Bài giảng Vật lý thống kê

Nội dung text: Bài giảng Vật lý thống kê

1. Vật lý thống kê Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý học, áp dụng các phương pháp thống kê để giải quyết các bài tốn liên quan đến các hệ chứa một số rất lớn những phần tử, cĩ số bậc tự do cao đến mức khơng thể giải chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử, mà phải giả thiết các phần tử cĩ tính hỗn loạn và tuân theo các quy luật thống kê. Ví dụ của các hệ cĩ thể là các vật chất trong tự nhiên, chứa điện tử, quang tử, nguyên tử, phân tử, tồn tại dưới những trạng thái vật chất khác nhau (chất khí, chất lỏng, chất rắn, plasma ). Các phương pháp của vật lý thống kê hồn tồn cĩ thể mở rộng cho các hệ như hệ nơ-ron thần kinh, quần thể sinh vật, quần thể người trong xã hội, hay các hệ hỗn loạn trong kinh tế học. Một số bài tốn của vật lý thống kê cĩ lời giải đại số, nhờ các phép xấp xỉ hay phân tích chuỗi. Tuy nhiên đa số phải sử dụng các phương pháp số để giải, đặc biệt là phương pháp Monte-Carlo. Những khái niệm cơ bản Trạng thái vĩ mơ: là trạng thái của một hệ vật lý mà ta cĩ thể mơ tả bởi các đại lượng vĩ mơ, cảm nhận trực tiếp bởi con người. Ví dụ như nếu ta xét một khối khí thì các đại lượng vĩ mơ này cĩ thể là thể tích, nhiệt độ, của khối khí. Trạng thái vi mơ lượng tử của một hệ vật lý: Theo quan điểm của cơ học lượng tử, trạng thái vật lý của một hạt tại một thời điểm t được biểu
2. diễn bởi một vectơ trong khơng gian trạng thái, đĩ là vectơ trạng thái ket. Sự tiến hĩa theo thời gian của một trạng thái vi mơ được mơ tả bởi phương trình Schrưdinger. Trạng thái vi mơ cổ điển: Ở một mức độ gần đúng nào đĩ, trạng thái vi mơ của một hệ vĩ mơ cĩ thể được mơ tả bởi cơ học cổ điển. Hàm phân bố thống kê là hàm được tính theo mật độ xác suất mà hạt cĩ mặt tại một vị trí nào đĩ. Nguyên lý ergodic: Khi hệ ở trạng thái cân bằng, giá trị trung bình trên tập hợp của một đại lượng vật lý của một hệ tại một thời điểm nào đĩ trùng với giá trị trung bình của một đại lượng này tính theo thời gian của một hệ duy nhất. Các nhà vật lý thống kê Ludwig Boltzmann (1844-1906), nhà vật lý và nhà triết học Áo, là một trong những tư tưởng gia độc đáo nhất của hậu bán thế kỷ thứ XIX và được xem như là cha đẻ của vật lý thống kê. Phương pháp giải thích entropi của ơng - đưa khái niệm xác suất vào nhiệt động lực học, đã gợi ý cho Planck và Einstein về lý thuyết thống kê của bức xạ, về giả thuyết lượng tử và photon. Định lý H của ơng đã giúp cho ta hiểu được thế giới vĩ mơ trên cơ sở của động lực học phân tử. Max Planck (1858-1947) Albert Einstein (1879-1955)
3. Nhiệt động lực học Thuật ngữ nhiệt động học (hoặc nhiệt động lực học) cĩ hai nghĩa: 1. Khoa học về nhiệt và các động cơ nhiệt (nhiệt động học cổ điển) 2. Khoa học về các hệ thống ở trạng thái cân bằng (nhiệt động học cân bằng) Ban đầu, nhiệt động học chỉ mang nghĩa thứ nhất. Về sau, các cơng trình tiên phong của Ludwig Boltzmann đã đem lại nghĩa thứ hai. [cần dẫn nguồn] Các nguyên lý nhiệt động học cĩ thể áp dụng cho nhiều hệ vật lý, chỉ cần biết sự trao đổi năng lượng với mơi trường mà khơng phụ thuộc vào chi tiết tương tác trong các hệ ấy. Albert Einstein đã dựa vào nhiệt động học để tiên đốn về phát xạ tự nhiên. Gần đây cịn cĩ một nghiên cứu về nhiệt động học hố đen. [cần dẫn nguồn] Nhiệt động học là lý thuyết vật lý duy nhất tổng quát, trong khả năng ứng dụng và trong các cơ sở lý thuyết của nĩ, mà tơi tin rằng sẽ khơng bao giờ bị lật đổ. — Albert Einstein Nhiệt động học thường được coi là một bộ phận của vật lý thống kê, thuộc về một trong số những lý thuyết lớn làm nền tảng cho những kiến thức đương đại về vật chất.
4. Lịch sử Những nghiên cứu đầu tiên mà chúng ta cĩ thể xếp vào ngành nhiệt động học chính là những cơng việc đánh dấu và so sánh nhiệt độ, hay sự phát minh của các nhiệt biểu, lần đầu tiên được thực hiện bởi nhà khoa học người Đức Gabriel Fahrenheit (1686-1736) - người đã đề xuất ra thang đo nhiệt độ đầu tiên mang tên ơng. Trong thang nhiệt này, 32 độ F và 212 độ F là nhiệt độ tương ứng với thời điểm nĩng chảy của nước đá và sơi của nước. Năm 1742, nhà bác học Thụy Sĩ Anders Celsius (1701-1744) cũng xây dựng nên một thang đo nhiệt độ đánh số từ 0 đến 100 mang tên ơng dựa vào sự giãn nở của thủy ngân. Những nghiên cứu tiếp theo liên quan đến quá trình truyền nhiệt giữa các vật thể. Nếu như nhà bác học Daniel Bernoulli (1700-1782) đã nghiên cứu động học của các chất khí và đưa ra liên hệ giữa khái niệm nhiệt độ với chuyển động vi mơ của các hạt. Ngược lại, nhà bác học Antoine Lavoisier (1743- 1794) lại cĩ những nghiên cứu và kết luận rằng quá trình truyền nhiệt được liên hệ mật thiết với khái niệm dịng nhiệt như một dạng chất lưu. Tuy nhiên, sự ra đời thật sự của bộ mơn nhiệt động học là phải chờ đến mãi thế kỉ thứ 19 với tên của nhà vật lý người Pháp Nicolas Léonard Sadi Carnot (1796-1832) cùng với cuốn sách của ơng mang tên "Ý nghĩa của nhiệt động năng và các động cơ ứng dụng loại năng lượng này". Ơng đã nghiên cứu những cỗ máy được gọi là động cơ nhiệt: một hệ nhận nhiệt từ một nguồn nĩng để thực hiện cơng dưới dạng cơ học đồng thời truyền một phần nhiệt cho một nguồn lạnh. Chính từ đây đã dẫn ra định luật bảo tồn năng lượng
5. (tiền đề cho nguyên lý thứ nhất của nhiệt động học), và đặc biệt, khái niệm về quá trình thuật nghịch mà sau này sẽ liên hệ chặt chẽ với nguyên lý thứ hai. Ơng cũng bảo vệ cho ý kiến của Lavoisier rằng nhiệt được truyền đi dựa vào sự tồn tại của một dịng nhiệt như một dịng chất lưu. Những khái niệm về cơng và nhiệt được nghiên cứu kĩ lưỡng bởi nhà vật lý người Anh James Prescott Joule (1818-1889) trên phương diện thực nghiệm và bởi nhà vật lý người Đức Robert von Mayer (1814-1878) trên phương diện lý thuyết xây dựng từ cơ sở chất khí. Cả hai đều đi tới một kết quả tương đương về cơng và nhiệt trong những năm 1840 và đi đến định nghĩa về quá trình chuyển hố năng lượng. Chúng ta đã biết rằng sự ra đời của nguyên lý thứ nhất của nhiệt động học là do một cơng lao to lớn của Mayer. Nhà vật lý người Pháp Émile Clapeyron (1799-1864) đã đưa ra phương trình trạng thái của chất khí lý tưởng vào năm 1843. Tuy nhiên, chỉ đến năm 1848 thì khái niệm nhiệt độ của nhiệt động học mới được định nghĩa một cách thực nghiệm bằng kelvin bởi nhà vật lý người Anh, một nhà quí tộc cĩ tên là Sir William Thomson hay cịn gọi là Lord Kelvin (1824-1907). Chúng ta khơng nên nhầm lẫn ơng với nhà vật lý cùng họ Joseph John Thompson (1856-1940), người đã khám phá ra electron và đã phát triển lý thuyết về hạt nhân. Nguyên lý thứ hai của nhiệt động học đã được giới thiệu một cách gián tiếp trong những kết quả của Sadi Carnot và được cơng thức hố một cách chính xác bởi nhà vật lý người Đức Rudolf Clausius (1822-1888) - người đã đưa ra khái niệm entropy vào những năm 1860.
6. Những nghiên cứu trên đây đã cho phép nhà phát minh người Tơ Cách Lan James Watt (1736-1819) hồn thiện máy hơi nước và tạo ra cuộc cách mạng cơng nghiệp ở thế kỉ thứ 19. Cũng cần phải nhắc đến nhà vật lý người Áo Ludwig Boltzmann (1844- 1906), người đã gĩp phần khơng nhỏ trong việc đĩn nhận entropy theo quan niệm thống kê và phát triển lý thuyết về chất khí vào năm 1877. Tuy nhiên, đau khổ vì những người cùng thời khơng hiểu và cơng nhận, ơng đã tự tử khi tài năng cịn đang nở rộ. Chỉ đến mãi về sau thì tên tuổi ơng mới được cơng nận và người ta đã khắc lên mộ ơng, ở thành phố Vienne, cơng thức nổi tiếng W = k.logO mà ơng đã tìm ra. Riêng về lĩnh vực hố nhiệt động, chúng ta phải kể đến tên tuổi của nhà vật lý Đức Hermann von Helmholtz (1821-1894) và nhà vật lý Mỹ Willard Gibbs (1839-1903). Chính Gibbs là người đã cĩ những đĩng gĩp vơ cùng to lớn trong sự phát triển của vật lý thống kê. Cuối cùng, để kết thúc lược sử của ngành nhiệt động học, xin được nhắc đến nhà vật lý người Bỉ gốc Nga Ilya Prigonine (sinh năm 1917) - người đã được nhận giải Nobel năm 1977 về những phát triển cho ngành nhiệt động học khơng cân bằng. Phương pháp Nhiệt động học chia vũ trụ ra thành các hệ ngăn cách bởi biên giới (cĩ thật hay tưởng tượng). Tất cả các hệ khơng trực tiếp nằm trong nghiên cứu được quy là mơi trường xung quanh. Cĩ thể chia nhỏ một hệ thành nhiều hệ con,
7. hoặc nhĩm các hệ nhỏ thành hệ lớn. Thường, mỗi hệ nằm ở một trạng thái nhất định đặc trưng bởi một số thơng số (thơng số sâu và thơng số rộng). Các thơng số này cĩ thể được liên hệ qua các phương trình trạng thái. Xem thêm trang các trạng thái vật chất. Nhiệt động học cổ điển Nhiệt và nhiệt độ là những khái niệm cơ bản của nhiệt động học. Nhiệt động học cổ điển nghiên cứu tất cả những hiện tượng chịu sự chi phối của: Nhiệt Sự biến thiên của nhiệt Nhiệt và nhiệt độ Bằng trực giác, mỗi chúng ta đều biết đến khái niệm nhiệt độ. Một vật được xem là nĩng hay lạnh tùy theo nhiệt độ của nĩ cao hay thấp. Nhưng thật khĩ để đưa ra một định nghĩa chính xác về nhiệt độ. Một trong những thành tựu của nhiệt động học trong thế kỷ 19 là đã đưa ra được định nghĩa về nhiệt độ tuyệt đối của một vật, đo bằng đơn vị Kelvin, độ khơng tuyệt đối = khơng độ Kelvin ≈ -273.15 độ C. Khái niệm nhiệt cịn khĩ định nghĩa hơn. Một lý thuyết cổ, được bảo vệ bởi Antoine Lavoisier, cho rằng nhiệt là một dịch thể đặc biệt (khơng màu sắc, khơng khối lượng), gọi là chất nhiệt, chảy từ vật này sang vật khác. Một vật càng chứa nhiều chất nhiệt thì nĩ càng nĩng. Thuyết này sai ở chỗ chất nhiệt
8. khơng thể đồng nhất với một đại lượng vật lý được bảo tồn. Về sau, nhiệt động học đã làm rõ nghĩa cho khái niệm nhiệt lượng trao đổi. Các động cơ nhiệt Nhiệt động học cổ điển đã vươn lên với tư cách là khoa học của các động cơ nhiệt hay khoa học về nhiệt động năng. Nicolas Léonard Sadi Carnot đã mở đầu cho các nghiên cứu hiện đại về các động cơ nhiệt trong một tiểu luận cĩ tính nền tảng: "Ý nghĩa của nhiệt động năng và các động cơ ứng dụng loại năng lượng này" (1823). Chu trình Carnot, được trình bày trong tiểu luận này, vẫn cịn là một thí dụ lý thuyết điển hình trong các nghiên cứu về các động cơ nhiệt. Ngày nay, thay vì dùng khái niệm nhiệt động năng, người ta phát biểu rằng các động cơ nhiệt cĩ khả năng sinh cơng cơ học, đồng thời tìm hiểu cách thức sử dụng nhiệt để tạo ra cơng. Mọi chuyển động của các vật trong thế giới vĩ mơ (khoảng gần 1 milimét trở lên được xem là vĩ mơ) đều cĩ thể sinh nhiệt, với ý nghĩa là nĩ làm cho vật nĩng thêm. Cĩ thể thử nghiệm bằng cách xoa hai bàn tay vào nhau. Ngược lại, nhiệt cũng cĩ thể làm cho các vật thể vĩ mơ chuyển động (thí dụ: cĩ thể quan sát sự chuyển động của nước khi được đun sơi). Đây là cơ sở để chế tạo các động cơ nhiệt. Chúng là các hệ vĩ mơ, trong đĩ chuyển động được duy trì nhờ sự chênh lệch nhiệt độ giữa bộ phận "nĩng" và bộ phận "lạnh".
9. Nhiệt động học cân bằng Định nghĩa nhiệt động học như là một khoa học về các hệ ở trạng thái cân bằng là một cách tiếp cận vừa tổng quát vừa rất chặt chẽ. Nhiệt động học cân bằng làm việc với các quá trình trao đổi năng lượng (và, do đĩ, vật chất) ở trạng thái gần cân bằng. Các quá trình nhiệt động học khơng cân bằng được nghiên cứu bởi nhiệt động học phi cân bằng. Cân bằng tĩnh và quy luật của các số lớn Khi ta tung rất nhiều lần một con xúc xắc cĩ cấu trúc thật đều, ta cĩ thể đốn trước một cách chắn chắn rằng tần số xuất hiện của mỗi mặt đều xấp xỉ 1/6. Số lần tung càng nhiều thì các tần số xuất hiện của từng mặt càng gần nhau bởi vì con xúc xắc đã khai thác tất cả các khả năng nhận được. Điều tương tự cũng xảy ra khi ta cho một giọt chất màu vào một cốc nước. Chờ càng lâu ta thấy cốc nước càng trở được nhuộm màu đều bởi lẽ các phân tử màu cho vào đã khai thác tất cả các khả năng nhận được - ở đây là các vùng bên trong cốc. Các quan sát trên cĩ thể được tổng quát hĩa. Trong một hệ rất lớn, và khi trạng thái cân bằng của nĩ cĩ thể đạt được, người ta cĩ thể dự đốn chính xác "số phận" của hệ ngay cả khi "số phận" của nhiều bộ phận khơng thể xác định được. Ở cấp độ nguyên tử Ngày nay ta biết rằng nguyên tử tồn tại và chúng rất nhỏ. Nĩi cách khác, trong bất cứ một mẫu vật chất nào cũng cĩ rất nhiều nguyên tử, trong một hạt
10. cát cĩ hàng tỉ tỉ nguyên tử. Nhiều định luật vật lý của thế giới vĩ mơ khơng áp dụng được cho các nguyên tử. Cân bằng nhiệt Nghiên cứu về các cân bằng nhiệt cĩ tầm quan trọng đặc biệt. Tất cả các thể của vật chất (khí, lỏng, rắn, bán lỏng, ) và tất cả các hiện tượng vật lý (cơ, điện - từ, quang, ) đều cĩ thể nghiên cứu thơng qua lý luận trên sự cân bằng của các hệ lớn. Nhiệt động học, mà người ta hay đồng nhất với vật lý thống kê, là một trong những nền tảng vững chắc nhất trên đĩ các kiến thức hiện đại về vật chất được xây dựng. Các định luật Các định luật của nhiệt động lực học cịn được gọi là các nguyên lý nhiệt động lực học. Định luật 0 Định luật 0, hay nguyên lý cân bằng nhiệt động, nĩi về cân bằng nhiệt động. Hai hệ nhiệt động đang nằm trong cân bằng nhiệt động với nhau khi chúng được cho tiếp xúc với nhau nhưng khơng cĩ trao đổi năng lượng. Nĩ được phát biểu như sau: "Nếu hai hệ cĩ cân bằng nhiệt động với cùng một hệ thứ ba thì chúng cũng cân bằng nhiệt động với nhau". Định luật 0 được phát biểu muộn hơn 3 định luật cịn lại nhưng lại rất quan trọng nên được đánh số 0. Cân bằng nhiệt động bao hàm cả cân bằng nhiệt,
11. cân bằng cơ học và cân bằng hố học. Đây cũng là nền tảng của phép đo nhiệt. Định luật 1 Xem thêm định luật bảo tồn năng lượng Định luật 1, hay nguyên lý thứ nhất, chính là định luật bảo tồn năng lượng áp dụng vào hiện tượng nhiệt, khẳng định rằng năng lượng luơn được bảo tồn. Nĩi cách khác, tổng năng lượng của một hệ kín là khơng đổi. Các sự kiện xảy ra trong hệ chẳng qua là sự chuyển năng lượng từ dạng này sang dạng khác. Như vậy năng lượng khơng tự sinh ra và khơng tự mất đi, nĩ luơn biến đổi trong tự nhiên. Trong tồn vũ trụ, tổng năng lượng khơng đổi, nĩ chỉ cĩ thể chuyển từ hệ này sang hệ khác. Phát biểu cách khác: Độ biên thiên nội năng của hệ bằng tổng cơng và nhiệt lượng mà hệ nhận được: ΔU = A + Q Trong trường hợp này, chúng ta cĩ thể quy định về dấu của A và Q để biết hệ đang nhận hay thực hiện cơng, nhận hay truyền nhiệt lượng. Ví dụ: Q > 0: Hệ nhận nhiệt lượng Q 0: Hệ nhận cơng A < 0: Hệ thực hiện cơng Định luật 1 của nhiệt động học cũng là một nguyên lý tổng quát cho tất cả các lý thuyết vật lý (cơ học, điện từ học, vật lý hạt nhân, ). Chưa từng thấy ngoại lệ của định luật này, tuy rằng đơi khi người ta cũng nghi ngờ nĩ, nhất là trong các phân rã phĩng xạ. Tiên đề Noether cho rằng sự bảo tồn năng
12. lượng cĩ liên quan chặt chẽ tới độ đồng dạng về cấu trúc của khơng-thời gian. Định luật 2 Bài chi tiết: định luật hai nhiệt động lực học Định luật 2, hay nguyên lý thứ hai, cịn gọi là nguyên lý về entropy, liên quan đến tính khơng thể đảo ngược của một quá trình nhiệt động lực học và đề ra khái niệm entropy. Nguyên lý này phát biểu rằng entropy của một hệ kín chỉ cĩ hai khả năng, hoặc là tăng lên, hoặc giữ nguyên. Từ đĩ dẫn đến định luật là khơng thể chuyển từ trạng thái mất trật tự sang trạng thái trật tự nếu khơng cĩ sự can thiệp từ bên ngồi. Một cách phát biểu khác là: Một hệ lớn và khơng trao đổi năng lượng với mơi trường sẽ cĩ entropy luơn tăng hoặc khơng đổi theo thời gian. Vì entropy là mức độ hỗn loạn của hệ, định luật này nĩi rằng vũ trụ sẽ ngày càng "hỗn loạn" hơn. Cơ học thống kê đã chứng minh rằng định luật này là một định lý, đúng cho hệ lớn và trong thời gian dài. Đối với hệ nhỏ và thời gian ngắn, cĩ thể cĩ thay đổi ngẫu nhiên khơng tuân thủ định luật này. Nĩi cách khác, khơng như định luật 1, các định luật vật lý chi phối thế giới vi mơ chỉ tuân theo định luật 2 một cách gián tiếp và cĩ tính thống kê. Ngược lại, định luật 2 khá độc lập so với các tính chất của các định luật đĩ, bởi lẽ nĩ chỉ thể hiện khi người ta trình bày các định luật đĩ một cách giản lược hĩa và ở quy mơ nhỏ.
13. Định luật 3 Nguyên lý số ba, hay nguyên lý Nernst, cịn gọi là nguyên lý độ khơng tuyệt đối, đã từng được bàn cãi nhiều nhất, gắn liền với sự tụt xuống một trạng thái lượng tử cơ bản khi nhiệt độ của một hệ tiến đến giới hạn của độ khơng tuyệt đối. Định luật này được phát biểu như sau. Trạng thái của mọi hệ khơng thay đổi tại nhiệt độ khơng tuyệt đối (0 K). [cần dẫn nguồn] Đại lượng mở rộng và đại lượng bổ sung Bài chi tiết: Đại lượng mở rộng và đại lượng bổ sung Người ta phân biệt các đại lượng vật lý chi phối trạng thái nhiệt động của một hệ thành hai loại: các đại lượng mở rộng và các đại lượng bổ sung. Một hệ luơn cĩ thể được phân chia - bằng tưởng tượng - thành từng phần tách biệt trong khơng gian. Một đại lượng được gọi là đại lượng mở rộng khi giá trị của của nĩ trong hệ bằng tổng giá trị của nĩ trong từng phần của hệ đĩ. Thí dụ: Thể tích Khối lượng Số lượng các hạt cùng loại Năng lượng và entropy - trong nhiều trường hợp
14. Điện tích (trong trường hợp này, tổng nên hiểu là tổng đại số, bao gồm cả điện tích âm và điện tích dương) Một đại lượng gọi là đại lượng bổ sung khi trong một hệ đồng nhất, giá trị của nĩ trong tồn hệ bằng với giá trị của nĩ trong từng phần của hệ đĩ. Thí dụ: Áp suất Nhiệt độ Khối lượng riêng cũng như tỷ số của hai đại lượng mở rộng bất kỳ. Một đại lượng cĩ thể khơng là đại lượng mở rộng cũng khơng là đại lượng bổ sung, chẳng hạn đại lượng "bình phương thể tích".