Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Mẫu ngẫu nhiên - Th.S Nguyễn Phương

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Mẫu ngẫu nhiên - Th.S Nguyễn Phương

1. Chương 5: MẪU NGẪU NHIÊN Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 17 tháng 2 năm 2014 1
2. 1 Phương pháp mẫu 2 Cách trình bày một mẫu cụ thể 3 Các đặc trưng mẫu 4 Các phân phối xác suất của đặc trưng mẫu 5 Tính các đặc trưng của mẫu cụ thể 2
3. Phương pháp mẫu Tổng thể: Ký hiệu X là đặc tính cần nghiên cứu. Tập hợp gồm tất cả những phần tử mang đặc tính X của một vấn đề cần quan tâm nghiên cứu gọi là tổng thể. Số lượng các phần tử của tổng thể được gọi là kích cỡ của tổng thể, kí hiệu là N. Ví dụ: - Nếu muốn điều tra thu nhập trung bình của các gia đình ở TP HCM thì tổng thể là các hộ gia đình ở TP HCM, dấu hiệu nghiên cứu là thu nhập của từng mỗi gia đình. - Nếu muốn nghiên cứu chiều cao trung bình của sinh viên ĐH Ngân Hàng thì tổng thể là toàn bộ sinh viên ĐH Ngân Hàng, dấu hiệu nghiên cứu là chiều cao của từng sinh viên. 3
4. Phương pháp mẫu Trong thực tế, việc điều tra, nghiên cứu gặp phải những khó khăn sau: - Do kích cỡ của tổng thể lớn nên việc nghiên cứu toàn bộ sẽ đòi hỏi nhiều thời gian, chi phí,. . . - Có nhiều trường hợp khi điều tra sẽ phá hủy đi các phần tử được điều tra, do đó không thể tiến hành điều tra toàn bộ được. - Trong nhiều trường hợp không thể nắm được toàn bộ các phần tử của tổng thể, do đó không thể tiến hành toàn bộ được. Vì vậy, người ta sẽ chọn một tập con của tổng thể để nghiên cứu, một tập → con như vậy gọi là Mẫu. Số phần tử của mẫu gọi là cỡ mẫu. 4
5. Phương pháp mẫu Giả sử cần nghiên cứu đặc trưng X của tổng thể. Với mẫu kích thước n, gọi Xi là giá trị của đặc trưng X của phần tử thứ i của mẫu (1, , n). Mẫu ngẫu nhiên kích thước n là một tập hợp gồm n biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2, , Xn được lập từ biến ngẫu nhiên X và có cùng phân phối với X. Kí hiệu W = (X1, X2, , Xn). Khi thực hiện lấy mẫu thực tế, ta được X1 = x1, X2 = x2, , Xn = xn. Khi đó, (x1, x2, , xn) được gọi là mẫu cụ thể kích thước n. Ví dụ Gọi X là số chấm xuất hiện khi tung 1 con xúc xắc cân đối, đồng chất. Bảng phân phối xác suất của X. X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/ 6 1/6 1/6 1/6 1/6 Nếu tung con xúc xắc 4 lần và gọi Xi là số chấm xuất hiện ở lần tung thứ i, (i = 1, 4), thì ta có 4 biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với X, khi đó ta có mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, X3, X4) Khi tung thực tế, tung thực tế lần thứ nhất được 5 chấm, lần thứ 2 được 3 chấm, lần thứ 3 được 6 chấm, lần thứ 4 được 2 chấm thì (5, 3, 6, 2) là một mẫu cụ thể. 5
6. Cách trình bày một mẫu cụ thể Giả sử một mẫu cụ thể kích thước n, trong đó X nhận giá trị xi ni lần với x1 < x2 < . . . < xk và n1 + n2 + + nk = n. ··· ni Khi đó,ni được gọi là tần số của xi, fi = n được gọi là tần suất của xi. Các bảng mô tả số liệu sau được gọi là bảng phân phối thực nghiệm: Bảng phân phối tần số thực nghiệm: xi x1 x2 . . . xk ni n1 n2 . . . nk Bảng phân phối tần suất thực nghiệm: xi x1 x2 . . . xk fi f1 f2 . . . fk 6
7. Các đặc trưng mẫu Một hàm của mẫu ngẫu nhiên T = T (X1, X2, , Xn) được gọi là một thống kê. Đặc trưng mẫu Mẫu tổng quát Mẫu cụ thể X1+X2+ +Xn x1+x2+ +xn Trung bình X = n ··· x = n ··· XA nA Tỉ lệ Fn = n fn = n n 2 n 2 1 P   2 1 P 2 Phương sai bS = n Xi X bs = n (xi x) i=1 − i=1 − n 2 n 2 1 P   2 1 P 2 Phương sai hiệu chỉnh S = n 1 Xi X s = n 1 (xi x) − i=1 − − i=1 − Độ lệch chuẩn S = √S2 s = √s2 Các số đặc trưng của các đặc trưng mẫu:     σ2 Trung bình mẫu: E X = µ; Var X = n . p(1 p) Tỉ lệ mẫu: E (F) = p; Var (F) = n− .  2 n 1 2 Phương sai mẫu: E bS = n− σ Phương sai mẫu hiệu chỉnh: E (S2) = σ2 7
8. Các phân phối xác suất của đặc trưng mẫu a) Trường hợp đặc trưng X có phân phối chuẩn X N (µ, σ2) ∼  2  X µ X N µ, σ ; − √n N (0, 1). ∼ n σ ∼ X µ 2 − n N (0 1) khi n 30 chưa biết. σ √ , < , σ n ∼ 1 P (X )2 2(n) σ2 i µ χ i=1 − ∼ 2 n 2 (n 1)S 1 P   2 − = X X (n 1) σ2 σ2 i χ i=1 − ∼ − b) Trường hợp X không có phân phối chuẩn: Với cỡ mẫu n đủ lớn (n 30), ta có các phân phối xấp xĩ chuẩn: ≥ 2 X µ Khi σ biết: − √n N (0, 1). σ ' 2 X µ Khi σ chưa biết: − √n N (0, 1). S ' p(1 p)! Với np 5; n(1 p) 5: Fn N p, − ≥ − ≥ ' n 8
9. Tính các đặc trưng của mẫu cụ thể Bài toán: Cho bảng phân phối thực nghiệm: xi x1 x2 . . . xk ni n1 n2 . . . nk Tính trung bình, phương sai, độ lệch tiêu chuẩn của mẫu. Các công thức cần nhớ: Pk n = ni i=1 P nixi x = n 2 1 P 2 2 s = n 1 nixi n(x) − − s = √s2 Ví dụ Cho bảng phân phối thực nghiệm: xi -2 1 2 3 4 5 ni 2 1 2 2 2 1 Tính trung bình, phương sai, độ lệch tiêu chuẩn của mẫu. 9
10. Tính các đặc trưng của mẫu cụ thể Ví dụ Điều tra về trọng lượng của một loại sản phẩm (đv: gam), được kết quả cho trong bảng: xi 0 - 5 5- 10 10 - 15 15-20 20 -25 25 - 30 30 - 35 ni 3 7 10 20 30 15 10 a) Tính các giá trị đặc trưng mẫu: x, s2, s. b) Những sản phẩm có trọng lượng không vượt quá 15 gam là loại B. Hãy tìm tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại B. c) Những sản phẩm có trọng lượng không vượt hơn 20 gam là sản phẩm xuất khẩu được. Hãy tìm tỉ lệ mẫu các sản phẩm xuất khẩu được. 10