›
›

Bài giảng Vật lý đại cương A1 - Nguyễn Phước Lân

pdf 72 trang phuongnguyen 6070
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Vật lý đại cương A1 - Nguyễn Phước Lân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_vat_ly_dai_cuong_a1_nguyen_phuoc_lan.pdf

Nội dung text: Bài giảng Vật lý đại cương A1 - Nguyễn Phước Lân

  1. Nguyễn Phước Lân VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A1 (Bài giảng tại Đại học Sư phạm kỹ thuật) LƯU HÀNH NỘI BỘ Tp. HCM – 2011
  2. - 2 - Phần 1. CƠ HỌC Cơ học là một phần của vật lý học, nghiên cứu dạng chuyển động cơ học của vật chất. Chương 1. Động học chất điểm Động học là một phần của cơ học, nghiên cứu những đặc trưng của chuyển động và những dạng chuyển động khác nhau của vật thể vĩ mô. 1.1. Những khái niệm mở đầu 1.1.1. Chuyển động và hệ quy chiếu Chuyển động của một vật là sự chuyển dời vị trí của vật đó đối với các vật khác trong không gian, theo thời gian. Để nhận biết vật có chuyển động hay không, ta phải so sánh vị trí của nó với một vật bất kỳ được coi là đứng yên và được chọn làm chuẩn. Vật được chọn này gọi là vật quy chiếu. Để xác định vị trí của vật trong không gian người ta gắn với vật quy chiếu này một hệ tọa độ và để xác định được thời gian trôi qua, người ta gắn với vật quy chiếu một đồng hồ đo thời gian. Tập hợp hệ tọa độ và đồng hồ gắn với vật quy chiếu được gọi là hệ quy chiếu. Chuyển động có tính tương đối. Một vật đứng yên hay chuyển động hoàn toàn phụ thuộc vào hệ quy chiếu mà ta đã chọn. 1.1.2. Chất điểm và hệ chất điểm Chất điểm là một vật có kích thước nhỏ không đáng kể so với những khoảng cách, kích thước mà ta đang khảo sát. Khi xem xét như vậy, ta coi toàn bộ khối lượng của vật tập trung vào một điểm. Việc coi một vật có phải là chất điểm hay không, phụ thuộc vào điều kiện bài toán mà ta đang xem xét. Một tập hợp chất điểm được gọi là một hệ chất điểm. 1.1.3. Bán kính véctơ Chọn một hệ quy chiếu và ký hiệu gốc của hệ tọa độ trong hệ quy chiếu đó là 0. Xét chuyển động của một vật (chất điểm) z trong hệ quy chiếu đó. Tại một thời điểm nào đó, chất điểm đang ở tại một vị trí, M được ký hiệu là M. Vị trí M của chất điểm có thể được biểu diễn một cách đơn trị bởi r một véctơ, được kẻ từ gốc tọa độ 0 đến điểm M. Véctơ này được gọi là bán kính 0 y véctơ và ký hiệu là r. Rõ ràng, hai điểm phân biệt không thể có cùng một bán kính x véctơ và một bán kính véctơ r kẻ từ 0 không thể chỉ đến hai điểm khác nhau.
  3. - 3 - Có thể biểu diễn bán kính véctơ này trong một hệ tọa độ thông dụng nhất là hệ tọa độ Đềcác. Hệ tọa độ này có gốc tọa độ tại điểm 0 và gồm có 3 trục 0x, 0y, 0z vuông góc với nhau từng đôi một, hợp thành một tam diện thuận. Hệ tọa độ Đềcác này được ký hiệu là 0xyz. Trong hệ tọa độ, vị trí của chất điểm M tại thời điểm nào đó được đặc trưng bởi 3 tọa độ x, y, z của điểm M (là hình chiếu của đoạn thẳng 0M lên 3 trục 0x, 0y, 0z). Ký hiệu i, j, k là những véctơ đơn vị hướng theo các trục 0x, 0y, 0z tương ứng, ta có thể biểu diễn r = x i + y j + z k 1.1.4. Phương trình chuyển động của chất điểm Khi chất điểm chuyển động, tọa độ của nó thay đổi theo thời gian. Như vậy, trong trường hợp tổng quát, chuyển động của chất điểm được xác định bởi 3 phương trình x = x(t), y = y(t), z = z(t) Các phương trình trên được gọi là phương trình động học chuyển động của chất điểm. Khi chất điểm chuyển động, bán kính véctơ của nó thay đổi, là một hàm véctơ của thời gian r = r (t) Phương trình véctơ này tương đương với các phương trình động học chuyển động của chất điểm nêu ở trên. 1.1.5. Quỹ đạo chuyển động của chất điểm Quỹ đạo chuyển động của một chất điểm là một đường tạo bởi tập hợp tất cả các vị trí của chất điểm đó trong không gian trong suốt quá trình chuyển động. Quỹ đạo của chuyển động có thể thu được từ các phương trình chuyển động x = x(t), y = y(t), z = z(t) Ví dụ, đối với chuyển động hai chiều x = x(t), y = y(t) Từ phương trình thứ nhất, ta có thể biểu diễn t = x-1 Thay vào phương trình thứ hai, ta được y = y(t) = y(x) Phương trình, biểu diễn mối liên hệ giữa các tọa độ x và y của quỹ đạo chất điểm, được gọi là phương trình quỹ đạo. Tuỳ thuộc vào dạng của quỹ đạo mà chuyển động được gọi là chuyển động thẳng hay là chuyển động cong. 1.1.6. Hoành độ cong và độ dài quãng đường Xét chuyển động của một chất điểm dọc theo một quỹ đạo bất kỳ. Chọn một điểm A nào đó cố định trên quỹ đạo làm gốc, chọn một chiều nào đó của quỹ đạo làm chiều dương và chọn thời điểm ban đầu (t = 0) là thời điểm khi chất điểm ở vị trí A. Khi đó, tại mỗi thời điểm t, vị trí M của chất điểm sẽ được xác định bởi cung AM, ký hiệu là s. Ta gọi s là hoành độ cong của M.
  4. - 4 - Khi M chuyển động s là hàm của thời gian s = s (t) Nếu chiều dương được chọn là chiều AM, thì s khi đó có giá trị dương và đoạn quỹ đạo AM được gọi là độ dài quãng đường. Độ dài của đoạn quỹ đạo AM, mà chất điểm đi được trong khoảng thời A gian t, được gọi là độ dài quãng đường. Độ dài quãng đường là một đại M lượng dương, ký hiệu là S, và là một hàm vô hướng của thời gian S = S(t). Trong hệ SI, độ dài được đo bằng đơn vị mét (m). 1.2. Véctơ vận tốc và véctơ gia tốc 1.2.1. Véctơ vận tốc Vận tốc là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động chất điểm. a/ Véctơ vận tốc trung bình z Xét một chất điểm đang chuyển r0 động trong một hệ quy chiếu nào đó. Tại thời điểm t = t chất điểm ở tại r 1 r vị trí có bán kính véctơ r1, tại thời điểm t2 = t+ t chất điểm ở tại vị trí có bán kính véctơ r2. Sau khoảng y thời gian t bán kính véctơ thay đổi x một lượng bằng r = r2 - r1. r được gọi là véctơ dịch chuyển của chất điểm sau khoảng thời gian t. Tỉ số giữa véctơ dịch chuyển r và khoảng thời gian t được gọi là véctơ vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian t. Véctơ vận tốc trung bình được ký hiệu là Vtb r Vtb = t b/ Véctơ vận tốc tức thời Muốn biết độ nhanh chậm và phương chiều của chuyển động chất điểm tại một thời điểm, ta phải sử dụng véctơ vận tốc tức thời. Giới hạn của tỉ số giữa véctơ dịch chuyển r của chất điểm và khoảng thời gian t khi t 0 được gọi là véctơ vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t. Véctơ vận tốc tức thời được ký hiệu là V r V = lim t 0 t Ta có thể cho rằng r = r2 - r1 = r(t+ t) – r(t)
  5. - 5 - Do đó r(t t) r (t) d r V = lim = t 0 t dt Như vậy, véctơ vận tốc tức thời của chất điểm bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của bán kính véctơ của chất điểm. Véctơ vận tốc có phương trùng với phương của tiếp tuyến quỹ đạo chuyển động của chất điểm tại điểm r1, có chiều trùng với chiều của chuyển động. Rõ ràng, khi t 0,  r trùng với độ dài quãng đường S. Do đó r S S(t t) S(t) dS V = V = lim = lim = lim = t 0 t t 0 t t 0 t dt Độ lớn của véctơ vận tốc bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của quãng đường chất điểm chuyển động. Độ lớn của véctơ vận tốc còn được gọi là tốc độ. c/ Biểu thức giải tích của véctơ vận tốc Trong một hệ tọa độ Đềcác, ta có r = x i + y j + z k Lấy đạo hàm bậc nhất theo thời gian biểu thức trên, ký hiệu dx dy dz Vx = , Vy = , Vz = dt dt dt Ta được V = Vx i + Vy j + Vz k 2 2 2 Và V = Vx Vy Vz Trong hệ SI, đơn vị đo vận tốc là m/s. 1.2.2. Véctơ gia tốc Trong trường hợp chuyển động của chất điểm là không đều, cần thiết phải biết vận tốc thay đổi như thế nào theo thời gian. Gia tốc là đại lượng đặc trưng cho mức độ thay đổi theo thời gian của vận tốc. a/ Gia tốc trung bình Xét chuyển động của một chất điểm. Tại thời điểm t1 = t chất điểm ở vị trí A, vận tốc của nó bằng V1. Tại thời điểm t2 = t + t chất điểm ở vị trí B và có vận tốc bằng V2. Vận tốc V2 khác V1 cả về độ lớn lẫn về phương. Độ biến thiên của vận tốc sau thời gian t bằng V = V2 – V1 Tỉ số giữa độ biến thiên của vận tốc V và khoảng thời gian t được gọi là gia tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian t. Gia tốc trung bình được ký hiệu là atb V atb = t
  6. - 6 - b/ Gia tốc tức thời Giới hạn của tỉ số giữa độ biến thiên của vận tốc V và khoảng thời gian t khi t 0 được gọi là gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t. Gia tốc tức thời được ký hiệu là a V V (t t) V (t) dV a = lim = lim = t 0 t t 0 t dt Như vậy, gia tốc tức thời là một đại lượng véctơ, bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véctơ vận tốc. c/ Biểu thức giải tích của véctơ gia tốc Trong một hệ tọa độ Đềcác, ta có V = Vx i + Vy j + Vz k Lấy đạo hàm bậc nhất theo thời gian biểu thức trên, ký hiệu dVx dVy dVz ax = , ay = , az = dt dt dt Ta được a = ax i + ay j + az k 2 2 2 Và a = ax ay az Trong hệ SI, đơn vị đo gia tốc là m/s2. d/ Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến Vận tốc chuyển động của một chất điểm có thể thay đổi theo độ lớn và theo phương. Xét một chất điểm chuyển động trên một quỹ đạo nào đó. Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí A, vận tốc của nó bằng V. Ký hiệu  là véctơ đơn vị trên tiếp tuyến của quỹ đạo, ta có thể biểu diễn V = V Khi đó, ta có thể viết dV a = = dV  + V d dt dt dt + Gia tốc tiếp tuyến Thành phần của gia tốc có phương trùng với phương của tiếp tuyến quỹ đạo được gọi là gia tốc tiếp tuyến. Gia tốc tiếp tuyến được ký hiệu là at dV at =  dt Gia tốc tiếp tuyến có phương trùng với tiếp tuyến của quỹ đạo, có chiều theo chiều của vận tốc nếu vận tốc tăng và ngược chiều với vận tốc nếu vận tốc giảm, có độ lớn bằng dV a = t dt Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của véctơ vận tốc. + Gia tốc pháp tuyến Xét thành phần của gia tốc d  V = Vlim dt t 0 t
  7. - 7 - Giả sử, tại thời điểm t chất điểm ở vị trí A, véctơ đơn vị trên tiếp tuyến của quỹ đạo là 1. Sau một khoảng thời gian t chất điểm chuyển động đến vị trí B, véctơ đơn vị trên tiếp tuyến của quỹ đạo là 2. Khi đó  = 2 - 1 Tam giác dựng trên ba véctơ  ,  và  là tam giác cân. Khi t 0, góc 1 2  ở đỉnh 0 và  vuông góc với 1. Khi đó tiến tới trùng với pháp t tuyến của quỹ đạo. Thành phần của gia tốc có phương trùng với phương của pháp tuyến quỹ đạo được gọi là gia tốc pháp tuyến. Gia tốc pháp tuyến được ký hiệu là a n 1  an = Vlim A B t 0 t  Xét khoảng thời gian đủ nhỏ. Khi đó, có 2 2 thể coi đoạn quỹ đạo AB trùng với cung tròn tâm O bán kính R (cung của đường tròn mật R tiếp). Các véctơ 1 và 2 tạo thành một góc . Rõ ràng góc bằng góc AOB. Khi t 0,  0. Khi đủ nhỏ, ta có thể xấp xỉ O cho rằng  = 1. = Mặt khác, đoạn đường AB chất điểm đi được trong khoảng thời gian t bằng V. t = R. Từ đây ta suy ra  = V t /R Hay 2 an = V /R Ký hiệu pháp tuyến của quỹ đạo là n, có phương vuông góc với tiếp tuyến, có chiều hướng vào tâm đường cong quỹ đạo, có giá trị bằng đơn vị, ta có thể biểu diễn gia tốc pháp tuyến ở dạng V 2 an = n R Véctơ gia tốc pháp tuyến an có phương vuông góc với véctơ vận tốc có chiều hướng vào tâm đường cong quỹ đạo và có độ lớn bằng bình phương của vận tốc chia cho bán kính cong của quỹ đạo R. Gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về phương của véctơ vận tốc. Véctơ gia tốc toàn phần khi đó có thể được biểu diễn bằng tổng a = at + an 2 2 và a = a = at an
  8. - 8 - 1.3. Véctơ vận tốc góc và véctơ gia tốc góc Khi chất điểm chuyển động trên một quỹ đạo tròn, chuyển động đó có thể đặc trưng bởi véctơ vận tốc góc và véctơ gia tốc góc. 1.3.1. Véctơ vận tốc góc a/ Vận tốc góc trung bình Cho rằng chất điểm chuyển động trên đường tròn V bán kính R. Chọn một hệ tọa độ mà gốc tọa độ O R trùng với tâm của đường tròn quỹ đạo. Giả sử tại O thời điểm t chất điểm ở tại một vị trí nào đó trên đường tròn, được biểu diễn bởi bán kính véctơ R. Sau một khoảng thời gian t, bán kính véctơ của nó quay một góc . Khi đó, vận tốc góc trung bình của chuyển động chất điểm trên đường tròn là tỉ số giữa góc và khoảng thời gian t. Vận tốc góc trung bình được ký hiệu là tb tb = /Δt b/ Vận tốc góc tức thời Vận tốc góc tức thời của chuyển động chất điểm trên đường tròn là giới hạn của tỉ số giữa góc và khoảng thời gian t khi t 0. Vận tốc góc tức thời được ký hiệu là  (t t) (t) d  = lim(Δ /Δt) = lim = t 0 t 0 t dt Trong hệ SI, góc được đo bằng đơn vị radian (rad), vận tốc góc được đo bằng đơn vị radian/giây (rad/s). Giữa vận tốc dài V của chất điểm chuyển động trên quỹ đạo tròn và vận tốc góc  của nó có mối liên hệ đơn trị. Thật vậy, vì S = R , nên V = lim (ΔS/Δt) = R lim (Δ /Δt) = R t 0 t 0 Do vận tốc dài của chất điểm chuyển động trên quỹ đạo tròn là một đại lượng véctơ, nên có thể coi vận tốc góc cũng là một đại lượng véctơ. Véctơ vận tốc góc  được coi là nằm trên trục của đường tròn quỹ đạo, có chiều theo chiều tiến của cái đinh vít khi quay đinh vít theo chiều chuyển động của chất điểm, có độ lớn bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay. Ký hiệu R là bán kính véctơ của chất điểm chuyển động, kẻ từ tâm quỹ đạo. Ta có thể biểu diễn V = [R] Giữa gia tốc pháp tuyến và vận tốc góc có mối liên hệ 2 2 2 an = V /R = (R) /R =  R 1.3.2. Véctơ gia tốc góc Nếu vận tốc góc thay đổi theo thời gian, ta có đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên theo thời gian của véctơ vận tốc góc là véctơ gia tốc góc. Giới hạn của tỉ số giữa độ biến thiên của véctơ vận tốc góc  và khoảng thời gian t khi t 0 được gọi là véctơ gia tốc góc và được ký hiệu bằng 
  9. - 9 - (t t) (t) d  = lim(Δ/Δt) = lim =  t 0 t 0 t dt Véctơ gia tốc góc nằm trên trục quay của quỹ đạo, có chiều theo chiều của véctơ vận tốc góc nếu vận tốc góc tăng theo thời gian và ngược chiều với véctơ vận tốc góc nếu vận tốc góc giảm theo thời gian. Giữa gia tốc tiếp tuyến và gia tốc góc có mối liên hệ dV d at = = R = R dt dt Trong hệ SI, gia tốc góc được đo bằng đơn vị rad/s2. 1.4. Một số chuyển động đơn giản của chất điểm 1.4.1. Chuyển động thẳng Chuyển động thẳng là chuyển động có quỹ đạo chuyển động là một đường thẳng. Trong chuyển động thẳng gia tốc pháp tuyến an = 0. Trong chuyển động thẳng ta chọn tọa độ một chiều với trục tọa độ 0x trùng với phương của quỹ đạo, chiều dương theo chiều của chuyển động. a/ Chuyển động thẳng đều Chuyển động thẳng đều là chuyển động thẳng có vận tốc không đổi. Ta có V = dx , với V là hình chiếu của véctơ vận tốc lên trục tọa độ. Công dt thức trên cho thấy, x là nguyên hàm của V. Khi đó, dx = Vdt. Ký hiệu x = x(t), x0 = x(t0), theo công thức Newton-Leibniz, ta có t x - x0 = V dt t0 t Từ đây x - x0 = V dt = V (t-t0) t0 Hay x = x0 + V (t-t0) Nếu bắt đầu xét chuyển động từ thời điểm t0 = 0, ta có x = x0 + V.t b/ Chuyển động thẳng biến đổi đều Chuyển động thẳng biến đổi đều là chuyển động thẳng có gia tốc không đổi. Trong chuyển động thẳng biến đổi đều ta có a = ax = at = const. dV Vì at = nên ta có dV = a dt. Ký hiệu V = V(t), V0 = V(t0), ta có dt t V - V0 = a dt t0 t Từ đây V - V0 = a dt = a(t-t0) t0 Hay V = V0 + a (t-t0) Nếu ta bắt đầu xét chuyển động từ thời điểm t0 = 0, thì V = V0 + at dx Vì V = nên ta có dx = Vdt. Từ đây ta có dt
  10. - 10 - t x - x0 = V dt 0 Hay t 1 x - x = (V at) dt = V t + at2 0 0 0 0 2 Nếu khử t khỏi các biểu thức trên, ta được 2 2 2aS = V - V0 Nếu khử a khỏi biểu thức thứ nhất a = (V - V0)/t Thay vào biểu thức thứ hai, ta thu được (V0 + V)/2 = S/t = Vtb 1.4.2. Chuyển động cong Xem xét một chuyển động cong tiêu biểu là chuyển động ném xiên. Chuyển động ném xiên là chuyển động của chất điểm khi nó được ném lên dưới một góc nào đó so với phương nằm ngang. Giả sử một chất điểm được ném lên với vận tốc V0, theo phương hợp với phương nằm ngang một góc . Chọn một hệ tọa độ xy, có gốc tọa độ đặt tại điểm ném, trục 0x nằm ngang trong cùng mặt phẳng với véctơ vận tốc, còn trục 0y theo phương thẳng đứng hướng lên trên. Bỏ qua sức cản của không khí. Trong trường hợp này, chuyển động của chất điểm có thể phân tích thành hai chuyển động đồng thời : - Chuyển động thẳng đều theo phương nằm ngang, với gia tốc ax = 0 và vận tốc Vx = V0x = V0.cos Tọa độ x của chất điểm được mô tả bởi phương trình x = Vx t = V0.cos .t - Chuyển động thẳng biến đổi đều theo phương thẳng đứng, với gia tốc 2 bằng gia tốc trọng trường g ( ay = -g, g = 9,81 m/s ), và vận tốc ban đầu V0y = V0.sin Vận tốc của chất điểm chuyển động được mô tả bởi phương trình Vy = V0y + a yt = V0.sin - gt Tọa độ y của chất điểm được mô tả bởi phương trình 1 2 1 2 y = V0y t + a yt = V0.sin .t - gt 2 2 1.4.3. Chuyển động tròn Chuyển động tròn là chuyển động mà quỹ đạo chuyển động là một đường tròn. a/ Chuyển động tròn đều Chuyển động tròn đều là chuyển động tròn có vận tốc góc không đổi. Trong chuyển động tròn đều, sau một khoảng thời gian t chất điểm quay được một góc = t, quãng đường chất điểm đi được bằng S = Vt = Rt . Do chuyển động tròn đều có tính tuần hoàn, nên có thể đặc trưng chuyển động này bằng các đại lượng chu kỳ và tần số. Chu kỳ là thời gian mà chất
  11. - 11 - điểm quay được một vòng, ký hiệu là T. Do một vòng quay tương ứng với một góc bằng 2 , nên vận tốc góc sẽ bằng  = 2 /T Hay T = 2 / Tần số là số vòng mà chất điểm thực hiện trong thời gian một giây, ký hiệu là n n = 1/T = /2 Từ đây ta có  = 2 n b/ Chuyển động tròn biến đổi đều Chuyển động tròn biến đổi đều là chuyển động tròn có gia tốc góc không đổi. Vì  = d  dt Nên ta có d = dt Lấy tích phân hai vế, ta thu được  = 0 + t Vì  = d dt Nên ta có d = dt Lấy tích phân, ta được 2 - 0 = 0t + ½..t Ta có thể thiết lập được hệ thức 2 2 2( - 0) =  - 0 c/ Phương trình chuyển động Xét một chất điểm, chuyển động trên y một đường tròn tâm 0, bán kính R. Chất điểm chuyển động với vận tốc góc . M Gọi là góc tạo bởi bán kính véctơ của chất điểm, kẻ từ tâm đường tròn và trục 0 x 0x của một hệ tọa độ vuông góc nào đó. Khi đó, vị trí M của chất điểm có thể được xác định bởi hai giá trị - Khoảng cách từ M đến tâm 0. Giá trị này được ký hiệu là và bằng = R - Góc tạo bởi bán kính véctơ của chất điểm và trục 0x, bằng = 0 + t Có thể biểu diễn vị trí của M theo tọa độ x, y của một hệ tọa độ Đềcác, cụ thể là
  12. - 12 - x = R.cos = R.cos(t + 0) y = R.sin = R.sin(t + 0) 1.5. Phép biến đổi vận tốc và gia tốc 1.5.1. Phép biến đổi vận tốc và gia tốc trong chuyển động tịnh tiến Cho một hệ quy chiếu 0xyz mà ta quy ước là đứng yên, và hệ quy chiếu 0’x’y’z’, chuyển động thẳng tương đối so với 0xyz. Xét chuyển động của một chất điểm trong cả hai hệ quy chiếu. Xét vị trí của chất điểm tại thời điểm t nào đó. Giả sử, tại thời điểm t chất điểm ở vị trí M. Ký hiệu bán kính véctơ của điểm M M trong hai hệ tọa độ là r và r’, bán kính véctơ của gốc tọa độ 0’ là r0, ta có r' r = r’ + r0 r a/ Quy tắc tổng hợp vận tốc r0 Lấy đạo hàm theo thời gian biểu thức liên hệ r = r’ + r0 Ký hiệu d d d V = r , V’= r’, u = r0 dt dt dt Ta có V = V’ + u Hay Vx = V’x + ux Vy = V’y + uy Vz = V’z + uz Vận tốc của một chất điểm chuyển động, biểu diễn trong một hệ quy chiếu, bằng vận tốc của nó biểu diễn trong hệ quy chiếu khác cộng với vận tốc của hệ quy chiếu thứ hai đối với hệ quy chiếu thứ nhất. b/ Quy tắc tổng hợp gia tốc Lấy đạo hàm theo thời gian biểu thức tổng hợp vận tốc, ta được d V = d V’ + d u dt dt dt Ký hiệu d a = V - gia tốc của chất điểm trong hệ tọa độ 0xyz, dt d a’ = V’ - gia tốc của chất điểm trong hệ tọa độ 0’x’y’z’, dt d = u - gia tốc của hệ tọa độ 0’x’y’z’ trong hệ tọa độ 0xyz. dt Ta có a = a’ +
  13. - 13 - Hay ax = a’x + x ay = a’y + y az = a’z + z Gia tốc của một chất điểm chuyển động, biểu diễn trong một hệ quy chiếu, bằng gia tốc của nó biểu diễn trong hệ quy chiếu khác cộng với gia tốc của hệ quy chiếu thứ hai đối với hệ quy chiếu thứ nhất. 1.5.2. Phép biến đổi vận tốc và gia tốc trong hệ quy chiếu chuyển động quay a/ Phép biến đổi vận tốc và gia tốc trong hai hệ quy chiếu bất kỳ Ký hiệu hệ quy chiếu đứng yên là K, hệ quy chiếu chuyển động tương đối so với K là K’. Xét một chất điểm chuyển động. Bán kính véctơ của vị trí M của chất điểm trong hệ quy chiếu K được ký hiệu là r, trong hệ quy chiếu K’ là r’. Ký hiệu bán kính véctơ của gốc tọa độ của hệ quy chiếu K’ là r0. Khi đó ta có r = r0 + r’ Lấy đạo hàm bậc nhất theo thời gian của biểu thức trên, ta thu được V = u + d r’ dt Với d V = r - Vận tốc của chất điểm trong hệ quy chiếu K. dt d u = r0 - Vận tốc của gốc tọa độ hệ quy chiếu K’ trong hệ quy chiếu K. dt Biểu diễn r' = x’i’ + y’j’ + z’k’ Ta có d d d d d d d r’ = (x’)i’ + (y’)j’ + (z’)k’ + x’ i’ + y’ j’ + z’ k’ dt dt dt dt dt dt dt Rõ ràng d d d V’ = (x’)i’ + (y’)j’ + (z’)k’ – Vận tốc của chất điểm trong hệ quy dt dt dt chiếu K’. Còn x’ d i’ + y’ d j’ + z’ d k’ – Vận tốc do hệ tọa độ gắn với K’ quay tương dt dt dt đối so với K. Ký hiệu  là vận tốc góc của chuyển động quay của hệ tọa độ K’. Ta có d i’ = [i’], d j’ = [j’], d k’= [k’] dt dt dt Hay d r’ = V’ + [r’] dt Từ đây ta có V = u + [r’] + V’ Biểu thức này mô tả quy tắc tổng hợp vận tốc trong trường hợp tổng quát.
  14. - 14 - Tiếp tục lấy đạo hàm theo thời gian của biểu thức trên, ta thu được d d a = + [r’] + V’ dt dt Với d a = V – Gia tốc của chất điểm trong hệ quy chiếu K. dt d = u - Gia tốc của gốc tọa độ của hệ quy chiếu K’ trong hệ quy chiếu K. dt Xử lý tương tự như phần vận tốc trên, ta có d V’ = a’ + [V’] dt d [r’]= [r’] +[V’] + [[r’]] dt Với d 2 d 2 d 2 a’ = (x’)i' + (y’)j' + (z’)k' – Gia tốc của chất điểm trong hệ quy dt 2 dt 2 dt 2 chiếu K’. Cuối cùng ta được a = + [r’] + [[r’]] + 2 [V’] + a’ Biểu thức này mô tả quy tắc tổng hợp gia tốc trong trường hợp tổng quát. b/ Phép biến đổi vận tốc và gia tốc trong hệ quy chiếu chỉ quay Trong trường hợp hệ quy chiếu K’ chỉ quay, ta có V = [r’] + V’ a = [r’] + [[r’]] + 2 [V’] + a’ Chương 2. Động lực học chất điểm Động lực học là một phần của cơ học, nghiên cứu chuyển động của vật trong mối liên hệ với các vật khác, nghĩa là có tính đến nguyên nhân gây ra sự thay đổi trong chuyển động đó. 2.1. Các định luật Newton. Các định lý về động lượng. Định luật hấp dẫn 2.1.1. Các định luật Newton a/ Định luật Newton thứ nhất + Phát biểu định luật Một chất điểm (vật) bất kỳ bảo toàn trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều cho đến khi có tác động từ phía các vật khác buộc nó thay đổi trạng thái đó. Xu hướng của vật bảo toàn trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều được gọi là quán tính. Vì vậy, định luật thứ nhất của Newton còn được gọi là định luật quán tính. + Hệ quy chiếu quán tính
  15. - 15 - Định luật thứ nhất của Newton không phải được tuân thủ trong mọi hệ quy chiếu. Hệ quy chiếu nào mà định luật này đúng, được gọi là hệ quy chiếu quán tính. Như vậy, hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu mà trong đó một chất điểm bất kỳ, không chịu tác động từ bên ngoài, thì hoặc đứng yên, hoặc chuyển động thẳng đều. + Khối lượng Khi có tác động của bên ngoài, không phải mọi vật thay đổi trạng thái chuyển động (có gia tốc) như nhau. Sự thay đổi này còn phụ thuộc vào tính chất của vật – đó là khối lượng. Vậy, khối lượng của vật, một đại lượng vật lý, là một trong những đặc trưng chủ yếu của vật chất, xác định tính chất quán tính của nó. Trong hệ SI, khối lượng được đo bằng đơn vị kilôgam (kg). + Lực Để mô tả tác động làm thay đổi trạng thái chuyển động, người ta đưa vào khái niệm lực. Dưới tác dụng của lực, vật hoặc thay đổi trạng thái chuyển động, hoặc bị biến dạng. Tác động này phụ thuộc vào hướng. Vậy, lực là một đại lượng véctơ, là số đo tác động cơ học lên một vật từ phía các vật khác hoặc trường, mà kết quả là vật hoặc có gia tốc hoặc thay đổi hình dạng hay kích thước của mình. b/ Định luật Newton thứ hai Định luật thứ hai của Newton là định luật cơ bản của động lực học của chuyển động tịnh tiến. Nếu xem xét tác động của những lực khác nhau lên cùng một vật, ta nhận thấy gia tốc mà vật có được luôn luôn tỉ lệ thuận với độ lớn của lực a  F Khi tác động cùng một lực lên những vật có khối lượng khác nhau, ta nhận thấy gia tốc của chúng tỉ lệ nghịch với khối lượng a  1/m Như vậy, chúng ta có thể viết a = k.F/m + Phát biểu định luật Gia tốc, mà một chất điểm có được, tỉ lệ thuận với lực gây ra nó, có chiều theo chiều của lực, và tỉ lệ nghịch với khối lượng của chất điểm đó a = k.F/m Định luật thứ hai của Newton chỉ đúng trong các hệ quy chiếu quán tính. Trong hệ SI, hệ số tỉ lệ k = 1, nên a = F/m Biểu thức của định luật Newton thứ hai có thể viết dưới dạng F = ma Biểu thức trên cho phép xác định đơn vị của lực. Trong hệ SI, đơn vị của lực là niutơn (N), có thứ nguyên là kg.m/s2. Trong trường hợp chất điểm chịu nhiều lực tác dụng đồng thời thì
  16. - 16 -  Fi = F = ma i + Lực tiếp tuyến và lực pháp tuyến Trong chuyển động cong, ta có a = at + an Hai gia tốc này có thể được coi là do hai lực gây ra, nên trong chuyển động cong có thể phân tích lực thành hai thành phần : thành phần tiếp tuyến và thành phần pháp tuyến : F = Ft + Fn Vì giá trị của các gia tốc bằng dV V 2 at = và an = dt R Nên ta có các phương trình dV Ft = mat = m dt V 2 Fn = man = m R Phương trình  Fi = F = ma i có thể khái quát cả hai định luật của Newton, mô tả quy luật chuyển động của chất điểm, được gọi là phương trình cơ bản của động lực học chất điểm. c/ Định luật Newton thứ ba Định luật thứ ba của Newton xác định tác động tương hỗ giữa các chất điểm (vật). Định luật thứ ba của Newton phát biểu như sau : Hai chất điểm tác dụng lên nhau với những lực, bằng nhau về độ lớn, ngược chiều nhau, và dọc theo đường thẳng nối chúng F12 = - F21 Ở đây, F12 là lực tác động của chất điểm 1 lên chất điểm 2, F21 là lực tác động của chất điểm 2 lên chất điểm 1. Các lực này được đặt lên các chất điểm (vật) khác nhau và luôn luôn tác động từng đôi một. d/ Các lực liên kết Khi xem xét các lực tác dụng lên một vật, người ta chia các lực thành hai loại - Các lực tác dụng từ bên ngoài : lực hút, lực kéo, lực đẩy . - Các lực liên kết là các lực xuất hiện khi có sự hiện diện của các vật khác. Cụ thể có các lực liên kết sau đây mà ta xem xét : + Trọng lực : Là lực hấp dẫn giữa Trái đất và một vật. Trọng lực được ký hiệu là p và bằng p = mg Trong đó g là gia tốc trọng trường, có giá trị bằng 9,81 m/s2 và luôn hướng về tâm của Trái đất. + Lực pháp tuyến : Là phản lực của một bề mặt lên vật khi vật tác dụng một lực nén vuông góc lên bề mặt, có phương vuông góc với bề mặt, có chiều hướng khỏi bề mặt và có giá trị bằng lực nén. Lực pháp tuyến ký hiệu là N.
  17. - 17 - Lực pháp tuyến được xác định từ định luật thứ hai của Newton đối với vật theo phương vuông góc với bề mặt (phương của pháp tuyến) Fn + N = man Giá trị của lực này, trong trường hợp một vật khối lượng m nằm yên trên một bề mặt phẳng, bằng N = mg.cos Trong đó là góc giữa bề mặt và phương nằm ngang. + Lực ma sát : Là lực cản trở của bề mặt đối với vật chuyển động trên đó. * Lực ma sát động Khi vật chuyển động trên một bề mặt, ta có lực ma sát, gọi là ma sát động, có giá trị bằng fms = k.N với k là hệ số ma sát động, phụ thuộc vào các bề mặt tiếp xúc. * Lực ma sát nghỉ Cho một vật nằm yên trên một bề mặt. Tác dụng một lực F song song với bề mặt lên vật mà không làm vật chuyển động. Khi đó, trên vật có lực ma sát nghỉ fmsn tác dụng. Theo định luật 2 của Newton F + fmsn = ma = 0 Từ đây ta có fmsn = - F Khi tăng dần độ lớn của lực tác dụng F, đến một giá trị f0 nào đó, vật bắt đầu chuyển động. Khi đó, lực ma sát nghỉ biến mất. Nghĩa là lực ma sát nghỉ có giá trị cực đại, và người ta gán giá trị f0 cho lực ma sát nghỉ cực đại đó. Thực nghiệm cho thấy rằng f0 = kn.N (thông thường, kn > k). Nghĩa là lực ma sát nghỉ có thể nhận một giá trị bất kỳ giữa 0 và f0. Khi F f0 vật chuyển động với một gia tốc nào đó. Khi F = f0 vật bắt đầu chuyển động (trong một số tài liệu, người ta cho rằng khi F = f0 vật chưa chuyển động, một số tài liệu thì cho rằng khi F = f0 vật bắt đầu chuyển động). Vì vậy, trong một số bài toán, có thể cho rằng, khi F f0 thì vật chuyển động và khi đó, vật chịu tác dụng của lực ma sát động. + Lực căng : Là lực sinh ra khi một sợi dây, được buộc với một vật, bị kéo căng. Lực căng ký hiệu là T, tác dụng lên vật, có phương dọc theo dây và có chiều đi khỏi vật. + Lực đàn hồi : Là lực xuất hiện khi vật bị biến dạng và có xu hướng chống lại sự biến dạng đó. Lực đàn hồi tuân theo định luật Hooke : Trong giới hạn đàn hồi, lực đàn hồi tỉ lệ với độ biến dạng của vật F = - k l Với k là hệ số đàn hồi, l là độ biến dạng của vật. + Lực cản (phụ thuộc vào vận tốc) : Là lực cản của môi trường lên vật, khi vật chuyển động trong môi trường đó. Lực cản có độ lớn phụ thuộc vào vận tốc. Thực nghiệm cho thấy : - Khi vật chuyển động với vận tốc V nhỏ, lực cản bằng F = - V - Khi vật chuyển động với vận tốc V lớn, lực cản bằng
  18. - 18 - F = - kVV Trong đó,  và k là các hệ số cản của môi trường, phụ thuộc vào bản chất của môi trường, hình dạng và kích thước của vật. 2.1.2. Các định lý về động lượng a/ Định lý thứ nhất về động lượng + Động lượng của chất điểm Động lượng (hay xung lượng) của chất điểm là một đại lượng véctơ, bằng tích của khối lượng với véctơ vận tốc của nó. Ký hiệu động lượng bằng véctơ K, ta có K = mV + Định lý thứ nhất về động lượng Theo định luật thứ hai của Newton ma =  Fi = F i Do a = d V dt Nên ma = m d V = d (mV) = d K dt dt dt Từ đây ta có d K =  Fi = F dt i Đạo hàm theo thời gian của động lượng của một chất điểm bằng lực (hoặc tổng hợp lực) tác dụng lên chất điểm đó. Định lý thứ nhất về động lượng là dạng tổng quát của phương trình cơ bản của động lực học chất điểm. b/ Định lý thứ hai về động lượng + Xung lượng của lực Tích phân t2 Fdt t1 được gọi là xung lượng của lực F trong khoảng thời gian từ t1 đến t2. + Định lý thứ hai về động lượng Từ biểu thức của định lý thứ nhất về động lượng ta có thể suy ra dK = Fdt Tích phân hai vế của biểu thức trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 K 2 t2 dK = Fdt K1 t1 Ta được t2 K = K2 - K1 = Fdt t1
  19. - 19 - Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong một khoảng thời gian nào đó có giá trị bằng xung lượng của lực (hay tổng hợp lực) tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó. Nếu F = const, ta có K = F. t 2.1.3. Định luật hấp dẫn a/ Định luật vạn vật hấp dẫn Định luật vạn vật hấp dẫn phát biểu như sau : Hai chất điểm bất kỳ luôn hút nhau với một lực, gọi là lực hấp dẫn, tỉ lệ thuận với tích khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Ký hiệu m1 và m2 là khối lượng của hai chất điểm, r là khoảng cách giữa chúng, ta có biểu thức của lực hấp dẫn 2 F = G.m1m2/r Với G = 6,67.10-11 Nm2/kg2 - là hằng số hấp dẫn. Đối với hai vật ở cách nhau khá xa, có thể coi r là khoảng cách giữa các khối tâm của chúng. b/ Trọng lực và gia tốc trọng trường + Trọng lực và gia tốc trọng trường Ký hiệu M và R là khối lượng và bán kính của Trái đất, m là khối lượng của một vật nào đó ở gần mặt đất, ta có F = GMm/R2 Nếu ký hiệu g = GM/R2 (M = 5,98.1024 kg, R = 6,38.106 m) Ta có thể biểu diễn trọng lực bởi công thức P = mg Với g được gọi là gia tốc trọng trường hay là gia tốc rơi tự do. Ở gần mặt đất, g = 9,81 m/s2. + Trọng lượng : Là lực, dưới tác dụng của trọng lực, đè lên giá đỡ hoặc kéo căng dây treo, mà giá đỡ hay dây treo đó ngăn không cho vật rơi tự do trong hệ quy chiếu của vật. Ký hiệu lực này là P’, và lực của giá đỡ tác dụng lên vật là N. Theo định luật thứ ba của Newton, ta có P’ = - N Từ biểu thức của định luật Newton đối với vật có khối lượng m P + N = ma Ta có P’ = P – ma = m(g - a) 2.2. Hệ quy chiếu không quán tính Cho một hệ quy chiếu quán tính K mà ta quy ước là đứng yên, và hệ quy chiếu K’, chuyển động tương đối so với K. Trong trường hợp tổng quát, hệ quy chiếu K’ không quán tính. Xét chuyển động của một chất điểm trong cả hai hệ quy chiếu.
  20. - 20 - Gia tốc của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính đứng yên và hệ quy chiếu không quán tính có mối liên hệ như sau a = + [r’] + [[r’]] + 2 [V’] + a’ 2.2.1. Hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến có gia tốc. Lực quán tính Nếu hệ quy chiếu K’ đang chuyển động tịnh tiến, nhưng không quay, ta có a = + a’ Giả sử chất điểm khối lượng m chịu tác dụng của một lực F. Trong hệ quy chiếu quán tính, ta có ma = F Ta có thể biểu diễn m( + a’) = F Hay ma’ = F - m Để định luật thứ hai của Newton đúng trong hệ quy chiếu K’, ta phải coi rằng lực tác dụng lên chất điểm m trong hệ quy chiếu K’ bằng F’ = F – m Lực F’ có thể coi là tổng hợp của hai lực : một lực là lực F tác dụng thực tế lên chất điểm và lực khác Fqt = - m . Lực này được gọi là lực quán tính, là lực xuất hiện do hệ quy chiếu K’ chuyển động thẳng có gia tốc. 2.2.2. Hệ quy chiếu chuyển động quay. Lực ly tâm Nếu hệ quy chiếu K’ không chuyển động tịnh tiến, nhưng đang quay đều với vận tốc góc , ta có a = [[r’]] + 2 [V’] + a’ Giả sử chất điểm khối lượng m chịu tác dụng của một lực F. Trong hệ quy chiếu quán tính, ta có ma = F Ta có thể biểu diễn m([[r’]] + 2 [V’] + a’) = F Hay ma’ = F - m[[r’]] - 2m[V’] Để định luật thứ hai của Newton đúng trong hệ quy chiếu K’, ta phải coi rằng lực tác dụng lên chất điểm m trong hệ quy chiếu K’ bằng F’ = F - m[[r’]] - 2m[V’] Như vậy, trên chất điểm có ba lực tác dụng : - Lực F là lực tác dụng thực tế lên chất điểm - Lực Flt = - m[[r’]] được gọi là lực ly tâm. Lực này có giá trị 2 Flt = m r’ đúng bằng giá trị của lực hướng tâm, nhưng có chiều ngược lại (vì vậy, nó được gọi là lực ly tâm). - Lực Fcor = - 2m[V’] được gọi là lực côriôlis. Lực này chỉ xuất hiện khi chất điểm chuyển động trong hệ quy chiếu quay.
  21. - 21 - 2.3. Nguyên lý tương đối Galileo Xét một chất điểm khối lượng m chuyển động trong hệ quy chiếu quán tính Oxyz. Nếu có một lực F tác dụng lên chất điểm đó, thì, do hệ quy chiếu Oxyz là quán tính, nên định luật thứ hai của Newton áp dụng được ở đây. Ta có F = ma Xét trường hợp một hệ quy chiếu O’x’y’z’ chuyển động thẳng đều so với hệ quy chiếu quán tính Oxyz. Vì hệ quy chiếu O’x’y’z’ chuyển động không có gia tốc, nên a = a’ Nghĩa là, gia tốc của chất điểm như nhau trong cả hai hệ quy chiếu. Từ đây ta có F = ma’ Đó là phương trình động lực học của chuyển động chất điểm trong hệ quy chiếu O’x’y’z’. Nói cách khác, định luật thứ hai của Newton thỏa mãn trong hệ quy chiếu O’x’y’z’. Như vậy, hệ quy chiếu O’x’y’z’ cũng là hệ quy chiếu quán tính. Kết quả trên cho phép phát biểu một nguyên lý : Các định luật Newton được nghiệm đúng trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu quán tính. Hệ quy chiếu, chuyển động thẳng đều đối với một hệ quy chiếu quán tính, cũng là hệ quy chiếu quán tính. Hay : Các phương trình động lực học trong các hệ quy chiếu quán tính có dạng như nhau. Nguyên lý này được gọi là nguyên lý tương đối Galileo. 2.4. Cơ năng của chất điểm 2.4.1. Công và công suất a/ Công + Công của một lực không đổi Nếu một vật chuyển động thẳng, dưới tác dụng của một lực không đổi F, hướng theo phương tạo thành một góc với phương chuyển động, thì ta nói rằng lực F đã sinh công và công của lực này bằng tích của hình chiếu của lực trên phương của chuyển động với quãng đường dịch chuyển của điểm đặt lực : A = Fs.S = F.S.cos Nếu biểu diễn S =  Si i Ta có A =  F Si .cos =  Ai i i
  22. - 22 - Nghĩa là, công của lực F thực hiện trên một quãng đường bằng tổng công thực hiện trên từng đoạn đường. + Công của một lực biến thiên Xét trường hợp chất điểm dịch chuyển dưới tác dụng của lực F theo một đường cong, từ điểm 1 đến điểm 2. Trong trường hợp tổng quát, lực có thể thay đổi theo độ lớn cũng như theo phương. Tính công của lực trong trường hợp này. Để áp dụng được công thức tính công như định nghĩa, ta thay đường cong bằng một đường gấp khúc gồm N đoạn. Xét một đoạn gấp khúc, ví dụ đoạn thứ i. Ký hiệu Fi, cos i là giá trị đại diện của lực F và cos của góc trên đoạn gấp khúc i, Si là độ dài của đoạn gấp khúc đó. Khi đó, công Ai của lực F trên đoạn gấp khúc i sẽ bằng Ai = Fi.cos i. Si Công của lực F thực hiện trên cả quãng đường sẽ xấp xỉ bằng N N A  Ai =  Fi cos i Si i 1 i 1 Khi số các đoạn gấp khúc tăng, sao cho max{ Si} 0, đường gấp khúc dần trùng với đường cong. Khi đó N 2 2 lim F cos S F cos dS dA A(1 2) =  i i i = = max{ Si } 0,N i 1 1 1 Nếu lưu ý rằng S =  r. Khi đó, ta có thể biểu diễn Ai = F i.cos i.  ri = (F. r)i Hay dA = F.cos .dS = (F.dr) Khi đó, công của lực F trên một đoạn quỹ đạo từ điểm 1 đến điểm 2 bằng 2 2 2 A (1 2) = dA = F cos dS = (F.dr) 1 1 1 Trong hệ SI, công được đo bằng đơn vị jun (J). 1 J = 1N.m. b/ Công suất Để đặc trưng cho tốc độ thực hiện công, người ta đưa ra khái niệm công suất. Công suất là công thực hiện bởi lực trong một đơn vị thời gian. Công suất có thể tính bằng công thức A F cos S P = F cos V =(F.V) t t Hoặc bằng công thức P = dA dt Vì dA = (F.dr) Nên P = F d r = (F.V) dt Công suất bằng tích vô hướng của véctơ lực với véctơ vận tốc của điểm đặt lực. Trong hệ SI, công suất được đo bằng đơn vị watt (W). 1 W = 1 J/s.
  23. - 23 - c/ Công và năng lượng + Khái niệm năng lượng Động lượng của một vật là một đặc trưng quan trọng cho chuyển động cơ học của nó. Nhưng đại lượng này không thể đặc trưng hoàn toàn cho sự biến đổi trong chuyển động của vật. Ví dụ, xét trường hợp hai quả cầu nhựa mềm giống nhau, chuyển động ngược chiều nhau cùng tốc độ và va chạm nhau. Sau khi va chạm nhau, hai quả cầu nhựa sẽ đứng yên và chuyển động của hai quả cầu chấm dứt. Trước va chạm, tổng động lượng của hai quả cầu bằng 0. Sau va chạm, tổng động lượng này cũng bằng không. Vậy, động lượng của cả hệ trước và sau va chạm là không thay đổi. Nhưng động lượng của từng quả cầu thì có thay đổi. Trước va chạm các quả cầu tham gia chuyển động cơ học, còn sau va chạm thì chuyển động cơ học của chúng biến mất. Tuy nhiên, nếu đo nhiệt độ của các quả cầu, thì có thể phát hiện ra rằng nhiệt độ của chúng tăng lên. Vậy, dạng chuyển động cơ học của các quả cầu đã chuyển sang dạng chuyển động nhiệt. Động lượng không đặc trưng được quá trình biến đổi này. Đại lượng có thể đặc trưng cho quá trình thay đổi này là năng lượng. Năng lượng là một thuộc tính của vật chất, là một đại lượng vô hướng, đặc trưng cho mức độ vận động và tương tác của vật chất. Một vật hay một hệ vật, ở một trạng thái chuyển động hay tương tác nhất định, có một năng lượng nhất định. Những dạng chuyển động khác nhau của vật chất gắn liền với những dạng năng lượng khác nhau : cơ học, nhiệt học, điện từ, hạt nhân, . + Định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng Trong một số hiện tượng, dạng chuyển động của vật chất không thay đổi, như trong hiện tượng truyền nhiệt từ vật nóng sang vật lạnh, trong những hiện tượng khác lại xảy ra việc chuyển từ dạng chuyển động này sang dạng khác, như trong hiện tượng ma sát, chuyển động cơ học biến thành chuyển động nhiệt. Nhưng, trong tất cả các hiện tượng, năng lượng được một vật cho (ở dạng này hay dạng khác) bằng năng lượng một vật khác nhận được. Điều này là một minh họa cho định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng, là một trong những định luật quan trọng nhất của tự nhiên : Năng lượng không tự nhiên sinh ra, cũng không tự nhiên mất đi, nó chỉ chuyển hóa từ dạng này sang dạng khác, hoặc truyền từ vật này sang vật khác, còn tổng năng lượng không thay đổi. Theo định luật này, thì năng lượng toàn phần của một hệ cô lập không thay đổi, bất kể trong hệ xảy ra quá trình gì. + Quan hệ giữa năng lượng và công Nếu một hệ không cô lập thì hệ có tương tác với bên ngoài và có trao đổi năng lượng với bên ngoài. Xét một ví dụ cụ thể : một đoàn tàu chuyển động đều dưới tác dụng của lực kéo của đầu máy. Nếu không có lực kéo của đầu máy thì đoàn tàu sẽ chuyển động chậm dần và dừng lại dưới tác dụng của lực ma sát ( và khi đó năng lượng cơ học của đoàn tàu sẽ giảm đi ). Lực kéo của đầu máy là ngoại lực đối với đoàn tàu, có nguồn gốc từ việc đốt cháy nhiên liệu hay tiêu hao điện năng cung cấp từ bên ngoài. Khi đoàn tàu chuyển động, lực kéo thực hiện một công và công này được dùng để duy trì năng lượng
  24. - 24 - không đổi cho đoàn tàu (duy trì chuyển động với vận tốc không đổi). Các khảo sát cho thấy rằng, công của lực kéo đúng bằng năng lượng đã cung cấp từ bên ngoài. Nghĩa là, môi trường bên ngoài đã truyền cho đoàn tàu một lượng năng lượng thông qua công của lực kéo. Ví dụ trên cho thấy rằng, sinh công là một hình thức trao đổi năng lượng giữa các hệ hoặc các vật. Trong cơ học, công là cách trao đổi năng lượng giữa các vật thông qua tương tác lực. Khi một lực bên ngoài tác dụng lên một vật làm nó thay đổi trạng thái, năng lượng của vật thay đổi. Khi đó, độ biến thiên năng lượng của hệ bằng công mà hệ nhận được trong quá trình đó W2 - W1 = A Hay, giữa độ thay đổi năng lượng dW của vật và công do lực ngoài sinh ra dA có mối liên hệ như sau dW = dA Đơn vị đo năng lượng cũng là đơn vị đo công. Trong hệ SI, năng lượng được đo bằng đơn vị jun (J). 2.4.2. Động năng của chất điểm. Định lý động năng Động năng của một hệ cơ học là năng lượng chuyển động cơ học của hệ đó. a/ Động năng của chất điểm Xét một lực F tác dụng lên một vật khối lượng m đang đứng yên và làm vật chuyển động. Lực thực hiện một công, còn năng lượng của vật chuyển động được tăng lên một lượng, bằng công sinh ra. Năng lượng này là động năng của vật, ký hiệu là Wđ. Như vậy, công dA của lực F trên quãng đường, mà vật di chuyển trong khoảng thời gian mà vận tốc của nó tăng từ 0 đến dV, sẽ bằng độ tăng động năng dWđ dWđ = dA Sử dụng định luật thứ hai của Newton d F = m V dt Ta có d dA = (F. dr) = (m V. dr) dt Biểu thức này có thể viết lại dV.dr d dA = (m ) = (m r. dV) dt dt Vì d r = V dt Nên ta có dA = mV.dV = d(½.mV2) Từ đây ta có 2 dWđ = d(½.mV ) Lấy tích phân biểu thức trên wd V 2 d Wđ = d(½.mV ) 0 0
  25. - 25 - Ta được 2 Wđ = ½.m.V b/ Định lý động năng Nếu vận tốc của vật thay đổi từ V1 đến V2 , thì ta có 2 w2 V2 2 A (1 2) = dA = d Wđ = d (½.mV ) 1 W1 V1 Từ đây, ta có biểu thức của định lý động năng 2 2 A (1 2) = Wđ2 - Wđ1 = ½.m.V2 - ½.m.V1 Độ thay đổi động năng của một vật bằng công của lực ngoài thực hiện trên vật. 2.4.3. Thế năng của chất điểm trong trường lực thế Phần không gian, hữu hạn hay vô hạn, mà tại mỗi điểm của nó được ứng với một giá trị của một đại lượng véctơ nào đó, theo một quy luật nào đó bất kỳ, được gọi là một trường véctơ. Nếu đại lượng véctơ này là lực, ta có một trường lực. a/ Trường lực thế Xét một chất điểm chuyển động trong một trường lực. Tại mỗi vị trí r đều có một lực F(r) tác dụng lên chất điểm. Khi chất điểm dịch chuyển, lực F(r) thực hiện công. Công của lực khi dịch chuyển chất điểm từ vị trí r1 đến vị trí r2 được ký hiệu là 2 A(r1 r2) = Fdr 1 Nếu hàm F(r) không phụ thuộc vào vận tốc của vật, không thay đổi theo thời gian và công của lực khi dịch chuyển chất điểm theo một đường cong khép kín bất kỳ bằng không, nghĩa là Fdr = 0 C thì lực như vậy gọi là lực bảo toàn, còn trường lực như vậy gọi là trường lực thế. Ta chia đường cong khép kín thành hai đoạn 1A2 và 2B1, và tách tích phân F(r)dr C thành hai tích phân A F(r)dr + F(r)dr 1A2 2B1 2 Ta có 1 F(r)dr - F(r)dr = 0 1A2 1B2 Từ đây ta có tích phân B 2 F(r)dr = F(r)dr = F(r)dr 1A2 1B2 1 chỉ phụ thuộc vào điểm đầu r1 và điểm cuối r2. Vậy trường lực thế là trường mà công của lực khi dịch chuyển chất điểm theo một đường cong khép kín bất kỳ bằng không hoặc không phụ
  26. - 26 - thuộc vào đường dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối. b/ Thế năng. Định lý thế năng Khái niệm thế năng chỉ có thể đưa ra khi chất điểm chịu tác động của một trường lực thế. + Định nghĩa Xét một chất điểm, chuyển động trong một trường lực thế. Ta chọn một vị trí bất kỳ của chất điểm, với bán kính véctơ r0 trong một hệ tọa độ nào đó, làm vị trí ban đầu. Khi đó, ta có định nghĩa : thế năng của chất điểm tại một vị trí r của trường lực thế là một đại lượng, bằng công do tổng hợp lực của trường, tác dụng lên chất điểm, thực hiện khi dịch chuyển chất điểm từ vị trí r đến vị trí ban đầu r0. Thế năng của chất điểm tại vị trí r được ký hiệu là Wt(r). Vậy, theo định nghĩa, ta có r0 Wt (r) = dA = A(r r0) r Do việc chọn vị trí ban đầu là tuỳ ý, nên thế năng sẽ được xác định chính xác đến một hằng số. + Định lý thế năng Từ định nghĩa trên, dễ dàng suy ra biểu thức r0 r0 r2 Wt (r1) - Wt (r2) = dA - dA = dA = A(r1 r2) r1 r2 r1 Hay ta có biểu thức của định lý thế năng A(r1 r2) = Wt (r1) - Wt (r2) Nghĩa là : công sinh ra khi dịch chuyển chất điểm từ điểm r1 đến điểm r2 trong trường lực thế bằng hiệu thế năng giữa hai điểm r1 và r2. c/ Thế năng của một chất điểm trong trường hấp dẫn, trong trọng trường đều, trường lực đàn hồi + Thế năng của chất điểm trong trường hấp dẫn Cho một chất điểm khối lượng m chuyển động trong một trường hấp dẫn, ví dụ, trong trọng trường. Chọn hệ tọa độ có gốc tọa độ tại tâm của Trái đất. Tính công của trọng lực khi dịch chuyển một chất điểm từ vị trí 1 đến vị trí 2 bên trên bề mặt Trái đất. Công của trọng lực thực hiện khi chất điểm dịch chuyển một đoạn dl bằng 1 dA = F.dl = -GMm. dr r 2 Công của trọng lực thực hiện khi chất điểm dịch chuyển từ 1 đến 2 bằng r2 dr 1 1 r r A(1 2) = - G Mm = GMm( - ) = GMm 1 2 r 2 r r r r r1 2 1 1 2 Công này chỉ phụ thuộc vào bán kính r1 và r2, nghĩa là chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối, mà không phụ thuộc vào đường đi từ 1 đến 2. Vậy, trọng trường là trường lực thế. Trong trọng trường, chất điểm có thế năng. Theo định lý thế năng, ta có 1 1 A(1 2) = Wt (r1) - Wt (r2) = GMm( - ) r2 r1
  27. - 27 - Từ đây, ta có 1 Wt (r) = -GMm + C r Chọn gốc thế năng tại vô cực, ta có C = 0. Từ đây ta có 1 Wt (r) = -GMm r + Thế năng của chất điểm trong trọng trường đều Nếu chất điểm chuyển động bên trên bề mặt của trái đất, r1 và r2 xấp xỉ bán kính của Trái đất và hiệu của chúng nhỏ, ta có thể coi ở mẫu số của biểu thức trên r1 = r2 = R. Khi đó r1 r2 A(1 2) = GMm = mg(z1 - z2) R2 Với z = r – R Từ đây, ta có thể có biểu thức đối với thế năng Wt (z) = mgz + C Chọn vị trí ban đầu để tính thế năng là gốc tọa độ, đặt ngay tại mặt đất (z = 0). Ta suy ra C = 0 Từ đây, ta có thế năng của một chất điểm ở tại một vị trí z sẽ bằng Wt (z) = mgz + Thế năng trong trường lực đàn hồi Giả sử vật bị biến dạng theo một chiều. Ký hiệu độ biến dạng của vật là x. Ta có F = - kx Khi đó, công do lực đàn hồi thực hiện bằng x2 2 2 A = ( kx)dx = ½k(x1 – x2 ) = Wt (x1) - Wt (x2) x1 Từ đây, suy ra 2 Wt (x) = ½kx + C Chọn gốc thế năng tại vị trí vật không biến dạng (x = 0), thì C = 0. Ta có 2 Wt (x) = ½kx 2.4.4. Định luật bảo toàn cơ năng Cơ năng của một chất điểm là tổng động năng và thế năng của nó. Ta ký hiệu tổng động năng và thế năng (cơ năng) này bằng W = Wđ + Wt . Xét một chất điểm chuyển động trong một trường lực thế. Fg là lực của trường lực thế. Cho rằng có một lực F’, không phải là một lực bảo toàn, tác dụng lên chất điểm trong khi di chuyển. Khi đó tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm sẽ bằng F = F’ + Fg Khi chất điểm dịch chuyển từ vị trí 1 đến vị trí 2, công của lực sẽ bằng A(1 2) = Wđ2 - Wđ1 Có thể biểu diễn A(1 2) = A’(1 2) + Ag(1 2) Với A, A’ và Ag là công của các lực F, F’và Fg, tương ứng.
  28. - 28 - Đối với công của lực bảo toàn, ta có Ag(1 2) = Wt1 - Wt2 Từ đây, ta có A’(1 2) = Wđ2 - Wđ1 - Wt1 + Wt2 Hay, ta có A’(1 2) = (Wđ2 + Wt2) - (Wđ1 + Wt1) = W2 - W1 Trong trường hợp F’= 0, ta có A’(1 2) = 0 Từ đây suy ra W2 = W1 Hay W = Wđ + Wt = const Định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế phát biểu như sau : Khi chất điểm chuyển động trong một trường lực thế, không chịu tác dụng của một lực nào khác, thì cơ năng của chất điểm là một đại lượng bảo toàn. Trọng trường là một trường lực thế, vì vậy trong trọng trường, cơ năng của chất điểm được bảo toàn, do đó W = ½.mV2 + mgz = const Chương 3. Động lực học hệ chất điểm và vật rắn 3.1. Định luật bảo toàn động lượng của hệ chất điểm 3.1.1. Động lượng của hệ chất điểm Tập hợp những chất điểm, được xét như một thể thống nhất, được gọi là một hệ cơ học. Các lực tương tác giữa các chất điểm của hệ gọi là nội lực. Các lực, mà các vật bên ngoài tác dụng lên các chất điểm của hệ, gọi là ngoại lực. Một hệ cơ học, mà trên nó không có ngoại lực tác dụng, được gọi là hệ kín hay hệ cô lập. Nếu ta có một hệ cơ học, bao gồm nhiều chất điểm, thì theo định luật thứ ba của Newton, các lực tương tác giữa các chất điểm đó sẽ bằng nhau và ngược chiều nhau, nghĩa là, tổng hợp nội lực của một hệ chất điểm bằng không. a/ Động lượng của một hệ chất điểm Động lượng của một hệ chất điểm bằng tổng động lượng của tất cả các chất điểm của hệ. Ký hiệu K(t) là động lượng của hệ chất điểm. Ký hiệu m1V1(t) là động lượng của chất điểm thứ nhất, m2V2(t) là động lượng của chất điểm thứ hai, mNVN(t) là động lượng của chất điểm thứ N. Ta có động lượng của hệ chất điểm
  29. - 29 - K(t) = m1V1 (t) + m2V2 (t) + + mNVN (t) b/ Định lý về động lượng của một hệ chất điểm Xét một hệ cơ học bao gồm N chất điểm (vật), mà khối lượng và vận tốc tương ứng của chúng bằng m1, m2, , mN và V1, V2, , VN. Gọi F’1, F’2, , F’N là tổng hợp nội lực tác dụng lên các chất điểm và F1, F2, , FN là tổng hợp ngoại lực tác dụng lên chúng. Viết phương trình định luật thứ hai của Newton đối với hệ : d ( m1V1) = F’1 + F1 dt d ( m2V2) = F’2 + F2 dt d ( mNVN) = F’N + FN dt Cộng từng vế của tất cả các phương trình trên, ta có d ( m1V1 + m2V2 + + mNVN) = F1 + F2 + + FN dt Hay d N K =  Fi = F dt i 1 Đạo hàm theo thời gian của động lượng của hệ chất điểm bằng tổng hợp tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ. 3.1.2. Định luật bảo toàn động lượng của hệ chất điểm Xét hệ gồm N chất điểm. Ta có d N K =  Fi = F dt i 1 Trong trường hợp hệ cô lập hoặc tổng hợp ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0, nghĩa là F = 0 Ta có d d K = ( m1V1 + m2V2 + + mNVN) = 0 dt dt Nghĩa là N K =  miVi = const i 1 Động lượng của một hệ chất điểm cô lập, hoặc có tổng hợp ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0, được bảo toàn, nghĩa là không thay đổi theo thời gian. 3.1.3. Sự bảo toàn động lượng theo phương Phương trình d d K = ( m1V1 + m2V2 + + mNVN) = F dt dt được viết ở dạng véctơ. Nó sẽ đúng khi chiếu nó lên một phương bất kỳ. Cho một véctơ đơn vị s ( s = 1 ), hướng theo một phương nào đó. Khi đó hình chiếu của phương trình đối với véctơ động lượng lên phương s sẽ bằng
  30. - 30 - (s. d K) = (s.F) dt Hay d (s.K) = (s.F) dt Từ đây ta có d Ks = Fs dt Nếu Fs = 0, thì Ks = const. Nếu hình chiếu của tổng hợp ngoại lực lên phương s bằng không, Fs = 0, thì hình chiếu của động lượng lên phương đó được bảo toàn, Ks = const. 3.2. Khối tâm của hệ chất điểm 3.2.1. Định nghĩa Xét một tập hợp gồm N chất điểm, có khối lượng m1, m2, , mN . Tập hợp chất điểm này là một hệ chất điểm. Trong một hệ quy chiếu quán tính nào đó, vị trí của các chất điểm, tại mỗi thời điểm t, được cho bởi các bán kính véctơ r1(t), r2(t), , rN (t). Khi đó, khối tâm của hệ chất điểm là một điểm mà bán kính véctơ của nó được biểu diễn qua bán kính véctơ của tất cả các chất điểm của hệ, theo công thức rC (t) = (m1r1(t) + m2r2(t) + + mNrN(t)) /(m1 + m2 + + mN) Khối tâm của một hệ chất điểm không nhất thiết phải trùng với một điểm nào đó của hệ. Vị trí của khối tâm của hệ chất điểm đặc trưng cho sự phân bố khối lượng của hệ chất điểm đó. Nếu ta chọn một hệ tọa độ mà gốc của nó ở vị trí khối tâm của hệ, thì RC = 0 Từ đó suy ra : trong hệ tọa độ, mà gốc tọa độ là khối tâm, ta có (m1R1 + m2R2 + + mNRN) = 0 3.2.2. Vận tốc của khối tâm Ký hiệu tổng khối lượng của hệ chất điểm bằng M = m1 + m2 + + mN Viết lại biểu thức cho khối tâm của hệ ở dạng M.rC (t) = (m1r1(t) + m2r2(t) + + mNrN(t)) Lấy đạo hàm theo thời gian của biểu thức này và ký hiệu d d d d VC (t) = rC (t), V1(t) = r1(t), V2(t) = r2(t), , VN(t) = rN(t) dt dt dt dt Với VC (t) là vận tốc của khối tâm của hệ V1 (t), V2 (t), , VN (t) là vận tốc của các chất điểm m1, m2, , mN Ta được M.VC (t) = (m1V1(t) + m2V2(t) + + mNVN(t)) Nhưng (m1V1(t) + m2V2(t) + + mNVN(t)) = K(t)
  31. - 31 - là động lượng của hệ chất điểm. Từ đó ta có mối liên hệ giữa động lượng của hệ chất điểm và vận tốc khối tâm M.VC (t) = K(t) Biểu thức trên cho thấy : Động lượng của một chất điểm, đặt tại khối tâm của hệ và có khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ, bằng tổng động lượng của hệ chất điểm. Nếu ta không quan tâm đến chuyển động tương đối của từng chất điểm, mà quan tâm đến chuyển động của cả hệ như một thể thống nhất, ta có thể xem toàn bộ hệ chất điểm như một chất điểm, có vị trí ở vị trí khối tâm, chuyển động với vận tốc bằng vận tốc của khối tâm và có động lượng bằng tổng động lượng của hệ chất điểm. 3.2.3. Phương trình động lực học của khối tâm Lấy đạo hàm biểu thức động lượng của khối tâm d d (MVC) = K dt dt Từ biểu thức của định lý về động lượng của hệ chất điểm d K =  Fi = F dt i Ta thu được phương trình động lực học đối với khối tâm của hệ chất điểm d (MVC) = F dt Nghĩa là, đạo hàm theo thời gian của động lượng của khối tâm của hệ chất điểm (với tổng khối lượng của hệ) bằng tổng hợp tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ. Đối với một hệ cô lập, F = 0, ta có VC = const. Vậy, khối tâm của một hệ cô lập hoặc đứng yên, hoặc chuyển động thẳng đều. Ký hiệu aC là gia tốc của khối tâm của hệ chất điểm, ta có M.aC = F 3.3. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn 3.3.1. Khái niệm vật rắn Vật rắn là một hệ chất điểm trong đó khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ luôn luôn không đổi. Do các chất điểm của một vật rắn không chuyển động tương đối với nhau, ta suy ra rằng tổng hợp các nội lực tác dụng lên một chất điểm bất kỳ bằng 0. Chuyển động của vật rắn phức tạp, nhưng mọi chuyển động của vật rắn bao giờ cũng có thể phân tích thành tổng hợp của hai loại chuyển động cơ bản: chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay. 3.3.2. Động học chuyển động tịnh tiến của vật rắn Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà trong đó một đường thẳng kẻ qua hai chất điểm bất kỳ của vật rắn luôn luôn song song với chính nó.
  32. - 32 - Trong chuyển động tịnh tiến, mọi chất điểm của vật rắn chuyển động hoàn toàn giống nhau. Quỹ đạo chuyển động của tất cả các chất điểm giống nhau. Tại một thời điểm bất kỳ, mọi chất điểm đều có cùng một vận tốc và gia tốc. 3.3.3. Phương trình động lực học chuyển động tịnh tiến của vật rắn Giả thiết rằng vật rắn bao gồm những chất điểm có khối lượng bằng m1, m2, , mi , chịu tác dụng của các ngoại lực F1, F2, , Fi, và chuyển động với cùng một gia tốc a. Viết phương trình định luật thứ hai của Newton đối với hệ : m1a = F1 m2a = F2 mia = Fi Cộng từng vế các phương trình trên, ta có (  mi).a =  Fi = F i i Hay M.a = F Phương trình này có dạng như phương trình chuyển động của một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của tất cả các chất điểm của vật rắn, và chịu tác dụng của một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên hệ. Vậy, phương trình chuyển động tịnh tiến của vật rắn cũng là phương trình chuyển động của khối tâm vật rắn. Vậy, để khảo sát chuyển động tịnh tiến của vật rắn, ta chỉ cần khảo sát chuyển động của khối tâm của nó. 3.4. Định luật bảo toàn mômen động lượng 3.4.1. Mômen động lượng a/ Mômen động lượng của một chất điểm + Đối với một điểm Cho một chất điểm, khối lượng m, chuyển động trong không gian. Cho một điểm O bất kỳ trong không gian. Chất điểm có động lượng là mV. Khi đó ta có định nghĩa về mômen động lượng của một chất điểm đối với một điểm như sau : Mômen động lượng của một chất điểm đối với một điểm là một đại lượng, bằng tích véctơ của bán kính véctơ r, kẻ từ điểm đó đến vị trí của chất điểm, với véctơ động lượng mV của chất điểm. Mômen động lượng của một chất điểm đối với một điểm được ký hiệu là L = [r x mV] Mômen động lượng của một chất điểm đối với điểm O là một véctơ, nằm trên đường thẳng đi qua điểm O, vuông góc với các véctơ r và V, chiều của nó trùng với chiều quay của cái đinh vít khi đuôi quay theo chiều từ r sang V. Trị tuyệt đối của mômen bằng L = r.mV. sin(r,V)
  33. - 33 - Vì r.sin(r,V) = l là khoảng cách ngắn nhất giữa điểm O và đường thẳng chứa véctơ V, nên L = mV.l + Đối với một trục Cho một trục Oz bất kỳ đi qua điểm O. Ký z hiệu véctơ hình chiếu của L lên trục Oz là Lz. Có thể chứng minh rằng, mômen động lượng của L chất điểm đối với mọi điểm trên trục Oz có hình mV chiếu lên trục đó như nhau. Véctơ hình chiếu này Lz được gọi là mômen động lượng của chất điểm đối với trục Oz. l Mômen động lượng của một chất điểm đối với một trục là véctơ hình chiếu lên trục đó O r của mômen động lượng của chất điểm đối với một điểm bất kỳ trên trục. b/ Mômen động lượng của hệ chất điểm + Đối với một điểm Mômen động lượng của hệ chất điểm đối với một điểm bằng tổng các mômen động lượng của tất cả các chất điểm của hệ đối với điểm đó. Cho một hệ chất điểm lần lượt có khối lượng m1, m2, , mi, và chuyển động với những vận tốc V1, V2, , Vi, . Mômen động lượng của chất điểm mi đối với điểm O bằng Li = [ri x miVi] Với ri là véctơ kẻ từ O đến chất điểm i. Mômen động lượng của hệ chất điểm đối với điểm O bằng L =  Li =  [ri x miVi] i i + Đối với một trục Mômen động lượng của một hệ chất điểm đối với một trục bằng tổng các mômen động lượng của tất cả các chất điểm của hệ đối với trục đó. Lz =  Liz i 3.4.2. Mômen lực a/ Mômen lực tác dụng lên một chất điểm đối với một điểm Mômen lực tác dụng lên một chất điểm đối với một điểm là đại lượng, bằng tích véctơ của bán kính véctơ r, kẻ từ điểm đó đến vị trí của chất điểm, với véctơ lực tác dụng lên chất điểm. Mômen lực được ký hiệu bằng M M = [r x F] b/ Mômen lực tác dụng lên một chất điểm đối với một trục Mômen lực tác dụng lên chất điểm đối với một trục là thành phần theo trục đó của mômen lực đối với một điểm bất kỳ trên trục. 3.4.3. Định lý về mômen động lượng a/ Định lý về mômen động lượng của một chất điểm đối với một điểm
  34. - 34 - Xét một chất điểm khối lượng m, chuyển động trong một hệ quy chiếu quán tính, trong hệ tọa độ gốc tại O dưới tác dụng của một lực F. Mômen động lượng của chất điểm bằng L = [r x mV] Mômen lực tác dụng lên chất điểm bằng M = [r x F] Viết phương trình của định luật Newton thứ hai d (mV) = F dt Nhân véctơ hai vế của phương trình với r, ta được [r x d (mV)] = [r x F] dt Biểu thức trên có thể viết lại d [r x mV] - [ d r x mV] = [r x F] dt dt Hay d L - [ d r x mV] = M dt dt Do [ d r x mV] = [V x mV] = 0 dt Nên d L = M dt Trong trường hợp chất điểm chịu tác dụng của nhiều lực, thì M là mômen của tổng hợp tất cả các lực. Biểu thức này được gọi là định lý về mômen động lượng của một chất điểm đối với một điểm và được phát biểu như sau : Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của một chất điểm đối với một điểm bằng mômen của tổng hợp các lực tác dụng lên chất điểm đối với điểm đó. Biểu thức trên là một dạng tương đương của phương trình cơ bản của cơ học chất điểm. b/ Định lý về mômen động lượng của một hệ chất điểm đối với một điểm Theo định lý về mômen động lượng của một chất điểm, ta có d Li = Mi dt Với Li = [ri x miVi] Và Mi = [ri x Fi] Cộng từng vế phương trình trên theo tất cả các chất điểm của hệ, ta có
  35. - 35 - d  Li =  Mi i dt i Vế trái của phương trình, được biến đổi thành d d d  Li =  Li = L i dt dt i dt là đạo hàm theo thời gian của tổng mômen động lượng của hệ đối với điểm O đã chọn. Ký hiệu M là tổng mômen lực, tác dụng lên các chất điểm của hệ, đối với điểm O đó, vế phải của phương trình có thể biểu diễn bằng M =  Mi i Ký hiệu Fi = Fi’ + Fi* Với Fi’ và Fi* tương ứng là tổng hợp các nội lực và ngoại lực tác dụng lên chất điểm i. Khi đó, ta có M =  [ri x (Fi’ + Fi*)] =  [ri x Fi’] +  [ri x Fi*] i i i Tổng sẽ chứa các số hạng dạng M’ =  [ri x Fi’] =  [ri x  fji] =   [ri x fji] i i j i j Tổng này gồm các cặp số hạng, chứa fij = - fji, mômen của chúng đối nhau, cho tổng bằng 0. Nghĩa là, trong M chỉ chứa mômen của các ngoại lực. Cuối cùng, ta thu được d L = M dt Biểu thức này được gọi là định lý về mômen động lượng của một hệ chất điểm đối với một điểm và được phát biểu như sau : Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của một hệ chất điểm, đối với một điểm bất kỳ, bằng tổng mômen ngoại lực tác dụng lên hệ đối với điểm ấy. c/ Định lý về mômen động lượng của hệ chất điểm đối với một trục Từ định lý về mômen động lượng của một hệ chất điểm đối với một điểm, ký hiệu Lz là mômen động lượng của một hệ chất điểm đối với một trục (Oz) và Mz là tổng mômen ngoại lực tác dụng lên hệ chất điểm đối với một trục đó, ta có d Lz = Mz dt Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của một hệ chất điểm, đối với một trục cố định, bằng tổng mômen ngoại lực tác dụng lên hệ đối với trục ấy. 3.4.4. Định luật bảo toàn mômen động lượng a/ Định luật bảo toàn mômen động lượng của hệ chất điểm đối với một điểm Ta có định lý về mômen động lượng của hệ chất điểm đối với một điểm d L = M dt
  36. - 36 - Nếu một hệ chất điểm không chịu tác dụng của bất kỳ ngoại lực nào, nghĩa là hệ cô lập, hoặc có tổng mômen các ngoại lực đối với một điểm bằng không, nghĩa là M = 0 thì ta có d L = 0 dt Từ đây suy ra L = const Đối với một hệ chất điểm cô lập hoặc có tổng mômen các ngoại lực đối với một điểm bằng không thì tổng mômen động lượng của hệ đối với điểm ấy là một đại lượng bảo toàn. b/ Định luật bảo toàn mômen động lượng của hệ chất điểm đối với một trục cố định Trường hợp hệ chất điểm quay quanh một trục cố định d Lz = Mz dt Khi tổng mômen ngoại lực đối với trục quay bằng không, ta có Lz = const Đối với một hệ chất điểm quay quanh một trục cố định, có tổng mômen các ngoại lực đối với trục quay bằng không, thì tổng mômen động lượng của hệ đối với trục quay ấy là một đại lượng bảo toàn. 3.5. Chuyển động quay của vật rắn Xét trường hợp một vật rắn được cố định tại một điểm O. Giả sử ban đầu vật đứng yên. Muốn vật thay đổi trạng thái chuyển động, cần có tác động từ bên ngoài. Ta tác dụng một lực F cho mục đích này. Thực tế cho thấy, khi đường tác dụng của lực F đi qua điểm O, lực này không làm quay vật rắn. Chỉ có những lực, mà đường tác dụng không đi qua điểm O có thể làm vật rắn quay. Trong trường hợp này, lực F gây ra sự quay của vật rắn quanh một trục đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tác dụng lực và điểm O. Mức độ tác động của lực này phụ thuộc vào tích của lực F với cánh tay đòn của lực, được gọi là mômen lực. Như vậy, chuyển động quay của vật rắn liên quan đến các đại lượng mômen. 3.5.1. Động học chuyển động quay của vật rắn Chuyển động của một vật rắn trong một hệ quy chiếu quán tính (hệ quy chiếu K) có thể được xem xét bằng cách gắn với vật rắn một hệ quy chiếu (hệ quy chiếu K’) mà trong đó vật rắn đứng yên. Khi đó, xem xét chuyển động của vật rắn có thể thông qua xem xét chuyển động của hệ quy chiếu K’. Hệ quy chiếu K’ có thể chuyển động tịnh tiến hoặc/và chuyển động quay so với K. Chuyển động quay của vật rắn có thể được coi là chuyển động quay của hệ quy chiếu K’. Chuyển động quay của vật rắn có thể là chuyển động quay quanh một trục cố định, hoặc là chuyển động quay quanh một điểm cố định. Chuyển động quay quanh một điểm cố định của vật rắn có thể coi là chuyển
  37. - 37 - động quay quanh một trục tức thời, và trục này đồng thời lại quay quanh một trục khác. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định là chuyển động, mà trong đó có hai điểm trong hệ quy chiếu gắn với vật rắn cố định. Đường thẳng nối hai điểm cố định trên được gọi là trục quay. Khi vật rắn quay quanh một trục cố định, quỹ đạo của tất cả các chất điểm của vật rắn là những đường tròn có tâm nằm trên trục quay. Sau một khoảng thời gian t nào đó mọi chất điểm của vật rắn đều quay được cùng một góc , và như vậy, có cùng một vận tốc góc  và gia tốc góc . 3.5.2. Chuyển động quay của một hệ chất điểm quanh một trục cố định Xét một hệ chất điểm quay xung z quanh một trục cố định, ví dụ trục Oz. Khi đó, quỹ đạo của chất điểm i  bất kỳ của hệ là đường tròn nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục quay có tâm nằm trên trục quay. Ký hiệu V , m, R và r là vận tốc góc, khối R lượng, bán kính đường tròn quỹ đạo m và độ lớn của bán kính véctơ kẻ từ một điểm bất kỳ trên trục, với chỉ số L i đối với chất điểm i. r Mômen động lượng của chất điểm i đối với trục quay này bằng Liz = rimiVicosαi = RimiVi Sử dụng hệ thức 0 Vi = Rii Và ký hiệu 2 Ii = miRi Ta được 2 Liz = miRi i = Iii Vì chiều của véctơ Liz trùng với chiều của i, nên có thể biểu diễn Liz = Ii i Khi đó, mômen động lượng của hệ chất điểm bằng LZ =  Ii i i 3.5.3. Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định Theo định lý về mômen động lượng của hệ chất điểm đối với một trục, ta có d LZ = MZ dt Đối với một vật rắn, ta có
  38. - 38 - LZ =  Ii i =  Ii  i i Gọi 2 I =  Ii =  miRi i i là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay, ta có d (I) = MZ dt Trong trường hợp mômen quán tính I không phụ thuộc vào thời gian, ta có I = MZ Phương trình trên là phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn, phát biểu như sau : Gia tốc góc trong chuyển động quay của vật rắn quanh một trục tỉ lệ thuận với tổng mômen các ngoại lực đối với trục quay, tác dụng lên vật rắn và tỉ lệ nghịch với mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay.  = MZ/I 3.5.4. Mômen quán tính Mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay được tính bằng công thức 2 I =  miRi i Nếu khối lượng vật rắn phân bố liên tục thì bán kính Ri của chất điểm cũng sẽ thay đổi liên tục, tổng theo i trở thành tổng vô hạn thành phần, nó sẽ biến thành một tích phân. Chia vật rắn thành vô số yếu tố khối lượng dm, cách trục một khoảng R, ta có công thức tính mômen quán tính của vật rắn đối với trục đó như sau I = ∫R2 dm Tích phân được lấy trên toàn bộ không gian chứa vật rắn. Nếu khối lượng của vật rắn được cho thông qua khối lượng riêng , ta có I = ∫R2 dV Mômen quán tính của một số vật rắn : a/ Mômen quán tính của một thanh đồng chất, có chiều dài l, có khối lượng M, đối với trục o đi qua trung điểm của thanh 2 Io = Ml /12 b/ Mômen quán tính của một đĩa đồng chất, có bán kính R, có khối lượng M, đối với trục o đi qua tâm đĩa 2 Io = MR /2 c/ Mômen quán tính của một bản đồng chất, hình chữ nhật kích thước a x b, có khối lượng M, đối với trục o đi qua tâm bản 2 2 Io = M (a + b )/12 d/ Mômen quán tính của một vành khuyên tròn đồng chất, có bán kính trong R1, bán kính ngoài R2, khối lượng M, đối với trục o đi qua tâm 2 2 Io = M (R1 + R2 )/2 e/ Mômen quán tính của một quả cầu đồng chất, có bán kính R, có khối lượng M, đối với trục o đi qua tâm 2 Io = 2.MR /5
  39. - 39 - Trong trường hợp phải tính mômen quán tính đối với một trục bất kỳ, ta có thể áp dụng định lý Stêne – Huyghen, phát biểu như sau : Mômen quán tính của một vật rắn đối với một trục bất kỳ bằng mômen quán tính của vật đối với trục o, song song với , đi qua khối tâm C của vật cộng với tích của khối lượng của vật với bình phương khoảng cách d giữa hai trục 2 I = Io + Md 3.6. Cơ năng của vật rắn 3.6.1. Động năng của vật rắn trong chuyển động tịnh tiến Trong chuyển động tịnh tiến, tất cả các chất điểm của vật rắn đều chuyển động với cùng một vận tốc V. Động năng của một chất điểm i của vật rắn khi đó bằng 2 Wđi = ½.miV Động năng của cả vật rắn bằng 2 2 Wđ = Wđi = ½.(m1 + m2 + + mn)V = ½.mV i Với m = m1 + m2 + + mn 3.6.2. Động năng của vật rắn trong chuyển động quay Xét một vật rắn quay quanh một trục cố định Oz. Ta giả định chia vật rắn thành những thể tích nhỏ với khối lượng m1, m2, , mn, ở những khoảng cách R1, R2, , Rn cách trục. Gọi V1, V2, , Vn là vận tốc của những thành phần này. Động năng của hệ này sẽ bằng tổng động năng của những thành phần cấu tạo, do đó 2 2 2 2 Wđ = ½.m1V1 + ½.m2V2 + + ½.mnVn =  ½.miVi i Nhưng Vi = Ri . Do đó 2 2 1 2 Wđ = ½.  miRi  = I i 2 3.6.3. Động năng của vật rắn trong chuyển động bất kỳ Xét một vật rắn chuyển động trong một hệ quy chiếu quán tính nào đó. Ký hiệu vận tốc của chất điểm mi của vật rắn trong hệ quy chiếu này là Vi. Động 2 năng của chất điểm này bằng ½.m iVi . Gắn với vật rắn một hệ quy chiếu, mà trong đó vật rắn bất động. Khi đó Vi = u + [ri’] Biểu thức động năng của vật rắn khi đó có dạng 2 Wđ = ½.m iVi = ½ m i[u + [ri’]][u + [ri’]] i i 2 2 = ½ m i{u + ([ri’]) + 2(u[ri’])} i Do 2 2 2 2 ([ri’]) = (r’i sin i) =  R’i
  40. - 40 - Nên 2 2 2 Wđ = ½ m iu + ½ m iR’i  + (u[  m iri’]) i i i Nếu gốc của hệ tọa độ gắn với vật rắn được chọn tại khối tâm, với vận tốc khối tâm của vật rắn là VC, ta có 2 2 2 2 2 Wđ = ½. miVC + ½.  miRi  = ½.mVC + ½.I i i Trong trường hợp tổng quát, động năng của vật rắn có thể biểu diễn là tổng của động năng của chuyển động tịnh tiến của khối tâm và động năng của chuyển động quay quanh trục đi qua khối tâm. Nghĩa là 2 2 Wđ = ½.mV + ½.I 3.6.4. Thế năng của vật rắn trong trọng trường đều Trong trọng trường đều, thế năng của một chất điểm i của vật rắn bằng Wti = migzi Thế năng của cả vật rắn bằng Wt =  Wti = g mizi i i Ký hiệu tọa độ z của khối tâm của vật rắn là zC, ta có zC =  mizi/m i Từ đây Wt = mgzC Cơ năng của vật rắn khi đó bằng 2 2 W = Wđ + Wt = ½.mV + ½.I + mgzC Cơ năng này được bảo toàn, nghĩa là 2 2 W = Wđ + Wt = ½.mV + ½.I + mgzC = const 3.7. Chuyển động song phẳng. Chuyển động lăn không trượt của vật rắn 3.7.1. Chuyển động song phẳng của vật rắn Khảo sát chuyển động của vật rắn khi điểm đặt của lực tác dụng lên vật rắn là một điểm bất kỳ là một việc khá phức tạp. Đơn giản hơn, nếu ta xem xét chuyển động song phẳng của vật rắn. Chuyển động song phẳng của một vật rắn là chuyển động mà trong đó tất cả các chất điểm của vật chuyển động trên những mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng cố định cho trước. Trong chuyển động song phẳng, bất kỳ một sự dịch chuyển nào của vật rắn cũng có thể biểu diễn là tổ hợp của một chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay quanh một trục nào đó, và vận tốc góc của chuyển động quay này không phụ thuộc vào việc chọn trục quay, nghĩa là không phụ thuộc vào hệ tọa độ ta chọn. Ta có thể biểu diễn vận tốc của một điểm B bất kỳ của vật rắn VB = VA +[ RB] Trong trường hợp ta chọn trục quay đi qua khối tâm của vật, ta có VB = VC +[ RB]
  41. - 41 - Hay, đối với một điểm bất kỳ V = VC +[ R] Như vậy, có thể biểu diễn một dịch chuyển bất kỳ bằng tổng hợp của một chuyển động tịnh tiến của vật rắn với vận tốc VC, và chuyển động quay quanh trục đi qua khối tâm với vận tốc góc . Phương trình mô tả dịch chuyển đó có dạng ma = F d I0 = M dt 3.7.2. Chuyển động lăn không trượt của vật rắn Khi vật rắn quay quanh một trục nằm ngang và bề mặt của nó tiếp xúc với một mặt phẳng, ta có chuyển động lăn. Chuyển động lăn không trượt của vật rắn là chuyển động lăn của vật rắn, mà trong đó điểm tiếp xúc của vật rắn với bề mặt, mà nó lăn trên đó, không dịch chuyển trên bề mặt. Xét một vành bánh xe bán kính R lăn không trượt với vận tốc góc  trên một mặt phẳng. Trong khi lăn, khối tâm của vật dịch chuyển với vận tốc VC. Sau một khoảng thời gian t khối tâm của vật đi được một quãng đường S = VC. t Sau khoảng thời gian này, điểm tiếp xúc của vật với bề mặt cũng dịch chuyển được một khoảng đúng bằng như vậy, và bằng S = R. t Từ đây, suy ra VC = R Lấy đạo hàm theo thời gian biểu thức trên, ta được aC = R Như vậy, trong chuyển động lăn không trượt của bánh xe, vận tốc, gia tốc của chuyển động tịnh tiến của khối tâm có mối liên hệ với vận tốc góc, gia tốc góc của chuyển động quay quanh trục đi qua khối tâm, biểu diễn qua các hệ thức trên. 3.7.3. Sự bảo toàn mômen động lượng của vật rắn Đối với một vật rắn quay quanh một trục cố định Oz, ta có d d Lz = (I) = Mz dt dt Khi tổng mômen ngoại lực đối với trục quay bằng không, ta có Lz = I = const Từ đây suy ra  = const 3.8. Va chạm Va chạm là sự tương tác trực tiếp của các vật, mà sau một khoảng thời gian cực ngắn, vận tốc của chúng thay đổi đáng kể.
  42. - 42 - 3.8.1. Va chạm đàn hồi Va chạm đàn hồi là va chạm mà trong đó tổng động năng của hệ được bảo toàn. Xét va chạm của hai quả cầu nhỏ (chất điểm) chuyển động trên đường thẳng nối hai tâm của chúng, và cũng chuyển động trên đường thẳng này sau va chạm. Va chạm như vậy gọi là va chạm xuyên tâm. Ký hiệu vận tốc của hai quả cầu khối lượng m1 và m2 trước va chạm là V1 và V2, còn sau va chạm là V1’ và V2’. Trong va chạm xuyên tâm, trước và sau va chạm vận tốc của các quả cầu đều nằm trên đường thẳng nối tâm của chúng. Ap dụng định luật bảo toàn động lượng, ta có m1.V1 + m2.V2 = m1.V’1 + m2.V’2 Từ điều kiện bảo toàn tổng động năng của hệ, ta có 2 2 2 2 ½.m1.V1 + ½.m2.V2 = ½.m1.V’1 + ½.m2.V’2 Thực hiện một số biến đổi các công thức trên, ta được m1.(V1 - V’1 ) = m2 .(V’2 - V2 ) 2 2 2 2 m1.(V1 - V’1 ) = m2 .(V’2 - V2 ) Từ đây suy ra V1 + V’1 = V2 + V’2 Giải hệ phương trình m1.(V1 - V’1) = m2 .(V’2 - V2) V1 + V’1 = V’2 + V2 Ta thu được kết quả (m1 m2 )V1 2m2V2 V1’ = m1 m2 (m2 m1 )V2 2m1V1 V2’ = m1 m2 3.8.2. Va chạm mềm Va chạm mềm là va chạm hoàn toàn không đàn hồi, sau va chạm cả hai chất điểm dính kết với nhau và cùng chuyển động như một thể thống nhất. Xét hai quả cầu bằng chất dẻo va chạm nhau. Ký hiệu khối lượng của chúng là m1 và m2, vận tốc của chúng trước va chạm là V1 và V2, còn sau va chạm chúng cùng chuyển động với vận tốc V’. Ap dụng định luật bảo toàn động lượng, ta có m1.V1 + m2.V2 = (m1 + m2).V’ Từ đây, ta có V’ = (m1.V1 + m2.V2 )/(m1 + m2) Động năng của hệ trước va chạm bằng 2 2 Wđ = ½.m1.V1 + ½.m2.V2 Động năng của hệ sau va chạm bằng 2 2 Wđ’ = ½.(m1 + m2).V’ = ½.(m1.V1 + m2.V2 ) /(m1 + m2) Sau va chạm, động năng của hệ thay đổi một lượng bằng 2 Wđ = Wđ’ - Wđ = - ½.m1.m2/(m1 + m2)(V1 - V2)
  43. - 43 - Vậy sau va chạm động năng của hệ giảm một lượng, tối đa bằng Wđ , biểu diễn bằng biểu thức trên. Nếu trước va chạm vật thứ hai đứng yên (V2 = 0), ta có V’ = m1/(m1 + m2)V1 2 Wđ = - ½.m1.m2/(m1 + m2)V1 = - m2/(m1 + m2)Wđ Chương 4. Cơ học chất lưu 4.1. Các khái niệm 4.1.1. Chất lưu Chất lưu là những chất không có hình dạng cố định và có thể chảy được. Chất lưu gồm các chất lỏng và khí. Chuyển động của chất lưu gọi là chảy. Khi chảy, chất lưu phân thành từng lớp, giữa các lớp có tương tác với nhau. Lực tương tác này được gọi là lực nội ma sát hay lực nhớt. Dưới tác dụng của lực nhớt, vận tốc của các lớp chất lưu không bằng nhau. Chất lưu không nén được và không có lực nhớt được gọi là chất lưu lý tưởng. Trái lại là chất lưu thực. 4.1.2. Đường dòng và ống dòng Đường dòng là những đường mà tiếp tuyến với nó tại mỗi điểm trùng với véctơ vận tốc của phần tử chất lưu tại điểm đó. Đường dòng chính là quỹ đạo của phần tử chất lưu. Ống dòng là tập hợp các đường dòng tựa trên một đường cong kín bất kỳ. Chuyển động của chất lưu được gọi là dừng, nếu như dạng và phân bố các đường dòng, cũng như giá trị của vận tốc tại mọi điểm của nó không thay đổi theo thời gian. 4.1.3. Khối lượng riêng và áp suất Khối lượng riêng tại một điểm trong chất lưu được định nghĩa là = dm dVTT Trong đó, dVTT là yếu tố thể tích bao quanh điểm đang xét và dm là khối lượng của chất lưu chứa trong yếu tố thể tích đó. Nếu chất lưu là đồng nhất và không nén được thì = const. Khi đó = m VTT Trong hệ SI, đơn vị của khối lượng riêng là kg/cm3. Áp suất do chất lưu gây ra tại một điểm nào đó bằng dF p = n dS Trong đó, Fn là áp lực do chất lưu tác dụng theo hướng vuông góc vào diện tích dS đặt tại điểm xem xét. Nếu áp suất tại mọi điểm trên diện tích S đều như nhau, thì
  44. - 44 - F p = n S Trong hệ SI, đơn vị của áp suất là pascal (Pa). Pa = N/m2. 4.2. Phương trình liên tục Xét một chất lưu lý tưởng, chảy trong một ống dòng bất kỳ. Ký hiệu V1 và V2 là vận tốc của chất lưu tại hai tiết diện thẳng S1 và S2 bất kỳ của ống dòng. Lượng chất lưu đã chảy qua diện tích S1 và S2 trong thời gian dt là dm1 = S1V1dt dm2 = S2V2dt Do chất lưu không bị nén và dòng chảy là liên tục, nên dm1 = dm2. Từ đây, ta có S1V1 = S2V2 Hay SV = const Phương trình này là phương trình liên tục của chất lưu : Vận tốc của dòng chảy tỉ lệ nghịch với tiết diện thẳng của ống dòng. 4.3. Phương trình Bernoulli Xét một khối chất lưu lý tưởng chuyển động dừng, chứa trong một phần ống dòng, giới hạn bởi các tiết diện S1 và S2. Ký hiệu V1 là vận tốc chất lưu tại tiết diện S1, p1 là áp suất và h1 là độ cao của tiết diện tại đó. Ký hiệu V2 là vận tốc chất lưu tại tiết diện S2, p2 là áp suất và h2 là độ cao của tiết diện tại đó. Chất lưu chuyển theo hướng từ S1 đến S2. Sau một khoảng thời gian t chất lưu chảy và tiết diện S1 chuyển đến S’1, còn S2 chuyển đến S’2. Theo định luật bảo toàn năng lượng, độ biến thiên năng lượng W2 – W1 cần phải bằng công của ngoại lực thực hiện khi dịch chuyển chất lưu W2 – W1 = A Mặt khác, A là công thực hiện khi dịch chuyển khối chất lưu chứa ở giữa hai tiết diện S1 và S2. Công này bằng A = p1S1l1 - p2S2l2 Với l1 và l2 là độ dài dịch chuyển của các tiết diện trong khoảng thời gian t. Vì các độ dài dịch chuyển này rất nhỏ, nên có thể xấp xỉ l1 = V1 t và l2 = V2 t Còn năng lượng W của chất lưu là tổng của động năng và thế năng W = ½ mV + mgh Từ đây, ta có 2 2 ½ mV1 + mgh1 + p1S1V1 t = ½ mV2 + mgh2 + p2S2V2 t Từ phương trình liên tục của chất lưu, ta có VTT = S1V1 t = S2V2 t Chia hai vế biểu thức ở trên cho VTT, ta được 2 2 ½ V1 + gh1 + p1 = ½ V2 + gh2 + p2
  45. - 45 - Từ đây ta thu được phương trình Bernoulli ½ V2 + gh + p = const Trong công thức trên, p được gọi là áp suất tĩnh, ½ V2 được gọi là áp suất động, còn gh được gọi là áp suất thủy tĩnh. Nếu chất lưu không chảy, ta có p + gh = const Đối với một ống dòng nằm ngang (h1 = h2) phương trình có dạng p + ½ V2 = const 4.4. Hiện tượng nhớt. Định luật Newton Nhớt, hay nội ma sát, là tính chất của chất lưu thực có xu hướng chống lại sự dịch chuyển của lớp chất lưu này đối với các lớp chất lưu khác. Khi có sự dịch chuyển của một số lớp chất lưu thực so với những lớp khác, xuất hiện lực nội ma sát, hướng theo tiếp tuyến của bề mặt các lớp. Tác dụng của lực này thể hiện ở chổ, từ phía lớp dịch chuyển nhanh có một lực gia tốc tác dụng lên lớp dịch chuyển chậm, còn từ phía lớp dịch chuyển chậm có một lực cản tác dụng lên lớp dịch chuyển nhanh. Lực nội ma sát F sẽ càng lớn nếu diện tích của bề mặt xem xét S càng lớn, và phụ thuộc vào mức độ thay đổi của dòng chảy chất lưu khi chuyển từ lớp này qua lớp khác. Nếu hai lớp chất lưu cách nhau một khoảng x, chuyển động với vận tốc V1 và V2, với độ chênh lệch vận tốc giữa hai lớp V = V2 – V1, thì độ lớn của lực nội ma sát được biểu diễn bằng công thức V F =  S x Ở đây,  được gọi là hệ số nhớt động lực, phụ thuộc vào bản chất của chất lưu. Công thức trên là biểu thức của định luật Newton. 4.5. Dòng chảy tầng và dòng chảy rối. Số Reynolds Tồn tại hai chế độ chảy của chất lưu. Chế độ chảy thứ nhất là khi dọc theo dòng, từng lớp mỏng chất lưu trượt trên các lớp khác, mà không trộn lẫn với nhau. Chế này được gọi là dòng chảy tầng. Khi trong dòng chảy có sự trộn lẫn chất lưu của những lớp khác nhau, chế độ chảy được gọi là dòng chảy rối. Chế độ chảy tầng xảy ra khi vận tốc chuyển động của các hạt chất lưu không lớn lắm. Lớp chất lưu ngoài cùng, tiếp xúc với thành ống, đứng yên. Càng vào trong ống, vận tốc chất lưu càng tăng. Lớp chất lưu chuyển động dọc trục ống có vận tốc lớn nhất. Trong chế độ chảy rối, các hạt của chất lưu có thêm thành phần vận tốc, vuông góc với dòng chảy, do đó chúng có thể chuyển từ lớp này sang lớp khác. Vận tốc của chúng tăng rất nhanh khi rời xa thành ống, còn sau đó thì tăng không đáng kể. Vì các hạt chất lưu có thể chuyển từ lớp này sang lớp khác, nên vận tốc của các lớp khác biệt nhau rất ít. Tính chất của dòng chảy phụ thuộc vào một đại lượng không thứ nguyên, được gọi là số Reynolds, bằng
  46. - 46 - V d V d Re = tb = tb   Với  = / được gọi là hệ số nhớt động học, V là vận tốc trung bình theo tiết diện ống, còn d là kích thước đặc trưng của ống (đường kính ống). Khi số Reynolds có giá trị nhỏ (Re 1000) dòng chảy theo chế độ chảy tầng. Khi 1000 Re 2300, dòng chảy chuyển từ chế độ chảy tầng sang chế độ chảy rối. Khi số Reynolds có giá trị lớn (Re 2300) chế độ chảy của dòng là chảy rối.
  47. - 47 - Phần 2. NHIỆT HỌC Nhiệt học nghiên cứu những hệ cấu tạo từ vô vàn những phần tử vô cùng nhỏ - nguyên tử, phân tử, ion. Những hệ này được gọi là những hệ nhiệt động. Chương 5. Khí lý tưởng 5.1. Các khái niệm 5.1.1. Phương pháp thống kê và phương pháp nhiệt động Số các phân tử (hay nguyên tử) trong một vật bất kỳ rất lớn. Ví dụ, 1 cm3 khí ở điều kiện bình thường chứa cỡ 1019 phân tử. Nếu cho rằng, chuyển động của một phân tử (hay nguyên tử) tuân theo định luật Newton thứ hai, thì với số các phân tử như trên, không thể nói đến việc tìm lời giải của hệ phương trình chuyển động của các hạt riêng rẽ, mà thậm chí còn không thể mô tả chúng. Vì vậy, không thể sử dụng các phương pháp của cơ học cổ điển để nghiên cứu hành vi của các phân tử của các vật. Để nghiên cứu các tính chất vĩ mô của những hệ cấu tạo từ số rất lớn các hạt, người ta có thể sử dụng phương pháp thống kê. Phương pháp thống kê dựa trên lý thuyết xác suất và những mô hình cụ thể của các hệ mà ta nghiên cứu. Trong tổng thể hành vi của một tập hợp từ một số rất lớn các hạt, có thể hiện những quy luật đặc biệt, gọi là những quy luật thống kê. Trong một hệ như vậy, tồn tại những giá trị trung bình nào đó của các đại lượng vật lý đặc trưng cho toàn bộ các hạt như một tổng thể. Tất cả các tính chất của một hệ các hạt, không những do các tính chất cá nhân của chính các hạt gây ra, mà còn do các đặc điểm của những chuyển động như một tổng thể của chúng, và các giá trị trung bình của các đặc trưng động học của chúng gây ra. Ngoài phương pháp thống kê, để nghiên cứu các hệ nhiệt động, còn tồn tại phương pháp nhiệt động học. Trong phương pháp này, người ta không tính đến cấu tạo bên trong của các hệ và đặc tính của chuyển động của các hạt riêng rẽ. Phương pháp nhiệt động học dựa trên việc nghiên cứu các chuyển hóa năng lượng khác nhau, xảy ra trong các hệ. Điều kiện xảy ra các chuyển hóa năng lượng này và mối tương quan giữa các dạng khác nhau của năng lượng cho phép rút ra các tính chất vật lý của các hệ trong những quá trình đa dạng nhất mà hệ tham gia. 5.1.2. Tham số trạng thái và phương trình trạng thái a/ Các tham số (thông số) trạng thái Vật chất có thể tồn tại ở một trong các trạng thái rắn, lỏng, khí. Ở những điều kiện khác nhau, một vật có thể ở những trạng thái khác nhau. Trong cùng những điều kiện không đổi nhất định, vật luôn luôn ở cùng một trạng thái. Vật được xem xét trong các điều kiện vật lý cụ thể, gọi là các trạng thái của vật. Để xác định một cách rõ ràng trạng thái của một vật, người ta đưa ra một số đặc trưng, gọi là các thông số trạng thái của vật. Các thông số này còn được
  48. - 48 - gọi là các thông số trạng thái của một hệ nhiệt động. Vậy, các thông số trạng thái, hay còn gọi là các thông số nhiệt động, là những đại lượng vật lý dùng để mô tả trạng thái của một hệ nhiệt động. Các thông số này còn được gọi là các thông số vĩ mô. Chúng xác định tính chất của một hệ nhiệt động. Khi giá trị các thông số này thay đổi, ta nói rằng trạng thái của hệ thay đổi. Số lượng những thông số trạng thái, cần để mô tả trạng thái của hệ một cách đơn trị và đầy đủ, không nhiều lắm. Đối với chất khí, những thông số cơ bản được chọn thông thường là : lượng chất, áp suất, thể tích và nhiệt độ. + Áp suất Áp suất là một đại lượng vật lý, có giá trị bằng lực nén vuông góc lên một đơn vị diện tích của bề mặt. Nếu ký hiệu F là giá trị của lực nén vuông góc lên diện tích S, thì áp suất p bằng p = F/S Trong hệ SI, áp suất được đo bằng đơn vị pascal (Pa). 1 Pa = 1 N/m2. Ngoài ra, người ta còn sử dụng các đơn vị sau để đo áp suất : - Atmốtphe kỹ thuật (gọi là átmốtphe, ký hiệu là at): 1 at = 9,81. 104 N/m2 = 9,81. 104 Pa. - Milimét thuỷ ngân (ký hiệu là mm Hg). Một mm Hg bằng áp suất tạo bởi một cột thuỷ ngân cao 1 mm. Ta có mối liên hệ giữa átmốtphe và milimét thuỷ ngân như sau : 1 at = 736 mm Hg + Nhiệt độ Nhiệt độ là một đại lượng vật lý, đặc trưng cho tính chất vĩ mô của vật, thể hiện mức độ nhanh chậm của chuyển động hỗn loạn của các phần tử của vật đó trong trạng thái cân bằng nhiệt động. Nhiệt độ được đo trong một số thang nhiệt độ, mà thông dụng nhất là thang nhiệt độ bách phân và thang nhiệt độ nhiệt động học. Trong thang nhiệt độ bách phân, nhiệt độ được ký hiệu là t và được đo bằng đơn vị độ C (0C). Thang nhiệt độ này có các khoảng chia bằng nhau và dựa trên quy ước, rằng tại áp suất bình thường 1,0135. 105 Pa, nhiệt độ tan của nước đá là 00C và nhiệt độ sôi của nước là 1000C. Trong thang nhiệt độ nhiệt động học còn gọi là nhiệt độ tuyệt đối, nhiệt độ được ký hiệu là T và được đo bằng đơn vị kelvin (K). Thang nhiệt độ này được xác định theo điểm mốc là nhiệt độ mà tại đó nước đá, nước và hơi nước ở áp suất 609 Pa ở trạng thái cân bằng nhiệt động. Nhiệt độ này được cho bằng 273,16 K. Độ chia thang nhiệt độ nhiệt động học bằng độ chia của thang nhiệt độ bách phân. Theo thang nhiệt độ nhiệt động học thì nhiệt độ tan của nước đá ở cùng điều kiện áp suất bình thường là 273,15 K. Như vậy, cùng một nhiệt độ nhưng đo ở hai thang nhiệt độ khác nhau, thì giá trị của nhiệt độ đó, biểu diễn ở hai thang, liên hệ với nhau qua biểu thức T = 273,15 + t Hay xấp xỉ T = 273 + t Trong hệ SI, nhiệt độ được đo bằng đơn vị kelvin (K).
  49. - 49 - b/ Phương trình trạng thái Các thông số trạng thái của một hệ không phải là độc lập với nhau. Khi một thông số trạng thái này thay đổi, có thể gây nên sự thay đổi của thông số trạng thái khác. Nghĩa là tồn tại mối liên hệ giữa các thông số trạng thái của một hệ. Những biểu thức liên hệ giữa các thông số trạng thái của một hệ được gọi là phương trình trạng thái của hệ đó. Đối với hệ là một khối khí, thực nghiệm chứng tỏ rằng, ba thông số trạng thái : thể tích V, áp suất p và nhiệt độ T không độc lập với nhau. Trong ba thông số, chỉ có hai thông số là độc lập, thông số còn lại là phụ thuộc. Mối liên hệ giữa ba thông số này có thể biểu diễn bởi một phương trình trạng thái có dạng tổng quát f(p,V,T) = 0 Nếu có một thông số trạng thái nào đó của hệ thay đổi, thì xảy ra sự thay đổi trạng thái của hệ nhiệt động, mà được gọi là quá trình nhiệt động học. Quá trình nhiệt động học là quá trình thay đổi trạng thái của hệ nhiệt động. 5.1.3. Trạng thái cân bằng và quá trình cân bằng a/ Trạng thái cân bằng Một hệ, không trao đổi chất lẫn trao đổi năng lượng với bên ngoài, được gọi là hệ cô lập.Thực nghiệm chứng tỏ rằng, một hệ cô lập, bất kể lúc đầu ở trạng thái thế nào, cuối cùng cũng sẽ tiến tới một trạng thái không đổi nào đấy. Trạng thái cuối cùng không đổi theo thời gian này gọi là trạng thái cân bằng. Vậy, trạng thái cân bằng của một hệ là trạng thái không biến đổi theo thời gian và tính bất biến đó không phụ thuộc vào các quá trình của ngoại vật. Một trạng thái cân bằng được xác định bởi một số thông số nhiệt động nào đó. Đối với hệ là một khối khí lý tưởng, mỗi trạng thái cân bằng của nó được xác định bởi hai trong số ba thông số p, V, T. Thông thường, ta chọn hai thông số p và V để xác định một trạng thái cân bằng. Một trạng thái cân bằng như vậy có thể được biểu diễn bởi một điểm trên đồ thị pV (được gọi là giản đồ pV). b/ Quá trình cân bằng Nếu không có tác động từ bên ngoài, một hệ, đã ở một trạng thái cân bằng nào đó, sẽ vĩnh viễn ở trạng thái này. Khi một hệ, đang ở trạng thái cân bằng, chịu tác động từ bên ngoài, thì trạng thái của hệ thay đổi. Nếu sau đó môi trường bên ngoài chấm dứt sự tác động, thì hệ sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng mới. Thay đổi trạng thái của hệ từ trạng thái cũ đến trạng thái mới là một quá trình. Quá trình biến đổi trạng thái này phải đi qua một loạt các trạng thái trung gian. Các trạng thái trung gian này có thể là cân bằng mà cũng có thể là không cân bằng. Nếu các trạng thái trung gian này cũng cân bằng, ta có quá trình cân bằng. Vậy, quá trình cân bằng là một quá trình biến đổi gồm một chuỗi liên tiếp các trạng thái cân bằng. Nếu một quá trình được thực hiện vô cùng chậm, để, sau khi trạng thái cân bằng cũ bị phá huỷ, hệ đủ thời gian để thiết lập trạng thái cân bằng mới, trước khi trạng thái cân bằng mới này của hệ lại bị phá huỷ, thì quá trình đó có thể được coi là cân bằng.
  50. - 50 - 5.2. Các định luật thực nghiệm của chất khí 5.2.1. Định luật Boyle-Mariotte Quá trình biến đổi trạng thái của một khối khí, khi thông số nhiệt độ được giữ cho giá trị không đổi, được gọi là quá trình đẳng nhiệt. Định luật Boyle-Mariotte là một định luật được rút ra từ thực nghiệm đối với quá trình đẳng nhiệt, được phát biểu như sau : Trong quá trình đẳng nhiệt của một khối khí, thể tích của nó tỉ lệ nghịch với áp suất. Hay, tích của thể tích và áp suất khối khí trong quá trình đẳng nhiệt là một hằng số p.V = const Nếu biểu diễn công thức trên trong một hệ p tọa độ vuông OpV, với hai trục OV và Op, thì đó là đường hypecbol, gọi là đường đẳng nhiệt. Nhiệt độ càng cao thì đường đẳng nhiệt p.V= C càng xa gốc tọa độ. Đối với một khối khí nhất định, tập hợp các đường đẳng nhiệt gọi là một họ đường đẳng nhiệt. Đồ thị này được gọi là 0 V giản đồ (p,V). Giản đồ (p,V) 5.2.2. Định luật Gay-Lussac Quá trình biến đổi trạng thái của một khối khí, khi thông số áp suất được giữ cho giá trị không đổi, được gọi là quá trình đẳng áp. Định luật Gay-Lussac cũng là một định luật được rút ra từ thực nghiệm đối với quá trình đẳng áp. Định luật phát biểu như sau : Trong quá trình đẳng áp của một khối khí, thể tích của khối khí tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối của nó V const T Phương trình này có thể viết dưới dạng V V 0 T T0 1 1 Nếu chọn T0 = 273 K, đặt a = , ta có T0 273K V = V0aT Hệ số a được gọi là hệ số dãn nở của chất khí. 5.2.3. Định luật Charles Quá trình biến đổi trạng thái của một khối khí, khi thông số thể tích được giữ cho giá trị không đổi, được gọi là quá trình đẳng tích. Định luật Charles cũng là một định luật được rút ra từ thực nghiệm đối với quá trình đẳng tích. Định luật phát biểu như sau : Trong quá trình đẳng tích của một khối khí, áp suất của khối khí tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối của nó p const T
  51. - 51 - Phương trình này có thể viết dưới dạng p p 0 T T0 Hay p = p0aT 5.2.4. Định luật Danton Áp suất của một hỗn hợp khí bằng tổng các áp suất riêng phần của các khí thành phần tạo nên. Áp suất riêng phần là áp suất mà một chất khí trong hỗn hợp tạo ra, nếu như một mình nó chiếm hết thể tích của cả hỗn hợp, cùng ở một nhiệt độ. Ký hiệu p là áp suất của hỗn hợp khí, pi là các áp suất riêng phần, ta có p = pi i Các định luật thực nghiệm trên đây được thiết lập ở điều kiện nhiệt độ và áp suất trong phòng thí nghiệm, nghĩa là điều kiện bình thường. Nếu áp suất chất khí quá lớn hoặc nhiệt độ của nó quá thấp, các chất khí không còn tuân theo các định luật đó nữa. 5.3. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng Khí lý tưởng là khí tuân theo hoàn toàn chính xác các định luật Boyle- Mariotte, Gay-Lussac và Charles. Ở điều kiện áp suất và nhiệt độ trong phòng, phần lớn các chất khí có thể coi là khí lý tưởng. Chúng ta sẽ thiết lập phương trình trạng thái đối với khí lý tưởng. 5.3.1. Phương trình Clapeyron Xét một khối khí ban đầu ở trạng thái có các thông số trạng thái là p1, V1, T1. Giả sử khối khí cần phải chuyển sang trạng thái có các thông số p2, V2, T2. Để chuyển trạng thái khối khí có thể tham gia vào một quá trình biến đổi bao gồm hai quá trình nhiệt động : một quá trình đẳng nhiệt chuyển trạng thái của khối khí từ (p1, V1, T1) sang (p1’, V2, T1) và một quá trình đẳng tích chuyển trạng thái của khối khí từ (p1’, V2, T1) sang (p2, V2, T2) . Trong quá trình thứ nhất, theo định luật Boyle-Mariotte, ta có p1.V1 = p1’.V2 Từ đây suy ra p1V1 p1’ = V2 Trong quá trình thứ hai, theo định luật Charles, ta có p, p 1 = 2 T1 T2 Từ đây suy ra p2T1 p1’ = T2 So sánh hai biểu thức của p, ta được
  52. - 52 - p V p T 1 1 = 2 1 V2 T2 Hay pV p V 1 1 = 2 2 T T2 Từ đây, ta có thể thiết lập một biểu thức chung p V = const = B T Phương trình này được gọi là phương trình Clapeyron, với B được gọi là hằng số khí. Với những khối khí lý tưởng khác nhau, hằng số B có thể khác nhau. 5.3.2. Phương trình Clapeyron-Mendeleev Bây giờ ta xem xét phương trình Clapeyron với khối khí được chọn là một 23 mol khí bất kỳ. Mol của một chất khí bất kỳ chứa NA = 6,022.10 phân tử chất khí đó. Theo định luật Avogadro, ở cùng một điều kiện áp suất và nhiệt độ, mol của tất cả các chất khí có cùng thể tích. Vậy, khi ta chọn một mol của những chất khí khác nhau để xem xét và đưa tất cả các khối khí này về cùng một điều kiện áp suất p và nhiệt độ T, thì tất cả các khối khí này sẽ có cùng thể tích Vm. Khi đó, tỉ số pVm/T của tất cả các khối khí là như nhau và bằng một hằng số. Hằng số này được gọi là hằng số khí mol và ký hiệu là R. Vậy, đối với một mol khí bất kỳ, ta có p V m = R T Hay pVm = RT Phương trình này được gọi là phương trình Clapeyron-Mendeleev. 5.3.3. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng Đối với một khối khí khối lượng m bất kỳ, ta có m m pV = p Vm = pVm   Với  - là khối lượng của một mol khí. Sử dụng phương trình Clapeyron-Mendeleev, ta có pV = m RT  Phương trình này là phương trình trạng thái của một khối khí lý tưởng. m Hay, nếu ký hiệu  = - là số mol chất khí, ta có  pV = RT 5.3.4. Giá trị của hằng số khí R 5 Mol của chất khí bất kỳ, trong điều kiện bình thường p0 =1,013.10 Pa, T0 -3 3 = 273,15 K, chiếm thể tích Vm = 22,41.10 m /mol. Từ đây, ta có p V R = 0 m = (1,013.105.22,41.10-3)/(273,15) T0
  53. - 53 - R = 8,31 N.m = 8,31 J mol.K mol.K Nếu đo áp suất chất khí bằng đơn vị at và thể tích bằng lít (là các đơn vị ngoài hệ SI), hằng số khí R có trị số 1,033(at).22,41(l / mol) at.l R = = 0,0848 273,15(K) mol.K Chương 6. Nguyên lý thứ nhất của nhiệt động học 6.1. Nội năng, công và nhiệt. 6.1.1. Nội năng a/ Nội năng Năng lượng toàn phần của một hệ nhiệt động bất kỳ bao gồm : - Động năng của chuyển động có hướng Wđ của toàn hệ. - Thế năng Wt của hệ gây ra bởi sự có mặt của trường lực bên ngoài. - Nội năng U của hệ là năng lượng chỉ phụ thuộc vào trạng thái nhiệt động của hệ. Nội năng của hệ gồm động năng chuyển động hỗn loạn của các phần tử của hệ và thế năng tương tác của chúng. Như vậy W = Wđ + Wt + U Trong nhiệt động học, ta giả thiết rằng chuyển động có hướng của toàn bộ hệ là không đáng kể và hệ không đặt trong trường lực nào, do đó, năng lượng của hệ đúng bằng nội năng của hệ W = U Nội năng của một hệ nhiệt động là một hàm đơn trị của trạng thái. b/ Nội năng của khí lý tưởng + Phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử khí Cho một khối khí lý tưởng, được chứa trong một bình dạng lập phương cạnh l. Xét va chạm của một phân tử khí đơn nguyên tử với thành bình. Khi va chạm với thành bình, phân tử khí thay đổi động lượng và độ biến thiên động lượng này bằng xung lực của thành bình tác dụng lên phân tử và theo định luật Newton thứ ba, bằng xung lực của phân tử tác dụng lên thành bình. Ta có ΔK = f.Δt Độ biến thiên động lượng của phân tử do va với một thành bình sau khoảng thời gian Δt bằng ΔK = α.(mVx - (- mVx)) = α.2mVx Với α = Vx.Δt/(2l) Từ đây, ta có Vx.Δt/(2l).2mVx = f.Δt Từ đây ta suy ra, lực của thành bình tác dụng lên phân tử khí, cũng là lực của một phân tử khí tác dụng lên thành bình, bằng
  54. - 54 - 2 f = (m/l)Vx Lực của tất cả các phân tử khí tác dụng lên thành bình sẽ bằng 2 2 2 F = (m/l).(Vx1 + Vx2 + + Vxi + ) Đặt 2 2 2 2 Vx = (Vx1 + Vx2 + + Vxi + )/N Ta có 2 F = (m/l).NVx Do 2 2 2 2 V = Vx + Vy + Vz Và do chuyển động của các phân tử khí là hỗn loạn, nên 2 2 2 2 Vx = Vy = Vz = V /3 Từ đây, ta có F = (m/l).NV 2 /3 Áp suất của chất khí khi đó bằng p = F/S = m/(S.l)NV 2 /3 = 2/(3V)N(½.mV 2 ) Từ đây, ta có phương trình pV = (2/3)N.(½.mV 2 ) Ký hiệu 2 Wk = N.(½.mV ) Ta thu được phương trình, gọi là phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử khí pV = (2/3).Wk Ký hiệu động năng trung bình của một phân tử khí bằng 2 W đ = ½.mV Ta có thể viết lại phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử khí ở dạng pV = (2/3).NW đ Bây giờ ta sử dụng phương trình trạng thái của khí lý tưởng pV = RT = (N/NA)RT So sánh hai biểu thức, ta thu được W đ = (3/2) (R/NA)T = (3/2)KBT -23 Hệ số KB = R/NA = 1,38.10 J/K được gọi là hằng số Boltzmann. + Định luật phân bố đều năng lượng chuyển động nhiệt theo bậc tự do Từ biểu thức của động năng trung bình của một phân tử khí W đ = (3/2)KBT Ta thấy rằng, một phân tử khí đơn nguyên tử có 3 bậc tự do, vậy có thể cho rằng động năng trung bình của một phân tử trên một bậc tự do bằng ½ KBT. Từ đây ta có định luật phân bố đều năng lượng chuyển động nhiệt theo bậc tự do :
  55. - 55 - Mỗi một bậc tự do của phân tử chất khí ứng với một động năng trung bình như nhau, và bằng ½ KBT. + Nội năng của khí lý tưởng Trong trường hợp tổng quát, nếu phân tử khí có i bậc tự do thì động năng trung bình của phân tử bằng W đ = (i/2)KBT Từ đây, ta có biểu thức đối với nội năng của một khối khí lý tưởng i i i U = N.W đ = NKBT = N(R/NA)T = RT 2 2 2 Vậy U =  i RT 2 Hay m U = i RT  2 Theo định nghĩa, số bậc tự do của một chất điểm là số các tọa độ độc lập cần thiết phải cho, để có thể xác định hoàn toàn vị trí của chất điểm ấy trong không gian. Số bậc tự do của một phân tử khí, đối với khí đơn nguyên tử bằng i = 3, đối với khí lưỡng nguyên tử bằng i = 5, đối với khí đa nguyên tử bằng i = 6. Ta nhận thấy rằng, nội năng của một khối khí lý tưởng chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ của khối khí ấy. Nội năng là một hàm của trạng thái. 6.1.2. Công Sự trao đổi năng lượng giữa một hệ nhiệt động và các vật thể ngoài hệ được thực hiện bởi hai cách : hoặc thực hiện công hoặc thông qua trao đổi nhiệt. Công và nhiệt là những đặc trưng về năng lượng cho những quá trình thay đổi trạng thái của một hệ nhiệt động và chỉ có ý nghĩa khi có các quá trình như vậy. Công và nhiệt không phải là hàm của trạng thái. a/ Công Công là năng lượng, mà hệ và các vật ngoài hệ trao đổi cho nhau trong quá trình tương tác lực giữa hệ với các ngoại vật. Công do ngoại vật thực hiện được gọi là công thực hiện trên hệ. Công do chính hệ thực hiện được gọi là công thực hiện trên môi trường ngoài. Nếu hệ nhiệt động đang bất động, thì để công có thể thực hiện được, cần thiết phải có sự dịch chuyển của các ngoại vật. Điều đó có nghĩa là, để thực hiện được công, cần thiết phải có sự thay đổi các thông số ngoài của hệ. Theo định luật bảo toàn năng lượng, công mà ngoại vật thực hiện trên hệ A’ có giá trị bằng nhưng ngược dấu với công A mà hệ thực hiện trên môi trường ngoài, nghĩa là A’ = -A. Khi ngoại vật thực hiện công đối với hệ, chúng có thể làm thay đổi bất kỳ dạng năng lượng nào của hệ (nội năng, động năng ). b/ Công dãn nở của một khối khí Xét một khối khí, chứa trong một xilanh có píttông, dãn nở. Khối khí có áp suất p, và dưới tác dụng của áp lực khối khí, píttông dịch chuyển một đoạn dl. Khi đó, lực tác dụng lên píttông sẽ là pS và công do khối khí thực hiện sẽ bằng
  56. - 56 - dA = p.S.dl = p.dV Nếu khối khí dãn nở từ thể tích V1 đến V2 thì công toàn phần trong quá trình dãn nở bằng V2 A = p.dV V1 Ta thấy rằng công dãn nở của khối khí là công dương. Vậy, công do hệ thực hiện là công dương. c/ Công khi nén một khối khí Trong trường hợp ngoại lực thực hiện một công lên khối khí, píttông sẽ bị ngoại lực tác dụng một lực nén, và khối khí bị nén từ thể tích V1 đến thể tích V2. Công của ngoại lực trong trường hợp này bằng dA’ = F’.dl’ Nhưng, ngoại lực tác dụng lên píttông là để thắng áp lực của khối khí lên píttông. Do đó F’ = F = p.S Do đó dA’ = p.S.dl’ = p.dV’ Nhưng V’ + V = const Do đó dV’ = - dV Từ đây, ta có biểu thức đối với công của hệ dA = - dA’ = p.dV Công toàn phần do hệ sinh ra khi khối khí bị nén từ thể tích V1 đến thể tích V2 bằng V2 A = p.dV V1 Công này là công âm. Công này là công hệ thu được. Công mà hệ thu được là công âm. Khi khối khí thực hiện hai quá trình liên tiếp, thể tích của nó thay đổi từ V1 V’1 V2, công mà hệ thực hiện trong cả hai quá trình bằng ' V2 V1 V2 A = p.dV = p.dV + p.dV = ' V1 V1 V1 A1 + A2 Trên giản đồ (p,V), công thực hiện trong một quá trình đối với khí lý tưởng bằng diện tích hình giới hạn bởi đường biểu diễn quá trình, và các đường p = 0, V = V1 và V = V2. Do công không phải là một hàm của trạng thái, nên công nguyên tố dA = p.dV không phải là một vi phân toàn phần, nên từ nay nó được ký hiệu bằng A.
  57. - 57 - 6.1.3. Nhiệt a/ Nhiệt lượng Khi cho hai vật có nhiệt độ khác nhau tiếp xúc với nhau, ta thấy rằng nhiệt độ của vật có nhiệt độ cao bị giảm, còn nhiệt độ của vật có nhiệt độ thấp tăng. Nội năng của vật ban đầu có nhiệt độ cao, do đó, bị giảm, còn nội năng của vật có nhiệt độ thấp tăng. Như vậy có sự truyền năng lượng từ vật có nhiệt độ cao sang vật có nhiệt độ thấp. Lượng năng lượng trao đổi này được gọi là nhiệt lượng. Nhiệt hay nhiệt lượng là năng lượng mà những vật ngoài trao đổi với hệ nhiệt động thông qua sự trao đổi nhiệt. Sự trao đổi nhiệt xảy ra giữa hệ và các vật hoặc giữa các phần của hệ, khi nhiệt độ của chúng có sự khác biệt. Có ba dạng trao đổi nhiệt : trao đổi nhiệt bằng đối lưu, trao đổi nhiệt bằng truyền nhiệt, và trao đổi nhiệt bằng bức xạ. Trao đổi nhiệt bằng đối lưu là sự trao đổi nhiệt khi chuyển động giữa các thành phần có nhiệt độ khác nhau của chất khí, chất lỏng hoặc giữa chất khí, chất lỏng và vật rắn. Trao đổi nhiệt bằng truyền nhiệt là sự truyền nhiệt từ phần nóng hơn của vật sang phần khác nguội hơn. Trao đổi nhiệt bằng bức xạ là sự trao đổi nhiệt thông qua sự bức xạ năng lượng của vật này và sự hấp thu bức xạ của vật khác. Trong bất kỳ dạng trao đổi nhiệt nào cũng xảy ra sự trao đổi năng lượng giữa các hạt chuyển động hỗn loạn của vật và trong quá trình đó nội năng của hệ thay đổi (động năng của hệ không thay đổi). Người ta quy ước, nhiệt do hệ thu vào được tính là dương, nhiệt do hệ nhả ra được tính là âm. Nếu một hệ nhiệt động thực hiện hai quá trình, với nhiệt lượng trao đổi là Q1 và Q2, thì nhiệt lượng trao đổi trong hai quá trình sẽ là Q = Q1 + Q2 Nhiệt lượng được đo bằng đơn vị của công. Trong hệ SI, nhiệt lượng được đo bằng đơn vị jun (J). Nhiệt lượng còn được đo bằng đơn vị calo, 1 cal = 4,186 J. b/ Nhiệt dung + Nhiệt dung Để đặc trưng cho khả năng trao đổi nhiệt trong một quá trình nào đó của vật, người ta đưa ra khái niệm nhiệt dung. Nhiệt dung của một vật là một đại lượng vật lý, có giá trị bằng tỉ số giữa nhiệt lượng Q, mà vật đó nhận được, với sự thay đổi nhiệt độ dT trong quá trình nhiệt động đang xem xét. Ta phân biệt nhiệt dung riêng của một chất, ký hiệu là c, và nhiệt dung mol của chất, ký hiệu là C. + Nhiệt dung riêng Nhiệt dung riêng của một chất là một đại lượng vật lý, có giá trị bằng tỉ số giữa nhiệt lượng Q, mà một đơn vị khối lượng chất đó nhận được, với sự thay đổi nhiệt độ dT trong quá trình nhiệt động đang xem xét c = Q m.dT Với m – khối lượng của chất.