›
›

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu, vectơ ngẫu nhiên

ppt 43 trang phuongnguyen 7180
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu, vectơ ngẫu nhiên", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_xac_suat_thong_ke_chuong_2_dai_luong_ngau_vecto_ng.ppt

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu, vectơ ngẫu nhiên

  1. Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên §1: Đại lượng ngẫu nhiên • Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng cĩ thể ngẫu nhiên nhận một số giá trị với xác suất tương ứng xác định. • Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nĩ là hữu hạn hoặc vơ hạn đếm được • Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị cĩ thể cĩ của nĩ lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số. Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 1 @Copyright 2010
  2. §2: Các phương pháp mơ tả đại lượng ngẫu nhiên 1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc) Định nghĩa 2.1:  (  = x ii ) = p , i = 1,2,3, k ( ) vơ hạn  x1 x2 xk ( ) x  p1 p2 pk ( ) Chú ý:  pi =1 i • Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng. Hãy lập bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn ra cho đến khi dừng lại  1 2 3 k  x p qp q21 p qk− p Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 2 @Copyright 2010
  3. Ví dụ 2.2: đề bài giống bài trên điều kiện ngừng là bắn trúng thì ngừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng  1 2 3. . . 19 20 x  p pq pq2 . pq 18 q 19 2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục): • Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X là: FX () x= F( x) = ( X x) Tính chất: 1.F(x) là hàm khơng giảm các t/c đặc trưng 2. F(− ) = 0, F(+ ) =1 3. (a X b) = FX (b)− FX (a) Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì F X ( x ) liên tục trên tồn trục số Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 3 @Copyright 2010
  4. • Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì (X = x0 ) = 0,x0 Chú ý: Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm khơng cĩ ý nghĩa Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và cĩ bảng phân phối xác suất như trên.Khi ấy FXi( x) =  p xxi • Ví dụ 2.3:  2x 5 7  0,1 0,5 0,4 0 nếu x 2 0,1 nếu 2 x 5 FX (x) = 0,6 nếu 5 x 7 1 nếu 7 x Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 4 @Copyright 2010
  5. Chú ý: Hàm phân phối F X ( x ) = 0 bên trái miền giá trị của X và bên phải miền giá trị của X. FX (x) =1 • 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục) • Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X liên tục là: / fXX( x) == f( x) F( x) • Định lý 2.1: x x F x= f t dt XX( ) ( ) − • Tính chất: (1) fx ( ) 0  +  t/c đặc trưng (2) f ( x ) dx = 1 −  b (3)P ( a X b ) = f ( x ). dx X a Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 5 @Copyright 2010
  6. Chú ý: Hàm mật độ fx X ( ) = 0 bên ngồi miền giá trị của X. 2 • Ví dụ 2.4: acos x , x  0, / 2 X f() x = 0,x  0, / 2 • 1.Xác định a • + /2 /2 2 a 1= f ( x ) dx→ = a cos xdx = ( 1 + cos 2 x) dx − 0 2 0 ax s in2 /2 a 4 = x + =. a = 2 20 2 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 6 @Copyright 2010
  7. 2. Hãy tìm hàm phân phối FxX ( ) 0 , nếu x 0 xx 4 2 sin 2x F x= f t dt =cos2 tdt = x + , nếu 0 x X ( ) ( ) − 0 22 1 , nếu x / 2 3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng: (− / 4, / 4) ( − / 4 XFF / 4) =( / 4) −( − / 4) /4 /4 ( − / 4 X / 4) = f( x) dx = (4 / )cos2 xdx − /4 0 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 7 @Copyright 2010
  8. • Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bĩng rổ lần lượt ném bĩng vào rổ cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thơi. Lập dãy phân phối của số lần ném của mỗi người và tổng số bĩng của cả 2 người nếu xác suất lọt rổ của người thứ nhất, thứ hai là pp1, 2. • Giải: Gọi qq 12 , là xác suất ném trượt bĩng của người 1,2 • X là số bĩng của người thứ 1 • Y là số bĩng của người thứ 2 • Z là tổng số bĩng của cả 2 người Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 8 @Copyright 2010
  9. X 1 2 . . .k . . . X kk−−11  pqpqqpqp11212112+( + ) qq 12( pqp 112 + ) . . . Y 0 1 2 . . .k . . . Y pqpqp++ qqqpqp . . . qqkk−−11 . . .  11221( ) 121221 ( ) 12   Z 2kk− 1 2 Z k−1 k − 1 k k − 1  q1 q 2 p 1 q 1 q 2 p 2 , k = 1,2, Xác Suất Thống Kê. Chương 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính @Copyright 2010 9
  10. §3: Véc tơ ngẫu nhiên I. Vectơ ngẫu nhiên Giả sử XXX 12 , , , n là các đại lượng ngẫu nhiên được xác định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấy XXXX= (12 , , ,n ) được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y). 1. Bảng phân phối xác suất đồng thời: (  =xi, Y = y j) = p ij , i = 1, k ; j = 1, h Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 10 @Copyright 2010
  11. y Y y1 y2 yh Px X x1 P11 P12 P1h P1 x2 P21 P22 P2h P2 x xk Pk1 Pk2 Pkh Pk PY q1 q2 qh 1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 11 @Copyright 2010
  12. 2. Bảng phân phối xác suất lề của X và Y h pii= (  = x) = pij, i = 1, k j=1 k qjj= ( Y = y) = pij, j = 1, h i=1 3. Điều kiện độc lập của X và Y Định lý 3.1: X,Y độc lập i,:. j pij = p i q j 4. Các bảng phân phối xác suất cĩ điều kiện. pij (X = xij / Y = y ) = , i = 1, k q j pij (Y = yji / X = x ) = , j = 1, h pi Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 12 @Copyright 2010
  13. 5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục) Định nghĩa 3.1: F( x,, y) = ( X x Y y) Tính chất: (1) F ( x , y ) là một hàm khơng giảm theo từng biến (2) FF(− , − ) = 0, ( + , + ) = 1 (3)(,)(,)(,)(,)(,)a X bcY d = Fac + Fbd − Fad − Fbc Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên tồn bộ mặt phẳng. (2)Giả sử X,Y rời rạc và cĩ bảng phân phối xác suất như trên, khi ấy ta cĩ: F(,) x y=  pij xxi yyj Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 13 @Copyright 2010
  14. Ví dụ 3.1: Giả sử x,y cĩ bảng phân phối xác suất sau: y Y 3 5  X X x 0 0,1 0,2 0,3 2 0,3 0,4 0,7 0,4 0.6 1 Y Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 14 @Copyright 2010
  15. . (1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X: X 02 X (2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y P 0,3 0,7 0,1 0,3.0,4XY , là phụ thuộc (3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5: X 02 0.2 0.4 (4)Tìm hàm phân phối: P XY/5= 0.6 0.6 0, xy 03  0.1, 0 xy 2,3 5 F( x, y) =+ 0.1 0.2, 0 xy 2,5 0.1+ 0.3, 2 xy ,3 5 1, 2 xy ,5 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 15 @Copyright 2010
  16. III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y) 1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y) 2.Hàm mật độ xác suất đồng thời: Định nghĩa 3.2: 2F( x, y) f( x, y) = xy Định lý 3.2: xy F( x, y) = f( u , v) dud v − − Dxy Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 16 @Copyright 2010
  17. HÌNH 3.1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 17 @Copyright 2010
  18. Tính chất: (1)f( x , y) 0  (2) f ( x , y ) dxdy = 1TCDT 2 R  (3) ((x,, y) D) = f( x y) dxdy D 3. Các hàm mật độ xác suất lề. + f( x) = f( x, y) dy X − + f( y) = f( x, y) dx Y − Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 18 @Copyright 2010
  19. .Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề: FX ( x) = F( x, + ) FY ( y) = F( + , y) 4.Điều kiện độc lập của X và Y X,Y độc lập f( x,. y) = fXY( x) f( y) F( x,. y) = FXY( x) F( y) 5.Các hàm mật độ xác suất cĩ điều kiện: f( x, y ) fx()= 0 X/ Y= y0 fyY ( 0 ) f( x, y) fy()= 0 Y/ X= x0 fxX ( 0 ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 19 @Copyright 2010
  20. Ví dụ 3.2: Cho  −−xy f( x, y) = ae. , nếu 0 x y <+ 0 , nếu trái lại. 1.Xác định tham số a. + + 1,==f( x y) dxdy a dx e−−xy dy 0 x R2 + a =a e−2x dx = a = 2 0 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 20 @Copyright 2010
  21. (2).Tìm các hàm mật độ xác suất lề. + f x== f x, y dy X ( ) − ( ) 0 , nếu x 0 ; = + (hình 3.2) 2e−x − y dy= 2 e −2 x , nếu x 0 x Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 21 @Copyright 2010
  22. HÌNH 3.2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 22 @Copyright 2010
  23. HÌNH 3.3 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 23 @Copyright 2010
  24. 0 , nếu y<0 fY ( y) = y ( hình 3.3) 2e−x − y dx= 2 e − y − e −2 y , y 0 0 ( ) 3.Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y Vậy ta cĩ: f ( x ,., y ) → f XY ( x ) f ( y ) X Y phụ thuộc Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 24 @Copyright 2010
  25. 4.Hãy tìm hàm mật độ xác suất của X khi Y=2 (HÌNH 3.4) 0,xx 0  2 fx( ,2) fx()==2e−−x 2 XY/2= ,0 x 2 fY (2) −−24 2(ee− ) Tương tự tìm hàm mật độ xác suất của Y khi X=3 (HÌNH 3.5) 0 nếu y<3 fy3, ( ) −−3 y fyYX/3= ()== 2e f 3 X ( ) −6 nếu y 3 2e Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 25 @Copyright 2010
  26. HÌNH 3.4 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 26 @Copyright 2010
  27. HÌNH 3.5 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 27 @Copyright 2010
  28. 5.Hãy tìm hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)(HÌNH 3.6-3.8) xy F( x, y) = f( u , v) dud v − − = 2ev−−uv dud Dxy  0 ,nếu x<0 hoặc y<0 yy −−uv ,nếu 0 yx + = du2 e dv 0 u xy du2 e−−uv dv ,nếu 0 xy + 0 u Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 28 @Copyright 2010
  29. HÌNH 3.6 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 29 @Copyright 2010
  30. HÌNH 3.7 • . Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 30 @Copyright 2010
  31. HÌNH 3.8 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 31 @Copyright 2010
  32. 6.Tính các xác suất: ( ) = ( −2 Y 2) = f( x , y) dxdy D1 = 2e−−xy dxdy ,D1:-2<y<2 D1 P(AB)=P(-2<X<1,-2<Y<2) = f( x, y) dxdy ,D2: -2<x<1 , -2<y<2 D2 ( AB) P(-2<X<1 / -2<Y<2) = P(B/A) = ( A) 1 .P(-2<X<1 / Y=2)= f( x) dx −2 XY/2= Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 32 @Copyright 2010
  33. $4.Hàm của một đại lượng ngẩu nhiên YX= ( ) 1. Trường hợp rời rạc. Giả sử: ( x = xi) = p i ( Y = y j) =  p i (xyij)= Ví dụ 4.1 : Tìm bảng phân phối xác suất của ,nếu X -2 -1 0 1 2  0,1 0,2 0,1 0,2 0,4 Giải: Ta suy ra : YX= 2 0 1 4  0,1 0,2+0,2 0,5 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 33 @Copyright 2010
  34. Ví dụ 4.2: Cho X 1 2 k  p pq pq k − 1 • Hãy lập bảng phân phối xác suất của hàm Y= cos X -1 1  p0 1− p0 cos X= − 1 X = k = 2 n + 1, n = 0,1,2, n 11 p = p. q2 = p = 0  ( ) 2 n=0 11−+qq Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 34 @Copyright 2010
  35. 2. Trường hợp liên tục: Gỉa sử cho X liên tục X fXXYY( x),,? F( x) = F( y) f( y) Bước 1. Tìm miền giá trị của YX= ( ) Bước 2. FY ( y) = ( Y y) = ( ( X) y) = f x dx X ( ) Bước 3. (xy) dF( y) fy()= Y Y dy Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 35 @Copyright 2010
  36. Định nghĩa 4.1: đại lượng ngẫu nhiên X gọi là cĩ phân phối đều trên đoạn  ab ,  ,kí hiệu X~U ab ,  ,nếu 1 ,,x  a b fxX ( ) = ba− 0,x  a , b 0, xa xa− FX ( x) = , a x b ba− 1, bx Chú ý : Nếu X cĩ phân phối đều thì YX =+  cũng cĩ phân phối đều, với  , là các hằng số. Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 36 @Copyright 2010
  37. Ví dụ 4.3 : Cho X cĩ phân phối đều trên đoạn [0,1] . (1) Tìm hàm mật độ của Y= - lnX (2)Tìm hàm mật độ của Z= - 3X+2 Bài giải: B1: Y= - lnX > 0 B2: − y FY (y) = P(Y y) = P(−ln X y) = P(X e ) = −−yy 1−P( X e) = 1 − FX ( x) , x = e Vì X cĩ phân phối đều trên đoạn [0,1] nên 0,x 0 FX ( x) = x,0 x 1 1,x 1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 37 @Copyright 2010
  38. − y y 0 x = e 1 FX ( x) = 1 −−yy y 0 0 x = e 1 FX ( x) = x = e 0,y 0 =FyY () − y 1− ey , 0 0,y 0 • B3: fyY ( ) = − y ey,0 • Miền giá trị của Z là đoạn [-1,2] .Theo chú ý ở trên thì Z cĩ phân phối đều trên đoạn [-1,2] nên 0,zz − 1  2 fzZ ()= 1/ 3,− 1 z 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 38 @Copyright 2010
  39. $4. Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên ZXY= (,) 1. Trường hợp rời rạc. Giả sử: (,)X = xi Y = y j = pij ( Z = z k ) =  p ij Ví dụ 4.1: Cho X,Y cĩ bảng (xi, y j)= z k Y 3 5 X 0 0,1 0,2 2 0,3 0,4 Tìm bảng phân phối xác suất của X+Y và X.Y Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 39 @Copyright 2010
  40. . Giải: X+Y 3 5 7  0,1 0,2+0,3 0,4 XY 0 6 10 P 0,1+0,2 0,3 0,4 2.Trường hợp liên tục: Bước 1: Tìm miền giá trị của ZXY= ( , ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 40 @Copyright 2010
  41. . Bước 2 FZ ( z) = ( Z z) = ( ( X, Y) z) = f( x, y) dxdy Dz :, ( x y) z dF() z Bước 3. fz()= Z Z dz Ví dụ 4.2:  1 ,nếu 0 xy , 1 f(,) x y = 0 ,nếu trái lại. Tìm hàm phân phối của Z=X+Y Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 41 @Copyright 2010
  42. Giải: Bước 1: 02 ZXY = + Bước 2: FzZzXYzZ ( ) =  =( + ) ( ) == fx( y,1 dxdydxdy) Dzz:: x+ y  zD 0,0z 2 zzhình/ 2,01(4.1) D  = 2 = diện tích ( z ) (2 − z) 1,12(4.2)− zhình 2 1,2 z Xác Suất Thống Kê. Chương 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính @Copyright 2010 42
  43. • HÌNH 4.1 • HÌNH 4.2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 43 @Copyright 2010