Bài giảng Trường điện từ (Electromagnetic Field Theory)

105 trang phuongnguyen 3060

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Trường điện từ (Electromagnetic Field Theory)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_truong_dien_tu_electromagnetic_field_theory.doc

Nội dung text: Bài giảng Trường điện từ (Electromagnetic Field Theory)

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY Số tiết: 45 Tài liệu tham khảo 1. Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, GD, 2006 2. Ngô Nhật Ảnh, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, ĐHBK TPHCM, 1995 3. Nguyễn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, GD, 1978 Chương 0 MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC 1. Vector a a x ,a y ,a z  ia x ja y ka z b b x ,b y ,b z  ib x jb y kb z c c x ,c y ,c z  ic x jc y kc z a.b a b a b a b x x y y z z i j k a b a x a y a z i a y b z a z b y j a z b x a x b z k a x b y a y b x b x b y b z a.b a b cos a,b a b c Phương: c  a,b Chiều: theo qui tắc vặn nút chai Độ lớn: c a b sin a,b a b c b. a.c c. a.b 2. Toán tử nabla      , ,  x y z 1
3. Gradient U U U gradU .U i j k x y z 4. Divergence a a a diva .a x y z x y z 5. Rotary i j k    a z a y a x a z a y a x rota  a i j k x y z y z z x x y a x a y a z Số phức Hàm mũ e z e x iy e x cos y isin y Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2 i. Thực vậy, ta có e 2k i cos 2k isin 2k 1 Suy ra e z 2k i e z .e 2k i e z Công thức Euler eiy = cosy +isiny Khi đó số phức z = r ei = r(cos +isin ) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó: y a1y a 2 y f (x) (1) Trong đó: a1, a2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x f(x) = 0 (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất 2
f(x) 0 (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất a1, a2  const (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng: y a1y a 2 y 0 (2) a1, a2 là các hàm của biến x Định lí 1. Nếu y1 = y1(x) và y2 = y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C 1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy. y1 x Hai hàm y1(x) và y2(x) là độc lập tuyến tính khi const , ngược lại là phụ y2 x thuộc tuyến tính Định lí 2. Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C 1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy. Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y 2(x) của phương trình đó, độc lập tuyến tính với y1(x) bằng cách đặt y2(x) = y1(x).u(x) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó: y a1y a 2 y f (x) (3) Trong đó: a1 và a2 là các hàm của biến độc lập x; f(x) 0 Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3). Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất 3
y a1y a 2 y f1 (x) f2 (x) (4) Nếu y1(x) là nghiệm riêng của phương trình y a1y a 2 y f1 (x) (5) và y2(x) là nghiệm riêng của phương trình y a1y a 2 y f2 (x) (6) thì y(x) = y1(x) + y2(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng: y py qy 0 (7) p, q là các hằng số Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng y ekx (8) Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định Suy ra y kekx , y k 2ekx (9) Thay (8) và (9) vào (7) ta có ekx k 2 pk q 0 (10) Vì ekx 0 nên k 2 pk q 0 (11) Nếu k thoả mãn (11) thì y = ekx là một nghiệm riêng của phương trình vi phân (7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (7) Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k1 và k2 như sau - k1 và k2 là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là 4
k1x k2x y1 e , y2 e (12) Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì y k k x 1 e 1 2 const (13) y2 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là k1x k2x y y1 y2 C1e C2e (14) - k1 và k2 là 2 số thực trùng nhau: k1 = k2 k1x k1x Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: y1 e , y2 xe Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là k1x k1x k1x y C1e C2xe C1 C2x e (15) - k1 và k2 là 2 số phức liên hợp: k1 = + i và k2 = - i Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là i x x ix y1 e e e (16) i x x ix y2 e e e Theo công thức Euler ta có eix cosx isinx (17) e ix cosx isinx Suy ra x ix x y1 e e e cosx isinx (18) x ix x y2 e e e cosx isinx Nếu y1 và y2 là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm y y y 1 2 e x cosx 1 2 (19) y y y 1 2 e x sinx 2 2i cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì 5
y 1 tgx const (20) y2 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là x x x y C1e cosx C2e sinx e C1 cosx C2 sinx (21) 6
Chương 1 CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ 1.1.1. Vector cường độ điện trường Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường F qE (1.1) Hay: F (1.2) E q Cđđt E tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q Qq r0 (1.3) F 2 4 0 r 12 - 0 8,854.10 F/ m - hằng số điện -  - độ điện thẩm tương đối - r0 - vector đơn vị chỉ phương Hệ đt điểm q1 ,q 2 , ,q n n n 1 qi r0i (1.4) E  Ei  2 i 1 4 0 i 1 ri r0i - các vector đơn vị chỉ phương Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó: 1 r (1.5) E dl l l 2 4 0 l r 7
1 r (1.6) E dS S S 2 4 0 S r 1 r (1.7) E dV V V 2 4 0 V r 1.1.2. Vector điện cảm Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector điện cảm D (1.8) D 0 E 1.1.3. Vector từ cảm Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển động hay dòng điện theo định luật Lorentz F qv B (1.9) Từ trường do phần tử dòng điện Idl tạo ra được xác định bởi định luật thực nghiệm BVL  (1.10) dB 0 Idl r 4 r 2 7 6 - 0 4 .10 1,257.10 H / m - hằng số từ -  - độ từ thẩm tương đối Từ trường của dây dẫn có chiều dài l  Idl r (1.11) B 0 2 4 l r 1.1.4. Vector cường độ từ trường Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector cường độ từ trường H 8
B (1.12) H 0 1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích 1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian dq (1.13) I dt Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện (1.14) J n 0ev v E dạng vi phân của định luật Ohm - n0 - mật độ hạt điện có điện tích e - - mật độ điện khối - v - vận tốc dịch chuyển của các hạt điện -  - điện dẫn suất Dòng điện qua mặt S được tính theo I dI JdS EdS (1.15) S S S Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp U, ta có L (lưu ý: áp dụng c/t S = L2 và R ) S L U (1.16) I EdS ES (L)(EL) LU S R dạng thông thường của định luật Ohm Vì E và dS cùng chiều, đặt 9
1 (1.17)  RL  - điện dẫn suất có đơn vị là 1/m 1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng điện. Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện tích giảm đi từ thể tích V đó. Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có Q dV (1.18) V sau thời gian dt lượng điện tích trong V giảm đi dQ dQ d (1.19) I dV dt dt V Mặt khác I JdS (1.20) S Suy ra  (1.21) JdS dV S V t Theo định lý OG   (1.22) JdS .J dV dV S V V t Suy ra   (1.23) .J 0 t Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên tục. 1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường 10
Các đặc trưng cơ bản của môi trường: , ,  Các phương trình: (1.24) D 0E B (1.25) H 0 gọi là các phương trình vật chất , ,  cường độ trường : môi trường tuyến tính , ,   const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng , ,  theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường không đẳng hướng. Khi đó ,  biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng số. Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma bị từ hoá là các môi trường không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ , ,  vị trí : môi trường không đồng nhất Trong tự nhiên đa số các chất có  > 1 và là môi trường tuyến tính. Xecnhec có  >> 1 : môi trường phi tuyến  > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N, không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm  > 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hoá của chất sắt từ lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần. Căn cứ vào độ dẫn điện riêng : chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách điện hay điện môi Chất dẫn điện:  > 104 1/m,  = : chất dẫn điện lý tưởng Chất bán dẫn: 10-10 <  < 104 11
Chất cách điện:  < 10-10,  = 0 : điện môi lý tưởng Không khí là điện môi lý tưởng:  =  = 1,  = 0 1.4. Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell Thông lượng của vector điện cảm D qua mặt S là đại lượng vô hướng được xác định bởi tích phân  DdS (1.26) E S dS D r d q S dS : vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài dS.cos(D ,dS ) : hình chiếu của S lên phương D Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của D do q tạo ra qua mặt kín S, ta có q.dS.cos D,dS q (1.27) d DdS d 4 r 2 4 d là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS Thông lượng của D qua toàn mặt kín S là q (1.28)  DdS d q S 4  Xét trường hợp điện tích điểm q nằm ngoài mặt kín S. Từ điện tích q nhìn toàn mặt S dưới một góc khối nào đó. Mặt S có thể chia thành 2 nửa S và S' 12
(có giao tuyến là AB). Pháp tuyến ngoài của S và S' sẽ có chiều ngược nhau. Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trị nhưng trái dấu. Khi đó thông lượng của D qua toàn mặt kín S bằng 0. A D dS B q Xét hệ điện tích điểm q1, q2, , qn đặt trong mặt kín S, ta có n (1.29) D Di i 1 Thông lượng của D do hệ q1, q2, , qn gây ra qua toàn mặt kín S n n (1.30)  DdS D dS q Q  i  i S i 1 S i 1 Vậy: Thông lượng của vector điện cảm D qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng đại số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q 1, q2, , qn, do đó  có thể âm hoặc dương Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối thì  được tính theo  DdS dV Q (1.31) E S V Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Ostrogradski- Gauss đối với điện trường. Nguyên lý liên tục của từ thông Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là dòng điện hay nam châm. Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này 13
Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm B . Thông lượng của B qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này. Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số đường sức từ đi ra khỏi thể tích V đó. Vì vậy thông lượng của B được tính theo  BdS 0 (1.32) M S Công thức (1.32) gọi là nguyên lý liên tục của từ thông. Đây là một phương trình cơ bản của trường điện từ 1.5. Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này xh dòng điện cảm ứng. Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường E có chiều là chiều của dòng điện cảm ứng đó. Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự. Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt của điện trường đó. Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở. Điện trường tĩnh không làm cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng điện !). Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện thì công phải khác 0, có nghĩa là qEdl 0 (1.33) l và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy. Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời gian cũng tạo ra một điện trường xoáy. 14
Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday: Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh trong một vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi qua diện tích của vòng dây d (1.34) e c dt Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điện cảm ứng có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông   BdS (1.35) S là thông lượng của vector từ cảm B qua S được bao bởi vòng dây. Suy ra d d dB B (1.36) e BdS dS dS c dt dt S S dt S t Hoặc biểu diễn sức điện động cảm ứng e c theo lưu số của vector cường độ điện trường E e Edl (1.37) c l Chiều của vòng dây kín l lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn nó từ ngọn của B B dS S dl Vì vòng dây kín l đứng yên nên theo các công thức (1.35), (1.36), (1.37) ta có 15
B (1.38) Edl dS l S t Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng tích phân, cũng là một phương trình cơ bản của trường điện từ. Vậy: Lưu số của vector cường độ điện trường xoáy dọc theo một đường cong kín bất kì bằng về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu với tốc độ biến thiên theo thời gian của từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó. Theo giải tích vector (công thức Green-Stock) Edl  E dS (1.39) l S Theo các phương trình (1.38) và (1.39) B (1.40)  E t Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng vi phân, có thể áp dụng đối với từng điểm một trong không gian có từ trường biến thiên. 1.6. Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường xoáy. Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Để đảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell đưa ra luận điểm II: Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ trường. (Đã chứng minh bằng thực nghiệm) Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong không gian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường. Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere: 16
Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace, Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần: Lưu số của vector cường độ từ trường H dọc theo một đường cong kín bất kì bằng tổng đại số các dòng điện đi qua diện tích bao bởi đường cong này  n (1.41) Hdl I I  i l i 1 Ii dS J S dl Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn. Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện J thì  Hdl JdS (1.42) l S Định luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường điện từ Khái niệm về dòng điện dịch Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện toàn phần của Ampere, Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ giữa đt và từ trường cùng với việc đưa ra khái niệm mới về dòng điện dịch. Dòng điện dịch có mật độ được tính theo công thức  D E P (1.43) J  J J d t 0 t t d0 dP Trong đó: 17
 P J - mật độ dòng điện p.cực trong điện môi do sự xê dịch của các dP t điện tích E J  - điện trường biến thiên trong chân không và gọi là mật độ dòng d0 0 t điện dịch Để chứng minh sự tồn tại của dòng điện dịch, xét thí dụ sau: có một mặt kín S bao quanh 1 trong 2 bản của tụ điện. Do có điện áp xoay chiều đặt vào tụ điện nên giữa 2 bản tụ có điện trường biến thiên E và dòng điện biến thiên chạy qua tụ. Dòng điện này chính là dòng điện dịch trong chân không vì giữa 2 bản tụ không tồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: E (1.44) I S  d0 0 t Theo định luật Gauss q  EdS  ES (1.45) 0 0 S dS S vì điện trường chỉ tồn tại giữa 2 bản tụ S Đối với môi trường chân không, ta có:  = 1 S +q S' E ~ -q Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng 18
dq d E (1.46) I  EdS S  0 0 dt dt S t Suy ra I = Id0 (1.47) Vậy: dòng điện dịch chạy giữa 2 bản tụ bằng dòng điện dẫn chạy ở mạch ngoài tụ điện. Bằng cách bổ sung dòng điện dịch vào vế phải của phương trình (1.42), ta có (bổ sung được vì về khía cạnh tạo ra từ trường dòng điện dịch tương đương dòng điện dẫn)  D (1.48) Hdl JdS dS l S S t Hay  D (1.49) Hdl J dS l S t Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)  Hdl  H dS (1.50) l S Suy ra D (1.51)  H J J J t d Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng vi phân, cũng là một phương trình cơ bản của trường điện từ Nếu môi trường có điện dẫn suất  = 0 (điện môi lí tưởng và chân không) thì do J E 0 , ta có: E (1.52)  H  J 0 t d0 19
Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra từ trường như dòng điện dẫn. 1.7. Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra điện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ trường. Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại và có liên hệ chặt chẽ với nhau Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một trường thống nhất gọi là trường điện từ. Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các hạt mang điện. - Phương trình Maxwell-Faraday Dạng tích phân B (1.53) Edl dS l S t Dạng vi phân B (1.54)  E t Diễn tả luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ trường biến thiên và điện trường xoáy. - Phương trình Maxwell-Ampere Dạng tích phân  D (1.55) Hdl J dS l S t Dạng vi phân D (1.56)  H J t 20
Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh ra từ trường như dòng điện dẫn. - Định lí OG đối với điện trường Dạng tích phân DdS q (1.57) S Theo giải tích vector: DdS .DdV và q dV , ta có S V V Dạng vi phân .D (1.58) Diễn tả tính không khép kín của các đường sức điện trường tĩnh luôn từ các điện tích dương đi ra và đi vào các điện tích âm: trường có nguồn - Định lí OG đối với từ trường Dạng tích phân BdS 0 (1.59) S Dạng vi phân .B 0 (1.60) Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn Các phương trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) gọi là hệ phương trình Maxwell B  E t D (1.61)  H J t .D .B 0 - Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài 21
Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian. Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ. Nguồn dòng điện này độc lập với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn ngoài. Các nguồn ngoài có bản chất điện hoặc không điện. Để đặc trưng cho nguồn ngoài của trường điện từ ta có khái niệm mật độ dòng điện ngoài JO . Đ.luật Ohm dạng vi phân: J JO  E E O (1.62) Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại những điểm trong không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường điện từ tự do. Khi có nguồn ngoài hệ phương trình Maxwell được viết lại B  E t D (1.63)  H J J O t .D .B 0 Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ,  và , tức là môi trường điện môi: D 0 E môi trường dẫn điện: J E môi trường từ hoá: B 0 H , ta có H  E  0 t E (1.64)  H E J  O 0 t .E 0 .H 0 - Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell 22
Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không điện tích tự do và nguồn ngoài J JO 0 H  E  0 t E (1.65)  H  0 t .E 0 .H 0 Nhận xét: E và H đối xứng và có thể đổi lẫn cho nhau Để hệ phương trình Maxwell trong trường hợp có nguồn ngoài vẫn đối xứng, cần phải đưa thêm 2 đại lượng hình thức JM - mật độ dòng từ ngoài M - mật độ từ khối Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không điện tích tự do, với nguồn điện và từ ngoài H  E J  M 0 t E (1.66)  H J  , JE  JO E 0 t .E 0 .H M 0 Ứng dụng: nếu kết quả bài toán cho một nguồn điện (nguồn từ) đã biết, thì sử dụng nguyên lý đổi lẫn để xác định kết quả bài toán cho một nguồn từ (nguồn điện), mà không cần phải giải cả hai. - Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà 23
Trường điện từ và nguồn biến thiên điều hoà với tần số góc  nên có thể biểu diễn dưới dạng phức, ta có E reE (1.67) H reH J re J re Với: it it it it (1.68) m e ; E E m e ; H H m e ; J J m e i x i y i z Trong đó: Em  Em x, y,z iEmxe jEmye kEmze gọi là biên độ phức của E ; x, y, z là các pha ban đầu Khi đó  E m i0 H m (1.69)  H  Em i0 Em J Em m .Em 0 .H 0 1.8. Điều kiện biên đối với các vector của trường điện từ Xét hai môi trường 1 và 2 có mặt phân cách S, xét tính liên tục hoặc gián đoạn của các vector của trường điện từ và đã xác định được - đối với thành phần pháp tuyến của điện trường D1n - D2n = S (1.70) S mật độ điện mặt 24
E1n  2 Khi S = 0 ta có: D1n = D2n hay E 2n 1 - đối với thành phần tiếp tuyến của điện trường D1  2 (1.71) E1 = E2, D 2 1 - đối với thành phần pháp tuyến của từ trường H1n  2 (1.72) B1n = B2n, H 2n 1 - đối với thành phần tiếp tuyến của từ trường H1 - H2 = IS (1.73) IS dòng điện mặt B1  2 Khi IS = 0 ta có: H1 = H2 hay B2 1 - Trường hợp đặc biệt môi trường 1 là điện môi và môi trường 2 là vật dẫn lí tưởng có 2 = . Trong vật dẫn lí tưởng trường điện từ không tồn tại, có nghĩa là E 2 H 2 0 . Thực vậy, nếu vật dẫn lí tưởng tồn tại trường điện từ E 2 ;H 2 0 thì dưới tác dụng của trường các điện tích tự do sẽ phân bố lại điện tích trên bề mặt của nó cho đến khi trường phụ do chúng tạo ra triệt tiêu với trường ban đầu và kết quả trường tổng hợp trong vật dẫn lý tưởng bằng 0. Trên bề mặt S của vật dẫn lí tưởng có dòng điện mặt và điện tích mặt tồn tại trong một lớp mỏng vô hạn. Khi đó ta được S (1.74) E1n = 1 E1 = 0 H1n = 0 H1 = IS 25
Vậy: trường điện từ trong điện môi sát mặt vật dẫn lí tưởng chỉ có thành phần pháp tuyến của E và thành phần tiếp tuyến của H 1.9. Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting - Năng lượng của trường điện từ  E 2  H 2   dV 0 0 dV W = WE + WM = E M = V V 2 2 - Định lí Umov Poynting Đã chứng minh được dW (1.75) dS P P t O S dt Trong đó  E H (W/m2) vector Poynting Phương trình = JEdV E 2dV công suất tiêu hao nhiệt do dòng điện dẫn V V J gây ra trong V J EdV PO = E công suất của nguồn ngoài trong thể tích V V (1.75) gọi là định lí Umov Poynting mô tả sự cân bằng của trường điện từ trong thể tích V Phát biểu: Tổng các độ biến đổi năng lượng trường điện từ, công suất tổn hao nhiệt và công suất nguồn ngoài trong thể tích V bằng thông lượng của vector Poynting qua mặt kín S bao thể tích V đó. Vector Poynting  biểu thị sự dịch chuyển năng lượng của trường điện từ. 1.10. Định lí nghiệm duy nhất Hệ phương trình Maxwell có nghiệm duy nhất khi trường điện từ thoả mãn các điều kiện sau 26
1. Biết các vector cđ điện trường và từ trường tại thời điểm t 0 = 0 ở tại bất kì điểm nào trong vùng không gian khảo sát hay còn gọi là điều kiện ban đầu, tức là E 0 E x, y,z,0 khi t = 0 (1.76) H 0 H x, y,z,0 2. Biết thành phần tiếp tuyến của E và thành phần tiếp tuyến của H tại mặt giới hạn S bao miền không gian khảo sát trong khoảng thời gian 0 < t < hay còn gọi là điều kiện biên E = E|S hoặc H = H|S với 0 < t < (1.77) Nhận xét: Định lí nghiệm duy nhất có ý nghĩa quan trọng vì bằng cách nào đó ta nhận được nghiệm của hệ phương trình Maxwell và nếu nó thoả mãn các điều kiện trên thì nghiệm nhận được là duy nhất. 1.11. Nguyên lí tương hỗ Nguyên lí tương hỗ phản ảnh mối quan hệ tương hỗ giữa trường điện từ và các nguồn tạo ra nó tại hai điểm khác nhau trong không gian. 1. Bổ đề Lorentz Dạng vi phân (1.78) . E1m H 2m . E 2m H1m J E1m E 2m J E2m E1m J M1m H 2m J M2m H1m Dạng tích phân (1.79) E1m H2m E2m H1m dS S J E1m E2m J E2m E1m J M1m H2m J M2m H1m dV V V , ta có 27
(1.80) J E1m E 2m J E2m E1m J M1m H 2m J M2m H1m dV 0 V 2. Nguyên lí tương hỗ Giả sử trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, nguồn điện và từ 1 phân bố trong V1, nguồn điện và từ 2 phân bố trong V 2 và 2 thể tích này không có miền chung. Do đó vế trái của phương trình (1.80) tích phân trong miền V chia thành 3 miền V1, V2 và miền còn lại. Tuy nhiên tích phân trong miền còn lại bằng 0 vì miền này không tồn tại nguồn cho nên phương trình (1.80) được viết lại (1.81) J E1m E 2m J M1m H 2m dV J E2m E1m J M2m H1m dV V1 V2 gọi là nguyên lí tương hỗ của trường điện từ và nguồn của chúng ở 2 miền khác nhau. 1.12. Nguyên lí đồng dạng điện động Nguyên lí đồng dạng điện động hay còn gọi là nguyên lí mẫu hoá xác định mối quan hệ giữa trường điện từ. Các tham số điện và hình học của hệ điện từ và môi trường đối với 2 hệ điện từ đồng dạng điện động với nhau. Tham số hoá các đại lượng của trường điện từ (1.82) H 1a1;E 2a 2 ;J E 3a 3 ;J M 4a 4 ;l 5a 5 ;t 6a 6 a1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 là các vector đơn vị không có thứ nguyên chỉ sự phụ thuộc của cường độ trường và nguồn vào các toạ độ không gian và thời gian a 5 ;a 6 là các đơn vị vô hướng xác định toạ độ không gian và thời gian Các hệ số tỉ lệ i có thứ nguyên tương ứng là 2 2 1 [A/m], 2 [V/m], 3 [A/m ], 4 [V/m ], 5 [m], 6 [s] Thay các đại lượng trong (1.82) vào các phương trình Maxwell sau đây E (1.83)  H E J  , JE  JO E 0 t 28
H  E J  M 0 t Ta được a 2 (1.84)  a1 c1 c 2 c3a 3 a 6 a1  a 2 c 4a 4 c5 a 6 Các hệ số tỉ lệ ci không có thứ nguyên tương ứng với các biểu thức sau  2 5  2 5 3 5 4 5  1 5 c1 ; c 2 ; c3 ; c 4 ; c5 1 6 1 2 2 6 Hệ phương trình (1.84) là dạng không có thứ nguyên, mô tả các hệ điện từ khác nhau qua hệ số c i. Hai hệ điện từ có các hệ số c i tương ứng bằng nhau gọi là 2 hệ đồng dạng điện động với nhau. 1.13. Trường tĩnh điện Trường tĩnh điện được tạo ra bởi các điện tích đứng yên và không biến đổi theo thời gian, ta có hệ phương trình Maxwell như sau  E 0 .D (1.85) D 0 E 1.14. Từ trường của dòng điện không đổi  E 0 .D (1.86) D 0 E  H J .B 0 (1.87) B 0 H 29
Nhận xét: Điện trường của dòng điện không đổi cũng tương tự như điện trường tĩnh và là một trường thế, chỉ khác nhau là điện trường của dòng điện không đổi tồn tại ngay cả trong vật dẫn J E , còn điện trường tĩnh thì không tồn tại bên trong vật dẫn. 30
Chương 2 TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL 2.1. Phương trình sóng đối với các vector cường độ trường Lưu ý: -  là độ điện thẩm tỉ đối đối với môi trường -  là độ từ thẩm tỉ đối đối với môi trường Đặt ’ = 0 và ’ = 0 - ’ là độ điện thẩm tuyệt đối - ’ là độ từ thẩm tuyệt đối Hệ phương trình Maxwell trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có cả nguồn điện và từ ngoài E  H E J  (1) E 0 t H  E J  (2) (2.1) M 0 t .E (3) 0 .H M (4) 0 Nhận xét: Các phương trình (1) và (2) bao gồm E , H và các nguồn điện và từ nên khó giải. Vì vậy cần đưa chúng về dạng đơn giản hơn. Lấy rot 2 vế của các phương trình (1) và (2)    H  .H 2H   E  J   E (1) E 0 t 2  (2.2)   E  .E  E  J   H (2) M 0 t Suy ra 31
2 2  H H 1 JM  H 00 2 0  JE  M 0 JM (1) t t 0 t 2 2  E E 1 JE  E 00 2 0  JM  0 (2) t t 0 t Nhận xét: Vế trái của các phương trình (1) và (2) trong (2.3) chỉ còn E hoặc H . Đây là các phương trình vi phân cấp 2 có vế phải. Rất khó giải vì vế phải là các hàm rất phức tạp. Thường chỉ giải trong trường hợp không có nguồn và điện môi lí tưởng  = 0, ta có  2H 2H   0 (1) 0 0 t 2  2E (2.4) 2E   0 (2) 0 0 t 2 2.2. Phương trình cho các thế điện động Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (2.1) là tuyến tính, các nguồn điện và từ thường được kích thích riêng rẽ và độc lập với nhau. 2.2.1. Đối với nguồn điện Để đơn giản xét trường trong điện môi lí tưởng  = 0 hệ phương trình Maxwell (2.1) được viết lại E  H J  (1) E 0 t H (2.5)  E  (2) 0 t .E (3) 0 .H 0 (4) Đặt: 1 (2.6) H  AE 0 32
AE gọi là thế vector điện 1 Dễ thấy rằng: .H .  AE 0 0 Đưa (2.6) vào (2) của hệ phương trình (2.5) ta được A (2.7) E  E 0 t Suy ra A (2.8) E E  t E Lưu ý   E 0 (2.9) E là thế vô hướng điện AE và E được gọi chung là các thế điện động của nguồn điện Như vậy: H và E được biểu diễn qua AE và E theo các công thức (2.6) và (2.8) tương ứng. Tìm AE và E ? Từ các công thức (2.6) và (2.8) thay H và E vào (1) của (2.5) ta có 2 (2.10) 2  AE  E  AE 00  .AE 00 0 JE t 2 t AE và E được chọn tuỳ ý. Vì vậy để đơn giản ta có thể chọn điều kiện phụ  (2.11) .A   E 0 E 0 0 t (2.11) còn gọi là hệ thức chuẩn Phương trình sóng (2.10) được viết lại  2A (2.12) 2A   E  J E 0 0 t 2 0 E Từ công thức (2.8) thay E vào (3) của (2.5) và áp dụng (2.11) ta có 33
2 2  E (2.13)  E 00 2 t 0 Các phương trình (2.12) và (2.13) gọi là các phương trình sóng không thuần nhất hay các phương trình d’Alambert cho các thế điện động của trường điện từ đối với nguồn điện. AE và E 2.2.2. Đối với nguồn từ Hệ phương trình Maxwell (2.1) đối với nguồn từ trong điện môi lí tưởng  = 0 có dạng E  H  (1) 0 t H (2.14)  E J  (2) M 0 t .E 0 (3) .H M (4) 0 Cách làm tương tự như đối với nguồn điện ta có 1 E  AM 0 A (2.15) H M  t M  2A 2A   M  J M 0 0 t 2 0 M 2 2  M M (2.16)  M 00 2 t 0  (2.17) .A   M 0 M 0 0 t AM và M là các thế điện động đối với nguồn từ 34
Nếu trong môi trường điện môi lí tưởng tồn tại đồng thời cả nguồn điện và nguồn từ thì trường điện từ tổng hợp bằng chồng chất trường của nguồn điện và nguồn từ, có nghĩa là AE 1 E  AM  E t 0 (2.18) 1 AM H  AE  M 0 t Nhận xét: E và H được biểu diễn qua AE và E hoặc AM và M làm cho hệ phương trình Maxwell đơn giản hơn. Đây chính là ưu điểm của phương pháp dùng các thế điện động. 2.2.3. Đối với trường điều hoà Nếu các nguồn của trường biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số góc  thì các phương trình sóng d’Alambert (2.12), (2.13) và (2.16) viết dưới dạng biên độ phức như sau 2 2 2  AEm  AEm k  J Em t 2 0 2 2 2  Em m  Em k 2 t 0 (2.19) 2 2 2  AMm  AMm k  J Mm t 2 0 2 2 2  Mm Mm  Mm k 2 t 0 Trong đó: k  00 là số sóng trong môi trường (2.19) là các phương trình không thuần nhất, còn gọi là phương trình Hemholtz Biểu thức của E và H có dạng 35
1 (2.20) E iA Em  A Mm  Em 0 1  A Mm H  A Em  Mm 0 t Giữa thế vector và thế vô hướng có mối quan hệ sau 1 (2.21) Em .AEm 00 1 Mm .AMm 00 Nhận xét: Theo (2.20) và (2.21) cho thấy rằng đối với trường điện từ điều hoà chỉ cần tìm nghiệm của hai phương trình Hemholtz đối với các thế vector AEm và AMm 2.3. Phương trình sóng cho các vector Hertz 2.3.1 Vector Hertz điện Đặt  (2.22) A   E E 0 0 t Trong đó: E gọi là vector Hertz điện Thay (2.22) vào (2.6) ta được 1  (2.23) H  AE 0  E 0 t Thay (2.22) vào hệ thức chuẩn (2.11) ta được  (2.24) . 0 t E E Suy ra E .E (2.25) Thay (2.22) và (2.25) vào (2.8) ta được 36
A  2 (2.26) E E   .   E t E E 0 0 t 2 Nhận xét: E và H đươc biểu diễn qua vector Hertz điện E Tìm E ? Thay (2.22) vào (2.12) ta được  2A   2 (2.27) 2A   E   2   E  J E 0 0 2 0 0 E 0 0 2 0 E t t t Hay   2 1 (2.28) 2   E J E 0 0 2 E t t 0 Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được  2 1 t (2.29) 2   E J dt E 0 0 2 E t 0 0 Đặt t (2.30) P J dt E E 0 PE gọi là vector phân cực của nguồn điện Phương trình (2.29) được viết lại 2 (2.31) 2  E PE  E 00 2 t 0 Như vậy: vector phân cực PE là nguồn tạo ra vector Hertz điện E . Do đó E còn gọi là thế vector phân cực điện. 2.3.2 Vector Hertz từ Tương tự cách làm của vector Hertz điện hoặc áp dụng nguyên lí đối lẫn của hệ phương trình Maxwell ta có  (2.32) A   M M 0 0 t 37
Trong đó: M gọi là vector Hertz từ M .M (2.33)  (2.34) E    0 t M  2 (2.35) H  .   M M 0 0 t 2 Nhận xét: E và H đươc biểu diễn qua vector Hertz từ M Tìm M ?   2 1 (2.36) 2   M J M 0 0 2 M t t 0 Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được  2 1 t (2.37) 2   M J dt M 0 0 2 M t 0 0 Đặt t (2.38) P J dt M M 0 PM gọi là vector từ hoá của nguồn từ (2.37) được viết lại 2 (2.39) 2  M PM  M 00 2 t 0 Như vậy: vector từ hoá PM là nguồn tạo ra vector Hertz từ M . Do đó M còn gọi là thế vector từ hoá. Nhận xét: E và H được biểu diễn qua vector Hertz điện  Ehoặc vector Hertz từ M đơn giản hơn phương pháp dùng các thế điện động. 2.3.2 Trường loại điện và trường loại từ 38
Trường hợp các vector Hertz điện E và vector Hertz từ M chỉ có một thành phần. Trong hệ toạ độ Decac các vector Hertz điện E và vector Hertz từ M theo phương z là (2.40) E kE (2.41) M kM - Trường của nguồn điện (ứng với vector Hertz điện E một thành phần) sẽ có H theo phương z bằng 0 (Hz = 0), còn các thành phần khác của H nói chung khác 0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại điện dọc E hay từ ngang TM - Trường của nguồn từ (ứng với vector Hertz từ M một thành phần) sẽ có E theo phương z bằng 0 (Ez = 0), còn các thành phần khác của E nói chung khác 0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại từ dọc H hay điện ngang TE Như vậy: trong trường hợp tổng quát và điều kiện biên nhất định, trường điện từ có thể xem như tổng hợp của 2 loại trường: loại điện và loại từ 2.4. Tìm nghiệm của phương trình sóng Nhận xét: áp dụng nguyên lí đối lẫn, việc tìm nghiệm của các phương trình d’ Alambert chỉ cần xác định E hoặc H . Do đó có thể sử dụng một hàm vô hướng để đại diện cho E và M hoặc bất cứ thành phần nào trong hệ toạ độ Decac của E , M , AE và AM , phương trình d’ Alambert được viết lại  2 (2.42) 2   g 0 0 t 2 g - hàm nguồn của trường phân bố trong thể tích V Nghiệm của (2.42) bằng tổng nghiệm của phương trình sóng thuần nhất không vế phải và nghiệm riêng của phương trình sóng thuần nhất có vế phải, tức là tìm nghiệm của phương trình sau  2 (2.43) 2   0 0 0 t 2 39
Đối với trường hợp nguồn điểm đặt ở gốc toạ độ. Vì nguồn điểm có tính đối xứng cầu nên hàm  chỉ phụ thuộc r và t. Trong hệ toạ độ cầu ta có  2 2 1  2 (2.44) 2 r r 2 rr r rr 2 Đặt  = r ta có  2  2 (2.45)   0 r 2 0 0 t 2 Nghiệm của phương trình vi phân (2.45) là r r (2.46)  f1 t f2 t v v Suy ra r r (2.47) f t f t 1 v 2 v  r r 1 Trong đó: v là vận tốc truyền sóng trong môi trường; f 1 và f2 là 00 các hàm tuỳ ý r f1 t v mô tả sóng cầu phân kì truyền từ nguồn vô cùng r r f2 t v mô tả sóng cầu hội tụ truyền từ vô cùng nguồn r Điều kiện bức xạ tại vô cùng: E (2.48) lim r ikE 0 r t H lim r ikH 0 r t Trong đó: k  00 là số sóng 40
Nhận xét: vì là nguồn điểm đặt tại gốc toạ độ và không gian là vô hạn nên theo điều kiện bức xạ tại vô cùng ta chọn nghiệm của phương trình sóng (2.43) cho nguồn điểm là hàm f1 và loại bỏ hàm f2 Vậy r (2.49) f t 1 v  r Nếu r 0 (tại gốc toạ độ) thì nghiệm (2.49) không thoả mãn phương trình sóng thuần nhất mà phải thoả mãn phương trình sóng d’ Alambert vì thế ta phải chọn dạng của f 1 sao cho  là nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert và phải thoả mãn trường ở trạng thái dừng. Ở trạng thái dừng, phương trình sóng d’ Alambert được viết lại 2 g (2.50) gọi là phương trình sóng Poisson và có nghiệm là 1 g (2.51)  dV 4 V r Lưu ý : r là khoảng cách từ vị trí quan sát trường đến yếu tố vi phân gdV. Theo (2.49) và (2.51) ta chọn dạng hàm của f1 như sau r 1 r (2.52) f1 t g t v 4 v Như vậy, nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert là r (2.53) g r , t 1 v  r, t dV 4 V r Nhận xét: trường ở thời điểm t tại vị trí quan sát bằng giá trị của nguồn ở thời điểm t’ sớm hơn t một khoảng thời gian là r (2.54) t v 41
Như vậy, trường tại vị trí quan sát chậm pha so với nguồn một khoảng thời gian t’ nên (2.53) gọi là thế chậm của trường điện từ. Tương tự như nghiệm (2.53) ta có r (2.55) J r , t  E v A r, t 0 dV E 4 V r r (2.56) J r , t  M v A r, t 0 dV M 4 V r Đối với trường điều hoà ta có r i t (2.57) r v ikr it ikr g t gm e gm e e g e v r i t (2.58) r v ikr AE t AEm e AE t e v r i t (2.59) r v ikr AM t AMm e AM t e v Các thế chậm , A E , A M được tính là ikr (2.60) 1 g r , t e  r, t dV 4 V r ikr (2.61) 0 J E r , t e AE r, t dV 4 V r 42
ikr (2.62) 0 J M r , t e AM r, t dV 4 V r 2.5. Trường điện từ của lưỡng cực điện Lưỡng cực điện là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của anten. Thí dụ về lưỡng cực điện, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng điện biến đổi do nguồn cung cấp bên ngoài Để đơn giản ta có giả thiết như sau - đặt trong điện môi lí tưởng:  = 0; ,  = const - l > l, r là khoảng cách r từ vị trí quan sát trường điện từ đến lưỡng cực điện Ứd phương pháp thế chậm để tính trường 2.5.1. Trường điện từ của yếu tố lưỡng cực điện Chọn hệ toạ độ cầu có gốc O nằm tại trọng tâm của lưỡng cực điện, trục lưỡng cực điện hướng theo Oz và dòng điện cung cấp cho lưỡng cực điện có dạng it it (2.63) I k Im e k J m Se Trong đó: S là tiết diện của lưỡng cực điện Vì dòng điện cung cấp hướng theo trục Oz và tồn tại trong thể tích V = Sl nên tại vị trí quan sát trường M chỉ có một thành phần hướng theo trục Oz. Thế chậm của lưỡng cực điện là ikr ikr (2.64) 0 J m e 0 Im e 0 Im l ikr AEm k AEm k dV k dl k e 4 V r 4 l r 4 r 43
Lưu ý: Sở dĩ tính được tích phân (2.64) là do giả thiết biên độ và pha của dòng điện cung cấp là không đổi trên toàn lưỡng cực điện và do r >> l nên khoảng cách từ bất cứ điểm nào trên lưỡng cực điện đến vị trí xác định trường đều bằng r. Trong hệ toạ độ cầu ta có công thức (2.65) k r0 cos 0 sin  r0 và 0 là các vector đơn vị trong hệ toạ độ cầu Khi đó (2.64) được viết lại ikr (2.66) 0 Im le AEm r0 cos 0 sin  4 r Cường độ từ trường của lưỡng cực điện là ikr (2.67) 1 Im l e Hm  AEm  r0 cos 0 sin  0 4 r Suy ra ikr (2.68) Im l 1 e Hm 0 ik sin  4 r r 0 là vector đơn vị trong hệ toạ độ cầu Từ hệ phương trình Maxwell không nguồn điện tích ta có (2.69)  Hm i0 Em Khi đó cường độ điện trường của lưỡng cực điện được tính là ikr (2.70) 1 Im l e Em  Hm . i0 4 i0 r 1 ik 1 2 ik . 2r0 2 cos 0 2 k sin  r r r r 44
Nhận xét: Các biểu thức tính E và H trong (2.68) và (2.70) của bức xạ e ikr lưỡng cực điện đều có thừa số và biên độ tỉ lệ nghịch với r, có mặt đẳng r pha là mặt cầu bán kính r. Như vậy trường bức xạ lưỡng cực điện có tính chất của sóng cầu. Vận tốc dịch chuyển của mặt đẳng pha gọi là vận tốc pha vph Ta có phương trình của mặt đẳng pha là  = t – kr = const (2.72) d = dt – kdr = 0 Và dr  (2.73) v ph dt k Nếu nhân các biểu thức của (2.68) và (2.70) với eit và lấy phần thực của E và H ta có giá trị tức thời của chúng là Imlk 1 (2.74) H sin  cos t kr sin t kr 4 r kr 2 Imlk 1 1 Er cos 2 2 sin t kr cos t kr 2 0r k r kr 2 Imlk 1 1 E sin  2 2 1 sin t kr cos t kr 4 0r k r kr E Hr H 0 2.5.2. Trường ở vùng gần Khi r > l thì gọi là trường ở vùng gần 2 Do r <<  nên kr = r << 1 và trong (2.74) nếu bỏ qua các vô cùng bé  1 bậc cao so với và độ lệch pha kr ta có kr 45
I l (2.75) H m sin cost 4 r 2 Iml Er 3 cossin t 2 0r Iml E 3 sin sin t 4 0r Nhận xét: H lệch pha so với Er và E một góc nên vector Poynting 2 trung bình  tb = re = 0, có nghĩa là năng lượng trường điện từ của lưỡng cực điện ở vùng gần chủ yếu là của dao động xung quanh nguồn, không mang tính chất sóng, gọi là vùng cảm ứng . Hình 2.1 trình bày cấu trúc đường sức của E và H E E E E E H I 2.5.3. Trường ở vùng xa Khi r >>  thì thì gọi là trường ở vùng xa 2 Do r >>  nên kr = r >> 1 và trong (2.74) nếu bỏ qua các vô cùng bé  1 bậc cao so với ta có kr I lk I l (2.76) H m sin sin t kr m sin sin t kr 4 r 2r 2 Imlk Iml 0 E sin sin t kr sin sin t kr 4 0r 2r 0 Nhận xét: 46
- Trường ở vùng xa của lưỡng cực điện chỉ gồm 2 thành phần H và E đồng pha, vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng r, vector Poynting phức chỉ có phần thực  tb = re 0, năng lượng trường điện từ bức xạ vào trong không gian. Vì vậy vùng xa gọi là vùng bức xạ - Biên độ của H và E tỉ lệ với , tỉ lệ nghịch với . Nếu có cùng giá trị dòng điện Im, ở cùng khoảng cách và tần số càng cao thì H và E càng lớn - Biên độ của H và E tỉ lệ với sin nên trường bức xạ của lưỡng cực điện có tính định hướng trong không gian. Chúng đạt cực đại tại mặt phẳng và 2 bằng 0 theo phương của lưỡng cực điện  = 0. - Trường bức xạ có tính định hướng, thường được mô tả bằng giản đồ hướng. Giản đồ hướng của lưỡng cực điện, kí hiệu F(, ), là hàm được xác định bởi biểu thức: E (2.77) F , sin  Emax Z 0 E = 0  = 0   = 900 E = Emax Mặt phẳng kinh tuyến Mặt phẳng vĩ tuyến 2.5.4. Công suất bức xạ, trở bức xạ Công suất bức xạ của lưỡng cực điện được tính theo công thức P  dS (2.78) bx tb S 47
I E dS H r d d Trong đó 2 2 3 Iml k 2 (2.79)  tb r 2 3 sin  32 r 0 Vi phân mặt cầu dS = r2sindd Suy ra I 2 l2 k 3 2 I 2 l2 k 2  I 2 (2.80) P m d sin 3 d m 0 m R bx 2 3 bx 32 r 0 0 0 12 0 2 Trong đó 2 2 (2.81) lk 0 2 0 1 R bx 6 0 3 0  Rbx - trở bức xạ của lưỡng cực điện Đặt (2.82) 0 zc [] 0 zc - trở sóng của môi trường Trong chân không hoặc không khí, ta có  =  = 1, do đó  0 z c0 120 377   0 48
2 2 2 1 1 R bx0 80 790    2 2 1 Pbx0 395Im W  2.6. Trường điện từ của lưỡng cực từ Lưỡng cực từ là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của anten Thí dụ về lưỡng cực từ, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng từ biến đổi do nguồn cung cấp bên ngoài. Cách làm tương tự như đối với lưỡng cực điện hoặc áp dụng nguyên lí đối lẫn và trong các công thức (2.68) và (2.70) thay H bằng E , thay E bằng H , thay  bằng -  và thay Im bằng IMm ikr (2.83) IMm l 1 e Em 0 ik sin  4 r r ikr (2.84) IMm l e 1 ik 1 2 ik m H 2r0 2 cos 0 2 k sin  4 i0 r r r r r E E H E E E I Theo (2.83) và (2.84) cho thấy trường bức xạ của lưỡng cực từ cũng là sóng cầu, E , H ~ r,  E , H có tính định hướng trong không gian 49
Vai trò của điện trường và từ trường lưỡng cực từ so với của lưỡng cực điện thay thế cho nhau. Vì vậy cấu trúc đường sức của chúng là giống nhau với E và H đổi chỗ cho nhau 2.6.1 Trường điện từ của vòng dây Nhận xét: trong thực tế, người ta có thể tạo ra trường điện từ xung quanh 1 vòng dây nhỏ mảnh có dòng điện biến đổi I m chạy qua tương tự như lưỡng cực từ. Vòng dây dẫn này gọi là anten khung nguyên tố. Giả sử: - mặt phẳng vòng dây nằm trùng với mặt phẳng vĩ tuyến của hệ toạ độ cầu - kích thước vòng dây rất nhỏ so với bước sóng của trường điện từ do nó phát ra it - dòng điện biến đổi điều hoà theo thời gian với tần số góc : I I m e với biên độ và pha dọc theo đường dây có giá trị như nhau Theo (2.61) thế chậm tại điểm Q thuộc trường điện từ do vòng dây phát ra (2.85) 0 J m ikr AEm e dV 4 V r Trong đó: r’ là khoảng cách từ điểm Q đến yếu tố vi phân dl Ta có: (2.86) dV Sdl , JmdV JmSdl Im dl Suy ra ikr (2.87) 0 Im e AEm dl 4 l r Vì dòng điện chạy trong dây dẫn chỉ theo phương vĩ tuyến nên thế chậm AEm của nó cũng chỉ có 1 thành phần hướng theo phương vĩ tuyến Thí dụ: 50
Xét 2 yếu tố vi phân dl của vòng dây đặt đối xứng với nhau qua mặt phẳng P đi qua điểm tính trường Q và vuông góc với mặt phẳng vòng dây (mặt phẳng P gọi là mặt phẳng kinh tuyến). Mỗi một yếu tố vi phân dl lại phân tích thành 2 yếu tố vi phân: dl // (P) và d l(P). Nhận xét: - thế vector do các yếu tố vi phân dl tạo ra tại Q có cùng giá trị nhưng hướng ngược nhau nên bị triệt tiêu - thế vector do các yếu tố vi phân dl tạo ra tại Q có cùng giá trị và cùng hướng với nhau nên tăng gấp đôi. Q P  dl dl’ r R r’ dl’’ O a’ O a a’ dl I dl’ I R dl’’ b Do đó tích phân trong (2.87) chỉ cần lấy theo yếu tố vi phân dl . Hơn nữa do tính đối xứng của dl đối với mặt phẳng P nên tích phân trên chỉ cần lấy theo nửa vòng dây và nhân đôi Ta có: dl’ = dl cos = Rcos d (2.88) Trong đó: R là bán kính của vòng dây Suy ra: ikr (2.89) 0 Im R e cos AEm d 0 2 V r 51
Trong đó: 0 là vector đơn vị hướng theo phương vĩ tuyến, theo hình vẽ trên ta có các hệ thức sau r 2 aQ2 ab2 , ab2 Oa 2 R 2 2ROa cos (2.90) Hay r 2 aQ2 Oa 2 R 2 2ROa cos r 2 R 2 2Rr sin cos (2.91) Trong đó: r là khoảng cách từ O đến Q Theo giả thiết r’ >> R nên cho R2 = 0 và từ (2.91) ta có 2R r r 2 2Rr sin cos r 1 sin cos r R sin cos r Suy ra 1 1 1 1 R r r R sin cos r 1 sin cos r 1 R 1 R 1 sin cos sin cos r r r r 2 Và e ikr e ik r R sin cos e ikreikR sin cos e ikr cos kR sin cos isin kR sin cos Khi  >> R thì kR << 1, do đó có thể xem cos kR sin cos 1 sin kR sin cos kR sin cos Suy ra e ikr e ikr 1 ikR sin cos Thay vào tích phân trong (2.89) ta có e ikr e ikr 1 (2.92) cos d sin  ik V r 2 r r Và 52
ikr (2.93) 0 Im e 1 2 AEm 0 sin  ik R 4r r 2 ikr (2.94) Im R e 1 ik 1 2 ik m H 2r0 2 cos 0 2 k sin  4 r r r r r 2 2 ikr (2.95) 1 Im R k le 1 Em  Hm 0 sin  ik i0 4i0r r Dễ thấy rằng trường bức xạ của vòng dây dẫn có tính chất tương tự như trường bức xạ của lưỡng cực từ và sẽ hoàn toàn giống nhau nếu thoả mãn điều kiện sau (2.96) IMm l 2  Im R i 0 Đặt (2.97) IMm l PM q l Mm i PM gọi là moment lưỡng cực từ Đặt 2 (2.98) PMv S00 Im S S00 Im R PMv gọi là moment từ của vòng dây dẫn có dòng điện Im và diện tích S Khi đó trường bức xạ của lưỡng cực từ và vòng dây dẫn là tương đương nhau (2.99) PM PMv Từ các biểu thức (2.94) và (2.95) ta tính được thành phần trường bức xạ của vòng dây ở vùng xa là 53
I R 2k 2 (2.100) H m sin cos t kr  4r 2 2 ImR k 0 E sin cos t kr 4r 0 Công suất bức xạ và trở bức xạ của vòng dây được tính là I2 (2.101) P m R bxv 2 bxv 2 (2.102) 8 3 S R bx zc 3  2.7. Trường điện từ của yếu tố diện tích mặt Xét trường bức xạ của yếu tố vi phân diện tích mà trên đó có dòng điện và từ mặt chảy vuông góc với nhau. Giả sử yếu tố vi phân diện tích nằm trong mặt phẳng xOy có dạng hình chữ nhật kích thước a, b Dòng điện mặt hướng theo trục x: IESx bthiên điều hoà theo thời gian Dòng từ mặt hướng theo trục y: IMSy bthiên điều hoà theo thời gian S <<  nên biên độ và pha của dòng điện và từ mặt là giống nhau trên toàn bộ yếu tố vi phân diện tích S, còn gọi là nguyên tố Huyghens z b y O IMSy a IESx x Áp dụng các nghiệm thế chậm cho trường bức xạ của yếu tố vi phân diện tích với dòng điện mặt IESx và dòng từ mặt IMSy ta có 54
ikr (2.103) 0 IESxm e AExm dS 4 S r ikr (2.104) 0 IMSym e AMym dS 4 S r Vì dòng điện mặt I ESx hướng theo trục x nên AExmcũng chỉ có thành phần này, tương tự dòng từ mặt I MSy hướng theo trục y nên AMym cũng chỉ có thành phần này Theo giả thiết, biên độ và pha của dòng điện và từ mặt là không đổi trên toàn yếu tố vi phân diện tích, khoảng cách từ điểm quan sát trường đến yếu tố diện tích lớn hơn rất nhiều so với kích thước của yếu tố diện tích, do đó có thể đưa các biểu thức trong dấu tích phân của (2.103) và (2.104) ra ngoài ikr (2.105) 0SIESxm e AExm 4 r ikr (2.106) 0SIMSym e AMym 4 r Trong đó: r là khoảng cách từ điểm quan sát trường đến gốc toạ độ S = ab là diện tích của yếu tố mặt Các thành phần của thế vector trong hệ toạ độ cầu và hệ toạ độ Decac liên hệ với nhau như sau Ar A x sin cos A y sin sin Az cos A A x coscos A y cossin Az sin  (2.107) A A x sin A y cos Do chỉ có AExm và AMym khác 0, ta có AErm AExm sin cos 55
(2.108) AEm AExm coscos AE m AExm sin AMrm AMym sin sin (2.109) AMm AMym cossin AM m AMym cos Áp dụng các công thức (2.6) và công thức 1 của (2.15) cho (2.108) và (2.109), ta được 1 H  AEm 0 1 E  AMm 0 Khảo sát trường bức xạ của yếu tố diện tích ở vùng xa 1 Khi tính trường ta chỉ quan tâm đến số hạng suy giảm , bỏ qua các số r n 1 hạng bậc cao hơn . Do đó khi tính rot trong hệ toạ độ cầu của (2.108) và r  Am  A m (2.109) ta chỉ giữ lại các thành phần với đạo hàm và  được giữ 0 r 0 r lại, còn các số hạng bậc cao hơn được bỏ qua và ta có ikSIESxm coscos ikr HE m e 4 r (2.110) ikSIESxm sin ikr HEm e 4 r ikSIMSym cossin ikr EM m e 4 r 56
ikSIMSym cos ikr EMm e 4 r Sử dụng các phương trình Maxwell thứ nhất và thứ hai 1 EEm  HEm i0 1 HMm  EMm i0 cho các biểu thức (2.110) ta có ik 0 0 SIESxm sin ikr EE m e 4 r (2.111) ik 0 0 SIESxm coscos ikr EMm e 4 r ikSIMSym cos ikr HM m e 0 0 4 r ikSIMSym cossin ikr HMm e 0 0 4 r Lấy tổng các biểu thức của (2.110) và (2.111) theo các thành phần của E  và E ta được 0 0 ikSIESxm sin ikr E m EE m EM m e 1 cos 4 r (2.112) I Trong đó: MSym IESxm 0 0 Tương tự, theo các thành phần của H và H ta được ikSIMSym cos ikr 1 H m HE m HM m e 1 cos 0 0 4 r 57
(2.113) ikSIESxm sin ikr Hm HEm HMm e 1 cos 4 r Nhận xét: - Các công thức (2.112) và (2.113) cho thấy rằng trường bức xạ ở vùng xa của yếu tố vi phân diện tích trong mặt phẳng kinh tuyến có đặc trưng hướng dạng đường cong cardioid - Trường bức xạ của nguyên tố Huyghens cũng tương tự như trường bức xạ của lưỡng cực điện và lưỡng cực từ đặt vuông góc và cùng chung điểm giữa z C(1+ cos) mặt phẳng xy 58
Chương 3 SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG Sóng phẳng: mặt đồng pha là mặt phẳng Sóng trụ: mặt đồng pha là mặt trụ Sóng cầu: mặt đồng pha là mặt cầu Trong thực tế, sóng điện từ được tạo ra từ các nguồn nhân tạo đều là sóng trụ và sóng cầu. Sóng phẳng chỉ là mẫu lí tưởng của sóng điện từ. Mục tiêu: khảo sát các tính chất của sóng điện từ phẳng lan truyền trong môi trường đồng nhất đẳng hướng và không đẳng hướng, sự phản xạ và khúc xạ tại các mặt phân cách, sự phân cực và các hiệu ứng khác. Nguồn sóng điện từ là điều hoà với  và rất xa với điểm khảo sát. 3.1. Nghiệm phương trình sóng đối với sóng phẳng 3.1.1. Sóng phẳng đồng nhất TEM (transverse electromagnetic wave) - Nếu trong mặt đồng pha của sóng điện từ có biên độ của E và H bằng nhau tương ứng tại mọi điểm thì sóng phẳng được gọi là đồng nhất - Phương trình Maxwell của sóng phẳng điều hoà trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng với các biên độ phức của E và H trong hệ toạ độ Decac có dạng  Hzm  H ym i E xm (1) y z P  H xm  Hzm i E ym (2) z x P  H ym  H xm i E zm (3) x y P  E zm  E ym i H xm (4) y z 0 59
 E xm  E zm i H ym (5) z x 0  E ym  E xm i H zm (6) x y 0 y z O l P Trong đó: Oz  phương truyền sóng mặt phẳng đồng pha và đồng biên của sóng phẳng chính là mặt phẳng P // mặt phẳng xOy và có phương trình z = l  1 i P 0 0 E và H có giá trị như nhau trên toàn mặt phẳng P và x, y; chỉ z, t. Khi đó: E E H H 0 (3.1) x y x y Ezm Hzm 0 (3.2) Vậy: sóng phẳng đồng nhất lan truyền trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng không có các thành phần dọc theo phương truyền sóng z của E và H . Các E và H nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng. Sóng phẳng đồng nhất có tính chất như vậy gọi là sóng điện từ ngang, kí hiệu là sóng TEM. 3.1.2. Nghiệm phương trình sóng Từ các phương trình (1), (2), (4) và (5) ta có: 60
2  E xm 2 k E xm 0 (7) z2 P 2  E ym 2 k E ym 0 (8) z2 P 2  H xm 2 k H xm 0 (9) z2 P 2  H ym 2 k H ym 0 (10) z2 P Trong đó:  k 1 i P  P0 0 0 - số sóng phức 0 Nhận xét: - vì các phương trình sóng (7), (8), (9) và (10) giống nhau nên chỉ cần tìm nghiệm của một trong số các phương trình sóng này. - đây là các phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuần nhất có hệ số không đổi, do đó nghiệm của phương trình sóng (7), chẳng hạn, có dạng là ikPz ikPz E xm E xmt e E xmpx e (3.3) y z O l P Trong đó: ik Pz - Exmt e biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z > 0: sóng tới tại mặt phẳng P 61
ikPz - E xmpx e biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z < 0: sóng phản xạ tại mặt phẳng P - Exmt , E xmpx là các biên độ phức của sóng tới và sóng phản xạ tương ứng Tương tự ta có nghiệm của các phương trình sóng (8), (9) và (10) là ikPz ikPz E ym E ymt e E ympx e ikPz ikPz H xm H xmt e H xmpx e (3.4) ikPz ikPz H ym H ymt e H ympx e Suy ra ik P z ik P z ik P z ik P z E m i E xm j E ym i E xmt e E xmpx e j E ymt e E ympx e (3.5) ik P z ik P z ik P z ik P z H m i H xm j H ym i H xmt e H xmpx e j H ymt e H ympx e Để tìm mối liên hệ giữa Em và Hm cho sóng tới và sóng phản xạ, bằng cách quay hệ toạ độ Decac sao cho trục x //E , do đó trục y // H , ta có y Hm Hym E xm O x Em E m i E xm j E ym i E xm i E m vì E ym 0 (3.6) H m i H xm j H ym j H ym j H m vì Hxm 0 Từ phương trình Maxwell (1), điều kiện (3.6) và các nghiệm (3.3), (3.4) ta có mối liên hệ giữa Em và Hm cho sóng tới và sóng phản xạ như sau 62
1  H ymt 0 E mt E xmt H ymt ZP H mt iP z P (3.7) 1  H ympx 0 E mpx E xmpx H ympx ZP H mpx iP z P Trong đó: 0 0 1 ZP Z (3.8) P 0 1 itgE 1 itgE Từ (3.7) dạng của Em và Hm cho sóng phẳng TEM được viết lại ikPz ikPz Em Z Hmt k e Hmpx k e P (3.9) ikPz ikPz Hm Hmt e Hmpx e Hoặc it i t k P z i t k P z E E m e Z H mt k e H mpx k e P (3.10) it i t k P z i t k P z H H m e H mt e H mpx e x l   O z y Để đơn giản trong những phần sau ta chỉ xét đối với sóng tới lan truyền trong môi trường rộng vô hạn. Dạng của Em và Hm của sóng phẳng TEM lan truyền dọc theo phương z được biểu diễn trong (3.9) hoặc (3.10). Tương tự theo phương l bất kỳ hợp với Ox, Oy và Oz tạo thành các góc ,  và . Ta có: 63
i t kPl (3.11) H t Hmt e Hmt nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương l. Và i t kPl E t ZP Hmt l e (3.12) l là vector đơn vị của phương truyền sóng l. Số sóng phức kP và trở sóng phức ZP có thể viết lại k P  i i (3.13) ZP ZP e Trong đó ,  và  là các số thực là hệ số tổn hao của môi trường  là hệ số pha của sóng  argument của trở sóng phức Khi đó , , ZP và  biểu diễn qua , ,  và thời gianE như sau 1 1    1 tg 2 (3.14) 0 0 2 2 E 1 1     1 tg 2 (3.15) 0 0 2 2 E Z ZP 4 2 (3.16) 1 tg E 1 1 tg 2  arctg arctg E (3.17)  2 1 1 tg E 64
Vận tốc pha vph của sóng phẳng chính là vận tốc dịch chuyển mặt đồng pha của nó. Khi đó theo (3.10) và (3.13), giả sử môi trường không tổn hao = 0, mặt đồng pha của sóng tới có dạng  t z const (3.18) Suy ra d dt dz 0 (3.19) Cho nên vận tốc pha vph được xác định bởi dz  1 1 v v . ph dt    1 1 1 1 (3.20) 0 0 1 tg 2 1 tg 2 2 2 E 2 2 E Trong đó v là vận tốc truyền sóng phẳng trong môi trường rộng vô hạn Vector Poynting trung bình của sóng tới hướng theo phương truyền z được tính là 2 1 * 1 2 1 Emt  tb re re Emt H mt k ZP Hmt k (3.21) 2 2 2 ZP Lưu ý: Vì E và H đồng pha nên  = 0 ei 1 3.2 Sóng phẳng đồng nhất trong các môi trường đồng nhất và đẳng hướng 3.2.1. Sóng phẳng đồng nhất trong điện môi lí tưởng Xét sóng điện từ phẳng đồng nhất truyền dọc theo trục z > 0 (sóng tới) trong điện môi lí tưởng đồng nhất, đẳng hướng và rộng vô hạn. Vì môi trường truyền sóng điện từ là điện môi lí tưởng nên  = 0,  1 i  P 0 0 , kP = k và ZP = Z. Từ các biểu thức (3.14) – 0 (3.21) ta có 65
0, 0  k  00  Z Z 0 P  0 (3.22) 1 vph v 00 2 1 2 1 E  Z H mt tb 2 mt 2 Z Em và Hm có dạng là iz Hm Hmt e (3.23) iz Em Z Hmt k e Hoặc it i t z H H m e H mt e (3.24) it i t z E E m e Z H mt k e Nhận xét: E và H vuông góc với nhau và cùng vuông góc với phương truyền sóng E và H luôn đồng pha và có biên độ không đổi dọc theo phương truyền sóng Vận tốc pha vph là hằng số bằng vận tốc truyền sóng trong môi trường Môi trường không tổn hao năng lượng, không tán sắc sóng điện từ, trở sóng Z là một số thực E H 66
3.2.2. Sóng phẳng đồng nhất trong môi trường dẫn điện Trong môi trường dẫn điện  0, số sóng và trở sóng là các đại lượng phức,  k 1 i i P   P0  0 0  0   Z 0 0 Z ei P   P P 1 i 0 0 Như đã nói ở trên chỉ xét đối với sóng tới, do đó theo (3.10) và (3.13) E và H có dạng i t k P z i t z i z i t z z H H mt e H mt e H mt e e i t k P z i i t z i z E Z H mt k e Z e H mt k e P P (3.25) i t z  z ZP H mt k e e x E m0 z E m E m0e z y Nếu môi trường có điện dẫn suất  rất lớn, chẳng hạn như kim loại, một cách gần đúng xem  , do đó thời gian  E >> 1 nên theo các biểu thức (3.14) – (3.21) ta có 67
2  1 tg E tgE 0 1 1      1 tg 2  0 0 0 2 2 E 2 1 1       1 tg2 0 0 0 2 2 E 2  (3.26) Z Z 0 P    2 v ph  1 1    1 tg 2 0 0 0 2 2 E 1 1 tg 2  arctg arctg E arctg 1  2 4 1 1 tg E góc tổn hao 0 nên sóng điện từ bị tổn hao năng lượng, biên độ của E và H suy giảm theo quy luật hàm mũ e- z dọc theo phương truyền sóng z. E và H lệch pha nhau một góc  = argZP v ph là hàm số phụ thuộc tần số , có nghĩa là  thay đổi trong quá trình lan truyền sóng điện từ sóng phẳng trong môi trường dẫn điện bị tán sắc. Do đó môi trường dẫn điện là môi trường tán sắc. 3.3. Hiệu ứng bề mặt trong vật dẫn Nhận xét:   Theo công thức 0 nhận thấy rằng 2 Trong vật dẫn điện tốt  rất lớn và nếu tần số sóng điện từ  càng cao thì càng lớn. Do đó biên độ của E và H suy giảm rất nhanh khi truyền vào bên trong vật dẫn, có nghĩa là sóng điện từ chỉ tồn tại một lớp rất mỏng sát bề mặt của vật dẫn điện tốt. 68
Dòng điện cao tần chạy trong vật dẫn cũng chỉ chạy ở lớp mặt ngoài. Chẳng hạn f = 1 kHz thì d = 2 mm và f = 100 kHz thì d = 0,2mm. Ứd: lưỡng kim thép – Cu làm dây dẫn dòng điện cao tần Thép B B   Cu B B c  c  Hiện tượng sóng điện từ hoặc dòng điện cao tần khi truyền trong vật dẫn điện tốt chỉ tập trung ở một lớp mỏng bề mặt gọi là hiệu ứng bề mặt hay hiệu ứng skin Đại lượng đặc trưng cho hiệu ứng bề mặt là độ thấm sâu của trường hay độ dày lớp skin , đó là khoảng cách sóng điện từ đi từ bề mặt vào sâu bên trong vật dẫn mà tại đó biện độ của E và H giảm đi e = 2,718 lần so với giá trị tại bề mặt. Theo (3.25) và (3.26) ta có z Em Em0e z (3.27) Hm Hm0e Trong đó: Em0 và Hm0 là biên độ của E và H tại bề mặt vật dẫn (z = 0). Theo định nghĩa độ thấm sâu của trường ta có E m0 e  e (3.28) Em Suy ra 69
1 1 2  0 0 (3.29) 2 Nhận xét: Trong công thức (3.29),  và  là các tham số điện của vật dẫn điện. Độ thấm sâu của trường  tỉ lệ nghịch với căn bậc hai của tần số  và điện dẫn suất  của vật dẫn. Chẳng hạn Ag, Cu, Al có độ thấm sâu của trường rất bé cỡ  = 0,5 m ở dải sóng vô tuyến f = 10 6 Hz. Do đó các kim loại này dùng làm màn chắn sóng điện từ rất tốt. Do có h/ứ bm nên dòng điện cao tần có cường độ phân bố không đều trong cùng một tiết diện ngang của dây dẫn, do đó trở kháng cũng không đều nhau tương ứng. Để tiện tính toán người ta đưa ra khái niệm trở kháng mặt riêng của vật dẫn Trở kháng mặt riêng của vật dẫn, kí hiệu ZS, là tỉ số điện áp của trường rơi trên một đơn vị chiều dài theo chiều dòng điện và giá trị dòng điện chạy qua một đơn vị chiều rộng đặt vuông góc với nó Xét vật dẫn phẳng, rộng vô hạn và bề dày đủ lớn. Chọn hệ toạ độ Decac có trục z trùng với phương truyền sóng, mặt phẳng vật dẫn trùng với mặt phẳng xOy.  x O E J y z 70
Giả sử E  Ox. Theo định luật Ohm ta có: E I JdS J dz E e i zdz m0 x m0 (3.30) S 0 0 i Lưu ý: Tích phân (3.30) được lấy từ 0 , mặt dù bề dày vật dẫn là hữu hạn nhưng dòng điện cao tần chỉ chạy trên lớp bề mặt rất mỏng nên bề dày vật dẫn có thể xem là vô hạn. Cường độ điện trường E tại bề mặt vật dẫn bằng điện áp rơi trên một đơn vị chiều dài dọc theo chiều dòng điện nên ta có U E m0 0 ZS 1 i 1 i R S iS I E m0  2  1 i (3.31) do =  Trong đó:  R 0 là điện trườngở mặt riêng của vật dẫn. (3.32) S 2 RS chính là nguyên nhân làm tổn hao sóng điện từ trong vật dẫn. Năng lượng sóng điện từ biến thành nhiệt năng đốt nóng vật dẫn. S là phần kháng của trở kháng mặt riêng của vật dẫn ZS. Nhận xét: Biểu thức (3.32) cho thấy rằng muốn giảm tổn hao năng lượng sóng điện từ truyền dọc vật dẫn cần phải sử dụng các kim loại dẫn điện tốt như Au, Ag, Cu 3.4. Sự phân cực của sóng phẳng Sóng điện từ có các vector E và H dao động theo phương xác định gọi là sóng phân cực. Ngược lại nếu các vector E và H dao động theo mọi phương ngẫu nhiên gọi là sóng không phân cực. Sóng điện từ phẳng có nhiều dạng phân cực như: phân cực elip, phân cực tròn và phân cực thẳng. 71
3.4.1. Phân cực elip Trong quá trình truyền sóng nếu ngọn của vector E vạch một hình elip trong không gian gọi là sóng phân cực elip. Sóng phân cực elip chính là tổng hợp của 2 sóng thành phần cùng tần số, cùng phương truyền, nhưng phương của E vuông góc nhau. Giả sử có 2 sóng phẳng như sau: E1 iEmx cos t z (3.33) E2 jEmy cos t z Sóng tổng hợp có dạng 2 2 E E E E 1 2 2cos 1 2 sin 2 (3.34) E mx E my E mx E my Đây là phương trình mô tả đường elip trong mặt phẳng toạ độ (E1, E2). Trục lớn của elip hợp với trục Ox một góc  được tính theo: 2E mx E my tg2 2 2 cos (3.35) E mx E my Trong đó: Emx > Emy Trong quá trình truyền sóng theo trục z, ngọn của vector E tổng hợp vạch nên một đường elip xoắn trong không gian 3.4.2. Phân cực tròn Nếu 2 sóng thành phần có biên độ bằng nhau: E mx = Emy = Em và lệch pha nhau một góc . Suy ra sin 2 1 , cos 0 và phương trình (3.34) trở 2 thành 2 2 2 E1 E 2 E m (3.36) Đây là phương trình mô tả đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (E1, E2). Trong quá trình truyền sóng theo trục z, ngọn của vector E tổng hợp vạch nên một đường tròn xoắn trong không gian, gọi là sóng phân cực tròn. 72
Nếu nhìn theo chiều truyền sóng vector E tổng hợp quay thuận chiều kim đồng hồ, ta có sóng phân cực tròn quay phải. Nếu nhìn theo chiều truyền sóng vector E tổng hợp quay ngược chiều kim đồng hồ, ta có sóng phân cực tròn quay trái. Chiều quay của vector E tổng hợp phụ thuộc vào dấu của góc lệch pha 2 3.4.3. Phân cực thẳng (tuyến tính) Trong quá trình truyền sóng theo trục z, vector E luôn hướng song song theo một đường thẳng gọi là sóng phân cực thẳng hay sóng phân cực tuyến tính. trường hợp này góc lệch pha của 2 sóng thành phần có giá trị = 0, , 2 , Suy ra sin = 0, cos = 1 và phương trình (3.34) trở thành 2 E E 1 2 0 (3.37) E mx E my Hay E my E 2 E1 (3.38) E mx Đây là phương trình mô tả đường thẳng đi qua gốc toạ độ hợp với trục Ox một góc ’ được tính theo E tg my (3.39) E mx Nhận xét: Tuỳ thuộc vào hướng của vector E người ta còn phân thành 2 trường hợp phân cực ngang và phân cực đứng. x Emx E ’ O Emy y 73
3.5. Sự phản xạ và khúc xạ của sóng phẳng Mục tiêu phần này nghiên cứu qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ tại mặt phẳng phân cách rộng vô hạn giữa 2 môi trường có tham số điện khác nhau. Để đơn giản ta chỉ xét đối với sóng phẳng tới phân cực thẳng ngang và đứng. 3.5.1. Sóng tới phân cực ngang Nếu vector E của sóng tới vuông góc với mặt phẳng tới, gọi là sóng phân cực ngang. Trong trường hợp này vector E của sóng tới sẽ song song với mặt phẳng phân cách 2 môi trường. Tìm qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ ? Chọn hệ toạ độ Decac có mặt xOy  mặt phẳng phân cách 2 môi trường, trục z trùng với pháp tuyến của mặt phẳng phân cách 2 môi trường. Hai môi trường là điện môi có các tham số điện 1, 1, 2, 2 tương ứng. Vì sóng tới là sóng phẳng truyền theo phương z t, lập với pháp tuyến z một góc t nên có thể quay trục toạ độ quanh trục z để cho trục x của nó chỉ phương của vector E của sóng tới. Tại mặt phẳng phân cách sẽ có sóng phản xạ lại môi trường 1 với góc phản xạ phản xạ truyền theo hướng zpx, còn sóng khúc xạ tại mặt phẳng phân cách với góc khúc xạ  đi vào môi trường 2 theo phương z kx. Theo h.vẽ nhận thấy rằng E của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ chỉ có 1 thành phần theo trục x, còn H của các sóng trên có 2 thành phần theo trục y và z. Áp dụng các biểu thức (3.4) và (3.5) ta có: Sóng tới ik1z t E1 i E1mx e (3.40) ik1z t H1 j H1my k H1mz e Sóng phản xạ ik1z px E 1 i E 1mx e (3.41) ik1z px H 1 j H 1my k H 1mz e 74
Sóng khúc xạ ik 2 z kx E 2 i E 2mx e (3.42) ik 2 z kx H 2 j H 2my k H 2mz e Trong đó: k1  1010 và k 2  2020 là số sóng của môi trường 1 và 2 tương ứng. Các phương truyền sóng zt, zpx và zkx biểu diễn qua x, y, z như sau: z t ysin t z cos t z px ysin px z cos px (3.43) z kx ysin  z cos y H1 zt E1 H 2 t  px z O zpx zk E 2 x E1 H1 Vì các môi trường đều là điện môi nên áp dụng điều kiện biên cho E và H tại mặt phẳng phân cách xOy (z = 0) ta có: E1 E1mx E 1mx E 2 E 2mx (3.44) H1 H1my H 1my H 2 H 2my Thay các biểu thức (3.40) - (3.43) vào (3.44) và cho z = 0 ta có: ik1y sin t ik1y sin px ik2y sin  E1mx e E 1mx e E2mx e (3.45) ik1y sin t ik1y sin px ik2y sin  H1my e H 1my e H2my e (3.45) luôn thoả mãn y ta lại có: 75
E1mx E 1mx E2mx (3.46) H1my H 1my H2my ik y sin eik1y sin t e 1 px eik2y sin  Từ biểu thức cuối của (3.46) suy ra: t px (3.47) k1 sin t k 2 sin  (3.48) Nhận xét: (3.47) mô tả định luật phản xạ sóng điện từ tại mặt phẳng phân cách. (3.48) mô tả định luật khúc xạ sóng điện từ. Đặt (3.49) n1 10 và n 2 20 lần lượt là chiết suất của môi trường 1 và 2. Giả sử 1 = 2 =  thì định luật khúc xạ của sóng điện từ phẳng có dạng giống như trong quang học n1 sin t n 2 sin  (3.50) Để mô tả giữa các biên độ phức của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ người ta đưa ra khái niệm hệ số phản xạ và hệ số khúc xạ. Hệ số phản xạ (reflective modulus) là tỉ số giữa biên độ phức của sóng phản xạ và sóng tới tính cho E , kí hiệu R. Hệ số khúc xạ (refractive modulus) là tỉ số giữa biên độ phức của sóng khúc xạ và sóng tới tính cho E , kí hiệu T. Đối với sóng phân cực ngang ta có: E 1m E 2m R ng và Tng (3.51) E1m E1m Theo hvẽ đối với sóng phân cực ngang ta có: E1m E1mx , E 1m E 1mx E 2m E 2mx , H1my H1m cos t (3.52) H 1my H 1m cos t , H 2my H 2m cos 76
và E1m H1m Z1 E 1m H 1m (3.53) Z1 E2m H2m Z2 10 20 Trong đó: Z1 và Z2 là trở sóng của môi trường 1 và 2 10 20 tương ứng. Thay các biểu thức (3.52) và (3.53) vào (3.46) rồi chia cả 2 vế của chúng cho E1m ta có 1 R ng Tng cos t cos (3.54) 1 R ng Tng Z1 Z2 Suy ra: Z cos Z cos R 2 t 1 ng Z cos Z cos 2 t 1 (3.55) 2Z2 cos t Tng Z2 cos t Z1 cos (3.55) gọi là công thức Fresnel Góc khúc xạ  có thể tính được qua góc tới t theo định luật khúc xạ (3.48) như sau: 2 k  1 1 2 cos 1 sin t 1 sin t (3.56) k 2  2 Nếu 2 môi trường là điện môi có 1 = 2 =  thì (3.55) được viết lại 77
1 2 1 cos t  2 1 sin t  2 R ng 1 2 1 cos t  2 1 sin t  2 (3.57) 2 1 cos t Tng 1 2 1 cos t  2 1 sin t  2 3.5.2. Sóng tới phân cực đứng Nếu vector E của sóng tới nằm trong mặt phẳng tới, gọi là sóng phân cực đứng. Trong trường hợp này vector H của sóng tới sẽ song song với mặt phẳng phân cách 2 môi trường. Tìm qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ ? Chọn hệ toạ độ Decac có mặt xOy  mặt phẳng phân cách 2 môi trường, trục z trùng với pháp tuyến của mặt phẳng phân cách 2 môi trường và trục x chỉ phương của vector H của sóng tới. y H1 zt E1 t  px z O H 2 E zk 1 zpx x E 2 H1 Theo h.vẽ nhận thấy rằng H của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ chỉ có 1 thành phần theo trục x, còn E của các sóng trên có 2 thành phần theo trục y và z. Tiến hành tương tự như đối với sóng phân cực ngang ta có: 78
Z cos Z cos R 1 t 2 đ Z cos Z cos 1 t 2 (3.58) 2Z2 cos t Tđ Z1 cos t Z2 cos Tđ và Rđ liên hệ với nhau theo công thức: Z1 1 R đ Tđ (3.59) Z2 Nếu 2 môi trường là điện môi có 1 = 2 =  thì (3.58) được viết lại 1 2 2 cos t 1 1 sin t 2 R đ 1 2 2 cos t 1 1 sin t 2 (3.60) 2 1 cos t Tđ 1 2 2 cos t 1 1 sin t 2 3.5.3. Sóng tới vuông góc với mặt phẳng phân cách Khi sóng tới vuông góc với mặt phẳng phân cách 2 môi trường, tức là t = 0, theo định luật khúc xạ ta có cos = 1 và do đó góc khúc xạ  = 0. Hệ số khúc xạ và hệ số phản xạ trong các biểu thức của (3.55) và (3.58) có dạng đơn giản như sau: Z Z 2Z R 2 1 , T 2 ng Z Z ng Z Z 2 1 2 1 (3.61) Z1 Z2 2Z2 R đ , Tđ Z1 Z2 Z1 Z2 3.5.4. Sự phản xạ toàn phần Nếu môi trường 1 có chiết suất lớn hơn môi trường 2 n 1 > n2, theo (3.50) ta có: n1 sin  sin t (3.62) n 2 79
có nghĩa là  > t. Khi đó ta sẽ có góc tới giới hạn 0 0 thì sóng khúc xạ không đi vào môi trường 2 mà quay trở lại môi trường 1 (ứng với  > ), gọi là hiện tượng phản xạ toàn phần. Góc 2 0 gọi là góc giới hạn được xác định theo công thức: n 2 0 arcsin (3.64) n1 Hiện tượng phản xạ toàn phần được ứng dụng để truyền ánh sáng trong sợi quang. 3.5.5. Sự khúc xạ toàn phần Nếu sóng tới truyền đến mặt phẳng phân cách vào môi trường 2 mà không phản xạ trở lại môi trường 1 gọi là sự khúc xạ toàn phần. Trong trường hợp này hệ số phản xạ bằng 0. Góc tới ứng với hiện tượng khúc xạ toàn phần gọi là góc Brewster, kí hiệu là b. Từ (3.55) và (3.58) ta có góc Brewster đối với 2 trường hợp phân cực ngang và đứng của sóng tới như sau: 1 2 R ng 0 Z2 cos b Z1 1 sin b 0 2 (3.65) 1 2 R đ 0 Z1 cos b Z2 1 sin b 0 2 Nhận xét: - 2 phương trình trong (3.65) không thể có nghiệm đồng thời, tức là chỉ có 1 trong 2 trường hợp xảy ra hiện tượng khúc xạ toàn phần. LT và TN đã chỉ ra 80
rằng chỉ có sóng phân cực đứng mới có hiện tượng khúc xạ toàn phần và góc Brewster b được xác định như sau: 1 tg b (3.66) 2 - Các kết quả đã nhận được đối với sóng phản xạ và khúc xạ tại mặt phẳng phân cách 2 môi trường là điện môi cũng đúng đối với các môi trường bất kì có điện dẫn suất  0. Khi đó các công thức Fresnel trong (3.55) và (3.58) chỉ cần thay  = P và Z = ZP. 3.6. Điều kiện biên gần đúng Leontovic Xét sóng phẳng khúc xạ tại mặt phẳng phân cách 2 môi trường từ điện môi (môi trường 1) vào môi trường có điện dẫn suất lớn 2 (môi trường 2), ta có: k1 k P2 hay 1 2 tgE2 (3.67) Theo định luật khúc xạ (3.48) ta có: 1 sin  sin t (3.68) 2 tgE2 Như vậy: với mọi góc tới t khi thoả mãn điều kiện (3.67) thì góc khúc xạ  0, có nghĩa là sóng khúc xạ truyền vào môi trường có điện dẫn suất lớn theo phương pháp tuyến với mặt phẳng phân cách 2 môi trường không phụ thuộc vào góc tới t. Nếu chọn trục z trùng với phương pháp tuyến của mặt phẳng phân cách thì E và H của sóng khúc xạ trong môi trường 2 có dạng: H2 0H2 (3.69) E2 0 k ZP2H2 0 k E2 Trong đó: - 0 là vector đơn vị tiếp tuyến với mặt phẳng phân cách 2 môi trường - H2, E2 là các thành phần tiếp tuyến của H và E của sóng khúc xạ ở sát mặt phẳng phân cách 81
Theo điều kiện biên tổng quát tại mặt phẳng phân cách ta có: E E 1 2 (3.70) H1 H2 Suy ra: E1 ZP2H1 (3.71) (3.71) mô tả quan hệ giữa các thành phần tiếp tuyến của H và E của sóng điện từ phẳng truyền từ môi trường điện môi qua môi trường dẫn điện có điện dẫn suất lớn, gọi là điều kiện biên gần đúng Leontovic. Trong thực tế điều kiện biên gần đúng Leontovic được ứng dụng để tính tổn hao của sóng điện từ truyền dọc bề mặt các kim loại dẫn điện tốt. 3.7. Sóng phẳng trong môi trường không đẳng hướng 3.7.1. Môi trường không đẳng hướng Môi trường đẳng hướng có các tham số điện từ , ,  là các hằng số; E // D ; B //H theo các phương trình vật chất: D 0E , B 0H (3.72) Trong tn ngoài các môi trường đẳng hướng còn có các môi trường không đẳng hướng, ở đó theo các hướng khác nhau các tham số điện từ ,  có giá trị  khác nhau. ,  được biểu diễn dưới dạng tensor độ từ thẩm  và tensor độ điện  thẩm  như sau:        xx xy xz  xx xy xz  yx yy yz ,  yx yy yz (3.73) zx zy zz zx zy zz Các phương trình vật chất trong môi trường không đẳng hướng sẽ là:   D E , B H (3.74) Hay: 82
D x  xx E x  xy E y  xz E z D y  yx E x  yyE y  yzE z Dz zx E x zy E y zz E z (3.75) Bx  xx H x  xy H y  xz H z By  yx H x  yyH y  yzH z Bz zx H x zy H y zz H z Nhận xét: - (3.75) cho thấy rằng E #D ; B # H - Trong thực tế không tồn tại các môi trường mà cả ,  đều là tensor, chỉ có các môi trường không đẳng hướng như sau:  Môi trường có ,  là hằng số và độ từ thẩm là tensor  , gọi là môi trường không đẳng hướng từ quay. Thí dụ: ferrite bị từ hoá bởi từ trường không đổi là môi trường từ quay đối với sóng điện từ, được ứng dụng trong kỹ thuật siêu cao tần làm các tbị điều khiển sự truyền sóng.  Môi trường có ,  là hằng số và độ điện thẩm là tensor  , gọi là môi trường không đẳng hướng điện quay. Thí dụ: chất khí bị ion hoá (plasma) dưới tác dụng của từ trường không đổi là môi trường điện quay đối với sóng điện từ. Tầng ion của khí quyển trái đất cũng là môi trường điện quay đối với sóng điện từ, khi truyền sóng vô tuyến trong tầng ion cần xét đến tính không đẳng hướng của nó. 3.7.2. Tensor độ từ thẩm và tensor độ điện thẩm Ferrite chính là hợp chất Fe 3O4 và một số oxide kim loại khác như MnO, MgO, NiO vừa có tính chất điện môi vừa có tính chất sắt từ,  = 5 – 20,  = -4 -6 -1 10 – 10 (m) . Khi không có từ trường không đổi ,H0 = 0, ferrite biểu hiện như một môi trường đẳng hướng đối với sự truyền sóng điện từ. Khi có từ trường không đổi, H 00, ferrite biểu hiện tính chất của môi trường không đẳng 83
hướng từ quay đối với sự truyền sóng điện từ. Tensor độ từ thẩm có dạng như sau:  ia 0  x  ia  x 0 (3.76) 0 0 0 Trong đó:       1 M 0 x xx yy 0 2 2  M  xy  yx ia 0 a 0 2 2  M (3.77) e M 0 H 0 m 0 e 0 M m 0 Với: - e là điện tích của electron - m0 là khối lượng của electron - M là độ lớn của vector từ hoá của ferrite -  là tần số của sóng điện từ - M là tần số cộng hưởng từ quay - 0 là hằng số từ Khí bị ion hoá có một số lượng lớn các đ/tích tự do gồm electron và ion, gọi là môi trường plasma, có  rất lớn. Khi không có từ trường không đổi ,H0 = 0, plasma biểu hiện như một môi trường đẳng hướng đối với sự truyền sóng điện từ. Khi có từ trường không đổi, H 0 0, plasma biểu hiện tính chất của môi trường không đẳng hướng điện quay đối với sự truyền sóng điện từ. Tensor độ điện thẩm có dạng như sau: 84
 ib 0  x  ib  x 0 (3.78) 0 0  z Trong đó: 2     1 0 x xx yy 0 2 2  M xy yx ib M0 b 0 2 2  M 2 (3.79)    1 0 z zz 0 2  e M 0H0 m0 2 2 Ne 0 0m0 Với: - M là tần số cộng hưởng từ quay - e là điện tích của electron - m0 là khối lượng của electron - N là số electron trong 1 đơn vị thể tích - 0 là hằng số điện - 0 là hằng số từ -  là tần số của sóng điện từ 3.7.3. Sóng phẳng trong ferrite bị từ hoá Xét sóng phẳng điều hoà truyền dọc theo phương của vector từ trường không đổi từ hoá vật liệu ferrite rộng vô hạn. Chọn trục z trùng với phương truyền sóng và vector H0 , sử dụng tensor độ từ thẩm (3.76) và điều kiện ngang của sóng phẳng TEM (3.1) cho các phương trình Maxwell ta có: 85
 Hy iEx z  Hx iE y z Hz 0 (3.80)  E y i x Hx ia Hy z  Ex i x Hy ia Hx z Ez 0 Nghiệm của (3.80) có dạng: ikz E i Emx j Emy e (3.81) ikz H i Hmx j Hmy e Thay (3.81) vào (3.80) ta có: 2 2 2 k  x  a (3.82) Suy ra: k   x a (3.83) k   x a Khi đó vận tốc pha và trở sóng được tính theo công thức:  1 vph k   x a  1 v ph k   a x (3.84)  a Z x P   a Z x P  Các thành phần của H và E của sóng phẳng trong ferrite bị từ hoá: 86
Hy iHx (3.85) Ex ZP Hy E y ZP Hx Và Hy iHx (3.86) Ex ZP Hy E y ZP Hx Hay dưới dạng vector: i t k z H Hm i ij e E Z H k (3.87) P Hm Hmx Và i t k z H Hm i ij e E Z H k (3.88) P Hm Hmx Nhận xét: - (3.85) và (3.87) mô tả sóng phân cực tròn quay phải - (3.86) và (3.88) mô tả sóng phân cực tròn quay trái Như vậy: khi sóng phẳng truyền trong môi trường ferrite bị từ hoá bởi từ trường không đổi, môi trường này thể hiện các tham số điện từ khác nhau đối với sóng phân cực tròn quay phải và quay trái ứng với các số sóng k + và k-; vận + - + - tốc pha vph , vph và trở sóng ZP , ZP khác nhau. Do đó độ từ thẩm của môi 87
trường ferrite bị từ hoá có giá trị khác nhau đối với sóng phân cực tròn quay phải và quay trái như sau:  x a (3.89)  x a Nhận xét: khi sóng phân cực thẳng truyền trong môi trường ferrite bị từ hoá dọc theo từ trường không đổi H0 hướng theo trục z thì vector H của sóng điện từ sẽ quay đi một góc . Hiện tượng quay mặt phẳng phân cực của sóng phân cực thẳng truyền trong môi trường ferrite bị từ hoá gọi là h/ứng Faraday. Góc quay mặt phẳng phân cực của H trong 1 đơn vị chiều dài trong ferrite gọi là hằng số Faraday, kí hiệu là ’ và được tính theo công thức: k k    x a x a (3.90) 2 2 88
Chương 4 NHIỄU XẠ SÓNG ĐIỆN TỪ 4.1. Khái niệm Nếu trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có một hay một nhóm vật thể mà các kích thước của chúng cỡ bước sóng của sóng điện từ thì tại đó có thể xảy ra hiện tượng sóng phản xạ lại môi trường, sóng khúc xạ truyền vào các vật thể và sự đi vòng của sóng tới qua các vật thể làm cho cấu trúc của trường sóng tới thay đổi. Hiện tượng trên gọi là sự nhiễu xạ sóng điện từ tại các vị trí bất đồng nhất của môi trường. Các vật thể này gọi là vật chướng ngại, sóng tới gọi là sóng sơ cấp, sóng phản xạ gọi là sóng thứ cấp. Trường điện từ nhiễu xạ toàn phần là trường tổng hợp của các sóng sơ cấp, sóng thứ cấp và sóng khúc xạ Mục tiêu: xác định trường thứ cấp hoặc trường toàn phần tại một điểm bất kì trong không gian môi trường đồng nhất và đẳng hướng tại thời điểm t bất kì khi đã biết các tham số điện và dạng hình học của vật chướng ngại, và cấu trúc của trường sóng sơ cấp. Vì vật chướng ngại có dạng hhọc rất phức tạp và ở những vị trí khác nhau so với nguồn sơ cấp, do đó bài toán nhiễu xạ sóng điện từ chỉ có thể giải gần đúng. Trong thực tế người ta thường dùng các đại lượng vật lí như tiết diện phản xạ tương đương, tiết diện hấp thụ toàn phần đặc trưng cho sự nhiễu xạ sóng điện từ. Việc giải chính xác bài toán nhiễu xạ sóng điện từ chỉ có thể thực hiện đối với vật chướng ngại có dạng hhọc đơn giản như htrụ tròn nhỏ dài vô hạn, hcầu đặt rất xa nguồn sóng sơ cấp, có nghĩa là cấu trúc của nguồn và trường sóng sơ cấp không phụ thuộc vào vật chướng ngại. 4.2. Nhiễu xạ của sóng phẳng trên vật dẫn trụ tròn dài vô hạn 4.2.1. Bài toán 89
- Giả sử có một vật dẫn điện tốt dạng trụ tròn bán kính a dài vô hạn đặt trong kk và có sóng phẳng điều hoà truyền tới vuông góc với trục của vật dẫn. Xác định trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn. - Chọn hệ toạ độ trụ có trục z trùng với trục của vật dẫn và sóng phẳng điều hoà truyền dọc theo trục Ox và vuông góc với trục của vật dẫn. Khi đó sự phân cực của sóng tới có thể xảy ra 2 trường hợp: E t // Oz và E tOz. Nếu sóng tới là sóng phân cực thẳng bất kì của E t thì nó được xem như là tổng hợp của 2 trường hợp trên. Do đó việc giải bài toán nhiễu xạ sóng điện từ phẳng chỉ cần xét đối với dạng sóng phẳng phân cực đã nêu. z E H t t E t  t  t x H t E t // Oz E t  Oz 2a - Vì sóng tới vuông góc với z nên đối với trường sóng phản xạ ta có:  E,H 0 và các phương trình Maxwell có dạng: z  E mz i r H mr  0  E mz i H m (4.1) r 0 1   H mr r H m i0 E mz r r  90
và:  Hmz i r Emr  0  Hmz i Em (4.2) r 0 1   Emr r Em i00 Hmz r r  Nhận xét: - Hệ phương trình (4.1) chỉ gồm các thành phần E mz , H mr , H m và E mr = 0 (phương truyền sóng thứ cấp). Đây gọi là trường thứ cấp điện ngang hay từ dọc, kí hiệu là TE hoặc H, ứng với trường hợp sóng tới phân cực E mt // Oz. - Hệ phương trình (4.2) chỉ gồm các thành phần H mz , E mr , E m và H mr = 0 (phương truyền sóng thứ cấp). Đây gọi là trường thứ cấp từ ngang hay điện dọc, kí hiệu là TH hoặc E, ứng với trường hợp sóng tới phân cực E mOz.t - Hai hệ phương trình (4.1) và (4.2) có dạng tương tự nhau nên chỉ cần xét một trong 2 hệ phương trình trên là được, cụ thể là hệ phương trình (4.1). Vì vật dẫn điện tốt có  rất lớn nên trường sóng khúc xạ hầu như không tồn tại trong vật dẫn. Để đơn giản, xem vật dẫn có  . Đối với sóng tới phân cực có E mt // Oz thì điều kiện biên của phương trình (4.1) như sau: E zt E z 0 (4.3) tại: r = a ; 0 2 ; - < z < - Sóng phản xạ từ bề mặt vật dẫn truyền ra xa vô hạn theo phương r phải có đặc trưng sóng tại vô cùng, có nghĩa là phải thoả mãn điều kiện bức xạ tại vô cùng: 91
E lim ikE 0 r r (4.4) H lim ikH 0 r r Vậy: bài toán nhiễu xạ sóng phẳng trên vật dẫn trụ tròn dài vô hạn qui về việc xác định nghiệm của phương trình (4.1) và các điều kiện (4.3) và (4.4). 4.2.2. Trường thứ cấp Để tìm nghiệm của phương trình (4.1) với các điều kiện (4.3) và (4.4), ta chuyển (4.1) sang dạng phương trình sóng. Đặt các giá trị của Hm , r Hm từ 2 phương trình đầu vào phương trình cuối của hệ (4.1) ta có: 2 2  E mz 1  E mz 1  E mz 2 k E mz 0 (4.5) r 2 r r r 2  2 Nghiệm của (4.5) có dạng: m J m ka 2 im mz mzt E E  i 2 H m kr e m H m ka E mzt m mJ m ka 2 im mr H  i 2 H m kr e (4.6) 0r m H m ka 2 E mzt m J m ka H m kr im m H  i 2 e 0r m H m ka r Trong đó: Jm(kr) là hàm Bessel cấp m 2 Hm kr là hàm Hanken cấp m loại 2 4.2.3. Giản đồ hướng Trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn dài vô hạn có thể biểu diễn trực quan bằng giản đồ hướng như sau: 92
- Tìm cường độ trường thứ cấp ở vùng xa thoả mãn kr >> 1. Áp dụng dạng tiệm cận của hàm Hanken cấp m loại 2 khi kr và bỏ qua số hạng nhỏ bậc 1 1 cao so với của (4.6) ta có: r 3 / 2 r1/ 2 i kr 2 4 J m ka im mz mzt E E e  2 e kr m H m ka i kr E mzt 2 4 J m ka im m H e  2 e (4.7) 0 kr m H m ka 0 H mr 0 Nhận xét: - Trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn dài vô hạn chỉ có 2 thành phần E mz , H m vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng r. - Theo (4.7) giản đồ hướng của trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn dài vô hạn như hvẽ (xem tài liệu KKL, trang 97, hình 4.2) với các tham số ka khác nhau. - Từ giản đồ hướng nhận thấy rằng khi ka 1, a > 1, a >>  thì trường thứ cấp bắt đầu xh các cực đại ở phía đối diện với nguồn sóng tới và làm méo trường sóng tới ở phía này mạnh hơn. Khi ka , a thì trường thứ cấp có cực đại quay về phía sóng tới và có một vùng tối ở phía đối diện, cường độ trường ở vùng này bằng 0. Để đánh giá tính chất của trường bức xạ thứ cấp khi trường sơ cấp truyền qua vật chướng ngại, người ta đưa ra đại lượng diện tích phản xạ tương đương. Đối với vật dẫn trụ tròn dài vô hạn thì diện tích phản xạ tương đương tính theo 1 đơn vị chiều dài của htrụ là 0 được xác định theo công thức: Pbx 0 tbt (4.8) Trong đó: 93
Pbx là công suất bức xạ của trường thứ cấp tính theo 1 đơn vị chiều dài tbt là mật độ công suất bức xạ trung bình của sóng tới 1 2  E mzt tbt  (4.9) 2 0 0 2 P  dS  rd bx tb tb (4.10) S 0 2 2 1 1 0 1 1  tb re E mz .H m H m E mz 2 2 0 2 0 (4.11) 0 Từ các biểu thức (4.7) – (4.11), diện tích phản xạ tương đương 0 được tính theo: 2 4a J m ka 0  2 (4.12) 4ka m H m ka 4.3. Nguyên lí Huyghens-Kirchhoff Tìm nghiệm của phương trình sóng thuần nhất đối với hàm vô hướng  sau đây:  2 k 2 0 (4.13) tại điểm P bất kì trong thể tích V được giới hạn bởi mặt kín S. Giả thiết rằng hàm , đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của nó liên tục trong V và trên S. Áp dụng định lí Green ta có:    2  2 dV   dS (4.14) V S n n Trong đó hàm , đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của nó cũng liên tục trong V và trên S. Chọn hàm  có dạng: e ikr  (4.15) r Trong đó: r là khoảng cách từ điểm P đến một điểm bất kì trong thể tích V. 94
Nhận xét: - Hàm  dạng (4.15) thoả mãn định lí Green tại mọi vị trí trừ điểm P, vì tại điểm P:  khi r 0. Để áp dụng định lí Green đối với điểm P, bao điểm P bằng mặt cầu đủ nhỏ S0 bán kính R0. Khi đó miền V được giới hạn bởi các mặt S và S0. Vì hàm  dạng (4.15) cũng thoả mãn phương trình sóng (4.13) nên vế trái của (4.14) bằng 0 và ta có:       dS   dS (4.16) n n n n S0 S  - Các đạo hàm theo pháp tuyến trên S và S 0 lấy theo pháp tuyến n n 0 hướng ra ngoài thể tích V. Do đó trên mặt cầu S0 ta có:     ; (4.17) n r n r nên:   e ikr 1 e ikr ik (4.18) n r r r r Suy ra:   1 e ikR0 e ikR0  2 I0   dS ik  tb 4 R 0 (4.19) n n R R R r S0 0 0 0 tb Trong đó:   tb và là các gtừ trườngb của hàm  và đạo hàm riêng của nó trên r tb mặt cầu S0 có giá trị hữu hạn. Do đó xét trường hợp giới hạn cho mặt cầu S 0 thu nhỏ thành 1 điểm ta có:   P tb (4.20) I0 4  P khi R 0 0 Theo (4.16) suy ra: 95
1  e ikr e ikr   P  dS (4.21) 4 S n r r n Nhận xét: - (4.21) là biểu thức của nguyên lí Huyghens-Kirchhoff. Từ biểu thức (4.21) có thể tìm được hàm  tại một điểm bất kì trong thể tích V. Nếu các giá  trị của  và trên mặt S được coi là phân bố của các nguồn nguyên tố, thì giá n trị của  tại một điểm bất kì trong thể tích V là chồng chất của các sóng cầu nguyên tố bức xạ ở trên mặt S bao quanh thể tích V. S V’ P r’ R0 V r V P R S0 S S’ - (4.21) cũng áp dụng được đối với trường hợp mặt S là giới hạn trong của miền V’ bên ngoài, thực vậy: Miền V’ được xem như giới hạn bởi mặt kín S và mặt cầu S’ có tâm nằm trong V với bán kính R , khi đó:   I   dS 0 (4.22) S n n Vì R >> r’, r’ là khoảng cách từ tâm hình cầu S’ đến điểm P, nên có thể xem R // r, r là khoảng cách từ điểm P đến điểm bất kì của mặt cầu S’ rộng vô hạn, ta có: 1 1 , r R r cos (4.23) R r Nên: 96
ikr e 1  e ikR eikr cos (4.24) r R Trong đó: là góc giữa R và r’.   Đối với mặt cầu S’ ta có: n r Do đó: 1  e ikR ikr cos I  ik e dS (4.25) R R R S Trong trường hợp giới hạn, khi R thì I 0 nếu thoả mãn điều kiện sau:  1 lim ik  0 (4.26) R R R hay:  1 ik  (4.27) R R R R Nhận xét: - Điều kiện (4.26) hoặc (4.27) dễ dàng được thoả mãn nếu  thoả mãn điều kiện bức xạ tại vô cùng, tức là hàm  tại vô cùng có dạng: e ikR  f , (4.28) R R Vì hàm  dạng (4.15) thoả mãn phương trình (4.13) nên cũng đúng đối với miền ngoài V’. - Phương trình (4.13) có dạng tương tự như dạng của phương trình sóng thuần nhất cho E và H trong hệ toạ độ Decac. Do đó có thể áp dụng nguyên lí Huyghens-Kirchhoff để giải các bài toán nhiễu xạ. - Nguyên lí Huyghens-Kirchhoff đối với hàm vô hướng có thể xem như là trường hợp riêng của nguyên lí dòng tương đương. 4.4. Nguyên lí dòng tương đương 97
Giả sử có các nguồn q 1, q2, , qn đặt trong miền V trong mặt kín S, xác định trường tại điểm P bất kì trong không gian V’ ngoài mặt S. Theo nguyên lí H-K có thể xác định trường tại P trong V’ của các nguồn đã cho qua các nguồn bức xạ nguyên tố phân bố trên mặt S được gọi là các nguồn dòng tương đương (dòng điện mặt và dòng từ mặt). Trường do các nguồn dòng tương đương tạo ra tại điểm P bất kì trong V’ trùng với trường do các nguồn đã cho trong V tạo ra cũng tại điểm P. Còn trường do nguồn dòng tương đương tạo ra trong miền V bằng 0. Do đó điều kiện biên cho trường của nguồn dòng tương đương là E H 0  in S  in S (4.29) S V’ n 0 P q1 q2 E, H V qn Theo định lí nghiệm duy nhất, muốn để trường của nguồn đã cho và trường của nguồn dòng tương đương tạo ra ở điểm P bất kì trong V’ trùng nhau phải có điều kiện là: E  out E  out 0 S S (4.30) H H 0  out S  out S Nhận xét: Theo (4.29) và (4.30) nhận thấy rằng các thành phần tiếp tuyến của E và H của nguồn dòng tương đương biến đổi nhảy vọt từ 0 sang khác 0 khi qua mặt S. Theo điều kiện biên tổng quát, sự biến đổi nhảy vọt của các thành phần tiếp tuyến E  , H  của trường trên mặt S tương đương với sự tồn tại của dòng điện mặt I S và dòng từ mặt I SM chạy trên mặt S. Sự phụ thuộc của dòng điện mặt và dòng từ mặt vào E và H như sau: 98
IS n 0 H out S (4.31) ISM n 0 E out S Trong đó: n 0 là vector đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt S. Áp dụng phương pháp thế điện động ta xác định được biểu thức cho các thế chậm của vector điện và từ do các nguồn dòng tương đương IS và ISM trên S tạo ra tại điểm P trong V’ theo (2.61), (2.62) và (4.31) ta có: ikr 0 I S 0 e A E dS n H dS 4 r 4 0 out r S S (4.32) ikr ikr 0 e 0 e A M I SM dS n E dS 0 out 4 S r 4 S r Nhận xét: - Trong (4.32) các tham số điện từ ,  và số sóng k phải tính đối với môi trường ngoài miền V’. - Các biểu thức (4.31) và (4.32) là biểu thức của nguyên lí dòng tương đương của trường điện từ. Nguyên lí này ứd để giải các bài toán nhiễu xạ sóng điện từ rất tiện lợi. - Trường nhiễu xạ được tính dựa trên các biểu thức của nguyên lí H-K và nguyên lí dòng tương đương có chính xác hay không tuỳ thuộc vào giá trị của nguồn thứ cấp nguyên tố hay nguồn dòng tương đương phân bố trên bề mặt S. Nói chung chỉ có thể giải gần đúng bài toán nhiễu xạ sóng điện từ. 4.5. Nhiễu xạ của sóng phẳng qua lỗ trên màn chắn phẳng rộng vô hạn Giả sử có sóng phẳng truyền theo phương của trục z đi tới vuông góc với một lỗ trên mặt phẳng dẫn điện lí tưởng rộng vô hạn, xác định trường nhiễu xạ của sóng phẳng qua lỗ tại vùng bên kia của màn chắn trong môi trường đồng nhất đẳng hướng. 99
y H t x Et S0 O  t z S1 S Chọn hệ toạ độ Decac với trục z trùng với phương truyền của sóng tới, mặt phẳng màn chắn trùng với mặt xOy và E t của sóng tới hướng theo trục x. Biểu thức của cường độ trường sóng tới có dạng: ikz E mt i E mt izc H mt e (4.33) ikz H mt j H mt e Chia màn chắn phẳng ra làm 2 phần là phần lỗ S 0 và phần mặt kim loại S 1. Áp dụng nguyên lí dòng tương đương để tính trường nhiễu xạ qua lỗ S 0, tức là phải xác định các dòng điện và dòng từ mặt chạy trên S 0 và S1. Một cách gần đúng xem màn chắn S trùng với mặt sóng của sóng tới. Khi đó trên lỗ S 0 cường độ các vector E và H của nguồn dòng tương đương được xem bằng cường độ trường của sóng tới cũng tại mặt lỗ này (z = 0) nên: E  out i E mt izc H mt S0 (4.34) H  out j H mt S0 Còn trên phần S1 của màn chắn dẫn điện lí tưởng ( ) về phía bên kia của sóng tới thành phần tiếp tuyến của điện trường và từ trường nguồn dòng tương đương bằng 0. 100