Bài tập Xác suất thống kê - Diệp Hoàng Ân

pdf

125 trang phuongnguyen 4430

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Xác suất thống kê - Diệp Hoàng Ân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_tap_xac_suat_thong_ke_diep_hoang_an.pdf

Nội dung text: Bài tập Xác suất thống kê - Diệp Hoàng Ân

Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân BÀI T P XÁC SU T TH NG KÊ 1
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân CH ƯƠ NG 1: XÁC SU T 1.1. Mt h p cĩ 100 t m th nh ư nhau đưc ghi các s t 1 đ n 100, Rút ng u nhiên hai th r i đ t theo th t t trái qua ph i. Tính xác su t đ n a/ Rút đưc hai th l p nên m t s cĩ hai ch s . b/ Rút đưc hai th l p nên m t s chia h t cho 5. Gi i a/ A :“Hai th rút đưc l p nên m t s cĩ hai ch s ” 2 A9 9.8 P() A =2 = ≈ 0,0073 A100 100.99 b/ B : “Hai th rút đưc l p nên m t s chia h t cho 5” S chia h t cho 5 t n cùng ph i là 0 ho c 5. Đ cĩ bi n c B thích h p v i ta rút th th hai m t cách tùy ý trong 20 th mang các s 5;10;15;20; ;95;100, và rút 1 trong 99 th cịn l i đ t vào v trí đâu. Do đĩ s tr ưng h p thu n l i cho là 99.20 99.20 P() B =2 = 0, 20 A100 1.2. Mt h p cĩ ch a 7 qu c u tr ng và 3 qu c u đen cùng kích th ưc. Rút ng u nhiên cùng m t lúc 4 qu c u. Tính xác su t đ trong 4 qu c u rút đưc cĩ a/ Hai qu c u đen. b/ Ít nh t 2 c u đen c/ Tồn c u tr ng Gi i Rút ng u nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 qu c u nên s tr ưng h p đ ng kh 4 năng là C10 a/ A :”trong 4 qu c u rút cĩ 2 qu c u đen” 2 2 C3. C 7 P() A =4 = 0,30 C10 b/ B :”trong 4 qu c u đưc rút cĩ ít nh t 2 qu c u đen” 22 31 CC37.+ CC 37 . 1 P() B =4 = C10 3 c/ C :”trong 4 qu c u đưc ch n cĩ tồn c u tr ng” 2
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân 4 C7 1 P() C =4 = C10 6 1.3. Mt h p thu c cĩ 5 ng thu c t t và 3 ng kém ch t l ưng. Ch n ng u nhiên l n l ưt khơng tr l i 2 ng. Tính xác su t đ : a/ C hai ng đưc ch n đ u t t. b/ Ch ng đưc ch n ra đ u tiên là t t. c/ trong hai ng cĩ ít nh t m t ng thu c t t. Gi i Ch n ng u nhiên l n l ưt khơng tr l i 2 trong 8 ng nên các tr ưng h p 2 đng kh n ăng là A8 . 2 A5 a/ A :” C hai ng đưc ch n đ u t t” P() A =2 ≈ 0,357 A8 1 1 C3. C 5 b/ B :” Ch ng đưc ch n ra đ u tiên là t t” P() B =2 ≈ 0,268 A8 2 A3 c/ C :” trong hai ng cĩ ít nh t m t ng thu c t t” P() C =1 −2 ≈ 0,893 A8 1.4. Mt h p đ ng 15 qu bĩng bàn trong đĩ cĩ 9 qu m i. L n đ u ng ưi ta l y ng u nhiên 3 qu đ thi đ u, sau đĩ l i tr vào h p. L n th hai l y ng u nhiên 3 qu . Tính xác su t đ c 3 qu l y ra l n sau đ u m i. Gi i Đt A :” c 3 qu l y ra l n sau đ u m i” Bi :” Trong 3 qu l y ra đ thi đ u cĩ i qu m i” i ∈{0;1;2;3 } Ta th y các {B0; B 1 ; B 2 ; B 3 } lp thành nhĩm đy đ các bi n c , theo cơng th c xác su t tồn ph n PA= PBPAB()(|) + PBPAB ()(|) + PBPAB ()(|) + PBPAB ()(|) ( ) 0 0112 23 3 1 =+++()20.84 135.56 216.35 84.20 ≈ 0,089 207025 1.5. T m t l p cĩ 8 n sinh viên và 12 nam sinh viên, ng ưi ta ch n ng u nhiên 5 sinh viên đ l p Ban cán b l p (BCB). Tính xác su t đ 3
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân a/ BCB g m 3 n và 2 nam, b/ BCB cĩ ít nh t m t n , c/ BCB cĩ ít nh t hai nam và hai n . Gi i Đt Ak : “BCB cĩ k nam sinh viên” ( k ∈{0,1,2,3,4,5 } ), chúng ta cĩ: 5− k Ck . C P( A ) = 12 8 k 5 C20 a/ BCB g m 3 n và 2 nam. Xác su t ph i tính: 3 C2 . C P( A ) =12 8 = 77 2 5 323 C20 b/ Đt N: “BCB cĩ ít nh t m t n ”, thì N= A 5 . Do đĩ, PN()= PA ()15 = − PA () 5 0 C5 . C =−12 8 =−1 33 = 613 5 646 646 C 20 c/ Đt H: “BCB cĩ ít nh t hai nam và hai n ”. Do đĩ, PH( ) = PA( 2) + PA( 3 ) 2 C3 . C = 77+12 8 = 616 3235 969 C20 1.6. T m t h p ch a 8 viên bi đ và 5 viên bi tr ng ng ưi ta l y ng u nhiên 2 ln, m i l n 1 viên bi, khơng hồn l i. Tính xác su t đ l y đưc a/ 2 viên bi đ; b/ hai viên bi khác màu; c/ viên bi th hai là bi tr ng. Gi i Vi i ∈{1, 2} , đă t: Ti : “viên bi l y ra l n th i là bi tr ng”, Di : “viên bi l y ra l n th i là bi đ”. a/ Đt A :“l y đưc 2 viên bi đ”, chúng ta cĩ: PA= PDD= PD . PD / D =8. 7 = 14 ( ) ( 12) ( 1) ( 2 1) 13 12 3 9 b/ Đt B : “l y đưc hai viên bi khác màu”, chúng ta cĩ: 4
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân PB( ) = PTD( += DT) PTD( ) + PDT( ) 12 12 12 12 = PTPDT()()()()1 . 21 / + PDPT 1 . 21 / D Suy ra: P( B ) =58 + 85 = 20 13 12 13 12 39 c/ T2 = TT 12 + DT 12 , nên xác su t ph i tính là: PT( ) = PTT( ) + PDT( ) 2 12 12 = PTPTT()()()()1 . 21 / + PDPDT 1 . 21 / suy ra P T =54 + 85 = 5 ( 2 ) 1312 1312 13 1.7. Mt cơng ty c n tuy n 4 nhân viên. Cĩ 8 ng ưi, g m 5 nam và 3 n n p đơ n xin d tuy n, và m i ng ưi đ u cĩ c ơ h i đưc tuy n nh ư nhau. Tính xác su t đ trong 4 ng ưi đưc tuy n, a) cĩ duy nh t m t nam; b) cĩ ít nh t m t n . Gi i Đt Ak : “Cĩ k nam đưc tuy n trong 4 nhân viên” k ∈ {1,2, 3, 4} 1 3 C5. C 3 5 Gi A : “cĩ duy nh t 1 nam” PA()()= PA 1 =4 = C8 70 a) Gi B : “cĩ ít nh t 1 n ” C 4 13 PB() =−1 PA ( )1 =−5 = 4 C 4 14 8 1.8. Mt cơng ty c n tuy n 4 nhân viên. Cĩ 8 ngưi, g m 5 nam và 3 n n p đơ n xin d tuy n, và m i ng ưi đ u cĩ c ơ h i đưc tuy n nh ư nhau. Tính xác su t đ trong 4 ng ưi đưc tuy n, a/ cĩ khơng quá hai nam; b/ cĩ ba n , bi t r ng cĩ ít nh t m t n đã đưc tuy n. Gi i Đt Ak : “Cĩ k nam đưc tuy n trong 4 nhân viên” k ∈ {1,2, 3, 4} a/ Gi C : “cĩ khơng quá 2 nam” CC13.+ C 22 .C 1 PC() =+= PA() PA () 53 53 = 1 2 C 4 2 8 b/ Gi D : “ch n ra 3 n , bi t r ng cĩ ít nh t 1 n đưc tuy n”. Gi B : “Cĩ ít nh t m t n đưc ch n”. 5
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân 4 C 5 13 Ta cĩ PB() =−1 PA (4 )1 =−4 = C8 14 P( A 1 ) 1 PD() = PA(1 | B ) = = P( B ) 13 1.9. Mt c a hàng sách ưc l ưng r ng: Trong t ng s các khách hàng đn c a hàng, cĩ 30% khách c n h i nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách th c hi n c hai điu trên. G p ng u nhiên m t khách trong nhà sách. Tính xác su t đ ng ưi này a/ khơng th c hi n c hai điu trên; b/ khơng mua sách, bi t r ng ng ưi này đã h i nhân viên bán hàng. Gi i Đt A : “khách hàng c n t ư v n” B : “khách hàng c n mua sách” Theo đ ta cĩ: PA( ) =0,3; PB( ) = 0,2; PAB( ) = 0,15 a/ Xác su t khách hàng khơng c n mua sách c ũng khơng c n t ư v n là: 3 2 15  13 PAB.= PA + PB − PAB =−+−−− 111  = () () () () 10 10 100  20 b/ khơng mua sách, bi t r ng ng ưi này đã h i nhân viên bán hàng. 3 15 − P() AB P()() A− P AB 1 P() B/ A == ==10 100 PA() PA() 3 2 10 1.10. Mt cu c điu tra cho th y, m t thành ph , cĩ 20,7% dân s dùng lo i sn ph m X , 50% dùng lo i s n ph m Y và trong s nh ng ng ưi dùng Y , cĩ 36,5% dùng X . Ph ng v n ng u nhiên m t ng ưi dân trong thành ph đĩ, tính xác su t đ ng ưi y a/ Dùng c X và Y ; b/ Khơng dùng X , c ũng khơng dùng Y . Gi i Đt A : “ ng ưi dân trong thành ph dùng s n ph m X ” B : “ ng ưi dân trong thành ph dùng s n ph m Y ” Theo đ bài ta cĩ: PA( ) =0,207; PB( ) = 0,5; PAB( |) = 0,365 a) Xác su t ng ưi dân đĩ dùng c X và Y là PAB( ) = PB( ). PAB( /) = 0,5.0,365 = 0,1825 b) Xác su t ng ưi dân đĩ khơng dùng c X và Y là PAB( .) = PA( .) + PB( ) − PAB( ) = 0,4755 1.11. 6
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Mt cu c điu tra cho th y, m t thành ph , cĩ 20,7% dân s dùng lo i sn ph m X , 50% dùng lo i s n ph m Y và trong s nh ng ng ưi dùng Y , cĩ 36,5% dùng X . Ph ng v n ng u nhiên m t ng ưi dân trong thành ph đĩ, tính xác su t đ ng ưi y a/ Dùng c X và Y ; b/ Dùng Y , bi t r ng ng ưi y khơng dùng X . Gi i Đt A : “ ng ưi dân trong thành ph dùng s n ph m X ” B : “ ng ưi dân trong thành ph dùng s n ph m Y ” Theo đ bài ta cĩ: PA( ) =0,207; PB( ) = 0,5; PAB( /) = 0,365 a/ Xác su t ng ưi dân đĩ dùng c X và Y là PAB( ) = PB( ). PAB( /) = 0,5.0,365 = 0,1825 b/ Xác su t ng ưi dân đĩ dùng Y , bi t r ng khơng dùng X là P( AB. ) P()() B− P AB 0,5− 0,1852 P() B/ A == = = 0,404 PA() PA() 1− 0,207 1.12. Theo m t cu c điu tra thì xác su t đ m t h gia đình cĩ máy vi tính n u thu nh p hàng n ăm trên 20 tri u (VN Đ) là 0,75. Trong s các h đưc điu tra thì 60% cĩ thu nh p trên 20 tri u và 52% cĩ máy vi tính. Tính xác su t đ m t h gia đình đưc ch n ng u nhiên a/ cĩ máy vi tính và cĩ thu nh p hàng n ăm trên 20 tri u; b/ cĩ máy vi tính, nh ưng khơng cĩ thu nh p trên 20 tri u. Gi i Đt A : “H gia đình đưc ch n ng u nhiên cĩ máy vi tính” B : “H gia đình đưc ch n ng u nhiên cĩ thu nh p hàng n ăm trên 20 tri u” Theo đ bài ta cĩ: PA( ) =0,52; PB( ) = 0,6; PAB( /) = 0,75 a/ Xác su t đ h gia đình đưc ch n cĩ máy vi tính và cĩ thu nh p hàng n ăm trên 20 tri u là: PAB= PBPA. / B = 0,6.0,75 = 0,45 ( ) ( ) ( ) b/ Xác su t đ h gia đình đưc ch n cĩ máy vi tính nh ưng thu nh p ít h ơn 20 tri u là: PAB= PA()() − PAB =−=0,52 0,45 0,07 ( ) 1.13. Theo m t cu c điu tra thì xác su t đ m t h gia đình cĩ máy vi tính n u thu nh p hàng n ăm trên 20 tri u (VN Đ) là 0,75. Trong s các h đưc điu tra thì 60% cĩ thu nh p trên 20 tri u và 52% cĩ máy vi tính. Tính xác su t đ m t h gia đình đưc ch n ng u nhiên a/ Cĩ máy vi tính và cĩ thu nh p hàng n ăm trên 20 tri u; b/ Cĩ thu nh p hàng n ăm trên 20 tri u, bi t r ng h đĩ khơng cĩ máy vi tính. 7
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Gi i Đt A : “H gia đình đưc ch n ng u nhiên cĩ máy vi tính” B : “H gia đình đưc ch n ng u nhiên cĩ thu nh p hàng năm trên 20 tri u” Theo đ bài ta cĩ: PA( ) =0,52; PB( ) = 0,6; PAB( /) = 0,75 a/ Xác su t đ h gia đình đưc ch n cĩ máy vi tính và cĩ thu nh p hàng n ăm trên 20 tri u là: PAB= PBPA. / B = 0,6.0,75 = 0,45 ( ) ( ) ( ) b/ Xác su t đ h gia đình đưc ch n cĩ thu nh p hàng n ăm trên 20 triu nh ưng khơng cĩ máy vi tính là: P( AB ) P()() B− P AB 0,6− 0,45 P() B/ A == = = 0,3125 PA PA 1− 0,52 () () 1.14. Trong m t đ i tuy n cĩ hai v n đ ng viên A và B thi đu. A thi đ u tr ưc và cĩ hy v ng 80% th ng tr n. Do nh h ưng tinh th n, n u A th ng tr n thì cĩ 60% kh n ăng B th ng tr n, cịn n u A thua thì kh n ăng này c a B ch cịn 30%. Tính xác su t c a các bi n c sau: a/ Đi tuy n th ng hai tr n; b/ Đi tuy n th ng ít nh t m t tr n. Gi i Đt Mi : “v n đ ng viên i th ng” v i i∈{ A, B } Theo đ bài ta cĩ: PM()()A=0,8; PMM BA / = 0,6; PMM( B /A ) = 0,3 a/ Xác su t đ i tuy n th ng 2 tr n là PMM= PM. PM / M = 0,8.0,6 = 0,48 ( AB) ( A) ( BA ) b/ Đi tuy n th ng ít nh t m t tr n ngh ĩa là cĩ ít nh t m t trong hai v n đ ng viên A, ho c B th ng. Xác su t c n tính là: PM( ∪= M) PM( ) + PM( ) − PMM( . ) AB B A AB =0,54 +− 0,8 0,48 = 0,86 1.15. Trong m t đ i tuy n cĩ hai v n đ ng viên A và B thi đu. A thi đ u tr ưc và cĩ hy v ng 80% th ng tr n. Do nh h ưng tinh th n, n u A th ng tr n thì cĩ 60% kh n ăng B th ng tr n, cịn n u A thua thì kh n ăng này c a B ch cịn 30%. Tính xác su t c a các bi n c sau: a/ B th ng tr n; b/ Đi tuy n ch th ng cĩ m t tr n. Gi i Đt Mi : “v n đ ng viên i th ng” v i i∈{ A, B } Theo đ bài ta cĩ: PM()()A=0,8; PMM BA / = 0,6; PMM( B /A ) = 0,3 a/ Xác su t B th ng tr n là: PM()()B= PMPM() ABA |. M + PM( A) . PM( BA | M ) = 0,54 8
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân b/ Đt D : “ đi tuy n ch th ng 1 tr n” Xác su t đ i tuy n ch th ng 1 tr n là: PD( ) = PMM( A B) + PMM( A B) =− PM( A) PMM( AB .) +− PM( B) PMM( AB . ) =PM( A) + PM( B) −2. PMM( AB .) =+−= 0,8 0,54 2.0,48 0,38 ` 1.16. Đ thành l p đ i tuy n qu c gia v m t mơn h c, ng ưi ta t ch c m t cu c thi tuy n g m 3 vịng. Vịng th nh t l y 80% thí sinh; vịng th hai l y 70% thí sinh đã qua vịng th nh t và vịng th ba l y 45% thí sinh đã qua vịng th hai. Đ vào đưc đ i tuy n, thí sinh ph i v ưt qua đưc c 3 vịng thi. Tính xác su t đ mt thí sinh b t k ỳ a/ Đưc vào đi tuy n; b/ B lo i vịng th ba. Gi i Đt Ai : “thí sinh đưc ch n vịng i ” v i i ∈{1,2,3 } Theo đ bài ta cĩ: PA( 1) =0,8; PAA( 21 |) = 0,7; PAAA( 312 |) = 0,45 a/ Xác su t đ thí sinh đĩ đưc vào đi tuy n là PAAA= PA. PA | A . PA | AA = 0,8.0,7.0,45 = 0,252 ( 123) ( 1) ( 21) ( 312 ) b/ Xác su t đ thí sinh đĩ b lo i vịng th III là PAAA( 123 ) = PA()() 1. PA 21 /. A PA( 3 / AA 12 ) =PAPAA( 1).( 21 |) .1( − PAAA( 312 |)) == 0,8.0,7.0,55 0,308 1.17. Đ thành l p đ i tuy n qu c gia v m t mơn h c, ng ưi ta t ch c m t cu c thi tuy n g m 3 vịng. Vịng th nh t l y 80% thí sinh; vịng th hai l y 70% thí sinh đã qua vịng th nh t và vịng th ba l y 45% thí sinh đã qua vịng th hai. Đ vào đưc đ i tuy n, thí sinh ph i v ưt qua đưc c 3 vịng thi Tính xác su t đ mt thí sinh b t k ỳ a/ Đưc vào đi tuy n; b/ B lo i vịng th hai, bi t r ng thí sinh này b lo i. Gi i Đt Ai : “thí sinh đưc ch n vịng i ” v i i ∈{1,2,3 } Theo đ bài ta cĩ: PA=0,8; PAA | = 0,7; PAAA | = 0,45 ( 1) ( 21) ( 312 ) a/ Xác su t đ thí sinh đĩ đưc vào đi tuy n là PAAA= PA. PA | A . PA | AA = 0,8.0,7.0,45 = 0,252 ( 123) ( 1) ( 21) ( 312 ) b/ Đt K: “Thí sinh đĩ b lo i” PK( ) =+ PA( 1) PAA( 1 2) + PAAA( 12 3 ) =−+−1 PA( 1) PA( 1) PAA( 12) + PAAA( 12 3 ) 9
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân =−1PA()()1 . PA 21 / A + PAAA( 12 3 ) =−+= 10,8.0,70,3080,748 Vy, xác su t đ thí sinh đĩ b lo i vịng II, bi t r ng thí sinh đĩ b lo i là: PAK( 2.) PAA( 1 . 2) PAPAA() 1 .|( 2 1 ) 0,8() 1− 0,7 P() A2 | K === = = 0,3209 PK() PK() PK() 0,748 1.18. Mt lơ hàng cĩ 9 s n ph m gi ng nhau. M i l n ki m tra, ng ưi ta ch n ng u nhiên 3 s n ph m; ki m tra xong tr s n ph m l i lơ hàng. Tính xác su t đ sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph m đ u đưc ki m tra. Gi i Chia 9 s n ph m thành 3 nhĩm. G i A : “Ki m tra nhĩm i ” i ∈ 1,2,3 i { } Đt A :”Sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph m đ u đưc ki m tra” C3 C 3 5 PAAA() = PAPA()(|)( APA | AA ) = 1.6 . 3 = 123 1 21 312 3 3 1764 C9 C 9 1.19. Mt l p h c c a Tr ưng Đ i h c AG cĩ 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là n sinh viên. S sinh viên quê An Giang chi m t l 40% trong n sinh viên, và chi m t l 60% trong nam sinh viên. a) Ch n ng u nhiên m t sinh viên c a l p. Tính xác su t đ ch n đưc m t sinh viên quê An Giang. N u bi t r ng sinh viên v a ch n quê An Giang thì xác su t đ sinh viên đĩ là nam b ng bao nhiêu? b) Ch n ng u nhiên khơng hồn l i hai sinh viên c a l p. Tính xác su t đ cĩ ít nh t m t sinh viên quê An Giang, bi t r ng l p h c cĩ 60 sinh viên. Gi i a) Đt : 2 A : “Ch n đưc sinh viên nam” P() A = 3 1 B : “Ch n đưc sinh viên n ” P() B = 3 C : “Ch n đưc sinh viên quê An Giang” 8 PC()=+= PAC()()()()()() PBC PAPCA | + PBPCB | = 15 PAC( ) PAPC ()(|)3 A Do đĩ, P( A | C ) = = = PC() PC () 4 b) Lp cĩ 60 sinh viên suy ra cĩ 40 sinh viên nam và 20 sinh viên n S sinh viên Nam quê An Giang: 24 S sinh viên N quê An Giang: 8 Nên t ng s sinh viên quê An Giang là 32 sinh viên F : “ít nh t m t sinh viên quê An Giang” C 2 232 PF()1=− PF ()1 =−28 = C 2 295 60 1.20. 10
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Cĩ ba h p A, B và C đng các l thu c. H p A cĩ 10 l t t và 5 l h ng, hp B cĩ 6 l t t và 4 l hng, h p C cĩ 5 l t t và 5 l h ng a/ L y ng u nhiên t m i h p ra m t l thu c, tính xác su t đ đưc 3 l cùng lo i. b/ L y ng u nhiên m t h p r i t h p đĩ l y ra 3 l thu c thì đưc 1 l t t và 2 l h ng. Tính xác su t đ h p A đã đưc ch n. Gi i a/ và Ai :“l l y ra t h p th i là t t” i ∈ {1,2,3 } Nên, xác su t đ đưc 3 l cùng lo i PAAA( 123123+ AAA ) = PAPAPA ()()() 1 2 3 + PAPAPA ()()() 1 2 3 1065 545 4 = + = 15 10 10 15 10 10 15 b/ Đt Hi :“L y đưc h p th i ” i∈ { ABC, , } ; X :“L y đưc 2 l h ng và 1 l tt” PX()= PHPXH( A) ( | AB) + PHPXH( ) ( | BC) + PHPXH( ) ( | C ) 21 21 21 1CC510 1 CC 46 1 CC 55 5113 =3 + 3 + 3 = 3C15 3 C 10 3 C 10 16380 Khi đĩ xác su t đ h p A đưc ch n PXH( ) PH( ) PXH( | ) 1200 P( H | X ) =A = A A == 0,2347 A PX( ) PX( ) 5113 1.21. Cĩ hai h p B và C đng các l thu c. H p B cĩ 6 l t t và 4 l h ng, h p C cĩ 5 l t t và 5 l h ng. L y ng u nhiên hai l thu c t h p B b vào h p C, r i ti p theo l y ng u nhiên m t l thu c t h p C thì đưc l h ng. Tính xác su t đ a/ L h ng đĩ là c a h p B b sang; b/ Hai l thu c b t h p B vào h p C đ u là l h ng. Gi i Gi Ck : “Hai l thuc l y t h p B b vào h p C cĩ k l h ng” k ∈ {0,1,2 } và đt D : “l thu c l y t h p C (sau khi đã b 2 l t B b sang) b h ng” 29 PD()= PCPDC()()()()()() | + PCPDC | + PCPDC | = 0 01 12 2 60 a/ l h ng đĩ là c a h p B b sang P( H D ) PC( ) PDC( |) + PC( ) PDC( | ) P( H | D ) =2 = 1 1 2 2 2 P( D ) P D () C1 C 11 C 2 260  4 =6 4. + 4 .  = C212 C 2 1229  29 10 10  11
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân b/ hai l thu c b t h p B vào h p C đ u là l h ng PCD( ) PC( ) PD( | C )  C 2 C 1  60 42 P(|) C D ==2 2 2 =4 . 7  = 2 P() D P D C2 C 1  29261 ( ) 10 12  1.22. Trong m t đ i tuy n cĩ 3 v n đ ng viên A, B và C thi đu v i xác su t chi n th ng l n l ưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s m i ng ưi thi đu m t tr n đ c l p nhau.Tính xác su t đ : a/ đi tuy n th ng ít nh t m t tr n, b/ đi tuy n th ng 2 tr n. Gi i Đt : A : “v n đ ng viên A chi n th ng” P( A ) = 0,6 B : “v n đ ng viên B chi n th ng” P A = 0,7 ( ) C : “v n đ ng viên C chi n th ng” P A = 0,8 ( ) a/ Gi K : “ đi tuy n th ng ít nh t 1 tr n” PK()=− 1 PABC( ) =− 1 PAPBPC ()()() = 0,976 b/ Gi E : “ đi tuy n th ng 2 tr n” PE()= PABC( ) + PABC( ) + PABC( ) = 0,452 1.23. Trong m t đ i tuy n cĩ 3 v n đ ng viên A, B và C thi đu v i xác su t chi n th ng l n l ưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s m i ng ưi thi đ u m t tr n đ c l p nhau.Tính xác su t đ : a/ Đi tuy n th ng ít nh t m t tr n, b/ A thua trong tr ưng h p đ i tuy n th ng 2 tr n. Gi i Đt : A : “v n đ ng viên A chi n th ng” P( A ) = 0,6 B : “v n đ ng viên B chi n th ng” P A = 0,7 ( ) C : “v n đ ng viên C chi n th ng” P A = 0,8 ( ) a/ Gi K : “ đi tuy n th ng ít nh t 1 tr n” PK()=− 1 PABC( ) =− 1 PAPBPC ()()() = 0,976 b/ A thua trong tr ưng h p đ i tuy n th ng 2 tr n Gi E : “ đi tuy n th ng 2 tr n” PE()= PABC( ) + PABC( ) + PABC( ) = 0,452 12
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân PAE(.) P ( ABC ) 56 P A| E = = =≈ 0,4956 ( ) PE() PE () 113 1.24. Trong n ăm h c v a qua, tr ưng đ i h c XYZ, t l sinh viên thi tr ưt mơn Tốn là 34%, thi tr ưt mơn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên tr ưt mơn Tốn, cĩ 50% sinh viên tr ưt mơn Tâm lý. G p ng u nhiên m t sinh viên ca tr ưng XYZ. a/ Tính xác su t đ anh ta tr ưt c hai mơn Tốn và Tâm lý; đu c hai mơn Tốn và Tâm lý. b/ Nu bi t r ng sinh viên này tr ưt mơn Tâm lý thì xác su t đ anh ta đ u mơn Tốn là bao nhiêu? Gi i T : “sinh viên thi tr ưt mơn Tốn” P( T ) = 0,34 và L : “sinh viên thi tr ưt mơn Tâm Lý” P L = 0,205 ( ) khi đĩ P( L | T )= 0,5 a/ Xác su t sinh viên tru t mơn c mơn Tốn và Tâm Lý PTL(.)= PTPLT( ) ( |) = 0,34.0,5 = 0,17 Xác su t sinh viên đu c mơn Tốn và Tâm Lý PTL( .) =− 1( PTL ∪=− )1 PT( ) − PL( ) + PTL( .) = 0,625 b/ Xác su t sinh viên đu mơn Tốn, bi t r ng tr ưt mơn Tâm Lý: P( TL ) P( L)− P( TL ) 7 P() T| L = = = . PL( ) PL( ) 41 1.25. Trong n ăm h c va qua, tr ưng đ i h c XYZ, t l sinh viên thi tr ưt mơn Tốn là 34%, thi tr ưt mơn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên tr ưt mơn Tốn, cĩ 50% sinh viên tr ưt mơn Tâm lý. Ch n ng u nhiên 12 sinh viên c a tr ưng XYZ. Nhi u kh n ăng nh t là s cĩ bao nhiêu sinh viên thi tr ưt c hai mơn Tốn và Tâm lý. Tính xác su t t ươ ng ng. Đáp s Gi T : “sinh viên thi tr ưt mơn Tốn” P( T ) = 0,34 và L : “sinh viên thi tr ưt mơn Tâm Lý” P L = 0,205 khi đĩ P( L | T )= 0,5 ( ) Xác su t sinh viên tru t mơn c mơn Tốn và Tâm Lý PTL(.)= PTPLT( ) ( |) = 0,34.0,5 = 0,17 Nên, Sinh viên tr ưt c Tốn và Tâm lý v i xác su t khơng đ i p = 0,17 . 13
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Do đĩ, ch n 12 sinh viên ngh ĩa là th c hi n 12 phép th Bernoulli v i xác su t thành cơng (tr ưt c Tốn và Tâm lý) khơng đi p = 0,17 .s sinh viên nhi u kh n ăng tr ưt c hai mơn n+1 p  = 13.0,17  = 2 . ( )    2 2 10 Xác su t t ươ ng ng là P12()()()2= C 12 0,17 .1 − 0,17 = 0,296 . 1.26. Trong năm h c v a qua, tr ưng đ i h c XYZ, t l sinh viên thi tr ưt mơn Tốn là 34%, thi tr ưt mơn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên tr ưt mơn Tốn, cĩ 50% sinh viên tr ưt mơn Tâm lý. Ph i ch n bao nhiêu sinh viên ca tr ưng XYZ sao cho, v i xác sut khơng bé h ơn 99%, trong s đĩ cĩ ít nh t mt sinh viên đu c hai mơn Tốn và Tâm lý. Gi i T : “sinh viên thi tr ưt mơn Tốn” P( T ) = 0,34 và L : “sinh viên thi tr ưt mơn Tâm Lý” P L = 0,205 ( ) khi đĩ P( L | T )= 0,5 Xác su t sinh viên đu c mơn Tốn và Tâm Lý PTL( .) =− 1( PTL ∪=− )1 PT( ) − PL( ) + PTL( .) = 0,625 Gi n là s sinh viên c n ch n. Xác su t đ sinh viên đu c hai mơn Tốn và Tâm Lý khơng đi p = 0,625 nên ta cĩ quá trình Bernoulli B( n, p ). Đt E : “ ít nh t m t sinh viên đu c hai mơn Tốn và Tâm Lý ”. Theo yêu c u bài tốn ta đưc n P( E) =−1 P n ( 0) =−− 1( 1 0,625) ≥ 0,99 n n ⇔≥0,01( 0,375) ⇔ ln0,01 ≥ ln0,375( ) ⇔≥n 4,69 Vy, ch n ít nh t 5 sinh viên. 1.27. Ba máy 1, 2 và 3 c a m t xí nghi p s n xu t, theo th t , 60%, 30% và 10% t ng s s n ph m c a m t xí nghi p. T l s n xu t ra ph ph m c a các máy trên, theo th t , là 2%, 3% và 4%. L y ng u nhiên m t s n ph m t lơ hàng c a xí nghi p, trong đĩ đ l n l n các s n ph m do 3 máy s n xu t. a/ Tính xác su t đ s n ph m l y ra là s n ph m t t. Ý ngh ĩa c a xác su t đĩ đ i v i lơ hàng là gì? b/ Nu s n ph m l y đưc là ph ph m, thì nhi u kh n ăng nh t là do máy nào s n xu t? Gi i Đt Mi : “s n ph m l y ra do máy i s n xu t” v i i ∈{1,2,3 } PM( 1) =0,6; PM( 2) = 0,3; PM( 3 ) = 0,1 Và T :“s n ph m l y ra là ph ph m” PTM( |1) = 0,98; PTM( | 2) = 0,97; PTM( | 3 ) = 0,96 14
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân a/ T :”s n ph m l y ra là s n ph m t t” PT PMPTM PMPTM PMPTM ( ) =( 1) ( | 12) +( ) ( | 23) +( ) ( | 3 ) = 0,975 Ý ngh ĩa, xác su t th hi n t l s n ph m t t c a lơ hàng. b/ Xác su t l y ra s n ph m là ph ph m PT( ) =1 − PT( ) = 0,025 Theo cơng th c Bayes PMT. PM PT | M ( 1) ( 1) ( 1 ) 0,6.0,02 P M| T == == 0,48 ()1 PT( ) PT( ) 0,025 PMT. PM PT | M ( 2) ( 2) ( 2 ) 0,3.0,03 P M| T == == 0,36 ()2 PT( ) PT( ) 0,025 PMT. PM PT | M ( 3) ( 3) ( 3 ) 0,1.0,04 P M| T == == 0,16 ()3 PT( ) PT( ) 0,025 Do đĩ, s n ph m do máy 1 s n xu t ra ph ph m nhi u nh t. 1.28. Chia ng u nhiên 9 t m vé s , trong đĩ cĩ 3 vé trúng th ưng, đ u cho 3 ng ưi (m i ng ưi 3 t m). Tính xác su t đ c 3 ng ưi đ u đưc trúng th ưng. Gi i Đt Ai : “Ng ưi mua vé th i đưc vé trúng th ưng” v i i ∈{1,2,3 } CC12 CC 12 CC 12 9 PAAA()()()()= PAPA| APA | AA =36 24 12 = 123 1 21 312 3 3 3 28 C9 C 6 C 3 1.29. Trong s các b nh nhân đang đưc điu tr t i m t b nh vi n, cĩ 50% điu tr b nh A, 30% điu tr b nh B và 20% điu tr b nh C. T i b nh vi n này, xác su t đ ch a kh i các b nh A, B và C, theo th t , là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính t l b nh nhân đưc ch a kh i b nh A trong t ng s b nh nhân đã đưc ch a kh i bnh trong b nh vi n. Gi i Đt Ti : “b nh nhân điu tr b nh i ” v i i∈{ ABC, , } K : “b nh nhân đưc kh i b nh” Theo đ bài ta cĩ: PT( A) =0,5; PT( B) = 0,3; PT( C ) = 0,2 và PKT( /A) = 0,7; PKT( / B) = 0,8; PKT( / C ) = 0,9 Xác su t đ b nh nhân kh i b nh là 15
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân C PK()()()=∑ PTPKTi. / i =++= 0,5.0,7 0,3.0,8 0,2.0,9 0,77 i= A Xác su t đ b nh nhân tr kh i b nh A là PT( ). PKT( | ) 0,5.0,7 P() T| K =A A = = 45,45% A P( K ) 0,77 1.30. Cĩ hai bình nh ư sau: Bình A ch a 5 bi đ , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B ch a 3 bi đ và 5 bi tr ng. Gieo m t con xúc x c vơ t ư: N u m t 3 ho c m t 5 xu t hi n thì ch n ng u nhiên m t bi t bình B; các tr ưng h p khác thì ch n ng u nhiên m t bi t bình A. Tính xác su t đ ch n đưc viên bi đ. N u viên bi tr ng đưc ch n, tính xác su t đ m t 5 c a con xúc x c xu t hi n. Gi i 1 Đt X : “Gieo con xúc x c đưc m t 3 ho ăc m t 5”, P( X ) = 3 D : “L y t bình ra m t bi là bi đ”. Ta cĩ 1C1 2 C 1 1 PD()= PXPDX ()(|) + PXPDX ()(|) =+= .3 . 5 31 3 1 3 C8 C 16 Gi T : “m t viên bi đưc ch n là bi tr ng” 1C1 2 C 1 1 PT()= PXPT ()(|) X + PXPT ()(|) X =+= .5 . 3 31 3 1 3 C8 C 16 Đt E : “gieo con xúc x c đưc m t 5”. Xác su t m t 5 xu t hi n, bi t r ng bi đưc ch n là bi tr ng là 1P( XT ) 1()(|)115PX PT X 5 P() E| T = = ==.3. . 2PT( ) 2 PT( ) 23816 1.31. Cĩ hai bình nh ư sau: Bình A ch a 5 bi đ , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B ch a 3 bi đ và 5 bi tr ng. Ly ng u nhiên 3 viên bi t bình A b vào bình B, r i t bình B l y ng u nhiên 1 viên bi thì đưc bi đ . Theo ý b n, viên bi đĩ v n thu c bình nào? Gi i Gi Ak : “ cĩ k bi đ trong 3 viên bi l y t bình A b vào bình B” v i k ∈{0,1,2,3 } Đt F : “L y m t bi t bình B ra là bi đ”. 3 C33 C 1 C 2 4 PF()= PAPFA ()(|) =++11 . 511 . ∑ k k C311 C 3 11 k=0 16 16 C2 C 15 C 3 6 63 +511. + 5 . = 311 3 11 176 C16 C 16 Đt G : “bi đ sau cùng l y t bình B”. 16
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân C 1 3 P( G ) =3 = 1 11 C11 P( GF) P( G ) 3 176 16 1 Do đĩ P(|) G F = = = . => . PF( ) PF( ) 11 63 21 2 Vy, bi đ sau cùng nhi u kh n ăng nh t là c a bình B. 1.32. Cĩ hai chu ng nuơi th . Chu ng th nh t cĩ 1 con th tr ng và 5 con th nâu; chu ng th hai cĩ 9 con th tr ng và 1 con th nâu. T m i chu ng b t ng u nhiên ra m t con đ nghiên c u. Các con th cịn l i đưc d n vào m t chu ng th ba. T chu ng th ba này l i b t ng u nhiên ra m t con th . Tính xác su t đ con th b t ra sau cùng là m t con th nâu. Gi i 5 Đt A : “Th b t chu ng 1 ra nghiên c u là th nâu ” P( A ) = 6 1 B : “Th b t chu ng 2 ra nghiên c u là th nâu” P( B ) = 10 Gi N : “Th b t chu ng 3 ra nghiên c u là th nâu ” PN()= PABN( ) + PABN( ) + PABN( ) + PABN( ) =PABPN( .) ( |. AB) + PABPN . |. AB + ( ) ( ) +PABPN( .) ( |. AB) + PABPN( .) ( |. AB ) =PAPBPN( ) ( ) ( |. AB) + PAPBPN |. AB + ( ) ( ) ( ) +PAPBPN( ) ( ) ( |. AB) + PAPBPN( ) ( ) ( |. AB ) 4 6 5 538 =PAPB()() + PAPB + PAPB() + PAPB() = 14( ) ( ) 14( ) 14( ) 14105 1.33. Ban giám đc m t cơng ty liên doanh v i n ưc ngồi đang xem xét kh năng đình cơng c a cơng nhân đ địi t ăng l ươ ng hai nhà máy A và B. Kinh nghi m cho h bi t cu c đình cơng nhà máy A và B x y ra l n l ưt v i xác su t 0,75 và 0,65. Ngồi ra, h c ũng bi t r ng n u cơng nhân nhà máy B đình cơng thì cĩ 90% kh n ăng đ cơng nhân nhà máy A đình cơng ng h . a/ Tính xác su t đ cơng nhân c hai nhà máy đình cơng. b/ N u cơng nhân nhà máy A đình cơng thì xác su t đ cơng nhân nhà máy B đình cơng đ ng h b ng bao nhiêu? Gi i Đt : A : “ Cơng nhân đình cơng nhà máy A” P( A )= 0,75 17
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân B : “Cơng nhân đình cơng nhà máy B” PB( )= 0,69; PAB( |) = 0,9 a/ Xác su t cơng nhân đình cơng 2 nhà máy là PAB( ) = PAPAB( ).( |) =06509 ,., = 0585 , b/ Nu cơng nhân nhà máy A đình cơng thì xác su t đ cơng nhân nhà máy B đình cơng là P( AB ) 0, 585 P() B| A = = = 0 , 78 P() A 0, 75 1.34. Mt nhân viên ki m tốn nh n th y 15% các b n cân đ i thu chi ch a các sai l m. Trong các b n ch a sai l m, 60% đưc xem là các giá tr b t th ưng so vi các s xu t phát t g c. Trong t t c các b n cân đ i thu chi thì 20% là nh ng giá tr b t th ưng. N u m t con s m t b ng cân đ i t ra b t th ưng thì xác su t đ s y là m t sai l m là bao nhiêu? Gi i Đt A : “b n cân đ i thu chi ch a sai l m” P( A )= 0,15 B : “b n cân đ i thu chi ch a giá tr b t th ưng” PB( )= 0,2; PBA( |) = 0,6 Xác su t 1 con s 1 b ng cân đ i t ra b t th ưng là 1 sai l m: PAB( ) PAPBA( ).( | ) 0, 15 . 0 , 6 P() A| B == == 0, 45 PB() PB() 0, 2 1.35. Mt hãng sn xu t m t lo i t l nh X ưc tính r ng kho ng 80% s ng ưi dùng t l nh cĩ đ c qu ng cáo t l nh do hãng y s n xu t. Trong s nh ng ng ưi đc qu ng cáo, cĩ 30% mua lo i t l nh X; 10% khơng đ c qu ng cáo c ũng mua lo i t l nh X. Tính xác su t đ m t ngưi tiêu dùng đã mua lo i t l nh X mà cĩ đc qu ng cáo. Gi i Đt A : “ng ưi đĩ đ c qu ng cáo” P( A )= 0,8 B : “ng ưi đĩ mua t l nh X” PBA()/=03 ,; PBA( /) = 01 , Tr ưc tiên tính xác su t đ ng ưi mua t l nh X PB()()=+= PAB PAB( ) PAPBA()()./ + PAPBA( ) ./( ) = 0 , 26 Xác su t đ 1 ng ưi tiêu dùng đã mua lo i t l nh X mà cĩ đc qu ng cáo: PAB( ) PAPBA( ).( | ) 0803, . , 12 P() A| B == == PB() PB() 026, 13 1.36. Trên m t b ng qu ng cáo, ng ưi ta m c hai h th ng bĩng đèn đc l p. H th ng I g m 4 bĩng m c n i ti p, h th ng II g m 3 bĩng m c song song. Kh năng b h ng c a m i bĩng trong 18 gi th p sáng liên t c là 0,1. Vi c h ng c a mi bĩng c a m i h th ng đưc xem nh ư đc l p. Tính xác su t đ a/ H th ng I b h ng; 18
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân b/ H th ng II khơng b h ng. Gi i a/ Đt Ai :”bĩng đèn th i trong h th ng I bi h ng” i ∈ {1,2,3,4 }. Xác su t h th ng I b h ng 4 PA()= PA (1234 +++=− A A A )1 PAAAA( 1234 ) =−= 10,9 0,3439 b/ Đt Bj :”bĩng đèn th j trong h th ng II bi h ng” j ∈ {1,2,3 }. Xác su t h th ng II khơng b h ng PB(123++=− B B ) 1 PBBB ( 123 . . ) =− 1 0,1.0,1.0,1 = 0,999 1.37. Trên m t b ng qu ng cáo, ng ưi ta m c hai h th ng bĩng đèn đc l p. H th ng I g m 4 bĩng m c n i ti p, h th ng II g m 3 bĩng m c song song. Kh năng b h ng c a m i bĩng trong 18 gi th p sáng liên t c là 0,1. Vi c h ng c a mi bĩng c a m i h th ng đưc xem nh ư đc l p. Tính xác su t đ a/ C hai h th ng b h ng; b/ Ch cĩ m t h th ng b h ng. Gi i a/ Đt Ai : “bĩng đèn th i trong h th ng I bi h ng” i ∈ {1,2,3,4 }. và Bj :”bĩng đèn th j trong h th ng II bi h ng” j ∈ {1,2,3 }. Xác su t h th ng I b h ng PA()= PA ( +++=− A A A )1 PAAAA =− 14.0,90,3439 = 1234( 1234 ) PB PBBB Xác su t h th ng II b h ng là: ( ) =(1 . 2 . 3 ) = 0,001 Nên, xác su t c hai h th ng b h ng là PAB( )= PAPB ( ) ( ) = 0,3439.0,001 = 0,0003439 b/ Xác su t ch cĩ m t h th ng b h ng PAB(+= AB ) PAPB ()() + PAPB ()() = 0,34212 1.38. Mt lơ hàng g m r t nhi u bĩng đèn, trong đĩ cĩ 8% bĩng đèn x u. M t ng ưi đ n mua hàng v i qui đ nh: Ch n ng u nhiên 10 bĩng đèn đem ki m tra và nu cĩ nhi u h ơn m t bĩng đèn x u thì khơng nh n lơ hàng. Tính xác su t đ lơ hàng đưc ch p nh n. Gi i Vi c ki m tra 10 bĩng đèn, ngh ĩa là th c hi n 10 phép th Bernoulli, v i xác su t “thành cơng” g p bĩng x u p = 0,08 (khơng đi). k k10 − k Khi đĩ Pk10 ( ;,008) = Cn 008092 , ., , k = 012 ,,, , 10 (k :s l n thành cơng trong 10 phép th ) Đt A : “nh n lơ hàng” 19
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân 10 9 1 PAP( ) =10(0;0,08) + P 10 ( 1;0,08) =−( 0,92) C 10 0,88.0,92( ) = 0,812 1.39. Mt nhĩm nghiên c u đang nghiên c u v nguy c ơ m t s c t i m t nhà máy đin nguyên t s gây ra s rị r phĩng x . Nhĩm nghiên c u nh n th y các lo i s c ch cĩ th là: ho ho n, s gãy đ c a v t li u ho c sai l m c a con ng ưi, và 2 hay nhi u h ơn 2 s c khơng bao gi cùng x y ra. Nu cĩ h a ho n thì s rị r phĩng x x y ra kho ng 20% s l n. N u cĩ s gãy đ c a v t li u thì s rị r phĩng x x y ra kho ng 50% s l n, và n u cĩ s sai l m c a con ng ưi thì s rị r s x y ra kho ng 10% s l n. Nhĩm nghiên c u cũng tìm đưc xác su t đ : Ho ho n và s rị r phĩng x cùng x y ra là 0,0010, gãy đ v t li u và s rị r phĩng x cùng x y ra là 0,0015, sai l m c a con ng ưi và s rị r phĩng x cùng x y ra là 0,0012. Tìm xác su t đ a/ cĩ ho ho n; cĩ gãy đ v t li u và cĩ sai l m c a con ng ưi; b/ cĩ m t s rị r phĩng x ; c/ m t s rị r phĩng x đưc gây ra b i s sai l m c a con ng ưi. Gi i Đt A : “x y ra h a ho n” B : “x y ra gãy đ” C : “x y ra sai l m c a con ng ưi” D : “s rị r phĩng x ” Ta cĩ PDA|= 0,2; PDB | = 0,5; PDC | = 0,1 ( ) ( ) ( ) PDA( ) =0,001; PDB( ) = 0,0015; PDC( ) = 0,0012 a/ Xác su t cĩ ho ho n là P( AD ) P() A = = 0, 005 P() D| A Xác su t cĩ gãy đ v t li u là P( BD ) P() B = = 0, 003 P() D| B và xác su t sai l m c a con ng ưi P( CD ) P() C = = 0, 0012 P() D| C b/ Xác su t cĩ s rị r phĩng x x y ra: PD( ) = PAD( ) + PBD( ) + PCD( ) =++0,, 001 0 0015 0 , 0012 = 0 , 0037 c/ Xác su t m t s rị r phĩng x đưc gây ra b i s sai l m c a con ng ưi là P( CD ) 0,0012 12 P( C | D ) = = = P( D ) 0,0037 37 1.40. 20
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Mt đ a ph ươ ng cĩ t l ng ưi dân nghi n thu c lá là 30%. Bi t r ng t l ng ưi b viêm h ng trong s ng ưi nghi n thu c lá là 60%, cịn t l đĩ trong s ng ưi khơng nghi n thu c lá là 40%. Ch n ng u nhiên m t ng ưi t đ a ph ươ ng trên. a/ Nu ng ưi đĩ b viêm h ng, tính xác su t đ ng ưi đĩ nghi n thu c lá. b/ Nu ng ưi đĩ khơng b viêm h ng, tính xác su t đ ng ưi đĩ nghi n thu c lá. Gi i Đt A : “ng ưi dân nghi n thu c lá” P( A ) = 0, 3 B : “ng ưi dân b viêm h ng” PBA()|=06 ,; PBA( |) = 04 , a/ Tr ưc tiên ta tính xác su t ng ưi này viêm h ng PB()()=+= PAB PAB( ) PAPBA( ).|( ) + PAPBA()() .| = 0 , 46 Xác su t đ ng ưi nghi n thu c lá n u b viêm h ng là PAB( ) PAPBA( ).( | ) 0306, . , 9 P() A| B == == PB() PB() 046, 23 b/ Xác su t đ ng ưi nghi n thu c lá n u khơng b viêm h ng là P( AB ) PA()()− PAB PA()()() − PAPBA. | 2 P() A| B == = = PB() PB() 1−P() B 9 1.41. Mt nhà xu t b n g i b n gi i thi u sách m i đ n 80% gi ng viên c a m t tr ưng đ i h c. Sau m t th i gian, nhà xu t b n nh n th y: Cĩ 30% gi ng viên mua sách trong s nh ng ng ưi nh n đưc b n gi i thi u, và trong s nh ng gi ng viên khơng nh n đưc b n gi i thi u, cĩ 10% mua sách . Tìm t l nh ng gi ng viên nh n đưc b n gi i thi u trong s nh ng ng ưi mua sách. Gi i Đt A : “gi ng viên nh n đưc b n gi i thi u sách m i” P( A ) = 0, 8 B : “gi ng viên mua sách” PBA()|=03 ,; PBA( |) = 01 , Tr ưc h t ta tính xác su t đ gi ng viên mua sách PB()=+= PAB( ) PAB( ) PAPBA( ) .|( ) + PAPBA( ) .|0,26( ) = Nên, xác su t đ gi ng viên nh n đưc b n gi i thi u trong s nh ng ng ưi mua sách: PAB( ) PAPBA( ).( | ) 0803, . , 12 P() A/ B == == PB() PB() 026, 13 1.42. Nhà tr ưng mu n ch n m t s h c sinh t m t t g m 7 nam sinh và 6 n.sinh. L n đ u ch n ng u nhiên 2 h c sinh; sau đĩ, ch n ti p 1 h c sinh n a. a/ Tính xác su t đ h c sinh đưc ch n l n sau là nam sinh. 21
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân b/ Bi t r ng h c sinh đưc ch n l n sau là n sinh, tính xác su t đ c hai hc sinh đưc ch n l n đ u đ u là nam sinh. Gi i k a/ Gi Ak : “ch n k hc sinh nam trong 2 h c sinh l n đ u” ∈{0,1,2 } C 2 C1 C 1 C 2 PA()=6 ;() PA =7 6 ;() PA = 7 02 1 2 2 2 C13 C 13 C 13 A :”h c sinh đưc ch n sau cùng là nam” PA PAPAA PAPAA PAPAA ( ) =()(|)0 0 + ()(|) 1 1 + ()(|) 2 2 C 2 7C1 C 1 6 C 2 57 =6 . +7 6 . + 7 . = C211 C 2 11 C 2 11 13 13 13 13 6 b/ Xác su t h c sinh ch n l n sau cùng là n là PA( )= 1- PA() = 13 nên xác su t đ 2 h c sinh đưc ch n l n đ u là nam: C 2 1 7 C 6 2. 1 PA(2 ). P A | A 2 () C13 C 11 7 P( A2 | A ) = = = P() A 6 22 13 1.43. S li u th ng kê v b nh lao ph i t i m t đ a ph ươ ng cho bi t: Cĩ 15% s ng ưi làm ngh đc đá (LN ĐĐ ) và b lao ph i; cĩ 50% s ng ưi khơng LN ĐĐ và khơng b lao ph i; cĩ 25% s ng ưi LN ĐĐ nh ưng khơng b lao ph i. Ngồi ra, t l nh ng ng ưi khơng LN ĐĐ nh ưng b lao ph i là 10%. Chúng ta cĩ th k t lu n gì v m i quan h gi a ngh đ c đá và b nh lao ph i? Gi i Đt D : “làm ngh đ c đá” L : “b lao ph i” Theo s li u đ bài ta cĩ: PDL( ) =0,15; PDL ( . ) = 0,5; PDL ( . ) = 0,25; PDL ( . ) = 0,1 Khi đĩ, PD()= PDL (.) + PDL( ) =+= 0,25 0,15 0,4 và PL()= PLD (.) + PDL( ) =+= 0,1 0,15 0,25 D th y PDL( ) =0,15 ≠ 0,4.0,25 = PDPL( ) () do đĩ b nh lao ph i cĩ liên quan đn ngh đ c đá. Xét P( LD ) P( LD ) PLD()|== 0,375; PLD() | == 0,2 P() D P( D ) 22
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Ta th y PLD( |) ≈ 2 PLD( | ). Ch ng t r ng, xác su t ng ưi b lao ph i khi ng ưi đĩ làm ngh đ c đá cao g n g p hai l n xác su t ng ưi b lao ph i nh ưng ng ưi đĩ khơng làm ngh đ c đá. 1.44. Gi s m t xét nghi m X cho k t qu d ươ ng tính (+) đi v i nh ng ng ưi nhi m HIV v i xác su t 95% và cho k t qu (+) đ i v i nh ng ng ưi khơng nhi m HIV v i xác su t 1%. M t ng ưi đ n t đ a ph ươ ng cĩ t l nhi m HIV là 1% đưc làm xét nghi m X và cho k t qu (+). Tính xác su t đ ng ưi này th c s nhi m HIV. Gi i Đt A : “Ng ưi b nhi m HIV đ n t đ a ph ươ ng” P( A ) = 0,01 B : “ng ưi đ n t đ a ph ươ ng làm xét nghi m X cho k t qu d ươ ng tính v i HIV” PB( ) = PAPBA( ).( |) + PAPBA( ) .( |) =+= 0,01.0,95 0,99.0,01 0,0194 Xác su t đ ng ưi đ n t đ a ph ươ ng cĩ t l 1% đưc xét nghi m và cho k t qu dươ ng tính là PA( ). PB ( | A ) 0,95.0,01 95 P( A | B ) = = = P() B 0,0194 194 1.45. Mt h p ch a 15 l thu c, trong đĩ cĩ 6 l h ng. L y l n l ưt t ng l khơng hồn l i đ ki m tra, cho đ n khi g p 3 l h ng thì d ng. a/ Tính xác su t đ vi c ki m tra d ng l i l th ba; l th sáu b/ Nu vi c ki m tra d ng l i l th sáu, tính xác su t đ l đưc ki m ra đu tiên là l h ng. Gi i Đt Ai :” l n ki m tra th i đưc l h ng” 654 4 a/ Xác su t đ vi c ki m tra d ng l i l th ba P() AA A =. . = 1 2 3 15 14 13 91 Đt A :” ki m tra liên ti p 5 l n đưc 2 l h ng và 3 t t” C3 C 21260 C 1 4 PA()=9 6 = ;() PA == 4 530036 1 10 C15 C 10 24 C :”ki m tra d ng l i l th sáu” PC()= PAA() = PAPA ()() = 6 6 143 b/ Vic ki m tra d ng l i l th sáu, xác su t đ l đưc ki m ra đ u tiên là l hng. PAPC( ) ( | A) PAPDPA( ) ( ) ( ) P() A| C =1 1 = 1 6 1 PC( ) PC( ) 23
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân 6C1 C 3 4 .5 9 . 15C 4 10 71 =14 = ≈ 0,4 24 225 143 1.46. T m t lơ hàng cĩ r t nhi u quy n v v i t l v h ng là 5%, ng ưi ta ch n ng u nhiên t ng quy n v đ ki m tra. a/ Hi ph i ki m tra ít nh t bao nhiêu quy n v đ xác su t cĩ ít nh t m t quy n v h ng khơng bé h ơn 90% ? b/ Gi s vi c ki m tra s d ng l i khi phát hi n 3 quy n v h ng. Tính xác su t đ vi c ki m tra d ng l i l n ki m tra th 10, Gi i Gi p là xác su t v h ng trong m i lơ hàng. p = 0,05 và g i n là s quy n v c n ki m tra. Ta cĩ dãy phép th Bernoulli v i xác su t thành cơng (v hng) là 0,05. Do đĩ, Pn ( k ;0,05 ) a/ Đt A : “ít nh t m t quy n v h ng” n PAP()=− 1n ( 0;0,05) =− 1( 0,95) ≥⇔≥ 0,9 n 44,98 Nên ph i ki m tra ít nh t 45 quy n v . b/ Vi c ki m tra phát hi n 3 quy n v h ng suy ra 9 l n ki m tra đ u phát hi n 2 quy n v h ng và l n th 10 ph i là v h ng. ĐtB :”ki m tra d ng l i l n th 10” PBP C 2 2 7 ( ) =9(2;0,05) .0,05 =( 9 0,050,95) .0,05 = 0,003143 . 1.47. Hp th nh t cĩ 8 s n ph m lo i A và 2 s n ph m lo i B ; h p th hai cĩ 5 sn ph m lo i A và 3 s n ph m lo i B . L y ng u nhiên t mi h p ra 2 s n ph m. a/ Tính xác su t đ đưc 3 s n ph m lo i A ; b/ Gi s l y đưc m t s n ph m lo i B và 3 s n ph m lo i A . Nhi u kh n ăng là s n ph m lo i B thu c h p nào? T i sao? Gi i Ly ng u nhiên t m i h p ra 2 sp v i i ∈ {0;1;2} và j ∈ {0;1;2} Đt Ai :” l y đưc i sp lo i A t h p th nh t” Bj :” l y đưc j sp lo i A t h p th hai” a/ C : “ly đưc 3 sp lo i A và 1 sp lo i B ” C2 CC 11. CC 11 . C 2 29 PC()()()=+= PAB PAB 8. 53 + 82 . 5 = 21 12 2 2 22 63 C10 C 8 CC 10 8 PH PH B b/ Gi ( 1), ( 2 ) ln l ưt là xác su t đ sp lo i thu c h p th nh t và h p th hai 24
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân C1 C 1 C 2 8. 2 5 2. 2 P() A1 B 2 C C 8 Ta cĩ P() H = =10 8 = 1 P() C 29 29 63 C2 C 1 C 1 8 5. 3 2. 2 P() A2 B 1 C C 21 P() H = =10 8 = 2 P() C 29 29 63 PH PH B Ta th y ( 1) ( 2 ) nên sp lo i nhi u kh n ăng thu c h p th nh t. 1.49. 25
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Mt nhà máy s n xu t linh ki n đin t v i 96% s n ph m cĩ ch t l ưng cao. M t qui trình ki m tra ch t l ưng s n ph m cĩ đ c đim: 2% s n ph m cĩ ch t l ưng cao l i khơng đưc cơng nh n và 5% s n ph m khơng cĩ ch t l ưng cao l i đưc cơng nh n. Hãy tính xác su t đ sau khi ki m tra, m t s n ph m đưc cơng nh n cĩ ch t l ưng cao đúng là s n ph m cĩ ch t l ưng cao. Gi i Gi A : “sp ch t l ưng cao” và B : “sp đưc cơng nh n” P( A ) = 0,96 , P( B| A ) = 0,02 và P( B| A ) = 0,05 P( AB ) P( A)− P( AB ) Ta cĩ P() B| A = = = 0,02 PA( ) PA( ) suy ra P( AB ) = 0,9408 . P( AB ) PB( ) − PAB( ) Li cĩ P() B| A = = = 0,05 PA( ) PA( ) suy ra P( B ) = 0,9428 Xs đ 1 sp đĩ đưc cơng nh n ch t l ưng cao đúng là sp ch t l ưng cao là P( AB ) 0,9408 P() A| B = = = 0,9978 P( B ) 0,9428 1.50. Gi s b n đem giao m t lơ hàng, r t nhi u s n ph m, mà b n bi t r ng nĩ cĩ t l ph ph m là 10%. Ng ưi nh n hàng đ ngh l y ng u nhiên 6 s n ph m đ ki m tra, và n u cĩ quá k ph ph m thì khơng nh n lơ hàng. B n đ ngh k b ng bao nhiêu đ v a thuy t ph c đưc ng ưi nh n, v a hy v ng kh n ăng lơ hàng khơng b t ch i ít nh t là 95%? Gi i T l ph ph m là p = 0,1 Vi c l y ng u nhiên 6 sp đ ki m tra ngh ĩa là th c hi n 6 phép th Bernoulli v i xs thành cơng (g p ph ph m) p = 0,1 (khơng đi). Ta đưc P k C k k6− k 6( ;0,1) = 6 .0,1 .0,9 Nh n xét: P P 6(0;0,1) + 6 ( 1;0,1) 0,95 nên theo yêu c u bài tốn k = 2 . 1.51. Mt khu dân c ư A cĩ t l m c b nh B là 30%. a/ Trong m t đ t điu tra, ng ưi ta ch n ng u nhiên 10 ng ưi. Tính xác su t trong đĩ cĩ nhi u nh t ba ng ưi m c b nh B. 26
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân b/ Đưc bi t trong khu v c đĩ cĩ 60% dân s cĩ chích ng a b nh B. T l ng ưi kháng b nh B đ i v i ng ưi đưc chích ng a là 95%. Cịn t l kháng b nh B đi v i ng ưi khơng chích ng a là 20%. Ch n ng u nhiên m t ng ưi th y ng ưi này khơng m c b nh B. Tính xác su t ng ưi này cĩ chích ng a. Gi i Gi B : “Ng ưi đưc ch n m c b nh B” P( B ) = 0,3 . Ch n ng u nhiên 10 ng ưi là th c hi n 10 phép th Bernuolli v i xác su t thành P B P k C k k10 − k cơng (m c b nh B) ( ) = 0,3 (khơng đi). Ta cĩ 10( ;0,3) = 10 .0,3 .0,7 . a/ Xác su t trong đĩ cĩ nhi u nh t ba ng ưi m c b nh B P0;0,3+ P 1;0,3 + P 2;0,3 + P 3;0,3 = 10( ) 10( ) 10( ) 10 ( ) =0,0282 + 0,1211 + 0,2335 + 0,2668 = 0,6496 b/ A :” chích ng a b nh B” P( A ) = 0,6 P( B| A ) = 0,95 và P( B| A ) = 0,2 Xác su t ch n ng u nhiên m t ng ưi th y ng ưi này khơng m c b nh B: PB( ) = PAPBA( ) ( |) + PAPBA( ) ( |) = 0,65 xác su t ng ưi này cĩ chích ng a: PAB( .) PAPB( ) .( | A ) 8 P() A| B = = = . PB( ) PB( ) 65 1.52. T l s n xu t ra ph ph m c a m t máy là 8%. Kh o sát m t lơ hàng g m 75 sn ph m do máy đĩ s n xu t ra. a/ Tính xác su t đ trong lơ hàng, cĩ 10 ph ph m b/ Trong lơ hàng, nhi u kh n ăng nh t là cĩ bao nhiêu ph ph m? Tính xác su t t ươ ng ng. Gi i Nu xem vi c máy s n xu t ra m t s n ph m là m t phép th Bernoulli, v i xác sut cho “thành cơng” là p = 0,08 , thì khi máy đĩ s n xu t 75 s n ph m, nĩ đã th c hi n quá trình P75 ( k ;0,08 ) a/ Xác su t ph i tính: 10 10 65 P75()10= C 75 (,).(,) 008 092 = 003941 , b/ S ph ph m nhi u kh n ăng nh t trong lơ hàng là: (75+ 1.0,08)  = 6 vi xác su t t ươ ng ng: 27
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân 6 6 69 P75(6)= C 75 (0,08) .(0,92) = 0,16745 1.53. Ng ưi ta mu n l y ng u nhiên m t s h t gi ng t m t lơ h t gi ng cĩ t l ht lép là 3% đ nghiên c u. H i ph i l y ít nh t bao nhiêu h t sao cho xác su t đ cĩ ít nh t m t h t lép khơng bé h ơn 95% ?. Gi i Gi n là s h t ph i l y, chúng ta cĩ Pn ( k ;0,03 ) . Xác su t đ cĩ ít nh t m t h t n lép là 1−−( 1 0,03 ) n =−1 () 0,97 . Theo gi thi t, chúng ta cĩ: n n ln 0,05 1−()() 0,97 ≥ 0,95 ⇔ 0,97 ≤ 0,05 ⇔n ≥ = 98,3523 ln 0,97 Vy, ph i l y ít nh t 99 h t gi ng. 28
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân CH ƯƠ NG 2: BI N NG U NHIÊN 2.1. Cĩ ba h p A, B và C đng các l thu c. H p A cĩ 10 l t t và 5 l h ng, hp B cĩ 6 l t t và 4 l h ng, h p C cĩ 5 l t t và 7 l h ng. Ly ng u nhiên t mi h p ra m t l thu c. a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s l thu c t t trong 3 l l y ra. b/ Tìm xác su t đ đưc ít nh t 2 l t t; đưc 3 l cùng loi. Gi i Gi X là bi n ng u nhiên ch s l thu c t t trong 3 l l y ra ImX = 0,1,2,3 . { } a) Ai : “ l thu c l y ra t h p th i là l t t”. 7 PX()==0 PAAA ( ) = PAPAPA . . = 123( 1) ( 2) ( 3 ) 90 59 PX()==1 PAAA ( + AAA + AAA ) = 123 123 123 180 77 PX()==2 PAAA ( + AAA + AAA ) = 123 123 123 180 1 PX()()()()==3 PAAA ( ) = PAPAPA . . = 123 1 2 3 6 Bng phân ph i xác su t c a X X 0 1 2 3 P X 7 59 77 1 ( ) 90 180 180 6 b) Xác su t đ đưc ít nh t 2 l t t 107 PX()()()≥=2 PX =+ 2 PX == 3 180 Xác su t đưc 3 l cùng loi 11 PX()()=+0 PX == 1 45 2.2. Trong m t đ i tuy n, 3 v n đ ng viên A, B và C thi đu v i xác xu t th ng tr n c a m i ng ưi l n l ưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t đ t thi đ u, m i v n đ ng viên thi đu m t tr n đ c l p nhau. a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a đ i tuy n. b/ Tính xác su t đ đ i tuy n thua nhi u nh t m t tr n. Tính xác su t đ đi tuy n th ng ít nh t m t tr n. Gi i a/ Gi X là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a đ i tuy n. 29
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân ImX = { 0,1,2,3} . Gi A : “Vn đ ng viên A th ng” B : “Vn đ ng viên B th ng” C : “Vn đ ng viên C th ng” Ta cĩ PX( ==0) PABC ( ) = PAPBPC .( ).( ) = 0,4.0,3.0,2 = 0,024. ( ) PX==1 PABC ( + ABC + ABC ) = 0,188. ( ) PX==2 PABC ( + ABC + ABC ) = 0,452. ( ) PX==3 PABC ( ) = PAPBPC .().() = 0,336. ( ) ( ) Bng phân ph i xác su t X : X 0 1 2 3 P( X ) 0,024 0,188 0,452 0,336 b/ Xác su t đ đ i tuy n thua nhi u nh t m t tr n: PX( ≥=2) PX( =+ 2) PX( == 30,788) Xác su t đ đ i tuy n th ng ít nh t m t tr n : PX≥=−1 1 PX = 0 = 0,976 ( ) ( ) 2.3. Trong m t đ i tuy n, 3 v n đ ng viên A, B và C thi đu v i xác xu t th ng tr n c a m i ng ưi l n l ưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t đ t thi đ u, m i v n đ ng viên thi đu m t tr n đ c l p nhau. a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a đ i tuy n. b/ Sau đt thi đu, đ i tuy n cĩ hai tr n th ng; tính xác su t đ A thua tr n. Gi i a/ Gi X là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a đ i tuy n. ImX = { 0,1,2,3} . Gi A : “Vn đ ng viên A th ng”; B : “Vn đ ng viên B th ng”; C : “Vn đ ng viên C th ng” Ta cĩ PX( ==0) PABC ( ) = PAPBPC .( ).( ) = 0,4.0,3.0,2 = 0,024. ( ) PX==1 PABC ( + ABC + ABC ) = 0,188. ( ) PX==2 PABC ( + ABC + ABC ) = 0,452. ( ) PX==3 PABC ( ) = PAPBPC .().() = 0,336. ( ) ( ) Bng phân ph i xác su t X : 30
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân X 0 1 2 3 P( X ) 0,024 0,188 0,452 0,336 b/ Xác su t đ A thua tr n, bi t r ng đ i tuy n cĩ hai tr n th ng PAX( .{ = 2}) PABC( ) 0,4.0,7.0,8 56 P A| X == 2 = = = () PX=2 PX = 2 0,452 113 ( ) ( ) 2.4. Trong m t đ i tuy n, 3 v n đ ng viên A, B và C thi đu v i xác xu t th ng tr n c a m i ng ưi l n l ưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t đ t thi đ u, m i v n đ ng viên thi đu m t tr n đ c l p nhau. a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a đ i tuy n. b/ Tính s tr n th ng trung bình và ph ươ ng sai c a s tr n th ng c a đ i tuy n. Gii a/ Gi X là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a đ i tuy n. ImX = { 0,1,2,3} . Gi A : “Vn đ ng viên A th ng”; B : “Vn đ ng viên B th ng”; C : “Vn đ ng viên C th ng” Ta cĩ PX( ==0) PABC ( ) = PAPBPC .( ).( ) = 0,4.0,3.0,2 = 0,024. ( ) PX==1 PABC ( + ABC + ABC ) = 0,188. ( ) PX==2 PABC ( + ABC + ABC ) = 0,452. ( ) PX==3 PABC ( ) = PAPBPC .().() = 0,336. ( ) ( ) Bng phân ph i xác su t X : X 0 1 2 3 P( X ) 0,024 0,188 0,452 0,336 b/ S tr n th ng trung bình E( X )= 0.0,024 + 1.0,188 + 2.0,452 + 3.0,336 = 2,1 và ph ương sai c a s tr n th ng c a đ i tuy n 2 DX( ) = EX( 2 ) − EX( ) = 0,61 Trong đĩ, E( X 22) =0.0,024 + 1.0,188 2 + 2 2 .0,452 + 3.0,336 2 = 5,02 . 2.5. Mt c ơ s s n xu t các bao k o. S k o trong m i bao là m t bi n ng u nhiên cĩ phân ph i xác su t nh ư sau: 31
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân S k o trong bao 18 19 20 21 22 Xác su t 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09 a/ Tìm trung bình và ph ươ ng sai c a s viên ko trong m i bao. b/ Chi phí s n xu t c a m bao k o là 3X + 16, trong đĩ X là bi n ng u nhiên ch s k o trong bao. Ti n bán m i bao k o là 100$. Khơng phân bi t s k o trong bao. Tìm l i nhu n trung bình và đ l ch chu n c a l i nhu n cho m i bao ko. Gi i Gi X là bi n ng u nhiên ch s k o trong bao. a/ Trung bình và ph ươ ng sai c a s viên ko trong m i bao : 22 EX()()=∑ iPX. = i = 19,87 i=18 và ph ươ ng sai c a s viên ko trong m i bao: 2 DX= EX2 − EX = 1,3531 ( ) ( ) ( ) b/ G i Y là bi n ng u nhiên ch li nhu n cho m i bao k o. Ta cĩ: Y=84 − 3 X li nhu n trung bình EYE=84 −=− 3 X 84 3 EX = 24,39 ( ) ( ) ( ) và đ l ch chu n c a l i nhu n cho m i bao k o σ Y= DY = D84 −= 3 X 3 DX = 3,48969 ( ) ( ) ( ) ( ) 2.6. Mt c ơ s s n xu t các bao k o. S k o trong m i bao là m t bi n ng u nhiên cĩ phân ph i xác su t nh ư sau: S k o trong bao 18 19 20 21 22 Xác su t 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09 a/ Tìm xác su t đ m t bao k o đưc ch n ng u nhiên s ch a t 19 đ n 21 viên k o. b/ Hai bao k o đưc ch n ng u nhiên. Tính xác sut đ ít nh t m t trong hai bao ch a ít nh t 20 viên k o. Gi i Gi X là bi n ng u nhiên ch s k o trong bao. a/ Xác su t đ bao đưc ch n ng u nhiên cĩ t 19 đ n 21 viên k o: P(19≤≤= X 21) PX =+ 19 PX =+ 20 PX == 21 0,77. ( ) ( ) ( ) b/ Đt A : “Bao ch a ít nh t 20 viên k o” P A =0,32 + 0,21 + 0,09 = 0,62 ( ) Xác su t đ ít nh t m t trong hai bao ch a ít nh t 20 viên k o: 32
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân PA+=+ AA PA( ) PAA. =+ PA( ) PAPA( ) = 0,8556 ( ) ( ) ( ) 2.7. Mt h p đ ng 5 s n ph m, trong đĩ cĩ hai ph ph m. Ng ưi ta l n l ưt ki m tra t ng s n ph m (khơng hồn l i) cho đ n khi g p hai ph ph m thì d ng li. Tìm lu t phân ph i xác su t cho s s n ph m đưc ki m tra. Tính s l n ki m tra trung bình. Gi i Goi X là BNN ch s s s n ph m ki m tra. ImX = { 2,3,4,5} . Ai :“ ln ki m tra l n th i đưc ph ph m”.(i = 1,2,3,4,5 ) 2 PX()()()()==2 PAA . = PAPAA | = 12 1 21 20 PX=3 = PAAA + PAAA ( ) ( 123) ( 123 ) 4 =PAPA|.|. APA AA + PAPA |.|. APA AA = ()1( 21) ( 312) ( 1) ( 21) ( 312 ) 20 Tươ ng t 6 8 PX()==4 ; PX() == 5 20 20 Bng phân ph i xác su t X : X 2 3 4 5 P X 2 4 6 8 ( ) 20 20 20 20 5 S l n ki m tra trung bình: EX()()=∑ iPX. = i = 4 i=2 2.8. Mt ng ưi điu khi n 3 máy t đ ng ho t đơng đ c l p v i nhau. Xác su t b h ng trong m t ca s n xu t c a máy 1,2 và 3 l n l ưt là 0,1; 0,2 và 0,3. a/ Lp b ng phân ph i xác su t cho s máy ho t đ ng t t trong m t ca sn xu t. b/ Sau s n xu t, ng ưi điu khi n báo r ng su t ca ch cĩ m t máy ho t đng t t. Tính xác su t đ máy ho t đ ng t t đĩ là máy m t. Gi i a/ Gi X là BNN ch s máy ho t đ ng t t trong 1 ca s n xu t. ImX = { 0,1,2,3} . Đt Ai “ máy th i b h ng trong 1 ca”. Suy ra, PA( 1) =0,9; PA( 2) = 0,8; PA( 3 ) = 0,7 PX( ==0) PAAA = PAPAPA . . = 0,1.0,2.0,3 = 0,006. ( 123) ( 1) ( 2) ( 3 ) 33
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân PX( =1) = PAPAPA( ) . . + 1( 2) ( 3 ) +PAPA. . PA + PAPA . . PA = 0,092. ( 123) ( ) ( ) ( 123) ( ) ( ) PX( =2) = PAPAPA( ) .( ) . + 1 2( 3 ) +PAPA. . PA + PAPA . . PA = 0,398. ( 123) ( ) ( ) ( 123) ( ) ( ) PX==3 PAAA = PAPAPA . . = 0,504. ( ) ( 123) ( 1) ( 2) ( 3 ) Bng phân ph i xác su t c a X : X 0 1 2 3 P( X ) 0,006 0,092 0,398 0,504 b/ Xác su t đ máy ho t đ ng t t đĩ là máy m t, bi t r ng su t ca ch cĩ m t máy ho t đ ng tt. P A. X = 1 P A. A . A ( 1 { }) ( 1 2 3 ) 0,9.0,2.0,3 27 P() A| X == 1 = = = 1 PX=1 PX = 1 0,092 46 ( ) ( ) 2.9. Mt ng ưi điu khi n 3 máy t đ ng ho t đơng đ c l p v i nhau. Xác su t b h ng trong m t ca s n xu t c a máy 1,2 và 3 l n l ưt là 0,1; 0,2 và 0,3. a/ Lp b ng phân ph i xác su t cho s máy ho t đ ng t t trong m t ca sn xu t. b/ Trung bình, trong m t ca, cĩ bao nhiêu máy ho t đ ng t t? Tính đ lch chu n c a s máy ho t đ ng t t trong m t ca s n xu t. Gi i a/ Gi X là BNN ch s máy ho t đ ng t t trong 1 ca s n xu t. ImX = { 0,1,2,3} . Đt Ai “ máy th i b h ng trong 1 ca”. Suy ra, PA( 1) =0,9; PA( 2) = 0,8; PA( 3 ) = 0,7 PX( ==0) PAAA = PAPAPA . . = 0,1.0,2.0,3 = 0,006. ( 123) ( 1) ( 2) ( 3 ) PX( =1) = PAPAPA( ) . . + 1( 2) ( 3 ) +PAPA. . PA + PAPA . . PA = 0,092. ( 123) ( ) ( ) ( 123) ( ) ( ) PX( =2) = PAPAPA( ) .( ) . + 1 2( 3 ) +PAPA. . PA + PAPA . . PA = 0,398. ( 123) ( ) ( ) ( 123) ( ) ( ) PX==3 PAAA = PAPAPA . . = 0,504. ( ) ( 123) ( 1) ( 2) ( 3 ) Bng phân ph i xác su t c a X : X 0 1 2 3 P( X ) 0,006 0,092 0,398 0,504 34
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân b/ Trung bình s máy ho t đ ng t t trong m t ca: E( X ) = 2,4 và đ l ch chu n c a s máy ho t đ ng t t trong m t ca s n xu t σ X = 0,6782 . ( ) 2.10. Mt cơng ty cĩ 3 t ng đ i lý. G i X, Y và Z theo th t là kh i l ưng hàng bán đưc trong m t này c a 3 t ng đ i lý trên (tính b ng t n). Bi t phân ph i xác su t c a các BNN X, Y và Z nh ư sau: xi 5 6 7 8 P( X= x i ) 0,1 0,3 0,4 0,2 yj 4 5 6 7 8 P Y y ( = j ) 0,15 0,2 0,4 0,1 0,15 7 8 9 10 zk 0,2 0,3 0,4 0,1 P( Z= z k ) Tính kh i l ưng hàng hĩa bán đưc trung bình trong m t tháng (30 ngày) ca cơng ty trên. Gi i Trung bình kh i l ưng hàng hĩa C bán đưc trong 1 tháng. 8 EX xPXx ()()=30.∑ i . = i = 201 x =5 i Trung bình kh i l ưng hàng hĩa Y bán đưc trong 1 tháng. 8 EY yPY y () =30.∑ j .() = j = 177 y =4 j Trung bình kh i l ưng hàng hĩa Z bán đưc trong 1 tháng. 10 EZ zPXz ()()=30.∑ k . = k = 252 z =7 k Nên khi l ưng hàng hĩa bán đưc trung bình trong 1 tháng c a cơng ty là EX+EY + EZ = 630 ( ) ( ) ( ) 2.11. Ti n hành kh o sát s khách trên m t chuy n xe buýt (SK/1C) t i m t chuy n giao thơng, ng ưi ta thu đưc s liêu sau: SK/1C 25 30 35 40 45 Xác su t 0,15 0,2 0,3 0,25 0,1 a/ Tính k ỳ v ng và đ l ch chu n c a SK/1C. b/ Gi s chi phí cho m i chuy n xe buýt là 200 ngàn đng, khơng ph thu c vào s khách đi trên xe, th cơng ty ph i quy đnh giá vé là bao nhiêu đ cĩ th thu đưc s ti n l i trung bình cho m i chuy n xe là 100 ngàn đng? 35
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Gi i Gi X là BNN ch s khách trên m t chuy n xe. ImX = { 25;30;35;40;45} . a/ K ỳ v ng c a SK/1C: E X = 34,75 ( ) 2 Đ l ch chu n ca SK/1C.: σ (X) = DX( ) = EX2 − EX( ) = 6,0156 ( ) b/ G i Y là BNN ch s ti n l i cho m i chuy n xe. Y= n. X − 200 trong đĩ, n (đng) là s ti n quy đ nh giá vé. Yêu c u bài tốn, EYEnX( ) =( . −=⇔ 200) 100 nEX( ) =⇔≈ 300 n 8,6 . Vy, cơng ty ph i quy đnh giá vé là 8,6 đng. 2.12. Mt ng ưi tham gia trị ch ơi gieo 3 đng ti n vơ t ư. Anh ta đưc 500 đ n u xu t hi n 3 m t s p, 300 đ n u xu t hi n 2 m t s p, và 100 đ n u ch cĩ m t m t s p xu t hi n. M c khác, anh ta m t 900 đ n u xu t hin 3 m t ng a. Trị ch ơi này cĩ cơng b ăng v i ng ưi này khơng? ( Trị ch ơi đưc g i là cơng b ng đ i v i ng ưi ch ơi n u tham gia ch ơi nhi u l n thì trung bình anh ta hịa v n). Gi i Gi X là bi n ng u nhiên ch s ti n nh n đưc khi tham gia trị ch ơi ImX = − 900; 100;300;500 . { } Đt Ai :”Gieo l n th i xu t hi n m t s p” i ∈ {1;2;3 } 1 PX=−=900 PAAA = PAPAPA . = () ( 123) ( 1) ( 2) ( 3 ) 8 1 3 PX==100 PAAA + PAAA + PAAA == 3. () ( 123) ( 123) ( 123 ) 8 8 3 1 Tươ ng t , PX()=300 = ; PX ( = 500) = 8 8 Bng phân ph i xác su t c a X X -900 100 300 500 1 3 3 1 P( X ) 8 8 8 8 Và E( X ) = 100 nên m i l n ch ơi anh ta th ng đưc 100 đ. V y trị ch ơi khơng cơng b ng. 2.13. Mt ng ưi tham gia trị ch ơi sau: Gieo m t con xúc x c vơ t ư ba l n đ c l p nhau. N u xu t hiên “ m t 1” c 3 l n thì đưc th ưng 6 ngàn đng; n u xu t hi n “ m t 1” 2 l n thì đưc th ưng 4 ngàn đng; xu t hi n “m t 1” 1 l n thì đưc th ưn 2 ngàn đng; khi khơng cĩ “m t 1” nào xu t hi n thì khơng đưc th ưng. Mi l n tham gia trị ch ơi, ng ưi ch ơi ph i đĩng M ngàn đng. Hãy đnh M đ trị ch ơi cơng b ng. 36
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Gi i Gi X là BNN ch s ti n cịn l i sau m i l n tham gia trị ch ơi. ImX= M − 6; M − 4; M − 2; M { } Ta cĩ 111 1 151 5 P( X=−= M 6) . . = ; P( X=−= M 4)3 = 3. 6 6 6 63 6 6 6 63 155 5 2 53 P( X=−= M 2) 3. . . = 3. ; P( X= M ) = 6 6 6 63 63 Bng phân ph i xác su t c a X X M − 6 M − 4 M − 2 M 1 5 52 53 P( X ) 3. 3. 63 63 63 63 216 và E() X=() M − 1 . 63 Trị ch ơi cơng b ng EX( ) =⇔0 M −=⇔ 10 M = 1 . Vy, m i l n ch ơi ng ưi tham gia đĩng 1 ngàn đng thì trị ch ơi cơng b ng. 2.14. Theo th ng kê dân s , xác su t đ m t ng ưi đ tu i 40 s sng thêm 1 năm n a là 0,995. M t cơng ty b o hi m nhân th bán b o hi m m t n ăm cho nh ng ng ưi đ tu i đĩ là 10 ngàn, và trong tr ưng h p ng ưi mua b o hi m b ch t thì s ti n b i th ưng là 1 tri u. H i l i nhu n trung bình c a cơng ty khi bán mi th b o hi m là boa nhiêu? Gi i Gi X là BNN ch l i nhu n c a cơng ty khi bán m i th b o hi m. ImX = − 990;10 { } Bng phân ph i xác su t c a X X −990 10 P( X ) 0,995 0,005 và E( X ) = 5. Vy, trung bình cơng ty l i 5 ngàn đng khi bán 1 th b o hi m. 2.15. S l ưng xe ơ tơ mà m t đ i lý bán đưc trong m t tu n là m t BNN cĩ phân ph i xác su t nh ư sau: S xe bán đưc 0 1 2 3 4 5 Xác su t t ươ ng ng 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 a/ Tính xác su t đ đ i lý đĩ bán đưc nhi u nh t 3 xe trong m t tu n. Tính k ỳ v ng và ph ươ ng sai c a s xe mà đi lý bán đưc trong m t n ăm. 37
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân b/ Gi s chi phí cho ho t đ ng c a đ i lý b ng c ăn b c hai c a s xe bán đưc v i 5 (tri u đ ng). Tìm chi phí cho ho t đ ng trung bình cho ho t đ ng c a đi lý trong m t tu n. Gi X là BNN s xe bán ra trong 1 tu n. a/ Xác su t đ đ i lý đĩ bán đưc nhi u nh t 3 xe trong m t tu n PX( ≤=−31) PX( =− 4) PX( == 50,6) Kỳ v ng và ph ươ ng sai c a s xe mà đi lý bán đưc trong m t n ăm. EX( ) =2,8; DX( ) = 2,16 b/ G i là chi phí cho ho t đ ng c a đ i lý trong 1 tu n Y= X + 5 Nên chi phí cho ho t đ ng trung bình cho ho t đ ng c a đ i lý trong m t tu n EY() = E X +5 = 6,55 ( ) 2.16. 2x , x ∈[ 0;1 ] Cho hàm f( x ) =  0 ,x ∉[] 0;1 a/ Ch ng t f( x ) là hàm m t đ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c X . b/ Tìm hàm phân ph i xác su t F( x ) c a X 1  c/ Tính xác su t P0 1  1 1  2 1 c/ P0 1 Cho hàm f( x ) =  x3 0 ,x ≤ 1 a/ Ch ng t f( x ) là hàm m t đ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c X b/ Tìm hàm phân ph i xác su t F( x ) ca X . c/ Tính xác su t P(0< X < 3 ) Gi i 38
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân +∞ +∞ 2 1 b  a/ f( x )≥ 0, ∀ x ∈ và f() x dx= dx =− 2lim  = 1 . Do đĩ, f( x ) là ∫ ∫ 3b→+∞ 2 −∞ 1 x2 x 1  hàm m t đ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c X . 0 ,x ≤ 1 x   1 b/ Fx() =∫ ftdt() =− 12 ,1 1 Cho hàm f( x ) =  x3 ( a là h ng s ) 0 ,x ≤ 1 a/ Tìm a đ f( x ) là hàm m t đ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c X b/ Tìm hàm phân ph i xác su t F( x ) ca X . Gi i a/ ∀∈xRfx,()0 ≥⇔≥ a 0 và +∞ +∞ a1 b  a fxdx( )= dx =− a lim   = . Do đĩ, f( x ) là hàm m t đ xác su t c a ∫ ∫ 3b→+∞ 2 −∞ 1 x2 x 1  2 a ≥ 0  mt bi n ng u nhiên liên t c X khi và ch khi a ⇔a = 2 .  = 1 2 0 ,x ≤ 1 x   1 b/ Fx() =∫ ftdt() =− 12 ,1 <<+∞ x −∞  x 1 , x = +∞  2.19. Cho X là bi n ng u nhiên liên t c cĩ hàm m t đ 2x , x ∈[ 0;1 ] f( x ) =  0 ,x ∉[] 0;1 Tìm k ỳ v ng và ph ươ ng sai c a X . Gi i +∞ 1 2 E() X= xf( x ) dx = 2 x2 dx = ∫ ∫ 3 −∞ 0 +∞ 1 1 EX()2=∫ xfxdx 2( ) = ∫ 2 xdx 3 = −∞ 0 2 do đĩ, 39
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân 2 1 4 1 DX() = EX()2 −() EX() =−= 2 9 18 2.20. Cho X là bi n ng u nhiên liên t c cĩ hàm m t đ 3x2 , x ∈[ 0;1 ] f( x ) =  0 ,x ∉[] 0;1 Tìm k ỳ v ng và ph ươ ng sai c a X . Gi i +∞ 1 3 E() X= xf( x ) dx = 3 x2 dx = ∫ ∫ 4 −∞ 0 +∞ 1 3 EX()2=∫ xfxdx 2( ) = ∫ 3 xdx 4 = −∞ 0 5 do đĩ, 2 3 9 3 DX() = EX()2 −() EX() =−= . 5 16 80 40
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Ch ươ ng 3: M T S PHÂN PH I TH ƯNG DÙNG 3.1. Mt ki n hàng cĩ 10 s n ph m, trong đĩ cĩ 8 s n ph m lo i A. L y ng u nhiên 2 s n ph m. Đ t X là bi n ng u nhiên ch s s n ph m lo i A cĩ trong các sn ph m l y ra. Tìm lu t phân ph i xác su t c a X . Tính E( X), DX( ) . Gi i Gi X là BNN ch s s n ph m lo i A trong các s n ph m l y ra l n th nh t. ImX = { 0;1;2 } k k −2 C8. C 2 M Ta cĩ X~ H ( 10;8;2 ) ta cĩ PXk(== )2 ; p == 0,8 C10 N N− n 64 Nên E()()() X== np1,6; D X =− np 1 p = . N −1 225 3.2. Cĩ 2 ki n hàng, ki n th nh t và ki n th 2. Bi t r ng, ki n th hai cĩ 8 s n ph m, trong đĩ cĩ 5 s n ph m lo i A. L n đ u, l y ng u nhiên 2 s n ph m ki n th nh t b vào ki n th hai, sau đĩ l y ng u nhiên t ki n th hai ra 2 s n ph m. Đt X và Y l n l ưt là bi n ng u nhiên ch s s n ph m lo i A cĩ trong các s n ph m l y ra l n th nh t và l n th hai. Bi t r ng b ng phân ph i xác su t c a X X 0 1 2 P X 1 16 28 ( ) 45 45 45 Tìm lu t phân phi xác su t c a Y ; tính E( Y ) và D( Y ). Bài gi i Gi Y là BNN ch s s n ph m lo i A trong các s n ph m l y ra l n th hai. ImY = { 0;1;2 } 1 16 28 Ta th y PX()==0; PX() == 1; PX() == 2 45 45 45 Trong đĩ, 0 2 C5. C 5 10 6 3 PYX()===0|02 = ; PYX() === 0|1 ; PYX() === 0|2 C10 45 45 45 Mt khác 41
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân PY( ==0) PX( = 0.) PY( ==+= 0|0 X) PX( 1.) PY( == 0|1 X ) 190 +PX()() =2. PY = 0| X == 2 2025 997 838 Tươ ng t PY()==1 ; PY() == 2 . 2025 2025 Bng phân ph i xác su t c a Y Y 0 1 2 190 997 838 P( Y ) 2025 2025 2025 2673 Nên EY() = =1,32; DX() = 0,40525. 2025 3.3. Mt ki n hàng ch a 8 s n ph m, trong đĩ cĩ 3 s n ph m x u và 5 s n ph m tt. L y ng u nhiên t ki n hàng ra 4 s n ph m (khơng hồn l i). a/ Hãy l p b ng phân ph i xác su t cho s s n ph m x u cĩ trong 4 s n ph m l y ra, và tính xác su t đ trong đĩ cĩ ít nh t 2 s n ph m t t. b/ Đem 4 s n ph m v a l y ra đi bán. Bi t r ng bán m t s n ph m t t đưc li 50 ngàn đng, và bán m t s n ph m x u b l 15 ngàn đng. Tính l i nhu n thu đưc trung bình và đ l ch chu n c a l i nhu n khi bán 4 s n ph m trên. Gi i a/ G i X là BNN ch s s n ph m x u cĩ trong 4 s n ph m l y ra. ImX = { 0;1;2;3 } CC04.1 CC 13 . 6 CC 22 . 6 PX()==035 = ;1 PX() == 35 = ;2 PX() == 35 = ; C4 14 C4 14 C 4 14 8 8 8 3 1 C3. C 5 1 P() X =3 =4 = C8 14 Bng phân ph i xác su t c a X X 0 1 2 3 1 6 6 1 P( X ) 14 14 14 14 13 Xác su t đ cĩ ít nh t 2 s n ph m t t: PX()()≤2 =− 1 PX == 3 . 14 b/ G i Y là BNN ch l i nhu n thu đưc khi bán 4 s n ph m. Y=200 − 65 X 6 6 12 15 khi đĩ EX() =++=2. 3. 1,5; DXEXEX() =()2 −() = 14 14 14 28 42
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân EYE( ) =(200 −=− 65 X) 200 65 EX( ) = 102,5 và σ=(Y) DY( ) = D(200 −= 65 X) 65 DX( ) = 47,5735 3.4. Mt lơ hàng cĩ r t nhi u s n ph m, v i t l hàng gi là 30%. a/ L y ng u nhiên t lơ hàng ra 10 s n ph m, tính xác su t đ cĩ nhi u nh t 2 s n ph m gi . b/ Ng ưi ta l y ng u nhiên ra t ng s n ph m m t đ ki m tra cho đ n khi nào gp s n ph m gi thì d ng. Tìm lu t phân ph i xác su t và tính k ỳ v ng c a s sn ph m th t đã ki m tra Gi i Gi p là xác su t ch hàng gi trong 1 lơ hàng nên p = 0,3 . a/ G i X là BNN ch s s n ph m gi . X B (10;0,3 ) Xác su t đ cĩ nhi u nh t 2 s n ph m gi PX( ≤=2) PX( =+ 0) PX( =+ 1) PX( = 2 ) =+0,710 0,3.0,7 9 + 0,3 2 .0,7 8 = 0,0455 b/ G i Y1 là BNN ch s s n ph m th t đã ki m tra. Ta cĩ ImY1 = { 0;1;2; } Ta th y PY( 1==0) 0,3; PY( 1 == 1) 0,7.0,3 theo quy n p n P( Y1 = n ) = 0,7 .0,3 . Nên k ỳ v ng c a s s n ph m th t đã ki m tra: +∞ +∞ n−1 1 7 EY()()1===∑ nPYn. 1 0,7.0,3 ∑ n .0,7 = 0,21. 2 = n=0 n = 1 ()1− 0,7 3 3.5. Mt lơ hàng cĩ r t nhi u s n ph m, v i t l hàng gi là 30%. a/ L y ng u nhiên t lơ hàng ra 10 s n ph m, tính xác su t đ cĩ nhi u nh t 2 s n ph m gi . b/ Ng ưi ta l y ng u nhiên ra t ng s n ph m m t đ ki m tra cho đ n khi nào g p s n ph m gi thì d ng. Tìm lu t phân ph i xác su t và tính k ỳ v ng c a s sn ph m đã ki m tra. Gi i Gi p là xác su t ch hàng gi trong 1 lơ hàng nên p = 0,3 . a/ G i X là BNN ch s s n ph m gi . X B (10;0,3 ) Xác su t đ cĩ nhi u nh t 2 s n ph m gi 43
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân PX( ≤=2) PX( =+ 0) PX( =+ 1) PX( = 2 ) =+0,710 0,3.0,7 9 + 0,3 2 .0,7 8 = 0,0455 b/ G i Y2 là BNN ch s s n ph m đã ki m tra. Ta cĩ ImY2 = { 1;2;3; } n−1 PY( 2==1) 0,3; PY( 2 == 2) 0,7.0,3 theo quy n p P( Y2 = n ) = 0,7 .0,3 . Nên k ỳ v ng c a s s n ph m đã ki m tra: +∞ +∞ n−1 1 10 EY()()2=∑ nPYn. 2 == ∑ n .0,7 .0,3 = 0,3. 2 = n=1 n = 1 ()1− 0,7 3 3.6. Mt khách hàng mua xe t i m t đi lý, n u xe cĩ s c k thu t thì đưc quy n tr xe trong vịng 3 ngày sau khi mua và đưc l y l i nguyên s ti n mau xe. M i chi c xe b tr l i nh ư th làm thi t h i cho đ i lý 250 ngàn VN Đ. Cĩ 50 xe đưc bán ra. Xác su t đ m t xe b tr l i là 0,1. a/ Tìm k ỳ vong và ph ươ ng sai c a s xe b tr . Tính xác xu t đ cĩ nhi u nh t 2 xe b tr l i. b/ Tìm k ỳ v ng và đ l ch chu n c a t ng thi t h i mà t ng đ i lý ph i ch u do vi c tr l i xe. Gi i Gi p là xác su t đ m t xe b tr li. Nên p = 0,1 . Gi X là BNN ch s xe b tr l i. X B (50;0,1 ) ta th y ( n=>50 30;. np =≤ 5 5; npq =≤ 4,5 5 ) nên X Po (5) Suy ra E( X) == np5; D( X) = np( 1 −= p ) 4,5. Xác su t nhi u nh t 2 xe b tr l i: PX( ≤= 2) Po()()()0 (5) + Po 1 (5) + Po 2 (5) = 0,1246 b/ G i Y là BNN ch t ng thi t h i c a đ i lý ph i ch u do vi c tr l i xe. Y= 250 X suy ra EY( ) = E(250 X) = 250 EX( ) = 1250 và σ==(Y) DY( ) D(250 X) = 250 DX( ) = 530,330 3.7. Mt thí sinh tên M tham d m t k ỳ thi mơn XSTK . M ph i làm m t đ thi tr c nghi m khách quan g m 10 câu; m i câu cĩ 4 l i Gi i khác nhau, trong đĩ ch cĩ m t l i Gi i đúng. M s đưc ch m đ u n u tr l i đúng ít nh t 6 câu. (a) Gi s M khơng h c bài, mà ch ch n ng u nhiên l i Gi i trong c 10 câu. Tính xác su t đ M thi đ u. (b) Gi s M ch c ch n tr l i đúng đưc 2 câu; cịn các câu khác, M ch n ng u nhiên m t trong 4 l i Gi ải c a m i câu. Tính xác su t đ M thi r t. 44
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Gi ải Gi p là xác su t đ M tr l i đúng m t câu h i. Nên p = 0,25 . Gi X là BNN ch s câu tr l i đúng trong 10 câu. X B (10;0,25 ) . Đt A:”M thi đu” PAPX( ) =( ≥=6) PX( =+ 6) PX( =+ 7 ) +PX()()() =+8 PX =+ 9 PX == 10 0,0197 b/ M ch c ch n tr l i dung 2 câu, mà các câu đưc đ c l p nhau và xác su t tr li dung m i câu là 0,25. Do đĩ, Xác su t đ M r t trong tr ưng h p tr l i đúng 2 câu cĩ ngh ĩa là ta tính xác su t đ M r t trong 8 câu h Gi Y là BNN ch s câu tr l i đúng trong 8 câu. Y B (8;0,25 ) . Đt R :” M thi r t” PRPY( ) =( ≤=3) PY( =+ 0) PY( =+ 1) PY( =+ 2) PY( = 3 ) 008 335 =C80,25 0,75 ++ C 8 0,25 0,75 = 0,8862. 3.8. Mt thí sinh M tham d m t k ỳ . M ph i làm m t đ thi tr c nghi m khách quan g m 10 câu; m i câu cĩ 4 l i Gi i khác nhau, trong đĩ ch cĩ m t l i Gi i đúng. M s đưc ch m đ u n u tr l i đúng ít nh t 6 câu. a/ Gi s M khơng h c bài, mà ch ch n ng u nhiên l i Gi i trong c 10 câu. Tính xác su t đ M thi đ u. b/ H i M ph i d thi ít nh t m y l n đ xác su t cĩ ít nh t m t l n thi đ u khơng nh h ơn 97%? Gi ải a/ G i p là xác su t đ M tr l i đúng m t câu h i. Nên p = 0,25 . Gi X là BNN ch s câu tr l i đúng trong 10 câu. X B (10;0,25 ) . Đt A:”M thi đu” PAPX( ) =( ≥=6) PX( =+ 6) PX( =+ 7 ) +PX()()() =+8 PX =+ 9 PX == 10 0,0197 b/ G i n là s l n d thi c a M. Và B :“ít nh t m t l n đ u” PBPX( ) =−1( ==−− 0) 1( 1 0,0197)n ≥ 0,97 ⇔≥ n 176,238 Vy, M ph i thi th 177 l n. 3.9. Nhà máy d t mu n tuy n d ng ng ưi bi t rành v m t lo i s i. Nhà máy th thách ng ưi d tuy n 7 l n. M i l n nhà máy đem ra 4 s i gi ng nhau, trong đĩ ch cĩ m t s i th t và yêu c u ng ưi này ch n ra s i th t. N u ch n đúng ít 45
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân nh t 6 l n thì đưc tuy n d ng. M t ng ưi đ n xin tuy n d ng nĩi: "Ch c n nhìn qua là cĩ th phân bi t s i th t hay gi v i xác su t 80% ". a/ N u ng ưi này nĩi đúng kh n ăng c a mình thì xác su t đưc tuy n d ng là bao nhiêu? b/ Tính xác su t đ đưc tuy n d ng trong tr ưng h p, th t ra, ng ưi này khơng bi t gì v s i c . Gi i a/ Gi B :” n ăng l c nh n ra s i th t c a ng ưi d tuy n” suy ra P( B ) = 0,8 . Gi X là BNN ch s s i th t trong 7 l n th . X B (7;0,8 ) . Đt A:”Ng ưi này đưc ch n” 66 77 PAPX( ) ==+==( 6) PX( 7) C7 .0,8 .0,2 + C 7 .0,8 = 0,5767 b/ G i p là xác su t ch n đưc s i th t trong m t l n th (khơng bi t gì v s i). p = 0,25 . Khi đĩ X B (7;0,25 ) Đt A:”Ng ưi này đưc ch n” 66 77 PAPX( ) ==+==( 6) PX( 7) C7 .0,25 .0,75 + C 7 .0,25 = 0,0014. 3.10. T l thu c h ng lơ A là PA = 0,1 lơ B là PB = 0,08 và lơ C là PC = 0,15 . Gi s m i lơ cĩ r t nhi u chai thu c. a/ L y 3 chai lơ A. Tìm lu t phân ph i xác su t c a s chai h ng cĩ trong 3 chai. Tính xác su t đ cĩ 2 chai h ng; cĩ ít nh t 1 chai h ng. b/ Ph i l y bao nhiêu chai ( lơ A) đ xác su t cĩ ít nh t m t chai h ng khơng nh h ơn 94% ? Gi i a/ G i X là BNN ch s chai h ng cĩ trong 3 chai l y ra lơ A. ImX = { 0;1;2;3 } k k3− k Và X B (3;0,1 )vi PXkC( =) =3 0,1 .0,9 ( k ∈ { 0,1,2,3} ) Bng phân ph i xác su t c a X : X 0 1 2 3 P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001 Xác su t đ cĩ 2 chai h ng: P( X =2) = 0,027 và xác su t cĩ ít nh t 1 chai h ng PX( ≥=−1) 1 PX( = 0) = 0,271 . b/ G i n là s chai l y ra. Ta cĩ X B( n ;0,1 ) 1−P( X =≥ 0) 0,94 ⇔ 0,06 ≥ 0,9n ⇔≥ n 26,7 46
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Do đĩ, ít nh t l y 27 chai. 3.11. T l thu c h ng lơ A là PA = 0,1 lơ B là PB = 0,08 và lơ C là PC = 0,15 . Gi s m i lơ cĩ r t nhi u chai thu c. a/ L y 3 chai lơ A. Tìm lu t phân ph i xác su t c a s chai h ng cĩ trong 3 chai. Tính xác su t đ cĩ 2 chai h ng; cĩ ít nh t 1 chai h ng. b/ Ch n ng u nhiên 1 trong 3 lơ r i l y t lơ đĩ ra 3 chai. Tính xác su t đ cĩ ít nh t 1 chai h ng. Gi i a/ G i X là BNN ch s chai h ng cĩ trong 3 chai l y ra lơ A. ImX = { 0;1;2;3 } k k3− k Và X~ B ( 3;0,1 ) v i PXkC( =) =3 0,1 .0,9 ( k ∈ { 0,1,2,3} ) Bng phân ph i xác su t c a X : X 0 1 2 3 P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001 Xác su t đ cĩ 2 chai h ng: P( X =2) = 0,027 và xác su t cĩ ít nh t 1 chai h ng PX( ≥=−1) 1 PX( = 0) = 0,271 . b/ Ta cĩ X i là BNN ch s chai h ng cĩ trong 3 chai l y ra lơ i v i i ∈{1;2;3 } 1 Đt H :”lơ i đưc ch n” i∈{}1;2;3 ⇒ P() H = . và i i 3 Đt H :” ít nh t 1 chai h ng trong 3 chai l y ra” 3 1   PH() =∑ PHPHH()()i.| i = PX()()()1 ≥+≥+≥ 1 PX 2 1 PX 3 1  3 i=1 1   =−3PX()()()1 =− 0 PX 2 =+ 0 PX 3 = 0  3 1 =−1() 0,93 + 0,92 3 + 0,85 3 = 0,2927 3 3.12. T l thu c h ng lơ A là PA = 0,1 lơ B là PB = 0,08 và lơ C là PC = 0,15 . Gi s m i lơ cĩ r t nhi u chai thu c. L y m i lơ m t chai. Tìm phân ph i xác su t r i tính k ỳ v ng và ph ươ ng sai c a s chai h ng trong 3 chai l y ra. Gi i Gi Y là BNN ch s chai h ng cĩ trong 3 chai l y ra. 47
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân ImX = { 0;1;2;3 } PY( ==0) PX( 1 = 0) . PX( 2 = 0) . PX( 3 == 0) 0,7038 PY( ==1) PX( = 0.) PX( = 0.) PX( =+ 1 ) 1 2 3 +=PX()()10. PX 23 = 1. PX() =+= 0 PX()() 12 1. PX = 0. PX() 3 == 00,2636 Tươ ng t PY( ==2) 0,0314; PY( == 3) 0,0012 Y 0 1 2 3 P( Y ) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012 Suy ra E( Y ) =0,2636 + 2.0,0314 + 3.0,0012 = 0,33 và DY( ) =−= EY( 2 ) EY( )2 (0,2636 + 4.0,0314 + 9.0,0012) −= 0,332 0,2911. 3.13. T l thu c h ng lơ A là PA = 0,1 lơ B là PB = 0,08 và lơ C là PC = 0,15 . Gi s m i lơ cĩ r t nhi u chai thu c. a/ L y m i lơ m t chai. Tìm phân ph i xác su t c a s chai h ng trong 3 chai l y ra. b/ M t c a hàng nh n v 500 chai lơ A, 300 chai lơ B và 200 chai lơ C r i đ l n l n. M t ng ưi đ n mua 1 chai v dùng. Tính xác su t đ đưc chai t t. Gi i a/ G i Y là BNN ch s chai h ng cĩ trong 3 chai l y ra. ImX = { 0;1;2;3 } PY( ==0) PX( 1 = 0) . PX( 2 = 0) . PX( 3 == 0) 0,7038 PY( ==1) PX( = 0.) PX( = 0.) PX( =+ 1 ) 1 2 3 +=PX()()10. PX 23 = 1. PX() =+= 0 PX()() 12 1. PX = 0. PX() 3 == 00,2636 Tươ ng t PY( ==2) 0,0314; PY( == 3) 0,0012 Y 0 1 2 3 P( Y ) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012 b/ Đt A:” Ch n 1 chai h ng” PA( ) = PHPAH( 1) ( | 12) + PHPAH( ) ( | 23) + PHPAH( ) ( | 3 ) = 500 300 200 =.C1 .0,1.0,9 499 + . C 1 .0,08.0,92 299 + . C 1 .0,15.0,85 199 = 0,104 1000500 1000 300 1000 200 Do đĩ xác su t đưc 1 chai t t: PA( ) =1 − PA( ) = 0,896 48
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân 3.14. T l thu c h ng lơ A là PA = 0,1 lơ B là PB = 0,08 và lơ C là PC = 0,15 . Gi s m i lơ cĩ r t nhi u chai thu c. a/ Ch n ng u nhiên 1 trong 3 lơ r i l y t lơ đĩ ra 3 chai. Tính xác su t đ cĩ ít nh t 1 chai h ng. b/ M t c a hàng nh n v 500 chai lơ A, 300 chai lơ B và 200 chai lơ C r i đ l n l n. M t ng ưi đ n mua 1 chai v dùng. Tính xác su t đ đưc chai tt. Gi i 1 a/ Đt H :”lơ i đưc ch n” i∈{}1;2;3 ⇒ P() H = . và i i 3 Đt H :” ít nh t 1 chai h ng trong 3 chai l y ra” 3 1   PH() =∑ PHPHH()()i.| i = PX()()1 ≥+≥+≥ 1 PX 2 1 PX() 3 1  i=1 3 1   =−3PX()()1 =− 0 PX 2 =+ 0 PX() 3 = 0  3 1 =−1() 0,93 + 0,92 3 + 0,85 3 = 0,2927 3 Trong đĩ X i là BNN ch s chai h ng cĩ trong 3 chai l y ra lơ i v i i ∈{1;2;3 } b/ Đt A:” Ch n 1 chai h ng” PA( ) = PHPAH( 1) ( | 12) + PHPAH( ) ( | 23) + PHPAH( ) ( | 3 ) 500 300 200 =.C1 .0,1.0,9 499 + . C 1 .0,08.0,92 299 + . C 1 .0,15.0,85 199 1000500 1000 300 1000 200 = 0,104 Do đĩ xác su t đưc 1 chai t t: PA( ) =1 − PA( ) = 0,896 3.15. T l thu c h ng lơ A là PA = 0,1 lơ B là PB = 0,08 và lơ C là PC = 0,15 . Gi s m i lơ cĩ r t nhi u chai thu c. a/ L y 3 chai lơ A. Tìm lu t phân ph i xác su t c a s chai h ng cĩ trong 3 chai. Tính xác su t đ cĩ 2 chai h ng; cĩ ít nh t 1 chai h ng. Ph i l y bao nhiêu chai ( lơ A) đ xác su t cĩ ít nh t m t chai hng khơng nh h ơn 94% ? b/ M t c a hàng nh n v 500 chai lơ A, 300 chai lơ B và 200 chai lơ C r i đ l n l n. M t ng ưi đ n mua 1 chai v dùng. Tính xác su t đ đưc chai tt. 49
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Gi i a/ G i X là BNN ch s chai h ng cĩ trong 3 chai l y ra lơ A. ImX = { 0;1;2;3 } k k3− k Và X B (3;0,1 ) v i PXkC( =) =3 0,1 .0,9 ( k ∈ { 0,1,2,3} ) Bng phân ph i xác su t c a X : X 0 1 2 3 P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001 Xác su t đ cĩ 2 chai h ng: P( X =2) = 0,027 và xác su t cĩ ít nh t 1 chai h ng PX( ≥=−1) 1 PX( = 0) = 0,271 . Gi n là s chai l y ra. Ta cĩ X B( n ;0,1 ) 1−P( X =≥ 0) 0,94 ⇔ 0,06 ≥ 0,9n ⇔≥ n 26,7 Do đĩ, ít nh t l y 27 chai. b/ Đt A:” Ch n 1 chai h ng” PA( ) = PHPAH( 1) ( | 12) + PHPAH( ) ( | 23) + PHPAH( ) ( | 3 ) 500 300 200 =.C1 .0,1.0,9 499 + . C 1 .0,08.0,92 299 + . C 1 .0,15.0,85 199 1000500 1000 300 1000 200 = 0,104 Do đĩ xác su t đưc 1 chai t t: PA( ) =1 − PA( ) = 0,896 3.16. T l thu c h ng lơ A là PA = 0,1 lơ B là PB = 0,08 và lơ C là PC = 0,15 . Gi s m i lơ cĩ r t nhi u chai thu c. a/ L y 3 chai lơ A. Tìm lu t phân ph i xác su t c a s chai h ng cĩ trong 3 chai. Tính xác su t đ cĩ 2 chai h ng; cĩ ít nh t 1 chai h ng. b/ L y m i lơ m t chai. Tìm phân ph i xác su t c a s chai h ng trong 3 chai l y ra. c/ M t c a hàng nh n v 500 chai lơ A, 300 chai lơ B và 200 chai lơ C r i đ l n l n. M t ng ưi đ n mua 1 chai v dùng. Tính xác su t đ đưc chai tt. Gi i a/ G i X là BNN ch s chai h ng cĩ trong 3 chai l y ra lơ A. ImX = { 0;1;2;3 } k k3− k Và X~ B ( 3;0,1 ) v i PXkC( =) =3 0,1 .0,9 ( k ∈ { 0,1,2,3} ) 50
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Bng phân ph i xác su t c a X : X 0 1 2 3 P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001 Xác su t đ cĩ 2 chai h ng: P( X =2) = 0,027 và xác su t cĩ ít nh t 1 chai h ng PX( ≥=−1) 1 PX( = 0) = 0,271 . b/ G i Y là BNN ch s chai h ng cĩ trong 3 chai l y ra. ImX = { 0;1;2;3 } PY( ==0) PX( 1 = 0) . PX( 2 = 0) . PX( 3 == 0) 0,7038 PY( ==1) PX( 1 = 0.) PX( 2 = 0.) PX( 3 =+ 1 ) +=PX()()10. PX 23 = 1. PX() =+= 0 PX()() 12 1. PX = 0. PX() 3 == 00,2636 Tươ ng t PY( ==2) 0,0314; PY( == 3) 0,0012 Y 0 1 2 3 P( Y ) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012 c/ Đt A:” Ch n 1 chai h ng” PA( ) = PHPAH( 1) ( | 12) + PHPAH( ) ( | 23) + PHPAH( ) ( | 3 ) 500 300 200 =.C1 .0,1.0,9 499 + . C 1 .0,08.0,92 299 + . C 1 .0,15.0,85 199 1000500 1000 300 1000 200 = 0,104 Do đĩ xác su t đưc 1 chai t t: PA( ) =1 − PA( ) = 0,896 3.17. Gi s ngày sinh c a ng ưi dân trong m t thành ph l n cĩ th r ơi ng u nhiên vào m t ngày b t k ỳ trong m t n ăm (365) ngày. Ch n ng u nhiên 1095 ng ưi trong thành ph đĩ. Tính xác su t đ : a/ Cĩ hai ng ưi cĩ cùng ngày sinh đã cho. b/ Cĩ khơng quá 7 ng ưi cĩ cùng ngày sinh đã cho. Gi i Gi X là BNN ch s ng ưi cĩ cùng ngày sinh trong 1095 ng ưi . 1  X~ B  1095;  365  a/ Xác su t đ cĩ 2 ng ưi cĩ cùng ngày sinh đã cho: 51
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân 12 364 1093  1  PXC()==22  ≈ Po  1095.  = Po () 3 =0,2565 1095365 365 2  365  2 b/ Xác su t đ cĩ khơng quá 7 ng ưi cĩ cùng ngày sinh đã cho: PX( ≤=7) Po( 33) + Po( ) + Po( 33) + Po( ) + Po( 33) + Po ( ) 0 1 2 3 4 5 +Po6()()3 + Po 7 3 = 0,988 3.18. Mt tr m b ưu đin chuy n đin trong kho ng th i gian 10 -5 giây. Trong quá trình tránh đin cĩ các ti ng n ng u nhiên. S tín hi u n ng u nhiên trong 1 giây là 10 4 . n u trong th i gian truy n tín hi u cĩ dù cjir m t tín hi u n ng u nhiên thì trm s ng ng làm vi c. tính xác su t đ cho vi c truy n tính hi u b gián đon. bi t r ng s tín hi u n ng u nhiên r ơi vào trong kho ng th i gian truy n tín hi u là bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i poison. Gi i Gi X là BNN ch s các tín hi u n trong kho ng th i gian 10 −5 truy n tin. XPo~( 104 .10− 5 ) ⇔ XPo ~( 0,1 ) Trong đĩ, s tín hi u n trong kho ng th i gian 10 −5 giây truy n tin là 10.104− 5 = 0,1 . Do đĩ, xác su t vi c truy n tin b gián đon (0,1 )0 PX()()≥=−1 1 PX ==− 0 1 e −0,1 = 0,0952 0! 3.19. S l i trên 1 mét vuơng v i là m t bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i poison. Ki m tra lơ v i, ng ưi ta th y 98% cĩ l i. V y trung bình m i mét vuơng v i cĩ bao nhiêu l i? Gi i Gi X là BNN ch s l i trên 1mét vuơng v i X Po (λ) Lơ v i th y cĩ 98% l i PX( ≥=1) 0,98 ⇔− 1 PX( == 0) 0,98 ⇔ e −λ = 0,02 ⇔λ≈ 3,9 (1,5 đ) Vy, trung bình m i mét vuơng v i cĩ 3,9 l i. 3.20. Mt cơng nhân qu n lý 12 máy d t. Các máy d t ho t đ ng đc l p nhau, và xác su t đ m i máy, trong ca làm vi c, c n s ch ăm sĩc c a cơng nhân (vi t t t là CCN) là 0,3. 52
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân a/ Tính xác su t đ , trong ca làm vi c, cĩ a 1/ 4 máy CCN a 2/ t 3 đ n 7 máy CCN b/ Trung bình, trong ca làm vi c, cĩ bao nhiêu máy CCN? c/ Trong ca làm vi c, tìm s máy CCN nhi u kh n ăng nh t; tính xác su t tươ ng ng. Gi i. a/ G i X là BNN ch s máy CCN trong ca làm vi c thì X~ B ( 12;0,3 ) k k12 − k P(X= k ) = C12 (0,3) (0,7) , k ∈{ 0,1,2, ,12 } , k ∈ {0,1,2, ,12} a1/ Xác su t ph i tính: 4 4 8 P(X = 4) = C12 (0,3) (0,7 ) = 0,2 31 1 b2/ Xác su t ph i tính: 7 P(3≤≤=X 7)∑ P( X = k ) k = 3 = 0,2397 + 0,2311 + 0,1585 + 0,0792 + 0,0291 = 0,7376. b/ S máy CCN trung bình: E( X ) =12 × 0,3 = 3,6 c/ S máy CCN nhi u kh n ăng nh t: Mod( X ) =[13 × 0,3 ] = 3 . Xác su t t ươ ng ng: P( X =3) = 0,2397 . 3.21. Ng ưi ta mu n l y m t s h t lúa t m t kho lúa cĩ t l h t lép là 0,2 đ ki m tra. Bi t r ng kho lúa cĩ r t nhi u h t. a/ Ph i l y ít nh t bao nhiêu h t lúa đ xác su t cĩ ít nh t m t h t lép khơng bé h ơn 95% ? b/ L y ng u nhiên 100 h t lúa, tính xác su t đ trong đĩ cĩ 25 h t lép; cĩ t 10 đn 40 h t lép. Gi i. a/ G i n là s h t lúa c n l y. Vì s h t lúa trong kho r t l n, nên các l n l y xem nh ư đc l p. Xác su t đ trong n h t lúa l y ra, khơng cĩ h t lép nào là (0,8) n. Theo gi thi t: 53
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân n n ln (0,05) 1−()() 0,8 ≥ 0,95 ⇔ 0,8 ≤ 0, 05 ⇔ n ≥ ln (0,8) Vy, ph i l y ít nh t 14 h t lúa. b/ G i X là bi n ng u nhiên ch s h t lép trong m u thì X~ Bnp( , ) , v i n =100 và p = 0,2 . Vì n>30;. n p = 20 > 5 và n.( 1− p ) = 80 > 5 nên chúng ta cĩ th áp d ng các cơng th c g n đúng DeMoivre − Laplace. (i) Xác su t đ cĩ 25 h t lép: 25 25 75 P(X = 25) = C100 (0,2) (0,8) = 0,04388 (ii) Xác su t đ cĩ t 10 đ n 40 h t lép: 40−× 100 0,2  10 −× 100 0,2  P(10≤ X ≤4 0 ) ≈ Φ  − Φ   100×× 0,2 0,8  100 ×× 0,2 0, 8  =Φ(5) −Φ− ( 2,5) =− 1 (1 −Φ (2,5)) =Φ (2,5) ⇒ P(10≤ X ≤ 40) ≈ 0,9938 3.22. Cn xét nghi m máu cho 5000 ng ưi đ tìm d u hi u m t lo i b nh B t i m t đ a ph ươ ng cĩ t l ng ưi m c b nh B theo th ng kê là 10%. Cĩ 2 ph ươ ng pháp: a/ Xét nghi m t ng ng ưi m t. b/ M i l n l y máu m t nhĩm 10 ng ưi tr n l n vào nhau r i xét nghi m. Nu k t qu âm tính thì thơng qua, n u d ươ ng tính thì ph i làm thêm 10 xét nghi m đ xét nghi m l i t ng ng ưi m t trong nhĩm. H i ph ươ ng pháp nào cĩ l i h ơn, bi t r ng m i xét nghi m đ u t n kém nh ư nhau và kh n ăng m c b nh c a m i ng ưi đ c l p nhau? Gi i. a/ N u dùng ph ươ ng pháp (1) thì ph i th c hi n 5000 xét nghi m. b/ Bây gi chúng ta xem ph ươ ng pháp (2): Đt X ch s nhĩm cĩ k t qu d ươ ng tính thì XB~( 500; 1 − (0,9 )10 ) Đt Y ch s xét nghi m theo ph ươ ng pháp (2) thì Y= 500 + 10 X S xét nghi m trung bình theo ph ươ ng pháp (2) là: EY( ) =+ 500 10 EX( ) =+ 500 50001( −( 0,9)10 ) ≈ 3775 . Vy, áp d ng theo ph ươ ng pháp (2) cĩ l i h ơn. 54
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân 3.23. M t c ơ s s n xu t, trung bình trong m t tu n, nh n đưc 4 đơn đt hàng. Bi t r ng s đơn đt hàng X mà c ơ s nh n đưc trong m t tu n là m t BNN cĩ phân ph i Poisson. Tính xác su t đ c ơ s đĩ a/ Nh n đưc h ơn 5 đơ n đt hàng trong m t tu n b/ Nh n đưc 6 đơn đt hàng trong hai tu n liên ti p Gi i. a/ X~ Po ( 4 ) . Xác su t ph i tính: PX( >5) =− 1 PX ( ≤ 5) 5 4k = 1− ∑ e − 4 =1 − 0,7851 = 0,214 9 k = 0 k! b/ G i Y là BNN ch s đơn đt hàng c a c ơ s trong hai tu n liên ti p thì Y~ Po ( 8 ). Xác su t ph i tính: 86 P() Y =6 = e−8 = 0,1221 6! 3.24. M t xe t i v n chuy n 1000 chai r ưu vào kho. Xác su t đ m i chai b v trong khi v n chuy n là 0,0035. Tính xác su t đ sau khi v n chuy n, cĩ 6 chai r ưu b v ; cĩ t 2 đ n 8 chai r ưu b v . (gi s r ng s ki n các chai r ưu b v là đc l p nhau, do ch t l ưng riêng c a m i chai) Gi i. Gi X là BNN ch s chai r ưu b v sau khi v n chuy n, thì X~ B ( 1000; 0,0035) . Xác su t đ cĩ 6 chai r ưu b v : 6 6 994 P(X= 6) = C 1000 (0,0035) (0,9965) = 0,07709 Tính g n đúng: Vì n = 1000 và n. p = 3,5 < 5 , nên cĩ th xem: X~ Po ( 3,5 ) . Do đĩ: (3,5) 6 P(X= 6) ≈ e −3,5 = 0,0771 6! Xác su t đ cĩ t 2 đ n 8 chai r ưu b v 8 (3,5) k P(2≤≤≈X 8 ) ∑ e −3,5 = 0, 85 43 k = 2 k! 55
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân 3.25. Th i gian đ s n xu t m t s n ph m lo i A là m t BNN tuân theo lu t phân ph i chu n v i các tham s µ = 10 và σ = 1 ( đơ n v là phút) a/ Tính xác su t đ m t s n ph m lo i A nào đĩ đưc s n xu t trong kho ng th i gian t 9 phút đn 12 phút. b/ Tính th i gian c n thi t đ s n xu t m t s n ph m lo i A b t k ỳ. Gi i. Gi X là BNN ch th i gian d s n xu t m t s n ph m lo i A , X~ N ( 10;1 ). a/ Xác su t ph i tính: 12− 10  9 − 10  P(9≤ X ≤ 12 ) = Φ  − Φ  1   1  =Φ ( 2) – Φ−( 1) =Φ ( 2) +Φ ( 1) –1 = 0,9772 + 0,8413 – 1 = 0,88185. b/ Theo qui t c 3 σ, h u nh ư ch c ch n X l y giá tr trong kho ng: [10−× 3 1;10 +×= 3 1] [ 7; 13 ] Vy, th i gian c n thi t đ s n xu t m t s n ph m lo i A b t k ỳ là t 7 phút đn 13 phút (h u nh ư ch c ch n). 3.26. Cho bi n ng u nhiên X tuân theo lu t phân ph i N(µ, σ 2 ) . Bi t r ng X l y giá tr nh h ơn 60 v i xác su t 0,1003 và l y giá tr l n h ơn 90 v i xác su t 0,0516, hãy tính µ và σ. Gi i. Theo gi thi t,  60 − µ   Φ  = 0,1003 P( X 90) = 0,0516  90 − µ  1− Φ  = 0,0516  σ   µ − 60   µ − 60  Φ  = 0,8997 = 1,28  σ   σ ⇔  ⇔   90 − µ   90 − µ Φ  = 0,9484 = 1,64  σ   σ Vy, µ = 73,15 và σ = 10,27 . 56
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân 3.27. Đưng kính c a m t lo i chi ti t do m t máy s n xu t cĩ phân ph i chu n, k ỳ v ng 20mm, ph ươ ng sai (0,2 )2 mm. Tính xác su t l y ng u nhiên m t chi ti t a/ Cĩ đưng kính trong kho ng 19,9mm đ n 20,3mm. b/ Cĩ đưng kính sai khác v i k ỳ v ng khơng quá 0,3mm. Gi i Gi X là BNN ch đưng kính c a m t chi ti t, ta cĩ X~ N ( 20;() 0,2 2 ) a/ Cĩ đưng kính trong kho ng 19,9mm đ n 20,3mm 20,3− 20  19,9 − 20  P()19,9<< X 20,3 =Φ  −Φ  0,2  0,2  =Φ()()1,5 +Φ 0,5 = 0,6247 b/ Cĩ đưng kính sai khác v i k ỳ v ng khơng quá 0,3mm 0,3  P() X −20 < 0,3 =Φ 2  −= 1 0,8664 0,2  57
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân CH ƯƠ NG 7: LÝ THUY T M U 4. 1. Đ nghiên c u v s con trong m t gia đình (SCTMG Đ) đa ph ươ ng A, ng ưi ta điu tra s con c a m i gia đình trong 30 gia đình đưc ch n ng u nhiên đa ph ươ ng A. K t qu đưc ghi l i nh ư sau: 0 2 5 3 7 4 3 3 1 4 2 4 3 1 6 1 0 2 4 1 1 2 3 2 0 5 5 1 3 2 a) Hãy l p b ng phân ph i tn s và t n su t tích lu cho d li u trên m u. b) Trên m u v a nêu, tính SCTMG Đ trung bình đ l ch chu n c a SCTMG Đ. Gi i: a) Gi X là BNN ch s con trong m t gia đình. B ng phân b t n s , t n su t và t n su t tích l ũy cho X t d li u trên. X 0 1 2 3 4 5 6 7 Tn s ni 3 6 6 6 4 3 1 1 Tn su t fi 0,100 0,200 0,200 0,200 0,133 0,100 0,033 0,033 Tn su t tích l ũy 0,100 0,300 0,500 0,700 0,833 0,933 0,967 1,000 b) Giá tr trung bình m u là: x = 2,67 Giá tr ph ươ ng sai m u: s 2 = 3,2644 Đ l ch chu n: s =1,81 . 4. 2. Đ nghiên c u v thâm niên cơng tác (tính trịn n ăm) c a nhân viên m t cơng ty l n, ng ưi ta kh o sát thâm niên c a 100 nhân viên đưc ch n ng u nhiên trong cơng ty. K t qu nh ư sau: Thâm niên 5 - 7 8 - 10 11 - 13 14 - 16 17 -19 S nhân 8 21 36 25 10 viên a) Hãy tính giá tr trung bình m u và giá tr đ l ch chu n m u. b) Gi s thâm niên cơng tác c a nhân viên c a cơng ty trên là BNN X cĩ k ỳ vng là 12 n ăm và đ l ch chu n là 3 n ăm. Tính xác su t đ trung bình m u nh n giá tr l n h ơn 12,5 n ăm. Gi i Gi X là BNN ch thâm niên cơng tác c a nhân viên c a cơng ty trên. a) T d li u ta tính đưc: - Giá tr trung bình m u: x =12.24 58
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân - Giá tr đ l ch chu n m u: s = 3,27 . b) Theo đnh lý gi i h n trung tâm ta cĩ: X − µ U= n~ N () 0,1 σ Do đĩ xác su t đ trung bình m u nh n giá tr l n h ơn 12,5 là: X −µ12,5 − µ  PX()>=12,5 P n > nPU  =>=−≤=()()1,67 1 PU 1,67 0,0478 σ σ  4. 3. Đ nghiên c u chi u cao c a thanh niên l a tu i t 18 đ n 22 tu i thành ph LX, ng ưi ta Chi u cao S thanh đo trên m t m u g m m t s thanh niên đưc (cm) niên ch n ng u nhiên thành ph LX. K t qu nh ư sau [154, 158) 10 (đơn v cm): [158, 162) 16 a) Tính giá tr trung bình m u và giá tr đ l ch chu n m u. [162, 166) 29 b) Theo tài li u kh o sát tr ưc đĩ chi u cao c a [166, 170) 37 nh ng thanh niên l a tu i trên tuân theo lu t phân [170, 174) 15 ph i chu n v i k ỳ v ng là µ =166 cm và đ l ch [174, 178) 10 chu n là σ = 7 cm. Hãy tính xác su t đ trung bình m u cĩ giá tr l n 167 cm. [178, 182) 4 Gi i: Gi X là BNN ch chi u cao c a thanh niên l a tu i t 18 đ n 22 tu i thành ph LX. a) T d li u ta tính đưc: - Giá tr trung bình m u: x =166,55 cm - Giá tr đ l ch chu n m u: s = 5,865 cm. b) Theo đnh lý gi i h n trung tâm ta cĩ: X − µ U= n~ N () 0,1 σ Do đĩ xác su t đ trung bình m u nh n giá tr l n h ơn 12,5 là: X −µ167 − µ  PX()>=167 P n > nPU  =>=−≤=()()1,57 1 PU 1,57 0,058 σ σ  . 4. 4. Gi s đ t ăng theo phn tr ăm l ươ ng hàng n ăm c a m i cơng nhân viên ch c trong cơng ty Alpha tuân theo lu t phân ph i chu n v i trung bình 12,2% và 59
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân đ l ch chu n 3,6%. M t m u ng u nhiên g m 9 ph n t đưc ch n t t ng th y. Tìm xác su t đ trung bình m u nh h ơn 10%. Gi i: Gi X là BNN ch đ t ăng l ươ ng theo ph n tr ăm. Ta cĩ X~ N ( 12,2; 3,6 2 ) và X − µ U= n~ N () 0,1 σ X −12,2 10 − 12,2   10 − 12,2  P() X 1200 2 a) Tính giá tr đ i di n cho m i l p m u 1 và l p b ng t n s , t n su t cho mu 1. b) Hãy so sánh giá tr trung bình và giá tr đ l ch chu n c a hai m u trên. 60
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Gi i: a) (1 đ) Tr ưc c i ti n Tu i th Giá tr đ i di n Tn s Tn su t (gi ) 1200 1215 2 0,02 Tng s 100 1 b) Gi X và Y l n l ưt là các BNN ch tu i th c a bĩng đèn tr ưc và sau ci ti n k thu t. Ta cĩ x =1112,15 ; y =1175,5 ; sX = 39,26 và sY =14,38 Nh ư v y, trung bình m u 1 bé h ơn trung bình m u 2 và đ l ch chu n m u 1 ln h ơn đ l ch chu n m u 2. 4. 6. Theo H i sinh viên thành ph LX thì cĩ 60% sinh viên hi n đang theo h c đi h c mu n tìm vi c làm ngồi gi h c. M t m u g m 205 sinh viên đưc ch n ng u nhiên. Tìm xác su t đ trong s đĩ cĩ h ơn 135 sinh viên mu n tìm vi c làm ngồi gi h c. Gi i: Gi p là t l sinh viên hi n đang theo h c đ i h c mu n tìm vi c làm ngồi gi hc, p = 0,6 . m T l sinh viên mu n tìm vi c làm ngồi gi trên m u là P = . 205 Xác su t cĩ h ơn 135 sinh viên mu n tìm vi c làm ngồi gi : 61
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân m 135  27  Pm()>=135 P >  = PP >  205 205  41  P− p Vì 0 n~ N () 0,1 p0()1− p 0 Do đĩ 27  − p P− p 0  PmP()>135 =0 n > 41 n  pp00()1− pp 00() 1 −    27  27  −p0  − 0,6  =−Φ141n  =−Φ 1 41 205  p0()1− p 0 0,6() 1− 0,6     =−Φ1() 1,71 =− 1 0,9564 = 0,0436 4. 7. Mt m u kích th ưc n đưc thành l p t t ng th tuân theo phân ph i chu n vi k ỳ v ng µ và đ l ch chu n là 8. Hãy xác đnh n sao cho, v i xác su t b ng 0,9524, trung bình m u n m trong kho ng t µ - 4 đn µ + 4. Gi i: Ta cĩ P(µ−≤4 X ≤ µ + 4) = 0,9524 ⇔P() X −≤=µ 4 0,9524 (1 đ) X − µ 4 n  ⇔P n ≤  = 0,9524   σ σ  n  ⇔Φ2  −= 1 0,9524 2  n  ⇔ Φ  = 0,9762 (1 đ) 2  n ⇔ = 1,98 2 ⇒ n =16 4. 8. 62
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân S li u th ng kê cho bi t cĩ 40% các h gia đình thành ph A cĩ thu nh p hàng n ăm n m trong kh ng t 1200 USD đ n 2000 USD. V y, ph i điu tra m t mu g m bao nhiêu h gia đình đ, v i xác su t 0,95, t l các gia đình cĩ thu nh p trong kho ng nĩi trên, sai l ch so v i t l chung c a thành ph khơng quá 4%? Gi i: Ta cĩ t l h gia đình thành ph A cĩ thu nh p hàng n ăm n m trong kh ng t 1200 USD đn 2000 USD là p = 0,4 . G i P là t l m u: P( P −0,4 < 0,04) = 0,95   P − 0,4 0,04 ⇔P n < n  = 0,95   0,4() 1− 0,4 0,4() 1 − 0,4  0,04  ⇔Φ2n  −= 1 0,95   0,4() 1− 0,4  0,04  ⇔ Φn  = 0,975   0,4() 1− 0,4  0,04 ⇔n = 1,96 0,4() 1− 0,4 ⇔n ≈ 576,24⇒ n = 577 4. 9. Mt lơ hàng đt tiêu chu n xu t kh u n u t l ph ph m khơng quá 5%. N u ki m tra ng u nhiên 100 s n ph m thì v i t l ph ph m th c t t i đa là bao nhiêu, chúng ta cĩ th cho phép lơ hàng đưc xu t kh u mà kh n ăng khơng m c sai l m là 95%? Gi i: Gi p0 là t l ph ph m th c t t i đa. Lơ hàng đưc phép xu t kh u mà khơng m c sai l m khi P< p 0 . Theo đ bài: P( P< p 0 ) = 0,95  P − 0,05 p − 0,05  ⇔P  100 <0 100 = 0.95    0,05() 1− 0,05 0,05() 1 − 0,05  P − 0,05 Vì 100 ~N () 0,1 nên đng th c trên t ươ ng đươ ng: 0,05() 1− 0,05 63
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân p − 0,05  Φ0 100  = 0,95   0,05() 1− 0,05  p0 − 0,05 ⇒ 100=u0,95 = 1,65 0,05() 1− 0,05 1,65 0,05() 1− 0,05 ⇔=p +⇔=0,05 p 0,086 0 100 0 4. 10. Chi u cao ( đơn v cm) c a m t thanh niên thành ph l n A là BNN tuân theo lu t phân ph i N(165; 100). Ng ưi ta đo ng u nhiên chi u cao c a 100 thanh niên thành ph A (TP.A). c) Xác su t đ chi u cao trung bình c a 100 thanh niên đĩ l ch so v i chi u cao trung bình c a thanh niên TP.A khơng v ưt quá 2cm là bao nhiêu? d) Nu mu n ch u cao trung bình đo đưc sai l ch so v i chi u cao trung bình ca t ng th khơng v ưt quá 1cm v i xác su t khơng d ưi 99% thì chúng ta ph i ti n hành đo chi u cao c a bao nhiêu thanh niên? Gi i: a) Gi X là BNN ch chi u cao c a m i thanh niên thành ph A. Ta cĩ X~ N ( 165;100 ). Do đĩ X~ N ( 165;1 ) và X−165 ~ N ( 0,1 ) ⇒ P( X −165 < 2) =Φ2−= 2( ) 1 0,9545 X −165 b) Gi n là s thanh niên c n đo chi u cao. Khi đĩ, n~ N () 0,1 10 Theo đ bài ta cĩ: P( X −165 < 1) ≥ 0,99 X−165 n  ⇔P n <  ≥ 0,99 10 10  n  ⇔Φ2  −≥ 1 0,99 10  n  1,99 ⇔Φ  ≥ = 0,995 10  2 64
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân n ⇒ ≥ Φ−1 ()0,995 = 2,5758 10 ⇒ n ≥ 663,47 CH ƯƠ NG 5: ƯC L ƯNG THAM S 5. 1. a) Hãy thi t l p cơng th c tìm kho ng tin c y γ cho trung bình t ng th trong tr ưng h p t ng th cĩ phân ph i chu n đã bi t đ l ch chu n. b) Tìm kho ng tin c y 95% cho trung bình t ng th X bi t X ~(µ , σ 2 ) v i σ = 3 và m u đ c tr ưng X cĩ kích th ưc n = 25 trung bình m u x =10 . Gi i a) Vi đ tin c y γ cho tr ưc ta tìm kho ng ( x− ex; + e ) sao cho PXe( −<µ < Xe +) = γ ⇔P(| X −<=µ | e ) γ |X− µ | n  ⇔P n < e  = γ σ σ  n  ⇔P| U | < e  = γ σ  n Vì U~ N ( 0,1 ) nên ta cĩ 2Φ()a −= 1γ , a = e σ 1+ γ ⇔ Φ()a = ⇒ a= u 1+γ 2 2 n σ Suy ra: u1+γ= e⇒ eu= 1 + γ . 2σ 2 n σ Vy, kho ng tin c y γ cho µ là ( x− ex; + e ) v i e= u 1+γ . . 2 n b) Áp d ng cơng th c trên, kho ng tin c y 95% cho trung bình c a X là: ( x− ex; + e ) σ 3 3 eu=1+γ . = u 10,95 + . == u 0,975 .1,176 2n 2 25 5 65
Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Vy kho ng tin c y c n tìm là: (8,824;11,176 ) . 5. 2. a) Gi s r ng tu i th c a m t lo i bĩng đèn hình TV cĩ đ l ch chu n bng 500, nh ưng ch ưa bi t trung bình. Ngồi ra, tu i th c a lo i bĩng đèn đĩ tuân theo lu t phân ph i chu n. Kh o sát trên m t m u ng u nhiên g m 15 bĩng lo i trên, ng ưi ta tính đưc tu i th trung bình là 8900 gi . Hãy tìm kho ng tin c y 95% cho tu i th trung bình c a lo i bĩng đèn hình nĩi trên. a) Mt t ng th X cĩ phân ph i chu n. Quan sát m t m u ng u nhiên kích th ưc 25 ng ưi ta tính đưc trung bình là 15 và đ l ch chu n là 3. Hãy ưc lưng k ỳ v ng c a X b ng kho ng tin c y 95%. Gi i a) Kho ng tin c y 95% cho tu i th trung bình c a bĩng đèn hình: ( x− ex; + e ) σ 500 500 Vi x = 8900 , và e= u1+γ . = u 0,975 . = 1,96. = 253 2 n 15 15 Do đĩ (8647;9153 ) b) Kho ng tin c y cho k ỳ v ng c a X là: ( x- ex ; + e ) v i x =15 Vì X cĩ phân ph i chu n ch ưa bi t đ l ch chu n nên: ()24s () 24 3 3 e= t1+γ. = t 10,95 + . = 2,0639. = 1,24 2n 2 25 5 Vy, kho ng tin c y c n tìm là (13,76;16,24 ) 5. 3. Gi s r ng tu i th c a m t lo i bĩng đèn hình TV cĩ đ l ch chu n b ng 500, nh ưng ch ưa bi t trung bình. Tuy nhiên, trung bình m u b ng 8900 đưc tính trên m u c n = 35 . a) Hãy tìm kho ng tin c y 95% cho tu i th trung bình c a lo i bĩng đèn hình đang kh o sát. b) Gi s r ng tu i th c a m t lo i bĩng đèn hình TV trên cĩ phân ph i chu n. Hãy tìm kho ng tin c y 90% cho trung bình t ng th . Gi i a) Kho ng tin c y 95% cho tu i th trung bình c a bĩng đèn hình: ( x− ex; + e ) , v i x = 8900 và σ 500 500 e= u1+γ . = u 0,975 . = 1,96. = 165,65 2 n 35 35 Vy, kho ng tin c y c n tìm là: (8734; 9066) (gi ). 66