Bài giảng Xác suất & thống kê - Nguyễn Đức Phương

Nội dung text: Bài giảng Xác suất & thống kê - Nguyễn Đức Phương

1. Xác suất và thống kê
2. BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP. HCM Nguyễn Đức Phương Bài giảng Xác suất & thống kê MSSV: Họtên: TP. HCM – Ngày 24 tháng 12 năm 2010
3. Mục lục Mục lục iv 1 Biến cố, xác suất của biến cố 1 1.1 Phépthử,biếncố 1 1.2 Quanhệgiữacácbiếncố 2 1.3 Địnhnghĩaxácsuất 4 1.4 Xácsuấtcóđiềukiện,sựđộclập . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.1 Xácsuấtcóđiềukiện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.2 Sựđộclậpcủahaibiếncố . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Cáccôngthứctínhxácsuất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.1 Côngthứccộng 10 1.5.2 Côngthứcnhân 10 1.5.3 Côngthứcxácsuấtđầyđủ. . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.4 CôngthứcxácsuấtBayes . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Bàitậpchương1 17 2 Biến ngẫu nhiên 27 2.1 Kháiniệmbiếnngẫunhiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Phânphốixácsuấtcủabiếnngẫunhiên . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 X làbiếnngẫunhiênrờirạc . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 X làbiếnngẫunhiênliêntục . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3 Hàmphânphốixácsuất . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. MỤC LỤC ii 2.3 Cácđặctrưngsốcủabiếnngẫunhiên. . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 Kỳ vọng - EX 36 2.3.2 Phương sai - VarX 39 2.3.3 ModX 40 2.4 Bàitậpchương2 42 3 Một số phân phối xác suất thông dụng 50 3.1 PhânphốiBernoulli 50 3.2 PhânphốiNhịthức 51 3.3 PhânphốiSiêubội 53 3.4 PhânphốiPoisson 55 3.5 PhânphốiChuẩn 56 3.6 Bàitậpchương3 61 4 Luật số lớn và các định lý giới hạn 69 4.1 Hộitụtheoxácsuấtvàphânphối. . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 BấtđẳngthứcMarkov,Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2.1 BấtđẳngthứcMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2.2 BấtđẳngthứcChebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3 Luậtsốlớn 71 4.4 Địnhlýgiớihạntrungtâm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.5 Liênhệgiữacácphânphốixácsuất. . . . . . . . . . . . . . . 73 4.5.1 Liên hệ giữa phân phối nhị thức và chuẩn . . . . . . . 73 4.5.2 Liênhệgiữasiêubộivànhịthức . . . . . . . . . . . . 74 4.5.3 LiênhệgiữanhịthứcvàPoisson . . . . . . . . . . . . 75 5 Véctơ ngẫu nhiên 77 5.1 Kháiniệmvéctơngẫunhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 Phân phối xác suất của .X;Y/ 77 5.2.1 .X;Y/ làvéctơngẫunhiênrờirạc . . . . . . . . . . . . 77
5. MỤC LỤC iii 5.2.2 .X;Y/ làvéctơngẫunhiênliêntục . . . . . . . . . . . 81 5.3 Bàitậpchương5 86 6 Lý thuyết mẫu 92 6.1 Tổngthể,mẫu 92 6.2 Môtảdữliệu 93 6.2.1 Phânloạimẫungẫunhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.2.2 Sắpxếpsốliệu 93 6.3 Cácđặctrưngcủamẫu 94 6.3.1 Trungbìnhmẫu 95 6.3.2 Phươngsaimẫu 95 6.3.3 Phươngsaimẫucóhiệuchỉnh . . . . . . . . . . . . . . 96 6.4 Phânphốixácsuấtcủatrungbìnhmẫu . . . . . . . . . . . . 99 6.5 Đạilượngthốngkê . 100 7 Ước lượng tham số 101 7.1 Kháiniệmchung 101 7.2 Ướclượngđiểm 101 7.3 Ướclượngkhoảng 102 7.3.1 Môtảphươngpháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.3.2 Ướclượngkhoảngchotrungbình. . . . . . . . . . . . 102 7.3.3 Ướclượngkhoảngchotỷlệ . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.4 Bàitậpchương7 108 8 Kiểm định giả thiết 111 8.1 Bàitoánkiểmđịnhgiảthiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.1.1 Giảthiếtkhông,đốithiết . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.1.2 Miềntớihạn 111 8.1.3 Hailoạisailầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 8.1.4 Phươngphápchọnmiềntớihạn . . . . . . . . . . . . . 113
6. MỤC LỤC iv 8.2 Kiểmđịnhgiảthiếtvềtrungbình . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.3 Kiểmđịnhgiảthiếtvềtỷlệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.4 Sosánhhaigiátrịtrungbình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.5 Sosánhhaitỷlệ 119 8.6 Bàitậpchương8 121 9 Tương quan, hồi qui 136 9.1 Mởđầu 136 9.1.1 Số liệu trong phân tíchtương quan, hồi qui . . . . . . 136 9.1.2 Biểuđồtánxạ 136 9.2 Hệsốtươngquan 137 9.3 Tìmđườngthẳnghồiqui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 9.4 Sửdụngmáytínhcầmtay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 A Các bảng giá trị xác suất 141 A.1 Giátrịhàmmậtđộchuẩnđơngiản . . . . . . . . . . . . . . 142 A.2 Giá trị hàm Laplace '.x/ của phân phối chuẩn đơn giản . . . 144 A.3 GiátrịphânvịcủaluậtStudent. . . . . . . . . . . . . . . . . 146 B Giải thích lý thuyết 148 B.1 Ướclượngkhoảng 148 B.1.1 Ướclượngkhoảngchotrungbình . . . . . . . . . . . . 148 B.1.2 Ướclượngkhoảngchotỷlệ . . . . . . . . . . . . . . . 149 B.2 Kiểmđịnhgiảthiết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 B.2.1 Sosánhtrungbìnhvớimộtsố . . . . . . . . . . . . . . 149 B.2.2 Sosánhtỷlệvớimộtsố . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Tài liệu tham khảo 151
7. Chương 1 Biến cố, xác suất của biến cố 1.1 Phép thử, biến cố - Phép thử là việc thực hiện một thí nghiệm hoặc quan sát một hiện tượng nào đó. Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta không thể dự báo trước chính xác kết quả nào sẽ xảy ra. - Mỗi kết quả của phép thử, ! được gọi là một biến cố sơ cấp. Ví dụ 1.1. Thực hiện phép thử tung một đồng xu. Có hai kết quả có thể xảy ra khi tung đồng xu là xuất hiện mặt sấp-S hoặc mặt ngửa-N: Kết quả ! S là một biến cố sơ cấp.  D Kết quả ! N là một biến cố sơ cấp.  D - Tập hợp tất cả các kết quả, ! có thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là không gian các biến cố sơ cấp, ký hiệu là . Ví dụ 1.2. Tung ngẫu nhiên một con xúc sắc. Quan sát số chấm trên mặt xuất hiện của xúc sắc, ta có 6 kết quả có thể xảy ra đó là:1,2, 3, 4, 5, 6. Không gian các biến cố sơ cấp,  1;2;3;4;5;6 . Số phần tử của ,  6: D f g j jD - Mỗi tập con của không gian các biến cố sơ cấp gọi là biến cố. Ví dụ 1.3. Thực hiện phép thử tung một xúc sắc. Ta đã biết  D 1;2;3;4;5;6 f g Đặt A 2;4;6 , A gọi là biến cố “Số chấm trên mặt xuất hiện là  D f g  số chẵn”. Thay vì liệt kê các phần tử của A, ta đặt tên cho A
8. 1.2 Quan hệ giữa các biến cố 2 A: “Số chấm trên mặt xuất hiện là số chẵn” Ngược lại, nếu ta gọi biến cố:  B: “Số chấm trên mặt xuất hiện lớn hơn 4” thì khi đó B 5;6 D f g - Xét biến cố A, khi thực hiện phép thử ta được kết quả !. Nếu trong lần thử này kết quả ! A ta nói biến cố A xảy ra.  2 Ngược lại nếu trong lần thử này kết quả ! A ta nói biến cố A không  xảy ra. Ví dụ 1.4. Một sinh viên thi kết thúc môn xác suất thống kê. Gọi các biến cố: A: “Sinh viên này thi đạt” A 4 : : : 10 D f I I g Giả sử sinh viên này đi thi được kết quả ! 6 A lúc này ta nói biến  D 2 cố A xảy ra (Sinh viên này thi đạt). Ngược lại nếu sinh viên này thi được kết quả ! 2 A thì ta nói biến  D cố A không xảy ra (Sinh viên này thi không đạt). 1.2 Quan hệ giữa các biến cố a) Quan hệ kéo theo .A B/ Nếu biến cố A xảy ra thì kéo theo biến cố B  W xảy ra. Ví dụ 1.5. Theo dõi 3 bệnh nhân phỏng đang được điều trị. Gọi các biến cố: Gọi các biến cố: Ai : “Có i bệnh nhân tử vong”, i 0;1;2;3 D B : “Có nhiều hơn một bệnh nhân tử vong” Ta có A2 B, A3 B, A1 B   6
9. 1.2 Quan hệ giữa các biến cố 3 b) Hai biến cố A và B được gọi là bằng nhau nếu A B và B A, ký hiệu   A B. D c) Biến cố tổng A B .A B/ xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra C [ trong một phép thử. (Ít nhất một trong hai biến cố xảy ra) Ví dụ 1.6. Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn một phát. Gọi các biến cố: Gọi các biến cố: A: “Người thứ nhất bắn trung mục tiêu” B: “Người thứ hai bắn trúng mục tiêu” Biến cố A B: “Có it nhất một người bắn trúng mục tiêu” C d) Biến cố tích AB .A B/ xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cùng \ xảy ra trong một phép thử. Ví dụ 1.7. Một sinh viên thi kết thúc 2 môn hoc. Gọi các biến cố: Gọi các biến cố: A: “Sinh viên thi đạt môn thứ nhất” B: “Sinh viên thi đạt môn thứ hai” Biến cố AB: “Sinh viên thi đạt cả hai môn” e) Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu chúng không cùng xảy ra trong một phép thử .AB /. D; f) Biến cố không thể: là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu . ; g) Biến cố chắc chắn: là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu . A A h) Biến cố N được gọi là biến cố bù của biến cố hay ngược lại khi và chỉ khi A A \ N D; (A A  [ N D
10. 1.3 Định nghĩa xác suất 4 1.3 Định nghĩa xác suất Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa cổ điền). Xét một phép thử đồng khả năng, có không gian các biến cố sơ cấp  !1; !2;:::;!n ;  n < D f g j jD 1 A  là một biến cố. Xác suất xảy ra biến cố A, ký hiệu P .A/  A số trường hợp thuận lợi đối với A P .A/ j j D  D số trường hợp có thể j j Ví dụ 1.8. Gieo một con xúc sắc cân đối. Tính xác suất số chấm trên mặt xuất hiện lớn hơn 4. Giải. Ví dụ 1.9. Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên vào một ghế dài có 5 chỗ ngồi. Tính xác suất hai người định trước ngồi cạnh nhau. Giải. Tính chất 1.2 (Tính chất của xác suất). Xác suất có các tính chất: i. 0 P .A/ 1 với mọi biến cố A. Ä Ä ii. P . / 0, P ./ 1. ; D D iii. Nếu A B thì P .A/ P .B/.  Ä iv. P .A/ 1 P A : D N Ví dụ 1.10. Một lọ đựng
    4 bi trắng và 6 bi đen. Từ lọ lấy ra ngẫu nhiên 3 bi, tính xác suất lấy được:
11. 1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập 5 a) Hai bi trắng. b) Ít nhất một bi trắng. Giải. Chú ý: Trong câu b), chúng ta tính xác suất của biến cố bù sẽ đơn giản hơn. Ta có B “Lấy được không bi trắng” N W C 0C 3 P .B/ 1 P B 1 4 6 N 3 D D C10
    1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập 1.4.1 Xác suất có điều kiện Định nghĩa 1.3 (Xác suất có điều kiện). P .A B/ là xác suất xảy ra biến cố j A biết rằng biến cố B đã xảy ra (P .B/ >0). Ví dụ 1.11. Một lọ có 4 viên bi trắng và 6 viên bi đen. Từ lọ này lấy lần lượt ra 2 viên bi, mỗi lần lấy một bi (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần lấy thứ hai được viên bi trắng biết lần lấy thứ nhất đã lấy được viên bi trắng. Giải. 4 bi trắng B xảy ra 3 bi trắng 6 bi đen ! 6 bi đen  đã lấy 1 bi trắng 
12. 1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập 6 Ví dụ 1.12. Từ một bộ bài tây (4 chất, 52 lá), rút ngẫu nhiên ra 2 lá. Tính xác suất: a) Rút được hai lá bài cơ. b) Rút được 2 lá bài cơ biết rằng 2 lá bài này màu đỏ. Giải. Ví dụ 1.13. Một nhóm 100 người có: + 20 người hút thuốc.
13. 1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập 7 + 30 nữ, trong đó có 5 người hút thuốc. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm 100 người này. Tính xác suất: a. Người này hút thuốc biết rằng người này là nữ. b. Người này là nữ biết rằng người này hút thuốc. 30 nữ 20 người hút thuốc 5 nữ hút thuốc Giải. Công thức xác suất điều kiện P .AB/ P .A B/ ; P .B/ >0 j D P .B/ Tính chất 1.4. Xác suất có điều kiện có các tính chất: i. 0 P .A B/ 1 với mọi biến cố A. Ä j Ä ii. Nếu A A0 thì P .A B/ P .A0 B/.  j Ä j iii. P .A B/ 1 P A B : j D Nj Ví dụ 1.14. Một công ty cần
    tuyển 4 nhân viên. Có 10 người nộp đơn dự tuyển, trong đó có 4 nữ (khả năng trúng tuyển của các ứng cử viên là như nhau). Tính xác suất:
14. 1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập 8 a) Cả 4 nữ trúng tuyển. b) Có ít nhất một nữ trúng tuyển. c) Cả 4 nữ trúng tuyển, biết rằng có ít nhất một nữ đã trúng tuyển. Giải. 1.4.2 Sự độc lập của hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập nếu B có xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra A và ngược lại, nghĩa là: P .A B/ P .A/ hoặc P .B A/ P .B/ j D j D A B A B Nhận xét: Nếu hai biến cố và độc lập thì các cặp biến cố và N; A B A B N và ; N và N độc lập. Ví dụ 1.15. Tung một xúc sắc 2 lần. Gọi các biến cố: Gọi các biến cố: A: “Lần 1 xuất hiện mặt 6 chấm” B: “Lần 2 xuất hiện mặt 6 chấm” Hai biến cố A và B có độc lập?
15. 1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập 9 Giải. Ví dụ 1.16. Một lọ đựng 4 bi trắng và 6 bi đen, thực hiện hai lần lấy bi. Mỗi lần lấy 1 bi (lấy không hoàn lại). Đặt các biến cố: Gọi các biến cố: A: “Lần 1 lấy được bi đen” B: “Lần 2 lấy được bi trắng” Hai biến cố A và B có độc lập? Giải.
16. 1.5 Các công thức tính xác suất 10 1.5 Các công thức tính xác suất 1.5.1 Công thức cộng P .A B/ P .A/ P .B/ P .AB/ C D C Chú ý: Nếu A và B xung khắc .AB / thì D; P .A B/ P .A/ P .B/ C D C Ví dụ 1.17. Một lớp học có 20 học sinh trong đó có 10 học sinh giỏi toán, 8 học sinh giỏi văn và 6 học sinh giỏi cả toán và văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, tính xác suất học sinh này giỏi ít nhất một môn. Giải. Công thức cộng 3 biến cố: P .A B C/ P .A/ P .B/ P .C / C C D C C P .AB/ P .AC / P .BC/ P .ABC/ C Chú ý: Nếu A;B;C xung khắc từng đôi một thì P .A B C/ P .A/ P .B/ P .C / C C D C C 1.5.2 Công thức nhân P .AB/ P .A/ P .B A/ P .B/ P .A B/ D j D j
17. 1.5 Các công thức tính xác suất 11 Chú ý: Nếu A và B độc lập thì P .AB/ P .A/ P .B/ D Mở rộng công thức nhân: Cho n biến cố A1; A2;:::;An P .A1A2 :::An/ P .A1/ P .A2 A1/::: P .An A1A2 :::An 1/ D j j Chú ý: Nếu Ai ;i 1;:::;n độc lập toàn bộ thì D P .A1 :::An/ P .A1/::: P .An/ D Ví dụ 1.18. Một người có 4 con gà mái, 6 con gà trống nhốt trong một lồng. Hai người đến mua (người thứ nhất mua xong rồi đến lượt người thứ hai mua, mỗi người mua 2 con) và người bán bắt ngẫu nhiên từ lồng. Tính xác suất người thứ nhất mua được một gà trống và người thứ hai mua hai gà trống. Giải. Ví dụ 1.19. Trong một kỳ thi, mỗi sinh viên phải thi 2 môn. Một sinh viên A ước lượng rằng: xác suất đạt môn thứ nhất là 0,8. Nếu đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,6; nếu không đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,3. Tính xác suất sinh viên A: a. Đạt môn thứ hai. b. Đạt i môn, i 0;1;2: D
18. 1.5 Các công thức tính xác suất 12 c. Đạt ít nhất một môn. d. Đạt môn thứ hai biết rằng sinh viên này đạt một môn. e. Đạt môn thứ hai biết rằng sinh viên này đạt ít nhất một môn. Giải.
19. 1.5 Các công thức tính xác suất 13 Ví dụ 1.20. Một người có 3 con gà mái, xác suất đẻ trứng trong ngày của con gà I, II, III lần lượt là 0,4; 0,7; 0,8. Tính xác suất: a) Có i con gà đẻ trứng trong ngày, i 0;1;2;3: D b) Có ít nhất 1 con gà đẻ trứng trong ngày. c) Có nhiếu nhất 2 con gà đẻ trứng trong ngày. d) Con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có 1 con đẻ trứng. e) Con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có ít nhất 1 con đẻ trứng. f) Con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có nhiều nhất 2 con đẻ trứng. Giải.
20. 1.5 Các công thức tính xác suất 14 1.5.3 Công thức xác suất đầy đủ Định nghĩa 1.5 (Hệ đầy đủ). n biến cố A1; A2;:::;An được gọi là hệ đầy đủ nếu chúng xung khắc từng đôi một và luôn có ít nhất một biến cố xảy ra trong một phép thử. Nghĩa là Ai Aj ; i j \ D; 8 ¤ (A1 A2 An  C C
    
    
    C D Ví dụ 1.21. Từ một lọ có 4 bi trắng và 6 bi đen lấy ra 2 bi. Gọi các biến cố:
21. 1.5 Các công thức tính xác suất 15 A0: “Lấy được 0 bi đen” A1: “Lấy được 1 bi đen” A2: “Lấy được 2 bi đen” Khi đó A0 A1 A2 là hệ đầy đủ. I I Công thức xác suất đầy đủ: Cho A1 A2 : : : An (P .Ai />0 ) là hệ đầy I I I đủ các biến cố và B là một biến cố bất kỳ. Xác suất xảy ra biến cố B P .B/ P .A1/ P .B A1/ P .A2/ P .B A2/ P .An/ P .B An/ D j C j C
    
    
    C j Ví dụ 1.22. Một đám đông có số đàn ông bằng nửa số đàn bà. Xác suất để đàn ông bị bệnh tim là 0,06 và đàn bà là 0,036. Chọn ngẫu nhiên 1 người từ đám đông, tính xác suất để người này bị bệnh tim. Giải. 1.5.4 Công thức xác suất Bayes Gải thiết giống công thức xác suất đầy đủ. Xác suất: P .Ai B/ P .Ai / P .B Ai / P .Ai B/ j ; i 1;2;:::;n j D P .B/ D P .B/ D
22. 1.5 Các công thức tính xác suất 16 Ví dụ 1.23. Một lớp có số học sinh nam bằng 3 lần số học sinh nữ. Tỷ lệ học sinh nữ giỏi toán là 30% và tỷ lệ học sinh nam giỏi toán là 40%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp này. Tính xác suất: a. Học sinh này giỏi toán. b. Học sinh này là nam biết rằng học sinh này giỏi toán. Giải. Ví dụ 1.24. Có hai chuồng gà: Chuồng I có 10 gà trống và 8 gà mái; Chuồng II có 12 trống và 10 mái. Có hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II. Sau đó có hai con gà chạy ra từ chuồng II. Tính xác suất: a. Hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II là 2 con trống và hai con gà chạy ra từ chuồng II cũng là hai con trống. b. Hai con gà chạy ra từ chuồng II là hai con trống. c. Biết rằng hai con gà chạy ra từ chuồng II là hai con trống, tính xác suất hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II là 2 con gà trống.
23. 1.6 Bài tập chương 1 17 Giải. 1.6 Bài tập chương 1 Bài tập 1.1. Một nhóm khảo sát sở thích tiết lộ thông tin là trong năm qua: 45% người xem Tivi thích xem phim tình cảm Hàn quốc.  25% người xem Tivi thích xem phim hành động Mỹ.  10% thích xem cả hai thể loại trên. 
24. 1.6 Bài tập chương 1 18 Tính tỷ lệ nhóm người thích xem ít nhất một trong hai thể loại trên. (60%) Giải. Bài tập 1.2. Có ba lô hàng mỗi lô có 20 sản phẩm, số sản phẩm loại A có trong lô I, II, III lần lượt là: 12; 14; 16. Bên mua chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng 3 sản phẩm, nếu lô nào cả 3 sản phẩm đều loại A thì bên mua nhận mua lô hàng đó. Tính xác suất: a. Lô thứ i được mua, i 1;2;3: (0,193; 0,3193; 0,4912) D b. Có i lô được mua, i 0;1;2;3: (0,2795; 0,4678; 0,2225; 0,0303) D c. Có nhiều nhất hai lô được mua. (0,9697) d. Có ít nhất một lô được mua.(0,7205) e. Giả sử có ít nhất một lô được mua. Tính xác suất trong đó lô II được mua. (0,4432) f. Giả sử có ít nhất một lô được mua. Tính xác suất trong đó lô I và II được mua.(0,0855) g. Giả sử có một lô được mua. Tính xác suất lô II được mua. (0,2803) Giải.
25. 1.6 Bài tập chương 1 19 Bài tập 1.3. Một hộp bóng bàn có 15 bóng mới và 8 bóng cũ. Lần thứ I lấy ra 2 bóng để sử dụng sau đó cho vào lại hộp; lần thứ II lấy ra 3 bóng. Tính xác suất a. Lần thứ I lấy được i bóng cũ, i 0;1;2. (0,4150; 0,4743; 0,1107) D b. Lần I lấy 1 bóng cũ và lần II là 3 bóng mới. (0,0975) c. Lần thứ II lấy được 3 bóng mới. (0,1929) d. Biết lần thứ II lấy được 3 bóng mới, tính xác suất lần thứ I lấy được 1 bóng cũ. (0,5054) Giải.
26. 1.6 Bài tập chương 1 20 Bài tập 1.4. Có 3 bình đựng bi: bình I có 4 bi trắng và 6 bi đen; bình II có 7 bi trắng và 3 bi đen; bình III có 6 bi trắng và 8 bi đen. Từ bình I và bình II, mỗi bình lấy 1 bi và bỏ sang bình III. Tiếp theo, từ bình III lấy ra tiếp 3 bi. Tính xác suất: a. Hai bi lấy ra từ bình I và II có i bi trắng, i 0;1;2: (0,25; 0,5167; D 0,2333) b. Ba bi lấy ra từ bình III có hai bi trắng. (0,3347) c. Giả sử ba bi lấy từ bình III có hai bi trắng, tính xác suất hai bi lấy từ bình I và II là hai bi đen. (0,2001) Giải.
27. 1.6 Bài tập chương 1 21 Bài tập 1.5. Một thùng kín đựng 2 loại thuốc: Số lượng lọ thuốc loại A bằng 2/3 thuốc số lượng lọ thuốc loại B. Tỉ lệ lọ thuốc A, B đã hết hạn sử dụng lần lượt là 10% và 8%. Từ thùng lấy ngẫu nhiên một lọ thuốc. a. Tính xác suất lấy được lọ thuốc A hết hạn sử dụng. (0,04) b. Tính xác suất lọ thuốc lấy ra từ thùng đã hết hạn sử dụng. (0,0448) c. Giả sử lấy được lọ thuốc còn hạn sữ dụng, tính xác suất lọ này là lọ
28. 1.6 Bài tập chương 1 22 thuốc B. (0,6231) Giải. Bài tập 1.6.  Một người bắn 3 phát đạn vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi phát lần lượt là 0,55; 0,6; 0,7. Xác suất mục tiêu bị hạ khi bi trúng 1, 2, 3 phát đạn lần lượt là 0,2; 0,4; 0,8. Tính xác suất: a. Có i phát trúng mục tiêu, i 0;1;2;3: (0,054; 0,273; 0,442; 0,231) D b. Có nhiều nhất 2 phát trúng mục tiêu. (0,769) c. Tính xác suất mục tiêu bị hạ. (0,4162) d. Giả sử có 2 phát trúng mục tiêu, tính xác suất phát thứ I trúng mục tiêu. (0,5724) e. Giả sử mục tiêu bị hạ. Tính xác suất phat thứ nhất trúng mục tiêu. (0,7189) Sinh viên hệ cao đẳng không phải làm các câu c, e, f.
29. 1.6 Bài tập chương 1 23 f. Biết rằng có nhiều nhất 2 phát trúng mục tiêu, tính xác suất mục tiêu bị hạ. (0,3575) Giải.
30. 1.6 Bài tập chương 1 24 Bài tập 1.7. Nhà máy có hai phân xưởng, sản lượng của phân xưởng I gấp 3 lần sản lượng của phân xưởng II. Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng I, II lần lượt là 7% và 12%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy, tính: a. Xác suất chọn được sản phẩm tốt do phân xưởng I sản xuất. (0,6975) b. Xác suất chọn được phế phẩm. (0,0825) c. Giả sử chọn được sản phẩm tốt, tính xác suất sản phẩm này do phân xưởng I sản xuất. (0,7602) Giải. Bài tập 1.8. Một người buôn bán bất động sản đang cố gắng bán một mảnh đất lớn. Ông ta tin rằng nếu nền kinh tế tiếp tục phát triển, khả năng mảnh đất được mua là 80%; ngược lại nếu nền kinh tế ngừng phát triển, ông ta chỉ có thể bán được mảnh đất đó với xác suất 40%. Theo dự báo của một chuyên gia kinh tế, xác suất nền kinh tế tiếp tục tăng trưởng là 65%. Tính xác suất để bán được mảnh đất. (0,66)
31. 1.6 Bài tập chương 1 25 Giải. Bài tập 1.9. Ž Có hai hộp đựng bi: hộp I có 5 bi trắng và 7 bi đen; hộp II có 6 bi trắng và 4 bi đen. Lấy 1 bi từ hộp I bỏ sang hộp II, rồi từ hộp II lấy ra 1 bi. Tính xác suất a. Bi lấy từ hộp II là bi trắng. (7/12) b. Giả sử bi lấy từ hộp II là bi trắng, tính xác suất bi lấy từ hộp I là bi trắng. (5/11) c. Giả sử bi lấy ra từ hộp II là bi trắng, tính xác suất bi này của hộp I. 5 1 7 12 11=12 d. Giả sử bi lấy ra từ hộp II là bi trắng, tính xác suất bi này của hộp II. 6 7
    11=12 Giải.
    ŽSinh viên hệ cao đẳng không phải làm các câu c, d.
32. 1.6 Bài tập chương 1 26
33. Chương 2 Biến ngẫu nhiên 2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên - Xét một phép thử có không gian các biến cố sơ cấp . Đặt X  R W ! ! X.!/ x 7! D X được gọi là biến ngẫu nhiên, x gọi là giá trị của biến ngẫu nhiên X. X  X I f 2 g I R  X I ! X.!/ I A  f 2 g D f W 2 g D  Hình 2.1: Biến ngẫu nhiên X Ví dụ 2.1. Thực hiện phép thử gieo đồng thời 2 đồng xu cân đối, chúng ta có không gian các biến cố sơ cấp  N1N2 N1S2 S1N2 S1S2 D f I I I g Đặt X.!/ là số đồng xu sấp khi kết quả phép thử là !. Ta có: X.N1N2/ 0 X.N1S2/ 1 X.S1N2/ 1 X.S1S2/ 2 D I D I D I D Khi đó ta gọi X là biến ngẫu nhiên số đồng xu sấp khi tung 2 đồng xu.
34. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 28 - Có hai loại biến ngẫu nhiên: Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên mà giá trị có thể của nó là  một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên mà giá trị có thể của nó lấp  đầy một khoảng trên trục số. Ví dụ 2.2. Số chấm trên mặt xuất hiện khi tung một xúc sắc là biến ngẫu nhiên  rời rạc (giá trị của X là tập hữu hạn). Số cuộc gọi đến tổng đài điện thoại trong 1 giờ là biến ngẫu nhiên rời  rạc (giá trị của X là tập vô hạn đếm được). Thời gian hoàn thành 1 sản phẩn của một công nhân là biến ngẫu nhiên  liên tục. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2.2.1 X là biến ngẫu nhiên rời rạc Để mô tả phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc người ta sử dụng bảng phân phối xác suất: X x1 x2 xn
    
    
    
    
    
    P f .x1/ f.x2/ f .xn/
    
    
    
    
    
    Trong đó: Dòng 1 liệt kê giá trị có thể của X.  f .xi / P .X xi /;i 1;2;::: gọi là xác suất X nhận giá trị xi :  D D D Nếu x0 x1;:::;xn;::: thì f .x0/ 0:  f g D Ví dụ 2.3. Thực hiện phép thử tung một xúc sắc. Gọi X là số chấm trên mặt xuất hiện của xúc sắc. X có bảng phân phối như sau: X 123456 P 1=6 1=6 1=6 1=6 1=6 1=6
35. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 29 Nhận xét: f .x1/ f .x2/ f .xn/ 1:  C C
    
    
    C C
    
    
    D P .a<X <b/ f .xi /:  D a<xi <b P Ví dụ 2.4. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho như sau: X 11 3 5 P a 2a 3a 4a a. Xác định a. b. Xác định P .X 2/ : D c. Xác định P . 1<X <4/: Giải. Ví dụ 2.5. Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn lần lượt từng viên vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,7. Nếu có một viên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng. Gọi X là số viên đạn đã bắn, lập bảng phân phối xác suất của X: Giải.
36. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 30 Ví dụ 2.6. Một xạ thủ có 6 viên đạn, bắn lần lượt từng viên vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,7. Nếu có 3 viên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng. Gọi X là số viên đạn đã bắn, lập bảng phân phối xác suất của X: Giải. Ví dụ 2.7. Một lọ có 3 bi trắng và 7 bi đen. Từ lọ này lấy ra ngẫu nhiên 4 bi. Gọi X là số bi đen lẫn trong 4 bi lấy ra, lập bảng phân phối xác suất của X: Giải.
37. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 31 2.2.2 X là biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 2.1 (Hàm mật độ). Hàm số f.x/ 0; x R được gọi là hàm  8 2 mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu P .X A/ f.x/dx; A R 2 D 8  ZA Chú ý. Với định nghĩa hàm mật độ ta có i. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì xác suất X thuộc một tập A R  được tính bằng tích phân của hàm mật độ f.x/ trên tập A: ii. Mọi hàm mật độ phải thỏa hai điều kiện f.x/ 0 và C1f.x/dx 1  D 1R Ví dụ 2.8. Cho hàm số 3 x2 khi 0 x 2 f.x/ 8 Ä Ä D 8 0 nơi khác < : a. Chứng tỏ f.x/ là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X: b. Tính xác suất P .1 X 3=2/: Ä Ä c. Tính xác suất P .1 X 3/ : Ä Ä
38. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 32 Giải. 2 1 0 -2 -1 0 1 2 x 2.2.3 Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 2.2 (Hàm phân phối xác suất). Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F.x/ F.x/ P .X <x/ D
39. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 33 Nhận xét: Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì  F.x/ P .X <x/ f .xi / D D x <x Xi Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f.x/ thì  x F.x/ P .X <x/ f.t/dt D D Z 1 Ví dụ 2.9. Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối như sau: X 1 2 3 P 0;2 0;5 0;3 a. Tìm hàm phân phối F.x/ của X: b. Vẽ đồ thị của F.x/: 1,0 0,8 0,6 F.x/ 0,4 0,2 0,0 0 1 2 3 4 5 x Giải.
40. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 34 Ví dụ 2.10. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ kx3 khi 0 x 1 f.x/ Ä Ä D 0 nơi khác  a. Xác định k: b. Tìm hàm phân phối xác suất F.x/: c. Vẽ đồ thị hàm phân phối F.x/: F.x/ 1,0 0,5 0,0 -2 -1 0 1 2 3 x Giải.
41. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 35 Tính chất 2.3. Hàm phân phối xác suất F.x/ có các tính chất: i. 0 F.x/ 1; x R F. / 0 F. / 1 Ä Ä 8 2 I 1 D I C1 D ii. F.x/ là hàm không giảm (nếu x1 < x2 thì F .x1/ F .x2/). Ä iii. P .a X <b/ F.b/ F.a/: Ä D iv. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f.x/ thì: F 0.x/ f.x/  D P .X x/ 0; x R và  D D 8 2 P .b X <a/ P .a<X <b/ Ä D P .a < X b/ D Ä P .a X b/ F.b/ F.a/ D Ä Ä D Ví dụ 2.11. Một phân xưởng có 2 máy hoạt động độc lập. Xác suất trong 1 ngày làm việc các máy đó hỏng tương ứng là 0,3 và 0,4. Gọi X là số máy hỏng trong 1 ngày làm việc. a. Lập bảng phân phối xác suất của X: b. Tìm hàm phân phối xác suất của X.
42. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 36 Giải. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 2.3.1 Kỳ vọng - EX Định nghĩa 2.4 (Kỳ vọng). Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu EX W X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất  X x1 x2 xn
    
    
    
    
    
    P f .x1/ f.x2/ f .xn/
    
    
    
    
    
    Kỳ vọng EX x1f .x1/ xnf .xn/ D C
    
    
    C C
    
    
    X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f.x/ 
43. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 37 Kỳ vọng EX C1xf.x/dx D 1R Ví dụ 2.12. Anh A nuôi 5 con lợn có cân nặng (kg) 55, 55, 60, 70, 70. Chọn ngẫu nhiên một con và mang cân, gọi X là cân nặng. a. Lập bảng phân phối xác suất của X: b. Tính kỳ vọng của X: c. Lập bảng phân phối xác suất của X 2: d. Tính kỳ vọng của X 2: Giải. Ý nghĩa của kỳ vọng: Kỳ vọng của X là trung bình các giá trị của X theo xác suất. Tính chất 2.5. Kỳ vọng có các tính chất:
44. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 38 i. Ec c; c là hằng số. D ii. E.cX/ cEX: D iii. E.X Y/ EX EY: C D C iv. E.XY/ EX EY khi X và Y độc lập. D
    v. Cho Y h.X/ là hàm của biến ngẫu nhiên X: D Khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc  EY Eh.X/ h.x1/f.x1/ h.xn/f.xn/ D D C
    
    
    C C
    
    
    Khi X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f.x/ thì  C1 EY Eh.X/ h.x/f.x/dx D D Z 1 Ví dụ 2.13. Thời gian học rành nghề sửa ti vi của một người là một biến ngẫu nhiên - X (năm) có hàm mật độ. 9 1 x2 khi x .0 2/ f.x/ 40 C 5 2 I D 80 khi x .0 2/ < I : a. Tính thời gian trung bình một người học rành nghề sửa tivi. b. Tính E.2X 3/: C c. Tính E.X 2/: Giải.
45. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 39 2.3.2 Phương sai - VarX Định nghĩa 2.6 (Phương sai). Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu VarX VarX E .EX X/2 EX 2 .EX/2 D D Ví dụ 2.14. Anh A nuôi 5 con lợn có cân nặng (kg) 55, 55, 60, 70, 70. Chọn ngẫu nhiên một con và mang cân, gọi X là cân nặng. Tính phương sai của X. Giải. Ý nghĩa phương sai: Phương sai là trung bình của bình phương sai khác giữa các giá trị của X so với trung bình của nó. Do đó phương sai dùng để đo độ phân tán các giá trị của X so với trung bình của nó. Nghĩa là phương sai lớn thì độ phân tán lớn và ngược lại.
46. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 40 Do đơn vị của phương sai bằng bình phương đơn vị của X. Để có cùng đơn vị, ta định nghĩa độ lệch chuẩn  pVarX D Ví dụ 2.15. Giả thiết giống ví dụ 2.13. Thời gian học rành nghề sửa ti vi của một người là một biến ngẫu nhiên - X (năm) có hàm mật độ. 9 1 x2 khi x .0 2/ f.x/ 40 C 5 2 I D 80 khi x .0 2/ < I Tính phương sai của X: : Giải.  1=2 D  1 D  2 D 3 2 1 01234 x Tính chất 2.7. Phương sai có các tính chất: i. Var.c/ 0;c là hằng số. D ii. Var.cX/ c2VarX: D iii. Var.X Y/ VarX VarY; nếu X và Y độc lập. C D C 2.3.3 ModX Định nghĩa 2.8. Mod của biến ngẫu nhiên S, ký hiệu ModX
47. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 41 X là biến ngẫu nhiên rời rạc  ModX xi P .X xi / max D f j D g X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f.x/  ModX x0 f .x0/ max D f j g Ví dụ 2.16. Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất cho như sau: X 1 2 3 4 P 0;1 0;3 0;4 0;2 ModX 3 vì P .X 3/ max D D Ví dụ 2.17. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ x3 x khi x Œ0 2 f.x/ 4 2 I 8 D 0 khi x Œ0 2 < I Xác định ModX: : Giải.
48. 2.4 Bài tập chương 2 42 2.4 Bài tập chương 2 Bài tập 2.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X a 0;1 0;3 0;4 2 P 0;3 0;2 0;2 0;2 0;1 a. Giá trị của tham số a để EX 0;3: (-0,2) D b. Tìm hàm phân phối xác suất của X: Giải.
49. 2.4 Bài tập chương 2 43 Bài tập 2.2. Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm trên 1 năm có xác suất là 0,992 và người đó chết trong vòng 1 năm tới là 0,008. Một công ty bảo hiểm A đề nghị người đó bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với số tiền chi trả là 10000 USD, phí bảo hiểm là 100 USD. Hỏi trung bình công ty A lãi bao nhiêu khi bán bảo hiểm cho người đó? (20USD) Giải. Bài tập 2.3. Người thợ chép tranh mỗi tuần chép hai bức tranh độc lập A và B với xác suất hỏng tương ứng là 0,03 và 0,05. Biết rằng nếu thành công thì người thợ sẽ kiếm lời từ bức tranh A là 1,3 triệu đồng và B là 0,9 triệu đồng, nhưng nếu hỏng thì bị lỗ do bức tranh A là 0,8 triệu đồng và do B là 0,6 triệu đồng. Hỏi trung bình người thợ kiếm được bao nhiêu tiền chép tranh mỗi tuần? (2,062) Giải.
50. 2.4 Bài tập chương 2 44 Bài tập 2.4. Nhu cầu hằng ngày của 1 khu phố về 1 loại thực phẩm tươi sống có bảng phân phối xác suất Nhu cầu (kg) 31 32 33 34 P 0;15 0;25 0;45 0;15 Một cửa hàng trong khu phố nhập về mỗi ngày 34 kg loại thực phẩm này với giá 25.000 đồng/kg và bán ra với giá 40.000 đồng/kg. Nếu bị ế, cuối ngày cửa hàng phải bán hạ giá còn 15.000 đồng/kg mới bán hết hàng. Tính tiền lời trung bình của cửa hàng này về loại thực phẩm trên trong 1 ngày. (460 ngàn đồng) Giải.
51. 2.4 Bài tập chương 2 45 Bài tập 2.5. Tuổi thọ (X-tuổi) của người dân ở một địa phương là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối cho như sau 0 khi x 0 F.x/  0;013 x Ä với D (1 e khi 0 < x D Tính: a. Tỷ lệ người dân thọ từ 60 đến 70 tuổi. (0,1361) b. Xác định hàm mật độ của X: c. Tính tuổi thọ trung bình và VarX: 1= 1=2 I Giải.
    
52. 2.4 Bài tập chương 2 46 Bài tập 2.6. Tuổi thọ (X-tháng) của một bộ phận của một dây chuyền sản xuất là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ: 25 2 .10 x/ khi x .0 40/ f.x/ 2 C 2 I D 80 khi x .0 40/ < I : a. Xác suất tuổi thọ của bộ phận này nhỏ hơn 6 tháng. (0,4688) b. Tuổi thọ trung bình của dây chuyền này. (10,118 tháng) c. Tìm hàm phân phối xác suất của X: Giải.
53. 2.4 Bài tập chương 2 47 Bài tập 2.7. Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục X (đơn vị tháng) có hàm mật độ kx2.4 x/ khi 0 x 4 f.x/ Ä Ä D 0 nơi khác  a. Tìm hằng số k. (3/64) b. Tìm F.x/. c. Tìm E .X/, Var .X/ và Mod.X/. (12/5; 16/25; 8/3) d. Tính xác suất để côn trùng chết trước một tháng tuổi. (13/256) Giải.
54. 2.4 Bài tập chương 2 48 Bài tập 2.8. X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ kx2 0<x<1 f.x/ D 0 nơi khác  a. Tìm k để hàm f.x/ là hàm mật độ khi đó tìm kỳ vọng và phương sai của X: (3; 3/4; 3/80) b. Tính P .1=2 < X < 3=2/; P .X 1=2/: (7/8) Ä c. Biết Y X 3; tìm P .1=64 < Y < 1=8/: (7/64) D Giải.
55. 2.4 Bài tập chương 2 49 Bài tập 2.9. Cho hàm số kx.2 x/ khi 1 2X/ với Y X 3: p2 D 5 5 Â Ã Giải.
56. Chương 3 Một số phân phối xác suất thông dụng 3.1 Phân phối Bernoulli Xét một phép thử, trong phép thử này ta chỉ qua tâm đến 2 biến cố A và A; với P .A/ p: Phép thử như thế này còn gọi là phép thử Bernoulli. Đặt N D biến ngẫu nhiên 1 Nếu A xảy ra P .X 1/ p X I D D D 0 Nếu A không xảy ra P .X 0/ 1 p q  I D D D Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối nhị thức tham số p, ký hiệu X B.p/:  Ta có bảng phân phối xác suất của X B.p/  X 0 1 P q p Tính chất 3.1. Các đặc trưng của X B.p/  i. EX p: D ii. VarX pq: D Ví dụ 3.1. Trả lời ngẫu nhiên một câu hỏi trắc nghiệm có 4 đáp án, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Gọi biến ngẫu nhiên: 1 Nếu trả lời đúng P .X 1/ 1=4 X I D D D 0 Nếu trả lời sai P .X 0/ 3=4  I D D X B.p/ EX 1=4 VarX 3=16:  I D I D
57. 3.2 Phân phối Nhị thức 51 3.2 Phân phối Nhị thức Xét dãy n phép thử Bernoulli độc lập và cùng phân phối, 1 Lần i A xảy ra P .Xi 1/ p Xi I D D ;i 1;n D 0 Lần i A không xảy ra P .Xi 0/ 1 p q D  I D D D Đặt X X1 Xn gọi là số lần A xảy ra trong n lần thực hiện phép D C
    
    
    C W thử. X được gọi là có phân phối Bernoulli tham số n;p ký hiệu X B.n p/: I  I Ví dụ 3.2. Một xạ thủ bắn 3 phát đạn vào một mục tiêu một cách độc lập, xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,7. Gọi các biến ngẫu nhiên: 1 Lần i bắn trúng MT P .Xi 1/ 0;7 Xi I D D ;i 1;2;3 D 0 Lần i bắn không trúng MT D  I X X1 X2 X3; X B.3 0;7/: X là số phát trúng mục tiêu trong 3 phát, D C C  I giá trị có thế của X là 0;1;2: Xác suất có 2 phát trúng mục tiêu: 0; 7:0; 7:0; 3 .0;7/2:0;3 Phát 1,2 trúng MT D P .X 2/ 0;7:0;3:0;7 .0;7/2:0;3 Phát 1,3 trúng MT D D C D 0;3:0;7:0;7 .0;7/2:0;3 Phát 2,3 trúng MT D 2 2 2 3:.0; 7/ :0;3 C3 .0;7/ 0;3 D D Công thức tính xác suất của X B.n p/  I Xác suất trong n lầ thực hiện phép thử Bernoulli có k lần A xảy ra k k n k P .X k/ C p q ; k 0;1;:::;n D D n D Tính chất 3.2. Các đặc trưng của X B.n p/  I i. EX np: D ii. VarX npq: D iii. np q ModX np q 1: Ä Ä C Ví dụ 3.3. Một đề thi có 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 đáp án trong đó chỉ có một đáp án đúng. Sinh viên A trả lời một cách ngẫu nhiên tất cả các câu. Gọi X là số câu trả lời đúng trong 10 câu:
58. 3.2 Phân phối Nhị thức 52 a. Xác định phân phối xác suất của X: b. Tính xác suất sinh viên A trả lời đúng từ 2 đến 3 câu. c. Tính xác suất sinh viên A trả lời đúng ít nhất một câu. d. Số câu trung bình sinh viên A trả lời đúng và VarX: e. Số câu sinh viên A có khả năng trả lời đúng lớn nhất. f. Đề thi cần có ít nhất bao nhiêu câu để xác suất sinh viên A trả lời đúng ít nhất một câu 0;99:  Giải.
59. 3.3 Phân phối Siêu bội 53 3.3 Phân phối Siêu bội Ví dụ 3.4. Từ một lọ có 3 bi trắng và 7 bi đen lấy ra 4 bi. Gọi X là số bi đen lẫn trong 4 bi lấy ra, lập bảng phân phối xác suất của X: 3 bi trắng Lấy ra 4 bi 4 k bi trắng 10 bi 7 bi đen !k k bi đen  có bi đen  Mô hình siêu bội: Từ một tập có N phần tử gồm: NA phần tử A:  N NA phần tử khác phần tử A:  Từ tập N lấy ra n phần tử. Gọi X là số phần tử A lẫn trong n phần tử lấy ra, X gọi là có phân phối siêu bội tham số N; NA;n, ký hiệu X H.N;NA;n/  N Phần tử A Lấy ra n PT k Phần tử A N A N NA Phần tử A !được kPTA n k Phần tử A  N  N Công thức tính xác suất cho X H.N;NA;n/  Xác suất trong n phần tử lấy ra từ tập N có k phần tử A W C k C n k NA N NA 0 k n P .X k/ n ; trong đó Ä Ä D D C n .N NA/ k NA N  Ä Ä
60. 3.3 Phân phối Siêu bội 54 Tính chất 3.3. Các đặc trưng của X H.N;NA;n/  NA i. EX np p : D I D N Â Ã N n ii. VarX npq : D N 1 Ví dụ 3.5. Có 20 chi tiết máy, trong đó có 15 chi tiết máy tốt. Từ 20 chi tiết này lấy ra ngẫu nhiên 4 chi tiết máy (lấy một lần), gọi X là số chi tiết tốt lẫn trong 4 chi tiết lấy ra. a. Xác định phân phối xác suất của X: b. Tính xác suất lấy được 3 chi tiết tốt. c. Tính trung bình số chi tiết tốt lấy được và VarX: Giải.
61. 3.4 Phân phối Poisson 55 3.4 Phân phối Poisson Định nghĩa 3.4 (Phân phối Poisson). Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson tham số  (ký hiệu X P./ nếu biến ngẫu nhiên X  nhận giá trị k 0;1;::: với D ke  P .X k/ D D kŠ Tính chất 3.5. Các đặc trưng của X P./  i. EX : D ii. VarX : D iii.  1 ModX : Ä Ä Chú ý: Biến ngẫu nhiên X là số lần xuất hiện A tại những thời điểm ngẫu nhiên trong khoảng .t1 t2/ thỏa 2 điều sau: I Số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng .t1 t2/ không ảnh hưởng đến  I xác suất xuất hiện A trong khoảng thời gian kế tiếp. Số lần xuất hiện biến cố A trong 1 khoảng thời gian bất kỳ tỉ lệ với độ  dài của khoảng đó. Khi đó biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson. Ví dụ 3.6. Tại một siêu thi, trung bình cứ 5 phút có 10 khách đến quầy tính tiền. a. Tính xác suất để trong 1 phút có 3 khách đến quầy tính tiền. b. Tính xác suất để trong 1 phút có từ 1 đến 3 khách đến quầy tính tiền. c. Số khách có khả năng đến quầy tính tiền lớn nhất trong 1 giờ. Giải.
62. 3.5 Phân phối Chuẩn 56 3.5 Phân phối Chuẩn Định nghĩa 3.6 (Phân phối chuẩn). Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn tham số  và  2, ký hiệu X N   2 , nếu X có hàm mật độ:  I .x /2
    1 f.x/ e 2 2 ; x R D p2 2 Đồ thị hàm mật độ của X N.  2/  I  x Nhận xét: Đồ thị hàm mật độ chuẩn có dạng hình “chuông” đối xứng qua x  D Tính chất 3.7. Các đặc trưng của X N   2  I i. EX :
    D ii. VarX  2: D iii. ModX : D Các đồ thị hàm mật độ biến ngẫu nhiên chuẩn với trung bình là  và  D 2; 1; 1=2: D D
63. 3.5 Phân phối Chuẩn 57  1=2 D  1 D  2 D x Định nghĩa 3.8 (Phân phối chuẩn:  0  2 1). Hàm mật độ của biến D I D ngẫu nhiên Z N .0 1/ có dạng  I 1 z2 f.z/ e 2 ; z R D p2 2 Hình sau là đồ thị hàm mật độ của z N .0 1/  I 3 2 1 0 1 2 3 x Định nghĩa 3.9 (Hàm Laplace). Cho biến ngẫu nhiên Z N .0 1/ : Đặt  I hàm x 1 z2 '.x/ e 2 dz; x 0 D p2  Z0 gọi là hàm Laplace. (Giá trị của '.x/ được cho trong bảng A.2) '.x/ O x Tính chất 3.10. Hàm Laplace '.x/ có các tính chất: i. '. x/ '.x/: D ii. '. / 0;5 '. / 0;5: C1 D I 1 D iii. Nếu Z N.0 1/ thì P .a<Z<b/ '.b/ '.a/:  I D
64. 3.5 Phân phối Chuẩn 58 X  iv. Nếu X N   2 thì biến ngẫu nhiên Z N .0 1/ : và  I D   I
    b  a  P .a<X <b/ ' ' D   Â Ã  Á Ví dụ 3.7. Cho biến ngẫu nhiên X N .0 1/ ; tính các xác suất.  I a. P . 1<X <2/: b. P .1;5 < X/: c. P .X < 1/ : Ví dụ 3.8. Cho biến ngẫu nhiên X N 3 22 : Tính các xác suất:  I a. P .1 < X/ :
    b. P . X 1 < 2/: j j c. P . X 1 < 1/: j j
65. 3.5 Phân phối Chuẩn 59 Ví dụ 3.9. Điểm Toeic của sinh viên sắp tốt nghiệp ở trường đại học có phân phối chuẩn với giá trị trung bình 560 và độ lệch chuẩn 78. Tính: a. Tỷ lệ sinh viên có điểm nằm giữa 600 và 700. b. Tỷ lệ sinh viên có điểm Toeic trên 500. c. Giả sử nhà trường muốn xác định điểm Toeic tối thiểu để sinh viên có thể ra trường với tỉ lệ 80%. Tính điểm Toeic tối thiểu (lấy phần nguyên). Giải.
66. 3.5 Phân phối Chuẩn 60 Ví dụ 3.10. Tuổi thọ của máy cắt cỏ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 82 tháng. Nhà sản xuất bảo hành sản phẩm khi bán ra là 33 tháng. Giả sử 2,5% sản phẩm bị trả lại (hỏng) trong thời gian bảo hành. Tính: a. Độ lệch chuẩn của tuổi thọ sản phẩm này. b. Xác suất một máy loại này có tuổi thọ trên 50 tháng. c. Một cửa hàng bán 10 máy cắt cỏ loại này. Tính: i) Xác suất có 2 máy hỏng trong thời gian bảo hành. ii) Số máy trung bình hỏng trong thời gian bảo hành. Giải.
67. 3.6 Bài tập chương 3 61 3.6 Bài tập chương 3 Bài tập 3.1. Một nhà vườn trồng 121 cây mai với xác suất nở hoa của mỗi cây trong dịp tết năm nay là 0,75. Giá bán 1 cây mai nở hoa là 0,5 triệu đồng. a. Tính số cây trung bình nở hoa trong dịp tết. (90,75 cây) b. Giả sử nhà vườn bán hết những cây mai nở hoa, tính số tiến trong dịp tết năm nay nhà vườn thu được chắc chắn nhất. (45,5 triệu đồng) Giải.
68. 3.6 Bài tập chương 3 62 Bài tập 3.2. Chủ vườn lan đã để nhầm 20 chậu lan có hoa màu đỏ với 100 chậu lan có hoa màu tím (lan chưa nở hoa). Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 15 chậu từ 120 chậu lan đó (chọn 1 lần). a. Tính xác suất có từ 5 đến 6 chậu lan có hoa màu đỏ. (0,0723) b. Gọi X là số chậu lan có hoa màu đỏ khách chọn được. Tính giá trị của EX và VarX. (5/2; 125/68) Giải. Bài tập 3.3. Tại bệnh viện A trung bình 3 giờ có 8 ca mổ. Tính a. Số ca mổ chắc chắn nhất sẽ xảy ra tại bệnh viện A trong 25 giờ. (66 ca) b. Tính xác suất trong 5 giờ có từ 10 đến 12 ca mổ. (0,2821) Giải.
69. 3.6 Bài tập chương 3 63 Bài tập 3.4. Một lô hàng chứa 20 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm. Chọn liên tiếp 3 lần (có hoàn lại) từ lô hàng, mỗi lần chọn ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 lần chọn có: a. Đúng 1 lần chọn được không quá 1 phế phẩm. (0,066) b. Trung bình số lần chọn được không quá 1 phế phẩm. (2,514) Giải. Bài tập 3.5. Giá cà phê trên thị trường là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 26000 đồng/kg và độ lệch chuẩn 2000 đồng. k là giá trị tại đó cà phê có giá lớn hơn k với xác suất 90%. Tính giá trị k: (23420 đồng) Giải.
70. 3.6 Bài tập chương 3 64 Bài tập 3.6. Thời gian mang thai của sản phụ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 280 ngày. Cho biết tỷ lệ một sản phụ mang thai trên 290 ngày là 25,14%, tính độ lệch chuẩn của thời gian mang thai. (15 ngày) Giải. Bài tập 3.7. Chiều dài của loại linh kiện điện tử A tại cửa hàng B là biến ngẫu nhiên X (mm) có phân phối chuẩn N.12 2;5/. Một công ty cần mua I loại linh kiện này với chiều dài từ 11,98mm đến 13mm và họ chọn lần lượt 7 chiếc từ cửa hàng B. Tính xác suất để trong 7 chiếc được chọn có: a. Từ 5 đến 6 chiếc sử dụng được. (1,06%)
71. 3.6 Bài tập chương 3 65 b. Ít nhất một chiếc sử dụng được. (0,8531) Giải. Bài tập 3.8. Thời gian chơi thể thao trong một ngày của một thanh niên là biến ngẫu nhiên X (giờ/ngày) có hàm mật độ  A sin x khi 0<x<1 f.x/ 3 D 80  Á nơi khác < : a. Tính hằng số A. .2=3/ b. Tính thời gian chơi thể thao trung bình. (0,6530 giờ/ngày) c. Tính xác suất một thanh niên có thời gian chơi thể thao chưa tới 30 phút/ngày. (0,2679) d. Trung bình có bao nhiêu thanh niên chơi thể thao hơn 30 phút/ngày trong 100 thanh niên. 26,79 thanh niên e. Ta phải chọn ít nhất bao nhiêu thanh niên để gặp được ít nhất 1 người có thời gian chơi thể thao chưa tới 30 phút/ngày xảy ra với xác suất hơn 95%. (10 thanh niên) Giải.
72. 3.6 Bài tập chương 3 66 Bài tập 3.9. Tuổi thọ của người dân ở một địa phương là một biến ngẫu nhiên - X (tuổi) có hàm mật độ e x khi x>0 f.x/ ;  0;013 D (0 nơi khác D a. Tính tuổi thọ trung bình của người dân ở địa phương. (76,9231 tuổi) b. Tính tỉ lệ người dân thọ trên 60 tuổi. (0,4584)
73. 3.6 Bài tập chương 3 67 c. Trung bình có bao nhiêu người thọ trên 60 tuổi tuổi trong 1000 dân. (458,4) Giải. Bài tập 3.10. Thời gian học rành nghề sửa ti vi của một người là một biến ngẫu nhiên - X (năm) có hàm mật độ. 1 Ax2 khi 0<x<2 f.x/ C 5 D 8 <0 nơi khác : a. Xác định hằng số A: (9/40) b. Thời gian học rành nghề trung bình của một người. (1,3 năm) c. Tính xác suất một người học rành nghề dưới 6 tháng. (0,1094) d. Chọn ngẫu nhiên 5 học viên, tính xác suất có 2 người học rành nghề dưới 6 tháng. (0,0845)
74. 3.6 Bài tập chương 3 68 Giải.
75. Chương 4 Luật số lớn và các định lý giới hạn 4.1 Hội tụ theo xác suất và phân phối Định nghĩa 4.1 (Hội tụ theo xác suất). Cho dãy biến ngẫu nhiên Xn và f Pg biến ngẫu nhiên X. Ta nói Xn hội tụ theo xác suất đến X, ký hiệu Xn X, f g ! nếu với mọi ">0 thì lim P . Xn X < "/ 1 n !C1 j j D P Nếu Xn X thì với n lớn chúng ta có Xn X với xác suất gần 1. Thông !  P thường, Xn hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X là hằng số (Xn , !  là hằng số) nghĩa là khi n lớn thì hầu như biến ngẫu nhiên Xn không có sự thay đổi. Định nghĩa 4.2 (Hội tụ theo phân phối). Định nghĩa hội tụ theo phân phối Cho dãy biến ngẫu nhiên Xn và biến ngẫu nhiên X. Ta nói Xn hội tụ theo f g F f g phân phối đến X, ký hiệu Xn X, nếu ! lim P .Xn < x/ P .X <x/ F.x/ n !C1 D D tại mọi điểm liên tục của hàm phân phối F.x/ F Nếu Xn X thì với n đủ lớn chúng ta có thể xấp xỉ phân phối của Xn bởi ! phân phối của X. Vậy hội tụ theo phân phối rất tiện lợi cho việc xấp xỉ phân phối của biến ngẫu nhiên Xn. Định nghĩa 4.3 (Hội tụ hầu chắc chắn). Cho dãy biến ngẫu nhiên Xn f g và biến ngẫu nhiên X. Ta nói Xn hội tụ hầu chắc chắn đến X, ký hiệu a:s: f g Xn X, nếu Xn X với xác suất là không. ! 6!
76. 4.2 Bất đẳng thức Markov, Chebyshev 70 4.2 Bất đẳng thức Markov, Chebyshev 4.2.1 Bất đẳng thức Markov Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị không âm thì với mọi hằng số dương " ta có E .X/ P .X "/  Ä " Chứng minh. X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ f.x/ thì " C1 C1 E .X/ xf.x/dx xf.x/dx xf.x/dx D D C Z0 Z0 Z" C1 C1 xf.x/dx "f.x/dx "P .X "/   D  Z" Z" Nhân hai vế của bất phương trình với 1=" thì ta đươc kết quả. 4.2.2 Bất đẳng thức Chebyshev Nếu X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng là  và phương sai  2 hữu hạn thì với mọi hằng số dương " bé tùy ý ta có Var .X/ P . X  "/ j j  Ä "2 hay tương đương Var .X/ P . X  j j "2 Chứng minh. Ta thấy X 2 là biến ngẫu nhiên không âm và ">0. Sử dụng bất đẳng thức Markov với " "2 ta được
    WD E .X /2 P .X /2 "2  Ä " 2   Vì .X / "2 khi và chỉ khi X  " nên  j j  Var .X/ P . X  "/ j j  Ä "2
77. 4.3 Luật số lớn 71 Bất đẳng thức Markov và Chebyshev cho ta phương tiện thấy được giới hạn xác suất khi biết kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên chưa biết phân phối xác suất. Ví dụ 4.1. Giả sử số phế phẩm của một nhà máy làm ra trong một tuần là một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng là  50. D a. Có thể nói gì về xác suất sản phẩm hư tuần này vượt quá 75. b. Nếu phương sai của phế phẩm trong tuần này là  2 25 thì có thể nói D gì về xác suất sản phẩm tuần này sẽ ở giữa 40 và 60. Giải. E .X/ 50 2 a. Theo bất đẳng thức Markov P .X > 75/  75 D 75 D 3  2 25 1 b. Theo bất đẳng thức Chebyshev P . X 50 10/ : Do j j  Ä 102 D 100 D 4 đó 1 3 P .40 1 D j j 4 D 4 4.3 Luật số lớn Định lý 4.4 (Luật số lớn). Gọi X1;:::;Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối xác suất với kỳ vọng  E .X/ và phương sai  2 Var .X/ D D hữu hạn. Đặt Sn X1 Xn. Khi đó với mọi ">0, D C
    
    
    C S P n  " 0 n  ! ¡ ˇ à ˇ ˇ khi n : ˇ ˇ ! C1 ˇ ˇ Chứng minh. Bởi vì X1;:::;Xn là độc lập và cùng phân phối, ta có 2 Sn  Sn Var và E : Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, n D n n D  à  à với mọi ">0, S  2 P n  " n  Ä n"2 ¡ ˇ à ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
78. 4.4 Định lý giới hạn trung tâm 72 Cố định " và khi n ! C1 S P n  " 0 n  ! ¡ ˇ à ˇ ˇ Sn=n là trung bình của các biếnˇ ngẫuˇ nhiên Xi , .i 1;:::;n/, do đó người ˇ ˇ D ta thường gọi luật số lớn là luật “trung bình”. 4.4 Định lý giới hạn trung tâm Định lý 4.5. Cho X1;:::;Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối với kỳ vọng  và phương sai  2 hữu hạn. Ta đặt Sn X1 Xn D C
    
    
    C Khi n thì biến ngẫu nhiên ! 1 F Sn X; với X N .E .Sn/ Var .Sn// !  I Nhận xét: Định lý trên cho ta kết quả là khi n lớn phân phối của biến ngẫu nhiên Sn được xấp xỉ bằng phân phối chuẩn N .E .Sn/ Var .Sn//. Để : : I đơn giản ta viết Sn N .E .Sn/ Var .Sn//, dấu “ ” nghĩa là “xấp xỉ phân  I  phối”. Ví dụ 4.2. Tung 1000 lần 1 xúc sắc, tính xác suất tổng số chấm trong 1000 lần tung lớn hơn 3600. Giải.
79. 4.5 Liên hệ giữa các phân phối xác suất 73 4.5 Liên hệ giữa các phân phối xác suất 4.5.1 Liên hệ giữa phân phối nhị thức và chuẩn Cho X1;:::;Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và Xi B.p/: Ta có  X X1 Xn B.n p/ D C
    
    
    C  I : Theo định lý giới hạn trung tâm X N.np pnpq2/ khi n : Khi đó:  I ! 1 b np a np P .a X b/ ' '  Ä Ä D pnpq pnpq  à  à 1 k np P .X k/ f.z/; (f.x/-A.1) trong đó z  D D pnpq D pnpq Chú ý: Xấp xỉ trên chúng ta thường sử dụng khi p không quá gần 0 hoặc 1. Ví dụ 4.3. Trong một kho lúa giống có tỉ lệ hạt lúa lai là 20%. Tính xác suất sao cho khi chọn lần lượt 1000 hạt lúa giống trong kho thì có: a. Đúng 192 hạt lúa lai. b. Có từ 185 đến 195 hạt lúa lai. Giải.
80. 4.5 Liên hệ giữa các phân phối xác suất 74 4.5.2 Liên hệ giữa siêu bội và nhị thức NA : Cho X H.N;NA;n/: Nếu cố định n, N và p thì X  ! 1 N !  N B.n;p/;p A D N Nhận xét: Khi X H.N;NA;n/; nếu N khá lớn và n << N;.n < 0;05N/  thì C k C n k NA N NA k k n k NA P .X k/ C p q ; p D D C n  n D N N Â Ã Ví dụ 4.4. Một ao cá có 10.000 cá da trơn, trong đó có 1.000 con cá tra. a. Tính xác suất để khi bắt ngẫu nhiên 20 con từ ao thì được 5 con cá tra. b. Tính xác suất để khi bắt ngẫu nhiên 50 con từ ao thì được 10 con cá tra. Giải.
81. 4.5 Liên hệ giữa các phân phối xác suất 75 4.5.3 Liên hệ giữa nhị thức và Poisson : Cho X B.n;p/ và khi n thì X P./ trong đó  np  ! 1  D Nhận xét: Khi X B.n;p/ và khi n khá lớn thì  k  k k n k  e P .X k/ C p q D D n  kŠ Chú ý: Xấp xỉ trên chúng ta thường dùng khi n lớn và p gần 0 hoặc 1. Ví dụ 4.5. Một lô hàng thịt đông lạnh đóng gói nhập khẩu có chứa 0,6% bị nhiểm khuẩn. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 1.000 gói thịt từ lô hàng này có: a. Không quá 2 gói bị nhiểm khuẩn. b. Đúng 40 gói bị nhiểm khuẩn. Giải.
82. 4.5 Liên hệ giữa các phân phối xác suất 76
83. Chương 5 Véctơ ngẫu nhiên 5.1 Khái niệm véctơ ngẫu nhiên Một bộ có thứ tự n biến ngẫu nhiên .X1;:::;Xn/ gọi là một véctơ ngẫu  nhiên n chiều. Véctơ ngẫu nhiên n chiều là liên tục hay rời rạc nếu, các biến ngẫu nhiên  thành phần là liên tục hay rời rạc. Ví dụ 5.1. Năng xuất lúa ở một thửa ruộng ở địa phương A là biến ngẫu nhiên X, nếu xét đến lượng phân Y thì ta có véctơ ngẫu nhiên hai chiều .X;Y/, còn nếu xét thêm lượng nước Z thì ta có véctơ ngẫu nhiên 3 chiều .X;Y;Z/: Trong giới hạn của chương trình ta chỉ xét véctơ ngẫu nhiên hai chiều, ký hiệu .X;Y/: 5.2 Phân phối xác suất của .X;Y/ 5.2.1 .X;Y/ là véctơ ngẫu nhiên rời rạc a) Phân phối xác suất đồng thời: Véctơ ngẫu nhiên rời rạc .X;Y/ được biểu diễn bằng bảng phân phối xác suất đồng thời:
84. 5.2 Phân phối xác suất của .X;Y/ 78 H H H Y H y1 y2 yj yn Tổng dòng X HH
    
    
    
    
    
    x1 f.x1;y1/ f.x1;y2/ f.x1;yj / f.x1;yn/ f.x1; /
    
    
    
    
    
     x2 f.x2;y1/ f.x2;y2/ f.x2;yj / f.x2;yn/ f.x2; / : : :
    
    
    :
    
    
    : :  : : : : : :
    
    
    
    
    
    xi f.xi ;y1/ f.xi ;y2/ f.xi ;yj / f.xi ;yn/ f.xi ; / : : :
    
    
    :
    
    
    : :  : : : : : :
    
    
    
    
    
    xm f.xm;y1/ f.xm;y2/ f.xm;yj / f.xm;yn/ f.xm; /
    
    
    
    
    
     Tổng cột f. ;y1/ f. ;y2/ f. ;yj / f. ;yn/ 1  
    
    
    
    
    
     Trong đó: f .xi ;yj / P X xi Y yj  D D I D m n
    f .xi yj / 1  i 1 j 1 I D PD PD Ví dụ 5.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị 6, 7 và 8. Biến ngẫu nhiên Y nhận các giá trị 1, 2, 3. Phân phối đồng thời của véctơ ngẫu nhiên .X;Y/ cho bởi bảng H HH Y H 1 2 3 X HH 6 0,1 0,15 0,05 7 0,1 0,2 0,1 8 0,05 0,2 0,05 Tính: a. P .X 6 Y 2/ P .X 4 Y 6/ : D I D I D I D b. P .X 7 Y 2/ :  I  Giải.
85. 5.2 Phân phối xác suất của .X;Y/ 79 b) Phân phối xác suất thành phần (lề) Bảng phân phối xác suất của X  X x1 x2 xm
    
    
    P.X x/ f .x1; / f.x3; / f .xm; / D  
    
    
     Trong đó f .xi ; / là tổng dòng i:  Bảng phân phối xác suất của Y  Y y1 y2 yn
    
    
    P.Y y/ f. ;y1/ f. ;y2/ f. ;yn/ D  
    
    
     Trong đó f. ;yj / là tổng cột j:  Ví dụ 5.3. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời như sau: H HH Y H 1 2 3 X HH 6 0,1 0,15 0,05 7 0,1 0,2 0,1 8 0,05 0,2 0,05 a. Lập bảng phân phối xác suất của X: b. Tính P .X >6/: c. Lập bảng phân phối xác suất của Y: d. Tính P .Y <3/: Giải.
86. 5.2 Phân phối xác suất của .X;Y/ 80 c) Phân phối xác suất có điều kiện Bảng phân phối xác suất của X với điều kiện Y yj  D X x1 x2 xm
    
    
    f .x1;yj / f .x2;yj / f .xm;yj / P.X x Y yj / D j D f. ;yj / f. :yj /
    
    
    f. ;yj /    Bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện X xi  D Y y1 y2 yn
    
    
    f .xi ;y1/ f .xi ;y2/ f .xi ;yn/ P.Y y X xi / D j D f .xi ; / f .xi ; /
    
    
    f .xi ; /    Ví dụ 5.4. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời như sau: H H Y HH 1 2 3 X HH 6 0,1 0,15 0,05 7 0,1 0,2 0,1 8 0,05 0,2 0,05 a. Lập bảng phân phối xác suất của X biết Y 2: D
87. 5.2 Phân phối xác suất của .X;Y/ 81 b. Tính xác suất P .X >6 Y 2/ : j D c. Lập bảng phân phối xác suất của Y biết X 6: D d. Tính xác suất P .Y >1 X 6/ : j D Giải. 5.2.2 .X;Y/ là véctơ ngẫu nhiên liên tục a) Hàm mật độ đồng thời Định nghĩa 5.1 (Hàm mật độ đồng thời). Hàm số f.x;y/ 0; .x;y/ R2  8 2 được gọi là hàm mật độ đồng thời của .X;Y/ nếu P X;Y/ A/ f.x;y/dxdy; A R2 2 D  “A Chú ý. Với định nghĩa hàm mật độ đồng thời của véctơ ngẫu nhiên ta có
88. 5.2 Phân phối xác suất của .X;Y/ 82 i. Nếu .X;Y/ là véctơ ngẫu nhiên liên tục thì xác suất .X;Y/ thuộc một tập A R2 được tính bằng tích phân của hàm mật độ f.x;y/ trên  tập A: ii. Mọi hàm mật độ đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X,Y) phải thỏa hai điều kiện f.x;y/ 0 và  P .X;Y/ R2 f.x;y/dxdy 1 2 D D “2
    R Ví dụ 5.5. Cho hàm số 10x2y khi 0 X/: Giải. 1 y x D 0<x<1 0<y<1 D hoặc W 0<y<x y<x<1   0 x 0 1
89. 5.2 Phân phối xác suất của .X;Y/ 83 1 y x D 0<x<1 D0 W x=2<y <x  y x=2 0 D x 0 1 b) Hàm mật độ thành phần (lề) Hàm mật độ của X:  C1 fX .x/ f.x;y/dy D Z 1 Hàm mật độ của Y:  C1 fY .y/ f.x;y/dx D Z 1 Ví dụ 5.6. Cho véctơ ngẫu nhiên .X;Y/ có hàm mật độ 10x2y khi 0<y<x<1 f.x;y/ D 0 nơi khác 
90. 5.2 Phân phối xác suất của .X;Y/ 84 a. Tìm hàm mật độ của X: b. Tìm hàm mật độ của Y: c. Tính P .X > 1=2/ và EX: d. Tính P .Y < 1=2/ và EX: Giải. 1 y x D 0<x<1 0<y<1 D hoặc W 0<y<x y<x<1   0 x 0 1
91. 5.2 Phân phối xác suất của .X;Y/ 85 c) Hàm mật độ có điều kiện Hàm mật độ của X với điều kiện Y y  D f.x;y/ fX .x Y y/ j D D fY .y/ Hàm mật độ của Y với điều kiện X x  D f.x;y/ fY .y X x/ j D D fX .x/ Ví dụ 5.7. Cho véctơ ngẫu nhiên .X;Y/ có hàm mật độ 10x2y khi 0<y<x<1 f.x;y/ D 0 nơi khác  a. Tìm hàm mật độ của X với điều kiện Y 1=2: D b. Tìm hàm mật độ của Y với điều kiện X 1=3: D
92. 5.3 Bài tập chương 5 86 c. Tính P .X > 2=3 Y 1=2/ và E.X Y 1=2/: j D j D d. Tính P .Y < 1=4 X 1=3/ và E.Y X 1=3/: j D j D 5.3 Bài tập chương 5 Bài tập 5.1. Chi phí quảng cáo (X: triệu đồng) và doanh thu (Y : triệu đồng) của một cửa hàng có bảng phân phối đồng thời cho như sau:
93. 5.3 Bài tập chương 5 87 H H HH Y 500 700 900 HH X HH (400-600) (600-800) (800-1000) 30 0,10 0,05 0 50 0,15 0,20 0,05 80 0,05 0,05 0,35 a. Lập bảng phân phối xác suất chi phí chi cho quảng cáo. b. Cho doanh thu là 500 triệu, lập bảng phân phối xác suất chi phí quảng cáo. c. Lập bảng phân phối xác suất doanh thu của cửa hàng. d. Cho biết chi phí quảng cáo là 30 triệu, lập bảng phân phối xác suất của doanh thu. e. Tính chi phí chi cho quảng cáo trung bình. f. Cho doanh thu là 500 triệu, tính chi phí quảng cáo trung bình. g. Tính doanh thu trung bình của cửa hàng. h. Cho chi phí quảng cáo là 30 triệu, tính doanh thu trung bình. Giải.
94. 5.3 Bài tập chương 5 88
95. 5.3 Bài tập chương 5 89 Bài tập 5.2. Năng suất lúa X(tấn/ha) và lượng phân Urê Y(x 100 kg) có hàm mật độ đồng thời 1 xy y2 khi 0 3y x 6 f.x;y/ 40 C 20 Ä Ä Ä D 8 <0 nơi khác : a. Tìm hàm mật độ xác suất của năng suất lúa. b. Tìm hàm mật độ xác suất của lượng phân Urê. c. Tính năng suất lúa trung bình. d. Tính lượng phân bón trung bình. e. Tìm hàm mật độ xác suất của năng suất khi lượng phân bón 1 (x 100kg). f. Tìm hàm mật độ xác suất của lượng phân bón khi năng suất 3 (tấn/ha). g. Cho biết lượng phân bón 1(x100kg), tính xác suất năng suất lúa dưới 4(tấn/ha). h. Cho biết lượng phân bón 1(x100 kg), tính năng suất lúa trung bình. i. Cho biết năng suất lúa 3(tấn/ha), tính lượng phân bón trung bình. Giải.
96. 5.3 Bài tập chương 5 90
97. 5.3 Bài tập chương 5 91
98. Chương 6 Lý thuyết mẫu 6.1 Tổng thể, mẫu Ta cần nghiên cứu đặc tính X (cân nặng, chiều cao ) của tập lớn gồm N phần tử (N phần tử này được gọi là tổng thể). Thông thường ta không quan sát hết tất cả các phần tử của tập hợp này bởi vì các lý do: Làm hư hại tất cả các phần tử (kiểm tra đồ hộp, bắn thử đạn)  Thời gian và kinh phí không cho phép – Số phần tử quá lớn (Nghiên cứu  một đặc điểm nào của trẻ ta không thể đợi nghiên cứu toàn bộ trẻ em trên thế giới rồi mới đưa ra kết luận). Do đó người ta lấy từ tổng thể này ra n phần tử (n phần tử này được gọi là mẫu) và quan sát đặc tính X để tính các đặc trưng trên mẫu sau đó sử dụng công cụ toán học để đưa ra kết luận cho tổng thể mà ta không có điều kiện khảo sát tất cả các phần tử. Muốn mẫu lấy ra đại diện tốt cho tổng thể thì mẫu phải thỏa mãn hai điều kiện chính: Mẫu phải chọn ngẫu nhiên từ tổng thể.  Các phân phối của mẫu phải được chọn độc lập nhau.  Khi quan sát phần tử thứ i; ta gọi Xi là biến ngẫu nhiên giá trị quan sát đặc tính X trên phần tử thứ i: Trong trường hợp cụ thể, giả sử Xi có giá trị xn thì bộ n giá trị cụ thể .x1;:::;xn/ được gọi là mẫu cụ thể, cỡ mẫu cụ thể là n. Bộ n biến ngẫu nhiên độc lập .X1;:::;Xn/ gọi là mẫu ngẫu nhiên.
99. 6.2 Mô tả dữ liệu 93 Ví dụ 6.1. Khảo sát điểm môn xác suất thống kê của sinh viên lớp A có 100 sinh viên, tiến hành lấy mẫu có cỡ mẫu là 5. Gọi Xi ;i 1;:::;5 là điểm của D sinh viên thứ i trong 5 sinh viên được khảo sát. Nếu X1 3; X2 7; X3 D D D 8; X4 5; X5 7 thì ta có mẫu cụ thể .3;7;8;5;7/: D D Tính chất 6.1 (Mẫu ngẫu nhiên). Cho ngẫu nhiên .X1;:::;Xn/ ; trong đó Xi giá trị quan sát đặc tính X trên phần tử thứ i: Khi đó: i. Các Xi có cùng phân phối như X: ii. Các Xi độc lập nhau. 6.2 Mô tả dữ liệu 6.2.1 Phân loại mẫu ngẫu nhiên Mẫu ngẫu nhiên còn được phân làm 2 loại: Mẫu chỉ quan tâm các phần tử của nó có tính chất A hay không gọi là  mẫu định tính. Giả sử tỷ lệ phần tử A trên tổng thể là p, ta đặt 1 Nếu phần tử thứ i loại A Xi ; i 1;:::;n D 0 Nếu phần tử thứ i khác loại A D  Khi đó các Xi độc lập và cùng phân phối xác suất với X; Xi B.p/:  Mẫu mà ta quan tâm đến các yếu tố về lượng như là chiều cao, cân nặng,  mức hao phí nhiên liệu của một loại động cơ, gọi là mẫu định lượng. 6.2.2 Sắp xếp số liệu Giả sử mẫu cụ thể .x1;:::;xn/ có k giá trị khác nhau x1;:::;xk;.k n/ và Ä xi có tần số ni (với n1 nk n). khi đó, số liệu được sắp xếp theo thứ C
    
    
    C D tự tăng dần của xi như sau: X x1 x2 xk
    
    
    ni n1 n2 nk
    
    
    Bảng này gọi là bảng tần số dạng điểm.
100. 6.3 Các đặc trưng của mẫu 94 Ví dụ 6.2. Khảo sát tuổi (X) trẻ bắt đầu đến trường ở một địa phương, lấy mẫu cỡ 10 ta có mẫu cụ thể như sau: 4, 5, 6, 7, 6, 6, 5, 5, 6, 6 Có bảng tần số dạng điểm: X 4 5 6 7 ni 1 3 5 1 Giả sử mẫu cụ thể .x1;:::;xn/ có nhiều giá trị khác nhau (quan sát từ biến ngẫu nhiên liên tục) thường người ta phân dữ liệu theo khoảng: X a0 a1 a1 a2 ak 1 ak
     
     
     ni n1 n2 nk
     
     
     Bảng này gọi là bảng tần số dạng khoảng. Trong đó nk là số quan sát có giá trị thuộc khoảng .ak 1 ak: Khi tính toán ta đưa về bảng tần số dạng điểm I xk 1 xk bằng cách lấy giá trị chính giữa của mỗi khoảng xk C : D x Ví dụ 6.3. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 Số thai phụ 7 10 59 41 4 Bảng tần số dạng điểm có dạng: Thời gian 35 37 39 41 43 Số thai phụ 7 10 59 41 4 6.3 Các đặc trưng của mẫu Giả sử ta cần nghiên cứu đặc tính X: Ký hiệu các tham số  EX và D  2 VarX: Trong thống kê các tham số này là các tham số lý thuyết. D
101. 6.3 Các đặc trưng của mẫu 95 6.3.1 Trung bình mẫu Xét mẫu ngẫu nhiên .X1;:::;Xn/ lấy từ X: Định nghĩa 6.2 (Trung bình mẫu). Biến ngẫu nhiên 1 X .X1 Xn/ N D n C
     
     
     C được gọi là trung bình mẫu. Từ các tính chất của mẫu ngẫu nhiên, ta có: Tính chất 6.3. Trung bình mẫu có tính chất: 1 n i. EX .EX1 EXn/ : N D n C
     
     
     C D n D 1 n 2  2 ii. VarX .VarX1 VarXn/ N D n2 C
     
     
     C D n2 D n 1 Cho mẫu cụ thể .x1;:::;xn/, trung bình mẫu x .x1 xn/ và trung N D n C
     
     
     C 1 bình của bình phương x2 .x2 x2/ D n 1 C
     
     
     C n 1 Chú ý. Khi số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì x .x1n1 xknk/ và N D n C
     
     
     2 1 2 2 trung bình của bình phương là x .x n1 x nk/ D n 1 C
     
     
     k 6.3.2 Phương sai mẫu Xét mẫu ngẫu nhiên .X1;:::;Xn/ lấy từ X: Định nghĩa 6.4 (Phương sai mẫu). Biến ngẫu nhiên 2 1 2 2 S .X1 X/ .Xn X/ O D n N C
     
     
     C N được gọi là phương sai mẫu.
     Tính chất 6.5. Phương sai mẫu có các tính chất S 2 EX 2 .EX/2 i. O D n 1 ii. ES 2  2: O D n 2 2 2 Cho mẫu cụ thể .x1;:::;xn/, phương sai mẫu s x x : O D N
102. 6.3 Các đặc trưng của mẫu 96 6.3.3 Phương sai mẫu có hiệu chỉnh Xét mẫu ngẫu nhiên .X1;:::;Xn/ lấy từ X: Định nghĩa 6.6 (Phương sai mẫu có hiệu chỉnh). Biến ngẫu nhiên 2 1 2 2 S .X1 X/ .Xn X/ D n 1 N C
     
     
     C N được gọi là phương sai mẫu có hiệu chỉnh.
     Tính chất 6.7. Phương sai mẫu có các tính chất n i. S 2 S 2 D n 1 O ii. ES 2 2: D 2 n 2 Cho mẫu cụ thể .x1;:::;xn/; phương sai mẫu có hiệu chỉnh s s : D n 1 O Ta thấy phương sai mẫu và phương sai mẫu có đơn vị đo bằng bình phương đơn vị đo của đặc tính X: Để chuyển về cùng đơn vị ta có khái niệm: Độ lệch chuẩn của mẫu, s ps2  O D O Độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh, s ps2  D Ví dụ 6.4. Khảo sát chiều cao .cm/ của nữ sinh trong một trường đại học ta có số liệu như sau 153; 160; 145; 162; 165; 158 Tính: x; s2;s2; s;s N O O Giải. Trung bình mẫu 1 x .153 160 145 162 165 158/ 157; 1666 N D 6 C C C C C D Trung bình của bình phương 1 x2 .1532 1602 1452 1622 1652 1582/ 24744;5 D 6 C C C C C D Phương sai mẫu s2 x2 x2 24744;5 157; 16662 43; 1598 O D N D D
103. 6.3 Các đặc trưng của mẫu 97 n 6 Phương sai mẫu có hiệu chỉnh s2 s2 43; 1598 51; 7907 D n 1 O D 5 D Độ lệch chuẩn của mẫu s ps2 p43; 1598 O D O D Độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh s ps2 p51; 7907 D D Chú ý. Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay tính các đặc trưng mẫu a. Máy FX500MS (tương tự cho máy FX570MS) – Bước 1: Ấn phím Mod đến khi màn hình xuất hiện chữ SD và chọn số tương ứng với mục SD – Bước 2: Nhập số liệu 153; M+; 160; M+; 145; M+; 162; M+; 165; M+; 158; M+ – Bước 3: Sau khi đã nhập hết các số liệu tiếp theo bạn nhấn phím on – Bước 4: Xuất kết quả nhấn Shift -> 2 Tính x.x/ 1; =  N N W Tính s.xn/ 2; =  O W Tính s.xn 1/ 3; =  W b. Máy FX500ES (tương tự cho FX570ES ) – Bước 1: Shift; Mode; ; chọn (Stat); chọn (Off) (Số liệu nhập vào # không có tần số) – Bước 2: Mod; chọn (Stat); chọn (1-Var) – Bước 3: Nhập số liệu 153; =; 160; =; 145; =; 162; =; 165; =; 158; = – Sau khi đã nhập hết các số liệu tiếp theo bạn nhấn phím on – Xuất kết quả Shift; 1; chọn (Var) Tính n.n/ 1; =  W Tính x.x/ 2; =  N N W Tính s.xn/ 3; =  O W Tính s.xn 1/ 4; =  W Ví dụ 6.5. Điểm môn xác suất thống kê của một số sinh viên khoa A cho như sau
104. 6.3 Các đặc trưng của mẫu 98 Điểm 5 6 7 8 9 10 Số SV 2 4 12 15 6 2 a. Tính x. N 1 x .5 2 6 4 7 12 8 15 9 6 10 2/ 7; 6097 N D 41
     C
     C
     C
     C
     C
     D b. Tính s2. O 1 x2 .52 2 62 4 72 12 82 15 92 6 102 2/ 59; 2195 D 41
     C
     C
     C
     C
     C
     D suy ra s2 x2 x2 59; 2195 -7; 60972 1; 3119. O D N D D Chú ý. Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm ta tính các đặc trưng mẫu (mẫu có tần số) a. Máy FX500MS (tương tự cho máy FX570MS) – Bước 1: Ấn phím Mod đến khi màn hình xuất hiện chữ SD và chọn số tương ứng với mục SD – Bước 2: Nhập số liệu 5; Shift;, ; 2; M+; 6; Shift;, ; 4; M+; 7; Shift;, ; 12; M+; 8; Shift;, ; 15; M+; 9; Shift;, ; 6; M+; 10; Shift;, ; 2; M+ – Bước 4: Sau khi đã nhập hết các số liệu tiếp theo bạn nhấn phím on – Bước 3: Xuất kết quả nhấn Shift; 2 Tính x.x/ 1; =  N N W Tính s.xn/ 2; =  O W Tính s.xn 1/ 3; =  W b. Máy FX500ES (tương tự cho FX570ES)
105. 6.4Phânphốixácsuấtcủatrungbìnhmẫu 99 – Bước 1: Shift; Mode; ; chọn (Stat); chọn (On) (Số liệu nhập vào # có tần số) – Bước 2: Mod; chọn (Stat); chọn (1-Var) – Bước 3: Nhập số liệu Cột x: 5 ; =; 6; =; 7; =; 8; =; 9; =; 10; = Cột Freq: 2; =; 4; =; 12; =; 15; =; 6; =; 2; = – Sau khi đã nhập hết các số liệu tiếp theo bạn nhấn phím on – Xuất kết quả Shift; 1; chọn (Var) Tính n.n/ 1; =  W Tính x.x/ 2; =  N N W Tính s.xn/ 3; =  O W Tính s.xn 1/ 4; =  W Ví dụ 6.6. Năng suất lúa trong 1 vùng là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Gặt ngẫu nhiên 115 ha của vùng này, người ta thu được bảng số liệu: Năng suất (tạ / ha) 40-42 42 – 44 44 – 46 46 – 48 48 – 50 50 – 52 Diện tích (ha) 7 13 25 35 30 5 Tính x; s2. N O 6.4 Phân phối xác suất của trung bình mẫu a. Trường hợp X N.  3/  I 2 Gọi .X1;:::;Xn/ là mẫu ngẫu nhiên lấy từ X; khi đó Xi N.  / và  I  2 X N  (6.1) N  I n  à Trong trường hợp chưa biết  2 ta có X  n 1 N T (6.2) S  pn
106. 6.5 Đại lượng thống kê 100 b. Trường hợp cỡ mẫu lớn :  2 X N  (6.3) N  I n  à Trong trường hợp chưa biết  2 ta có : S 2 X N  (6.4) N  I n  à Chú ý. Khi mẫu .X1;:::;Xn/ là mẫu định tính, tỷ lệ phần tử A trên tổng thể là p: 1 Nếu phần tử thứ i loại A; P .Xi 1/ p Xi D D ; i 1;:::;n D 0 Nếu phần tử thứ i khác loại A; P .Xi 0/ q D  D D Các biến ngẫu nhiên Xi độc lập và Xi B.p/, theo 4.5.2 ta có  : 2 X=n p : X X1 : : : Xn N np pnpq hay N .0 1/ (6.5) D C C  I npq  I  Á n r Trong đó X=n gọi là tỷ lệ phần tử A của mẫu, thường được ký hiệu F: 6.5 Đại lượng thống kê Giả sử có mẫu ngẫu nhiên .X1;:::;Xn/ từ biến ngẫu nhiên X: Định nghĩa 6.8. Hàm số  .X1;:::;Xn/ phụ thuộc vào mẫu được gọi là đại lượng thống kê. (Người ta còn gọi ngắn gọn là thống kê). Ví dụ 6.7. Trung bình mẫu, phương sai mẫu, tỷ lệ mẫu là các thống kê. Trong thống kê, cỡ mẫu gọi là lớn khi n 30: 
107. Chương 7 Ước lượng tham số 7.1 Khái niệm chung Giả sử biến ngẫu nhiên X có tham số  chưa biết, dựa vào mẫu ngẫu nhiên .X1;:::;Xn/ ta đưa ra thống kê  .X1;:::;Xn/ để ước lượng giá trị của O D . Có hai phương pháp: Ước lượng điểm: Chỉ ra giá trị 0 để ước lượng cho :  Ước lượng khoảng: Chỉ ra một khoảng .1 2/ chứa  sao cho P .1 <<2/  I D 1 ˛ cho trước, trong đó 1 ˛ gọi là độ tin cậy của ước lượng. 7.2 Ước lượng điểm Định nghĩa 7.1 (Ước lượng không chệch). Thống kê O được gọi là ước lượng không chệch cho tham số  nếu E./ : O D Ví dụ 7.1. Giả sử biến ngẫu nhiên X có giá trị trung bình là . Từ X ta .X ;:::;X / X lập mẫu ngẫu nhiên 1 n . Khi đó N là ước lượng không chệch cho  1 Ta nhận thấy thống kê  .X1 Xn/ cũng là một ước lượng không chệch O D 2 C cho . Vì vậy có thể nói có nhiều ước lượng không chệch cho . Vấn đề cần một tiêu chuẩn để chọn một thống kê O trong lớp các ước lượng không chệch cho . Theo tính chất 6.3
108. 7.3 Ước lượng khoảng 102 Định nghĩa 7.2 (Ước lượng hiệu quả). Ước lượng không chệch O được gọi V là ước lượng có hiệu quả của tham số  nếu ar O nhỏ nhất trong các ước lượng không chệch của :  Á Chú ý. Người ta chứng minh được rằng nếu O là ước lượng hiệu quả của  thì phương sai của nó là 1 V ar O D nE @ ln f.x;0/  Á @  Á Trong đó f.x;/ là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên gốc. X; S 2; F ; 2; p: Các thống kê N là ước lượng hiệu quả cho tham số Ta có quy tắc thực hành ước lượng điểm như sau: Tham số lý thuyết Đặc trưng mẫu Ước lượng EX  x  x D N  N VarX  2 s2  2 s2 D  p (tỷ lệ phần tử A ) f =tỷ lệ phần tử A trên mẫu p f  7.3 Ước lượng khoảng 7.3.1 Mô tả phương pháp. Gọi  là tham số của X chưa biết. Với mẫu cụ thể .x1;:::;xn/ ta tìm khoảng .1 2/ chứa  sao cho P .1 <<2/ 1 ˛ cho trước. I D Khoảng .1 2/ gọi là khoảng tin cậy.  I 1 2 gọi là độ dài khoảng tin cậy.  j j 1 ˛ gọi là độ tin cậy.  7.3.2 Ước lượng khoảng cho trung bình Gọi  là trung bình của X chưa biết ta tìm khoảng .1 2/ chứa  sao cho I P .1 <<2/ 1 ˛. Khoảng tin cậy .1 2/ .x " x "/, với " gọi D I D N I N C là độ chính xác của ước lượng. Trong đó " tính như sauŽ ŽCông thức tính độ chính xác được giải thích ở phụ lục B.1.1
109. 7.3 Ước lượng khoảng 103 X XXX XXX Cỡ mẫu XX n 30 n < 30;X N.  2/ V XXX arX XXX   I   2 " t 1˛ " t 1˛ Biết  D pn 2 D pn 2 (t 1˛ tra bảng A.2) (t 1˛ tra bảng A.2) 2 2 s s n 1 2 " t 1˛ " t˛ Không biết  D pn 2 D pn n 1 (t 1˛ tra bảng A.2) (t tra bảng A.3). 2 ˛ Ví dụ 7.2. Khảo sát về thời gian tự học X (giờ/tuần) trong tuần của một số sinh viên hệ chính quy ở trường đại học A trong thời gian gần đây, người ta thu được bảng số liệu X 5 6 7 8 9 10 Số SV 10 35 45 36 10 8 Ước lượng thời gian tự học trung bình của một sinh viên với độ tin cậy 95% cho hai trường hợp: a. Biết  2 D b. Chưa biết  Giải. Từ mẫu ta tính được n 144 x 7; 1736 s 1; 2366. D I N D I D Gọi  là thời gian tự học trung bình của sinh viên. Khoảng ước lượng cho  với độ tin cậy 95% có dạng .1 2/ .x " x "/ I D N I N C Tiếp theo ta tính " cho từng trường hợp: a. Biết  2 D  2 " t 1˛ 1;96 0; 3267 D pn 2 D p144 D Vậy khoảng ước lượng .1 2/ .7; 1736 0; 3267 7; 1736 0; 3267/ .6; 8469 7; 5003/ I D I C D I
110. 7.3 Ước lượng khoảng 104 1 ˛ Chú ý. Cho trước độ tin cậy là 1 ˛ 0;95 cho nên ta có 0;475. Tra D 2 D bảng A.2 ta có t0;475 1;96. D b. Không biết  s 1; 2366 " t 1˛ 1;96 0;202 D pn 2 D p144 D Vậy khoảng ước lượng .1 2/ .7; 1736 0;202 7; 1736 0;202/ I D I C D .6; 9716 7; 3756/ I Chú ý. Với t0;475 1;96 được tính như câu a. D Ví dụ 7.3. Khảo sát cân nặng (kg) của gà khi xuất chuồng, người ta cân một số con và kết quả cho như sau: 2,1; 1,8; 2,0; 2,3; 1,7; 1,5; 2,0; 2,2; 1,8 Giả sử cân nặng của gà là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Với độ tin cậy 95% ước lượng cân nặng trung bình của gà khi xuất chuồng: a. Biết  0;3. D b. Không biết . Giải. Từ mẫu ta tính được n 9 x 1; 9333 s 0; 2549. D I N D I D Gọi  là cân nặng trung bình của gà khi xuất chuồng. a. Cho biết  0;3 D  0;3 " t 1˛ 1;96 0;196 D pn 2 D p9 D Vậy khoảng ước lượng .1 2/ .1; 9333 0;196 1; 9333 0;196/ .1; 7373 2;1293/ I D I C D I b. Không biết  s n 1 0; 2549 " t 2;306 0; 1959 D pn ˛ D p9 D Vậy khoảng ước lượng .1 2/ .1; 9333 0; 1959 1; 9333 0; 1959/ I D I C D .1; 7374 2;1292/ I
111. 7.3 Ước lượng khoảng 105 Chú ý. Cho trước độ tin cậy là 1 ˛ 0;95 cho nên ta có ˛ 0;05. Tra D D bảng A.3 ta có t 8 2;306. 0;05 D Chú ý. Các chỉ tiêu ước lượng trung bình. Ta nhận thấy trong ước lượng trung bình có 3 chỉ tiêu chính "; 1 ˛;n: Nếu biết hai chỉ tiêu thì sẽ xác định được chỉ tiêu thứ 3. a. Xác định cỡ mẫu n nhỏ nhất sao cho độ chính xác không lớn hơn " và độ tin cậy là 1 ˛ (ở đây ta luôn giả sử cỡ mẫu lớn). Ta có  2 s 2 n t 1˛ hoặc n t 1˛  " 2  " 2  Á Â  Á Ã n nhỏ nhất thỏa điều kiện trên là  2 s 2 n t 1˛ 1 hoặc n t 1˛ 1 D " 2 C D " 2 C ˇ ˇ Â ˇ ˇ Ã ˇ Á ˇ ˇ Á ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ b. Xác định độ tin cậyˇ của ướcˇ lượng khi biết độˇ chính xácˇ của ước lượng. "pn Trước hết xác định giá trị t 1˛ . Và từ đây dễ dàng tính được 2 D s 1 ˛: Ví dụ 7.4. Cân thử 121 sản phẩm (đơn vị tính bằng kg) ta tính được s2 5;76. D a. Xác định độ chính xác nếu muốn ước lượng trọng lượng trung bình với độ tin cậy 95%. b. Xác định cỡ mẫu nhỏ nhất để lượng trọng lượng trung bình với độ tin cậy 95% và độ chính xác nhỏ hơn 0,4. c. Xác định độ tin cậy nếu muốn ước lượng trung bình với độ chính xác là " 0;5. D Giải. a. Xác định độ chính xác: s 2;4 " t 1˛ 1;96 0; 4276 D pn 2 D p121 D
112. 7.3 Ước lượng khoảng 106 b. Xác định cỡ mẫu n. s 2 2;4 2 n t 1˛ 1 1:96 1 139 D " 2 C D ˇ 0;4 ˇ C D ˇ Á ˇ ˇÂ à ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ c. Xác định độ tinˇ cậy, trướcˇ hết taˇ tính ˇ "pn 0;5p121 t 1˛ 2;29 2 D s D 2;4 D 1 ˛ Tra bảng A.2 ta tính được 0;489. Từ đó suy ra 1 ˛ 0;978 2 D D 7.3.3 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ Gọi p là tỷ lệ phần tử A chưa biết ta tìm khoảng .p1 p2/ chứa p sao cho I P .p1 <p<p2/ 1 ˛. Khoảng tin cậy D .p1 p2/ .f " f "/ I D I C trong đó f là tỷ lệ phần tử A tính trên mẫu.  " gọi là độ chính xác của ước lượng được tính như sau  f.1 f/ " t 1˛ 2 D r n Ví dụ 7.5. Khảo sát tỷ lệ phế phẩm do một nhà máy sản xuất ra, người ta quan sát 800 sản phẩm thấy có 8 phế phẩm. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng tỷ lệ phế phẩn của nhà máy. Giải. Gọi 8 f là tỷ lệ phế phẩm trên mẫu. f 0;01 : D 800 D  à p là tỷ lệ phế phẩm của nhà máy. Công thức tính độ chính xác được giải thích ở phụ lục B.1.2
113. 7.3 Ước lượng khoảng 107 Độ chính xác của ước lượng tỷ lệ f.1 f/ 0;01.1 0;01/ " t 1˛ 1;96 0; 0069 2 D r n D r 800 D Vậy khoảng ước lượng cho p với độ tin cậy 95% là .p1 p2/ .0;01 0; 0069 0;01 0; 0069/ .0; 0031 0; 0169/ I D I C D I Chú ý. Xác định các chỉ tiêu ước lượng a Xác định cỡ mẫu n nhỏ nhất sao cho độ chính xác không lớn hơn " và f.1 f/ 2 độ tin cậy là 1 ˛ Ta có n t 1˛ . n nhỏ nhất thỏa điều  "2 2 kiện trên là  Á f.1 f/ 2 n t 1˛ 1 D "2 2 C ˇ ˇ ˇ  Á ˇ ˇ ˇ b Xác định độ tin cậy của ướcˇ lượng khi biết độˇ chính xác của ước lượng. Trước hết xác định giá trị n t 1˛ " : 2 D f.1 f/ r Và từ đây dễ dàng tính được 1 ˛ bằng bảng A.2. Ví dụ 7.6. Quan sát 800 sản phẩm do một xí nghiệp sản xuất ra thấy có 128 mẫu loại A. a. Xác định độ chính xác nếu muốn ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy 95%. b. Xác định cỡ mẫu nhỏ nhất để ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại A với độ chính xác nhỏ hơn 0,023 và độ tin cậy 95%. c. Xác định độ tin cậy nếu muốn ước lượng tỷ lệ sản phẩm A với độ chính xác là 0,022. Giải. Gọi: 128 f là tỷ lệ sản phẩm loại A tính trên mẫu f 0;16 . D 800 D Â Ã
114. 7.4 Bài tập chương 7 108 p là tỷ lệ sản phẩm loại A do xí nghiệp sản xuất ra. a. Độ chính xác của ước lượng f.1 f/ 0;16.1 0;16/ " t 1˛ 1;96 0; 0254 2 D r n D r 800 D b. Xác định n 2 f.1 f/ 0;16.1 0;16/ 2 n t 1˛ 1 1;96 1 977 D "2 2 C D 0;0232 C D ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ  Á ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ c. Xác địnhˇ độ tin cậy 1 ˛ˇ ˇ ˇ n 800 t 1˛ " 0;022 1;69 2 D f.1 f/ D 0; 016.1 0;016/ D r s 1 ˛ Tra bảng A.2 ta tính được 0; 4545. Từ đó suy ra 1 ˛ 0;909 2 D D 7.4 Bài tập chương 7 Bài tập 7.1. Kiểm tra ngẫu nhiên 25 bóng đèn của một hãng điện tử, thấy tuổi thọ trung bình là 5000 giờ, độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh là 200 giờ. Giả sử tuổi thọ của bóng đèn có phân phối chuẩn. Tính khoảng ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn trên với độ tin cậy 95%. (4917,44 giờ; 5082,56 giờ) Bài tập 7.2. Kiểm tra ngẫu nhiên 25 bóng đèn của một hãng điện tử, thấy độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh là 200 giờ. Giả sử tuổi thọ của bóng
115. 7.4 Bài tập chương 7 109 đèn có phân phối chuẩn. Sử dụng mẫu trên để ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn trên với độ chính xác là 73,12 giờ thì đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu? 92% Bài tập 7.3. Thăm dò 25 người đang sử dụng điện thoại di động về số tiền phải trả trong 1 tháng, thấy số tiền trung bình một người phải trả là 200 ngàn đồng, độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh là 50 ngàn đồng. Giả sử số tiền phải trả trong một tháng có phân phối chuẩn. Với độ tin cậy là 95% tính khoảng ước lượng số tiền trung bình một người sử dụng điện thoại di động phải trả. (179,36 ngàn đồng; 220,64 ngàn đồng) Bài tập 7.4. Thăm dò 25 người đang sử dụng điện thoại di động về số tiền phải trả trong 1 tháng, thấy độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh là 50 ngàn đồng. Giả sử số tiền phải trả trong một tháng có phân phối chuẩn. Với độ chính xác là 19,74 ngàn đồng thì độ tin cậy bao nhiêu? 94%
116. 7.4 Bài tập chương 7 110 Bài tập 7.5. Biết chiều dài của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Đo ngẫu nhiên 10 sản phẩm loại này thì được chiều dài trung bình là 10,02m và độ lệch chuẩn của mẫu chưa hiệu chỉnh là 0,04m. Tính khoảng ước lượng chiều dài trung bình của loại sản phẩm này với độ tin cậy 95%. (9,9898m; 10,0502m)
117. Chương 8 Kiểm định giả thiết 8.1 Bài toán kiểm định giả thiết 8.1.1 Giả thiết không, đối thiết Trong chương này chúng ta sẽ đề cặp đến bài toán thống kê liên quan đến tham số , với giá trị của nó không biết thuộc không gian tham ‚: Tuy nhiên chúng ta sẽ giả sử ‚ có thể được phân chia thành hai tập tách biệt ‚0 và ‚1 và nhiệm vụ của người làm thống kê phải quyết định xem  thuộc ‚0 hay ‚1: Chúng ta đặt H0 để ký hiệu giả thiết  ‚0; và H1 ký hiệu giả thiết  ‚1: 2 2 Bởi vì ‚0 và ‚1 tách biệt và ‚0 ‚1 ‚; chính xác chỉ có giả thiết H0 \ D hoặc H1 là đúng. Chúng ta phải quyết định chấp nhận H0 để bác bỏ H1 hoặc ngược lại. Bài toán thuộc dạng này được gọi là kiểm định giả thiết. Đến đây, chúng ta thấy vai trò của giả thiết H0 và H1 cơ bản giống nhau. Trong hầu hết các bài toán kiểm định, hai giả thiết này hơi khác. Để phân biệt giữa hai giả thiết này ta gọi H0 gọi là giả thiết không và H1 gọi là đối thiết. Chúng ta sẽ dùng các thuật ngữ này trong phần còn lại của chương. 8.1.2 Miền tới hạn Ta xét bài toán với giả thiết có dạng như sau: Giả thiết không H0  ‚0 W 2 Đối thiết H1  ‚1  W 2
118. 8.1 Bài toán kiểm định giả thiết 112 Giả sử trước khi chúng ta quyết định giả thiết nào sẽ được chấp nhận, chúng ta có mẫu ngẫu nhiên X1;:::;Xn được trích từ phân phối của đặc tính X với tham số  chưa biết. Chúng ta ký hiệu  là không gian mẫu,  chứa tất cả các kết quả có thể xảy ra khi lấy mẫu ngẫu nhiên. Trong quá trình kiểm định, chúng ta sẽ chia  thành hai tập con. Một tập chứa tất cả các giá trị của X sao cho ta chấp nhận H0; và tập còn lại chứa tất cả các giá trị của X sao cho ta bác bỏ H0 và chấp nhận H1: Tập các giá trị của X để H0 bị bác bỏ gọi là miền tới hạn, ký hiệu C . Với mỗi giá trị  ‚ ta đặt hàm lực lượng ./ là xác suất dẫn đến bác bỏ 2 H0; ngược lại 1 ./ là xác suất dẫn đến chấp nhận H0: Nếu ký hiệu C là miền tới hạn của kiểm định, hàm ./ được xác định bởi quan hệ ./ P .X C / ;  ‚ D 2 j 8 2 Bởi vì ./ là xác suất ứng với mỗi  thì H0 bị bác bỏ, trong trường hợp lý tưởng hàm ./ 0 với mọi  ‚0 và ./ 1 với mọi  ‚1: Nếu hàm D 2 D 2 ./ có các giá trị này thì bất chấp giá trị thực tế  nào ta luôn có kết luận đúng với xác suất 1. 8.1.3 Hai loại sai lầm Khi chọn một trong hai quyết định trên sẽ nẩy sinh ra hai sai lầm: Sai lầm loại I: Bác bỏ H0 khi H0 đúng, xác suất sai lầm loại I là  P .C H0/ P X1;:::;Xn/ C H0/ j D 2 j Sai lầm loại II: Chấp nhận H0 khi H0 sai, xác suất sai lầm loại II là  P C H1 P X1;:::;Xn/ C H1/ N j D j Ví dụ 8.1. Cần nghiên cứu tác
     dụng phụ của một loại thuốc mới vừa được nghiên cứu ta đặt giả thiết và đối thiết như sau Giả thiết H0 Thuốc có tác dụng phụ W Đối thiết H1 Thuốc không có tác dụng phụ  W
119. 8.2Kiểmđịnhgiảthiếtvềtrungbình 113 XX XX XXX Thực tế XX XXX Thuốc có tác dụng phụ Thuốc không có tác dụng phụ Kết luận XXX Chấp nhận H0 Kêt luận đúng Sai lầm loại II Bác bỏ H0 Sai lầm loại I Kết luận đúng Việc đặt giả thiết như trên khi sai lầm loại I xảy ra là tai hại hơn sai lầm loại II (thuốc có tác dụng phụ mà kết luận thuốc không có tác dụng phụ). Lẽ tự nhiên là ta chọn miền C sao cho cực tiểu cả hai xác suất phạm sai lầm. Song không thể cực tiểu đồng thời cả hai sai lầm khi cỡ mẫu cố định, bởi vì hai xác suất trên hiên hệ nhau bởi: P .C H0/ P C H0 1 P .C H1/ P C H1 1: j C N j D I j C N j D Do đó C cực tiểu P .C H0/ chưa
     chắc đã cực tiểu P C H1
     j N j
     8.1.4 Phương pháp chọn miền tới hạn Ta cố định một loại xác suất sai lầm và tìm miền C sao cho xác suất phạm sai lầm kia đạt giá trị nhỏ nhất. Thông thường ta cố định xác suất sai lầm loại I: P .C H0/ ˛, ta sẽ chọn miền C sao cho P C H1 đạt cực tiểu hay j Ä N j P .C H1/ cực đại, nghĩa là tim C sao cho: j
     P .C H0/ ˛ ./ ˛ với  ‚0 j Ä hay Ä 2 (8.1) P .C H1/ đạt cực đại ./ đạt cực đại với  ‚1  j  2 Ta gọi ˛ là mức ý nghĩa của kiểm định, khi cố định ˛ và có hàm lực lượng ./;  ‚1 lớn nhất thì qui tắc này gọi là qui tắc mạnh nhất. 8 2 8.2 Kiểm định giả thiết về trung bình Giả sử  (chưa biết) là trung bình của biến ngẫu nhiên X, cần kiểm định Giả thiết H0  0 W D Đối thiết H1  0  W ¤ Xem giải thích phụ lục B.2.1
120. 8.2Kiểmđịnhgiảthiếtvềtrungbình 114 X XXX XXX Cỡ mẫu XX n 30 n t 1 ˛ hoặc t>t˛  2 Ví dụ 8.2. Cân thử 15 con gà tây ở 1 trại chăn nuôi
     khi xuất chuồng ta tính được x 3;62kg. Cho biết  2 0;01. N D D a. Giám đốc trại tuyên bố trọng lương trung bình của gà tây là 3;5kg thì có tin được không với mức ý nghĩa ˛ 1%. D b. Giả sử người ta dùng thức ăn mới và khi xuất chuồng trọng lượng trung bình của gà tây là 3,9 kg. Cho kết luận về loại thức ăn này với mức ý nghĩa ˛ 1%: D Giải. a. Gọi  cân nặng trung bình của gà khi xuất chuồng. Cần kiểm định: Giả thiết H0  3;5kg W D Đối thiết H1  3;5kg  W ¤ x 0 3;62 3;5 t j N jpn j jp15 4;6 và t 1˛ 2;58 D  D 0;1 D 2 D t>t 1˛ nên bác bỏ giả thiết. Vậy giám đốc báo cáo sai. 2  Á
121. 8.3 Kiểm định giả thiết về tỷ lệ 115 b. Gọi  cân nặng trung bình của gà tây khi xuất chuồng (trước khi sử dụng thức ăn mới) Giả thiết H0  3;9kg W D Đối thiết H1  3;9kg  W ¤ xn 0 3;62 3;9 t j jpn j jp15 10;84 D  D 0;1 D t>t 1˛ nên bác bỏ giả thiết. Vậy thức ăn mới có tác dụng tốt. 2  Á 8.3 Kiểm định giả thiết về tỷ lệ Giả sử p(chưa biết) là tỷ lệ phần tử loại A, cần kiểm địnhŽ Giả thiết H0 p p0 W D Đối thiết H1 p p0  W ¤ Qui tắc thực hành như sau: Tính giá trị f p0 t j j pn và t 1˛ (Bảng A.2) 2 D p0.1 p0/ Trong đó f là tỷ lệ phầnp tử A trên mẫu Kết luận: Chấp nhận giả thiết H0 khi t t 1˛ :  Ä 2 Bác bỏ giả thiết H0 khi t>t 1˛ :  2 Ví dụ 8.3. Để kiểm tra một loại súng thể thao, người ta cho bắn 1000 viên đạn vào bia thấy có 540 viên trúng mục tiêu. Sau đó, bằng cải tiến kỹ thuật người ta tính được tỷ lệ trúng mục tiêu là 70%. Hãy cho kết luận về cải tiến với mức ý nghĩa 1%. Giải. Gọi p là tỷ lệ bắn trúng trước cải tiến.  f là tỷ lệ bắn trúng trên mẫu (trước cải tiến).  ŽXem giải thích ở phụ lục B.2.2
122. 8.4 So sánh hai giá trị trung bình 116 Cần kiểm định giả thiết Giả thiết H0 p 0;7 W D Đối thiết H1 p 0;7  W ¤ Tiến hành kiểm tra giả thiết f p0 0;54 0;7 t j j pn j jp1000 11;04 D p0.1 p0/ D p0;7:0;3 D 1 ˛ 0;99 trap bảng A.2 ta được t 1˛ 2;58. Kết luận cải tiến có tác dụng D 2 D tốt. Ví dụ 8.4. Kiểm tra 800 sinh viên thấy có 128 sinh viên giỏi. Trường báo cáo tổng kết là có 40% sinh viên giỏi thì có thể chấp nhận được không với mức ý nghĩa 5%. Giải. Gọi p tỷ lệ sinh viên giỏi thực tế (chưa biết)  128 f tỷ lệ sinh viên giỏi tính trên mẫu f 0;16  D 800 D Giả thiết H0 p 40% W D Đối thiết H1 p 40%  W ¤ Tiến hành kiểm tra giả thiết f p0 0;16 0;4 t j j pn j jp800 13; 871 D p0.1 p0/ D p0;4:0;6 D 1 ˛ 0;95 trap bảng A.2 ta được t 1˛ 1;96. Kết luận báo cáo là sai sự D 2 D thật, tỷ lệ sinh viên giỏi trong thực tế thấp hơn nhiều. 8.4 So sánh hai giá trị trung bình Giả sử X1 và X2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trung bình là 1 và 2 . Cần kiểm định Giả thiết H0 1 2 W D Đối thiết H1 1 2  W ¤ Ký hiệu các đặc trưng của mẫu 1, 2 lấy từ tổng thể 1, tổng thể 2.
123. 8.4 So sánh hai giá trị trung bình 117 Mẫu Cỡ mẫu Trung bình mẫu Độ lệch chuẩn có hiệu chỉnh I n1 x1 s1 N II n2 x2 s2 N `` ``` 2 ``` Cỡ mẫu n1 t 1 ˛ hoặc t>t˛ C  2 Ví dụ 8.5. Cân thử 100 trái cây ở nông trường I ta tính
     được x1 101;2 2 N 2 D I s 571;7 và 361 trái cây ở nông trường II tính được x2 66;39 s 29;72. 1 D N D I 2 D So sánh trọng lượng trung bình của trái cây ở hai nông trường với mức ý nghĩa 1%. Giải. Gọi 1;2 cân nặng trung bình của trái cây ở nông trường I và II. Cần kiểm định Giả thiết H0 1 2 W D Đối thiết H1 1 2  W ¤
124. 8.4 So sánh hai giá trị trung bình 118 Mẫu Cỡ mẫu Trung bình mẫu Độ lệch chuẩn có hiệu chỉnh 2 I n1 100 x1 101;2 s1 571;7 D N D 2 D II n2 361 x2 66;39 s 29;72 D N D 2 D Tính giá trị x1 x2 101;2 66;39 t jN N j j j 14;4549 D 2 2 D 571;7 29;72 D s1 s2 100 C 361 sn1 C n2 r Tra bảng A.2 ta được t 1˛ t0;495 2;58: Vậy t >t 1˛ cho nên bác bỏ giả 2 D D 2 thiết H0 hay cân nặng trung bình của trái cây ở hai địa phương không bằng nhau. Ví dụ 8.6. Đo đường kính 20 trục máy do máy I sản xuất và 22 trục máy do 2 2 máy II sản xuất ta tính được x1 251;7 s 52;853 và x2 249;8 s N D I 1 D N D I 2 D 56;2. Có thể xem đường kính trung bình của các trục máy ở 2 máy như nhau với mức ý nghĩa 1% không? Giải.
125. 8.5 So sánh hai tỷ lệ 119 8.5 So sánh hai tỷ lệ Gọi p1 p2 tỷ lệ phần tử A trên tổng thể 1 và 2 chưa biết. Ta cần kiểm định I Giả thiết H0 p1 p2 W D Đối thiết H1 p1 p2  W ¤ n1f1 n2f2 Tính: f C (Tỷ lệ phần tử A chung của 2 mẫu), trong đó f1 f2 D n1 n2 I tỷ lệ phần tử A trênC mẫu 1, 2. f1 f2 t j j D 1 f.1 f/ 1 n C n2 s  1 à Kết luận: Chấp nhận giả thiết H0 khi t t 1˛ :  Ä 2 Bác bỏ giả thiết H0 khi t>t 1˛ :  2 Ví dụ 8.7. Từ hai đám đông tiến hành 2 mẫu với n1 100;n2 120 tính D D được tỷ lệ phần tử loại A trên mẫu 1, 2 lần lượt f1 0;2 và f2 0;3. Với D D mức ý nghĩa ˛ 1% cho kết luận tỷ lệ phần tử A của 2 đám đông có như D nhau không. 20 36 Giải. Tính f C 0;255. D 100 120 D C Gọi p1;p2 (chưa biết) tỷ lệ phần tử A trên tổng thể 1, 2. Cần kiểm định giả thiết Giả thiết H0 p1 p2 W D Đối thiết H1 p1 p2  W ¤ 0;2 0;3 t j j 1;695 D 1 1 D 0;255:0;745 100 C 120 s  à Với ˛ 1% tra bảng A.2 tính được t 1˛ 2;58. Kết luận chấp nhận giả D 2 D thiết H0 hay tỷ lệ phần tử A trên 2 mẫu như nhau.
126. 8.5 So sánh hai tỷ lệ 120 Ví dụ 8.8. Kiểm tra 120 sinh viên trường A thấy có 80 sinh viên giỏi, 150 sinh viên trường B có 90 sinh viên giỏi. Hỏi tỷ lệ sinh viên giỏi của 2 trường như nhau không? Biết mức ý nghĩa là 5%. Giải. Ví dụ 8.9. Kiểm tra 230 sản phẩm của ca ngày thấy có 4 sản phẩm hỏng. Còn kiểm tra 160 sản phẩm của ca đêm thấy có 3 sản phẩm hỏng. Kết luận tỷ lệ sản phẩm hỏng phụ thuộc vào ca có đúng không với mức ý nghĩa 1%. Giải.
127. 8.6 Bài tập chương 8 121 8.6 Bài tập chương 8 Bài tập 8.1. Biết chiều dài của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Đo ngẫu nhiên 10 sản phẩm loại này thì được chiều dài trung bình là 10,02m và độ lệch chuẩn của mẫu chưa hiệu chỉnh là 0,04m. Kiểm định giả thuyết H: “chiều dài trung bình của loại sản phẩm này là 10,0543m” có giá trị kiểm định t là bao nhiêu và cho kết luận với mức ý nghĩa 3%. t = 2,5703; chiều dài trung bình của loại sản phẩm này là 10,0543m với mức ý nghĩa 3% Bài tập 8.2. Khảo sát về thời gian tự học (giờ/tuần) của sinh viên hệ chính quy ở trường đại học A trong học kỳ này. Tiến hành lấy mẫu, người ta thu được bảng số liệu: Thời gian 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 Số sinh viên 5 14 16 8 6 a. Tìm khoảng ước lượng thời gian tự học trung bình trong tuần của sinh viên trường A với độ tin cậy 95%. (7,1817giờ/tuần; 8,4917giờ/tuần)
128. 8.6 Bài tập chương 8 122 b. Để ước lượng thời gian tự học trung bình trong tuần với độ tin cậy 95% và độ chính xác nhỏ hơn " 0;6(giờ/tuần) thì cỡ mẫu nhỏ nhất là bao D nhiêu? 59 c. Sử dụng mẫu ban đầu để ước lượng thời gian tự học trung bình trong tuần với độ chính xác " 0;6(giờ/tuần) thì đảm bảo độ tin cậy là bao D nhiêu? 92,82% d. Những sinh viên có thời gian tự học từ 9(giờ/tuần) trở lên gọi là sinh viên “chăm học”. Với độ tin cậy 95% khoảng ước lượng tỷ lệ sinh viên chăm học là bao nhiêu? (15,92%; 41,22%) e. Những sinh viên có thời gian tự học từ 9(giờ/tuần) trở lên gọi là sinh viên “chăm học”. Để ước lượng tỷ lệ sinh viên “chăm học” với độ tin cậy
129. 8.6 Bài tập chương 8 123 95% và độ chính xác nhỏ hơn " 0;12 thì cỡ mẫu nhỏ nhất là bao D nhiêu? 55 f. Những sinh viên có thời gian tự học từ 9(giờ/tuần) trở lên gọi là sinh viên “chăm học”. Sử dụng mẫu trên để ước lượng tỷ lệ sinh viên “chăm học” với độ chính xác " 0;12 thì đảm bảo độ tin cậy là bao nhiêu? D 93,71% g. Tính giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: “thời gian tự học trung bình của sinh viên trường A là 8,4(giờ/tuần)” và cho kết luận với mức ý nghĩa 5%. t = 1,6855; thời gian tự học trung bình của sinh viên trường A là 8,4(giờ/tuần) với mức ý nghĩa 5%
130. 8.6 Bài tập chương 8 124 h. Trong kiểm định giả thuyết H: “thời gian tự học trung bình của sinh viên trường A là 8,4(giờ/tuần)”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là bao nhiêu? 9,1% i. Những sinh viên có thời gian tự học từ 9(giờ/tuần) trở lên gọi là sinh viên “chăm học”. Tính giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: “tỷ lệ sinh viên chăm học ở trường A là 18%” và cho kết luận với mức ý nghĩa 5%. t = 1,9261; tỷ lệ sinh viên chăm học ở trường A là 18% với mức ý nghĩa 5% j. Những sinh viên có thời gian tự học từ 9(giờ/tuần) trở lên gọi là sinh viên “chăm học”. Trong kiểm định giả thuyết H: “tỷ lệ sinh viên chăm học ở trường A là 18%”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là bao nhiêu? 5,36%
131. 8.6 Bài tập chương 8 125 k. Trường B khảo sát 64 sinh viên về thời gian tự học. Người ta tính được độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh là 2(giờ/tuần) và trung bình mẫu là 8,5(giờ/tuần). Tính giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: “thời gian tự học trung bình trong tuần của sinh viên hai trường là như nhau” và cho kết luận với mức ý nghĩa 5%. t = 1,5893; thời gian tự học trung bình trong tuần của sinh viên hai trường là như nhau mức ý nghĩa 5% l. Trường B khảo sát 64 sinh viên về thời gian tự học. Người ta tính được độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh là 2(giờ/tuần) và trung bình mẫu là 8,5(giờ/tuần). Trong kiểm định giả thuyết H: “thời gian tự học trung bình trong tuần của sinh viên hai trường là như nhau”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là bao nhiêu? 11,18% m. Những sinh viên có thời gian tự học từ 9(giờ/tuần) trở lên gọi là sinh viên “chăm học”. Trường B khảo sát 64 sinh viên về thời gian tự học thấy có 28 sinh viên “chăm học”. Tính giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: “tỷ lệ sinh viên “chăm học” của hai trường là như nhau” và cho kết luận với mức ý nghĩa 5%. t = 1,6546; tỷ lệ sinh viên chăm học của hai trường là như nhau với mức ý nghĩa 5%
132. 8.6 Bài tập chương 8 126 n. Những sinh viên có thời gian tự học từ 9(giờ/tuần) trở lên gọi là sinh viên “chăm học”. Trường B khảo sát 64 sinh viên về thời gian tự học thấy có 28 sinh viên “chăm học”. Trong kiểm định giả thuyết H: “tỷ lệ sinh viên “chăm học” của hai trường là như nhau”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là bao nhiêu? 9,7% Bài tập 8.3. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 Số thai phụ 7 10 59 41 4 Khoảng ước lượng thời gian mang thai trung bình của thai phụ với độ tin cậy 95% là: A. (39,1049 tuần; 39,7215 tuần). B. (38,1049 tuần; 38,7215 tuần). C. (37,1049 tuần; 37,7215 tuần). D. (40,1049 tuần; 40,7215 tuần).
133. 8.6 Bài tập chương 8 127 Bài tập 8.4. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 Số thai phụ 7 10 59 41 4 Để ước lượng thời gian mang thai trung bình của thai phụ với độ tin cậy 95% và độ chính xác nhỏ hơn " 0;25(tuần) thì cỡ mẫu nhỏ nhất là: D A.175. B.185. C.195. D.165. Bài tập 8.5. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 Số thai phụ 7 10 59 41 4 Sử dụng mẫu trên để ước lượng thời gian mang thai trung bình của thai phụ với độ chính xác " 0;25(tuần) thì đảm bảo độ tin cậy: D A. 86,82%. B. 87,82%. C. 88,82%. D. 89,82%.
134. 8.6 Bài tập chương 8 128 Bài tập 8.6. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 Số thai phụ 7 10 59 41 4 Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non. Với độ tin cậy 95% khoảng ước lượng tỷ lệ thai phụ sinh non: A. (2,63%;10,95%). B. (3,63%;11,95%). C. (4,63%;12,95%). D. (1,63%;9,95%). Bài tập 8.7. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 Số thai phụ 7 10 59 41 4 Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non. Để ước lượng tỷ lệ thai phụ sinh non với độ tin cậy 95% và độ chính xác nhỏ hơn " 0;04 thì cỡ mẫu nhỏ nhất là: D
135. 8.6 Bài tập chương 8 129 A.121. B.141. C.151. D.131. Bài tập 8.8. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 Số thai phụ 7 10 59 41 4 Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non. Sử dụng mẫu trên để ước lượng tỷ lệ thai phụ sinh non với độ chính xác " 0;04 thì đảm bảo độ tin cậy: D A. 91,99%. B. 95,99%. C. 93,99%. D. 97,99%. Bài tập 8.9. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau:
136. 8.6 Bài tập chương 8 130 Thời gian 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 Số thai phụ 7 10 59 41 4 Giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: “thời gian mang thai trung bình của thai phụ là 39,7 tuần” là: A. t = 1,8231; thời gian mang thai trung bình của thai phụ là 39,7 tuần với mức ý nghĩa 7%. B. t = 1,8231; thời gian mang thai trung bình của thai phụ là 39,7 tuần với mức ý nghĩa 5%. C. t = 2,8231; thời gian mang thai trung bình của thai phụ lớn hơn 39,7 tuần với mức ý nghĩa 5%. D. t = 2,8231; thời gian mang thai trung bình của thai phụ nhỏ hơn 39,7 tuần với mức ý nghĩa 3%. Bài tập 8.10. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 Số thai phụ 7 10 59 41 4 Trong kiểm định giả thuyết H: “thời gian mang thai trung bình của thai phụ là 39,7 tuần”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là: A. 6,72%. B. 7,72%. C. 8,72%. D. 9,72%.
137. 8.6 Bài tập chương 8 131 Bài tập 8.11. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 Số thai phụ 7 10 59 41 4 Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non. Giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: “tỷ lệ thai phụ sinh non là 12%” là: A. t = 2,1037; tỷ lệ thai phụ sinh non thấp hơn 12% với mức ý nghĩa 5%. B. t = 2,1037; tỷ lệ thai phụ sinh non lớn hơn 12% với mức ý nghĩa 5%. C. t = 1,1037; tỷ lệ thai phụ sinh non cao hơn 12% với mức ý nghĩa 5%. D. t = 1,1037; tỷ lệ thai phụ sinh non là 12% với mức ý nghĩa 5%.
138. 8.6 Bài tập chương 8 132 Bài tập 8.12. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 Số thai phụ 7 10 59 41 4 Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non. Trong kiểm định giả thuyết H: “tỷ lệ thai phụ sinh non là 12%”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là: A. 3,48%. B. 4,48%. C. 5,48%. D. 6,48%. Bài tập 8.13. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 Số thai phụ 7 10 59 41 4 Khảo sát thời gian mang thai của 100 thai phụ có hút thuốc và tính được thời gian mang thai trung bình là 38,5 tuần và độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh 3,5 tuần. Giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: “Thời gian mang thai của thai phụ hút thuốc và không hút thuốc là như nhau” là: A. t = 1,3798; Thời gian mang thai của thai phụ hút thuốc và không hút thuốc là như nhau với mức ý nghĩa 5%. B. t = 1,3798; Thời gian mang thai của thai phụ hút thuốc nhỏ hơn với mức ý nghĩa 5%.
139. 8.6 Bài tập chương 8 133 C. t = 2,3798; Thời gian mang thai của thai phụ hút thuốc lớn hơn với mức ý nghĩa 5%. D. t = 2,3798; Thời gian mang thai của thai phụ hút thuốc nhỏ hơn với mức ý nghĩa 5%. Bài tập 8.14. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 Số thai phụ 7 10 59 41 4 Khảo sát thời gian mang thai của 100 thai phụ có hút thuốc và tính được thời gian mang thai trung bình là 38,5 tuần và độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh 3,5 tuần. Trong kiểm định giả thuyết H: “Thời gian mang thai của thai phụ hút thuốc và không hút thuốc là như nhau”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là A. 2,74%. B. 3,74%. C. 1,74%. D. 4,74%.
140. 8.6 Bài tập chương 8 134 Bài tập 8.15. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 Số thai phụ 7 10 59 41 4 Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non. Khảo sát thời gian mang thai của 100 thai phụ có hút thuốc và tính được thời gian mang thai thấy có 16 thai phụ sinh non. Giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: “tỷ lệ sinh non của thai phụ có hút thuốc và không hút thuốc là như nhau” là: A. t = 2,4753; tỷ lệ sinh non của thai phụ không hút thuốc lớn hơn với mức ý nghĩa 5%. B. t = 2,4753; tỷ lệ sinh non của thai phụ có hút thuốc lớn hơn với mức ý nghĩa 5%. C. t = 1,4753; tỷ lệ sinh non của thai phụ không hút thuốc lớn hơn với mức ý nghĩa 5%. D. t = 1,4753; tỷ lệ sinh non của thai phụ có hút thuốc lớn hơn với mức ý nghĩa 5%. Bài tập 8.16. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian 34 36 36 38 38 40 40 42 42 44 Số thai phụ 7 10 59 41 4
141. 8.6 Bài tập chương 8 135 Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non. Khảo sát thời gian mang thai của 100 thai phụ có hút thuốc và tính được thời gian mang thai thấy có 16 thai phụ sinh non. Trong kiểm định giả thuyết H: “tỷ lệ sinh non của thai phụ có hút thuốc và không hút thuốc là như nhau”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là: A. 1,32%. B. 2,32%. C. 3,32%. D. 4,32%. Đáp án câu hỏi trắc nghiệm 8.3 A 8.5 C 8.7 D 8.9 B 8.11 A 8.13 D 8.15 B 8.4 B 8.6 D 8.8 C 8.10 A 8.12 A 8.14 C 8.16 A