›
›

Bài giảng Vật lý đại cương 1 - Chương II: Các định luật

doc 37 trang phuongnguyen 110
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Vật lý đại cương 1 - Chương II: Các định luật", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_giang_vat_ly_dai_cuong_1_chuong_ii_cac_dinh_luat.doc

Nội dung text: Bài giảng Vật lý đại cương 1 - Chương II: Các định luật

  1. Chuơng II : II.1. Các định luật Niu-tơn : II.1.1. Định luật I Niu-tơn : (Newton) Khi nghiên cứu chuyển động, chúng ta nhận thấy rằng các vật chỉ bắt đầu chuyển động hay thay đổi trạng thái chuyển động của chúng khi chịu tác động của vật khác. Tác dụng của một vật lên một vật khác được đặc trưng bởi một đại lượng vật lý gọi là lực. Ví dụ đoàn tàu chỉ chuyển động khi chịu tác dụng của lực kéo của đầu tàu, chiếc xe đang chuyển động chỉ dừng lại khi chịu lực hãm Qua các ví dụ trên ta có thể định nghĩa như sau : Lực là nguyên nhân vật lý gây ra sự chuyển động cũng như sự thay đổi chuyển động của các vật. Lực thể hiện mức độ tương tác giữa các vật. Tương tác giữa các vật xảy ra theo hai phương cách : -Khi chúng tiếp xúc với nhau. Ví dụ : lực đàn hồi, lực ma sát -Khi chúng không trực tiếp tiếp xúc nhau. Dù vậy chúng vẫn tác dụng lên nhau thông qua trường. Ví dụ : lực hấp dẫn, lực điện từ Lực là một đại lượng vectơ (trong cơ học thường được ký hiệu bằng chữ ), do đó ta cần lưu ý đến các đặc điểm sau của vectơ lực : -Điểm đặt của lực nằm tại vật chịu tác dụng của lực. -Độ lớn (còn gọi là cường độ) của lực được biểu diễn một cách hình học bằng độ dài của vectơ lực. -Phương của lực. -Chiều của lực. Do đó hai lực được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài, cùng phương và cùng chiều. Qui tắc cộng các lực là qui tắc cộng vectơ. Khi nghiên cứu mối quan hệ giữa lực và chuyển động nhà bác học người Anh là Niu-tơn đã xây dựng được ba định luật động lực học mang tên ông. Định luật I Niu-tơn được phát biểu như sau :
  2. Mọi vật giữ nguyên trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều nếu tổng hình học của các lực tác dụng lên vật bằng 0. Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều là trạng thái chuyển động với vận tốc không thay đổi hay là giữ nguyên như cũ, tức là chuyển động theo quán tính. Do đó, định luật này được gọi là định luật quán tính. Không giống như các định luật vật lý khác, ta không thể nào kiểm nghiệm được định luật này một cách trực tiếp bằng thực nghiệm vì trên trái đất không thể có bất kỳ vật nào hoàn toàn cô lập ( không chịu bất kỳ một lực nào). Thành thử, ta coi định luật này như một nguyên lý (tương tự như một tiên đề trong toán học) mà không chứng minh. Ta chỉ có thể xác nhận sự đúng đắn của định luật này khi kiểm nghiệm các hệ quả của định luật mà thôi. Có thể nêu một ví dụ quan sát thông thường giúp ta dễ dàng thừa nhận định luật. : khi đẩy một vật nặng trượt trên sàn nhà ta có thể thấy vận tốc của vật giảm dần và cuối cùng dừng hẳn lại. Nhưng nếu sàn nhà nhẵn thì vật có thể trượt rất xa. Sởõ dĩ như vậy là vì ngoài trọng lượng của vật và phản lực của sàn nhà là hai lực triệt tiêu lẫn nhau thì vật còn chịu tác dụng của lực ma sát và lực cản của không khí là hai lực ngược chiều chuyển động của vật và cản trở chuyển động của vật. Tưởng tượng nếu ta có thể làm giảm các lực này thì vật sẽ chuyển động được rất xa mặc dù ta chỉ đẩy vật trong một thời gian rất ngắn. Nếu làm triệt tiêu hoàn toàn các lực này thì vật sẽ chuyển động thẳng đều mãi mãi trên sàn nhà. II.1.2. Hệ qui chiếu quán tính : Ở chương I, chúng ta đã biết rằng cùng một chuyển động nhưng sẽ xảy ra khác nhau trong các hệ qui chiếu khác nhau : ví dụ chuyển động của điểm M trên vành xe đạp, nếu ngồi trên xe mà nhìn thì điểm M chuyển động tròn đều, còn nếu đứng quan sát bên đường thì điểm M chuyển động theo quĩ đạo xy-clô-it. Vậy tự nhiên sẽ nảy sinh câu hỏi sau : định luật I Niu-tơn khẳng định nếu một vật không chịu tác động của một lực nào thì nó sẽ đứng yên hay chuyển động thẳng đều đối với hệ qui chiếu nào? Thời Niu-tơn, ông coi hệ qui chiếu có tâm là mặt trời và ba trục hướng về ba ngôi sao ở rất xa mặt trời (vì ở rất xa nên coi như ba ngôi sao này là đứng yên) là một hệ qui chiếu đứng yên. Hệ qui chiếu này gọi là hệ qui chiếu Cô-péc-ních. Niu-tơn đã phat biểu định luật I đối với hệ qui chiếu Cô-péc-ních. Do đó, hệ qui chiếu Cô- péc-ních được gọi là hệ qui chiếu quán tính. Trong hệ qui chiếu quán tính, định luật I Niu-tơn được nghiệm đúng. Vì vậy ta có thể định nghĩa hệ qui chiếu quán tính như sau : Hệ qui chiếu quán tính là một hệ qui chiếu mà trong đó nếu một vật không chịu tác dụng của một ngoại lực nào thì nó hoặc là đứng yên hoặc là chuyển động thẳng đều.
  3. Như ta sẽ thấy sau này, hệ qui chiếu gắn liền với quả đất không phải là một hệ qui chiếu quán tính. Nhưng nếu ta xét chuyển động của một vật trong khoảng thời gian ngắn thì ta có thể xem hệ qui chiếu gắn với quả đất gần đúng là một hệ qui chiếu quán tính, còn nếu chuyển động xảy ra trong một thời gian dài (ví dụ như chuyển động của tên lửa vượt đại châu, chuyển động của tàu vũ trụ) thì không thể xem hệ qui chiếu này là quán tính được. II.1.3. Định luật II Niu-tơn : Định luật II Niu-tơn xét mối quan hệ định lượng giữa lực và chuyển động. Nó được phát biểu như sau : Gia tốc mà chất điểm thu được dưới tác dụng của lực thì tỉ lệ với cường độ của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật. (II.1a) trong đó là gia tốc của chất điểm, là ngoại lực gây ra chuyển động có gia tốc của vật, m là khối lượng của vật. Ta cũng có biểu diễn định luật II dưới dạng khác. Từ (II.1a) suy ra : = m (II.1b) Dựa vào (II.1b) ta suy ra đơn vị đo lực trong hệ đo lường quốc tế SI như sau : nếu m=1kg, a=1m/s2 thì F =1kgm/s2= 1Niu-tơn (viết tắt là 1N) Vậy 1N là một lực mà khi tác dụng lên một vật có khối lượng 1kg thì nó truyền cho vật này một gia tốc là 1m/s2. Từ (II.1a) ta thấy rằng = 0 thì = 0, tức là nếu vật không chịu tác dụng của ngoại lực thì nó sẽ tiếp tục đứng yên hay chuyển động thẳng đều ( = Cte). Do đó định luật I chỉ là một trường hợp riêng của định luật II, tuy nhiên Niu-tơn vẫn phát biểu nó thành một định luật riêng do tầm quan trọng của định luật này về phương diện lý luận khi nghiên cứu chuyển động. II.1.4. Định luật III Niu-tơn : Định luật này xét mối quan hệ giữa các lực tương tác giữa hai vật. Nếu ta gọi 12 là lực mà vật thứ nhất tác động lên vật thứ hai (qui ước gọi là lực), còn 21 là lực
  4. mà vật thứ hai tác động trở lại vật thứ nhất (qui ước gọi là phản lực) thì định luật III được phát biểu như sau : Phản lực luôn bằng độ lớn nhưng ngược chiều với lực. 12 = - 21 (II.2) Cần phải lưu ý rằng tên gọi lực và phản lực chỉ có tính qui ước. Nội dung của định luật III tuy đơn giản nhưng phải nhớ rằng điểm đặt của lực và phản lực là hai điểm khác nhau : điểm đặt của lực 12 là vật hai còn điểm đặt của lực 21 là vật một. Do đó hai lực này không triệt tiêu tác dụng của nhau. Cần phải nhớ kỹ điều này khi phân tích các lực để tránh nhầm lẫn trong khi giải các bài toán động lực học. II.2. Các lực liên kết : Ta đã biết rằng các vật tác dụng lên nhau những lực khi chúng tiếp xúc với nhau hoặc khi chúng ở xa nhau thông qua trường. Lực tác dụng của các vật khi chúng tiếp xúc với nhau được gọi là lực liên kết. II.2.1. Phản lực và ma sát : Khi một vật chuyển động trên bề mặt một vật khác thì theo định luật III Niu-tơn mặt này sẽ tác dụng lên vật một lực gọi là phản lực của bề mặt. Thực nghiệm chứng tỏ rằng trong trường hợp tổng quát phản lực có thể phân tích thành hai thành phần : = + ms (II.3) Thành phần vuông góc với bề mặt gọi là phản lực pháp tuyến. Thành phần ms cùng phương nhưng ngược chiều với chuyển động gọi là lực ma sát. Lực ma sát luôn cản trở chuyển động. Nguời ta phân chia lực ma sát thành các loại như sau : Lực ma sát xuất hiện khi một vật đứng yên trên bề mặt của một vật khác gọi là ma sát nghỉ. Lực ma sát nghỉ không có giá trị xác định, nó phụ thuộc vào giá trị của lực. Giả sử ta tác dụng lên vật một lực kéo theo phương nằm ngang. Nếu lực kéo nhỏ thì vật vẫn nằm yên . Vậy ta phải kết luận rằng mặt phẳng tiếp xúc đã tác dụng lên vật một phản lực tiếp tuyến t bằng về độ lớn với nhưng ngược chiều, chính vì vậy mà vật không chuyển động. Phản lực tiếp tuyến đó chính là
  5. ma sát nghỉ. Tăng dần lực kéo thì ma sát nghỉ cũng tăng dần cho đến khi đạt tới một giá trị tới hạn Fms thì vật bắt đầu trượt trên mặt phẳng tiếp xúc. Giá trị giới hạn của lực ma sát nghỉ : Fms =  Pn (II.4) tác dụng lên vật. Hình dưới minh họa trường hợp của ma sát nghỉ. trong đó  gọi là hệ số ma sát nghỉ, Pn là thành phần vuông góc của lực nén lên bề mặt của mặt phẳng tiếp xúc. Hệ số ma sát phụ thuộc vào bản chất của vật liệu và trạng thái của các mặt tiếp xúc (nhẵn, ghồ ghề, trơn, nhám ) Khi lực kéo lớn hơn giá trị giới hạn Fms thì vật bắt đầu trượt. Lực ma sát khi đó gọi là ma sát trượt. Trong thực tế khi vận tốc trượt không lớn lắm ta có thể áp dụng công thức (II.4) của giá trị giới hạn của ma sát nghỉ là giá trị của lực ma sát trượt. Lực ma sát xuất hiện khi một vật lăn trên bề mặt một vật khác gọi là lực ma sát lăn. Nó được xác định bởi công thức sau : Fmsl =  ’Pn (II.5)  ’ gọi là hệ số ma sát lăn, nó thường nhỏ hơn hệ số ma sát trượt nhiều. II.2.2. Lực căng của dây : Khi một vật bị buộc chặt vào một sợi dây treo tại một điểm cố định O nào đó thì dưới tác dụng của ngoại lực (chẳng hạn là trọng lượng của vật) sợi dây bị kéo căng. Tại các điểm trên dây xuất hiện các lực gọi là lực căng của dây. Lực căng tại một điểm A nào đó trên dây là lực tương tác giữa hai nhánh OA và AC của dây ở hai bên điểm A. Muốn xác định lực căng tại A, ta tưởng tượng dây bị cắt tại A. Để cho hai nhánh OA và AC vẫn căng sao cho vật C vẫn giữ nguyên trạng thái động lực của nó như cũ thì trên các nhánh OA và AC phải lần lượt chịu các lực và ’ có cùng cường độ, cùng phương nhưng ngược chiều nhau. Lực đó chính là lực căng của dây tại A. Để làm sáng tỏ những điều trên chúng ta hãy xét ví dụ sau :
  6. Một hệ gồm hai vật khối lượng m1 và m2 được nối với nhau bằng một sợi dây mảnh không co dãn. Cả hai trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang dưới tác dụng của lực kéo đặt vào m1. Xác định lực căng của dây. Bỏ qua tác dụng của ma sát. Trước tiên ta tính gia tốc a của hệ. Vì hệ chuyển động như là một vật có khối lượng (m1+m2) dưới tác dụng của lực nên : a = Muốn tính lực căng tại A, ta tưởng tượng cắt dây tại A. Để đảm bảo cho hai vật m1 và m2 giữ nguyên chuyển động với gia tốc a thì tại hai đoạn dây ở A sẽ chịu tác dụng của các lực căng và ’. Xét riêng vật m1. Lực tác dụng lên nó gồm : lực kéo và lực căng . Viết phương trình chuyển động của m1 : m1a = F -T Từ đó T= F-m1a = F -m1 = Xét vật m2 . Lực tác dụng lên vật là lực căng ’ và do đó phương trình chuyển động của nó : m2a = T’ hay T’= m2 =T II.3. Các bài toán động lực học : Trong tiết này chúng ta sẽ áp dụng các định luật động lực học của Niu-tơn để giải các bài toán động lực học. Trong động lực học người ta chia làm hai loại bài toán sau đây :
  7. Bài toán thuận của động lực học là : biết chuyển động của chất điểm, xác định lực gây ra chuyển động. Bài toán ngược của động lực học là : biết các lực tác dụng lên chất điểm và những điều kiện ban đầu của chuyển động, xác định chuyển động của chất điểm. II.3.1.Bài toán thuận của động lực học : Để giải loại bài toán này, trước tiên cần phải xác định gia tốc của chất điểm, sau đó sẽ áp dụng công thức (II.1b) để tìm lực tác dụng lên chất điểm. Ví dụ 1 : Kéo một gầu nước từ dưới giếng lên cao nhanh dần với gia tốc là . Hãy xác định lực kéo. Ta biết lực tác dụng tổng cộng lên gầu gồm lực kéo k và trọng lượng =m của gầu. Theo định luật II Niu-tơn và để ý rằng hai lực này ngược chiều nhau nên ta có : Fk-mg = ma Từ đó : Fk = m(g+a) Ta thấy lực kéo phải lớn hơn trọng lượng của gầu, đặc biệt là Fk càng lớn khi gia tốc a càng lớn. Ví dụ 2 : Một ô-tô trọng lượng P chạy qua một cầu cong bán kính R với vận tốc v. Hãy xác định áp lực mà ô-tô nén lên mặt cầu. Bỏ qua lực ma sát.
  8. Các lực tác động lên ô-tô gồm : trọng lượng của ô-tô và phản lực pháp tuyến của mặt cầu. Trong lượng có thể phân tích thành hai thành phần t và n : Pt= Psin tạo ra gia tốc tiếp tuyến của ô-tô Pn= Pcos góp phần tạo ra gia tốc pháp tuyến của ô-tô. Vì và n ngược chiều nhau nên lực pháp tuyến (lực hướng tâm) : Pcos -N = m Từ đó phản lực pháp tuyến N bằng : N= Pcos - m = mg(cos - ) Áp lực mà ô-tô nén lên mặt cầu theo định luật III Niu-tơn về trị số bằng phản lực pháp tuyến mà mặt cầu tác dụng lên ô-tô. Ta thấy lực nén này luôn nhỏ hơn P và phụ thuộc vào vận tốc ô-tô. Áp lực này lớn nhất tại đỉnh của cầu, tại đó = 0 II.3.2. Bài toán ngược của động lực học : Để giải bài toán ngược cần xác định cụ thể các lực tác động lên từng chất điểm, sau đó áp dụng (II.1a) tìm gia tốc mà chất điểm thu được. Nếu biết vận tốc và vị trí ban đầu của chất điểm thì bằng cách lấy tích phân của gia tốc a ta có thể xác định được vận tốc và tọa độ của chất điểm theo thời gian, nghĩa là có thể biết được phương trình chuyển động cũng như phương trình quĩ đạo của chất điểm. Ví dụ 1 : Một hệ gồm hai vật có khối lượng m1 và m2 được nối nhau bằng một sợi dây không co dãn. Đầu kia của m1 nối với một sợi dây khác vắt qua một ròng rọc và nối với một quả nặng m. Giả sử hệ chuyển động không ma sát, khối lượng dây nối và ròng rọc không đáng kể. Hãy xác định chuyển động của hệ. Gọi là lực căng của sợi dây nối quả nặng m với m1. Lực mà sợi dây kéo m1 là còn kéo quả nặng m là - .
  9. Đối với quả nặng m ta có phương trình : mg-T= ma gọi 1 là lực căng của đoạn dây nối m1 với m2. Đối với m1 ta có phương trình : T-T1= m1a Đối với vật m2 ta có phương trình chuyển động : T1= m2a Cộng ba phương trình trên lại với nhau, ta tìm được gia tốc a của hệ : a = Cũng có thể tìm ngay được gia tốc a của hệ nếu để ý rằng do sợi dây không co dãn nên có thể xem chuyển động của hệ như là chuyển động của một vật thể thống nhất với khối lượng là (m+m1+m2) và lực duy nhất tác động lên hệ là m : Theo định luật II : a = Chuyển động của hệ là nhanh dần đều với gia tốc a. Do vậy phương trình chuyển động của hệ là : s = so+vot+ at2 Ví dụ 2: Một hệ gồm ba vật khối lượng m1, m2, m3 treo trên hai ròng rọc bằng các sợi dây không co dãn như ở hình bên. Giả sử khối lượng của các ròng rọc và các sợi dây không đáng kể. Bỏ qua ma sát giữa dây và ròng rọc. Hãy xác định gia tốc của mỗi vật và lực căng của các sợi dây. Gọi lực căng của các sợi dây lần lượt là 1 , 2 , 3 và gia tốc của các vật là 1, 2, 3. Áp dụng công thức cơ bản (II.1b) cho ba vật ta có : m1a1=m1g-T1 (1)
  10. m2a2=m2g-T2 (2) m3a3=m3g-T3 (3) Do ròng rọc không có khối lượng và dây không co dãn nên dễ dàng suy ra rằng: T2=T3 (4) T1=T2+T3 (5) Để giải được bài toán ta cần tìm thêm một phương trình nữa vì rằng ta có 6 ẩn số là a1, a2, a3, T1, T2, T3 nhưng ta mới có 5 phương trình. Ta nhận xét rằng do các vật bị nối với nhau qua các sợi dây nên chuyển động của chúng tất nhiên có sự ràng buộc lẫn nhau, nói cách khác giữa các gia tốc của chúng phải có mối quan hệ với nhau. Ta tìm mối quan hệ đó. Chọn chiều dương của trục Ox hướng xuống dưới như ở hình. Gốc tọa độ (vị trí O) được chọn là ròng rọc thứ nhất vì vị trí đó không thay đổi theo thời gian. Vị trí của m1 là x1, m2 là x2, m3 là x3; của ròng rọc thứ hai là xo. Gọi r là bán kính của ròng rọc. Do các sợi dây l1 và l2 không co dãn nên ta có các phương trình biểu diễn độ dài của các sợi dây như sau : x1+xo+ r = l1 (x2-xo)+(x3-xo)+ r = l2 Nhân phương trình đầu với 2 rồi cộng với phương trình thứ hai, ta có : 2x1+x2+x3+3 r = 2 l1+l2L Lấy đạo hàm hai lần theo thời gian phương trình trên và để ý rằng r, l1, l2 là hằng số ta có : 2 + + = 0 hay : 2a1+a2+a3 = 0 (6) Giải hệ phương trình (1) (6) như sau : lấy (1) trừ (2) và (3) ta được : m1a1-m2a2-m3a3=(m1-m2-m3)g (7) lấy (2) trừ (3) ta có :
  11. m2a2-m3a3=(m2-m3)g (8) Giải hệ ba phương trình (6), (7), (8) ta tìm được : a3 = (9) thay biểu thức này vào (8) ta tìm được : a2 = (10) thay (10) và (9) vào (6) ta tìm được : a1 = (11) thay (11) vào (1) ta tìm được lực căng : T1= (12) Cuối cùng, để ý đến (4) và (5) ta tìm được : T2=T3= (13) II.4. Lực tác dụng lên chất điểm chuyển động theo quĩ đạo cong : Xét một chất điểm chuyển động theo một quĩ đạo cong nào đó. Ở chương I ta đã biết rằng trong trường hợp này gia tốc toàn phần của chất điểm gồm hai thành phần gia tốc tiếp tuyến t và gia tốc pháp tuyến n. Aùp dụng định luật II Niu-tơn vào trường hợp này, ta thấy lực tác động lên chất điểm gồm hai thành phần : lực tiếp tuyến t = m t = m và lực pháp tuyến n= m t = m . Lực tiếp tuyến, như tên gọi của nó hướng theo phương tiếp tuyến và có tác dụng làm thay đổi độ lớn của vận tốc, còn lực pháp tuyến (còn gọi là lực hướng tâm) có tác dụng làm thay đổi phương của vận tốc, tức là làm cho chất điểm chuyển động theo quĩ đạo cong.
  12. Để minh họa cho điều này, chúng ta hãy xét một chất điểm chuyển động theo một quĩ đạo khép kín hình ellip mà phương trình chuyển động của nó được cho bởi : x= Acost y= Bsint trong đó A, B,  là các hằng số. Khử t trong phương trình chuyển động, ta tìm được phương trình quĩ đạo: Ta thấy quĩ đạo là một elip có các bán trục là A và B. Bán kính của chất điểm có thể viết : Gia tốc của chất điểm : Từ phương trình chuyển động, ta có : = - Asin t và = - 2Acos t=- 2x =  Bcos t và = - 2Bsin t=- 2y Từ đó : = - 2(x +y )= - 2 Ta có thể kết luận là trong chuyển động elip chất điểm luôn chịu lực hướng tâm. II.5. Định luật biến thiên và bảo toàn động lượng : Trong quá trình chuyển động của chất điểm, có thể có một số đại lượng vật lý giữ nguyên không thay đổi theo thời gian. Các đại lượng này gọi là các đại lượng bảo toàn.
  13. Chúng ta sẽ lần lượt đề cập đến các đại lượng bảo toàn này. Trước tiên chúng ta sẽ đề cập đến sự biến thiên của động lượng của chất điểm và của hệ chất điểm theo thời gian. II.5.1. Sự biến thiên theo thời gian của động lượng của chất điểm : Người ta gọi động lượng của một chất điểm khối lượng m và chuyển động với vận tốc là một vectơ được định nghĩa bằng tích số của m và : = m. (II.6) Để xét sự biến thiên của động lượng theo thời gian, ta lấy đạo hàm (II.6) theo t: m = m = hay viết gọn lại : (II.7) Dạng (II.7) là dạng tổng quát của định luật II. Mặc dù chúng ta suy ra (II.7) từ định luật II, nhưng vật lý học hiện đại chứng tỏ rằng đó chính là phương trình chuyển động của chất điểm trong cơ học tương đối của Einstein. Nó được sử dụng ngay cả trong trường hợp khi cơ học tương đối xem khối lượng m của vật không phải là một hằng số mà phụ thuộc vào vận tốc của vật theo công thức : m = trong đó mo gọi là khối lượng nghỉ (khối lượng khi vận tốc v=0) của vật, c là vận tốc của ánh sáng trong chân không. Ta có thể viết lại (II.7) dưới dạng sau : d = dt (II.8) Đại lượng dt gọi là xung lượng của lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian dt (cũng còn gọi là xung lực). (II.8) chứng tỏ rằng sự biến thiên của động lượng của chất điểm trong khoảng thời gian dt bằng xung lượng của ngoại lực tác động lên chất điểm trong khoảng thời gian đó.
  14. Trong trường hợp ngoại lực tác động lên chất điểm trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 ta phải chia khoảng thời gian (t2-t1) thành những khoảng thời gian rất nhỏ dt rồi cộng tác dụng của xung lực trong những khoảng thời gian đó lại với nhau để tìm sự biến thiên của động lượng của chất điểm trong khoảng thời gian (t2 -t1), tức là: p2 –p1 = = (II.9) Nếu ta biết vận tốc ban đầu của chất điểm (biết 1) và biết thì ta dễ dàng tìm được 2 từ (II.9) dù rằng trong khoảng thời gian (t2-t1) thì vận tốc của chất điểm có thể biến thiên rất phức tạp dưới tác dụng của lực . II.5.2. Sự biến thiên theo thời gian của động lượng của hệ chất điểm : Theo định nghĩa thì một hệ chất điểm (còn gọi là cơ hệ) là một tập hợp của các chất điểm tương tác nhau. Lực tương tác của các chất điểm trong cùng một hệ gọi là các nội lực, còn lực tương tác giữa các chất điểm trong cơ hệ với các chất điểm nằm ngoài cơ hệ gọi là các ngoại lực. Sự phân chia giữa nội lực và ngoại lực chỉ có tính tương đối, tùy thuộc vào phạm vi của cơ hệ mà ta đang xét. Chẳng hạn, nếu xem cơ hệ gồm quả đất và mặt trăng thì lực hấp dẫn của mặt trời đối với quả đất và mặt trăng là ngoại lực, nhưng nếu xét cơ hệ là hệ mặt trời (gồm mặt trời và các hành tinh) thì các lực trên lại là nội lực. Ta có nhận xét : tổng các nội lực của một cơ hệ bao giờ cũng bằng không. Thật vậy, theo định luật III Niu-tơn thì tổng các lực tương tác của hai chất điểm luôn bằng không, mà tổng của các nội lực của một cơ hệ lúc nào cũng có thể phân thành nhiều cặp lực triệt tiêu lẫn nhau. Do đó tổng các nội lực của một cơ hệ luôn bằng không. Vậy khi ta nói lực tác dụng lên cơ hệ thì có nghĩa là ta nói đến các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ. Bây giờ ta xét sự biến thiên của động lượng toàn phần của một cơ hệ (gọi tắt là động lượng của cơ hệ). Theo định nghĩa thì động lượng của một cơ hệ là tổng của động lượng của tất cả các chất điểm của cơ hệ, tức là : = 1+ 2+ + n = (II.10) Lấy đạo hàm theo thời gian của biểu thức trên, ta có :
  15. = + + + = Mặt khác theo định luật II (biểu thức II.7) thì : i trong đó i là tổng các ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ i của hệ. Vậy ta có: = = (II.11) trong đó là tổng của tất cả các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ. Vậy ta có thể phát biểu định luật biến thiên của động lượng toàn phần của một hệ chất điểm như sau : Sự biến thiên của động lượng toàn phần của một hệ chất điểm trong khoảng thời gian dt bằng xung lượng của ngoại lực tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian đó. Một cơ hệ không chịu tác dụng của bất kỳ ngoại lực nào được gọi là một hệ kín (hay là hệ cô lập). Đối với hệ cô lập thì = 0 và do đó từ (II.11) ta suy ra : = 0 hay = Cte (II.12) Động lượng toàn phần của một hệ cô lập là một đại lượng bảo toàn. Cần lưu ý rằng vì là một vectơ nên khi nói rằng = Cte thì điều đó có nghĩa không thay đổi độ lớn mà cả phương và chiều của nó cũng không thay đổi. Thực tế ở trên quả đất không tồn tại một hệ cô lập nào cả vì rằng mọi vật đều chịu tác dụng của lực hút của quả đất. Tuy động lượng toàn phần của mọi hệ chất điểm trên quả đất không bảo toàn, nhưng ta vẫn có sự bảo toàn riêng phần của vectơ động lượng của các hệ. Thật vậy, vì lực hút của quả đất luôn luôn hướng theo phương thẳng đứng (ta chọn là phương Oz) do đó khi chiếu phương trình vectơ (II.11) lên ba trục tọa độ ta có :
  16. x = 0 x = Cte y = 0 y = Cte z = z Cte Do đó, ta thấy theo phương nằm ngang (mặt phẳng nằm ngang) thì các thành phần x và y của hệ là những đại lượng bảo toàn. Ví dụ : Một khẩu pháo nhả đạn theo phương nằm ngang. Khẩu pháo có khối lượng là M, viên đạn có khối lượng m, vận tốc ra khỏi nòng của viên đạn là o. Tìm vận tốc giật lùi của khẩu pháo. Vì theo phương nằm ngang động lượng của hệ (gồm khẩu pháo và viên đạn) bảo toàn nên động lượng của hệ sau khi bắn phải bằng động lượng của hệ trước khi bắn (bằng 0 vì cả khẩu pháo và viên đạn đều nằm yên), tức là : M +m o= 0 Suy ra : = - o Dấu trừ chứng tỏ rằng sau khi bắn, khẩu pháo bị giật lùi về phía sau, vận tốc giật lùi càng nhỏ nếu khẩu pháo có khối lượng càng lớn. Sự bảo toàn động lượng của hệ cũng chính là nguyên tắc chuyển động phản lực của tên lửa, của máy bay phản lực và của tàu vũ trụ. II.7. Khái niệm về công và năng lượng : II.7.1. Khái niệm năng lượng : Ta xét một ví dụ sau đây : hai vật 1 và 2 chuyển động theo phương nằm ngang và ngược chiều nhau sao cho động lượng của vật thứ nhất : m1 1= -m2 2. Giả sử va chạm giữa chúng là va chạm mềm nghĩa là sau va chạm chúng dính liền vào nhau thành một vật. Theo định luật bảo toàn động lượng : m1 1+ m2 2 = (m1+ m2) = 0 Suy ra sau va chạm vận tốc của hai vật bằng 0, tức là chúng đứng yên. Ta thấy trạng thái chuyển động cơ học của các vật trước và sau va chạm hoàn toàn khác
  17. hẳn nhau. Hơn nữa sau va chạm mỗi vật đều bị biến dạng và bị nóng lên ít nhiều. Chuyển động nhiệt của các phân tử trong mỗi vật đều tăng lên. Rõ ràng trong trường hợp này định luật bảo toàn động lượng không phản ánh được sự thay đổi trạng thái chuyển động, sự biến đổi từ chuyển động cơ học thành chuyển động nhiệt trong mỗi vật. Do đó cần phải có thêm một đại lượng vật lí mới để đánh giá sự thay đổi của trạng thái chuyển động, đặc biệt khi có sự biến đổi từ một dạng chuyển động này sang một dạng chuyển động khác. Đại lượng đó phải là thước đo chung cho mọi dạng chuyển động của vật chất. Trong vật lí người ta gọi đại lượng đó là năng lượng. Năng lượng là thước đo lượng chuyển động của vật chất dưới mọi hình thức của chuyển động. Người ta chia năng lượng thành nhiều dạng : năng lượng cơ học, năng lượng nhiệt, năng lượng hoá học, năng lượng điện từ, năng lượng nguyên tử Chuyển động của vật chất là vĩnh cửu, không hề biến mất mà cũng không tự nhiên sinh ra mà chỉ có thể chuyển từ dạng chuyển động này sang dạng chuyển động khác. Vì vậy năng lượng trong toàn vũ trụ là một đại lượng bảo toàn. Định luật bảo toàn năng lượng là một định luật cơ bản của tự nhiên . Vấn đề còn lại cần giải quyết là xác định mối quan hệ định lượng khi chuyển đổi năng lượng từ dạng này sang dạng khác. Trong ví dụ trên , chúng ta đã có sự chuyển đổi từ năng lượng cơ học của các vật m1 và m2 trước va chạm thành năng lượng nhiệt của chuyển động của các phân tử trong hai vật trên . II.7.2. Khái niệm về công : a) Khái niệm về công : Xét một vật nằm yên trên mặt bàn. Nó chịu tác dụng của hai lực : trọng lượng của nó và phản lực của mặt bàn. Tổng hình học của các ngoại lực bằng không, do đó theo định luật bảo toàn động lượng ta thấy động lượng của vật bảo toàn. Ta suy ra vật phải giữ nguyên trạng thái nằm yên trên bàn. Lại xét một ô-tô chuyển động thẳng đều trên đường. Ôtô chịu tác dụng của lực kéo của động cơ, lực cản của không khí, lực ma sát của mặt đường, trọng lượng của ôtô, phản lực của mặt đường. Vì ôtô chuyển động thẳng đều nên theo định luật I Niu-tơn ta suy ra tổng hình học của tất cả các lực tác dụng lên ôtô phải bằng 0. Do đó theo định luật bảo toàn động lượng thì động lượng của ôtô không thay đổi theo thời gian. Trạng thái chuyển động của ôtô và vật nằm trên bàn là như nhau. Tuy nhiên động cơ của ôtô phải hoạt động liên tục, tiêu tốn nhiên liệu để sản ra lực kéo nhằm duy trì trạng thái chuyển động cơ học không thay đổi theo
  18. thời gian, trái lại vật nằm yên trên mặt bàn không cần tiêu tốn một tí năng lượng nào cả. Tuy nhiên , nghiên cứu kỹ chúng ta thấy có sự khác nhau rất cơ bản trong hai ví dụ nêu trên : điểm đặt của các lực tác dụng lên vật trên mặt bàn không dịch chuyển còn điểm đặt của lực kéo của động cơ ôtô liên tục dịch chuyển cùng ôtô. Thí nghiệm chứng tỏ rằng lượng nhiên liệu tiêu thụ bởi động cơ ôtô tỉ lệ với tích số của lực kéo của động cơ và quãng đường dịch chuyển x của điểm đặt của lực kéo (cũng tức là quãng đường dịch chuyển của ôtô). Đại lượng được đo bằng tích số của lực và quãng đường dịch chuyển của điểm đặt của lực gọi là công. Ví dụ trên cho thấy rằng năng lượng nhiệt chứa trong nhiên liệu khi bị đốt cháy trong động cơ ôtô đã chuyển thành công cơ học làm cho ôtô chuyển động. Vậy công chính là đại lượng đặc trưng cho phần năng lượng chuyển đổi từ dạng năng lượng này sang dạng năng lượng khác, là phần năng lượng trao đổi giữa các vật. b) Biểu thức của công : Dưới tác dụng của lực giả sử chất điểm dịch chuyển được một đoạn đường vi phân . Người ta định nghĩa công vi phân dA mà lực thực hiện được trên đoạn đường là tích vô hướng của hai vectơ : dA = . (II.18a) hay dA = F.ds.cos (II.18b) nếu : 0 : công hữu ích = /2 thì dA = 0 : lực tác dụng vuông góc với chuyển động không sinh công. > /2 thì dA < 0 : công cản từ (II.18a) ta suy ra đơn vị đo lường của công là 1 Jun (viết tắt là J) = 1Nm. Bây giờ ta tìm cách biểu diễn công mà lực thực hiện khi làm dịch chuyển chất điểm từ P đến điểm Q trên quĩ đạo.
  19. Ta chia đoạn đường PQ thành nhiều đoạn con rồi áp dụng (II.18a) tính công vi phân dA trên đoạn đó rồi cộng tất cả các công vi phân lại ta sẽ tính được công mà lực thực hiện được trên đoạn đường PQ, tức là : A = = (II.19a) Nếu ta phân tích các vectơ và thành các thành phần theo các trục tọa độ của hệ tọa độ Đề-các thì ta có thể biểu diễn công A dưới dạng : A = (II.19b) II.7.3. Công suất : Khi định nghĩa công mà lực thực hiện được trên một đoạn đường nào đó ta không tính đến thời gian thực hiện công. Để đặc trưng cho khả năng sinh công nhanh hay chậm của một máy sinh công (một động cơ chẳng hạn) người ta đưa vào một đại lượng vật lí mới gọi là công suất. Công suất trung bình Wtb của một máy sinh công là tỉ số của công A và thời gian t để thực hiện công đó, tức là : Wtb = Về ý nghĩa thì công suất trung bình bằng công sinh ra trong một giây. Khi ta cho t 0 thì có công suất tức thời W : W = lim t 0 = (II.20a) Mặt khác W = = = (II.20b) Suy ra đơn vị công suất : 1 watt (viết tắt là w) = 1J/s = 1Nm/s Từ đơn vị công suất là watt, đôi khi trong kỹ thuật người ta còn dùng các đơn vị sau đây của công :
  20. 1 watt.giờ (wh) = 3600J 1Kwh = 3600KJ II.8. Động năng : II.8.1. Khái niệm và biểu thức của động năng : Giả sử dưới tác dụng của lực chất điểm chuyển động theo quĩ đạo (C). Ta hãy tính công mà lực thực hiện khi làm dịch chuyển chất điểm từ điểm M đến điểm N trên quĩ đạo : Áp dụng (II.19a) ta có : AMN = Mặt khác theo định luật II, = m và = dt. Thay vào biểu thức trên ta có : AMN = = = AMN= - (II.21) Vế phải của (II.21) là hiệu của một hàm nào đó tại hai điểm M và N. Nếu ta định nghĩa hàm : K = mv2 (II.22) và gọi là động năng của chất điểm thì (II.21) có thể viết lại như sau : AMN = K(N) -K(M) (II.23) Ta tìm hiểu ý nghĩa vật lý của động năng : giả sử ban đầu tại M chất điểm đứng yên tức là M= 0 thì từ (II.21) ta suy ra AMN = . Biểu thức này chứng tỏ rằng : Động năng K bằng công mà lực thực hiện và truyền cho chất điểm khi đưa chất điểm từ trạng thái đứng yên sang trạng thái chuyển động với vận tốc .
  21. II.8.2. Định lý động năng : Biểu thức (II.23) chứng tỏ rằng : Công mà lực thực hiện khi làm dịch chuyển chất điểm trên một đoạn đường nào đó bằng hiệu của động năng ở điểm cuối và động năng ở điểm đầu, hay là bằng độ tăng của động năng của chất điểm trên đoạn đường đó. Định lý này gọi là định lý động năng. AMN = K = K(N) -K(M) = - (II.24) Động năng là một dạng của năng lượng cơ học, nó là dạng năng lượng mà chất điểm có khi chuyển động. II.9.Thế năng : II.9.1 Khái niệm về thế năng : Xét một chất điểm khối lượng m gắn ở đầu một lò xo, đầu kia của lò xo được cố định tại một điểm ở trên tường. Ơ trạng thái tự do của lò xo giả sử chất điểm ở vị trí cân bằng O của trục Ox. Khi ta dùng một lực nén nén để nén lò xo và giả sử khi đó chất điểm dịch chuyển được một đoạn . Khi lò xo bị nén thì bên trong lò xo xuất hiện một lực đàn hồi đh có xu hướng chống lại độ biến dạng và đưa chất điểm trở lại vị trí cân bằng. Theo định luật Hooke ta có thể biểu diễn : đh = -k Trong đó k là hệ số đàn hồi của lò xo có giá trị dương. Dấu trừ chứng tỏ lực đàn hồi ngược chiều với chiều biến dạng và có xu hướng đưa chất điểm trở lại vị trí cân bằng. Nếu ta nén lò xo từ từ sao cho chất điểm dịch chuyển rất chậm, nghĩa là không có gia tốc thì ta có thể coi lực nén nén có độ lớn bằng lực đàn hồi, tức là : nén = - đh = k
  22. Ta hãy tính công mà lực nén thực hiện khi nén lò xo làm cho chất điểm dịch chuyển từ vị trí 0 đến vị trí xmax nào đó : Công vi phân : dA = Fnéndx = kxdx Từ đó tính công A = = = > 0 Lực nén thực hiện một công A dương và công này được truyền cho chất điểm gắn ở đầu lò xo. Theo định luật bảo toàn năng lượng thì chất điểm nhận công A và chuyển thành một dạng năng lượng dự trữ nào đó. Thật vậy, nếu ta buông tay (tức là lực nén không còn tác dụng lên chất điểm nữa) thì lực đàn hồi đh sẽ tác dụng vào chất điểm và làm tăng vận tốc của chất điểm đưa nó quay về vị trí cân bằng O. Ở vị trí cân bằng lúc này chất điểm có vận tốc o và do đó có động năng K= . Lưu ý rằng ban đầu khi ở vị trí cân bằng chất điểm hoàn toàn không có một năng lượng cơ học nào cả. Vậy ta tự hỏi động năng của chất điểm từ đâu mà có? Câu trả lời là khi lò xo bị biến dạng thì nó có một thế năng : U = kx2 (II.25) Lò xo có thế năng khi nó bị biến dạng. Một khối khí nén cũng có thế năng vì khi dãn nở khối khí có khả năng sinh công. Dưới tác dụng của lực hấp dẫn của quả đất, một búa máy được nâng lên cao có khả năng sinh công khi rơi xuống thấp. Nước ở hồ trên núi cao có khả năng sinh công khi chảy xuống thấp. II.9.2. Trường lực và trường thế : Trong ví dụ lò xo cũng như ví dụ búa máy ta thấy lực tác dụng lên vật chỉ phụ thuộc vào vị trí vật, nói cách khác nó chỉ là một hàm xác định nào đó của tọa độ của vật. Trong trường hợp đó, ta nói vật chịu tác dụng của một trường lực. Ta hãy tính công mà trọng lực thực hiện khi làm dịch chuyển chất điểm m từ vị trí P ứng với độ cao hp đến vị trí Q ứng với độ cao hq.
  23. Giả sử chất điểm dịch chuyển theo đường cong PMQ (xem hình dưới). Ta chia đoạn đường PQ thành các dịch chuyển vi phân = MM’. Trên đoạn đường MM’ trọng lực thực hiện công vi phân : dA = = -mgdscos = -mgdh. Trong đó trọng lực = -m (dấu trừ vì trọng lực hướng theo chiều từ trên xuống dưới ngược chiều với trục thẳng đứng), dh là hình chiếu của lên phương của trọng lực. Lưu ý rằng vì dh 0 . Từ đó tính công : APQ = = = mg ( hP - hQ ) Biểu thức trên chứng tỏ rằng công APQ chỉ phụ thuộc vào hai vị trí đầu hP và cuối hQ mà không phụ thuộc vào dạng cụ thể của đường đi. Người ta gọi một trường lực mà công do trường lực đó thực hiện chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và cuối của đường đi mà không phụ thuộc vào dạng đường đi là một trường thế. Có thể thấy rằng trường trọng lực, trường lực của lò xo, điện trường đều là các trường thế. Một tính chất quan trọng của trường thế là công làm dịch chuyển chất điểm theo một đường cong kín trong trường thế thì luôn bằng không. Thật vậy : APMQNP = APMQ +AQNP = APQ + AQP Nhưng AQP = AQNP = -APNQ = -APQ Vậy APMQNP = APQ – APQ = 0 II.9.3. Định nghĩa thế năng : Xét một trường thế. Trong trường thế ta chọn một điển O có tọa độ (xo, yo, zo) làm gốc để tính thế năng (tức là qui ước thế năng tại O bằng không). Ta hãy tính
  24. công AMO khi làm dịch chuyển chất điểm từ vị trí M có tọa độ (x, y, z) đến vị trí O. Từ những điều đã trình bày ở trên, ta biết rằng công AMO chỉ là hàm của tọa độ (xo, yo, zo) và (x, y, z) : AMO = =U(x, y, z, xo, yo, zo) Trong đó ta ký hiệu U là một hàm nào đó của biến trên. Vì rằng điểm O là một điểm chọn trước và cố định (điểm O không phải là biến) nên các tọa độ xo, yo, zo là những hằng số nên U chỉ còn là hàm của các tọa độ x, y, z : U(x, y, z) = AMO = (II.26) U được gọi là hàm thế năng (gọi tắt là thế năng) của chất điểm tại vị trí M(x, y, z) trong trường thế. Vậy ta có thể định nghĩa thế năng : Thế năng tại điểm M(x, y, z) trong trường thế là công làm dịch chuyển chất điểm từ vị trí M đến điểm gốc của thế năng. Việc chọn điểm gốc để tính thế năng là hoàn toàn tùy ý. Thật vậy, nếu ta chọn một điểm O’ khác làm gốc thì theo định nghĩa (II.26), thế năng tại điểm M(x, y, z) đối với gốc O’ là : U’(x, y, z) = AMO’ = AMO + AOO’ = U(x, y, z) + AOO’ Biểu thức trên chứng tỏ thế năng tại điểm M lấy đối với gốc O’ là U’(x, y, z) chỉ khác với thế năng tại điểm đó nhưng lấy đối với gốc O là U(x, y, z) một hằng số là AOO’. Vì vậy người ta nói rằng hàm thế năng được xác định sai kém một hằng số. Việc hàm thế năng xác định không đơn trị không ảnh hưởng gì đến kết quả tính toán vì rằng trong thực tế ta chỉ tính hiệu thế năng tại hai điểm trong trường thế. Thật vậy : U’(M) -U’(N) = [U(M)+AOO’]-[U(N)+AOO’]=U(M) -U(N) Vì gốc thế năng có thể chọn tùy ý nên tùy theo từng trường hợp cụ thể ta có thể chọn gốc thế năng sao cho thuận tiện nhất khi tính toán.
  25. II.9.4. Định lý về thế năng : Ta hãy tính công làm dịch chuyển chất điểm từ M đến N là hai điểm khác nhau trong trường thế. Vì công thực hiện trong trường thế chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và cuối mà không phụ thuộc vào dạng đường đi nên : AMN = AMO + AON = U(M) + AON Nhưng AON = -ANO = - U(N) nên : AMN = U(M) -U(N) (II.27) (II.27) chứng tỏ rằng : Công làm dịch chuyển chất điểm giữa hai điểm của trường thế bằng hiệu của thế năng giữa điểm đầu và cuối của quá trình chuyển động. Định lý này gọi là định lý về thế năng. II.10. Định luật bảo toàn cơ năng trong trường thế : Xét chất điểm có khối lượng m chuyển động trong trường thế từ điểm M đến N. Ta hãy tính công AMN mà lực trường thế thực hiện khi làm dịch chuyển chất điểm trên đoạn đường đó. Theo định lý động năng (II.24) ta có : AMN = K(N) -K(M) Mặt khác, theo định lý thế năng (II.27) ta lại có : AMN = U(M) -U(N) So sánh hai biểu thức trên, ta suy ra : K(N) -K(M) = U(M) -U(N) Chuyển các hàm tại điểm M sang một vế còn các hàm tại điểm N sang vế kia, ta có : K(N) + U(N) = K(M) + U(M) Đẳng thức trên chứng tỏ rằng tổng của động năng và thế năng của chất điểm tại điểm M bằng tổng của động năng và thế năng của chất điểm tại điểm N.
  26. Nếu ta đưa vào một hàm E được định nghĩa là tổng của động năng và thế năng tại một điểm trong trường thế, tức là : E = U + K (II.28) và gọi là cơ năng của chất điểm thì đẳng thức trên chứng tỏ rằng cơ năng của một chất điểm chuyển động trong trường thế là một đại lượng bảo toàn. Đó là nội dung của định luật bảo toàn cơ năng trong trường thế. Vậy khi chất điểm chuyển động trong trường thế thì : E = U + K = Cte (hằng số) (II.29) Khi chất điểm chuyển động trong trường thế thì thế năng và động năng của nó nói chung là thay đổi theo thời gian, nhưng theo (II.29) ta suy ra rằng thế năng của chất điểm giảm đi một lượng bằng bao nhiêu thì động năng của nó tăng lên một lượng bằng bấy nhiêu và ngược lại. II.11. Các lực bảo toàn và không bảo toàn : II.11.1. Định nghĩa : Trong mục II.9, khi đề cập đến khái niệm thế năng của lò xo chúng ta đã nói đến khả năng “cất giữ” động năng của chất điểm gắn ở đầu lò xo bằng cách chuyển đổi thành thế năng biến dạng của lò xo. Chúng ta luôn ghi nhớ trong đầu rằng sau này chúng ta có thể lấy chúng ra trở lại dưới dạng động năng. Tương tự, khi chúng ta ném một quả bóng lên cao thì động năng của quả bóng giảm dần và bằng không khi quả bóng đạt độ cao cực đại. Động năng ban đầu của quả bóng đã chuyển thành thế năng của nó. Khi quả bóng rơi lại xuống phía dưới thì thế năng dự trữ đó lại chuyển thành động năng. Qua hai ví dụ vừa nêu ta thấy quá trình chuyển đổi qua lại giữa thế năng và động năng là một quá trình chuyển đổi theo hai chiều hay là quá trình chuyển đổi thuận nghịch (bỏ qua tác dụng của ma sát) đồng thời trong quá trình chuyển đổi đó thì cơ năng của vật luôn giữ nguyên không thay đổi. Trong các ví dụ trên vật chịu tác dụng của các lực mà các lực này có khả năng tạo ra cơ hội cho sự chuyển đổi qua lại giữa động năng và thế năng của vật. Các lực có tính chất như vậy gọi là các lực bảo toàn. Tóm lại lực đàn hồi, lực hấp dẫn là các lực bảo toàn và còn gọi là các lực thế vì trường lực do chúng tạo ra là các trường thế. Cần phải nhớ rằng không phải các lực đều là các lực bảo toàn. Xét trường hợp của lực ma sát. Khi ta đẩy một vật chuyển động lên cao theo một mặt phẳng nghiêng và khi vật trượt xuống đến vị trí ban đầu thì vận tốc của nó nhỏ hơn vận tốc ban
  27. đầu mà ta đã cung cấp cho vật : Động năng của vật đã bị tiêu hao một phần do công cản của lực ma sát. Một lực không có tính chất bảo toàn được gọi là lực không bảo toàn. Một lực không bảo toàn không thể được biểu diễn bởi một hàm thế năng. Một số lực không bảo toàn như lực ma sát, lực nhớt của chất lưu làm tiêu hao một phần cơ năng của vật hay ta nói rằng làm tiêu tốn cơ năng, do đó các lực này còn dược gọi lực tiêu hao. Tuy nhiên , có những lực không bảo toàn làm tăng cơ năng của vật. Chẳng hạn trong các vụ nổ thì các mảnh vụn bay ra với động năng rất lớn nhờ phản ứng hóa học giữa thuốc nổ và ôxy. II.11.2 Định luật bảo toàn năng lượng : Như đã nói các lực không bảo toàn không thể được biểu diễn dưới dạng hàm của thế năng. Tuy vậy chúng ta có thể biểu diễn tác dụng của các lực này theo một dạng năng lượng khác với động năng và thế năng. Khi một xe ôtô hãm phanh (thắng lại) thì cả bánh xe và mặt đường đều nóng lên. Dạng năng lượng tương ứng với sự thay đổi trạng thái của vật liệu được gọi là nội năng. Một vật khi bị làm nóng lên thì nội năng của nó tăng lên, khi vật nguội đi thì nội năng của nó giảm. Xét một vật trượt trên một mặt phẳng nghiêng thì công của lực ma sát như ta đã biết luôn là một công âm còn sự thay đổi nội năng của vật và mặt phẳng nghiêng luôn là dương vì chúng luôn bị nóng lên. Thực nghiệm chứng tỏ rằng sự tăng của nội năng luôn bằng về giá trị với công của lực ma sát, nói cách khác : Unội năng = -A ma sát hay A ma sát = - Unội năng Định luật bảo toàn năng lượng trong trường hợp này có thể viết dưới dạng : K1 + U1 = K2 + U2 – A ma sát (lưu ý công của lực ma sát là công âm) Trong đó K và U tương ứng là động năng và thế năng. Thay –A ma sát = Unội năng vào phương trình trên ta có : K1 + U1 = K2 + U2 + Unội năng Đặt K = K2 – K1 và U = U2 –U1 tương ứng là sự thay đối của động năng và thế năng thì định luật bảo toàn năng lượng có thể viết lại dưới dạng : K + U + Unội năng = 0 (II.30) Trong một quá trình , động năng, thế năng và nội năng đều có thể thay đổi nhưng tổng của tất cả các sự thay đổi đó luôn bằng không. Nếu một dạng năng lượng nào
  28. giảm thì các dạng năng lượng khác phải tăng lên. Định luật bảo toàn năng lượng nói rằng năng lượng không được tạo ra cũng không mất đi, nó chỉ chuyển từ dạng này sang dạng khác. II.12. Lực bảo toàn và thế năng : II.12.1. Liên hệ giữa lực và thế năng : Hai loại lực bảo toàn mà chúng ta khá quen thuộc là lực hấp dẫn và lực đàn hồi. Với lực hấp dẫn của quả đất, nếu chọn trục thẳng đứng hướng từ dưới lên trên là trục Oy thì Fy = -mg và thế năng hấp dẫn U(y) = mgy. Với lực đàn hồi của lò xo 2 thì Fx = -kx còn thế năng đàn hồi là U(x) = kx . Trong tiết này chúng ta sẽ tìm mối quan hệ giữa các lực bảo toàn (lực thế) và hàm thế năng tương ứng của chúng. Vấn đề được đặt ra ở đây là : cho trước biểu thức của hàm thế năng chúng ta sẽ phải tìm ra biểu thức của lực tương ứng. *Trước tiên chúng ta hãy xét trường hợp đơn giản nhất : vật chuyển động theo đường thẳng dọc theo trục Ox. Chúng ta giả sử rằng thành phần x của lực tác dụng là một hàm của x, tức là Fx(x), còn thế năng ta gọi là U(x) cũng là hàm của x. Từ định lý thế năng ta biết rằng công thực hiện trong một trường thế bằng độ giảm của thế năng, tức là : A = - U Chúng ta hãy áp dụng điều nói trên trong trường hợp một dịch chuyển nhỏ x. Công mà lực Fx(x) thực hiện trên đoạn đường đó có thể xem gần đúng là Fx(x) x. Chúng ta nói "gần đúng” vì rằng lực Fx(x) có thể hay đổi chút ít trong quãng đường dịch chuyển đó. Vậy : Fx(x) x  - U hay Fx(x)  - Khi tiến đến giới hạn x 0 chúng ta có hệ thức chính xác :
  29. Fx(x) = lim x 0(- ) = - (II.31) Có thể nghiệm lại công thức (II.31) trong trường hợp lò xo : 2 Fx(x) = - ( kx ) = -kx. *Bây giờ ta mở rộng kết quả (II.31) cho trường hợp ba chiều. Vật bây giờ có thể chuyển động theo quĩ đạo bất kỳ theo các phương Ox, Oy và Oz. Lực tác dụng lên vật khi đó có các thành phần Fx, Fy, Fz . Mỗi thành phần trên có thể là hàm của các tọa độ x, y, z. Hàm thế năng U cũng là hàm của ba tọa độ trên, tức là U(x, y, z). Chúng ta có thể áp dụng (II.31) để tìm từng thành phần của lực. Sự thay đổi của thế năng U khi vật chuyển dịch một đoạn x theo phương x dĩ nhiên được cho bởi -Fx x; nó không phụ thuộc vào Fy và Fz vì các lực này tác dụng theo phương vuông góc với dịch chuyển x nên không sinh công. Vậy chúng ta có : Fx  - Các thành phần Fy và Fz cũng được xác định theo một cách hoàn toàn giống như trên, tức là : Fy  - ; Fz  - Khi cho tiến đến giới hạn x 0, y 0, z 0 thì các biểu thức trên trở thành các đạo hàm riêng : Fx = - ; Fy = - ; Fz = - ; Vậy chúng ta có thể biểu diễn lực tác dụng lên vật dưới dạng vectơ : = -( + + ) = = - (II.32) Trong đó , , là các vectơ đơn vị dọc theo các trục Ox, Oy, Oz , còn toán tử : = + +
  30. gọi là gradient. Ta có thể thấy rõ là hướng theo phương tiếp tuyến của đường cong biểu diễn U và có chiều là chiều giảm của U. Có thể nghiệm lại (II.32) đối với trường hợp của lực hấp dẫn U= mgy. = - (mgy) = -[ + + ] = -(mg) = m II.1a. Nguyên lý tương đối Galilê : Trong chương I, chúng ta biết rằng cùng một chuyển động cơ học nhưng sẽ xảy ra khác nhau khi ta đứng quan sát hiện tượng ở hai hệ qui chiếu khác nhau. Ở đầu chương này chúng ta cũng nói rằng các định luật học của Niu- tơn chỉ áp dụng được trong các hệ qui chiếu quán tính. Vậy khi quan sát một chuyển động cơ học ở hai hệ qui chiếu quán tính khác nhau thì hiện tượng sẽ xảy ra như thế nào? Nguyên lý tương đối Galilê sẽ trả lời câu hỏi trên. II.1a.1. Phép biến đổi Galilê : Xét hai hệ qui chiếu K và K’. Hệ qui chiếu K là một hệ qui chiếu quán tính đứng yên còn hệ qui chiếu K’ là hệ qui chiếu chuyển động thẳng đối với hệ qui chiếu K với vận tốc . Để cho đơn giản chúng ta giả thiết K’ chuyển động theo phương OX của hệ qui chiếu K. Giả sử tại thời điểm ban đầu, gốc O và O’ trùng nhau. Xét một điểm M trong không gian, tọa độ của nó trong hai hệ qui chiếu là (x, y, z) và (x’, y’, z’). Ta tìm mối quan hệ giữa chúng. Từ hình bên, ta có : x = OO’+x’= x’+vot’ y = y’ ( II.36a ) z = z’ t = t’
  31. Ngược lại : x’= x-vot’ y’= y ( II.36b ) z’= z t’= t Các biểu thức (II.36a) và (II.36b) gọi là phép biến đổi Galilê về tọa độ không gian và thời gian. Thật vậy, từ (II.36) ta thấy theo cơ học cổ điển thì thời gian trôi như nhau trong hai hệ qui chiếu (điều này thể hiện ở đẳng thức t = t’) hay nói cách khác theo cơ học cổ điển thời gian không phụ thuộc hệ qui chiếu. Đó là tính tuyệt đối của thời gian. Đối với không gian , thì cơ học cổ điển cũng chỉ rõ tính tương đối của không gian. Chúng ta hãy làm sáng tỏ điều này. Giả sử ở trong hệ qui chiếu K có hai sự kiện xảy ra ở hai tọa độ x1 và x2 nhưng ở các thời điểm khác nhau t1 và t2. Như vậy theo phép biến đổi Galilê (II.36b) thì ở trong hệ qui chiếu chuyển động K’ hai sự kiện xảy ra tại các thời điểm t1’= t1 và t2’= t2 và tại các tọa độ x1’= x1- vt1, và x2’= x2-vot2. Nếu gọi khoảng cách giữa hai sự kiện ở trong hệ qui chiếu K là l= x2-x1 thì ở trong hệ qui chiếu K’ khoảng cách của hai sự kiện là : l’= x2’-x1’= (x2-x1) -vo(t2-t1) = l- vo(t2-t1) Biểu thức chứng tỏ : l’> 0 nếu l > vo(t2-t1) l’= 0 nếu l = vo(t2-t1) l’< 0 nếu l < vo(t2-t1) Như vậy khoảng cách giữa các sự kiện phụ thuộc vào sự lựa chọn hệ qui chiếu, đó là tính chất tương đối của không gian. Ta có thể lấy ví dụ đơn giản để mô tả tính chất tương đối của không gian : hai bữa ăn sáng và chiều trên một đoàn tàu có thể xảy ra ở cùng một chỗ (ví dụ trên toa ăn của đoàn tàu) nhưng đối với hệ qui chiếu là nhà ga nào đó thì hai bữa ăn đó xảy ra cách nhau hàng trăm kilômét. Giả sử trong hệ qui chiếu đứng yên K ta có một cái thước đặt nằm dọc theo trục OX mà các tọa độ của các điểm đầu và cuối của nó là x1 và x2. Như vậy độ dài
  32. của thước trong hệ K là l= x2 -x1. trong hệ qui chiếu chuyển động K’ độ dài của thước là : l’= x2’-x1’= (x2-vot) - (x1-vot) = x2-x1 = l Như vậy độ dài của thước là như nhau trong hai hệ qui chiếu. Ta nói rằng độ dài là bất biến đối với phép biến đổi Galilê. Bây giờ ta đề cập đến phép cộng vận tốc và gia tốc : Lấy đạo hàm theo thời gian (II.36a) ta có : vx= = = +vo= vx’+vo vy= = = = vy’ vz= = = = vz’ Tóm lại, ta có qui tắc cộng vận tốc theo cơ học cổ điển : = ’+ o (II.37) Đạo hàm theo thời gian một lần nữa biểu thức vận tốc (II.37) ta có phép biến đổi gia tốc : = = = + = ’+ (II.38) Trong đó là gia tốc của chất điểm trong hệ qui chiếu K, ’ là gia tốc của chất điểm trong hệ qui chiếu K’ còn là gia tốc của chính hệ qui chiếu K’ đối với hệ qui chiếu K. Ta xét trong trường hợp riêng của (II.38) : giả sử hệ qui chiếu K’ chuyển động thẳng đều đối với hệ qui chiếu K, tức là o= Cte. Khi đó : = = 0 Vậy trong trường hợp này ta có :
  33. = ’ (II.39) Nhân hai vế của (II.39) với m là khối lượng của vật, ta có : m = m ’ Vế trái là phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ qui chiếu K còn vế phải là phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ qui chiếu K’. Ta nhận thấy rằng phương trình chuyển động của chất điểm có dạng như nhau trong hai hệ qui chiếu. Từ đó ta có thể phát biểu nguyên lý tương đối Galilê như sau: II.1a.2. Nguyên lý tương đối Galilê : Các phương trình của chuyển động cơ học là bất biến đối với phép biến đổi Galilê. Cách phát biểu này mang màu sắc toán học nhiều hơn. Vì vậy ta có thể phát biểu nguyên lý này dưới khía cạnh mang nhiều ý nghĩa vật lý như sau : Các chuyển động cơ học xảy ra như nhau trong các hệ qui chiếu K và K’. Nhưng vì hệ qui chiếu K theo giả thiết ban đầu là một hệ qui chiếu quán tính nên ta suy ra hệ qui chiếu K’ cũng phải là một hệ qui chiếu quán tính : không có hệ qui chiếu quán tính nào ưu tiên hơn hệ qui chiếu nào; các hệ qui chiếu đều tương đương nhau. Ta còn có thể phát biểu nguyên lý tương đối Galilê dưới dạng : Một hệ qui chiếu chuyển động thẳng đều đối với một hệ qui chiếu quán tính cũng là một hệ qui chiếu quán tính. II.1b. Các hệ qui chiếu không quán tính : Từ trước đến giờ ta chỉ xét chuyển động trong hệ qui chiếu quán tính, bây giờ ta xét các chuyển động trong các hệ qui chiếu không quán tính. Ta phân làm hai trường hợp : hệ qui chiếu chuyển động thẳng có gia tốc và hệ qui chiếu quay. II.1b.1. Hệ qui chiếu chuyển động thẳng có gia tốc : Giả sử ta có hệ qui chiếu K’ là một hệ qui chiếu chuyển động thẳng với gia tốc đối với một hệ qui chiếu quán tính đứng yên K. Khi đó theo (II.38), gia tốc của chất điểm trong hệ qui chiếu K là : = ’+ hay ’= -
  34. trong đó ’ là gia tốc của chất điểm trong hệ qui chiếu K’. Hệ qui chiếu K’ là một hệ qui chiếu không quán tính do đó về nguyên tắc ta không thể áp dụng được các định luật động lực học của Niu-tơn, tuy nhiên một cách hình thức ta có thể coi ’= m ’ là lực tác dụng lên chất điểm trong hệ qui chiếu K’. Nhân hai vế của phương trình trên với m, ta có : ’= m ’= m -m => ’= + qt (II.40) = m là lực thực tác dụng lên chất điểm và làm cho nó chuyển động với gia tốc trong hệ qui chiếu quán tính K, còn qt = -m là một lực tác dụng lên chất điểm do chất điểm nằm trong hệ qui chiếu K’ là một hệ qui chiếu không quán tính. Lực này xuất hiện do tính không quán tính của hệ qui chiếu, do đó nó được gọi là lực quán tính. Người ta gọi lực quán tính là lực ảo với ý nghĩa là ta không thể chỉ ra vật cụ thể nào tác dụng lên chất điểm mà ta đang xét. Lực quán tính tác dụng lên mọi vật nằm trong hệ qui chiếu không quán tính. Cần lưu ý rằng lực quán tính có chiều ngược với chiều của gia tốc của hệ qui chiếu K’. Tóm lại, một vật chuyển động trong hệ qui chiếu không quán tính thì ngoài lực thực, vật còn chịu thêm tác dụng của lực quán tính. Ví dụ Trong đời sống hàng ngày, chúng ta thường gặp lực quán tính xuất hiện trong hệ qui chiếu chuyển động thẳng có gia tốc. Chẳng hạn , tất cả hành khách ngồi trên xe bus đều bị lao về phía trước khi xe đột ngột hãm lại. Trong trường hợp này, gia tốc của xe hướng ngược chiều với chiều chuyển động của xe nên lực quán tính qt = -m cùng chiều với chiều chuyển động. Ngược lại, khi xe đang đứng yên và đột ngột chuyển bánh (gia tốc trong trường hợp này hướng theo chiều chuyển động) thì hành khách bị bật ngửa về phía sau. Tác dụng của lực quán tính qt = -m còn gây ra hiện tượng tăng trọng lượng của các nhà du hành vũ trụ khi tên lửa bắt đầu xuất phát vì rằng khi đó gia tốc hướng lên phía trên nên lực quán tính qt hướng xuống phía dưới và do đó cùng chiều với trọng lượng của nhà du hành. Lực tác dụng tổng cộng lên nhà du hành sẽ lớn hơn trọng lượng của nhà du hành. II.1b.2. Hệ qui chiếu quay :
  35. Quả đất mà chúng ta đang sống trên đó, tự quay quanh trục của nó với vận tốc góc là 24giờ/vòng. Rõ ràng hệ qui chiếu gắn liền với quả đất không phải là một hệ qui chiếu quán tính. Bây giờ, chúng ta sẽ nghiên cứu các lực quán tính xuất hiện trong hệ qui chiếu quay. Giả sử ta có một hệ qui chiếu quán tính đứng yên K và một hệ qui chiếu quay K’ quay quanh trục Oz của hệ qui chiếu K với vận tốc góc không đổi và để cho đơn giản ta gỉa thiết hai gốc tọa độ O và O’trùng nhau và hai trục Oz và O’z’ cũng trùng nhau. Ta có thể dẫn ra phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ qui chiếu quay K’ : ’= m ’= m -2m( ’) + m (II.43) Số hạng thứ nhất ở vế phải = m là lực thực tác dụng lên chất điểm, còn hai số hạng còn lại là các lực quán tính xuất hiện do hệ qui chiếu quay K’ không phải là hệ qui chiếu quán tính. Số hạng thứ hai : c = -2m( ’) (II.44) gọi là lực Coriolis. Cần lưu ý là lực Coriolis chỉ xuất hiện khi chất điểm chuyển động đối với hệ qui chiếu quay K’ vì rằng từ (II.44) ta thấy c = 0 khi ’= 0. Số hạng thứ ba ở vế phải (II.43) gọi là lực ly tâm vì nó hướng từ trục quay ra ngoài theo chiều của vectơ  và có xu hướng làm cho chất điểm chuyển động ra xa khỏi tâm trục quay. Lưu ý rằng lực ly tâm tác dụng lên mọi vật ở trong hệ qui chiếu quay dù chúng chuyển động hay đứng yên. lt = m (II.45) Ta nhận thấy, về độ lớn thì lực ly tâm bằng lực hướng tâm nhưng ngược chiều, do đó chính lực này cân bằng lực hứơng tâm (lực hút của mặt trời) làm cho các hành tinh chuyển động quanh mặt trời mà không rơi vào tâm mặt trời dưới tác dụng của lực hút của mặt trời. II.1b.3. Vài ví dụ về các lực quán tính trong hệ qui chiếu quay : Trái đất tự quay quanh mình biểu hiện như một hệ qui chiếu không quán tính quay do đó mọi vật trên quả đất đều phải chịu tác dụng của các lực quán tính xuất hiện trong hệ qui chiếu quay. Nếu vật đứng yên với quả đất thì vật chỉ chịu tác dụng của lực ly tâm lt = m . Còn nếu vật chuyển động đối với quả đất thì ngoài lực ly tâm vật còn chịu tác dụng của lực Coriolis.
  36. Sau đây là một vài ví dụ thể hiện tác dụng của lực ly tâm và lực Coriolis. a) Trọng lượng biểu kiến của một vật : Xét một vật có khối lượng m. Lực hút của quả đất =m hướng vào tâm quả đất. Ngoài ra vật còn chịu tác dụng của lực ly tâm lt = m hướng từ trong trục quay ra ngoài như ở hình bên. Do đó tổng hợp lực ’= +m . Lực ’do đó không hướng đúng vào tâm O của quả đất mà hơi bị lệch đi một ít. Lực ’ cũng còn được gọi là trọng lượng biểu kiến của vật. Ta thấy ở xích đạo trọng lượng biểu kiến của một vật là nhỏ nhất vì  là lớn nhất. Trái lại ở các cực của quả đất thì vì  =0 nên trọng lượng biểu kiến bằng trọng lượng thực của vật. b) Sự xói mòn bờ của các con sông do tác dụng của lực Coriolis : Các con sông (chính xác là nước sông ) là các vật chuyển động đối với quả đất nên chịu tác dụng của lực Coriolis. Chẳng hạn, ta xét một con sông ở bắc bán cầu chảy theo chiều từ bắc xuống nam, tức là chảy dọc theo các đường kinh tuyến. Hình bên trình bày chiều chuyển động của con sông cùng với phương và chiều của lực Coriolis tác dụng lên nước sông. Xuôi theo chiều dòng nước thì bờ bên phải gọi là hữu ngạn, còn bờ bên trái gọi là tả ngạn. Hình bên cho thấy ở bắc bán cầu lực Coriolis tác dụng lên hữu ngạn làm cho bờ này bị xói mòn và do đó bên tả ngạn được bồi đắp. Tương tự, chúng ta có thể giải thích qui luật sau đây của các con sông : ở bắc bán cầu, khi ta xuôi theo dòng nước thì bờ hữu ngạn bị bào mòn; còn ở nam bán cầu, khi xuôi theo dòng nước thì bờ tả ngạn bị bào mòn bởi tác dụng của lực Coriolis. II.1b.4. Hệ qui chiếu quả đất : Hệ qui chiếu gắn liền với quả đất rõ ràng là một hệ qui chiếu không quán tính, tuy nhiên trong những điều kiện nhất định, ta vẫn có thể xem đó là một hệ qui chiếu gần quán tính và ta có thể áp dụng các định luật động lực học của Niu-tơn khi nghiên cứu chuyển động của chất điểm trong hệ qui chiếu này. Ta hãy làm rõ điều nói trên. Ta biết rằng quả đất chuyển động quanh mặt trời theo một quĩ đạo elip gần tròn với bán kính r 1,5.108km và chuyển động với vận tốc trung bình khoảng 30km/s. từ đó, ta có thể tính được gia tốc pháp tuyến (gia tốc hướng tâm) trong chuyển động này: -6 2 2 an= = = 6.10 km/s = 0,6cm/s
  37. Gia tốc này chưa bằng 1/1000 lần gia tốc rơi tự do g, vì vậy ta có thể bỏ qua nó trong nhiều thí nghiệm. Ngoài ra, quả đất còn tự quay quanh mình nên có gia tốc : a= R trong đó là vận tốc góc của quả đất khi quay quanh mình. Ta biết quả đất quay một vòng (góc quay là 2 radian) mất 24 giờ, R là bán kính của quả đất vào khoảng 6350km. Từ đó : a = R = 6,350.108(2 /86,400)2 3,4cm/s2 Gia tốc này lớn khoảng 6 lần so với an nên dễ dàng cảm nhận được. Vì vậy khi nghiên cứu các chuyển động xảy ra trong một khoảng thời gian dài (ví dụ chuyển động của các tên lửa vượt đại châu, các vệ tinh nhân tạo ) ta không thể xem quả đất là một hệ qui chiếu quán tính được. Tuy nhiên, nếu chuyển động xảy ra trong một khoảng thời gian ngắn ( ví dụ chuyển động các vật trên mặt đất như ôtô, xe đạp ) thì ta có thể xem hệ qui chiếu gắn với quả đất là một hệ qui chiếu quán tính và ta có thể áp dụng các định luật động lực học của Niu-tơn để giải bài toán này.