Bài giảng Vật lý đại cương 1 - Chương III: Chuyển động của hệ chất điểm và vật rắn

Nội dung text: Bài giảng Vật lý đại cương 1 - Chương III: Chuyển động của hệ chất điểm và vật rắn

1. CHƯƠNG III CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ CHẤT ĐIỂM VÀ VẬT RẮN Khi xem xét chuyển động của một vật hay một hệ bất kỳ, ta có thể mô hình vật đó như là một tập hợp các chất điểm và áp dụng các định luật cơ học của chất điểm đối với từng chất điểm trong hệ. Vật rắn là hệ chất điểm, nhưng là một hệ chất điểm đặc biệt trong đó khoảng cách giữa các chất điểm luôn luôn giữ nguyên không đổi trong quá trình chuyển động của vật rắn. Đây là một đối tượng cơ học quan trọng và phổ biến nên ta chú trọng khảo sát đặc thù chuyển động vật rắn với phương pháp luận áp dụng các quy luật chuyển động của hệ chất điểm vào chuyển động của vật rắn. III.1. Các dạng chuyển động của vật rắn : III.1.1. Bậc tự do của vật rắn : Khi mô tả chuyển động của một vật rắn, ta phải xác định được chuyển động của bất kỳ điểm nào của vật. Để xác định vị trí của vật rắn ta cần phải xác định vị trí của ba điểm bất kỳ không thẳng hàng của nó, nghĩa là cần và chỉ cần xác định vị trí của một tam giác bất kỳ gắn liền với vật rắn. Để xác định vị trí của một điểm trong không gian cần phải xác định ba tọa độ, do đó vị trí của ba điểm bất kỳ được xác định bởi chín tọa độ. Tuy nhiên, do tính chất của vật rắn, ba điểm đó chính là ba đỉnh của một tam giác xác định nên chín tọa độ đó không độc lập đối với nhau mà liện hệ với nhau bằng ba phương trình xác định độ dài không đổi của ba cạnh tam giác, thành thử chỉ còn có sáu tọa độ là độc lập. Do đó để xác định vị trí của vật rắn chỉ cần 6 tọa độ hay 6 tham số độc lập. Số tham số độc lập cần biết để xác định hoàn toàn vị trí của vật rắn gọi là số bậc tự do của nó. Vật rắn hoàn toàn tự do có 6 bậc tự do. Nếu vật rắn không hoàn toàn tự do thì bậc tự do của nó giảm xuống. Ví dụ vật rắn có một điểm hoàn toàn cố định thì ba tọa độ của điểm đó là hoàn toàn xác định và vật rắn chỉ còn ba bậc tự do. Vật rắn có hai điểm hoàn toàn cố định chỉ có một bậc tự do : nó chỉ có thể quay quanh trục đi qua hai điểm trên và bậc tự do còn lại của nó sẽ xác định vị trí của vật quanh trục đó. Nghiên cứu chuyển động của vật rắn tức là phải xác định hoàn toàn vị trí của vật rắn tại mọi thời điểm, nói cách khác cần phải xác định được qui luật biến thiên theo thời gian của các tham số độc lập. Rõ ràng là số phương trình cần phải biết bằng số tham số độc lập hay là bậc tự do của vật rắn. Vậy bậc tự do của vật rắn cho biết số phương trình chuyển động độc lập cần phải biết để có thể hoàn toàn xác định chuyển động của vật rắn. III.1.2. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn :
2. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà trong đó một vectơ xác định bởi hai điểm bất kỳ A và B của vật rắn luôn song song với chính nó. Hình bên trình bày vị trí của vật rắn ở hai thời điểm t và t+ t. Từ định nghĩa của chuyển động tịnh tiến : = ta suy ra : = nghĩa là độ dịch chuyển của hai điểm bất kỳ A, B của vật rắn luôn bằng nhau. Từ đó, suy ra vận tốc của các điểm A và B luôn bằng nhau và quĩ đạo của chúng là những đường cong như nhau nhưng tịnh tiến đối với nhau. Vậy : Trong chuyển động tịnh tiến của vật rắn, quĩ đạo của mọi điểm là những đường cong như nhau, mọi điểm của vật rắn đều có cùng vận tốc và gia tốc như nhau. Nhờ tính chất này khi khảo sát chuyển động tịnh tiến, ta chỉ cần khảo sát chuyển động của một điểm bất kỳ của vật rắn. Trong nhiều trường hợp, người ta thường chọn điểm đó là khối tâm của vật rắn. Ví dụ : chuyển động của ôtô trên đường là chuyển động tịnh tiến. Cần lưu ý chuyển động tịnh tiến không nhất thiết phải là chuyển động thẳng. Chuyển động của pêdan xe đạp, của cái đu quay cũng là chuyển động tịnh tiến mặc dù quĩ đạo của pêdan xe đạp như đã biết ở chương I là một đường xyclôit. III.1.3. Khối tâm của vật rắn : Trong trường hợp tổng quát, khi gốc tọa độ O chọn bất kỳ, thì khối tâm (trong đời sống hàng ngày ta quen gọi là trọng tâm) của một vật là một điểm G mà vị trí của nó được xác định bởi phương trình : = = = (III.1a) trong đó mi, i là khối lượng và vị trí của chất điểm mi, m là khối lượng của vật rắn. Trong hệ tọa độ Đề-các và trong trường hợp vật chất phân bố liên tục thì :
3. xG = yG = (III.1b) zG = Trong trường hợp, nếu ta chọn gốc tọa độ trùng với khối tâm G thì = 0 và từ (III.1a) ta suy ra : = 0 (III.1c) trong đó i là bán kính vectơ nối liền khối tâm với chất điểm mi. (*) Ví dụ về tính khối tâm của một hình tam giác vuông : Chúng ta xét một ví dụ áp dụng công thức (III.1b) để tìm vị trí của khối tâm của một tam giác vuông có các cạnh có chiều dài là a và b. Giả sử ta chọn trục Ox hướng theo dọc chiều dài cạnh a. Ta chọn yếu tố dm như hình vẽ bên : chiều rộng của nó là dx và chiều cao là y. Diện tích của nó là ydx. Gọi là khối lượng riêng (trong trường hợp này là khối lượng của một đơn vị diện tích) của tam giác, thì: dm = ydx Mặt khác, từ hình vẽ của hai tam giác đồng dạng, ta có : y/x = b/a từ đó y=(b/a)x. Thay vào biểu thức của dm, ta có: dm = (b/a)xdx Thay dm vào biểu thức (III.1b), ta tìm được tọa độ xG của khối tâm : xG = = = = Mặt khác, khối lượng m của hình tam giác có thể được tính như sau :
4. m = ab Thay vào biểu thức của xG, ta tìm được : xG = a Tương tự, có thể tìm được : yG = b III.1.4. Chuyển động của khối tâm : Ta tìm vận tốc chuyển động của khối tâm của vật rắn. Xuất phát từ biểu thức định nghĩa của vận tốc và biểu thức định nghĩa (III.1a) của khối tâm, ta có : = = = trong đó i = (d i / dt) là vận tốc của chất điểm thứ i. Tử số của biểu thức trên, như chúng ta đã biết chính là động lượng của vật rắn. Do đó, ta có thể biểu diễn: = = m (III.2) Biểu thức trên chứng tỏ rằng động lượng của vật rắn chuyển động tịnh tiến bằng tích của khối lượng vật rắn và vận tốc của khối tâm. Điều đó có nghĩa là trong chuyển động tịnh tiến của vật rắn, ta có thể xem chuyển động của nó là một chuyển động của một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của vật rắn và nằm tại khối tâm của vật rắn. Bây giờ ta hãy tìm phương trình chuyển động của khối tâm. Muốn vậy, ta lấy đạo hàm theo thời gian của biểu thức (III.2) : = m = = = =
5. trong đó và là gia tốc và ngoại lực tác dụng lên chất điểm mi của vật rắn, là tổng các ngoại lực tác dụng lên vật rắn. Nếu ta gọi là gia tốc của khối tâm, thì phương trình trên có thể viết dưới dạng : m = (III.3) trong đó = (d G / dt). Phương trình trên chứng tỏ khối tâm của vật rắn chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của hệ (hay của vật rắn) và chịu tác dụng của một lực bằng tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ (hay vật rắn). Cần lưu ý rằng kết luận trên đúng cho cả trường hợp hệ chất điểm và cả của vật rắn. III.1.5. Chuyển động quay của vật rắn : Xét một vật rắn quay quanh trục quay với vận tốc góc o, khi đó bậc tự do của vật rắn chỉ còn bằng một. Vị trí của vật rắn được xác định bởi một tọa độ duy nhất là góc quay  . Ta có những nhận xét sau : a) Mọi điểm của vật rắn vạch nên những vòng tròn có tâm nằm trên trục quay . b) Trong cùng một khoảng thời gian, mọi điểm của vật rắn đều quay được một góc  như nhau. c) Tại cùng một thời điểm, mọi điểm của vật rắn đều có cùng vận tốc góc :  o= và gia tốc góc  = = d) Tại một thời điểm, vectơ vận tốc dài và gia tốc tiếp tuyến của một chất điểm bất kỳ của vật rắn liên hệ với vận tốc góc và gia tốc góc bởi các hệ thức sau : = ( 0 ) t = ( ) III.1.6. Chuyển động song phẳng của vật rắn :
6. Người ta gọi chuyển động của vật rắn là chuyển động song phẳng nếu quĩ đạo của mọi điểm của vật rắn đều nằm trong những mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định P. Hình dưới đây trình bày chuyển động song phẳng. Chuyển động song phẳng là một chuyển động khá phổ biến trong thực tế. Ví dụ chuyển động tịnh tiến của ôtô trên đường, chuyển động quay của vật rắn là những chuyển động song phẳng. Chuyển động lăn không trượt của một hình trụ trên một mặt phẳng cũng là một ví dụ chuyển động song phẳng vì khi chuyển động thì hai mặt đáy của hình trụ luôn luôn ở trong các mặt phẳng thẳng đứng và mỗi điểm của hình trụ đều chuyển động trong một mặt phẳng song song với hai mặt phẳng trên. Chuyển động của pít tông, của cái tay biên máy nổ cũng đều là chuyển động song phẳng. Khi một vật rắn chuyển động phẳng thì mọi điểm của nó nằm trên đường thẳng MM’ vuông góc với mặt phẳng cố định P đều chuyển động giống nhau, vì vậy khi nghiên cứu chuyển động song phẳng ta chỉ cần nghiên cứu chuyển động của một tiết diện S bất kỳ của vật rắn song song với mặt phẳng P là đủ. Do đó, từ đây về sau, chúng ta chỉ vẽ tiết diện S là đại diện cho vật rắn. III.2. Đặc trưng của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục : III.2.1. Mômen động lượng của vật rắn quay quanh một trục : Xét một vật rắn quay quanh trục quay cố định với vận tốc góc o. Trong trường hợp này, ta chọn trục quay làm trục để tính mômen. Hình bên trình bày hình ảnh một vật rắn quay quanh trong đó có vẽ một chất điểm mi của vật rắn và quĩ đạo của của nó là một đường tròn tâm O’ nằm trên trục quay . Khoảng cách từ chất điểm đến O’ được xác định bởi bán kính vectơ i, vận tốc dài của chất điểm là i. Do i vuông góc với i nên mômen động lượng của chất điểm đối với trục quay là : Li = mirivi. Mặt khác, ta có : vi = ori nên ta có thể biểu diễn : 2 Li= miri o. Mômen động lượng của vật rắn, theo định nghĩa :
7. L= = o = o Nếu ta đặt : I = (III.5) I được gọi là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay . Mômen động lượng của vật rắn khi đó được biểu diễn dưới dạng : L= Io (III.6) Vậy, mômen động lượng của một vật rắn bằng tích của mômen quán tính và vận tốc góc của vật rắn. III.2.2. Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn : Để tìm phương trình mô tả chuyển động quay của vật rắn, ta lấy đạo hàm theo thời gian của biểu thức (III.6), ta có : = (I o) = I = I (*) trong đó là gia tốc góc của vật rắn. Mặt khác, theo định nghĩa của mômen động lượng của vật rắn : = Do đó : = = nhưng = i và do đó = 0 vì i// . Ngoài ra theo định luật II, ta có : = nên cuối cùng ta có thể viết : = = =
8. trong đó là mômen lực tác dụng lên chất điểm thứ i. Vậy tóm lại, ta có thể viết phương trình cơ bản (*) mô tả chuyển động quay của vật rắn dưới dạng : I = = (III.7) Trong đó = là mômen lực tác dụng lên vật rắn. (III.7) chứng tỏ rằng tích của mômen quán tính và gia tốc góc của vật rắn bằng mômen lực tác dụng lên vật rắn. Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn về hình thức rất giống phương trình chuyển động của chất điểm (II.1), trong đó ta phải thay mômen quán tính I bằng khối lượng m, gia tốc góc bằng gia tốc dài và mômen lực bằng lực . Tóm lại, các phương trình trong chuyển động quay của vật rắn đều có các phương trình tương ứng trong chuyển động tịnh tiến của chất điểm : = I o = m I = m = Trong đó ta cần thay : I m; o ; ; ; ; III.2.3. Sự bảo toàn mômen động lượng của vật rắn quay : Công thức (III.7) cho ta sự biến thiên theo thời gian của mômen động lượng của vật rắn. Nếu mômen lực tác dụng lên vật rắn bằng không thì mômen động lượng = I o = Cte. Trường hợp hay gặp trong thực tế là các lực tác dụng lên vật rắn là lực xuyên tâm do đó mà mômen của các lực này bằng 0 và mômen động lượng của vật rắn bảo toàn trong quá trình chuyển động. Để minh họa cho điều này, nhà bác học Nga là Giu-kốp-ski đã chế tạo ra một cái ghế gọi là ghế Giu-kốp-ski. Ghế Giu-kốp-ski là một ghế hình tròn có thể quay quanh một trục thẳng đứng. Sau đây là các thí nghiệm trên ghế Giu-kốp-ski. a) Thí nghiệm 1 :
9. Một người cầm hai quả tạ nặng đứng trên ghế Giu-kốp-ski đang quay đều. Nếu người đó dang tay ra thì mômen quán tính của người và ghế tăng lên do đó ghế sẽ quay chậm lại. Ngược lại, nếu người đó co tay lại, mômen quán tính của hệ giảm xuống thì ghế quay nhanh lên. b) Thí nghiệm 2 : Một người đứng thẳng trên ghế Giu-kốp-ski tay cầm một trục thẳng đứng của một vành xe nặng. Ban đầu người, ghế và bánh xe đứng yên nghĩa là mômen động lượng (còn gọi là động lượng quay) của hệ bằng 0. Sau đó ta làm cho vành xe quay với vận tốc góc 1 thì người và ghế sẽ quay với vận tốc 2 theo chiều ngược lại. Sở dĩ như vậy vì theo định luật bảo toàn mômen động lượng : I1 1+I2 2 = 0 trong đó I1 là mômen quán tính của vành xe, I2 là mômen quán tính của người và ghế.
10. Từ đó, suy ra : 2 = -(I1 1)/I2 Dấu trừ trong biểu thức trên chứng tỏ người và ghế quay ngược chiều so với chiều quay của vành xe như thực nghiệm đã xác nhận. Quả đất tự quay quanh mình cũng biểu hiện giống như ghế Giu-kốp-ski. Bất kỳ một sự biến đổi nào của khối lượng trong lòng đất (chẳng hạn sự phun của núi lửa, sự tạo thành các dãy núi mới ) cũng làm thay đổi mômen quán tính của quả đất và do đó làm thay đổi vận tốc góc của quả đất. Hiện tượng này gây ra sự biến động bất thường của thời gian kéo dài của một ngày đêm. III.3. Chuyển động tổng quát của vật rắn : Trong tiết này, chúng ta sẽ nghiên cứu chuyển động song phẳng bất kỳ của vật rắn. Gọi G là khối tâm của vật rắn, và M là một điểm bất kỳ của vật rắn nằm trong tiết diện S. Gọi O là gốc tọa độ, khi đó G và M là hai bán kính vectơ xác định vị trí của G và M. Theo quy tắc cộng vectơ, ta có : M = G + trong đó là bán kính vectơ nối từ G tới M. Lấy đạo hàm theo thời gian của biểu thức trên, ta có : = + vế trái của phương trình trên là vận tốc M của điểm M, số hạng đầu tiên ở vế phải là vận tốc G của khối tâm, còn số hạng thứ hai ta tính như sau : Vì rằng trong quá trình chuyển động của vật rắn thì khoảng cách r của hai điểm G và M luôn luôn giữ nguyên không thay đổi nên ta suy ra vectơ chỉ có thể thay đổi phương mà không thay đổi độ lớn, nói cách khác điểm M chỉ có thể quay quanh khối tâm G của vật rắn. Vậy (d /dt) là vận tốc dài của điểm M trong chuyển động quay quanh trục quay đi qua khối tâm G của vật rắn. Vận tốc, này như ta đã biết bằng ( o ). Vậy ta có thể biểu diễn vận tốc của điểm M trong chuyển động song phẳng bất kỳ như sau : M = G +( o ) (III.8)
11. Công thức (III.8) chứng tỏ rằng chuyển động song phẳng bất kỳ của vật rắn bao giờ cũng có thể phân thành hai chuyển động thành phần : Chuyển động tịnh tiến của khối tâm của vật rắn. Chuyển động quay của vật rắn quanh trục quay đi qua khối tâm với vận tốc góc o. Cần lưu ý rằng trục quay trong trường hợp này không đứng yên mà luôn luôn tịnh tiến trong không gian giống như khối tâm. Trục quay do vậy gọi là trục quay tức thời. Chúng ta sẽ chứng minh rằng vận tốc góc của vật rắn không phụ thuộc vào trục quay tức thời, tức là dù quay theo trục quay nào thì vận tốc góc của nó cũng vẫn là o. Thật vậy, nếu ta chọn điểm A là điểm có tâm quay tức thời đi qua thì tương tự, ta có biểu thức giống (III.8) : M = A+( ’o ’) trong đó ’o là vận tốc góc của vật rắn quay quanh trục quay tức thời đi qua A, ’ là bán kính vectơ nối A với M. Vì biểu thức trên và (III.8) cùng biểu diễn vận tốc của điểm M nên ta có đẳng thức : A+( ’o ’) = G+( o ) Mặt khác, ta có thể tính vận tốc của khối tâm khi vật rắn quay quanh trục đi qua A : G= A+( ’o ) Trong đó là bán kính nối A với G. Thay biểu thức của G vào biểu thức trên ta có : A+( ’o ’) = A+( ’o )+( o ) Mặt khác, từ hình vẽ ta có : ’= +
12. Thay vào vế trái của đẳng thức trên, ta có : A+( ’o )+( ’o ) = A+( ’o )+( o ) Từ đó ta suy ra : (’o ) = ( o ) hay là ’o = o. Đó là điều cần chứng minh. III.4. Mômen quán tính của các vật : Như ta đã biết ở III.2.1, mômen quán tính của một hệ chất điểm và của vật rắn được định nghĩa bởi công thức (III.5) : I= Từ định nghĩa trên, ta nhận thấy mômen quán tính có tính chất cộng và trừ được. Trong trường hợp của vật rắn, vì vật chất được phân bố một cách liên tục nên ta sẽ thay dấu lấy tổng bằng dấu tích phân, vì vậy mômen quán tính của vật rắn đối với một trục nào đó được tính theo công thức : I = dm (III.9) Trong tiết này, chúng ta sẽ áp dụng công thức (III.9) để tính mômen quán tính của một số vật rắn thường gặp. III.4.1. Mômen quán tính của một số vật rắn : a/ Mômen quán tính của một thanh đối với trục đi qua một đầu thanh và vuông góc với thanh: Xét một thanh có chiều dài l và khối lượng m. Ta tính mômen quán tính của thanh đối với trục đi qua một đầu thanh và vuông góc với thanh. Giả sử thanh nằm dọc theo trục Ox. Ta chọn yếu tố dm là một đoạn thẳng có các tọa độ điểm đầu là x và điểm cuối là x+dx, tức là có chiều dài dx. Gọi là khối lượng riêng của thanh (tức là khối lượng tương ứng với một đơn vị chiều dài của thanh) thì dm = dx. Thay vào (III.9) ta tìm được :
13. I = = l 3 = ml2 Trong (III.10) ta đã thay l = m là khối lượng của thanh. b/ Mômen quán tính của một số vật đối xứng khác : Mômen quán tính của hình xuyến : 2 2 I = m(R1 + R2 ) Mômen quán tính của hình trụ đặc : I = mR2 Mômen quán tính của hình trụ rỗng : I = mR2 Mômen quán tính của hình nón : I = mR2
14. Mômen quán tính của quả cầu đặc: I = mR2 Mômen quán tính của quả cầu rỗng: I = 2/3 mR2 III.5. Định lý Steiner - Huygens : III.5.1. Định lý Steiner-Huygens : Trong mục III.4, chúng ta thường tính mômen quán tính của các vật đối với trục đi qua khối tâm của vật. Trong trường hợp nếu trục quay không đi qua khối tâm của vật thì tính mômen quán tính của vật đối với trục ra sao? Để trả lời, chúng ta giả sử trục quay đi qua điểm A của vật rắn, còn trục thứ hai đi qua khối tâm G và giả sử hai trục này song song với nhau. Gọi a là khoảng cách giữa hai trục, ta có thể chứng minh được: 2 IA = IG + ma (III.17) Công thức trên biểu diễn một định lý gọi là định lý Steiner-Huygens. Định lý phát biểu như sau : Mômen quán tính của một vật rắn đối với một trục nào đó bằng mômen quán tính của vật rắn đối với trục song song đi qua khối tâm cộng với tích số của khối lượng vật rắn và bình phương khoảng cách giữa hai trục. III.5.2. Các ví dụ áp dụng định lý Steiner-Huygens : a/ Mômen quán tính của thanh đối với trục đi qua tâm của thanh và vuông góc với thanh : Trung điểm của thanh chính là khối tâm của nó. Gọi IA là mômen quán tính của thanh đối với trục đi qua một đầu thanh thì theo (III.17) :
15. 2 IA = IG + m( ) = IG + m Trong đó khoảng cách a giữa hai trục là (l/2). Mặt khác, theo (III.10) ta có : IA = Kết hợp với biểu thức trên, ta tìm được : 2 IG = IA - m = - m = ml (III.18) b/ Mômen quán tính của hình trụ đặc đối với đường sinh của nó : Công thức (III.11) cho ta mômen quán tính của hình trụ đặc đối với trục đi qua khối tâm của nó : 2 IG = mR Nếu gọi I là mômen quán tính của hình trụ đặc đối với trục trùng với đường sinh của nó, thì theo (III.17) ta có : 2 2 2 2 I = IG + mR = mR + mR = mR (III.19) Trong trường hợp này khoảng cách giữa hai trục là bán kính R của đáy hình trụ. III.6. Động năng của vật rắn chuyển động Khi một vật rắn chuyển động, nó có một động năng nhất định nào đó. Ta hãy tính động năng đó. Trước tiên, ta cần định nghĩa động năng của một vật rắn. Chúng ta coi vật rắn là một hệ chất điểm, do đó động năng K của vật rắn bằng tổng động năng của tất cả các chất điểm của vật rắn : 2 K= mivi (III.20) III.6.1. Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến :
16. Trong chuyển động tịnh tiến, mọi điểm của vật rắn chuyển động với cùng một vận tốc, đó là vận tốc của khối tâm. Thay vi trong (III.20) bằng vG, ta có : 2 2 Ktt = vi = vG (III.21) trong đó m là khối lượng của vật rắn. Động năng của một vật rắn chuyển động tịnh tiến bằng động năng của khối tâm mang khối lượng của cả vật rắn. III.6.2. Động năng của vật rắn quay quanh một trục : Nếu gọi ri là khoảng cách từ phần tử mi của vật rắn đến trục quay và o là vận tốc góc của vật rắn thì ta có thể biểu diễn độ lớn của vận tốc dài vi của phần tử mi như sau: vi = ori Động năng quay của vật rắn, theo định nghĩa (III.20) bằng : 2 2 2 2 2 2 Kq = mivi = ri o = o ri = I o (III.22) 2 Trong đó I là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay. Đại lượng I o gọi là động năng quay của vật rắn. Cuối cùng, ta có động năng của vật rắn trong chuyển động tổng quát : 2 2 K = mvG + IG o (III.23) Động năng của một vật rắn trong chuyển động bất kỳ bằng tổng động năng trong chuyển động tịnh tiến với vận tốc của khối tâm và động năng quay quanh trục tức thời đi qua khối tâm. III.7. Vật lăn trên mặt phẳng nghiêng : Để hiểu rõ hơn những điều trình bày trong chương này, chúng ta hãy áp dụng các kết quả thu được để khảo sát chuyển động lăn của một vật trên mặt phẳng nghiêng. Giả sử vật lăn
17. không trượt và dạng hình học của nó có sự đối xứng tròn xoay đối với trục đi qua khối tâm G (hình trụ hay cầu) như trình bày ở hình bên. Trước khi giải bài toán này, tức là tìm gia tốc của chuyển động nhanh dần đều của vật trên mặt phẳng nghiêng ta cần đi sâu phân tích cơ chế vật lý đảm bảo cho vật lăn không trượt trên mặt phẳng đó. Chính các phản lực từ phía mặt phẳng nghiêng tác dụng lên vật đảm bảo cho nó lăn không trượt. Các phản lực đó gồm có phản lực pháp tuyến n và phản lực tiếp tuyến t. Khi không có sự trượt thì t chính là lực ma sát nghỉ. Độ lớn của t có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong khoảng từ 0 đến  Fn trong đó  là hệ số ma sát. Khi vật lăn thì lực t sẽ có giá trị sao cho không xảy ra hiện tượng trượt. Khi Ft có trị số vượt quá  Fn (tùy thuộc vào góc nghiêng của mặt phẳng nghiêng) thì vật không thể lăn thuần túy được nữa, nó bắt đầu trượt. Chúng ta sẽ giải bài toán này bằng ba cách khác nhau để hiểu rõ thêm về các kiến thức đã nêu trong chương này. a/ Cách giải thứ nhất : Vì vật lăn không trượt nên điểm A là điểm tiếp xúc giữa vật và mặt phẳng nghiêng có vận tốc tức thời bằng 0 (xem I.5.3 về chuyển động xy-clô-it). Như vậy trục quay tức thời sẽ đi qua A. Áp dụng phương trình (III.7) đối với trục đi qua A : IA = A trong đó IA là mômen quán tính của vật đối với trục quay tức thời, A là mômen của ngoại lực đối với điểm A. Trong trường hợp này ngoại lực là trọng lượng m của vật và các phản lực của điểm tựa. Tuy nhiên mômen của các phản lực đều bằng 0 vì các lực này đều đi qua điểm A. Vì vậy chỉ có trọng lực tạo ra mômen A. Ta có: IA = mgrsin trong đó r là bán kính.Gọi G là vận tốc dài của khối tâm thì theo (III.8) : vG = vA + or =  o.r vì vA = 0. Khi đó gia tốc dài a của khối tâm : a = = r
18. thay vào phương trình mômen ở trên, ta tìm được : a= vì trục quay tức thời và trục quay của vật khi lăn đi qua khối tâm G luôn song song với nhau và cách nhau một đoạn bằng r nên theo định lý Steiner-Huygens ta có : 2 IA =IG + mr Trong đó IG là mômen quán tính của vật đối với trục đi qua khối tâm. Thay biểu thức của IA vừa tìm được vào biểu thức của a cuối cùng ta tìm được : a = (III.24) Ưu điểm của cách giải này là trong phương trình xuất phát ban đầu (phương trình mômen đối với trục quay tức thời) hoàn toàn không có mặt của các phản lực mà ta không biết độ lớn. b/ Cách giải thứ hai : Áp dụng phương trình (III.7) đối với trục đi qua khối tâm G của vật : IG = G Trong đó IG và G là mômen quán tính và mômen lực đối với trục đi qua G. Trọng lượng của vật và phản lực pháp tuyến không đóng góp gì vào mômen lực vì chúng đi qua G, chỉ có thành phần phản lực tiếp tuyến t tạo ra mômen lực  G=rFt., vì vậy phương trình mômen trở thành : IG =rFt (*) Phương trình này chứa hai ẩn số là Ft và nên muốn giải ta cần phải tìm thêm một phương trình nữa. Đó là phương trình chuyển động của khối tâm G : m = mgsin -Ft ( )
19. Thay a= = r vào (*) và ( ) ta đi đến hệ phương trình mới : a = Ft= mgsin - ma Giải hệ phương trình này ta tìm được biểu thức (III.24) của a và : Ft = mgsin - ma = mgsin (III.25) Ưu điểm của cách giải này là ngoài gia tốc a ta tìm được phản lực tiếp tuyến Ft. c/ Cách giải thứ ba : 2 Ta áp dụng định luật bảo toàn cơ năng. Động năng của vật :T = mvG + IG 2 o 2 2 Theo định luật bảo toàn cơ năng: mvG + IG o =mgh trong đó h là sự thay đổi của độ cao ban đầu, từ đó bắt đầu thả cho vật lăn. Nếu gọi x là đoạn đường mà vật đi được trên mặt phẳng nghiêng thì h=xsin Lấy đạo hàm theo thời gian phương trình này và chú ý rằng (dx/dt) = vG=or và (dvG/dt) = a =r(d o/dt) chúng ta đi đến phương trình : ma + a = mgsin Từ phương trình này, ta tìm lại được biểu thức (III.24) của gia tốc a. Có thể đặt câu hỏi tại sao ở đây có sự bảo toàn cơ năng khi mà, như đã phân tích ở đầu tiết này, không thể bỏ qua vai trò của lực ma sát? Nhưng nếu nhớ lại rằng khi vật lăn không trượt thì điểm đặt của lực ma sát có vận tốc bằng 0 nên công của lực ma sát bằng 0 và không ảnh hưởng đến cơ năng của vật. Vai trò của lực ma sát ở đây là đảm bảo cho vật chỉ lăn mà không trượt và đảm bảo cho độ giảm thế năng chuyển toàn bộ thành động năng tịnh tiến và động năng quay của vật. d/ Áp dụng vào các trường hợp cụ thể :
20. - Trường hợp vật có dạng hình trụ đặc. Ta có : 2 IG= mr Thay vào (III.24), ta tìm được : a = gsin (III.26) 2 - Trường hợp vật có dạng hình trụ rỗng. Ta có : IG= mr Thay vào (III.24), ta tìm được : a = gsin (III.27) - Trường hợp vật có dạng hình cầu. Ta có : 2 IG= mr Thay vào (III.24), ta tìm được : a = gsin (III.28) Từ kết quả trên, ta thấy các nếu các vật có cùng khối lượng và được thả ở cùng độ cao trên mặt phẳng nghiêng thì quả cầu chuyển động xuống nhanh nhất, tiếp đến là hình trụ đặc và cuối cùng là hình trụ rỗng. * Bài toán va chạm: Va chạm là một hiện tượng thường gặp trong đời sống và trong kỹ thuật. Việc áp dụng các định luật động lực học để giải bài toán va chạm thường gặp nhiều khó khăn do thời gian va chạm giữa các vật thường rất ngắn ( chỉ vào khoảng từ 10-2s đến 10-5s) nên cường độ tác dụng của các lực lên các vật thường rất lớn. Aùp dụng các định luật bảo toàn để giải bài toán va chạm cho ta kết quả nhanh chóng hơn nhiều mà không cần quan tâm đến các quá trình quá độ xảy ra trong khi va chạm. Nội dung của bài toán va chạm là như sau : biết khối lượng và vận tốc của các vật trước va chạm, ta cần tìm vận tốc của các vật sau va chạm.
21. Xét hai vật có khối lượng m1 và m2 chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang (mặt phẳng xOy) và ngược chiều nhau đến va chạm trực diện với nhau. Vận tốc ban đầu của các vật lần lượt là và . Như đã nói ở mục (II.5 ), trong mặt phẳng nằm ngang chúng ta có thể áp dụng định luật bảo toàn động lượng của các vật tham gia va chạm, tức là : m1 +m2 = m1 +m2 (1) trong đó và là vận tốc của các vật sau va chạm. a/ Va chạm hoàn toàn đàn hồi : Người ta gọi va chạm giữa hai vật là hoàn toàn đàn hồi nếu trong quá trình va chạm không có hiện tượng chuyển một phần động năng của các vật trước va chạm thành nhiệt và công làm biến dạng các vật sau va chạm. Nói cách khác, sau va chạm đàn hồi các quả cầu vẫn có hình dạng như cũ và không hề bị nóng lên. Lưu ý rằng va chạm xảy ra trong mặt phẳng nằm ngang tức là độ cao so với mặt đất của các quả cầu không thay đổi nên thế năng của chúng không thay đổi trong khi va chạm, vì vậy bảo toàn cơ năng trong trường hợp này chỉ là bảo toàn động năng. Do vậy, ta có phương trình : (2) Để giải hệ phương trình (1) và (2) ta làm như sau : Vì các vectơ , , và có cùng phương nên ta chuyển phương trình vectơ (1) thành phương trình vô hướng : m1v10 + m2v20 = m1v1 + m2v2 và biến đổi phương trình này thành : m1(v10 – v1) = m2(v2 –v20) (1’) Biến đổi (2) thành : 2 2 2 2 m1(v10 – v1 ) = m2(v2 – v20 ) (2’) Chia (2’) cho (1’) ta có :
22. (v10 + v1 ) = (v2 + v20) Nhân hai vế của phương trình này với m1 ta có : m1(v10 + v1) = m1(v2 + v20) (3) Cộng (3) với (1’) ta tìm được vận tốc của vật thứ hai sau va chạm : v2 = (IV.4) Ta nhận thấy vai trò của hai quả cầu m1 và m2 hoàn toàn tương đương nhau nên trong công thức trên ta chỉ việc tráo các chỉ số 1 và 2 cho nhau thì ta tìm được vận tốc của quả cầu thứ nhất sau va chạm: v1= (IV.5) Ta xét một trường hợp riêng của biểu thức (IV.4) và (IV.5) : Giả sử hai quả cầu hoàn toàn giống nhau , tức là m1 = m2. Từ (IV.4) và (IV.5) ta có : v2 = v10 v1 = v20 nghĩa là hai quả cầu sau va chạm trao đổi vận tốc cho nhau : quả cầu thứ nhất có vận tốc của quả cầu thứ hai trước khi có va chạm và ngược lại. Hình sau minh họa trường hợp một trong hai quả cầu trước va chạm đứng yên : Hình bên cho thấy sau va chạm, quả cầu thứ hai có vận tốc v2 = v10 = 0, nghiã là nó đứng yên như quả cầu thứ nhất trước khi va chạm, còn quả cầu thứ nhất sau va chạm lại có vận tốc v1 = v20 nghĩa là nó chuyển động như quả cầu thứ hai trước khi va chạm. Hai quả cầu đã thay đổi vai trò cho nhau. Nếu ma sát ở điểm treo dây rất nhỏ thì các quả cầu sẽ lần lượt lúc đứng yên lúc chuyển động xen kẽ nhau. b) Va chạm mềm: Người ta gọi va chạm giữa các vật là va chạm mềm nếu sau va chạm hai vật dính liền với nhau thành một vật. Trong va chạm mềm một phần động năng của các
23. quả cầu đã chuyển thành nhiệt và công làm biến dạng các vật sau va chạm. Dĩ nhiên trong va chạm mềm ta không có sự bảo toàn cơ năng của các vật. Định luật bảo toàn động lượng dẫn đến phương trình : m1 + m2 = (m1 + m2) trong đó là vận tốc của vật sau va chạm. Từ đó, ta tính được vận tốc của các vật sau va chạm : = (IV.6) Ta hãy tính phần động năng tổn hao trong quá trình va chạm : Động năng của hai vật trước va chạm : Ko= Động năng của chúng sau va chạm : 2 K= (m1+m2)v = Phần động năng tổn hao trong quá trình va chạm là : 2 K = Ko - K = (v10-v20) > 0 (IV.7) Biểu thức trên chứng tỏ rằng động năng của các quả cầu luôn luôn bị tiêu hao thành nhiệt và công làm biến dạng các vật sau va chạm. Muốn đập vỡ một viên gạch, tức là muốn chuyển động năng của búa thành năng lượng biến dạng làm vỡ viên gạch thì theo (IV.7) ta cần tăng vận tốc v10 của búa trước khi va chạm, tức là phải đập búa nhanh. Ngược lại, khi đóng đinh ta phải làm giảm phần động năng tiêu hao vì ta muốn chuyển động năng của búa thành động năng của đinh ấn sâu vào gỗ. Muốn vậy, phải tăng khối lượng m1 của búa để đạt được động năng của búa vẫn lớn khi mà vận tốc v10 của búa không lớn , nhờ vậy mà giảm được phần động năng tiêu hao thành nhiệt. (*) Áp dụng :
24. Sau đây chúng ta sẽ trình bày một áp dụng của va chạm mềm để xác định vận tốc ban đầu của đầu đạn khi bay ra khỏi nòng súng. Để xác định vận tốc v10 của viên đạn có khối lượng m1 khi bay ra khỏi nòng súng, người ta bắn viên đạn vào một bao cát có khối lượng m2 đứng yên (v20 = 0). Sau va chạm, viên đạn và bao cát dính vào nhau và có cùng vận tốc là v . Bao cát được treo bằng một thanh kim loại cứng có chiều dài l . Đầu thanh có gắn một lưỡi dao O làm trục quay. Nhờ động năng sau va chạm mà hệ quay đi một góc  , và được nâng lên một độ cao h so với vị trí cân bằng. Tất cả động năng của hệ đã chuyển thành thế năng. Đo góc  , biết m1, m2 và l ta có thể xác định được vận tốc ban đầu v10 của viên đạn khi bay ra khỏi nòng súng. Thật vậy, áp dụng (IV.6) và để ý rằng v20 = 0 ta có : v= Từ đó có thể tính động năng sau va chạm của hệ là : 2 K= (m1+m2)v = Thế năng của hệ ở vị trí được xác định bởi góc  là : U = (m1 + m2)gh = (m1 + m2)gl(1 - cos ) Theo định luật bảo toàn cơ năng : (m1+m2) gl(1 - cos )= Dựa vào hệ thức lượng giác : 1 – cos = 2sin2( /2) Ta có thể biến đổi phương trình trên thành : 4glsin2( /2) = ( )2 Từ đó tính được:
25. v10=2 ( )sin( /2) Hệ thống bố trí như trên cho phép ta xác định được vận tốc của viên đạn khi đo góc lệch  , do đó được gọi là con lắc thử đạn. c/ Va chạm thật giữa các vật: Thực tế, va chạm giữa các vật không hoàn toàn đàn hồi cũng như không phải là va chạm mềm mà là trường hợp trung gian giữa hai trường hợp trên. Trong quá trình va chạm, một phần động năng của các vật đã chuyển thành nhiệt và công biến dạng mặc dù sau va chạm hai vật không dính liền nhau mà chuyển động với những vận tốc khác nhau. Từ thời Niutơn, bằng thực nghiệm người ta đã xác định được rằng trong va chạm thật giữa các vật thì tỉ số e của vận tốc tương đối ( tức là hiệu của hai vận tốc ) sau va chạm (v1 - v2) và vận tốc tương đối trước va chạm (v10 – v20) chỉ phụ thuộc vào bản chất của các vật va chạm : - e = Tỉ số e gọi là hệ số đàn hồi. Trong va chạm hoàn toàn đàn hồi , từ biểu thức (3) ta suy ra : v1 – v2 = - (v10 – v20) Như vậy, đối với va chạm hoàn toàn đàn hồi thì e = 1. Trong va chạm mềm thì vì sau va chạm hai vật cùng chuyển động cùng với vận tốc v như nhau nên vận tốc tương đối của chúng sau va chạm bằng không, do đó e = 0 . Đối với va chạm của các vật thật thì e có gia trị giữa 0 và 1. Niutơn đã xác định được với thủy tinh thì e = 15/16 còn đối với sắt thì e = 5/9. Biết hệ số đàn hồi e , ta có thể xác định được vận tốc sau va chạm của các vật và phần động năng tiêu hao trong va chạm . Thật vậy , từ định nghĩa của hệ số đàn hồi e ở trên và định luật bảo toàn động lượng ta có hệ phương trình : v1 – v2 = - e(v10 – v20) m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20 Muốn giải hệ phương trình này, chúng ta nhân hai vế của phương trình đầu với m2 rồi cộng phương trình thu được với phương trình thứ hai của hệ ta được :
26. (m1 + m2)v1 = (m1 + m2)v10 – m2(e + 1)(v10-v20) Từ đó tính được : v1 = v10 - Tương tự , ta tìm được : v2 = v20 - Phần động năng tiêu hao trong va chạm là : K=Ko-K= m1 + m2 - m1 - m2 K = m1( - )+ m2(-) K= m1( - )( + )+ m2( - )( + ) Từ các biểu thức của v1 và v2 mà ta tìm được ở trên ta có đẳng thức sau : m1(v10-v1) = -m2(v20 - v2) = (e+1)( v10-v20) Vậy : K= (e+1)( v10-v20)[(v10+v1)- ( + )] Mặt khác : (v10 + v1) –(v20 + v2) = (v10 – v20)(1 – e) 2 2 Cuối cùng: K= (1 – e ) ( v10-v20) Từ biểu thức trên , ta thấy trong va chạm hoàn toàn đàn hồi (e = 1) thì K = 0, tức là không có sự tổn hao động năng của các quả cầu sau va chạm. Trong va chạm mềm (e = 0) thì biểu thức trên hoàn toàn trùng với biểu thức (IV.7) mà ta đã tính được trước đây.