n n v bi n ) i U. Nh v y ta có: U σ ϕ = σ σ A B A B (1) T ng t ta c ng có: U ω ϕ = ω ω A B A B Ω ϕ ω U = ω ω B A B A (2) T (1) và (2): Ω ϕ ω UU σ ϕ = ω ω σ σ B A A B B A A B M:t khác ta có U là ma tr n n v bi n ) i Ω UU = I ϕ ω σ ϕ = ω ω σ σ Do ó ta có B A A B B A A B ϕ ϕ = 1 Ω ω σ = ω ω σ σ Li có A A B A A B ω σ =1 ω σ = 0 Nh v y B B ho :c A A - 15 -
σ ω và σ ph i cùng c s *, t c là ω = σ ho :c ω và cùng là hai tr ng thái tr c giao. Nh v y ta ch B có th o l ng c tr ng thái c a qubit khi bi t c c s* c a nó, ó chính là n i dung nh lý không th sao chép l ng t . 1.3.7 C)ng l ng t [7] C)ng l ng t là các ma tr n bi n ) i. Nó th c hi n phép bi n ) i t tr ng thái l ng t này sang tr ng thái l ng t khác. C )ng l ng t th ng c bi u di An b <ng các ma tr n unitary, là ma tr n th a mãn iu ki n UU T = I . C#ng Hadamard : là c )ng th c hi n trên m t qubit. Nó bi n ) i tr ng thái l ng t t 0 → + và 1 → − . C )ng Hadamard c bi u di An b *i ma tr n H: 1 »1 1 H = 2 1 −1 Hình 1.8: C ng l ng t Hadamard C#ng Pauli-X: là c )ng th c hi n trên m t qubit. Nó th c hi n phép bi n ) i 1 → 0 và 0 → 1 . C )ng Pauli-X c bi u di An b *i ma tr n X: »0 1ÿ X = Ÿ 1 0⁄ C#ng Pauli-Y: là c )ng th c hi n trên m t qubit. Nó c bi u di An b *i ma tr n Y: »0 − iÿ Y = Ÿ i 0 ⁄ C#ng Pauli-Z: là c )ng th c hi n trên m t qubit. Nó th c hi n phép bi n ) i 0 → 0 và 1 → − 1 . C )ng Pauli-X c bi u di An b *i ma tr n Z: »1 0 ÿ Y = Ÿ 0 −1⁄ C#ng d $ch chuy %n pha : là c )ng th c hi n trên m t qubit. Nó c bi u di An b *i ma tr n R(θ ): »1 0 ÿ R()θ = Ÿ 0 eiθ ⁄ - 16 -
Trong ó θ là d ch chuy n pha. Nó có th % nh n các giá tr khác nhau nh π ,π ,π , 8 4 2 C#ng hoán v $ th c hi n trên hai qubit. Nó th c hi n vi c hoán v tr ng thái c a hai qubit. C )ng d ch chuy n pha c bi u di An b *i ma tr n SWAP: »1 0 0 0 0 0 1 0 SWAP = 0 1 0 0 0 0 0 1 C#ng iu khi %n th c hi n trên hai qubit. C )ng iu khi n n gi n nh t là controlled-Not (CNot). C )ng CNot th c hi n toán t not lên qubit th hai n u qubit th nh t là 1: »1 0 0 0ÿ Ÿ 0 1 0 0 Cnot = Ÿ 0 0 0 1Ÿ Ÿ 0 0 1 0⁄ Hình 1.9: C ng l ng t Cnot C#ng Toffoli th c hi n trên 3 qubit. C )ng Toffoli th c hi n Pauli-X trên qubit th ba khi hai qubit 8u là 1 1 . Phép toán trên 3 qubit σ , ϕ , ω khi qua c )ng Toffoli c vi t d i d ng: À σ , ϕ , X ω Neu σ = ϕ = 1 σ , ϕ , ω Toffoli →Ã Õ σ , ϕ , ω C#ng l ng t ph # quát : T p h p các c )ng l ng t ph ) quát là t p h p các c )ng mà b t k D các ho t ng có th có trên máy tính l ng t có th gi m b t, có ngh Ca là, mi ho t ng khác n nh t có th di An t nh là chu i h >u h n các b này. V m :t k thu t, iu này là không th , vì s l ng các c )ng l ng t là không m c, trong khi s l ng các dãy h >u h n t m t t p h >u h n là m c. ( gi i quy t v n n này - 17 -
chúng ta ch B yêu c 8u b t k D ho t ng c h c l ng t có th x p x B b *i m t t p h p các c)ng h >u h n ° Mt t p h p n gi n c a 2 c )ng l ng t ph ) quát là c )ng Hadamard (H), R π c)ng d ch chuy n pha ( 4)và c )ng CNot. ° Mt c )ng l ng t ph ) quát có th th c hi n trên ba qubit là c )ng Deutsch D(θ ) : i(cos φ) a,b,c + (sin θ ) a,b 1, − c neu a = b =1 a,b,c → a,b,c Chú ý r $ng c ng toffili là m t tr ng h p c a c ng Deutsch v i θ = π • 2 1.4 TRUY N THÔNG L NG T Truy n thông l ng t là công ngh s d ng truy n thông tin l ng t t h th ng này n h th ng khác thông qua tr ng thái Bell. ϕ = α 1 + β 0 Gi s c c c là qubit mà An mu n truy n n Bình. An và Bình cùng chia s E nhau m t tr ng thái Bell. Tr ng thái Bell ó có th là: 1 φ + = ( 0 0 + 1 1 ) 2 A B A B 1 φ − = ( 0 0 − 1 1 ) 2 A B A B 1 ψ + = ( 0 1 + 1 0 ) 2 A B A B 1 ψ − = ( 0 1 − 1 0 ) 2 A B A B Trong ó ch s A vi t d i là photon c n m gi b i An và B là photon n m gi b i Bình. Gi s tr ng thái Bell mà An và Bình chia s E là φ + . Khi ó h th ng l ng t c a A lúc ó là: ≈ 1 ’ φ + Θ ϕ = ∆ ( 0 0 + 1 1 )()α 0 + β 1 AB C « A B A B c c 2 1 = (α 0 0 0 + β 0 0 1 +α 1 1 0 + β 1 1 1 ) 2 A B C A B C A B C A B C Ta c ng ý th y r <ng: - 18 -
1 0 0 = ( φ + + φ − ) 2 1 0 1 = (ψ + + ψ − ) 2 1 1 0 = (ψ + − ψ − ) 2 1 1 1 = ( φ + − φ − ) 2 Do ó ta có: φ + Θ ϕ = AB C ≈α()φ + + φ − 0 + β ()ψ + + ψ − 0 ’ 1 ∆ AC AC B AC AC B = ∆ 2 ∆+α()ψ + − ψ − 1 + β ()φ + − φ − 1 « AC AC B AC AC B 1 1 = ()φ + Θ()α 0 + β 1 + ()φ − Θ()α 0 − β 1 2 AC B B 2 AC B B 1 1 + ()ψ + Θ()α 0 + β 1 + ()ψ + Θ()−α 0 + β 1 2 AC B B 2 AC B B Ta th c hi n phép o l ng h th ng này trên c s * tr ng thái Bell. K t qu c a phép o l ng là m t trong s b n tr ng thái Bell c l y t m t trong b n bi u th c tr ng thái sau: φ + Θ(α 0 + β 1 ) AC B B φ − Θ α 0 − β 1 AC ( B B ) ψ + Θ(α 0 + β 1 ) AC B B ψ + Θ(−α 0 + β 1 ) AC B B Ta chú ý r lúc ó s ? là m t trong b n tr ng thái sau: α 0 + β 1 B B α 0 − β 1 B B β 0 +α 1 B B −α 1 + β 0 B B - 19 -
Kt qu c a phép o l ng c a An s ? c g i cho Bình qua ng truy n khác. T kt qu ó, Bình th c hi n phép bi n ) i l ng t phù h p c tr ng thái ϕ = α 1 + β 0 B B B theo công th c: ° φ + ϕ Nu k t qu c a An là thì Bình nh n c B mà không c 8n bi n ) i. ° Nu k t qu c a An là φ − thì Bình th c hi n cho qubit qua c )ng Pauli-Z. ° Nu k t qu c a An là ψ + thì Bình th c hi n cho qubit qua c )ng Pauli-X. ° Nu k t qu c a An là ψ − thì Bình th c hi n cho qubit l 8n l t qua c )ng Pauli-X và Pauli-Z. Nu công ngh truy n thông này thành hi n th c chúng ta có th chuy n m t v t t ni này t i n i khác trong nháy m =t b qua các c )ng thích h p a t tr ng thái Bell ban 8 u qua các tr ng thái Bell khác. Công th c mã hóa c s d ng nh sau: 00 → (IΘI )ψ + = φ + 01 → ()IΘZ ψ + = φ − 10 → ()IΘX ψ + = ψ + 11 → ()()IΘZ IΘX ψ + = ψ − () - 20 -
Sau khi An mã hóa, An thông báo cho Bình nh >ng tr ng thái Bell ã mang thông ip. Bình th c hi n o l ng qubit mà mình n =m gi > trong c s * Bell. K t qu c a phép o s ? c chuy n ng c l i bit c) in: φ + → 00 φ − → 01 ψ + →10 ψ − →11 Mã hóa siêu dày :c là m t công ngh r t áng giá 8 u t ti n c a và công s c phát tri n. Trong t ng lai, n u phát tri n c, nó s ? tr * thành h ng i chính c a ngành mt mã h c. 1.6 K T CH NG Trong ch ng này, tôi ã trình bày s c 8n thi t c a s phát tri n c a m t mã l ng t, các tính ch t quan tr ng c a c h c l ng t c s d ng trong ngành m t mã h c. Cng trong ch ng này, tôi trình bày cách tính toán, bi n ) i c a qubit, là c s * t o ra các qubit trong th c t . Ngoài ra tôi tôi còn gi i thi u m t s công ngh áng chú ý c a c h c l ng t nh truy n thông l ng t , mã hóa siêu dày :c. - 21 -
Ch ng 2. PHÂN PH I KHÓA L NG T 2.1 GI "I THI U V PHÂN PH I KHÓA L NG T Nh chúng ta ã bi t, các thu t toán hi n i , nh Chu ;n mã hóa tiên ti n (AES) r t khó b phá v F n u nh không có khóa, nh ng h th ng này có m t nh c im hi n nhiên: ó là khóa ph i c bi t v i c hai phía. Nh v y, bài toán truy n thông kín quy v bài toán làm sao phân ph i nh >ng khóa này m t cách an toàn – tin nh =n mã hóa khi ó chính nó có th c an toàn g i i theo m t kênh công khai. M t ph ng pháp ph ) bi n là s d ng m t i t ng mang an toàn v n chuy n khóa t n i g *i n n i nh n. Hình 2.1: Mô hình phân ph i khóa Gi s , An mu n g i cho Bình m t tin nh =n bí m t, nh m t b n giao d ch ngân hàng, thông tin chính tr trên m t kênh vi An thông có kh n ng không an toàn. ( làm vi c này, An và Bình ph i chia s E m t khóa bí m t – ó là m t s nh phân dài. Sau ó, An có th mã hóa tin nh =n c a anh ta thành “m t mã” b li u bình th ng, khi ó k E nghe tr m s ? không th hi u c, và Bình có th s d ng khóa ó gi i mã tin nh =n. Trái v i ph ng pháp truy n th ng c a s phân ph i khóa, ví d m t i t ng mang c tin c y, m t mã l ng t m b o s an toàn c a khóa ó. Khóa c ng có th th ng xuyên thay )i, do ó làm gi m nguy c b ánh c =p ho :c b suy ra b *i m t phép phân tích th ng kê gi i mã c a m t mã. Tuy nhiên, b t c ph ng pháp phân ph i nào d a trên con ng i c ng làm t )n h i các khóa do t ý ho :c b ép bu c ti t l . Trái l i, m t mã l ng t , hay s phân ph i khóa l ng t chính xác h n, mang l i m t ph ng pháp t ng phân ph i các khóa bí m t b<ng s i quang truy n thông chu ;n[1]. (:c tr ng mang tính cách m ng c a phân ph i khóa l ng t là nó v n d C an toàn: gi s r <ng các nh lu t c a thuy t l ng t là úng, - 22 -
thì chúng ta có th ch ng minh khóa ó không th b k E nghe tr m thu c mà không có s hi u bi t c a ng i g i và ng i nh n. H n n >a, phân ph i khóa l ng t cho phép khóa thay )i th ng xuyên, làm gi m nguy c m t tr m khóa, ho :c “gi i mã”, trong ó kE nghe tr m phân tích các ki u trong tin nh =n mã hóa suy lu n ra khóa bí m t. Phân ph i khóa l ng t s d ng các tính ch t c a c h c l ng t , dùng phân ph i khóa h m t mã i x ng. Trong phân ph i khóa l ng t , chúng ta s d ng hai kênh truy n là kênh truy n l ng t và kênh truy n thông th ng. Kênh truy n l ng t là kênh truy n s d ng k thu t l ng t truy n i các qubit thông qua cáp quang ho :c không gian. Kênh truy n thông th ng là kênh truy n công khai d ng k thu t TCP/IP Mô hình phân ph i khóa l ng t gi >a An (ng i g i) và Bình (ng i nhn), tùy theo giao th c c th mà ng i ta chia ra làm các b c c th , nh ng nhìn chung g 9m b n giai on: ° Giai on th ' nh t: An th c hi n mã hóa các bit c ) in vào các photon phân c c (qubit), r 9i chuy n các qubit này cho Bình. Bình th c hi n o l ng các qubit này, thi t l p khóa ban 8u. ° Giai on th ' hai : An và Bình lo i ra các bit mà An và Bình không s dng cùng c s *, là các qubit c An t o ra trong m t c s *, nh ng Bình o l ng trong c s * khác. ° Giai on th ' ba : An và Bình ánh giá t B l li. N u t B lên l i l n quá gi i hn l i, h s ? h y phiên truy n khóa, và th c hi n l i phiên truy n khóa khác. ° Giai on th ' t : An và Bình s d ng k thu t “làm m n khóa” (Reconciliation infomation ) 9 ng nh t khóa gi >a An và Bình, h thu c khóa ã làm m n khóa, và “tng tính b o m t” ( Privacy Amplification ) làm gi m hi u bi t c a Nhân v khóa, h thu c khóa cu i cùng. - 23 -
Hình 2.2: Mô hình phân ph i khóa l ng t Ph ng pháp 8u tiên cho s phân ph i các khóa bí m t mã hóa trong nh >ng tr ng thái l ng t c xu t vào n m 1984 b *i các nhà v t lí lí thuy t Charles Bennett t i IBM và Gilles Brassard t i tr ng i h c Montreal c bi t n là giao th c BB84. Trong giao th c, ng i g i (An) truy n m t chu i n photon phân c c n ng i nh n (Bình) và b ng cho phép chúng ta ki m tra vi c nghe tr m, mà còn m b o An và Bình có th thi t l p m t khóa bí m t d u cho Nhân ã xác nh c mt s bit trong chu i nh phân chia s E c a h , b <ng m t k C thu t g i là “tng tính b o mt”. Ch @ng h n, gi s nh Nhân ã bi t c 10% bit c a khóa mà An và Bình chia s E. Nh n th c c iu này, An và Bình khi ó có th cùng 9ng ý c ng thêm vào m i c :p bit k nhau t o thành m t chu i m i có chi u dài phân n a. Nhân c ng có th làm vi c này, nh ng vì anh ta s ? c 8n ph i bi t c bit trong c :p xác nh chính xác t )ng c a - 24 -
chúng, nên anh ta s ? nh n th y r cái 8 u c a tên hai tác gi và n m phát minh. BB84 là giao th c m t mã 8u tiên thi t gi i quy t v n phân ph i khóa ch ng l i máy tính l ng t . Trong giao th c BB84, An mã hóa các bit vào các bit trong hai c s * ⊗ và ⊕ . Ngh Ca là khi nào An mu n g i cho Bình m t qubit, cô s ? ch n m t trong b n tr ng thái ca qubit 0 ,1, + và − . Sau ó cô g i các tr ng thái này cho Bình thông qua kênh truy n l ng t . 2.2.1.1 Quy c trong giao th c BB84 Các bit c mã hóa và gi i mã theo b ng d i ây: Bit C S * ⊕ C S* ⊗ 0 0 + 1 1 − Hình 2.3: Bng chuy %n i bit và qubit trong giao th c BB84 Nh >ng qubit có tr ng thái 0 ho :c + mang thông tin v bit 0. Ng c l i nh >ng qubit có tr ng thái 1 ho :c − mang thông tin v bit 1. 2.2.1.2 Phép o l ng trong giao th c BB84 Vì An không cung c p thông tin v c s * c a qubit c g i i, nên Bình s ? o l ng qubit này trong c s * ng u nhiên trong {⊗,⊕}. Vy chúng ta s ? xem xét m t vài kh nng có th s y khi khi Bình th c hi n phép o l ng. Xét qubit có tr ng thái ψ = α 0 + β 0 . Ta s ? th c hi n phép l ng nó trên c s * ⊕ ho :c ⊗ . K t qu phép o l ng là 0 ho :c + s ? cho ta giá tr c a bit 1, ng c l i n u kt qu c a phép o l ng là 1 ho :c − s ? cho ta giá tr c a bit c ) in là 0. - 25 -
ψ Gi xác su t s y giá tr c a bit b∈{ 1,0 } khi o l ng ψ trong c s * ∗ là P∗ (b). Ta có các xác su t nh sau: 2 α P ψ (0) = α , tr ng thái c a qubit sau khi o l ng là: 0 ⊕ α 2 β P ψ (1) = β , tr ng thái c a qubit sau khi o l ng là: 0 ⊕ β 2 α + β α + β P ψ ()0 = , tr ng thái c a qubit sau khi o l ng là: 0 ⊗ 2 α + β 2 α − β P ψ (1) = α − β , tr ng thái c a qubit sau khi o l ng là: 0 ⊗ α − β Chú ý r $ng ta có th % bi n i ≈α + β ’ 0 + 1 ≈α − β ’ 0 − 1 ≈α + β ’ ≈α − β ’ ψ = α 0 + β 1 = ∆ ÷ + ∆ ÷ = ∆ ÷ + + ∆ − % tính xác « 2 ◊ 2 « 2 ◊ 2 « 2 ◊ « 2 su t trong c s ⊗ . Tính c th v i b n tr ng thái trong { ,1 0 , + , − } ta có c, n u Bình và An s dng cùng c s * thì sau phép o l ng c a Bình , ψ không b bi n ) i; ngh Ca là giá tr ca bit c mã hóa trong ψ tr c và sau o l ng là nh nhau. Ng c l i, n u Bình và An s d ng khác c s * thì sau phép o l ng c a Bình, ψ s ? bi n thành ψ ' là m t tr ng thái trong c s * mà Bình dùng o l ng; ngh Ca là giá tr c a bit c má hóa ψ 1 trong có th b thay ) i v i xác su t là 2 . T tính toán c th ta c ng có xác su t n u sau phép o l ng c a Bình cho ta m t bit có giá tr b<ng v i bit c An mã hóa là: À1 if ψ ∈ ⊕ ψ Œ P⊕ ()b = Ã1 Œ if ψ ∈ ⊗ Õ2 và À1 if ψ ∈ ⊗ ψ Œ P⊗ ()b = Ã1 Œ if ψ ∈ ⊕ Õ2 - 26 -
Nh v y, n u An và Bình s d ng cùng c s *, thì giá tr c a bit sau o l ng c a Bình gi ng nh giá tr bit c a An v i xác su t 100%. Ng c l i, n u Bình và An s d ng khác c s * thì sau phép o l ng c a Bình, thì giá tr c a bit sau o l ng c a Bình gi ng 1 nh giá tr bit c a An v i xác su t 2 . ψ (o l ng trong c hai c s * ta c ng không th bi t thêm thông tin v tr ng thái ca nó. B *i vì tr ng thái sau cùng c a nó sau o l ng là ng u nhiên. Ta s ? ch ng minh iu ó: ° Gi s l 8n o 8 u ta o l ng úng c s *, và l 8n th hai không úng c s * so v i c s * ban 8 u c g i t An. Vì l 8n o l ng 8 u là úng c s * ψ không b bi n ) i. L 8n th hai, ψ b o l ng trong c s * khác. Do 1 vy k t qu c a phép o l ng l 8n th hai là ng u nhiên v i xác su t 2 cho hai tr ng thái c a c s * l 8n o th hai sau hai l 8n o ta có c giá tr c a bit c 8n o là ng u nhiên (giá tr có th là 0 ho :c 1 v i xác su t nh nhau). ° Gi s l 8n 8 u chúng ta o không úng c s *, và l 8n th hai o úng c s * so v i c s * ban 8u c g i t An. Nh v y, c hai l 8n o u sai c s * so v i tr ng thái c a qubit c 8n o lúc ó giá tr c a bit c 8n o ph thu c vào l 8n o th hai, mà l 8n o th hai l i sai c s *, do ó, giá tr c a bit o c sau hai l 8n o c ng là ng u nhiên. 2.2.1.3 Các b c th c hi n giao th c BB84 Trong ph 8n này chúng ta s ? tìm hi u chi n l c và cách th c mà An và Bình s dng trao ) i khóa. Tr c khi tìm hi u sâu v giao th c chúng ta di An t ng =n g n v giao th c. Gi s An và Bình th c hi n trao )i khóa có dài t i thi u là n . An ch n ng u nhiên m i chu i bit X ′′ có dài (4 + σ )n , v i σ > 0 và n ∈ N . T i mi v trí c a chu i bit X ′′, An ch n ng u nhiên m t c ⊕ ho :c ⊗ mã hóa bit ó vào mt qubit trong c s * ó theo b ng chuy n ) i bit và qubit. Sau khi mã hóa chu i X ′′ ó, An g i cho Bình các qubit dùng mã hóa X ′′. Bình th c hi n o l ng tr ng thái c a các qubit trong c s * ⊕ ho :c ⊗ m t cách ng u nhiên và Bình có c chu i bit Y′′ có dài (4 + σ )n . - 27 -
Lý do mà An ch n chu &i bit có dài là (4 + σ )n v i σ > 0 và n ∈ N là % ch c ch n sau khi cô và Bình s d #ng cùng c s ln h n 2n . Nh v y chúng ta ph i ch n σ nh th nào? Chúng ta s ch n σ trong m i quan h v i n . N u n >1000 thì ch c n ch n σ ng c s * mà h ã s d ng thông qua kênh truy n công khai. An và Bình th c hi n vi c này sau khi Bình ã hoàn thành o l ng h t nh >ng qubit mà An ã g i n, iu này s ? tránh c s tham gia c a Nhân trong phiên trao )i khóa. Th t v y, theo nh lý không th sao chép tr ng thái c a l ng t , Nhân s ? không th sao chép c tr ng thái c a qubit mà An g i n; và do ó Nhân không th có c nh >ng thông tin v qubit mà Bình ã nh n c. (iu ó có ngh Ca là sau khi Bình nh n c nh >ng qubit ó, An và Bình là hoàn toàn an toàn khi thông báo c s * mà h s d ng. Theo ch ng minh * ph 8n trên n u không có s tham gia c a bên th ba (Nhân) vào phiên trao )i khóa, nh >ng v trí trong chu i An và Bình s d ng cùng c s *, giá tr c a m t bit s ? c chuy n chính xác t An n Bình; trên nh >ng v trí mà h không dùng cùng c giá tr c a bit là ng u nhiên. Nh vy, h s ? lo i b v trí c a nh >ng bit mà h không s d ng cùng c s * mà không làm m t thông tin h có th ph i s d ng t o lên khóa. Nu s bit thu c sau khi so sánh l n h n 2n , An ch n t bit chu i ó n bit ki m tra ( X ′ ) và n bit khóa tm th i ( X ). An thông báo nh >ng v trí và th t các bit trong X ′′ t o thành X ′ và X cho Bình, t ó Bình t o cho mình n bit ki m tra ( Y′ ) và n bit khóa (Y ) t ng ng. Ti p ó An và Bình thông báo cho nhau v chu i bit ki m tra X ′ và Y′ , t ó h có th ánh giá v t B l l i e . Các bit l i s y ra có th do ng truy n l ng t không hoàn h o, ho :c do có s tham gia c a Nhân vào phiên trao )i khóa. Có nhi u ph ng pháp % ánh giá gi i h n l &i ε v i các kênh truy n l ng t hi n nay . Ng i ta ã ch ng minh c ng (ng ch p nh n c c a gi i h n l &i ε = 0.11 i v i BB84, thì kênh truy n khóa v n c coi là oan toàn. Mô hình bên d i th hi n An và Bình th c hi n trao ) i khóa s d ng giao th c BB84, trong ó chu i bit X ′′ bí m t và ch B c bi t b *i An. Chu i bit Y′′ là bí m t và ch B c bi t b *i Bình. Khóa K và K ′ c ng là bí m t nh ng c bi t b *i c hai. Hai chu i bit ki m tra là X ' và Y ' và nh >ng c s * mà An và Bình s d ng là công khai. - 28 -
Hình 2.4: Mô hình giao th c BB84 Phân ph i, o l )ng và bi *n # i bit. 1. An ch n ng u nhiên m i chu i bit X ′′ có dài 4(n + σ ), v i σ > 0 và n ∈ N . T i m i v trí c a chu i bit X ′′ , An ch n ng u nhiên m t c s * ⊕ ho :c ⊗ mã hóa bit ó vào m t tr ng thái ca qubit trong c s * ó Ti p theo, An g i các qubit này cho Bình. 2. Sau khi nh n c chu i (4 +σ )n qubit t An, Bình th c hi n o l ng chúng trong c s * ⊕ ho :c ⊗ m t cách ng u nhiên. N u k t qu c a phép o l ng là 0 ho :c + , chúng ta thu c giá tr - 29 -
ca bit là 0. Ng c l i, n u k t qu c a phép o l ng là 0 ho :c + , chúng ta thu c giá tr c a bit là 1. Nh v y Bình c ng thu c m t chu i bit Y′′ có dài (4 +σ )n . So sánh c s +, thi *t l p chu ,i bit ki %m tra và chu ,i bit khóa. 3. An và Bình s d ng kênh truy n công khai trao ) i thông tin. Bình ch ng th c ã nh n c nh >ng qubit. An và Bình thông báo cho nhau v nh >ng c s * ã s d ng. 4. An và Bình lo i b nh >ng bit * v trí mà h không cùng c s *. Nu chu i bit còn l i nh h n 2n bit, h h y phiên truy n khóa. Nu chu i bit còn l i l n h n 2n , An và Bình th c hi n ch n 2n bit theo m t quy c nào ó s d ng cho giao th c. Ti p ó, An thi t l p chu i bit ki m tra X ′ b<ng cách ch n ng u nhiên n bit trong s 2n , chu i bit ki m tra này s ? c s d ng ki m tra s có m :t c a Nhân. n bit còn l i s ? c dùng làm khóa ban 8u X . Ti p ó, An thông báo cho Bình cách t o chu i bit ki m tra và chu i bit khóa. Bình th c hi n thi t l p chu i bit ki m tra Y′ và chu i bit khóa Y . Xác $nh t - l l ,i 5. An và Bình trao )i vi nhau v chu i bit ki m tra X ′ và Y′ c a h. T hai chu i bit ó h so sánh giá tr c a bit * t ng v trí. N u tB l l i e ln gi i h n li ε , h s ? h y phiên truy n khóa. Ng c li, h ti p t c phiên truy n khóa mà không quan tâm có s tham gia c a Nhân vào giao th c hay không. Khu *ch i riêng, và làm m $n khóa 6. Lúc này hai chu i khóa X và Y còn l i c a An và Bình là g 8n nh nhau. Chúng ta có th 9 ng nh t chúng b <ng k thu t làm m n khóa. 7. Sau khi làm m n khóa, hai chu i bit c a An và Bình là hoàn toàn 9ng nh t nh ng chính quá trình làm m n khóa li làm l m t s thông tin v chu i bit con c a khóa nh n c. Do v y làm gi m thông tin v khóa ã truy n trên kênh truy n công khai chúng ta s d ng k thu t tng tính b o m t. - 30 -
Trong b c th 5 c a giao th c, n u t l l &i e l n hn ng (ng gi i h n, An và Bình không c n quan tâm n s xu t hi n c a Nhân, vì n u Nhân có tham vào giao th c thì s hi %u bi t c a Nhân c 'ng là không áng k % và có th % b ) qua. Hai b c tng tính b o m t và làm m n khóa s c trình bày ph n sau. Gi s không có l i trên ng truy n, giao th c BB84 c th hi n d i d ng mã gi i: (8u vào: n là dài chu i bit X ′′ (8u ra: khóa ban 8u key = k1k2 kc trong ó c ≥ 2n . m = 0; h = (2 +σ )n while m < h do: An ch n bit bm ng u nhiên trong { 1,0 }; An ch n c s * tm ng u nhiên trong {⊗,⊕} ; An th c hi n mã hóa bm vào tm c bt m ; Bình ch n c s * tm′ ng u nhiên trong {⊗,⊕}; An g i bt m cho Bình; Bình o l ng bt m trong c s * tm′ c bm′ ; m++; done; c = 0; while m < h do: if (bm = bm′ ) then K c = bm ; m++; c++; done; Nh v y khóa thu c s ? là key = k1k2 kc . - 31 -
Chúng ta l y m t ví d nh * các b c này: v i n = 2 và σ =1, nh v y chu i bit mà An c 8n mã hóa có dài là (4 +σ )n = (4 +1)2 = 10 . ° Gi s , chu i bit ng u nhiên có dài 15 bit do An t o ra là: 1101110101. ° An ch n 15 c s * ng u nhiên là: ⊕ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊕ ° Chu i qubit mà An mã hóa là: 1 − 0 1 − 1 + − 0 1 ° C s * ng u nhiên mà Bình ã là: ⊕ ⊗ ⊗ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊗ ° Kt qu phép o l ng c a Bình là: 1 − − + 1 1 + − 0 − ° Sau khi so sánh ta c chu i qubit chung c a An và Bình là: 1 − 1 + − 0 , o ó chu i bit nh n c sau khi so sánh c s * là: 01110100. Bit ng u nhiên c a An 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 C s * ng u nhiên c a An ⊕ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊕ Qubit mà An chu ;n b 1 − 0 1 − 1 + − 0 1 C s * ng u nhiên c a Bình ⊕ ⊗ ⊗ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊗ Kt qu phép o l ng c a 1 − − + 1 1 + − 0 − Bình Trao )i thông qua kênh truy n công khai Khóa ban 8u 1 1 1 0 1 0 2.2.1.4 Kh n ng t n công c a Nhân trong giao th c BB84 B*i vì Nhân không th sao chép các qubit mà An g i cho Bình, nên cách duy nh t có thông tin v khóa mà An g i cho Bình là ch :n nh >ng qubit ó và o l ng chúng trong m t c s * nào ó và g i m t tr ng thái l ng t khác cho Bình. Theo cách này, Nhân mu n Bình ngh C r ng tr ng thái, sao cho t B l l i mà An và Bình tìm c là nh nh t. Trong ph 8n này ch ng ta s ? nguyên c u m t vài kh k ch b n có th x y ra khi Nhân c g =ng l y thông tin v khóa: Nhân o l )ng trong c s + ⊕ ho.c ⊗ - 32 -
Trong k ch b n này, Nhân ch :n các tr ng thái c g i t An r 9i o l ng nh >ng tr ng thái này trong c s * ⊕ ho :c ⊗ . Chúng ta s ? ch B ra r a qubit b o l ng sai c s *. Sau phép o 1 l ng c a Bình, gái tr c a bit mà An nh n c trùng v i An là 2 . Nh vy trong tr ng h p này, xác su t mà An và Bình thu c cùng m t giá 1 tr c a bit là 2 Xác su t trung bình mà An và Bình thu c cùng m t giá tr c a bit trong 1 ≈ 1 ’ 3 tr ng h p này là ∆1+ = . 2 « 2 4 Ví d : Gi s An g i m t tr ng thái ψ = 0 cho Bình. Nhân ch "n trên ng truy n l ng t và o l ng qubit này. ° Nu o l ng trong c s ⊕ . K t qu phép o l ng s cho Nhân giá tr ca bit là 0 v i xác su t là 1 và tr ng thái c a qubit sau o l ng v !n là 0 . Nhân g i tr ng thái 0 cho Bình. Bình c 'ng o l ng trong c s ⊕ . Anh ta s nh n c giá tr c a bit là 0 v i xác su t là 1. - 33 -
° Nu o l ng trong c s ⊕ . K t qu phép o l ng s cho Nhân giá tr ca bit là 0 ho "c 1 v i xác su t là nh nhau và tr ng thái c a qubit sau o lng là + ho "c − . Nhân g i tr ng thái ó cho Bình. Bình c 'ng o lng trong c s ⊕ . Anh ta s nh n c giá tr c a bit là 0 ho "c 1 v i xác su t là nh nhau. Ví d ! v giao th 'c khi có s tham gia c /a Nhân: Bit ng u nhiên c a An 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 C s * ng u nhiên c a An ⊕ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊕ Qubit mà An chu ;n b 1 − 0 1 − 1 + − 0 1 C s * c a Nhân ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ Kt qu phép o l ng c a 1 − − 1 − 1 0 − − 1 Nhân C s * ng u nhiên c a Bình ⊕ ⊗ ⊗ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊗ Kt qu phép o l ng c a 1 − − + 1 1 + − 1 − Bình Trao )i thông qua kênh truyn công khai Khóa ban 8u c a Bình 1 1 1 0 1 1 Nh >ng v trí có cùng c s * nh ng l i thu c nh >ng giá tr c a bit khác nhau s ? c tìm th y qua quá trình ánh giá t B l l i (v trí c ánh d u). T ó An và Bình s ? quy t nh xem phiên truy n khóa có an toàn không. + Nhân g i cho Bình m 0t tr ng thái c/a qubit khác v 1i k *t qu 2 o l )ng mà Nhân nh n c: Chúng ta gi s r <ng An g i m t qubit trong c s * ⊕ , ta có: ° 0 1 Kh n ng An g i bit là 2 . Trong tr ng h p này ta l i có hai kh nng: 1 1. Kh n ng Nhân o l ng úng c s * là 2 . Trong tr ng h p này, giá tr c a bit mà Nhân nh n c là 0. Ti p ó, Nhân g i - 34 -
cho Bình m t qubit có tr ng thái 1− γ 0 + γ 1 (trong ó 0 ≤ γ ≤ 1 0 2 ) thay vì g i v i hy v ng che gi u s có m :t c a mình, n u o l ng sai c s *. Kh n ng Bình o l ng c giá tr c a bit 0 (giá tr c a qubit là 0 ) là: 1−γ . 1 2. Kh n ng Nhân o l ng không úng c s * là 2 . Trong tr ng h p này, tr ng thái c a qubit sau o l ng là + ho :c − v i xác su t nh nhau. Nu k t qu phép o l ng là + Bình g i cho An m t qubit có tr ng thái 1− γ + γ 1− γ − γ γ − + 1− γ + = 0 + 1 . Nh v y xác 2 2 su t phép o l ng c a Bình cho bit 0 là ≈ ’2 ∆ 1− γ + γ 1 ∆ = + γ 1− γ . « 2 2 Nu k t qu phép o l ng là − Bình g i cho An m t qubit có tr ng thái 1− γ + γ − 1− γ + γ 1− γ − + γ + = 0 + 1 . Nh v y xác 2 2 su t phép o l ng c a Bình cho bit 0 là ≈ ’2 ∆ 1− γ + γ ÷ 1 ∆ ÷ = + γ 1− γ . « 2 ◊ 2 3. Nh v y trong tr ng h p này, xác su t trung bình c tính: 1 1 ≈ 1 ’ ()1− γ + ∆ + γ 1− γ ÷ . 2 2 « 2 ◊ ° 1 1 Kh n ng An g i bit là 2 . Trong tr ng h p này ta l i có hai kh n ng: 1 1. Kh n ng Nhân o l ng úng c s * là 2 . Trong tr ng h p này, giá tr c a bit mà Nhân nh n c là 1. Ti p ó, Nhân g i γ 0 + 1− γ 1 0 ≤ γ ≤ 1 cho Bình m t qubit có tr ng thái (v i 2 ) - 35 -
thay vì g i 1 v i hy v ng che gi u s có m :t c a mình, n u o l ng sai c s *. Kh n ng Bình o l ng c giá tr c a bit 1 (giá tr c a qubit là 1 ) là: 1−γ . 1 2. Kh n ng Nhân o l ng không úng c s * là 2 . Trong tr ng h p này, tr ng thái c a qubit sau o l ng là + ho :c − v i xác su t nh nhau. Nu k t qu phép o l ng là + Bình g i cho An m t qubit 1− γ + γ 1− γ − γ có tr ng thái γ − + 1− γ + = 0 + 1 . Nh 2 2 vy xác su t phép o l ng c a Bình cho bit 1 là ≈ ’2 ∆ 1− γ − γ 1 ∆ = − γ 1− γ « 2 2 Nu k t qu phép o l ng là − Bình g i cho An m t qubit 1− γ + γ − 1− γ + γ có tr ng thái 1− γ − + γ + = 0 + 1 . 2 2 Nh v y xác su t phép o l ng c a Bình cho bit 1 là ≈ ’2 ∆ 1− γ − γ ÷ 1 ∆ ÷ = − γ 1− γ « 2 ◊ 2 3. Nh v y trong tr ng h p này, xác su t trung bình c tính: 1 1 ≈ 1 ’ ()1−γ + ∆ − γ 1− γ ÷. 2 2 « 2 ◊ T ó ta có xác su t An và Bình thu c cùng m t giá tr c a bit khi An g i i mt qubit trong c s * ⊕ c tính: 1 ≈ 1 1 ≈ 1 ’ 1 1 ≈ 1 ’’ 3 1 3 ∆ ()1− γ + ∆ + γ 1−γ ÷ + ()1−γ + ∆ − γ 1− γ ÷÷ = − γ < . Nh v y 2 « 2 2 « 2 ◊ 2 2 « 2 ◊◊ 4 2 4 3 1 »1 3ÿ trong tr ng h p này An và Bình có cùng giá tr c a bit v i xác su t − γ = , vì 4 2 2 4⁄Ÿ 0 ≤ γ ≤ 1 2 . V i chi n l c này, xác su t l n nh t An và Bình có cùng giá tr c a bit là 3 γ = 0 4 khi , chính là tr ng h p 8 u chúng ta ã c p. - 36 -
Tr ng h p An g i i m t qubit trong c s * ⊗ tính t ng t . Nhân o l )ng qubit nh n c trong c s + Briedbard: Trong hai tr ng h p cp * trên, Nhân o l ng qubit ψ c s * ⊕ ho :c ⊗ . Nh v y, Nhân r t d A b phát hi n nu o l ng qubit ó không úng c s *. Anh ta có th o l ng ψ trong m t c s * Briedbard, là c s * t t l y thông tin v ψ . C s * Briedbard c nh ngh Ca b *i hai tr ng thái tr c giao {a , b }: ≈ π ’ ≈ π ’ ≈ π ’ ≈π ’ {}a , b = cos ∆ ÷ 0 + sin ∆ ÷ ,1 −sin ∆ ÷ 0 + cos ∆ 1 « 8 ◊ « 8 ◊ « 8 ◊ « 8 Gi s r <ng trong c s * này có s bi n ) i qubit và bit nh sau: a → 0 và b →1. Chú ý r <ng t : ≈ π ’ ≈ π ’ ≈ π ’ ≈ π ’ a = cos ∆ ÷ 0 + sin ∆ ÷ 1 và b = −sin ∆ ÷ 0 + cos ∆ ÷ 1 « 8 ◊ « 8 ◊ « 8 ◊ « 8 ◊ ta c ng có: ≈ π ’ ≈ π ’ ≈ π ’ ≈π ’ 0 = cos ∆ ÷ a − sin ∆ ÷ b ; 1 = sin ∆ ÷ a + cos ∆ ÷ b « 8 ◊ « 8 ◊ « 8 ◊ « 8 ◊ và ≈ π π ’ ≈ π π ’ ≈ π π ’ ≈ π π ’ ∆cos + sin ÷ a + ∆cos − sin ÷ b ∆cos − sin ÷ a − ∆cos + sin ÷ b « 8 8 ◊ « 8 8 ◊ « 8 8 ◊ « 8 8 ◊ + = ; − = 2 2 T các bi u th c trên ta có kh n ng: - An g i qubit 0 , Nhân o l ng c qubit a là: π 2 P (E = |0 A = )0 = cos . 00 8 - An g i qubit + , Nhân o l ng c qubit a là: ≈ π π ’2 π 2 P′ ()E = |0 A = 0 = ∆cos + sin ÷ = cos . 00 « 8 8 ◊ 8 - An g i qubit 1 , Nhân o l ng c qubit b là: π 2 P ()E = |1 A =1 = cos . 11 8 - 37 -
- An g i qubit − , Nhân o l ng c qubit b là: ≈ π π ’2 π 2 P′ ()E = |1 A =1 = ∆cos + sin = cos 11 « 8 8 8 . Nh v y kh n ng Nhân nh n c bit 0 khi An g i i bit 0 là P (E = |0 A = 0)+ P′ (E = |0 A = 0) π 2 P()E = |0 A = 0 = 00 00 = cos và kh n ng Nhân nh n c 2 8 P (E = |1 A =1)+ P′ (E = |1 A =1) π 2 bit 1 khi An g i i bit 1 là: P()E = |1 A =1 = 11 11 = cos . 2 8 Tính toán t ng t ta c ng có kh n ng Bình nh n c bit 0 khi Nhân g i i bit 0 π 2 là P()B = |0 E = 0 = cos và kh n ng Nhân nh n c bit 1 khi An g i i bit 1 8 π 2 là P()B = |1 E =1 = cos 8 Ω Kh n ng An và Bình nh n c cùng m t giá tr c a bit khi h s d ng cùng c s* là: P(E = |0 A = 0)× P(B = |0 E = 0)+ P(E = |1 A =1)× P(B = |1 E =1) π 4 π 4 3 = cos + sin = 8 8 4 Chúng ta có th k t lu n r <ng, xác su t l n nh t An và Bình có cùng m t giá tr 3 ca bit khi có s tham gia c a Nhân vào phiên truy n khóa là 4 khi và ch B khi Nhân s dng c s * Briedbard o l ng qubit ch :n c trên ng truy n. Vi giao th c BB84 và trong iu ki n các tính ch t c a l ng t là úng, chúng ta có th hoàn toàn yên tâm v m t phiên truy n khóa an toàn. 2.2.2 Giao th 'c B92 Giao th c B92 c xu t n m 1992 b *i Charles Bennet, là m t trong hai tác gi ca giao th c BB84. Giao th c c thi t k d a trên ý t *ng c a BB84, v i hy v ng mang l i s n gi n h n cho vi c cài :t giao th c phân ph i khóa l ng t . - 38 -
Trong giao th c B92, m i bên nh n và g i ch B dùng m t c :p ôi không tr c chu ;n mã hóa và gi i mã giá tr c a bit. An và Bình cùng th a thu n tr c c :p ôi mà m i ng i s d ng cùng quy c chuy n ) i qubit và giá tr c a bit. Qubit Giá tr bit c a An Giá tr bit c a An 0 0 ? + 1 ? 1 Không s d ng 1 − Không s d ng 0 Hình 2.5: Bng giao c trong giao th c B92 Nh v y, An s d ng c :p tr ng thái không tr c chu ;n là 0 và + ; 0 mã hóa bit 0, và + mã hóa bit 1. Ngh Ca là khi nào An mu n g i cho Bình bit 0 anh ta s? chu ;n b 0 và khi nào mu n g i bit 1 anh ta s ? chu ;n b + . Sau ó cô g i các tr ng thái này cho Bình thông qua kênh truy n l ng t . Hình 2.6: C"p ôi không tr c chu *n mà An s d #ng Gi s qubit mà An g i cho Bình là ψ . Khi nh n c ψ , Bình ch n ng u nhiên mt trong hai c s * ⊗ và ⊕ , và o l ng qubit ψ trong c s * ó. N u Bình thu c qubit 1 ho :c − , Bình thu c giá tr c a bit t ng ng là 1 và 0. N u Bình thu c qubit 0 ho :c + , giá tr bit t ng ng c b b qua và c :t là ‘?’. - 39 -
Hình 2.7: Kt qu phép o l ng c a Bình Gi s An g i cho Bình qubit có tr ng thái ψ = 0 . Ta có, kh n ng Bình o l ng ψ ⊗ 1 ⊗ trong c s * là 2 . N u Bình o l ng trong c s * thì xác su t Bình thu c − 1 − 0 1 × 1 = 1 là 2 . Nh v y xác su t Bình thu c khi An g i là 2 2 4 . T ng 1 + 1 × 1 = 1 t ta c ng có, xác su t Bình thu c khi An g i là 2 2 4 . T ó suy ra 1 xác su t An và Bình có cùng giá tr c a bit khi g i i m t qubit là 4 so v i giao th c 1 BB84 là 2 . Hình 2.8: S tr ng thái c a qubit 2.2.2.1 Các b c th c hi n giao th c B92 Giao th c phân ph i khóa c a B92 không có nhi u khác bi t so v i BB84, khác bi t ch B s y ra * giai on “phân ph i, o l ng và bi n ) i bit” và giai on “so sánh c s *, thi t l p chu i bit ki m tra và chu i bit khóa”. Phân ph i, o l )ng và bi *n # i bit. - 40 -
1. An ch n ng u nhiên m i chu i bit X ′′ có dài (8 +σ )n , v i σ > 0 và n ∈ N . T i m i v trí c a chu i bit X ′′, An ch n ng u nhiên m t c s * ⊕ ho :c ⊗ mã hóa bit ó vào m t tr ng thái ca qubit trong c s * ó: Qubit Giá tr bit c a An ? 0 0 ? + 1 Không s d ng 1 Không s d ng 1 − Không s d ng 0 Hình 2.9: B ng giao c trong giao th c EPR Ti p theo, An g i các qubit này cho Bình. 2. Sau khi nh n c nh >ng qubit t An, Bình th c hi n o l ng chúng trong c s * ⊕ ho :c ⊗ m t cách ng u nhiên. N u Bình thu c qubit 0 ho :c − , Bình thu c giá tr c a bit t ng ng là 1 và 0. N u Bình thu c qubit 0 ho :c − , giá tr bit t ng ngb b qua và c : t là ?. Nh v y Bình c ng thu c m t chu i bit Y ′′ có dài (8 +σ )n . T chu i bit Y ′′ , Bình t o ra m t chu i ph n h 9i resp . ( dài chu i resp b ng qubit và g i chu i ph n h 9i resp cho An. 4. D a vào chu i ph n h 9i mà t Bình, An th c hi n lo i b nh >ng bit trên chu i X ′′ có v trí t ng ng trên chu i resp là n. Bình - 41 -
th c hi n lo i b nh >ng bit có giá tr là ? trên chu i Y′′ . N u chu i bit còn l i nh h n 2n bit, h h y phiên truy n khóa. N u chu i bit còn l i l n h n 2n , An th c hi n ch n 2n bit s d ng cho giao th c. Ti p ó, cô thi t l p chu i bit ki m tra X ′ b<ng cách ch n ng u nhiên n bit trong s 2n , chu i bit ki m tra này s ? c s d ng ki m tra s có m :t c a Nhân. n bit còn l i s ? c dùng làm khóa ban 8u X An thông báo cho Bình cách t o chu i bit ki m tra và chu i bit khóa. Bình th c hi n thi t l p chu i bit ki m tra Y′ và chu i bit khóa Y . Các giai on còn l i c /a giao th 'c B92 gi ng v 1i giao th 'c BB84. Gi s không có l i trên ng truy n, giao th c B92 c th hi n d i d ng mã gi i: (8u vào: n là dài chu i bit X ′′ (8u ra: khóa ban 8u key = k1k2 kc trong ó c ≥ 2n . - 42 -
m = 0; int h = (4 +σ )n while m < h do: An ch n bit bm ng u nhiên trong { 1,0 }; Bình ch n c s * tm′ ng u nhiên trong {⊗,⊕}; If(bm = 0 ) An g i 0 cho Bình; Else An g i + cho Bình; Bình o l ng bt m trong c s * tm′ c bm′ ; ' ' If( bm = 0 || bm = + ) An t o bit ph n ngres m = 0; Else An t o bit ph n ng res m = 1; m++; done; c = 0; while m < h do: if (res m =1) then K c = bm ; m++; c++; done; Nh v y khóa thu c s ? là key = k1k2 kc . Ví d v giao th c B92. - 43 -
Bit ng u nhiên c a An 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 Qubit mà An chu ;n b + + 0 + + + 0 + 0 + C s * ng u nhiên c a Bình ⊕ ⊗ ⊗ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊗ Kt qu phép o l ng c a Bình 1 + + + 0 1 − + 0 + Chu i ph n h 9i resp y n n n n y y n n n Trao )i thông qua kênh truy n công khai Khóa ban 8u 1 1 0 2.2.2.2 Kh n ng t n công c a Nhân trong giao th c B92 Nhân c g =ng l y thông tin v khóa mà An và Bình trao )i. Anh ta s d ng c s * ⊗E ho :c ⊕ E o l ng qubit ch :n c trên ng truy n gi >a An và Bình. 0 1 Kh n ng An g i qubit là 2 , khi ó ta có s 9 xác su t nh hình d i. - 44 -
Hình 2.10: S tr ng thái ca Bình khi An g i qubit có tr ng thái 0 Theo s 9, n u An g i i 0 , xác su t Bình thu c là: 1 1 1 1 1 1 1 × × ×1+ ×1× × = qubit − 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 × × × + × × × = qubit 1 2 2 2 2 2 2 2 2 8 Nh v y, khi An g i i giá tr c a bit 0, xác su t c a Bình thu c bit 0 là 1 (: 1 + 1 ) = 2 4 4 8 3 . + 1 Kh n ng An g i qubit là 2 , khi ó ta có s 9 xác su t nh hình d i. - 45 -
Hình 2.11: S tr ng thái c a Bình khi An g i qubit có tr ng thái + Theo s 9, n u An g i i + , xác su t Bình thu c là: 1 1 1 1 1 1 1 × × ×1+ ×1× × = qubit 1 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 × × × + × × × = qubit − 2 2 2 2 2 2 2 2 8 Nh v y, khi An g i i giá tr c a bit 1, xác su t c a Bình thu c bit 1 là 1 (: 1 + 1 ) = 2 4 4 8 3 . T+ ó ta i n k t lu n, so v i giao th c BB84 thì giao th c B92 có kh n ng phát hi n s xu t hi n c a Nhân là t t h n, 1 so v i 1 . H n ch c a B92 là khi mu n có 3 4 mt khóa n bit thì An ph i g i (8 + δ )n qubit so v i (4 + δ )n bit c a giao th c BB84. Giao th c B92 còn có m t u i%m khác là ch dùng hai tr ng thái không tr c giao thay vì bn - 46 -
tr ng thái nh BB84, do ó s d , dàng h n cho vi c t o các máy t o và o l ng l ng t. 2.2.3 Giao th 'c EPR Giao th c EPR c c xu t n m 1991 b *i Ekert, th ng c g i là E91 (ch > 8u trong tên tác gi và n m xu t). Giao th c c cài :t d a trên tính liên k t l ng t c a các tr ng thái Bell. EPR là ba ch cái u tiên c a ba nhà khoa h c Einsten-Podolsky-Rosen, nh ng ng i tiên phong trong ngành khoa h c l ng t . C ba ã có óng góp r t l n cho s phát tri %n c a c h c l ng t , i%n hình là bài báo mang tên lý EPR % ph n bác nh ng k t lu n c a nhà khoa hc Bohr. Trong ngh ch lý, Eiensten ã có m t câu nói n i ti ng: “Chúa thì không ch i trò gieo súc x c Bohr thân m n ”- ây là câu nói hàm ch a c ngh ch lý[12]. Trong khi nh >ng giao th c phân ph i khóa l ng t ã c p * trên, các qubit c chu ;n b b*i An thì trong giao th c E91, các qubit c chu ;n b b *i b t k D ai ó, k c là Nhân. Các c :p tr ng thái Bell c chuy n n cho An và Bình m i ng i m t h t c a c:p, h t này g i là h t liên i (entangel). Khi nh >ng h t liên i ã c g i n An và Bình, h l 8n l t th c hi n o l ng mi qubit trong nh >ng qubit này trong c s * ng u nhiên trong s nh >ng c s * ã th a thu n tr c. Sau khi c An và Bình o l ng t t c các qubit này, h th c hi n so sánh nh >ng c s * mà h ã s d ng qua kênh truy n công khai. An và Bình th c hi n lo i b nh >ng v trí mà h không o l ng cùng c s * h thu c khóa ban 8 u. ( ki m tra s có m :t c a Nhân vào phiên truy n khóa, An và Bình chia s E k t qu ca nh >ng v trí h không o l ng cùng c s *, r 9i áp d ng b t @ ng th c Bell vào nh >ng v trí ó ki m tra tính liên k t l ng t c a nh >ng h t liên i ó. Nh >ng h t liên i c g i n An và Bình có tr ng thái: 1 φ + = ( 0 0 + 1 1 ) 2 A B A B Chúng ta s ch ng minh r $ng, phép o l ng φ + trên c s nào c a An c'ng cho ta xác su t 1 cho m &i tr ng thái thu c c s ó. 2 + 2 2 Gi s c s dùng % o l ng φ là {υ1 , υ2 }= {a 0 + b ,1 b 0 − a 1 } v i a + b =1. T+: υ1 = a 0 + b 1 và υ2 = b 0 − a 1 ta có: - 47 -
1 0 = ()b υ − a v = b υ − a v và a 2 + b 2 1 2 1 2 1 1 = ()a υ + b v = a υ + b v a 2 + b2 1 2 1 2 Nh v y 1 1 2 2 1 ()0 0 + 1 1 = (()b υ1 − a v2 + ()a υ1 + b v2 )= ()υ1 υ1 + υ2 υ2 2 2 2 + 1 Trong m i c s * {t1 , t2 } b t k D φ = ()t1 t1 + t2 t2 và phép o l ng 2 + mt h t liên i có tr ng thái φ trong c s* {t1 , t2 } luôn cho ta t1 ho :c t2 v i xác su t nh nhau. An và Bình th c hi n o l ng các h t liên i này trong c s * γ ,λ = cos( α ) 0 + sin( α ,1) cos( β ) 0 − sin( β 1) α β {} { 2 2 2 2 }, trong ó và c cho nh trong hình 23: Hình 2.12: Bng c s dùng % o l ng h t liên i Trong ó, nh >ng c :p h t liên i mà An và Bình o l ng trong cùng c s * (α + β =180 o ) s ? thu c cùng m t tr ng thái, do ó s ? có cùng giá tr c a qubit. (ó là nh >ng v trí trong b ng chúng ta thu c key. S và S′ dùng ki m tra s có m :t c a Nhân theo b t @ ng th c Bell. - 48 -
S = −E(α ,β ) + E(α ,β ) + E(α ,β ) + E(α ,β ) 1 1 1 3 3 1 3 3 S'= E(α 2 ,β 2 ) + E(α 2 ,β 4 ) + E(α 4 ,β 2 ) − E(α 4 ,β 4 ) Vi R12 (α i ,β j ) + R '2'1 (α i ,β j ) − R12 ' (α i ,β j ) − R 2'1 (α i ,β j ) E(α i ,β j ) = R12 (α i ,β j ) + R '2'1 (α j ,β j ) + R12 ' (α i ,β j ) + R 2'1 (α i ,β j ) Trong ó Rmn (αi ,β j ) là s l 8n Bình thu c m và Bình thu c n khi An s d ng c s * có α = α i và β = β j nh hình 24. C :p qubit c g i n An và Bình là liên k t l ng t khi S = 2 2 và S′ = 2 2 . N u S 0 và n ∈ N . - 49 -
2. Sau khi nh n c (4 +σ )n h t liên i, An và Bình th c hi n o l ng chúng trong c s * γ ,λ = cos( α ) 0 + sin( α ,1) cos( β ) 0 − sin( β 1) {} { 2 2 2 2 } m t cách ng u nhiên, v i α và β nh * b ng c s * dùng o l ng h t liên i. N u k t qu c a phép o l ng c tính theo α ta thu c giá tr c a bit 1, ng c l i ta thu c giá tr c a bit 0. So sánh c s+, thi *t l p chu ,i bit ki %m tra và chu ,i bit khóa. 3. An và Bình s d ng kênh truy n công khai trao ) i thông tin. An và Bình thông báo cho nhau nh >ng c s * ã dùng o l ng nh >ng ht liên i. 4. An và Bình lo i b nh >ng bit * v trí mà An mã hóa và Bình o l ng không cùng c s *. N u chu i bit còn l i nh h n n bit, h hy phiên truy n khóa. N u chu i bit còn l i l n h n n , An và Bình l y n bit dùng làm khóa ban 8u Xác $nh t - l l ,i 5. An và Bình thông báo cho nhau v k t qu c a nh >ng phép o l ng không cùng c s *, t ó h a ra t B l l i a trên b t @ ng th c Bell và xét xem phiên truy n khóa th c s oan toàn không. Khu *ch i riêng, và làm m $n khóa Ph 8n này gi ng BB84. 2.2.3.2 Kh n ng t n công c a Nhân trong giao th c EPR Nu Nhân ch :n các qubit c g i trên ng truy n g i n Bình, và th c hi n o l ng chúng. Sau phép o l ng c a Nhân, c :p liên i s ? b phá v F. Do ó, An và Bình dA dàng phát hi n s có m :t c a Nhân d a trên b t @ ng th c Bell. H h y phiên truy n khóa này, và th c hi n phiên truy n khóa m i. So v 1i các giao th 'c tr 1c ó thì EPR s d !ng m 0t tính ch t khác c /a c h 3c l ng t , nó có h 1ng i hoàn toàn khác so v 1i hai giao th 'c ã c c p tr 1c ó. Nó s 4 giúp cho các nhà m t mã h 3c có nhi u l a ch 3n h n cho các gi 2i pháp b 2o m t. - 50 -
2.2.4 Xác $nh h s gi 1i h n l ,i ε Hi u su t truy n t An n Bình ph thu c vào hai y u t và c tính: βl+c − 10 F = Ffiber FBob = 10 Trong ó β,l là h s h p th c a và là dài c a ng truy n, c là h ng hn ch l n c a m t mã l ng t ang c các nhà m t mã h c và v t lý h c b nhi u tâm huy t kh =c ph c nó. 2.2.5 Làm m $n khóa và t5ng tính b 2o m t Trong th c t , có m t vài v n v i các giao th c l ng t * trên. (8u tiên là thi t b dò photon th c luôn luôn có m t s nhi Am t p, vì v y ngay c khi không có nghe tr m, - 51 -
nh >ng bit mà An và Bình thu c không th hoàn toàn trùng kh p. Th hai, công ngh hi n t i ch a tin c y t o ra các h t photon n. Các b phát photon có th phát quá nhi u ho :c ít photon trên m t n v th i gian so v i m c c 8n thi t, do ó, Nhân s ? có c hi t t cho vi c chia s E xung quan sát m t phh8n c a các photon trong khi cho ph 8n còn l i ti p t c truy n n Bình. Nm 1992, Bennet, Bessette, Brassard, Salvail và Smolin xu t m t ph ng pháp i phó v i nh >ng khó kh n k trên. B c 8 u tiên c a ph ng pháp này là “làm mn khóa” c a h thông qua các kênh truy n công khai. Các thông tin dùng làm m n khóa trên kênh truy n công khai mà Nhân có th thu c, không nhi u quá các thông tin mà cô ã thu c trên kênh truy n l ng t . B c ti p theo Bình và An s d ng ph ng pháp “tng tính b o m t” làm gi m hi u bi t c a Nhân v khóa cu i cùng c a h . 2.2.5.1 Làm m n khóa Làm m n khóa là m t ph ng pháp quan tr ng trong h th ng phân ph i khóa l ng t. Nó có nhi m v 9 ng b khóa cho hai bên trao )i khóa khi mà h th ng truy n bit l ng t là ch a th c s hoàn h o. Vì quá trình làm m n khóa c di An ra trên kênh truy n công khai, do ó các thông tin trao )i có th b nghe tr m. Vì v y, hai bên trao )i khóa ph i ti t l nh >ng thông tin ít nh t có th trong khi v n m b o r <ng khi k t thúc giao th c h thu c cùng m t khóa gi ng nhau. Ph ng pháp làm m n khóa ti u nh t hi n nay là “ph ng pháp Cascade”. Tr c khi tìm hi u k v giao th c này, chúng ta xem xét n thu t toán tìm ki m nh phân (Binary), dùng tìm và s a l i trong Cascade. Thu t toán Binary c dùng tìm và s a l i trong tr ng h p dãy bit c a An và Bình có s l i là l E: ° An g i cho Bình tính ch Gn l E c a n a 8u dãy bit c a mình. ° B<ng cách so sánh tính ch Gn l E c a n a 8 u chu i bit c a mình v i tính ch Gn lE c g i t An, Bình xác nh xem l i s y ra * n a 8 u hay * cu i c a dãy bit. ° Th t c này c l :p i l :p l i n khi tìm c v trí c a bit l i. Thu t toán Cascade x lý qua m t s b c không c nh. S b c trong thu t toán c quy t nh b *i t B l l i ε c a kênh truy n l ng t . Gi s chu i bit c a An là A = A1 A2 A3 An và chu i bit c a Bình là B = B1B2 B3 Bn (vi Ai , Bi ∈{ 1,0 }): - 52 -
° B c 1: An và Bình ch n ng u nhiên k1 và chia dãy bit c a h thành t ng 1 kh i k1 bit. Các bit có v trí Kv = {l | (v −1)k1 ng kh i bit t ng ng có tính ch Gn l E khác nhau c a h . ° B c i (i >1): An và Bình ch n ng u nhiên ki và m t hàm » » N ÿ j fi :[]1 n → 1 Ÿ . Các bit có v trí Ki = {l | fi (l) = j} trong chu i bit lúc ki Ÿ i ó thu c kh i j trong b c i . An g i cho Bình tính ch Gn l E c a kh i K j : » N ÿ ai = ƒ Al (mod 2) v i m i 1 ≤ j ≤ Ÿ . T ng t , Bình tính toán bi r 9i so j k l∈Ki i Ÿ sánh v i ai . V i m i ai ≠ bi , An và Bình s d ng thu t toán Binary tìm i ki m và s a l i trên kh i ó. Gi s l ∈ K j là v trí bit l i tìm c. T ó, u u mi kh i Kv v i 1 ≤ u ng kh i có s l i l E: R = (P ∪ Q) \ (P ∩ Q). N u R ≠ φ , Bình tìm li trong các c :p kh i khác. Th t c này c l :p i l :p l i cho n khi không còn s l E l i c tìm th y. Trong giao th c Cascade, k1 th ng c tính theo t B l l i tính c * các b c 1 1 trên: k = + , giá tr c a k (i ≥1) c tính k = 2k . B c cu i cùng th ng có 1 e 4e i+1 i+1 i 1 dài l n h n dài c a toàn b các bit. 4 - 53 -
2.2.5.2 Tng tính b o m t (n th i im này, An và Bình ã có c dãy bit gi ng nhau, nh ng dãy bit này ch th c s oan toàn vì Nhân có th có c m t s thông tin v dãy bit thông qua kênh truy n l ng t ho :c qua quá trình làm m n khóa ca An và Bình. Sau quá trình làm m n khóa, dãy bit chung c a An và Bình là S có dài n bit. Gi s r ng hi u bi t v S không làm t ng hi u bi t v K . ( làm c iu này ta s d ng hàm g :{ 1,0 }n → { 1,0 }r và tính toán K = g(S) . Nh v y m t hàm nh th nào thì th a mãn iu ki n trên. Mt l p G c a các hàm A → B là th a mãn iu ki n trên c g i là các l p universal (universal class) n u ngh Ca là n u cho x1 và x2 phân bi t thu c A , kh n ng có g(x ) = g(x ) l n nh t là 1 khi g c ch n ng u nhiêu t G. 1 2 B Mt ví d v l p universal là hoán v c a chính A. Ta luôn có xác su t g(x ) = g(x ) là b <ng 0 nh h n 1 . 1 2 A Lp universal th ng s d ng trong m t mã l ng t là s d ng hàm b m { 1,0 }n → { 1,0 }r trong ó r = n − k − s v i s là tham s oan toàn (0 < s < n − k), th ng thì −s s = rε K = g S 2 . Sau ó hi u bi t c a Nhân v khóa ( ) nh h n ln 2 bit. M t ví d v l n universal này là K c tính b <ng tích c a S v i m t ma tr n c F nxr. 2.3 K T CH NG Các giao th c phân ph i khóa l ng t c trình bày * trên ã c ch ng minh có kh n ng b o m t vô iu ki n. Nh v y, trong t ng lai, n u xây d ng thành công mt m ng l ng t , chúng ta có th hoàn toàn yên tâm v m t phiên truy n khóa an toàn. - 54 -
Ch ng 3. TH C TR NG CÔNG NGH M T MÃ L NG T , XÂY D NG CH NG TRÌNH MÔ PH NG M T MÃ L NG T VÀ XU T 3.1 TH C TR NG CÔNG NGH M T MÃ L NG T Nh >ng thí nghi m 8 u tiên v m t mã l ng t c xây d ng t n m 1990, và cho n ngày ng i ta ã xây d ng c m ng l ng t v i kho ng cách 30-40 kilomet s dng ng truy n cáp quang. V c b n, hai công ngh t o lên kh n ng c a phân kh i khóa l ng t là Thi t b phát ra các photon phân c c n, và các thi t b o l ng chúng. Trên th c t , vi c phát ra các xung n photon mà giao th c phân ph i khóa l ng t yêu c 8u không h n gi n. Bt ch p nh >ng ti n b g 8n ây trong vi c s d ng các nguyên t c l p ho :c các ch m l ng t bán d n phát ra các n photon, a s h phân ph i khóa l ng t th c t s dng xung laser y u truy n các bit hình thành nên khóa ó. Ph ng pháp này có m t nh c im: laser th Bnh tho ng s? phát ra các xung ch a hai ho :c nhi u photon, m i photon trong s ó s ? * cùng m t tr ng thái l ng t . K t qu là Nhân có th tách ra m t trong s các photon này và o nó, 9ng th i cho các photon khác không b xáo tr n, nh ó xác nh c m t ph 8n c a khóa mà v n không b phát hi n. T 9i t h n n >a, b ng ngu 9n n photon th t s tr * nên có th mua c v ph ng di n th ng m i, thì bi n pháp phòng ng a ph ) bi n nh t là làm suy y u nhi u laser hn ch t B l c a các xung a photon. Tuy nhiên, vi c này c ng có ngh Ca là nhi u xung không có photon nào c , làm gi m t c mà khóa có th c truy n i. N m 2003, m t th thu t m i nh <m l ;n tránh v n này ã c xu t b *i Hoi-Kwong Lo t i tr ng i h c Toronto và Xiang-Bing Wang * D án tính toán và thông tin l ng t , t i Tokyo, da trên công trình tr c ó c a Won-Young Hwang, t i tr ng i h c Northwestern, MC. Ý t *ng c a h là r i các xung tín hi u m t cách ng u nhiên v i m t s “xung m 9i” yu h n v trung bình và r t hi m khi có ch a m t xung a photon. N u Nhân c g =ng tn công tách xung, anh ta s ? tách m t ph 8n c a xung, do ó, làm truy n xung m 9i n Bình ít h n so v i các xung tín hi u. B *i v y, b <ng cách ki m tra s truy n c a các xung - 55 -
m9i và xung tín hi u tách bi t nhau, cu c t n công c a Nhân có th b phát hi n. (iu này có ngh Ca là các xung laser m nh h n có th c s d ng m t cách an toàn – ch @ng h n, h9i n m ngoái, t i Toshiba, chúng tôi ã ch ng minh c s t ng 100 l 8n t B l các khóa c truy n i m t cách an toàn trên m t s i quang dài 25 km. Giao th c xung m 9i ã gây nên s kích thích l n trong c ng 9 ng QKD, v i b n nhóm c l p nhau ã v a công b nh >ng lu n ch ng th c nghi m c a k C thu t ó. Các xung laser y u không ph i là cách th c duy nh t th c hi n m t mã l ng t . Ví d , QKD s d ng m t ngu 9n n photon th t s m i ây ã c ch ng minh t i tr ng i hc Stanford, CNRS * Orsay và Toshiba. H n n >a, vào n m 1991, Artur Ekert, lúc y còn là nghiên c u sinh ti n s C t i tr ng i h c Oxford, ã mô t m t bi n th cho giao th c BB84 khai thác m t tiên oán ph n tr c giác khác c a c h c l ng t : ó là s liên k t l ng t . Các c :p photon liên k t có tr ng thái l ng t t ng quan m nh m? v i nhau, cho nên vi c o photon này nh h *ng t i s o photon kia. N u An và Bình, m i ng i có m t c a c :p photon ó, thì do ó h có th s d ng phép o c a mình trao )i thông tin. K C thu t này ã c ch ng minh b *i các nhà nghiên c u t i tr ng i h c Vienna, Phòng thí nghi m qu c gia Los Alamos và tr ng i h c Geneva, và ã c s d ng n m 2004 chuy n ti n gi >a ngân hàng Vienna City Hall và m t ngân hàng Áo. Tuy nhiên, QKD laser y u là ph ng pháp c ;n tr ng nh t, và c s * c a h QKD th ng m i ngày nay ang phát tri n ra th tr ng. S dò tìm các photon n c ng r t ph c t p. Nh >ng ph ng pháp ph ) bi t nh t dò tìm là s d ng ch t bán d n. Các thi t b này ho t ng v t ra ngoài s c in áp c a diode, c g i là ch Geiger. Vào th i im ó, n ng l ng t m t photon h p thu duy nh t là gây ra m t tr n thác in t, d A dàng phát hi n tr ng thái c a photon trong xung nh p ó. ( dò tìm m t photon khác, các hi u thông qua diode ph i c ngu i và :t l i các thi t b , m t quá trình t n nhi u th i gian. Hn n >a, b c sóng dò tìm t t nh t c a ch t bán d n là 800 nanomet, nó không nh y c m v i nh >ng b c s ng trên 1100 nanomet, c ng nh b c sóng chu ;n c a vi An thông (t 1300 n 1550 nanomet). Kho ng cách ln nh t c a ng truy n l ng t ã c t o là 67-km t c b *i mt nhóm các nhà v t lý t i ( i h c Geneva vào tháng 10 n m 2001. Nu dài c a ng truy n v t qua ngoài 80km, không có nhi u photon có th truy n c t An n Bình. Có m t cách m * r ng kho ng cách c a các kênh truy n l ng t ó là s d ng - 56 -
các thi t b t ng c ng tín hi u khi các photon i qua nó, gi ng nh nh >ng repeaters và bridges s d ng vi An thông. Tuy v y, không gi ng nh các thi t b c s d ng trong vi An thông, các thi t b s d ng trong kênh truy n l ng t s ? ph i t ng c ng tín hi u mà không c 8n o l ng các photon ó. Các nhà khoa h c ã ch B ra r ng ng i g i khác nhau, nhóm nghiên c u s d ng k thu t khác nhau l c ánh sáng n. Trong m t bài báo g 8n ây , Hughes và c ng s ã mô t làm th nào h g i các phím trên m t kho ng cách là 10 km v i m c giá t ng t nh t c b a b m :t trái t và các v tinh, nh ng vì không khí h n lo n, và các nhân t phá v F các photon, ph 8n l n xy ra kho ng không khi th p h n 2 km c a khí quy n, Hughes tin r <ng h th ng c a ông s ? có th gi tín hi u các v tinh. Nhóm nghiên c u hi n ang c g =ng t o ra èn nh n và c ng c sao cho nó phù h p trong v tinh và t 9n t i lâu h n m t máy phóng tên l a. K t h p vi s i quang h c, các v tinh cu i cùng có th là m t ph 8n c a m t h th ng truy n d n ng dài. 3.2 CH NG TRÌNH MÔ PH NG GIAO TH (C PHÂN PH I KHÓA LNG T Mô ph ng m t mã l ng t mà c th trong ph 8n này là mô ph ng giao th c BB84 là h mô ph ng cách làm vi c th c t c a phân ph i khóa l ng t . H th c hi n theo giao th c BB84 ca phân ph i khóa l ng t bao g 9m vi c s d ng phân c c ánh sáng truy n thông tin trên kênh truy n l ng t và các quá trình khác nh <m t o cho An và Bình mt khóa chung c a riêng h . 3.2.1 M!c ích mô ph ng Mt mã l ng t là lo i m t mã d a trên các tính ch t c a v t lý l ng t , do ó ây là lo i m t mã không ph thu c vào kh n ng tính toán hay dài c a khóa, nó c cho là t ng lai c a ngành m t mã h c. Vi c k t h p các ph ng pháp phân tích lý thuy t và - 57 -
công c l p trình Java thi t k ch ng trình nh , Giao th c c th c hi n qua b c: B1: An ch n n bit và n c s * ng u nhiên + ho :c x. .ng v i m i bit, An th c hi n mã hóa vào qubit trong c s * t ng ng. Ti p ó, An gi nh >ng qubit này cho Bình. B2: Bình th c hi n o l ng nh >ng qubit nh n c trong m t c s* ng u nhiên trong + ho :c x, r 9i th c hi n gi i mã nó thành bit thông th ng. B3: Bình và An s d ng kênh truy n công khai thông báo cho nhau nh >ng c s * ã s d ng. B4: An và Bình th c hi n h y b nh >ng bit có v trí t ng ng v i nh >ng v trí h s d ng không cùng c s * nh ng ch c n ng chính c a ch ng trình: Ch n dài c a key bit c 8n trao ) i gi >a An và Bình. Ch n c s * Nhân dùng o l ng các qubit ch :n c t An. Có hai l a ch n cho l a ch n này là: th nh t là Normal là c s * bình th ng mà An và Bình th c hi n t o và o l ng quBit ó. Th hai là c s * Briedbard. - 58 -
Ch n t )ng s l i trên ng truy n bao g 9m c l i trên ng truy n và l i ti thi t b o l ng c a Bình. Xác nh gi i h n l i, t B l l i, và ra quy t nh xem có ti p t c phiên truy n khóa hay không? Làm m n khóa và t ng tính b o m t. T)ng k t v phiên truy n khóa Kh *i ng ch ng trình, ng i dùng nh p các thông s nh dài c a khóa ban 8u (length of rawkey), c s * mà Nhân s d ng o l ng (Base is used to measure by Nhân) các qubit ch :n trên ng truy n, và t )ng s l i trên kênh truy n. An t o n bit ng u nhiên và n c s * ng u nhiên trong trong + ho :c x: - 59 -
+ Random bits: các bit ng u nhiên c a An + Random Bases: là các c s * ng u nhiên c a An Trong java hai chu i bit này c t o ra nh m t hàm random: Random randomGenerator = new Random(); for(int i = 0; i < number; i++) { rdBits[i] = randomGenerator.nextInt(2); rdBases[i] = quBit.base[randomGenerator.nextInt(2)]; } An th c hi n mã hóa các bit trong c s * t ng ng và g i cho Bình - 60 -
+ State of quBits: hi n th chu i tr ng thái c a quBit. Các tr ng thái này c t o ra d a trên bit ng u nhiên và c s * ng u nhiên theo quy t =c: bit C S * + x * 0 | \ Các bi n ) i bit trong c s * base tr v tr ng thái c a qubit c th hi n thông qua on code: if(bit == 1 && base == '+') return '-'; if(bit == 0 && base == '+') return '|'; if(bit == 1 && base == 'x') return '/'; return '\\'; - 61 -
Khi An g i qubit qua ng truy n l ng t thì xu t hi n Bình và Nhân. H th c hi n t o nh >ng c s * ng u nhiên (Random bases trong hình d i) s Gn sàng o l ng qubit nh n c. Nu Nhân không ch :n nh >ng qubit c g i t An thì Bình s ? o l ng nh >ng qubit nh n c t An: - 62 -
Nu Nhân ch :n nh >ng qubit c g i t An, Nhân th c hi n phép o l ng nh >ng qubit này, và g i nh >ng qubit sau o l ng cho Bình, thì Bình s ? o l ng nh >ng qubit nh n c t Nhân: (o l ng qubit d a trên tính ch t c a c h c l ng t . Qubit có tr ng thái – ho :c | nu c o l ng trong c s * + thì k t qu là tr ng thái c a nó tr c lúc o l ng, ng c l i n u o l ng chúng trong c s * x thì k t qu ng u nhiên là m t trong hai tr ng thái / ho :c \. T ng t v i hai tr ng thái / và \. Bng t )ng k t trên ng truy n l ng t , khi có s xu t hi n c a Nhân: - 63 -
(ánh giá t B l l i và t o khóa ban 8u. Giao th c k t thúc khi t B l l i l n h n gi i hn l i. (V trí màu xanh th hi n An và Bình s d ng cùng c s *) Bng t )ng k t trên ng truy n l ng t , khi không có s xu t hi n c a Nhân: - 64 -
Xác nh t B l l i. Vì t B l l i nh h n gi i h n l i. An và Bình th c hi n làm m n khóa. - 65 -
Và t ng tính riêng t , t o khóa cu i cùng Kt lu n v phiên truy n khóa - 66 -
3.2.4 K*t Lu n T vi c phân tích các giao th c truy n khóa l ng t cùng v i ngôn ng > l p trình java 1.6.0, tôi ã xây d ng ng d ng mô ph ng giao th c BB84. K t qu c a ch ng trình là m t minh ch ng cho kh n ng b o m t vô iu ki n c a m t mã l ng t , qua ó có nh >ng h ng 8 u t và phát tri n cho phù h p. 3.3 XU T (NG D NG C 6A M T MÃ L NG T Vi kh n ng b o m t vô iu ki n, m t mã l ng t có th cài :t trong r t nhi u ng d ng. Tôi xu t a các giao th c phân ph i khóa l ng t vào ng d ng b o m t nh IPsec, TLS Mt mã l ng t m b o cho m t phiên truy n khóa an toàn, do ó nó s ? b o m cho các ng d ng g =n v i nó m t kh n ng bo m t an toàn cao. - 67 -
K T LU N A. K T QU T C Khi máy tính l ng t khai sinh c ng là lúc các h m t mã khóa công khai hi n nay b khai t , lúc ó chúng ta c 8n m t h m t mã có kh n ng b o m t không ph thu c vào dài c a khóa c ng nh ph c t p c a thu t toán. M t mã l ng t th a mãn nh >ng iu ki n trên. Nó gi i quy t bài toán b o m t mà không c 8n t i b t c m t s tính toán nào. Nh v y, v i m t mã l ng t thì s xu t hi n c a máy tính l ng t không làm thay )i ch ng c a ngành m t mã h c. T ng lai c a ngành m t mã h c s ? là m t mã l ng t. ( tài ã th c hi n c nh >ng ni dung sau: Gi 1i thi u v m t mã l ng t : Gii thi u m t mã l ng t , các tính ch t quan tr ng c a c h c l ng t trong m t mã h c, tính toán l ng t , truy n thông l ng t và mã hóa siêu dày :c Các giao th 'c phân ph i khóa l ng t : Trình bày v các giao th c phân ph i khóa l ng t BB84, B92, EPR, và ch ng minh tính b o m t c a chúng. So sánh nh >ng im y u, m nh c a t ng giao th c. Trong ph 8n này c ng tìm hi u v cách xác nh h s t B l l i c a kênh truy n l ng t , cách làm m n khóa và t ng tính b o m t. Tìm hi %u v hi n tr ng c /a công ngh m t mã l ng t và xây d ng ch ng trình mô ph ng giao th 'c BB84. Tuy nhiên trong quá trình tìm hi u tôi không tránh kh i sai sót, r t mong s óng góp c a các th 8y cô và các 9ng môn. B. H"NG PHÁT TRI 7N Hoàn thi n h n v các giao th c phân ph i khóa l ng t . Ch ng minh các h s an toàn. Tìm hi u v h ng phát tri n phân ph i khóa l ng t thông qua ng truy n v tinh trái t. Cách các photon phân c c c truy n i. - 68 -
C. Ý NGH 8A Khóa lu n có gi i thi u v các tính ch t c a c h c l ng t và nh >ng tính ch t c a nó, t ó làm n n t ng cho các nghiên c u m t mã l ng t sau này. Ch ng minh c kh n ng b o m t vô iu ki n c a m t mã l ng t , t ó chúng ta c 8n có nh >ng h ng i c th phát tri n m t mã l ng t trong t ng lai. - 69 -
TÀI LI U THAM KH O Keyword: m t mã l ng t , quantum cryptography, quantum computing. Tài li u ti ng vi t: [1] Quang Trung - Gi i Thi u m t mã l ng t : Tài li u ti ng anh: [2]Barnett, S. M. and Phoenix, S. J. D., "Bell's inequality and rejected-data protocols for quantum cryptography", Journal of Modern Optics, vol. 40, no. 8, August 1993, pp. 1443 - 1448. [3]Bennett, C. H. and Brassard, G. , "Quantum cryptography: Public-key distribution and coin tossing", Proceedings of IEEE International Conference on Computers, Systems and Signal Processing, Bangalore, India, December 1984, pp. 175 - 179. [4]Bennett, C. H. and Brassard, G. , "Quantum public key distribution system", IBM Technical Disclosure Bulletin, vol. 28, no. 7, December 1985, pp. 3153 - 3163. [5]Bennett, C. H. , "Quantum cryptography using any two nonorthogonal states", Physical Review Letters, vol. 68, no. 21, 25 May 1992, pp. 3121 - 2124. [6]Bennett, C. H., Bessette, F., Brassard, G., Salvail, L. and Smolin, J. , "Experimental quantum cryptography", Journal of Cryptology, vol. 5, no. 1, 1992, pp. 3 - 28. Preliminary version in Advances in Cryptology - Eurocrypt '90 Proceedings, May 1990, Springer - Verlag, pp. 253 - 265. [7]EECS Team , "Qubits, Quantum Mechanics and Computers - Fall 2009" [8]Ekert, A. K. , "Quantum cryptography based on Bell's theorem", Physical Review Letters, vol. 67, no. 6, 5 August 1991, pp. 661 - 663. [9]Ekert, A. K., Rarity, J. G., Tapster, P. R. and Palma, G. M. , "Practical quantum cryptography based on two-photon interferometry", Physical Review Letters, vol. 69, no. 9, 31 August 1992, pp. 1293 - 1295. [10]K.J.P.M.Poels , “Quantum Key Exchange using squeezed State” - 70 -
[11]Wiesner, S. , "Conjugate coding", Sigact News, vol. 15, no. 1, 1983, pp. 78 - 88; original manuscript written circa 1970. [12] A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen : "Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?" Phys. Rev. 41, 777 (15 May 1935). The original EPR paper. - 71 -