Bài giảng Vật lý đại cương 1: Cơ-Nhiệt

154 trang phuongnguyen 4960

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Vật lý đại cương 1: Cơ-Nhiệt", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_vat_ly_dai_cuong_1_co_nhiet.pdf

Nội dung text: Bài giảng Vật lý đại cương 1: Cơ-Nhiệt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 1 CƠ – NHIỆT P T const QH Q 0 Q 0 Q C V Chu trình Carnot Hà Nội 03/2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 1 CƠ – NHIỆT SINH VIÊN : HOÀNG VĂN TRỌNG LỚP : K54 Địa lý QUÊ QUÁN : Giao Thủy – Nam Định ĐIỆN THOẠI : 0974 971 149 EMAIL : hoangtronghus@gmail.com Hà Nội 03/2014
Lời chia sẻ Vật lý đại cương bao gồm các nội dung cơ bản về Vật lý học và có quan hệ chặt chẽ với nhiều ngành khoa học tự nhiên khác như: Toán, Hóa, Sinh, Địa lý, Địa chất, Môi trường, Khí tượng–Thủy văn–Hải dương học, Với các đối tượng không chuyên thì Vật lý đại cương được đào tạo trong 2 môn học: Cơ Nhiệt và Điện Quang. Hầu hết các kiến thức này đã giới thiệu ở chương trình trung học phổ thông nhưng trên đại học chúng ta mới có điều kiện tìm hiểu sâu bản chất các hiện tượng Vật lý, nguồn gốc và cơ sở toán học của các công thức. Môn học Cơ Nhiệt nghiên cứu những vấn đề sau: + Cơ học nghiên cứu dạng chuyển động của các vật vĩ mô, giúp con người nhận biết được quy luật chuyển động của những vật mà hàng ngày chúng ta vẫn nhìn thấy và ít nhiều chịu tác động từ nó. Tại sao khi xe phanh gấp thì người ngồi trên xe lại có xu hướng đổ về phía trước? Tại sao Trái Đất quay quanh Mặt Trời chỉ mất 365 ngày trong khi Sao Mộc quay quanh Mặt Trời lại mất 4329 ngày? Lực coriolis xuất hiện là do đâu? Các kiến thức cơ bản về Cơ học sẽ giúp ta giải thích được nhiều hiện tượng chuyển động trong tự nhiên. + Nhiệt học nghiên cứu mối quan hệ giữa các dạng năng lượng của một hệ vật chất (nhiệt lượng, công, nội năng) trên cơ sở của Vật lý phân tử. Từ đó có thể hiểu nguyên lý làm việc của một số loại động cơ như: máy nổ, máy phát điện, tủ lạnh, điều hòa, động cơ ô tô, Để tiếp thu được dễ dàng hơn thì trước hết phải hiểu và nắm được lý thuyết trên lớp, sau đó tùy từng bài tập cụ thể mà vận dụng cho linh hoạt. Nền tảng toán học về đạo hàm, vi phân, tích phân, các phép toán véctơ (cộng, trừ, tích vô hướng, tích có hướng) là rất cần thiết đối với môn học này. Học tới phần nào cần hiểu sâu sắc phần đó vì không chỉ liên quan đến bài tập mà đề thi cuối kỳ còn có cả nội dung lý thuyết, viết biểu thức, cách thiết lập công thức và vận dụng lý thuyết để giải thích hiện tượng. Phần Cơ học chủ yếu giới thiệu về Cơ học cổ điển của Newton với các chương: động học chất điểm, động lực học chất điểm, động lực học vật rắn, công và năng lượng; sau đó giới thiệu về Cơ học tương đối tính của Einstein và ba định luật Keppler. Phần Nhiệt học nhìn chung dễ hơn với các nội dung xoay quanh nguyên lý 1 và nguyên lý 2 của nhiệt động lực học; các quá trình đẳng tích, đẳng áp, đẳng nhiệt, đoạn nhiệt và tính công, nhiệt lượng, biến thiên nội năng ứng với các quá trình đó. Trên đây là chút kiến thức ít ỏi mà mình muốn chia sẻ cùng các bạn. Do hạn chế nhận thức về môn học nên chắc chắn còn nội dung nào đó viết chưa đúng hoặc chưa đầy đủ, rất mong các bạn thông cảm và góp ý để mình hoàn thiện thêm. Những đoạn chữ màu xanh là phần giải thích và chỉ dẫn thêm! Mọi thắc mắc xin gửi về địa chỉ email: hoangtronghus@yahoo.com.vn hoặc hoangtronghus@gmail.com Hoàng Văn Trọng
Cập nhật 17/10/2014 MỤC LỤC PHẦN I: CƠ HỌC 11 CHƯƠNG 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 11 A. LÝ THUYẾT 11 1. Các khái niệm cơ bản 11 2. Véctơ vận tốc và véctơ gia tốc 13 B. BÀI TẬP 19 Bài 1: Một người chạy đua với vận tốc thay đổi theo thời gian được minh họa bằng đồ thị trên hình vẽ. Hỏi người đó chạy được quãng đường là bao nhiêu trong 16 giây? 19 Bài 2: Đồ thị phụ thuộc vận tốc của vật vào thời gian có dạng như hình vẽ. Vận tốc cực đại của vật là v0, thời gian chuyển động là t0. Hãy xác định quãng đường mà vật đi được trong thời gian đó. 19 Bài 3: Một người quan sát đứng ngang với đầu tàu hỏa lúc nó bắt đầu chuyển động và nhận thấy toa đầu tiên chạy ngang qua mình mất một khoảng thời gian t = 4s. Hỏi toa tàu thứ n = 7 chạy ngang qua người đó trong khoảng thời gian là bao nhiêu lâu? Biết rằng chuyển động của tàu là nhanh dần đều, độ dài của các toa là như nhau và bỏ qua độ dài chỗ nối giữa các toa. 20 Bài 4: Một vật được ném lên trên theo phương thẳng đứng. Người quan sát thấy vật đó đi qua vị trí có độ cao h hai lần và khoảng thời gian giữa hai lần đó là t. Tìm vận tốc ban đầu và thời gian chuyển động của vật từ lúc ném đến khi vật rơi về vị trí ban đầu. 21 Bài 5: Hai vật được ném đi đồng thời từ cùng một điểm. Vật thứ nhất đước ném thẳng đứng lên trên với vận tốc v0 = 25m/s, vật thứ hai được ném với cùng vận tốc ban đầu v0 và tạo với phương ngang góc = 600. Xác định khoảng cách giữa hai vật sau thời gian t = 1,7s 22 Bài 6: Một hòn đá được ném với vận tốc ban đầu v0 = 20m/s theo phương hợp với phương nằm ngang góc  = 600. Xác định bán kính cong R của quỹ đạo hòn đá tại điểm cao nhất và tại điểm nó rơi xuống mặt đất. Bỏ qua sức cản của không khí. 23 Bài 7: Một con tàu chuyển động dọc theo xích đạo về hướng đông với vận tốc v0 = 30km/h. Trong lúc đó có một luồng gió với vận tốc v = 15km/h thổi đến từ hướng đông nam và hợp với phương xích đạo một góc  = 600. Hãy xác định vận tốc v' của luồng gió so với tàu và ' là góc giữa hướng gió và xích đạo trong hệ quy chiếu gắn với con tàu. 23 CHƯƠNG 2: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM 25 A. LÝ THUYẾT 25 1. Lực và khối lượng 25 2. Ba định luật Newton 25 3. Động lượng, xung lượng của lực, định luật biến thiên và bảo toàn động lượng 25 B. BÀI TẬP 29 0 Bài 1: Một vật A khối lượng m1 = 3kg nằm trên mặt phẳng nghiêng góc  = 30 so với phương nằm ngang. Vật A được nối với B có khối lượng m2 = 2kg bằng một sợi dây không co dãn qua một ròng rọc cố định. Hãy xác định gia tốc chuyển động của các vật, lực căng của sợi dây và áp lực lên ròng rọc. Bỏ qua khối lượng sợi dây, ròng rọc và ma sát giữa dây với ròng rọc. Cho biết hệ số ma sát giữa vật A và mặt phẳng nghiêng  = 0,1. 29 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 1
Cập nhật 17/10/2014 Bài 2: Một vật được ném lên theo mặt phẳng nghiêng tạo với phương nằm ngang góc  = 150. Tính hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng. Biết rằng thời gian đi xuống của vật bằng n = 2 lần thời gian đi lên. 30 Bài 3: Một vật khối lượng m = 1kg buộc vào đầu dây có chiều dài l = 30cm, đầu kia của dây được giữ cố định tại điểm O. Cho vật chuyển động tròn trong mặt phẳng ngang, còn sợi dây hợp với phương thẳng đứng góc  = 600. Hãy xác định vận tốc v, sức căng T của dây. 31 Bài 4: Một người khối lượng m1 = 60kg đứng trong thang máy có khối lượng m2 = 300kg. Thang máy chuyển động lên trên với gia tốc a = 0,8 m/s2. Tính lực căng của dây cáp treo thang máy, lực người đó nén lên sàn, trong hai trường hợp thang máy chuyển động: 32 a) Nhanh dần đều. 32 b) Chậm dần đều. 32 Bài 5: Một người nặng 72kg ngồi trên sàn treo nặng 12kg như hình vẽ. Hỏi người đó phải kéo dây với một lực bằng bao nhiêu để sàn chuyển động nhanh dần đều lên cao được 3m trong thời gian là 2s. 33 Tính áp lực của người đó lên sàn. 33 Bài 6: Hãy xác định gia tốc của các vật m1, m2 và các lực căng T của các dây trong hệ mô tả trên hình vẽ. Cho biết dây không co dãn, bỏ qua ma sát, khối lượng của ròng rọc và dây không đáng kể. 34 Bài 7: Một vật A khối lượng m1 buộc vào đầu dây vắt qua ròng rọc, đầu kia là một vòng B khối lượng m2 có thể trượt dọc sợi dây. Tính gia tốc chuyển động của vòng B, lực ma sát giữa sợi dây và vòng B khi A chuyển động đều, nếu ban đầu hệ đứng yên. Bỏ qua khối lượng của ròng rọc và ma sát. 35 Bài 8: Một vật khối lượng m đứng yên trên đỉnh một mặt phẳng nghiêng nhờ lực ma sát. Cho biết chiều dài mặt phẳng nghiêng S = 1m, góc  = 300, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng  = 0,6. Hỏi: 35 a) Mặt phẳng nghiêng có thể chuyển động với gia tốc amax (so với mặt đất) là bao nhiêu để vật đứng yên trên nêm. 35 2 b) Nếu gia tốc chuyển động của mặt phẳng nghiêng là a0 = 1 m/s thì sao bao nhiêu lâu vật sẽ trượt đến chân mặt phẳng nghiêng. 35 Bài 9: Một chậu nước trượt trên mặt dốc có góc nghiêng so với phương ngang là . Hệ số ma sát trượt giữa chậu và mặt dốc là  < tan . Hãy xác định góc nghiêng  của mặt nước so với mặt dốc. 37 Bài 10: Một người đứng trên cân bàn đặt trên xe nhỏ. Khi xe chuyển động không ma sát trên mặt phẳng nghiêng một góc so với phương nằm ngang thì người đó thấy trọng lượng của mình chỉ còn 3/4 trọng lượng khi xe đứng yên. Hãy xác định góc . 38 Bài 11: Một sợi dây không co dãn vắt qua một ròng rọc cố định có khối lượng không đáng kể. Một đầu dây treo một vật khối lượng m, đầu dây kia có một con khỉ khối lượng 2m bám vào. Con khỉ leo lên dây với gia tốc a’ so với dây. Hãy tìm gia tốc a của con khỉ đối với mặt đất. 39 Bài 12: Sự quay của Trái Đất xung quanh trục của mình làm mặt nước trên các sông không nằm trong mặt phẳng nằm ngang. Hãy xác định phía bờ sông bên nào mức nước sẽ cao hơn và tính độ chênh lệch mức nước đó, biết rằng sông nằm ở bán cầu phía bắc và chảy từ bắc xuống nam. Độ rộng sông là l, vận tốc dòng chảy là v, vĩ độ nơi đó là , vận tốc góc của Trái Đất quay quanh trục là , bỏ qua lực quán tính ly tâm. 40 Bài 13: Một đoàn tàu hỏa khối lượng m đang chuyển động dọc theo đường xích đạo từ đông sang tây với vận tốc v tương đối so với mặt đất. Biết rằng Trái Đất luôn quay quanh trục của mình với vận tốc là , bỏ qua ma sát, hãy xác định lực tác dụng của đường ray lên đoàn tàu. 41 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 2
Cập nhật 17/10/2014 Bài 14: Một cái cốc đựng nước hình trụ quay quanh trục đối xứng hướng theo phương thẳng đứng với vận tốc góc là . Hãy xác định phương trình mô tả dạng mặt nước trong cốc.42 CHƯƠNG 3: CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG 44 A. LÝ THUYẾT 44 1. Công, công suất 44 2. Động năng, biến thiên động năng và công của lực 44 3. Thế năng, biến thiên thế năng và công của lực thế 45 4. Cơ năng, định luật bảo toàn cơ năng 46 5. Va chạm 47 B. BÀI TẬP 49 Bài 1: Một vật khối lượng m được ném lên dọc một mặt phẳng nghiêng một góc so với phương nằm ngang. Cho biết vận tốc ban đầu là v0, hệ số ma sát là , tính quãng đường đi được của vật đến khi dừng lại và công của lực ma sát trên quãng đường đó. 49 Bài 2: Một vật chuyển động từ đỉnh dốc phẳng DC có độ cao h và dừng lại sau khi đi được một đoạn nằm ngang CB. Cho AB = s, AC = l, hệ số ma sát giữa xe và mặt đường trên đoạn DC và CB bằng nhau. Tính hệ số ma sát và gia tốc của xe trên các đoạn đường nói trên 49 Bài 3: Từ độ cao H dọc theo mặt phẳng nghiêng dài l = H/3 và tạo với phương ngang góc = 300 người ta cho một quả cầu trượt không ma sát và sau đó rơi trên mặt phẳng nằm ngang. Va chạm được coi là hoàn toàn đàn hồi. Tìm độ cao hmax mà quả cầu nâng lên được sau va chạm. 50 Bài 4: Một vòng đệm nhỏ A trượt từ đỉnh ngọn đồi nhẵn ở độ cao H tới một bờ dốc thẳng đứng rồi chuyển động tiếp trong không gian và rơi xuống bãi đất nằm ngang như hình vẽ. Hỏi độ cao h của bờ dốc thẳng đứng phải bằng bao nhiêu để khi trượt xuống khỏi bờ dốc vòng đệm A bay xa đạt được khoảng cách Smax, tính khoảng cách đó. 51 Bài 5: Hai quả nặng m1 và m2 = nm1 được nối với hai đầu dây và được vắt qua ròng rọc. Giả thiết dây không co dãn và khối lượng ròng rọc được bỏ qua. Vật m2 được nâng lên độ cao h2 = 30cm sao cho quả m1 chạm đất, sau đó thả cho m2 rơi xuống. Hỏi độ cao h1 mà m1 sẽ đạt được khi m2 chạm đất. 52 Bài 6: Một quả cầu nhỏ trượt không ma sát theo một máng nghiêng mà phần cuối uốn thành một vòng tròn bán kính R. Hỏi: 53 a) Phải thả quả cầu cho nó trượt không vận tốc ban đầu ở độ cao H nào để nó không rời khỏi máng tại điểm cao nhất của quỹ đạo. 53 b) Trong trường hợp vật thả ở độ cao h không thỏa mãn điều kiện câu a, hãy tính độ cao h’ mà vật rời khỏi rãnh. 53 Bài 7: Một viên đạn khối lượng m bay theo phương nằm ngang và đâm vào một vật khối lượng M được treo bởi một sợi dây độ dài l (hình vẽ) và dừng lại trong đó. Người ta thấy sợi dây bị lệch đi một góc so với phương thẳng đứng. Hãy xác định vận tốc viên đạn trước khi đâm vào vật M và số phần trăm động năng ban đầu của viên đạn biến thành nhiệt năng. 55 Bài 8: Một hạt neutron khối lượng m va chạm đàn hồi với hạt nhân nguyên tử C khối lượng M, sau va chạm nó chuyển động theo phương vuông góc với phương ban đầu. Biết rằng M = 12m. Hỏi năng lượng của hạt neutron giảm đi bao nhiêu lần sau va chạm. 56 Bài 9: Một người khối lượng M = 70kg đang đứng yên trên mặt băng. Người đó ném theo phương ngang một hòn đá khối lượng m = 3kg với vận tốc ban đầu v = 8m/s. Tìm khoảng giật lùi của người trượt băng. Cho biết hệ số ma sát  = 0,02. 57 Bài 10: Một khẩu súng được đặt trên một chiếc xe đang chuyển động theo quán tính trên đường sắt với vận tốc V. Nòng súng hướng theo chiều chuyển động của xe và tạo với sàn Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 3
Cập nhật 17/10/2014 xe góc . Khi khẩu súng bắn ra một viên đạn khối lượng m, vận tốc của xe chở súng giảm đi 3 lần. Tìm vận tốc v của viên đạn (so với khẩu súng) khi ra khỏi nòng. Khối lượng xe và súng là M. 57 CHƯƠNG 4: CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN 58 A. LÝ THUYẾT 58 1. Khối tâm của hệ chất điểm 58 2. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn 59 3. Mômen động lượng của vật rắn, biến thiên và bảo toàn mômen 59 4. Phương trình cơ bản của vật rắn quay xung quanh một trục cố định 60 5. Mô men quán tính của vật rắn, định lý Steiner – Hugen 61 6. Động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định 61 B. BÀI TẬP 62 Bài 1: Tính tọa độ khối tâm của một vật đồng tính có chiều dày không đổi, kích thước như trên hình vẽ. 62 Bài 2: Một chiếc thuyền đứng yên trên mặt nước lặng. Khối lượng thuyền M = 140kg, chiều dài thuyền L = 2m, ở mũi thuyền có một người khối lượng m1 = 70kg, ở đuôi thuyền có một người khác khối lượng m2 = 40kg. Hỏi khi hai người tiến lại đổi chỗ cho nhau thì thuyền dịch đi một đoạn là bao nhiêu? Bỏ qua sức cản của nước. 63 Bài 3: a)Tìm mômen quán tính của một thanh đồng chất đối với một trục vuông góc với thanh và đi qua trung điểm của thanh, nếu khối lượng của thanh là m và độ dài của nó là L. 64 b) Tìm mômen quán tính của một khối trụ đồng chất khối lượng m, bán kính R, đối với trục đối xứng dọc của nó. 64 c) Tìm mômen quán tính của một khối cầu đồng chất khối lượng m, bán kính R, đối với trục đối xứng của nó. 64 Bài 4: Trong một đĩa đồng chất hình tròn bán kính R, khối lượng m, người ta khoét hai lỗ tròn bán kính r có các tâm đối xứng với nhau qua tâm đĩa và cùng cách tâm đĩa một khoảng a. Hãy tính mômen quán tính của phần đĩa còn lại đối với trục đi qua tâm đĩa và vuông góc với mặt phẳng đĩa. 65 Bài 5: Hai vật khối lượng m1 và m2 nối với nhau bằng một dây vắt qua một ròng rọc khối lượng m. Dây không co dãn, ma sát ở trục ròng rọc có thể bỏ qua. Tìm gia tốc góc của ròng rọc và tỷ số các sức căng T1/T2 của các phần dây nối với các vật trong quá trình chuyển động. 66 Bài 6: Trên một hình trụ đặc đồng chất khối lượng m1 và bán kính R, người ta quấn một sợi chỉ mảnh. Một đầu sợi chỉ có buộc một vật có khối lượng m2. Tại thời điểm t = 0 hệ bắt đầu chuyển động. Bỏ qua ma sát ở trục hình trụ, tìm sự phụ thuộc theo thời gian của: . 67 a) Vận tốc góc của hình trụ. 67 b) Động năng của toàn hệ. 67 Bài 7: Hai đĩa nằm ngang quay tự do xung quanh một trục thẳng đứng đi qua tâm của chúng. Các mômen quán tính của các đĩa với trục này là I1 và I2, còn các vận tốc góc là 1 và 2. Sau khi đĩa trên rơi xuống đĩa dưới, cả hai đĩa do sự ma sát giữa chúng và sau một thời gian nào đó bắt đầu quay như một vật thống nhất. Hãy tìm: 68 a) Vận tốc góc của hệ hai đĩa được hình thành như trên. 68 b) Công của lực ma sát khi đó. 68 Bài 8: Tính gia tốc khối tâm của một viên bi lăn không trượt trên một mặt phẳng nghiêng một góc so với phương nằm ngang. 69 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 4
Cập nhật 17/10/2014 CHƯƠNG 5: DAO ĐỘNG VÀ SÓNG 70 A. LÝ THUYẾT 70 1. Dao động điều hòa, sự biến đổi và bảo toàn năng lượng 70 2. Tổng hợp hai dao động cùng phương và tần số gần nhau, hiện tượng phách 71 3. Sóng, sóng ngang và sóng dọc 72 4. Phương trình truyền sóng và các đại lượng đặc trưng 72 5. Hiện tượng giao thoa sóng, sóng dừng 74 6. Hiệu ứng Doppler 75 B. BÀI TẬP 76 Bài 1: Xác định chu kỳ dao động bé của một cột thủy ngân có khối lượng m = 200g được đổ vào vào một ống cong (hình vẽ) có nhánh bên phải tạo một góc  = 300 so với phương thẳng đứng. Diện tích thiết diện của lòng ống là S = 0,5cm2. Bỏ qua độ nhớt của thủy ngân. 76 Bài 2: Một hệ cơ học được bố trí như hình vẽ. Góc giữa mặt phẳng nghiêng và mặt phẳng ngang là . Hệ số đàn hồi của lò xo là k. Khối lượng của các vật là m1 và m2. Khối lượng của lò xo và của ròng rọc không đáng kể. Dây không co dãn. Chứng minh rằng hệ có thể dao động điều hoa khi kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ. Xác định tần số góc của dao động. 76 Bài 3: Năng lượng toàn phần của một dao động tử điều hòa đơn giản là E0, biên độ dao động của dao động tử đó là x0. Tính động năng Eđ và thế năng Et của dao động tử đó khi x0 x . Li độ x của dao động tử là bao nhiêu khi Eđ = Et? 77 2 Bài 4: Một quả cầu được treo vào một lò xo, thực hiện dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số xác định. Nếu truyền cho điểm treo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số 20 Hz hoặc 24 Hz thì trong cả hai trường hợp các phách được sinh ra có cùng tần số. Hỏi với tần số dao động nào của điểm treo, tần số của phách sẽ lớn gấp đôi. 78 Bài 5: Khi cộng hai dao động điều hòa cùng phương thì dao động tổng hợp của một điểm có dạng x = a cos 2,1t .cos 50t, trong đó t tính ra giây. Tìm tần số góc của các dao động thành phần và chu kỳ của phách của dao động tổng hợp. 79 Bài 6: Hai con lắc vật lí thực hiện các dao động bé xung quanh một trục nằm ngang với các tần số 1 và 2. Các mômen quán tính của chúng đối với trục đó tương ứng là I1 và I2. Người ta đưa các con lắc về trạng thái cân bằng bền và gắn chặt chúng với nhau. Tần số dao động bé của con lắc hợp thành sẽ là bao nhiêu? 79 Bài 7: Để xác định vận tốc của âm trong không khí bằng phương pháp cộng hưởng âm, người ta dùng một ống có pittông và màng âm bịt kín một trong những đáy ống. Tìm vận tốc âm, nếu khoảng cách giữa các vị trí kế tiếp nhau của pittông mà tại đó người ta quan sát được hiện tượng cộng hưởng ở tần số f = 2000 Hz là l = 8,5cm. 80 Bài 8: Một người đứng cạnh đường ray ở vị trí A quan sát một tàu hỏa chạy qua. Khi tàu tiến lại phía A, người đó đo được tần số của còi tàu là f1 = 219 Hz. Khi tàu chạy ra xa khỏi A, người đó đo được tần số của còi tàu là f2 = 184 Hz. Tìm vận tốc u của đoàn tàu và tần số f0 của còi tàu (nếu tàu đứng yên). Biết vận tốc sóng âm trong không khí là v = 340m/s.80 Bài 9: Một người đứng ở một vị trí P trên sân ga quan sát hai đoàn tàu A và B chuyển động ngược hướng nhau như hình vẽ. Vận tốc đoàn tàu A là vA = 15m/s, còi tàu A phát ra với tần số f0 = 200 Hz. Vận tốc của đoàn tàu B là vB = 30m/s. Vận tốc sóng âm trong không khí là 340m/s. Hỏi người quan sát đo được bước sóng 1 và tần số f1 của đoàn tàu A là bao nhiêu? Người lái tàu B nghe được tần số f2 từ còi tàu A là bao nhiêu? 81 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 5
Cập nhật 17/10/2014 CHƯƠNG 6: TRƯỜNG HẤP DẪN VÀ CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM 82 A. LÝ THUYẾT 82 1. Định luật vạn vật hấp dẫn 82 2. Trường hấp dẫn, thế năng trong trường hấp dẫn 82 3. Các định luật Keppler và chuyển động trong trường xuyên tâm 83 4. Các vận tốc vũ trụ 83 5. Phép biến đổi Lorentz 84 B. BÀI TẬP 85 Bài 1: Tính lực hấp dẫn của một thanh đồng tính có chiều dài L, khối lượng m1 lên một quả cầu nhỏ khối lượng m2 đặt cách đầu thanh đó một khoảng a 85 Bài 2: Bên trong một quả cầu đồng tính tâm O, bán kính R, khối lượng M có một lỗ hình cầu R bán kính r . Tính lực hút của phần còn lại của quả cầu đó lên một quả cầu nhỏ khối 2 lượng m đặt cách tâm O một khoảng d = 2R như trên hình vẽ. 85 Bài 3: Chứng minh rằng lực hấp dẫn của một lớp vỏ hình cầu đồng tính khối lượng M tác dụng lên một hạt khối lượng m nằm trong vỏ cầu đó bằng 0. 86 Bài 4: Một điểm phải cách tâm Trái Đất một khoảng bao nhiêu để lực hấp dẫn tổng hợp của Trái Đất và Mặt Trăng tại đó bằng không? Cho biết khối lượng Trái Đất lớn hơn khối lượng Mặt Trăng 81 lần, khoảng cách giữa tâm các hành tinh này lớn hơn bán kính R của Trái Đất là 60 lần 87 Bài 5: Một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời theo một elip sao cho khoảng cách cực tiểu giữa nó và Mặt Trời bằng r, còn khoảng cách cực đại là R. Tìm chu kỳ quay của nó xung quanh Mặt Trời (khối lượng Mặt Trời là M). 87 Bài 6: Một thiên thể chuyển động tới Mặt Trời; khi còn ở cách xa Mặt Trời nó có vận tốc v0, cánh tay đòn của véc tơ v0 đối với tâm Mặt Trời là l. Tìm khoảng cách nhỏ nhất mà thiên thể này có thể lại gần Mặt Trời. 88 CHƯƠNG 7: NỘI NĂNG VÀ NGUYÊN LÝ THỨ 1 CỦA NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC . 90 A. LÝ THUYẾT 90 1. Nguyên lý thứ 0 của nhiệt động lực học 90 2. Nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học 90 3. Nhiệt dung của vật chất 91 4. Các quá trình của khí lý tưởng 92 B. BÀI TẬP 94 Bài 1: Một quả cầu kim loại có thể lọt khít qua vòng dây kim loại tại nhiệt độ phòng. 94 Nung nóng quả cầu, không nung vòng dây, quả cầu còn lọt qua vòng dây kim loại được nữa không? 94 Nung nóng vòng dây, không nung quả cầu, quả cầu còn lọt qua vòng dây kim loại được nữa không? 94 Bài 2: Giả sử có một thang nhiệt độ ký hiệu là Z. Nhiệt độ sôi của nước theo thang Z là 600Z, điểm ba của nước là –150Z. 94 Tìm sự thay đổi Z của một vật theo thang Z, nếu sự thay đổi đó theo thang Fahrenheit là F = 560F 94 Nhiệt độ của vật theo thang Fahrenheit là bao nhiêu khi theo thang Z là -960Z 94 Bài 3: Độ dài của các thanh ray ở 00C là 12m. Nhiệt độ cao nhất trong năm ở nơi đặt ray là 420C. Nhiệt độ lúc đặt ray là 200C. Hỏi phải đặt ray với khoảng cách tối thiểu giữa hai Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 6
Cập nhật 17/10/2014 thanh là bao nhiêu để đảm bảo an toàn. Cho hệ số nở dài của vật liệu làm ray là = 11.10-6K-1 94 Bài 4: Khối lượng riêng của một vật là hàm số của nhiệt độ. Hệ số nở khối của vật là . Hỏi khi nhiệt độ biến thiên T thì biến thiên theo T như thế nào? 95 Bài 5: Tính nhiệt lượng cần cung cấp cho một miếng nước đá khối lượng m = 720g ở nhiệt độ –100C để nó biến thành lỏng ở 150C. 95 Giả thiết ta chỉ cung cấp cho miếng nước đá một nhiệt lượng là 210 kJ. Hỏi trạng thái của nước như thế nào và nhiệt độ của nó là bao nhiêu? Cho nhiệt dung riêng của đá C = 2,22 kJ/kg.K, nhiệt dung riêng của nước C1 = 4,186 kJ/kg.K, nhiệt nóng chảy của đá  = 333 kJ/kg. 95 Bài 6: Một bức tường cách nhiệt gồm 4 lớp: 96 Lớp thứ nhất dày La, hệ số dẫn nhiệt ka. Lớp thứ tư dày Ld = 2La, hệ số dẫn nhiệt kd = 0,5ka. Lớp thứ hai và lớp thứ ba có độ dày như nhau và làm bằng cùng một chất. Nhiệt độ 0 0 0 T1 = 25 C, T2 = 20 C và T5 = –10 C. Sự dẫn nhiệt là ở trạng thái dừng. Hỏi nhiệt độ T4 và T3 là bao nhiêu? 96 Bài 7: Một chất khí dãn từ thể tích 1m3 tới 4m3 theo đường B trên giản đồ PV như hình vẽ. Sau đó nó được nén trở về thể tích 1m3 theo đường A hoặc C. Tính công khí thực hiện trong mỗi chu trình. 97 Bài 8: Một chất khí chịu các quá trình biến đổi theo đồ thị trên giản đồ PV. Tính nhiệt lượng hệ nhận được trong chu trình. 98 Bài 9: Một chất khí bị biến đổi từ trạng thái đầu A tới trạng thái cuối B theo ba cách khác nhau như mô tả trên giản đồ PV. Trong quá trình theo đường 1, khí nhận nhiệt lượng là 10PiVi. Tính theo PiVi nhiệt lượng khí nhận được và biến thiên nội năng của khí trong các quá trình theo đường 2 và đường 3. 99 Bài 10: Khí thực hiện chu trình như hình vẽ. Tính nhiệt lượng khí trao đổi trong quá trình CA, biết rằng trong quá trình AB hệ nhận nhiệt lượng QAB = 20J, quá trình BC là đoạn nhiệt và công hệ thực hiện trong toàn bộ chu trình là 15J. 100 CHƯƠNG 8: THUYẾT ĐỘNG HỌC CHẤT KHÍ 101 A. LÝ THUYẾT 101 1. Chất khí lý tưởng 101 2. Áp suất và nhiệt độ của chất khí lý tưởng 102 3. Động năng trung bình của phân tử 102 4. Định luật phân bố phân tử theo vận tốc của Maxwell 103 5. Định luật phân bố theo thế năng 104 B. BÀI TẬP 104 Bài 1: Một xylanh chứa 12l ôxi ở nhiệt độ 200C, áp suất 15atm. Nếu nhiệt độ tăng lên đến 350C và thể tích giảm xuống còn 8,5l thì áp suất cuối của khí sẽ là bao nhiêu? 104 Bài 2: Hệ 0,12 mol khí lý tưởng được giữ luôn luôn ở nhiệt độ 100C do tiếp xúc với nguồn nhiệt. Thể tích ban đầu của khối khí là 1,3l. Khí thực hiện một quá trình sinh công 14J. Tìm thể tích và áp suất của khối khí ở cuối quá trình đó. 105 Bài 3: Không khí có thể tích 0,2 m3 và áp suất 1,2.105 Pa được dãn đẳng nhiệt đến áp suất khí quyển và sau đó được làm lạnh dưới áp suất không đổi cho đến khi đạt được thể tích ban đầu. Tính công do khí sinh ra. 105 Bài 4: Một mol khí ôxi ban đầu ở 00C được đốt nóng ở áp suất không đổi. Tính nhiệt lượng cần cung cấp để thể tích khí tăng lên gấp đôi. 106 Bài 5: Do nhận nhiệt lượng 22J nên khối khí thay đổi từ thể tích 50 cm3 đến 100 cm3 khi áp suất được giữ không đổi ở 1 atm. 106 a) Tính độ biến thiên nội năng của khối khí. 106 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 7
Cập nhật 17/10/2014 b) Nếu lượng khí là 2.10-3 mol thì nhiệt độ thay đổi là bao nhiêu 106 c) Nhiệt dung mol đẳng áp là bao nhiêu. 106 Bài 6: Một hệ chứa 5 mol khí Heli dãn nở dưới áp suất không đổi khi nhiệt độ tăng lên một lượng T = 200C. 107 a) Tính nhiệt lượng cung cấp cho hệ trong quá trình đó. 107 b) Tính độ biến thiên nội năng của hệ. 107 c) Tính công khí thực hiện khi dãn nở. 107 Bài 7: Ở nhiệt độ 200C, dưới áp suất 75 cmHg quãng đường tự do trung bình của các phân tử -6 -6 khí Nitơ và Argon là Ar = 9,9.10 cm và N = 27,5.10 cm. 108 a) Tính tỷ số bán kính phân tử của N2 và Ar. 108 b) Tính quãng đường tự do trung bình của các phân tử khí Argon ở 200C dưới áp suất 15 cmHg và ở 400C dưới áp suất 75 cmHg. 108 CHƯƠNG 9: ENTROPI VÀ NGUYÊN LÝ THỨ 2 CỦA NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC . 109 A. LÝ THUYẾT 109 1. Quá trình thuận nghịch và bất thuận nghịch 109 2. Chu trình Carnot 109 3. Động cơ nhiệt và máy lạnh theo chu trình Carnot 110 4. Nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học 110 5. Quy luật tăng Entropy trong quá trình bất thuận nghịch 111 B. BÀI TẬP 112 Bài 1: Một tủ lạnh dùng công 150J để lấy nhiệt lượng 560J từ buồng lạnh. Tính: 112 a) Hệ số làm lạnh của tủ. 112 b) Nhiệt lượng đã tỏa ra môi trường. 112 Bài 2: Một mol khí đơn nguyên tử được đun nóng đẳng tích từ nhiệt độ 300K đến nhiệt 600K sau đó dãn đẳng nhiệt đến áp suất ban đầu rồi được nén đẳng áp đến thể tích ban đầu. Hãy tính: 113 a) Nhiệt lượng hệ hấp thụ trong một chu trình. 113 b) Công hệ sinh ra trong một chu trình. 113 c) Hiệu suất của chu trình. 113 Bài 3: Một hệ khí đơn nguyên tử thực hiện chu trình như hình vẽ. Quá trình BC là đoạn -3 3 -3 3 nhiệt với PB = 10 atm, VB = 10 m và VC = 8.10 m . Tính: 115 a) Nhiệt lượng hệ hấp thụ được trong một chu trình. 115 b) Nhiệt lượng hệ tỏa ra môi trường trong một chu trình. 115 c) Hiệu suất của chu trình. 115 Bài 4: Một động cơ nhiệt chạy theo chu trình Stirling như hình vẽ. Các quá trình AB và CD là đẳng nhiệt. Các quá trình BC và DA là đẳng tích. Động cơ sử dụng n = 8,1.10-3 mol khí lý tưởng, thực hiện 0,7 chu trình trong 1s. Nhiệt độ các nguồn nhiệt của động cơ là T1 = 0 0 95 C và T2 = 24 C, VB = 1,5VA. Tính: 116 a) Công động cơ thực hiện trong một chu trình. 116 b) Công suất của động cơ. 116 c) Nhiệt lượng cung cấp cho khí trong một chu trình. 116 d) Hiệu suất của động cơ. 116 Bài 5: Tính độ tăng entropi trong quá trình biến đổi 1g nước ở 00C thành hơi nước ở 1000C. Biết nhiệt hóa hơi của nước là 2,25.106J/kg và nhiệt dung riêng của nước là 4,18.103 J/kg.K 118 Bài 6: Tính độ biến thiên Entropi của một quá trình thuận nghịch khi biến đổi 6g khí H2 từ thể tích V1 = 10l, áp suất P1 = 1,5 atm đến thể tích V2 = 60l và áp suất P2 = 1 atm. 118 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 8
Cập nhật 17/10/2014 Bài 7: Một hệ gồm n mol khí lưỡng nguyên tử thực hiện một chu trình gồm các quá trình AB, BC, CD, DA như hình vẽ. Hãy tính công hệ sinh ra, nhiệt hệ nhận được và biến thiên nội năng của hệ trong từng quá trình theo các giá trị nhiệt độ T1, T2 và các giá trị Entropi S1, S2, S3 của hệ. 119 Bài 8: Một hệ khí thực hiện chu trình như trong hình vẽ. Tính: 120 a) Công sinh ra trong một chu trình. 120 b) Nhiệt lượng hệ nhận từ nguồn nhiệt độ cao trong một chu trình. 120 c) Hiệu suất của chu trình. 120 Bài 9: Quá trình biến đổi của một mol khí đa nguyên tử được trình bày trên giản đồ TS như hình vẽ. Biết rằng nhiệt lượng hệ nhận trong quá trình AB gấp đôi nhiệt lượng tỏa ra trong quá trình BC. Tính: 121 a) Nhiệt lượng hệ trao đổi trong một chu trình. 121 b) Công hệ nhận được trong quá trình BC. 121 NỘI DUNG ÔN TẬP TRỌNG TÂM 123 1. Nội dung ôn tập trọng tâm kỳ II năm học 2013 – 2014 123 MỘT SỐ ĐỀ THI CUỐI KỲ 124 1. Đề thi cuối kỳ I năm học 2011 – 2012 (đề chung cho khoa ngoài) 124 2. Đề thi cuối kỳ I năm học 2011 – 2012 (đề riêng cho K56 CLC KHMT) 128 3. Đề thi cuối kỳ I năm học 2012 – 2013 (đề chung cho khoa ngoài) 133 4. Đề thi cuối kỳ I năm học 2013 – 2014 (đề chung cho khoa ngoài) 137 5. Đề thi cuối kỳ II năm học 2013 – 2014 (đề chung cho khoa ngoài) 141 PHỤ LỤC: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 146 TÀI LIỆU THAM KHẢO 151 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 9
Cập nhật 17/10/2014 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 10
Cập nhật 17/10/2014 PHẦN I: CƠ HỌC CHƯƠNG 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM A. LÝ THUYẾT 1. Các khái niệm cơ bản a) Chuyển động cơ học: Chuyển động của vật là sự dịch chuyển vị trí của vật đó so với vật khác trong không gian và theo thời gian. b) Chất điểm: Khi kích thước của vật chuyển động nhỏ hơn rất nhiều so với quỹ đạo của chuyển động thì vật có thể coi là chất điểm. Chất điểm là điểm vật chất không có kích thước và khối lượng của nó bằng khối lượng của vật. c) Hệ quy chiếu: Để nhận biết được chuyển động của vật ta cần có một vật mốc quy ước đứng yên, để định lượng được chuyển động ta cần có một hệ tọa độ và một chiếc đồng hồ gắn với vật mốc. Vật mốc, hệ tọa độ và chiếc đồng hồ gắn liền với nó gọi là hệ quy chiếu. Các hệ quy chiếu: Hệ tọa độ đề các Oxyz: Vị trí của chất điểm được đặc trưng bởi véctơ bán kính r với x, y, z là các thành phần của véctơ r trên các trục Ox, Oy, Oz. Khi đó tọa độ của chất điểm là x, y, z. Ký hiệu: M(x, y, z) z z M r y O y x x Hệ tọa độ trong mặt phẳng Oxy: Trong hệ tọa độ này, tọa độ của chất điểm M là ( , ) trong đó là khoảng cách từ chất điểm M đến gốc tọa độ, là góc phương vị. y y M ρ x O x Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 11
Cập nhật 17/10/2014 Mối liên hệ: ρ x2 y2 x ρcos y y ρsin arctan x Hệ tọa độ trụ: Vị trí của chất điểm được cho bởi ba tham số: z, , được xác định tương tự như trong hệ tọa độ cực. x ρcos z y ρsin z z z M y O y ρ x x Hệ tọa độ cầu: Vị trí chất điểm được cho bởi ba tham số: r, , z M θ r y x Mối liên hệ giữa hệ tọa độ cầu và hệ tọa độ đề các Oxyz: r x2 y2 z2 x rsinθcos y y rsinθsin arctan x z rcosθ z θ arccos r d) Véctơ dịch chuyển: Phương pháp chung để xác định vị trí của một chất điểm trong không gian là sử dụng véctơ bán kính r , có điểm đầu là gốc tọa độ và điểm cuối là vị trí chất điểm. Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 12
Cập nhật 17/10/2014 r ix jy kz (với i, j, k là các véctơ đơn vị ứng với các trục Ox, Oy, Oz) + Tại thời điểm t1, vị trí của chất điểm được xác định là r1 + Tại thời điểm t2, vị trí của chất điểm được xác định là r 2 Véctơ dịch chuyển r sau khoảng thời gian t = t2 – t1 là: z Δr r2 r1 Δr r1 r O 2 y x e) Phương trình chuyển động của chất điểm: Khi chất điểm M chuyển động, các tọa độ x, y, z của nó trong hệ tọa độ sẽ thay đổi theo thời gian t hay x, y, z là hàm của t: x x(t) y y(t) (1.1) và r r(t) z z(t) Đây là phương trình chuyển động của chất điểm M. g) Quỹ đạo: Quỹ đạo của chất điểm chuyển động là đường tạo bởi tập hợp tất cả các vị trí của nó trong không gian trong suốt quá trình chuyển động. Để xác định quỹ đạo của chất điểm M có thể dùng các phương trình (1.1). Các phương trình này gọi là phương trình tham số của quỹ đạo. 2. Véctơ vận tốc và véctơ gia tốc a) Véctơ vận tốc: Khi một chất điểm chuyển động thì chất điểm vạch ra một đường cong trong không gian. Đường cong đó gọi là quỹ đạo của chất điểm. Véctơ r sau khoảng thời gian t là: Δr r(t Δt) r(t) + Véctơ vận tốc trung bình là tỷ số giữa véctơ dịch chuyển Δr và khoảng thời Δr gian t xảy ra sự dịch chuyển đó: vtb Δt Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 13
Cập nhật 17/10/2014 Δr dr + Vận tốc tức thời: v lim (1.2) Δt 0 Δt dt Véctơ vận tốc có phương trùng với phương tiếp tuyến của đường cong quỹ đạo tại thời điểm t. b) Véctơ gia tốc: + Véctơ gia tốc trung bình là tỷ số giữa sự thay đổi véctơ vận tốc Δv và khoảng thời gian t mà sau khoảng thời gian đó sự biến đổi vận tốc xảy ra. Δv a tb Δt Δv dv d2 r + Véctơ gia tốc tức thời: a lim (1.3) Δt 0 Δt dt dt 2 Một số công thức trong chuyển động có gia tốc không đổi (chuyển động đều hoặc chuyển động biến đổi đều): Gọi: t là thời gian chuyển động v0, vt là vận tốc ban đầu và vận tốc tại thời điểm t a là gia tốc của chuyển động (a = const) S là quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian t Thì ta có: vt v0 at 1 2 S v0t at (1.4) 2 2 2 vt v0 2aS c) Véctơ gia tốc tiếp tuyến và véctơ gia tốc pháp tuyến: τ d τ R τ' dτ Xét chất điểm chuyển động trên một quỹ đạo cong với vận tốc thay đổi theo thời gian cả về hướng và độ lớn. Giả thiết chất điểm chuyển động trên một đường tròn tâm O bán kính R. Độ cong của quỹ đạo ký hiệu là k, đặc trưng bởi véctơ đơn vị tiếp tuyến τ(t) được xác định như nghịch đảo của bán kính R của quỹ đạo tại điểm đó. Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 14
Cập nhật 17/10/2014 1 d k (với dS là vi phân độ dài cung tròn) R dS Véctơ vận tốc: v vτ dv d(vτ) dv dτ Gia tốc: a τ v (*) dt dt dt dt dτ dτ d dS dτ v d 1 dS Xét: . . . (vì và v ) dt d dS dt d R dS R dt 2 Từ giả thiết: τ 1 2τdτ 0 τ  dτ dτ d Từ hình vẽ: dτ Rd d n n d d (với n là véctơ đơn vị pháp tuyến vuông góc với véctơ đơn vị tiếp tuyến tại điểm quỹ đạo của bán kính cong R) Từ (*) suy ra: dv v2 a τ n at an (1.5) dt R d) Chuyển động của vật bị ném và chuyển động tròn: * Chuyển động của vật bị ném xiên góc 0, vận tốc ban đầu v0: y v0 v0y θ 0 x O L v0x Khảo sát chuyển động của vật bị ném theo phương xiên góc với phương nằm ngang một góc 0, vận tốc ban đầu v0 v0x v0cosθ0 v0y v0sinθ0 - Xét theo phương nằm ngang (hình chiếu của vật trên Ox là chuyển động đều): x x0 v0x t v0cosθ0t (1) - Xét theo phương thẳng đứng: vật rơi tự do với gia tốc a = – g (chiều + lên trên) Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 15
Cập nhật 17/10/2014 g g y y v t t2 v sinθ t t2 (2) 0 0y 2 0 0 2 x x Từ (1) suy ra: t 0 và thay vào (2) ta được: v0cosθ0 2 x x g x x 0 0 y y0 v0sinθ0 v0cosθ0 2 v0cosθ0 2 g x x0 y y0 (x x0 )tanθ0 2 2 2 v0cos θ0 Nếu ban đầu: x0 = 0 và y0 = 0 thì: g 2 y x tanθ0 2 2 x (1.6) 2v0cos θ0 Phương trình trên có dạng: y = ax + bx2 (với a, b là hằng số). Do đó quỹ đạo chuyển động có dạng parabol. - Độ dài L đi được theo phương nằm ngang: Tại x = L thì y = 0: g y x tanθ x 0 0 2 2 2v0cos θ0 x 0 x 0 g 2 2 v0 v0 tanθ0 2 2 x 0 x .2cosθ0.sinθ0 sin(2θ0 ) 2v0cos θ0 g g v2 Vậy quãng đường vật đi được là: L 0 sin(2θ ) (1.7) g 0 0 Lmax sin(20) = 1 0 = 45 - Độ cao lớn nhất (h) mà vật đạt được: Tại độ cao h: vy = 0 v0y v v gt 0 t y 0y g 2 2 2 2 2 gt v0y g v0y v0y v0sin θ0 yh v0y t v0y 2 g 2 g 2g 2g v2sin2θ Vậy độ cao là: h 0 0 (1.8) 2g Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 16
Cập nhật 17/10/2014 * Chuyển động của vật bị ném ngang, vận tốc ban đầu v0: v0 x O h L y Giả sử một vật khối lượng m bị ném ngang từ một điểm O có độ cao h. Sau khi truyền vận tốc ban đầu v0 vật chỉ còn chịu tác dụng của trọng lực P (bỏ qua sức cản của không khí). Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. - Xét theo phương nằm ngang: x v0t (1) - Xét theo phương thẳng đứng: vật rơi tự do với gia tốc g (chọn chiều dương hướng xuống dưới) 1 y gt 2 (2) 2 Thay (1) vào (2) ta được: 2 g x g y y x2 2 (1.9) 2 v0 2v0 (quỹ đạo chuyển động của vật có dạng parabol) + Tầm ném xa: g 2 2y y 2 x x v0 2v0 g 2h Nếu vật ở độ cao h thì tầm ném xa là: L v0 (1.10) g + Thời gian từ lúc ném đến khi chạm đất: bằng thời gian vật rơi tự do khi ở cùng độ cao ban đầu: 2h t (1.11) g Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 17
Cập nhật 17/10/2014 * Chuyển động tròn đều: y vP P Q vQ θ R x O Xét chất điểm chuyển động tròn đều với vận tốc không đổi. Hai điểm P, Q gần nhau và đối xứng với nhau qua trục Oy. Ta có thành phần x, y của véctơ vận tốc tại P, Q là: vPx vcosθ vQx vcosθ ; vPy vsinθ vQy vsinθ Thời gian cần thiết để chất điểm chuyển động từ P Q là: cung PQ R2θ Δt v v Véctơ gia tốc trung bình theo các phương: + Theo phương Ox: vQx vPx vcosθ vcosθ a tb(x) 0 Δt Δt + Theo phương Oy: vQy vPy vsinθ vsinθ 2vsinθ a tb(y) Δt Δt Δt Về độ lớn: 2vsinθ 2vsinθ v2 sinθ atb(y) Δt R2θ R θ v Khi P Q thì  00. Ta có: v2 sinθ v2 a lim (1.12) θ 0 R θ R Trong chuyển động tròn đều, gia tốc luôn hướng vào tâm của quỹ đạo tròn và luôn vuông góc với véctơ vận tốc. Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 18
Cập nhật 17/10/2014 B. BÀI TẬP Bài 1: Một người chạy đua với vận tốc thay đổi theo thời gian được minh họa bằng đồ thị trên hình vẽ. Hỏi người đó chạy được quãng đường là bao nhiêu trong 16 giây? v (m/s) 8 Giống với bài 2, trang 180, giáo trình Q1. 4 (b) Hoặc tương tự bài 2, trang (c) (d) (a) 36, giáo trình Q2 0 4 8 12 16 t (s) Lời giải: Quãng đường người đó chạy được trong 16 giây là: 16 S vdt 0 Vận tốc chạy là: nhanh dần đều, đều, chậm dần đều, đều ứng với các khoảng thời gian [0, 2], [2, 10], [10, 12], [12, 16] giây. Quãng đường đi được là tổng diện tích của các đa giác: (a), (b), (c), (d) như trên hình vẽ. Quãng đường đi được: 1 8 4 S S S S S .2.8 8.8 .2 4.4 100 (m) (a) (b) (c) (d) 2 2 Bài 2: Đồ thị phụ thuộc vận tốc của vật vào thời gian có dạng như hình vẽ. Vận tốc cực đại của vật là v0, thời gian chuyển động là t0. Hãy xác định quãng đường mà vật đi được trong thời gian đó. v Giống với bài 3, trang 180, giáo trình Q1 v0 0 t0 t Lời giải: Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của vận tốc theo thời gian có dạng một nửa hình elip, hai bán trục là v0 và t0/2. Hàm phụ thuộc của v vào t có dạng: Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 19
Cập nhật 17/10/2014 v2 4t2 4t2 1 v v2 1 2 2 0 2 v0 t0 t0 Quãng đường đi được là: t0 t0 4t 2 v t0 S vdt v2 1 dt 0 t2 4t2 dt 0 2 0 0 0 t0 t0 0 t t Đặt t 0 sinx dt 0 cosxdx 2 2 v π t v t π S 0 t2 t2 sin2 x . 0 cosxdx 0 0 cos2xdx 0 0 t0 0 2 2 0 π v t π v t sin2x S 0 0 (1 cos2x)dx 0 0 x 4 0 4 2 0 πv t S 0 0 (m) 4 Cách 2 ngắn gọn hơn: Quãng đường cần tìm là diện tích một nửa hình elip. Diện tích hình elip có bán t trục v và t /2 là: π v 0 (công thức này đã được chứng minh) 0 0 0 2 π v t Quãng đường đi được: S 0 0 (m) 4 Bài 3: Một người quan sát đứng ngang với đầu tàu hỏa lúc nó bắt đầu chuyển động và nhận thấy toa đầu tiên chạy ngang qua mình mất một khoảng thời gian t = 4s. Hỏi toa tàu thứ n = 7 chạy ngang qua người đó trong khoảng thời gian là bao nhiêu lâu? Biết rằng chuyển động của tàu là nhanh dần đều, độ dài của các toa là như nhau và bỏ qua độ dài chỗ nối giữa các toa. Giống với bài 4, trang 181, giáo trình Q1 Gọi gia tốc của chuyển động là a. 1 + Chiều dài toa đầu tiên là: l at2 (với t là thời gian toa 1 chạy qua) 1 2 1 1 1 + Chiều dài n toa đầu tiên là: l at2 (với t là thời gian n toa chạy qua) n 2 n n 1 + Chiều dài (n – 1) toa đầu tiên là: l at2 n-1 2 n-1 Mà chiều dài của các toa bằng nhau nên ta có: 1 1 1 at2 at2 at2 t2 t2 t2 t2 t2 t2 2 n 2 n-1 2 1 n n-1 1 n n-1 1 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 20
Cập nhật 17/10/2014 2 2 2 Suy ra: tn-1 tn-2 t . Do đó: 2 2 2 2 2 2 t n t n-2 2t1 t n-3 3t nt 1 tn t n (vì t1 = t = 4s) Tương tự ta có: tn 1 t n 1 Do đó, thời gian toa thứ n chạy qua là: tn tn 1 t n n 1 Vậy, thời gian toa thứ 7 chạy qua là: 4 7 6 0,785 (s) Bài 4: Một vật được ném lên trên theo phương thẳng đứng. Người quan sát thấy vật đó đi qua vị trí có độ cao h hai lần và khoảng thời gian giữa hai lần đó là t. Tìm vận tốc ban đầu và thời gian chuyển động của vật từ lúc ném đến khi vật rơi về vị trí ban đầu. Gọi v0 là vận tốc ban đầu, chiều dương hướng lên trên. ( ) hmax 2 gt h v0t 2 v 0 0 m Ta có: t1, t 2 gt 2 h v t gt 2 2v t 2h 0 0 2 0 Bài toán tương ứng với việc tìm v0 sao cho phương trình trên có hai nghiệm t1 và t2 thỏa mãn: (t2 – t1) = t 2 2 Tính: Δ' b' ac v0 2gh Khi ' > 0 thì phương trình có 2 nghiệm t1, t2. Áp dụng hệ thức Vi – ét ta được: b 2v0 t1 t2 a g c 2h t1t2 a g Mà: (t2 – t1) = t 4v2 8h 4v2 8gh g2t2 t t 2 t2 t t 2 4t t t2 0 t2 0 1 2 1 2 1 2 g2 g g2 g2 g2 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 21
Cập nhật 17/10/2014 g2t2 8gh v2 (thỏa mãn điều kiện ' > 0) 0 4 1 g2t2 8gh g 8h 2 2 v0 v0 t 4 2 g 2v Vật ở tại mặt đất (h = 0) khi t = 0 hoặc tại thời điểm t 0 1 2 g 1 1 2v 2g 8h 2 8h 2 0 2 2 Do đó: t t2 t t t g 2g g g Bài 5: Hai vật được ném đi đồng thời từ cùng một điểm. Vật thứ nhất đước ném thẳng đứng lên trên với vận tốc v0 = 25m/s, vật thứ hai được ném với cùng vận tốc 0 ban đầu v0 và tạo với phương ngang góc = 60 . Xác định khoảng cách giữa hai vật sau thời gian t = 1,7s y (x1, y1) (x2 ,y2 ) 600 O x Chiếu tọa độ các vật lên các phương Ox, Oy. Đối với vật 1 (vật ném đứng): x 0 1 gt 2 y1 v0t 2 Đối với vật 2 (vật ném xiên góc 600): x v tcosθ 2 0 gt 2 y2 v0tsinθ 2 Khoảng cách giữa hai vật sau khoảng thời gian t = 1,7s là: 2 2 2 2 2 2 2 2 d x2 x1 y2 y1 v0t cos θ v0t sinθ 1 d v0t 2 2sinθ 25.1,7 2 3 22 (m) Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 22
Cập nhật 17/10/2014 Bài 6: Một hòn đá được ném với vận tốc ban đầu v0 = 20m/s theo phương hợp với phương nằm ngang góc  = 600. Xác định bán kính cong R của quỹ đạo hòn đá tại điểm cao nhất và tại điểm nó rơi xuống mặt đất. Bỏ qua sức cản của không khí. y A vAx v0 an  g θ B x O an vB Chiếu vận tốc lên các trục Ox, Oy ta có: g + Bán kính cong tại điểm cao nhất A: v v cosθ 2 1 Ax 0 v2 v2 2 2 20 . A Ax v0cos θ 4 vAy 0 R A RA 10,19 m a n g g 9,81 a n g + Bán kính cong tại điểm mặt đất B: v v cosθ Bx 0 2 2 2 2 2 2 vB v0cos θ v0sin θ v0 vBy v0sinθ R B RB a n gcosθ gcosθ a n gcosθ 202 81,55 (m) 1 9,81. 2 Bài 7: Một con tàu chuyển động dọc theo xích đạo về hướng đông với vận tốc v0 = 30km/h. Trong lúc đó có một luồng gió với vận tốc v = 15km/h thổi đến từ hướng đông nam và hợp với phương xích đạo một góc  = 600. Hãy xác định vận tốc v' của luồng gió so với tàu và ' là góc giữa hướng gió và xích đạo trong hệ quy chiếu gắn với con tàu. v' v Giống với bài 9, trang 182, giáo trình Q1 θ θ' v0 Vận tốc của luồng gió so với đoàn tàu có phương và chiều như hình vẽ: v' v v0 2 2 2 0 Độ lớn: v' v v0 2v v0cos120 1575 (theo định lý cosin) v' 39,7 (km/h) Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 23
Cập nhật 17/10/2014 Góc giữa hướng gió và xích đạo trong hệ quy chiếu gắn với con tàu: Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có: 3 0 15. v v' vsin120 2 sinθ' 0,3273 sinθ' sin1200 v' 1575  θ' arcsin 0,3273 θ' 19,10 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 24
Cập nhật 17/10/2014 CHƯƠNG 2: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM A. LÝ THUYẾT 1. Lực và khối lượng Lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng của vật này lên vật khác và gây ra gia tốc. Khối lượng đặc trưng cho các vật khác nhau khi chịu một lực như nhau thì nhận được gia tốc khác nhau. 2. Ba định luật Newton a) Định luật 1: Vật đứng yên hay chuyển động thẳng đều nếu nó không chịu tác dụng của ngoại lực hoặc tổng hợp lực tác dụng lên vật bằng 0. a 0 F 0 (2.1) Định luật 1 còn được gọi là định luật quán tính. Hệ quy chiếu xác định định luật đó gọi là hệ quy chiếu quán tính. Quán tính có nghĩa là: nếu vật đang xét không chịu lực tác dụng thì trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của nó được bảo toàn. b) Định luật 2: Lực tác dụng tổng hợp lên vật bằng tích khối lượng của vật và gia tốc mà vật nhận được dưới tác dụng của lực tổng hợp đó. F ma (2.2) c) Định luật 3: Khi hai vật tương tác với nhau thì lực mà vật 1 tác dụng lên vật 2 bằng và ngược chiều với lực tác dụng từ vật 2 lên vật 1: F12 F21 (2.3) Chú ý: Mặc dù hai lực có độ lớn bằng nhau và ngược chiều nhau nhưng không cùng điểm đặt nên chúng không triệt tiêu với nhau. Hạn chế: chỉ áp dụng được nếu khoảng thời gian mà lực truyền từ vật 2 sang vật 1 là rất ngắn so với khoảng thời gian tương tác giữa hai vật. 3. Động lượng, xung lượng của lực, định luật biến thiên và bảo toàn động lượng a) Động lượng: - Động lượng của một chất điểm được định nghĩa bởi: P mv - Động lượng của hệ n hạt, mỗi hạt có khối lượng và vận tốc riêng: n P Pi P1 P2 P3 Pn Mvc (C là khối tâm của hệ) i 1 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 25
Cập nhật 17/10/2014 Động lượng của hệ hạt bằng khối lượng tổng cộng của hệ nhân với véctơ vận tốc của khối tâm. dP Định luật 2 Newton cho hệ n hạt: Fng Mac  dt b) Xung lượng của lực: Xét va chạm của hai vật có khối lượng khác nhau. Áp dụng định luật 2 Newton cho vật bị tác dụng ta có: dP t2 F(t) dP F(t)dt dP F(t)dt P2 P1 F(t)dt dt t1 Trong đó: t1 là thời điểm bắt đầu, t2 là thời điểm kết thúc. Phương trình trên thể hiện sự thay đổi động lượng do va chạm của vật: ΔP P2 P1 Định nghĩa xung lượng của lực trong thời gian t = t2 – t1 là: t 2 J F(t)dt (2.4) t1 Nếu Ftb là giá trị trung bình của lực thì: Jtb = Ftb. t c) Định luật biến thiên và bảo toàn động lượng: Độ biến thiên động lượng của một vật trong một khoảng thời gian bằng xung lượng của ngoại lực tác dụng lên vật trong khoảng thời gian đó. ΔP J (2.5) Nếu tổng tất cả các ngoại lực tác dụng lên vật bằng 0 (hệ cô lập) thì động lượng được bảo toàn: dP Fng 0 P const (2.6) dt d) Chuyển động của vật có khối lượng thay đổi (tên lửa): Xét khối lượng tổng cộng của tên lửa là M0. Trong quá trình chuyển động khối lượng của tên lửa giảm dần đồng thời vận tốc tăng dần. Tìm vận tốc v của tên lửa khi khối lượng của nó là M. Động lượng ban đầu của tên lửa là: P1 Mv Sau khoảng thời gian dt, tên lửa phụt ra khối lượng khí là dM. Nếu vận tốc phụt của khí so với tên lửa là u thì vận tốc của khí so với hệ quy chiếu đang xét là: u v Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 26
Cập nhật 17/10/2014 Động lượng của khí phụt ra là: dM u v Lúc này khối lượng của tên lửa là M – dM, vận tốc của tên lửa là v dv Động lượng của tên lửa sau khi phụt khí: M dM v dv Tổng động lượng của hệ sau khi phụt khí là: P2 dM u v M dM v dv Vì hệ kín nên động lượng được bảo toàn: P1 P2 Mv dM u v M dM v dv Mv udM vdM Mv Mdv vdM dMdv 0 udM Mdv dMdv Bỏ qua thành phần vô cùng nhỏ bậc 2: dMdv ta được: udM Mdv 0 dM v M dM M dM udM Mdv dv u dv u v u M M M 0 M0 M0 M v u ln 0 (2.7) (Công thức Xioncopsky) M u Để có v lớn thì phải tăng: M 0 M e) Hệ quy chiếu quán tính. Phép biến đổi Galile: Xét hệ quy chiếu K có điểm gốc O, đứng yên và hệ tọa độ Oxyz gắn với nó. Một hệ quy chiếu K' với hệ tọa độ tương ứng là O'x'y'z'. Hệ tọa độ này chuyển động đều dọc theo trục Ox với vận tốc v0. Các trục Oy // O'y', Oz // O'z'. Giả sử tại thời điểm ban đầu O trùng O', vật có tọa độ (x,y,z) ứng với K và (x', y', z') ứng với K'. Giả thiết thời gian trong hai hệ K và K' là như nhau. y' y K' O' x' x' K x O x Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 27
Cập nhật 17/10/2014 Phép biến đổi Galile từ K sang K' như sau: x' x v0t y' y z' z Phép biến đổi Galile từ K' sang K như sau: x x' v0t y y' (2.8) z z' Trong phạm vi cơ học cổ điển mà sự chuyển tọa độ giữa hệ quy chiếu quán tính được thực hiện nhờ phép biến đổi Galile thì không gian có tính tương đối và thời gian có tính tuyệt đối. Tính chất tuyệt đối của thời gian là tính chất cơ bản của cơ học cổ điển. Độ dài và các khoảng thời gian trong hệ quy chiếu quán tính là không đổi. 2 2 2 2 2 2 L (x 2 x1) (y2 y1) (z2 z1) (x'2 x'1 ) (y'2 y'1 ) (z'2 z'1 ) Δt t2 t1 t'2 t'1 g) Hệ quy chiếu phi quán tính, lực quán tính: Hệ quy chiếu phi quán tính là hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc so với hệ quy chiếu quán tính. Có hai dạng đơn giản của hệ quy chiếu phi quán tính: + Chuyển động thẳng có gia tốc. + Chuyển động quay. Phép chuyển đổi: giả sử trong hệ quy chiếu quán tính K, vật có vận tốc v và gia tốc a . Trong hệ quy chiếu K', vật có vận tốc là v' và gia tốc a '. Hệ K' chuyển động với vận tốc v0 , gia tốc a0 so với hệ K. v v' v0 Ta có: (2.9) a a' a0 Biến đổi ta được: F ma' ma0 (với F là tổng các lực thật tác dụng lên vật) F ma0 ma' (*) Phương trình (*) là biểu hiện của định luật 2 Newton cho hệ quy chiếu phi quán tính. Tổng các lực tác dụng lên vật bằng khối lượng của vật nhân với gia tốc trong hệ quy chiếu phi quán tính đó. Biểu diễn đại lượng: ma0 như một lực gọi là lực quán tính. Ta được: Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 28
Cập nhật 17/10/2014 F Fqt ma' (2.10) Lực Fqt ma0 tác dụng lên bất kỳ vật nào có khối lượng trong hệ quy chiếu phi quán tính K'. h) Lực quán tính trong hệ quy chiếu chuyển động quay, lực quán tính ly tâm và lực coriolis: Xét hệ quy chiếu K và K' có Oz  O'z' Các trục Ox' và Oy' quay xung quanh Oz. Khi đó, biến đổi ta được: ma 2m[v'ω] mω2 r' ma' F FC FL ma' (2.11) Trong đó: F ma là tổng các lực thật tác dụng lên vật. FC 2m[v'ω] là lực coriolis, v' là vận tốc trong hệ quy chiếu K'. 2 FL mω r' là lực quán tính ly tâm, r' là vị trí chất điểm trong K'. B. BÀI TẬP 0 Bài 1: Một vật A khối lượng m1 = 3kg nằm trên mặt phẳng nghiêng góc  = 30 so với phương nằm ngang. Vật A được nối với B có khối lượng m2 = 2kg bằng một sợi dây không co dãn qua một ròng rọc cố định. Hãy xác định gia tốc chuyển động của các vật, lực căng của sợi dây và áp lực lên ròng rọc. Bỏ qua khối lượng sợi dây, ròng rọc và ma sát giữa dây với ròng rọc. Cho biết hệ số ma sát giữa vật A và mặt phẳng nghiêng  = 0,1. T1 N T2 m1 Pt m2 F ms Pn F PA 300 PB Chọn chiều dương là chiều chuyển động của vật như hình vẽ: Chiếu các lực tác dụng lên chiều chuyển động: + Đối với vật A, khối lượng m1: Pt Fms T1 m1a Pt Fms T m1a (1) (vì T1 = T2 = T) + Đối với vật B, khối lượng m2: Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 29
Cập nhật 17/10/2014 PB T2 m2 a PB T m2a (2) Cộng từng vế (1) và (2) ta được: Pt Fms PB (m1 m2)a m1gsinθ μm1gcosθ m2g (m1 m2)a m m sinθ μm cosθ 2 3sin300 0,1.3cos300 a g 2 1 1 9,81 0,47 (m/s2 ) m1 m2 5 Lực căng T của sợi dây có độ lớn là: PB T m2a T PB m2a T m2(g a) m m sinθ μm cosθ 2 1 1 T m2g 1 m1 m2 m m m m sinθ μm cosθ 1 2 2 1 1 T m2g m1 m2 1 sinθ μ cosθ T m1m2g m1 m2 1 sin300 0,1cos300 T 3.2.9,81 18,68 (N) 5 Áp lực tác dụng lên ròng rọc: F (T1 T2 ) và có phương, chiều như hình vẽ. 900 θ Độ lớn: F 2Tcos (theo định lý cosin trong tam giác) 2 F 2Tcos300 32,35 N Bài 2: Một vật được ném lên theo mặt phẳng nghiêng tạo với phương nằm ngang góc  = 150. Tính hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng. Biết rằng thời gian đi xuống của vật bằng n = 2 lần thời gian đi lên. N Giống với bài 13, trang 183, giáo trình Q1 Pt Pn Gọi hệ số ma sát là . P θ Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 30
Cập nhật 17/10/2014 Quãng đường đi lên và đi xuống là bằng nhau. Khi đi lên thì vật chuyển động chậm dần đều (al 0) 2 1 2 1 2 ax tl 1 2 S al tl axt x 2 2 al n ax 2 2 al tx n Áp dụng định luật II Newton cho các quá trình chuyển động của vật. Chọn chiều dương là chiều chuyển động. +) Khi vật chuyển động đi lên: Pt Fms ma l Pt Fms ma l mgsinθ μmgcosθ mal al g(sinθ μcosθ) +) Khi vật chuyển động đi xuống: Pt Fms ma x Pt Fms ma x mgsinθ μmgcosθ max ax g(sinθ μcosθ) 2 Mà: al n a x do đó: g(sinθ μcosθ) n2g(sinθ μcosθ) (n2 1)μcosθ (n2 1)sinθ n2 1 3 μ tanθ μ tanθ n2 1 5 Bài 3: Một vật khối lượng m = 1kg buộc vào đầu dây có chiều dài l = 30cm, đầu kia của dây được giữ cố định tại điểm O. Cho vật chuyển động tròn trong mặt phẳng ngang, còn sợi dây hợp với phương thẳng đứng góc  = 600. Hãy xác định vận tốc v, sức căng T của dây. O θ T l m Fht v +) Tính lực căng T: P Vật m chịu tác dụng của lực căng T và trọng lực P . Tổng hợp của 2 lực này là một lực hướng vào tâm Fht và gây ra chuyển động tròn của vật. Fht T P Chiếu lên phương chuyển động (phương của v ) ta được: Fht 0 (vì Fht  v ) Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 31
Cập nhật 17/10/2014 P mg P Tcosθ 0 T 20 (N) (lấy g = 10m/s2) cosθ cos600 +) Tính vận tốc v: Trong chuyển động tròn đều ta có: mv2 F (với R là bán kính quỹ đạo: R = lsin) ht R mv2 Tlsin2θ 19,6.0,3.sin2 600 Tsinθ v lsinθ m 1 v 2,1 (m/s) Bài 4: Một người khối lượng m1 = 60kg đứng trong thang máy có khối lượng m2 = 300kg. Thang máy chuyển động lên trên với gia tốc a = 0,8 m/s2. Tính lực căng của dây cáp treo thang máy, lực người đó nén lên sàn, trong hai trường hợp thang máy chuyển động: a) Nhanh dần đều. b) Chậm dần đều. a) Lực căng của dây cáp và áp lực của người lên sàn khi thang máy chuyển động nhanh dần đều: Áp dụng định luật II Newton cho hệ người và thang máy ta được: T Quái! Tầng nào F ma (với F là tổng ngoại lực) cũng mở. Bị hack à? Chọn chiều dương hướng lên trên thì a > 0: mg T ma T m(a g) XIN VUI LÒNG XẾP HÀNG P (ưu tiên cán bộ, giảng viên) T (m1 m2)(a g) Tầng 1 nhà T5 T (60 300)(0,8 9,81) 3820 (N) Áp lực của người lên sàn ( W ): P1 W m1a W m1a P1 W m1a ( m1g) W m1(a g) W 60.10,61 637 (N) b) Lực căng của dây cáp và áp lực của người lên sàn khi thang máy chuyển động chậm dần đều: P T ma Chọn chiều dương hướng lên trên thì a < 0: Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 32
Cập nhật 17/10/2014 mg T ma T m(g a) T (m1 m2)(g a) T (60 300)(9,81 0,8) 3244 (N) Áp lực của người lên sàn ( W ): W m1 a P1 W m1a ( m1g) W m1(g a) 60.9,01 541 (N) Bài 5: Một người nặng 72kg ngồi trên sàn treo nặng 12kg như hình vẽ. Hỏi người đó phải kéo dây với một lực bằng bao nhiêu để sàn chuyển động nhanh dần đều lên cao được 3m trong thời gian là 2s. Tính áp lực của người đó lên sàn. T m2 m1 Gia tốc của chuyển động lên trên: P 1 1 2S 2.3 S v t at2 at2 a 1,5 (m/s2 ) 0 2 2 t2 22 Gọi m1 và m2 là khối lượng của người và sàn. Áp dụng định luật II Newton cho hệ cả người và sàn ta được: P 2T ma Chọn chiều dương hướng lên trên: m m mg 2T ma 2T m(g a) (m m )(g a) T 1 2 (g a) 1 2 2 72 12 T (9,81 1,5) 475 (N) 2 Áp lực W của người lên sàn: áp dụng định luật II Newton cho người P1 W T m1a W m1a P1 T Chọn chiều dương hướng lên trên và chiếu lên phương chuyển động ta được: W m1a m1g T W m1(a g) T W 72(1,5 9,81) 475 339 (N) Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 33
Cập nhật 17/10/2014 Bài 6: Hãy xác định gia tốc của các vật m1, m2 và các lực căng T của các dây trong hệ mô tả trên hình vẽ. Cho biết dây không co dãn, bỏ qua ma sát, khối lượng của ròng rọc và dây không đáng kể. Giống với bài 11, trang 183, giáo trình Q1 T2 Áp dụng định luật II Newton cho các vật m1 và m2 và chiếu theo phương chuyển động ta được (giả sử vật m1 chuyển động xuống): T1 T3 T4 +) Đối với vật m1: m1 P1 T1 m1a1 m1g T m1a1 (vì T1 = T3 = T4 = T) P1 m1a1 T m1g (1) m2 +) Đối với vật m2: P2 P2 T3 T4 m2 a 2 m2g 2T m2 a 2 m2a 2 2T m2g (2) Mà a1 2a 2 (vì quãng đường vật 1 đi được gấp đôi quãng đường vật 2 đi được và gia tốc lại tỷ lệ với quãng đường: a = 2S/t2) Do đó, từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn: m1a1 T m1g 2m1a 2 T m1g 4m1a 2 2T 2m1g m2a 2 2T m2g m2a 2 2T m2g m2a 2 2T m2g Cộng từng vế của hệ phương trình ta được: 2m1 m2 a 2 g 4m1 m2 m (a g) m 2m m 3m m T 2 2 2 1 2 g g 1 2 g 2 2 4m1 m2 4m1 m2 2m m a 2g 1 2 Suy ra: a1 2a2 1 4m1 m2 Các lực căng là: 3m1m2 T1 T3 T4 T g 4m1 m2 6m1m2 T2 T1 T3 2T T2 g 4m1 m2 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 34
Cập nhật 17/10/2014 Bài 7: Một vật A khối lượng m1 buộc vào đầu dây vắt qua ròng rọc, đầu kia là một vòng B khối lượng m2 có thể trượt dọc sợi dây. Tính gia tốc chuyển động của vòng B, lực ma sát giữa sợi dây và vòng B khi A chuyển động đều, nếu ban đầu hệ đứng yên. Bỏ qua khối lượng của ròng rọc và ma sát. Áp dụng định luật II Newton cho các vật m1, m2 và chọn chiều dương hướng lên trên. +) Đối với vật A khối lượng m1: T T P1 T1 m1a1 0 (vì chuyển động đều) m1g T 0 (vì T1 = T2 = T) A m1 T m1g B 1 P m2 +) Đối với vật B khối lượng m2 P2 P2 T2 m2 a2 (trong đó T2 bằng lực ma sát giữa vòng B và sợi dây) m2g T m2a2 (a2 > 0 vì vòng B chuyển động xuống dưới, nhanh dần) m g T T m m a 2 g g 1 g a 1 1 g 2 (vì T m1g ) 2 m2 m2 m2 m2 Lực ma sát giữa sợi dây và vòng B: Fms T m1g Bài 8: Một vật khối lượng m đứng yên trên đỉnh một mặt phẳng nghiêng nhờ lực ma sát. Cho biết chiều dài mặt phẳng nghiêng S = 1m, góc  = 300, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng  = 0,6. Hỏi: a) Mặt phẳng nghiêng có thể chuyển động với gia tốc amax (so với mặt đất) là bao nhiêu để vật đứng yên trên nêm. 2 b) Nếu gia tốc chuyển động của mặt phẳng nghiêng là a0 = 1 m/s thì sao bao nhiêu lâu vật sẽ trượt đến chân mặt phẳng nghiêng. y N Fms O Fqt Pt a0 P θ x Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 35
Cập nhật 17/10/2014 Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ: Khi vật chuyển động về phía bên phải với gia tốc a thì xuất hiện một lực quán tính Fqt kéo vật về phía bên trái. a) Tìm gia tốc amax của nêm để vật vẫn còn đứng yên: Vì vật đứng yên nên: F 0 (với F là tổng ngoại lực tác dụng lên vật) P Fqt Fms N 0 +) Chiếu phương trình lên trục Ox: mgsinθ mcosθamax μN 0 (1) (Vật đứng yên khi Fms N. Khi Fms = N thì ứng với gia tốc amax của nêm) +) Chiếu phương trình lên trục Oy: N mgcosθ msinθamax 0 N mgcosθ msinθamax (2) Thế (2) vào (1) ta được: mgsinθ mcosθamax μ mgcosθ msinθamax 0 gsinθ cosθamax μ gcosθ sinθamax 0 cosθamax μsinθamax μgcosθ gsinθ cosθ μsinθ amax μcosθ sinθ g μcosθ sinθ a g max cosθ μsinθ 0 μcotθ 1 0,6.cot30 1 2 amax g .9,81 0,165 (m/s ) cotθ μ cot300 0,6 b) Thời gian vật trượt đến chân dốc nếu mặt phẳng nghiêng chuyển động với gia tốc: 2 a0 = 1m/s : Khi nêm chuyển động với gia tốc a0 > amax thì vật sẽ chuyển động từ đỉnh đến chân mặt phẳng nghiêng. Ta có phương trình theo định luật II Newton: P Fqt Fms N ma (với a là gia tốc khi vật chuyển động xuống chân mặt phẳng nghiêng). Chiếu lên hai trục Ox và Oy ta được: mgsinθ mcosθa 0 μN ma mgsinθ mcosθa 0 μN ma N mgcosθ msinθa 0 0 N mgcosθ msinθa 0 mgsinθ mcosθa μN mgsinθ mcosθa μ mgcosθ msinθa a 0 0 0 m m Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 36
Cập nhật 17/10/2014 a gsinθ cosθa0 μ gcosθ sinθa0 a g sinθ μcosθ a0 cosθ μsinθ Quãng đường vật chuyển động từ đỉnh đến chân mặt phẳng nghiêng là: 1 1 2 at 2S 2 2S 2 S t t 2 a g sinθ μcosθ a0 cosθ μsinθ 1 2 2 t 1,43 (s) 0 0 0 0 9,81 sin30 0,6cos30 1 cos30 0,6sin30 Bài 9: Một chậu nước trượt trên mặt dốc có góc nghiêng so với phương ngang là . Hệ số ma sát trượt giữa chậu và mặt dốc là  < tan . Hãy xác định góc nghiêng  của mặt nước so với mặt dốc. y N0 Fqt O β P0 a x +) Xét một phân tử nước nằm tại điểm O, khối lượng m0. Bỏ qua lực liên kết giữa phân tử tại O với các phân tử khác. Khi chậu nước trượt xuống dưới thì xuất hiện lực quán tính tác dụng vào phân tử tại O. Chọn hệ quy chiếu phi quán tính là chậu nước, áp dụng định luật II Newton trong hệ quy chiếu này ta có: F0 0 (với F0 là tổng ngoại lực tác dụng lên phân tử nước tại O) P0 N0 Fqt 0 Chiếu phương trình lên Ox và Oy có chiều như hình vẽ, ta được: Ox : m0gsinα m0a N0sinβ 0 (với a là gia tốc của chậu khi trượt) Oy : N0cosβ m0gcosα 0 m gsinα m a N sinβ 0 0 0 0 m0gcosα m0gsinα m0a m0g tanβcosα 0 N0 cosβ gsinα a gtanβcosα 0 (*) Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 37
Cập nhật 17/10/2014 Xét cả chậu nước có khối lượng m trong hệ quy chiếu quán tính là mặt phẳng nghiêng, ta có: P N Fms ma Chiếu phương trình theo phương Ox và Oy ta được: Ox : mg sinα μN ma mg sinα μN ma Oy : N mg cosα 0 N mg cosα mgsinα μmgcosα ma a g sinα μcosα Thay giá trị của a vào phương trình (*) ta được: gsinα a gtanβcosα 0 gsinα g sinα μcosα gtanβcosα 0 sinα sinα μcosα tanβcosα 0 μ tanβ 0 tanβ μ β arctan(μ) Bài 10: Một người đứng trên cân bàn đặt trên xe nhỏ. Khi xe chuyển động không ma sát trên mặt phẳng nghiêng một góc so với phương nằm ngang thì người đó thấy trọng lượng của mình chỉ còn 3/4 trọng lượng khi xe đứng yên. Hãy xác định góc . N Fqt y P O x +) Xét người trong hệ quy chiếu trên bàn cân. Áp dụng định luật II Newton: P Fqt N 0 Chiếu phương trình lên Oy ta có: Fqtsinα N P 0 3 1 F sinα P P 0 F sinα P 0 qt 4 qt 4 1 ma sinα mg 0 4 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 38
Cập nhật 17/10/2014 (với a là gia tốc của bàn cân so với mặt phẳng nghiêng) g sinα (*) 4a +) Xét hệ cả xe và người: Áp dụng định luật II Newton Psinα Ma (với P và M là trọng lượng và khối lượng của hệ) Chiếu theo phương chuyển động ta được: Mg sinα Ma a gsinα Thay giá trị của a vào phương trình (*) ta được: g g 1 sinα 4a 4gsinα 4sinα 1 1 sin2α sinα α 300 4 2 Bài 11: Một sợi dây không co dãn vắt qua một ròng rọc cố định có khối lượng không đáng kể. Một đầu dây treo một vật khối lượng m, đầu dây kia có một con khỉ khối lượng 2m bám vào. Con khỉ leo lên dây với gia tốc a’ so với dây. Hãy tìm gia tốc a của con khỉ đối với mặt đất. Mệt quá! Sao không treo vật >2m để anh khỏi phải trèo m Gọi: + a là gia tốc của khỉ so với mặt đất (xét trong hệ quy chiếu K). + a0 là gia tốc của dây so với mặt đất (hệ K' chuyển động so với K). + a' là gia tốc của khỉ so với dây (xét trong hệ quy chiếu K'). Suy ra: a a' a0 . Trước hết, ta đi tìm a0 Xét trong hệ quy chiếu sợi dây (hệ quy chiếu phi quán tính K’): + Đối với vật khối lượng m: Pv Tv Fqtv 0 (vì vật không chuyển động so với dây) Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 39
Cập nhật 17/10/2014 Chọn chiều dương hướng lên trên và chiếu theo phương chuyển động ta được: mg T ma0 0 (1) + Đối với khỉ khối lượng 2m: Pk Tk Fqtk 2ma' Chọn chiều dương hướng lên trên và chiếu theo phương chuyển động ta được: 2mg T 2ma0 2ma' (2) Trừ từng vế (1) và (2) ta được: mg 3ma0 2ma' 2a' g g 3a 2a' a 0 0 3 Gia tốc a của con khỉ so với mặt đất là: a a' a0 a a' a0 (vì a0 hướng xuống dưới) 2a' g a' g a a' a 3 3 Như vậy, so với mặt đất thì con khỉ vẫn chuyển động xuống dưới. Khỉ muốn chuyển động đi lên so với mặt đất thì nó phải có gia tốc lớn hơn gia tốc rơi tự do. Bài 12: Sự quay của Trái Đất xung quanh trục của mình làm mặt nước trên các sông không nằm trong mặt phẳng nằm ngang. Hãy xác định phía bờ sông bên nào mức nước sẽ cao hơn và tính độ chênh lệch mức nước đó, biết rằng sông nằm ở bán cầu phía bắc và chảy từ bắc xuống nam. Độ rộng sông là l, vận tốc dòng chảy là v, vĩ độ nơi đó là , vận tốc góc của Trái Đất quay quanh trục là , bỏ qua lực quán tính ly tâm. ω North Giống với bài 32, trang 188, FC giáo trình Q1 v South Xét một phân tử nước trên bề mặt sông. Đối với hệ quy chiếu là quả đất quay, phân tử nước sẽ chịu tác dụng của lực Coriolis: FC 2m[v,ω] Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 40
Cập nhật 17/10/2014 Lực Coriolis FC vuông góc với mặt phẳng chứa v và ω và có chiều sao cho v , ω và FC tạo thành một tam diện thuận (quy tắc vặn đinh ốc). Như vậy, khi vật thể chuyển động ở bắc bán cầu thì vật luôn bị lệch về bên phải theo hướng chuyển động. Tương tự khi vật chuyển động ở nam bán cầu thì vật luôn bị lệch về bên trái theo hướng chuyển động. Đối với dòng sông chuyển động từ bắc xuống nam, do tác dụng của lực Coriolis thì dòng nước bị đẩy về phía đông (hữu ngạn) và do đó cột nước phía đông sẽ cao hơn phía tây. Tuy nhiên, trong thực tế không phải bao giờ dòng sông cũng uốn sang phải ở bắc bán cầu vì ngoài tác dụng của lực Coriolis thì hướng dòng còn phụ thuộc vào cấu trúc địa hình và đứt gãy địa chất, Xét một mặt cắt vuông góc với dòng sông và nhìn từ hướng bắc xuống nam thì: bờ phải (hữu ngạn dòng sông) sẽ có mực nước cao hơn bờ trái một khoảng h. N FC h l P Các lực tác dụng vào phần tử nước: áp dụng định luật II Newton cho phân tử đó P N FC 0 (do phân tử nước đứng yên trong hệ quy chiếu dòng sông) Chiếu phương trình lên mặt phẳng dòng sông ta được: Psinα FC cosα 0 Psinα FC cosα mgsinα 2mvωsin cosα (với là vĩ độ và là góc giữa và ) gsinα 2vωsin cosα h 2vl ωsin g tanα 2vωsin g 2vωsin h l g Bài 13: Một đoàn tàu hỏa khối lượng m đang chuyển động dọc theo đường xích đạo từ đông sang tây với vận tốc v tương đối so với mặt đất. Biết rằng Trái Đất luôn quay quanh trục của mình với vận tốc là , bỏ qua ma sát, hãy xác định lực tác dụng của đường ray lên đoàn tàu. Giống với bài 33, trang 188, giáo trình Q1 P F C Flt v N Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 41
Cập nhật 17/10/2014 Xét trong hệ quy chiếu mà ở đó Trái Đất quay từ tây sang đông với vận tốc góc  Áp dụng định luật II Newton cho đoàn tàu, ta có: Flt P N FC ma Chiếu lên phương dây dọi (phương đi qua tâm Trái Đất) và chọn chiều dương hướng vào tâm Trái Đất ta được: v2 mRω2 mg N 2mvωsin900 m R Phản lực (N) của đường ray tác dụng lên đoàn tàu là: v2 N mg mRω2 2mvω m R 2 2 v N m g Rω 2vω R Bài 14: Một cái cốc đựng nước hình trụ quay quanh trục đối xứng hướng theo phương thẳng đứng với vận tốc góc là . Hãy xác định phương trình mô tả dạng mặt nước trong cốc. ω Giống với bài 34, trang 188, N giáo trình Q1 M Flt P Xét một phần tử nước tại điểm M. Các lực tác dụng là phản lực, trọng lực, lực quán tính ly tâm. Ta có: P N Flt 0 (vì phần tử nước là đứng yên nếu xét trong hệ quy chiếu mặt nước) Chiếu lên mặt phẳng nước ta được: Psinα Flt cosα 0 2 Psinα Flt cosα mg sinα mxω cosα (với x là khoảng cách từ phần tử đến trục quay – là bán kính quay của phân tử) xω2 gsinα xω2cosα g tanα xω2 tanα g Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 42
Cập nhật 17/10/2014 dy Mà: tanα (xét gần phần tử nước) dx dx dy dy xω2 ω2 Do đó ta có: dy x dx dx g g Tích phân 2 vế của phương trình trên: ω2 ω2 x 2 dy xdx y g g 2 2 ω 2 y x 2g Phương trình biểu diễn sự phụ thuộc của y vào x có dạng Parabol và mặt nước trong cốc là một mặt bậc hai Paraboloid. Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 43
Cập nhật 17/10/2014 CHƯƠNG 3: CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG A. LÝ THUYẾT 1. Công, công suất a) Công: Công là đại lượng vật lý dùng để đo mức độ biến thiên của năng lượng. Xét một chất điểm chuyển động dưới tác dụng của lực F. Biểu thị A12 là công của lực F tác dụng lên chất điểm và làm chất điểm dịch chuyển từ vị trí 1 đến vị trí 2 được xác định bởi r1 và r2 thì: (2) A Fdr 12 (3.1) (1) + Đơn vị: June (J) hoặc Calo (cal) M.L2 + Thứ nguyên: T2 b) Công suất: Là đại lượng đặc trưng cho mức độ sinh công nhanh hay chậm của lực. Công suất trung bình được đo bằng tỷ số giữa công thực hiện được ( A) và khoảng thời gian cần thiết ( t) để thực hiện công đó: ΔA P Δt Công suất tức thời: ΔA dr P lim A'(t) F. P F.v (3.2) Δt 0 Δt dt Công suất là tốc độ biến thiên năng lượng. 2. Động năng, biến thiên động năng và công của lực a) Động năng: dv Ta có: F ma m dt dv 1 Do đó: dA Fdr m dr m vdv dA d mv 2 dt 2 1 2 + Đại lượng K mv (3.3) được gọi là động năng của chất điểm đang chuyển 2 động với vận tốc v (K ≥ 0). Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 44
Cập nhật 17/10/2014 b) Biến thiên động năng và công của lực: + Khi vật chuyển động từ vị trí 1 đến vị trí 2 dưới tác dụng của lực F (2) v v 2 1 2 A Fdr d mv 2 d(K) A K K (3.4) 12 2 12 2 1 (1) v1 v1 + Định lý biến thiên động năng: Độ biến thiên động năng của chất điểm trong một khoảng thời gian thì bằng công của lực đặt vào chất điểm trong khoảng thời gian đó. 3. Thế năng, biến thiên thế năng và công của lực thế a) Thế năng: Thế năng (U) là một dạng năng lượng gắn liền với vị trí tương đối của hệ tương tác. Xét trường lực của vật M là khoảng không gian xung quanh M sinh ra tác dụng vào bất kỳ vật nào nằm trong không gian đó: + Trường lực là đồng nhất nếu không phụ thuộc vào vị trí. + Trường lực gọi là dừng nếu không phụ thuộc vào thời gian (trường lực dừng). Trường lực dừng mà có công của lực tác dụng lên một chất điểm chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối thì gọi là trường lực thế. Lực của trường lực thế gọi là lực thế. Công của lực thế trên quãng đường khép kín bằng 0. Công thực hiện trên cả quãng đường bằng tổng các công thành phần: A13 = A12 + A23 Lực trường thế gọi là lực bảo toàn. + Hai trường lực thế quan trọng: trường hấp dẫn và trường đàn hồi của lò xo. b) Biến thiên thế năng và công của lực thế: + Trong trường hấp dẫn: Công mà trọng lực thực hiện từ vị trí r 1 tới vị trí r 2 (2) (2) (2) A Fdr Fdr cosθ Fdz 12 (với  là góc giữa và dr ; dz là vi (1) (1) (1) phân theo độ cao) z2 A mg dz 12 A12 mgz1 mgz2 (3.5) (với z1 > z2) z1 Suy ra: A12 A21 0 + Trong trường đàn hồi: Công mà lực đàn hồi thực hiện làm lò xo thay đổi từ vị trí x1 đến vị trí x2 là: Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 45
Cập nhật 17/10/2014 x2 x2 A k 1 k 2 (3.6) 12 2 2 Suy ra: A12 A21 0 + Mối quan hệ giữa thế năng và lực thế: U Fdr U U A (1) 1 2 12 (1) Fx U'x F grad U Fy U'y (3.7) (đạo hàm riêng theo các biến x, y, z) Fz U'z + Mặt đẳng thế: Mặt xác định trong không gian bởi U(x, y, z) = const gọi là mặt đẳng thế. Công mà lực thế dịch chuyển một vật trên mặt đẳng thế bằng 0. Đối với trường hấp dẫn thì mặt đẳng thế là mặt cầu. + Định lý biến thiên thế năng: Công của lực trường thế thực hiện khi dịch chuyển chất điểm từ vị trí 1 đến vị trí 2 bằng độ giảm thế năng từ vị trí 1 đến vị trí 2. 4. Cơ năng, định luật bảo toàn cơ năng a) Cơ năng: Cơ năng E của một vật (hay hệ vật) là tổng động năng và thế năng của vật (hệ vật) đó. b) Định luật bảo toàn cơ năng: Xét một vật chuyển động trong trường thế từ vị trí 1 đến vị trí 2. Công của lực thế thực hiện được là: A12 U1 U2 U1 U2 K2 K1 U1 K1 U2 K2 A12 K2 K1  E1 E2 (3.8) Vậy, cơ năng của chất điểm chuyển động trong trường thế được bảo toàn. ΔE ΔU ΔK 0 ΔU ΔK + Định luật bảo toàn cơ năng cho một hệ kín cô lập: ΔU ΔK Eint 0 m v2 Trong đó: E là năng lượng bên trong của hệ vật: E i i U int int  2  i Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 46
Cập nhật 17/10/2014 5. Va chạm Va chạm là một sự cố trong đó các vật tác dụng lên nhau một lực trong khoảng thời gian rất ngắn. a) Va chạm đàn hồi: Là va chạm mà động năng toàn phần của hệ va chạm thì không đổi. Các vật lại gần nhau và ra xa nhau mà không có sự thay đổi về năng lượng bên trong chúng. Xét trường hợp va chạm đàn hồi và xuyên tâm của hai vật có khối lượng m1 và m2, khối lượng ban đầu là v1 và v2, vận tốc sau va chạm là v’1 và v’2: + Áp dụng định luật bảo toàn động lượng: m1 v1 m2 v2 m1 v'1 m2 v'2 m1v1 m2v2 m1v'1 m2v'2 m1 v1 v'1 m2 v'2 v2 (1) + Áp dụng định luật bảo toàn động năng: m v2 m v2 m v'2 m v'2 1 1 2 2 1 1 2 2 m v2 v'2 m v'2 v2 (2) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: m1 v1 v'1 m2 v'2 v2 m1 v1 v'1 m2 v'2 v2 2 2 2 2 m1 v1 v'1 m2 v'2 v2 v1 v'1 v2 v'2 (lấy phương trình 2 chia cho phương trình 1) m1 v1 v'1 m2 v'2 v2 v'1 v2 v'2 v1 Giải bằng phương pháp thế ta được: 2m1v1 m2 m1 v2 v'2 m1 m2 2m v m m v (3.9) v' 2 2 1 2 1 1 m1 m2 v'2 v1 + Nếu m1 = m2 thì: ; hai vật trao đổi vận tốc cho nhau. v'1 v2 v'2 v2 + Nếu m2 >> m1 thì: v'1 2v2 v1 b) Va chạm mềm: Va chạm mềm là một trường hợp đặc biệt của va chạm không đàn hồi. + Áp dụng định luật bảo toàn động lượng: Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 47
Cập nhật 17/10/2014 m1v1 m2v2 m1v'1 m2v'2 m1 m2 v m v m v v 1 1 2 2 m1 m2 (với v là vận tốc của hai vật sau va chạm). Sau va chạm 2 vật dính vào nhau. + Động năng của hệ không được bảo toàn. Một phần động năng biến thành nhiệt năng hoặc dạng năng lượng khác. Kí hiệu là E m v 2 m v 2 m v'2 m v'2 ΔE W W 1 1 2 2 1 1 2 2 đ1 đ 2 2 2 2 2 Mà: v'1 v'2 v suy ra: m v 2 m v 2 m m ΔE 1 1 2 2 1 2 v2 2 2 2 2 2 2 m1v 1 m2v 2 m1 m2 m1v1 m2v2 ΔE 2 2 2 m1 m2 2 m1m2 2 m1m2 v1 v2 ΔE v1 v2 ΔE (3.10) 2 m1 m2 m1 m2 2 Phần động năng tiêu hao phụ thuộc vào vận tốc tương đối giữa các vật trước va chạm. m1m2 1 2 Đặt: m ; v12 v1 v2 ta được: ΔE K mv12 m1 m2 2 c) Va chạm giữa các vật thật: Tỷ số giữa hiệu số các vận tốc tương đối của các vật sau và trước va chạm chỉ phụ thuộc vào bản chất của vật va chạm. Tỷ số này gọi là hệ số đàn hồi e: | v' v' | e 1 2 (3.11) | v1 v2 | + Đối với va chạm đàn hồi: e = 1 + Đối với va chạm mềm: e = 0 + Va chạm giữa các vật thật: 0 < e < 1 Biến thiên động năng trong trường hợp va chạm giữa các vật thật là: 2 m1m2 v1 v2 2 ΔE K 1 e (3.12) m1 m2 2 Trong trường hợp không phải va chạm xuyên tâm thì các kết quả thu được cũng tương tự, chỉ thay các đại lượng vô hướng của vận tốc bằng các đại lượng véctơ. Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 48
Cập nhật 17/10/2014 B. BÀI TẬP Bài 1: Một vật khối lượng m được ném lên dọc một mặt phẳng nghiêng một góc so với phương nằm ngang. Cho biết vận tốc ban đầu là v0, hệ số ma sát là , tính quãng đường đi được của vật đến khi dừng lại và công của lực ma sát trên quãng đường đó. x y N Fms P O Vật chuyển động chậm dần đều lên trên đỉnh dốc. Áp dụng định luật II Newton cho vật ta được: P N Fms ma Chiếu lên trục Ox và Oy như hình vẽ, ta được: Ox : μN Psinα ma μN Psinα ma Oy: N mg cosα 0 N mg cosα μmgcosα mgsinα ma μgcosα gsinα a a g μ cosα sinα Quãng đường mà vật đi được là: 2 2 vt v0 2aS (với vt là vận tốc tại thời điểm vật dừng lại sau t giây, vt = 0) 2 v0 2aS v2 v2 S 0 S 0 2a 2g μ cosα sinα Công của lực ma sát là: S S S A F dS μ NdS μmg cosα dS μmg cosαS ms ms 0 0 0 2 2 v0 μ mv 0 A μ mg cos Ams ms 2g μ cosα sinα 2 μ tanα Bài 2: Một vật chuyển động từ đỉnh dốc phẳng DC có độ cao h và dừng lại sau khi đi được một đoạn nằm ngang CB. Cho AB = s, AC = l, hệ số ma sát giữa xe và mặt đường trên đoạn DC và CB bằng nhau. Tính hệ số ma sát và gia tốc của xe trên các đoạn đường nói trên. Thế năng của vật khi ở D đã chuyển thành công của lực ma sát từ D đến B. Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 49
Cập nhật 17/10/2014 Tìm hệ số ma sát : Fms D N h P s AB A l C B UD AmsDC AmsCB mgh μmgcosα.DC μmg.CB h μcosα.DC μ.CB h h μ.AC μ.CB μ AC CB μ.AB μs μ s Gia tốc của xe trên các đoạn đường: +) Trên đoạn đường DC: Áp dụng định luật II Newton cho vật ta được: P N Fms ma1 Chiếu lên phương chuyển động và chọn chiều dương hướng xuống: mgsinα μmgcosα ma1 a1 g sinα μcosα h l g a g μ h μl 1 2 2 2 2 2 2 h l h l h l gh l a1 1 h 2 l 2 s +) Trên đoạn đường CB: Áp dụng định luật II Newton cho vật và chiếu lên phương chuyển động ta được: P N Fms ma2 gh μmg ma a μg a 2 2 2 s Bài 3: Từ độ cao H dọc theo mặt phẳng nghiêng dài l = H/3 và tạo với phương ngang góc = 300 người ta cho một quả cầu trượt không ma sát và sau đó rơi trên mặt phẳng nằm ngang. Va chạm được coi là hoàn toàn đàn hồi. Tìm độ cao hmax mà quả cầu nâng lên được sau va chạm. Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 50
Cập nhật 17/10/2014 A B D H C Vật trượt không ma sát và va chạm tại C là hoàn toàn đàn hồi nên cơ năng của vật được bảo toàn: EA = EB = EC = ED + Cơ năng tại A: EA mgH 1 2 E mgh + Cơ năng tại B: E mgh mv 2 v2 B B B B 2 B B m 1 + Cơ năng tại D: E mgh mv 2 D D 2 D Mà vD vBx (vì D là điểm cao nhất sau khi va chạm với đất). Do đó: 1 1 2 E mgh E mgh mv 2 cos2α mgh mcos2α B B D D 2 B D 2 m Cơ năng được bảo toàn nên: EA = ED 2 EA mghD cos α EB mghB 2 mgH mghD cos α mgH mghB (vì EB = EA = mgH) 2 H hD cos α H hB 2 2 H h D H cos α H h B H cos α H H sinα 3 H H h H cos2α sinα H sin300 cos2 300 D 3 3 H 7 h H H D 8 8 7 Vậy độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt được là: h H max 8 Bài 4: Một vòng đệm nhỏ A trượt từ đỉnh ngọn đồi nhẵn ở độ cao H tới một bờ dốc thẳng đứng rồi chuyển động tiếp trong không gian và rơi xuống bãi đất nằm ngang như hình vẽ. Hỏi độ cao h của bờ dốc thẳng đứng phải bằng bao nhiêu để khi trượt xuống khỏi bờ dốc vòng đệm A bay xa đạt được khoảng cách Smax, tính khoảng cách đó. Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 51
y A Cập nhật 17/10/2014 H B h x Vật chuyển động trên đoạn đường dốc từ A đến B. Tại B vật bắt đầu chuyển động như bị ném ngang. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Phương trình chuyển động của vật khi bắt đầu rời khỏi B là: g 2 y 2 x 2vB (công thức này đã được chứng minh tại chương “Động học chất điểm”, nội dung về chuyển động của vật bị ném ngang) Trong công thức trên thì y chính là độ cao h và x chính là khoảng cách S mà vật bay xa được. Do đó: 2 g 2 2hv B h 2 S S (*) 2vB g Mà vật chuyển động trên bề mặt nhẵn (không ma sát) nên cơ năng được bảo toàn. 1 1 mgH mgh mv 2 gH gh v2 2 B 2 B 2 vB 2g H h 2 Thay giá trị của vB vào biểu thức (*) ta được: 2hv 2 2h2g H h S B 2 h H h g g Để đạt được khoảng cách Smax 2 h H h đạt max Mà: h H h 2 h H h (theo bất đẳng thức Cauchy) H S khi: h H h h max 2 H H Do đó: Smax h H h H S H 2 2 max Vậy ở độ cao h = H/2 thì vậy bay được một đoạn xa nhất bằng H. Bài 5: Hai quả nặng m1 và m2 = nm1 được nối với hai đầu dây và được vắt qua ròng rọc. Giả thiết dây không co dãn và khối lượng ròng rọc được bỏ qua. Vật m2 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 52
Cập nhật 17/10/2014 được nâng lên độ cao h2 = 30cm sao cho quả m1 chạm đất, sau đó thả cho m2 rơi xuống. Hỏi độ cao h1 mà m1 sẽ đạt được khi m2 chạm đất. Cơ năng của hệ được bảo toàn. Khi m2 vừa chạm đất thì m được nâng lên một đoạn bằng h , lúc 1 2 này hệ đang có vận tốc v. Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có: m m 1 2 2 m m2gh 2 m1gh 2 v h ?cm 2 2 1 h2 30cm m1 m1 m2 2 2 m2 m1 m2gh 2 m1gh 2 v v 2gh 2 2 m1 m2 Khi vật m1 lên đến độ cao h2 thì nó không dừng lại do đang có vận tốc v. Vật m1 đi thêm được một đoạn h và tới độ cao h1. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật m1: 1 m gh m v2 m gh 1 2 2 1 1 1 m2 m1 2 2gh 2 2gh 2 1 2 2gh v m m gh v gh h 2 1 2 2 2 1 1 2g 2g m m m m 2nm 2 1 2 1 1 h1 h2 h2 h1 h2 1 h2 m1 m2 m1 m2 (n 1)m1 2nh h 2 1 n 1 Bài 6: Một quả cầu nhỏ trượt không ma sát theo một máng nghiêng mà phần cuối uốn thành một vòng tròn bán kính R. Hỏi: a) Phải thả quả cầu cho nó trượt không vận tốc ban đầu ở độ cao H nào để nó không rời khỏi máng tại điểm cao nhất của quỹ đạo. b) Trong trường hợp vật thả ở độ cao h không thỏa mãn điều kiện câu a, hãy tính độ cao h’ mà vật rời khỏi rãnh. Tương tự bài 14, trang 183, R giáo trình Q1 H h h' Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 53
Cập nhật 17/10/2014 a) Độ cao H để quả cầu không rời khỏi rãnh tại điểm cao nhất của quỹ đạo: Quả cầu trượt không ma sát, cơ năng được bảo toàn tại bất kỳ độ cao h' nào. 1 v2 mgH mgh' mv 2 H h' (*) 2 2g Phương trình định luật II Newton cho quả cầu tại độ cao h' thuộc máng là: P N ma (với P là trọng lực, N là phản lực của máng và a là gia tốc hướng tâm) Chiếu lên phương bán kính, chiều dương hướng vào tâm ta được: v2 mgcosα N m R N h' R v2 mg N m R R h 2 P mg h' R RN mv R RN v2 g h' R m Thay giá trị của v2 vào phương trình (*) ta được: RN 2 g h' R v m H h' h' 2g 2g h' R RN H h' ( ) 2 2mg Để quả cầu không bị rơi ở điểm cao nhất của quỹ đạo (h' = 2R) thì phản lực do rãnh tác dụng lên quả cầu tại đó phải dương (N > 0). Do đó: h' R R H h' H 2R 2 2 H 2,5R b) Trong trường hợp vật được thả ở độ cao h nhỏ hơn H, tính độ cao h' mà quả cầu rời khỏi rãnh: Tại điểm mà quả cầu bắt đầu rời khỏi rãnh thì phản lực tác dụng lên quả cầu bằng 0 (N = 0). Từ phương trình ( ) ta có: h' R 2h R h h' 2h 2h' h' R 2h 3h' R h' 2 3 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 54
Cập nhật 17/10/2014 Bài 7: Một viên đạn khối lượng m bay theo phương nằm ngang và đâm vào một vật khối lượng M được treo bởi một sợi dây độ dài l (hình vẽ) và dừng lại trong đó. Người ta thấy sợi dây bị lệch đi một góc so với phương thẳng đứng. Hãy xác định vận tốc viên đạn trước khi đâm vào vật M và số phần trăm động năng ban đầu của viên đạn biến thành nhiệt năng. Giống với bài 15, trang 183, α giáo trình Q1 l h v M Giả sử hệ cô lập, vận tốc của viên đạn trước va chạm là v, sau va chạm và v'. Động lượng của hệ trước và sau khi va chạm được bảo toàn: M m mv (M m)v ' v v' (*) m Cơ năng của hệ (tính từ thời điểm va chạm) cũng được bảo toàn: M m M m v'2 M m gh v'2 M m gl(1 cosα) 2 2 v' 2gl(1 cosα) Thay giá trị của v' vào phương trình (*) ta có: M m M m M m α v v' 2gl(1 cosα) 2gl2sin2 m m m 2 M m α v 2 gl sin m 2 Số phần trăm động năng ban đầu biến thành nhiệt (): K E' (với K là động năng ban đầu của đạn, E' là cơ năng sau của hệ) K 1 mv 2 (M m)gh 2 (M m)gh (M m)gh 1 2 2 1 2 2 1 2 mv M m mv m 2gl(1 cosα) 2 m2 mh m M M 1 1 η .100% M m h M m M m M m Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 55
Cập nhật 17/10/2014 Bài 8: Một hạt neutron khối lượng m va chạm đàn hồi với hạt nhân nguyên tử C khối lượng M, sau va chạm nó chuyển động theo phương vuông góc với phương ban đầu. Biết rằng M = 12m. Hỏi năng lượng của hạt neutron giảm đi bao nhiêu lần sau va chạm. V Giống với bài 16, trang 184, giáo trình Q 1 v n C v v' Gọi vận tốc trước và sau va chạm của neutron là v và v ' Neutron va chạm đàn hồi với hạt nhân nguyên tử C nên động lượng của hệ được bảo toàn: mv mv ' MV (m là khối lượng neutron, M là khối lượng hạt nhân) Độ lớn: mv 2 mv ' 2 MV 2 (vì v  v ' . Định lý Pitago) m2v2 m2v'2 M2V2 M2 mv2 mv'2 V2 m Áp dụng định luật bảo toàn động năng cho hệ ta có: mv2 mv'2 MV 2 mv2 mv'2 MV 2 2 2 2 Do đó ta có hệ phương trình: 1 M2 2 mv 2 M V2 2 2 M 2 mv mv ' V 2 m m 2 2 2 2 1 M mv mv ' MV 2 2 mv ' M V 2 m Tỷ số năng lượng của hạt neutron (tồn tại dưới dạng động năng) trước và sau khi va chạm là: 2 1 M 2 2 1 2 M V M mv 2 M 2 mv 2 m M Mm η 2 m M m 2 2 2 2 η 1 2 mv ' M M Mm mv ' 1 M 2 M m M V M 2 2 m m Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 56
Cập nhật 17/10/2014 13m 13 Mà M = 12m nên: η 11m 11 Vậy, sau va chạm năng lượng của neutron đã giảm đi 13/11 lần. Bài 9: Một người khối lượng M = 70kg đang đứng yên trên mặt băng. Người đó ném theo phương ngang một hòn đá khối lượng m = 3kg với vận tốc ban đầu v = 8m/s. Tìm khoảng giật lùi của người trượt băng. Cho biết hệ số ma sát  = 0,02. Giả sử người giật lùi về phía sau với vận tốc V. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có: m MV mv MV mv V v M Theo định lý động năng: độ biến thiên động năng của người bằng công của ngoại lực tác dụng (trong trường hợp này là công của lực ma sát). Ta có: 1 1 0 MV 2 A MV 2 F .S (S là quãng đường giật lùi) 2 ms 2 ms 2 1 1 V2 1 mv MV 2 μ Mg.S V2 μg.S S S 2 2 2μg 2μg M Bài 10: Một khẩu súng được đặt trên một chiếc xe đang chuyển động theo quán tính trên đường sắt với vận tốc V. Nòng súng hướng theo chiều chuyển động của xe và tạo với sàn xe góc . Khi khẩu súng bắn ra một viên đạn khối lượng m, vận tốc của xe chở súng giảm đi 3 lần. Tìm vận tốc v của viên đạn (so với khẩu súng) khi ra khỏi nòng. Khối lượng xe và súng là M. Xét hệ gồm xe, súng và đạn. v Tổng ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0 nên động lượng của hệ được bảo toàn: V M m V M V v m V 3 Chiếu phương trình lên phương ngang (phương mặt đất) ta được: V M m V M mV mv cosα 3 V M m V M mV 3 2MV v v mcosα 3mcosα Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 57
Cập nhật 17/10/2014 CHƯƠNG 4: CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN A. LÝ THUYẾT 1. Khối tâm của hệ chất điểm a) Khối tâm của hệ chất điểm: Khi hệ chất điểm đặt trong trường trọng lực thì điểm đặt của trọng lực tổng hợp tác dụng lên hệ được gọi là trọng tâm của hệ (hay khối tâm hay tâm quán tính). Xét hệ có n hạt, khối lượng mỗi hạt là mi và vị trí ri(xi, yi, zi) + Vị trí khối tâm C của hệ (trường hợp các hạt phân bố rời rạc): mi ri mi ri rC (4.1) (với M mi là khối lượng toàn hệ) mi M mixi miyi mizi x ; y ; z C M C M C M + Vị trí khối tâm của hệ (trường hợp các hạt phân bố liên tục): dm.x dm.y dm.z x ; y ; z (với M dm ) C M C M C M (dm là vi phân khối lượng tại vị trí có tọa độ (x, y, z)) b) Phương trình chuyển động của khối tâm: Gọi F là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ. Áp dụng định luật II Newton ta có: F mi ai (1) mi ri drC d Mà: rC MrC m ri M m ri MvC m vi M  i dt dt  i  i dvC d mi ai M m vi MaC m ai aC (2) dt dt  i  i M F Từ (1) và (2) suy ra: aC (4.2) M + Định luật chuyển động của khối tâm: Khối tâm của một hệ chất điểm dưới tác dụng của một ngoại lực tổng hợp F thì chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng M của toàn hệ và gia tốc aC F / M Động lượng toàn phần của hệ: MvC mi vi MvC Pi Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 58
Cập nhật 17/10/2014 P MvC (4.3) Động lượng toàn phần của hệ bằng động lượng của chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ, chuyển động với vận tốc bằng vận tốc của khối tâm. 2. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn a) Vật rắn lý tưởng: Là một hệ chất điểm mà khoảng cách giữa 2 chất điểm bất kỳ của hệ không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động. Các khái niệm về khối tâm, động lượng của hệ chất điểm cũng được áp dụng để khảo sát vật rắn. b) Chuyển động tịnh tiến của vật rắn: Mọi chất điểm của vật rắn chuyển động theo quỹ đạo giống nhau và sau mỗi khoảng thời gian các chất điểm của vật rắn tịnh tiến đều có cùng véctơ vận tốc và gia tốc. Phương trình chuyển động của vật rắn tịnh tiến: Fi mi a (4.4) Điều kiện cần để vật rắn tịnh tiến: các Fi phải song song và cùng chiều với nhau. 3. Mômen động lượng của vật rắn, biến thiên và bảo toàn mômen a) Đối với một chất điểm: Mômen động lượng của chất điểm khối lượng m đối với điểm O cố định là một véctơ cho bởi: P mv (4.5) l [r  P] l rPsinθ Ph θ Biến thiên động lượng theo thời gian: l r m dl d dr dv m r  v m  v m r  O dt dt dt dt h H dl m[ v  v] m[r  a] m[r  a] [r  F] M (4.6) dt Đại lượng M [r  F] (4.7) gọi là mômen của lực tác dụng lên chất điểm đối với điểm O. dl Nếu M 0 thì 0 l const dt b) Đối với hệ chất điểm: Mômen động lượng của toàn hệ: L l i mi[ri  vi ] Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 59
Cập nhật 17/10/2014 dL dvi [r  m ] [r  ma i ] [r  Fi ] Mng dt  i dt  i  i (với Fi là ngoại lực vì tổng nội lực bằng 0) dL Nếu Mng 0 thì 0 L const dt Biến thiên mômen động lượng của vật rắn bằng tổng mômen của ngoại lực tác dụng lên vật. Khi không có mômen của ngoại lực tác dụng thì mômen động lượng được bảo toàn. 4. Phương trình cơ bản của vật rắn quay xung quanh một trục cố định Ta có thể xây dựng phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn bằng hai cách sau: ω + Cách 1: Đi từ biến thiên mômen động lượng của vật rắn dL Mng (*) (theo công thức mục 3b ở trên) dt vi dL d d r Mà: [ri  mi vi ] mi ri [ω  ri ] i m dt dt dt i d 2 d 2 m ω.r ri .(ri .ω) m ω.r i dt  i i dt  i (vì ri .ω 0 do ri  ω ) dL d dω m ω.r2 m r 2 β m r 2 dt i dt  i dt  i i  i i dL Đặt: I m r 2 là mômen quán tính của vật đối với trục quay I.β ( )  i i dt Từ (*) và ( ) suy ra: Mng I.β (4.8) Mômen của ngoại lực tác dụng lên vật bằng tích số giữa mômen quán tính của vật với gia tốc góc mà vận nhận được. + Cách 2: Đi từ phương trình định luật II Newton Phương trình định luật II Newton cho chất điểm thứ i: Fi mi a i (với Fi là tổng các lực tác dụng lên chất điểm thứ i) Nhân có hướng cả hai vế với ri [ri  Fi ] mi[ri  a i ] Mà a i [β  ri ] Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 60
Cập nhật 17/10/2014 2 2 mi ri [β  ri ] mi β.ri ri .(ri .β) β.miri Khi xét trên toàn bộ vật rắn (hệ chất điểm) ta được: 2 2 [ri  Fi ] β.miri βmiri Mng I.β (ở đây M ng ứng với tổng ngoại lực tác dụng lên hệ theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo của chuyển động quay vì tổng nội lực bằng 0) Phải nhớ cách thiết lập công thức (4.8) vì trong đề thi cuối kỳ thường cho câu hỏi: "Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh 1 trục cố định". 5. Mô men quán tính của vật rắn, định lý Steiner – Hugen a) Mô men quán tính của vật rắn: Mô men quán tính của vật rắn với trục được cho bởi công thức: 2 I miri (4.9) (với mi và ri là khối lượng và khoảng cách tới trục của chất điểm thứ i) 2 Nếu khối lượng của vật rắn phân bố liên tục thì: I r dm (4.10) M b) Định lý Steiner – Hugen: Mô men quán tính I của vật rắn đối với trục bất kỳ bằng mô men quán tính của vật đó đối với trục song song với và đi qua khối tâm C cộng với tích khối lượng của vật và bình phương khoảng cách giữa hai trục. Δ Biểu thức: ΔC I I Md 2 C (4.11) M d C 6. Động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định Xét vật rắn là tập hợp bởi các hạt có vận tốc khác nhau. Động năng của vật là: 1 K m v2 2  i i Mà: vi ωri (vận tốc góc  của các hạt là bằng nhau) 1 1 1 2 K m (ωr )2 ω2 m r 2 K Iω (4.12) 2  i i 2  i i 2 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 61
Cập nhật 17/10/2014 B. BÀI TẬP Bài 1: Tính tọa độ khối tâm của một vật đồng tính có chiều dày không đổi, kích thước như trên hình vẽ. y a b (B) x O (A) h Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, điểm O trùng với tâm hình nhữ chật khi chưa bị cắt. Do hình bị cắt đối xứng qua trục Ox nên khối tâm của hình còn lại vẫn nằm trên trục Ox và y = 0. Hệ có 2 hình: hình A là hình cần tìm hoành độ khối tâm x1, hình B là hình bị cắt và có hoành độ khối tâm là x2: Tọa độ khối tâm của hệ 2 hình A và B thì trùng với gốc tọa độ O (0, 0) m x m x A 1 B 2 0 mA mB Vì độ dày là đồng đều nên ta có thể thay khối lượng bằng diện tích tương ứng: S x S x A 1 B 2 0 SA SB a h Mà: x 2 2 3 (vì khối tâm của tam giác chính là trọng tâm của tam giác đó) a h 3a 2h x 2 2 3 6 bh bh S ab ; S A 2 B 2 SA x1 SBx 2 SB Do đó: 0 x1 x 2 SA SB SA bh h h 3a 2h 3a 2h 3a 2h h 3a 2h x 2 2 2 x . 1 bh h h 2a 1 ab 6 a 6 6 6 h 2a 2 2 2 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 62
Cập nhật 17/10/2014 h 3a 2h Vậy tọa độ khối tâm của vật là: . ; 0 . Khi bị khoét ở bên phải thì 6 h 2a khối tâm của hệ dịch sang bên trái và x mang giá trị âm. Bài 2: Một chiếc thuyền đứng yên trên mặt nước lặng. Khối lượng thuyền M = 140kg, chiều dài thuyền L = 2m, ở mũi thuyền có một người khối lượng m1 = 70kg, ở đuôi thuyền có một người khác khối lượng m2 = 40kg. Hỏi khi hai người tiến lại đổi chỗ cho nhau thì thuyền dịch đi một đoạn là bao nhiêu? Bỏ qua sức cản của nước. y Xét hệ gồm thuyền và hai người. Chọn trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi độ m dịch chuyển của thuyền là x. 1 m2 Vì hệ kín (không có ngoại lực tác dụng) nên động lượng của hệ được bảo x toàn. O L P const (M m1 m2 )V const (với V là vận tốc chung của hệ). Tại thời điểm ban đầu hệ đứng yên suy ra: drC V 0 0 rC const ( rC là vị trí khối tâm của hệ) dt Vị trí khối tâm của hệ là cố định khi hai người đổi chỗ. Tọa độ của 2 người và của thuyền khi chưa đổi chỗ: m1 : x1 0 m2 : x2 L M : x L/2 Tọa độ của 2 người và của thuyền khi đã đổi chỗ: m1 : x1' L x m2 : x2 ' x M : x' L/2 x Vị trí của khối tâm là cố định, suy ra: m1x1 m2x2 Mx m1x1' m2x2 ' Mx' m1x1 m2x2 Mx m1x1' m2x2 ' Mx' m2 m2 M m2 m2 M ML L m2L m1(L Δx) m2Δx M Δx 2 2 M M (m2 m1)L m2 m1 L (m1 m2 M) Δx Δx 2 2 m1 m2 M Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 63
Cập nhật 17/10/2014 (40 70). 2 60 Δx 0,24 (m) 70 40 140 250 Dấu " – " chứng tỏ rằng thuyền dịch chuyển ngược chiều với chiều chuyển động của người có khối lượng lớn hơn. Bài 3: a)Tìm mômen quán tính của một thanh đồng chất đối với một trục vuông góc với thanh và đi qua trung điểm của thanh, nếu khối lượng của thanh là m và độ dài của nó là L. b) Tìm mômen quán tính của một khối trụ đồng chất khối lượng m, bán kính R, đối với trục đối xứng dọc của nó. c) Tìm mômen quán tính của một khối cầu đồng chất khối lượng m, bán kính R, đối với trục đối xứng của nó. a) Mômen quán tính của một thanh đồng chất đối với đường thẳng trung trực của thanh: I m r2  i i Chọn yếu tố vi phân có độ dài dx, khối lượng dm và cách trục một khoảng là x. Mômen quán tính của đoạn dx, khối lượng dm là: dx L m dI dmx2 x2dx L x Mômen do cả thanh gây ra là: L/2 L/2 2 m 2 2m 2 2m 3 L/2 mL I dI x dx x dx x I 0 L L -L/2 L 0 3L 12 b) Mô men quán tính của khối trụ đồng chất, bán kính R đối với trục đối xứng dọc: Chọn yếu tố vi phân có dạng một lớp trụ độ dày dr như hình vẽ, sao cho các điểm nằm trên lớp trụ thì cách đều trục . dr 2π rdr r Khối lượng của lớp trụ là: dm m πR 2 R Mômen quán tính của lớp trụ độ dày dr, bán kính r: 2πrdr 2m dI dmr2 mr 2 r3dr πR 2 R2 Mômen của toàn bộ khối trụ là: R R 2m 2m r4 mR2 I dI r3dr I 2 2 0 R R 4 0 2 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 64
Cập nhật 17/10/2014 c) Mômen quán tính của một khối cầu đồng chất, khối lượng m, bán kính R đối với trục đối xứng của nó: Ta chia khối cầu thành những khối trụ độ dày dz, bán kính r đặt chồng lên nhau. Sau đó, áp dụng kết quả câu b. Khối lượng của khối trụ độ có dày dz, bán kính r: πr2dz 3mr2 dm m dz 4 3 πR3 4R 3 R dz Mômen quán tính của khối trụ khối lượng dm: z dmr2 3mr4 dI dz 2 8R3 r Mômen của toàn bộ khối cầu: 3m R 3m R I dI r4dz (R 2 z2 )2 dz 3 3 8R R 4R 0 R 3 5 5 3m 4 2 z z 3m 5 2 5 R R z 2R R R 4R3 3 5 4R3 3 5 0 3m 8 2mR2 I R5 I 4R3 15 5 Bài 4: Trong một đĩa đồng chất hình tròn bán kính R, khối lượng m, người ta khoét hai lỗ tròn bán kính r có các tâm đối xứng với nhau qua tâm đĩa và cùng cách tâm đĩa một khoảng a. Hãy tính mômen quán tính của phần đĩa còn lại đối với trục đi qua tâm đĩa và vuông góc với mặt phẳng đĩa. Tương tự bài 1, trang 163, giáo trình Q2 Gọi mômen quán tính của đĩa khi chưa bị khoét là I0, mômen quán tính của mỗi lỗ khoét là I1 thì R mômen quán tính của đĩa sau khoét là: r I = I0 – 2I1 a + Mômen quán tính của đĩa khi chưa bị khoét đối với trục đi qua tâm: 1 I mR 2 (theo kết quả bài 3b) 0 2 + Mômen quán tính của một hình bị khoét đối với trục đi qua tâm: 1 I m r2 m a2 1 2 1 1 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 65
Cập nhật 17/10/2014 r2 (theo định lý Steiner – Hugen; m là khối lượng của một hình bị khoét, m m ) 1 1 R2 Mômen cần tìm là: 1 1 r2 r2 mR2 mr4 2r2ma2 I I 2I mR2 2 mr2 2 ma2 0 1 2 2 R2 R2 2 R2 R2 R2 2r2a2 r4 I m 2 2 2 R R Bài 5: Hai vật khối lượng m1 và m2 nối với nhau bằng một dây vắt qua một ròng rọc khối lượng m. Dây không co dãn, ma sát ở trục ròng rọc có thể bỏ qua. Tìm gia tốc góc của ròng rọc và tỷ số các sức căng T1/T2 của các phần dây nối với các vật trong quá trình chuyển động. * Tìm gia tốc góc của ròng rọc: Chọn chiều dương như hình vẽ. Chiếu phương trình định luật II Newton áp dụng cho vật m1 lên chiều chuyển động ta được: T1 P1 m1a m1βR (1) (R là bán kính vật m) Chiếu phương trình định luật II Newton áp dụng cho m vật m2 lên chiều chuyển động ta được: T1' P T m a m βR (2) T2 ' 2 2 2 2 T1 Phương trình cơ bản của vật m khi quay: 1 2 m1 M Iβ R(T T ) mR β (3) T2 2 1 2 Rút T1, T2 từ (1) và (2) rồi thay vào (3) ta được: m2 1 1 R(P m βR P m βR) mR 2β R(m g m βR m g m βR) mR 2β 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 g m2 m1 Rg(m m ) R 2 m m m β β 2 1 1 2 m 2 R m m 1 2 2 * Tỷ số sức căng T1/T2: Từ (1) suy ra: T1 P1 m1βR m1g m1βR m1(g βR) g m m 2m m/2 2 1 2 T1 m1 g R m1g R m1 m2 m/2 m1 m2 m/2 Từ (2) suy ra: T2 P2 m2βR m2g m2βR m2 (g βR) Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 66
Cập nhật 17/10/2014 g m m 2m m/2 2 1 1 T2 m2 g R m2g R m1 m2 m/2 m1 m2 m/2 Tỷ số các sức căng là: T m g 2m m/2 m m m/2 T m (4m m) 1 1 . 2 . 1 2 1 1 2 T2 m2g m1 m2 m/2 2m1 m/2 T2 m2 (4m1 m) Bài 6: Trên một hình trụ đặc đồng chất khối lượng m1 và bán kính R, người ta quấn một sợi chỉ mảnh. Một đầu sợi chỉ có buộc một vật có khối lượng m2. Tại thời điểm t = 0 hệ bắt đầu chuyển động. Bỏ qua ma sát ở trục hình trụ, tìm sự phụ thuộc theo thời gian của: a) Vận tốc góc của hình trụ. b) Động năng của toàn hệ. Tương tự bài 2, trang 163, giáo trình Q2 R a) Vận tốc góc của vật hình trụ theo thời gian t: m1 ω βt (với  là gia tốc góc quay) Trước hết, ta đi tìm gia tốc góc . Ta có: M TR (M là mômen của lực đối với trục quay) T Mà: M Iβ (phương trình cơ bản của chuyển động quay) m2 TR TR Iβ β (I là mômen quán tính của vật hình trụ) P I Vật m2 chịu tác dụng của lực căng T hướng lên và trọng lực P hướng xuống Phương trình định luật II Newton cho vật m2 là: T P m2 a (a là gia tốc dài: a βR ) Chiếu phương trình lên phương chuyển động, chiều dương hướng lên: T P m2a T m2g m2a T m2(g a) Từ đó ta có gia tốc góc : TR m2 (g a)R m2 (g βR)R 2m2g 2m2 β β I I 1 2 m R m m R 1 1 2 1 2m2 2m2g 2m2g β 1 β m1 m1R R m1 2m2 Vậy, sự phụ thuộc của vận tốc góc theo thời gian là: 2m gt ω βt ω 2 R m1 2m2 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 67
Cập nhật 17/10/2014 b) Động năng của toàn hệ theo thời gian t: Động năng của toàn hệ bằng động năng chuyển động quay của vật m1 cộng với động năng chuyển động tịnh tiến của vật m2: 1 1 1 1 1 K Iω2 m v2 Iω2 m ω2R2 ω2 I m R2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2m gt 2 2 2 2 2 2 2 ω m1R m2R ω R m1 2m2 R m1 2m2 2 2 4 4 R m1 2m2 m2g2t2 K 2 m1 2m2 Bài 7: Hai đĩa nằm ngang quay tự do xung quanh một trục thẳng đứng đi qua tâm của chúng. Các mômen quán tính của các đĩa với trục này là I1 và I2, còn các vận tốc góc là 1 và 2. Sau khi đĩa trên rơi xuống đĩa dưới, cả hai đĩa do sự ma sát giữa chúng và sau một thời gian nào đó bắt đầu quay như một vật thống nhất. Hãy tìm: a) Vận tốc góc của hệ hai đĩa được hình thành như trên. b) Công của lực ma sát khi đó. Tương tự bài 3, trang 165, giáo trình Q2 a) Vận tốc góc của hệ hai đĩa: I1 ω1 Không có ngoại lực tác dụng vào hệ nên mômen động lượng được bảo toàn: L = const I 2 ω2 + Mômen động lượng của hệ trước khi hai đĩa chập thành một: L1 L2 I1ω1 I2ω2 + Mômen động lượng của hệ sau khi hai đĩa đã chập thành một: (I1 I2)ω (mômen quán tính có tính chất cộng) Theo định luật bảo toàn mômen động lượng: I ω I ω ω 1 1 2 2 I1ω1 I2ω2 (I1 I2)ω I1 I2 b) Công của lực ma sát: Áp dụng định lý về động năng: độ biến thiên động năng bằng công của ngoại lực 2 1 1 1 1 I ω I ω 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 Ams (I1 I2 )ω I1ω1 I2ω2 (I1 I2 ) I1ω1 I2ω2 2 2 2 2 I1 I2 2 2 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 68