›
›

Bài tập Lý thuyết dao động

pdf 31 trang phuongnguyen 40
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Lý thuyết dao động", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_tap_ly_thuyet_dao_dong.pdf

Nội dung text: Bài tập Lý thuyết dao động

  1. Bài tập Lý thuyết dao động
  2. Bμi tập ch−ơng I Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do 1. Xác định chu kỳ dao động của tải trọng Q gắn vào các lò xo và tìm hệ số cứng t−ơng đ−ơng của hệ mô tả trên hình vẽ. Các tải trọng dịch chuyển theo ph−ơng thẳng đứng. M Q Trả lời: 1a) T =2 π = 2 π ;CCC=1 + 2 C g(C1+ C 2 ) Q 1b) T =2 π ;CCC=1 + 2 g(C1+ C 2 ) Q(C+ C ) C .C 1c) T =2 π 1 2 ;C = 1 2 g(C1 .C 2 ) CC1+ 2 Q(CL3 + 48 EJ) C .C 1d) T =2 π ;C = 1 2 48gCEJ CC1+ 2 QL3 48EJ 1e) T =2 π ;CC= + g(CL3 + 48 EJ) 1 L3 L L C1 C 1 C1 C1 C2 EJ EJ Q C Q C2 1 C2 L L Q Q Q a) b) c) d) c) Hình vẽ bt 1 2. Một tải trọng khối l−ợng m đ−ợc gắn vào thanh không trọng l−ợng cứng tuyệt đối, dài 3L. Thanh đ−ợc gắn vào mặt phẳng cố định bằng hai lò xo có cùng độ cứng C. Tính tần số dao động riêng của con lắc khi: a) Thanh thẳng đứng (hình 2a). b) Thanh nằm ngang (hình 2b). 5 C 1 g 5 C Trả lời: a) k = + b) k = 9 m 3 L 9 m 143
  3. L C L L L L C m C C L m a) b) Hình vẽ bt 2 3. Tìm tần số dao động riêng của con lắc thẳng đứng, giả thiết thanh tuyệt đối cứng. C g Trả lời: k = m 2m 2L m m C C L L C C C C L L L m Hình vẽ bt 3 Hình vẽ bt 4 4. Hãy xác định chu kỳ dao động nhỏ của con lắc dùng trong một số máy ghi động đất. Con lắc gồm thanh cứng chiều dài L, một đầu mang khối l−ợng m bị ép giữa hai lò xo nằm ngang có độ cứng C, đầu ngoài lò xo gắn chặt. Bỏ qua khối l−ợng thanh và coi lò xo ở vị trí cân bằng ch−a bị dãn. 2π Trả lời: T = 2C g − m L 5. Ng−ời ta gắn tải trọng khối l−ợng m lên cột chống mềm bằng thép độ cứng C1, tiết diện ngang hình chữ nhật. Cột đ−ợc giữ thẳng đứng nhờ hai lò xo với độ cứng C2. Tìm tần số dao động riêng của tải trọng, biết khối l−ợng của cột chống và lò xo là nhỏ so với khối l−ợng của tải trọng; ảnh h−ởng của trọng l−ợng của tải trọng lên độ uốn của cột chống bỏ qua. 144
  4. 2C a2 − mgL Trả lời: k = 2 ⎡ a2 (L− a) 2 ⎤ mL⎢ L+ 2C 2 ⎥ ⎣ 3EJ ⎦ 6. Trong bộ ghi rung dùng để ghi các dao động của móng, các bộ phận máy, , lò xo xoắn có độ cứng C giữ con lắc trọng l−ợng Q lệch khỏi đ−ờng thẳng đứng góc α. Mô men quán tính của con lắc đối với trục quay bằng J. Hãy xác định chu kỳ dao động tự do của bộ ghi rung. J Trả lời: T =2 π Qscosα + C m EJ L C C 2 2 s α a Q hình vẽ bt 5 hình vẽ bt 6 7. Hãy xác định chu kỳ dao động tự do của móng máy đặt trên nền đất đàn hồi và bị lệch khỏi vị trí cân bằng. Trọng l−ợng của móng và máy Q =1470KN, diện tích đế móng S = 50m2; độ cứng riêng của đất λ = 30N / cm3 (Hệ số cứng của đất bằng CS= λ ). Q Trả lời: T =2 π = 6, 28 . 10−2 rad / s gC x Q Q x hình vẽ bt 7 hình vẽ bt 8 8. Lồng thang máy có trọng l−ợng Q = 30KN hạ xuống giếng mỏ với vận tốc u = 3m/s, đột nhiên hãm chặt đầu trên của dây cáp lại, lồng không hạ xuống nữa. Hãy xác định chuyển 145
  5. động tiếp sau của lồng, nếu hệ số cứng của dây là C = 27,5 KN/cm. Bỏ qua khối l−ợng dây cáp. Trả lời: x =0,1sin(30t) cm. 9. Một đĩa khối l−ợng m, mômen quán tính của khối l−ợng bằng Jo, đ−ợc gắn vào may ơ bán kính r. May ơ của đĩa đ−ợc đặt lên một thiết bị dẫn h−ớng cong tròn bán kính R. Lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ tự do của đĩa với giả thiết khi đĩa chuyển động may ơ không tr−ợt trên cơ cấu dẫn h−ớng. •• r 2 Trả lời: ()mr2 + J ϕ+ mg sin ϕ = 0 o R− r •• r 2 Dao động nhỏ: ()mr2 + J ϕ+ mg ϕ = 0 o R− r C R r R α hình vẽ bt 9 hình vẽ bt 10 10. Một xe goòng khối l−ợng m đ−ợc đặt trên một mặt nhám nằm nghiêng, xe goòng đ−ợc giữ trên mặt nghiêng bởi lò xo có độ cứng C. Lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ của xe goòng, biết mỗi cặp bánh xe goòng có mô men quán tính của khối l−ợng bằng J; bán kính bánh xe bằng R và bánh xe lăn không tr−ợt trên mặt nghiêng. •• Trả lời: (mR2 + 2J) ϕ+ CR2 ϕ = 0; ϕ - góc quay của bánh xe. 11. Lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ tự do của khối l−ợng m ở hệ mô tả trên • hình vẽ, biết lực cản dao động tỷ lệ thuận với vận tốc chuyển động: F.= α y ⎧ ⎛ •• ⎞ ⎛ • ⎞ ⎪y= δ11 ⎜ − m y⎟ + δ12 ⎜ − α y k ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Trả lời: ⎨ ⎪ ⎛ •• ⎞ ⎛ • ⎞ y k = δ21 ⎜ − m y⎟ + δ22 ⎜ − α y k ⎟ ⎩⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 12. Ng−ời ta gắn tải trọng có trọng l−ợng P vào một thanh cứng tuyệt đối không quán tính dài L. Thanh đ−ợc giữ ở vị trí cân bằng nhờ lò xo và một bộ giảm chấn. Bộ giảm chấn • có đặc tr−ng ma sát tuyến tính F.= α x 146
  6. Tính tần số dao động riêng của hệ và độ suy giảm tắt dần Logarít Λ của dao động. Biết P = 100N; L = 50cm; a = 20cm; đ−ờng kính lò xo D = 5cm; đ−ờng kính dây lò xo d = 0,5cm; số vòng lò xo i = 5; môđun đàn hồi G = 8.106N/cm2; hệ số cản chuyển động của bộ giảm chấn α = 3NS/cm. Trả lời: K1 =115 , rad / s ; Λ = 1,29. P y L EJ C K α m a L/2 L/2 hình vẽ bt 11 hình vẽ bt 12 13. Gắn một khối l−ợng m vào đầu thanh. Gắn vào thanh các phần tử cản đàn hồi. Bỏ qua khối l−ợng thanh. a) Phải chọn độ lớn hệ số cản b thế nào để hệ có thể dao động nhỏ; 1 b) Xác định độ cản Lehr D cần thiết để sau 10 dao động biên độ giảm còn biên độ 10 của chu kỳ đầu; sau đó xác định chu kỳ dao động. n b D (Độ cản Lehr: D = = ; Độ suy giảm tắt dần Logarit: Λ = δT =2 π ) k 2 mC 1 − D 2 gm 2 2am Trả lời: a) b< Cm + b) D,;T= 0 037= 2 π 2a 2aC+ gm 14. Hệ cho trên hình vẽ nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Vị trí cân bằng tĩnh của hệ ứng với vị trí cân bằng tĩnh OM. ở thời điểm đầu thanh lệch khỏi vị trí cân bằng tĩnh ng−ợc chiều kim đồng hồ một góc ϕ0 và không có vận tốc ban đầu. Xác định dao động nhỏ của hệ. Khối l−ợng lò xo, thanh, bộ giảm chấn ma sát ở bản lề bỏ qua. Lấy trọng l−ợng của tải trọng 0 M là P = 200N, L = 90cm, L1 = 40cm, L2 = 20cm, ϕ0 = 6 , C = 20N/cm, μ = 15NS/cm. Trả lời: ϕ = 012, e−7, 25 t sin(8 , 7 t+ 0 , 28 π) 147
  7. O L1 μ a A ϕ b L2 L C C a B m C M hình vẽ bt 13 hình vẽ bt 14 15. Cho biết cơ cấu gồm tải trọng khối l−ợng m đ−ợc gắn vào hai lò xo cùng độ cứng C. Tải trọng đ−ợc ngâm trong ống đầy chất lỏng. Lực cản chuyển động của tải trọng trong ống có thể đ−ợc điều chỉnh nhờ thay đổi khe hở giữa tải trọng và ống hoặc độ nhớt chất lỏng. a) Lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ tự do của tải trọng. b) Tính thời gian để biên độ dao động tự do của tải trọng giảm đi 100 lần, biết khi t • = 0: x(0) = x0, x.()0= 0 Khi giải giả thiết lực cản chuyển động của tải trọng tỷ lệ thuận với vận tốc chuyển động; m= 0 , 5 NS2 / cm; C= 10 N / cm;α = 5 NS / cm . ⎧ −nt 2 2 α 2 2C x= x0 e cos[ k− n] .t, n = , k = ⎪ 2m m Trả lời : ⎨ 1 ⎪t =Ln100 = 0,92s ⎩⎪ 1 n C C H m d m C D hình vẽ bt 15 hình vẽ bt 16 148
  8. 16. Bộ phận cản thuỷ lực (hoàn xung hay giảm chấn thuỷ lực) là một píttông khối l−ợng m chuyển động trong chất lỏng. Hãy khảo sát chuyển động của píttông biết tại t = 0 píttông lệch với vị trí cân bằng một khoảng y0 = 0,5cm. Tìm thời gian để độ lệch của píttông đối với vị trí cân bằng giảm đi hai lần. Cho biết: độ cứng lò xo C=30N/cm; đ−ờng kính hình trụ D = 10cm; đ−ờng kính lỗ hở píttông d = 1cm; số lỗ hở z = 25; trọng l−ợng pittông Q = 27,3N; chiều cao píttông H = 5cm. Hệ 8 số nhớt động lực chất lỏng μ = 6.10 NS/cm; khi tính lực cản nhớt lấy β theo công thức: 128μH σ2 πD 2 β = ; σ = diện tích ngang píttông. πd4 z 4 ⎧ −nt 2 2 β y= y0 e cos[ k− n] .t, n = = 5,42 ⎪ 2m Trả lời: ⎨ C ⎪k 2 = =1080 rad / s; t= 0,03s ⎩⎪ m 1 17. Tìm biểu thức phụ thuộc giữa tần số dao động xoắn riêng của trục máy trộn và độ nhớt chất lỏng đem trộn cũng nh− thời gian để biên độ trục máy trộn giảm đi 10 lần sau khi môtơ dừng lại đột ngột, biết vận tốc quay tr−ớc lúc môtơ dừng lại đều bằng Ω. Khi tính giả thiết khối l−ợng trục nhỏ so với khối l−ợng các cánh, mômen quán tính khối l−ợng cánh J = 50 Ncms2, đ−ờng kính trục d = 5mm; độ dài trục L = 0,5m; hệ số cản 6 2 nhớt α =120N cms; môđun tr−ợt vật liệu trục G = 8.10 N/cm . αΩ Trả lời: ϕ = − e−1, 2 t cos4 , 25 t; t= 19 , s. C 1 d L Q Q O1 O2 C hình vẽ bt 17 hình vẽ bt 18 18. Máy rung dùng để tạo ra các dao động gồm hai đĩa mắc lệch tâm trên hai trục song song, trọng l−ợng mỗi đĩa là Q, trọng l−ợng toàn máy bằng P, tâm sai cả hai đĩa bằng nhau và bằng r. Khi lắp ráp ban đầu các đĩa tạo với ph−ơng nằm ngang những góc α1, α2. 149
  9. Hai đĩa quay ng−ợc chiều nhau với vận tốc góc ω. Máy gắn bu lông trên bệ đàn hồi độ cứng C. Hãy xác định biên độ dao động c−ỡng bức của máy, bỏ qua trọng l−ợng của nó. 2Qr α + α Trả lời: A = sin 1 2 Cg 2 −(P + Q) ω2 19. Hệ tạo từ tải trọng M trọng l−ợng P1 = 80 N, các thanh không trọng l−ợng và lò xo có độ cứng C = 5N/cm nằm trong mặt phẳng đứng. Thanh OA chuyển động theo rãnh thẳng đứng với quy luật y0 = Lsinpt (L = 1,6 cm; p = 8 rad/s). Vị trí nằm ngang của BM t−ơng ứng với vị trí cân bằng tĩnh khi y = 0. Xác định dao động nhỏ của tải trọng ở h−ớng thẳng đứng. Biết L1 = 90 cm; L2 = 60 cm. Tại thời điểm đầu (t = 0) hệ ở vị trí cân bằng tĩnh, vận tốc góc của BM cũng nh− vận tốc của tải trọng M bằng 0; y = 0; bỏ qua ma sát. Trả lời: ϕ = 0,0785sin5,2t − 0,0505sin8t 20. Cơ cấu dẫn động cho van có sơ đồ hoá d−ới dạng khối l−ợng m mắc giữa hai lò xo: Lò xo trên có độ cứng C gắn vào một điểm cố định, Lò xo d−ới có độ cứng C1 gắn vào cam chuyển động tịnh tiến. Trên mặt cắt của cam phải định tr−ớc để cho chuyển động thẳng đứng xác định bởi công thức: 2π x = a(1 − cosωt) khi 0 ≤ t ≤ 1 ω 2π x = 0 khi t > 1 ω Hãy xác định chuyển động của khối l−ợng m. C a ⎡ 1 1 ⎤ 2π Trả lời: x = 1 (1− cos kt) + (cos kt− cos ω t) khi 0 ≤ t ≤ ⎢ 2 2 2 ⎥ m ⎣k k − ω ⎦ ω C a ⎡ 1 1 ⎤ ⎡ π ⎤ 2π x = 1 − . cos kt− cos k(t − ) khi t > ⎢ 2 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ m ⎣k− ω k ⎦ ⎣ 2ω ⎦ ω y M C B 0 x O m C C 1 A L L 2 1 hình vẽ bt 19 hình vẽ bt 20 150
  10. 21. Một động cơ có trọng l−ợng Q đặt thẳng đứng trên bệ máy có diện tích đáy bằng S; độ cứng của đất bằng λ; độ dài tay quay động cơ là L; vận tốc góc của trục là ω. Píttông và các phần không cân bằng thực hiện các chuyển động tịnh tiến qua lại có trọng l−ợng P. Trọng l−ợng của móng máy bằng G tay quay coi nh− cân bằng nhờ đối trọng. Hãy xác định dao động c−ỡng bức của móng máy, bỏ qua khối l−ợng của thanh truyền. Pr ω2 r Pr ω2 Trả lời: ξ = cosω t + cos2ω t (Q+ G)(k2 − ω 2 ) L (Q+ G)(k2 −4 ω 2 ) P η Q L m x1(t) C α ξ ω r ζ G O hình vẽ bt 21 hình vẽ bt 22 22. Bánh xe lăn trên đ−ờng gồ ghề có vận tốc của trục bánh xe không đổi và bằng V. Tải trọng khối l−ợng m gắn với trục bánh xe bằng lò xo độ cứng C. Trong lò xo có ma sát nhớt, hệ số cản α và lực cản tỉ lệ với vận tốc t−ơng đối. Bỏ qua biến dạng của bánh xe và mặt đ−ờng. Viết ph−ơng trình dao động t−ơng đối thẳng đứng của tải trọng. Biết ph−ơng ⎛ π ⎞ trình mặt đ−ờng: η = η sin 2 ⎜ ξ ⎟ với L - chiều dài sóng. max ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ −nt 1 Trả lời: y= Be [cosε .cos k1 t +(n cos ε + psin ε )sin k1 t] − B cos(pt − ε ) k1 2 2π V 2np P0 p p = ;ε = arctg ;B = ;P0 = ηmax L k2− p 2 (k2− p 2 ) − 4n2 p 2 2 23. Cho biết ở thời điểm ban đầu khối l−ợng m lệch khỏi vị trí cân bằng một khoảng x0. Nó đ−ợc thả tự do không có vận tốc ban đầu. Khi khối l−ợng tr−ợt trên mặt, giữa chúng • xuất hiện lực ma sát khô (ma sát Culông). Sự phụ thuộc giữa lực ma sát Ft với vận tốc x của khối l−ợng m đ−ợc mô tả trong hình vẽ. Tìm quy luật chuyển động của khối l−ợng m. ⎡ (2n− 1)F ⎤ F C Trả lời: x= x − t cos kt+ ( − 1) n− 1 t , k = m ⎢ 0 2 ⎥ 2 ⎣ mk ⎦ mk m 151
  11. 24. Giả sử lực kích động biến đổi theo quy luật: F(t) = F0⏐sinωt⏐ tác dụng lên khối l−ợng m. Lập ph−ơng trình dao động c−ỡng bức của tải trọng và cho biết với tần số ω nào của lực kích động trong hệ sẽ xảy ra cộng h−ởng (bỏ qua ma sát). ∞ 2F0 4F0 cos 2nω t k Trả lời: x = − ∑ 2 2 2 ; ω = ; n = 1, 2, 3 πC πm n= 1 (2n− 1)(2n + 1)(k − 4n ω ) 2n x m C m C/2 C F(t) Ft F(t) • x F0 t π/ω 2π/ω hình vẽ bt 23 hình vẽ bt 24 25. Hãy khảo sát chuyển động của khối l−ợng m khi có lực ngoài không đổi Q đột ngột tác dụng lên nó (tức giả thiết F(t) = Q). Q Trả lời: y(t) = (1 – cos pt); y = 2δ . mp 2 max t F(t) ω r m L α F(t) m C C t δt hình vẽ bt 25 hình vẽ bt 26 26. Ng−ời ta đặt khối l−ợng m lên hai lò xo, mỗi lò xo có độ cứng C và nối với cơ cấu tay quay then truyền qua bộ giản chấn có hệ số cản nhớt α. Viết ph−ơng trình vi phân chuyển động của khối l−ợng m. Tìm ứng suất xuất hiện trong lò xo, biết đ−ờng kính lò xo D, đ−ờng kính dây thép lò xo d, vận tốc góc của tay quay ω bằng tần số dao động riêng tắt dần của khối l−ợng m trên lò xo. 152
  12. •• • ⎧ 2 α 2 2C x2 + 2n x2 + k x = 2n ω r cos ω t; 2n = ; k = ⎪ 2 m m ⎪ Trả lời: ⎨ ⎛ mg ⎞ ⎪ 8⎜ Cr + ⎟D ⎝ 2 ⎠ ⎪τ max = ⎩ πd 3 27. Để giảm ảnh h−ởng dao động của nền (hoặc dầm) tới chế độ làm việc của máy ng−ời ta th−ờng dùng ph−ơng pháp cách ly rung thụ động. Đó là việc đặt (hoặc treo) các máy trên các bộ giảm rung mềm. Tính hệ số động lực (tỷ số giữa biên độ dao động a của khối l−ợng m với biên độ dao động của nền (hoặc dầm) x0) đối với các sơ đồ mô tả trên hình vẽ. a 1 1 1 Trả lời: K = = ; a) K = ; b) K = ; dl 2 dl 2 dl 2 x 0 ⎛ ω ⎞ mω 4mω 1− ⎜ ⎟ 1 − 1 − ⎝ k ⎠ C 3C L L m m C C x0sinωt x0sinωt a) b) hình vẽ bt 27 28. Để giảm tác dụng của lực quán tính gây ra bởi chi tiết mất cân bằng trong máy xuống nền (móng), ng−ời ta dùng ph−ơng pháp cách ly rung động cơ. Đó là việc đặt hoặc treo động cơ lên những gối mềm đàn hồi. Tính hệ số truyền động lực của lực quán tính xuống nền ở những chỗ gắn gối đàn hồi với độ cứng C. Dầm trên đó đặt động cơ đ−ợc xem nh− cứng tuyệt đối. R 1 1 1 1 Trả lời: K =dl = ; a) K = ; b) K = ; c) K = dl R ω2 dl mω2 dl 4mω2 dl 9mω2 t 1− 1− 1− 1− k 2 C C 20C P0sinωt P0sinωt P0sinωt L1 C m m m L C C 1 L L C L L a) b) c) hình vẽ bt 28 153
  13. 29. Để cách ly rung động của máy và thiết bị tới giá đỡ đàn hồi ng−ời ta th−ờng đ−a vào các yếu tố hao tán. Đó là bộ giảm chấn có ma sát nhớt. Hãy tính hệ số động lực đối với sơ đồ mô tả trên hình vẽ. Khi tính lấy các giá trị nh− sau: m= 1NS2 / cm ; ω = 100rad / s ; EJ α = 60NS/ cm ; = 200N / cm L 1 Trả lời: η = ;,η = 0 316 2 2 ⎛ ω2 ⎞ ⎛ 2nω⎞ ⎜1− ⎟ + ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠ 30. Khảo sát dao động c−ỡng bức của khối l−ợng m khi có xung lực tuần hoàn cùng dấu trong khoảng hữu hạn t1 và độ cao h tác dụng lên nó. ⎡ ⎛ T− t 1 ⎞ ⎤ ⎢cos p0 ⎜ t + ⎟ ⎥ ⎛ p0 t 1 ⎞ ⎝ 2 ⎠ ⎛ t 1 ⎞ Trả lời: y(t)= h sin⎜ ⎟⎢ + 2sin p⎜ t − ⎟⎥ 2 ⎢ T 0 2 ⎥ ⎝ ⎠ sin p ⎝ ⎠ ⎢ 0 ⎥ ⎣ 2 ⎦ Trong khoảng: T ≤t < ∞ nghiệm này đ−ợc thác triển tuần hoàn với chu kỳ T. C m P0sinωt F(t) EJ m EJ F(t) α h t L L T T T Hình vẽ bt 29 Hình vẽ bt 30 154
  14. Bμi tập ch−ơng II Dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do. 31. Hai tải trọng khối l−ợng m1, m2 treo vào các lò xo có độ cứng C1, C2 t−ơng ứng. Xác định các tần số dao động chính của hệ khi: a) C1 = C2 = C và b) C1 = C2 = C và m1 = m2 = m. 2 2 2 2(m1+ m 2 )C (2 m2+ m 1 ) C C Trả lời: a) k1, 2 = m 2 2 − 2m1 m 2 4m1 m 2 m1 m 2 1 C b) k1, 2 = (3m 5) 2 m C1 m1 C2 m2 hình vẽ bt 31 hình vẽ bt 32 32. Một móng máy nặng Q = 1000KN đặt trên nền đất đàn hồi. Diện tích đáy móng S =17m2; độ cứng riêng của đất bằng: Λ = 60000KN/cm3. Để khử các dao động cộng h−ởng phát sinh khi máy làm việc ng−ời ta đặt máy trên một bệ nặng liên kết với móng bằng các lò xo đàn hồi có độ cứng tổng cộng là: C= 50 . 000 KN / m . Trọng l−ợng của máy và bệ P = 49 KN. Hãy xác định tần số dao động của hệ (móng và bộ giảm rung). Trả lời: k1 = 89 , 5 rad / s; k2 = 111 , 7 rad / s 33. Hãy xác định tần số dao động xoắn chính của hệ gồm một trục và ba đĩa đồng chất nh− nhau lắp trên trục. Hai đĩa lắp chặt vào hai đầu, còn đĩa thứ ba lắp chặt vào giữa. Mômen quán tính của mỗi đĩa đối với đ−ờng tâm của trục bằng J; độ cứng khi xoắn của các phần trục C1 = C2 = C. Bỏ qua khối l−ợng của trục. C 3C Trả lời: k = , k = 1 J 2 J 34. Hai con lắc nh− nhau có độ dài L và khối l−ợng m nối với nhau ở khoảng h bằng lò xo có động cứng C. Các đầu lò xo gắn chặt vào các thanh của chúng. Hãy xác định dao động nhỏ của hệ trong mặt phẳng chứa vị trí cân bằng của con lắc, sau khi làm cho một con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc α. Vận tốc ban đầu của chúng bằng 0. Bỏ qua khối l−ợng của các thanh và lò xo. ⎛ k1+ k 2 ⎞ ⎛ k1− k 2 ⎞ ⎛ k1+ k 2 ⎞ ⎛ k1− k 2 ⎞ Trả lời: ϕ1 = αcos⎜ t⎟ cos⎜ t ⎟ ; ϕ2 = α sin⎜ t⎟ sin⎜ t⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 155
  15. g g 2Ch2 Trong đó: k = ; k = + 1 L 2 L mL2 h C C M L ϕ m m m hình vẽ bt 34 hình vẽ bt 35 35. Con lắc gồm con chạy khối l−ợng M tr−ợt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang và quả cầu nhỏ có khối l−ợng m nối với con chạy bằng một thanh dài L, thanh này có thể quay quanh một trục gắn liền với con chạy. Lò xo có độ cứng C, một đầu gắn với con chạy còn đầu kia gắn cố định. Hãy xác định tần số dao động nhỏ của hệ. Trả lời: Tần số phải tìm là nghiệm của ph−ơng trình: ⎛ C g(M+ m) ⎞ Cg k 4 −⎜ + ⎟k 2 + = 0 ⎝ M ML ⎠ ML 36. Thanh đồng chất có độ dài L treo vào một điểm cố định nhờ sợi dây dài l = 0,5 L. Hãy xác định tần số dao động chính của hệ và tìm tỷ số các độ lệch khỏi đ−ờng thẳng đứng của thanh và dây ứng với dao động chính thứ nhất và thứ hai. Bỏ qua khối l−ợng dây. g g Trả lời: k1 = 0 , 677 ; k2 = 2 , 558 l l ϕ1 = 0,847ϕ2 trong dao động chính thứ nhất. ϕ1 = −1,180ϕ2 trong dao động chính thứ hai. l l b ϕ C 1 a L L ϕ2 m=P/g m=P/g hình vẽ bt 36 hình vẽ bt 37 156
  16. 37. Hai con lắc vật lý nh− nhau treo vào hai trục song song đặt trong mặt phẳng nằm ngang và nối với nhau bằng một lò xo có độ dài ở trạng thái ch−a bị căng bằng khoảng cách giữa hai trục của con lắc. Hãy xác định tần số, tỷ số biên độ các dao động chính của hệ khi các góc lệch khỏi vị trí cân bằng là nhỏ. Trọng l−ợng của mỗi con lắc bằng P, bán kính quán tính của nó đối với trục đi qua trọng tâm song song với trục treo bằng ρ, độ cứng của lò xo bằng C, khoảng cách từ trọng tâm của con lắc và từ điểm gắn lò xo vào con lắc đến trục treo t−ơng ứng bằng a và b. Bỏ qua sức cản chuyển động và khối l−ợng của lò xo. 2 ()1 ()2 2 ga 2 (Pa+ 2 Cb )g A 1 A 1 Trả lời: k1 = 2 2 ; k 2 = 2 2 ; ()1 = +1; ()2 = −1 ρ + a P(ρ + a ) A 2 A 2 38. Hãy nghiên cứu dao động của toa xe lửa trong mặt phẳng giữa thẳng đứng của nó, nếu trọng l−ợng của phần trên lò xo của toa xe bằng Q. Khoảng cách từ trọng tâm đến các mặt phẳng thẳng đứng đi qua các trục là L1 = L2 = L, bán kính quán tính đối với trục trung tâm song song với các trục của toa xe bằng ρ, độ cứng của các lò xo ở cả hai trục là nh− nhau C1 = C2 = C. Trả lời: x = Asin(k1t+α); ϕ = Bsin(k2t+β). Trong đó: x là dịch chuyển thẳng đứng của trọng tâm toa xe; ϕ là góc tạo bởi sàn toa xe với mặt phẳng nằm ngang; A, B, α, β là các 2Cg 2CgL2 hằng số tích phân; k= ; k = 1 Q 2 Qρ2 O L C L1 L2 R A m hình vẽ bt 38 hình vẽ bt 39 39. Một đĩa tròn đồng chất bán kính R khối l−ợng M nối khớp với thanh OA = L, thanh này có thể quay quanh trục cố định nằm ngang. Chất điểm khối l−ợng m gắn chặt vào vành đĩa. Hãy xác định tần số dao động tự do của hệ, bỏ qua khối l−ợng thanh. Đĩa có thể quay trong mặt phẳng dao động của thanh OA. Trả lời: Tần số dao động tự do là nghiệm của ph−ơng trình: M+ m ⎛ 2m(R+ L) ⎞ g 2mg2 (M+ m) k 4 − ⎜1+ ⎟ k 2 + = 0 M+ 3 m ⎝ MR ⎠ L MRL(M− 3 m) 157
  17. 40. Hãy xác định tần số dao động xoắn tự do của hệ gồm hai trục liên kết với nhau bằng các bánh răng truyền động. Mômen quán tính của các khối l−ợng lắp trên trục và 2 mômen quán tính của các bánh răng đối với đ−ờng tâm các trục bằng: J1 = 87500 kgcms ; 2 2 2 J2 = 56000 kgcms ; J1z = 302 kgcms ; J2z = 10,5 kgcms ; Tỷ số truyền λ = Z1/Z2 = 5; Độ 6 6 cứng của các trục khi xoắn: C1 = 316.10 Kgcm; C2 = 115.10 Kgcm. Bỏ qua khối l−ợng của các trục. 3 Trả lời: k1 = 54,8 rad/s; k2 = 2,38.10 rad/s. 41. Một cơ hệ gồm khối l−ợng m1 và pittông của bộ giảm chấn gắn cứng với nhau tại điểm B. Nhờ lò xo có độ cứng C1, hệ treo vào tấm phẳng A đang chuyển động theo quy luật: ξ = ξ(t). Hộp của bộ giảm chấn có khối l−ợng m2 tựa trên lò xo có độ cứng C2, đầu kia của lò xo tựa trên pittông. Ma sát nhớt trong bộ giảm chấn tỷ lệ với vận tốc t−ơng đối của pittông so với hộp, hệ số cản là β. Hãy thiết lập ph−ơng trình chuyển động của hệ. ⎧ •• • • ⎪mx1 1+ β x 1 − β x 2 − (C1 + C)x 2 1 − Cx 2 2 = C(t) 1 ξ Trả lời: ⎨ •• • • ⎪ ⎩m2 x2− β x 1 + β x 2 − C2 x 1 + C 2 x 2 = 0 O ξ(t) A O1 C II II 1 m1 C2 I I m2 B hình vẽ bt 40 hình vẽ bt 41 42. Hãy tìm tần số và dạng dao động chính của hai tải trọng nh− nhau và bằng Q, gắn vào hai đầu của một dầm công xôn nằm ngang. Dầm có độ dài 3L nằm tự do trên hai gối đỡ cánh nhau một khoảng L, điểm gắn tải trọng cách gối những khoảng L nh− nhau. Mômen quán tính của tiết diện ngang dầm bằng J; Môđun đàn hồi của vật liệu dầm bằng E. Bỏ qua khối l−ợng của dầm. 6EJg 2EJg Trả lời: k = ; k = 1 5QL3 2 QL3 158
  18. 43. Động cơ điện trọng l−ợng Q1 gắn trên móng bê tông đàn hồi (dạng hình hộp đặc) có trọng l−ợng Q2 và hệ số cứng C2. Móng đặt trên nền đất cứng. Rôto có trọng l−ợng P lắp trên trục đàn hồi nằm ngang có hệ số cứng khi uốn bằng C1, tâm sai Rôto đối với trục bằng r, vận tốc góc của trục bằng ω. Hãy xác định dao động c−ỡng bức thẳng đứng của Stato của động cơ có tính đến ảnh h−ởng khối l−ợng móng bằng cách cộng thêm 1/3 khối l−ợng của nó vào khối l−ợng của Stato. Trả lời: Độ lệch khỏi vị trí cân bằng của Stato: C Pgrω2 sin( ω t) y= 1 2 ⎡ 1 ⎤ 2 1 4 CCg1 2 −⎢ (C1 + C)PC(Q 2 +1 1 + Q)g2 ⎥ ω + (Q1 + Q)2 ω ⎣ 3 ⎦ 3 ωt r P C1 Q Q Q1 L L L C2 Q 2 hình vẽ bt 42 hình vẽ bt 43 44. Ba toa tầu chở hàng móc với nhau, độ cứng các móc nối toa bằng C1, C2. Trọng l−ợng các toa là Q1, Q2, Q3. Tại thời điểm ban đầu hai toa ở vị trí cân bằng, còn toa cuối cùng bên phải lệch khỏi vị trí cân bằng một khoảng x0. a) Tìm tần số dao động chính của hệ. b) Xác định chuyển động của các toa xe và vẽ các dao động chính trong tr−ờng hợp: Các toa xe có trọng l−ợng bằng nhau (Q1 = Q2 = Q3 = Q) và các móc nối có độ cứng nh− nhau (C1 = C2 = C3 = C). Trả lời: a) k1 = 0, k2 và k3 là nghiện của ph−ơng trình: 4 ⎛ C1 CC1+ 2 C 3 ⎞ 2 2 ⎛ CC1 2 CC2 3 CC1 3 ⎞ k− g⎜ + + ⎟k+ g ⎜ + + ⎟ = 0 ⎝ Q1 Q 2 Q 3 ⎠ ⎝ QQ1 2 QQ2 3 QQ1 3 ⎠ x x x b) x =0 − 0 cos k t + 0 cos k t ; 1 3 2 2 6 3 x x x =0 − 0 cos k t 2 3 2 3 159
  19. x x x gC 3Cg x =0 + 0 cos k t + 0 cos k t ; k = ; k = 3 3 2 2 6 3 2 Q 3 Q Các dao động chính biểu diễn nh− sau: 1 1 1 1 2 45. a) Xác định tần số dao động riêng của dầm tiết diện không đổi có hai khối l−ợng tập trung m1 = m, m2 = 2m (Hình vẽ 45a) b) Đặt lực tức thời P(t) =P0 lên khối l−ợng m1. Tìm quy luật dao động của các tải trọng và mômen uốn ở dầm (Hình vẽ 45b). EJ FJ Trả lời: a) k= 5 , 6117 ; k= 17 , 10 1 mL3 2 mL3 3 PL0 b) x = (25− 20 cos k t−4 cos k t − cos k t) 1 3888EJ 1 2 3 PL3 x = 0 (39− 40 cos k t+ cos k t) 2 3888EJ 1 3 PL3 x = 0 (17− 20 cos k t+4 cos k t − cos k t) 3 3888EJ 1 2 3 EJ EJ EJ k= 5 , 643 ; k= 22 , 4045 ; k = 36 1 mL3 2 mL3 2 mL3 P0 m m C1 C2 EJ 1 2 EJ m1 m2 m3 m1 m2 m3 L/4 L/4 L/6 L/3 L/3 L/6 L L a) b hình vẽ bt 44 hình vẽ bt 45 46. Ng−ời ta gắn trên trục chung của một động cơ bốn nhịp với ba xi lanh. Rôto của 3 2 máy phát điện một chiều có mômen quán tính J1 = 1,78.10 kgcms . Rôto của máy phát điện xoay chiều có mômen quán tính J2 = 5J1 và bánh đà có mômen quán tính J3 = 50J1. Độ dài thu gọn của các phần trục L1 = 373 cm; L2 = 239 cm; Môđun tr−ợt của vật liệu trục bằng G; 160
  20. 10 2 mômen quán tính độc cực của tiết diện trục bằng JP; tích GJP = 10 kgcm . Hãy xác định: Tần số dao động chính của hệ, vận tốc tới hạn của trục. Bỏ qua ảnh h−ởng khối l−ợng của pittông, thanh truyền, tay quay và trục. -1 -1 (1) -1 (2) -1 Trả lời: k1 = 0; k2 = 6,43 s ; k3 = 138 s ; ω th = 42,6 s ; ω th = 92 s . L1 L2 J1 J2 J3 hình vẽ bt 46 161
  21. Bμi tập ch−ơng III Dao động của hệ có vô số bậc tự do 47. Trên thanh bị ngàm ở hai đầu tác dụng lực dọc trục không đổi P ở tại giữa thanh. Dao động của thanh sẽ xảy ra nh− thế nào nếu lực P bất thình lình bị cắt bỏ. 4εL n−1 1 nπ x P 2 Trả lời: U = 2 ∑()−1 2 sin cospn t; ε = π n=1 , 3 , n L 2EF 48. Hãy xác định các tần số riêng và các hàm riêng của thanh một đầu bị ngàm chặt, một đầu mang khối l−ợng m. E λ x Trả lời: p = λ ; x (x)= C sin n ; n= 1 , 2 , 3 n n ρL2 n n L m μρ2 λ là nghiệm của ph−ơng trình: cot gλ = λ; λ4 = L;F4 μ = ρ n μL EJ 49. Một thanh bị ngàm chặt một đầu phải, bên trái gắn vào lò xo. Xác định tần số 2EF riêng cơ bản khi C* = L E Trả lời: p= 2,29 1 ρL2 r m * P x x C x O L/2 L/2 O O L L εL/2 hình vẽ bt 47 hình vẽ bt 48 hình vẽ bt 49 1 50. Trục đồng chất hình trụ tròn đặt trên hai ổ đỡ nh− hình vẽ. Biết J / J = . Xác P1 P2 2 định tần số riêng cơ bản dao động xoắn của trục. a G Trả lời: p1= λ 1 = 1,15 2 ; λ 1 là nghiệm của ph−ơng trình: sinλ + 3sin 3 λ = 0 a * ρa * ρG, JP2 m ρG, JP1 ρE, EJ L a* 2a* hình vẽ bt 50 hình vẽ bt 51 162
  22. 51. Cho dầm đồng chất tiết diện không đổi, đầu trái bị ngàm chặt, bên phải tự do m 3 mang khối l−ợng m. Biết ε = = . Xác định các tần số riêng cơ bản và tần số riêng bậc 1. μL 4 EJ EJ Trả lời: p = λ2 ; p= 1 , 742 n n ML4 1 μL4 Với λ n là nghiệm của ph−ơng trình: 1 + chλcosλ + ελ(shλcosλ − chλsinλ) = 0 163
  23. Bμi tập ch−ơng V Cơ sở của lý thuyết dao động phi tuyến 52. Một xà cứng có tiết diện ngang không đổi dài 2L, khối l−ợng m đ−ợc gắn bản lề ở điểm A và đ−ợc giữ thăng bằng bởi hai lò xo đều có độ cứng C. Lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ của xà, biết phụ thuộc giữa lực cản của lò xo và độ dãn dài là tuyến tính. Tìm tần số riêng của dao động nhỏ của xà. 2 •• CL2 .cosϕ cos α ⎛ 1 1 ⎞ Trả lời: a) mL α+ ⎜ − ⎟ = 0 ⎜ 2 ⎟ 3 sin ϕ ⎝ 1−sin α sin ϕ 1+sin α sin ϕ ⎠ 3C b) p = cos ϕ m L L O O L C C ϕ ϕ C C L A α L L hình vẽ bt 52 hình vẽ bt 53 53. Một xà cứng độ dài 2L, tiết diện ngang không đổi, trọng l−ợng Q, đ−ợc treo ở đầu mút trên và đ−ợc giữ thẳng đứng nhờ hai lò xo đều có độ cứng C. Lập ph−ơng trình vi phân dao động tự do của xà. Tính tần số riêng của dao động nhỏ của xà. •• 3g 3Cg 3g ⎛ C 1 ⎞ Trả lời: a) α+sin α +( 1 +sin α −1 −sin α) = 0 ; b) p =⎜ + ⎟ . 4L 4Q 4 ⎝ QL ⎠ 54. Cho biết khối l−ợng m có thể di chuyển tự do không ma sát dọc theo trục nằm ngang. ở hai phía của khối l−ợng ng−ời ta gắn hai lò xo nh− nhau, độ cứng C. Giữa lò xo và gối có khe hở. Tìm tần số dao động của hệ phụ thuộc vào biên độ x0. πp C Trả lời: p = 0 ; p = 2Δ 0 m π + x 0 − Δ 164
  24. Δ Δ C C C1 C2 m m x0 hình vẽ bt 54 hình vẽ bt 56 55. Giải bài tập 54 ở trên với độ cứng của hai lò xo khác nhau (C1 và C2). 2πp p Trả lời: p = 1 2 2Δ (p1+ p 2 )( π + ) x 0 − Δ 56. Giả thiết khối l−ợng m có thể dịch chuyển tự do (không ma sát) trên mặt phẳng nằm ngang. Khi chuyển động khối l−ợng sẽ tiếp xúc với một trong hai lò xo gắn ở hai phía. Lò xo không gắn cứng vào khối l−ợng và ở vị trí cân bằng (khi giữa lò xo và khối l−ợng không có khe hở) lò xo không bị nén hoặc kéo. Độ cứng các lò xo khác nhau và bằng C1 và C2. Tìm tần số dao động của hệ. 2 CC Trả lời: p = 1 2 m (CC)1 + 2 57. Cho biết khối l−ợng m đ−ợc gắn vào hai lò xo kéo với độ căng ban đầu To. Giả sử dao động của khối l−ợng trên mặt phẳng ngang là không có ma sát. Hãy tìm giá trị độ lệch ban đầu x0 sao cho tần số dao động của khối l−ợng bằng 5 rad/s. Hãy giải bài toán bằng 2 ph−ơng pháp tham số bé và giới hạn ở xấp xỉ bậc nhất. Cho m = 0,01 Ns /cm; L0 = 50 cm; T0 = 50 N; C = 20 N/cm. Trả lời: x0 ≈ 9,12 cm y C r F L0 m C x R L 0 C hình vẽ bt 57 hình vẽ bt 59 165
  25. 58. Cho biết ph−ơng trình dao động tự do của con lắc toán học có dạng: •• g ϕ+sin ϕ = 0 . Trong đó: L là độ dài con lắc. L Tìm tần số dao động tự do của nó biết rằng trong khai triển của hàm sinϕ ra chuỗi Taylor ta lấy hai số hạng đầu. Cho biết ở thời điểm ban đầu (t = 0) con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng thẳng đứng một góc ϕ0. Hãy giải bài toán bằng ph−ơng pháp tham số bé và ph−ơng pháp tuyến tính hoá trực tiếp rồi so sánh kết quả thu đ−ợc: g ⎛ ϕ2 ⎞ 2 =⎜1 − 0 ⎟ Trả lời: a) Ph−ơng pháp tham số bé: p1 ⎜ ⎟ L ⎝ 8 ⎠ ⎛ 5ϕ2 ⎞ g 2 =2 ⎜1 − 0 ⎟ 2 = Ph−ơng pháp tuyến tính hoá trực tiếp: p1 p 0 ⎜ ⎟; p 0 ⎝ 42 ⎠ L 2 2 b) Δ =0, 006p 0 ϕ0 59. Tìm tần số dao động của đòn bẩy khi cho lực không đổi F tác dụng vào nó. Mô men quán tính của khối l−ợng đòn bẩy bằng J, độ cứng của trục là C. Giả sử dao động của đòn bẩy là khá lớn, vì vậy trong khai triển hàm sinϕ ra chuỗi ϕ3 Taylor ta lấy hai số hạng đầu tiên sinϕ = ϕ − . Biết ở thời điểm ban đầu (t = 0) góc quay 6 • • của đòn bẩy ϕ(0) = 0, còn vận tốc góc ϕ)0( = ϕ0 . Hãy giải bài toán bằng ph−ơng pháp tham số bé và ph−ơng pháp Butnốp-Galepkin rồi so sánh kết quả thu đ−ợc. Trả lời: Kết quả hai ph−ơng pháp trùng nhau: 2 ⎛ • ⎞ 2 2 3 ⎜ ϕ0 ⎟ FR 2 C− FR p1 = p + , p = 4⎜ p ⎟ GJ J ⎝ 1 ⎠ 60. Ng−ời ta gắn khối l−ợng m vào đầu mút một yếu tố đàn hồi phi tuyến (lò xo). Giả sử lực F động điều hoà có dạng F = F0 sin ωt, đặc tr−ng của m 3 lò xo có dạng T = Cx + C1x còn ma sát không đáng –1 2 kể. Cho F0 = 20N ; ω = 10rad/s, m = 10 Ns /cm. C = 15N/cm; C1 = 1,0N/cm . Với giá trị nào của tần hình vẽ bt 60 số lực kích động hệ sẽ tồn tại hai chế độ dao động bình ổn. Tính biên độ dao động trong hai chế độ này. Trả lời: ω* = 16,6 rad/s; a0 = 4,76 cm; a1 = - 2,38 cm 166
  26. 61. Tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình dao động c−ỡng bức của khối l−ợng m (xem hình vẽ BT 60) bằng ph−ơng pháp Đufinh, biết ở thời điểm ban đầu khối l−ợng m có độ lệch cực đại đối với vị trí cân bằng là x0 (các trị số bằng số lấy nh− BT 60). Trả lời: x= 2,27sin10t – 0,363.10-1(sin10t – sin30t). 167
  27. Tμi liệu tham khảo 1. Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Chiều, Khổng Doãn Điền. Bài giảng Lý thuyết dao động. ĐHTL - Hà Nội 1988, 88 tr. 2. Giáo trình Cơ học lý thuyết. Tập II ĐHTL - Hà nội 1977. 3. Бабаков И. М. Теория колебаний. изд. 2-е. М. Наука - 1965- 650с. 4. Бутенин Н. В. Элементы теории нелинейных колебаний. Л.Сидпромгиз -1962 - 194c. 5. Быховский И. И. Основы теории вибрационной техники. М.Машиностроение - 1969 - 364c. 6. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара - Л.Машиностроение -1976. 319c. 7. Тимошенко С. П. колебания в инженерном деле. М. Наука - 1967 - 444c. 8. Филипов А. Л. колебания деформируемых систем. М.Машиностроение -1970 - 732c. 9. Nguyễn Văn Khang. Dao động kỹ thuật NXB KHKT Hà Nội 2001. 10. Nguyễn Thúc An. Lý thuyết va chạm dọc của thanh đàn hồi và ứng dụng vào bài toán cọc - ĐH Thuỷ lợi 1991. 11. Nguyễn Thúc An. áp dụng lý va chạm dọc của thanh vào bài toán đóng cọc - ĐH Thuỷ lợi 1999. 12. Kolsky - Stress waves in soil - Oxford 1953. 13. Кильчевский Н. А. Теория соударений твердых тел- Киев 1969. 14. P. C Muller, W. O. Schiellen, Dao động tuyến tính dịch giả Nguyễn Đông Anh, NXB Xây Dựng 1997. 15. Nonlinear oscillations Ali Hasan NayFeh and Dean T. Mook, John Willey & Sons, New York, 1979. 168
  28. Mục lục Trang Lời nói đầu 1 Ch−ơng mở đầu 2 Đ1 Một vài khái niệm và định nghĩa 2 Đ2 Động năng của cơ hệ 2 Đ3 Thế năng của cơ hệ 3 Đ4 Hàm hao tán 4 Đ5 Ph−ơng pháp thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động 5 5.1 Thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động nhờ ph−ơng trình LagrăngII 5 5.2 Thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động theo ph−ơng pháp Đalămbe 8 5.3 áp dụng ph−ơng pháp lực để thiết lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ 8 Đ6 Xác định độ cứng của hệ dao động 10 6.1 Thanh đàn hồi 10 6.2 Hệ các lò xo 12 Ch−ơng I: Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do 14 Đ1.1 Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do 14 1.1.1 Dao động tự do không cản 14 1.1.2 Dao động tự do có cản 17 Đ1.2 Dao động c−ỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự do 22 1.2.1 Dao động c−ỡng bức không cản 23 1.2.2 Dao động c−ỡng bức có cản 26 1.2.3 Đệm đàn hồi của Máy 30 1.2.4 áp dụng phép biến đổi Laplace tính toán dao động c−ỡng bức 32 Ch−ơng II: Dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do 38 Đ2.1 Hệ nhiều bậc tự do. Ph−ơng pháp chung thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động 38 2.1.1 Hệ nhiều bậc tự do 38 2.1.2 Ph−ơng pháp chung thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động 38 2.1.3 Những nguyên tắc giải ph−ơng trình dao động của hệ 40 169
  29. Đ2.2 Dao động tuyến tính của hệ có hai bậc tự do 41 2.2.1 Dao động tự do không có cản 41 2.2.2 Dao động cững bức không cản 46 2.2.3 Một vài bài toán ứng dụng 49 Đ2.3 Dao động xoắn của trục mang các đĩa 55 2.3.1 Ph−ơng trình cơ bản. Ph−ơng trình tần số 55 2.3.2 Ph−ơng trình dao động xoắn c−ỡng bức trục mang các đĩa 57 Đ2.4 Dao động uốn của dầm có các khối l−ợng tập trung 59 2.4.1 Ph−ơng trình cơ bản – Ph−ơng trình tần số 59 2.4.2 Ph−ơng trình dao động uốn c−ỡng bức của dầm có các khối l−ợng tập trung 60 Ch−ơng III: Dao động tuyến tính của hệ có vô số bậc tự do 65 Đ3.1 Dao động dọc của thanh tiết diện không đổi 65 3.1.1 Ph−ơng trình vi phân dao động dọc của thanh 65 3.1.2 Giải ph−ơng trình sóng bằng ph−ơng pháp Furiê 66 3.1.3 Các điều kiện biên của thanh, ph−ơng trình tần số 67 Đ3.2 Dao động xoắn của trục tròn tiết diện không đổi 70 3.2.1 Ph−ơng trình cơ bản và nghiệm của nó 70 3.2.2 Các điều kiện biên - Ph−ơng trình tần số 71 Đ3.3 Dao động uốn của dầm tiết diện không đổi 72 3.3.1 Ph−ơng trình cơ bản 72 3.3.2 Giải ph−ơng trình vi phân dao động uốn của dầm tiết diện không đổi 74 3.3.3 Ph−ơng trình tần số 74 Đ3.4 Sự truyền sóng đàn hồi dọc trong thanh tiết diện không đổi 77 Ch−ơng IV: Va chạm dọc của vật rắn vμo thanh đμn hồi vμ áp dụng lý thuyết va chạm vμo bμi toán đóng cọc 79 Đ4.1 Một vài bài toán về va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi 79 4.1.1 Va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi tự do 79 4.1.2 Va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi một đầu bị gắn chặt 82 Đ4.2 Một vài bài toán va chạm của búa vào cọc 91 4.2.1 Va chạm của búa vào cọc tự do 91 170
  30. 4.2.2 Va chạm của búa vào cọc tựa trên nền cứng 97 4.2.3 Va chạm của búa vào cọc đóng trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực cản không đổi 103 Ch−ơng V: Cơ sở của lý thuyết dao động phi tuyến 124 Mở đầu 124 Đ5.1 Dao động tự do không cản của hệ một bậc tự do đối với đặc tr−ng phi tuyến của lực phục hồi 126 5.1.1 Ph−ơng trình vi phân cơ bản và nghiệm chính xác của nó 126 5.1.2 Nghiệm gần đúng của ph−ơng trình vi phân cơ bản 128 Đ5.2 Dao động c−ỡng bức không cản của hệ một bậc tự do với đặc tr−ng phi tuyến của lực phục hồi 135 5.2.1 Ph−ơng pháp Butnôp-Galepkin 135 5.2.2 Ph−ơng pháp tuyến tính hoá trực tiếp 136 5.2.3 Ph−ơng pháp Đufing 136 phần bμi tập Bài tập ch−ơng I 143 Bài tập ch−ơng II 155 Bài tập ch−ơng III 162 Bài tập ch−ơng V 164 Tμi liệu tham khảo 168 171