›
›

Bài giảng Xác suất thống kê - Bài 1: Biến cố và xác suất của biến cố

ppt 45 trang phuongnguyen 7190
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Bài 1: Biến cố và xác suất của biến cố", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_xac_suat_thong_ke_bai_1_bien_co_va_xac_suat_cua_bi.ppt

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Bài 1: Biến cố và xác suất của biến cố

  1. Bài 1 Biến cố và Xác suất của biến cố
  2. Phép thử và biến cố ⚫ Phép thử ngẫu nhiên Là sự thực hiện một số điều kiện xác định (thí nghiệm cụ thể hay quan sát hiện tượng nào đĩ), cĩ thể cho nhiều kết quả khác nhau. Các kết quả này khơng thể dự báo chắc chắn được. Một phép thử thường được lặp lại nhiều lần.
  3. Phép thử và biến cố ⚫ Khơng gian mẫu (KG biến cố sơ cấp) Tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là khơng gian mẫu (hay khơng gian biến cố sơ cấp), ký hiệu . ⚫ Mỗi kết quả của phép thử, , gọi là biến cố sơ cấp. ⚫ Một tập con của khơng gian mẫu gọi là biến cố.
  4. Phép thử và biến cố ⚫ Các ký hiệu - : khơng gian mẫu. - : biến cố sơ cấp - A, B, C, : biến cố - |A|: số phần tử của biến cố A
  5. Phép thử và biến cố ⚫ Ví dụ - Tung đồng xu  ={S,N}; 1=“S”, 2=“N” - Tung con xúc sắc  ={1, , 6} i=“Xuất hiện mặt thứ i”, i=1, ,6 - Đo chiều cao (đv: cm)  =(0,250) 
  6. Quan hệ giữa các biến cố ⚫ Tổng 2 biến cố Xét A và B là hai biến cố trong khơng gian mẫu , thì biến cố tổng của A và B, ký hiệu A+B (hay AB), là tập chứa những kết quả trong  thuộc về A hoặc B.  A B A + B
  7. Quan hệ giữa các biến cố ⚫ Tích của hai biến cố Xét A và B là hai biến cố trong khơng gian mẫu , thì biến cố tích của A và B, ký hiệu AB (hay AB), là tập chứa những kết quả trong  thuộc về A và B.  A AB B
  8. Quan hệ giữa các biến cố ⚫ Biến cố xung khắc Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu AB=.  AB=  A B
  9. Quan hệ giữa các biến cố ⚫ Biến cố đối lập Biến cố khơng xảy ra khi biến cố A xảy ra gọi là biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu A .  A A ⚫ Biến cố chắc chắn - . ⚫ Biến cố khơng thể - .
  10. Quan hệ giữa các biến cố ⚫ Ví dụ. Tung một lần con xúc sắc cân đối và đồng chất. Khơng gian mẫu:  =[1,2,3,4,5,6] Đặt A = “ Xuất hiện mặt cĩ số điểm chẵn” B = “ Xuất hiện mặt cĩ số điểm ít nhất là 4” A = [2,4,6]; B=[4,5,6]
  11. Quan hệ giữa các biến cố  = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6] Biến cố đối lập: A = [1, 3, 5] B = [1, 2, 3] Biến cố tích: AB = [4, 6] AB = [5] Biến cố tổng: A+= B [2, 4, 5, 6] A+ A = [1, 2, 3, 4, 5, 6] = 
  12. Xác suất của biến cố 1 Chắc ⚫ Xác suất chắn Khả năng một biến cố xảy ra sẽ xảy ra. 0 ≤ P(A) ≤ 1 với mọi biến cố A .5 0 Khơng thể xảy ra
  13. Định nghĩa theo quan điểm cổ điển ⚫ Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Xét phép thử ngẫu nhiên cĩ khơng gian mẫu . Giả sử tất cả các kết quả trong  đều đồng khả năng xảy ra, thì xác suất xảy ra biến cố A A Số các khả năng thỏa điều kiện của A PA()== Tổng số khả năng trong không gian mẫu
  14. Định nghĩa theo quan điểm cổ điển ⚫ Ví dụ 1. Tung 1 con xúc sắc cân đối và đồng chất, tính xác suất xuất hiện mặt lẻ. 2. Một lớp học cĩ 300 sinh viên trong đĩ cĩ 80 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên, tính xác suất chọn được sinh viên nữ. 2. Một hộp cĩ 7 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác suất chọn được 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu xanh.
  15. Xác suất của biến cố - Định nghĩa theo quan điểm cổ điển ⚫ Định nghĩa theo lối cổ điển cĩ 2 nhược điểm sau: - Tất cả các kết quả phải đồng khả năng xảy ra. - Khơng gian mẫu  phải hữu hạn.
  16. Định nghĩa theo quan điểm Thống kê ⚫ Định nghĩa theo quan điểm thống kê Xét phép thử ngẫu nhiên cĩ khơng gian mẫu  và A  . Thực hiện phép thử n lần độc lập, thấy biến cố A suất hiện n(A) lần. n(A) gọi là tần số suất hiện biến cố A, và n(A)/n là tần suất xảy ra A. Khi đĩ xác suất xảy ra A là nA() Số cac khả năng trong tổng thể thỏa điều kiện của A PA( )== lim n→ n Tổng số khả năng trong tổng thể Giới hạn của tần suất xảy ra biến cố A trong một số phép thử rất lớn, n.
  17. Định nghĩa theo quan điểm Thống kê ⚫ Ví dụ. Tung đồng xu. Xác suất xuất hiện mặt S: P(S)=1/2 Xác suất xuất hiện mặn H: P(H)=1/2 Dùng định nghĩa theo quan điểm thống kê để kiểm chứng. Người thí nghiệm Số lần tung Số lần Tần suất sấp Buffon 4040 2048 0.5080 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005
  18. Định nghĩa theo quan điểm Hình học ⚫ Định nghĩa theo quan điểm hình học Xét một phép thử đồng khả năng, khơng gian mẫu cĩ vơ hạn phần tử và được biểu diễn thành một miền hình học  cĩ độ đo xác định (độ dài, diện tích, thể tích). Biến cố A   được biểu diễn bởi miền hình học A. Khi đĩ, xác suất xảy ra A mes( A) Độ đo miền A PA( ) = = mes() Độ đo miền 
  19. Định nghĩa theo quan điểm Hình học ⚫ Ví dụ. (Bài tốn tàu cập bến) Hai tàu thủy cập bến 1 cách độc lập nhau trong một ngày đêm. Biết rằng thời gian tàu thứ nhất đỗ lại ở cảng để bốc hàng là 4 giờ, của tàu thứ hai là 6 giờ. Tìm xác suất để một trong hai tàu phải chờ cập bến.
  20. Định nghĩa theo quan điểm Hình học ⚫ Ví dụ. (Bài tốn tàu cập bến) x (giờ): thời điểm tàu thứ nhất cập bến. y (giờ): thời điểm tàu thứ hai cập bến. A = “Một trong hai tàu phải chờ cập bến” Nếu tàu 1 cập bến trước thì tàu 2 phải chờ y – x 4 Nếu tàu 2 cập bến trước thì tàu 1 phải chờ x – y 6 Vậy A xảy ra khi -4 x – y 6, thể hiện ở miền gạch chéo Vậy 1 242−+( 18 2 20 2 ) SA 2 PA( )= =2 = 0.3715 S 24
  21. Tính chất cơ bản của xác suất 1.  A  : 0 PA( ) 1 2. Xét A  , i là các biến cố sơ cấp PAP()=  (i ) A 3. PP( ) = 1, (  ) = 0 4. P(A) =1−P(A)
  22. Cơng thức cộng xác suất P(A+ B) = P(A) + P(B) − P(AB) ⚫ Ví dụ. Một bộ bài tây cĩ 52 lá, rút ngẫu nhiên 1 lá ♥ ♣ ♦ ♠ Đặt: A = “Rút được con át” B = “Rút được lá đỏ”
  23. Cơng thức cộng xác suất P(“Đỏ” + “Át”) = P(“Đỏ”) + P(“Át”) - P(“Đỏ” ∩ “Át”) = 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52 Phần dư khi giao 2 Màu biến cố Loại Đỏ Đen Tổng Át 2 2 4 Khác 24 24 48 Tổng 26 26 52
  24. Cơng thức xác suất điều kiện ⚫ Xác suất cĩ điều kiện là xác suất xảy ra một biến cố, cho trước một biến cố khác đã xảy ra P(AB) Xác suất xảy ra A với P(A|B) = điều kiện B đã xảy ra P(B) P(AB) Xác suất xảy ra B với P(B|A) = điều kiện A đã xảy ra P(A)
  25. Cơng thức xác suất điều kiện ⚫ Ví dụ. Khảo sát các xe ơ-tơ trong thành phố, thấy cĩ 70% cĩ hệ thống điều hịa (AC) và 40% cĩ máy chơi nhạc (CD). 20% cĩ cả điều hịa và máy chơi nhạc. Chọn ngẫu nhiên 1 xe ơ-tơ, biết đã chọn được xe cĩ máy điều hịa, hỏi xác suất xe đĩ cĩ máy chơi nhạc là bao nhiêu? Gọi: AC = “Chọn được xe cĩ điều hịa” CD = “Chọn được xe cĩ dàn CD” Yêu cầu đề bài: Tính P(CD|AC)?
  26. Cơng thức xác suất điều kiện 40% cĩ dàn 70% cĩ điều CD 20% cĩ điều hịa hịa + CD CD Khơng CD Tổng AC .2 .5 .7 Khơng AC .2 .1 .3 Tổng .4 .6 1.0 P(CD.AC) .2 P(CD|AC)= = = .2857 P(AC) .7
  27. Cơng thức xác suất điều kiện ⚫ Cho trước AC, ta chỉ cần xét 70% xe cĩ điều hịa. Do đĩ, 20% số xe cĩ dàn CD. 20% of 70% sẽ là 28.57%. CD Khơng CD Tổng AC .2 .5 .7 Khơng AC .2 .1 .3 Tổng .4 .6 1.0 P(CD. AC) .2 P(CD|AC)= = = .2857 P(AC) .7
  28. Cơng thức nhân xác suất ⚫ Cơng thức nhân xác suất cho hai biến cố A và B P(AB)= P(A)P(B|A) ⚫ Ta cũng cĩ P(AB)= P(B)P(A|B)
  29. Cơng thức nhân xác suất ⚫ Cơng thức nhân xác suất cho n biến cố A1,A2, ,An PA(A1 2 =An ) PAPAAPAAAPAA(1 ) ( 2 | 1 ) ( 3 | 1 2 )(n | 1A2 An−1 )
  30. Cơng thức nhân xác suất ⚫ Ví dụ Một lơ hàng cĩ 50 sản phẩm, trong đĩ cĩ 6 sản phẩm kém chất lượng. Một khách hàng trước khi mua lơ hàng chọn cách kiểm tra sau: chọn ngẫu nhiên lần lượt khơng hồn lại 4 sản phẩm.Nếu thấy cĩ bất kỳ sản phẩm kém chất lượng nào thì loại lơ hàng. Tính xác suất khách hàng chấp nhận lơ hàng.
  31. Cơng thức nhân xác suất ⚫ Ví dụ Một người cĩ 4 con gà mái, 6 con gà trống nhốt trong một lồng. Hai người đến mua (người thứ nhất mua xong rồi đến lượt người thứ hai mua, mỗi người mua 2 con) và người bán bắt ngẫu nhiên từ lồng. Tính xác suất người thứ nhất chỉ mua được một gà trống và người thứ hai mua hai gà trống.
  32. Sự độc lập giữa các biến cố ⚫ Hai biến cố A và B gọi là độc lập khi và chỉ khi: P(AB)= P(A)P(B) ⚫ Biến cố A độc lập với biến cĩ B khi xác suất của biến cố này khơng ảnh hưởng đến biến cố kia ⚫ Nếu A và B độc lập, thì P(A | B) = P(A) P(B | A) = P(B)
  33. Sự độc lập giữa các biến cố ⚫ Ví dụ Trong khảo sát về nội thất xe ơ-tơ trong thành phố, 70% xe cĩ máy điều hịa (AC), 40% cĩ máy chơi nhạc(CD), và 20% cĩ cả hai. Hỏi AC và CD cĩ độc lập hay khơng?
  34. Sự độc lập giữa các biến cố CD Khơng CD Tổng AC .2 .5 .7 Khơng AC .2 .1 .3 Tổng .4 .6 1.0 P(AC ∩ CD) = 0.2 P(AC) = 0.7 P(AC)P(CD) = (0.7)(0.4) = 0.28 P(CD) = 0.4 P(AC ∩ CD) = 0.2 ≠ P(AC)P(CD) = 0.28 Do đĩ hai biến cố AC và CD khơng độc lập.
  35. Sự độc lập giữa các biến cố ⚫ Ví dụ. Tung một lần con xúc sắc cân đối và đồng chất. Khơng gian mẫu:  =[1,2,3,4,5,6] Đặt A = “ Xuất hiện mặt cĩ số điểm chẵn” B = “ Xuất hiện mặt cĩ số điểm bé hơn 4” C = “ Xuất hiện mặt 1 hoặc 2 điểm” D = “ Xuất hiện mặt 1 hoặc 6 điểm” A = [2,4,6]; B=[1,2,3]; C=[1,2]; D=[1,6] Hãy kiểm tra tính độc lập của các biến cố A, B, C, D.
  36. Cơng thức xác suất đầy đủ ⚫ Hệ đầy đủ các biến cố Hệ A1,A2, ,An gọi là hệ đầy đủ các biến cố nếu A1 A12+AA ++n =  A 2 A4 AijA=  1 i j n A3
  37. Cơng thức xác suất đầy đủ ⚫ Cho AA , là hệ đầy đủ các biến cố, và B là một biến cố cĩ liên quan đến hệ này. Xác suất xảy ra B PBPAPBAPAPBA()=+ ()(|) ()(|) ⚫ Tổng quát, xét A1,A2, ,An là hệ đầy đủ và B là biến cố liên quan n PBPAPBAPAPBAPAPBA()=  ()(|)i i= ()(|)11++ ()(|) n n i=1
  38. Cơng thức xác suất đầy đủ BABAB=()(')  +  PBPABPAB()()(') =  +  = PAPBAPAPBA()(|)+ (')(| ')
  39. Cơng thức xác suất đầy đủ ⚫ Ví dụ Một đám đơng cĩ số đàn ơng bằng nửa số phụ nữ. Xác suất để đàn ơng bị bệnh tim là 0,06 và phụ nữ là 0,036. Chọn ngẫu nhiên 1 người từ đám đơng, tính xác suất để người này bị bệnh tim.
  40. Cơng thức xác suất đầy đủ ⚫ Ví dụ Một nhà máy sản xuất bĩng đèn cĩ 3 phân xưởng sx cĩ cơng suất làm ra bĩng đèn như nhau. Biết rằng tỷ lệ bĩng hư do từng phần xưởng làm ra tương ứng là 5%, 15% và 7%. Một khác hàng mua bĩng đèn của nhà máy sản xuất. Tính xác suất khách hàng mua được bĩng hư.
  41. Cơng thức Bayes ⚫ Xét A1,A2, ,An là hệ đầy đủ và B là biến cố liên quan. ⚫ Cơng thức Bayes PAPBA( ) ( | ) PAB( | )= ii , in=1, , i P(B)
  42. Cơng thức Bayes ⚫ Ví dụ Một học sinh đi học từ nhà đến trường cĩ thể đi bằng hai con đường khác nhau. Biết rằng nếu học sinh đi theo con đường I thì khả năng bị kẹt xe là 5% và bằng 12% nếu đi theo con đường II. Học sinh chọn ngẫu nhiên một con đường để đi. Biết rằng học sinh đã bị kẹt xe, hỏi xác suất học sinh đã đi con đường thứ nhất là bao nhiêu?
  43. Cơng thức Bayes ⚫ Ví dụ Cĩ 10 thăm, trong đĩ cĩ 4 thăm cĩ thưởng. Sinh viên A bắt đầu tiên, B bắt sau. a) Hỏi cĩ cơng bằng khơng ? b) Nếu B được thưởng, tính xác suất A được thưởng.
  44. Cơng thức Bayes ⚫ Ví dụ Một lớp cĩ số học sinh nam bằng 3 lần số học sinh nữ. Tỷ lệ học sinh nữ giỏi tốn là 30% và tỷ lệ học sinh nam giỏi tốn là 40%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp này, tính xác suất: a) Học sinh này giỏi tốn. b) Học sinh này là nam, biết rằng học sinh này giỏi tốn.
  45. Cơng thức Bayes ⚫ Ví dụ Cĩ hai chuồng gà: Chuồng I cĩ 10 gà trống và 8 gà mái; Chuồng II cĩ 12 trống và 10 mái. Cĩ hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II. Sau đĩ cĩ hai con gà chạy ra từ chuồng II. Tính xác suất a) Hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II là 2 con trống và hai con gà chạy ra từ chuồng II cũng là hai con trống. b) Hai con gà chạy ra từ chuồng II là hai con trống. c) Biết rằng hai con gà chạy ra từ chuồng II là hai con trống, tính xác suất hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II là 2 con gà trống.