Bài tập Giải tích Toán học I - Nguyễn Xuân Viên

Nội dung text: Bài tập Giải tích Toán học I - Nguyễn Xuân Viên

1. Học viện kỹ thuật quân sự Bộ môn toán − khoa công nghệ thông tin Nguyễn xuân viên Bài tập giải tích toán học I Dùng cho sinh viên các tr−ờng đại học kỹ thuật Hà nội − 2005
2. Mục lục Mục lục 3 Ký hiệu 9 Lời nói đầu 11 Phần 1. Bài tập giải tích toán học 13 Ch−ơng I. Vi phân hàm số một biến số 13 Đ 1. Số thực 13 I. Tóm tắt lý thuyết 13 a. Tập đếm đ−ợc, tập t−ơng đ−ơng 13 b. Nguyên lý quy nạp toán học 13 c. Định lý chia Euclid 13 d. Số hữu tỷ và số thực 14 e. Sup, inf. Định lý Bolzano 14 f. Trị tuyệt đối của số thực 15 II. Bài tập 15 Đ 2. Giới hạn dãy số 16 I. Tóm tắt lý thuyết 16 a. Dãy số 16 b. Tiêu chuẩn Cauchy về hội tụ dãy số 17 c. Hội tụ đơn điệu 17 d. Dãy riêng, giới hạn riêng 17 II. Bài tập 18 Đ 3. Giới hạn hàm số, hàm liên tục 22 I. Tóm tắt lý thuyết 22 a. Giới hạn hàm số theo ε − δ và dãy 22 b. Giới hạn một phía 22 c. Các tính chất số học của giới hạn hàm số 23 d. Một số giới hạn quan trọng 23 e. Hàm liên tục 23 f. VCB, VCL 24 II. Bài tập 25 3
3. Đ 4. Đạo hàm và vi phân 31 I. Tóm tắt lý thuyết 31 a. Khái niệm đạo hàm, đạo hàm trái, đạo hàm phải 31 b. Các quy tắc tính đạo hàm 32 c. Bảng đạo hàm các hàm cơ bản 32 d. Đạo hàm hàm hợp, hàm ng−ợc và hàm ẩn 33 e. Vi phân cấp một và vi phân cấp cao 34 f. Các định lý trung bình 36 II. Bài tập 36 Đ 5. Các ứng dụng của đạo hàm 43 I. Tóm tắt lý thuyết 43 a. Công thức Taylor 43 b. Các quy tắc L’Hospital khử dạng bất định 44 c. ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số 45 c.1. Cực trị 45 c.2. Lồi, lõm, điểm uốn 46 c.3. Tiệm cận 46 c.4. Tiếp tuyến, tiếp xúc 47 II. Bài tập 47 Ch−ơng II. Tích phân hàm số một biến số 55 Đ 6. Tích phân bất định 55 I. Tóm tắt lý thuyết 55 a. Nguyên hàm và tích phân bất định 55 b. Bảng các tích phân cơ bản 56 c. Các ph−ơng pháp cơ bản tính tích phân 57 c.1. Tích phân bằng ph−ơng pháp thế (đổi biến) 57 c.2. Ph−ơng pháp tích phân từng phần 57 d. Tích phân các hàm hữu tỷ 59 e. Tích phân các hàm vô tỷ 61 f. Tích phân các hàm siêu việt 64 II. Bài tập 66 a. Nguyên hàm và tích phân bất định 66 b. Các ph−ơng pháp cơ bản tính tích phân 67 4
4. c. Tích phân các hàm hữu tỷ 72 d. Tích phân các hàm vô tỷ 73 e. Tích phân các hàm siêu việt 75 Đ 7. Tích phân xác định và ứng dụng 77 I. Tóm tắt lý thuyết 77 a. Tích phân xác định, điều kiện khả tích 77 b. Tính chất tích phân 79 c. Công thức Newton-Leibniz 80 d. Các ph−ơng pháp tính tích phân xác định 82 d.1. Ph−ơng pháp đổi biến 82 d.2. Ph−ơng pháp tích phân từng phần 82 e. Các ứng dụng của tích phân xác định 84 e.1. Diện tích bản phẳng 84 e.2. Độ dài đ−ờng cong 87 e.3. Thể tích của vật và diện tích mặt cong 88 II. Bài tập 91 a. Tích phân xác định, công thức Newton-Leibniz 91 b. Các ph−ơng pháp tính tích phân xác định 96 c. Các ứng dụng của tích phân xác định 103 Đ 8. Tích phân suy rộng 114 II. Tóm tắt lý thuyết 114 a. Tích phân suy rộng cận hữu hạn, vô hạn 114 b. Các tiêu chuẩn hội tụ 118 b.1. Tiêu chuẩn so sánh bất đẳng thức 118 b.2. Tiêu chuẩn so sánh giới hạn 118 b.3. Các tiêu chuẩn Dirichle và Abel 118 II. Bài tập 120 Ch−ơng III. Chuỗi số và chuỗi hàm 129 Đ 9. Chuỗi số 129 I. Tóm tắt lý thuyết 129 a. Tổng riêng và tổng của chuỗi số 129 b. Điều kiện cần hội tụ của chuỗi 130 c. Tiêu chuẩn Cauchy 131 5
5. d. Các dấu hiệu hội tụ chuỗi số d−ơng 131 d.1. Dấu hiệu so sánh bất đẳng thức 131 d.2. Dấu hiệu so sánh giới hạn 132 d.3. Dấu hiệu tích phân 133 d.4. Ph−ơng pháp tách phần chính 134 d.5. Các dấu hiệu D’alembert và Cauchy 135 d.6. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ 137 II. Bài tập 141 a. Tổng riêng và tổng của chuỗi số, điều kiện cần hội tụ, tiêu chuẩn Cauchy 141 b. Các dấu hiệu hội tụ chuỗi số d−ơng 144 c. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ 149 Đ 10. Chuỗi hàm, dãy hàm 150 I. Tóm tắt lý thuyết 150 a. Hội tụ đều của dãy hàm 150 b. Hội tụ đều của chuỗi hàm 152 b.1. Hội tụ của chuỗi hàm 152 b.2. Hội tụ đều của chuỗi hàm 154 b.3. Dấu hiệu Dirichle và Abel 155 c. Vi tích phân chuỗi hàm 157 c.1. Liên tục của chuỗi hàm 157 c.2. Tích phân chuỗi hàm 158 c.3. Vi phân chuỗi hàm 159 d. Chuỗi luỹ thừa 160 d.1. Bán kính hội tụ 160 d.2. Các định lý Abel 160 e. Chuỗi Taylor 162 II. Bài tập 164 a. Hội tụ đều của dãy hàm 164 b. Hội tụ đều của chuỗi hàm 166 c. Vi, tích phân chuỗi hàm 169 d. Chuỗi luỹ thừa 170 e. Chuỗi Taylor 171 6
6. Đ 11. Chuỗi Fourier 175 I. Tóm tắt lý thuyết 175 a. Định lý Dirichle 175 b. Định lý Dini 176 II. Bài tập 178 Phần 2. Bài giải và đáp số 181 Đ 1. Số thực 181 Đ 2. Giới hạn dãy số 181 Đ 3. Giới hạn hàm số, hàm liên tục 185 Đ 4. Đạo hàm và vi phân 189 Đ 5. Các ứng dụng của đạo hàm 192 Đ 6. Tích phân bất định 201 Đ 7. Tích phân xác định và ứng dụng 211 Đ 8. Tích phân suy rộng 224 Đ 9. Chuỗi số 226 Đ 10. Chuỗi hàm, dãy hàm 230 Đ 11. Chuỗi Fourier 236 Tài liệu tham khảo 239 7
7. Các Ký hiệu chung N : tập số tự nhiên, N = {0,1,2,Κ } N∗ = N \ {}0 : tập số tự nhiên thiếu số 0 Q : tập số hữu tỷ R: tập số thực R[]x : tập các đa thức hệ số thực deg P()x : bậc của đa thức P(x) : kết thúc một ví dụ, giải bài tập 9
8. Lời nói đầu Cuốn giáo trình Bài tập giải tích 1 này đ−ợc biên soạn theo đề c−ơng đầy đủ của Bộ Giáo dục và Đào tạo về môn Toán cao cấp dành cho các tr−ờng Đại học Kỹ thuật học Toán theo ch−ơng trình 1, có thời l−ợng từ 60 đến 75 tiết ở học kỳ đầu của năm thứ nhất Giáo trình gồm 3 ch−ơng: Ch−ơng I: Vi phân hàm số một biến số Ch−ơng II: Tích phân hàm số một biến số Ch−ơng III: Chuỗi số và chuỗi hàm Với hơn 1100 bài tập đ−ợc phân tỷ mỷ theo từng phần của kiến thức chung. Tr−ớc mỗi phần bài tập đều có tóm tắt lý thuyết đầy đủ, có nhiều ví dụ minh hoạ đa dạng. Phần đáp số, h−ớng dẫn, trả lời có trình bày lời giải một số bài tập mang tính khái quát cao hơn. Hy vọng giáo trình bài tập này sẽ giúp ích đ−ợc nhiều cho các bạn sinh viên tất cả mọi loại hình đào tạo, giúp cho các thầy cô giáo có thêm một số t− liệu t−ơng đối đầy đủ để chuẩn bị bài giảng. Vì kiến thức thì quá bao la mà khả năng bản thân lại có hạn nên không thể tránh khỏi các thiếu sót. Rất mong nhận đ−ợc sự đóng góp ý kiến từ các độc giả để cuốn sách ngày càng hoàn chỉnh hơn, đáp ứng đ−ợc yêu cầu nâng cao chất l−ợng dạy và học môn Toán ở các tr−ờng đại học. Hà nội, tháng 9 năm 2005 Nguyễn Xuân Viên 11
9. Phần 1. Bài tập giải tích toán học Ch−ơng I Vi phân hàm số một biến số Đ 1. Số thực I. Tóm tắt lý thuyết a. Tập đếm đ−ợc, tập t−ơng đ−ơng Hai tập A, B gọi là t−ơng đ−ơng nếu tồn tại song ánh f : A → B . Khi A và B t−ơng đ−ơng ng−ời ta nói A và B có cùng lực l−ợng và viết A = B hay A ~ B . Tập A gọi là tập đếm đ−ợc (hay tập có lực l−ợng ω ) nếu A ~ N . Tập không t−ơng đ−ơng với tập số tự nhiên đ−ợc gọi là tập không đếm đ−ợc. b. Nguyên lý quy nạp toán học Trên tập số tự nhiên có nguyên lý quy nạp toán học sau đây: Khẳng định f ()n phụ thuộc vào số tự nhiên n sẽ đúng cho mọi số tự nhiên n ≥ n0 nếu: i. f (n0 ) đúng ii. Với mọi k ≥ n0 , từ f (k) đúng suy ra f (k +1) đúng c. Định lý chia Euclid Với mọi số nguyên m, n, tồn tại duy nhất các số nguyên q, r sao cho n = qm + r, 0 ≤ r < m . Ta nói n chia hết cho m hay m chia hết n (m là thừa số của n) và viết m/n nếu tồn tại số nguyên q sao cho n = mq. Khi m là thừa số của n thì ta nói m là −ớc của n. d đ−ợc gọi là −ớc số chung lớn nhất của m và n và viết d = USCLN()m, n hay đôi khi, nếu không có sự nhầm lẫn ng−ời ta còn viết đơn giản d = ()m, n nếu: i. d/m, d/n ii. nếu p/m, p/n thì p/d 13
10. Với mọi số nguyên m, n tồn tại duy nhất USCLN(m, n). Nếu ()m, n = 1 thì nói m, n nguyên tố cùng nhau. d. Số hữu tỷ và số thực Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn cũng nh− khoa học, ng−ời ta phải mở rộng tập số nguyên Z thành tập số hữu tỷ Q để Q có thể chứa tất cả các nghiệm của ph−ơng trình bậc nhất hệ số nguyên: ax + b = 0 . ⎧ m ⎫ Nh− vậy Q = ⎨r = m ∈ Z, n ∈ N * ⎬ và Z ⊆ Q. ⎩ n ⎭ Khác với tập số nguyên Z mà trong đó không có phép chia thì trong Q đã có đủ 4 phép toán: cộng, trừ, nhân, chia (chia cho số nguyên khác 0). Khi xét đến ph−ơng trình đơn giản hệ số hữu tỷ, thậm chí hệ số nguyên x2 − 2 = 0 thì dễ dàng thấy ph−ơng trình này không có nghiệm hữu tỷ. Một lần nữa đặt ra nhu cầu mở rộng tập số hữu tỷ Q thành tập số thực R: Q ⊆ R Số thực gồm có hai loại: số hữu tỷ và số vô tỷ. Tập số thực R lấp đầy trục số. Giống nh− Q, tập các số thực R tạo thành một tr−ờng. e. Sup, inf. Định lý Bolzano Giả sử E ⊆ R . Số α ∈R đ−ợc gọi là cận trên của tập E nếu ∀x ∈ E x ≤ α . Tập E mà có cận trên đ−ợc gọi là tập bị chặn trên. T−ơng tự nh− thế, β là số mà ∀x ∈ E β ≤ x đ−ợc gọi là cận d−ới của E. Tập có cận d−ới đ−ợc gọi là tập bị chặn d−ới. Tập bị chặn trên, chặn d−ới đ−ợc gọi là tập giới nội. Cận trên nhỏ nhất α của tập E đ−ợc gọi là cận trên đúng của tập E và viết α = sup E . Nh− vậy α = sup E nếu thoả mãn 2 điều kiện sau: i. ∀x ∈ E x ≤ α :α là cận trên của E ii. ∀ε > 0 ∃ x ∈ E α − ε < x ≤ α :α là cận trên nhỏ nhất T−ơng tự nh− thế, định nghĩa cận d−ới đúng infE là cận d−ới lớn nhất của tập E. Ta có định lý Bolzano sau: Mọi tập số thực bị chặn trên đều có cận trên đúng, bị chặn d−ới đều có cận d−ới đúng. 14
11. f. Trị tuyệt đối của số thực Trị tuyệt đối của số thực α là α thoả mãn điều kiện: α = α nếu α ≥ 0 , α = −α nếu α −1 ta có: ()1+ x n ≥ 1+ nx ()n > 1 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 0 . 1.9. CMR, nếu USCLN()m, n = d thì tồn tại các số nguyên u,v ∈ Z sao cho um + vn = d . 1.10. CMR, nếu P()x ,Q ()x là các đa thực hệ số thực, P(x)(),Q x ∈R[]x và d()x = USCLN()P ()x ,Q(x) thì tồn tại các đa thức u(x),v(x)∈R[]x sao cho: d(x) = u(x)P(x)+ v(x)Q(x) 1.11. CMR, nếu a, b là các số thực thì: a − b ≤ a − b ≤ a + b 1.12. CM các bất đẳng thức sau: 15
12. a. ab = a b c. a 2 = a2 a a b. = ()b ≠ 0 d. a2 = a b b 1.13. Ký hiệu A + B = {}a + b a ∈ A,b ∈ B . Chứng minh các đẳng thức sau: a. inf ()A + B = inf A + inf B b. sup()A + B = sup A + sup B 1.14. Ký hiệu AB = {}ab a ∈ A,b ∈ B . Giả sử A = {a a ≥ 0}, B = {b b ≥ 0}. Chứng minh các đẳng thức sau: a. inf ()AB = inf Ainf B b. sup()AB = sup Asup B 1.15. CM định lý về sự tồn tại duy nhất căn bậc n của số thực sau: Giả sử α ∈R, α > 0. Gọi A ⊆ R, A = {t ∈ R, t > 0 t n 0 tuỳ ý tồn tại số tự nhiên N để với mọi số tự nhiên n, khi n ≥ N thì xn − a < ε . Hay viết d−ới dạng vị từ (Logic mệnh đề) là: 16
13. lim xn = a ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∀n(n ≥ N ⇒ xn − a 0 ∃N ∀m∀n()m ≥ N ∧ n ≥ N ⇒ xm − xn < ε ). Ta có bổ đề Bolzano-Weierstrass: Từ dãy giới nội bất kỳ luôn trích ra dãy con hội tụ. b. Tiêu chuẩn Cauchy về hội tụ dãy số Để dãy số ()xn có giới hạn, điều kiện cần và đủ: (xn ) là dãy Cauchy. Vì lý do trong R mọi dãy Cosi đều hội tụ nên ng−ời ta nói tập số thực R có tính đầy đủ. Tập số hữu tỷ không đầy đủ, chẳng hạn nh− dãy Cosi n ⎛ 1 ⎞ xn = ⎜1+ ⎟ không hội tụ trong Q vì lim xn = e ∉Q . ⎝ n ⎠ n→∞ 1 1 Ví dụ: Chứng minh dãy x =Κ1+ + + không có giới hạn. n 2 n Giải: Để chứng minh dãy này không có giới hạn ta chỉ cần chỉ ra một số ε0 sao cho với mọi N tồn tại m, n, mặc dù m ≥ N, n ≥ N nh−ng ta lại có xm − xn ≥ ε0 . 1 Thật vậy, với ε = ;n = 2m ta có: 0 2 ⎛ 1 1 1 ⎞ m 1 xn − xm = ⎜ + +Κ + ⎟ ≥ = ⎝ m +1 m + 2 2m ⎠ 2m 2 c. Hội tụ đơn điệu Điều kiện hội tụ dãy đơn điệu Dãy ()xn đơn điệu tăng có giới hạn khi và chỉ khi nó bị chặn trên, khi đó lim xn = sup{}xn . Dãy ()xn đơn điệu giảm có giới hạn khi và chỉ khi nó bị chặn d−ới, khi đó lim xn = inf{}xn . d. Dãy riêng, giới hạn riêng Dãy x ,n ∈ N ,n < n < Κ , đ−ợc gọi là dãy con của dãy ()x ( nk )k k * 1 2 n n Nếu tồn tại α = lim xn thì ng−ời ta nói α là giới hạn riêng của dãy ()xn . k →∞ k 17
14. Giới hạn riêng lớn nhất của (xn ) đ−ợc gọi là giới hạn trên và ký hiệu limxn hay limsup xn . Giới hạn riêng nhỏ nhất của (xn ) đ−ợc gọi là giới hạn d−ới của ()xn và ký hiệu limxn hay liminf xn . Dễ dàng thấy nếu {xn} không bị chặn trên thì limxn = +∞ . Nếu {}xn bị chặn trên thì limxn = sup{xn}. Để tồn tại giới hạn lim xn điều kiện cần và đủ là limxn = limxn (= lim xn ). II. Bài tập 2.1. Bằng định nghĩa hãy chứng minh các giới hạn sau: n −1 1 1 a. lim = c. limsin = 0 4n +1 4 n n2 −1 (−1)n−1 b. lim = 0 d. lim = 0 3n3 +1 n 2.2. Tìm các giới hạn lim xn nếu: a. x = 2 2Κ 2 n 1 4243 n lần b. xn = 0,1212Κ32 . Từ đó hãy tìm công thức đổi số thập phân vô hạn tuần n lần hoàn a0, a()b thành phân số. Tổng quát hoá kết quả cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a0, a1Κ am (b1Κ bn ). 1 1 1 2.3. Chứng minh dãy ()x với x =Κ1+ + + + không có giới hạn. n n ln 2 ln3 ln n 2.4. Tìm giới hạn dãy ()xn với: ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ xn = ⎜1− ⎟⎜1− ⎟Κ ⎜1− ⎟ ⎝ 22 ⎠⎝ 32 ⎠ ⎝ n2 ⎠ 2.5. Cho a,b > 0;a > b . Các dãy (un ),(vn ) xác định nh− sau: ⎧u1 = a,v1 = b ⎪ ⎪ un−1 + vn−1 ⎨un = ⎪ 2 ⎪ ⎩vn = un−1vn−1 CMR 18
15. a. Dãy ()un đơn điệu giảm, còn (vn ) đơn điệu tăng b. limun = limvn 2.6. Cho dãy ()un xác định bởi hệ thức: ⎧u1 = 1 ⎪ ⎨ un + 2 ⎪un+1 = ⎩ un +1 CMR ()()u2k , u2k −1 là các dãy kề nhau (tức là một dãy đơn điệu tăng, một dãy đơn điệu giảm và có cùng giới hạn). 2.7. Giả sử f ()(x : a;b )→ (a,b). Dãy (un ) xác định theo công thức: ⎧u1 = α ∈(a;b) ⎨ ⎩un+1 = f ()un Hãy nghiên cứu hội tụ của dãy (un ) trong 2 tr−ờng hợp: a. f ()x đơn điệu tăng b. f ()x đơn điệu giảm 2.8. Tìm limun biết: ⎪⎧u1 = 3 ⎪⎧u1 = 3 a. ⎨ b. ⎨ ⎩⎪un+1 = 3 + un ⎩⎪un+1 = 3un Tìm các giới hạn các dãy sau (2.9 – 2.19) ⎛ 1 2 n −1⎞ 2.9. lim⎜ + +Κ + ⎟ ⎝ n2 n2 n2 ⎠ n()()n +1 n + 2 2.10. lim ()n + 3 3 12 + 22 +Κ + n2 2.11. lim ()n +1 3 2.12. lim n2 +1 − n2 −1 nsin n! 2.13. lim n2 +1 19
16. 2n+1 − 3n+1 2.14. lim 2n − 3n 4 n3 + 2 − 3 n2 +1 2.15. lim 5 n4 +1 − 4 n3 −1 1− 2 + 3 −Κ − 2n 2.16. lim n2 +1 ⎡ 1 1 1 ⎤ 2.17. lim⎢ + +Κ + ⎥ ⎣1.3 3.5 ()()2n −1 . 2n +1 ⎦ n 2 −1 2.18. lim n 2 +1 n ⎛ 1 k ⎞ 2.19. lim ⎜1+ + ⎟ ∏⎜ 2 ⎟ n→∞ k =1⎝ n n ⎠ Chứng minh các giới hạn quan trọng sau (2.20 – 2.25) 2n 2.20. lim = 0 n! an 2.21. lim = 0 n! nk 2.22. lim = 0 ()a > 1 a n 2.23. lim n n = 1 2.24. lim n a = 1 ()a > 0 1 2.25. lim = 0 n n! 2.26. Chứng minh rằng limxn + limyn ≤ lim(xn + yn ) ≤ limxn + limyn 2.27. CMR, nếu dãy ()xn thoả mãn điều kiện 0 ≤ xm+n ≤ xm + xn với mọi x m, n = 1,2,Κ thì tồn tại lim n . n 2.28. Chứng minh các dãy sau hội tụ và tìm giới hạn: 20
17. n ∑ ()3k +1 n 1 a. a = b. b = k =0 n ∑ k()k +1 n n k=1 ∑ 2k + 3 k =0 n c. cn = 3 + sin n an+1 n 2.29. Chứng minh rằng, nếu an ∈R+ và lim = +∞ thì lim an = +∞ . an 2.30. Cho ()()un , vn là hai dãy mà un → 0,vn → 0 , vn đơn điệu giảm thực sự và u − u u lim n+1 n = l ∈R. CMR lim n = l . vn+1 − vn n→∞ vn m + n 2.31. Cho ()u , 0 ≤ u ≤ . Chứng minh rằng limu = 0 . n m+n mn n 2.32. Cho dãy ()un xác định: ⎪⎧0 < u1 < 1 ⎨ 2 ⎩⎪un+1 = un − un CMR 1 a. un < b. lim unn = 1 n +1 n→∞ Tìm các giới hạn của các dãy sau 2⎛ 2 ⎞ 2.33. lim sin ⎜π n + n ⎟ n→∞ ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ 2.34. lim sin⎜π n +1⎟ n→∞ ⎝ ⎠ 2.35. Giả sử dãy ()an thoả mãn điều kiện i. ∀n ∈ N * an ≥ 1 ii. ∀m,n ∈ N * am+n ≤ am.an ln a Chứng minh rằng dãy (b ) với b = n có giới hạn. n n n 21
18. Đ 3. Giới hạn hàm số, hàm liên tục I. Tóm tắt lý thuyết a. Giới hạn hàm số theo ε − δ và dãy Ng−ời ta sử dụng ký hiệu y = f (x) để chỉ một hàm số có đối số x ∈ X , giá trị y = f ()x ∈Y . Các ký hiệu th−ờng dùng khác nhau để chỉ hàm số này là: f x α f ()x , x α y,Κ Ta nói hàm số y = f ()x xác định trong lân cận của điểm x0 nếu ∃δ > 0 để hàm số xác định với mọi x ∈(x0 − δ ; x0 + δ ). Giới hạn hàm số: Ng−ời ta nói, hàm số f (x) xác định trong lân cận x0 (có thể trừ x0 ra) có giới hạn A và viết lim f (x) = A nếu: x→x0 ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ( x − x0 x0 . − Nh− vậy f (x0 )= lim f ()x x→x0 x<x0 22
19. + f (x0 )= lim f ()x x→x0 x>x0 1 Ví dụ: Xét hàm số f ()x = arctg x 1 π Ta có lim f ()x = lim arctg = − , còn x→0− x→0 x 2 x 0 π π cho nên f ()0− = − , f (0+ )= 2 2 c. Các tính chất số học của giới hạn hàm số Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn lim f1(x) = A, lim f2(x) = B thì: x→x0 x→x0 i. lim []f1()x + f2(x) = A + B x→x0 ii. lim []f1()x f2 ()x = AB x→x0 lim f1(x) ⎡ f1()x ⎤ x→x0 A iii. lim ⎢ ⎥ = = ()B ≠ 0 x→x0 ⎣ f2()x ⎦ lim f2()x B x→x0 d. Một số giới hạn quan trọng sin x i. lim = 1 x→0 x x ⎛ 1 ⎞ 1 ii. lim ⎜1+ ⎟ = lim ()1+ α α = e x→∞⎝ x ⎠ α→0 e. Hàm liên tục Hàm f ()x xác định trong lân cận x0 đ−ợc gọi là liên tục tại x0 nếu lim f ()x = f (x0 ). x→x0 Điểm x0 thuộc tập xác định hay điểm giới hạn của tập xác định của hàm f ()x đ−ợc gọi là điểm gián đoạn của hàm f (x) nếu tại đó không thoả mãn điều kiện liên tục của hàm số. 23
20. Điểm gián đoạn x0 của hàm f (x) đ−ợc gọi là gián đoạn loại 1 nếu + − + − ∃ f (x0 ), f (x0 ) (hoặc f (x0 ) hay f (x0 ) nếu là điểm biên của X) nh−ng không thoả + − mãn f (x0 )= f (x0 )= f ()x0 . x0 đ−ợc gọi là điểm gián đoạn loại 2 nếu nó là điểm gián đoạn không phải loại 1. + − x0 đ−ợc gọi là điểm gián đoạn khắc phục đ−ợc nếu ∃ f (x0 ), f (x0 ) nh−ng chúng không bằng nhau (tồn tại một trong hai nếu là điểm biên của X). i. Hàm f ()x liên tục trên [a;b] thì bị chặn trên [a;b]. ii. Hàm f ()x liên tục trên [a;b] thì nhận các giá trị lớn nhất, bé nhất trên[]a;b , tức là tồn tại x1, x2 ∈[a,b] sao cho f ()x1 = min f (x), f (x2 ) = max f (x). x∈[]a,b x∈[]a,b iii. Hàm f ()x liên tục trên [a;b] có f (a) = A, f (b) = B thì với mọi C ∈ ()A; B tồn tại c ∈ (a;b) để f (c) = C . iv. Hàm f ()x liên tục trên [a;b] thì liên tục đều trên [a;b], tức là: ∀ε > 0 ∀x′∈[]a;b ∀x′′∈[a;b] ∃δ > 0 ( x′ − x′′ < δ ⇒ f (x′)()− f x′′ < ε ) f. VCB, VCL Ta nói hàm số α()x xác định trong lân cận x = x0 (có thể trừ x0 ra) là một vô cùng bé (VCB) trong quá trình x → x0 và viết α(x) = 0(1) nếu lim α()x = 0. x→x0 Nói β ()x xác định trong lân cận x = x0 (có thể trừ x0 ra) là một vô cùng lớn (VCL) trong quá trình x → x0 nếu lim β (x) = ∞ hay ± ∞ . x→x0 1 Để α()x ≠ 0 là VCB trong quá trình x → x , điều kiện cần và đủ là là 0 α()x VCL trong quá trình x → x0 . Ta nói β ()x có bậc cao hơn so với VCB α(x) trong quá trình x → x0 và β (x) viết β ()x = 0()α ()x nếu lim = 0 . x→x0 α()x 24
21. Nếu các VCB α()x , β (x) trong quá trình x → x0 thoả mãn điều kiện β ()x lim = K, K ≠ 0 thì ng−ời ta nói α(x), β (x) là các VCB cùng bậc và viết x→x0 α()x α()x = Ο()β ()x . Khi K = 1 thì nói α()x , β (x) là các VCB t−ơng đ−ơng (trong quá trình x → x0 ) và viết α()x ~ β ()x . f ()x Để lim = A , điều kiện cần và đủ là f (x) = (A + α(x))()g x ; trong đó x→x0 g()x α()x = 0 ()1 . II. Bài tập Tìm tập xác định của các hàm số sau (3.1-3.5): 3.1. y = sin x −1 + 1− cos x 3.2. y = arccos 1− x2 1− x2 3.3. y = arccos 1+ x2 1 3.4. y = arctgx − arctg x 3.5. y = arcsin 1− x2 + arcsin x Tìm tập giá trị f ()X của hàm số f : X → Y (3.6-3.13) x2 + 2x + 3 3.6. y = x2 +1 sin x + cos x ⎛ π ⎞ 3.7. y = với X = ⎜0; ⎟ sin 2x ⎝ 2 ⎠ ex −1 3.8. y = ex +1 3.9. y = x + 1− x2 3.10. y = 2sin x+cos x 1 1 3.11. y = + sin2 x cos2 x 25
22. 1− x2 3.12. y = arcsin 1+ x2 1− x2 3.13. y = arctg 1+ x2 Tìm giới hạn sau (3.14-3.25) x2 −1 3.14. lim x→1 x2 +1 x2 +1 3.15. lim x→1 x2 −1 x3 −1 3.16. lim x→1 x2 −1 ()x −1 2x −1 3.17. lim x→1 x2 −1 ⎛ 1 3 ⎞ 3.18. lim⎜ − ⎟ x→1⎝1− x 1− x3 ⎠ ⎡ 1 1 ⎤ 3.19. lim − ⎢ 2 2 ⎥ x→2⎣⎢ x()x − 2 x − 3x + 2⎦⎥ xm −1 3.20. lim ()m, n ∈ Z+ x→1 xn −1 ()(x +1 10 + x + 2 )10 +Κ + (x +100)10 3.21. lim x→+∞ x10 +1010 4 x5 +1 − 5 x3 +1 3.22. lim x→∞ 3 x4 +1 3 1+ x − 3 1− x 3.23. lim x→0 2x 3 1+ x2 − 4 1− 2x 3.24. lim x→0 x + x2 3 7 + x3 − 3 + x2 3.25. lim x→1 x −1 26
23. Tìm giá trị của các giới hạn quan trọng sau: ()1+ x à −1 3.26. lim x→0 x 1 3.27. lim ()1+ αx x x→0 a x −1 3.28. lim ()a > 0 x→0 x Tìm các giới hạn sau bằng ph−ơng pháp thay t−ơng đ−ơng (3.29 – 3.50) sin(a + 2h)− 2sin(a + h)+ sin a 3.29. lim h→0 h2 tg2x 3.30. lim x→0 sin 3x sin xn 3.31. lim ; m, n ∈ Z+ x→0 ()sin x m 2arcsin x 3.32. lim x→0 3x ()1− cos x 2 3.33. lim x→0 tg3x − sin3 x 1− sin x 3.34. lim π 2 x→ ⎛ π ⎞ 2 ⎜ − x⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ π ⎞ 3.35. lim ⎜ − x⎟tgx π 2 x→ ⎝ ⎠ 2 π − arccos x 3.36. lim x→−1 x +1 1− cos x cos 2x 3.37. lim x→0 x2 eax − ebx 3.38. lim x→0 x 27
24. 5x − 6 x 3.39. lim x→0 7x − 8x 1− e−x 3.40. lim x→0 sin x x ⎛ x −1⎞ 3.41. lim ⎜ ⎟ x→∞⎝ x +1⎠ 1 3.42. lim ()1+ sin x x x→∞ 1 3.43. lim ()cos x x2 x→0 x ⎛ x2 − 2x +1 ⎞ 3.44. lim ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ x→∞⎝ x − 4x + 2 ⎠ ln()a + x − ln a 3.45. lim x→0 x 1 3.46. lim ()1+ tg 2 ()x 2x x→0 ⎛ 1 ⎞ ⎜ x ⎟ 3.47. lim x⎜e −1⎟ x→∞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ 3.48. lim x2⎜1− cos ⎟ x→∞ ⎝ x ⎠ ⎛ x +1 π ⎞ 3.49. lim x⎜arctg − ⎟ x→∞ ⎝ x + 2 4 ⎠ 1+ x ln 3.50. lim 1− x x→0 arctg()1+ x − arctg ()1− x 3.51. Chứng minh hàm số y = x2 liên tục với mọi x. 3.52. Chứng minh hàm số y = x liên tục với mọi x ≥ 0 . 3.53. Hàm số cho bằng công thức: ⎧ x2 − 4 ⎪ với x ≠ 2 f ()x = ⎨ x − 2 ⎪ ⎩ A với x = 2 28
25. Phải chọn giá trị của A bằng bao nhiêu để hàm số này liên tục tại mọi x ∈R . Xây dựng đồ thị của hàm số trong tr−ờng hợp này. 1 3.54. Hãy bổ sung giá trị của hàm f ()x = 1− xsin tại x = 0 để hàm số liên tục x trên toàn bộ R. 3.55. Xác định giá trị f ()0 của hàm số để f (x) liên tục tại x = 0 . ()1+ x n −1 a. f ()x = ()n ∈ Z+ x ln()1+ x − ln(1− x) b. f ()x = x ex − e−x c. f ()x = x 1 d. f ()x = x2 sin x e. f (x) = xcotgx Nghiên cứu các loại điểm gián đoạn của các hàm số sau (3.56-3.61): x2 3.56. y = x − 2 1+ x3 3.57. y = 1+ x x 3.58. y = x x 3.59. y = sin x x 3.60. y = ln tg 2 1 3.61. y = ()1+ x arctg 1− x2 3.62. Chứng minh hàm Dirichle: ⎧0 nếu x vô tỷ χ()x = ⎨ ~ là hàm gián đoạn tại mọi x ∈R . ⎩1 nếu x h−u tỷ 29
26. 3.63. Khảo sát tính liên tục và vẽ đồ thị hàm số: 1 y = lim ()x ≥ 0 n→∞ 1+ xn 3.64. Nghiên cứu tính liên tục và vẽ đồ thị hàm số: y = lim (xarctgnx) n→∞ 3.65. Chứng minh rằng ph−ơng trình x3 − 3x +1 = 0 có nghiệm trong khoảng ()1;2 . Hãy tính gần đúng nghiệm của ph−ơng trình. 3.66. Chứng minh rằng mọi đa thức P(x) có bậc lẻ đều có ít nhất một nghiệm thực. 3.67. Cho a,b,c ∈R thoả mãn điều kiện: a b c + + = 0 m + 2 m +1 m Chứng minh rằng ph−ơng trình ax2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ()0;1 . 3.68. Chứng minh rằng nếu a,b,c ∈R thoả mãn điều kiện a + 3b +11c = 0 thì ph−ơng trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong khoảng (0;1). 1 3.69. Chứng minh hàm số f ()x = là hàm liên tục trên (0;1) nh−ng không liên x tục đều trên khoảng đó. 3.70. Chứng minh rằng hàm số f ()x = sin x2 liên tục và bị chặn trên R nh−ng không liên tục đều. 3.71. CMR hàm số f ()x xác định và liên tục trên [a;+∞) = X và tồn tại lim f ()x thì f ()x liên tục đều trên X. x→+∞ Khảo sát tính liên tục đều trong các miền X t−ơng ứng (3.72-3.75): x 3.72. f ()x = , X = []−1;1 4 − x2 sin x 3.73. f ()x = , X = ()0;π x 30
27. 1 3.74. f ()x = e x cos , X = ()0;1 x 3.75. f ()x = cos x2 , X = R 3.76. Chứng minh rằng hàm liên tục duy nhất f (x) xác định trên R, thoả mãn điều kiện f ()x + y = f (x)+ f (y) là hàm tuyến tính thuần nhất f ()x = ax , trong đó a = f ()1 − hằng số tuỳ ý. Điều kiện liên tục đ−ợc thay bằng điều kiện đơn điệu thì khẳng định còn đúng không? 3.77. Chứng minh rằng hàm số f (x) liên tục, không đồng nhất bằng không và thoả mãn điều kiện f (x + y) = f (x) f (y) tồn tại duy nhất đó là hàm mũ f ()x = ax , trong đó a = f (1) là hằng số d−ơng tuỳ ý. 3.78. Tìm tất cả các hàm số f : R → R sao cho xf ()x + f (1− x )= x3 +1. 3.79. Tìm tất cả các hàm số f : R → R sao cho f (x + y2 )= f (x2 )+ f ()y . 3.80. Tìm tất cả các hàm số f : R → R liên tục sao cho f (x − y)()()= f x − f y . 3.81. Cho f ()x , g ()x liên tục trên [a;b]∀x ∈[a;b], 0 0 ∀x ∈[]a;b ()1+ λ g(x) ≤ f (x). Đ 4. Đạo hàm và vi phân I. Tóm tắt lý thuyết a. Khái niệm đạo hàm, đạo hàm trái, đạo hàm phải Giả sử hàm số y = f ()x xác định tại x0 và lân cận của x0 . Đạo hàm f ′(x) của f ()x tại x0 , f ′()x0 là giới hạn của tỷ số số gia hàm số ∆y = f ()()x0 + ∆x − f x0 và số gia đối số ∆x = x − x0 khi x → x0 . Nh− vậy theo định nghĩa: ∆y f (x0 + ∆x)− f (x0 ) f ′()x0 = lim = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x dy df ()x Đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x có các ký hiệu là y′, , f ′()x , . dx dx Hàm số f ()x có đạo hàm tại x0 đ−ợc gọi là hàm khả vi tại x0 . Giống nh− giới 31
28. + − hạn một phía, ta cũng có các đạo hàm một phía f ′(x0 ), f ′(x0 ). Để hàm số + − y = f ()x có đạo hàm tại x0 , điều kiện cần và đủ là f ′(x0 )= f ′(x0 ). Khi hàm số y = f ()x xác định trên []a;b thì f ′(a) đ−ợc hiểu là f ′(a+ ), f ′(b) đ−ợc hiểu là f ′(b− ). b. Các quy tắc tính đạo hàm Nếu c là hằng số, u = ϕ(x),v =ψ (x) là các hàm số có đạo hàm tại x thì: i. ()cu ′ = cu′ ii. ()u + v ′ = u′ + v′ iii. ()uv ′ = u′v + uv′ ′ ⎛ u ⎞ u′v − uv′ iv. ⎜ ⎟ = ()v ≠ 0 ⎝ v ⎠ v2 c. Bảng đạo hàm các hàm cơ bản ′ i. (xn ) = nxn−1 ′ 1 ()x = x > 0 2 x ii. ()sin x ′ = cos x iii. ()cos x ′ = −sin x 1 iv. ()tgx ′ = cos2 x 1 v. ()cotgx ′ = − sin2 x 1 vi. ()arcsin x ′ = ()x < 1 1− x2 1 vii. ()arccos x ′ = − ()x < 1 1− x2 1 viii. ()arctgx ′ = 1+ x2 1 ix. ()arccotgx ′ = − 1+ x2 32
29. ′ x. (ax ) = ax ln a ′ (ex ) = ex 1 xi. ()log x ′ = ()x > 0, a > 0 a x ln a 1 ()ln x ′ = x xii. ()shx ′ = chx xiii. ()chx ′ = shx 1 xiv. ()thx ′ = ch2 x 1 xv. ()coth x ′ = − sh2 x d. Đạo hàm hàm hợp, hàm ng−ợc và hàm ẩn d.1. Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f (x), x = ϕ(t) là các hàm số có đạo hàm thì hàm y = f []ϕ()t (là hàm hợp của hai hàm f (x) và ϕ(t)) cũng có đạo hàm và: yt′ = y′xxt′ hay viết cách khác: dy dy dx = . dt dx dt ′ Ví dụ 1: Từ []f α ()x = αf α −1()x f ′ ()x f ′(x) và []ln f ()x ′ = , áp dụng ta có: f ()x ′ ′ ⎛ 2 ⎞ 2ln x(ln x) ln x ⎜ 1+ ln x ⎟ = = ⎝ ⎠ 2 1+ ln2 x x 1+ ln2 x d.2. Đạo hàm hàm ng−ợc: Nếu hàm số y = f (x) có y′x = f ′()x ≠ 0 thì hàm −1 1 ng−ợc x = f ()y có x′y = y′x Ví dụ 2: y = arcchx có đạo hàm: 33
30. 1 1 1 1 1 y′ = = = = = x < 1 x ′ () x′y ()chy shy ch2 y −1 x2 −1 ⎧x = ϕ()t d.3. Hệ ⎨ ()α < t < β ⎩y =ψ ()t trong đó ϕ()t và ψ ()t là các hàm khả vi và ϕ′(t) ≠ 0 , xác định hàm y trong y′ một lân cận nào đó nh− hàm của x: y =ψ [ϕ −1(x)]có đạo hàm y′()x = t . xt′ ⎧x = R cost Ví dụ 3: ⎨ ⎩y = R sin t với t ≠ kπ , xt′ = −R sin t, yt′ = R cost cho ta: yt′ y′x = − = cotgt xt′ d.4. Đạo hàm hàm số cho d−ới dạng hàm ẩn F(x, y) = 0 Ph−ơng trình F()x, y = 0 xác định một hàm (hàm ẩn) y = y()x . Để tìm đạo hàm y′x ta lấy đạo hàm hai vế ph−ơng trình, xem y nh− hàm của x: d F()x, y = 0 dx 3 3 Ví dụ 4: Tìm y′x nếu x + y − 2xy = 0 Giải: Đạo hàm hai vế: 2 2 2 3x − 2y 3x + 3y y′ − 2y − 2xy′ = 0 cho ta y′x = 2x − 3y2 e. Vi phân cấp một và vi phân cấp cao e.1. Giả sử hàm số y = f ()x khả vi tại x. Biểu thức df (x)()= f ′ x dx trong đó dx = ∆x đ−ợc gọi là vi phân (cấp một) của hàm f (x) (tại x). Vi phân cấp một có tính bất biến, tức là biểu thức df (x)()= f ′ x dx không phụ thuộc vào x là biến độc lập hay biến hàm. Giả sử u = ϕ()x ,v =ψ ()x là các hàm khả vi tại x. Ta có các quy tắc tính vi phân cấp một sau: i. d()u ± v = du ± dv ii. d()uv = vdu + udv 34
31. ⎛ u ⎞ vdu − udv iii. d⎜ ⎟ = ()v ≠ 0 ⎝ v ⎠ v2 e.2. Đạo hàm cấp hai y′′ của hàm y = f (x) là đạo hàm của đạo hàm cấp một, 2 ′ d y d ⎛ dy ⎞ y′′ = ()y′ , tức là = ⎜ ⎟ . dx2 dx ⎝ dx ⎠ d n y Đạo hàm cấp n đ−ợc ký hiệu y(n) hay . Theo định nghĩa: dxn ′ d n y d ⎛ d n −1y ⎞ y()n = ()y (n−1 ) hay = ⎜ ⎟ n dx ⎜ n −1 ⎟ dx ⎝ dx ⎠ Đạo hàm từ cấp hai trở lên đ−ợc gọi là đạo hàm cấp cao. T−ơng tự đạo hàm cấp cao, ng−ời ta định nghĩa vi phân cấp cao. Vi phân cấp n đ−ợc xác định theo công thức: d n y = d(d n−1y) Khác với vi phân cấp một, vi phân cấp cao của hàm số y = f ()x bị biến đổi dạng tuỳ theo x là biến độc lập hoặc biến hàm x = ϕ(t) . Ví dụ 5: Với y = sin x , ta có dy = cos xdx . Với x là biến độc lập thì d 2 y = −sin xdx2 Còn khi x là biến hàm, ví dụ x = t2 , ta sẽ có: d 2 y = d()cos xdx = −sin xdx2 + cos xd 2x = −sin xdx2 + 2cost2dt2 Ví dụ 6: Trở lại ví dụ 3, ta có d ⎛ yt′ ⎞ y′x′ = ⎜− ⎟ dx ⎝ xt′ ⎠ d d dt −1 1 1 = ()cotgt = cotgt = = dx dt dx sin2 t dx Rsin3 t dt e.3. Tính gần đúng giá trị hàm số bằng vi phân Khi ∆x có trị tuyệt đối nhỏ thì ∆y = f (x + ∆x)− f (x)()≈ dy = f ′ x dx , cho nên ta có: f ()()x0 + ∆x ≈ f x0 + f ′(x0 )∆x , hay viết f (x) ≈ f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 ) . Ví dụ 7: Tính gần đúng bằng vi phân giá trị sin1o 35
32. π π Giải: sin1o = sin . Cho x = 0, ∆x = x − x = ta có: 180 0 0 180 π π sin1o ≈ sin()0 + cos ()0 = = 0,0174532 180 180 so sánh với tính đúng sin1o = 0,0174524 f. Các định lý trung bình Định lý Rolle: Nếu f (x) là hàm liên tục trên [a;b], khả vi trong ()a;b , có f ()a = f ()b thì tồn tại ξ ∈(a;b) sao cho f ′(ξ ) = 0 . Định lý Lagrange: Nếu f (x) là hàm liên tục trên [a;b], khả vi trong ()a;b , khi đó tồn tại ξ ∈ ()a;b để f ()b − f (a) = (b − a) f ′(ξ ). Định lý Cauchy: Nếu f (x) và g(x) là các hàm liên tục trên []a;b , khả vi trong ()a;b , ()f ′()x 2 + ()g′ ()x 2 ≠ 0 với mọi x ∈ (a;b), g(b) ≠ g(a), thì tồn tại f ()b − f ()a f ′()ξ ξ ∈ ()a;b để = . g()b − g ()a g′()ξ II. Bài tập ∆y Tìm số gia hàm số ∆y và tỷ số của các hàm số (4.1-4.2): ∆x 1 4.1. y = tại x = 1 với ∆x = 0,4 2 (x2 − 2) 4.2. y = lg x tại x = 100000 với ∆x = −90000 ∆y Tìm số gia hàm số ∆y và tỷ số của hàm số t−ơng ứng với sự thay đổi ∆x của đối số x đến x + ∆x (4.3-4.6): 4.3. y = x 4.4. y = x3 4.5. y = 2x 1 4.6. y = x2 Bằng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số (4.7-4.9): 36
33. 4.7. y = sin x 4.8. y = tgx 4.9. y = x 4.10. Tìm f ′()8 biết f ()x = 3 x 1 4.11. Tìm hệ số góc các tiếp tuyến của các đ−ờng cong y = và y = x2 tại x điểm giao nhau của chúng, từ đó hãy tính góc giữa hai đ−ờng cong tại điểm này (góc giữa hai tiếp tuyến). 4.12. Chứng tỏ rằng các hàm số sau đây không có đạo hàm hữu hạn tại các điểm t−ơng ứng: a. y = 3 x2 tại điểm x = 0 b. y = 5 x −1 tại điểm x = 1 c. y = sin x tại điểm x = kπ f (x)g(a)− f (a)g(x) 4.13. Cho f, g khả vi tại a. Tìm lim . x→a x − a Tính đạo hàm các hàm số sau (không dùng quy tắc đạo hàm hàm hợp) (4.14-4.26): π 4.14. y = + ln 2 x 2 5 4.15. y = 3x 3 − 2x 2 + x−3 4.16. y = x3 x2 a b 4.17. y = − 3 3 x2 x x sin x + cos x 4.18. y = sin x − cos x 4.19. y = x arcsin x 1+ x2 arctgx − x 4.20. y = ( ) 2 4.21. y = ex arcsin x 37
34. 4.22. y = ln x lg x − ln a loga x x2 4.23. y = ln x 4.24. y = xshx x2 4.25. y = chx 3coth x 4.26. y = ln x Tính đạo hàm các hàm số sau, sử dụng quy tắc tính đạo hàm hàm hợp (4.27-4.40): 4.27. y = ()3 − 2sin x 5 4.28. y = arctgx − ()arcsin x 3 1+ x 4.29. y = arccotg 1− x 4.30. y = arccosex 4.31. y = arctg()ln x + ln (arctgx ) x 4.32. y = arcsin 1+ x2 1 ⎛ b ⎞ ⎜ ⎟ 4.33. y = arcsin⎜ x ⎟ b ⎝ a ⎠ ()α sin βx − β cos βx eαx 4.34. y = α 2 + β 2 4.35. y = x − 2 x + 2ln(1+ x ) x tg + 2 − 3 1 4.36. y = ln 2 x 3 tg + 2 + 3 2 1 1 1 2x −1 4.37. y = ln()1+ x − ()x2 − x +1 + arctg 3 6 3 3 4.38. y = ln sh2x 38
35. 4.39. y = Archln x 1 1 4.40. y = ()x2 −1 Arthx + x 2 2 4.41. Tìm y′, nếu a. y = x b. y = x x 4.42. Tìm f ′()x nếu ⎪⎧1− x nếu x ≤ 0 f x = () ⎨ −x ⎩⎪e nếu x > 0 4.43. Tìm f ′(0+ ), f ′(0− ) nếu 2 a. f ()x = sin()x a2 − x2 b. f ()x = arcsin a2 + x2 ⎧ x ⎪ nếu x ≠ 0 c. f ()x = ⎨1+ e1 x ⎪ ⎩ 0 nếu x = 0 4.44. Chứng minh rằng, hàm số y = xe−x thoả mãn ph−ơng trình vi phân: xy′ = ()1− x y . áp dụng công thức uv = evlnu tính đạo hàm các hàm số sau (4.45-4.50): 4.45. y = ()sin x x 4.46. y = xsin x x ⎛ 1 ⎞ 4.47. y = ⎜1+ ⎟ ⎝ x ⎠ x 4.48. y = xx 4.49. y = ()arctgx x 4.50. y = ()cos x sin x 4.51. Tìm đạo hàm x′y nếu 39
36. a. y = 3x + x3 1 b. y = x − sin x 2 x x c. y = + e 2 2 Tính đạo hàm của các hàm số cho d−ới dạng ph−ơng trình tham số (4.52-4.55): ⎪⎧x = 2t −1 4.52. ⎨ 2 ⎩⎪y = t ⎧x = a()cost + t sin t 4.53. ⎨ ⎩y = a()sin t − t cost ⎧ 1 ⎪x = arccos ⎪ 1+ t2 4.54. ⎨ 1 ⎪y = arcsin ⎪ 2 ⎩ 1+ t ⎧ ⎛ t ⎞ ⎪x = a⎜ln tg + cost − sin t ⎟ 4.55. ⎨ ⎝ 2 ⎠ ⎪ ⎩y = a()sin t + cost t dy π ⎪⎧x = e cost 4.56. Tìm khi t = , nếu ⎨ dx 4 t ⎩⎪y = e sin t ⎧x = t ln t dy ⎪ 4.57. Tìm khi t = 1, nếu ⎨ ln t dx y = ⎩⎪ t dy Tính đạo hàm y′ = của các hàm số cho d−ới dạng ph−ơng trình ẩn dx (4.58-4.61): 4.58. x3 + y3 = a3 4.59. x3 + x2 y + y2 = 0 40
37. y 4.60. x2 + y2 = c arctg x 4.61. x y = y x 4.62. Tìm y′ tại điểm M ()1;1 nếu 2y = 1+ xy3 Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau (4.63-4.65): ⎛ 2 2 ⎞ 4.63. y = ln⎜ x + a + x ⎟ ⎝ ⎠ 4.64. y = (1+ x2 )arctgx x 4.65. y = ach a Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau (4.66-4.69): 4.66. y = sin x 4.67. y = cos x 4.68. y = ln()1+ x 1+ x 4.69. y = 1− x n ()n k ()(k n−k ) (n) ứng dụng công thức Leibniz: ()uv = ∑Cn u v , tính đạo hàm y k =0 của các hàm số sau (4.70-4.72): 4.70. y = xex 4.71. y = x3 ln x 1+ x 4.72. y = x 1 4.73. Tìm f ()n ()0 nếu f ()x = ln 1− x d 2 y ⎪⎧x = arctgt 4.74. Tính nếu 2 ⎨ 2 dx ⎩⎪y = ln()1+ t 41
38. 3 d 2 y ⎪⎧x = a cos t 4.75. Tính nếu ⎨ 2 3 dx ⎩⎪y = a sin t Tìm y′′ của các hàm số y = f (x) cho d−ới dạng ph−ơng trình ẩn (4.76-4.78): 4.76. y2 = 2 px x2 y2 4.77. + = 1 a2 b2 4.78. y = x + arctgy d 2 y d 2x 4.79. Từ ph−ơng trình y = x + ln y hãy tìm , dx2 dy2 Tìm vi phân của các hàm số sau tại x bất kỳ đối với số gia ∆x = dx tuỳ ý (4.80-4.82): x 4.80. y = 1− x x 4.81. y = arcsin a 1− x 4.82. y = ln 1+ x 4.83. Tìm dy nếu x2 + 2xy − y2 = a2 4.84. Tìm dy tại điểm ()1;2 nếu y3 − y = 6x2 4.85. Thay số gia hàm số bằng vi phân, hãy tính gần đúng (3 chữ số thập phân): a. cos61o b. tg44o c. e0,2 d. arctg1,05 ∆x 4.86. Hãy dẫn ra công thức gần đúng sau: 3 x + ∆x ≈ 3 x + 33 x2 42
39. ứng dụng tính gần đúng 3 10, 3 70, 3 200 . 4.87. Cho y = 1− x2 , hãy tính d 2 y . 4.88. Cho y = arccos x , tìm d 2 y . 4.89. Cho y = 3sin()2x + 5 , tìm d n y . 4.90. Cho y = excosα sin()xsinα , tìm d n y . 4.91. Chứng tỏ rằng hàm số f ()x = x − x3 thoả mãn điều kiện của định lý Rolle trên các đoạn thẳng −1 ≤ x ≤ 0 và 0 ≤ x ≤ 1. Tìm các giá trị ξ t−ơng ứng. 4.92. Hàm số f ()x = tgx có thoả mãn điều kiện của định lý Rolle trên đoạn []0;π hay không? 4.93. Hàm số ex = 1+ x có nghiệm x = 0 . CMR hàm số này không có nghiệm nào khác nữa. 4.94. Kiểm tra điều kiện của định lý Lagrange đối với hàm số f ()x = x − x2 trên đoạn []− 2;1 . Tìm giá trị ξ t−ơng ứng. 4.95. Sử dụng định lý Lagrange, hãy chứng minh công thức: sin()x + h − sin x = h cosξ với x < ξ < x + h 4.96. a. Đối với các hàm số f ()x = x2 + 2 và g ()x = x3 −1 hãy kiểm tra điều kiện của định lý Cauchy trên đoạn [1;2] và tìm ξ . ⎡ π ⎤ b. T−ơng tự cho hàm f ()x = sin x, g ()x = cos x trê n 0; ⎣⎢ 2 ⎦⎥ Đ 5. Các ứng dụng của đạo hàm I. Tóm tắt lý thuyết a. Công thức Taylor Nếu f ()x là hàm số liên tục và có các đạo hàm liên tục đến cấp n trên đoạn a ≤ x ≤ b (hay b ≤ x ≤ a ), ngoài ra trong khoảng mở (a;b) có các đạo hàm hữu hạn cấp ()n +1 , thì trên []a;b ta có công thức Taylor: 43
40. ()x − a 2 (x − a)n (x − a)n+1 f ()x = f ()a + (x − a )f ′ ()a + f ′′()a +Κ + f ()n ()a + f ()n+1 ()ξ 2! n! ()n +1 ! trong đó ξ = a +θ ()x − a và 0 < θ < 1. Khi a = 0 , ta có (công thức Macloran): x2 xn xn+1 f ()x = f ()0 + xf ′ ()0 + f ′′()0 +Κ + f ()n ()0 + f n+1()ξ 2! n! ()n +1 ! với 0 < ξ < x hay ξ = θx ()0 < θ < 1 . Các công thức Taylor trên là các công thức Taylor với phần d− Lagrange. Thay các số hạng cuối cùng bởi 0()x − a n hay 0(xn ) t−ơng ứng ta sẽ đ−ợc các công thức Taylor với phần d− Peano. b. Các quy tắc L’Hospital khử dạng bất định 0 ∞ b.1. Khử dạng bất định và 0 ∞ Giả sử f ()x , g ()x là các hàm khả vi trong lân cận của điểm a, g′()x ≠ 0 trong lân cận đó. Nếu cả hai hàm này đều là các VCB hay cả hai là các VCL f ′()x trong quá trình x → a . Ngoài ra tồn tại hữu hạn các giới hạn lim = A thì x→a g′()x f ()x lim = A . x→a g()x Các quy tắc L’Hospital này có thể áp dụng cho các tr−ờng hợp x → ∞ (hoặc x → +∞ hay x → −∞ ). b.2. Các dạng bất định khác f (x) 0 Dạng bất định 0.∞ = f ()x f ()x = 1 có dạng 1 2 1 0 f2 ()x f (x) ∞ hay 2 có dạng 1 ∞ f1()x 44
41. 1 1 − 1 1 f ()x f ()x Dạng bất định ∞ − ∞ = f ()x − f ()x = − = 1 2 1 2 1 1 1 1 f1()x f2()x f1()x f2()x 0 có dạng 0 Dạng bất định 1∞ ,00,∞0 đ−ợc viết nh− sau, ví dụ nh− cho dạng 1∞ = u()x v()x = ev()x lnu ()x , ở số mũ giới hạn có dạng ∞.0 đã đ−ợc xét ở trên. ln(1+ x) 0 Ví dụ 1: Tính giới hạn lim (dạng ) x→0 tgx 0 Giải: áp dụng quy tắc L’Hospital ta đ−ợc: ln()1+ x ln(1+ x) 1 lim = lim = lim = 1 x→0 tgx x→0 sin x x→0 1+ x ⎛ 1 1 ⎞ Ví dụ 2: Tính giới hạn A = lim ⎜ − ⎟ (dạng ∞ − ∞ ) x→0⎝ sin2 x x2 ⎠ Giải: Ta có: x2 − sin2 x 0 A = lim (dạng ) x→0 x2 sin2 x 0 Thay x2 sin2 x ~ x4 và áp dụng công thức L’Hospital, ta đ−ợc: 2x − 2sin x cos x 2x − sin 2x 0 A = lim = lim (dạng ) x→0 4x3 x→0 4x3 0 áp dụng quy tắc L’Hospital lần thứ hai, ta đ−ợc: 2 − 2cos 2x 1 1− cos 2x 1 2sin2 x 1 A = lim = lim = lim = x→0 12x2 6 x→0 x2 6 x→0 x2 3 1 Ví dụ 3: Tính giới hạn A = lim ()cos x x2 x→0 1 ln cos x 2 2 Giải: Ta có: ()cos x 1 x = e x và 1 ln cos x 0 − sin x 1 − lim (dạng ) = lim = − nên A = e 2 . x→0 x2 0 x→0 2x 2 c. ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số 45
42. Theo định lý Fecmat, nếu f (x) đạt cực trị tại x0 ∈ (a;b) mà tại đó có f ′()x0 thì f ′()x0 = 0 c.1. Định lý 1 (điều kiện đủ thứ nhất của cực trị): nếu hàm f (x) liên tục trên []x0 − δ ; x0 + δ có đạo hàm trên (x0 − δ ; x0 )∪ (x0 ; x0 + δ ) (có thể trừ x0 ra), và nếu f ′()x ≥ 0 trên ()x0 − δ ; x0 , f ′(x) ≤ 0 trên (x0 ; x0 + δ ) thì x0 là điểm cực đại. T−ơng tự nh− thế khi đạo hàm f ′(x) đổi dấu từ trừ sang cộng qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số. Định lý 2 (điều kiện đủ thứ hai của cực trị): Nếu x0 là điểm dừng ( f ′()x0 = 0) và tồn tại đạo hàm f ′(x) trong lân cận của x0, tồn tại f ′′()x0 thì i. Khi f ′′()x0 0 , x0 là điểm cực tiểu Tổng quát hoá định lý hai ta đ−ợc điều kiện đủ thứ ba của cực trị sau Định lý 3: Nếu với n ≥ 1, n là số lẻ sao cho tồn tại các đạo hàm cấp n trong (n) lân cận x0, tồn tại đạo hàm cấp n+1 tại x0 và f ′(x0 ) = f ′′(x0 ) = Κ f ()x0 = 0 thì khi ()n+1 f ()x0 ≠ 0 hàm số sẽ có cực trị tại x0, trong đó ()n+1 i. Khi f ()x0 > 0 , x0 là điểm cực tiểu ()n+1 ii. Khi f ()x0 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu c.2. Lồi, lõm, điểm uốn Định lý 4: Giả sử hàm số f (x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm cấp hai f ′′()x trong ()a;b . Để đ−ờng cong của đồ thị y = f (x) lõm trên []a;b điều kiện cần và đủ là f ′′()x ≥ 0; Lồi trên [a;b] điều kiện cần và đủ là f ′′(x) ≤ 0. 46
43. Điểm uốn của đồ thị là điểm mà khi đi qua đó đ−ờng cong thay đổi tính lồi lõm (hay đ−ờng cong đi qua điểm uốn nó sẽ đi từ một phía của tiếp tuyến tại điểm uốn sang phía kia) Định lý 5: Giả sử y = f (x) có đạo hàm cấp hai f ′′(x) trong ()a;b , x0 ∈ ()a;b . Để đồ thị hàm số có điểm uốn tại x0 điều kiện cần và đủ là f ′′()x = 0 và đổi dấu qua x0. c.3. Tiệm cận Ta nói đ−ờng thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f (x) nếu lim()f ()x − (ax + b )= 0 . x→∞ Điều này t−ơng đ−ơng với sự tồn tại hữu hạn của hai giới hạn ⎧ f (x) ⎪a = lim ⎨ x→∞ x ⎪b = lim ()f ()x − (ax ) ⎩ x→∞ đ−ờng thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị nếu lim f (x) = ∞ x→x0 c.4. Tiếp tuyến, tiếp xúc Ta nói các đ−ờng cong y = f (x), y = ϕ(x) tiếp xúc với nhau nếu chúng cắt nhau và tại giao điểm các tiếp tuyến của chúng trùng nhau. Để các đ−ờng cong y = f (x), y = ϕ(x) tiếp xúc với nhau điều kiện cần và đủ là hệ ⎧ f (x) = ϕ(x) ⎨ ⎩ f ′()x = ϕ′ ()x có nghiệm. Nghiệm của hệ chính là hoành độ tiếp điểm. P(x) Tr−ờng hợp đặc biệt khi f ()x = là một phân thức (P(x), Q(x) là các Q()x đa thức hệ số thực) thì đ−ờng thẳng y = ax + b tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f (x) P(x) khi và chỉ khi ph−ơng trình = ax + b có nghiệm bội, nghiệm bội của ph−ơng Q()x trình chính là hoành độ của tiếp điểm. II. Bài tập 5.1. Phân tích hàm số f ()x = ex thành đa thức của (x +1) 47
44. a. đến số hạng với ()x +1 3 . b. đến số hạng có ()x +1 n . 5.2. Phân tích hàm số f (x) = ln x thành đa thức của (x −1) đến số hạng có ()x −1 2 1 5.3. Chứng tỏ rằng sin()a + h khác biệt sin a + h cos a không quá h2 . 2 ⎛ x3 ⎞ ⎛ sin3 x ⎞ 5.4. Cho sin⎜ x − ⎟ − ⎜sin x − ⎟ Tìm VCB t−ơng đ−ơng với nó ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ khi x → 0. 5.5. Cho f ()x = ln(1+ x2 sin x) a. Tìm VCB t−ơng đ−ơng với f (x) trong quá trình x → 0 . b. Tìm khai triển Taylor đến bậc 8 của f (x) tại x = 0. 1 1 1 5.6. Đánh giá sai số của công thức e ≈ 2 + + + . 2! 3! 4! x x x + a 5.7. CMR, với x << a ( đủ nhỏ) ta có công thức gần đúng e a ≈ với a a − x 2 ⎛ x ⎞ độ chính xác đến ⎜ ⎟ . ⎝ a ⎠ Hãy tìm các giới hạn sau (5.8-5.29): x cos x − sin x 5.8. lim x→0 x3 1− x 5.9. lim πx x→11− sin 2 chx −1 5.10. lim x→0 1− cos x sec2 x − 2tgx 5.11. lim π x→ 1+ cos 4x 4 tgx − sin x 5.12. lim x→0 x − sin x 48
45. ln x 5.13. lim x→∞ 3 x 5.14. lim ()1− cos x cotgx x→0 5.15. lim arcsinxcotgx x→0 a 5.16. lim xn sin ()n > 0 x→+∞ x 5.17. lim ln x ln()x −1 x→1 ⎛ x π ⎞ 5.18. lim ⎜ − ⎟ π ⎜ cotgx 2cos x ⎟ x→ ⎝ ⎠ 2 1 5.19. lim x x x→+∞ 1 5.20. lim ()cotgx ln x x→0 πx tg ⎛ πx ⎞ 2 5.21. lim ⎜tg ⎟ x→1⎝ 4 ⎠ ()ln chx − ln cos x 2 5.22. lim x→0 chx + cos x − 2 ⎛ 2 1 ⎞ 5.23. lim ⎜ + ⎟ x→0⎝ sin2 x ln cos x ⎠ cotg 2 x ⎛ sinx ⎞ 5.24. lim ⎜ ⎟ x→0⎝ x ⎠ ⎛ x +1 π ⎞ 5.25. lim x⎜arctg − ⎟ x→∞ ⎝ x + 2 4 ⎠ 5.26. lim []()π − 2arctgx ln x x→∞ 1 5.27. lim πx x→1 cos ln()1− x 2 1 x 5.28. lim x ln()e −1 x→0 49
46. ⎡ln()1+ x 1+ x 1⎤ 5.29. lim − ⎢ 2 ⎥ x→0⎣⎢ x x⎦⎥ x − sin x 5.30. Chứng tỏ rằng giới hạn lim tồn tại nh−ng không thể áp dụng x→∞ x + sin x đ−ợc công thức L’Hospital. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau (5.31-5.39): 5.31. y = ()x + 4 3 5.32. y = x2()x − 3 x 5.33. y = x − 2 1 5.34. y = ()x −1 2 x 5.35. y = − 3 x 3 5.36. y = x + sin x 5.37. y = x ln x 2 5.38. y = 2e x −4x ex 5.39. y = x Tìm cực trị các hàm số (5.40-5.50): ()()x − 2 8 − x 5.40. y = x2 16 5.41. y = x(4 − x2 ) 4 5.42. y = x2 + 8 x 5.43. y = 3 x2 − 4 2 5.44. y = 3 ()x2 −1 50
47. 5.45. y = 2sin 2x + sin 4x 5.46. y = x − ln()1+ x 5.47. y = x ln2 x 5.48. y = xex ex 5.49. y = x 5.50. y = x 2 −1 − 2x Chứng minh các bất đẳng thức sau (5.51-5.53): x2 5.51. x − 0 6 x2 5.52. cos x > 1− với x ≠ 0 2 x2 5.53. x − 0 2 5.54. Tìm tam giác vuông với chu vi 2p có diện tích lớn nhất. 5.55. Trong các hình trụ có cùng thể tích, tìm hình trụ có diện tích toàn phần bé nhất. 5.56. Tìm hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp hình cầu bán kính R. 5.57. Tìm hình nón đứng có diện tích xung quanh lớn nhất nội tiếp hình cầu bán kính R. Tìm các miền lồi, lõm, điểm uốn (5.58-5.64): 5.58. y = x3 − 6x2 +12x + 4 x3 5.59. y = x2 +12 5.60. y = 3 4x3 −12x 5.61. y = x − sin x 5.62. y = x2 ln x 5.63. y = arctgx − x 5.64. y = (1+ x2 )ex 51
48. Tìm các tiệm cận của các đ−ờng cong (5.65-5.76): 1 5.65. y = ()x − 2 2 x 5.66. y = x2 − 4x + 3 x2 5.67. y = x2 − 4 x 5.68. y = x2 + 3 x2 +1 5.69. y = x2 −1 x2 5.70. y = x − 2 + x2 + 9 1 5.71. y = e x 2 5.72. y = e−x + 2 1 5.73. y = 1− ex sin x 5.74. y = x ⎧x = t 5.75. ⎨ ⎩y = t + 2arctgt a 5.76. r = ϕ Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số cho d−ới dạng ph−ơng trình hiện (5.77-5.94): x 5.77. y = 3 x2 −1 x4 − 3 5.78. y = x 52
49. 8 5.79. y = x2 − 4 4x 5.80. y = 4 + x2 x 5.81. y = x2 − 4 5.82. y = x + 4 − x 5.83. x3 − 3x 5.84. y = 2x + 2 − 33 ()x +1 2 x 5.85. y = 3 ()x − 2 2 5.86. y = 3 ()x +1 2 − 3 x2 +1 5.87. y = 3 x2()x − 2 2 ⎛ 3a ⎞ x⎜ x − ⎟ 2 5.88. y2 = ⎝ ⎠ 3a − x 1 5.89. y = sin x + cos x ⎛ 3 2 ⎞ 5.90. y = arcsin⎜1− x ⎟ ⎝ ⎠ x 5.91. y = + arctgx 2 ⎛ π x ⎞ 5.92. y = ln tg⎜ − ⎟ ⎝ 4 2 ⎠ 5.93. y = ln sin x 1 5.94. y = x x Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số cho d−ới dạng ph−ơng trình tham số (5.95-5.101): 53
50. 2 ⎪⎧x = t − 2t 5.95. ⎨ 2 ⎩⎪y = t + 2t ⎪⎧x = a cos3 t 5.96. ⎨ ⎩⎪y = a sin t ()a > 0 t ⎪⎧x = te 5.97. ⎨ −t ⎩⎪y = te −t ⎪⎧x = t + e 5.98. ⎨ −2t ⎩⎪y = 2te ⎧x = a()sht − t 5.99. ⎨ ()a > 0 ⎩y = a()cht −1 3 ⎪⎧x = t − 3π 5.100. ⎨ 3 ⎩⎪y = t − 6arctgt ⎧ 2et ⎪x = ⎪ t −1 5.101. ⎨ ⎪ tet y = ⎩⎪ t −1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho d−ới dạng ph−ơng trình toạ độ cực (5.102-5.106): 5.102. r = a sin 3ϕ 5.103. r = atgϕ 5.104. r = a()1+ cosϕ 5.105. r = a()()1+ b cosϕ a > 0, b > 1 ⎧ 2 ⎪r = 1− t 5.106. ⎨ 2 ⎩⎪ϕ = arcsin t + 1− t Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, bằng cách đ−a về ph−ơng trình toạ độ cực (5.107-5.110): 3 5.107. (x2 + y2 ) = 4a2x2 y2 54
51. 5.108. x4 + y4 = a2 (x2 + y2 ) 5.109. (x2 + y2 )x = a2 y 2 5.110. (x2 + y2 )(x2 − y2 ) = 4x2 y2 55
52. Ch−ơng II tích phân hàm số một biến số Đ 6. Tích phân bất định I. Tóm tắt lý thuyết a. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm: Hàm F(x) đ−ợc gọi là nguyên hàm của hàm f ()x trên một khoảng I nào đó nếu F()x liên tục trên I, khả vi tại mọi điểm trong của I sao cho F′()x = f ()x . Nếu F()x là một nguyên hàm của f (x) thì tập {F(x)+ C, C ∈R}, tức là tập tất cả các nguyên hàm của hàm f (x) , đ−ợc gọi là tích phân bất định của f ()x và ký hiệu: ∫ f (x)dx Nh− vậy ∫ f ()x dx = {}F(x)+ C . Ng−ời ta quy −ớc viết biểu thức trên đây bỏ qua các dấu ngoặc, tức là: ∫ f ()x dx = F(x)+ C (6.1) Tính chất của tích phân bất định: i. Nếu hàm số f ()x có nguyên hàm thì: ′ ()∫ f ()x dx = f ()x , tức là d(∫ f (x)dx) = f (x)dx ii. Nếu f ()x khả vi thì ∫ f ′()x dx = f (x)+ C , tức là ∫ df (x) = f (x)+ C iii. Nếu f ()x có nguyên hàm và a ∈R thì af (x) cũng có nguyên hàm và: ∫∫af (x)dx = a f (x)dx iv. Nếu f1()x và f2 ()x là các hàm số có nguyên hàm trên một khoảng nào đó thì f1()x + f2 ()x cũng có nguyên hàm trên khoảng đó và: ∫∫()f1(x)+ f2(x) dx = ∫ f1(x)dx + f2(x)dx 55
53. b. Bảng các tích phân cơ bản xα +1 i. xα dx = + C ()α ≠ −1 ∫ α +1 dx ii. = ln x + a + C ∫ x + a a x iii. a xdx = + C ()a > 0, a ≠ 1 ∫ ln a ∫ exdx = ex + C iv. ∫ sin xdx = − cos x + C v. ∫ cos xdx = sin x + C dx vi. ∫ = tgx + C cos2 x dx vii. ∫ = −cotgx + C sin2 x viii. ∫ shxdx = chx + C ix. ∫ chxdx = shx + C dx x. = thx + C ∫ ch2 x dx xi. = −coth x + C ∫ sh2 x dx 1 x 1 x xii. ∫ = arctg + C = − arccotg + C1, a ≠ 0 x2 + a2 a a a a dx 1 x − a xiii. ∫ = ln + C, a ≠ 0 x2 − a2 2a x + a dx x x xiv. ∫ = arcsin + C = − arccos + C1, a ≠ 0 a2 − x2 a a dx ⎛ 2 2 ⎞ xv. ∫ = ln⎜ x + x + a ⎟ + C, a ≠ 0 x2 + a2 ⎝ ⎠ dx xvi. ∫ = ln x + x2 − a2 + C, a ≠ 0 x2 − a2 56
54. c. Các ph−ơng pháp cơ bản tính tích phân c.1. Tích phân bằng ph−ơng pháp thế (đổi biến) Giả sử trên một khoảng nào đó xác định hàm hợp f (ϕ(t)) và hàm x = ϕ(t) liên tục trên khoảng này, khả vi tại mọi điểm trong của khoảng. Khi đó nếu tích phân ∫ f ()x dx tồn tại thì tích phân ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt cũng tồn tại và ∫ f ()x dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt (6.2) Công thức (6.2) đ−ợc gọi là công thức tích phân bằng phép thế. sin x d cos x Ví dụ 1: tgxdx = dx = − = − ln cos x + C ∫∫cos x ∫cos x dt Giải: ở đây đã sử dụng phép thế t = cos x để có = ln t + C và sau đó ∫ t thay t = cos x . dx Ví dụ 2: Tính ∫ sin x Giải: x x x d d dtg dx x Cách 1: = 2 = 2 = 2 = ln tg + C ∫ ∫∫x x x x ∫x sin x sin cos tg cos2 tg 2 2 2 2 2 2 dx sin x d cos x d cos x 1 1− cos x Cách 2: ∫∫= dx = − ∫= ∫ = ln + C sin x sin2 x 1− cos2 x cos2 x −1 2 1+ cos x c.2. Ph−ơng pháp tích phân từng phần Nếu các hàm số u = u(x), v = v(x) là các hàm liên tục trên một khoảng I nào đó và khả vi tại mọi điểm trong của I; khi đó nếu tồn tại tích phân ∫ vu′dx thì tồn tại tích phân ∫ uv′dx và ∫ uv′dx = uv − ∫ vu′dx hay ∫ udv = uv − ∫ vdu (6.3) Công thức (6.3) đ−ợc gọi là công thức tích phân từng phần. Ví dụ 3: Tính tích phân ∫ ln xdx Giải: Đặt u = ln x, dv = dx, v = x, ta có: 1 ln xdx = x ln x − x dx = x ln x − x + C ∫ ∫ x 57
55. Ví dụ 4: Tính tích phân ∫ x sin xdx Giải: Đặt u = x, sin xdx = dv Khi đó du = dx, v = ∫ sin xdx = − cos x và theo (6.3) ta có ∫ x sin xdx = −x cos x + ∫ cos xdx = −x cos x + sin x + C Ví dụ 5: Tính tích phân J = ∫ a2 − x2 dx, a ≠ 0 Giải: Đặt u = a2 − x2 , dv = dx xdx Khi đó du = − , v = x và a2 − x2 2 2 2 2 2 2 x dx 2 2 a − (a − x ) J = x a − x + ∫∫= x a − x + dx a2 − x2 a2 − x2 a2 = x a2 − x2 + ∫ dx − J a2 − x2 a2dx cho ta 2J = x a2 − x2 + ∫ hay a2 − x2 x a2 − x2 a2 x J = + arcsin + C (6.4) 2 2 a Ví dụ 6: Tìm công thức truy hồi tính tích phân: dx J = , n ∈ , a ≠ 0 n ∫ n N (x2 + a2 ) 1 Giải: Tích phân từng phần J , u = , dv = dx n n (x2 + a2 ) − 2nxdx Khi đó du = , v = x n+1 (x2 + a2 ) x x2dx x x2 + a2 − a2dx cho ta J = + 2n = + 2n ( ) n n ∫ n+1 n ∫ n+1 (x2 + a2 ) (x2 + a2 ) (x2 + a2 ) (x2 + a2 ) hay x J = + 2nJ − 2na2J n n n n+1 (x2 + a2 ) 58
56. Từ đó ta nhận đ−ợc công thức truy hồi tính Jn sau: ⎛ ⎞ 1 ⎜ x ⎟ Jn+1 = ⎜ + ()2n −1 Jn ⎟ (6.5) 2na2 ⎜ 2 2 n ⎟ ⎝ ()x + a ⎠ dx 1 x Từ (6.5), cho n = 1 và chú ý J1 = ∫ = arctg + C x2 + a2 a a 1 ⎛ x 1 x ⎞ ta tìm đ−ợc J2 = ⎜ + arctg ⎟ + C 2a2 ⎝ x2 + a2 a a ⎠ Biết J2 , theo (6.5) có thể tìm đ−ợc J3,Κ d. Tích phân các hàm hữu tỷ Mỗi phân thức hữu tỷ (hàm hữu tỷ) trên mỗi khoảng trong tập xác định của chúng có thể biểu diễn thành tổng của đa thức và các phân số hữu tỷ cơ bản: A Mx + N , , p 2 − 4q 1 2 1− n ⎝ 2 ⎠ 2 n ⎛⎛ p ⎞ p2 ⎞ ⎜⎜ x + ⎟ + q − ⎟ ⎜ 2 4 ⎟ ⎝⎝ ⎠ ⎠ 59
57. p Trong tích phân cuối cùng với phép thế t = x + ta đ−a về tích phân J 2 n trong ví dụ 6. Nh− vậy là tích phân của phân thức hữu tỷ trong miền xác định của nó là một hàm số sơ cấp biểu diễn thông qua các phép toán đại số, hợp hàm của các hàm hữu tỷ, Logarit và arctang. 4x2 − 8x Ví dụ 7: Tính dx ∫ 2 ()x −1 2 ()x2 +1 4x2 − 8x A B Cx + D Ex + F Giải: Biểu diễn = + + + 2 2 2 2 ()x −1 2 ()x2 +1 x −1 ()x −1 ()x +1 ()x2 +1 So sánh các hệ số của cùng luỹ thừa của x hai vế ta đ−ợc hệ 6 ph−ơng trình tuyến tính 6 ẩn, cho ta A = 2, B = −1, C = −2, D = −1, E = −2, F = 4 và 4x2 − 8x 1 (2x +1)dx 2x − 4 dx = 2ln x −1 + − − dx ∫ 2 ∫∫2 2 ()x −1 2 x2 +1 x −1 x +1 x2 +1 () () 1 1 dx = 2ln x −1 + − ln x2 +1 − arctgx + + 4 () 2 ∫ 2 x −1 x +1 ()x2 +1 Theo ví dụ 6, cuối cùng ta nhận đ−ợc: 4x2 − 8x (x −1)2 1 1+ 2x dx = ln + arctgx + + + C ∫ 2 2 2 ()x −1 2 ()x2 +1 x +1 x −1 x +1 Khi các mẫu số trong các phân thức hữu tỷ có các nghiệm bội bậc cao hay các nghiệm phức bội cao thì việc đ−a tích phân về dạng tổng các tích phân các phân số hữu tỷ sơ cấp sẽ gặp rất nhiều trở ngại vì tính toán rất cồng kềnh. Tr−ờng hợp này ng−ời ta áp dụng ph−ơng pháp Ostrogradsky, nội dung nh− sau: P(x) Biểu diễn tích phân của phân thức đúng ()deg P()x < degQ ()x d−ới Q()x dạng: P()x P (x) P (x) ∫ dx = 1 + ∫ 2 dx (6.6) Q()x Q1()x Q2()x trong đó Q2()x là đa thức chứa tất cả các nghiệm nh− của Q(x) nh−ng đều là Q()x nghiệm đơn. Còn Q1()x = . Q2()x 60
58. Đạo hàm hai vế của (6.6), đồng nhất hệ số các đa thức hai vế ta sẽ tìm đ−ợc các hệ số của P1()x , P2 ()x . Cũng ví dụ 7, theo ph−ơng pháp Ostrogradsky, ta có: 4x2 − 8x Ax2 + Bx + C ⎛ D Ex + F ⎞ dx = + ⎜ + ⎟dx ∫ 2 2 ∫ 2 ()x −1 2 ()x2 +1 ()x −1 ()x +1 ⎝ x −1 x +1 ⎠ Sau khi lấy đạo hàm hai vế, quy đồng mẫu số, ta nhận đ−ợc 4x2 − 8x = Ax4 − 2Bx3 + (A + B − 3C)x2 + 2(C − A)x − B − C 2 + D()x −1 (x2 +1) + ()()Ex − F x −1 2 (x2 +1) So sánh các hệ số của x5, x4, x3, x2, x1, x0 hai vế ta đ−ợc hệ 6 ph−ơng trình tuyến tính 6 ẩn, cho ta A = 3, B = −1, C = 0, D = 2, E = −2, F = 1 và nhận đ−ợc: 4x2 − 8x 3x2 − x dx = + 2ln x −1 − ln x2 +1 + arctgx + C ∫ 2 2 ( ) ()x −1 2 ()x2 +1 ()x −1 ()x +1 e. Tích phân các hàm vô tỷ p p ⎛ ⎛ ax + b ⎞ 1 ⎛ ax + b ⎞ n ⎞ e.1. Tích phân dạng R⎜ x; ⎜ ⎟ ;Κ ; ⎜ ⎟ ⎟dx (6.7) ∫ ⎜ cx + d cx + d ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ trong đó n ∈N, p1, p2,Κ pn ∈Q , a,b,c, d ∈R, ad − bc ≠ 0 ax + b Bằng phép thế = tm , m – mẫu số chung của các số hữu tỷ cx + d p1, p2,Κ pn , sẽ đ−a (6.7) về tích phân hàm hữu tỷ (hay còn nói hữu tỷ hoá tích phân (6.7)). 2 − x dx Ví dụ 8: Tính ∫ 3 2 + x ()2 − x 2 2 − x Giải: Hàm trong dấu tích phân là hàm hữu tỷ đối với các biến x và 3 . 2 + x 2 − x 1− t3 t2dt 1 1+ t3 Đặt = t3 , ta tìm đ−ợc x = 2 , dx = −12 , = 2 + x 3 2 2 − x 3 1+ t (1+ t3 ) 4t Cho nên 2 2 2 − x dx t3 +1 t3 3 dt 3 ⎛ 2 + x ⎞ 3 = −12 ( ) dt = − = 3 ⎜ ⎟ + C ∫ 2 + x 2 ∫ 2 4 ∫ 3 8 2 − x ()2 − x 16t3(t3 +1) t ⎝ ⎠ 61
59. e.2. Tích phân dạng ∫ R(x; ax2 + bx + c)dx, a ≠ 0, b2 − 4ac ≠ 0 (6.8) Tích phân cũng đ−ợc hữu tỷ hoá bằng các phép thế Euler: ax2 + bx + c = ± ax ± t, nếu a > 0 ax2 + bx + c = ±xt ± c, nếu c > 0 2 ax + bx + c = ±()x − x1 t, 2 ax + bx + c = ±()x − x2 t, 2 trong đó x1 và x2 là các nghiệm thực của tam thức bậc hai ax + bx + c (các dấu ở vế phải các đẳng thức có thể lấy phối hợp tuỳ ý). 1− 1+ x + x2 Ví dụ 9: Tính I = ∫ dx x 1+ x + x2 Giải: Đặt 1+ x + x2 = xt +1 2t −1 1− t + t2 Khi đó 1+ x + x2 = t2x2 + 2tx +1, hay x = , dx = 2 dt 2 2 1− t (1− t2 ) 1− t + t2 Tiếp theo, ta tìm đ−ợc 1+ x + x2 = xt +1 = 1− t2 1+ x + x2 −1 Ta có t = nên x 2 − 2t ⎛ 1+ x + x2 −1⎞ I = dt = ln()1− t2 + C = ln1− ⎜ ⎟ + C ∫ 2 ⎜ x ⎟ 1− t ⎝ ⎠ Ph−ơng pháp Euler tính các tích phân vô tỷ có chứa ax2 + bx + c nhiều khi dẫn đến các tính toán rất cồng kềnh. Trong nhiều tr−ờng hợp có thể sử dụng các phép thế l−ợng giác, Hypebol l−ợng giác hay các phép thế khác để đơn giản hoá các phép thế Euler. ⎛ 2 2 ⎞ Ví dụ nh− đối với tích phân R⎜t; p − t ⎟dt có thể sử dụng các phép ∫ ⎝ ⎠ thế: t = p sin u, t = p cosu, t = pthu 62
60. ⎛ 2 2 ⎞ Đối với tích phân R⎜t; t − p ⎟dt có thể sử dụng các phép thế: ∫ ⎝ ⎠ p t = , t = pchu cosu ⎛ 2 2 ⎞ Đối với tích phân R⎜t; t + p ⎟dt có thể sử dụng các phép thế: ∫ ⎝ ⎠ t = ptgu, t = pshu dx Ví dụ 10: Tính I = ∫ ()2x +1 2 4x2 + 4x + 5 Giải: Ta có ()2x +1 2 4x2 + 4x + 5 = ()()2x +1 2 2x +1 2 + 4 Đặt 2x +1 = t , sau đó t = 2shu , ta nhận đ−ợc: 1 dt 1 du 1 1− sh2u I = = = − coth u + C = − + C ∫ ∫ 2 2 t 2 t 2 + 4 8 sh u 8 8shu t2 + 4 4x2 + 4x + 5 = − + C = − + C 8t 8()2x +1 p e.3. Các tích phân dạng ∫ xm (axn + b) dx (6.9) trong đó a,b ∈R, m, n, p ∈Q , với a ≠ 0,b ≠ 0, n ≠ 0, p ≠ 0 đ−ợc gọi là các tích phân nhị thức. Các loại tích phân này hữu tỷ hoá đ−ợc trong 3 tr−ờng hợp sau: 1) p − số nguyên m +1 2) − số nguyên n m +1 3) + p − số nguyên n Trong tr−ờng hợp thứ nhất áp dụng phép thế x = t N , trong đó N - mẫu số chung của m và n; trong các tr−ờng hợp thứ hai và thứ ba áp dụng các phép thế t−ơng ứng: axn + b = t s và a + bx−n = t s , trong đó s - mẫu số của p. Nếu không có tr−ờng hợp nào trong ba tr−ờng hợp trên thoả mãn thì tích phân (6.8) không thể biểu diễn qua các hàm số sơ cấp (Định lý Treb−sep). dx Ví dụ 11: Tính I = ∫ 4 1+ x4 63
61. 1 Giải: I là tích phân dạng (6.8) với a = b = 1, m = 0, n = 4, p = − 4 m +1 1 1 − 4 4 Vì + p = − = 0 nên, áp dụng đổi biến 1 + x = t ta tìm n 4 4 đ−ợc: 1 1 − t = (1+ x−4 )4 , x = (t4 −1) 4 1 5 1 1 − = = t−1()t4 −1 4 , dx = −t3()t4 −1 4 dt 4 1+ x4 tx Từ đó ta có: t2 1 ⎛ dt dt ⎞ 1 1+ t 1 I = −∫∫dt = − ⎜∫ + ⎟ = ln − artgt + C t4 −1 2 ⎝ t2 −1 t2 +1⎠ 4 1− t 2 1 4 1+ x4 + x 1 4 1+ x4 = ln − arctg + C 4 4 1+ x4 − x 2 x f. Tích phân các hàm siêu việt Tích phân dạng ∫ R()sin x; cos x dx (6.10) trong đó R()u;v - hàm hữu tỷ đối với các biến u và v, bao giờ cũng hữu tỷ hoá đ−ợc nhờ phép thế: x t = tg , x ∈ ()− π;π (6.11) 2 Phép thế này đ−a tích phân (6.10) về dạng: ⎛ 2t 1− t 2 ⎞ dt 2 R⎜ ; ⎟ ∫ ⎜ 2 2 ⎟ 2 ⎝1+ t 1+ t ⎠1+ t Phép thế (6.11) th−ờng hay đ−a về tích phân hàm hữu tỷ với các biểu thức rất cồng kềnh. Ng−ời ta chỉ dùng phép thế (6.11) khi mà không thấy đ−ợc các con đ−ờng khác để tính tích phân (6.10). Trong một số tr−ờng hợp sau đây có thể dùng các phép thế khác giảm bớt đ−ợc các tính toán cồng kềnh của phép thế (6.11): ⎛ π π ⎞ 1) R()()− sin x;cos x = −R sin x;cos x , dùng t = cos x, x ∈ ⎜− ; ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ 2) R()sin x;−cos x = −R(sin x;cos x), dùng t = sin x, x ∈ (0;π ) 64
62. ⎛ π π ⎞ 3) R()()− sin x;−cos x = R sin x;cos x , dùng t = tgx, x ∈ ⎜− ; ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ T−ơng tự nh− tích phân các hàm l−ợng giác (6.10), tích phân ∫ R()shx; chx dx (6.12) các hàm Hypebol l−ợng giác cũng hữu tỷ hoá đ−ợc bởi phép thế tổng quát: ⎛ x ⎞ t = th⎜ ⎟ (6.13) ⎝ 2 ⎠ 2t 1+ t 2 2dt Khi đó shx = , chx = , dx = 1− t 2 1− t 2 1− t 2 dx Ví dụ 12: Tính I = ∫ 3sin x + 4cos x + 5 x Giải: Đặt t = tg , − π < x < π 2 2t 1− t2 2dt Khi đó sin x = , cos x = , dx = 1+ t 2 1+ t2 1+ t2 và ta nhận đ−ợc: dt 2 2 I = 2 = 2 ()t + 3 −2 dt = − + C = + C ∫∫2 t + 3 ⎛ x ⎞ t + 6t + 9 3 + tg⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2sin x + 3cos x Ví dụ 13: Tính I = ∫ dx sin2 x cos x + 9cos3 x Giải: ở đây R()− sin x;− cos x = R(sin x;cos x) ⎛ π π ⎞ Đặt t = tgx ⎜− < x < ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ 2tgx + 3 2t + 3 t I = ∫∫dtgx = dt = ln(t2 + 9)+ arctg + C tg 2x + 9 t2 + 9 3 tgx = ln()tg 2x + 9 + arctg + C 3 Ví dụ 14: Tính I = ∫ ch3 xsh8 xdx Giải: Biểu thức d−ới dấu tích phân thoả mãn R(shx;−chx)(= −R shx;chx ) Đặt t = shx ta nhận đ−ợc 65
63. t 9 t11 1 1 I = ()1+ sh2 x sh8 xdshx = (1+ t 2 )t 8dt = + + C = sh9 x + sh11x + C ∫∫9 11 9 11 dx Ví dụ 15: Tính I = ∫ sin x cos3 x Giải: Đối với tích phân này, một mặt ta có thể dùng phép thế tgx = t , viết: dtgx 1+ tg 2 x dtgx tg 2 x I = = ( ) = ln tgx + + C ∫ tgx cos2 x ∫ tgx 2 mặt khác ta lại có thể tính nh− sau: sin2 x + cos2 x d cos x d2x 1 I = ∫ dx = −∫ + ∫ = + ln tgx + C sin x cos3 x cos3 x sin 2x 2cos2 x II. Bài tập a. Nguyên hàm và tích phân bất định Tìm nguyên hàm F(x) sao cho đồ thị của nó đi qua điểm ()x0; y0 (6.1- 6.3): 1 6.1. f ()x = + sin()x +1 , x ∈ (0; + ∞ )(), 1;1 2 x 2 3 6.2. f ()x = − , x ∈ ()()− ∞; 0 , −1;1 x x2 6.3. f ()x = x , x ∈R, ()− 2; 4 Tính các tích phân sau (6.4-6.15): 6.4. ∫ x()()x +1 x − 2 dx 2 6.5. ∫ ()x2 −1 dx ⎛ 8 4 2 ⎞ 6.6. ∫ ⎜ + + ⎟dx ⎝ x3 x2 x ⎠ 6.7. ∫ x x x dx dx 6.8. ∫ 3x2 − 5 dx 6.9. ∫ x2 +13 66
64. 2x + 5x 6.10. ∫ dx 10x 6.11. ∫ 22x exdx 3 ⎛3 3 2 ⎞ 6.12. ⎜ 16 − x ⎟ dx ∫ ⎝ ⎠ 6.13. ∫ cotg 2xdx 6.14. ∫ th2xdx 6.15. ∫ coth2 xdx 6.16. Giả sử hàm F()x là nguyên hàm của f (x) trên R. Các khẳng định sau là đúng hay sai: 1. Nếu f ()x - hàm tuần hoàn, thì F(x) - hàm tuần hoàn. 2. Nếu f ()x - hàm lẻ, thì F(x) - hàm chẵn. 3. Nếu f ()x - hàm chẵn, thì F(x) - hàm lẻ. 6.17. CMR, hàm f ()x = Signx không có một nguyên hàm nào trên R. Tìm tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau (6.18-6.21): 6.18. f ()x = x x , x ∈R 6.19. f ()x = 1+ x − 1− x , x ∈R 6.20. f ()x = e x , x ∈R 6.21. f ()x = max(1; x2 ), x ∈R b. Các ph−ơng pháp cơ bản tính tích phân Tính các tích phân 6.22-6.60 bằng ph−ơng pháp đổi biến: 6.22. ∫sin 2 ()ax + b dx 6.23. ∫ cos()()ax + b cos ax − b dx 6.24. ∫sin axsin()ax + b dx 6.25. ∫ ()ax + b α dx 67
65. dx 6.26. ∫ 2x2 − 5x + 7 dx 6.27. ∫ 5 −12x − 9x2 dx 6.28. ∫ x + x2 dx 6.29. ∫ 2 + 3x − 2x2 6x − 7 6.30. dx ∫ 3x2 − 7x +1 3x − 2 6.31. dx ∫ 2 − 3x + 5x2 3x − 6 6.32. ∫ dx x2 − 4x + 5 x3 + x 6.33. ∫ dx 1+ x2 − x4 6.34. ∫ x2 + 2x + 5dx 6.35. ∫ x − x2 dx 6.36. ∫ x2 x3 +1dx 6.37. ∫ x 1+ xdx x3dx 6.38. ∫ x −1 dx 6.39. ∫ x + 4 x dx 6.40. ∫ x2 x2 −1 3 x 6.41. dx ∫ x()x + 3 x dx 6.42. ∫ shx 68
66. dx 6.43. ∫ chx shxch3x 6.44. dx ∫ 1+ ch2 x 6.45. ∫ sin6 x cos xdx sin xdx 6.46. ∫ 1+ cos x dx 6.47. ∫ cos x sin x 6.48. ∫ dx x dx π 6.49. ∫ , x < 3cos2 x + 4sin2 x 2 sin3 xdx 6.50. ∫ cos x sin xdx 6.51. ∫ 1+ 2cos x sin xdx 6.52. ∫ cos 2x cosln x 6.53. dx ∫ x ln tgx 6.54. dx ∫ sin 2x etgx + cotgx 6.55. ∫ dx cos2 x cos xdx 6.56. ∫ esin x −1 arcsin x 6.57. ∫ dx 1− x2 arctg 2x 6.58. ∫ dx 1+ x2 69
67. arctg x 6.59. ∫ dx ()1+ x x arctge x 6.60. dx ∫ chx Tính các tích phân 6.61-6.96 bằng ph−ơng pháp tích phân từng phần: x2dx 6.61. ∫ 2 (1+ x2 ) 6.62. ∫ x cos()5x − 7 dx 6.63. ∫ xsin2 xdx xdx 6.64. ∫ cos2 x x − sin x 6.65. dx ∫ 1− cos x 6.66. ∫ arctgxdx 6.67. ∫ xarctgxdx 6.68. ∫ sin x ln tgxdx 6.69. ∫ x 1− x2 arcsin xdx 6.70. ∫ (x2 − x +1)chxdx 2 6.71. ∫ ()x2 +1 cos xdx 6.72. ∫ ln2 xdx ln2 x 6.73. ∫ dx x2 x 6.74. ∫ x2 + adx 6.75. ∫ eax sin bxdx, a2 + b2 ≠ 0 6.76. ∫ eax cosbxdx, a2 + b2 ≠ 0 6.77. ∫ xex sin xdx 70
68. 6.78. ∫ sin ln xdx 6.79. ∫ cos ln xdx 6.80. ∫ earccos xdx 6.81. ∫ x8e−xdx 6.82. ∫ x3 ln3 xdx x6 6.83. ∫ dx x2 + 9 6.84. ∫ cos5 xdx 6.85. ∫ sin6 xdx dx 6.86. ∫ sin5 x 2 6.87. ∫ x3e−x dx 6.88. ∫ e x dx 6.89. ∫ x2e x dx x ln x 6.90. ∫ dx 1+ x2 6.91. ∫ x sin xdx 6.92. ∫ cos2 xdx 6.93. ∫ cos x ln(1+ sin2 x)dx 6.94. ∫ xarctgx2dx arctg x 6.95. ∫ dx x +1 2 x 6.96. arcsin dx ∫ 1+ x 1 6.97. Tìm hàm số f ()x , x ∈(0;+ ∞) thoả mãn điều kiện f ′(x2 )= , x > 0 . x 71
69. 6.98. Tìm các hàm f ()x , x ∈ (0;+ ∞) và g(x), x ∈R, với x > 0 , thoả mãn điều kiện ⎧ f ()x + g ()x = x +1 ⎪ ⎨ f ′()x − g′ ()x = 0 ⎪ 2 ⎩ f ′()2x + g′ (− 2x )= 1−12x 6.99. Tìm các hàm f ()x , x ∈ (0;+ ∞) và g(x), x ∈R, với x > 0 , thoả mãn điều kiện ⎧ x4 ⎪ f ()x + g ()x = 6 ⎪ ⎨ f ′()x − g′ ()x = sin x ⎪ f ′()2x + g′ (− 2x )= 0 ⎪ ⎩⎪ 6.100. Tìm hàm f ()x , x ∈ (0;+ ∞ ) và g(x), x ∈R, thoả mãn điều kiện 2 3 ⎪⎧xf ′(x )+ g′()x = cos x − 3x ⎨ 2 4 ⎩⎪ f ()x + g()x = sin x − x c. Tích phân các hàm hữu tỷ Tính các tích phân hàm hữu tỷ sau (6.101-6.116): dx 6.101. ∫ ()()x +1 x − 2 xdx 6.102. ∫ 2x2 − 3x − 2 3x3 − 5x + 8 6.103. ∫ dx x2 − 4 x2dx 6.104. ∫ x2 − 6x +10 dx 6.105. ∫ ()()()x −1 x + 2 x + 3 5x − 3 6.106. ∫ dx ()x − 2 ()3x2 + 2x −1 72
70. dx 6.107. ∫ 6x3 − 7x2 − 3x x6 − 2x4 + 3x3 − 9x2 + 4 6.108. ∫ dx x5 − 5x3 + 4x 4 ⎛ x −1⎞ 6.109. ∫ ⎜ ⎟ dx ⎝ x +1⎠ x5 − x +1 6.110. ∫ dx x6 − x5 dx 6.111. ∫ x3 +1 x3 + x +1 6.112. ∫ dx x4 −1 2x3 + x2 + 5x +1 6.113. ∫ dx (x2 + 3)(x2 − x +1) dx 6.114. ∫ ()x +1 2 ()x2 +1 dx 6.115. ∫ x8 + x6 x4 + 2x2 + 4 6.116. dx ∫ 3 (x2 +1) d. Tích phân các hàm vô tỷ Tính các tích phân hàm vô tỷ sau (6.117-6.134): xdx 6.117. ∫ 1+ x x −1 − x +1 6.118. ∫ dx x −1 + x +1 x +1 6.119. 3 dx ∫ x −1 x + 4 6.120. dx ∫ x 73
71. 6.121. ∫ x4 x − 2dx x dx 6.122. ∫ 5 x +1 x3 dx 6.123. ∫ x + 3 x2 dx 6.124. ∫ 3 4x2 + 4x +1 − 2x +1 1− x + x2 6.125. ∫ dx 1+ x − x2 x3 6.126. ∫ dx x2 + x +1 6.127. ∫ x2 x2 + 4dx x3 6.128. ∫ dx 1+ 2x − x2 dx 6.129. ∫ , x > −1 ()x +1 x2 + x +1 1 1 −1 − ⎛ ⎞ 3 ⎜ 6 ⎟ 6.130. ∫ x ⎜1− x ⎟ dx ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6.131. ∫ x23 ()x +1 2 dx dx 6.132. ∫ x6 x6 +1 dx 6.133. ∫ x33 2 − x3 dx 6.134. ∫ 3 1+ x3 74
72. e. Tích phân các hàm siêu việt Tính các tích phân hàm siêu việt sau (6.135-6.164): 6.135. ∫ sin xsin 3xdx 6.136. ∫ sin 2x cos 4xdx 6.137. ∫ sin()()3x + 2 cos x −1 dx 6.138. ∫ cos2 2x cos2 3xdx 6.139. ∫ shxsh7xdx dx 6.140. ∫ sh2 x + ch2 x sin 2x 6.141. ∫ dx cos3 x sin 3x 6.142. dx ∫ cos x cos3x 6.143. ∫ dx sin5 x cos2 x 6.144. dx ∫ sin 4x 6.145. ∫ cos3 xdx 6.146. ∫ sin3 x cos4 xdx 6.147. ∫ cos5 2xsin7 2xdx 6.148. ∫ cos2 3xsin xdx 6.149. ∫ ch3 xshxdx 6.150. ∫ sh3 xch2xdx 6.151. ∫ sin4 x cos6 xdx dx 6.152. ∫ cos3 x dx 6.153. ∫ sin2 x cos3 x 75
73. dx 6.154. ∫ shxch2 x dx 6.155. ∫ ch5 x sin xdx 6.156. ∫ ()3cos x −1 3 dx 6.157. ∫ sin x()1+ cos x cos x − sin x 6.158. dx ∫ cos x + sin x x − a sin 6.159. 2 dx ∫ x + a sin 2 dx 6.160. ∫ 1+ 4cos x dx 6.161. ∫ 4 + cos x dx 6.162. ∫ cos x + sin x +1 dx 6.163. ∫ 7 cos x − 4sin x + 8 dx 6.164. ∫ chx + shx + 2 6.165. Tìm A, B, C thoả mãn đẳng thức: a cos x + b sin x + c dx 1 1 1 dx = Ax + B ln a cos x + bsin x + c + C , ∫∫a cos x + bsin x + c a cos x + bsin x + c a2 + b2 ≠ 0 Tính các tích phân hàm siêu việt sau (6.166-6.167): 1− sin x + cos x 6.166. dx ∫ 1+ sin x − cos x sin x 6.167. ∫ dx cos x + sin x + 2 76
74. Đ 7. Tích phân xác định và ứng dụng I. Tóm tắt lý thuyết a. Tích phân xác định, điều kiện khả tích kτ Giả sử f ()x là hàm số xác định trên đoạn [a;b],τ = {xk }k =0 là một phân hoạch của đoạn kín a;b , x 0 , tồn tại số δ > 0 τ →0 kτ sao cho với mọi phân hoạch τ = {xk }k =0 của [a;b] có độ băm τ 0 ∃δ > 0 ∀τ = {}xk k =0 ∀ξi (ξi ∈[xi−1, xi ]∧ τ < σ ⇒ στ − I < ε ) a b a Theo định nghĩa, ta đặt ∫ f ()x dx = 0, ∫ f ()x dx = −∫ f ()x dx a a b Định lý 1 (Điều kiện cần khả tích): Nếu hàm số khả tích trên đoạn nào đó thì nó bị chặn trên đoạn này. kτ Đối với mỗi phân hoạch τ = {xk }k =0 của đoạn [a;b] mà trên đó xác định một hàm số bị chặn f ()x , ta đặt: 77
75. Mi = sup f (x), mi = inf f (x), i = 1,2,Κ , kτ , x ≤x≤x xi−1≤x≤xi i−1 i kτ kτ Sτ = Sτ ()f = ∑ Mi∆xi , sτ = sτ ()f = ∑ mi∆xi i=1 i=1 Các tổng Sτ và sτ t−ơng ứng đ−ợc gọi là tổng trên và tổng d−ới Darboux của hàm f. Định lý 2 (Điều kiện khả tích): Để hàm giới nội f (x) khả tích trên []a;b điều kiện cần và đủ là lim ()Sτ − sτ = 0 . τ →0 Ví dụ 1: Chứng minh hàm f (x) liên tục trên [a;b] thì khả tích trên []a;b . Giải: Hàm f ()x liên tục trên [a;b] thì liên tục đều trên [a;b], tức là với mọi ε > 0 , tồn tại δ > 0 sao cho với mọi điểm x′∈[a;b] và x′′∈[a;b] , khi thoả mãn ε x′ − x′′ < δ thì f ()x′ − f ()x′′ < . b − a kτ Vì thế nếu phân hoạch τ = {xk }k =0 của [a;b] có độ băm τ < δ thì ε sup f ()x′ − f ()x′′ ≤ , và vì thế mà ta có: b − a x′∈[]xi−1;xi x′′∈[]xi−1;xi kτ ε kτ 0 ≤ Sτ − sτ ≤ ∑ ()Mi − mi ∆xi < ∑ ∆xi = ε i=1 b − a i=1 2 Ví dụ 2: Tính tích phân ∫ x2dx bằng tổng tích phân. 1 Giải: Vì hàm f ()x = x2 liên tục trên [1; 2] cho nên nó khả tích trên []1; 2 . Ta có thể chọn cách chia []1; 2 thành n phần đều nhau và chọn các điểm ξi là điểm mút bên phải của mỗi đoạn chia [xi−1, xi ], ta có tổng tích phân của hàm f ()x = x2 là: 2 n ⎛ i ⎞ 1 1 n 1 ⎛ n n n ⎞ σ = ⎜1+ ⎟ = ()n + i 2 = ⎜ n2 + 2n i + i 2 ⎟ n ∑ n n 3 ∑ 3 ⎜∑ ∑ ∑ ⎟ i=1 ⎝ ⎠ n i=1 n ⎝ i=1 i=1 i=1 ⎠ 1 ⎛ n()n +1 n()()n +1 2n +1 ⎞ = ⎜n3 + 2n + ⎟ n3 ⎝ 2 6 ⎠ 78
76. 1 ⎛ 3 2 n(n +1)(n + 2)⎞ 7 Vì vậy lim σ n = lim ⎜n + n ()n +1 + ⎟ = n→∞ n→∞ n3 ⎝ 6 ⎠ 3 b. Tính chất tích phân b Tích phân xác định ∫ f ()x dx có các tính chất sau: a b i. ∫ dx = b − a a ii. Nếu f ()x khả tích trên [a;b] thì nó khả tích trên mọi đoạn [][]a*; b* ⊆ a; b . iii. Tính cộng tính của tích phân: Nếu hàm f (x) khả tích trên các đoạn [][]a;c ; c;b thì nó khả tích trên [a;b] và: b c b ∫ f ()x dx = ∫ f ()x dx + ∫ f ()x dx , a ≤ c ≤ b a a c iv. Tính tuyến tính của tích phân: Nếu hàm f (x) khả tích trên []a;b thì n đối với mọi λk ∈R, k = 1, 2, Κ , n , hàm số ∑ λk fk ()x cũng khả tích k =1 trên []a;b và: b ⎛ n ⎞ n b ⎜ f x ⎟dx f x dx ∫⎜∑λk k ()⎟ = ∑λk ∫ () a ⎝ k=1 ⎠ k=1 a v. Tích các hàm khả tích trên [a;b] là hàm khả tích trên [a;b]. 1 vi. Nếu f ()x khả tích trên [a;b] và inf f (x) > 0 thì hàm cũng khả x∈[]a;b f ()x tích trên []a;b . vii. Nếu f ()x , g ()x là các hàm khả tích trên [a;b] và với mọi x ∈[]a;b đều có f ()x ≥ g ()x thì: b b ∫ f ()x dx ≥ ∫ g ()x dx a a Tr−ờng hợp đặc biệt, nếu f (x) ≥ 0 trê n [a;b] thì: 79
77. b ∫ f ()x dx ≥ 0 a viii. Nếu f ()x ≥ 0 trê n [a;b], khả tích trên [a;b] và tồn tại x0 ∈[]a;b mà tại đó f ()x liên tục và f (x0 ) > 0 thì b ∫ f ()x dx > 0 a ix. Nếu f ()x khả tích trên [a;b] thì f (x) cũng khả tích trên []a;b và: b b ∫ f ()x dx ≤ ∫ f ()x dx , a ≤ b a a x. Nếu f ()x khả tích trên [a;b] thì các x b hàm F()x = ∫ f ()t dt và G ()x = ∫ f ()t dt liên tục trên [a;b]. Thêm vào đó, a x nếu f ()x liên tục tại x0 ∈[a;b] thì các hàm cũng khả vi tại x0 và F′()x0 = f ()x0 , G′(x0 ) = − f (x0 ). Ví dụ 3: Hãy làm rõ tích phân nào trong số các tích phân sau lớn hơn: π π 2 2 3 5 I1 = ∫sin xdx , I 2 = ∫sin xdx 0 0 ⎡ π ⎤ Giải: Các hàm số sin3 x và sin5 x đều là các hàm liên tục trên 0; , ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 3 5 ⎛ π ⎞ sin x > sin x với mọi x ∈⎜0; ⎟ cho nên I1 > I2 ⎝ 2 ⎠ c. Công thức Newton-Leibniz Định lý 3. Nếu f ()x là hàm khả tích trên [a;b] và F(x) là một nguyên hàm nào đó của f trên []a;b thì b ∫ f ()x dx = F ()b − F ()a a Công thức này đ−ợc gọi là công thức Newton-Leibniz. Ng−ời ta còn viết nó d−ới dạng: 80
78. b b ∫ f ()x dx = F ()x và nói a a b F()x = F()b − F ()a là phép thế Newton. a sh2 dx Ví dụ 4: Tính tích phân I = ∫ 2 sh1 1+ x Giải: Theo bảng nguyên hàm, công thức Newton-Leibniz, ta có: sh2 sh2 + 1+ sh2 2 sh2 + ch2 I = ln⎜⎛ x + 1+ x2 ⎟⎞ = ln = ln = ln e ⎝ ⎠ sh1 sh1+ 1+ sh21 sh1+ ch1 1 1 x19 1 Ví dụ 5: Chứng minh bất đẳng thức: 0 n→∞ nα +1 n α 1 ⎛ k ⎞ α Giải: Vì tổng Sn = ∑⎜ ⎟ là tổng tích phân của hàm f ()x = x trên n k =1⎝ n ⎠ đoạn []0;1 cho nên: 1 α +1 1 α x 1 lim Sn = x dx = = n→∞ ∫ α +1 α +1 0 0 81
79. d. Các ph−ơng pháp tính tích phân xác định d.1. Ph−ơng pháp đổi biến: Giả sử hàm số f ()x liên tục trên [a;b], hàm số ϕ(t) - xác định và liên tục cùng với đạo hàm ϕ′()t trên [α; β ] sao cho ϕ(α ) = a,ϕ(β ) = b và f []ϕ()t xác định và liên tục trên đoạn []α; β . Khi đó, ta có: b β ∫ f ()x dx = ∫ f []ϕ ()t ϕ′()t dt a α a Ví dụ 7: Tính I = ∫ x2 a 2 − x2 dx ()a > 0 0 Giải: Đặt x = asin t, dx = a costdt x π π Khi đó t = arcsin và do đó α = arcsin 0 = 0, β = arcsin1 = ,t : 0 → a 2 2 π 2 Vậy là: I = ∫ a2 sin 2 t a2 − a2 sin 2 t a costdt 0 π π 2 a 4 2 = a 4 sin 2 t cos2 tdt = sin 2 2tdt ∫ 4 ∫ 0 0 π π a 4 2 a4 ⎛ 1 ⎞ 2 πa4 = ()1− cos 4t dt = ⎜t − sin 4t ⎟ = 8 ∫ 8 4 16 0 ⎝ ⎠ 0 d.2. Ph−ơng pháp tích phân từng phần: Nếu u = u()x ,v = v ()x là các hàm liên tục cùng các đạo hàm u′()x ,v′ ()x trên đoạn []a;b thì: b b b ∫ udv = uv − ∫ vdu a a a Công thức tính tích phân này đ−ợc mang tên là công thức tích phân từng phần. 2 Ví dụ 8: Tính tích phân I = ∫ ln xdx 1 82
80. 2 2 2 Giải: I = ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = 2ln 2 −1 1 1 1 π Ví dụ 9: Tính J = ∫ chxcos nxdx, n ∈ N −π Giải: Tích phân từng phần hai lần, ta có: π 1 π chxsin nx π 1 π J = ∫ chxcos nxdx = ∫ chxd sin nx = − ∫sin nxshxdx n n −π n −π −π −π π 1 π shx cos nx 1 π = shxd cos nx = − chx cos nxdx 2 ∫ 2 2 ∫ n −π n −π n −π 2shπ 1 = ()−1 n − J n2 n2 Từ ph−ơng trình nhận đ−ợc của J, ta có: 2shπ J = ()−1 n n2 +1 1 α n Ví dụ 10: Tính Jα ,n = ∫ x ln xdx, α > 0,n ∈ N 0 Giải: Hàm số d−ới dấu tích phân f ()x = xα lnn x liên tục trên khoảng (0;1] và có lim f (x) = 0 x→0+ Ta xác định thêm f ()0 = 0 sẽ nhận đ−ợc f (x) liên tục trên đoạn []0;1 . áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: 1 xα +1 1 1 n 1 n J = ln n xd = xα +1 ln n x − xα ln n−1 xdx = − J α ,n ∫ α +1 α +1 α +1 ∫ α +1 α,n−1 0 0+ 0 Từ công thức truy hồi vừa nhận đ−ợc, suy ra: n! n! 1 n! J = ()−1 n J = ()−1 n xα dx = ()−1 n α ,n n α,0 n ∫ n+1 ()α +1 ()α +1 0 ()α +1 83
81. y e. Các ứng dụng của tích phân xác định y=y(x) e.1. Diện tích bản phẳng Bản phẳng D xác định bởi: D D = {}a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ y(x) (hình 7.1) O abx có diện tích: Hình 7.1. b S = ∫ y()x dx (7.1) a Nếu hàm số y = y()x cho d−ới dạng ph−ơng trình tham số x = x(t)(), y = y t ,α ≤ t ≤ β, (x(α ) = a, x(β ) = b), y y()t ≥ 0 thì: y = y2()x β S = y()t x′ ()t dt (7.2) D1 ∫ abx α O Một cách tổng quát, là miền phẳng xác định y = y ()x D 1 bởi: Hình 7.2. D = {}a ≤ x ≤ b, y1()x ≤ y ≤ y2(x) (hình 7.2) có diện tích: b S = ∫ ()y2 ()x − y1 ()x dx (7.3) a y Nếu miền phẳng D có hình quạt cong xác định D bởi: β α D = {}α ≤ ϕ ≤ β, r1()ϕ ≤ r ≤ r2(ϕ) O x trong đó, r = r1()ϕ và r = r2(ϕ) là các ph−ơng trình tham số của 2 “mép” quạt cong (hình 7.3) có diện tích: Hình 7.3. β 1 2 2 S = ()r2 ()ϕ − r1 ()ϕ dϕ (7.4) 2 ∫ α Ví dụ 11: Tính diện tích hình phẳng Φ giới hạn bởi parabol y = 6x − x2 − 7 và đ−ờng thẳng y = x − 3 (hình 7.4). Giải: Các giao điểm: A(1;− 2), B(4;1) 84
82. Theo công thức (7.3), ta có: 4 y S = ()()6x − x2 − 7 − ()x − 3 dx ∫ 2 B 1 1 4 4 ⎛ 5x2 x3 ⎞ 9 x = ()5x − x2 − 4 dx = ⎜ − − 4x⎟ = O 1 3 4 ∫ ⎜ 2 3 ⎟ 2 1 ⎝ ⎠ 1 -2 A x2 y2 Ví dụ 12: Kẻ tiếp tuyến đến Elip + = 1 tại 9 4 Hình 7.4 ⎛ 3 ⎞ điểm C⎜ ; 3 ⎟ . Tính diện tích tam giác cong ABC ⎝ 2 ⎠ (hình 7.5). Giải: Cung AC có ph−ơng trình: y y2 x = x ()y = 3 1− 2 C 1 4 Đoạn thẳng BC có ph−ơng trình: -3 O 3 ABx ⎛ y 3 ⎞ ⎜ ⎟ -2 x = x2()y = 3⎜2 − ⎟, 0 ≤ y ≤ 3 ⎝ 2 ⎠ Cho nên theo công thức t−ơng tự nh− Hình 7.5. (7.3), đổi vai trò x, y, ta có: 3 S = ∫ ()x2 ()y − x1 ()y dy 0 3 Với tích phân J 2 = ∫ x2 ()y dy ta có thể tính trực tiếp: 0 3 ⎛ y 3 ⎞ 15 3 J = 3⎜2 − ⎟dy = 2 ∫ ⎜ 2 ⎟ 4 0 ⎝ ⎠ 3 y 2 π Còn đối với tích phân J = 3 1− dy , sau đổi biến y = 2sin t,0 ≤ t ≤ , 1 ∫ 4 2 0 ta có: 85
83. π π 3 3 ⎛π 3 ⎞ 3 3 J = 6 cos2 tdt = 3 ()1+ cos 2t dt = ⎜ + ⎟3 = π + 1 ∫ ∫ ⎜ 3 4 ⎟ 4 0 0 ⎝ ⎠ Cuối cùng ta nhận đ−ợc S = J 2 − J1 = 3 3 −π 2 2 2 Ví dụ 13: Điểm M ()x0, y0 nằm trên Hypebol x − y = a . Tìm diện tích tam giác cong OAM (hình 7.6). Giải: Ph−ơng trình toạ độ cực của Hypebol y nhận đ−ợc khi thay x = r cosϕ, y = r sinϕ , ta có: y 0 M a2 r2 = cos 2ϕ a O A x0 x y Gọi α là góc AOM ,tgα = 0 x0 Hình 7.6. áp dụng công thức (7.4), ta có 1 α a 2 α dϕ a2 1+ tgϕ a2 x + y S = r 2dϕ = = ln = ln 0 0 2 ∫ 2 ∫ cos 2ϕ 4 1− tgϕ 2 a 0 0 2 2 2 Ví dụ 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Axtroit x 3 + y 3 = a 3 Giải: Do Axtroit (hình 7.7) nhận các trục toạ độ làm trục đối xứng nên ta chỉ cần tính phần diện tích S1 của miền phẳng D nằm trong phần t− thứ nhất, ta sẽ có: S = 4S1 y A Ph−ơng trình tham số của Axtroit: 3 ⎪⎧x = a sin t ⎨ 3 ⎩⎪y = a cos t , 0 ≤ t ≤ 2π O B x Theo công thức (7.2) ta có: π 2 ′ S1 = ∫ y()t x ()t dt 0 Hình 7.7. Do tính đối xứng của ph−ơng trình ⎧x = x()t ⎨ , ta cũng có: ⎩y = y()t 86
84. π 2 ′ S1 = ∫ y ()t x ()t dt 0 cho nên π 1 2 S = ()y()t x′ ()t + x ()t y′ ()t dt 1 2 ∫ 0 π 1 2 = ()3a 2 cos4 t sin 2 t + 3a 2 sin 4 t cos2 t dt 2 ∫ 0 π 3a 2 2 = sin 2 t cos2 tdt 2 ∫ 0 π π 3a 2 2 3a 2 2 3πa 2 = sin 2 2tdt = ()1− cos 4t dt = 8 ∫ 16 ∫ 32 0 0 3πa2 Và nh− vậy S = 8 π 2 ′ Nếu chúng ta chỉ tính S1 = ∫ y()t x ()t dt ta sẽ phải tính tích phân cồng kềnh 0 π 3 2 4 2 hơn, đó là S1 = 3a ∫ cos t sin t dt . 0 e.2. Độ dài đ−ờng cong Đối với đ−ờng cong không gian, với ph−ơng trình tham số: x = x()t , y = y ()t , z = z ()t ,t ∈[]α; β , trong đó x(t), y(t), z(t) là các hàm khả vi liên tục trên []α; β , ta có công thức tính độ dài: β S = ∫ x′2 + y′2 + z′2 dt (7.5) α Đối với đ−ờng cong phẳng với ph−ơng trình tham số x = x()t , y = y ()t , ta có: 87
85. β S = ∫ x′2 + y′2 dt (7.6) α b hay S = ∫ 1+ y′2 dx (7.7) a trong tr−ờng hợp đ−ờng cong phẳng cho d−ới dạng ph−ơng trình hiện y = y()x , a ≤ x ≤ b ; trong đó y(x) là hàm khả vi liên tục trên [a;b]. Tr−ờng hợp đ−ờng cong cho d−ới dạng ph−ơng trình toạ độ cực r = r()ϕ ,α ≤ ϕ ≤ β thì β S = ∫ r 2 + r′2 dϕ (7.8) α 2 2 2 Ví dụ 15: Tính độ dài của Axtroit x 3 + y 3 = a 3 trong phần t− thứ nhất. Giải: Ta đã đ−ợc tiếp xúc với Axtroit trong ví dụ 14 với ph−ơng trình tham ⎧x = asin3 t ⎪ số , theo công thức (7.6): ⎨ 3 π ⎪y = a cos t , 0 ≤ t ≤ ⎩ 2 π 2 S = ∫ 9a 2 sin 4 t cos2 t + 9a 2 cos4 t sin 2 t dt 0 π π 2 3a 2 = 3a sin t costdt = sin 2t dt ∫ 2 ∫ 0 0 ⎛ π ⎞ 3a ⎜ ⎟ 3a = ⎜− cos 2t 2 ⎟ = 4 ⎜ ⎟ 2 ⎝ 0 ⎠ e.3. Thể tích của vật và diện tích mặt cong Thể tích vật Thể tích V của vật tròn xoay do bản phẳng D xác định bởi a ≤ x ≤ b.0 ≤ y ≤ y()x quay xung quanh Ox: b V = π ∫ y 2 ()x dx (7.9) a 88
86. T−ơng tự, thể tích vật tròn xoay do bản phẳng xác định bởi c ≤ y ≤ d; 0 ≤ x ≤ x()y quay quanh trục Oy là: d V = π ∫ x2 ()y dy c Nếu đ−ờng cong y = y(x) cho d−ới dạng ph−ơng trình tham số: ⎧x = x()t ⎨ ⎩y = y()t , x (α )= a, x (β )= b thì: β V = π ∫ y 2 ()t x′ ()t dt (7.10) α Trong các công thức (7.9, 7.10), y(x) liên tục trên [a;b]; x(t)()(), y t , x′ t liên tục trên []α; β . Giả sử vật trong không gian nằm giữa các mặt phẳng z = z1, z = z2, với z1 ≤ z ≤ z2 , thiết diện của mặt phẳng đi qua z và vuông góc với Oz có ph−ơng trình ω = S()z , S ()z là hàm khả tích trên [z1; z2 ]. Khi đó thể tích V của vật đ−ợc tính theo công thức: z2 V = ∫ S()z dz (7.11) z1 Các công thức t−ơng tự nhận đ−ợc cho các thiết diện vuông góc với các trục Ox, Oy. Ví dụ 16: Tìm thể tích vật tròn xoay do bản phẳng hạn chế bởi parabol 2y = 4 − x2 và đ−ờng thẳng x + y − 2 = 0 , quay xung quanh đ−ờng thẳng x + y − 2 = 0 . Giải: Tịnh tiến hệ trục toạ độ xOy đến y π x′O′y′ với O′()0;2 , sau đó quay một góc α = − v 4 theo công thức: O’ 2 x’ x − y + 2 x + y − 2 u = ,v = (hình 7.8) 2 2 O 2 x u Hình 7.8. 89
87. 4 − x2 Vì y = nên ta nhận đ−ợc ph−ơng trình tham số x của đ−ờng cong 2 trong hệ trục uO′v : ⎧ x2 x + ⎪ x − y()x + 2 ⎪u = u()x = = 2 ⎪ 2 2 ⎨ ⎪ x2 x − ⎪ x + y()x − 2 2 ⎪v = v()x = = , với 0 ≤ x ≤ 2 ⎩ 2 2 Theo công thức (7.10) ta có: 2 π 2 2 2 V = π v2 ()x u′ ()x dx = ()x4 − 4x3 + 4x2 ()x +1 dx = π ∫ ∫ 15 0 8 2 0 Diện tích mặt tròn xoay Giả sử y = y()x là hàm liên tục trên đoạn [a;b]. Mặt cong nhận đ−ợc từ đ−ờng cong y = y()x , quay xung quanh trục Ox, có diện tích: b S = 2π ∫ y()x 1+ y′2 ()x dx (7.12) a Nếu đ−ờng cong cho d−ới dạng ph−ơng trình tham số x = x()t , y = y ()t , t ∈[]α;β , trong đó x()t , y ()t là các hàm khả vi liên tục trên [α; β ] thì: β S = 2π ∫ y()t x′()t 2 + y′ ()t 2 dt (7.13) α Ví dụ 17: Tính diện tích mặt tròn xoay nhận đ−ợc từ Elip x2 + 4y2 = 36 quay xung quanh trục Ox. 1 Giải: Cung Elip y = 36 − x2 , − 6 ≤ x ≤ 6 quay xung quanh trục Ox cho ta 2 mặt tròn xoay cần tính diện tích. Nh−ng vì hàm này không có đạo hàm tại x = ±6 , trên khoảng ()− 6;6 đạo hàm y′(x) của nó không giới nội, nên không trực tiếp áp dụng công thức (7.12) đ−ợc. Ph−ơng trình tham số của Elip: x = 6cost, y = 3sin t,0 ≤ t ≤ π Công thức (7.13) cho ta: 90
88. π S = 2π ∫3sin t 36sin 2 t + 9cos2 tdt 0 2 Sau đổi biến cost = sinϕ , ta nhận đ−ợc: 3 π 3 S = 24 3π ∫ cos2 ϕdϕ = 2 3π ()4π + 3 3 π − 3 II. Bài tập a. Tích phân xác định, công thức Newton-Leibniz 7.1. Viết tổng tích phân σ n đối với hàm f (x) = 1+ x trên [−1;2] với phân hoạch chia đều và các điểm ξi ,i = 1, 2,Κ , n là các trung điểm của các đoạn chia. 7.2. Với các hàm số d−ới đây hãy tìm các tổng Darboux d−ới sτ và Darboux trên Sτ trong các đoạn t−ơng ứng với phân hoạch chia đều: 1. f ()x = x3, x ∈[]− 2;3 2. f (x) = x, x ∈[]0;1 7.3. Tính các tích phân sau từ định nghĩa 1 x 1. ∫ e xdx 3. ∫ costdt 0 0 π 2 2 dx 2. sin xdx 4. ∫ ∫ 2 0 1 x Bằng tích phân xác định hãy tính các giới hạn lim Sn (7.4-7.7): n→∞ 1 2 n 7.4. Sn =Κ+ + + n2 +1 n2 + 22 n2 + n2 13 23 33 (4n −1)3 7.5. Sn =Κ+ + + n4 n4 n4 n4 1 1 1 7.6. Sn =Κ+ + + 4n2 −1 4n2 − 22 4n2 − n2 91
89. 2n ! n () 7.7. S = n! n n 7.8. Chứng minh rằng, mọi hàm đơn điệu trên đoạn kín đều khả tích trên đó. 7.9. Chứng minh rằng, nếu f (x) liên tục và d−ơng trên đoạn [0;1], thì: 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ ⎞ lim n f ⎜ ⎟ f ⎜ ⎟Κ f ⎜ ⎟ = exp⎜ ln f ()x dx⎟ (So sánh với bài 7.7) n→∞ n n n ⎜ ∫ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠ 7.10. Từ định nghĩa tích phân xác định hãy chứng minh: hàm khả tích trên đoạn kín thì giới nội trên đó. 7.11. Chứng minh rằng, nếu f (x) giới nội và lồi trên đoạn [a;b] thì nó khả tích trên đó và b f ()a + f ()b ⎛ a + b ⎞ ()b − a ≤ f ()x dx ≤ (b − a )f ⎜ ⎟ 2 ∫ 2 a ⎝ ⎠ 7.12. Chứng minh rằng, hàm Dirichle ⎧1 nếu x h~−u tỷ f ()x = ⎨ ⎩0 nếu x vô tỷ không khả tích theo Riemann trên đoạn bất kỳ [a;b]. 7.13. Các tích phân sau tích phân nào lớn hơn: π 2 sin x π sin x 1. I = dx hay J = dx ∫ x ∫ x 0 0 1 dx 1 dx 2. I = hay J = ∫ ∫ 3 1 x 1 x 2 2 1 1 2 3. I = ∫ e−x sin xdx hay J = ∫ e−x sin xdx 0 0 2 dx 2 dx 4. I = hay J = ∫ 2 ∫ x 1 1+ x 1 7.14. Chứng minh các bất đẳng thức sau: π sin x π 1. 0 < dx < ∫ 5 2 5 0 x + 2 2 92
90. 2 1 cos x 2. < dx < 1 3 ∫ 2 −12 + x 7.15. CMR, nếu f và g là các hàm khả tích trên đoạn [a;b], thì sẽ có bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovski: b b b ∫ f ()()x g x dx ≤ ∫ f 2 ()x dx ∫ g 2 ()x dx a a a Tính đạo hàm các hàm số sau (7.16-7.19): 7.16. d b 1. sin x2dx dx ∫ a d b 2. sin x2dx da ∫ a d b 3. sin x2dx db ∫ a 2 d x 7.17. 1+ t 2 dt dx ∫ 0 3 d x dt 7.18. dx ∫ 4 x2 1+ t d cos x 7.19. cosπt 3dt dx ∫ sin x Tính các tích phân (7.20-7.39): 4 dx 7.20. ∫ 3 1 x 1 3 7.21. ⎜⎛ x + x2 ⎟⎞dx ∫⎝ ⎠ 0 93
91. 3 dx 7.22. ∫ 2 1 1+ x 3 2 7.23. ∫ 3 x −1dx 2 2 7.24. ∫ 2 x dx 0 1 x2 7.25. dx ∫ 6 0 1+ x 3 e dx 7.26. ∫ x ln x e2 1 x2 + 3x 7.27. dx ∫ 2 0 ()x +1 ()x +1 9 x 7.28. ∫ dx 4 x −1 1 dx 7.29. ∫ 2 0 x + 2x + 2 4 dx 7.30. ∫ 0 1+ 2x +1 e cos()ln x dx 7.31. ∫ x 1 π 4 7.32. ∫ cos3 xdx 0 1 3 7.33. ∫ ch2 3xdx 0 94
92. π 2 dx 7.34. ∫1+ sin x + cos x 0 π 4 dx 7.35. ∫ 2 0 1+ 2sin x π 3 xdx 7.36. ∫ 2 π sin x 4 π 2 7.37. ∫ arcsin xdx 0 e 7.38. ∫ sin()ln x dx 0 2 7.39. ∫ 1− x dx 0 Chứng minh các bất đẳng thức (7.40-7.45): 1 1 x9 1 7.40. < dx < ∫ 10 10 2 0 1+ x 1 1 x19 1 7.41. < dx < 3 ∫ 6 6 20 20 2 0 1+ x 200 e−5x 7.42. 0 < dx < 0,01 ∫ x + 20 0 3π 4 sin x 7.43. 0 < ∫ dx < ln3 π x 4 95
93. 1 cos x 7.44. sin1 < dx < 2sin1 ∫ 2 −11+ x π 2 π + 2 2 sin x π + 2 7.45. ln < dx < ln π 2 ∫ x x +1 2 0 () b. Các ph−ơng pháp tính tích phân xác định π 1 7.46. Có thể đổi biến x = sin t với t :π → trong tích phân 1− x2 dx không? 2 ∫ 0 7.47. Giả sử f ()x liên tục trên đoạn [− l;l]. Chứng minh rằng l l 1. Nếu f ()x là hàm chẵn thì ∫ f ()x dx = 2∫ f ()x dx −l 0 l 2. Nếu f ()x là hàm lẻ thì ∫ f ()x dx = 0 −l Tính các tích phân sau (7.48-7.81) π 7.48. ∫ 3 sin x dx −π π 2 7.49. ∫ e x sin xdx −π π 2 7.50. ∫ ()cos2 x + x2 sin x dx π − 2 1 7.51. ∫ cos xthxdx −1 π 3 ⎛ x ⎞ 7.52. ∫ ⎜ x2 sin 5x + cos + tg 3 x⎟dx π ⎝ 3 ⎠ − 3 96
94. 1 7.53. ∫ x2 1− x2 dx 0 ln 2 7.54. ∫ e x −1dx 0 ln 2 7.55. ∫ xe−xdx 0 π 4 7.56. ∫ xsin 2xdx 0 1 7.57. ∫ arccos xdx 0 3 7.58. ∫ arctg xdx 1 e dx 7.59. ∫ 1 x 1+ ln x π 2 dx 7.60. ∫ 2 − sin x 0 π 2 dx 7.61. ∫ π 3 + cos x 3 3 4 dx 7.62. ∫ 2 0 ()x +1 x +1 9 7.63. ∫ x3 1− x dx 0 1 7.64. ∫ x15 1+ 3x8 dx 0 97
95. π 2 7.65. ∫sin xsin 2xsin 3xdx 0 ln 2 7.66. ∫ sh4 xdx 0 2 7.67. ∫ x2 ln xdx 1 n 7.68. ∫ x n ln xdx 0 3 7.69. ∫ xarctgxdx 1 1 7.70. ∫ arcsin xdx 0 π 7.71. ∫ e x cos2 xdx 0 e 7.72. ∫ ln x dx 1 e e 7.73. ∫ ()x ln x 2 dx 0 3 x 7.74. arcsin dx ∫ 1+ x 0 2a x 2 − a 2 7.75. dx, a ≠ 0 ∫ 4 a x 1 xdx 7.76. ∫ 2 −1 x + x +1 1 ln()1+ x 7.77. dx ∫ 2 0 1+ x 98
96. π dx 7.78. ∫ a + bcos x 0 1 dx 7.79. , α ≠ kπ ,k ∈ Z ∫ 2 −1 x − 2x cosα +1 2 1 ⎛ 1 ⎞ x+ 7.80. ∫⎜1+ x − ⎟e x dx 1 ⎝ x ⎠ 2 1 ′ ⎛ 1 ⎞ 7.81. ⎜cosln ⎟ dx, n ∈ N ∫ ⎝ x ⎠ e−2nπ 7.82. Chứng minh rằng, nếu f (x) là hàm liên tục trên đoạn []a;b và tại các a + b điểm đối xứng với điểm x = nhận các giá trị bằng nhau, thì: 2 a+b b 2 ∫ f ()x dx = 2 ∫ f ()x dx a a b b 7.83. Chứng minh rằng ∫ f ()x dx = ∫ f (a + b − x )dx đối với mọi hàm số f ()x liên a a tục trên đoạn []a;b . b 1 7.84. CMR ∫ f ()()x dx = b − a ∫ f ()a + ()b − a x dx đối với mọi hàm số f ()x liên a 0 tục trên đoạn []a;b . 7.85. Đối với hàm f ()x liên tục trên [0;∞) , hãy chứng minh đẳng thức: 2 a 1 a x3 f ()x2 dx = xf ()x dx, a > 0 ∫ 2 ∫ 0 0 7.86. Chứng minh rằng, đối với hàm f (x) bất kỳ liên tục trên đoạn []0;1 , ta có các đẳng thức: π π 2 2 1. ∫ f ()sin x dx = ∫ f ()cos x dx 0 0 99
97. π π π 2. xf ()sin x dx = f ()sin x dx ∫ 2 ∫ 0 0 7.87. Chứng minh rằng, nếu f (x) là hàm liên tục trên đoạn [a;b] và đối với mọi t ∈[0;b − a] thoả mãn hệ thức f (a + t) = f (b − t), thì: b a + b b xf ()x dx = f ()x dx ∫ 2 ∫ a a 7.88. Chứng minh rằng, có một nguyên hàm của hàm chẵn là hàm lẻ, còn nguyên hàm bất kỳ của hàm lẻ là hàm chẵn. β d 7.89. Đối với hàm f ()x liên tục trên [a;b] hãy tìm f ()x + y dy , trong đó dx ∫ α 0 0,b > 0 ∫ 2 2 2 2 −π a sin x + b cos x 100
98. 2π dx 7.96. ∫ 4 4 0 sin x + cos x 7.97. Chứng minh rằng, nếu f (x) là hàm liên tục trên toàn bộ trục số, có chu kỳ T, thì với mọi số a ta có: a+T T ∫ f ()x dx = ∫ f ()x dx a 0 π π 2 2 n n 7.98. Gọi I n = ∫sin xdx, J n = ∫ cos xdx 0 0 1. Chứng minh In = Jn n −1 2. Chứng minh công thức truy hồi I = I n n n−2 3. Từ đó suy ra: π ⎧(n −1)!! 2 ⎪ nếu n là số lẻ n ⎪ n!! sin xdx = ⎨ ∫ ()n −1 !! π 0 ⎪ nếu n là số chẵn ⎩⎪ n!! 2 7.99. Chứng minh công thức truy hồi: π 4 1 I = tg n xdx = − I n ∫ n −1 n−2 0 Từ đó suy ra các công thức: m (−1)k −1 π I = ∑ + ()−1 m 2m 2m − ()2k −1 4 k =1 m−1 ()−1 k −1 ()−1 m−1 I2m−1 = ∑ + ln 2 k =1 2m − ()2k 2 7.100. Chứng minh rằng, nếu f (x) là hàm liên tục tuần hoàn trên toàn bộ trục x số, có chu kỳ T, thì hàm F()x = ∫ f ()t dt là tổng của hàm tuyến tính và x0 hàm tuần hoàn chu kỳ T. 101
99. 2 1 ⎡ ()2n !! ⎤ π 7.101. Chứng minh rằng lim ⎢ ⎥ = n→∞ 2n +1 ⎣()2n −1 !!⎦ 2 Chỉ dẫn: sử dụng kết quả bài 7.98. 7.102. Chứng minh các công thức π 1. ∫ sin n−1 x cos()n +1 x dx = 0 0 π 2. ∫ cosn−1 xsin()n +1 x dx = 0 0 7.103. Chứng minh các công thức a n ()2n !! 1. ()a2 − x2 dx = a2n+1 ∫ 2n +1 !! 0 () a 2n−1 2 ()2n −1 !!π 2. ()a 2 − x 2 dx = a 2n ∫ 2n !! 2 0 () Tính các tích phân sau (7.104 – 7.106) 2005 dx 7.104. ∫ 2 −2005 1+ x + 1+ x b 1+ a 2 − x2 7.105. dx ∫ 2 2 2 0 ()1+ a + x a x6dx 7.106. ∫ x −a 1+ a t tg 4 x ⎛ π ⎞ 7.107. Tính I()t = dx với t ∈⎜0; ⎟ , từ đó chứng minh: ∫ cos 2x 4 0 ⎝ ⎠ ⎛ π ⎞ ⎛ 2 ⎞ tg⎜t + ⎟ > exp⎜ (tg 2t + 3)tgt ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 100π sin x 7.108. Chứng minh dx > 0 ∫ x 2π 102
100. π 2n+1 4 ⎛ sin x − cos x ⎞ 7.109. Tính tích phân ⎜ ⎟ dx, n ∈ N ∫ sin x + cos x 0 ⎝ ⎠ c. Các ứng dụng của tích phân xác định Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng cong (7.110-7.124): 7.110. y = sin x, y = 0,0 ≤ x ≤ π 1 7.111. y = , y = 0, x = a, x = b, a > b > 0 x x2 3 7.112. y = , y = 2 − x 2 2 π 7.113. y = sin x, y = cos x,0 ≤ x ≤ 4 1 7.114. y = log x , y = 0, x = , x = a, a > 1 a a a2 7.115. y = , y = 2a, a > 0 a2 − x2 π 3π 7.116. y = sin3 x + cos3 x, y = 0, − ≤ x ≤ 4 4 7.117. y = arctg x, y + x2 = 0, x = 1 10 x2 + 5x + 4 7.118. y = , y = x2 + 4 x2 + 4 7.119. y = (x2 − 2x)ex , y = 0, x ≥ 0 2 7.120. y = x 3e−x , x = a, a > 0 1 7.121. x2 + y2 = 2, y2 = 2x −1, x ≥ 2 7.122. y = 2x−3 +1, y = 23−x +1, y = 1,5 x2 y2 9 9 7.123. + = 1, y = x2, y ≤ x2 4 9 32 32 7.124. y = ln()x + 6 , y = 3ln x, x = 0, y = 0 103
101. 7.125. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x1, x2 , nếu: 2 1. y = x + 4x + 9, x1 = −3, x2 = 0 2 2. y = 4x − x +1, x1 = 0, x2 = 3 7.126. Tìm diện tích hình phẳng hạn chế bởi các đ−ờng: a + a2 − y2 x = a ln − a2 − y2 , x = 0, y = y ,0 0 7.132. x = t2 − a2, y = t3 − a2t, a > 0 1 t 1− t2 7.133. x = , y = ( ) 1+ t2 1+ t2 7.134. x = a sin 2t, y = a sin t (a > 0) ⎛ 2 ⎞ 7.135. x = a⎜ t − sin t ⎟, y = a()1− cost , a > 0 ⎝ π ⎠ 104
102. Tìm diện tích của hình dẻ quạt với ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2,ϕ2 −ϕ1 ≤ 2π (7.136-7.138): a 7.136. r = ϕ (xoắn Aximet) 2π 7.137. rϕ = a (xoắn Hypebol) 7.138. r = Rekϕ (xoắn Logarit) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đ−ờng cong cho d−ới dạng ph−ơng trình toạ độ cực (7.139-7.144) 7.139. r = a cosϕ (đ−ờng tròn đ−ờng kính a) 7.140. r = a()1+ cosϕ (Cardioid) 7.141. r = b + a cosϕ, a ≥ b > 0 7.142. r2 = 2a2 cos 2ϕ (Lemnhixcat) 7.143. r2 = 2sin 2ϕ, r = 1, r ≥ 1 7.144. r2 = a2()1− 2cos 2ϕ , r = a, r ≤ a x2 y2 7.145. Tìm diện tích quạt cong hạn chế bởi cung Elip + = 1 với 2 mút a2 b2 A()0;b và M ()x0; y0 , x0 > 0, y0 > 0 và các đoạn thẳng OA và OM. 7.146. Tìm diện tích Elip Ax2 + 2Bxy + Cy2 = 1, A > 0, AC − B2 > 0 7.147. Tìm diện tích của tứ giác cong hạn chế bởi các cung của các Elip x2 y2 x2 y2 + = 1 và + = 1, a > b . a2 b2 b2 a2 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng cong (7.148-7.151): 7.148. x4 + y4 = a2 (x2 + y2 ) 2 7.149. (x2 + y2 ) = 2a2xy 7.150. x4 + y4 = ax2 y 2 7.151. (x2 + y2 ) = 2a2 (x2 − y2 ), x2 + y2 = a2 (x2 + y2 ≥ a2 ) 105
103. Tìm độ dài cung của đ−ờng cong (7.152-7.163): 3 7.152. y = 2x 2 , 0 ≤ x ≤ 11 2 7.153. x = ()y −1 3 , 0 ≤ x ≤ 2 3 3 7.154. x2 = 5y3, x2 + y2 ≤ 6 x 7.155. y = x +12, −11 ≤ x ≤ −3 6 ⎛ 1 5 ⎞ 3 ⎜ 3 1 3 ⎟ 7.156. y = ⎜ x − x ⎟, 1 ≤ x ≤ 8 2 ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠ 7.157. y = chx, 0 ≤ x ≤ a 7.158. y = sh2 x, x ≤ a x2 ln x 7.159. y = − , 1 ≤ x ≤ 3 2 4 π 2π 7.160. y = ln sin x, ≤ x ≤ 3 3 7.161. y = arcsin ex , − ln 7 ≤ x ≤ − ln 2 x 7.162. y = 2 − x2 , 0 ≤ x ≤ 1 4 9 7.163. y = 1− x2 + arcsin x, 0 ≤ x ≤ 16 7.164. Với những giá trị nào của các số hữu tỷ α,α ≠ 0 , độ dài cung của đ−ờng α cong y = αx , 0 < x0 ≤ x ≤ t là hàm số sơ cấp theo t. Chỉ dẫn: sử dụng tính chất của tích phân nhị thức (Đ6). Tìm độ dài cung của đ−ờng cong cho d−ới dạng ph−ơng trình tham số (7.165-7.170): 7.165. x = a cos3 t, y = a sin3 t,0 ≤ t ≤ 2π (Axtroit) c2 c2 7.166. x = cos3 t, y = sin3 t,0 ≤ t ≤ π ,c2 = a2 − b2 (Túc bế của Elip) a b 7.167. x = a()()t − sin t , y = a 1− cost ,0 ≤ t ≤ 2π (Xicloid) 106
104. 3 3 7.168. x = ch t, y = sh t,0 ≤ t ≤ t0 αϕ aϕ 7.169. x = ae cosϕ, y = ae sinϕ,0 ≤ ϕ ≤ ϕ0 1 7.170. x = t − sh2t, y = 2cht,0 ≤ t ≤ t 2 0 7.171. Giả sử f ()t là hàm khả vi liên tục ba lần trên (a;b). Tính độ dài cung của đ−ờng cong: x = f ′′()t cost + f ′ ()t sin t, y = f ′(t)cost − f ′′(t)sin t, a < t1 ≤ t ≤ t2 < b 7.172. Tính độ dài cung của đ−ờng cong: x = (t2 − 2)sin t + 2t cost, y = (t2 − 2)cost − 2t sin t,0 ≤ t ≤ π 7.173. Tính độ dài cung của đ−ờng cong: x = a()2cos 2t cost + sin 2t sin t , y = a(sin 2t cost − 2cos 2t sin t),0 ≤ t ≤ π 7.174. Tìm độ dài “nút” của đ−ờng cong: ⎛ 1 ⎞ 1. x = t2, y = t⎜ − t2 ⎟ ⎝ 3 ⎠ 2. x = 2t3(1− t2 ), y = 15t4 7.175. Tìm độ dài đ−ờng cong: t t 2 2 1. x = ∫ cosϕ dϕ, y = ∫sinϕ dϕ,0 ≤ t ≤ t0 0 0 t sinϕ t cosϕ 2. x = dϕ, y = dϕ,1 ≤ t ≤ t ∫ ϕ ∫ ϕ 0 1 1 7.176. Tìm đ−ờng thẳng y = const mà nó chia đoạn cung Xicloid x = a()t − sin t , y = a()1− cost ,0 ≤ t ≤ 2π thành ba cung có độ dài bằng nhau. Tìm độ dài cung của đ−ờng cong cho d−ới dạng ph−ơng trình toạ độ cực (7.177-7.184) 7.177. r = a sinϕ kϕ 7.178. r = ae ,ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 (xoắn Logarit) 7.179. r = a()1− cosϕ (Cardioid) 7.180. r = 2()1+ cosϕ , r ≤ 1 107
105. ⎛ϕ ⎞ 7.181. r = a cos3⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎛ϕ ⎞ 7.182. r = a sin4⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ 7.183. r = aϕ,0 ≤ ϕ ≤ ϕ0 7.184. r = aϕ 2,0 ≤ ϕ ≤ 4 7.185. Tìm đ−ờng cong mà độ dài cung từ điểm M0 đến điểm bất kỳ M trên đ−ờng cong tỷ lệ với hiệu OM − OM0 , trong đó O - điểm cố định cho tr−ớc trên mặt phẳng. 7.186. Tìm độ dài cung của đ−ờng cong 1. ()y − arcsin x 2 = 1− x2 2. x + y = a 2 2 ⎛ x ⎞ 3 ⎛ y ⎞ 3 3. ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1 ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ Tìm độ dài cung của các đ−ờng cong không gian (7.187-7.7.196): 7.187. x = a cost, y = a sin t, z = bt,0 ≤ t ≤ t0 7.188. x = at, y = a t sin t, z = a t cost,0 < t1 ≤ t ≤ t2 t −t 7.189. x = e , y = e , z = 2t,0 ≤ t ≤ t0 7.190. x = cos3 t, y = sin3 t, z = cos 2t,0 ≤ t ≤ 2π kϕ kϕ kϕ 7.191. x = ae cosϕ, y = ae sinϕ, z = be , z1 ≤ z ≤ z2 2 7.192. x = 2t, y = ln t, z = t ,0 < t1 ≤ t ≤ t2 at 2 7.193. x = at cost, y = at sin t, z = ,0 ≤ t ≤ t 2 0 a 7.194. x3 = 3a2 y, 2xz = a2, ≤ y ≤ 9a 3 7.195. x2 = 3y, 2xy = 9z,0 ≤ y ≤ 27 7.196. x2 = 9y,16xy = 9z2, z ≤ 12 108
106. 7.197. Tính thể tích vật tạo bởi hình trụ x2 + y2 = R2 và các mặt phẳng y = 0, x z x z z = 0, + −1 = 0, − +1 = 0 , H > 0, R > 0 R H R H Tìm thể tích vật tròn xoay do bản phẳng hạn chế bởi các đ−ờng cong quay xung quanh trục Ox (7.198-7.218): 7.198. y2 = 2 px, y = 0, x = a 7.199. xy = a2, y = 0, x = a, x = 2a 2 y ⎛ x ⎞ 3 7.200. = ⎜ ⎟ , y = 0, x = a ()x ≥ 0 b ⎝ a ⎠ π 7.201. y = sin 2x,0 ≤ x ≤ , y = 0 2 ⎛ x ⎞ 7.202. y = ach⎜ ⎟, y = 0, x = 0, x = b ⎝ a ⎠ 7.203. y = sin x (0 ≤ x ≤ π 2 ), y = 0 1 π 7.204. y = , y = 0, x = 0, x = cos x 6 −1 7.205. y = (a2 + x2 ) , y = 0, x = 0, x = a x2 −1 7.206. y = , −1 ≤ x ≤ 1, y = 0 x − 3 π 7.207. y = sin x, y = cos x, y = 0,0 ≤ x ≤ 2 x2 y2 y2 7.208. + = 2, x2 − = 1, x ≥ 0 25 9 15 x 7.209. y = 2 , y = 2 − log2 x, x = 0, y = 0 x2 y2 7.210. + = 1 a2 b2 x2 y2 7.211. − = 1, x = a + h a2 b2 109
107. 7.212. ()()x − R 2 + y − R 2 = R2, x = 0, y = 0 (x ≤ R, y ≤ R ) 2 ⎛ a ⎞ a 7.213. y2()x − a = x3 (2a − x )⎜0 ≤ x ≤ ⎟, x = ⎝ 2 ⎠ 2 7.214. ()x − 4 y2 = x ()x − 3 7.215. x2 y2 = ()x + a 2 (4a2 − x2 ) 7.216. y = sin2 x, y = xsin x,0 ≤ x ≤ π x 7.217. y = x , y = x()2a − x 2a − x 7.218. x2 − xy + y2 = a2 7.219. Chứng minh rằng, nếu y = y(x) là hàm (đơn trị) khả vi liên tục, y()x ≥ 0 trên []a;b ,0 ≤ a ≤ b thì thể tích vật tròn xoay do bản phẳng xác định bởi a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ y()x quay quanh trục Oy là: b V = 2π ∫ xy()x dx a Tính thể tích vật tròn xoay do hình phẳng hạn chế bởi các đ−ờng cong quanh quanh trục Oy (7.220-7.224): 2 7.220. y = ex , y = 0, x = 0, x = 1 π 7.221. y = tgx2, y = 0, y = 3 7.222. y = sin x, y = 0, 2nπ ≤ x ≤ 2nπ + π , n ∈N 7.223. y = cos x2 ()0 ≤ x ≤ 1 , y = 1, x = 1 7.224. y2()2a − x = x3, y = a, x = 0 Tìm thể tích vật tròn xoay do các hình phẳng tạo bởi các đ−ờng cong quay quanh: a) trục Ox, b) trục Oy (7.225-7.234): 7.225. y = ()()x − a y − b , y = 0,b > a ≥ 0 7.226. y = sin x, y = 0,0 ≤ x ≤ π 7.227. y = arcsin x, y = 0, x = 1 110
108. a3 7.228. y = , y = 0, x = 0, x = a (a2 + x2 ) 3 + 3x 7.229. y = x ()0 ≤ x ≤ 2 , y = 6, x = 0 3 − x 7.230. 2 py = x2, y = x 7.231. y = ex + 6, y = e2x, x = 0 7.232. y = x, y = x + sin2 x,0 ≤ x ≤ π x2 y2 7.233. + = 1 a2 b2 2 2 ⎛ x ⎞ 3 ⎛ y ⎞ 3 7.234. ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1 ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ Tìm thể tích vật tròn xoay do hình phẳng tạo bởi các đ−ờng cong π 7.235. y = arcsin x, x = 1, y = − 2 π 1. quay quanh đ−ờng thẳng y = 2 2. quay quanh đ−ờng thẳng x =1 7.236. y = x, y = x + sin2 x,0 ≤ x ≤ π , quay quanh đ−ờng thẳng y = x . 3p 7.237. 2 py = x2, y − x = 2 1. quay quanh đ−ờng thẳng y = 0 2. quay quanh đ−ờng thẳng x = 0 3p 3. quay quanh đ−ờng thẳng y − x = 2 7.238. Giả sử r = r()ϕ là hàm liên tục trên [α;β ],0 ≤ α < β ≤ π . Chứng minh rằng thể tích vật tròn xoay do phần hình quạt α ≤ ϕ ≤ β,0 ≤ r ≤ r()ϕ quay quanh trục cực Ox , bằng: β 2π V = r 3 ()ϕ sinϕ dϕ 3 ∫ α 111
109. Tính thể tích vật tròn xoay do phần hình quạt xác định bởi các bất đẳng thức trong hệ trục toạ độ cực quay quanh trục cực (7.239 – 7.244) 7.239. π r3 ≤ ϕ ≤ π 7.240. 0 ≤ r ≤ a cos2 ϕ 7.241. 0 ≤ r ≤ 2a sinϕ 7.242. 0 ≤ r ≤ a()1+ cosϕ 7.243. 0 ≤ r ≤ a sin 2ϕ 3a cos 2ϕ π 3π 7.244. 0 ≤ r ≤ − , ≤ ϕ ≤ ()2 + cos 2ϕ sinϕ 4 4 7.245. Tính thể tích vật tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đ−ờng cong 2 (x2 + y2 ) = a2 (x2 − y2 ) quay xung quanh đ−ờng thẳng y = x . Tính thể tích của vật giới hạn bởi các mặt cong (7.246-7.251): x2 y2 7.246. + = 1, z = H a2 b2 z x2 y2 7.247. 2 = + , z = H c a2 b2 x2 y2 z2 7.248. + + = 1 a2 b2 c2 7.249. x2 + y2 = ax, x = z x2 z2 y2 z2 7.250. + = 1, + = 1 a2 c2 b2 c2 7.251. by = x()a − z ,by = x ()z − a , z = 0, x = b Tìm diện tích mặt tròn xoay do đ−ờng cong quay quanh trục Ox (7.252-7.258): 5 21 7.252. y = x, ≤ x ≤ 4 4 7.253. y = x3,0 ≤ x ≤ 1 7.254. y = sin x,0 ≤ x ≤ π 112
110. 7.255. y2 = 4x,0 ≤ x ≤ 3 a + a2 − y2 7.256. x = a ln − a2 − y2 , 0 0 quay quanh: 1. đ−ờng thẳng y = x 2. đ−ờng thẳng x + y = a 7.264. Tìm diện tích mặt tròn xoay do Lemnhixcat r2 = 2a2 cos 2ϕ quay quanh: 1. trục cực π 2. tia ϕ = 2 π 3. tia ϕ = 4 113
111. Đ 8. Tích phân suy rộng I. Tóm tắt lý thuyết a. Tích phân suy rộng cận hữu hạn, vô hạn Giả sử f ()x là hàm khả tích trên [a; B] bất kỳ, với mọi a ≤ B < b , trong đó b có thể là ∞ . Nếu b hữu hạn thì giả thiết thêm f (x) không giới nội trong lân cận trái của b, tức là: lim f (x) = ∞ ( hoặc − ∞) x→b−0 B Nếu tồn tại I = lim f ()x dx thì nói f (x) khả tích suy rộng trên [a;b) , còn B→b ∫ a I đ−ợc gọi là tích phân suy rộng của hàm f (x) trên [a;b) . Trong tr−ờng hợp này b ng−ời ta còn nói tích phân suy rộng ∫ f ()x dx hội tụ. Tr−ờng hợp ng−ợc lại ng−ời a b ta nói tích phân suy rộng ∫ f ()x dx phân kỳ. a Hoàn toàn t−ơng tự định nghĩa tích phân suy rộng trên (a;b] (a có thể là − ∞ ). ∞ Khi b = ∞ , tích phân suy rộng ∫ f ()x dx đ−ợc gọi là tích phân suy rộng loại a một. Khi b hữu hạn ( f ()x là hàm không giới nội trong mọi lân cận trái của b) thì b tích phân suy rộng ∫ f ()x dx đ−ợc gọi là tích phân suy rộng loại hai. Để tránh a cồng kềnh và lặp lại các lý luận của hai loại tích phân này chúng ta đã gộp lại và xét chúng trong một lập luận thống nhất. Nếu f ()x khả tích (cả theo nghĩa tích phân suy rộng) trên các khoảng ()()()a;c1 , c1;c2 ,Κ , cn ;b thì theo định nghĩa, ta đặt 114
112. b c1 c2 b ∫ f ()x dx = ∫ f ()x dx + ∫ f ()x dx +Κ + ∫ f ()x dx a a c1 cn Từ tiêu chuẩn Cauchy giới hạn hàm số (Đ1) ta có tiêu chuẩn Cauchy cho hội tụ tích phân suy rộng sau: Với mọi ε > 0 tồn tại B trong khoảng [a;b) sao cho với mọi b′ và b′′ trong b′′ khoảng ()B;b ta đều có ∫ f ()x dx 0 ∃B ∈[a;b) ∀b′∀b′′⎜b′ ∈ ()B;b ∧ b′′∈ ()B;b ⇒ f ()x dx B và đặt B1 = nπ , B2 = 2nπ . Khi đó ta có: B 2sin 2 x 2nπ sin 2 x 2nπ sin 2 x 1 2nπ dx = dx ≥ dx ≥ sin 2 xdx ∫ xα ∫ xα ∫ x 2nπ ∫ B1 nπ nπ nπ 1 2nπ 1− cos 2x 1 nπ 1 = dx = = 2nπ ∫ 2 2nπ 2 4 nπ 1 Nh− vậy, ta đã chọn đ−ợc ε = để với mọi B >1 tồn tại 0 4 B 2sin 2 x B1 = nπ > B, B2 = 2nπ > B nh−ng dx ≥ ε 0 ∫ xα B1 Theo tiêu chuẩn Cauchy, tích phân đã cho phân kỳ. Ví dụ 2: Nghiên cứu sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại một: +∞ dx I = , ()a > 0 ∫ λ a x A dx x−λ+1 1 Giải: Ta có: = = ()A−λ+1 − a −λ+1 ∫ λ − λ +1 1− λ a x 115
113. Do A >1(A → ∞) nên giới hạn sau cùng tồn tại khi và chỉ khi − λ +1 1. Nh− vậy là tích phân suy rộng hội tụ khi λ >1, phân kỳ khi ∫ λ a x λ ≤ 1. Ví dụ 3: Nghiên cứu sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại hai: a dx , ()a > 0 ∫ λ 0 x a dx 1 Giải: T−ơng tự nh− ví dụ 1, ta có: = []a −λ+1 − ε −λ+1 ∫ λ 1− λ ε x Do 0 0 hay a dx λ < 1, tức là tích phân suy rộng hội tụ khi λ < 1, phân lỳ khi λ ≥1. ∫ λ 0 x Công thức Newton-Leibniz: Nếu f ()x , x ∈[a;b) liên tục và F(x), x ∈[a;b) là một nguyên hàm nào đó của f ()x , thì: b b ∫ f ()x dx = F ()x = F()b − F ()a (8.1) a a trong đó, khi b hữu hạn ta hiểu: F(b) = F(b − 0) = lim F(B), B→b B<b khi b = ∞ thì F()b = F (∞ )= lim F(B) B→∞ T−ơng tự nh− tích phân xác định, với sự thay đổi hợp lý, ta cũng có các công thức đổi biến và tích phân từng phần trong tích phân suy rộng sau: b β ∫ f ()x dx = ∫ f ()()ϕ ()t ϕ′ t dt (8.2) a α trong đó f ()x là hàm liên tục trên [a;b) , ϕ(t) khả vi liên tục trên [α; β ) và a = ϕ(α )≤ ϕ ()t ≤ ϕ ()t = b , tất nhiên đ−ợc hiểu ϕ(t) = b khi b hữu hạn và t→β −0 lim ϕ()t = ∞ nếu b = ∞ t→β −0 116