Bài tập hình học lớp 12 - Tập 1: Khối đa diện - Trần Sỹ Tùng

Nội dung text: Bài tập hình học lớp 12 - Tập 1: Khối đa diện - Trần Sỹ Tùng

1. TRAÀN SÓ TUØNG ›š & ›š BAØI TAÄP HÌNH HOÏC 12 TAÄP 1 OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC Naêm 2009
2. Traàn Só Tuøng Khoái ña dieän CHÖÔNG 0 OÂN TAÄP HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN 11 I. QUAN HEÄ SONG SONG 1. Hai ñöôøng thaúng song song ìa,bPÌ() a) Ñònh nghóa: abP Ûí îabÇ=Æ b) Tính chaát (P)≠≠(QR)()  ì(P)Ç=()Qd (P)Ç=(Q)aéa,,bcñoàngqui ï édPPab • í Þê • í(P)Éa,()QbÉÞê (P)Ç=()RbëaPPbc ëdººa()db ï îïabP îï(Q)Ç=()Rc ìab¹ • í ÞabP îaPPc,bc 2. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song a) Ñònh nghóa: d // (P) ⇔ d ∩ (P) = ∅ b) Tính chaát ìdËÌ(P),dP'() ìdPP() • í ÞdPP() • í ÞdaP îddP ' î(Q)Éd,(Q)Ç=()Pa ì(P)Ç=()Qd • í ÞdaP î(P)PPa,()Qa 3. Hai maët phaúng song song a) Ñònh nghóa: (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ b) Tính chaát ì(P),Éab ì(PQ)¹() ì(QR)() ï ï ï P • íaÇb=ÞM(PQ)P() • í(P)PP(R)Þ(PQ)() • í(P)Ç()Q=ÞaabP îïaPP(Q),bQ() îï(QR)P() îï(P)Ç=()Rb 4. Chöùng minh quan heä song song a) Chöùng minh hai ñöôøng thaúng song song Coù theå söû duïng 1 trong caùc caùch sau: • Chöùng minh 2 ñöôøng thaúng ñoù ñoàng phaúng, roài aùp duïng phöông phaùp chöùng minh song song trong hình hoïc phaúng (nhö tính chaát ñöôøng trung bình, ñònh lí Taleùt ñaûo, ) • Chöùng minh 2 ñöôøng thaúng ñoù cuøng song song vôùi ñöôøng thaúng thöù ba. • AÙp duïng caùc ñònh lí veà giao tuyeán song song. b) Chöùng minh ñöôøng thaúng song song vôùi maët phaúng Ñeå chöùng minh dPP(), ta chöùng minh d khoâng naèm trong (P) vaø song song vôùi moät ñöôøng thaúng d′ naøo ñoù naèm trong (P). c) Chöùng minh hai maët phaúng song song Chöùng minh maët phaúng naøy chöùa hai ñöôøng thaúng caét nhau laàn löôït song song vôùi hai ñöôøng thaúng trong maët phaúng kia. Trang 1
3. Khoái ña dieän Traàn Só Tuøng II. QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC 1. Hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc a) Ñònh nghóa: a ^ b Û (ab¶,) =900 b) Tính chaát • Giaû söû ur laø VTCP cuûa a, vr laø VTCP cuûa b. Khi ñoù a⊥b⇔=uvrr.0. bc⁄⁄ •  ⇒⊥ab îac^ 2. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng vuoâng goùc a) Ñònh nghóa: d ⊥ (P) ⇔ d ^ a, "a Ì (P) b) Tính chaát ìa,bÌ(P),aÇ=bO • Ñieàu kieän ñeå ñöôøng thaúng ⊥ maët phaúng: í Þ^dP() îd^^a,db ìabP ìab¹ · í Þ^()Pb · í ÞabP î()Pa^ îa^^(P),bP() (PQ)P () (PQ)≠() • í Þ^aQ() •  ⇒((PQ))P îaP^() î(P)^^a,()Qa aPP () aP⊄() •  ⇒⊥ba •  ⇒(aPP) îbP^ () a⊥⊥b,()Pb • Maët phaúng trung tröïc cuûa moät ñoaïn thaúng laø maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñoaïn thaúng taïi trung ñieåm cuûa noù. Maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng laø taäp hôïp caùc ñieåm caùch ñeàu hai ñaàu muùt cuûa ñoaïn thaúng ñoù. • Ñònh lí ba ñöôøng vuoâng goùc Cho a⊥⊂(P),bP(), a′ laø hình chieáu cuûa a treân (P). Khi ñoù b ⊥ a ⇔ b ^ a¢ 3. Hai maët phaúng vuoâng goùc a) Ñònh nghóa: (P) ^ (Q) Û (·(PQ),()) =900 b) Tính chaát ()Pa⊃ • Ñieàu kieän ñeå hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi nhau: í Þ^(PQ)() îaQ^() (PQ)^() (P)⊥(Q),(P)∩=()Qc ï • í Þ^aQ() • íAÎ(P)ÞÌaP() îaÌ^(P),ac îïa'^A,aQ() ì(P)Ç=()Qa ï · í(P)^(R)Þ^aR() îï(QR)^() 4. Chöùng minh quan heä vuoâng goùc a) Chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc Ñeå chöùng minh da^ , ta coù theå söû duïng 1 trong caùc caùch sau: · Chöùng minh goùc giöõa a vaø d baèng 900. · Chöùng minh 2 vectô chæ phöông cuûa a vaø d vuoâng goùc vôùi nhau. • Chöùng minh db^ maø baP . Trang 2
4. Traàn Só Tuøng Khoái ña dieän • Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi (P) vaø (P) chöùa a. • Söû duïng ñònh lí ba ñöôøng vuoâng goùc. • Söû duïng caùc tính chaát cuûa hình hoïc phaúng (nhö ñònh lí Pi–ta–go, ). b) Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng Ñeå chöùng minh d ^ (P), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau: • Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi hai ñöôøng thaúng a, b caét nhau naèm trong (P). • Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi (Q) vaø (Q) // (P). • Chöùng minh d // a vaø a ⊥ (P). • Chöùng minh d ⊂ (Q) vôùi (Q) ⊥ (P) vaø d vuoâng goùc vôùi giao tuyeán c cuûa (P) vaø (Q). • Chöùng minh d = (Q) ∩ (R) vôùi (Q) ⊥ (P) vaø (R) ⊥ (P). c) Chöùng minh hai maët phaúng vuoâng goùc Ñeå chöùng minh (P) ^ (Q), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau: • Chöùng minh trong (P) coù moät ñöôøng thaúng a maø a ⊥ (Q). • Chöùng minh ((·PQ),()) =900 III. GOÙC – KHOAÛNG CAÙCH 1. Goùc a) Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng: a//a', b//b' Þ (a¶,b) = (ab·',') Chuù yù: 00 £ (ab¶, ) ≤ 900 b) Goùc giöõa ñöôøng thaúng vôùi maët phaúng: • Neáu d ⊥ (P) thì (dP·,()) = 900. • Neáu dP⊥ () thì (dP·,()) = (dd·,') vôùi d′ laø hình chieáu cuûa d treân (P). Chuù yù: 00 ≤ (dP·,()) ≤ 900 aP⊥() c) Goùc giöõa hai maët phaúng ⇒=((·P),(Q),) (ab¶ ) bQ⊥() a⊂⊥(P),ac • Giaû söû (P) ∩ (Q) = c. Töø I ∈ c, döïng  ⇒ ((·P),(Q),) = (ab¶ ) b⊂⊥(Q),bc Chuù yù: 000≤≤((·PQ),()) 90 d) Dieän tích hình chieáu cuûa moät ña giaùc Goïi S laø dieän tích cuûa ña giaùc (H) trong (P), S′ laø dieän tích cuûa hình chieáu (H′) cuûa (H) treân (Q), ϕ = ((·PQ),()). Khi ñoù: S′ = S.cosϕ 2. Khoaûng caùch a) Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán ñöôøng thaúng (maët phaúng) baèng ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc veõ töø ñieåm ñoù ñeán ñöôøng thaúng (maët phaúng). b) Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song baèng khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kì treân ñöôøng thaúng ñeán maët phaúng. c) Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song baèng khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kì treân maët phaúng naøy ñeán maët phaúng kia. Trang 3
5. Khoái ña dieän Traàn Só Tuøng d) Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau baèng: • Ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa hai ñöôøng thaúng ñoù. • Khoaûng caùch giöõa moät trong hai ñöôøng thaúng vôùi maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng kia vaø song song vôùi ñöôøng thaúng thöù nhaát. • Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng, maø moãi maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng naøy vaø song song vôùi ñöôøng thaúng kia. IV. Nhaéc laïi moät soá coâng thöùc trong Hình hoïc phaúng 1. Heä thöùc löôïng trong tam giaùc a) Cho DABC vuoâng taïi A, coù ñöôøng cao AH. 111 · AB2+=AC22BC · AB22==BC.BH,.ACBCCH • =+ AH2AB22AC b) Cho DABC coù ñoä daøi ba caïnh laø: a, b, c; ñoä daøi caùc trung tuyeán laø ma, mb, mc; baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R; baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp r; nöûa chu vi p. · Ñònh lí haøm soá cosin: a2=b22+c–2bc.cosA;b2=c2+a2-22ca.cosB;c2=a22+-babC.cos a b c · Ñònh lí haøm soá sin: = = = 2R sin A sin B sin C · Coâng thöùc ñoä daøi trung tuyeán: b2+c2a2c2++a2b2a2bc22 m2=-;;mm22=-=- a24bc2424 2. Caùc coâng thöùc tính dieän tích a) Tam giaùc: 1 1 1 1 1 1 · S = a.h = b.h = c.h · S = bcsin A = ca.sin B = absin C 2 a 2 b 2 c 2 2 2 abc · S = · S = pr · S=p( p-a)( p b)( pc) 4R · DABC vuoâng taïi A: 2S==AB ACBCAH a2 3 · DABC ñeàu, caïnh a: S = 4 b) Hình vuoâng: S = a2 (a: caïnh hình vuoâng) c) Hình chöõ nhaät: S = a.b (a, b: hai kích thöôùc) d) Hình bình haønh: S = ñaùy × cao = AB ADsin·BAD 1 e) Hình thoi: S==AB.AD sin·BADACBD 2 1 f) Hình thang: S= (a+ b).h (a, b: hai ñaùy, h: chieàu cao) 2 1 g) Töù giaùc coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc: S= AC.BD 2 Trang 4
6. Traàn Só Tuøng Khoái ña dieän CHÖÔNG I KHOÁI ÑA DIEÄN VAØ THEÅ TÍCH CUÛA CHUÙNG 1. Theå tích cuûa khoái hoäp chöõ nhaät: V=abc vôùi a, b, c laø ba kích thöôùc cuûa khoái hoäp chöõ nhaät. 2. Theå tích cuûa khoái choùp: 1 V= Sh. vôùi Sñaùy laø dieän tích ñaùy, h laø chieàu cao cuûa khoái choùp 3ñaùy 3. Theå tích cuûa khoái laêng truï: V=Shñaùy . vôùi Sñaùy laø dieän tích ñaùy, h laø chieàu cao cuûa khoái laêng truï 4. Moät soá phöông phaùp tính theå tích khoái ña dieän a) Tính theå tích baèng coâng thöùc • Tính caùc yeáu toá caàn thieát: ñoä daøi caïnh, dieän tích ñaùy, chieàu cao, • Söû duïng coâng thöùc ñeå tính theå tích. b) Tính theå tích baèng caùch chia nhoû Ta chia khoái ña dieän thaønh nhieàu khoái ña dieän nhoû maø coù theå deã daøng tính ñöôïc theå tích cuûa chuùng. Sau ñoù, coäng caùc keát quaû ta ñöôïc theå tích cuûa khoái ña dieän caàn tính. c) Tính theå tích baèng caùch boå sung Ta coù theå gheùp theâm vaøo khoái ña dieän moät khoái ña dieän khaùc sao cho khoái ña dieän theâm vaøo vaø khoái ña dieän môùi taïo thaønh coù theå deã tính ñöôïc theå tích. d) Tính theå tích baèng coâng thöùc tæ soá theå tích Ta coù theå vaän duïng tính chaát sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz khoâng ñoàng phaúng. Vôùi baát kì caùc ñieåm A, A’ treân Ox; B, B' treân Oy; C, C' treân Oz, ta ñeàu coù: V OAOBOC OABC = VOA'BC'' OA'OB''OC * Boå sung • Dieän tích xung quanh cuûa hình laêng truï (hình choùp) baèng toång dieän tích caùc maët beân • Dieän tích toaøn phaàn cuûa hình laêng truï (hình choùp) baèng toång dieän tích xung quanh vôùi dieän tích caùc ñaùy. Baøi 1. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a. Goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy baèng a (450 < a < 900). Tính theå tích hình choùp. 1 1 HD: Tính h = atana Þ Va=a3tan 2 6 Baøi 2. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh 2a, caïnh beân SA = a 5. Moät maët phaúng (P) ñi qua AB vaø vuoâng goùc vôùi mp(SCD) laàn löôït caét SC vaø SD taïi C¢ vaø D¢. Tính theå tích cuûa khoái ña dieän ADD¢.BCC¢. HD: Gheùp theâm khoái S.ABC'D' vaøo khoái ADD'.BCC' thì ñöôïc khoái SABCD 53a3 Þ V = 6 Trang 5
7. Khoái ña dieän Traàn Só Tuøng Baøi 3. Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù SA = x, BC = y, caùc caïnh coøn laïi ñeàu baèng 1. Tính theå tích hình choùp theo x vaø y. HD: Chia khoái SABC thaønh hai khoái SIBC vaø AIBC (I laø trung ñieåm SA) xy Þ V=4 xy22 12 Baøi 4. Cho töù dieän ABCD coù caùc caïnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tính theå tích töù dieän theo a, b, c. HD: Trong mp(BCD) laáy caùc ñieåm P, Q, R sao cho B, C, D laàn löôït laø trung ñieåm cuûa 1 PQ, QR, RP. Chuù yù: VAPQR = 4VABCD = AP AQAR 6 2 Þ V=(a2+b2-c2)(bc2+2-a2)()c2+-ab22 12 Baøi 5. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a, SA = 2a vaø SA ^ (ABC).Goïi M vaø N laàn löôït laø hình chieáu cuûa A treân caùc ñöôøng thaúng SB vaø SC. Tính theå tích khoái choùp A.BCNM. 2 V SASMSNæöSA2 16 33a3 HD: SAMN = ==ç÷ Þ V = ç÷2 VSABC SASBSC èøSB 25 50 Baøi 6. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh 7cm, SA ^ (ABCD), SB = 7 3 cm. Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD. Baøi 7. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A vôùi AB = 3 cm, AC = 4cm. Hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy vaø SA = 5cm. Tính theå tích khoái choùp S.ABC. Baøi 8. Cho hình töù dieän ABCD coù AD ^ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. a) Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp(BCD). b) Tính theå tích töù dieän ABCD. Baøi 9. Cho laêng truï tam giaùc ñeàu ABC.A¢B¢C¢ coù mp(ABC¢) taïo vôùi ñaùy moät goùc 450 vaø dieän tích DABC¢ baèng 49 6 cm2. Tính theå tích laêng truï. Baøi 10. Cho hình vuoâng ABCD caïnh a, caùc nöûa ñöôøng thaúng Bx, Dy vuoâng goùc vôùi mp(ABCD) vaø ôû veà cuøng moät phía ñoái vôùi maët phaúng aáy. Treân Bx vaø Dy laàn löôït laáy caùc ñieåm M, N vaø goïi BM = x, DN = y. Tính theå tích töù dieän ACMN theo a, x, y. Baøi 11. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät vôùi AB =a, AD = a 2 , SA ^ (ABCD). Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø SC, I laø giao ñieåm cuûa BM vaø AC. a) Chöùng minh mp(SAC) ^ BM. b) Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ANIB. Baøi 12. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a, SA = 2a vaø SA ^ (ABC). Goïi M vaø N laàn löôït laø hình chieáu cuûa A treân caùc ñöôøng thaúng SB, SC. Tính theå tích khoái choùp A.BCNM. Baøi 13. (A–08) Cho laêng truï ABC. A’B’C’ coù ñoä daøi caïnh beân baèng 2a, ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A, AB = a, AC = a 3 vaø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A’ treân (ABC) laø trung ñieåm cuûa BC. Tính theo a theå tích cuûa khoái choùp A’.ABC vaø cosin cuûa goùc giöõa 2 ñöôøng thaúng AA’ vaø B’C’. Trang 6
8. Traàn Só Tuøng Khoái ña dieän a3 1 HD: V ==;cosj 24 Baøi 14. (B–08): Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh 2a, SA = a, SB = a 3 vaø (SAB) vuoâng goùc maët ñaùy. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm AB, BC. Tính theo a theå tích cuûa khoái choùp S.BMDN vaø cosin cuûa goùc giöõa hai ñöôøng thaúng SM vaø DN. a3 35 HD: V ==;cosj 35 Baøi 15. (D–08): Cho laêng truï ñöùng ABC. A’B’C’ coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng, AB = BC = a, caïnh beân AA’ = a 2 . Goïi M laø trung ñieàm cuûa BC. Tính theo a theå tích cuûa laêng truï ABC.A’B’C’ vaø khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng AM, B¢C. 27aa3 HD: Vd==; 27 Baøi 16. (A–07): Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, maët beân SAD laø tam giaùc ñeàu vaø naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm SB, BC, CD. Chöùng minh AM ^ BP vaø tính theå tích khoái CMNP. 3a3 HD: V = 96 Baøi 17. (B–07): Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a. Goïi E laø ñieåm ñoái xöùng cuûa D qua trung ñieåm cuûa SA; M laø trung ñieåm cuûa AE, N laø trung ñieåm cuûa BC. Chöùng minh MN ^ BD vaø tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng MN vaø AC. a 2 HD: d = 4 Baøi 18. (D–07): Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thang vôùi ·ABC==·BAD 900 , BC = BA = a, AD = 2a. SA^(ABCD), SA = a 2 . Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB. Chöùng minh tam giaùc SCD vuoâng vaø tính khoaûng caùch töø H ñeán (SCD). a HD: d = 3 Baøi 19. (A–06): Cho hình truï coù caùc ñaùy laø hai hình troøn taâm O vaø O¢, baùn kính ñaùy baèng chieàu cao vaø baèng a. Treân ñöôøng troøn ñaùy taâm O laáy ñieåm A, treân ñöôøng troøn ñaùy taâm O¢ laáy ñieåm B sao cho AB = 2a. Tính theå tích cuûa khoái töù dieän OO¢AB. 3a3 HD: V = 12 Baøi 20. (B–06): Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät vôùi AB = a, AD = a 2 , SA = a vaø SA ^ (ABCD). Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD, SC; I laø giao ñieåm cuûa BM vaø AC. Chöùng minh raèng (SAC) ^ (SMB). Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ANIB. a3 2 HD: V = 36 Baøi 21. (D–06): Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a, SA = Trang 7
9. Khoái ña dieän Traàn Só Tuøng 2a vaø SA ^ (ABC). Goïi M, N laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB, SC. Tính theå tích cuûa hình choùp A.BCMN. 33a3 HD: V = 50 Baøi 22. (Döï bò 1 A–07): Cho laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1 coù AB = a, AC = 2a, AA1 = 0 2a 5 vaø ·BAC = 120 . Goïi M laø trung ñieåm CC1. Chöùng minh MB ^ MA1 vaø tính khoaûng caùch d töø A ñeán (A1BM). a 5 HD: d = 3 Baøi 23. (Döï bò 2 A–07): Cho hình choùp SABC coù goùc ·((SBC),()ABC ) =600 , ABC vaø SBC laø caùc tam giaùc ñeàu caïnh a. Tính theo a khoaûng caùch töø B ñeán (SAC). 3a HD: d = 13 Baøi 24. (Döï bò 1 B–07): Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng taâm O, SA ^ (ABCD). AB = a, SA = a 2 . Goïi H, K laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB, SD. Chöùng minh SC^(AHK) vaø tính theå tích cuûa töù dieän OAHK. 2a3 HD: V = 27 Baøi 25. (Döï bò 2 B–07): Trong maët phaúng (P), cho nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB = 2R vaø ñieåm C thuoäc nöûa ñöôøng troøn ñoù sao cho AC = R. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi (P) taïi A laáy ñieåm S sao cho ·((SAB),()SBC ) =600 . Goïi H, K laàn löôït laø hình chieáu cuûa A treân SB, SC. Chöùng minh tam giaùc AHK vuoâng vaø tính theå tích töù dieän SABC. R3 6 HD: V = 12 Baøi 26. (Döï bò 1 D–07): Cho laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1 coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng, AB = AC = a, AA1 = a 2 . Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm ñoaïn AA1 vaø BC1. Chöùng minh MN laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa AA1 vaø BC1. Tính theå tích cuûa töù dieän MA1BC1. a3 2 HD: V = 12 Baøi 27. (Döï bò 2 D–07): Cho laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1 coù taát caû caùc caïnh ñeàu baèng a. M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AA1. Chöùng minh BM ^ B1C vaø tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng BM vaø B1C. a 30 HD: d = 10 Baøi 28. (Döï bò 1 A–06): Cho hình hoäp ñöùng ABCD.A'B'C'D' coù caùc caïnh AB = AD = a, a 3 AA' = vaø ·BAD = 600 . Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh A'D' vaø A'B'. 2 Chöùng minh AC' ^ (BDMN). Tính theå tích khoái choùp A.BDMN. Trang 8
10. Traàn Só Tuøng Khoái ña dieän 3a3 HD: V = 16 Baøi 29. (Döï bò 2 A–06): Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät vôùi AB = a, AD = 2a, caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy, caïnh SB taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 600. a 3 Treân caïnh SA laáy ñieåm M sao cho AM = . Maët phaúng (BCM) caét caïnh SD taïi N. 3 Tính theå tích khoái choùp S.BCMN. 103 HD: Va= 3 27 Baøi 30. (Döï bò 1 B–06): Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a, ·BAD = 600 , SA ^ (ABCD), SA = a. Goïi C' laø trung ñieåm cuûa SC. Maët phaúng (P) ñi qua AC' vaø song song vôùi BD, caét caùc caïnh SB, SD laàn löôït taïi B', D'. Tính theå tích khoái choùp S.AB'C'D'. a3 3 HD: V = 18 Baøi 31. (Döï bò 2 B–06): Cho hình laêng truï ABC.A'B'C' coù A'ABC laø hình choùp tam giaùc ñeàu, caïnh ñaùy AB = a, caïnh beân AA' = b. Goïi a laø goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø (A'BC). Tính tana vaø theå tích khoái choùp A'.BB'C'C. a23ba22- HD: V = 6 Baøi 32. (Döï bò 1 D–06): Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a. Goïi SH laø ñöôøng cao cuûa hình choùp. Khoaûng cachs töø trung ñieåm I cuûa SH ñeán maët phaúng (SBC) baèng b. Tính theå tích khoái choùp S.ABCD. 2 ab3 HD: V= . 3 ab22-16 Baøi 33. (Döï bò 2 D–06): Cho hình laäp phöông ABCD.A¢B¢C¢D¢ coù caïnh baèng a vaø ñieåm K 2 thuoäc caïnh CC¢ sao cho CK = a . Maët phaúng (a) ñi qua A, K vaø song song vôùi BD, 3 chia khoái laäp phöông thaønh hai khoái ña dieän. Tính theå tích cuûa hai khoái ña dieän ñoù. aa332 HD: VV==; 1233 Baøi 34. (Döï bò 04): Cho hình choùp S.ABC coù SA = 3a vaø SB ^ (ABC). Tam giaùc ABC coù BA = BC = a, goùc ABC baèng 1200. Tính khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán maët phaúng (SBC). Baøi 35. (Döï bò 03): Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B, AB = a, BC = 2a, caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø SA = 2a. Goïi M laø trung ñieåm cuûa SC. Chöùng minh raèng tam giaùc AMB caân taïi M vaø tính dieän tích tam giaùc AMB theo a. Trang 9
11. Khoái ña dieän Traàn Só Tuøng OÂN TAÄP KHOÁI ÑA DIEÄN Baøi 1. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu SABCD, coù caïnh ñaùy baèng a vaø ·ASB = a . a) Tính dieän tích xung quanh hình choùp. aa b) Chöùng minh ñöôøng cao cuûa hình choùp baèng cot2 -1 22 c) Tính theå tích khoái choùp. 2 a 132a HD: a) Sxq = a cot c) V = acot -1 2 62 Baøi 2. Cho hình choùp SABC coù 2 maët beân (SAB) vaø (SAC) vuoâng goùc vôùi ñaùy. Ñaùy ABC laø tam giaùc caân ñænh A. Trung tuyeán AD = a. Caïnh beân SB taïo vôùi ñaùy goùc a vaø taïo vôùi mp(SAD) goùc b. a) Xaùc ñònh caùc goùc a, b. b) Chöùng minh: SB2 = SA2 + AD2 + BD2. c) Tính dieän tích toaøn phaàn vaø theå tích khoái choùp. HD: a) ·SBA==ab; ·BSD 1aa22sin b c) Stp = (sin22ab++sin) 22 2cosab-sin cos22ab-sin a3 sinab.sin V = 3(cos22ab- sin) Baøi 3. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a. Maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu vaø vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB vaø M laø moät ñieåm di ñoäng treân ñöôøng thaúng BC. a) Chöùng minh raèng SH ^ (ABCD). Tính theå tích khoái choùp SABCD. b) Tìm taäp hôïp caùc hình chieáu cuûa S leân DM. c) Tìm khoaûng caùch töø S ñeán DM theo a vaø x = CM. a7a22-+44axx HD: b) K thuoäc ñöôøng troøn ñöôøng kính HD c) SK = 2 ax22+ Baøi 4. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc taïi A vôùi maët phaúng cuûa hình vuoâng ABCD caïnh a ta laáy ñieåm S vôùi SA = 2a. Goïi B¢, D¢ laø hình chieáu cuûa A leân SB vaø SD. Maët phaúng (AB¢D¢) caét SC taïi C¢. Tính theå tích khoái choùp SAB¢C¢D¢. 3 VSABC¢¢ 8 16a HD: = Þ VSAB¢C¢D¢ = VSABC 15 45 Baøi 5. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình bình haønh. Moät maët phaúng (P) caét SA, SB, SC, SD laàn löôït taïi A¢, B¢, C¢, D¢. Chöùng minh: SASCSBSD +=+ SA¢SC¢SB¢¢SD HD: Söû duïng tính chaát tæ soá theå tích hình choùp Baøi 6. Cho töù dieän ñeàu SABC coù caïnh laø a. Döïng ñöôøng cao SH. a) Chöùng minh SA ^ BC. Trang 10
12. Traàn Só Tuøng Khoái ña dieän b) Tính theå tích vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình choùp SABC. c) Goïi O laø trung ñieåm cuûa SH. Chöùng minh raèng OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau. 3 a 2 2 3 HD: b) V = ; S tp = a . 12 Baøi 7. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu SABCD coù caïnh beân taïo vôùi ñaùy moät goùc 600 vaø caïnh ñaùy baèng a. a) Tính theå tích khoái choùp. b) Qua A döïng maët phaúng (P) vuoâng goùc vôùi SC. Tính dieän tích thieát dieän taïo bôûi (P) vaø hình choùp. a3 6 a2 3 HD: a) V = b) S = 6 3 Baøi 8. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu SABCD coù chieàu cao SH = h vaø goùc ôû ñaùy cuûa maët beân laø a. a) Tính dieän tích xung quanh vaø theå tích khoái choùp theo a vaø h. b) Cho ñieåm M di ñoäng treân caïnh SC. Tìm taäp hôïp hình chieáu cuûa S xuoáng mp(MAB). 4h2 tana 4h3 HD: a) Sxq = ; V = tan2 a -1 31(tan)2 a - Baøi 9. Treân caïnh AD cuûa hình vuoâng ABCD caïnh a, ngöôøi ta laáy ñieåm M vôùi AM = x (0 £ x £ a) vaø treân nöûa ñöôøng thaúng Ax vuoâng goùc taïi A vôùi maët phaúng cuûa hình vuoâng, ngöôøi ta laáy ñieåm S vôùi SA = y (y > 0). a) Chöùng minh hai maët phaúng (SBA) vaø (SBC) vuoâng goùc. b) Tính khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán mp(SAC). c) Tính theå tích khoái choùp SABCM. d) Vôùi giaû thieát x2 + y2 = a2. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa theå tích vôùi SABCM. e) I laø trung ñieåm cuûa SC. Tìm quó tích hình chieáu cuûa I xuoáng MC khi M di ñoäng treân ñoaïn AD. x 2 1 1 3 HD: b) d = c) V = ay()xa+ d) Vmax = a 3 2 6 24 Baøi 10. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät coù caïnh AB = a, caïnh beân SA vuoâng goùc vôùi ñaùy, caïnh beân SC hôïp vôùi ñaùy goùc a vaø hôïp vôùi maët beân SAB moät goùc b. a2 a) Chöùng minh: SC2 = . cos22ab- sin b) Tính theå tích khoái choùp. a3 sinab.sin HD: b) V = 3(cos22ab- sin) Baøi 11. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a .Caïnh beân SA =2a vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy. a) Tính dieän tích toaøn phaàn cuûa hình choùp. b) Haï AE ^ SB, AF ^ SD. Chöùng minh SC ^ (AEF). Baøi 12. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh baèng a vaø SA = SB = SC = SD = a. Tính dieän tích toaøn phaàn vaø theå tích khoái choùp S.ABCD. Trang 11
13. Khoái ña dieän Traàn Só Tuøng Baøi 13. Cho hình choùp töù giaùc S.ABCD coù ñaùy laø ABCD hình thang vuoâng taïi A vaø D, AB = AD = a, CD = 2a. Caïnh beân SD ^ (ABCD) vaø SD= a . a) Chöùng minh DSBC vuoâng. Tính dieän tích DSBC. b) Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC). Baøi 14. Cho hình choùp töù giaùc S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng taïi A vaø D, AB = AD = a, CD = 2a. Caïnh beân SD ^ (ABCD), SD = a 3 . Töø trung ñieåm E cuûa DC döïng EK ^ SC (KÎSC). Tính theå tích khoái choùp S.ABCD theo a vaø chöùng minh SC ^ (EBK). Baøi 15. Cho hình choùp töù giaùc S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng taïi A vaø D. Bieát raèng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Caïnh beân SA =3a vaø vuoâng goùc vôùi ñaùy. a) Tính dieän tích tam giaùc SBD. b) Tính theå tích cuûa töù dieän töù dieän SBCD theo a. Baøi 16. Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng ôû B. Caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy. Töø A keû caùc ñoaïn thaúng AD ^ SB vaø AE ^ SC. Bieát AB = a, BC = b, SA = c. a) Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ADE. b) Tính khoaûng caùch töø ñieåm E ñeán maët phaúng (SAB). Baøi 17. Cho laêng truï tam giaùc ñeàu ABC.A¢B¢C¢, caïnh ñaùy baèng a, ñöôøng cheùo cuûa maët beân BCC¢B¢ hôïp vôùi maët beân ABB¢A¢ moät goùc a. a) Xaùc ñònh goùc a. a3 33sin a b) Chöùng minh theå tích laêng truï laø: . 8 sin3 a HD: a) ·C¢¢BI vôùi I¢ laø trung ñieåm cuûa A¢B¢ Baøi 18. Cho laêng truï töù giaùc ñeàu ABCD.A¢B¢C¢D¢, chieàu cao h. Maët phaúng (A¢BD) hôïp vôùi maët beân ABB¢A¢ moät goùc a. Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh cuûa laêng truï. 32 22 HD: V = h tan a -1 , Sxq = 41h tan a - . Baøi 19. Cho laêng truï ñöùng ABC.A¢B¢C¢, ñaùy ABC vuoâng taïi A. Khoaûng caùch töø AA¢ ñeán maët beân BCC¢B¢ baèng a, mp(ABC¢) caùch C moät khoaûng baèng b vaø hôïp vôùi ñaùy goùc a. a) Döïng AH ^ BC, CK ^ AC¢. Chöùng minh: AH = a, ·CAC¢ = a, CK = b. b) Tính theå tích laêng truï. c) Cho a = b khoâng ñoåi, coøn a thay ñoåi. Ñònh a ñeå theå tích laêng truï nhoû nhaát. ab3 2 HD: b) V = c) a = arctan sin2aaba2- 22sin 2 Baøi 20. Cho laêng truï ñeàu ABCD.A¢B¢C¢D¢ caïnh ñaùy baèng a. Goùc giöõa ñöôøng cheùo AC¢ vaø ñaùy laø 600. Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh hình laêng truï. 3 2 HD: V = a 6 ; Sxq = 4a 6 Baøi 21. Cho laêng truï töù giaùc ñeàu, coù caïnh beân laø h. Töø moät ñænh veõ 2 ñöôøng cheùo cuûa 2 maët beân keà nhau. Goùc giöõa 2 ñöôøng cheùo aáy laø a. Tính dieän tích xung quanh hình laêng truï. 2 1- cosa HD: Sxq = 4h . cosa Trang 12
14. Traàn Só Tuøng Khoái ña dieän Baøi 22. Cho laêng truï tam giaùc ñeàu ABc.A¢B¢C¢, caïnh ñaùy baèng a. Maët phaúng (ABC¢) hôïp vôùi mp(BCC¢B¢) moät goùc a. Goïi I, J laø hình chieáu cuûa A leân BC vaø BC¢. a) Chöùng minh ·AJI = a. b) Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh hình laêng truï. 3 3a 2 3 HD: b) V = ; Sxq = 3a . 2 43tan2 a - tan a - 3 Baøi 23. Cho laêng truï xieân ABC.A¢B¢C¢, ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a, AA¢ = A¢B = A¢C = b. a) Xaùc ñònh ñöôøng cao cuûa laêng truï veõ töø A¢. Chöùng minh maët beân BCC¢B¢ laø hình chöõ nhaät. b) Ñònh b theo a ñeå maët beân ABB¢A¢ hôïp vôùi ñaùy goùc 600. c) Tính theå tích vaø dieän tích toaøn phaàn theo a vôùi giaù trò b tìm ñöôïc. 7 a2 HD: b) b = a c) Stp = ()73+ 21 12 6 Baøi 24. Cho hình laêng truï xieân ABC.A¢B¢C¢, ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân ñænh A. Maët beân ABB¢A¢ laø hình thoi caïnh a, naèm treân maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy. Maët beân ACC¢A¢ hôïp vôùi ñaùy goùc nhò dieän coù soá ño a (0 < a < 900). a) Chöùng minh: ·A¢AB = a. b) Tính theå tích laêng truï. c) Xaùc ñònh thieát dieän thaúng qua A. Tính dieän tích xung quanh laêng truï. d) Goïi b laø goùc nhoïn maø mp(BCC¢B¢) hôïp vôùi maët phaúng ñaùy. Chöùng minh: tanb = 2 tana. 1 3 2 2 HD: b) V = a sina c) Sxq = a (1 + sina + 1+ sin a ) 2 Baøi 25. Cho laêng truï xieân ABC.A¢B¢C¢ ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a. Hình chieáu cuûa A¢ leân mp(ABC) truøng vôùi taâm ñöôøng troøn (ABC). Cho ·BAA¢ = 450. a) Tính theå tích laêng truï. b) Tính dieän tích xung quanh laêng truï. 2 a 2 2 2 HD: a) V = b) Sxq = a (1 + ). 8 2 Baøi 26. Cho laêng truï xieân ABC.A¢B¢C¢, ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O. Hình chieáu cuûa C¢ leân mp(ABC) laø O. Khoaûng caùch giöõa AB vaø CC¢ laø d vaø soá ño nhò dieän caïnh CC¢ laø 2j. a) Tính theå tích laêng truï. b) Goïi a laø goùc giöõa 2 mp(ABB¢A¢) vaø (ABC) (0 < a < 900). Tính j bieát a + j = 900. 2d33tan j 1 2 HD: a) V = b) tana = ; j = arctan 31tan2j - 31tan2 j - 2 Baøi 27. Cho laêng truï xieân ABC.A¢B¢C¢ coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng taïi A, AB = a, BC = 2a. Maët beân ABBA¢ laø hình thoi, maët beân BCC¢B¢ naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy, hai maët naøy hôïp vôùi nhau moät goùc a. a) Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp(BCC¢B¢). Xaùc ñònh goùc a. b) Tính theå tích laêng truï. Trang 13
15. Khoái ña dieän Traàn Só Tuøng a 3 HD: a) . Goïi AK laø ñöôøng cao cuûa DABC; veõ KH ^ BB¢. ·AHK = a. 2 3a3 b) V = cota . 2 Baøi 28. Cho hình hoäp ñöùng ABCD.A¢B¢C¢D¢, ñaùy laø hình thoi. Bieát dieän tích 2 maët cheùo ACC¢A¢, BDD¢B¢ laø S1, S2. a) Tính dieän tích xung quanh hình hoäp. b) Bieát ·BAD¢ = 1v. Tính theå tích hình hoäp. 22 2 SS12 HD: a) Sxq = 2 SS12+ b) V = . 2 4 22 SS21- Baøi 29. Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A¢B¢C¢D¢, ñöôøng cheùo AC¢ = d hôïp vôùi ñaùy ABCD moät goùc a vaø hôïp vôùi maët beân BCC¢B¢ moät goùc b. a) Chöùng minh: ·CAC¢¢==abvaø·ACB . b) Chöùng minh theå tích hình hoäp laø: V = d3sina.sinb cos(a+-b).cos()ab c) Tìm heä thöùc giöõa a, b ñeå A¢D¢CB laø hình vuoâng. Cho d khoâng ñoåi, a vaø b thay ñoåi maø A¢D¢CB luoân laø hình vuoâng, ñònh a, b ñeå V lôùn nhaát. 3 2 2 d 2 0 HD: c) 2(cos a – sin b) = 1 ; Vmax = khi a = b = 30 (duøng Coâsi). 32 Baøi 30. Cho hình hoäp ABCD.A¢B¢C¢D’ coù ñaùy laø hình thoi ABCD caïnh a, µA = 600. Chaân ñöôøng vuoâng goùc haø töø B¢ xuoáng ñaùy ABCD truøng vôùi giao ñieåm 2 ñöôøng cheùo cuûa ñaùy. Cho BB¢ = a. a) Tính goùc giöõa caïnh beân vaø ñaùy. b) Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh hình hoäp. 3 0 3a 2 HD: a) 60 b) V = ; Sxq = a 15 . 4 Baøi 31. Cho hình hoäp xieân ABCD.A¢B¢C¢D¢, ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a vaø ·BAD = 600; A¢A = A¢B = A¢D vaø caïnh beân hôïp vôùi ñaùy goùc a. a) Xaùc ñònh chaân ñöôøng cao cuûa hình hoäp veõ töø A¢ vaø goùc a. Tính theå tích hình hoäp. b) Tính dieän tích caùc töù giaùc ACC¢A¢, BDD¢B¢. p c) Ñaët b = ·( ABB¢¢A, ABCD). Tính a bieát a + b = . 4 HD: a) Chaân ñöôøng cao laø taâm cuûa tam giaùc ñeàu ABD. 2 a 3 2 173- b) SBDD B = ; SACC A = a tana c) a = arctan ¢ ¢ 3sina ¢ ¢ 4 Chaân thaønh caûm ôn caùc baïn ñoàng nghieäp vaø caùc em hoïc sinh ñaõ ñoïc taäp taøi lieäu naøy. transitung_tv@yahoo.com Trang 14
16. TRAÀN SÓ TUØNG ›š & ›š BAØI TAÄP HÌNH HOÏC 12 TAÄP 2 OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC Naêm 2009
17. Traàn Só Tuøng Khoái troøn xoay CHÖÔNG II KHOÁI TROØN XOAY I. Maët caàu – Khoái caàu: 1. Ñònh nghóa • Maët caàu: S(O;)R=={MOMR} • Khoái caàu: V(O;)R=≤{MOMR} 2. Vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø maët phaúng Cho maët caàu S(O; R) vaø maët phaúng (P). Goïi d = d(O; (P)). • Neáu d R thì (P) vaø (S) khoâng coù ñieåm chung. Khi d = 0 thì (P) ñi qua taâm O vaø ñgl maët phaúng kính, ñöôøng troøn giao tuyeán coù baùn kính baèng R ñgl ñöôøng troøn lôùn. 3. Vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø ñöôøng thaúng Cho maët caàu S(O; R) vaø ñöôøng thaúng D. Goïi d = d(O; D). · Neáu d R thì D vaø (S) khoâng coù ñieåm chung. 4. Maët caàu ngoaïi tieáp – noäi tieáp Maët caàu ngoaïi tieáp Maët caàu noäi tieáp Hình ña dieän Taát caû caùc ñænh cuûa hình ña dieän Taát caû caùc maët cuûa hình ña dieän ñeàu naèm treân maët caàu ñeàu tieáp xuùc vôùi maët caàu Hình truï Hai ñöôøng troøn ñaùy cuûa hình truï Maët caàu tieáp xuùc vôùi caùc maët ñaùy naèm treân maët caàu vaø moïi ñöôøng sinh cuûa hình truï Hình noùn Maët caàu ñi qua ñænh vaø ñöôøng troøn Maët caàu tieáp xuùc vôùi maët ñaùy vaø ñaùy cuûa hình noùn moïi ñöôøng sinh cuûa hình noùn 5. Xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp khoái ña dieän · Caùch 1: Neáu (n – 2) ñænh cuûa ña dieän nhìn hai ñænh coøn laïi döôùi moät goùc vuoâng thì taâm cuûa maët caàu laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng noái hai ñænh ñoù. · Caùch 2: Ñeå xaùc ñònh taâm cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. – Xaùc ñònh truïc D cuûa ñaùy (D laø ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy taïi taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy). – Xaùc ñònh maët phaúng trung tröïc (P) cuûa moät caïnh beân. – Giao ñieåm cuûa (P) vaø D laø taâm cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. II. Dieän tích – Theå tích Caàu Truï Noùn Sxq = 2p Rh Sxq = p Rl Dieän tích SR= 4p 2 Stp=+SSxq2 ñaùy Stp=+SSxqñaùy 4 3 1 2 Theå tích VR= p V= p Rh2 V= p Rh 3 3 Trang 15
18. Khoái troøn xoay Traàn Só Tuøng VAÁN ÑEÀ 1: Maët caàu – Khoái caàu Baøi 1. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B vaø SA ^ (ABC) . a) Goïi O laø trung ñieåm cuûa SC. Chöùng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra boán ñieåm A, SC B, C, S cuøng naèm treân maët caàu taâm O baùn kính R = . 2 b) Cho SA = BC = a vaø AB = a 2 . Tính baùn kính maët caàu noùi treân. Baøi 2. Trong maët phaúng (P), cho ñöôøng thaúng d vaø moät ñieåm A ngoaøi d. Moät goùc xAy di ñoäng quanh A, caét d taïi B vaø C. Treân ñöôøng thaúng qua A vuoâng goùc vôùi (P) laáy ñieåm S. Goïi H vaø K laø caùc hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB vaø SC. a) Chöùng minh A, B, C, H, K thuoäc cuøng moät maët caàu. b) Tính baùn kính maët caàu treân, bieát AB = 2, AC = 3, ·BAC6= 00 . Baøi 3. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA ^ (ABCD) vaø SA = a 3 . Goïi O laø taâm hình vuoâng ABCD vaø K laø hình chieáu cuûa B treân SC. a) Chuùng minh ba ñieåm O, A, K cuøng nhìn ñoaïn SB döôùi moät goùc vuoâng. Suy ra naêm ñieåm S, D, A, K B cuøng naèm treân maët caàu ñöôøng kính SB. b) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu noùi treân. Baøi 4. Cho maët caàu S(O; a) vaø moät ñieåm A, bieát OA = 2a. Qua A keû moät tieáp tuyeán tieáp xuùc vôùi (S) taïi B vaø cuõng qua A keû moät caùt tuyeán caét (S) taïi C vaø D, bieát CD = a 3 . a) Tính AB. b) Tính khoaûng caùch töø O ñeán ñöôøng thaúng CD. Baøi 5. Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABC, coù caïnh ñaùy baèng a vaø goùc hôïp bôûi maët beân vaø ñaùy baèng 600. Goïi O laø taâm cuûa tam giaùc ABC. Trong tam giaùc SAO döïng ñöôøng trung tröïc cuûa caïnh SA, caét SO taïi K. a) Tính SO, SA. b) Chöùng minh DDSMK: SOA ( vôùi M laø trung ñieåm cuûa SA). Suy ra KS. c) Chöùng minh hình choùp K.ABC laø hình choùp ñeàu. suy ra: KA = KB +KC. d) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp S.ABC. Baøi 6. Cho hình choùp S.ABC. bieát raèng coù moät maët caàu baùn kính R tieáp xuùc vôùi caùc caïnh cuûa hình choùp vaø taâm I cuûa maët caàu naèm treân ñöôøng cao SH cuûa hình choùp. a) Chöùng minh raèng S.ABC laø hình choùp ñeàu. b) Tính chieàu cao cuûa hình choùp, bieát raèng IS = R 3 Baøi 7. Cho töù dieän ñeàu ABCD coù caïnh laø a. a) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän. b) Tính dieän tích maët caàu vaø theå tích khoái caàu ñoù. Baøi 8. Cho moät hình choùp töù giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy laø a, caïnh beân hôïp vôùi maët ñaùy moät goùc 600. a) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. b) Tính dieän tích maët caàu vaø theå tích khoái caàu ñoù. Baøi 9. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù taát caû caùc caïnh ñeàu baèng a. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa maët caàu ñi qua naêm ñieåm S, A, B, C, D. Trang 16
19. Traàn Só Tuøng Khoái troøn xoay Baøi 10. Cho tam giaùc ABC coù ñoä daøi ba caïnh laø 13, 14, 15. Moät maët caàu taâm O, baùn kính R = 5 tieáp xuùc vôùi ba caïnh cuûa tam giaùc ABC taïi caùc tieáp ñieåm naèm treân ba caïnh ñoù. Tính khoaûng caùch töø taâm maët caàu tôùi maët phaúng chöùa tam giaùc. Baøi 11. Hình choùp S.ABC coù ñöôøng cao SA = a, ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a. Tính baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. Baøi 12. Cho hình choùp töø giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a vaø goùc hôïp bôûi maët beân vaø ñaùy baèng 600. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. Baøi 13. Hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy a vaø ñöôøng cao h. Goïi O laø taâm cuûa ABCD vaø H laø trung ñieåm cuûa BC. Ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc SHO caét SO taïi I. Chöùng minh raèng I laø taâm maët caàu noäi tieáp hình choùp. Tính baùn kính maët caàu naøy. Baøi 14. Cho hình choùp S.ABC coù SA ^ (ABC) vaø tam giaùc ABC vuoâng taïi B. Goïi AH, AK laàn löôït laø caùc ñöôøng cao cuûa caùc tam giaùc SAB vaø SAC. a) Chöùng minh raèng naêm ñieåm A, B, C, H, K cuøng ôû treân moät maët caàu. b) Cho AB = 10, BC = 24. Xaùc ñònh taâm vaø tính baùn kính maët caàu ñoù. Baøi 15. Cho hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình vuoâng caïnh baèng a, SA = a 7 vaø SA ^ (ABCD). Moät maët phaúng (P) qua A vaø vuoâng goùc vôùi SC, caét SB, SC, SD laàn löôït taïi H, M, K. a) Chöùng minh raèng baûy ñieåm A, B, C, D, H, M, K cuøng ôû treân moät maët caàu. b) Xaùc ñònh taâm vaø tính baùn kính maët caàu ñoù. VAÁN ÑEÀ 2: Maët truï – Hình truï – Khoái truï Baøi 1. Cho hình truï coù caùc ñaùy laø hai hình troøn taâm O vaø O¢, baùn kính ñaùy baèng 2 cm. Treân ñöôøng troøn ñaùy taâm O laáy hai ñieåm A, B sao cho AB = 2 cm. Bieát raèng theå tích töù dieän OO¢AB baèng 8 cm3. Tính chieàu cao hình truï vaø theå tích khoái truï. Baøi 2. Cho hình truï coù caùc ñaùy laø hai hình troøn taâm O vaø O¢, baùn kính ñaùy baèng 2 cm. Treân ñöôøng troøn ñaùy taâm O laáy ñieåm A sao cho AO¢ hôïp vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 600 . Tính chieàu cao hình truï vaø theå tích khoái truï. Baøi 3. Cho hình truï coù caùc ñaùy laø hai hình troøn taâm O vaø O¢, baùn kính ñaùy baèng chieàu cao vaø baèng a. Treân ñöôøng troøn ñaùy taâm O laáy ñieåm A, treân ñöôøng troøn ñaùy taâm O¢ laáy ñieåm B sao cho AB = 2a. Tính theå tích cuûa khoái töù dieän OO¢AB. Baøi 4. Moät khoái truï coù chieàu cao baèng 20 cm vaø coù baùn kính ñaùy baèng 10 cm. Ngöôøi ta keû hai baùn kính OA vaø O’B’ laàn löôït treân hai ñaùy sao cho chuùng hôïp vôùi nhau moät goùc 300. Caét khoái truï bôûi moät maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng AB’ vaø song song vôùi truïc OO’ cuûa khoái truï ñoù. Haõy tính dieän tích cuûa thieát dieän. Baøi 5. Moät hình truï coù baùn kính ñaùy R = 53 cm, khoaûng caùch giöõa hai ñaùy h = 56 cm. Moät thieát dieän song song vôùi truïc laø hình vuoâng. Tính khoaûng caùch töø truïc ñeán maët phaúng thieát dieän. Baøi 6. Cho hình truï baùn kính ñaùy R, chieàu cao OO¢ = h, A vaø B laø hai ñieåm thay ñoåi treân hai ñöôøng troøn ñaùy sao cho ñoä daøi AB = a khoâng ñoåi (h>a<+hR224 ) . a) Chöùng minh goùc giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø OO’ khoâng ñoåi. b) Chöùng minh khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø OO’ khoâng ñoåi. Trang 17
20. Khoái troøn xoay Traàn Só Tuøng Baøi 7. Trong khoâng gian cho hình vuoâng ABCD caïnh a. Goïi I vaø H laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø CD. Khi quay hình vuoâng ñoù xung quanh truïc IH ta ñöôïc moät hình truï troøn xoay. a) Tính dieän tích xung quanh cuûa hình truï troøn xoay ñöôïc taïo neân. b) Tính theå tích cuûa khoái truï troøn xoay ñöôïc taïo neân bôûi hình truï troøn xoay ñoù. Baøi 8. Moät hình truï coù baùn kính ñaùy R vaø coù thieát dieän qua truïc laø moät hình vuoâng. a) Tính dieän tích xung quanh vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình truï. b) Tính theå tích cuûa khoái laêng truï töù giaùc ñeàu noäi tieáp trong khoái truï ñaõ cho. Baøi 9. Moät hình truï coù baùn kính ñaùy R vaø ñöôøng cao baèng R 3 ; A vaø B laø hai ñieåm treân hai ñöôøng troøn ñaùy sao cho goùc hôïp bôûi AB vaø truïc cuûa hình truï laø 300. a) Tính dieän tích xung quanh vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình truï. b) Tính khoaûng caùch giöõa AB vaø truïc cuûa hình truï. Baøi 10. Cho hình truï baùn kính ñaùy R, chieàu cao h. Goïi A vaø B laø hai ñieåm laàn löôït naèm treân hai ñöôøng troøn ñaùy (O, R) vaø (O¢, R) sao cho OA vaø O¢B hôïp vôùi nhau moät goùc baèng x vaø vaø hai ñöôøng thaúng AB, O¢O hôïp vôùi nhau moät goùc baèng y. a) Tính baùn kính R theo h, x, y. b) Tính Sxq, Stp vaø theå tích V cuûa hình truï theo h, x, y. Baøi 11. Cho hình truï baùn kính ñaùy baèng a vaø truïc OO’ = 2a. OA vaø OB’ laø hai baùn kính cuûa hai ñöôøng troøn ñaùy (O), (O’) sao cho goùc cuûa OA vaø OB’ baèng 300. a) Tính ñoä daøi ñoaïn thaúng AB’. b) Tính tang cuûa goùc giöõa AB’ vaø OO’. c) Tính khoaûng caùch giöõa AB’ vaø OO’. Baøi 12. Moät khoái truï coù caùc ñaùy laø hai hình troøn taâm O vaø O’, baùn kính R vaø coù ñöôøng cao h = R 2 . Goïi A laø moät ñieåm treân ñöôøng troøn taâm O vaø B laø moät ñieåm treân ñöôøng troøn taâm O’ sao cho OA vuoâng goùc vôùi O’B. a) Chöùng minh raèng caùc maët beân cuûa töù dieän OABO’ laø nhöõng tam giaùc vuoâng. Tính tæ soá theå tích cuûa khoái töù dieän OABO’ vaø khoái truï. b) Goïi (a ) laø maët phaúng qua AB vaø song song vôùi OO’. Tính khoaûng caùch giöõa truïc OO’ vaø maët phaúng(a ) . c) Chöùng minh raèng (a ) laø tieáp dieän cuûa maët truï coù truïc OO’ vaø coù baùn kính ñaùy baèng R 2 . 2 VAÁN ÑEÀ 1: Maët noùn – Hình noùn – Khoái noùn Baøi 1. Cho hình laêng truï töù giaùc ñeàu ABCD.A¢B¢C¢D¢ coù caïnh ñaùy baèng a, chieàu cao 2a. Bieát raèng O¢ laø taâm cuûa A¢B¢C¢D¢ vaø (C) laø ñöôøng troøn noäi tieáp ñaùy ABCD. Tính theå tích khoái noùn coù ñænh O¢ vaø ñaùy (C). Baøi 2. Cho hình laêng truï tam giaùc ñeàu ABC.A¢B¢C¢ coù caïnh ñaùy baèng a vaø chieàu cao 2a. Bieát raèng O¢ laø taâm cuûa A¢B¢C¢ vaø (C) laø ñöôøng troøn noäi tieáp ñaùy ABC. Tính theå tích khoái noùn coù ñænh O¢ vaø ñaùy (C). Trang 18
21. Traàn Só Tuøng Khoái troøn xoay Baøi 3. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a, caïnh beân hôïp vôùi ñaùy moät goùc 600 . Goïi (C) laø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ñaùy ABCD. Tính theå tích khoái noùn coù ñænh S vaø ñaùy (C). Baøi 4. Trong khoâng gian cho tam giaùc OIM vuoâng taïi I, goùc IOM baèng 300 vaø caïnh IM = a. Khi quay tam giaùc OIM quanh caïnh goùc vuoâng OI thì ñöôøng gaáp khuùc OMI taïo thaønh moät hình noùn troøn xoay. a) Tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn troøn xoay taïo thaønh. b) Tính theå tích cuûa khoái noùn troøn xoay taïo thaønh. Baøi 5. Thieát dieän qua truïc cuûa moät hình noùn laø moät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh goùc vuoâng baèng a. a) Tính dieän tích xung quanh vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình noùn. b) Tính theå tích cuûa khoái noùn töông öùng. c) Moät thieát dieän qua ñænh vaø taïo vôùi ñaùy moät goùc 600. Tính dieän tích cuûa thieát dieän naøy. Baøi 6. Cho hình noùn ñænh S, ñöôøng cao SO, A vaø B laø hai ñieåm thuoäc ñöôøng troøn ñaùy sao cho khoaûng caùch töø ñieåm O ñeán AB baèng a vaø ·SAO3 = 00 , ·SAB=600 . Tính ñoä daøi ñöôøng sinh cuûa hình noùn theo a. Baøi 7. Thieát dieän qua truïc cuûa moät khoái noùn laø moät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh huyeàn baèng a. Tính theå tích khoái noùn vaø dieän tích xung quanh cuûa hình noùn ñaõ cho. Baøi 8. Cho hình laäp phöông ABCD. A’B’C’D’ caïnh a. Tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn coù ñænh laø taâm O cuûa hình vuoâng ABCD vaø ñaùy laø hình troøn noäi tieáp hình vuoâng A’B’C’D’. Baøi 9. Caét moät hình noùn baèng moät maët phaúng ñi qua truïc cuûa noù, ta ñöôïc thieát dieän laø moät tam giaùc ñeàu caïnh 2a. Tính dieän tích xung quanh, dieän tích toaøn phaàn cuûa hình vaø theå tích cuûa khoái noùn. Baøi 10. Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S. ABC coù caïnh beân baèng a vaø goùc giöõa caùc maët beân vaø maët ñaùy laø a . Moät hình noùn ñænh S coù ñöôøng troøn ñaùy noäi tieáp tam giaùc ñeàu ABC, Haõy tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn naøy theo a vaø a . Baøi 11. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù chieàu cao SO = h vaø ·SAB = a (a > 450). Tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn ñænh S vaø coù ñöôøng troøn ñaùy ngoaïi tieáp hình vuoâng ABCD. Baøi 12. Moät hình noùn coù ñoä daøi ñöôøng sinh baèng 1 vaø goùc giöõa ñöôøng sinh vaø ñaùy laø a . a) Tình dieän tích xung quanh vaø theå tích cuûa khoái noùn. SI b) Goïi I laø ñieåm treân ñöôøng cao SO cuûa hình noùn sao cho = k (0 < k < 1). Tính dieän SO tích cuûa thieát dieän qua I vaø vuoâng goùc vôùi truïc. Trang 19
22. Khoái troøn xoay Traàn Só Tuøng OÂN TAÄP KHOÁI TROØN XOAY Baøi 1. Cho moät töù dieän ñeàu coù caïnh laø a. a) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän. b) Tính dieän tích maët caàu vaø theå tích khoái caàu töông öùng. Baøi 2. Cho moät hình choùp töù giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy laø a, caïnh beân hôïp vôùi maët ñaùy moät goùc 600 . a) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. b) Tính dieän tích maët caàu vaø theå tích khoái caàu töông öùng. Baøi 3. Hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy a, goùc giöõa maët beân vaø ñaùy laø a. a) Tính baùn kính caùc maët caàu ngoaïi tieáp vaø noäi tieáp hình choùp. b) Tính giaù trò cuûa tana ñeå caùc maët caàu naøy coù taâm truøng nhau. Baøi 4. Cho töù dieän ABCD, bieát AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai maët phaúng (ACD) vaø (BCD) vuoâng goùc vôùi nhau. a) Chöùng minh tam giaùc ACD vuoâng. b) Tính dieän tích maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. Baøi 5. Cho hình caàu taâm O baùn kính R vaø ñöôøng kính SS¢. Moät maët phaúng vuoâng goùc vôùi SS¢ caét hình caàu theo moät ñöôøng troøn taâm H. Goïi ABC laø tam giaùc ñeàu noäi tieáp trong ñöôøng troøn naøy. Ñaët SH = x (0 < x < 2R). a) Tính caùc caïnh cuûa töù dieän SABC theo R, x. b) Xaùc ñònh x ñeå SABC laø töù dieän ñeàu, khi ñoù tính theå tích cuûa töù dieän vaø chöùng minh raèng caùc ñöôøng thaúng S¢A, S¢B, S¢C ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau. Baøi 6. Trong maët phaúng (P), cho hình thang caân ABCD vôùi AB = 2a, BC = CD = DA = a. Treân nöûa ñöôøng thaúng Ax vuoâng goùc vôùi (P) ta laáy moät ñieâm di ñoäng S. Moät maët phaúng qua A vuoâng goùc vôùi SB, caét SB, SC, SD laàn löôït taïi P, Q, R. a) Chöùng minh raèng baûy ñieåm A, B, C, D, P, Q, R luoân thuoäc moät maët caàu coá ñònh. tính dieän tích cuûa maët caàu ñoù. b) Co SA = a 3 . Tính dieän tích cuûa töù giaùc APQR. Baøi 7. Cho moät ñoaïn thaúng IJ coù chieàu daøi c. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi IJ taïi I ta laáy hai ñieåm A, A¢ ñoái xöùng qua I vaø IA = IA¢ = a. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi IJ taïi J vaø khoâng song song vôùi AA¢ ta laáy hai ñieåm B, B¢ ñoái xöùng qua J vaø JB = JB¢ = b. a) Chöùng minh raèng taâm O cuûa maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän AA¢B¢B naèm treân ñöôøng thaúng IJ. b) Xaùc ñònh taâm vaø tính baùn kính cuûa maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän AA¢B¢B theo a, b, c. Baøi 8. Cho töù dieän ABCD vôùi AB = AC = a, BC = b. Hai maët phaúng (BCD) vaø (ABC) vuoâng goùc vôùi nhau vaø ·BDC = 900 . Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. Baøi 9. Cho hình caàu baùn kính R. Töø moät ñieåm S baát kyø treân maët caàu, döïng ba caùt tuyeán baèng nhau, caét maët caàu taïi A, B, C sao cho: ·ASB==·ASC =·BSC a . Tính theå tích V cuûa töù dieän SABC theo R vaø a . Baøi 10. Cho töù dieän SABC coù SA ^ (ABC), SA = a, AB = b, AC = c. Xaùc ñònh taâm vaø tính baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän trong caùc tröôøng hôïp sau: Trang 20
23. Traàn Só Tuøng Khoái troøn xoay a) ·BAC = 900 b) ·BAC = 600 , b = c c) ·BAC = 1200 , b = c. Baøi 11. Cho hình laêng truï tam giaùc ñeàu ABC.A’B’C’ coù taát caû caùc caïnh ñeàu baèng a. Xaùc ñònh taâm, baùn kính vaø tính dieän tích maët caàu ngoaïi tieáp hình laêng truï ñaõ cho. Baøi 12. Moät hình truï coù baùn kính ñaùy R vaø coù thieát dieän qua truïc laø moät hình vuoâng. a) Tính Sxq vaø Stp cuûa hình truï. b) Tính V khoái laêng truï töù giaùc ñeàu noäi tieáp trong khoái truï ñaõ cho. Baøi 13. Moät hình truï coù baùn kính ñaùy R vaø ñöôøng cao R 3 . A vaø B laø 2 ñieåm treân 2 ñöôøng troøn ñaùy sao cho goùc hôïp bôûi AB vaø truïc cuûa hình truï laø 300 . a) Tính Sxq vaø Stp cuûa hình truï. b) Tính theå tích khoái truï töông öùng. Baøi 14. Beân trong hình truï troøn xoay coù moät hình vuoâng ABCD caïnh a noäi tieáp maø 2 ñænh lieân tieáp A, B naèm treân ñöôøng troøn ñaùy thöù 1 cuûa hình truï, 2 ñænh coøn laïi naèm treân ñöôøng troøn ñaùy thöù 2 cuûa hình truï. Maët phaúng chöùa hình vuoâng taïo vôùi ñaùy hình truï moät goùc 450 . Tính dieän tích xung quanh vaø theå tích cuûa hình truï ñoù. Baøi 15. Thieát dieän qua truïc cuûa moät hình noùn laø moät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh goùc vuoâng baèng a. a) Tính dieän tích xung quanh vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình noùn. b) Tính theå tích khoái noùn töông öùng. Baøi 16. Cho hình noùn coù ñöôøng cao SO = h vaø baùn kính ñaùy R. Goïi M laø ñieåm treân ñoaïn OS, ñaët OM = x (0 < x < h). a) Tính dieän tích thieát dieän (C) vuoâng goùc vôùi truïc taïi M. b) Tính theå tích V cuûa khoái noùn ñænh O vaø ñaùy (C) theo R, h vaø x. Xaùc ñònh x sao cho V ñaït giaù trò lôùn nhaát. Baøi 17. Moät hình noùn ñænh S coù chieàu cao SH = h vaø ñöôøng sinh baèng ñöôøng kính ñaùy. Moät hình caàu coù taâm laø trung ñieåm O cuûa ñöôøng cao SH vaø tieáp xuùc vôùi ñaùy hình noùn. a) Xaùc ñònh giao tuyeán cuûa maët noùn vaø maët caàu. b) Tính dieän tích cuûa phaàn maët noùn naèm trong maët caàu. c) Tính S maët caàu vaø so saùnh vôùi dieän tích toaøn phaàn cuûa maët noùn. Baøi 18. Cho hình noùn troøn xoay ñænh S. Trong ñaùy cuûa hình noùn ñoù coù hình vuoâng ABCD noäi tieáp, caïnh baèng a. Bieát raèng ·ASB =2aa,()000<<45 . Tính theå tích khoái noùn vaø dieän tích xung quanh cuûa hình noùn. Baøi 19. Cho hình noùn coù baùn kính ñaùy baèng R vaø goùc ôû ñænh laø 2a . Trong hình noùn coù moät hình truï noäi tieáp. Tính baùn kính ñaùy vaø chieàu cao cuûa hình truï, bieát raèng thieát dieän qua truïc cuûa hình truï laø moät hình vuoâng. Baøi 20. Cho hình noùn coù baùn kính ñaùy R, goùc giöõa ñöôøng sinh vaø ñaùy cuûa hình noùn laø a . Moät maët phaúng (P) song song vôùi ñaùy cuûa hình noùn, caùch ñaùy hình noùn moät khoaûng h, caét hình noùn theo ñöôøng troøn (C). Tính baùn kính ñöôøng troøn (C) theo R, h vaø a . Trang 21
24. Khoái troøn xoay Traàn Só Tuøng OÂN TAÄP TOÅNG HÔÏP HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN Baøi 1. Cho hình choùp tam giaùc SABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a, SA ^ (ABC) vaø SA = a. M laø moät ñieåm thay ñoåi treân caïnh AB. Ñaët ACM· = a, haï SH vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng CM. a) Tìm quyõ tích ñieåm H. Suy ra giaù trò lôùn nhaát cuûa theå tích töù dieän SAHC. b) Haï AI ^ SC, AK ^ SH. Tính ñoä daøi SK, AK vaø theå tích töù dieän SAKI. a3 HD: a) Quó tích ñieåm H laø moät cung troøn. MaxVSAHC= 12 asina a a3 sin 2a b) AK = , SK = , V = 2 1+ sin2 a 1+ sin2 a 241(+ sin)a Baøi 2. Cho DABC caân taïi A coù AB = AC = a vaø goùc BAC· = 2a. Treân ñöôøng thaúng d qua A vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC), laáy ñieåm S sao cho SA = 2a. Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC. Haï AH ^ SI. a) Chöùng minh AH ^ (SBC). Tính ñoä daøi AH theo a, a. AK b) K laø moät ñieåm thay ñoåi treân ñoaïn AI, ñaët = x. Maët phaúng (R) qua K vaø vuoâng AI goùc vôùi AI caét caùc caïnh AB, AC, SC, SB laàn löôït taïi M, N, P, Q. Töù giaùc MNPQ laø hình gì? Tính dieän tích töù giaùc naøy. 2a.cosa 2 HD: a) AH = b) SMNPQ = 41ax( –xa)sin cos2 a + 4 æö2 Baøi 3. Cho töù dieän ABCD coù AB = CD = 2x 0 < x < vaø AC = AD = BC = BD = 1. ç÷ èø2 Goïi I vaø J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø CD. a) Chöùng minh AB ^ CD vaø IJ laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa hai ñöôøng thaúng AB vaø CD. b) Tính theå tích töù dieän ABCD theo x. Tìm x ñeå theå tích naøy lôùn nhaát vaø tính giaù trò lôùn nhaát ñoù. 2xx2212- 2 3 HD: b) V = ; MaxV = khi x = 3 93 3 Baøi 4. Trong maët phaúng (P), cho hình vuoâng ABCD caïnh a, coù taâm laø O. Treân caùc nöûa ñöôøng thaúng Ax, Cy vuoâng goùc vôùi (P) vaø ôû veà cuøng moät phía ñoái vôùi (P) laáy laàn löôït hai ñieåm M, N. Ñaët AM = x, CN = y. a) Tính ñoä daøi MN. Töø ñoù chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå DOMN vuoâng taïi O laø: 2xya= 2 . b) Giaû söû M, N thay ñoåi sao cho DOMN vuoâng taïi O. Tính theå tích töù dieän BDMN. Xaùc a3 ñònh x, y ñeå theå tích töù dieän naøy baèng . 4 3 22 a æöa æöa HD: a) MN = 2a+-()xy b) V = ()xy+ , (x, y) = ç÷a; hoaëc ç÷;a . 6 èø2 èø2 Trang 22
25. Traàn Só Tuøng Khoái troøn xoay Baøi 5. Trong maët phaúng (P), cho hình vuoâng ABCD caïnh a. Goïi O laø giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo cuûa hình vuoâng ABCD. Treân ñöôøng thaúng Ox vuoâng goùc (P) laáy ñieåm S. Goïi a laø goùc nhoïn taïo bôûi maët beân vaø maët ñaùy cuûa hình choùp SABCD. a) Tính theå tích vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình choùp SABCD theo a vaø a. b) Xaùc ñònh ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa SA vaø CD. Tính ñoä daøi ñöôøng vuoâng goùc chung ñoù theo a vaø a. 3 a 2 æö1 a tana HD: a) V = tana , Stp = a ç÷1+ b) d = 6 èøcosa cosa Baøi 6. Treân nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB = 2R laáy moät ñieåm C tuøy yù. Döïng CH vuoâng goùc vôùi AB (H thuoäc ñoaïn AB) vaø goïi I laø trung ñieåm cuûa CH. Treân nöûa ñöôøng thaúng It vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) taïi I laáy ñieåm S sao cho goùc ASB· = 90o. a) Chöùng minh tam giaùc SHC laø tam giaùc ñeàu. b) Ñaët AH = h. Tính theå tích V cuûa töù dieän SABC theo h vaø R. 3 HD: b) V = Rh(2Rh– ) 2 Baøi 7. Cho hình vuoâng ABCD caïnh 2a. Treân ñöôøng thaúng d qua trung ñieåm I cuûa caïnh AB vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD) laáy ñieåm E sao cho IE = a. M laø ñieåm thay ñoåi treân caïnh AB, haï EH ^ CM. Ñaët BM = x. a) Chöùng minh ñieåm H di ñoäng treân moät ñöôøng troøn. Tính ñoä daøi IH. b) Goïi J laø trung ñieåm cuûa ñoaïn CE. Tính ñoä daøi JM vaø tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa JM. 2 2axa- æöaa5 2 a 5 a HD: a) IH = b) JM = ç÷x -+, MinJM = khi x = 4ax22+ èø24 2 2 Baøi 8. Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCDA'B'C'D' vaø ñieåm M treân caïnh AD. Maët phaúng (A'BM) caét ñöôøng cheùo AC' cuûa hình hoäp taïi ñieåm H. a) Chöùng minh raèng khi M thay ñoåi treân caïnh AD thì ñöôøng thaúng MH caét ñöôøng thaúng A'B taïi moät ñieåm coá ñònh. b) Tính tyû soá theå tích cuûa hai khoái ña dieän taïo bôûi maët phaúng A'BM caét hình hoäp trong tröôøng hôïp M laø trung ñieåm cuûa caïnh AD. c) Giaû söû AA' = AB vaø MB vuoâng goùc vôùi AC. Chöùng minh raèng maët phaúng A'BM vuoâng goùc vôùi AC' vaø ñieåm H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc A'BM. V 1 HD: a) MH caét A¢B taïi trung ñieåm I cuûa A¢B. b) 1 = V2 11 Baøi 9. Cho hình vuoâng ABCD caïnh baèng a. I laø trung ñieåm AB. Qua I döïng ñöôøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD) vaø treân ñoù laáy ñieåm S sao cho 2IS = a 3 . a) Chöùng minh raèng tam giaùc SAD laø tam giaùc vuoâng. b) Tính theå tích khoái choùp S.ACD roài suy ra khoaûng caùch töø C ñeán maët phaúng (SAD). a3 3 HD: b) V = 3 , d = a 12 2 Baøi 10. Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù AB = a, AD = 2a, AA’ = a. a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AD’ vaø B’C. AM b) Goïi M laø ñieåm chia trong ñoaïn AD theo tyû soá = 3 . Haõy tính khoaûng caùch töø MD ñieåm M ñeán maët phaúng (AB’C). Trang 23
26. Khoái troøn xoay Traàn Só Tuøng c) Tính theå tích töù dieän AB’D’C. a 2a3 HD: a) d(AD¢, B¢C) = a b) d(M, (AB¢C)) = c) V = 2 3 Baøi 11. Trong maët phaúng (P), cho moät hình vuoâng ABCD coù caïnh baèng a. S laø moät ñieåm baát kyø naèm treân ñöôøng thaúng At vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) taïi A. a) Tính theo a theå tích khoái caàu ngoaïi tieáp choùp S.ABCD khi SA = 2a. b) M, N laàn löôït laø hai ñieåm di ñoäng treân caùc caïnh CB, CD (M Î CB, N Î CD) vaø ñaët CM = m, CN = n. Tìm moät bieåu thöùc lieân heä giöõa m vaø n ñeå caùc maët phaúng (SMA) vaø (SAN) taïo vôùi nhau moät goùc 45°. HD: a) V = pa63 b) 2a2 – 2(m+n)a+=mn 0 Baøi 12. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA^ ()ABCD vaø SAa= 2 .Treân caïnh AD laáy ñieåm M thay ñoåi. Ñaët goùc ·ACM = a . Haï SN^ CM . a) Chöùng minh N luoân thuoäc moät ñöôøng troøn coá ñònh vaø tính theå tích töù dieän SACN theo a vaø a . b) Haï AH^ SC , AK^ SN . Chöùng minh raèng SC^ ()AHK vaø tính ñoä daøi ñoaïn HK. a3 2 HD: a) N thuoäc ñöôøng troøn ñöôøng kính AC coá ñònh, V = sin 2a 6 a cosa b) HK = 1+ sin2 a Baøi 13. Cho hình choùp S.ABC coù caùc caïnh beân SA, SB, SC ñoâi moät vuoâng goùc. Ñaët SA = a, SB = b, SC = c. Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC. a) Tính ñoä daøi ñoaïn SG theo a, b, c. b) Moät maët phaúng (P) tuyø yù ñi qua S vaø G caét ñoaïn AB taïi M vaø caét ñoaïn AC taïi N. ABAC i) Chöùng minh raèng +=3. AMAN ii) Chöùng minh raèng maët caàu ñi qua caùc ñieåm S, A, B, C coù taâm O thuoäc maët phaúng (P). Tính theå tích khoái ña dieän ASMON theo a, b, c khi maët phaúng (P) song song vôùi BC 1 1 HD: a) SG = a2++bc22 b) V = abc 3 9 Baøi 14. Cho hình vuoâng ABCD caïnh a. Goïi O laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo. Treân nöûa ñöôøng thaúng Ox vuoâng goùc vôùi maët phaúng chöùa hình vuoâng, ta laáy ñieåm S sao cho goùc SCB· =°60 . a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng BC vaø SD. b) Goïi (a ) laø maët phaúng chöùa BC vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (SAD). Tính dieän tích thieát dieän taïo bôûi (a ) vaø hình choùp S.ABCD. a 6 a2 6 HD: a) d(BC, SD) = b) S = 3 4 Baøi 15. Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh baèng a. Treân caïnh AD laáy ñieåm M sao cho AM = x (0 £ x £ a). Treân nöûa ñöôøng thaúng Ax vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD) taïi ñieåm A, laáy ñieåm S sao cho SA = y (y > 0). a) Chöùng minh raèng (SAB) ^ (SBC). b) Tính khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán maët phaúng (SAC). c) Tính theå tích khoái choùp S.ABCM theo a, y vaø x. Trang 24
27. Traàn Só Tuøng Khoái troøn xoay d) Bieát raèng x2 + y2 = a2. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa theå tích khoái choùp S.ABCM. 2x 1 HD: b) d(M, (SAC)) = c) V = ya()ax+ 2 6 a3 3 a d) MaxV = khi x = 8 2 Baøi 16. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A; ·ABC = 300 ; SBC laø tam giaùc ñeàu caïnh a. Maët beân SAB vuoâng goùc vôùi ñaùy ABC. M laø trung ñieåm SB. a) Chöùng minh AM laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa SB vaø AC. Tính cosin goùc giöõa 2 maët phaúng (SAC) vaø (ABC). b) Tính theå tích cuûa hình choùp S.ABC. 1 a3 2 HD: a) cos·SAB = b) V = 3 24 Baøi 17. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi, goùc µA =1200 , BD = a > 0. Caïnh beân SA vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goùc giöõa maët phaúng (SBC) vaø ñaùy baèng 600. Moät maët phaúng (P) ñi qua BD vaø vuoâng goùc vôùi caïnh SC. Tính tæ soá theå tích giöõa hai phaàn cuûa hình choùp do maët phaúng (P) taïo ra khi caét hình choùp. V 1 HD: 1 = V2 12 a 3 Baøi 18. Cho hình hoäp ñöùng ABCD.A’B’C’D’ coù caùc caïnh AB = AD = a, AA’ = vaø 2 goùc ·BAD = 600 . Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh A’D’ vaø A’B’. Chöùng minh raèng AC¢ vuoâng goùc vôùi maët phaúng (BDMN). Tính theå tích khoái choùp A.BDMN. 3a3 HD: V = 16 Baøi 19. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät vôùi AB = a, AD = 2a, caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy, caïnh SB taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 60o. Treân caïnh SA laáy a 3 ñieåm M sao cho AM = . Maët phaúng (BCM) caét caïnh SD taïi ñieåm N. Tính theå tích 3 khoái choùp S.BCNM . 10 3a 3 HD: V = 27 Baøi 20. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a, goùc ·BAD = 600 , SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD), SA = a. Goïi C’ laø trung ñieåm cuûa SC. Maët phaúng (P) ñi qua AC’ vaø song song vôùi BD, caét caùc caïnh SB, SD cuûa hình choùp laàn löôït taïi B’, D’. Tính theå tích cuûa khoái choùp S.AB’C’D’. a 3 3 HD: V = 18 Chaân thaønh caûm ôn caùc baïn ñoàng nghieäp vaø caùc em hoïc sinh ñaõ ñoïc taäp taøi lieäu naøy. transitung_tv@yahoo.com Trang 25
28. TRAÀN SÓ TUØNG ›š & ›š BAØI TAÄP HÌNH HOÏC 12 TAÄP 3 OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC Naêm 2009
29. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng CHÖÔNG III PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN I. VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN 1. Ñònh nghóa vaø caùc pheùp toaùn • Ñònh nghóa, tính chaát, caùc pheùp toaùn veà vectô trong khoâng gian ñöôïc xaây döïng hoaøn toaøn töông töï nhö trong maët phaúng. • Löu yù: uuuruuuruuur + Qui taéc ba ñieåm: Cho ba ñieåm A, B, C baát kyø, ta coù: AB+=BCAC uuuruuuruuur + Qui taéc hình bình haønh: Cho hình bình haønh ABCD, ta coù: AB+=ADAC uuuruuuruuuruuuur + Qui taéc hình hoäp: Cho hình hoäp ABCD.A′B′C′D′, ta coù: AB+AD+=AA''AC + Heâï thöùc trung ñieåm ñoaïn thaúng: Cho I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB, O tuyø yù. uuruur r uuuruuuruur Ta coù: IA+=IB 0 ; OA+=OB2OI + Heä thöùc troïng taâm tam giaùc: Cho G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC, O tuyø yù. uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur Ta coù: GA+GB+GC=03r; OA+OB+=OCOG + Heä thöùc troïng taâm töù dieän: Cho G laø troïng taâm cuûa töù dieän ABCD, O tuyø yù. uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur Ta coù: GA+GB+GC+GD=04r; OA+OB+OC+=ODOG r + Ñieàu kieän hai vectô cuøng phöông: arvaøbrrcuøngphöông(arr≠0)⇔∃!:kÎ=Rbka + Ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k (k ¹ 1), O tuyø yù. uuuruuur uuuruuuruuur OA- kOB Ta coù: MA==kMB; OM 1-k 2. Söï ñoàng phaúng cuûa ba vectô · Ba vectô ñöôïc goïi laø ñoàng phaúng neáu caùc giaù cuûa chuùng cuøng song song vôùi moät maët phaúng. · Ñieàu kieän ñeå ba vectô ñoàng phaúng: Cho ba vectô arr,,bcr , trong ñoù ar vaøbr khoâng cuøng r r phöông. Khi ñoù: arr,,bcñoàng phaúng Û $! m, n Î R: crr=+manb r · Cho ba vectô arr,,bc khoâng ñoàng phaúng, xr tuyø yù. Khi ñoù: $! m, n, p Î R: xr=marr++nbr pc 3. Tích voâ höôùng cuûa hai vectô · Goùc giöõa hai vectô trong khoâng gian: uuuruuur AB=ur,AC=vrÞ(urr,v)=·BAC()000££·BAC 180 · Tích voâ höôùng cuûa hai vectô trong khoâng gian: r + Cho uvrr, ¹ 0 . Khi ñoù: ur.vr= ur.vr.cos(uvrr,) rr + Vôùi urr==00hoaëcv . Qui öôùc: uvrr. = 0 + ur^vrÛ=uvrr. 0 + uurr= 2 Trang 26
30. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian II. HEÄ TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN 1. Heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc trong khoâng gian: Cho ba truïc Ox, Oy, Oz vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi moät vaø chung moät ñieåm goác O. Goïi rrr i,,jk laø caùc vectô ñôn vò, töông öùng treân caùc truïc Ox, Oy, Oz. Heä ba truïc nhö vaäy goïi laø heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz hoaëc ñôn giaûn laø heä toïa ñoä Oxyz. r2rr22 rrrrrr Chuù yù: i=jk==1 vaø i.j=i k==kj 0 . 2. Toïa ñoä cuûa vectô: rrrrr a) Ñònh nghóa: u=(x;;yz) Ûu=++xiyjzk rr b) Tính chaát: Cho a=(a1;;a2a3),b=Î(b1;;b23b), kR r r • a±b=(a1±b1;a2±±b2;)ab33 r • ka= (ka1;ka23;)ka ab= rr  11 • a=b⇔=ab22  ab33= r • 0=(0;0;0),irr===(1;0;0),jk(0;1;0),r (0;01;) r r r r rr • a cuøng phöông bb()≠ 0 ⇔ a=∈kb()kR a11= kb  aa12a3 ⇔a2=kb2⇔==≠,(b1,bb23,)0  b1bb23 a33= kb r r rr • a.b=a1.b1++a2 b2ab33 • a⊥b⇔a1b1+a2b2+=ab33 0 r2222 r 222 • a=a1++aa23 • a=a1++aa22 r r ab++abab r r ab. 112233 r r r • cos(ab,)==r (vôùi ab, ≠ 0 ) abr . 222222 a1+a2+a3.b1++bb23 3. Toïa ñoä cuûa ñieåm: uuur a) Ñònh nghóa: M(x;y;z)⇔=OM(xyz;;) (x : hoaønh ñoä, y : tung ñoä, z : cao ñoä) Chuù yù: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0 • M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 b) Tính chaát: Cho A(xA;yA;zA),B(xB;yzBB;) uuur 222 • AB=(xB−xA;yB−−yA;)zzBA • AB=(xB−xA)+(yB−yA)+−()zzBA x−kxy kyzkz • Toaï ñoä ñieåm M chia ñoaïn AB theo tæ soá k (k≠1): Mç÷AB;;ABAB èø1-k11 kk æöx+xy++yzz · Toaï ñoä trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng AB: M ç÷AB;;ABAB èø222 · Toaï ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC: æöx+x+xy+y+yzzz++ G ç÷ABC;;ABCABC èø333 Trang 27
31. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng • Toaï ñoä troïng taâm G cuûa töù dieän ABCD: x+x+x+xyy++y+yzz+++zz GABCD;;ABCDABCC èø444 4. Tích coù höôùng cuûa hai vectô: (Chöông trình naâng cao) rr a) Ñònh nghóa: Cho a=(a1,aa23,), b=(b1,bb23,). æöaaaaaa [arr,brr] =aÙb=ç23;31;12÷=ab-ab;;ab ababab ç÷( 233231131221) èøb2b3b3b1bb12 Chuù yù: Tích coù höôùng cuûa hai vectô laø moät vectô, tích voâ höôùng cuûa hai vectô laø moät soá. b) Tính chaát: rrrrrrrrr rrrrrr · ëéùi,jû=k;éùëûj,k==i;,[kij] · [a,b]^^a;[a,]bb rr rr rrr · [a,b]=arr.brr.sin,(ab) · ab, cuøng phöông Û=[ab,] 0 c) ÖÙng duïng cuûa tích coù höôùng: rr r rrr · Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô: ab, vaø c ñoàng phaúng Û [a,bc]. =0 uuuruuur · Dieän tích hình bình haønh ABCD: S=ëûéùAB,AD YABCD 1uuuruuur • Dieän tích tam giaùc ABC: S=ëûéùAB,AC DABC 2 uuuruuuruuur · Theå tích khoái hoäp ABCD.A¢B¢C¢D¢: VABCD.A'B'CD''=[AB,AD].'AA 1uuuruuuruuur • Theå tích töù dieän ABCD: V= [AB,AC].AD ABCD 6 Chuù yù: – Tích voâ höôùng cuûa hai vectô thöôøng söû duïng ñeå chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc, tính goùc giöõa hai ñöôøng thaúng. – Tích coù höôùng cuûa hai vectô thöôøng söû duïng ñeå tính dieän tích tam giaùc; tính theå tích khoái töù dieän, theå tích hình hoäp; chöùng minh caùc vectô ñoàng phaúng – khoâng ñoàng phaúng, chöùng minh caùc vectô cuøng phöông. rr arr^bÛ=ab. 0 rrr arrvaøbcuøngphöôngÛ=[ab,]0 abr,rr,crñoàngphaúngÛ=[arr,.bc]0 5. Phöông trình maët caàu: · Phöông trình maët caàu (S) taâm I(a; b; c), baùn kính R: (x-a)2+(y-b)2+()z-=cR22 · Phöông trình x2+y22+z+2ax+2by+20czd+= vôùi a2+b22+cd->0 laø phöông trình maët caàu taâm I(–a; –b; –c) vaø baùn kính R = a2+b22+-cd. Trang 28
32. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian VAÁN ÑEÀ 1: Caùc pheùp toaùn veà toaï ñoä cuûa vectô vaø cuûa ñieåm – Söû duïng caùc coâng thöùc veà toaï ñoä cuûa vectô vaø cuûa ñieåm trong khoâng gian. – Söû duïng caùc pheùp toaùn veà vectô trong khoâng gian. Baøi 1. Vieát toïa ñoä cuûa caùc vectô sau ñaây: rr r rr ar =-+2ijrr; b=-78ikr ; ckr =-9 ; d=3irr-+45jk Baøi 2. Vieát döôùi daïng xirr++yjzkr moãi vectô sau ñaây: r æö1 r r æö41 r æö11 a = ç÷02;;; b =-(4;50;); c = ç÷;;0 ; d = ç÷p;; èø2 èø3 3 èø3 5 r Baøi 3. Cho: arr=(2; 5;3),,bc==(0;2;1) (1;;72) . Tìm toaï ñoä cuûa caùc vectô ur vôùi: 1 r r r 2 a) ur=43arr-+bc b) ur=arr 42bc c) urr=-+4bc 2 3 r 14r 32r d) ur=35arr-+bc e) ur=arr bc2 f) ur=arr bc 23 43 Baøi 4. Tìm toïa ñoä cuûa vectô xr , bieát raèng: r a) axrr+=0 vôùi ar =-(1;;21) b) ar+=xarr4 vôùi ar =-(0;;21) r r c) arr+=2xb vôùi ar =-(5;;41) , b =-(2;;53) Baøi 5. Cho ar =-(1;34;). r a) Tìm y vaø z ñeå b= (2;yz;) cuøng phöông vôùi ar . b) Tìm toaï ñoä cuûa vectô cr , bieát raèng arrvaøc ngöôïc höôùng vaø carr= 2 . Baøi 6. Cho ba vectô arr=(1;-1;1),bcr =(4;0;-1),=-(3;;21) . Tìm: a) (arr.bcr) b) arr2 (bcr. ) c) ar2brr++b22crcarr rrr2 r22 d) 32ar-+(arr.b)bcb e) 45ar.crr+-bc r Baøi 7. Tính goùc giöõa hai vectô ar vaø b : a) abr =(4;3;1),r =-( 1;;23) b) abr =(25;;4),r =-(6;;03) c) abr =(2;1;-2),r =-(0;22;) d) abr =(3;2;23),r =-(3;231;) e) abr =(-42;;4),r =-(22;220;) f) abr =(3;-2;1),r =-(2;11;) Baøi 8. Tìm vectô ur , bieát raèng: ìarr=(2;-1;3),bcr =(1;-3;2),=-(3;24;) ìarr=(2;3;-1),bcr =(1;-2;3),=-(2;11;) a) í r b) í r îar.ur=-5,.urb=-=11,.ucrr 20 îur^ar,ur^b,.ucrr=-6 ìarr=(2;3;1),bcr =(1;-2;-1),=-(2;;)43 ìarr=(5;-3;2),bcr =(1;4;-3),=-(3;24;) c) í r d) í r îar.ur=3,b.ur==42,.curr îar.ur=16,b.ur=94,.curr=- ìarr=(7;2;3),bcr =(4;3;-5),=-(1;11;) e) í r îar.ur=-57,b.,ur=-^curr Baøi 9. Cho hai vectô abr, r . Tìm m ñeå: r ìabr =(2;1;-2),r =-(0;22;) ìabr =(3;-2;1),=-(2;11;) a) í rr b) írrrrrr îur=23ar+mbvaøvrr=-mabvuoânggoùc îu=ma-3bvaøv=+32ambvuoânggoùc ìabr =(3;-2;1),r =-(2;11;) c) í rr îur=mar-3bvaøvrr=+32ambcuøngphöông Trang 29
33. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng Baøi 10. Cho hai vectô abr, r . Tính X, Y khi bieát: r rr ìabr ==46, ìarr=(2;-1;-2),,b=64ab-= a) í r b) í r îX=-abr îY=+abr ìarr=4,brr==6,,(ab) 1200 ìarr=(2;-1;-2),brr==6,,(ab) 600 c) írr d) írr îX=arr-b,Y=+ab îX=arr-b,Y=+ab Baøi 11. Cho ba vectô abcrr,,r . Tìm m, n ñeå crr= [ab, r]: a) arr=(3;-1;-2),br ==(1;2;mc),(5;;17) b) arr=(6;-2;m),br =(5;nc;-=3),(6;;3310) c) arr=(2;3;1),br ==(5;6;41),c(mn;;) Baøi 12. Xeùt söï ñoàng phaúng cuûa ba vectô abcrr,,r trong moãi tröôøng hôïp sau ñaây: a) arr=(1;-1;1),bcr ==(0;1;2),(4;;23) b) arr=(4;3;4),bcr =(2;-=1;2),(1;;21) c) arr=(-3;1;-2),bcr =(11;;1),=-( 2;;21) d) arr=(4;2;5),bcr ==(3;1;3),(2;;01) e) arr=(2;3;1),bcr =(1;-2;0),=-(3;24;) f) arr=(5;4;-8),bcr =(-2;3;0),=-(1;77;) g) arr=(2;-4;3),bcr =(1;2;-2),=-(3;21;) h) arr=(2;-4;3),bcr =(-1;3;-2),=-(3;21;) Baøi 13. Tìm m ñeå 3 vectô arr,,bcr ñoàng phaúng: a) arr=(1;m;2),br =(m+1;2;1),cm=-(0;;22) b) arr=(2m+1;1;2m-1);br =(m+1;2;m+2),c=+(2mm;12;) c) arr=(m+1;m;m-2),br =(m-1;m+=2;mc),(1;;22) d) arr=(1;;-32),br =(m+1;m-2;1-m),cm=-(0;;22) Baøi 14. Cho caùc vectô ar,br,,curr. Chöùng minh ba vectô arr,,bcr khoâng ñoàng phaúng. Bieåu dieãn r vectô ur theo caùc vectô arr,,bc: ìarr=(2;1;0),bcr =(1;-1;2),=-(2;;21) ìarr=(1;-7;9),br =(3;-6;1),c2=-( ;;17) a) í b) í îur =-(3;77;) îur =( 4;136;) ìarr=(10;;1),bcr =(0;-=1;1),(1;;10) ìarr=(1;0;2),bcr =(2;-3;0),=-(0;;34) c) í d) í îur =-(8;91;) îur =( 1;6;)22 ìarr=(2;-3;1),bcr =(-1;2;5),=-(2;;26) ìarr=(2;-1;1),bcr =(1;-3;2),=( 3;;22) e) í f) í îur =(3;12;) îur =-(4;35;) Baøi 15. Chöùng toû boán vectô arr,brr,,cd ñoàng phaúng: a) arr=(-2;-6;1),brr=(4;-3;-2),cd=(-4;-2;2),=( 2;111;) b) arr=(2;6;-1),brr=(2;1;-1),cd=(-4;3;2),=-(2;111;) r r Baøi 16. Cho ba vectô arr,,bc khoâng ñoàng phaúng vaø vectô d . Chöùng minh boä ba vectô sau khoâng ñoàng phaúng: a) br,,crrdrr=+manb (vôùi m, n ≠ 0) b) ar,,crrdrr=+manb (vôùi m, n ≠ 0) c) ar,,brdrr=marr++nbpc , (vôùi m, n, p ≠ 0) d) br,,crdrr=marr++nbpc , (vôùi m, n, p ≠ 0) e) ar,,crdrr=marr++nbpc , (vôùi m, n, p ≠ 0) Trang 30
34. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian VAÁN ÑEÀ 2: Xaùc ñònh ñieåm trong khoâng gian. Chöùng minh tính chaát hình hoïc. Dieän tích – Theå tích. – Söû duïng caùc coâng thöùc veà toaï ñoä cuûa vectô vaø cuûa ñieåm trong khoâng gian. – Söû duïng caùc pheùp toaùn veà vectô trong khoâng gian. – Coâng thöùc xaùc ñònh toaï ñoä cuûa caùc ñieåm ñaëc bieät. – Tính chaát hình hoïc cuûa caùc ñieåm ñaëc bieät: uuuruuur uuuruuur uuuruuur r • A, B, C thaúng haøng ⇔ AB, AC cuøng phöông ⇔ AB= kAC ⇔ ëûéùAB, AC = 0 uuuruuur • ABCD laø hình bình haønh ⇔ AB= DC • Cho ∆ABC coù caùc chaân E, F cuûa caùc ñöôøng phaân giaùc trong vaø ngoaøi cuûa goùc A cuûa DABC uuurAB uuur uuurAB uuur treân BC. Ta coù: EB=- .EC , FB= .FC AC AC uuuruuuruuur uuuruuuruuur · A, B, C, D khoâng ñoàng phaúng Û AB,,ACAD khoâng ñoàng phaúng Û ëûéùAB,.ACAD ¹ 0 Baøi 1. Cho ñieåm M. Tìm toïa ñoä hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm M: · Treân caùc maët phaúng toïa ñoä: Oxy, Oxz, Oyz · Treân caùc truïc toïa ñoä: Ox, Oy, Oz a) M(1;;)23 b) M(3;-12;) c) M( 1;13;) d) M(1;21;)- e) M(2;-57;) f) M(22;-157;) g) M(11;-9;)10 h) M(3;67;) Baøi 2. Cho ñieåm M. Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm M¢ ñoái xöùng vôùi ñieåm M: · Qua goác toaï ñoä · Qua mp(Oxy) · Qua truïc Oy a) M(1;;)23 b) M(3;-12;) c) M( 1;13;) d) M(1;21;)- e) M(2;-57;) f) M(22;-157;) g) M(11;-9;)10 h) M(3;67;) Baøi 3. Xeùt tính thaúng haøng cuûa caùc boä ba ñieåm sau: a) A(1;3;1),BC(0;1;2),(0;01;) b) A(1;1;1),BC( 4;3;1),(9;51;) c) A(10;9;12),BC(-20;3;4),(-50; 34;) d) A(-1;5;-10),BC(5; 7;8),(2;27;) Baøi 4. Cho ba ñieåm A, B, C. · Chöùng toû ba ñieåm A, B, C taïo thaønh moät tam giaùc. · Tìm toaï ñoä troïng taâm G cuûa DABC. · Xaùc ñònh ñieåm D sao cho ABCD laø hình bình haønh. · Xaùc ñònh toaï ñoä caùc chaân E, F cuûa caùc ñöôøng phaân giaùc trong vaø ngoaøi cuûa goùc A cuûa DABC treân BC. Tính ñoä daøi caùc ñoaïn phaân giaùc ñoù. · Tính soá ño caùc goùc trong DABC. · Tính dieän tích DABC. Töø ñoù suy ra ñoä daøi ñöôøng cao AH cuûa DABC. a) A(1;2;-3),BC(03;;7),(12;50;) b) A(0;13;21),BC(11;-23;17),(1;0;)19 c) A(3;-4;7),BC(-5;3; 2),(1;23;) d) A(4;;23),BC( 2;1;1),(3;87;) e) A(3;-1;2),BC(1;2;-1),( 1;13;) f) A(4;1;4),BC(0;7; 4),(3;12;) g) A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;;11) h) A(1; 2;6),BC(2;5;1),(1;84;) Baøi 5. Treân truïc Oy (Ox), tìm ñieåm caùch ñeàu hai ñieåm: a) A(3;10;), B(-2;41;) b) AB(1;-2;1),(11;07;) c) AB(4;1;4),(0;74;)- d) AB(3; 1;2),(1;21;) e) AB(3;-4;7),( 5;32;) f) AB(4;;23),( 2;11;) Baøi 6. Treân maët phaúng Oxy (Oxz, Oyz), tìm ñieåm caùch ñeàu ba ñieåm: a) A(11;;1),BC( 1;1;0),(3;11;) b) A( 3;2;4),BC(0;0;7),(5;33;) c) A(3;-1;2),BC(1;2;-1),( 1;13;) d) A(0;13;21),BC(11;-23;17),(1;0;)19 e) A(1;0;2),BC(-2;1;1),(1; 32;) f) A(1; 2;6),BC(2;5;1),(1;84;) Trang 31
35. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng Baøi 7. Cho hai ñieåm A, B. Ñöôøng thaúng AB caét maët phaúng Oyz (Oxz, Oxy) taïi ñieåm M. • Ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá naøo ? • Tìm toïa ñoä ñieåm M. a) A(2; 1;7), B (4;;52) b) AB(4;3; 2),(2;11;) c) AB(10;9;12),(-20;34;) d) AB(3; 1;2),(1;21;) e) AB(3;-4;7),( 5;32;) f) AB(4;;23),( 2;11;) Baøi 8. Cho boán ñieåm A, B, C, D. · Chöùng minh A, B, C, D laø boán ñænh cuûa moät töù dieän. · Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa töù dieän ABCD. · Tính goùc taïo bôûi caùc caïnh ñoái dieän cuûa töù dieän ABCD. · Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ABCD. · Tính dieän tích tam giaùc BCD, töø ñoù suy ra ñoä daøi ñöôøng cao cuûa töù dieän veõ töø A. a) A(2;5;-3),B(1;0;0),CD(3;0;-2),( 3;12;) b) A(1;0;0), B(01;;0), C(0;0;1), D ( 2;;11) c) A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D (111;;) d) A(20;;0), B(04;;0), C(0;0;6), D (2;;46) e) A(2;3;1),B(4;1;-2),CD(6;3;7),( 5;48;) f) A(5;7;-2),B(3;1; 1),CD(9;4;4),(1;50;) g) A(2;4;1),B(-1;0;1),CD( 1;4;2),(1;21;) h) A(-3;2;4),B(2;5; 2),CD(1;2;2),(4;;)23 i) A(34;;8),B( 1;2;1),CD(5;2;6),(7;43;) k) A(-3;-2;6),B( 24;;4),CD(9;9;1),(0;01;) Baøi 9. Cho hình hoäp ABCD.A'B'C'D'. · Tìm toaï ñoä caùc ñænh coøn laïi. · Tính theå tích khoái hoäp. a) A(1;0;1),B(2;1;2),DC(1; 1;1),'(4;;55) b) A(2;5;-3),B(1;0;0),CA(3;0;-2),'( 3;12;) c) A(0;2;1),B(1; 1;1),DA(0;0;0;),'(1;10;) d) A(02;;2),B(0;1;2),CC(-1;1;1),'(1; 21;) Baøi 10. Cho boán ñieåm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0). a) Chöùng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB). b) Chöùng minh S.ABC laø moät hình choùp ñeàu. c) Xaùc ñònh toaï ñoä chaân ñöôøng cao H cuûa hình choùp. Suy ra ñoä daøi ñöôøng cao SH. Baøi 11. Cho boán ñieåm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4). a) Chöùng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB). b) Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC, CA, AB. Chöùng minh SMNP laø töù dieän ñeàu. c) Veõ SH ^ (ABC). Goïi S¢ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua S. Chöùng minh S¢ABC laø töù dieän ñeàu. Baøi 12. Cho hình hoäp chöõ nhaät OABC.DEFG. Goïi I laø taâm cuûa hình hoäp. uuruuur uuuruuuruuur a) Phaân tích caùc vectô OI, AG theo caùc vectô OA,,OCOD . uur uuuruuuruur b) Phaân tích vectô BI theo caùc vectô FE,,FGFI . Baøi 13. Cho hình laäp phöông ABCD.EFGH. uuur uuuruuuruuur a) Phaân tích vectô AE theo caùc vectô AC,,AFAH . uuur uuuruuuruuur b) Phaân tích vectô AG theo caùc vectô AC,,AFAH . Baøi 14. Cho hình hoäp ABCD.A'B'C'D'. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø BB¢. Chöùng minh raèng MN ^ A¢C. Baøi 15. Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D' vôùi caïnh baèng 1. Treân caùc caïnh BB¢, CD, A¢D¢ laàn löôït laáy caùc ñieåm M, N, P sao cho B¢M = CN = D¢P = x (0 < x < 1). Chöùng minh AC¢ vuoâng goùc vôùi maët phaúng (MNP). Trang 32
36. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian VAÁN ÑEÀ 3: Phöông trình maët caàu Ñeå vieát phöông trình maët caàu (S), ta caàn xaùc ñònh taâm I vaø baùn kính R cuûa maët caàu. Daïng 1: (S) coù taâm I(a; b; c) vaø baùn kính R: (S): (x-a)2+(y-b)2+()z-=cR22 Daïng 2: (S) coù taâm I(a; b; c) vaø ñi qua ñieåm A: Khi ñoù baùn kính R = IA. Daïng 3: (S) nhaän ñoaïn thaúng AB cho tröôùc laøm ñöôøng kính: x+xy++yzz – Taâm I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB: x=AB;;yz==ABAB. I2II22 AB – Baùn kính R = IA = . 2 Daïng 4: (S) ñi qua boán ñieåm A, B, C, D (maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD): – Giaû söû phöông trình maët caàu (S) coù daïng: x2+y22+z+2ax+2by+20czd+= (*). – Thay laàn löôït toaï ñoä cuûa caùc ñieåm A, B, C, D vaøo (*), ta ñöôïc 4 phöông trình. – Giaûi heä phöông trình ñoù, ta tìm ñöôïc a, b, c, d Þ Phöông trình maët caàu (S). Daïng 5: (S) ñi qua ba ñieåm A, B, C vaø coù taâm I naèm treân maët phaúng (P) cho tröôùc: Giaûi töông töï nhö daïng 4. Daïng 6: (S) coù taâm I vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu (T) cho tröôùc: – Xaùc ñònh taâm J vaø baùn kính R¢ cuûa maët caàu (T). – Söû duïng ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa hai maët caàu ñeå tính baùn kính R cuûa maët caàu (S). (Xeùt hai tröôøng hôïp tieáp xuùc trong vaø tieáp xuùc ngoaøi) Chuù yù: Vôùi phöông trình maët caàu (S): x2+y22+z+2ax+2by+20czd+= vôùi a2+b22+cd->0 thì (S) coù taâm I(–a; –b; –c) vaø baùn kính R = a2+b22+-cd. Baøi 1. Tìm taâm vaø baùn kính cuûa caùc maët caàu sau: a) x2+y22+z-8xy+2+=10 b) x2+y22+z+4x+8yz-2-=40 c) x2+y22+z-2xyz-+=440 d) x2+y22+z-+6x4yz-2-=860 e) x2+y22+z-12x+4yz-6+=240 f) x2+y22+z-6x-12yz+12+=720 g) x2+y22+z-8xyz+4+2-=40 h) x2+y22+z-3xy+=40 i) 3xy2+322+3z+6x-3yz+15-=20 k) x2+y22+z-+6x2yz-2+=100 Baøi 2. Xaùc ñònh m, t, a, ñeå phöông trình sau xaùc ñònh moät maët caàu, tìm taâm vaø baùn kính cuûa caùc maët caàu ñoù: a) x2+y2+z22-2()m+2x+4my-2mzm+5+=90 b) x2+y2+z22-2(3-m)x-2()m+1y-2mzm+2+=70 c) x2+y22+z+2(cosa+1)x-4yz-2cosaa.+cos 2+=70 d) x2+y2+z2+2(3-2cos22a)x+4(sinaa-1)yz+2+cos4+=80 e) x2+y22+z-2lnt.x+2y-6zt+3ln +=80 f) x2+y2+z22+2(2-lnt)x+4lnt.y+2(lnt+1)zt+5ln +=80 Trang 33
37. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng Baøi 3. Vieát phöông trình maët caàu coù taâm I vaø baùn kính R: a) IR(1;-=3;53), b) IR(5;-=3;72), c) IR(1;-=3;25), d) IR(2;4;-=33), Baøi 4. Vieát phöông trình maët caàu coù taâm I vaø ñi qua ñieåm A: a) IA(2;4;-1),(523;;) b) IA(0;3;-2),(000;;) c) IA(3; 2;1),(2;13;) d) IA(44; ;2),(0;00;) e) IA(4;-1;2),(1; 24;) Baøi 5. Vieát phöông trình maët caàu coù ñöôøng kính AB, vôùi: a) AB(2;4;-1),(523;;) b) AB(0;3; 2),(2;41;) c) AB(3; 2;1),(2;13;) d) AB(4; 3;3),(2;15;) e) AB(2; 3;5),(4;13;) f) AB(6;2; 5),(4;07;) Baøi 6. Vieát phöông trình maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD, vôùi: a) A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D (111;;) b) A(20;;0), B(04;;0), C(0;0;6), D (2;;46) c) A(2;3;1),B(4;1;-2),CD(6;3;7),( 5;48;) d) A(5;7;-2),B(3;1; 1),CD(9;4;4),(1;50;) e) A(6; 2;3),B(0;1;6),CD(2;0;1),(4;10;) f) A(0;1;0),B(2;3;1),CD( 2;2;2),(1;12;) Baøi 7. Vieát phöông trình maët caàu ñi qua ba ñieåm A, B, C vaø coù taâm naèm trong maët phaúng (P) cho tröôùc, vôùi: ìA(1;2;0),BC( 1;1;3),(2;01;) ìA(2;0;1),BC(1;3;2),(320;;) a) í b) í î(P)º ()Oxz î(P)º()Oxy Baøi 8. Vieát phöông trình maët caàu (S) coù taâm I vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu (T), vôùi: ìI(-5;11;) ìI(-3;22;) a) í 222 b) í 222 î(T):x+y+z-2x+4yz-6+=50 î(T):x+y+z-2x+4yz-8+=50 VAÁN ÑEÀ 4: Vò trí töông ñoái giöõa hai maët caàu maët caàu Cho hai maët caàu S1(I1, R1) vaø S2(I2, R2). • I1I2 +RR12 ⇔ (S1), (S2) ngoaøi nhau • I1I2=-RR12 ⇔ (S1), (S2) tieáp xuùc trong • I1I2=+RR12⇔ (S1), (S2) tieáp xuùc ngoaøi • R1-R2<I1I2<+RR12 ⇔ (S1), (S2) caét nhau theo moät ñöôøng troøn. Baøi 1. Xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai maët caàu: ïìx2+y22+z-8x+4yz-2-=40 ïì(x+1)2+(yz-2)22+()-=39 a) b) í 222 í222 îïx+y+z+4x-2yz-4+=50 îïx+y+z-6x-10yz-6-=210 ïìx2+y22+z-2x+4yz-10+=50 ïìx2+y22+z-8x+4yz-2-=150 c) d) í 222 í 222 îïx+y+z-46xyz-+2-=20 îïx+y+z+4x-12yz-2+=250 ïìx2+y22+z-26xyz-+4+=50 ïìx2+y22+z+4x-2yz+2-=30 e) f) í 222 í 222 îïx+y+z-+6x2yz-4-=20 îïx+y+z-+6x4yz-2-=20 Baøi 2. Bieän luaän theo m vò trí töông ñoái cuûa hai maët caàu: ïì(x-2)2+(yz-1)22+()+=364 ïì(x-3)2+(yz+2)22+()+=181 a) b) í 2222í 2222 îï(x-4)+(y+2)+(zm-32)=+() îï(x-1)+(y-2)+(zm-33)=-() ïì(x+2)2+(yz-2)22+()-=125 ïì(xyz+3)2+(+2)22+()+=116 c) d) í 2222 í 2222 îï(x+1)+(y+2)+(zm+31)=-() îï(x-1)+(y-2)+(zm-33)=+() Trang 34
38. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian VAÁN ÑEÀ 5: Taäp hôïp ñieåm laø maët caàu – Taäp hôïp taâm maët caàu 1. Taäp hôïp ñieåm laø maët caàu Giaû söû tìm taäp hôïp ñieåm M thoaû tính chaát (P) naøo ñoù. – Tìm heä thöùc giöõa caùc toaï ñoä x, y, z cuûa ñieåm M. Chaúng haïn coù daïng: (x-a)2+(y-b)2+()z-=cR22 hoaëc: x2+y22+z+2ax+2by+20czd+= – Tìm giôùi haïn quó tích (neáu coù). 2. Tìm taäp hôïp taâm maët caàu ìx=ft() ï – Tìm toaï ñoä cuûa taâm I, chaúng haïn: íy=gt() (*) îïz=ht() – Khöû t trong (*) ta coù phöông trình taäp hôïp ñieåm. – Tìm giôùi haïn quó tích (neáu coù). Baøi 1. Cho hai ñieåm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M(x; y; z) sao cho: MA a) MA22+=MB 30 b) =2 c) MA2+MB22=>kk()0 MB Baøi 2. Cho hai ñieåm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M(x; y; z) sao cho: MA 3 a) MA22+=MB 124 b) = c) ·AMB = 900 MB 2 d) MA = MB e) MA2+MB22=2(kk+>10)() Baøi 3. Tìm taäp hôïp caùc taâm I cuûa maët caàu sau khi m thay ñoåi: a) x2+y22+z-46x-y+2()m-3zm+19-=20 b) x2+y22+z+2()m-2x+4y-2zm+2+=40 c) x2+y2+z22+2x-4y+2()m+1zm+2+=60 d) x2+y22+z-4(2+cosm)x-2(5+2sinm)y-6zm+cos2+=10 e) x2+y2+z22+2(3-4cosm)x-2(4sinm+1)y-4zm-5-=20sin Trang 35
39. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng III. PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG 1. Vectô phaùp tuyeán – Caëp vectô chæ phöông cuûa maët phaúng r • Vectô nr ≠ 0 laø VTPT cuûa (a) neáu giaù cuûa nr vuoâng goùc vôùi (a). · Hai vectô abr, r khoâng cuøng phöông laø caëp VTCP cuûa (a) neáu caùc giaù cuûa chuùng song song hoaëc naèm treân (a). Chuù yù: • Neáu nr laø moät VTPT cuûa (a) thì knr (k ≠ 0) cuõng laø VTPT cuûa (a). · Neáu abr, r laø moät caëp VTCP cuûa (a) thì nrr= [ab, r] laø moät VTPT cuûa (a). 2. Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng Ax+By+Cz+D=00vôùiA2+BC22+> · Neáu (a) coù phöông trình Ax+By+CzD+=0 thì nr = (A;BC;) laø moät VTPT cuûa (a). r · Phöông trình maët phaúng ñi qua M0(x0;yz00;) vaø coù moät VTPT n= (A;BC;) laø: A(x-x0)+B(y-y00)+C()zz-=0 3. Caùc tröôøng hôïp rieâng Caùc heä soá Phöông trình maët phaúng (a) Tính chaát maët phaúng (a) D = 0 Ax++=ByCz 0 (a) ñi qua goác toaï ñoä O A = 0 By+CzD+=0 (a) // Ox hoaëc (a) É Ox B = 0 Ax+CzD+=0 (a) // Oy hoaëc (a) É Oy C = 0 Ax+ByD+=0 (a) // Oz hoaëc (a) É Oz A = B = 0 CzD+=0 (a) // (Oxy) hoaëc (a) º (Oxy) A = C = 0 ByD+=0 (a) // (Oxz) hoaëc (a) º (Oxz) B = C = 0 AxD+=0 (a) // (Oyz) hoaëc (a) º (Oyz) Chuù yù: · Neáu trong phöông trình cuûa (a) khoâng chöùa aån naøo thì (a) song song hoaëc chöùa truïc töông öùng. xyz · Phöông trình maët phaúng theo ñoaïn chaén: ++=1 abc (a) caét caùc truïc toaï ñoä taïi caùc ñieåm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 4. Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng Cho hai maët phaúng (a), (b) coù phöông trình: (a): A1x+B1y+C11zD+=0 (b): A2222x+By+CzD+=0 · (a), (b) caét nhau Û A1:B1:C1¹ A2::BC22 ABCD ABCD · (a) // (b) Û 1=1=¹11 · (a) º (b) Û 1=1==11 A2B2CD22 A2B2CD22 · (a) ^ (b) Û A1A2+B1B2+=CC12 0 5. Khoaûng caùch töø ñieåm M0(x0; y0; z0) ñeán maët phaúng (a): Ax + By + Cz + D = 0 Ax0+By00++CzD dM(0,()a)= A2++BC22 Trang 36
40. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian VAÁN ÑEÀ 1: Vieát phöông trình maët phaúng Ñeå laäp phöông trình maët phaúng (a) ta caàn xaùc ñònh moät ñieåm thuoäc (a) vaø moät VTPT cuûa noù. r Daïng 1: (a) ñi qua ñieåm M( x0;y00;z ) coù VTPT n= ( A;B;C) : (a): A( x-x0) +B( y-y00) +C( zz-=) 0 r r Daïng 2: (a) ñi qua ñieåm M( x0;y00;z ) coù caëp VTCP ab, : Khi ñoù moät VTPT cuûa (a) laø nrr= [ab, r] . Daïng 3: (a) ñi qua ñieåm M( x0;y00;z ) vaø song song vôùi maët phaúng (b): Ax + By + Cz + D = 0: (a): A( x-x0) +B( y-y00) +C( zz-=) 0 Daïng 4: (a) ñi qua 3 ñieåm khoâng thaúng haøng A, B, C: uuuruuur Khi ñoù ta coù theå xaùc ñònh moät VTPT cuûa (a) laø: nr = ëûéùAB, AC Daïng 5: (a) ñi qua moät ñieåm M vaø moät ñöôøng thaúng (d) khoâng chöùa M: – Treân (d) laáy ñieåm A vaø VTCP ur . uuur – Moät VTPT cuûa (a) laø: nrr= ëûéùAMu, Daïng 6: (a) ñi qua moät ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng (d): VTCP ur cuûa ñöôøng thaúng (d) laø moät VTPT cuûa (a). Daïng 7: (a) ñi qua 2 ñöôøng thaúng caét nhau d1, d2: r – Xaùc ñònh caùc VTCP abr, cuûa caùc ñöôøng thaúng d1, d2. – Moät VTPT cuûa (a) laø: nrr= [ab, r] . – Laáy moät ñieåm M thuoäc d1 hoaëc d2 Þ M Î (a). Daïng 8: (a) chöùa ñöôøng thaúng d1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng d2 (d1, d2 cheùo nhau): r – Xaùc ñònh caùc VTCP abr, cuûa caùc ñöôøng thaúng d1, d2. – Moät VTPT cuûa (a) laø: nrr= [ab, r] . – Laáy moät ñieåm M thuoäc d1 Þ M Î (a). Daïng 9: (a) ñi qua ñieåm M vaø song song vôùi hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d1, d2: r – Xaùc ñònh caùc VTCP abr, cuûa caùc ñöôøng thaúng d1, d2. – Moät VTPT cuûa (a) laø: nrr= [ab, r] . Daïng 10: (a) ñi qua moät ñöôøng thaúng (d) vaø vuoâng goùc vôùi moät maët phaúng (b): r r – Xaùc ñònh VTCP u cuûa (d) vaø VTPT nb cuûa (b). – Moät VTPT cuûa (a) laø: nr= éùunrr, . ëûb – Laáy moät ñieåm M thuoäc d Þ M Î (a). Daïng 11: (a) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng caét nhau (b), (g): rr – Xaùc ñònh caùc VTPT nnbg, cuûa (b) vaø (g). – Moät VTPT cuûa (a) laø: nr= éùunrr, . ëûbg Daïng 12: (a) ñi qua ñöôøng thaúng (d) cho tröôùc vaø caùch ñieåm M cho tröôùc moät khoaûng k cho tröôùc: – Giaû söû (a) coù phöông trình: Ax+By+=Cz+D 0 ( ABC2+22+¹0) . – Laáy 2 ñieåm A, B Î (d) Þ A, B Î (a) (ta ñöôïc hai phöông trình (1), (2)). – Töø ñieàu kieän khoaûng caùch d(Mk,(a)) = , ta ñöôïc phöông trình (3). – Giaûi heä phöông trình (1), (2), (3) (baèng caùch cho giaù trò moät aån, tìm caùc aån coøn laïi). Daïng 13: (a) laø tieáp xuùc vôùi maët caàu (S) taïi ñieåm H: – Giaû söû maët caåu (S) coù taâm I vaø baùn kính R. Trang 37
41. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng uur – Moät VTPT cuûa (a) laø: nr = IH Chuù yù: Ñeå vieát phöông trình maët phaúng caàn naém vöõng caùc caùch xaùc ñònh maët phaúng ñaõ hoïc ôû lôùp 11. Baøi 1. Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua ñieåm M vaø coù VTPT nr cho tröôùc: a) M(3;1;1),nr =-( 1;1;2) b) M(-=2;7;0),nr (3;0;1) c) M(4;-1;-=2),nr (0;1;3) d) M(2;1;-=2),nr (1;0;0) e) M(3;4;5),nr =(1; 3;7) f) M(10;1;9),nr =-( 7;10;1) Baøi 2. Vieát phöông trình maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB cho tröôùc, vôùi: a) AB(2;1;1),(2; 11;) b) AB(1; 1;4),(205;;) c) AB(2;3; 4),(4;10;) æ11öæö æ211öæö d) Aç; 1;0÷,Bç÷1;;5 e) Aç1;;÷,Bç÷-3;;1 f) AB(2;-5;6),( 1;32;) è22øèø è323øèø Baøi 3. Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua ñieåm M vaø coù caëp VTCP abr, r cho tröôùc, vôùi: a) M(1;2;-3),ar =(2;1;2), br =-(3;21;) b) M(1;-2;3),abr =3;-1;-=2),r (034;;) c) M(-1;3;4),abr ==(2;7;2),r (3;24;) d) M(-40;;5),ar =(6;-=1;3); br (3;21;) Baøi 4. Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua ñieåm M vaø song song vôùi maët phaúng (b) cho tröôùc, vôùi: a) M(2;15;,) (b) =(Oxy) b) M(1;-2;1),:(b) 2xy-+=30 c) M(-1;1;0),:(b) x-2yz+-=100 d) M(3;6;-5),:(b) -xz+-=10 e) M(2;-3;5),(b):x+2yz-+=50 f) M(11;;1),(b):10x-10yz+20-=400 Baøi 5. Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua ñieåm M vaø laàn löôït song song vôùi caùc maët phaúng toaï ñoä, vôùi: a) M (2;;15) b) M (1;;-21) c) M (-1;;10) d) M (3;;65- ) e) M(2;-35;) f) M(1;11;) g) M(-1;10;) h) M(3;65;)- Baøi 6. Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua ba ñieåm A, B, C khoâng thaúng haøng cho tröôùc, vôùi: a) A(1;-2;4),BC(3;2;-1),( 2;13;) b) A(0;0;0),BC(-2; 1;3),(4;21;) c) A( 1;2;3),BC(2;4;3),(4;56;) d) A(3;-5;2),BC(1; 2;0),(0;37;) e) A(2;-4;0),BC(5;1;7),(-1; 11;) f) A(3;0;0),BC(0; 5;0),(0;07;) Baøi 7. Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua ñieåm A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm B, C cho tröôùc, vôùi: a) A(1;-2;4),BC(3;2;-1),( 2;13;) b) A(0;0;0),BC(-2; 1;3),(4;21;) c) A( 1;2;3),BC(2;4;3),(4;56;) d) A(3;-5;2),BC(1; 2;0),(0;37;) e) A(2;-4;0),BC(5;1;7),(-1; 11;) f) A(3;0;0),BC(0; 5;0),(0;07;) Baøi 8. Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua hai ñieåm A, B vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (b) cho tröôùc, vôùi: ìAB(3;1; 1),(2;14;) ìAB(-2; 1;3),(4;21;) ìAB(2;-1;3),( 4;79;) a) í b) í c) í î(b ) : 2x-yz+3-=10 î(b ) : 2x+3yz-2+=50 î()b : 3x+4yz-8-=50 ìAB(3;-1; 2),(3;12;) d) í î(b ) : 2x-2yz-2+=50 Baøi 9. Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng (b), (g) cho tröôùc, vôùi: a) M(-1;-2;5),(bg) :x+2y-3z+1=0,:( ) 2x-3yz++=10 Trang 38
42. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian b) M(1;0;-2),(bg) :2x+y-z-2=0,:( ) x-yz =30 c) M(2;-4;0),(bg) :2xy+3-2z+5=0,:( ) 3x+4yz-8-=50 d) M(5;1;7),(bg) :34x-y+3z+6=0,:( ) 32x-yz+5-=30 Baøi 10. Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua ñieåm M vaø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q) cho tröôùc, vôùi: a) M(1;2;-3),(P) :,2x-3y+z-5=0(Q): 32x-yz+5-=10 b) M(2;1;-1),(P) :,xy-+z-4=0(Q): 3x-yz+-=10 c) M(3;4;1),(P) :,19x-6y-4z+27=0(Q):42x-8yz+3+=110 d) M(0;0;1),(P) :5x-+3y2z-5=0,:(Q) 2x-yz =10 Baøi 11. Vieát phöông trình maët phaúng (a) qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q), ñoàng thôøi song song vôùi maët phaúng (R) cho tröôùc, vôùi: a) (P):y+2z-4=0,(Q):x+y-z-3=0,(R):x+yz+-=20 b) (P):x-4y+2z-5=0,(Q):y+4z-5=0,(R):2xy-+=190 c) (P):3x-y+z-2=0,(Q):x+4y-5=0,(R):2xz-+=70 Baøi 12. Vieát phöông trình maët phaúng (a) qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q), ñoàng thôøi vuoâng goùc vôùi maët phaúng (R) cho tröôùc, vôùi: a) (P):2x+3y-4=0,(Q):2y-3z-5=0,(R):2x+yz-3-=20 b) (P):y+2z-4=0,(Q):x+y-z+3=0,(R):x+yz+-=20 c) (P):x+2y-z-4=0,(Q):2x+y+z+5=0,(R):x-2yz-3+=60 d) (P):3x-y+z-2=0,(Q):x+4y-5=0,(R):2xz-+=70 Baøi 13. Vieát phöông trình maët phaúng (a) qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q), ñoàng thôøi caùch ñieåm M cho tröôùc moät khoaûng baèng k, vôùi: a) (P):x-y-2=0,(Q):5x-13y+2z==0,Mk(1;2;32), VAÁN ÑEÀ 2: Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng Baøi 1. Xeùt vò trí töông ñoái cuûa caùc caëp maët phaúng sau: ì2xyz+3-2+=50 ì34x-yz+3+=60 ì5x+5yz-5-=10 a) í b) í c) í î3x+4yz-8-=50 î32x-yz+5-=30 î3x+3yz-3+=70 ì2x-2yz-4+=50 ì6x-4yz-6+=50 ï ì32x-yz-6-=230 d) í e) í 25 f) í î12x-8yz-12-=50 5x-5yz-100+= î32x-yz-6+=330 îï 2 Baøi 2. Xaùc ñònh m, n ñeå caùc caëp maët phaúng sau: · song song · caét nhau · truøng nhau ì3x+myz-2-=70 ì5x-2y+mz-=110 ì2x+myz+3-=50 a) í b) í c) í î nx+7yz-6+=40 î 3x+nyz+-=50 înx-6yz-6+=20 ì3x-y+mz -=90 ì2x+yz+3-=50 ì3x-5y+mz -=30 d) í e) í f) í î2x+nyz+2-=30 îmx-6yz-6-=20 î 2x+yz-3+=10 ìx+myz-+=20 ì2x-nyz+2-=10 ì3x-()m-3yz+2-=50 g) í h) í i) í î2x+y+4nz -=30 î3x-y+mz -=20 î()m+2x-2y+mz -=100 Baøi 3. Xaùc ñònh m ñeå caùc caëp maët phaúng sau vuoâng goùc vôùi nhau ì2x-7y+mz +=20 ì()2m-1x-3myz+2+=30 a) í b) í î 3x+yz-+=2150 î mx+()m-1yz+4-=50 Trang 39
43. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng ìmx+2y+mz -=120 ì3x-()m-3yz+2-=50 c) í d) í î x+myz++=70 î()m+2x-2y+mz -=100 ì4x-3yz-=30 ì3x-5y+mz -=30 e) í f) í îmx+2yz-7-=10 î x+3yz+2+=50 VAÁN ÑEÀ 3: Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät maët phaúng. Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song. Hình chieáu cuûa moät ñieåm treân maët phaúng . Ñieåm ñoái xöùng cuûa moät ñieåm qua maët phaúng. • Khoaûng caùch töø ñieåm M0(x0; y0; z0) ñeán maët phaúng (a): Ax + By + Cz + D = 0 Ax0+By00++CzD dM(0,()a)= A2++BC22 · Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song baèng khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kì treân maët phaúng naøy ñeán maët phaúng kia. Chuù yù: Neáu hai maët phaúng khoâng song song thì khoaûng caùch giöõa chuùng baèng 0. uuuur ìMH,nr cuøngphöông · Ñieåm H laø hình chieáu cuûa ñieåm M treân (P) Û í îHPÎ() uuuuuruuuur · Ñieåm M¢ ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua (P) Û MM¢ = 2MH Baøi 1. Cho maët phaúng (P) vaø ñieåm M. · Tính khoaûng caùch töø M ñeán (P). · Tìm toaï ñoä hình chieáu H cuûa M treân (P). · Tìm toaï ñoä ñieåm M¢ ñoái xöùng vôùi M qua (P). a) (P):2x-y+2zM-6=-0,(2;35;) b) (P):x+y+5zM-14=0,(1; 42;) c) (P):6x-2y+3zM+12=-0,(3;12;) d) (P):2x-4y+4zM+3=-0,(2;34;) e) (P):xy-+zM-4=-0,(2;11;) f) (P):3x-y+zM-=20,(1;24;) Baøi 2. Tìm khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng: ìx-2yz+3+=10 ì6x-2yz++=10 ì2x-yz+4+=50 a) í b) í c) í î2x-yz+3+=50 î6x-2yz+-=30 î3x+5yz =10 ì4x-yz+8+=10 ì2x-yz+4+=50 ì3x+6yz-3+=70 d) í e) í f) í î4x-yz+8+=50 î3x+5yz =10 î x+2yz-+=10 Baøi 3. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm caùch maët phaúng moät khoaûng baèng k cho tröôùc: a) 63x-y+2zk-7==03, b) 32x-y-6zk+5==04, c) 6x-2y+3zk+12==02, d) 2x-4y+4zk-14==03, Baøi 4. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm caùch ñeàu hai maët phaúng: ìx-2yz+3+=10 ì6x-2yz++=10 ì2x-yz+4+=50 a) í b) í c) í î2x-yz+3+=50 î6x-2yz+-=30 î3x+5yz =10 ì4x-yz+8+=10 ì2x-yz+4+=50 ì3x+6yz-3+=70 d) í e) í f) í î4x-yz+8+=50 î3x+5yz =10 î x+2yz-+=10 Baøi 5. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm coù tyû soá caùc khoaûng caùch ñeán hai maët phaúng baèng k cho tröôùc: ìx+2yz =2100 ì6x-2yz++=10 ì6x+3yz-2-=10 a) ï2x+4yz-4+=30 b) ï6x-2yz+-=30 c) ï2x+2yz-+=60 í í 2 1 í 4 ïk= ïk= ïk= îï 3 îï 2 îï 7 Baøi 6. Tìm ñieåm M treân truïc Ox (Oy, Oz) caùch ñeàu ñieåm N vaø maët phaúng (P): Trang 40
44. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian a) (P):2x+2y+zN-5=-0,(1;22;) b) (P):x+y+5zN-14=0,(1; 42;) c) (P):6x-2y+3zN+12=-0,(3;12;) d) (P):2x-4y+4zN+3=-0,(2;34;) e) (P):xy-+zN-4=-0,(2;11;) f) (P):3x-y+zN-=20,(1;24;) Baøi 7. Tìm ñieåm M treân truïc Ox (Oy, Oz) caùch ñeàu hai maët phaúng: ìx+yz-+=10 ìx+2yz-2+=10 ì2x-yz+4+=50 a) í b) í c) í îxyz-+-=50 î2x+2yz+-=50 î4x+2yz =10 ì4x-yz+8+=10 ì2x-yz+4+=50 ì3x+6yz-3+=70 d) í e) í f) í î4x-yz+8+=50 î3x+5yz =10 î x+2yz-+=10 Baøi 8. Tìm phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (P) ñi qua ñieåm A vaø song song vôùi maët phaúng (Q) cho tröôùc. Tính khoaûng caùch giöõa (P) vaø (Q): a) A(1;2;–3),(Q):2x-4yz-+=40. b) A(3; 1;–2),(Q):6x-2yz+3+=120. Baøi 9. Tìm phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (P) song song vôùi maët phaúng (Q) vaø caùch ñieåm A moät khoaûng k cho tröôùc: a) (Q):x+2y-2z+5=0,Ak(2;-=1;44), b) (Q):2xy-4+4z+3=0,Ak(2;-=3;43), Baøi 10. Tìm phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (P) caùch maët phaúng (Q) moät khoaûng k: a) (Q):,3x-y+2zk-3==014 b) (Q):,4xy+3-2zk+5==029 VAÁN ÑEÀ 4: Goùc giöõa hai maët phaúng Cho hai maët phaúng (a), (b) coù phöông trình: (a): A1x+B1y+C11zD+=0 (b): A2222x+By+CzD+=0 rr Goùc giöõa (a), (b) baèng hoaëc buø vôùi goùc giöõa hai VTPT nn12, . nrr.nAA++BBCC cos((ab),())==12121212 nnrr. 222222 12 A1+B1+C1.A2++BC22 00· Chuù yù: · 0££((ab),()) 90 . · (ab)^()ÛA1A2+B1B2+=CC12 0 Baøi 1. Tính goùc giöõa hai maët phaúng: ìx+yz-+=10 ìx+2yz-2+=10 ì2x-yz+4+=50 a) í b) í c) í îxyz-+-=50 î2x+2yz+-=50 î4x+2yz =10 ì4x+4yz-2+=70 ì2x-yz-2+=30 ì3x-3yz+3+=20 d) í e) í f) í î2xz+4-=50 î 2yz+2+=120 î42x+yz+4-=90 Baøi 2. Tìm m ñeå goùc giöõa hai maët phaúng sau baèng a cho tröôùc: ì()2m-1x-3myz+2+=30 ìmx+2y+mz -=120 ì()m+2x+2my-mz +=50 ï ï ï a) ímx+()m-1yz+4-=50 b) íx+myz++=70 c) ímx+()m-3yz+2-=30 0 0 0 îïa=90 îïa=45 îïa=90 ìmx-y+mz +=30 ï d) í(2m+1)x+(m-1)y+-()mz1-=60 0 îïa= 30 Baøi 3. Cho töù dieän OABC coù caùc caïnh OA, OB, OC vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi moät. Goïi a, b,g laàn löôït laø caùc goùc hôïp bôûi caùc maët phaúng (OAB), (OBC), (OCA) vôùi maët phaúng (ABC). Baèng phöông phaùp toaï ñoä, chöùng minh raèng: a) Tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn b) cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1 Trang 41
45. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng VAÁN ÑEÀ 5: Vò trí töông ñoái giöõa maët phaúng vaø maët caàu. Phöông trình maët phaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu Cho maët phaúng (a): Ax+By+CzD+=0 vaø maët caàu (S): (x-a)2+(y-b)2+()z-=cR22 · (a) vaø (S) khoâng coù ñieåm chung Û d(IR,(a)) > · (a) tieáp xuùc vôùi (S) Û d(IR,(a)) = (a) laø tieáp dieän Ñeå tìm toaï ñoä tieáp ñieåm ta coù theå thöïc hieän nhö sau: – Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua taâm I cuûa (S) vaø vuoâng goùc vôùi (a). – Tìm toaï ñoä giao ñieåm H cuûa d vaø (a). H laø tieáp ñieåm cuûa (S) vôùi (a). · (a) caét (S) theo moät ñöôøng troøn Û d(IR,(a)) < Ñeå xaùc ñònh taâm H vaø baùn kính r cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán ta coù theå thöïc hieän nhö sau: – Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua taâm I cuûa (S) vaø vuoâng goùc vôùi (a). – Tìm toaï ñoä giao ñieåm H cuûa d vaø (a). H laø taâm cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán cuûa (S) vôùi (a). Baùn kính r cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán: r=-R22IH Baøi 1. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S): ì(P):2x+2yz+-=10 ì(P):2x-3yz+6-=90 a) í 222 b) í 222 î(S):x+y+z-6x-2yz+4+=50 î(S):(x-1)+(yz-3)+()+=216 ì(P):x+yz-2-=110 ì(P):x-2yz+2+=50 c) í 222 d) í 222 î(S):x+y+z+2x-4yz-2+=20 î(S):x+y+z-6x-4yz-8+=130 ì(P):x+2yz+=20 ì(Pz):-=30 e) í 222 f) í 222 î(S):x+y+z-6x+2yz-2+=100 î(S):x+y+z-6x+2yz-16+=220 Baøi 2. Bieän luaän theo m, vò trí töông ñoái giöõa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S): a) (P):2x-2y-z-4=0;(S):x2+y22+z-2()m-1x+4my+4zm+=80 b) (P):4x-2y+4z-5=0;(S):(x-1)2+(y+2)2+(zm-31)22=-() c) (P):3x+2y-6z+7=0;(S):(x-2)2+(y-1)2+(zm+12)22=+() d) (P):2x-3y+6z-10=0;(S):x2+y2+z22+4mx-2()m+1y-2z++3mm+5-=40 Baøi 3. Vieát phöông trình maët caàu (S) coù taâm I vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng (P) cho tröôùc: a) I(35;-;-2),(P):2x-yz-3+=10 b) I(1;4;7),(P):6x+6yz-7+=420 c) I(1;1;2),(P):x+2yz+2+=30 d) I(-2;1;1),(P):x+2yz-2+=50 Baøi 4. Vieát phöông trình maët phaúng (P) tieáp xuùc vôùi maët caàu (S) cho tröôùc: a) (S):(x-3)2+(yz-1)22+(+=2)24 taïi M(-1;30;) b) (S):x2+y22+z-6x-2yz+4+=50 taïi M(4;30;) c) (S):(x-1)2+(yz+3)22+()-=249 taïi M(7;-15;) d) (S):x2+y22+z-2x-2yz-2-=220 vaø song song vôùi maët phaúng 3x-2yz+6+=140. e) (S):x2+y22+z-+64xyz+2-=110 vaø song song vôùi maët phaúng 4xz+3-=170. f) (S):x2+y22+z-2xyz-+=440vaø song song vôùi maët phaúng x+2yz+2+=50. g) (S):x2+y22+z-2x+6yz+2+=80 vaø chöùa ñöôøng thaúng d:x=4t+4,, y=3t+11 zt=+ Trang 42
46. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian h) Tieáp xuùc vôùi maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD taïi A vôùi A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; – 1), D(4; 1; 0). i) Tieáp xuùc vôùi maët caàu: x 2 + y 2 + z 2 -10x + 2y + 26z -113 = 0 vaø song song vôùi 2 ñöôøng x+5yz-+113 x+7yz+-18 thaúng: d:== , d : ==. 1 2-321 3-20 Baøi taäp oân: Phöông trình maët phaúng Baøi 1. Cho töù dieän ABCD. · Vieát phöông trình caùc maët cuûa töù dieän. · Vieát phöông trình maët phaúng chöùa moät caïnh vaø song song vôùi caïnh ñoái dieän. · Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua moät ñænh vaø song song vôùi maët ñoái dieän. · Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua caïnh AB vaø vuoâng goùc vôùi (BCD). · Vieát phöông trình maët phaúng trung tröïc cuûa caùc caïnh töù dieän. · Tìm toaï ñoä caùc ñieåm A¢, B¢, C¢, D¢ laàn löôït laø caùc ñieåm ñoái xöùng vôùi caùc ñieåm A, B, C, D qua caùc maët ñoái dieän. · Tính khoaûng caùch töø moät ñænh cuûa töù dieän ñeán maët ñoái dieän. · Vieát phöông trình maët caàu (S) ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. Xaùc ñònh taâm I vaø baùn kính R cuûa (S). · Vieát phöông trình caùc tieáp dieän cuûa (S) taïi caùc ñænh A, B, C, D cuûa töù dieän. • Vieát phöông trình caùc tieáp dieän cuûa (S) song song vôùi caùc maët cuûa töù dieän. a) A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D (4;;06) b) A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D (111;;) c) A(20;;0), B(04;;0), C(0;0;6), D (2;;46) d) A(2;3;1),B(4;1;-2),CD(6;3;7),( 5;48;) e) A(5;7;-2),B(3;1; 1),CD(9;4;4),(1;50;) f) A(0;1;0),B(2;3;1),CD( 2;2;2),(1;12;) Baøi 2. Cho hai maët phaúng (P), (Q) laàn löôït caét ba truïc toaï ñoä taïi caùc ñieåm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; –3) vaø E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1). a) Tìm phöông trình toång quaùt cuûa (P) vaø (Q). b) Tính ñoä daøi ñöôøng cao cuûa hình choùp O.ABC. c) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (P), (Q). Baøi 3. Cho boán ñieåm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) vaø D(1; 3; 3). a) Chöùng minh ABCD laø moät töù dieän ñeàu. b) Chöùng minh töù dieän ABCD coù caùc caëp caïnh ñoái ñoâi moät vuoâng goùc. c) Tìm phöông trình toång quaùt cuûa caùc maët phaúng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD). d) Tính goùc giöõa caùc caëp maët phaúng: (ABC) vaø (ABD), (BCD) vaø (ACD). Trang 43
47. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng IV. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG 1. Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng • Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm M0(x0;yz00;) vaø coù VTCP r a= (a1;aa23;): x=+xat  o1 (d):y=yo+∈a2t()tR  z=+zoat3 x−x0y y00zz • Neáu a1aa23≠ 0 thì (d): == ñgl phöông trình chính taéc cuûa d. a1aa23 2. Vò trí töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng Cho hai ñöôøng thaúng d, d¢ coù phöông trình tham soá laàn löôït laø: ìx=+xta ìx=+x¢ta¢¢ ï 01 ï 01 d: íy=+y02ta vaø d¢: íy=+y02¢ta¢¢ ï ï îz=+z03ta îz=+z03¢ta¢¢ ìarr,a¢cuøngphöông ïìx+ta=+x¢ta¢¢ • d // d′ ⇔ ï0101 íheäy+ta=+y¢t¢a¢¢(aånt,)tvoânghieäm ïí0202 ï ¢¢¢ îïîz0+ta3=+z03ta r ìarr,a¢cuøngphöông ìarr,a¢ cuøngphöông ïì[aarr, ¢] =0 ⇔ í ⇔ í uuuuuur ⇔ í uuuuuur M(x;y;)zdÏ ¢ ar , MM¢ khoângcuøngphöông éùr ¢r î 0000 î 00 îïëûa,MM00¹ 0 ìx+ta=+x¢ta¢¢ ï0101 • d ≡ d′ ⇔ heäíy0+ta2=+y02¢t¢a¢¢(aånt,)tcoùvoâsoánghieäm ï îz0+ta3=+z03¢ta¢¢ ìarr,a¢cuøngphöông uuuuuur ⇔ ⇔ arr,,a¢¢MMñoâimoätcuøngphöông í ¢ 00 îM0(x0;y00;)zdÎ rrréùuuuuuur r ⇔ [a,,a¢¢] ==ëûaMM00 0 ìx+ta=+x¢ta¢¢ ï0101 • d, d′ caét nhau ⇔ heä íy0+ta2=+y02¢ta¢¢ (aån t, t′) coù ñuùng moät nghieäm ï îz0+ta3=+z03¢ta¢¢ r ìarr,a¢khoângcuøngphöông ïì[aarr, ¢] ¹0 ⇔ í uuuuuur ⇔ í uuuuuur rr¢¢ rr¢¢ îa,,aM00Mñoàngphaúng îï[a,.a] MM00= 0 ìarr,a¢khoângcuøngphöông ïìx+ta=+x¢ta¢¢ • d, d′ cheùo nhau ⇔ ï0101 íheäy+ta=+y¢t¢a¢¢(aånt,)tvoânghieäm ïí0202 ï ¢¢¢ îïîz0+ta3=+z03ta rr uuuuuur rr uuuuuur ⇔ a,,a¢¢M00Mkhoângñoàngphaúng ⇔ [a,.a¢¢] MM00¹ 0 • d ⊥ d′ ⇔ aarr^ ¢ ⇔ aarr. ¢ = 0 Trang 44
48. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian 3. Vò trí töông ñoái giöõa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng ìx=+xta ï 01 Cho maët phaúng (a): Ax+By+CzD+=0 vaø ñöôøng thaúng d: íy=+y02ta ï îz=+z03ta Xeùt phöông trình: A(x0+ta1)+B(y0+ta2)+C()z03+taD+=0 (aån t) (*) • d // (a) Û (*) voâ nghieäm · d caét (a) Û (*) coù ñuùng moät nghieäm · d Ì (a) Û (*) coù voâ soá nghieäm 4. Vò trí töông ñoái giöõa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët caàu ìx=+x01ta ï 2222 Cho ñöôøng thaúng d: íy=+y02ta (1) vaø maët caàu (S): (x-a)+(y-b)+()z-=cR (2) ï îz=+z03ta Ñeå xeùt VTTÑ cuûa d vaø (S) ta thay (1) vaøo (2), ñöôïc moät phöông trình (*). · d vaø (S) khoâng coù ñieåm chung Û (*) voâ nghieäm Û d(I, d) > R · d tieáp xuùc vôùi (S) Û (*) coù ñuùng moät nghieäm Û d(I, d) = R · d caét (S) taïi hai ñieåm phaân bieät Û (*) coù hai nghieäm phaân bieät Û d(I, d) < R 5. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng (chöông trình naâng cao) Cho ñöôøng thaúng d ñi qua M0 vaø coù VTCP ar vaø ñieåm M. éùuuuuur r ëûM0Ma, d(Md,)= ar 6. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau (chöông trình naâng cao) Cho hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d1 vaø d2. r r d1 ñi qua ñieåm M1 vaø coù VTCP a1, d2 ñi qua ñieåm M2 vaø coù VTCP a2 rr uuuuuur ëûéùa1,.a2MM12 d(dd,)= 12 rr ëûéùaa12, Chuù yù: Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d1, d2 baèng khoaûng caùch giöõa d1 vôùi maët phaúng (a) chöùa d2 vaø song song vôùi d1. 7. Khoaûng caùch giöõa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng song song Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng d vôùi maët phaúng (a) song song vôùi noù baèng khoaûng caùch töø moät ñieåm M baát kì treân d ñeán maët phaúng (a). 8. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng rr Cho hai ñöôøng thaúng d1, d2 laàn löôït coù caùc VTCP aa12, . rr Goùc giöõa d1, d2 baèng hoaëc buø vôùi goùc giöõa aa12, . aarr. cos,aarr = 12 (12)rr aa12. 9. Goùc giöõa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng r r Cho ñöôøng thaúng d coù VTCP a= (a1;aa23;) vaø maët phaúng (a) coù VTPT n= (A;BC;). Goùc giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (a) baèng goùc giöõa ñöôøng thaúng d vôùi hình chieáu d¢ cuûa noù treân (a). Aa++BaCa sin(·d,()a)= 123 222222 A+B+C.a1++aa23 Trang 45