Bài tập Cơ học: Động lực học - Trương Tích Thiện

173 trang phuongnguyen 80

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Cơ học: Động lực học - Trương Tích Thiện", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_tap_co_hoc_dong_luc_hoc_truong_tich_thien.pdf

Nội dung text: Bài tập Cơ học: Động lực học - Trương Tích Thiện

BÀI TẬP CƠ HỌC Tập Hai: ĐỘNG LỰC HỌC • • GVHD: PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN
Chương I: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐiỂM BÀI TẬP 1.2: trang 31 (SGK) Một xe goòng có khối lượng là 700 kg đang chạy xuống dốc dọc theo đưòng ray thẳng và nghiêng với mặt ngang một góc 150. Để giữ cho xe chạy đều, ta dùng dây cáp song song với mặt dốc. Vận tốc chạy đều của xe là 1,6 m/s. Xác định lực căng của dây cáp lúc xe chạy đều và lúc nó bị hãm dừng lại trong 4 giây. Hệ số cản chuyển động tổng cộng là f = 0,015 và lúc cản ta coi rằng xe chạy chậm dần đều.
y N T x v Fc 150 P hình 1.2 Dùng tiên đề 2 động lực học điểm: 4 m.a  Fk P TN Fc 1 k 1
Trường hợp 1: Xe chuyển động thẳng đều nên a 0 Tiên đề 2 trở thành: 0 P T NF c 2 Chiếu phương trình (2) lên trục y. 0 P cos N N P.cos m .g .cos Ta có: Fc f. N f . m . g .cos Chiếu (2) lên trục x: 0 PF .sin T c T P.sin Fc m . g .sin f . m . g .cos
T m. g . sin f .cos 700.9,81 sin15 0,15.cos15 1677,8 N Trường hợp 2: Xe chuyển động thẳng chậm dần đều a const v1 a. t v 0 Ta có: v1 0 m s ; t 4 s v0 1,6 m s v 1,6 a 0 0,4 m s2 0 t 4
Chiếu (1) lên trục x,y: m. a P .sin T Fc 0 P .cos N Fc f. N f . m . g .cos T m. a P .sin Fc m. a g sin f .cos 700 0,4 9,81 sin15 0,015.cos15 1957,8 N
Bài tập 1: Cho: k,,,0 m x 0. Bỏ qua lực cản của không khí và khối lượng lò xo. Xác định qui luật chuyển động của vật A. k  0 O t A x0 P x hình 1
Bài sửa Chọn trục Ox có gốc tại vị trí cân bằng của vật A, có phương thẳng đứng và chiều dương hướng xuống. Xác định luợng giãn lò xo khi hệ cân bằng (độ giãn tĩnh)  FP F 0 1 Fs  jx s Fs P m. g Mà: F k.  s t P F m. g  s hình 1.1 t k k Chọn t 0 s lúc đó lò xo bị giãn thêm một lượng x 0 : v0 0 m s x 0 x t 0 x0
Khảo sát chuyển động của vật A tại một vị trí bất kỳ: Áp dụng tiên đề 2 động lực học: 2 m. a  Fk P F S 2 k 1 Chiếu (2) lên trục Ox: m  x P Fs m g k  m  x m g k t x k x m. x k . x 0 x 2. x 0 3 k Với: m
Dạng nghiệm tổng quát: x A.sin t 0 A và 0 được tìm từ các điều kiện ban đầu: x x A.sin t 0s : 0 0 x0 A. .cos t 0 t 0 A. .cos 0 0 cos 0 0 0 2 A x0 Vậy vật dao động điều hoà: x x0.sin t 2
Bài 1.5 trang 31 Một ô tô chở hàng có khối lượng là 6 tấn chạy xuống một chiếc phà với tốc độ là 21,6 km/giờ. Từ lúc xuống phà đến lúc dừng hẳn xe phải chạy thêm một quãng đường là 10 m, cho rằng khi ấy ôtô chuyển động chậm dần đều. Tính lực căng mỗi dây cáp (có hai dây cáp) buộc giữ phà, coi rằng dây cáp luôn luôn căng. a v 2T P s 10 m hình 1.5
Bài sửa Khảo sát chuyển động của xe: a v 1 y 1 N1 x F ms P hình 1.5.1 Sử dụng tiên đề 2 động lực học:    m1 a 1 P N1 Fms 1 Chiếu (1) lên x , y :
m1 a1 Fms 2 0 P N1 3 3 NP1 2 2 Ta có: v v0 2 a 1 s 0 36 2a1 .10 2 a1 1,8 m s 0 Thay a 1,8 m s2 vào 2 : Fmst m1 a 1 6000.1,8 10800 N Khảo sát sự cân bằng của phà:
 N y  1 N 2.T Fms x  Q hình 1.5.2 *  FTFjx 2 mst 0 5 F * 10800 TN mst 5400 2 2
Chương II: ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ. Bài tập 2. Cho 1 thanh thẳng, mảnh, đồng chất tiết diện đều AB. Khối lượng của toàn thanh là m, chiều dài . Thanh AB cắt trục z tại điểm gốc O và hợp trục z một góc như hình vẽ. Cho biết: m ,,,,.  OA a OB b Hãy xác định moment quán tính của thanh AB đối với trục x, y,z và tâm O (thanh AB nằm trong mặt phẳng Oyz). z B z B u du dkz K y dky O O u y x x A A Hình II.2a Hình II.2b
Bài sửa Dựng hệ trục Oxyz sao cho thanh nằm trong Oyz. Dựng trục Ou có phương trùng AB và có chiều như hình vẽ. Khối lượng riêng của thanh: m , kg m  Khảo sát một chất điểm K trên thanh: dkz u.sin Chiều dài: du d u.cos Khối lượng điểm K: m . du ky k dkx u Moment quán tính của toàn thanh đối với trục z : b b J m. d2 . du . u 2 .sin 2 sin 2 u 2 du z k k z k 1 a a
3 m2 ub m 2 3 3 Jz sin . sin b a 3 a 3  m sin2 a b a 2 ab b 2 3 m a2 ab b 2 sin 2 3 Moment quán tính của toàn thanh đối với trục y: b J m. d2 . du . u 2 .cos 2 y  k ky k 1 a b cos2 u 2 du a
3 m2 ub m 2 3 3 Jy cos . cos b a 3 a 3  m cos2 a b a 2 ab b 2 3 m a2 ab b 2 cos 2 3 Moment quán tính của toàn thanh đối với trục x: b b J m d2 du u 2 u 2 du x  k kx k 1 a a 3 b u 3 3 2 2 b a 3 ( a b )( a ab b ) 3 a 3 m ()a2 ab b 2 3
Moment quán tính của toàn thanh đối với tâm O: 1 m 2 2 JO Jx J y Jz a ab b 2 3 Vậy: JO = Jx .
Bài tập 3. Cho một cơ hệ gồm 2 vật rắn có dạng hình lăng trụ tiết diện tam giác vuông đặt chồng lên nhau với vị trí ban đầu như hình vẽ. Tiết diện của 2 vật là 2 tam giác vuông đồng dạng. Khối lượng của 2 vật lần lượt là mA, mB. Vật B tựa không ma sát trên mặt nghiêng của mặt A. Vật A tựa không ma sát đối với mặt ngang cố định. Các cạnh của 2 vật song song với bề mặt cố định là a, b (a > b). Ban đầu toàn hệ đứng yên. Hãy xác định đoạn đường chuyển động của vật A khi vật B trượt hết mặt nghiêng của vật A (lúc B vừa chạm đất).
b B A a b Hình II.3
Bài sửa y b x 0 CB C0 B N 0 CA C A CB O x 0 x CA PB b a P 3 a / 3 A sA x CA x CB Hình II.3.1
Dựng hệ trục Oxy như hình vẽ. Gọi: Khối tâm của vật A, vật B và toàn hệ: CA, CB, C Đoạn đường chuyển động của vật A khi B chạm mặt phẳng cố định: sA Tọa độ x của các khối tâm: x;;; x x x 0 0 CCAB CCAB Ta có: a 2 x= ; x = b ; CC0 0 AB3 3 a b x= s ; x = s a CACAAB3 3
Ban đầu toàn hệ đứng yên. x = 0 m C0 A s v 0 = 0 CA m y 0 = 0 CA s x = 0 m C0 B s v 0 = 0 CB m y 0 = 0 CB s Khảo sát chuyển động toàn hệ (2 vật). Hệ ngoại lực tác động lên hệ: PPNAB;;
Dùng định lý chuyển động khối tâm. 3 e M. aC = F j = P A P B N ; 1 j=1 Chiếu (1) lên trục x: M. x = 0 x = 0 m CC s2 x C = const x= x  C C0 Theo định nghĩa khối tâm hệ, ta có:
2 m. x  k k m x m x  k=1 ACBCAB x C = = M mAB m do đó : m x m x  m x m x  ABCC0 0 ACBCABAB= = 0 mABAB m m m x C = 0 x =const = x C C0 m .x m . x m. x m. x ABCC0 0 A CBCAB = AB mAB m mA mB
m.x m .x = m .x m .x ABACA CB 0 B 0 CA CB a b a 2 m. s m .s a = m . m . b ABB A A A 3 3 3 3 mB sA = b a 0 mAB m Vì sA < 0 nên vật A chuyển động về phía bên trái.
Bài tập 4. Cho con lăn O là vành tròn, đồng chất, bán kinh r lăn không trượt lên mặt phẳng nghiêng một góc cố định như hình vẽ. Trọng lượng của con lăn P và hệ số trượt tĩnh giữa con lăn O và mặt phẳng ngang cố định là ft, bỏ qua ma sát lăn. Cho P, M = const, r, , ft. Hệ ban đầu đứng yên. a. Phân tích chuyển động của vành và của tâm O vành. Thiết lập các mối quan hệ động học giữa các đặc trưng chuyển động của toàn vật với các đặc trưng chuyển động của tâm O vật. b. Xác định gia tốc góc của con lăn O dưới dạng hàm của r, , M , và P. Tìm điều kiện của moment M để con lăn O lăn lên. c. Xác định phản lực tại tiếp điểm A. d. Tìm điều kiện của ft để con lăn O lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng cố định.
M r  O  P A Hình II.4
Bài giải y  M 0 v N s 0 r 0 O  a x R 0  qt P Fmst qt A MO Hình II.4.1
a. Phân tích chuyển động. Của vành: vành lăn không trượt, nhanh dần, lên trên mặt nghiêng cố định. Đây là 1 dạng chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời P là điểm tiếp xúc A. Của tâm O: chuyển động thẳng theo phương của mặt nghiêng, nhanh dần, hướng lên. Quan hệ động học. Do vành lăn không trượt nên ta có các quan hệ sau đây: s v a 0  0 0  0 0 r r r Với là góc quay,  là vận tốc góc,  là gia tốc góc của vành.
b. Tính động năng hệ hê 12 1 2 T m v J  20 2 O P m g 2P 2 Vôùi JO mr. r do vaät laø vaønh g v r. 0 hê 1PPP2 2 1 2 2 2 2 T r r  r  2g 2 g g
Tính tổng công các tải AAPANAFA mst M Vôùi:A NN 0, (vì vuoâng goùc vôùi be àmaët tieáp xuùc vaø vì ñieåm A co áñònh) s0 AFmst 0 h0 A MM . O Hình II.4.2 A P P. h0 P . r .sin . Vì h0 s 0.sin r . .sin  A M- P.r.sin .
Áp dụng định lý biến thiên động năng: hê hê TT  A 1 0  ban ñaàu heä ñöùng yeân hê T0 = 0 P .r2 . 2 M P . r .sin . g Đạo hàm 2 vế theo thời gian t: P .r2 2. . M P . r .sin .  g
M- P.r.sin  g 2.P . r 2 M P. r .sin a  r g 0 2.P . r Điều kiện của M để vành lăn lên:  0 M P . r .sin 0 chieàu ñaõ choïn laø ñuùng M P. r .sin
c. Sử dụng nguyên lý D’Alembert. Tác động thêm lên vành 2 thành phần cơ bản của hệ lực quán tính đặt tại O. Vector chính của hệ lực quán tính. R qt m. a O R  a qt O P M Pr. .sin R qt m a O g g 2P .r M P. r .sin R qt 2r
Moment chính của hệ lực quán tính đối với tâm O. qt MJOO . Mqt   O qt P 2 M Pr. .sin MOO J  r 2 g g 2P .r 1 Mqt M- P.r.sin O 2 Khảo sát sự cân bằng của vành:
FPRFjx .sin qt mst 0 1 FNPjy cos 0 2 Giải hệ (1), (2) ta thu được: NP .cos 3 FPRmst .sin qt M P. r .sin P.sin 2r M + P.r.sin F 4 mst 2r
d. Điều kiện để vành lăn không trượt: Fmst F msgh f t . N 5 Thay (3), (4) vào 2 vế của (5) ta nhận được: M P. r .sin f. P .cos 2r t M P. r .sin f t 2P . r .cos
Bài tập 5. Cho 1 cơ hệ gồm 2 vật có khối lượng M1 và M2 có liên kết và chịu tải như hình vẽ. Hệ số ma sát trượt tĩnh giữa 2 vật là ft, bỏ qua ma sát giữa vật có khối lượng M2 với sàn cố định. Ban đầu khi chưa chịu tác dụng của hệ lực F hệ cân bằng. Tìm điều kiện của giá trị lực F để hai vật cùng chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương ngang như nhau (không trượt đối với nhau). M ft 1 M2 F Hình II.5
Bài giải Gọi C1, C2, C lần lượt là khối tâm của vật 1, vật 2 và của toàn hệ. Gọi a,, a a lần lượt là gia tốc của C , C , C. CCC1 2 1 2 Vì vật 1 không bị trượt đối với vật 2 nên: a a a a N CCC1 2 Khảo sát chuyển c M1 ft 1 động của toàn hệ. a P c y 1 c Hệ ngoại lực tác 2 M2 F động lên hệ: x P P ,,,P F N 2 1 2 O Hình II.5.1
Dùng định lý chuyển động khối tâm cho hệ. 4 e Ma.c  F j P1 P 2 F N 1 j 1 Chiếu (1) lên trục x: FF Ma. F a 2 MMM1 2 Ta khảo sát chuyển động của vật 1 (có lợi hơn khảo sát vật 2 vì vật 1 có ít ngoại lực tác động hơn so với vật 2). Hệ ngoại lực tác động lên vật 1: N1 M1 P ,,F N y 1 mst 1 a c1 Dùng định lý chuyển x động khối tâm cho vật 1: O F P1 mst Hình II.5.2
3 M. a Fe P F N 3 1C1  j 1 mst 1 j 1 Chiếu (3) lên 2 trục x,y: Ox: M1 . a Fmst 4 Oy: 0 P1 N 1 5 Thay (2) vào (4), ta có: M1 FFmst . 6 MM1 2 Từ (5) ta tính đựơc: N1 P 1 M 1. g 7
Điều kiện để vật (1) không trượt trên vật (2): Fmst F msgh f t . N1 8 Thay (6), (7) vào (8): M1 F ft M1 g MM1 2 F ft M1 M 2 . g
Bài tập 6. Cho một đĩa tròn,đặc, đồng chất có bán kính R và khối lượng m, bị đẩy lăn không trượt trên mặt nghiêng với vận tốc ban đầu của tâm A đĩa ở chân dốc 0 là vA. Biết mặt nghiêng cố định nghiêng một góc đối với phương ngang và chiều dài mặt nghiêng là . Cho 0 biết: bán kính R,m,,,,,. vA f t fđ  a) Hãy phân tích chuyển động của đĩa và tâm A đĩa. Tìm mối quan hệ động học giữa chuyển động của đĩa và tâm A đĩa. b) Tính động năng cho đĩa và tổng công tác động lên đĩa. c) Tính vận tốc và gia tốc của tâm A đĩa. Cho nhận xét hai kết quả này. 0 d) Tìm điều kiện về giá trị vA để đĩa có thể lăn lên được hết dốc. e) Xác định các thành phần phản lực tại điểm tiếp xúc I. f) Tìm điều kiện của góc nghiêng để đĩa lăn không trượt trên mặt nghiêng.
g. Cho tg 3 f t : g1. phân tích lại chuyển động của đĩa. Xác địnhdofhê và chọn các tọa độ suy rộng.  g2. xác định các lực suy rộng tương ứng g3. thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ. ,  sAA, v R A I  Hình II.6
Bài sửa lA Rqt y x sAA, v ,  N AA F (vì vật lăn không trượt) qt a A mst M A A I  A P Hình II.6.1 a). Phân tích chuyển động của đĩa:
Đĩa chuyển động lăn không trượt trên mặt nghiêng cố định. Đây là trường hợp đặc biệt của chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời là điểm tiếp xúc I. Phân tích chuyển động của khối tâm A đĩa: tâm A đĩa chuyển động thẳng với quỹ đạo là đường thẳng  A song song với mặt nghiêng cố định và cách mặt nghiêng ấy một khoảng bằng bán kính đĩa. Do đó: vAAAA  ; a   Quan hệ động học giữa chuyển động của đĩa và chuyển động của tâm A đĩa khi đĩa lăn không trượt: s v a A  A  A A R A R A R
b. Động năng của hệ: hê 12 1 2 T m v J  2AAAA 2 2 1PP2 1 1 2 vA vA R 2 2g 2 2 g R 3 P v2 4 g A Tổng công các tải:  AAPAFAN mst AF mst 0 : vì vật không trượt. AN 0 : vì vuông góc và điểm I đứng yên tức thời.
độ cao hướng  A A P P. hAA P .sin s ; lên công âm c. Vận tốc của tâm A: Dùng định lý biến thiên động năng: hê hê TTA1 0   3PP 3 2 v2 v 0 Psin s  4gAAA 4 g  const 2 0 4 vAAA v g.sin s  3 Đạo hàm 2 vế  theo thời gian t:
3 1 2v a sin v 4 g AAA 2a 2.g .sin a g.sin 0  A 0 AA3RR 3. Tâm A chuyển động thẳng, chậm dần và đĩa lăn chậm dần. O d. Điều kiện tối thiểu của vA để đĩa lăn hết dốc: v 0 m / s tai s  AA 2 4 v0 g.sin . 0 A 3 2 3 2 3 v0 g. .sin v 0 g .  .sin AA3 3 e. Xác định các thành phần phản lực:
Theo nguyên lý D’Alembert, ta sẽ bổ sung vào đĩa hai thành phần cơ bản của hệ lực quán tính: R qt qt M A thì đĩa sẽ ở trong trạng thái cân bằng. Rqt m A. a A 2 R m. a . P .sin ; (do tính độ lớn nên bỏ (-)) qt A A 3 qt MJAAA . qt 1PP2 aA 12 1 MRPRA R g.sin . .sin 2g R 2 g 3 3 Viết các phương trình cân bằng:
 FPRjx .sin Fmst qt 0   FPjy .cos N 0  Giải hệ , : NP .cos  FPRmst .sin qt 2 PP.sin .sin 3 1 FP .sin 0  mst 3 f. Điều kiện của để đĩa lăn không trượt: Fms t Fmsgh f t .N 
Thay , vào : 1 P.sin f . P .cos 3 t tan 3 ft g. g1. Do tg 3 ft nên đĩa vừa lăn vừa trượt trên dốc. Đây cũng là trường hợp đặc biệt của chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời không phải là điểm tiếp xúc I. Bậc tự do của hệ: dofhË 2 Chọn 2 tọa độ suy rộng: x , . (hình 3.1)
x A N I F msđ P Hình II.6.2 g2. Xác định lực suy rộng QQ 1  x tương ứng với tọa độ suy rộng q 1  x : Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:  q1  x 0, q2   0
(đĩa chỉ trượt mà không lăn vì  0 ) Tổng công khả dĩ của các tải: AAPAF   msđ  A N ; N 0 P  h Fmsđ  x P.sin .  x fđ N .  x P.sin fđ P .cos  x A P sin fđ .cos  x  x  h A Hình II.6.3
 x 0 N  0 A N 0 : vì khi chiếu lên I phương trượt F phương của lực msđ P nâng N vuông góc so với phương trượt. Hình II.6.4 Lực suy rộng:  A QQ  sin f cos P 1 x  x đ sin fđ cos M . g
Xác định lực suy rộng QQ 2  tương ứng với tọa độ suy rộng q2  Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: q1  x 0 ,  q 2   0 (đĩa quay quanh tâm A cố định hay đĩa trượt không lăn) Tổng công khả dĩ của các tải:  AAF  APAN  msđ  Fmsđ  s I fđ N r  A fđ . P . r .cos .  Lực suy rộng:  A Q Q  f. P . r .cos 2  đ
 x 0 N  0 A sI r.  F msđ P Hình II.6.5 Q2  Q fđ . M . g . r .cos g3. Dùng phương trình Lagrange 2: d  T  T Qi , i 1,2 dt  qi  q i
Xác định động năng hệ: hê 12 1 2 T M. v J  2AA 2 12 1 1 2 2 M x M r 2 2 2 TT  0 (không có x chỉ có đạo hàm của x) q1  x d  T d  T  M. x dt  q1 dt  x  TT   0 (không có ) q2 
d  T d  T 1 2  M r  dt  q2 dt   2 Do đó: MM.x sin f cos . g đ 1 2 MM.r .  fđ .r .cos . g 2 x sin f cos g đ 2fđ cos . g  r
Bài tập 7. Cho cơ hệ như hình vẽ. Biết bán kính r, P, M = const, Q, ròng rọc là vành tròn đồng chất. Dây mềm, nhẹ, không giãn, không trượt trên ròng rọc, luôn căng. Ban đầu hệ đứng yên. a) Hãy phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ. Thiết lập quan hệ động học giữa các vật. b) Xác định động năng cho toàn hệ và tổng công của các tải tác động lên hệ. c) Xác định gia tốc của vật A và gia tốc góc của ròng rọc B. d) Tính lực căng dây nối vật A. e) Tìm điều kiện của moment M để nhánh dây nối vật A bị chùng. Xác định lại gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc B.
M r B BBB,,   Q A sAAA,, v a P Hình II.7 a) Phân tích chuyển động: Vật A: chuyển động tịnh tiến thẳng đứng, nhanh dần, có chiều hướng xuống.
Ròng rọc B: chuyển động quay nhanh dần, cùng chiều kim đồng hồ quanh trục vuông góc với mặt phẳng hình vẽ và đi qua tâm B cố định (tâm B cố định). Thiết lập quan hệ động học giữa các vật: sAB r. vAB r. aAB r. b). Động năng của hệ: hê A B TTT 1 P Vật A chuyển động tịnh tiến: T v2 AA2 g 1 Vật B chuyển động quay: TJ  2 BBB2
(JB là moment quán tính của vật B đối với trục cố định thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ qua B) Q J r 2 B g hê 1PQ2 1 2 2 T v r  2gAB 2 g 12 2 1 2 P vAAA Q v P Q v 2g 2 g Tổng công các tải:  AAAP ()()M M Với: A();MM. s A() P Ph Ps B r A AA
M  A P sA r c). Gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc B: Áp dụng định lý biến thiên động năng: hê hê TTA1 0   1 2 M P Q vAA P s 2g r Đạo hàm 2 vế 1 M theo t: P Q 2 vAAA . a P v 2g r M P a r . g 0 A PQ
Gia tốc góc của ròng rọc: M P a  A r g B r P Q r d) Xác định lực căng dây. Áp dụng nguyên lý D’Alembert khảo sát sự cân bằng của vật A: A A Rqt m A. a A y Rqt TA MM PP A P RA r g P r qt g P Q P Q P a A Hình II.7.1
Sau khi bổ sung A vào thì vật A cân bằng. Rqt A Phương trình cân bằng: RTPqt A A 0 A Chiếu lên trục y:  FTRPjy A qt 0 M P A r TPRPPA qt PQ M Q r TPA PQ
e) Điều kiện để dây không bị chùng (dây căng): M T 0 Q 0 M Q . r A r Vậy điều kiện để dây bị chùng: M Q. r Khi dây bị chùng: Gia tốc vật A: aA g Gia tốc góc ròng rọc B: M  g B Q. r 2
Bài tập 8. Cho cơ hệ đứng yên ở thời điểm ban đầu như hình vẽ. Ròng rọc B là một đĩa tròn, đặc và đồng chất. Hệ số ma sát trượt tĩnh và động giữa vật A và mặt phẳng ngang cố định là f t và fđ. Cho biết: r,,,,,. P QM, const ft fđ Dây mềm, nhẹ, không giãn, luôn căng, không trượt trên ròng rọc. a) Tìm điều kiện của góc để A trượt được trên mặt nghiêng. b) Cho tg ft , dây luôn căng. b1) Phân tích chuyển động các vật rắn trong hệ. Tìm mối quan hệ về động học giữa các vật. b2) Tính động năng cho toàn hệ và tổng công tác động lên hệ. b3) Xác định gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc B b4) Tính lực căng dây b5) Tìm điều kiện của M để dây nối vật A bị chùng. Xác định lại gia tốc của vật A và gia tốc góc của ròng rọc B.
r M B Q A P Hình II.8 a) Điều kiện để vật A không trượt (A cân bằng và dây chùng): Khảo sát sự cân bằng của vật A: Tự do hóa vật A:
F mst N A A y P x Hình II.8.1 - Viết các phương trình cân bằng:  FFPjx mst .sin 0 1  FNPjy A .cos 0 2 - Giải hệ (1), (2): FPmst .sin 3
NPA .cos 4 Điều kiện để vật A không trượt: Fmst F msgh f t. N A 5 Thay (3) và (4) vào 2 vế của (5), ta có: P.sin ft . P .cos tg ft 6 Điều kiện để vật A trượt: tg ft 7 b) Vì tg f t nên vật A trượt được trên mặt nghiêng. b1. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ:
r M B  B B sA v  B A aA Q A P Hình II.8.2
Vật A tịnh tiến thẳng, nhanh dần theo phương của mặt nghiêng và với chiều hướng xuống. Ròng rọc B quay nhanh dần, theo chiều kim đồng hồ quanh tâm B cố định. Quan hệ động học: s v a AAA;;   BBBr r r hê A B b2. Động năng của hệ: TTT A 1 2P 2 T mAAA v v 2 2g Với: 2 B 12 1 1 QQ 2 vA 2 T JBBA. r 2 v 2 2 2g r 4 g
hê 1 Q 2 T P vA 2g 2 Tổng công các tải:   A AP A M AF msđ  Với: A P P. hAA P .sin s M A MM . s BAr A Fmsđ F msd s A fđ N A s A f đ Pcos . s A M  A P sin fđ cos sA r
b3. Áp dụng định lý biến thiên động năng: hê hê TTA1 0   1 Q 2 M P vAA P sin fđ cos s 2g 2 r 1 Q M P 2 vAAA a P sin fđ cos v 2g 2 r M Psin f cos đ a r g A Q P 2
M P sin fđ cos aA r  B g r Q P r 2 b . Khảo sát chuyển động của vật A: 4 a Ta có: A TA Fmsđ fđ . N A N A F msđ A y P x Hình II.8.3
Dùng định lý chuyển động khối tâm cho vật A: 4 e mA. a A  F j P N A T A F msđ 8 j 1 Chiếu (8) lên hai phương x, y mA.a A P .sin TA F msđ 9 0 P cos N A NPA cos 10 TA P.sin F msđ m A . a A M P sin fđ cos P r Psin f P cos g đ Q g P 2
M P P sin f cos r đ T Psin f cos A đ Q P 2 Q M P sin f cos 2 đ r T 11 A Q P 2 b5. Điều kiện để dây căng: TA 0 Q M sin fđ cos 0 2 r Q. r M sin f cos 2 đ
Điều kiện để dây chùng: Q. r M sin f cos 2 đ Xác định lại a A và  B : aA sin fđ cos g 2M  g B Q. r 2
Bài tập 9. Cho cơ hệ như hình vẽ: q const A B  Hình II.9 a). Hệ có luôn cân bằng với mọi loại tải tác động hay không? Tại sao? b). Dùng nguyên lý di chuyển khả dĩ để xác định các thành phần phản lực tại ngàm A.
Bài sửa a. (Tự giải) Tính bậc tự do của hệ: Dofhệ Số vật rắn: n=1 (thanh thẳng nằm ngang) Tổng ràng buộc của các liên kết:  Rlk 3 (ngàm phẳng) Do đó bậc tự do của hệ: lk DofhË 3 n  R 3.1 3 0 Vì dofhệ ≤ 0 nên hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.
b). Liên kết có một ràng buộc được gọi là liên kết đơn (ví dụ: khớp bản lề trượt, liên kết thanh). Liên kết ngàm phẳng có 3 ràng buộc sẽ được xem là tương đương với 3 liên kết đơn. Để xác định các thành phần phản lực của liên kết ngàm ta giải phóng lần lượt từng liên kết đơn và xem các thành phần phản lực xuất hiện như là lực hoạt động bổ sung. Xác định thành phần phản lực HA : Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương ngang: q H A A B  x Hình II.9.1
Cho hệ một di chuyển khả dĩ  x . Tính tổng công khả dĩ: A  A H AA  A q  A H H A x Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:  AH 0 A 0 Xác định phản lực NA : Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương đứng. Cho hệ một di chuyển khả dĩ  y .
N A q  y 0 A B Hình II.9.2 Tính tổng công khả dĩ: A  A NAA  A q N.  y ql  y NA ql  y Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:  A 0 NAA ql 0 N ql 0
Xác định thành phần phản lực MA : Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động quay quanh tâm A. Cho hệ một di chuyển khả dĩ  . x dx q A M  B A y x.  Hình II.9.3
Tính tổng công khả dĩ:  A  AM A  A q Ta có: AMM AA    A q q dx  y q dx x  0 0  x2 q 2 q   2 0 2 q2 AM A  2
Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ: q2 q  2  AMM 0 0 0  2AA 2
Bài tập 10. Dùng nguyên lý di chuyển khả dĩ để xác định các thành phần phản lực sau: q P q a) A 2 B C M q 2  Hình II.10.1 q M b) A B C   Hình II.10.2
a). Xác định thành phần phản lực HA : Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh tiến theo phương ngang: Cho hệ di chuyển khả dĩ  x : P q q A H A B C M  x Hình II.10.3 Tính tổng công khả dĩ: AAHAH  AA A q  A()() P  A M 
 A  A HA HA.  x + Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:  AH 0 A 0 - Xác định thành phần phản lực NB : P q q C M A  yB B  y  C NB Hình II.10.4 + Cho hệ một di chuyển khả dĩ  :
Tính tổng công khả dĩ: A  A NB  A q  A P  A M 2 NB .(2 . ) 2 q  .  P .(3  .  ) M .  2 (2NB 2 q  ). 2  A 0 2 NB 2 q  0 NB q Xác định thành phần phản lực NA : Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh tiến theo phương đứng:
2  u q P q N A  yC A  B C M  y  yA du Hình II.10.5 Cho hệ một di chuyển khả dĩ  :
Tổng công khả dĩ:  A  A N A  A q  A P  A M   y A tg   2 yA 2 .  A NAAAA N.  y N .2 .  y u.  2 2 2  u2 Aq  yqdu qu  duq  0 0 2 0
A q 2 q2 .  yC .  2 A P P  yC q   q   A M M  q2  Thế vào : 2 2 A NA.2 .  2 q  .  q   M .  0 NA 2 q
b). Xác định các thành phần phản lực HA : Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh tiến theo phương ngang: q M H A  x C A B Hình II.10.6 Cho hệ một di chuyển khả dĩ  x : Tổng công khả dĩ: A  A HAA  A q H.  x
 AH 0 A 0 Giải phóng liên kết NA : 2 x VA M B C A   yB  y A dx Hình II.10.7 Cho hệ 1 di chuyển khả dĩ  :
Tổng công khả dĩ :  A  AV A  A q  A M  Ta có: y x.  y 0 x     x2 Aq  yqdx qxxdx  q  0 0 2 0 q2  2 2 A M MA  q 
yA 2 .  A VAAA V.  y VA.2 1  A V.2 .  q 2  q  2  0  A 2 21 2 q q  1 V 2 q A 2 4 Giải phóng liên kết VC :
q M B C A   yB VC  yC u  u 2  du Hình II.10.8 y u.  2 2  A q  y q du u q  du  
2 u24 2  2 A q q  q  q  2 2 2 3 q2 2 A M M  q2  yC 2 .  A VCCC V  y VC .2 . A  A q  A M  A VC
3 A q2  V 2  .   2 C 3 2 2  q q  VC .2  2 3 2 2 q q  5 V 2 q C 2 4
Bài tập 11. Cho một cơ hệ gồm có hình lăng trụ A tiết diện tam giác vuông và ống trụ tròn, đồng chất, không đáy B. Vật A có khối lượng m1 tựa không ma sát trên mặt phẳng ngang cố định. Vật B có bán kính r, khối lượng m2 lăn không trượt trên mặt nghiêng của lăng trụ A (hình chiếu đứng của trục ống trụ tròn là B). Lăng trụ A chịu tác động của lực F như hình vẽ. Cho biết: m1, m2, F, , r. a) Hãy phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ. Xác định bậc tự do của hệ và chọn các tọa độ suy rộng cho hệ. b) Viết biểu thức xác định vận tốc tuyệt đối của tâm B và tính độ lớn của vector vận tốc tuyệt đối này. c) Xác định động năng cho toàn hệ và các lực suy rộng tương ứng. d) Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho toàn hệ. Cho biết khả năng của mình có giải được hệ phương trình vi phân này không? Nếu giải được hãy xác định gia tốc của lăng trụ A và gia tốc góc của ống trụ B.
x r B v BI A N I P F 2 Đường trung tuyến P1 Hình II.11.1 a) Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ Vật lăn trụ A có chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương ngang.
Ống trụ tròn B thực hiện đồng thời 2 chuyển động: tịnh tiến cùng với lăng trụ A và lăn không trượt trên mặt nghiêng của lăng trụ A. Chuyển động tổng hợp của ống trụ tròn B là chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời không phải là điểm tiếp xúc I. Bậc tự do của hệ: DofhË 2 Vì ta cần dùng 2 thông số độc lập x và mới xác định được vị trí của toàn hệ. Hai tọa độ suy rộng của hệ được chọn là: q1 x, q 2  b). Phân tích chuyển động phức hợp của tâm B: Chuyển động kéo theo: tịnh tiến cùng lăng trụ A.
Chuyển động tương đối: lăn không trượt trên mặt nghiêng của lăng trụ A (tâm quay tức thời là điểm I). Dùng định lý hợp vận tốc của điểm: B B B va ve vr BBA * ve va v a  B A BI Với: BB I  va v a v vr v  v A Tính độ lớn vector vận tốc a  tuyệt đối điểm B: B BI B (khi tổng 2 góc bằng thì v va cos góc này bằng - cos góc kia). I Hình II.11.2
  Công thức lượng trong tam giác thường: B2 A 2 BI 2 A BI va v a v 2 v a v cos  2 2 A BI A BI va v 2 v a v cos A BI Mà: va x ; v r r  2 B 2 2 2 va x r.  2 r .cos . x  .  c). Động năng hệ: hê A B T  T T
2 AA1 1 2 Với: T m1 va m 1 x 2 2 BB12 1 2 T m2 va J B . 2 2 2 Ta có: JB m2.; r   B 12 2 2 1 2 2 T m2 x r  2 r cos . x  .  m 2 . r  2 2 1 m x2 2 r 2 .  2 2 r cos . x  .  2 2 hê 1 2 2 2 T m m . x m . r .  m . r .cos . x  .  2 1 2 2 2
Xác định lực suy rộng QQ 1  x : Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:  x 0 CB2   0 v BI A r N I P A F 2 va P1 Hình II.11.3 q1  x 0 ;  q 2   0 (đĩa không quay nên toàn hệ là một vật duy nhất: m = m1 +m2)!
Tổng công khả dĩ:  AA AP 1  APA 2  N  F  AF A F.  x (P1, P2 không thay đổi độ cao; phương N vuông góc phương chuyển động).  A QQF   1 x  x Xác định lực suy rộng QQ 2  :
Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: q  x 0 ; B 1  s q   0  h B 2 B hBB  s .sin I r. .sin Hình II.11.4 Tổng công khả dĩ: AAP APAN 1  2   A F  A P2 m 2. g  hB
A m2 . g  hB m2 . g . r .sin .   A Q Q  m g. r .sin 2  2 d) Dùng phương trình Lagrange 2: d  T  T Qi , i 1,2 dt  qi  q i TT   0 q1  x
d  T d  T  m1 m 2  x m 2. r .cos  dt  q1 dt  x  TT   0 q2  d  T d  T 2  m2. r .cos  x 2 m 2 r  dt  q2 dt     m1 m 2 x m 2. r .cos F m. r .cos  x 2 m r2  m g . r .sin 2 2 2 Đây là hệ phương trình vi phân cấp 2 cực kỳ dễ giải. Cách giải được trình bày chi tiết:
Đặt X1  x; X 2  Nghiệm: F m2. r .cos g.sin 2 r X1  x m1 m 2 m 2. r .cos cos 2r 2r . F m2 g . r .sin .cos 2 2r m1 m2 m 2r .cos 1 2F m g sin 2 2 2 2 const 2 m1 m2 m 2 cos
m1 m 2 F cos g .sin X 2   m1 m 2m 2 r cos cos 2r m m g.sin F .cos 1 2 2 2 m1 m 2 m 2 cos r const
Bài tập 12. Cho một đĩa có dạng hình quạt đồng chất, đặc, dày điều, bán kính R, góc chắn ở tâm là 2 ,đứng yên ở thời điểm đầu với góc nghiêng là 0 (góc hợp bởi phương thẳng đứng và trục đối xứng của đĩa) có khối lượng m. Đĩa tựa không ma sát với mặt phẳng ngang cố định. a) Phân tích chuyển động của đĩa và tâm O đĩa b) Xác định vị trí của khối tâm C đĩa. c) Xác định phương trình quỹ đạo của khối tâm C đĩa nếu chọn hệ trục tọa độ xy như hình vẽ: d) Tính động năng của đĩa và tổng công các tải tác động lên đĩa. e) Tìm vận tốc góc của đĩa và gia tốc góc của đĩa.
y t R Cho:m , R , 0 , O 2 C0 0 N P u x I c Hình II.12
Bài sửa a) Phân tích chuyển động của đĩa: Đĩa chuyển động song phẳng trong mặt phẳng hình vẽ với tâm vận tốc tức thời không phải là điểm tiếp xúc I. Phân tích chuyển động của tâm O đĩa: Tâm O đĩa chuyển động thẳng với quỹ đạo là đường thẳng  O song song đoạn thẳng cố định và cách đường thẳng cố định một đoạn bằng bán kính của đĩa. Do đó, vận tốc và gia tốc của tâm O nằm trên đường thẳng này. v0  0 ; 0   0 b). Do đĩa hình quạt có một trục đối xứng nên khối tâm C của đĩa sẽ nằm trên trục đối xứng này.
Dựng hệ trục tọa độ vuông góc mới Out gắn liền với đĩa sao cho trụuc trùng trục đối xứng của đĩa. tc 0 Khảo sát một diện tích vi phân k thuộc đĩa như hình vẽ: dr r dAk d O  K u k u Hình II.12.1
Gọi: A là diện tích đĩa. là khối lượng riêng đĩa. Ta có: A R2 : rad m m ; (vật phẳng (kg/m2); vật dày (kg/m3) AR 2 dAk dr r. d uk r.cos (uk: tọa độ u của điểm K). m m dA dr rd  k k R2 (mk: khối lượng của diện tích dAk ).
Áp dụng công thức định nghĩa của khối tâm: m u  k k 1 m u k 1 r2 cos . dr . d  c 2 m m A R 1 R u r2 drcos . d  c 2 R 0 3 R 1 r sin 2   R 3 0 1 R3 2sin R2 3
2 R u sin c 3 c). Khảo sát chuyển động của đĩa: Hệ ngoại lực tác động lên đĩa PN , : Dùng định lý chuyển động khối tâm: 2 e mac  F j P N 1 j 1 Chiếu (1) lên trục x: 2 m. xc 0 x c 0 m s xc const x  c 0 m s ; (vận tốc lúc đầu bằng 0)
xc const x c 0 m Vậy phương trình chuyển động của khối tâm C là: xc 0 ; đường thẳng  c  y ; vc y;. a c  y d). Động năng đĩa: (đĩa là hình tròn đặc đồng chất). 1 1 T mv2 J . 2 2c 2 c Ta có:   : ( là góc hợp bởi trục u và trục Oy). 2 2 Jc J0 m OC J 0 m. u c 2 m Theo định nghĩa: J m OK r dr d r 2 0  k 2 k 1 A R
m R J r3 dr d 0 2 R 0 4 R m r  2   R 4 0 m R4 2 R2 4 1 J mR2 0 2 (giống công thức hình quạt) 2 R 2 Jc m u c 2
Tâm vận tốc tức thời của đĩa: P PC OC.sin y O v0 uc sin Do đó: vc PC. u c .sin .  P C 12 2 2 1 2 2 T m uc sin .  mR  2 4 1 2 2 1 2 2 u m uc sin R  v 2 2 c Tổng công các tải: Hình II.12.2  AAPAN
Với: AN 0 A P P. hc mg HC HC0 y  O0 O H 0 0 C0 hc C P Hình II.12.3
A P mg OC.cos O0 C 0 .cos 0  mg. uc cos cos 0 e) Dùng định lý biến thiên động năng: hê hê TTA1 0   1 1 2 2 2  2 m ucsin R mg . u c cos cos 0 ; 2 2 2 Vận tốc góc của đĩa: 2g . u cos cos   c 0 3 1 u2sin 2 R 2 c 2
Gia tốc góc của đĩa: Đạo hàm 2 vế (2) theo thời gian t: 1 1 1 2  2 2 2 2    uc2sincos. u c sin R 2 . 2 2 2 g. uc sin .  usin u cos .  2 g   c c 1 u2sin 2 R 2 c 2
Bài tập 13. (Chưa sửa). Cho một thanh thẳng mảnh, đồng chất, tiết diện điều, khối lượng m và chiều dài 2 tựa không ma sát trên mặt phẳng ngang cố định. Ban đầu thanh đứng yên với góc nghiêng 0. a. Hãy phân tích chuyển động của thanh AB. Tìm phương trình quỹ đạo của điểm A, của khối tâm C và điểm B. b. Tính động năng của thanh và tổng công các tải tác động lên thanh. c. Xác định vận tốc góc của thanh và gia tốc góc của nó.
B C0 A 0 Hình II.13 Cho :m , 2 , 0
Bài tập 14. Cho cơ hệ như hình vẽ (Hình II.14). M r1 Cho r1, r2, P1, P2, M const . Dây có các tính chất sau đây: mềm, nhẹ, không giãn, không O1 B trượt trên các vật và luôn căng. Bỏ qua ma sát tại khớp bản lề O1 và xem nhánh dây AB luôn có phương thẳng đứng. Ròng rọc O1 là đĩa tròn P1 đặc, đồng chất và ròng rọc O 2 O2 là vành tròn đồng chất. A r a. Xác định bậc tự do của hệ. 2 Chọn các hệ tọa độ suy Hình II.14 P2 rộng cho hệ.
b. Phân tích chuyển động cho các vật rắn trong hệ. Phân tích chuyển động phức hợp của tâm O2. Viết biểu thức tính vận tốc tuyệt đối cho điểm này. c. Tính động năng cho toàn hệ. d. Xác định các lực suy rộng tương ứng với các tọa độ suy rộng đã chọn. e. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ. Cho biết khả năng có thể giải hệ phương trình này không? Tại sao?
Bài sửa a. M Dofhệ = +2 r1 Chọn 2 tọa độ 1 suy rộng: O1 B q1  1; q2  2 P y 1 O 2 A 2 r2 Hình II.14.1 P2
b. Phân tích chuyển động các vật. Ròng rọc O1: Chuyển động quay quanh tâm O1 cố định. Ròng rọc O2: Chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời không phải là điểm tiếp xúc A. Phân tích chuyển động phức hợp của tâm O2. Chuyển động kéo theo: Tịnh tiến thẳng đứng cùng với dây. Chuyển động tương đối: Quay quanh tâm vận tốc tức thời A đối với dây.
Viết biểu thức tính: (Hình II.14.2) M r1 OOO2 2 2 va v e v r 1 O1 B B va P y 1 O 2 A 2 O2 vr r A 2 va Hình II.14.2 P2
vO2  y O2 A e ve v a O2 AB ve v a v a r1  1 r 1  1 Vôùi: OO2 2 vr AO2 hay v r  y vOOA2 v 2 r O 2  vr r2 2 r 2. 2 vOOOO2 v 2 v 2 v 2 r  r  a a e r 1 1 2 2 chæ khi2vector  c. Động năng toàn hệ: TTTheä OO1 2
1 2P1 2 JO m1 r 1 r 1 1 2 2g Ta coù : 2P2 2 JO m2 r 2 r 2 2 g 1 P Vôùi: TO1 J 2 1 r 2  2 2O1 1 4g 1 1 2 OO21 2 1 2 T m2 va J O . 2 2 2 2 1PP2 1 2 r  r  2 r 2  2 2g1 1 2 2 2 g 2 2 PPP TO2 2 r2  2 2 r r   2 r 2  2 2g1 1 g 1 2 1 2 g 2 2
heä 1 PPP1 2 2 2 2 2 2 T P2 r 1  1 r 1 r 2  1  2 r 2  2 2g 2 g g d. Nhận xét: Hệ sẽ có 2 lực suy rộng Q1, Q2 ứng với 2 tọa độ suy rộng đã chọn. Xác định lực suy rộng Q1: Chọn 1 di chuyển khả dĩ đặc biệt cho hệ.  1 0 ;  2 0
O2 Ta có: va r1  1 r 2  2   r. 1 r 2 1dt 2 dt r1.  1 Tính tổng công khả dĩ: AAAP  M  2 A M  P  s  1 2 O2  sO  Mà: vO2 2 r . 1 a dt1 dt
s r .  O2 1 1 Vaäy : A M P2 r 1  1 Lực suy rộng Q1:  A Q1 M P 2. r 1  1 Tính lực suy rộng Q2: Chọn một di chuyển khả dĩ dặc biệt cho hệ:  1 0 ;  2 0
O2 Ta có: va r1  1 r 2  2    r 1 r 2 r 2 1dt 2 dt 2 dt sO Maø : vO2 2 a dt s r .  O2 2 2 Tổng công khả dĩ: AAP  2 P  s P r  2O2 2 2 2
Lực suy rộng Q2:  A Q2 P 2. r 2  2 Vaäy : Q1 M P 2. r 1 Q2 P 2. r 2 e. Dùng phương trình Lagrange 2 (đối với hệ khi mất cân bằng): d  T  T Q, i 1,2  i dt  qi  q i
d TTPP d  1 1 2 2  P2 r 1 1 r 1 r 2 2 dtq dt   g2 g 1 1   AB TT  hệ 0 (Vì T không phụ thuộc 1). q1  1 d TTP d  2 2P 2 2  r1 r 2 1 r 2 2 dtq d t   g g 2 2   B C TT  hệ 0 (Vì T không phụ thuộc 2). q2  2
1 P1 2 A P2 r 1 const g 2 P2 Ñaët : B r1 r 2 const g 2.P2 2 C . r2 const g Thay các kết quả vào phương trình Lagrange 2, ta có: A 1 B  2 M + P 2 r 1 D B 1 C  2 P 2 r 2 E Ñaët : X1  1; X 2  2 AXBXD 1 2 BXCXE 1 2
CDBE X  const (ròng rọc 1 quay nhanh dần đều) 1 1 ACB. 2 AEBD X  const (ròng rọc 2 quay nhanh dần đều) 2 2 ACB. 2
Bài tập 15. Cho một cơ hệ như hình vẽ (Hình II.15). A r I C Q B P Hình II.15
A là đĩa tròn đặc, đồng chất có bán kính r và trọng lượng Q. AB là thanh thẳng, mảnh, đồng chất, tiết diện đều, dài , trọng lượng P. Cho r, , P, Q, M const , đĩa A lăn không trượt trên mặt phẳng ngang cố định. Bỏ qua ma sát lăn của đĩa và ma sát tại khớp bản lề A. a. Xác định bậc tự do cho hệ và các tọa độ suy rộng cho hệ. b. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ. Phân tích chuyển động phức hợp của khối tâm C thuộc thanh AB. Viết biểu thức tính vector vận tốc tuyệt đối cho điểm C này. c. Tính động năng cho toàn hệ. d. Xác định các lực suy rộng tương ứng với các tọa độ suy rộng đã chọn cho hệ.
e. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho toàn hệ. Bài sửa a. Dofhệ = 2 (để biết chuyển động của hệ cần phải biết chuyển động của 2 vật hoặc nếu ta giữ cố định cả 2 vật thì hệ mới đứng yên được) Chọn 2 tọa độ suy rộng: q1  1; q2  2 b. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ: (Hình II.15.1)
x M 1 A  A va A C vr C va r I vC C e Q 2 B P Hình II.15.1
Đĩa tròn A: Chuyển động song phẳng trong mặt phẳng chứa vật với tâm vận tốc tức thời (TVTTT) là điểm tiếp xúc I. Thanh thẳng AB: Chuyển động song phẳng trong mặt phẳng chứa vật với TVTTT là điểm chưa xác định. A Quỹ đạo tâm A là đường thẳng  A v a  A . Phân tích chuyển động phức hợp của khối tâm C của thanh AB. Chuyển động kéo theo : tịnh tiến cùng với tâm A.
CA Do đó: ve v a Chuyển động tương đối: quay quanh tâm A. C CA Do đó: vr  v  AC Viết biểu thức tính: CCC va v e v r CACAC2 2 2 va v a v r 2 v a v r cos 2 2 2  r. 1 .  2 r . .cos 2 .  1 .  2 2 c. Động năng toàn hệ: TTTheä A AB
AA12 1 2 Vôùi: T mA v a J A. A 2 2 Q Ta coù : m ; vA r  Ag a 1 1 Q J m r2 r 2 AA2 2g A 1 QQ TA r2  2 r 2  2 2g1 4 g 1 3Q r 2.  2 4g 1
AB1 C 2 1 2 T mAB v a J C. AB 2 2 P Ta coù : m ;   ABg AB 2 1 P J m 2  2 C12 AB 12g PPP TAB r2.  2  2 .  2 r .  .cos .  .  2g1 6 g 2 2 g 2 1 2 heä 1 3 2 2PP 2 2 Vaäy : T P Q r. 1  .  2 r .  .cos 2 .  1 .  2 2g 2 6 g 2 g d. Tính lực suy rộng Q1 ứng với tọa độ suy rộng q1  1 .
Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:  1 > 0 ;  2 = 0 Tổng công khả dĩ của các tải: AA  M M. 1  A Q1 M  1 Tính lực suy rộng Q1 ứng với tọa độ suy rộng q2  2 . Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:  1 = 0 ;  2 > 0.
Tổng công khả dĩ của các tải tác động:(Hình II.15.2)  A  A P P.  h P     sin  C 2 2 2 A  A  QP  .sin 2 2 2  2  2 2 C Vaäy : Q1 M hC  C 0 QP2 .sin 2 2 2 P Hình II.15.2
e. Phương trình Lagrange 2: d  T  T Q1 dt  1  1 d  T  T Q2 dt  2  2 TP 1 2 2 Vôùi: P Q r. 1 r . .cos 2 .  2  1 g 3 2 g d  T 1 2 P 2  2  P Q r. 1 . r . . sin 2 . 2 cos 2 . 2 dt  1 g 3 2 g
T 0  1 TPP 2   . . 2 r .  cos 2 . 1  2 3g 2 g d  T P P 2     . 2 r .   sin 2 . 1 . 2 cos 2 . 1  dt  2 3 g 2 g TP r. .sin 2 .  1 .  2  2 2g
1 3 2PP 2 Vaäy : P Q r. 1 r . .cos 2 .  2 r .  . sin 2 .  2 M g 2 2 g 2 g PP  r cos.  2 .  P .sin 2g2 1 3 g 2 2 2
Bài tập 16. Cho mmmmJJJ,,,,,,,,,MM RrRrr 2 22. 1 2 3AOOO1 2 3 1 2 2 1 3 3 a. Xác định bậc tự do cho hệ và chọn tọa độ suy rộng cho hệ. b. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ. Xác định vận tốc góc của ròng rọc kép 3 và vận tốc tuyệt đối của vật A. c. Tính động năng cho toàn hệ. d. Xác định các lực suy rộng cho hệ. e. Viết hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ. Giải hệ phương trình này.
M M 2 R Các nhánh dây trong hệ 1 2 r1 có các tính chất: mềm, O1 O B D 2 nhẹ, không giãn, không trượt trên các vật và luôn căng. Bỏ qua ma sát ở R3 các khớp bản lề. (Hình II.16) C E O3 r3 A Hình II.16
Bài sửa a. Dofhệ = +2. vì ta cần dùng 2 thông số độc lập 1 và 2 mới xác định được vị trí của toàn hệ. Chọn 2 tọa độ suy rộng q1  1 ; q2  2 b. Phân tích chuyển động các vật: Ròng rọc 1: quay quanh tâm O1 cố định. Ròng rọc 2: quay quanh tâm O2 cố định. Ròng rọc kép 3: chuyển động song phẳng. Vật A tịnh tiến thẳng đứng.
M M 2 1 R2 vB r1 a O1 O B D 2 D 1 2 va R3 C va O 3 E C r3 E va Hình II.16.1 A
Xác định 3: Ta có: CB va v a ED va v a B va r1  1 r  1 Maø : D va R2. 2 2 r .  2 Xác định tâm vận tốc tức thời ròng rọc 3: (Hình II.16.2)
vC a O3 va P C E O3 vE Hình II.16.2 a Vận tốc góc của ròng rọc 3: vCECE v v v r.  2 r .  1  a a a a 1 2  2  3PC PE PC PE3 r 3 1 2 Xác định vận tốc vật A:
Vận tốc tâm O3: O3 va PO3. 3 vC r.  3  Ta coù : PC = a 1 1 .r 1  2  3  2  1 2 3 1 2   3 1 2 1 2 PO3 PC O 3 C r r r 1 2  2  1 2  2 2 Vaäy : vO3 r.   a 3 1 2 Do dây không giãn nên:
A O3 va v a 1   2  33 1 2 2 vA  vO3 r   a a 3 1 2 c. Tính động năng hệ: TTTTTheä 1 2 3 A 1 1 Vôùi: TJJ1  2 .  2 2OO11 2 1 1
1 1 TJJ2  2  2 2OO22 2 2 2 2 31O3 1 2 T m3 va J O . 3 2 2 3 1 42 2 2 1 1 2 2 m3 r  1  2 2  1 .  2 JO .  1 4.  2 4  1 .  2 2 9 23 9 12 2 2 2 2 2 2 4m3 . r JOOO  1 m 3 . r J .  2 J 2. m 3 . r .  1 .  2 183 9 3 9 3 AA12 1 4 2 2 2 T mA v a m A . r 1  2 2  1 .  2 2 2 9 2 2 4 m r2  2 m r 2  2 m r 2   9AAA1 9 2 9 1 2
1 4 1 4 Theä J m r 2 J m r 2  2 OOA13 3 1 2 9 9 9 A 1 4 4 4 J m r2 J m .r 2  2 OO2 3 3 A 2 2 9 9 9 B 2 J 2 m m r 2 .  OA3 3 1 2 9 d. C Tính lực suy rộng Q1: Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:  1 > 0 ;  2 = 0 Tính A : AAAPAP  M 1  3  A
Vôùi: A MM1 1.  1 P P  h m g  s 3 3 3 3 O3  s O3 O3 2 2  1  2 Ta coù : va r 1  2 r dt3 3 dt dt 2 2 s r   r.  O3 31 2 3 1 2 Do ñoù : A P m gr  3 3 3 1 2 A P P  s m g  s m gr  AAAAOA 3 3 1 2 A M 1 gr. m 3 mA  1 3
 A 2 Q  M m m gr. 1 1 3 A  1 3 Tính lực suy rộng Q2: Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:  1 = 0 ;  2 >0 Tính A : AAAPAP  M 2  3  A Vôùi: A MM2 2.  2 A P P  h m g  s 3 3 3 3 O3
s O3 O3 2 2  1  2 Ta coù : va r 1  2 r dt3 3 dt dt 2 2 s r   r.  O3 31 2 3 2 2 Do ñoù : A P m gr  3 3 3 2 2 A P P  s m g  s m gr  AAAAOA 3 3 2 2 A M 2 gr. m 3 mA  2 3  A 2 Q  M m m gr. 2 2 3 A  2 3
e. Viết hệ phương trình vi phân cho hệ bằng cách dùng phương trình Lagrange 2: d  T  T Qi , i 1,2 dt  i  i d  T 2A . 1 C  2 dt  1 d T C 1 2B  2 dt  2 TT  0  1  2 2 2A  C  M m m gr . 1 2 13 3 A Vaäy : 2 C.  2B .  M m m gr . 1 2 23 3 A