Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Biến cố và xác suất của biến cố - Th.S Nguyễn Phương

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Biến cố và xác suất của biến cố - Th.S Nguyễn Phương

1. Chương 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 17 tháng 2 năm 2014 1
2. 1 Phép thử, biến cố, các loại biến cố 2 Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Quan hệ tương đương Tổng hai biến cố Tích hai biến cố Biến cố đối lập 3 Định nghĩa xác suất Định nghĩa cổ điển về xác suất Định nghĩa theo thống kê Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn 4 Các công thức xác suất Công thức cộng Xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất Bayes Công thức Bernoulli 2
3. Phép thử, biến cố, các loại biến cố Phép thử - Phép thử là một thí nghiệm/thực nghiệm để nghiên cứu một đối tượng hay một hiện tượng nào đó. - Một phép thử mà ta chưa biết kết quả nào xảy ta được gọi là phép thử ngẫu nhiên. Biến cố - Một phép thử có thể có nhiều kết quả có thể xảy ra. - Mỗi kết quả có thể xảy ra hay không xảy ra của phép thử được gọi là biến cố. - Các kết quả đơn giản nhất có thể xảy ra của phép thử được gọi là biến cố sơ cấp. - Tập hợp tất cả biến cố sơ cấp được gọi là không gian mẫu của phép thử. - Biến cố là tập con của không gian mẫu, chứa các biến cố sơ cấp. - Biến cố xảy ra khi và chỉ khi một biến cố sơ cấp thuộc nó xảy ra. 3
4. Phép thử, biến cố, các loại biến cố Phân loại biến cố - Biến cố chắc chắn: biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử, được ký hiệu là Ω. - Biến cố không thể: biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử, được ký hiệu là . ∅ - Biến cố ngẫu nhiên: biến cố có thể xảy ra, có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử, thường dùng các chữ in hoa đầu bảng Alphabet, chẳng hạn A, B, , A1, , An, B1, , Bn để ký hiệu cho biến cố ngẫu nhiên. Ví dụ Tung một con xúc xắc 6 chấm. - A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. - B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 7. - C là biến cố xuất hiện mặt 7 chấm. Ví dụ Kiện hàng có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lấy ra 5 sản phẩm để kiểm tra. Cho ví dụ biến cố ngẫu nhiên, biến cố không thể, biến cố chắc chắn. 4
5. Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Quan hệ tương đương Quan hệ tương đương Hai biến cố A và B được gọi là tương đương, ký hiệu là A = B, nếu A xảy ra thì B xảy ra và ngược lại nếu B xảy ra thì A cũng xảy ra. Ví dụ Lấy ngẫu nhiên từ một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ ra 3 bi để kiểm tra. Gọi A là biến cố có 3 bi xanh, B là biến cố không có bi đỏ. Khi đó, A = B. 5
6. Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tổng hai biến cố Tổng hai biến cố Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu A + B hoặc A B, biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong 2 biến cố A, B xảy ra. ∪ Nhận xét: A + B xảy ra A xảy ra hoặc B xảy ra. ⇔ Ví dụ Tung một con xúc xắc và xem mặt nào xuất hiện. Gọi C là biến cố xuất hiện mặt chẵn. - B là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm - A là biến cố xuất hiện mặt 6 chấm - D là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm hoặc 4 chấm. Hỏi: C = A + B? C = A + D? Ví dụ Có 2 thợ săn cùng bắn một con thú. A là biến cố người thứ nhất bắn trúng. B là biến cố người thứ hai bắn trúng. Hãy nêu ý nghĩa của C với C = A + B. 6
7. Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tổng hai biến cố Tổng n biến cố Tổng của n biến cố A1, A2, , An là một biến cố, kí hiệu A1 + A2 + + An ··· hoặc A1 A2 An , biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong n ∪ ∪ ∪ biến cố A1, A2, , An xảy ra. Nhận xét: A1 + A2 + + An xảy ra A1 xảy ra hoặcA 2 xảy ra hoặc ··· ⇔ hoặcA nxảy ra. Ví dụ Có 3 thợ săn cùng bắn một con thú. - A là biến cố người thứ nhất bắn trúng - B là biến cố người thứ hai bắn trúng - C là biến cố người thứ ba bắn trúng - D là biến cố con thú bị trúng đạn Hãy biểu diễn D theo A, B, C. 7
8. Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tích hai biến cố Tích hai biến cố Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu AB hoặc A B, biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cả 2 biến cố A, B xảy ra. ∩ Nhận xét: AB xảy ra A xảy ra và B xảy ra. ⇔ Ví dụ Có 2 thợ săn cùng bắn một con thú. - A là biến cố người thứ nhất bắn trật. - B là biến cố người thứ hai bắn trật. Hãy nêu ý nghĩa của C với C = AB. 8
9. Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tích hai biến cố Tích n biến cố Tích của n biến cố A1, A2, , An là một biến cố, kí hiệu A1A2 An hoặc A1 A2 An , biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cả n biến cố ∩ ∩ ∩ A1, A2, , An xảy ra. Nhận xét: A1A2 An xảy ra A1 xảy ra vàA 2 xảy ra và vàA nxảy ra. ··· ⇔ Ví dụ Kiểm tra chất lượng n sản phẩm. Ai là biến cố sản phẩm thứ i là sản phẩm tốt. Hãy biểu diễn biến cố sau theo các Ai: - C là biến cố tất cả các sản phẩm đều tốt - D là biến cố có ít nhất một sản phẩm tốt 9
10. Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tích hai biến cố Biến cố xung khắc Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu A, B không thể đồng thời xảy ra, tức là AB = . ∅ Biến cố xung khắc từng đôi Các biến cố A1, A2, , An được gọi là xung khắc từng đôi nếu không có bất kỳ 2 biến cố nào trong n biến cố A1, A2, , An đồng thời xảy ra, tức là bất kỳ 2 trong n biến cố này xung khắc với nhau. Hệ đầy đủ các biến cố Hệ các biến cố Ai, i = 1, n được gọi là hệ đầy đủ nếu chúng xung khắc từng đôi một và luôn có ít nhất một biến cố xảy ra trong một phép thử. Nghĩa là i) Xung khắc từng đôi 1 i.e AiAj = với mọi i , j. ∅ ii)A 1 + + An = Ω 10
11. Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tích hai biến cố Ví dụ Khi kiểm tra 5 sản phẩm, biến cố "có 1 phế phẩm" và biến cố"có 2 phế phẩm" là hai biến cố xung khắc. Ví dụ Hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ.Lẫy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 bi. Gọi Ai, (i = 0, 1, 2, 3) là biến cố có i bi xanh trong 3 bi lấy ra. -A 0, A1, A2 là các biến cố xung khắc từng đôi, nhưng không là hệ đầy đủ -A 0, A1, A2, A3 là hệ đầy đủ. 11
12. Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Biến cố đối lập Biến cố đối lập Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nếu A xảy ra thì B không xảy ra và A không xảy ra thì B xảy ra. Khi đó, B được gọi là biến cố đối lập của biến cố A. Biến cố đối lập của biến cố A kí hiệu là A.¯ Nhận xét: -A A = , tức là hai biến cố đối lập thì xung khắc nhau. ∅ -A + A = Ω. Ví dụ Một xạ thủ bắn 1 viên đạn vào bia. Gọi A là biến cố xạ thủ bắn trúng. Khi đó, A¯ là biến cố xạ thủ bắn không trúng, tức là A¯ là biến cố xạ thủ bắn trật. Ví dụ Một xạ thủ bắn 5 viên đạn vào bia. Gọi A là biến cố xạ thủ bắn trật. Khi đó, A¯ là biến cố xạ thủ bắn không trật, tức là A¯ là biến cố xạ thủ bắn trúng ít nhất 1 viên. 12
13. Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Biến cố đối lập Ví dụ Kiểm tra 3 sản phẩm do một nhà máy sản xuất.Gọi Ai là biến cố sản phẩm thứ i hỏng. Hãy biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố Ai: i) A là biến cố cả 3 sản phẩm đều hỏng. ii) B là biến cố cả 3 sp đều không hỏng. iii) C là biến cố có 1 sp bị hỏng. iv) D là biến cố có 1 sp không bị hỏng. v) E là biến cố có ít nhất 1 sp bị hỏng. vi) F là biến cố có ít nhất 2 sp bị hỏng. 13
14. Định nghĩa xác suất Định nghĩa cổ điển về xác suất Định nghĩa Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A), là tỷ số giữa số trường hợp thuận lợi cho A và số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. số trường hợp thuận lợi đối với A n P(A) = = A số trường hợp có thể N Ví dụ Gieo 1 con xúc sắc cân đối. Tính xác suất i) Xuất hiện mặt 6 chấm. ii) Xuất hiện mặt có số chấm chia hết 3. Ví dụ Từ một hộp chứa 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ra 5 sản phẩm. Tính xác suất lấy được 2 chính phẩm. 14
15. Định nghĩa xác suất Định nghĩa theo thống kê Định nghĩa - Tần suất của biến cố: Nếu thực hiện phép thử n lần, trong đó biến cố A nA xuất hiện nA lần thì tần suất của biến cố A, kí hiệu fn(A), là tỉ số n . n f (A) = A n n - Xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A), P(A) = lim fn(A). n →∞ Trong thực hành, khi n đủ lớn ta lấy P(A) fn(A). ≈ Ví dụ Để kiểm tra tỉ lệ phế phẩm của một container , người ta kiểm tra lần lượt 1000 sản phẩm thì thấy có 6 phế phẩm. 6 P(A) fn(A) = = 0, 6%. ≈ 1000 15
16. Định nghĩa xác suất Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn Nguyên lý xác suất nhỏ Trong thực tế, có thể coi một biến cố có xác suất rất nhỏ bằng α (gần 0) không xuất hiện trong một phép thử. Như vậy, nếu trong một phép thử, biến cố xuất hiện thì ta coi xác suất xuất hiện của nó lớn hơn α. Nguyên lý xác suất lớn Trong thực tế, có thể coi một biến cố có xác suất rất lớn bằng β (gần 1) nhất định xuất hiện trong một phép thử. Tùy từng lĩnh vực áp dụng mà α có thể được lấy là 0,05; 0,01;. . . ; β có thể được lấy 0,95; 0,99;. . . 16
17. Các công thức xác suất Công thức cộng Công thức cộng i) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A + B) = P(A) + P(B) ii) Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì P(A + B) = P(A) + P(B) P(AB) − iii) Nếu A1, A2, , An xung khắc từng đôi thì P(A1 + A2 + + An) = P(A1) + P(A2) + + P(An) ··· ··· Nhận xét: P(A) + P(A¯) = 1 Ví dụ Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3 sản phẩm. a) Tính xác suất có không quá 1 sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy ra. b) Tính xác suất có ít nhất 1 sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy ra. 17
18. Các công thức xác suất Xác suất có điều kiện Định nghĩa Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của biến cố A với điều kiện B, kí hiệu P(A B). | Ví dụ Một lọ có 4 viên bi trắng và 6 viên bi đen. Từ lọ này lấy lần lượt ra 2 viên bi, mỗi lần lấy một bi (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần lấy thứ hai được viên bi trắng biết lần lấy thứ nhất đã lấy được viên bi trắng. Ví dụ Cho 2 hộp. Hộp 1 có 6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B. Hộp 2 có 13 sản phẩm loại A và 7 sản phẩm loại B. Từ hộp 1 lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm bỏ sang hộp 2, rồi từ hộp 2 lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm ra ngoài. Tính xác suất a. Từ hộp 2 lấy được 2 sp loại A, biết rằng sp bỏ sang từ hộp 1 là sp loại A. b. Từ hộp 2 lấy được 2 sp loại A, biết rằng sp bỏ sang từ hộp 1 là sp loại B. 18
19. Các công thức xác suất Xác suất có điều kiện Công thức P(AB) n P(A B) = = AB | P(B) nB Tính chất i)0 P(A B) 1. ≤ | ≤ ii) P(A B) + P(A¯ B) = 1. | | Ví dụ Một nhóm 100 người (30 nữ, 70 nam) có: 20 người hút thuốc, trong đó có 5 nữ hút thuốc. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm 100 người này. Tính xác suất: a) Người này hút thuốc biết rằng người này là nữ. b) Người này là nữ biết rằng người này hút thuốc. 19
20. Các công thức xác suất Công thức nhân Công thức nhân i) Nếu A và B là 2 biến cố bất kì thì P(AB) = P(A)P(B A) = P(B)P(A B). | | ii) Nếu A và B là 2 biến cố độc lập thì P(AB) = P(A)P(B). iii) Nếu A1, A2, , An là n biến cố bất kì thì P(A1A2 An) = P(A1).P(A2 A1) P(An A1A2 An 1) | | − iii) Nếu A1, A2, , An là n biến cố độc lập thì P(A1A2 An) = P(A1)P(A2) P(An) Ví dụ Ba người chơi bóng rổ, mỗi người ném một quả vào rổ. Xác suất ném trúng rổ của từng người lần lượt là 0,5; 0,6; 0,7. Tính xác suất a) Cả 3 người ném trúng rổ. b) Cả 3 người ném trật rổ. c) Có ít nhất một người ném trúng rổ. d) Có 2 người ném trúng rổ. e) Người thứ ba ném trật, biết rằng có20 hai người ném trúng rổ.
21. Các công thức xác suất Công thức xác suất đầy đủ Hệ đầy đủ các biến cố Hệ các biến cố Ai, i = 1, n được gọi là hệ đầy đủ nếu chúng xung khắc từng đôi một và luôn có ít nhất một biến cố xảy ra trong một phép thử. Nghĩa là i) Xung khắc từng đôi 1, tức là AiAj = với mọi i , j. ∅ ii)A 1 + + An = Ω Công thức xác suất đầy đủ Cho Ai, i = 1, n là hệ đầy đủ các biến cố với P(Ai) > 0, i = 1, n và B là 1 biến cố bất kỳ thì P(B) = P(A1)P(B A1) + P(A2)P(B A2) + + P(An)P(B An) | | | 21
22. Các công thức xác suất Công thức xác suất đầy đủ Ví dụ Một phân xưởng có 3 máy cũng sản xuất một loại sản phẩm. Sản lượng của các máy này lần lượt chiếm 50%, 40%, 10% sản lượng của phân xưởng. Tỉ lệ phế phẩm của các máy này lần lượt là 1%, 2%, 3%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của phân xưởng. a) Tính xác suất sản phẩm kiểm tra là phế phẩm.Nêu ý nghĩa thực tế của giá trị xác suất này. b) Giả sử sản phẩm kiểm tra là phế phẩm, tính xác suất để phế phẩm đó do máy 1 sản xuất. c) Giả sử sản phẩm kiểm tra là phế phẩm, nhiều khả năng nhất phế phẩm này do máy nào sản xuất? d) Giả sử sản phẩm kiểm tra là chính phẩm, nhiều khả năng nhất chính phẩm này do máy nào sản xuất? 22
23. Các công thức xác suất Công thức xác suất Bayes Định lý Cho Ai, i = 1, n là hệ đầy đủ các biến cố P(Aj), j = 1, n và B là một biến cố bất kỳ đã xảy ra sao cho P(B) > 0. Khi đó, với mọi i = 1, n P(Ai)P(B Ai) P(Ai)P(B Ai) P(Ai B) = | = | | P(B) Pn P(Aj)P(B Aj) j=1 | Ý nghĩa: Các biến cố A1, A2, thường được gọi là các giả thiết. Các xác suất tương ứng P(A1), P(A2) được xác định trước khi tiến hành phép thử nên được gọi là các xác suất tiên nghiệm. Các xác suất P(Ai B) được xác định sau khi | biến cố B đã xảy ra nên được gọi là xác suất hậu nghiệm. Và do đó, công thức Bayes cho phép ta đánh giá xác suất xảy ra các giả thiết sau khi biết kết quả của phép thử. 23
24. Các công thức xác suất Công thức Bernoulli Dãy phép thử Bernoulli Dãy n phép thử được gọi là dãy phép thử Bernoulli. nếu: - Các phép thử độc lập với nhau. - Xác suất biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử là như nhau, P(A) = p. Bài toán: Cho dãy gồm n phép thử Bernoulli. Tìm xác suất để biến cố A xuất hiện k lần, 0 k n, trong dãy n phép thử đó ? ≤ ≤ Công thức Bernoulli Xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong n phép thử, được ký hiệu Pn(k) k k n k và xác định bởi công thức Pn(k) = Cnp q − Ví dụ Xác suất bắn trúng bia của một xạ thủ là 0,8, xạ thủ bắn 4 viên vào cùng một bia i) Tìm xác suất để có 1 viên trúng bia. ii) Tìm xác suất để có từ 1 đến 3 viên trúng bia. iii) Tìm xác suất để có ít nhất 1 viên trúng bia. 24