Bài giảng Toán rời rạc - Chương 6: Đại số Boole

Nội dung text: Bài giảng Toán rời rạc - Chương 6: Đại số Boole

1. Chương 6: Đại số Boole 07-09-2007 Bài giảng Môn học 1
2. Mở đầu • Đại số Boole đưa ra các phép toán làm việc với tập {0, 1} • Các phép toán thường dùng trong đại số Boole: – Phép lấy phần bù được định nghĩa bởi : 0 = 1 và 1 = 0 – Phép lấy tổng Boole, ký hiệu ‘+’: 1 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0 – Phép lấy tích Boole, ký hiệu ‘.’: 1.1 = 1, 1.0 = 0, 0.1 = 0, 0.0 = 0 07-09-2007 Bài giảng Môn học 2
3. Mở đầu (tt) • Phép lấy phần bù, tổng và tích Boole tương ứng với các toán tử logic , , , trong đó 0 tương ứng với F (false, sai) và 1 tương ứng với T (true, đúng). Các kết quả của đại số Boole có thể được dịch trực tiếp thành mệnh đề và ngược lại. 07-09-2007 Bài giảng Môn học 3
4. Hàm Boole • Định nghĩa: Cho B = {0,1}. – Biến x được gọi là biến Boole nếu nó chỉ nhận giá trị từ B – Một hàm đi từ Bn →B được gọi là hàm Boole bậc n • Hàm Boole thường được biểu diễn bằng cách dùng các biểu thức được tạo bởi các biến và phép toán Boole Ví dụ: F(x, y, z) = xy + z n • Có 22 hàm Boole bậc n khác nhau ? 07-09-2007 Bài giảng Môn học 4
5. Các hằng đẳng thức của đại số Boole Hằng đẳng thức Tên gọi x = x Luật phủ định kép x + x = x Luật lũy đẳng x.x = x x + 0 = x Luật đồng nhất x.1 =x x + 1 = 1 Luật nuốt x.0 = 0 x + y = y + x Luật giao hoán x.y = y.x 07-09-2007 Bài giảng Môn học 5
6. Các hằng đẳng thức của đại số Boole (tt) Hằng đẳng thức Tên gọi (x + y) + z = x + (y + z) Luật kết hợp (x.y).z = x.(y.z) x + yz = (x + y)(x + z) Luật phân phối x(y +z) = xy +xz (xy) = x + y Luật De Morgan x + y = x . y 07-09-2007 Bài giảng Môn học 6
7. Chứng minh các hằng đẳng thức • Ví dụ 1: Chứng minh sự đúng đắn của luật phân phối x(y +z) = xy +xz x y z y + z x(y + z) xy xz xy + xz 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 007-09-02007 0 Bài giảng Môn học 7
8. Chứng minh các hằng đẳng thức(tt) • Dùng các hằng đẳng thức đã có để chứng minh các hằng đẳng thức khác • Ví dụ: Chứng minh luật hấp thu x(x + y) = x bằng cách dùng các hằng đẳng thức của đại số Boole. Giải: x(x +y) = (x+0)(x +y) – luật ? = x + 0.y – luật ? = x + 0 – luật ? = x – luật? 07-09-2007 Bài giảng Môn học 8
9. Tính đối ngẫu • Đối ngẫu của biểu thức Boole nhận được bằng cách các tổng và tích Boole đổi chỗ cho nhau, các số 0 và 1 đổi chỗ cho nhau Ví dụ: Đối ngẫu của biểu thức x. 1 + (y +z) là ? • Một hằng đẳng thức giữa các hàm biểu diễn bởi bởi các biểu thức Boole vẫn còn đúng nếu ta lấy đối ngẫu hai vế của nó. 07-09-2007 Bài giảng Môn học 9
10. Định nghĩa trừu tượng của đại số Boole • Định nghĩa: Đại số Boole là một tập B có hai phần tử 0 và 1 với hai phép toán hai ngôi  và , và một phép toán một ngôi sao cho các tính chất sau đây đúng với mọi x, y, z thuộc B. x  0 = x Luật đồng nhất x 1 = x x  x = 1 Luật nuốt x  x = 0 (x  y)  z = x  (y  z) Luật kết hợp (x  y)  z = x  (y  z) 07-09-2007 Bài giảng Môn học 10
11. Định nghĩa trừu tượng của đại số Boole (tt) x  y = y  x Luật giao hoán x  y = y  x x  (y  z) = (x  y)  (x  z) Luật phân phối x  (y  z) = (x  y)  (x  z) 07-09-2007 Bài giảng Môn học 11
12. Biểu diễn các hàm Boole • Khai triển tổng các tích (dạng tuyển chuẩn tắc) Ví dụ: Tìm các biểu thức Boole biểu diễn các hàm F(x, y, z) và G(x, y, z) có các giá trị được cho trong bảng sau: x y z G F 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 070-09-2007 0 0 0 Bài giảng0 Môn học 12
13. Biểu diễn các hàm Boole • Khai triển tổng các tích (dạng tuyển chuẩn tắc) Ví dụ 1: Tìm các biểu thức Boole biểu diễn các hàm F(x, y, z) và G(x, y, z) có các giá trị được cho trong bảng sau: x y z F G → F(x, y, z) = xyz 1 1 1 0 0 G(x, y, z) = xyz + xyz 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 070-09-2007 0 0 0 Bài giảng0 Môn học 13
14. Biểu diễn các hàm Boole(tt) • Ví du 2: Tìm khai triển tổng các tích của hàm F(x, y, z) = (x + y) z Giải: Bảng giá trị của hàm F: x y z x + y z (x + y) z 1 1 1 1 0 0 → F(x, y, z) = ? 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 070-09-2007 0 0 0 Bài giảng1 Môn0 học 14
15. Biểu diễn các hàm Boole(tt) • Khai triển tích các tổng (dạng hội chuẩn tắc): Lấy đối ngẫu từ khai triển tổng các tích. Ví dụ: Tìm dạng khai triển tích các tổng của hàm F(x, y, z) và G(x, y, z) ở ví dụ 1. 07-09-2007 Bài giảng Môn học 15
16. Tính đầy đủ • Tất cả các hàm Boole đều có thể bằng cách dùng các phép toán Boole . , + , . – Khi đó ta nói tập hợp {. , + , } là đầy đủ Ta có: – Tập {., } là đầy đủ ? – Tập {+, } là đầy đủ ? – Tập {., +} không phải là đầy đủ ? – Tập {|} là đầy đủ, tập {} là đầy đủ ? (phép | hay NAND và  hay NOR được định nghĩa: 1|1 = ? , 1|0 = ? ,0|1 = ? ,0|0 = ? . 11 = ? , 10 = ? , 01 =? ,0 0 = ? .) 07-09-2007 Bài giảng Môn học 16
17. Tính đầy đủ (tt) • Tập {., } là đầy đủ vì: x + y = x y • Tập {+, } là đầy đủ vì: x.y = ? • Tập {|} là đầy đủ vì: x = x|y xy = (x|y)|(y|x) • Tập {} là đầy đủ vì: ? 07-09-2007 Bài giảng Môn học 17
18. Các cổng logic • Các loại cổng cơ bản: – Cổng NOT hay bộ đảo: x x – Cổng AND: x y xy x – Cổng OR y x + y 07-09-2007 Bài giảng Môn học 18
19. Các cổng logic (tt) • Các cổng có n đầu vào: x1 x2 x1 x2 xn xn x1 x2 x1 + x2 + + xn xn 07-09-2007 Bài giảng Môn học 19
20. Mạch tổ hợp • Ví dụ 1: Dựng các mạch tạo các đầu ra sau: a) (x + y)x ; b) (x + y +z)( x y z ) Giải: a) x x + y (x + y)x y x z b) ? 07-09-2007 Bài giảng Môn học 20
21. Mạch tổ hợp (tt) • Ví dụ 2: Một ủy ban gồm ba thành viên phải quyết định các vấn đề của một tổ chức. Mỗi thành viên bỏ phiếu tán thành hoặc không cho mỗi một đề nghị được đưa ra. Một đề nghị được thông qua nếu nó nhận được ít nhất hai phiếu tán thành. Hãy thiết kế một mạch cho phép xác định được một đề nghị có được thông qua hay không. (Lưu ý: Các mạch mà đầu ra chỉ phụ thuộc vào đầu vào chứ không phụ thuộc vào trạng thái hiện thời của mạch, được gọi là các mạch tổ hợp) 07-09-2007 Bài giảng Môn học 21
22. Mạch tổ hợp (tt) Giải: Biểu diễn của hàm Boole có giá trị đầu ra là: xy + xz + yz → Mạch bỏ phiếu theo đa số: x xy y x xz xy + xz + yz z y yz z 07-09-2007 Bài giảng Môn học 22
23. Bộ cộng • Bộ nửa cộng: Cộng hai bit, không xét đến số nhớ từ phép cộng trước. x Bộ nửa s y cộng c • Bảng giá trị của bộ nữa cộng: x y s c 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 07-09-2007 Bài giảng Môn học 23
24. Bộ cộng (tt) • Bộ công đầy đủ: Dùng để tính bit tổng và bit nhớ khi hai bit được cộng cùng với số nhớ từ trước. • Bảng giá trị cho bộ cộng đầy đủ x y cin s cout 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 07-09-2007 Bài giảng Môn học 24 0 0 0 0 0
25. Bộ cộng (tt) • Bộ cộng đầy đủ: x Bộ y cộng s đầy c cout in đủ 07-09-2007 Bài giảng Môn học 25
26. Bộ cộng (tt) • Ví dụ: Mạch cộng hai số nguyên dương ba bit (x0 x1 x2) và (y0 y1 y2) xo s Bộ nữa c o y o o cộng Bộ s1` cộng x1 đầy c1 Bộ s2 y1 đủ cộng x2 đầy c2 = s3 y2 đủ 07-09-2007 Bài giảng Môn học 26
27. Cực tiểu hóa các mạch • Ví dụ: Dựng mạch có đầu ra ra bằng 1 nếu và chỉ nếu x = y = z = 1 hoặc x = z = 1 và y = 0. Giải Cách 1: Cách 2: Khai triển tổng các tích của Khai triển tổng các tích của mạch là: xyz + xyz mạch là: xyz + xyz . . Ta có: xyz +xyz = (y + y)xz = 1.xz = xz 07-09-2007 Bài giảng Môn học 27
28. Cực tiểu hóa các mạch • Ví dụ: Dựng mạch có đầu ra ra bằng 1 nếu và chỉ nếu x = y = z = 1 hoặc x = z = 1 và y = 0. Giải Cách 1: Cách 2: Khai triển tổng các tích của Khai triển tổng các tích của mạch là: xyz + xyz mạch là: xyz + xyz . x . Ta có: xyz +xyz = (y + y)xz y xyz z = 1.xz xyz + xyz = xz x y xyz x xz y z z 07-09-2007 Bài giảng Môn học 28
29. Cực tiểu hóa các mạch (tt) • Bản đồ Karnaugh: Cho chúng ta một phương pháp trực quan để rút gọn khai triển tổng các tích. 07-09-2007 Bài giảng Môn học 29
30. Cực tiểu hóa các mạch (tt) • Bản đồ Karnaugh hai biến: y y x xy xy x xy xy • Ví dụ: Tìm bảng đồ Karnaugh cho a) xy + xy b) xy + xy c) xy + xy + xy y y y y y y x 1 1 x x ? ? x 0 0 x x 07-09-2007 Bài giảng Môn học 30
31. Cực tiểu hóa các mạch (tt) • Bản đồ Karnaugh hai biến: y y x xy xy x xy xy • Ví dụ: Tìm bảng đồ Karnaugh cho a) xy + xy b) xy + xy c) xy + xy + xy y y y y y y x 1 1 x x ? ? x 0 0 x x → xy + xy = x , xy + xy = ? , xy + xy + xy =? 07-09-2007 Bài giảng Môn học 31
32. Cực tiểu hóa các mạch (tt) • Bảng đồ Karnaugh ba biến: yz yz yz yz x x 07-09-2007 Bài giảng Môn học 32
33. Cực tiểu hóa các mạch (tt) • Ví dụ: Dùng bảng đồ Karnaugh rút gọn khai triển tổng các tích sau: a)xy z + xyz + xyz + xyz b)xyz + xyz + xyz + xyz + xyz c)xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz 07-09-2007 Bài giảng Môn học 33
34. Cực tiểu hóa các mạch (tt) Giải: a) yz yz yz yz 1 1 x x 1 1 xy z + xyz + xyz + xyz = xz + yz + xyz 07-09-2007 Bài giảng Môn học 34
35. Cực tiểu hóa các mạch (tt) Giải: b) yz yz yz yz 1 1 x x 1 1 1 xyz + xyz + xyz + xyz + xyz = ? 07-09-2007 Bài giảng Môn học 35
36. Cực tiểu hóa các mạch (tt) • Bảng đồ Karnaugh bốn biến: ? ? ? ? ? ? ? ? • Ví dụ: Dùng bảng đồ Karnaught rút gọn khai triển tổng các tích: wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz 07-09-2007 Bài giảng Môn học 36