›
›

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương I: Đại cương về xác suất

ppt 32 trang phuongnguyen 2840
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Chương I: Đại cương về xác suất", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_xac_suat_thong_ke_chuong_i_dai_cuong_ve_xac_suat.ppt

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương I: Đại cương về xác suất

  1. CHƯƠNG I. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT §1:Biến cố và quan hệ giữa các biến cố 1. Phép thử và biến cố. 2. Phân loại biến cố : gồm 3 loại - Biến cố chắc chắn:  - Biến cố khơng thể cĩ hay khơng thể xảy ra:  - Biến cố ngẫu nhiên: A, B, C 3. So sánh các biến cố. Định nghĩa 1.1: AB (A nằm trong B hay A kéo theo B) nếu A xảy ra thì B xảy ra.Vậy AB AB= BA Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 1 @Copyright 2010
  2. Định nghĩa 1.2: A được gọi là biến cố sơ cấp BABA ,. 4. Các phép tốn trên biến cố (hình 1.1 và 1.2 ): ABAB. = xảy ra khi và chỉ khi A xảy ravà B xảy ra. ABAB+ =  xảy ra khi và chỉ khi A xảy rahoặc B xảy ra. AB− xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B khơng xảy ra. AA=  − xảy ra khi và chỉ khi A khơng xảy ra. Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 2 @Copyright 2010
  3. • Hình 1.1 Hình 1.2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 3 @Copyright 2010
  4. • Các phép tốn của biến cố cĩ tính chất giống các phép tốn của tập hợp, trong đĩ cĩ các tính chất đối ngẫu: AAAAi== i, i i iiii Ngơn ngữ biểu diễn: tổng = cĩ ít nhất một ;tích = tất cả đều. (A = cĩ ít nhất 1 phần tử cĩ tính chất x) suy ra (khơng A = tất cả đều khơng cĩ tính chất x). Ví dụ 1.1: (A = cĩ ít nhất 1 người khơng bị lùn) suy ra( khơng A = tất cả đều lùn). Định nghĩa 1.3: biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu AB. = Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 4 @Copyright 2010
  5. §2: Các định nghĩa xác suất. • 1. Định nghĩa cổ điển về xác suất • Định nghĩa 2.1: giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng khả năng và cĩ tất cả n kết cục như vậy. Kí hiệu m là số các kết cục thuận lợi cho biến cố. A Khi ấy xác suất của biến cố A là: m =()A n • Ví dụ 2.1: Trong 1 hộp cĩ 6 bi trắng, 4 bi đen.Lấy ngẫu nhiên ra 5 bi. Tính xác suất để lấy được đúng 3 bi trắng. 32 • Giải CC 64 . ( phân phối siêu bội) = 5 C10 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 5 @Copyright 2010
  6. Chú ý: lấy 1 lúc 5 bi giống lấy lần lượt 5 bi khơng hồn lại • Ví dụ 2.2: Cĩ 10 người lên ngẫu nhiên 5 toa tàu. Tính xác suất để toa thứ nhất khơng cĩ người lên: 410 = 10 2. Định nghĩa hình học về xác suất: 5 Định nghĩa 2.2: Giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng khả năng và được biểu diễn bằng các điểm hình học trên miền . Kí hiệu D là miền biểu diễnc ác kết cục thuận lợi cho biến cố A. Khi ấy xác suất của biến cố A là: độ đo D (độ đo là độ dài,diện tích PA()= độ đo  hoặc thể tích) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 6 @Copyright 2010
  7. • Ví dụ 2.3: Chia đoạn AB cố định ngẫu nhiên thành 3 đoạn. Tính xác suất để 3 đoạn đĩ lập thành3 cạnh của 1 tam giác. • Giải: Gọi độ dài đoạn thứ 1,2 là x,y.Khi ấy đoạn thứ 3 là l-x-y xy 0, 0  x+ y l l xy+ 2 x+ y l − x − y l 1 D x +−− l x y y y () A = 24 y+ l − x − y x l x 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 7 @Copyright 2010
  8. HÌNH 2.1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 8 @Copyright 2010
  9. • Ví dụ 2.4: Ném lên mặt phẳng cĩ kẻ những đường thẳng song song cách nhau 1 khoảng là 2a một cây kim cĩ độ dài 2t<2a.Tính xác suất để cây kim cắt 1 trong các đường thẳng song song Giải: Gọi I là điểm giữa cây kim ,IH là khoảng cách từ I tới đường thẳng gần nhất; là gĩc nghiêng.Khi ấy ta cĩ: 0   dt  = . a 0 h = IH a 0  D 0 h IK = t sin 2t diện tích D = tsin d= 2 t  ( A ) = 0 a Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 9 @Copyright 2010
  10. HÌNH 2.2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 10 @Copyright 2010
  11. HÌNH 2.3 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 11 @Copyright 2010
  12. Các tính chất của xác suất : xem sách giáo khoa 3. Định nghĩa xác suất theo tiên đề • Định nghĩa 2.3: Ký hiệu  là tập hợp các biến cố trong 1 phép thử. Ta gọi xác suất là 1 quy tắc đặt mỗi biến cố A với 1 số P(A) thỏa mãn các tiên đề: (I) 01 PA( ) (II) PP( ) = 1,( ) = 0 (III) Với mọi dãy biến cố đơi một xung khắc,ta cĩ:  AAii = ( ) ii==11 4.Định nghĩa xác suất theo thống kê:xem sách giáo khoa Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 12 @Copyright 2010
  13. §3: Các định lý xác suất 1: Định lý cộng xác suất Định lý 3.1(hình 3.1): P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) nn n−1  AAAAAAAPAAAi =  ( i) −  ( i j) +  ( i j k) + + ( − 1) (12 n ) i=11 i = i j i j k Ví dụ 3.1: Cĩ k người lên ngẫu nhiên n toa tàu (k>n).Tính xác suất để tất cả các toa đều cĩ người lên Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 13 @Copyright 2010
  14. HÌNH 3.1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 14 @Copyright 2010
  15. Bài giải • A - tất cả các toa đều cĩ người lên •  - cĩ ít nhất 1 toa khơng cĩ người lên. n  =  Ai • Ai - toa thứ i khơng cĩ người lên, i =1, 2, n i=1 • Vì các toa tàu cĩ vai trị như nhau nên áp dụng cơng thức cộng xác suất ta cĩ : 1 2 3n− 1 =( ) CACAACAAAPAAAn.( 1) − n .( 1 2) + n .( 1 2 3) ++− ( 1) ( 1 2 n ) k k k k (n−1) ( n − 2) ( n − 3) n 1 =CCCC1 − 2 + 3 + +( − 1) n− 1 . + 0 nnk n n k n n k n n k ( ) =1 − ( ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 15 @Copyright 2010
  16. Ví dụ 3.2: Cĩ n bức thư bỏ ngẫu nhiên vào n phong bì cĩ đề sẵn địa chỉ. Tính xác suất để cĩ ít nhất 1 bức thư đúng địa chỉ. Bài giải A - Cĩ ít nhất 1 bức đúng. n =AA i i - Bức thứ i đúng i=1 Vì các bức thư cĩ vai trị như nhau nên áp dụng cơng thức cộng xác suất ta cĩ : 1 2 3n− 1 =( ) CACAACAAAPAAAn.( 1) − n .( 1 2) + n .( 1 2 3) ++− ( 1) ( 1 2 n ) (n−1) !( n − 2) !( n − 3) ! nn1!+1 1 =CCCC1 − 2 + 3 + +( − 1) n− 1 . +( − 1) . nn!!!!! n n n n n n n 1 1 1n+1 1 =1 − + − + +( − 1) . 2! 3! 4!n ! Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 16 @Copyright 2010
  17. 2. Định lý nhân xác suất • Định nghĩa 3.2: Xác suất của biến cố B khi biết rằng biến cố A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A và kí hiệu là P(B/A). • Chú ý: biến cố A cĩ thể xảy ra trước, đồng thời hoặc sau B • Ngơn ngữ biểu diễn: P(B/A) = xác suất B biết (nếu)A hoặc Cho A tính xác suất B. • Định lý 3.2: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B) ( 12. n) =( 121312) .( / ) .( / ) ( n /  121  n− ) ( ) ( )./ (  ) • Hệ quả: ( / ) = = ( ) ( ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 17 @Copyright 2010
  18. • Định nghĩa 3.3: Hai biến cố A,B được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất của biến cố này khơng phụ thuộc vào việc biến cố kia đã xảy ra hay chưa trong 1 phép thử. • Định nghĩa 3.4: Một hệ các biến cố được gọi là độc lập toàn phần nếu mỗi biến cố của hệ độc lập với 1 tổ hợp bất kỳ của các biến cố cịn lại. • Định lý 3.3: A, B độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B) • Định lý 3.4: Giả sử = i , in 1, là độc lập toàn phần. Khi ấy ta cĩ: nn 1. ( Aii ) =  (  ) ii==11 nn 2. ( Aii ) = 1 −    ii==11( ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 18 @Copyright 2010
  19. Chú ý: Trong trường hợp độc lập khơng nên dùng cơng thức cộng xác suất mà nên dùng cơng thức nhân xác suất. • Ví dụ 3.3: 1 mạng gồm n chi tiết mắc nối tiếp.Xác suất hỏng của chi tiết thứ i là P i . Tính xác suất để mạng hỏng. • Giải:  - biến cố chi tiết thứ i hỏng n i  =  A - biến cố mạng hỏng  i i=1 • Vậy xác suất để mạng hỏng là: n n =( ) =−=−i1 i 1 ( 1 −12)( 1 −) ( 1 − n )  i=1 ( ) i=1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 19 @Copyright 2010
  20. Ví dụ 3.4: Tung 3 con xúc xắc cân đối,đồng chất. Tính xác suất để: 1. Tổng số chấm bằng 9 biết cĩ ít nhất 1 mặt 1 chấm 2. Cĩ ít nhất một mặt 1 chấm biết số chấm khác nhau từng đơi một. • Giải: 1. Gọi A là cĩ ít nhất1 mặt 1 chấm. B là tổng số chấm bằng9 C là các số chấm khác nhau từng đơi một 6533− ( ) =   3 63 ( ) 15 6 15 ( /. ) = =3 3 3 = 15 ( ) 6 6 − 5 91 ( ) = 63 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 20 @Copyright 2010
  21. • Số cách để cĩ ít nhất một mặt 1 chấm và tổng bằng 9: • 1+2+6 suy ra cĩ 3! cách • 1+3+5 suy ra cĩ 3! cách • 1+4+4 suy ra cĩ 3 cách Suy ra cĩ 15 cách để cĩ ít nhất một mặt 1 chấm và tổng bằng 9 2. 6.5.4 =C ( ) 3 P( AC ) 1 6 ( / C) = = 3.5.4 PC( ) 2 ( C) = 63 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 21 @Copyright 2010
  22. 3. Cơng thức xác suất đầy đủ và cơng thức Bayes: • Định nghĩa 3.5: Hệ H i , i = 1, n được gọi là hệ đầy đủ, nếu trong mỗi phép thử nhất định 1 và chỉ1 trong các biến cố Hi xảy ra. • Định lý 3.4: Giả sử là hệ đầy đủ. Ta cĩ: ( Hi ) n (cơng thức đầy đủ). ( AHH) = ( ii) (  / ) i=1 ( HHH) ( )./ (  ) (H/ ) =i = i i , i = 1, n (cơng thức Bayess) i ( ) ( ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 22 @Copyright 2010
  23. Chú ý: n 1. ( /// ) = (HHii ) (  ) i=1 ( ) 2. ( / ) = ( ) Với: n ( ) = (HHii) (  / ) i=1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 23 @Copyright 2010
  24. Ví dụ 3.5: Cĩ 2 hộp bi cùng cỡ, hộp 1 chứa 4 bi trắng và 6 bi xanh, hộp 2 chứa 5 bi trắng và7 bi xanh.Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ hộp đĩ lấy ngẫu nhiên1 bi thì được bi trắng. Tìm xác suất để viên bi tiếp theo, cũng lấy từ hộp trên ra là bi trắng. Giải: Hộp 1: 4t + 6x .Lấy ngẫu nhiên 1 hộp:H1 lấy được hộp 1 Hộp 2: 5t + 7x H2 lấy được hộp 2 (HH12) = ( ) =1/ 2 A- biến cố lấy được bi trắng ở lần1 ( / ) B- biến cố lấy được bi trắng ở lần 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 24 @Copyright 2010
  25. Cách 1: ( ) = (HHHH1) ( // 1) + ( 2) (  2 ) 1 4 1 5 =+ 2 10 2 12 14 (HH) (  / ) . (H / ) =11 = 2 10 1 ( ) PA() 15 (HH) (  / ) . (H / ) =22 = 2 12 2 ( ) PA() =( //.//./) (HHHH1 ) ( 1 +) ( 2 ) ( 2 ) 3/9 4/11 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 25 @Copyright 2010
  26. ( ) Cách 2: ( / ) = ( ) ( ) = (HHHH1) ( // 1) + ( 2) (  2 ) 1 4 1 5 =+ 2 10 2 12 =( ) (HHHH1)././ ( 1) +( 2) ( 2 ) 1 4 3 1 5 4 =+ 2 10 9 2 12 11 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 26 @Copyright 2010
  27. Chú ý • Nếu sau lần 1 đã lấy được bi trắng ta trả bi vào hộp rồi mới lấy tiếp lần 2 thì lời giải thay đổi như sau: 34 → ; 9 10 45 → 11 12 • P(B)=P(A), trong cả 2 bài tốn. • Nếu câu hỏi là :Giả sử lần 1 đã lấy được bi trắng tính xác suất để bi đĩ lấy được ở hộp 1, thì đáp số là: PHA(/)1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 27 @Copyright 2010
  28. 4. Cơng thức Bernoulli • Định lý 3.5: Giả sử trong mỗi phép thử 1 biến cố A cĩ thể xuất hiện với xác suất p (khi A xuất hiện ta quy ước là thành cơng). Thực hiện n phép thử giống nhau như vậy. Khi ấy xác suất để cĩ đúng k lần thành cơng là : k k n− k (n, k , p) = Cn . p . q , k = 0,1, , n (Phân phối nhị thức) Chú ý : từ nay trở đi ta ký hiệu q=1-p Định nghĩa 3.6: Kí hiệu k0 là số sao cho: (nkp,0 ,) = Max ( nkp , ,) , 0 kn Khi ấy k0 được gọi là số lần thành cơng cĩ nhiều khả năng xuất hiện nhất(tức là ứng với xác suất lớn nhất) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 28 @Copyright 2010
  29. Định lý 3.6: k0 =+ ( n1) p hoặc k0 = ( n +11) p − k n • Chú ý: =(n, k ,1/ 2) Cn .( 0,5) • Ví dụ 3.6: Tung cùng lúc 20 con xúc xắc. 1. Tính xác suất để cĩ đúng 4 mặt lục xuất hiện. 2. Tính số mặt lục cĩ nhiều khả năng xuất hiện nhất. Giải: 4 4 16 1) =( 20,4,1/6) C20 ( 1/6) .5/6( ) 2) kk00= ( 20 + 1) / 6 = 3  = 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 29 @Copyright 2010
  30. Ví dụ 3.7:Trong 1 hộp cĩ N bi trong đĩ cĩ M bi trắng cịn lại là đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi cĩ hoàn lại ra n bi. Khi ấy xác suất để lấy được đúng k bi trắng được tính bằng cơng thức Bernoulli nĩi trên với p = M/N Ví dụ 3.8:Trong 1 hộp cĩ N bi trong đĩ cĩ M bi trắng cịn lại là đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi khơng hoàn lại ra n bi. Khi ấy xác suất để lấy được đúng k bi trắng àl k n− k CCMNM. −  =n ,kn = 0, CN • Chú ý: Lấy bi : + Khơng hồn lại là siêu bội + Cĩ hồn lại là nhị thức. Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 30 @Copyright 2010
  31. Ví dụ 3.9: Cĩ 1 tin tức điện báo tạo thành từ các tín hiệu(.)và -( ). Qua thống kê cho biết là do tạp âm, bình quân 2/5 tín hiệu(.) và1 /3 tín hiệu(-) bị méo. Biết rằng tỉ số các tín hiệu chấm và vạch trong tin truyền đi là5:3 . Tính xác suất sao cho nhận đúng tín hiệutruy ền đi nếu đã nhận đượcch ấm.
  32. • Giải : Gọi A là biến cố nhận được chấm, H1 là biến cố truyền đi chấm, 53 PHPH(),()12 = = H2 là biến cố truyền đi vạch. 88 ( ) = ( HHHH1).// (  1) + ( 2) (  2 ) 5 3 3 1 1 = + = 8 5 8 3 2 53 . ( HH) (  / ) 3 ( H / ) =11 =85 = 1 ( ) 1 4 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 32 @Copyright 2010