Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Ước lượng các tham số thống kê

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Ước lượng các tham số thống kê

1. Chương 2 ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ
2. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 2 CÁC NỘI DUNG CHÍNH 2.1 Khái niệm về ước lượng 2.2 Ước lượng trung bình ( 1 mẫu, 2 mẫu ) 2.3 Ước lượng tỷ lệ ( 1 mẫu, 2 mẫu ) 2.4 Ước lượng phương sai ( 1 mẫu, 2 mẫu )
3. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 3 2.2 Ước lượng trung bình – Tỷ lệ * Trường hợp 1: Trên 1 mẫu
4. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 4 2.2 Ước lượng trung bình * Trường hợp 1: Trên 1 mẫu
5. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 5 2.2 Ước lượng trung bình * Trường hợp 1: Trên 1 mẫu ¡ Ví dụ: Điểm trung bình môn toán của 100 thí sinh dự thi vào ĐHKT là 5 với độ lệch chuẩn mẫu (đã hiệu chỉnh) s = 2,5. 1) Ước lượng điểm trung bình môn toán của toàn thể thí sinh với độ tin cậy là 95% 2) Với độ chính xác 0,25 điểm. Hãy xác định độ (khoảng) tin cậy. ¡ Ví dụ: Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100 giờ. 1) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm, thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là 1000 giờ. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn xí nghiệp A sản xuất với độ tin cậy 95%. 2) Với độ chính xác là 15 giờ. Hãy xác định độ tin cậy. 3) Với độ chính xác là 25 giờ và độ tin cậy là 95% thì cần thử nghiệm bao nhiêu bóng. ¡ Ví dụ: Trọng lượng các bao bột mì tại một cửa hàng lương thực theo quy luật chuẩn. Kiểm tra 20 bao, thấy trọng lượng trung bình của mỗi bao bột mì là 48kg, và phương sai mẫu hiệu chỉnh là s2 = (0,5kg)2. 1) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trọng lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng.
6. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 6 2.2 Ước lượng Tỷ lệ * Trường hợp 1: Trên 1 mẫu ¡ Ví dụ: Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu. 1) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp. 2) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với độ tin cậy 94%. 3) Với sai số cho phép = 3%, hãy xác định độ tin cậy. ¡ Ví dụ: Lô trái cây của một chủ hàng được đóng thành sọt mỗi sọt 100 trái. Kiểm tra 50 sọt thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn. 1) Ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ tin cậy 95%. 2) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ chính xác 0,5% thì độ tin cậy đạt được là bao nhiêu? 3) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ chính xác 1% thì cần kiểm tra bao nhiêu sọt? 4) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99,7% thì độ chính xác đạt được là bao nhiêu?
7. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 7 2.2 Ước lượng trung bình – Tỷ lệ * Trường hợp 1: Trên 1 mẫu Ví dụ: Điều tra năng suất lúa trên diện tích 100 hecta trồng lúa của một vùng, ta thu được bảng số liệu sau: 1) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng đó với độ tin cậy 95%? 2) Những thửa ruộng có năng suất từ 48tạ/ha trở lên là những thửa có năng suất cao. Hãy ước lượng tỷ lệ diện tích có năng suất cao trong vùng với độ tin cậy 97%.
8. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 8 2.2 Ước lượng trung bình – Tỷ lệ * Trường hợp 2: Trên 2 mẫu ¡ a) Hai mẫu độc lập Hai mẫu độc lập là hai mẫu được chọn ra từ hai tổng thể theo cách sao cho một quan sát khi được chọn vào mẫu này không làm ảnh hưởng đến xác suất một quan sát khác được chọn vào mẫu kia ¡ b) Mẫu phối hợp từng cặp (Hai mẫu không độc lập) Mẫu phối hợp từng cặp là mẫu được chọn theo cách một quan sát trên mẫu này có sự tương xứng với một quan sát trên mẫu thứ hai nhằm mục đích kiểm soat những tác nhân ngoại cảnh. Mẫu này còn có tên gọi là mẫu không độc lập hay ngắn gọn là mẫu cặp.
9. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 9 2.2 Ước lượng trung bình – Tỷ lệ * Trường hợp 2: Trên 2 mẫu độc lập – Cỡ mẫu lớn hoặc tổng thể có phân phối chuẩn
10. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 10 2.2 Ước lượng trung bình – Tỷ lệ * Trường hợp 2: Trên 2 mẫu độc lập
11. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 11 2.2 Ước lượng trung bình * Trường hợp 2: Trên 2 mẫu độc lập – Cỡ mẫu lớn Ví dụ. Một công ty nghiên cứu thị trường được thuê thực hiện một cuộc khảo sát của một chuỗi cửa hàng thực phẩm lớn để ước lượng sự khác biệt trong thời gian trung bình mỗi lần ghé cửa hàng của khách hàng nam và khách hàng nữ. Các nghiên cứu trước đó cho biết độ lệch chuẩn là 11 phút đối với khách nam và 16 phút đối với khách nữ. Công ty đã chọn mẫu ngẫu nhiên 100 khách nam và 100 khách nữ vào những thời điểm khác nhau ở các cửa hàng khác nhau trong chuỗi cửa hàng này để khảo sát. Kết quả là thời gian trung bình của khách nam tại cửa hàng là 34,5 phút còn thời gian trung bình của khách nữ là 42,4 phút. Hãy cho biết sự khác biệt giữa thời gian lưu lại trung bình của khách hàng nam, nữ là bao nhiêu?. Từ đó rút ra nhận xét gì?. Khoảng tin cậy 95%
12. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 12 2.2 Ước lượng trung bình * Trường hợp 2: Trên 2 mẫu độc lập – Cỡ mẫu nhỏ Ví dụ. Một hoạt động lắp ráp tại một nhà máy chế tạo đòi hỏi xấp xỉ một giai đoạn huấn luyện 1 tháng cho 1 nhân viên mới để có thể đạt được hiệu suất tối đa. Một phương pháp huấn luyện mới được đề xuất và một sự kiểm tra được tiến hành nhằm so sánh phương pháp mới này với quy trình tiêu chuẩn. Hai nhóm gồm 9 nhân viên mới được huấn luyện trong 1 thời gian gồm 3 tuần, một nhóm sử dụng phương pháp mới và nhóm kia theo quy trình huấn luyện tiêu chuẩn. Độ dài tính bằng phút đòi hỏi cho mỗi nhân viên để lắp ráp một thiết bị được ghi nhận vào lúc cuối thời kỳ ba tuần này. Giả sử phương sai ( độ biến thiên) trong thời gian này giữa 2 nhóm là bằng nhau. Quy trình tiêu chuẩn: 32, 37, 35, 28, 41, 44, 35, 31, 34 Quy trình mới: 35, 31, 29, 25, 34, 40, 27, 32, 31 Hỏi có sự khác biệt giữa hai quy trình huấn luyện không? Với độ tin cậy 95%.
13. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 13 2.2 Ước lượng trung bình * Trường hợp 2: Trên 2 mẫu độc lập – Cỡ mẫu nhỏ ¡ Ví dụ: Một nhà phân tích tài chính của một công ty môi giới chứng khoán muốn phân tích có hay không có sự khác biệt giữa lợi tức của các cổ phiếu được liệt kê trong danh sách cổ phiểu của chỉ số NYSE và NASDAQ. Anh ta tổng hợp được bảng số liệu sau cho các cổ phiếu anh ta chọn vào mẫu nghiên cứu NYSE NASDAQ Số cổ phiếu quan sát 21 25 Lợi tức trung bình mẫu 3,27 2,53 Độ lệch tiêu chuẩn của lợi tức 1,3 1,16 Giả định là phương sai về lợi tức của hai tổng thể khác nhau, anh ta có thấy sự khác biệt trong lợi tức cổ phiếu trung bình giữa NYSE và NASDAQ hay không ?.
14. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 14 2.2 Ước lượng Tỷ lệ - Trên 2 mẫu ¡ Ví dụ 13: Một công ty quảng cáo đang muốn kiểm tra mức độ thu hút của một chương trình quảng cáo có như nhau hay không đối với 2 khúc thị trường khách hàng nam giới và nữ giới trước khi phát nó rộng rãi trên TV. Hiển nhiên không có cách nào để đo lường thái độ của toàn bộ tổng thể khách hàng nam giới và nữ giới mà họ phải nghiên cứu mẫu bằng cách phát đoạn quảng cáo này cho 2 mẫu ngẫu nhiên 425 khách nam và 370 khách nữ, trong mẫu khách nam có 240 người nói thích mẫu quảng cáo này còn mẫu khách nữ có 196 người ưa thích. Hãy cho biết có sự khác biệt về tỷ lệ ưa thích giữa khách nam và nữ không?. Khoảng tin cậy 96%.
15. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 15 2.2 Ước lượng trung bình * Trường hợp 2: Trên 2 mẫu phụ thuộc (mẫu cặp) STT Giá trị quan sát Giá trị quan sát Độ sai lệch d = xi -yi trước (x ) sau (y ) i i 1 X1 Y1 D1 = X1 - Y1 2 X2 Y2 D2 = X2 – Y2 n Xn Yn Dn = Xn - Yn n n n 2 n D X − Y D − d D2 − nd ∑ i ∑( i i ) ∑( i ) ∑ i i=1 i=1 i=1 i=1 Bước 1: Tính D = = ;sd = = n n n −1 n −1 Bước 2: Tra bảng Student tìm giá trị tn−1 ( 1 ) α/2 γ = − α n−1 sd Bước 3: Tính ε = tα/2 * n
16. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 16 2.2 Ước lượng trung bình * Trường hợp 2: Trên 2 mẫu phụ thuộc (mẫu cặp) Bước 4: Vậy với độ tin cậy (1-α)100% thì sự khác biệt giữa trước và sau khi áp dụng một biện pháp( kế họach, ) là µ = µ − µ ∈ d ± ε d X Y ( ) Ví dụ. Công ty điện lực thực hiện các biện pháp khuyến khích tiết kiệm điện. Lượng điện tiêu thụ ghi nhận ở 12 hộ gia đình trước và sau khi có biện pháp khuyến khích tiết kiệm điện như sau: Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng lượng điện tiêu thụ trung bình của hộ gia đình trước và sau khi thực hiện biện pháp khuyến khích tiết kiệm điện.
17. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 17 2.3 Ước lượng Phương sai Trường hợp 1: Trên 1 mẫu 2 Bài toán: Ta cần nghiên cứu phương sai σ = V a r ( X ) của ĐLNN X trên tòan bộ tổng thể. Căn cứ trên một mẫu định lượng. Hãy đưa ra một khỏang ước lượng ⎛ (n 1)s2 (n 1)s2 ⎞ 2 − − với độ tin cậy γ = 1− α σ ∈⎜ 2 ; 2 ⎟ χ χ ⎝ n−1,α/2 n−1,1−α/2 ⎠ Trường hợp 1: Khi chưa biết EX = µ 2 1 k Bước 1. Tính phương sai mẫu hiệu chỉnh s 2 = x − x n ∑( i ) i n −1 i=1 χ2 ; χ2 Bước 2. Tra bảng “chi bình phương” tìm 2 giá trị n−1,α/2 n−1,1−α/2 (n −1)s2 (n −1)s2 Bước 3. Kết luận < σ2 < χ2 χ2 n−1;α/2 n−1;1−α/2 Trường hợp 2: Khi đã biết EX = µ χ2 ; χ2 Bước 1. Tra bảng “chi bình phương” tìm 2 giá trị n,α/2 n,1−α/2 1 n 1 n Bước 2. Kết luận (x − µ)2 * n < σ2 < (x − µ)2 * n χ2 ∑ i i χ2 ∑ i i α/2 ; n i=1 1−α/2 ; n i=1
18. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 18 2.3 Ước lượng Phương sai Trường hợp 1: Trên 1 mẫu Ví dụ . Giả sử mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vị sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn với kì vọng là 20g. Quan sát 25 sản phẩm, ta có số liệu sau: Khối lượng nguyên liệu hao phí (gam) 19,5 20,0 20,5 Số sản phẩm 5 18 2 Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng phương sai của tổng thể. Ví dụ. Cân kiểm tra 15 gói mì, ta được số liệu sau đây : Khối lượng (gam) 84 84,5 85 Số gói 2 3 8 Biết khối lượng này tuân theo luật phân phối chuẩn. Hãy tìm khoảng ước lượng của phương sai tổng thể với độ tin cậy 95%.
19. Chương 2: ƯỚC LƯỢNG 19 2.3 Ước lượng Phương sai ( so sánh sự khác biệt ) Trường hợp 2: Trên 2 mẫu Bài toán:Giả sử có hai mẫu ngẫu nhiên độc lập với cỡ mẫu lần lượt là n 1 , n 2 và 2 2 có phân phối chuẩn lần lượt là X i ~ N µ 1 , σ 1 ; Y j ~ N µ 2 , σ 2 . Ta cần so sánh ( ) ( ) 2 2 s ;s sự khác biệt của 2 phương sai này dựa trên phương sai mẫu hiệu chỉnh 1 2 s2;s2 Bước 1. Tính phương sai mẫu hiệu chỉnh của 2 mẫu: 1 2 n ,n n ,n Bước 2. Tra bảng phân phối Fisher tìm 2 giá trị: F( 1 2 ); F( 1 2 ) α/2 1−α/2 2 2 2 σ ⎛ s n ,n s n ,n ⎞ Bước 3. Kết luận 2 ∈ 2 * F( 1 2 ); 2 * F( 1 2 ) σ2 ⎜ s2 α/2 s2 1−α/2 ⎟ 1 ⎝ 1 1 ⎠ Ví dụ: Độ biến thiên trong khối ượng các tạp chất có trong một mẻ hoá chất được sử dụng cho một quy trình cụ thể tuỳ thuộc vào độ dài thời gian mà quy trình đó hoạt động. Một nhà sản xuất sử dụng hai dây chuyền sản xuất 1 và 2, đã tạo ra một sự điều chỉnh nhẹ đối với quy trình 2, qua đó hy vọng giảm bớt sự biến thiên cũng như khối lượng trung bình các tạp chất trong hoá chất đó. Các mẫu gồm n 25 ; n 25 đại lượng từ hải mẻ hoá chất tạo ra các số trung bình 1 = 2 = và phương sai như sau: x 3.2; s2 1.04; x 3.0; s2 0.51; 1 = 1 = 2 = 1 =