Bài giảng Xác suất và thống kê - Nguyễn Văn Thìn

159 trang phuongnguyen 3120

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất và thống kê - Nguyễn Văn Thìn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_xac_suat_va_thong_ke_nguyen_van_thin.pdf

Nội dung text: Bài giảng Xác suất và thống kê - Nguyễn Văn Thìn

Tập hợp - Giải tích tổ hợp Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê Nguyễn Văn Thìn Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM Ngày 4 tháng 9 năm 2011
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Nội dung Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tập hợp Giải tích tổ hợp
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Khái niệm về tập hợp • Khái niệm tập hợp là một khái niệm không có định nghĩa, tương tự như khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học. • Tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự tựu tập của một số hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó. Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp. • Ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C, để kí hiệu tập hợp. Nếu a là phần tử thuộc tập A ta kí hiệu a ∈ A. Ngược lại, a không thuộc A ta kí hiệu a ∈/ A • Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng. Kí hiệu ∅
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biểu diễn tập hợp Có hai cách xác định một tập hợp: • Liệt kê các phần tử của nó. Ví dụ Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5 là A = {0, 1, 2, 3, 4} Tập hợp các số tự nhiên chẵn từ 0 đến 100 là B = {0, 2, 4, , 98, 100}
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biểu diễn tập hợp • Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của nó. Không phải mọi tập hợp đều có thể liệt kê rõ ràng từng phần tử. Tuy nhiên ta có thể dùng tính chất đặc trưng nào đó để mô tả nó, từ đó có thể xác định được một phần tử có thuộc tập hợp này hay không. Ví dụ Tập hợp các số thực lớn hơn 0 và bé hơn 1 là C = {x|x ∈ R và 0 ≤ x ≤ 1}
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quan hệ giữa các tập hợp • Tập hợp con Cho 2 tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B, thì ta nói tập hợp A là con tập hợp B và kí hiệu A ⊂ B hoặc B ⊃ A. Ta viết A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) • Tập hợp bằng nhau Cho 2 tập hợp A và B. Nếu mỗi phần tử của A đều thuộc B và ngược lại, mỗi phần tử của B đều thuộc A thì ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau và kí hiệu A = B. Ta viết A = B ⇔ (A ⊂ B và B ⊂ A)
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép toán trên các tập hợp • Giao của hai tập hợp Giao của hai tập hợp A và B đã cho là tập hợp các phần tử đồng thời thuộc cả hai tập hợp này, kí hiệu là A ∩ B Ta viết ( x ∈ A x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ B
Tập hợp - Giải tích tổ hợp • Hợp của hai tập hợp Hợp của hai tập hợp A và B đã cho là tập hợp các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp này, kí hiệu là A ∪ B Ta viết x ∈ A x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ B
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép toán trên các tập hợp • Hiệu của hai tập hợp Hiệu hai tập hợp A và B đã cho là tập hợp các phần tử thuộc A mà không thuộc B, kí hiệu A \ B Ta viết A \ B = {x|x ∈ A và x ∈/ B}
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép toán trên các tập hợp Tính chất • Tính giao hoán A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A • Tính kết hợp (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép toán trên các tập hợp Tính chất (tt) • Tính phân phối A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) • Công thức De Morgan A ∪ B = A ∩ B A ∩ B = A ∪ B
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quy tắc nhân Giả sử để hoàn thành một công việc thì phải thực hiện k giai đoạn. Giai đoạn thứ nhất có n1 cách thực hiện, giai đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện, . . . , giai đoạn thứ k có nk cách thực hiện. Khi đó ta có n = n1n2 nk cách hoàn thành công việc.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quy tắc nhân Ví dụ Giả sử đi từ A đến C ta bắt buộc phải đi qua B. Có 3 đường khác nhau từ A đến B và có 2 đường khác nhau từ B đến C. Vậy có n = 3.2 = 6 cách khác nhau để đi từ A đến C.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tính chất của một nhóm (bộ) k phần tử • Nhóm có thứ tự Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta nhận được nhóm khác. • Nhóm không có thứ tự Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta không nhận được nhóm khác. • Nhóm có lặp Các phần tử của nhóm có thể có mặt nhiều lần trong nhóm. • Nhóm không lặp Các phần tử của nhóm chỉ có mặt một lần trong nhóm.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tính chất của một nhóm (bộ) k phần tử Ví dụ Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 lập số có 3 chữ số • Các chữ số có lặp Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn. Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 5 cách chọn. Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 5 cách chọn. Vậy có n = 4.5.5 = 100 số. • Các chữ số không lặp Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn. Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 4 cách chọn. Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 3 cách chọn. Vậy có n = 4.4.3 = 48 số.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp Định nghĩa Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. k Gọi An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử. Khi đó, n! Ak = n.(n − 1) (n − k + 1) = n (n − k)!
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp Ví dụ Một lớp học tiếng Anh có 12 người tham dự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một lớp trưởng và một lớp phó? Bài giải Một cách chọn một lớp trưởng và một lớp phó là một nhóm có hai phần tử có thứ tự và không lặp. Nên có 2 A12 = 12.11 = 132 cách chọn thỏa yêu cầu.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Hoán vị Định nghĩa Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự không lặp có đủ n phần tử đã cho. Số hoán vị của n phần tử là Pn = n! Quy ước 0! = 1 Ví dụ Mỗi cách xếp 4 học sinh ngồi vào một bàn có 4 chỗ ngồi là một hoán vị của 4 phần tử. Do đó số cách xếp sẽ là P4 = 4! = 24 cách. Nhận xét n Hoán vị là một trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp vì Pn = An
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp lặp Trong định nghĩa chỉnh hợp ta đòi hỏi mỗi phần tử chỉ được có mặt trong nhóm không quá một lần. Nếu bỏ đi điều kiện này, ta có chỉnh hợp lặp. Định nghĩa Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử được chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể có mặt hơn một lần trong nhóm. k Gọi Afn là số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Khi đó, k k Afn = n
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp lặp Ví dụ 5 5 Từ các số của tập hợp A = {1, 2, 3}, ta có thể lập được Af3 = 3 số có 5 chữ số. Nhận xét Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp nên ở đây k có thể lớn hơn n.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tổ hợp Định nghĩa Tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. k Gọi Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử. Khi đó, n! C k = n k!(n − k)! Ví dụ Mỗi đề thi gồm 3 câu hỏi lấy từ 25 câu hỏi cho trước, ta lập được 25! C 3 = = 2300 25 3!22! đề thi. Vì mỗi đề thi là một nhóm có 3 câu hỏi có tính chất không có thứ tự và không lặp.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tổ hợp Tổ hợp có các tính chất cơ bản sau: • Quy ước 0! = 1. k n−k • Cn = Cn . k k−1 k • Cn = Cn−1 + Cn−1
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Nhị thức Newton Công thức nhị thức Newton n n X k n−k k (a + b) = Cn a b k=0 Các hệ số trong nhị thức Newton có thể được xác định từ tam giác Pascal
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê Nguyễn Văn Thìn Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM Ngày 4 tháng 9 năm 2011
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Nội dung Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Quan hệ giữa các biến cố Các phép toán trên các biến cố Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Các công thức tính xác suất cơ bản
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Biến cố ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên (random experiment) là sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định ( làm thí nghiệm) và có thể lặp lại nhiều lần. Kết quả của phép thử ta không xác định trước được. Ví dụ Phép thử ngẫu nhiên Kết quả Tung đồng tiền Mặt sấp, mặt ngửa Điểm thi kết thúc môn {0, 1, 2, , 10} Tuổi thọ của một linh kiện điện tử t > 0 giây.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Biến cố ngẫu nhiên • Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là không gian mẫu hay không gian các biến cố sơ cấp (sample space), ký hiệu Ω. • Mỗi kết quả của phép thử ngẫu nhiên, ω, (ω ∈ Ω) gọi là một biến cố sơ cấp(simple event). • Một tập con của không gian mẫu có nhiều biến cố được gọi là biến cố ngẫu nhiên(event). Kí hiệu là A, B, C, • Biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử là biến cố chắc chắn, ký hiệu Ω. • Biến cố luôn không xảy ra gọi là biến cố bất khả ( hay biến cố không thể có)( empty event), kí hiệu Ø.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Biến cố ngẫu nhiên Ví dụ Gieo một lần con xúc xắc. Gọi ωi = "mặt trên của xúc sắc có i chấm"= i. Không gian các biến cố sơ cấp Ω = {ω1, ω2, . . . , ω6} = {1, 2 , 6}. A = {1, 3, 5} =" chấm lẻ" & B = {2, 4, 6} =" chấm chẳn" → Biến cố ngẫu nhiên C = {5, 6} =" chấm > 4" %
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Quan hệ giữa các biến cố Sự kéo theo A kéo theo B, ký hiệu A ⊂ B, nếu A xảy ra thì B xảy ra. Ta còn nói A là biến cố thuận lợi cho B. Ví dụ Tung một con xúc xắc. Gọi Ai là biến cố được i chấm i = 1, 6 , B là biến cố được số chấm chia hết cho 3, C =" Số chấm chẵn" , P2 =" Số chấm nguyên tố chẵn" , Khi đó ta có A2 ⊂ C, A3 ⊂ B, A2 ⊂ P2, P2 ⊂ A2.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Quan hệ giữa các biến cố Sự tương đương A tương đương với B, ký hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B xảy ra và ngược lại. Ví dụ Trong ví dụ (3) A2 = P2.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Biến cố tổng (Union) Biến cố tổng của A và B, ký hiệu A + B hay A ∪ B là biến cố xảy ra nếu có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Biến cố tích (intersection) Biến cố tích của A và B, ký hiệu A.B,là biến cố xảy ra nếu A và B cùng đồng thời xảy ra.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Biến cố hiệu Biến cố hiệu của A và B, ký hiệu A \ B, là biến cố xảy ra nếu A xảy ra nhưng B không xảy ra.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Các biến cố xung khắc (mutually exclusive) A xung khắc với B nếu A và B không đồng thời xảy ra, A.B = Ø. Dãy các biến cố A1, A2, , An được gọi là xung khắc từng đôi một nếu Ai .Aj = Ø, ∀i 6= j.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Biến cố đối lập ( biến cố bù) (complement) Biến cố đối lập của A, ký hiệu A, là biến cố xảy ra khi A không xảy ( A + A = Ω ra và ngược lại, nghĩa là hay A = Ω \ A. A.A = Ø Tính chất A + B = A.B A.B = A + B
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Hệ đầy đủ các biến cố (exhaustive) Hệ đầy đủ các biến cố Dãy n các biến cố A1, A2, , An được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố nếu: ( Ai .Aj = Ø, ∀i 6= j, i, j = 1, n A1 + A2 + ··· + An = Ω
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Ví dụ Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào một cái bia. Gọi biến cố Ai = " xạ thủ thứ i bán trúng bia" , i = 1, 2, 3. Hãy biểu diễn Ai các biến cố sau: 1. A = " Bia bị trúng đạn" . 2. B = " Bia không bị trúng đạn" . 3. C = " Bia bị trúng 3 viên đạn" . 4. D =" Bia bị trúng 1 viên đạn" .
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Bải giải 1. A = A1 + A2 + A3 ( ít nhất 1 viên đạn). 2. B = A1 + A2 + A3 = A1.A2.A3. 3. C = A1.A2.A3. 4. D = A1.A2.A3 + A1.A2.A3 + A1.A2.A3.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Khái niệm về xác suất Xác suất của biến cố A là một con số , số đó đặc trưng cho khả năng xuất hiện của biến cố A trong phép thử tương ứng. Ký hiệu là P(A) Nhận xét • P (A) càng lớn ( càng gần 1) thì khả năng xuất hiện A càng nhiều. • P (A) càng nhỏ ( càng gần 0) thì khả năng xuất hiện A càng ít.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Nếu trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả 1 năng, nghĩa là P(ω ) = P(ω ) = = P(ω ) = , trong đó có m 1 2 n n biến cố thuận lợi cho biến cố A thì xác suất của A, ký hiệu, P (A), m là tỉ số . n card(A) m Số biến cố thuận lợi cho A P (A) = = = card(Ω) n Số tất cả các biến cố có thể
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Ví dụ Trong một hộp có 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đỏ giống hệt nhau về kích thước. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để được 1. 3 quả cầu đỏ. 2. 2 quả cầu trắng và 1 quả đỏ.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Bài giải Tổng số quả cầu trong hộp là 8. Mỗi cách lấy ra 3 quả cầu ứng với việc chọn một tổ hợp chập 3 từ 8 phần tử. Do đó có tất cả các 3 biến cố sơ cấp đồng khả năng là card(Ω) = C8 . 1. Đặt A = " được 3 quả cầu đỏ". 3 card(A) C5 10 Xác suất xảy ra biến cố A là : P (A) = = 3 = . card(Ω) C8 56 2. Đặt B = " được 2 quả cầu trắng và 1 quả cầu đỏ". 2 quả cầu trắng có thể chọn từ 3 quả cầu trắng trong hộp 2 theo C3 cách. 1 1 quả cầu đỏ có thể chọn từ 5 quả cầu đỏ trong hộp theo C5 cách. 2 1 Theo quy tắc nhân card(B) = C3 .C5 . 2 1 card(B) C3 .C5 15 P (B) = = 3 = . card(Ω) C8 56
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Ưu điểm và nhược điểm • Ưu điểm : tính được chính xác giá trị của xác suất mà không cần tiến hành phép thử. • Nhược điểm: do đòi hỏi phải có hữu hạn các biến cố và tính đồng khả năng của chúng mà trong thực tế lại có nhiều phép thử không có tính chất đó. Vì vậy, cần đưa ra định nghĩa khác về xác suất để khắc phục những hạn chế trên.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê‘ Thực hiện phép thử n lần. Giả sử biến cố A xuất hiện m lần. Khi đó m gọi là tần số xuất hiện biến cố A trong n phép thử, và tỷ số m được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử,ký n m hiệu, f (A) = . n n Thực hiện phép thử vô hạn lần, (n → ∞) tần suất xuất hiện biến cố A dần về một số xác định gọi là xác suất của biến cố A. m P (A) = f (A) = n n
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Ví dụ Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung đồng tiền, người ta tiến hành tung đồng tiền đó nhiều lần và thu được kết quả sau: Người làm Số lần tung Số lần nhận Tần suất m thí nghiệm n mặt sấp m n Buffon 4040 2048 0.5069 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005 Bảng trên cho thấy, khi số lần tung càng lớn thì tần suất xuất hiện m 1 mặt sấp n càng gần 2 .
• Nhược điểm: đòi hỏi phải lặp lại nhiều lần phép thử. Trong nhiều bài toán thực tế điều này không cho phép do điều kiện và kinh phí làm phép thử Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Ưu điểm và nhược điểm • Ưu điểm: không đòi hỏi phép thử có hữu hạn biến cố đồng khả năng, tính xác suất dựa trên quan sát thực tế vì vậy được ứng dụng rộng rãi. Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn • Nguyên lý xác suất nhỏ: một biến cố có xác suất rất nhỏ bằng α (gần 0) thì có thể cho rằng trong thực tế nó không xảy ra trong phép thử. • Nguyên lý xác suất lớn: một biến cố có xác suất rất lớn bằng β (gần 1) thì có thể cho rằng trông thực tế nó nhất định xảy ra trong phép thử.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Ưu điểm và nhược điểm • Ưu điểm: không đòi hỏi phép thử có hữu hạn biến cố đồng khả năng, tính xác suất dựa trên quan sát thực tế vì vậy được ứng dụng rộng rãi. • Nhược điểm: đòi hỏi phải lặp lại nhiều lần phép thử. Trong nhiều bài toán thực tế điều này không cho phép do điều kiện và kinh phí làm phép thử Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn • Nguyên lý xác suất nhỏ: một biến cố có xác suất rất nhỏ bằng α (gần 0) thì có thể cho rằng trong thực tế nó không xảy ra trong phép thử. • Nguyên lý xác suất lớn: một biến cố có xác suất rất lớn bằng β (gần 1) thì có thể cho rằng trông thực tế nó nhất định xảy ra trong phép thử.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Xét một phép thử đồng khả năng, không gian mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành một miền hình học Ω có độ đo xác định (độ dài, diện tích, thể tích). Biến cố A ⊂ Ω được biểu diễn bởi miền hình học A. Khi đó, xác suất xảy ra A được xác định bởi: Độ đo của miền A P(A) = Độ đo của miền Ω Ví dụ Lấy ngẫu nhiên một điểm M trong hình vuông cạnh a. Tính xác suất để M thuộc hình tròn nội tiếp hình vuông trên.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Bài giải Gọi A ="điểm M thuộc hình tròn nội tiếp hình vuông". a 2 Shình tròn π 2 π P(A) = = 2 = Shình vuông a 4
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Tính chất của xác suất 1. Nếu A ⊂ B thì P (A) ≤ P (B). 2. P A = 1 − P (A). 3. P (Ø) = 0. 4. 0 ≤ P (A) ≤ 1.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các công thức tính xác suất cơ bản Công thức cộng xác suất 1. Cho các biến cố tùy ý: 1.1 A, B tùy ý ta có P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A.B) 1.2 A1, A2, , An: n ! n X X X P Ai = P (Ai ) − P (Ai Aj ) + ··· + i=1 i=1 1≤i<j≤n n−1 + (−1) P (A1.A2 An) 2. Cho các biến cố xung khắc 2.1 A, B xung khắc ta có P (A + B) = P (A) + P (B) 2.2 A1, A2, , An xung khắc từng đôi một (Ai .Aj = Ø, ∀i 6= j) n ! n X X P Ai = P (Ai ) i=1 i=1
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các công thức tính xác suất cơ bản Ví dụ Qua điều tra trong sinh viên, ta biết 40% học thêm ngoại ngữ, 55% học thêm tin học và 30% học thêm cả hai môn này. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất gặp được 1. Sinh viên học thêm (ngoại ngữ hay tin học). 2. Sinh viên không học thêm môn nào cả. Bài giải A="gặp được sinh viên học thêm ngoại ngữ", B="gặp được sinh viên học thêm tin học". Khi đó A ∩ B="gặp được sinh viên học thêm cả hai môn ngoại ngữ và tin học", và P(A) = 0.4, P(B) = 0.55, P(A ∩ B) = 0.3.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các công thức tính xác suất cơ bản Bài giải (tt) 1. Xác suất gặp được sinh viên học thêm ( ngoại ngữ hay tin học) là P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) = 0.4+0.55−0.3 = 0.65. 2. Xác suất gặp được sinh viên không học thêm môn nào cả là P(A ∪ B) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − 0.65 = 0.35.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các công thức tính xác suất cơ bản Xác suất có điều kiện Cho hai biến cố A và B với P (B) > 0. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra là P (AB) P (A|B) = ; P (B) > 0 (1) P (B) Tính chất xác suất có điều kiện • 0 ≤ P(A|B) ≤ 1 • P(B|B) = 1 • Nếu AC = Ø thì P[(A + C)|B] = P(A|B) + P(C|B) • P(A¯|B) = 1 − P(A|B)
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Công thức nhân xác suất. Tính độc lập của các biến cố Công thức nhân xác suất Với các biến cố tùy ý A và B ta có P(AB) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) Công thức nhân xác suất (tổng quát) Cho Ai , (i = 1, , n) là họ n biến cố khi đó P(A1A2 An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An|A1A2 An−1)
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Công thức nhân xác suất. Tính độc lập của các biến cố Hai biến cố độc lập Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu P(AB) = P(A)P(B) n biến cố độc lập Các biến cố A1, A2, , An được gọi là độc lập với nhau nếu chúng thỏa P(Ai Aj ) =P(Ai )P(Aj ) P(Ai Aj Ak ) =P(Ai )P(Aj )P(Ak ) P(A1A2 An) =P(A1)P(A2) P(An) với mọi tổ hợp chập 2 (i, j), chập ba (i, j, k), của n chỉ số.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Cho Ai , (i = 1, , n) là hệ đầy đủ các biến cố, B là một biến cố nào đó thì P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + + P(B|An) n X = P(Ai )P(B|Ai ) i=1 Công thức xác suất Bayes Cho Ai , (i = 1, , n) là hệ đầy đủ các biến cố, B là một biến cố nào đó sao cho P(B) > 0.Khi đó với mọi i (i = 1, , n) P(Ai )P(B|Ai ) P(Ai )P(B|Ai ) P(Ai |B) = = Pn P(B) i=1 P(Ai )P(B|Ai )
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Ví dụ Ví dụ Một công ty sản xuất bóng đèn có hai nhà máy sản xuất I và II. Biết rằng nhà máy II sản xuất gấp 4 lần nhà máy I. Biết số phế phẩm tương ứng của hai nhà máy là 10 % và 20 %. • Hãy tìm xác suất để khi ta mua 1 bóng đèn thì trúng phải bóng đèn hư. • Biết rằng đã mua phải bóng đèn hư. Hãy tìm xác suất để bóng hư này là do nhà máy I sản xuất
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê Nguyễn Văn Thìn Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM Ngày 4 tháng 9 năm 2011
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Nội dung Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Định nghĩa Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ không gian các biến cố sơ cấp Ω vào R, X :Ω −→ R ω 7−→ X = X (ω) Người ta thường dùng các chữ in X , Y , Z, để ký hiệu các biến ngẫu nhiên và các chữ thường x, y, z, để chỉ các giá trị của biến ngẫu nhiên.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Phân loại đại lượng ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập hợp các giá trị mà nó có thể nhận là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Ví dụ Tung 1 đồng xu cân đối. Gọi X là số chấm xuất hiện thì X có thể nhận các giá trị 1, 2, 3; 4, 5, 6 và xác suất 1 (X = x ) = , x = 1, 2, , 6 P i 6 i
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên liên tục Biến ngẫu nhiên liên tục Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu tập hợp các giá trị mà nó nhận được là một khoảng dạng (a, b) hoặc toàn bộ R Ví dụ Các biến ngẫu nhiên sau là biến ngẫu nhiên liên tục: a. Nhiệt độ không khí ở mỗi thời điểm nào đó. b. Thời gian hoạt động bình thường của một bóng đèn điện tử. . . c. Độ pH của một chất hóa học nào đó.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Quy luật phân phối xác suất Định nghĩa Một hệ thức cho phép biễu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên với xác suất nhận các giá trị tương ứng gọi là quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Định nghĩa (Hàm phân phối xác suất) Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X (xác định trên không gian các biến cố sơ cấp Ω) là hàm F (x) được định nghĩa F (x) = P (X < x) (1) với mọi x ∈ (−∞, +∞). Tính chất Hàm phân phối xác suất F (x) có các tính chất cơ bản sau i) Hàm phân phối là hàm không giảm. ii) Liên tục trái, có giới hạn phải tại mọi điểm. iii) F (−∞) = lim F (x) = 0, F (+∞) = lim F (x) = 1. x→−∞ x→+∞ iv) P (x ≤ X < b) = F (b) − F (a) với mọi a, b ∈ R và a ≤ b.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị có thể x1, x2, , xn, với xác suất tương ứng là P (X = xi ), ta đặt (X = x) khi x ∈ {x , , x , } f (x) = P 1 n 0 khi x ∈/ {x1, , xn, } gọi là hàm giá trị xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x, để đơn gia ta gọi là hàm xác suất. Trong kết quả phép thử ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc phải lấy một trong các giá trị x1, , xn, cho nên hàm phân phối xác suất X X F (x) = P (X < x) = P (X = xi ) = f (xi ) (2) xi <x xi <x
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Lý luận tương tự như trên ta thu được X X P (X ∈ I ) = P (X = xi ) = f (xi ) xi ∈I xi ∈I Trường hợp đặc biệt là khi I = (−∞, +∞) thì P (X ∈ I ) = P (−∞ < X < +∞) X = f (xi ) = 1 xi
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Để mô tả biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nào đó với xác suất tương ứng là bao nhiên thì người ta dùng bảng phân phối xác suất. Bảng phân phối xác suất có hai dòng. • Dòng thứ nhất là các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên X . • Dòng thứ hai là xác suất biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị tương ứng. Bảng phân phối có dạng như sau: X x1 x2 ··· xn ··· P f (x1) f (x2) ··· f (xn) ···
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Ví dụ Gọi X là số nút xuất hiện khi tung một con xúc sắc. Hãy lập bảng phân phối và xác định hàm phân phối xác suất của X . Ví dụ Tung đồng thời hai đồng xu cân đối đồng chất. Gọi Y là số mặt sấp xuất hiện khi thực hiện phép thử, hãy lập bảng phân phối xác suất và xác định hàm phân phối xác suất của Y . Ví dụ Một người đi thi bằng lái xe, xác suất đậu của anh ta ở mỗi lần thi là 0.3. Anh ta sẽ thi đến khi đạt được bằng lái xe thì thôi. Gọi Z là số lần người đó dự thi. Lập bảng phân phối xác suất của Z.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Định nghĩa Cho biến ngẫu nhiên liên tục X , hàm số f (x) không âm, xác định trên R và thỏa các tính chất i) Z P (X ∈ I ) = f (x)dx, ∀I ⊂ R I ii) ∞ Z f (x)dx = 1 −∞ hàm số f (x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Chú ý: ∞ 1) Mọi hàm f (x) không âm, và thỏa điều kiện R f (x)dx = 1 −∞ đều là hàm phân phối của 1 biến ngẫu nhiên X nào đó. 2) Từ định nghĩa về hàm mật độ ta có hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) là x Z F (x) = P (X < x) = f (u)du −∞ 3) d F 0(x) = F (x) = f (x) dx
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Ví dụ Cho hàm ( 2x nếu x ∈ [0, 1] f (x) = 0 nếu x ∈/ [0, 1] a) Chứng tỏ rằng f (x) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X nào đó. b) Tìm hàm phân phối xác suất F (x) của X . 1 c) Tính xác suất P(0 < X < 2 ).
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Ví dụ Tuổi thọ Y của một thiết bị (đơn vị: giờ) có hàm mật độ xác suất có dạng ( a nếu x ≥ 100 f (x) = x2 0 nếu x < 100 với a ∈ R. a) Hãy xác định hàm phân phối của Y . b) Thiết bị được gọi là loại A nếu tuổi thọ của nó kéo dài ít nhất 400 giờ. Tính tỉ lệ loại A.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Kỳ vọng Định nghĩa (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc) Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X x1 x2 ··· xn ··· P f (x1) f (x2) ··· f (xn) ··· Kỳ vọng của X , ký hiệu E (X ), là một số được định nghĩa +∞ X E (X ) = xi P (X = xi ) i=1 +∞ X = xi f (xi ) (3) i=1
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 3 viên bi nặng 10g, 5 viên nặng 50g, 2 viên nặng 20g. Chọn ngẫu nhiên ra 1 viên bi và gọi X là khối lượng của viên bi đó. Tính E(X ). Ví dụ Một chùm chìa khóa có 6 chìa, trong đó có 2 chìa mở được cửa. Thừ từng chìa (thử xong bỏ ra ngoài) cho đến khi mở được cửa. Tìm số lần thử trung bình để mở được cửa.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Định nghĩa (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục) Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f (x), kỳ vọng của X là +∞ Z E (X ) = xf (x)dx (4) −∞
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Ví dụ Cho X là một biến ngẫu nhiên có hàm mật độ ( 2x nếu x ∈ [0, 1] f (x) = 0 nếu x ∈/ [0, 1] Tìm kỳ vọng của X . Ví dụ Cho biến ngẫu nhiên Y có hàm mật độ xác suất ( 2 nếu x ∈ [1, 2] g(x) = x2 0 nếu x ∈/ [1, 2] Tìm E(Y ).
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Tính chất của kỳ vọng Cho X , Y là hai biến ngẫu nhiên bất kỳ và C ∈ R thì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có các tính chất sau i) E(C) = C. ii) E(CX ) = CE(X ). iii) E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ). iv) Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì E(XY ) = E(X )E(Y ). Ý nghĩa của kỳ vọng • Là giá trị trung bình theo xác suất của tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên. • Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Phương sai Định nghĩa Nếu biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng E (X ) thì phương sai, ký hiệu Var (X ), được định nghĩa 2 Var (X ) = E (X − E (X )) (5) Trong thực tế, để tính phương sai của biến ngẫu nhiên X ta 2 2 thường sử dụng công thức Var(X ) = E(X ) − (E(X )) . Định nghĩa (Độ lệch chuẩn) Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu σ(X ), là căn bậc hai của Var(X ). σ(X ) = Var(X )
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Tính chất phương sai Cho hai biến ngẫu nhiên X , Y và hằng số thực C ∈ R, phương sai có các tính chất sau i) Var (C) = 0. 2 ii) Var (CX ) = C Var (X ). iii) Nếu X và Y độc lập thì Var (X + Y ).
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Phương sai Ví dụ Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 3 viên bi nặng 10g, 5 viên nặng 50g, 2 viên nặng 20g. Chọn ngẫu nhiên ra 1 viên bi và gọi X là khối lượng của viên bi đó. Tính E(X ), Var(X ). Ví dụ Cho biến ngẫu nhiên Y có hàm mật độ xác suất ( 2 nếu x ∈ [1, 2] g(x) = x2 0 nếu x ∈/ [1, 2] Tìm E(Y ), Var(X ).
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Ý nghĩa của Phương sai • Phương sai là kỳ vọng của bình phương các sai lệch giữa X và E(X ), nói cách khác phương sai là trung bình bình phương sai lệch, nó phản ánh mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình. • Trong công nghiệp phương sai biểu thị độ chính xác trong sản xuất. Trong canh tác, phương sai biểu thị mức độ ổn định của năng suất
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Trung vị Định nghĩa (Trung vị) Cho biến ngẫu nhiên X bất kỳ, trung vị của X , ký hiệu Med(X ), là giá trị m của biến ngẫu nhiên X sao cho  1  (X ≤ m) ≥  P 2 1  (X ≥ m) ≥  P 2 ta viết Med(X ) = m. Khi X là biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục thì phân vị của X , Med(X ) chính là điểm chia phân phối xác suất thành hai phần bằng nhau nghĩa là P (X ≥ Med(X )) = P (X ≤ Med(X ))
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê Nguyễn Văn Thìn Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM Ngày 4 tháng 9 năm 2011
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Nội dung Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Các biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên liên tục
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Biến ngẫu nhiên Bernoulli Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên Bernoulli) Thực hiện một phép thử, ta quan tâm đến biến cố A. Nếu biến cố A xảy ra (thành công) thì X nhận giá trị là 1, (X = 1), ngược lại biến ngẫu nhiên X nhận giá trị 0. Phép thử này gọi là phép thử Bernoulli. Giả sử xác suất xảy ra biến cố A là p, 0 ≤ p ≤ 1 P (A) = P (X = 1) = p và P A¯ = P (X = 0) = 1 − p = q Khi đó biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên Bernoulli với tham số p, ký hiệu X ∼ B(1; p).
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Bernoulli có dạng X 1 0 P p q Dựa vào bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Bernoulli ta dễ dàng tính được E (X ) = p và Var (X ) = pq.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Biến ngẫu nhiên nhị thức Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên nhị thức) Thực hiện n phép thử Bernoulli độc lập với xác suất thành công trong mỗi phép thử là p. Gọi X là số lần thành công (biến cố A xảy ra) trong n phép thử thì X = X1 + ··· + Xn với Xi , (i = 1, , n), là biến ngẫu nhiên Bernoulli. Khi đó X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị S = {0, , n} và xác suất k k n−k P (X = k) = Cn p q , k ∈ S X được gọi là có phân phối nhị thức với các tham số n, p ký hiệu X ∼ B (n; p).
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Biến ngẫu nhiên nhị thức Định lý (Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên nhị thức) Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B (n, p) thì i) E (X ) = np. ii) Var (X ) = npq. iv) Với x, h là hai số nguyên nguyên dương thì P (x ≤ X ≤ x + h) = P (X = x)+P (X = x + 1)+···+P (X = x + h) . Ví dụ Hàng đóng thành kiện, mỗi kiện 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Khi kiện hàng được giao cho khách hàng, khách hàng sẽ lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm trong kiện để kiểm tra. Nếu cả hai sản phẩm đều tốt, kiện hàng sẽ được nhận, ngược lại kiện hàng sẽ bị trả lại. Gọi X là số kiện hàng được nhận trong số 100 kiện hàng giao cho khách hàng. Tìm E (X ), Var (X )
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Phân phối Poisson Định nghĩa (Phân phối Poisson) Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị nguyên dương k, (k = 0, 1, 2, ) với xác suất λk e−λ (X = k) = , k = 0, 1, 2, P k! Thì biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ, ký hiệu X ∼ P(λ).
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Một số biến ngẫu nhiên thường được xem là tuân theo phân phối Poisson i) Số lỗi in trong một (hoặc một số) trang sách. ii) Số người sống lâu trên 100 tuổi trong một cộng đồng dân cư. iii) Số người đến một bưu điện nào đó trong một ngày. iv) Số tai nạn hoặc sự cố giao thông xảy ra tại một điểm giao thông trong một ngày Ví dụ Giả sử số lỗi in trong một trang nào đó của quyển sách có phân 1 phối Poisson với tham số λ = 2 . Tính xác suất có ít nhất một lỗi in trong trang này.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Định lý (Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson) Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ, X ∼ P(λ) thì i) Kỳ vọng E (X ) = λ. ii) Phương sai Var (X ) = λ.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Phân phối đều Định nghĩa (Phân phối đều) Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a; b], ký hiệu X ∼ U [a; b], nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng  1  khi x ∈ [a, b] f (x) = b − a  0 nơi khác Từ định nghĩa trên ta có được hàm phân phối xác suất của X ∼ U [a; b]  0 khi x b
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Phân phối đều Định lý (Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối đều) Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên [a, b] (X ∼ U[a, b]) thì b−a i) Kỳ vọng E (X ) = 2 . (a−b)2 ii) Phương sai Var (X ) = 12 . Ví dụ Lịch xuất bến của một trạm xe buýt như sau: chiếc xe đầu tiên trong ngày sẽ khởi hành vào lúc 7h, sau 15 phút sẽ có một xe khác đến trạm. Giả sử một hành khách đến trạm trong khoảng thời gian từ 7h - 7h30. Tìm xác suất để hành khách này chờ a ít hơn 5 phút. b ít nhất 12 phút.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Phân phối chuẩn Định nghĩa (Phân phối chuẩn) Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (−∞, +∞) được gọi là có phân phối chuẩn tham số µ, σ nếu hàm mật độ xác suất có dạng ! 1 (x − µ)2 f (x) = √ exp − − ∞ 0, −∞ < µ < +∞, ký hiệu X ∼ N µ; σ2.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Nhờ vào định lý sau, nến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn thì biến ngẫu nhiên tuyến tính của X cũng có phân phối chuẩn. Định lý (Tính "tuyến tính" của phân phối chuẩn) Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ, phương sai σ2 và nếu Y = aX + b, (a, b là hằng số và a 6= 0), thì Y có phân phối chuẩn với kỳ vọng aµ + b và phương sai a2σ2. Định lý Nếu các biến ngẫu nhiên X1, , Xn là độc lập và nếu Xi có phân 2 phối chuẩn với kỳ vọng µi và phương sai σi , (i = 1, 2, , n), thì tổng X1 + ··· + Xn có phân phối chuẩn với kỳ vọng là 2 2 µ1 + ··· + µn và phương sai là σ1 + ··· + σn.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Bổ đề Nếu các biến ngẫu nhiên X1, , Xn là độc lập và Xi có phân phối 2 chuẩn với kỳ vọng µi và phương sai σi , (i = 1, , n). ai , , an và b là các hằng số sao cho có ít nhất một ai 6= 0, thì biến ngẫu nhiên a1X1 + ··· + anXn + b có phân phối chuẩn với kỳ vọng 2 2 2 2 a1µ1 + ··· + anµn và phương sai a1σ1 + ··· + anσn.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Định nghĩa (Phân phối chuẩn hóa) Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn hóa nếu nó có phân phối chuẩn với tham số µ = 0 và σ2 = 1, ký hiệu X ∼ N (0; 1). Theo quy ước, hàm phân phối của biến ngẫu nhiên chuẩn hóa được ký hiệu là Φ(x), tức Z x 2 1 − y Φ(x) = √ e 2 dy 2π −∞
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Theo định lý về tính tuyến tính của phân phối chuẩn, nếu X − µ X ∼ N µ; σ2 thì có phân phối chuẩn hóa hay σ X − µ ∼ N (0; 1) σ Dựa vào tính chất này ta có thể tính xác suất của biến ngẫu nhiên X ∼ N µ; σ2. X − µ b − µ (X < b) = < P P σ σ b − µ = Φ (2) σ Tương tự, với a < b thì P (a ≤ X < b) = P (X < b) − P (X < a) b − µ a − µ = Φ − Φ (3) σ σ
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Quy tắc k-sigma (kσ) Nếu X ∼ N µ; σ2 thì X − µ (|X − µ| < kσ) = −k < < k P P σ = 2Φ(k) − 1 Với k = 3 ta có quy tắc 3-sigma: X − µ (|X − µ| < 3σ) = −k < < k P P σ = 2Φ(3) − 1 ≈ 0.9973 "Sai số giữa X và µ không quá 3 σ là gần chắc chắn (xác suất gần bằng 1)."
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Định nghĩa (Phân vị chuẩn hóa) Cho biến ngẫu nhiên X ∼ N µ; σ2, phân vị chuẩn hóa mức α, ký hiệu xα, là giá trị của biến ngẫu nhiên X thỏa mãn điều kiện P (X < xα) = α Ví dụ Đường kính của một chi tiết máy do một máy tiện sản xuất có phân phối chuẩn với kỳ vọng 20mm, phương sai (0.2mm)2. Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết a) có đường kính trong khoảng 19.9mm đến 20.3mm. b) có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0.3mm.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn Định lý (Định lý giới hạn trung tâm) Cho X ∼ B(n, p) khi ấy ta có X − np lim P( √ ≤ x) = Φ(x) n→+∞ npq Áp dụng định lý trên, trong thực hành với n ≥ 20 và p không quá gần 0 hoặc 1, ta có X√−np i. P npq ≤ x = Φ(x) k√1−np X√−np k√2−np ii. P (k1 ≤ X ≤ k2) = P npq ≤ npq ≤ npq ≈ k√1−np k√2−np Φ npq − Φ npq
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Ví dụ Một xạ thủ có xác suất bắn trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0.8. Xạ thủ này bắn 64 phát vào bia. Tính xác suất a) Có 50 phát trúng bia. b) Có từ 45 đến 52 phát trúng bia. c) Có không quá 51 phát trúng bia.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê Nguyễn Văn Thìn Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM Ngày 4 tháng 9 năm 2011
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Nội dung Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Tổng thể và mẫu Mô hình xác suất của tổng thể và mẫu Các tham số đặc trưng của mẫu
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Định nghĩa Trong bài toán thống kê ta cần khảo sát một hay nhiểu dấu hiệu nào đó và các dấu hiệu này thể hiện trên nhiều phần tử khác nhau. Tập hợp tất cả các phần tử chứa đựng thông tin về các dấu hiệu ta cần nghiên cứu gọi là Dân số hay tổng thể. Ví dụ Ta cần nghiên cứu về thu nhập của những người làm việc trong ngành thư viện. Dấu hiệu ta cần khảo sát là "thu nhập" và những thông tin về thu nhập được thu thập ở những người làm việc trong ngành này. Vậy tất cả những người làm việc trong ngành thư viện được coi là tổng thể.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Đối với tổng thể, ta sử dụng một số khái niệm và ký hiệu sau: N: Số phần tử của tổng thể và được gọi là kích thước của tổng thể. X ?: Dấu hiệu ta cần khảo sát, nghiên cứu. Cần nhấn mạnh rằng khi ta nghiên cứu một tổng thể có nghĩa là ta nghiên cứu dấu hiệu X ? được thể hiện trên các phần tử của tổng thể. ? xi : với i = 1, 2 k là các giá trị của dấu hiệu X đo được trên các phần tử của tổng thể. Ni : Tần số của xi - là số phần tử nhận giá trị xi . Ta luôn có Pk i=1 Ni = N. pi : Tần suất của xi - là tỷ số giữa tần số của xi và kích thước Ni tổng thể pi = N .
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Các đặc trưng của tổng thể Định nghĩa Trung bình của tổng thể (ký hiệu là µ), được xác định theo công thức k X µ = xi pi i=1 Định nghĩa Phương sai của tổng thể (ký hiệu là σ2), được xác định theo công thức k 2 X 2 σ = (xi − µ) pi i=1
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Định nghĩa Độ lệch chuẩn của tổng thể (ký hiệu là σ), được xác định theo công thức √ σ = σ2 Định nghĩa Tỷ lệ tổng thể (ký hiệu là p), được định nghĩa như sau: Giả sử tổng thể gồm N phần tử, trong đó có M phần tử có tính chất A. M Gọi p = N là tỷ lệ các phần tử có tính chất A của tổng thể (hay gọi tắt là tỷ lệ tổng thể)
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Để có thể khảo sát được các một số tính chất của đặc tính ta quan tâm nếu ta đi điều tra toàn bộ tổng thể thì gặp các khó khăn sau đây • Phải chịu chi phí lớn về tiền của, thời gian, nhân lực, phương tiện, • Một số trường hợp sẽ phải phá hủy các phần tử được điều tra. • Có những trường hợp ta không thể xác định được toàn bộ các phần tử của tổng thể.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Khái niệm về mẫu Định nghĩa Một tập hợp gồm n phần tử lấy ra từ tổng thể được gọi là một mẫu. Số phần tử của mẫu n được gọi là kích thước mẫu hay cỡ mẫu. Trong thực tế có nhiều cách lấy mẫu: Lấy mẫu ngẫu nhiên, chọn mâu cơ giới, chọn mẫu bằng cách phân lớp Việc lấy mẫu được tiến hành chủ yếu theo 2 phương thức: • Lấy mẫu có hoàn lại (có lặp). • Lấy mẫu không hoàn lại (không lặp). Nhờ các định lý về giới hạn của xác suất, người ta đã chứng minh được rằng: Khi số phần tử của tổng thể đủ lớn thì có thể coi hai cách lấy mẫu có lặp và không lặp là như nhau.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ta có thể mô hình hóa dấu hiệu X ? bằng một đại lượng ngẫu nhiên như sau: Nếu lấy ngẫu nhiên từ tổng thể ra 1 phần thử và gọi X là giá trị của dấu hiệu X ? đo được trên phần tử lấy ra đó thì X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau X x1 x2 ··· xk P p1 p2 ··· pk Như vậy dấu hiệu mà ta nghiên cứu X ? có thể được mô hình hóa bởi một đại lượng ngẫu nhiên X . Quy luật phân phối xác suất của X được gọi là quy luật phân phối gốc.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Các tham số của đại lượng ngẫu nhiên gốc Định nghĩa Với quy luật phân phối xác suất được cho bởi bảng trên, theo định nghĩa kỳ vọng của X là k X E(X ) = xi pi = µ i=1 Định nghĩa Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên gốc là k k X 2 X 2 Var(X ) = (xi − E(X )) pi = (xi − µ) pi i=1 i=1
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Mẫu ngẫu nhiên Định nghĩa Cho một đại lượng ngẫu nhiên X với quy luật phân phối xác suất nào đó. Một mẫu ngẫu nhiên kích thước n được thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên X là n đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối với đại lượng ngẫu nhiên X . Ta ký hiệu mẫu ngẫu nhiên kích thước n được thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên X là (X1, X2, , Xn). Ở mỗi lần khảo sát hay lấy mẫu ta thu được một mẫu cụ thể với kích thước n, đây là một giá trị của mẫu ngẫu nhiên có kích thước n và mẫu cụ thể này được ký hiệu là (x1, x2, xn).
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Các phương pháp mô tả số liệu mẫu • Mô tả mẫu bằng bảng phân phối tần số thực nghiệm xi x1 x2 ··· xk ni n1 n2 ··· nk • Mô tả mẫu bằng bảng phân phối tần suất thực nghiệm xi x1 x2 ··· xk fi f1 f2 ··· fk
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Các tham số đặc trưng của mẫu Cho mẫu ngẫu nhiên kích thước n, (X1, X2, , Xn) được xây dựng từ đại lượng ngẫu nhiên X . Định nghĩa Trung bình mẫu ngẫu nhiên, ký hiệu là X¯ được định nghĩa là Pn X X¯ = i=1 i n Khi có mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) từ mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) ta sẽ thu được một giá trị cụ thể của X¯ ký hiệu là x¯ được tính theo công thức Pn x x¯ = i=1 i n
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Tính chất Nếu đại lượng ngẫu nhiên gốc X có kỳ vọng toán E(X ) = µ và 2 ¯ ¯ σ2 phương sai Var(X ) = σ thì E(X ) = µ và Var(X ) = n
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Định nghĩa Phương sai mẫu ngẫu nhiên, ký hiệu là S2 được định nghĩa là Pn (X − X¯ )2 S2 = i=1 i n − 1 Khi có mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) từ mẫu ngẫu nhiên 2 (X1, X2, , Xn) ta sẽ thu được một giá trị cụ thể của S ký hiệu là s2 được tính theo công thức Pn (x − x¯)2 s2 = i=1 i n − 1
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Tính chất Nếu đại lượng ngẫu nhiên gốc X có kỳ vọng toán E(X ) = µ và 2 2 2 phương sai Var(X ) = σ thì E(S ) = σ . Định nghĩa Độ lệch chuẩn của mẫu√ ngẫu nhiên, ký hiệu S là căn bậc hai của phương sai mẫu S = S2. Nếu có mẫu cụ thể thì độ lệch chuẩn của mẫu cụ thể này là một giá trị của S.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Phương pháp tính các tham số đặc trưng của mẫu • Trường hợp mẫu cho dưới dạng gồm đủ n giá trị quan sát: Pn x x¯ = i=1 i n n ! 1 X s2 = x2 − n(¯x)2 n − 1 i i=1 • Trường hợp số mẫu cho dưới dạng tần số ni Pk n x x¯ = i=1 i i n k ! 1 X s2 = n x2 − n(¯x)2 n − 1 i i i=1 Chú ý trong trường hợp số liệu của mẫu được cho dưới dạng từng khoảng thì khi áp dụng hai công thức trên ta thay mỗi khoảng bằng giá trị trung tâm của khoảng đó.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê Nguyễn Văn Thìn Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM Ngày 4 tháng 9 năm 2011
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Nội dung Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Ước lượng trung bình của tổng thể. Ước lượng tỷ lệ của tổng thể. Xác định kích thước mẫu Xác định độ tin cậy
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Giới thiệu về bài toán ước lượng thống kê Bài toán ước lượng Các tham số đặc trưng của tổng thể như trung bình tổng thể, tỷ lệ tổng thể, phương sai tổng thể, được sử dụng rất nhiều trong phân tích kinh tế xã hội và các lĩnh vực khác. Nhưng các tham số đăc trưng này thường là chưa biết. Vì vậy đặt ra vấn đề cần ước lượng chúng bằng phương pháp mẫu. Phát biểu bài toán Cho đại lượng ngẫu nhiên X có thể đã biết một phần hoặc hoàn toàn chưa biết quy luật phân phối xác suất và chưa biết tham số θ nào đó của nó. Hãy ước lượng tham số θ bằng phương pháp mẫu.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Giới thiệu về bài toán ước lượng thống kê Các loại ước lượng Vì θ là một hằng số nên ta có thể dùng một con số nào đó để ước lượng θ. Ước lượng như vậy được gọi là ước lượng điểm. Ngoài dùng ước lượng điểm ta còn dùng ước lượng khoảng. Tức là chỉ ra môt khoảng nào đó có thể chứa θ.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Phương pháp khoảng tin cậy Mô tả phương pháp khoảng tin cậy: Để ước lượng tham số θ của đại lượng ngẫu nhiên X , từ X ta lập mẫu ngẫu nhiên (X1, , Xn) Chọn thống kê θˆ = f (X1, X2, , Xn, θ) sao cho mặc dù chưa biết giá trị của θ nhưng qui luật phân phối xác suất của θˆ vẫn hoàn toàn xác định. Do đó với xác suất α khá bé ta có thể tìm được hai số a, b thõa mãn P(a ≤ θˆ ≤ b) ≤ 1 − α. • Khoảng (θˆ1, θˆ2) được gọi là khoảng tin cậy của θ. • (1 − α) gọi là độ tin cậy của ước lượng. • l = θˆ2 − θˆ1 gọi là độ dài khoảng tin cậy.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Ước lượng trung bình của tổng thể. Bài toán Cho tổng thể với trung bình µ với phương sai có thể đã biết hoặc chưa biết. Từ mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) hãy ước lượng µ với độ tin cậy 1 − α.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Ước lượng trung bình của tổng thể. Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30 (hoặc n < 30 nhưng X có phân phối chuẩn), σ2 đã biết Xét đại lượng ngẫu nhiên X¯ − µ Z = √σ n √ n(X¯ − µ) = σ Với độ tin cậy 1 − α, khoảng tin cậy của µ là ¯ σ ¯ σ ¯ ¯ X − z1− α √ , X + z1− α √ = X − , X + 2 n 2 n σ với = z α √ được gọi là độ chính xác của ước lượng. 1− 2 n
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Ước lượng trung bình của tổng thể. Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30, σ2 chưa biết Ta có thể dùng ước lượng của Var(X ) là S2 để thay thế cho σ2 Xét đại lượng ngẫu nhiên X¯ − µ Z = √S n √ n(X¯ − µ) = S Với độ tin cậy 1 − α, khoảng tin cậy của µ là ¯ S ¯ S ¯ ¯ X − z1− α √ , X + z1− α √ = X − , X + 2 n 2 n S với = z α √ . 1− 2 n
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Ước lượng trung bình của tổng thể. Trường hợp kích thước mẫu n < 30, σ2 chưa biết, X tuân theo quy luật phân phối chuẩn. Xét đại lượng ngẫu nhiên X¯ − µ T = √S n √ n(X¯ − µ) = S Với độ tin cậy 1 − α, khoảng tin cậy của µ là ¯ S ¯ S ¯ ¯ X − t1− α √ , X + t1− α √ = X − , X + 2 n 2 n S với = t α √ . 1− 2 n
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Ước lượng tỷ lệ của tổng thể. Bài toán Cho tổng thể X , trong đó tỷ lệ cá thể mang đặc tính A nào đó là trong tổng thể là p. Từ mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) hãy ước lượng p với độ tin cậy 1 − α.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Ước lượng tỷ lệ của tổng thể. Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30 (hoặc n < 30 nhưng X có phân phối chuẩn, σ2 đã biết: Quan sát sự xuất hiện của biến cố "Cá thể mang đặc tính A" trong n phép thử độc lập. Nếu có m lần xuất hiện biến cố trên thì m tần suất f = n là một ước lượng điểm của xác suất P(A) = p. Gọi F là tần số xuất hiện A trong n phép thử thì F ∼ B(1, p). Gọi (F1, , Fn) là một mẫu ngẫu nhiên của F , khi đó n 1 X F¯ = F = f n i i=1 Xét đại lượng ngẫu nhiên √ F¯ − p n(F¯ − p) Z = = √ q pq pq n
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Với độ tin cậy 1 − α, khoảng tin cậy của µ là r r p(1 − p) p(1 − p) f − z1− α , f + z1− α 2 n 2 n Trong đó f chính là F¯ ta tính được từ mẫu. Thay p bằng ước lượng điểm của nó là f ta thu được r r f (1 − f ) f (1 − f ) f − z1− α , f + z1− α = f − , f + 2 n 2 n q f (1−f ) với = z α được gọi là độ chính xác của ước lượng. 1− 2 n
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Xác định kích thước mẫu. Ta thấy chất lượng của ước lượng phản ánh qua độ tin cậy 1 − α và độ chính xác . Độ tin cậy và độ chính xác càng cao thì ước lượng đó càng tốt. Nhưng độ chính xác lại phụ thuộc vào kích thước mẫu n và độ tin cậy 1 − α. Vấn đề đặt ra là: Ta muốn độ tin cậy 1 − α và độ chính xác đạt được ở một mức độ nào đó cho trước thì cần kích thước mẫu n tối thiểu là bao nhiêu?
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Xác định kích thước mẫu. Xác định kích thước mẫu khi ước lượng trung bình tổng thể 2 a Nếu biết Var(X ) = σ , từ công thức σ = z √ 1−α/2 n ta suy ra σ2 n = (z )2 1−α/2 2 b Nếu chưa biết σ2, khi đó căn cứ vào mẫu đã cho để tính s2. Từ đó xác định được kích thước mẫu theo công thức s2 n = (z )2 1−α/2 2
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Xác định kích thước mẫu. Xác định kích thước mẫu khi ước lượng tỷ lệ tổng thể a Nếu biết f (ước lượng điểm của p) từ công thức r f (1 − f ) = z 1−α/2 n ta suy ra f (1 − f ) n = (z )2 1−α/2 2 b Nếu chưa biết f , (ước lượng điểm của p) Từ công thức rpq = z 1−α/2 n ta suy ra pq n = (z )2 1−α/2 2 2 0.25(z1−α/2) Nhưng do pq đạt cực đại khi p = q = 0.5 nên n ≥ 2
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Xác định độ tin cậy. Khi ước lượng các số đặc trưng của tổng thể bằng các số liệu quan sát của một mẫu kích thước n, nếu ta muốn độ chính xác đạt được ở một mức nào đó thì độ tin cậy (1 − α) sẽ là bao nhiêu?
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Xác định độ tin cậy. Xác định độ tin cậy khi ước lượng trung bình tổng thể 2 a Nếu biết Var(X ) = σ thì từ công thức σ = z √ 1−α/2 n ta suy ra √ n z = 1−α/2 σ sau khi xác định được z1−α/2 ta suy ra độ tin cậy 1 − α (tra bảng). 2 b Nếu chưa biết Var(X ) = σ , khi đó ta căn cứ vào mẫu đã cho để tính s. Từ đó xác định z1−α/2 theo công thức √ n z = 1−α/2 s Rồi suy tiếp ra độ tin cậy 1 − α như đã làm ở trên.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Xác định độ tin cậy. Xác định độ tin cậy khi ước lượng tỷ lệ tổng thể. Từ công thức r f (1 − f ) = z 1−α/2 n ta suy ra r n z = 1−α/2 f (1 − f ) Từ đây ta suy ngược ra 1 − α như đã làm ở trên.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê Nguyễn Văn Thìn Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM Ngày 4 tháng 9 năm 2011
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Nội dung Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể. Kiểm định giả thiết về tỷ lệ của tổng thể.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Bài toán kiểm định giả thiết thống kê. Định nghĩa (Giả thiết thống kê, kiểm định giả thiết thống kê) Giả thiết thống kê là những giả thiết nói về các tham số, dạng quy luật phân phối, hoặc tính độc lập của các đại lượng ngẫu nhiên. Việc tìm ra kết luận bác bỏ hay chấp nhận một giả thiết gọi là kiểm định giả thiết thống kê Ví dụ Trong một báo cáo nói rằng: thu nhập bình quân của những người làm trong ngành thư viện ở Việt Nam là 7 triệu đồng một tháng thì ta có thể coi đó là một giả thiết thống kê, giả thiết này nói về một tham số (kỳ vọng) của biến ngẫu nhiên X biểu thị mức lương của những người làm trong ngành thư viện. Dựa vào số liệu của một mẫu điều tra về thu nhập và quy tắc kiểm định để đưa một kết luận là bác bỏ hay chấp nhận giả thiết nói trên.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Cách đặt giả thiết. 1 Giả thiết được đặt ra với ý đồ bác bỏ nó, nghĩa là giả thiết đặt ra ngược lại với điều ta muốn chứng minh,muốn thuyết phục. 2 Giả thiết được đặt ra sao cho khi chấp nhận hay bác bỏ nó sẽ có tác dụng trả lời mà bài toán thực tế đặt ra. 3 Giả thiết được đặt ra nếu nó đúng thì ta sẽ xác định được qui luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên được chọn làm tiêu chuẩn kiểm định. 4 Khi đặt giả thiết ta thường so sánh cái chưa biết với cái đã biết. Cái chưa biết là điều mà ta cần kiểm định, kiểm tra, làm rõ. "Cái đã biết" mà ta nói ở đây thường là những thông tin quá khứ, các định mức kinh tế, kỹ thuật. 5 Giả thiết đặt ra thường mang ý nghĩa: "không khác nhau", hoặc "khác mà không có ý nghĩa" hoặc "bằng nhau".
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Giả thiết không và đối thiết Giả thiết cần kiểm định được gọi là Giả thiết không ký hiệu H0. Một mệnh đề đối lập với H0 được gọi là Giả thiết đối (Đối thiết) và được ký hiệu là H1. Ví dụ H0 : θ = θ0; H1 : θ 6= θ0 Nếu ta kiểm định giả thiết với đối thiết dạng như trên thì kiểm định được gọi là kiểm định giả thiết hai phía. Nếu kiểm định giả thiết với đối thiết có dạng H1 : θ > θ0 hoặc H1 : θ < θ0 thì kiểm định được gọi là kiểm định giả thiết một phía.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Tiêu chuẩn kiểm định. Xuất phát từ yêu cầu của bài toán thực tế , ta nêu ra giả thiết H0 và đối thiết của nó. Giả sử rằng H0 đúng, từ đó tìm một biến cố có xác suất đủ bé để có thể tin rằng biến cố đó hầu như không thể xảy ra trong một phép thử. Muốn vậy từ mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) ta chọn Z = f (X1, , Xn, θ0) sao cho: Nếu H0 đúng thì ta sẽ xác định được quy luật phân phối xác suất của Z và với mẫu cụ thể ta có thể tính được giá trị của Z. Đại lượng ngẫu nhiên Z được gọi là Tiêu chuẩn kiểm định giả thiết H0.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Miền bác bỏ, mức ý nghĩa. Do quy luật phân phối xác suất của Z đã biết nên với α bé tùy ý ta có thể tìm được miền Wα sao cho P(Z ∈ Wα) = α. Miền Wα được gọi là miền bác bỏ giả thiết H0 và α được gọi là mức ý nghĩa của kiểm định. Thực hiện một phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên (X1, , Xn) ta thu được mẫu cụ thể (x1, , xn). Từ mẫu cụ thể này ta tính được giá trị của Z (ký hiệu là z) và gọi là giá trị thực nghiệm z = f (x1, , xn, θ0). • Nếu z ∈ Wα thì ta bác bỏ giả thiết H0, thừa nhận H1. • Nếu z ∈/ Wα thì ta chấp nhận H0.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Sai lầm loại 1 và sai lầm loại 2. Khi kiểm định giả thiết thống kê, chúng ta có thể mắc phải một trong hai loại sai lầm sau đây: a Sai lầm loại 1: Là sai lầm mắc phải khi ta bác bỏ giả thiết H0 trong khi thực tế thì giả thiết H0 đúng. b Sai lầm loại 2: Là sai lầm mắc phải khi ta chấp nhận giả thiết H0 trong khi thực tế thì giả thiết H0 sai.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Quy trình kiểm định. Quá trình kiểm định giả thiết thống kê được tiến hành theo các bước sau đây 1 Phát biểu giả thiết không H0 và đối thiết H1. Quyết định dữ liệu nào cần được thu thập và thu thập dưới các điều kiện nào. Chọn lựa một kiểm định thống kê (cùng với mô hình thống kê liên kết với nó) để kiểm định H0. 2 Từ một số kiểm định có thể được dùng cho mô hình nghiên cứu, chọn ra kiểm định thích hợp nhất dựa trên cơ sở là các điều kiện của nghiên cứu và các giả định cơ sở của kiểm định. 3 Chọn mức ý nghĩa α và kích thước mẫu n. 4 Tìm phân phối mẫu của kiểm định thống kê dưới điều kiện H0 đúng.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê 5 Trên cơ sở (2), (3) và (4) đã trình bày ở trên, xác định miền bác bỏ của kiểm định thống kê tương ứng. 6 Thu thập dữ liệu. Sử dụng dữ liệu thu được từ mẫu, tính giá trị của kiểm định. Nếu giá trị của thống kê nằm trong miền bác bỏ, ta bác giả thiết H0, nếu giá trị thu được nằm ngoài miền bác bỏ, kết luận không thể bác bỏ giả thiết H0 ở mức ý nghĩa đã chọn.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Quy trình kiểm định trong bài làm 1 Từ mẫu cụ thể đã cho tính giá trị của các thống kê tương ứng với tiêu chuẩn kiểm định trong trường hợp tương ứng. 2 Với mức ý nghĩa α cho trước, xác định miền bác bỏ. 3 Kiểm tra giá trị của tiêu chuẩn kiểm định có nằm trong miền bác bỏ hay không và kết luận.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể. Bài toán Cho tổng thể với trung bình µ chưa biết với phương sai có thể đã biết hoặc chưa biết. Từ mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) hãy kiểm định H0 : µ = m0, H1 : µ 6= m0 (µ m0) với mức ý nghĩa α.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể. Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30 (hoặc n < 30 nhưng X có phân phối chuẩn), σ2 đã biết Chọn thống kê X¯ − m Z = 0 √σ n √ n(X¯ − m ) = 0 σ làm tiêu chuẩn kiểm định. Nếu giả thiết H0 đúng thì Z ∼ N(0, 1). Từ đây ta suy ra miền bác bỏ tương ứng với từng loại đối thiết.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể. Ta có bảng tóm tắt các loại giả thiết và miền bác bỏ tương ứng. Giả thiết Miền bác bỏ n o H0 : µ = m0 x¯−m0 Wα = z = √ : z z1−α H1 : µ > m0 σ/ n n o H0 : µ = m0 x¯−m0 Wα = z = √ : |z| > z1−α/2 H1 : µ 6= m0 σ/ n
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể. Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30, σ2 chưa biết Ta có thể dùng ước lượng của Var(X ) là S2 để thay thế cho σ2. Chọn thống kê X¯ − m Z = 0 √S n √ n(X¯ − m ) = 0 S làm tiêu chuẩn kiểm định. Nếu giả thiết H0 đúng thì Z ∼ N(0, 1). Từ đây ta suy ra miền bác bỏ tương ứng với từng loại đối thiết.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể. Ta có bảng tóm tắt các loại giả thiết và miền bác bỏ tương ứng. Giả thiết Miền bác bỏ n o H0 : µ = m0 x¯−m0 Wα = z = √ : z z1−α H1 : µ > m0 s/ n n o H0 : µ = m0 x¯−m0 Wα = z = √ : |z| > z1−α/2 H1 : µ 6= m0 s/ n
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể. Trường hợp kích thước mẫu n < 30, σ2 chưa biết, X tuân theo quy luật phân phối chuẩn. Chọn thống kê X¯ − m T = 0 √S n √ n(X¯ − m ) = 0 S làm tiêu chuẩn kiểm định. Nếu giả thiết H0 đúng thì T ∼ T (n − 1) (Phân phối Student với n − 1 bậc tự do). Từ đây ta suy ra miền bác bỏ tương ứng với từng loại đối thiết.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể. Ta có bảng tóm tắt các loại giả thiết và miền bác bỏ tương ứng. Giả thiết Miền bác bỏ H : µ = m n o 0 0 x¯−√m0 n−1 Wα = t = : t t1−α H1 : µ > m0 s/ n H : µ = m n o 0 0 x¯−√m0 n−1 Wα = t = : |t| > t1−α/2 H1 : µ 6= m0 s/ n
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Kiểm định giả thiết về tỷ lệ của tổng thể. Bài toán Cho tổng thể X , trong đó tỷ lệ cá thể mang đặc tính A nào đó là trong tổng thể là p (p chưa biết). Từ mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) hãy kiểm định H0 : p = p0, H1 : p 6= p0 (p p0) với mức ý nghĩa α.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Kiểm định giả thiết về tỷ lệ của tổng thể. Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30 (hoặc n < 30 nhưng X có phân phối chuẩn, σ2 đã biết: Quan sát sự xuất hiện của biến cố "Cá thể mang đặc tính A" trong n phép thử độc lập. Nếu có m lần xuất hiện biến cố trên thì m tần suất f = n là một ước lượng điểm của xác suất P(A) = p. Gọi F là tần số xuất hiện A trong n phép thử thì F ∼ B(1, p). Gọi (F1, , Fn) là một mẫu ngẫu nhiên của F , khi đó n 1 X F¯ = F = f n i i=1 Chọn thống kê √ F¯ − p0 n(F¯ − p0) Z = q = √ p0q0 p0q0 n làm tiêu chuẩn kiểm định. Nếu giả thiết H0 đúng thì Z ∼ N(0, 1). Từ đây ta suy ra miền bác bỏ tương ứng với từng loại đối thiết.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê Kiểm định giả thiết thống kê Kiểm định giả thiết về tỷ lệ của tổng thể. Ta có bảng tóm tắt các loại giả thiết và miền bác bỏ tương ứng. Giả thiết Miền bác bỏ √ H0 : p = p0 n (f −p0) n o Wα = z = √ : z z1−α H1 : p > p0 p0(1−p0) √ H0 : p = p0 n (f −p0) n o Wα = z = √ : |z| > z1−α/2 H1 : p 6= p0 p0(1−p0)