›
›

Bài giảng Toán cao cấp: Hàm số một biến số thực- giới hạn - sự liên tục của hàm

doc 150 trang phuongnguyen 60
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp: Hàm số một biến số thực- giới hạn - sự liên tục của hàm", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_giang_toan_cao_cap_ham_so_mot_bien_so_thuc_gioi_han_su_l.doc

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp: Hàm số một biến số thực- giới hạn - sự liên tục của hàm

  1. Bài giảng toán cao cấp HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC- GIỚI HẠN - SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM
  2. MỤC LỤC CHƯƠNG I 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC- GIỚI HẠN - SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM 1 BÀI 1 : HÀM SỐ 1 Các khoảng hữu hạn : 1 Các khoảng vô hạn : 1 Cho các tập hợp X, Y, Z  R và các hàm số g: X Y, f : Y Z 3 Xét các hàm số: f : x sin x ; g : x ln(x ) 3 Chú ý 4 II. Các hàm số sơ cấp 5 Ví dụ : 5 Đồ thị: 5 BÀI 2 : GIỚI HẠN HÀM SỐ 8 1. Các định nghĩa về giới hạn của hàm số 9 1.1 Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x a 9 1.2 Giới hạn vô cực của hàm số khi x a 9 1.3 Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x 10 Định nghĩa : 10 Định nghĩa : 10 Định lý: Điều kiện cần và đủ để lim f (x) L là f(a + 0) = f(a - 0) = L 11 x a 2. Tính chất 11 3. Các phép toán về hàm có giới hạn 11 Ví dụ: limsin 5x 1 sin16 12 x 3 Chú ý: 12 L2 L2 L2 0 L1 1 hoặc L1 0 hoặc L1 0 12 sin x Áp dụng: Từ định lí trên, người ta chứng minh được công thức giới hạn cơ bản: lim 1 12 x 0 x Nhận xét: 13 (u(x) 1).v(x)  1  v(x) u ( x ) 1 khi đó có lim u(x) lim 1 (u(x) 1)  13 x x x x 0 0  Các công thức giới hạn sau được suy ra từ các hai công thức giới hạn cơ bản trên. 14 a. Định nghĩa: Hàm số α(x) được gọi là một vô cùng bé ( VCB ) trong quá trình x → x0 (hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim (x) 0 14 x x0 Nhận xét: 14 b. Tính chất: 14 c. So sánh hai VCB. 15 Ví dụ: 15 d. Các cặp VCB tương đương cơ bản. 16 Giả sử lim x 0 . Khi đó, từ bảng trên ta có được 16 x a a) Định nghĩa: Đại lượng α(x) được gọi là một vô cùng lớn ( VCL ) trong quá trình x→x0 (hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim (x) 17 x x0 Nhận xét: Khi nói tới VCL phải gắn vào một quá trình cụ thể của đối số. 17 b) Liên hệ giữa VCB và VCL 17 c) Quy tắc so sánh hai VCL 17 5.3.1 Quy tắc thay thế VCB (VCL) tương đương 18
  3. sin 5x 5x 5 Ví dụ 1: lim lim 18 x 0 tg7x x 0 7x 7 Chú ý: 19 5.3.2 Quy tắc ngắt bỏ các VCB cấp cao 19 x sin2 x tg 3 x Ví dụ 1: lim 20 x 0 2x 3x5 5x7 arcsin5x sin 2 7x Ví dụ 2: lim . 20 x 0 tg 2 x ln 1 7x 2 x3 ex 1 cos2x 1 2 Ví dụ 3: lim 20 x 0 3artg 3 x ln 1 7xsinx 5.3.3 Quy tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp. 21 Chú ý: 22 2x3 4x 5 2x3 Ví dụ 1 : lim lim 2 . 22 x x3 6x2 8x 1 x x3 n n 1 n 2 n 3 n4 1 Ví dụ 2: lim lim . 22 n 3n4 2n2 1 n 3n4 3 4 n5 1 3 n2 2 4 n5 1 4 n5 1 Ví dụ 3: lim lim lim lim 0 22 n 5 4 3 n 3 n 3 n 1 n 1 n 2 n 2 n n 4 3x 4x 4x 1 Ví dụ 4: lim lim . 22 x 2x 5.4x x 5.4x 5 3x x3 ln x 3x 1 Ví dụ 5: lim lim 22 x x2 2ln x 5.3x x 5.3x 5 BÀI 3 : HÀM SỐ LIÊN TỤC 22 I. Hàm số liên tục 22 Kết quả cần nhớ : Hàm số sơ cấp liên tục tại mọi điểm mà nó xác định 23 Giải: 23 Giải: 24 a) Tính chất 1: (Tính bị chặn) 25 b) Tính chất 2: 25 c) Tính chất 3: 25 Áp dụng : Phương pháp chia đôi liên tiếp : Giải bằng gần đúng phương trình f(x) = 0 26 Thuật giải: 26 II. Điểm gián đoạn của hàm số 27 sin x khi x 0 Ví dụ: f (x) x 27 3 khi x 0 CHƯƠNG II : PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 28 Ví dụ 2 : Cho f(x) = sinx , tính f ’(x) = ? 28 x x Cho x số gia x => f = sin(x + x) - sinx = 2cos x sin 28 2 2 Vậy sin x cos x 28 Định lý: 29 Nhận xét: 29 1.2) Các phương pháp tính đạo hàm 30
  4. Nhận xét : 31 Ví dụ: 32 V) Một số ứng dụng của phép tính vi phân 32 1) Quy tắc Lopital 1 ( xét cho quá trình x x0 hữu hạn ) 32 Định lý 1: 32 Ví dụ: 33 Định lý 2: 33 Ví dụ: 33 ln x 1) lim x .ln x ; ( 0) . Có lim x .ln x lim , có dạng xét x 0 x 0 x 0 1 x ln x ln x 1 x lim lim lim lim = 0 , vậy lim x .ln x 0 ; ( 0) 33 x 0 1 x 0 x 0 1  x 0 x 0 1  x. x   x  x 2) Quy tắc Lopital 2 ( xét cho quá trình x ) 33 Định lý 1: 33 Ví dụ : 34 Định lý 2: 34 Ví dụ 34 ln x 2) lim ( với  > 0 ) có dạng , 34 x x Chú ý 34 Ví dụ: 35 Ví dụ 35 Ví dụ : 35 Chú ý : 36 Dạng vô định 1 ngoài phương pháp loga hóa ta có thể sử dụng giới hạn dạng 36 Ví dụ : 36 CHƯƠNG III: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 37 BÀI 1: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 37 I. Nguyên hàm 37 1. Định nghĩa. 37 Ví dụ: 37 Nhận xét : 37 Chú ý: 37 3. Định lí tổng quát về nguyên hàm. 37 Nhận xét: 37 II. Tích phân bất định 38 Ví dụ: 38 Nhận xét : 38 4. Ví dụ minh họa 39 III. Các phương pháp tính tích phân bất định 40 1. Phương pháp đổi biến số 40 Ví dụ 1: 40 I = 1 t.dt 2 t t C 2 (x3 1)3 C 40 3 9 9 2 I = 1 et dt 1 et dt C 1 ex 1 C 40 2 2 2 Tổng quát 40 Phương pháp: 40 Ví dụ: 41
  5. Nhận xét: 41 2. Phương pháp tích phân từng phần. 41 Phương pháp: 42 Một số trường hợp sử dụng phương pháp tích phân từng phần: 42 Ví dụ 1: Tính x. arctg( x )dx 42 Ví dụ 2: Tính I = arcos2 xdx 42 xarccosx I = x.arccos2x 2 dx x.arccos2x 2.J 43 2 1-x Ví dụ 3: Tính I = x2 sin 3xdx . 43 1 2 1 2 I = x2cos3x+ xcos3xdx x2cos3x+ J . 43 3 3 3 3 1 Tính J. Đặt u = x, dv = cos3x. Khi đó: du = dx, v = sin3x . Vậy 43 3 Ví dụ 4: Tính I = e2xcos3xdx 43 HD: Đây là tích phân thuộc nhóm 3. Đặt u = e3x hoặc u = cos3x 43 Ví dụ 5: Tính I = sin ln x dx 43 HD: Đặt u = sin(lnx) và dv = dx 43 xdx Ví dụ 6: a) Tính I = 43 sin2 x 2 A 2A 3B 1 13 Cân bằng hệ số của cos3x, sin3x ở hai vế, ta có hệ: 44 3A 2B 0 3 B 13 2 3 Vậy I = e 2x ( cos3x+ sin 3x) C 44 13 13 Cân bằng hệ số hai vế ta có a = 1/3, b = -2/9, c = 2/27. Vậy 45 IV. Tích phân một số hàm số sơ cấp. 45 1.1 Định nghĩa 1: Các phân thức hữu tỷ đơn giản là các phân thức có dạng 45 A (2) với p2 - 4q < 0 45 x 2 px q Mx N (3) với p2 - 4q < 0 45 x 2 px q t 1 2k 3 Sử dụng công thức truy hồi : I I 45 k 2a 2 (k 1)(t 2 a 2 )k 1 a 2 2k 2 k 1 dt 1 t Với I arctg C 46 1 t 2 a 2 a a 1.2 Định nghĩa 2: Phân thức hữu tỉ chính quy ( tối giản) 46 2 Ví dụ: x 3x 7 46 x3 2x2 2x 3 Ví dụ : 46 Ví dụ: 46 1.3 Phân thức hữu tỷ 46 2. Tích phân một số hàm vô tỉ 47
  6. m1 m2 mp ax b ax b ax b * k1 k2 k p 2.1 Tích phân dạng R(x, , , )dx , trong đó ki N ,mi Z 47 cx d cx d cx d Ví dụ: 47 dx 2.2 Tích phân dạng hoặc ax2 bx cdx 47 2 ax bx c P x 2.3 Tích phân dạng n dx, P x là đa thức bậc n 1 48 2 n ax bx c Phương pháp: 48 Để tính tích phân trên ta có thể sử dụng công thức: 48 Trong đó Qn-1 là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của Pn(x) một bậc và  là hằng số chưa biết. 48 Ví dụ: 49 dx 2.4 Tích phân dạng 49 m 2 (x ) ax bx c 2.5 Tích phân dạng I = (Ax+B) ax2 bx c dx 49 Phương pháp: 49 Ví dụ: Tính các tích phân sau 49 3. Tích phân các hàm lượng giác dạng: R(sinx, cosx)dx 50 3.1 Phương pháp chung 50 Ví dụ: 50 (3) sin x cos x 2 dx 50 2sin x cos x 1 a sin x b cos x c B(a cos x b sin x) C Đặt 1 1 1 = A + 2 2 + 50 a 2 sin x b2 cos x c2 a 2 sin x b2 cos x c2 a 2 sin x b2 cos x c2 3.2 Một số trường hợp đặc biệt 50 Đặt t = cosx 50 Ví dụ: 50 Đặt t = sinx 50 Ví dụ: 50 Ví dụ: 51 Ví dụ: 51 BÀI TẬP : PHẦN TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 51 BÀI 2: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 55 1. Bài toán diện tích hình thang cong 55 Ta xây dựng công thức tính diện tích hình thang cong trên 55 2. Định nghĩa tích phân xác định 56 Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a, b] đều khả tích trên đó 56 Giải: 56 2 Có f(x) = x liên tục [1,2] f(x) = x khả tích trên [1,2]. Vậy tồn tại xdx 57 1 Chọn i  xi 57 n 1 1 1 1 1 1 1 1 In =  = 57 i 1 xi 1 xi x0 x1 x1 x 2 x n 1 x n Chú ý: 57 1. Tích phân xác định với cận trên thay đổi 58 2 Công thức Newton- Leibnit. 58 Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên 58 Ví dụ: 59
  7. Nhận xét: 59 2. Phương pháp tích phân từng phần. 59 Ví dụ: Tính các tích phân sau: 59 e 1 e 1. I ln x dx ln x dx ln x dx , 59 1/e 1/e 1 2 => I = 2 59 e 3 Phương pháp đổi biến số 60 3.1 Phương pháp đổi biến t = (x) 60 Ví dụ. 60 Chú ý : Điều kiện đơn điệu của hàm f(x) là không thể thiếu khi đổi biến t = (x) 61 2 Ví dụ khi tính I cosxsin 2 xdx nếu đặt t = cosx ( không thỏa mãn tính đơn điệu trên 61 4 Nếu đặt t = sinx - thỏa mãn tính đơn điệu trên , khi đó 61 4 2 3.2 Phương pháp đổi biến x = (t) 61 b S = f (x) dx 63 a b S = f1 (x) f 2 (x) dx 63 a Giải : 63 Giải 63 Chú ý : 64 Sinh viên tự làm các ví dụ sau: 64 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường 64 b V= g2 (y)dy . 65 a b V= [f 2 (x) f 2 (x)]dx 65 2 1 a Ví dụ 1: 65 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh Ox 65 1 Có thể tích của vật tròn xoay : V 32 32x dx 65 0 3 2 Có thể tích của vật tròn xoay : V x 2 4x 3 dx 65 0 b 2 LAB = 1 f (x)dx . 66 a  2 2 LAB = x '(t) y ' t dx . 66 Chú ý : Có vi phân cung ds dx2 dy2 66 Ví dụ1: Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay sinh bởi đường 67 BÀI 3: TÍCH PHÂN SUY RỘNG VỚI CẬN VÔ HẠN 67 Chú ý : 68
  8. Ví dụ1: 68 dx Vậy hội tụ nếu > 1 và phân kỳ nếu 1. 68 1 x dx Ví dụ 2: Tính : I 69 2 2 x x 2 Giải: 69 dx  x   b  1 2 Ta có I ln lim ln( ) I ln 4 ln 2. 69 b  (x )(x )  x    b  3 3 Chú ý: Một số tích phân suy rộng sau khi đổi biến số trở thành tích phân xác định 69 arctgx Ví dụ 5: Tính I dx 69 3 0 (1 x 2 ) 2   Giải: Đặt arctgx = z ta có I z coszdz (zsin z cosz)  69    dx Ví dụ 6: Tính: I 69 5 10 1 x 1 x x 1 Giải: Đặt t = . Khi x = 1 thì t = 1, khi x thì t 0 .Vậy ta có 69 x5 TC 1: 69 Ví dụ: 69 TC 2: 69 TC3: 70 Ví dụ. 70 HD: Sử dụng bất đẳng thức  0 cho trước ta luôn có lnx < xα với x có giá trị đủ lớn 70 4.2 Tiêu chuẩn 2: Giả sử f(x), g(x) xác định trên [a,+ ), khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a,b] và thoả mãn f(x) 0, g(x) 0  x a. 70 Qui tắc thực hành: 71 Ví dụ: 71 4.3 Hàm f(x) có dấu bất kỳ 71 Định lý: 71 BÀI TẬP: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 72 Đáp số và chỉ dẫn: 72 Bài 3: Tính các tích phân suy rộng sau 73 Bài 4: Khảo sát sự hội tụ hay phân kì của các tích phân suy rộng sau: 73 CHƯƠNG IV 74 Ví dụ 74 Ví dụ. 76 Nhận xét. A là ma trận đối xứng khi và chỉ khi A = AT. 77 Ví dụ. 77 2.1 Định nghĩa. 77 Khi đó ta có 78 Ví dụ 1. 78 2.2 Tính chất 78 3.1 Định nghĩa 78 Ví dụ: 79 3.2 Tính chất 79 4.1 Định nghĩa 79 Ví dụ 1. 79
  9. Ví dụ 2. 79 c c c Giả sử 11 12 13 , ta cã 80 AB (cij )2x3 c21 c22 c23 1 3 2 0 3 5 3 9 Vậy AB 80 2 1 1 1 4 3 1 10 Giải 80 Ví dụ 5. Tính 80 Ví dụ 6. 81 Giải. 81 a) Ta có 81 1 6 -2 3 -1 X = X 81 2 -14 -38 -7 -19 0 - 6 6 1 - 3 2 2 5 6 1 b) X - 2 - 9 2 3 - 4 1 1 2 5 81 2 - 4 - 8 6 2 - 5 3 1 3 2 Giải. 81 Nhận xét 81 Ví dụ. 82 4.2 Tính chất 82 Chú ý 83 BÀI 2: ĐỊNH THỨC 84 1. Định nghĩa định thức 84 1.1 Định nghĩa 1. 84 Ví dụ. 84 1 2 5 4 1 1 2 Víi A 3 4 1 th× M , M 84 11 23 5 1 0 5 0 5 1 1.2 Định nghĩa 2. Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Khi đó, định thức cấp n của ma trận A, kí hiệu là: detA hay A , là một số thực được định nghĩa một cách qui nạp sau: 84 Giải 85 d) Định thức cấp n. 85 1 6 0 1 0 2 1 0 Ví dụ 2. Tính định thức: det(A) = 85 1 3 0 1 3 0 1 1 Giải. 85 Ta có thể khai triển định thức theo hàng 2 hoặc cột 3 vì có 2 phần tử bằng 0. 85 Vậy det(A) = 0 – 36 = -36. 86 2. Các tính chất cơ bản của định thức. 86 2.1 Giả sử A vuông , khi đó det(A) = det(AT) 86 Ví dụ. 86 Hệ quả. Do vậy, mọi tính chất nếu đúng cho hàng thì cũng đúng cho cột và ngược lại 87 2.2 Đổi chỗ hai hàng (hai cột ) của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu 87 Ví dụ. cũng với ví dụ trên 87 2.3 Khi nhân các phần tử của một hàng (một cột ) với cùng một số k thì định thức được nhân lên k lần. 87
  10. Giải 87 2.4 Khi tất cả các phần tử của một hàng (một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức như sau: 87 2.5 Định thức của ma trận sẽ bằng không nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau: 88 Ví dụ. 88 2.6 Định thức của ma trận sẽ không thay đổi nếu nhân k vào một hàng (một cột) rồi đem cộng vào một hàng khác(cột khác) 88 Ví dụ. 88 Trong ví dụ trên, ta biến đổi 88 2.8 Nếu A, B là hai ma trận vuông cấp n thì det(AB) = det(A). det(B) 89 3. Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp 89 Ví dụ : Tính định thức 89 BÀI 1.3 - MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO. 90 1. Phần phụ đại số của một phần tử, ma trận phụ hợp 90 Cho Ma trận vuông cấp n 90 Ký hiệu 90 Giải: 91 Giải: 91 1 1 3 4 1 2 6 4 1 3 6 3 A11= 1 = -1, A12 = 1 = 38, A13= 1 = -27, 92 2 3 5 3 5 2 2 1 3 Ví dụ 3: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau: A 1 0 2 92 3 2 3 Giải: 93 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 A11 1 1 1 1 4 ; A12 1 1 1 1 4 ; A13 = -4; A14 = -4 93 1 1 1 1 1 1 2. Ma trận nghịch đảo. 93 2.1 Định nghĩa: 93 2.2 Tính chất: 93 2.3 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông 94 2.4 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 94 Nhận xét: 94 Ví dụ 5: Tìm ma trận nghich đảo của ma trận 94 Giải: 95 Giải: 95 1 2 3 Ví dụ 8: Tìm ma trận nghịch đảo của A 2 5 3 96 1 0 8 Giải: 96 Chú ý: 96 Ví dụ 9: Tìm ma trận nghịch đảo của A theo phương pháp Gaus – Jordan. 97 Giải 97 40 16 9 1 Vậy A 13 5 3 97 5 2 1
  11. Chú ý: 97 2.5. Ứng dụng ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận 98 Giải: 98 5 3 1 8 3 0 Ví dụ 11: Giải phương trình ma trận: X. 1 3 2 5 9 0 98 5 2 1 2 15 0 Giải: 98 1 5 3 1 8 3 0 5 3 1 Vì 1 3 2 19 0 nên X. 5 9 0 1 3 2 99 5 2 1 2 15 0 5 2 1 4. Hạng của ma trận 99 Nhận xét : 99 Nếu A có cỡ m × n thì 99 Ví dụ : cho ma trận A, với 99 Như vậy A có cỡ 3 × 4, do đó (A) ≤ min (3 , 4 ) = 3 99 3.2 Ma trận hình thang 100 3.2.1 Định nghĩa: Ma trận hình thang là ma trận thoả mãn 2 tính chất sau: 100 Ví dụ: 100 3.2.2 Hạng của ma trận hình thang 100 Tính chất: Hạng của ma trận hình thang bằng số hàng khác không của nó. 100 Nhận xét: 101 Giải 101 BÀI 1.4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 103 I. Hệ phương trình đại số tuyến tính 103 1. Định nghĩa hệ phương trình đại số tuyến tính 103 x b 1 1 x2 b2 X - gọi là ma trận ẩn ; B - gọi là ma trận vế phải 103   xn bm 2. Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình đại số tuyến tính AX = B tồn tại nghiệm 104 Định lý (Kronecker - Capelli): 104 Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình AX = B có nghiệm là (A) (A) 104 Dùng các phép biến đổi sơ cấp ma trận trên hàng đưa phần ma trận A về dạng hình thang 104 2. Biện luận hệ phương trình đại số tuyến tính AX = B 104 Chú ý: 105 x1 2x 2 ax 3 2 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình 2x1 x 2 x 3 1 105 3x1 x 2 2x 3 b Giải 105 Dùng các phép biến đổi trên hàng đối với A 105 II. Hệ Cramer 106 Tính chất: Hệ Cramer AX = B luôn có nghiệm duy nhất xác định bởi công thức X = A-1 B 106
  12. x 1 x 2 det(Ai ) X với các thành phần ẩn xi được xác định bởi công thức: x , i 1.n 106  i det(A) x n Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x1, x2, x3) = (1, 2, 3) 106 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 107 Lời giải 107 Ví dụ 3: Giải hệ sau theo phương pháp ma trận nghịch đảo 107 Giải: 107 1 2 3 x1 7 Ma trận hệ số: A 2 5 3 ; X = x ; B = 7 107 2 1 0 8 x3 19 ==> det(A) 0 108 III. Giải hệ tổng quát bằng phương pháp Gauss 109 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B 109 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 109 Giải 109 Như vậy hạng của A bằng 2 , khác hạng A bằng 3 => hệ phương trình vô nghiệm 110 Ví dụ 2: Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss 110 Giải: 110 Vậy nghiệm của hệ là (x1 , x2, x3) = (1, -1, 2) 111 Ví dụ 3: 111 Giải: 111 Ví dụ 4 112 Giải hệ phương trình 112 CHƯƠNG V: HÀM HAI BIẾN 113 BÀI 1: HÀM HAI BIẾN 113 2 D = (x, y) R : i (x, y) 0 0 ,i 1,n 113 tức là mỗi điểm M(x,y) D sẽ thỏa mãn các bất đẳng thức dạng i (x, y) 0 0 113 Ví dụ: 1) D = (x, y) R 2 : x 2 y 2 1 - là miền trong đường tròn x2 + y2 = 1 113 D = (x, y) R2 :x 2y 3, x2 y2 1 114 Nhận xét : Tập mở sẽ là tập thỏa mãn một hay nhiều bất đẳng thức dạng: φ(x, y) 1} 115 z = x y ln x2 y2 có tập xác định : (x, y) thỏa mãn x2 – y2 > 0 115 Ví dụ: 1) z = x2 + y2 là mặt Paraboloit 115 III. Giới hạn và sự liên tục của hàm hai biến 115 Ký hiệu: lim f (x, y) L 115 x x0 y y0 xy Ví dụ 2:Chứng minh: lim 0 116 x 0 2 2 y 0 x y Chú ý : 116 x 3y Ví dụ 3: Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn lim 116 x 0 2x y y 0 Chứng minh: 116
  13. x 3x Cho x →0, y →0 theo hướng đường thẳng y = x thì lim 3 116 y x 0 2x x Chú ý: 117 BÀI 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM HAI BIẾN. 117 a) Định nghĩa: 117 b) Quy tắc tính đạo hàm riêng cấp một : 118 c) Ví dụ: 118 Giải: 118 Hoàn toàn tương tự cho các ví dụ còn lại 119 Định lý Schwarz: 119 Giải: 120 '' '' Nhận xét: fxy fyx 120 f = A x + B y + ( ) với x  y  121 Ví dụ : 121 f f Xét z = x và z = y thì: dx = x, dy = y. Vậy df = (x , y ) dx+ (x , y ) dy 122 x   y   Nếu x, y khá bé thì 122 Giải : 122 Chú ý: 123 Ví dụ 123 1,97 Tính arctg 1 123 1,02 Giải : 123 Vậy 123 BÀI 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN 124 Nhận xét: 124 Quy tắc tìm cực trị 125 2 Bước 1: Tính zx’ ; zy’, Tính zxx’’=A, zxy’’= B, zyy’’= C, B AC 125 Ví dụ: Tìm cực trị địa phương của các hàm số sau: 125 Giải: 126 1. Có z x y xe y 126 5.1 Nội dung phương pháp bình phương bé nhất 127 Bài toán: 127 Phương pháp tìm hàm thực nghiệm như trên gọi là phương pháp bình phương bé nhất. 128 5.2. Phương pháp bình phương bé nhất 128 5.2.1 Đa thức suy rộng - nội dung của phương pháp bình phương bé nhất 128 Theo (5.1) thì cần xác định các ak để cho 129 5.2.1 Các trường hợp cụ thể 130 Ví dụ 1: 130 2 Trường hợp này ta có 1(x) = 1 ; 2(x) = x , 3(x) = x 131 Giải hệ phương trình sau để xác định a0 , a1 , a2 132 Ví dụ : 132 Lập bảng 132 Giải hệ : 132 Vậy quan hệ giữa x và y theo dạng y = 3,292 - 4,08x + 2,07.x2 132 Nhận xét 132 Bài tập tương tự: 133 BÀI TẬP CHƯƠNG IV: HÀM HAI BIẾN 134
  14. CHƯƠNG I HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC- GIỚI HẠN - SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM. BÀI 1 : HÀM SỐ I. Định nghĩa hàm số và các phương pháp cho hàm số. 1. Các tập hợp số thực Tập các số tự nhiên (được ký hiệu là N ) là tập các số { 0 , 1 , 2 , } Tập các số nguyên (được ký hiệu là Z ) là tập các số { 0 , ± 1 , ± 2 , } p Tập các số hữu tỷ ( được ký hiệu là Q ) là tập các số có dạng với p, q (q ≠ 0 ) . là q các số nguyên Số hữu tỷ còn có thể định nghĩa theo cách khác : số hữu tỷ là các số thập phân hoặc thập phân vô hạn tuần hoàn. 23 1 21 21 56 21539 Ví dụ : 2,3 ; 0,33333 0,(3) ; 2,1(56) 0,0(56) 10 3 10 10 999 9990 Số vô tỷ : là các số thập phân vô hạn không thuần hoàn : số pi ; 2 ; 5 , Số thực : là tập hợp tất cả các số hữu tỷ và vô tỷ, được ký hiệu là R Khoảng số thực : Các khoảng hữu hạn : - Khoảng mở ( sau này gọi là khoảng ) : ( a , b ) - là tập các giá trị thực x sao cho a 0 , x0 là một số thực
  15. Người ta gọi :  - lân cận điểm x0 là một khoảng số thực ( x0 -  , x0 +  ) và được ký hiệu là U  (x0 ) , tức là bao gồm các giá trị x : x x0  2. Định nghĩa hàm số Cho hai tập hợp X, Y  R. Nếu ứng mỗi số thực x X mà cho duy nhất một số thực y Y theo một quy luật f thì khi đó nói rằng y là hàm số của x xác định trên X Kí hiệu f: X Y hay X  x y f (x) Y hay y = f(x), trong đó : X: Tập xác định (miền xác định ) của hàm số f. - x X: đối số ( biến số, biến độc lập ). - y = f(x), x X: hàm số ( biến phụ thuộc ). - f(X) = {y Y: y = f(x), x X }: miền giá trị của f. Ta có f(X)  Y. Chú ý : nếu cho hàm số y = f(x) mà không nói gì đến miền xác định thì hiểu miền xác định của hàm số là tập tất cả các giá trị thực x sao cho khi thay các giá trị x này vào biểu thức của f(x) thì đều tính được. Ví dụ: y 1 x 2 là một hàm số có miền xác định x2 ≤ 1 hay -1 ≤ x ≤ 1 3. Các phương pháp cho hàm số. a) Phương pháp bảng số. Hàm số được cho bởi một bảng số có hai dòng liệt kê các giá trị tương ứng giữa x và y x x1 x2 x3 x4 x5 xn y y1 y2 y3 y4 y5 yn b) Phương pháp đồ thị . Hàm số được cho bởi một tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ ( thường là một đường cong trong mặt phẳng ). Hệ tọa độ ở đây có thể là hệ tọa độ Đề - Các vuông góc : Oxy ( hình 1.a) hoặc có thể là hệ tọa độ cực ( hình 1.b) y M(r,  ) r M(x,y)
  16. 0  Hình 1.a : Đồ thị trong hệ tọa độ Đề-các Hình 1.b : Đồ thị trong hệ tọa độ cực c) Phương pháp cho bằng biểu thức: Hàm số được cho bởi một hay nhiều biểu thức Ví dụ: f(x) = x2 + x – 3: hàm số được cho bởi 1 biểu thức giải tích. 2x 1 khi x 0 f x 1 hàm số được cho bởi 2 biểu thức giải tích x 3 khi x 0 x 4. Hàm hợp và hàm ngược. a. Hàm số hợp Cho các tập hợp X, Y, Z  R và các hàm số g: X Y, f : Y Z Khi đó hàm số h: X Z định nghĩa bởi : x h(x) = f(g(x)) được gọi là hàm số hợp của hàm số g và hàm số f. Thường ký hiệu hàm số hợp h : h(x) = f[g(x)] hay h(x) = (f.g)(x). Chú ý : Điều kiện tồn tại hàm hợp của hai hàm g và f là : miền giá trị của g là tập con của miền xác định hàm f. Ví dụ : Cho X , Y , Z  R , Xét các hàm số: z = f(y) = y2 + 2 ; y = g(x) = 3x + 1 Khi đó: z = f(g(x)) = [g(x)]2 + 2 = (3x+1)2 + 2 Chú ý: f(g(x)) g(f(x)) Ví dụ : Cho Y , Z  R ; X = [2, + ) Xét các hàm số: f : x sin x ; g : x ln(x ) Khi đó: f(g(x)) = sin( ln( x-2 )) ; g(f(x)) = ln(sinx -2): không tồn tại vì sinx -2 x = (y) thì quy luật là ngược của quy luật f.
  17. Khi đó nói rằng hàm số f với tập xác định là X và tập giá trị Y sẽ có hàm ngược , được ký hiệu là f 1 , như vậy quy luật f 1 chính là quy luật . Ví dụ : Cho hàm số y = f(x) = x2 với tập xác định X  [ 0 , 2 ] và tập giá trị y  [0, 4] khi đó với mỗi giá trị y Y đều cho duy nhất một giá trị x = y [0, 2], như vậy x (y) y => f 1  tức là f 1(x) x Chú ý Để có hàm số ngược thì ngoài quy luật f còn cần phụ thuộc vào các tập xác định và tập giá trị Ví dụ : Cho hàm số y = f(x) = x2 với tập xác định X  [ -1 , 2 ] và tập giá trị y  [0, 4] , khi đó nếu y = 0,09 thì sẽ có 2 giá trị x tương ứng là x1 = -0,3 và x2 = 0,3, như vậy x không thể là hàm của y , do đó quy luật hàm f (x) = x2 với các tập xác định và tập giá trị trên sẽ không có hàm ngược. Nếu hàm y = f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên (a , b) thì f(x) được gọi là đơn điệu trên (a , b) Nếu y = f(x) đơn điệu trên (a, b) thì sẽ tồn tại f 1 Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f 1(x) đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất trong hệ tọa độ đề - các 0xy
  18. II. Các hàm số sơ cấp 1. Các hàm số sơ cấp cơ bản - Hàm luỹ thừa: y = x ( R) - Hàm số mũ: y = ax ( a> 0, a 1). - Hàm logarit: y = logax (a > 0, a 1). - Hàm lượng giác: y = sinx, cosx, tgx, cotgx. - Hàm lượng giác ngược: y = arcsinx, arccosx, arctgx, arccotgx. 1.1 Hàm luỹ thừa: y = xm (m R) Miền xác định của hàm phụ thuộc vào số mũ m , nhưng với mọi m hàm số luôn xác định với x > 0. Ví dụ : 1 y = x2 miền xác định với mọi x thuộc R. y = x miền xác định x 0. y = x-1 = x miền xác định x 0. y = x miền xác định với mọi x thuộc R Tính chất: Xét trên miền [0,+ ) X 0 + y = x , > 0 + 0 y = x , 0, a 1) Miền xác định: R X - +
  19. x Miền giá trị: R+ y = a , a > 1 + + Đồng biến với a > 1 0 + Nghịch biến với a 0, a 1). 1.4 Miền xác định: R+ , 0 1 + Miền giá trị: R y = logax, a>1 + + Đồng biến với a > 1 - + Nghịch biến với a < 1 y = logax, a<1 + - x Hàm y = logax có hàm ngược là hàm y = a . Đồ thị hai hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. 1.4 Các hàm lượng giác ( hàm vòng ) và các hàm luợng giác ngược (vòng ngược ) 1.4.1 Hàm y = sinx và y = arcsinx. Hàm y = sinx Hàm y = arcsinx -Miền xác định: R Xét hàm y = sinx với tập xác định , là một -Miền giá trị: [-1,1] 2 2
  20. -Tính chất: hàm đơn điệu nên  hàm ngược : y = arcsinx +) Hàm lẻ, tuần hoàn chu kỳ 2 -Miền xác định: [-1,1] +) Đơn điệu tăng trên , -Miền giá trị: , 2 2 2 2 -Tính chất: Đơn điệu tăng 1.4.1 Hàm y = cosx và y = arccosx. Hàm y = cosx Hàm y = arccosx - Miền xác định: R Xét hàm y = cosx với tập xác định 0,  , là một - Miền giá trị: [-1,1] hàm đơn điệu nên  hàm ngược : y = arccosx -Tính chất: -Miền xác định: [-1,1] +) Hàm chẵn, tuần hoàn chu kỳ 2 -Miền giá trị : 0,  +) Đơn điệu giảm trên 0,   -Tính chất: Đơn điệu giảm 1.4.3 Hàm y = tgx và y = arctgx. Hàm y = tgx Hàm y = arctgx  - Miền xác định: R \ k ,k Z  Xét hàm y = tgx với tập xác định , , là 2  2 2 - Miền giá trị: R một hàm đơn điệu nên  hàm ngược : y = arctgx -Tính chất: - Miền xác định: R +) Hàm lẻ, tuần hoàn chu kỳ - Miền giá trị: , 2 2
  21. -Tính chất: Đơn điệu tăng +) Đơn điệu tăng trên , 2 2 - Tiệm cận ngang y = - và y = 2 2 1.4.4 . Hàm y = cotgx và y = arcotgx Hàm y = cotgx ( hoặc y = ctgx ) Hàm y = arccotgx Xét hàm y = tgx với tập xác định 0, , là một - Miền xác định: R \ k ,k Z hàm đơn điệu nên  hàm ngược : y = arccotgx - Miền giá trị: R ( hoặc y = arcctgx ) -Tính chất: - Miền xác định: R +) Hàm lẻ, tuần hoàn chu kỳ - Miền giá trị: 0, +) Đơn điệu giảm trên 0, -Tính chất: Đơn điệu giảm - Tiệm cận ngang y = 0 và y = 2. Các hàm sơ cấp : Hàm số sơ cấp là hàm có được từ các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số qua một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp Các hàm số không phải là các hàm sơ cấp được gọi là các hàm siêu việt : Ví dụ : y = | x| - là hàm siêu việt vì nó không biểu diễn được qua các hàm sơ cấp cơ bản nhờ các phép toán tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp BÀI 2 : GIỚI HẠN HÀM SỐ
  22. Nghiên cứu giới hạn của hàm số y = f(x) là nghiên cứu quá trình biến thiên của giá trị y khi giá trị của đối số x a ( hữu hạn ) hoặc khi x . Trong hai quá trình biến thiên của đối số x như trên thì giá trị của y có thể tiến đến giá trị L (giới hạn hữu hạn) hoặc tiến đến (giới hạn vô cực), hoặc không có giới hạn (  giới hạn ) 1. Các định nghĩa về giới hạn của hàm số 1.1 Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x a Định nghĩa : Giả sử hàm số y = f (x) xác định trong lân cận của điểm a (có thể không xác định tại a ). Giá trị L được gọi là giới hạn của f(x) khi x dần tới a ( ký hiệu lim f (x) L ) nếu: x a   > 0 ( nhỏ bao nhiêu tùy ý) sẽ luôn   > 0 để cho  x : 0 x a thì có được f(x) L L Nhận xét: Nếu hàm sơ cấp f(x) xác định tại a và trong lân cận của a thì lim f (x) f (a) . x a 1 3 x sin khi x 0 Ví dụ : cho hàm f (x) x Chứng minh lim f (x) 3 x 0 1 khi x 0 Theo định nghĩa khi cho trước  > 0 ta phải tìm được một số  > 0 để  x :0 x a  thì có được f (x) 3  (1). Để thực hiện được điều này ta xuất phát 1 từ điều kiện phải thỏa mãn (1) tức là f (x) 3  | 3 + x sin - 3 | x 1 1 x sin  x . sin  x 0  (2) , vì vậy ta lấy  = x x  . Như vậy  > 0 cho trước , luôn   =  > 0 để cho  x :0 x a  khi đó sẽ thỏa mãn (2) vì vậy sẽ thỏa mãn (1). Do vậy theo định nghĩa lim f (x) 3 x 0 1.2 Giới hạn vô cực của hàm số khi x a Định nghĩa : Giả sử hàm số y = f (x) xác định trong lân cận của điểm a (có thể không xác định tại a ).
  23. Hàm f(x) được gọi là giới hạn + khi x dần tới a ( ký hiệu lim f (x) ) nếu: x a M > 0 ( lớn bao nhiêu tùy ý) sẽ luôn   > 0 để cho  x : 0 x a  thì có được f (x) M Hàm f(x) được gọi là giới hạn khi x dần tới a ( ký hiệu lim f (x) ) nếu: M x a 0 để cho  x : 0 x a  thì có được f (x) M 1.3 Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x Định nghĩa : Giả sử hàm số y = f(x) xác định  x >a . Giá trị L được gọi là giới hạn của f(x) khi x dần tới + ( ký hiệu lim f (x) L ) nếu:   > 0 ( nhỏ tùy ý cho trước) , luôn  x N > 0 để  x > N thì f (x) L  Giả sử hàm số y = f(x) xác định  x 0 ( nhỏ tùy ý cho trước) , luôn x  N a . Hàm f(x) được gọi là có giới hạn vô cực khi x dần tới + ( ký hiệu lim f (x) ) nếu:  M > 0 ( lớn tùy ý cho trước) , x luôn  N > 0 để  x > N thì f (x) M Giả sử hàm số y = f(x) xác định tại  x 0 ( lớn tùy ý cho trước) , x luôn  N > 0 để  x < N thì f (x) M 1.5 Giới hạn một phía Giới hạn phải.
  24. Xét giới hạn của hàm số f(x ) khi x a và luôn thoả mãn x > a. Nếu giới hạn đó tồn tại ( được ký hiệu là f(a+0) ) thì gọi là giới hạn phải của hàm f(x ) ( khi x dần tới a từ bên phải) Ký hiệu: lim f (x) = f(a + 0) hay lim f (x) = f(a + 0) x a x a 0 Giới hạn trái Xét giới hạn của hàm số f(x ) khi x a và luôn thoả mãn x 0 thì f(x) > 0 trong một lân cận đủ nhỏ của a. Nếu L < 0 thì f(x) < 0 trong một lân cận đủ nhỏ của a. (5) lim f (x) L Mọi dãy {xn}  a thì lim f (xn ) L x a n n Chú ý: Nếu chỉ ra được hai dãy {un} và {vn} a mà lim f (un ) lim f (vn ) (hoặc n n không tồn tại chỉ một trong hai giới hạn trên) thì  lim f (x) x a 3. Các phép toán về hàm có giới hạn Định lí 1: Giả sử: lim f (x) L1 , lim g(x) L2 . ( L1 và L2 là hữu hạn ) , khi đó ta có: x a x a lim( f (x) g(x)) L1 L2 x a lim( f (x)g(x)) L1L2 x a
  25. f (x) L1 lim (nếu g(x) 0 và L2 0) x a g(x) L2 Định lí 2: (Giới hạn hàm hợp) Xét hàm số hợp y = f(u(x)). Nếu tồn tạo giới hạn hữu hạn: limu(x) b, lim f (u) L , thì lim f (u(x)) L . x a u b x a Ví dụ: limsin 5x 1 sin16 x 3 Chú ý: Cả hai định lí trên chưa khẳng định được trong các trường hợp sau (về mặt hình thức): + L1 L2 + L1.L2 0. L 0 L + hoặc1 1 L2 0 L2 Khi tìm giới hạn dạng lim f (x)g (x) thì ta gặp các dạng: x a L2 L2 L2 0 L1 1 hoặc L1 0 hoặc L1 0 Các trường hợp trện gọi là các dạng vô định. Khi gặp các dạng vô định đó, muốn biết cụ thể phải tìm cách để khử dạng vô định. Sau đây sẽ là một số kết quả cơ bản cho phép ta có thể khử được các dạng vô định đó. 4. Hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 4.1 Tiêu chuẩn 1: (Nguyên lý kẹp giới hạn) Định lí: Giả sử 3 hàm số: f(x), g(x), h(x) xác định tại lân cận của điểm x = x0 ( không cần xác định tại x0 ) và thoả mãn: f(x) g(x) h(x)  x thuộc lân cận của a. khi đó nếu lim f (x) lim h(x) L thì lim g(x) L . x a x a x a sin x Áp dụng: Từ định lí trên, người ta chứng minh được công thức giới hạn cơ bản: lim 1 x 0 x ln(1 ex ) Ví dụ: Tính lim = 1 x x (Gợi ý : ex <1+ex < 2ex x = lnex < ln(1+ex ) < ln2ex = ln2 + x) Sau đây là một số ví dụ áp dụng kết quả trên. tgx sinx 1 sinx 1 1) lim lim lim lim 1.1 1 ; x 0 x x 0 x cos x x 0 x x 0 cosx
  26. 2 x x 2sin2 sin 1-cosx 2 1 2 1 sin mx mx m 2) lim lim lim . ; 3) lim lim ; x 0 x2 x 0 x2 x 0 2 x 2 x 0 sin nx x 0 nx n 4. 4 2 4.2 Tiêu chuẩn 2: Định lí : Giả sử hàm số f(x )xác định trên R. Nếu f(x) đơn điệu tăng và bị chặn trên thì tồn tại lim f (x) . x Nếu f(x) đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì tồn tại lim f (x) . x - Hàm f(x) được gọi là đơn điệu tăng (hoặc đơn điệu giảm ) trên khoảng (a , b) nếu x1 x2 (a,b) thì f(x1) f(x2) ) - Hàm f(x) được gọi là bị chặn trên ( hoặc bị chặn dưới) trên khoảng (a , b) nếu  M để f(x) M ) x (a,b) x 1 Áp dụng: xét hàm f(x) = 1 , hàm f(x) là hàm đơn điệu tăng khi x và f(x) bị chặn trên , do đó  lim 1 ,e e là một số vô tỷ , có giá trị e 2,78 x x Nhận xét: 1 Từ giới hạn của số e ta cũng có lim 1 e 0 Có thể vận dụng giới hạn trên để tính giới hạn có dạng 1 Xét lim u(x)v(x) với lim u(x) 1 ; lim v(x) x x0 x x0 x x0 (u(x) 1).v(x)  1  v(x) u ( x ) 1 khi đó có lim u(x) lim 1 (u(x) 1)  x x x x 0 0  lim (u(x) 1).v(x)  (u(x) 1).v(x)  x x lim e e 0 x x 0 Ví dụ: Tính các giới hạn : x 2 x 2 x x  2 x 2 2 2 2 2 (1) lim 1 lim 1 lim 1  e ; x x x x x x 
  27. 2x2 2 2 2 2 x 1 2 2 x 1 x 1 2 x . .x 2 2 2 x 1 2 x 1 2 2 (2)lim 2 lim 1 2 lim 1 2 e ; x x 1 x x 1 x x 1 4.3 Một số công thức giới hạn cơ bản Các công thức giới hạn sau được suy ra từ các hai công thức giới hạn cơ bản trên. sin x tgx arcsin x 1 cos x 1 lim 1; lim 1 ; lim 1 ; lim x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x2 2 x 1 1 ex 1 ax 1 lim 1 e lim 1 x x ; lim 1 ; lim ln a ; x x x 0 x 0 x x 0 x (1 x) 1 ln(1 x) lim ; lim 1 x 0 x x 0 x 5. Vô cùng bé và vô cùng lớn 5.1 Vô cùng bé. a. Định nghĩa: Hàm số α(x) được gọi là một vô cùng bé ( VCB ) trong quá trình x → x0 (hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim (x) 0 x x0 Ví dụ: sinx là VCB khi x→0 x2 là VCB khi x→0 1 là VCB khi x→ x Nhận xét: +) Nói VCB phải gắn vào một quá trình cụ thể của đối số x. +) Một số có giá trị tuyệt đối bé bao nhiêu cũng không là một VCB. +) Số 0 là VCB trong mọi quá trình. b. Tính chất: Tổng, hiệu, tích của hữu hạn các VCB trong cùng một quá trình sẽ là 1 VCB trong quá trình ấy. Tức là: nếu 1( x); 2 ( x); ; m x là các VCB thì: 1(x) 2(x) m x và 1(x). 2(x). m x là các VCB.
  28. Nếu trong cùng một quá trình nào đó (x) là 1 VCB, hàm f(x) là một hàm bị chặn thì cũng trong quá trình ấy (x). f (x) cũng là một VCB. ( hàm f(x) bị chặn trong quá trình nào đó nếu  M để |f(x)| < M trong quá trình ấy) 1 Vídụ : Chứng minh: lim x.cos 0 x 0 x2 1 Giải: Khi x dần tới 0 thì ta có x là một VCB. Mặt khác cos 2 từ đó suy ra x2 1 lim x.cos 0. x 0 x2 c. So sánh hai VCB. Giả sử (x) và  (x) là các VCB trong cùng một quá trình. Nếu trong quá trình ấy tồn tại (x) lim k thì khi đó:  (x) Nếu k = 0 thì (x) là VCB cấp cao hơn  (x) trong quá trình ấy. Nếu k = 1 thì (x) và  (x) là các VCB tương đương, kí hiệu: (x) ~  (x). Nếu k 0,k 1 ( k - hữu hạn) thì (x) và  (x) là các VCB ngang cấp. Nếu k thì  (x) là VCB cấp thấp hơn (x) . Nếu không tồn tại k, thì (x) và  (x) là hai VCB không so sánh được. Ví dụ: sinx (1)sin x ~ x ( x 0 ) do lim 1 . x 0 x (2) tg5x và sin2x là VCB ngang cấp khi x 0 do tg5x tg5x 2x 5 5 lim lim . . x 0 sin 2x x 0 5x sin 2x 2 2 (3) 1 – cos4x là VCB bậc cao hơn e3x 1 khi x 0 do: 2 1 cos4x 2sin2 2x sin 2x 3x 4x2 lim 3x lim 3x lim 2 3x . 0 x 0 e 1 x 0 e 1 x 0 2x e 1 3x
  29. (4)ln 1 2x là VCB có bậc thấp hơn 1 x2 1 khi x 0 do: ln 1 2x ln 1 2x x2 2x 2 lim lim . . x 0 2 x 0 2x 1 x2 0 1 x 1 1 x2 2 1 1 (5)xsin và x là hai VCB không so sánh được khi x 0 do không tồn tại giới hạn: x 1 xsin 1 lim x limsin . x 0 x x 0 x d. Các cặp VCB tương đương cơ bản. . s i n x ~ x ( x 0 ) . tgx ~ x ( x 0 ) . a r c s i n x ~ x ( x 0 ) . a r c t g x : x x 0 . ( a x 1 ) ~ x ln a ( x 0 ) . ( e x 1) ~ x ( x 0 ) . log ( x 1) ~ x ( x 0 ) a ln a . ( x 1 ) 1 ~ x ( x 0 ) x 2 . (1 c o s x ) ~ ( x 0 ) 2 x 3 ( s i n x x ) ~ ( x 0 ) 6 . x 3 t g x x ~ ( x 0 ) 3 Giả sử lim x 0 . Khi đó, từ bảng trên ta có được x a 3 x ( s i n x x ) ~ ( x a ) 6 3 x t g x x ~ ( x a ) 3 5.2 Vô cùng lớn. a) Định nghĩa: Đại lượng α(x) được gọi là một vô cùng lớn ( VCL ) trong quá trình x→x0 (hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim (x) x x0 Ví dụ: x3 là VCL khi x→ nhưng x3 không là VCL khi x→1.
  30. 1 là VCL khi x→2. x 2 Nhận xét: Khi nói tới VCL phải gắn vào một quá trình cụ thể của đối số. b) Liên hệ giữa VCB và VCL 1 Nếu trong một quá trình nào đó (x) là một VCB thì cũng trong quá trình ấy là một (x) 1 VCL. Ngược lại, nếu (x) là một VCL thì cũng trong quá trình ấy là một VCB (x) Ví dụ: x là VCB trong quá trình x → 0 thi 1 là VCL trong quá trình x → 0. x c) Quy tắc so sánh hai VCL Giả sử (x); (x) là các VCL trong cùng một quá trình. Nếu trong quá trình ấy tồn tại (x) lim k thì: (x) - Nếu k = 0 thì x là VCL cấp thấp hơn  x - Nếu k = 1 thì x là VCL tương đương  x . - Nếu k 0;k 1 thì x ,  x là các VCL ngang cấp. - Nếu k thì x là VCL cấp cao hơn  x . Nếu không tồn tại k thì (x) ,  x là các VCL không so sánh được. 1 x Ví dụ1: Khi x 2 thì là VCL ngang cấp với vì x 2 x 2 2 1 x 2 2 x 2 1 lim x 2 lim lim x 2 x x 2 x x 2 x 2 x x 2 x 2 2 8 x 2 2
  31. Ví dụ 2: Khi x thì x3 2x2 1 là VCL có cấp cao hơn x2 1 vì 1 3 2 x 2 x 2x 1 2 lim lim x . x 2 x 1 x 1 1 x2 Ví dụ 3: Khi x thì 3x3 là VCL tương đương với 3x3 2x 1 vì 2 1 3 3x3 2x 1 2 3 3 lim lim x x 1. x 3x3 x 3 3 0 5.3 Ứng dụng của VCB và VCL trong việc tìm giới hạn dang vô định ; . 0 5.3.1 Quy tắc thay thế VCB (VCL) tương đương Giả sử ( x ), ( x ) là hai VCB (VCL) tương đương khi x→x0 (x→)  ( x ) ,  ( x ) là hai VCB(VCL) tương đương khi x→x0 (x→) (x) (x) Khi đó: lim lim x x0 (x) x x0 (x) lim ( (x)(x)) lim (x)(x) x x0 x x0 sin 5x 5x 5 Ví dụ 1: lim lim x 0 tg7x x 0 7x 7 3 ln 1 3x 3x3 6 Ví dụ 2: lim lim x 0 1 cos5x sinx x 0 1 2 25 5x x 2 ex e x ex 1 e x 1 x x 1 1 Ví dụ 3: lim lim lim lim lim 1 x 0 arcsin 2x x 0 2x x 0 2x x 0 2x x 0 2x 2 2 1 2 2 x 5 1 x 1 1 Ví dụ 4: lim lim 5 x 0 tg sin2 x x 0 x2 5 Chú ý:
  32. Chỉ được thay thế các VCB tương đương trong các dạng tích và thương. Không được thay thế trong các dạng tổng và hiệu. Khi tìm giới hạn với quá trình x a,a 0 , ta có thể đổi biến t = x – a, để chuyển quá trình x a bằng quá trình t 0 vì trong quá trình này ta có nhiều dạng VCB tương đương. 1 x.( x2 ) tgx sinx tgx 1 cos x 1 Ví dụ 5: lim lim lim 2 x 0 x3 x 0 x3 x 0 x3 2 Trong ví dụ này ta không thể thay thế tgx sinx bởi x – x = 0. sinmx Ví dụ 6:.lim x sinnx Trong bài này, ta không thể thay simmx bằng mx vì mx m ,m 0 . Ta có thể đổi biến: Đặt x = t + , khi x , t 0 . Khi đó: sinm t 1 m sin(mt) 1 m n mt 1 m n m I lim lim lim . x sinn t t 0 1 n sin(nt) t 0 nt n 5.3.2 Quy tắc ngắt bỏ các VCB cấp cao Giả sử trong cùng một quá trình nào đó có các đại lượng VCB 1(x); 2 (x); ; m x và 1( x);  2 ( x); ;  n ( x). Khi đó: (x) (x) x (x) lim 1 2 m lim 1(x) 2 (x) n (x (x) trong đó (x);(x) là các VCB cấp thấp nhất ở tử thức, mẫu thức ( chú ý: so sánh với toàn bộ tử thức, toàn bộ mẫu thức). Áp dụng: Tính các giới hạn sau: x sin2 x tg 3 x Ví dụ 1: lim x 0 2x 3x5 5x7
  33. Giải: Trong quá trình x 0 , ta có: + sin2x ≈ x3 tg3x ≈ x3. Vậy x là VCB có bậc thấp nhất trên tử thức. + 2x là VCB có bậc thấp nhất dưới mẫu thức. Theo qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao, ta có: x sin 2 x tg 3 x x 1 lim lim x 0 2x 3x5 5x7 x 0 2x 2 arcsin5x sin 2 7x Ví dụ 2: lim . x 0 tg 2 x ln 1 7x Giải: Trong quá trình x 0 , ta có: arcsin5x ≈ 5x , sin27x ≈ (7x)2 ; tg2x ≈ x2 , ln(1 + 7x ) ≈ 7x . Vậy arcsin5x là VCB có bậc thấp nhất trên tử thức và ln(1 + 7x) là VCB có bậc thấp nhất dưới mẫu thức nên theo qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao ta có: arcsin5x sin 2 7x arcsin5x 5x 5 lim lim lim . x 0 tg 2 x ln 1 7x x 0 ln 1 7x x 0 7x 7 2 x3 ex 1 cos2x 1 2 Ví dụ 3: lim x 0 3artg 3 x ln 1 7xsinx Giải: Trong quá trình x 0 , ta có: 2 1 + ≈ ( exx 1)2 2 ( cos2x - 1)2 ≈ (2x)2 4x 4 2 + 3arctg3x ≈ 3x3 ; ln(1 + 7xsinx) ≈ 7xsinx ≈ 7x2 2 Vậy ex 1 ,ln 1 7xsinx lần lượt là các VCB bậc thấp nhất trên tử thức và dưới mẫu thức. 2 2 2 x3 ex 1 cos2x 1 ex 1 x2 1 Vậy: lim lim lim . x 0 3artg 3 x ln 1 7xsinx x 0 ln 1 7xsinx x 0 7x2 7
  34. tg sin 2 x xln 1 2x x3 Ví dụ 4: lim . x 0 ( 1 4x2 1) (x sinx) Giải: Trong quá trình x 0 , ta có: + tg(sin2x) ≈ sin2x ≈ x2 ; xln(1+ 2x) ≈ x . 2x = 2x2 1 1 x3 + 1 4x 2 1 1 4x 2 2 1 4x 2 2x 2 ; x sin x 2 6 Vậy tg(sin2x) và xln(1 + 2x) là hai VCB cùng bậc và có bậc thấp nhất trên tử thức. 1 4x2 1là VCB có bậc thấp nhất dưới mẫu thức. Do vậy: tg sin 2 x xln 1 2x x3 tg sin 2 x xln 1 2x lim lim x 0 ( 1 4x2 1) (x sinx) x 0 ( 1 4x2 1) tg sin 2 x xln 1 2x lim lim x 0 ( 1 4x2 1) x 0 ( 1 4x2 1) x2 x 2x 1 2 3 lim lim . x 0 1 x 0 1 4x2 4x2 2 2 2 2 2 5.3.3 Quy tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp. Giả sử và là các VCL trong cùng một quá trình. 1( x); 2 ( x); ; m x 1(x);2 (x); ;n (x) (x) (x) (x) (x) Khi đó: lim 1 2 m lim 1(x) 2 (x) n (x) (x) trong đó (x) ; (x) là các VCL cấp cao nhất ở tử thức và mẫu thức. Chú ý: n n 1 Với đa thức Pn x an x an 1x a1x ao , trong quá trình x→+ thì: Pn(x) ≈ ở đây k, n nguyên dương, ai hằng số, an khác 0. Khi x→ + , ta có thể xắp xếp các VCL sau theo thứ tự bậc cao dần như sau:
  35. 1 2 x x ln x; x , x ( 2 1 0),a1 ,a2 (a2 a1 1) . Áp dụng: Tính các giới hạn sau: 2x3 4x 5 2x3 Ví dụ 1 : lim lim 2 . x x3 6x2 8x 1 x x3 n n 1 n 2 n 3 n4 1 Ví dụ 2:.lim lim n 3n4 2n2 1 n 3n4 3 4 n5 1 3 n2 2 4 n5 1 4 n5 1 Ví dụ 3: lim lim lim lim 0 n 5 4 3 n 3 n 3 n 1 n 1 n 2 n 2 n n 4 3x 4x 4x 1 Ví dụ 4: lim lim . x 2x 5.4x x 5.4x 5 3x x3 ln x 3x 1 Ví dụ 5: lim lim . x x2 2ln x 5.3x x 5.3x 5 BÀI 3 : HÀM SỐ LIÊN TỤC I. Hàm số liên tục 1. Liên tục tại một điểm. Giả sử hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của x0. Hàm số f(x) gọi là liên tục tại x0 nếu lim f (x) f (x0 ) . x x0 Khi đó điểm x0 gọi là điểm liên tục của hàm số f(x). Ví dụ: f(x) = sinx liên tục trên R. 1 f (x) không liên tục tại x = 2 (vì f(x) không xác định tại x = 2) x 2 Kết quả cần nhớ : Hàm số sơ cấp liên tục tại mọi điểm mà nó xác định 2. Liên tục một phía. + Liên tục phải: Nếu lim f (x) f (x ) thì f(x) gọi là liên tục phải tại x . 0 0 x xo + Liên tục trái: Nếu lim f (x) f (x ) thì f(x) gọi là liên tục trái tại x . 0 0 x xo Định lý: Hàm số f(x) liên tục tại x khi và chỉ khi lim f (x) lim f (x) f (x ) 0 0 x xo x xo
  36. Ví dụ 1: Xác định a để hàm số liên tục trên miền xác định của nó: 2ex khi x 0 1) f (x) a 2x khi 0 x 1 cos3x khi x 0 2) f (x) x2 a khi x 0 Giải: 1) - f(x) liên tục tại mọi x ≠ 0 vì các biểu thức xác định f(x) là các hàm số sơ cấp xác định tại mọi x ≠ 0. - Tại x = 0: f (0 0) lim 2ex 2 ; f (0 0) lim a 2x a f (0) . x 0 x 0 Vậy để f(x) liên tục tại x = 0 thì: f (0 0) f 0 0 f 0 a 2. Vậy với a = 2 thì hàm số đã cho liên tục trên R. 2) - Với x ≠ 0, f(x) là hàm số sơ cấp nên liên tục. 1 2 3x 1 cos3x 9 - Tại x = 0: lim f x lim lim 2 ; f 0 a . x 0 x 0 x2 x 0 x2 2 9 Vậy f(x) liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi a = . 2 9 Vậy với a = thì hàm số đã cho liên tục trên R. 2 Ví dụ 2: Xác định các hằng số a, b để các hàm số sau đây liên tục: 3 2 x 1 khi x 1 2 x 1 x + 2 khi x 1 2 1) f (x) ax b khi -1 x 0 2) f (x) ax b khi 1 0 nên liên tục tại các điểm này. - Tại x = -1: f 1 0 lim (a x2 b) a b f 1 x 1
  37. 3 2 x 1 2 x 1 f ( 1 0) lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 3 2 x 3 2 x 1 1 1 lim 2 x 1 3 2 x 3 2 x 1 3 1 Để f(x) liên tục tại x = -1 thì f 1 0 f 1 0 f 1 a b (1) 3 - Tại x = 0: f 0 0 lim (a x2 b) b f 0 x 0 e3x 1 3x f 0 0 lim lim 3. x 0 3 x 0 x Vậy f(x) liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi b = 3 (2). 8 Kết hợp (1) và (2) suy ra a = . 3 8 Vậy với a = và b = 3 thì hàm số đã cho liên tục trên R. 3 2) f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại mọi x 2 nên liên tục tại các điểm này. - Tại x = 1: f 1 0 lim( x2 2) 5 f 1 f 1 0 lim( a x b) a b x 1 x 1 => f(x) liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi a + b = 5 (1). 4 4 - Tại x = 2: f 2 0 lim (a x b) 2a b f (2) . f 2 0 lim 2 x 2 x 2 x 2 Vậy để f(x) liên tục tại x = 2 thì 2a + b = 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra a = -3; b = 8. Kết luận: với a = -3; b = 8 thì hàm số đã cho liên tục trên R. 3. Liên tục trên một khoảng, đoạn. Hàm số f(x) liên tục trong khoảng (a, b) nếu f(x) liên tục tại mọi x (a, b). Ký hiệu f (x) C(a , b ) Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nếu f(x) liên tục trong (a, b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b. Ký hiệu f (x) C[a , b ]
  38. Ý nghĩa hình học: Nếu hàm y f (x) C a,b thì đồ thị y = f(x) là một f(b) đường liền nét đi từ 0 a b x A(a, f(a)) đến B(b, f(b)). f(a) 4. Tính chất của hàm liên tục trên một đoạn a) Tính chất 1: (Tính bị chặn) Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) bị chặn trên [a, b]. Tức là:  M > 0 :  x [a, b] : f x M b) Tính chất 2: Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên [a, b]. Tức là:  x1, x2 [a, b]: f (x1 ) min f (x); f (x2 ) max f (x) [a, b] [a, b] c) Tính chất 3: Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) đạt mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của nó trên [a,b]. Tức là: nếu m min f (x);M max f (x); [a, b] [a, b] Thì  : m  M x0 [a,b] : f (x0)  Hệ quả: Nếu f (x) C[ , ]. cho y a,b ( , ) sao cho a < b và f(a).f(b) < 0 khi đó tồn tại 1 điểm 0 a c b x c [a,b] sao cho f(c)=0. Áp dụng : Phương pháp chia đôi liên tiếp : Giải bằng gần đúng phương trình f(x) = 0 Để giải gần đúng phương trình f(x) = 0 theo phương pháp chia đôi liên tiếp thì hàm f(x) cần thỏa mãn điều kiện : f(x) liên tục trên [a , b ] và f(a) . f(b) < 0
  39. Ở đây ta phải hiểu : - các ký hiệu a, b , c là địa chỉ chứa các giá trị a ,b , c - ký hiệu “ a : = b ” là gán giá trị ở địa chỉ b vào địa chỉ a Cần tìm nghiệm gần đúng f(x) = 0 với sai số là  y y 0 a c b x 0 a c b x a) b) Thuật giải: a b Bước 1. c : = 2 Bước 2. Nếu f(c) . f(a) 0 thì a : = c - trường hợp b) tức là thay [a , b ] bởi [c , b ] a b a b Bước 3. Nếu c  thì dừng tính và nghiệm gần đúng x0 = 2 2 a b Nếu c  thì quay về bước 1 2 II. Điểm gián đoạn của hàm số 1. Định nghĩa: Hàm số f(x) gọi là gián đoạn tại điểm x0 nếu f(x) không liên tục tại x0. Khi đó điểm x0 gọi là điểm gián đoạn của hàm số. 2. Các trường hợp gián đoạn. Điểm x0 là điểm gián đoạn của f(x) nếu thuộc một trong các trường hợp sau: Hàm số f(x) không xác định tại x0 1 Ví dụ: f (x) có điểm gián đoạn x = 0 x
  40. lim f x lim f x x x0 x x0 lim f x lim f x f (x ) 0 x x0 x x0 sin x khi x 0 Ví dụ: f (x) x 3 khi x 0 3. Phân loại điểm gián đoạn. Giả sử điểm x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x). Điểm x0 gọi là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số f(x) nếu tồn tại giới hạn trái và giới hạn phải hữu hạn của hàm số f(x) tại x0 . Khi đó: h f (x0 0) f (x0 0) gọi là bước nhảy của f(x) tại x = x0. Khi h = 0 thì x0 là điểm gián đoạn có thể khử được bằng cách bổ sung giá trị của hàm số tại điểm x0 chính bằng giá trị giới hạn đó. sin x Ví dụ: f (x) gián đoạn tại x = 0 x sin x khi x 0 do đó đặt f (x) x thì f(x) liên tục tại x = 0. 1 khi x 0 Các điểm gián đoạn của hàm số không phải là điểm gián đoạn loại 1 thì gọi là điểm gián đoạn loại 2. Ví dụ Xét tính liên tục và phân loại điểm gián đoạn của hàm số: sin x 1 khi x 0 xsin khi x 0 1) f (x) x 2) f (x) x 1 khi x 0 0 khi x 0 x x2 khi 0 x 1 cos khi x 1 3) f (x) 4) f (x) 2 2 - x khi1 x 2 x -1 khi x 1 CHƯƠNG II : PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN I) Đạo hàm cấp 1 1.1) Định nghĩa đạo hàm
  41. a) Đạo hàm tại một điểm. Giả sử hàm số y = f(x) xác định tại điểm x0 và lân cận của x0 . Cho x0 số gia x , khi đó nhận được số gia tương ứng của hàm số: y = f(x0 + x ) – f (x0 ) y Nếu tồn tại lim = A (hữu hạn) thì A được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0. x 0 x y Ký hiệu: f ’(x0) = A , tức là f ’(x0) = lim x 0 x Ví dụ1 : Cho f(x) = x2 + 1. Tính f ’(1). Cho x0 = 1 số gia x. 2 2 Số gia tương ứng của hàm số: y = (1 + x ) + 1 – (1+1) = 2 x + ( x ) y Ta có: lim = 2 , Vậy :f ’(1) = 2 x 0 x Ví dụ 2 : Cho f(x) = sinx , tính f ’(x) = ? Do f(x) = sinx xác định tại mọi giá trị x nên thỏa mãn giả thiết để có thể tính được f ’(x). x x Cho x số gia x => f = sin(x + x) - sinx = 2cos x sin 2 2 do đó x x x 2cos x sin sin f 2 2 x 2 lim lim lim cos x cos x x 0 x x 0 x x 0 2 x 2 Vậy sin x cos x Ý nghĩa của đạo hàm :  Nếu hàm f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì đường cong y = f(x) sẽ có tiếp tuyến tại điểm M0(x0 , f(x0) ) và đường cong được gọi là trơn tại x0. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0 sẽ là y = f ’(x0) ( x - x0) + f(x0)  Nếu hàm f(x) có f ’(x) > 0 trên (a , b ) thì hàm số đồng biến ( đơn điệu tăng) trên (a , b), còn nếu f ’(x) < 0 trên (a , b ) thì hàm số nghịch biến ( đơn điệu giảm) trên (a , b). Như vậy dựa vào dấu hiệu của đạo hàm ta có thể khảo sát được chiều biến thiên của hàm số.
  42. b) Đạo hàm trái, phải. Giả sử hàm số y = f(x) xác định tại điểm x0 và lân cận trái của x0 ( tức là với x y’=0 y = xm (m R) ==> y’= m xm-1 y = sinx ==> y’=cosx
  43. y = cosx ==> y’= - sinx 1 y = tgx ==> y’= ; ( = 1 + tg2x ) cos2x 1 y = cotgx ==> y’= ; ( = - 1 - ctg2x ) sin2x y = ax ==> y’= aX lna y = ex ==> y’= ex 1 y = logax ==> y’= xlna 1 y = lnx ==> y’= x 1 y = arcsinx ==> y’= 1-x2 1 y = arccosx ==> y’= - 1-x2 1 y = arctgx ==> y’ = 1+x2 1 y = arccotgx ==> y’ = - 1+x2 b) Tính đạo hàm theo quy tắc. +) Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương. Giả sử f(x), g(x) có đạo hàm trên (a, b). Khi đó: [f(x) + g(x)]’ = f ’(x) + g’(x) [f(x) - g(x)]’ = f ’(x) - g’(x) [K. f(x)]’ = K. f ’(x) [f(x)g(x)]’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x) , f (x) f '(x)g(x) f (x)g '(x) 2 , (g(x) 0). g(x) g (x) +) Đạo hàm của hàm hợp. Xét hàm hợp: y = f(u(x)) . Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm tại x0. Hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u0 = u(x0). Khi đó hàm hợp y = f(u(x)) có đạo hàm tại x0 với: y’(x0 ) = f’(u0).u’(x0) Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau: y = sin(2x+1) y’= (2x + 1)’.cos(2x+1) = 2.cos(2x +1) 1 y = cos(lnx) y’= - sin (lnx) .(lnx)’. sin(ln x) x
  44. y = ln(x x2 1) y’= x 1 y = arctg( ) y’= x2 1 Tổng quát ta có: y’x= f ’u.u’x +) Đạo hàm của hàm ngược Giả sử hàm y = f(x) có đạo hàm tại x0 và f’(x0) 0. Nếu f(x ) có hàm ngược x=g(y )thì g(y) 1 1 cũng có đạo hàm tại y0=f(x0) với: g '(y0 ) Tổng quát: g '(y) f '(x ) y y0 f '(x) 0 x x0 II) Vi phân 2.1) Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác định tại x0 và lân cận của x0. Cho x0 số gia x , khi đó nhận được số gia tương ứng của hàm số: f = f(x0 + x ) – f (x0 ) Nếu f biểu diễn được dưới dạng f = A. x + ( x) trong đó A là hằng số chỉ phụ thuộc x0 và ( x) là VCB cấp cao hơn x khi x → 0. thì biểu thức A. x gọi là vi phân của f(x) tại x0 và ký hiệu: df = A. x Khi đó ta nói f(x) khả vi tại x0 Nhận xét : Nếu hàm số f(x) khả vi tại x0 với df = A. x thì f(x) có đạo hàm tại x0 và f ’(x0) = A. Ngược lại nếu f(x) có đạo hàm tại x0 thì khả vi tại x0 và df = f ’(x0) x. Như vậy tính có đạo hàm và tính khả vi của hàm số luôn đi cùng nhau. Xét hàm số f(x) = x có f ’(x) = 1 với  x nên df = dx = 1. x => x = dx Do đó ta có biểu thức vi phân của hàm số f(x): df (x) df = f’(x)dx => f '(x) dx 2.2 Ứng dụng vi phân tính gần đúng Giả sử hàm số f(x) khả vi tại x0 và f ’(x0) 0. Ta có: y = f(x0 + x ) – f (x0 ) = f ’(x0) x + ( x) Với x rất nhỏ thì f(x0 + x ) – f (x0 ) f ’(x0) x ( do bỏ qua VCB cấp cao ( x) ) Suy ra: f(x0 + x ) f (x0 ) + f ’(x0) x
  45. Ví dụ: 3 3 1  Tính 1,02 , đặt f(x) = x , lấy x0 = 1, x = 0,02 , có f '(x) . 33 x2 3 3 1 2 302 => f(x0 + x ) = 1,02 = f (x0 ) + f ’(x0) x = 1 .0,02 1 33 12 300 300 302 Vậy 3 1,02 300  0 0 0 0 0 0 Tính sin29 , đặt f(x) = sinx , 29 = 30 - 1 ; có 30 = và 1 = ; lấy x0 = , 6 180 6 1 3 180 3 x = - => sin300 = sin( - ) sin - .cos = . 180 6 180 6 180 6 2 180 2 360 V) Một số ứng dụng của phép tính vi phân 1) Quy tắc Lopital 1 ( xét cho quá trình x x0 hữu hạn ) Định lý 1: Giả sử các hàm f(x ), g(x ) liên tục tại x0 , khả vi ở lân cận x0 , thỏa mãn các điều kiện : f(x0) = g(x0) = 0 và g’(x) 0 ở lân cận x0. f '(x) f (x) khi đó nếu lim A thì lim A x x0 g'(x) x x0 g(x) f (x) f (x) f (x0 ) Do lim lim mà f(x) và g(x) liên tục trên [ x , x0] ( hoặc trên [x0 , x]), x x 0 g(x) x x 0 g(x) g(x0 ) khả vi trên (x , x0) ( hoặc trên (x ,x0 )) , áp dụng Cauchy ta được f (x) f (x0 ) f (c) lim lim với c ( x , x0 ) do f(x) và g(x) liên tục tại x0 do đó x x 0 g(x) g(x0 ) x x 0 g(c) f (c) f (x ) lim lim 0 x x 0 g(c) x x 0 g(x0 ) Ví dụ: sin 3x 0 sin 3x 3cos3x sin 3x 1)lim có dạng , xét lim lim 3 , vậy lim 3 x 0 x 0 x 0 x x 0 1 x 0 x ln(1 2x) 0 ln(1 2x) 2 ln(1 2x) 2) lim có dạng , xét lim lim 2 , vậy lim = 2 x 0 x 0 x 0 x x 0 1 2x x 0 x
  46. x tgx 0 x tgx 1 1 tg2x tg2x 1 3) lim có dạng , xét lim lim lim 3 2 2 x 0 x 0 x 0 x3 x 0 3x x 0 3x 3 x tgx 1 vậy lim x 0 x3 3 Định lý 2: Giả sử các hàm f(x ), g(x ) khả vi ở lân cận x0 (trừ điểm x0), thỏa mãn các điều kiện sau: lim f (x) ; lim g(x) và g’(x) 0 ở lân cận x0. x x 0 x x 0 f '(x) f (x) Nếu lim A thì lim A x x0 g'(x) x x0 g(x) Ví dụ: ln x 1) lim x .ln x ; ( 0) . Có lim x .ln x lim , có dạng xét x 0 x 0 x 0 1 x ln x ln x 1 x lim lim lim lim = 0 , vậy lim x .ln x 0 ; ( 0) x 0 1 x 0 x 0 1  x 0 x 0 1  x. x   x  x 2) Quy tắc Lopital 2 ( xét cho quá trình x ) Định lý 1: Giả sử các hàm f(x ), g(x ) khả vi x a (x a ) , thỏa mãn các điều kiện : lim f (x) lim g(x) 0 và g’(x) 0 x a (x a ) x x (x ) (x ) f '(x) f (x) khi đó nếu lim A thì lim A x g'(x) x g(x) (x ) (x ) Ví dụ : arctgx 0 lim x.( arctgx) lim 2 có dạng , xét : x 2 x 1 0 x arctgx 2 1 x2 x2 lim lim lim 1 Vậy lim x.( arctgx) 1 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 2 x Định lý 2:
  47. Giả sử các hàm f(x ), g(x ) khả vi x a (x a ) , thỏa mãn các điều kiện : lim f (x) ; lim g(x) và g’(x) 0 x a (x a ) x x (x ) (x ) f '(x) f (x) khi đó nếu lim A thì lim A x g'(x) x g(x) (x ) (x ) Ví dụ ex ex ex ex 1)lim có dạng , xét lim lim , vậy lim x x x x x 1 x x ln x 2) lim ( với  > 0 ) có dạng , x x ln x 1 1 ln x xét lim lim lim 0 , vậy lim 0 , ( với  > 0 ) 1 x x x x.x x .x x x Chú ý Trong các phát biểu trên A có thể là giá trị hữu hạn hoặc vô cực Quy tắc Lopital có thể được áp dụng liên tiếp nhiều lần x sin x 0 Ví dụ : lim có dạng nên ta áp dụng Lôpital : x 0 x3 0 x sin x 1 cos x 0 xét lim lim , đến đây lại có dạng , tiếp tục áp dụng Lôpital ta x 0 x 0 2 0 x3 3x x sin x 1 được kết quả giới hạn lim x 0 x3 6 f (x) Quy tắc Lôpital chỉ là điều kiện đủ để kết luận sự tồn tại của lim x x 0 g(x) ( x ) khi giới hạn này ở dạng 0 hoặc . 0 f (x) f (x) ( Tức là khi  lim nhưng vẫn có thể  lim ) x x x x 0 g(x) 0 g(x) ( x ) ( x ) f (x) Chính vì vậy trong khi trình bày ta xét giới hạn nếuli mtồn tại thì mới có kết x x 0 g(x) ( x ) f (x) luận sự tồn tại của lim x x 0 g(x) ( x ) Ví dụ:
  48. x sin x 1 cos x lim x sin x 1, nhưng áp dụng Lopitallim lim không tồn tại. x x x x x 1 1 x2 sin x 1 lim x lim x.sin 0 , nhưng áp dụng Lopital x 0 sin x x 0 sin x x 1 1 1 1 x2 sin 2x.sin x2 cos x x 2 x 1 lim lim x 0 lim cos , không tồn tại x 0 sin x x 0 cos x x 0 x 3. Các giới hạn dạng vô định : 0. ; 0 ; 1 Dạng 0. : 0 Biến đổi về một trong hai dạng ; rồi áp dụng Lô-pi-tal 0 Ví dụ ln x  lim x.ln x lim ( đưa về dạng ) x 0 x 0 1 x Dạng 0 ; 1 Để tính giới hạn các dạng này người ta áp dụng phương pháp loga hóa để đưa về dạng 0. 0 rồi tiếp tục đưa về một trong hai dạng ; 0 Ví dụ : 1 1 1  Tìm giới hạn sau : I = lim x x . Đặt A(x) = x x => lim ln A(x) lim ln x x x x x ln x 1 khi đó giới hạn có dạng , áp dụng quy tắc Lô-pi-tal : xét lim lim 0 x x x x 1 vậy lim ln A(x) lim ln x 0 => ln lim A(x) 0 I lim A(x) e0 1 x x x x x 1  Tìm giới hạn I = lim cos x sin x - Giới hạn có dạng vô định 1 x 0 Chú ý : Dạng vô định 1 ngoài phương pháp loga hóa ta có thể sử dụng giới hạn dạng 1 1 lim(1 ) e hoặc lim(1 )t e 0 t t Ví dụ :
  49. 1 1 cosx 1 2  lim(cos x) x lim1 (cos x 1)cosx 1 x2 x 0 x 0 cosx 1 cosx 1 1 1 2 lim x 2 lim 1 (cos x 1)cosx 1 ex 0 x e 2 x 0  x2 x (2x 1).x x x 2 3x 1 2x 1 2x 1 x2  lim 2 lim 1 2 x x x x 0 x x (2x 1).x lim ex x2 e2
  50. CHƯƠNG III: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN BÀI 1: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH. I. Nguyên hàm. 1. Định nghĩa. Giả sử hàm số f(x) xác định trên (a,b).Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên đoạn (a, b) nếu F’(x) = f(x) với mọi x (a, b). Ví dụ: sinx là nguyên hàm của cosx trên R vì (sinx)’=cosx. sinx +1 là nguyên hàm của cosx trên R. sinx + c là nguyên hàm của cosx trên R (v ới c = c onst) 3 x là nguyên hàm của x2 trên R. 3 Nhận xét :  Nguyên hàm của một hàm số là một hàm số xác định  Một hàm số có thể có nhiều các nguyên hàm khác nhau 2.Điều kiện tồn tại nguyên hàm. Định lí 1: Nếu hàm f(x) liên tục trên (a,b) thì f(x) có nguyên hàm trong khoảng đó. Chú ý:  Điều ngược lại không đúng. Tức là nếu f(x) có nguyên hàm nhưng chưa chắc đã liên tục : 1 1 1 x2cos x 0. sin 2xcos x 0. Ví dụ: Hàm F(x) = x là nguyên hàm của f(x) = x x vì 0 x 0. 0 x 0. F’(x) = f(x) tại mọi x nhưng f(x) không liên tục tại x = 0.  Mọi hàm số sơ cấp đều tồn tại nguyên hàm trên tập xác định của nó. 1 Ví dụ: f(x) = xác định trên (-1, 1) và có một nguyên hàm là F(x) = arcsin x. 1 x2 3. Định lí tổng quát về nguyên hàm. Định lí 2: Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a,b). Khi đó trên (a,b) ta có: Với mọi hằng số C0 xác định thì F(x) + C0 cũng là nguyên hàm của f(x) Mọi nguyên hàm khác của f(x) đều có dạng F(x) + Co với Co là hằng số nào đó. Nhận xét:  Nếu hàm số f(x) có một nguyên hàm trong khoảng (a, b) thì nó sẽ có vô số nguyên hàm khác và các nguyên hàm này chỉ sai khác nhau 1 hằng số cộng
  51.  Nếu F(x) và G(x) là hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm f(x) thì luôn tồn tại một hằng số C0 để F(x) = G(x) + C0  Ta gọi F(x) + C là biểu thức nguyên hàm tổng quát của f(x) II. Tích phân bất định 1. Định nghĩa. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b) thì biểu thức F(x) + C ( với C là hằng số tùy ý) được gọi là tích phân bất định của f(x) trên khoảng (a, b). Kí hiệu: F(x) + C = f (x)dx . Trong đó: dấu tích phân x biến lấy tích phân f(x) hàm dưới dấu tích phân f(x)dx biểu thức dưới dấu tích phân Ví dụ: 2x dx = x2 + C 1 cos3x dx = sinx + C 3 Nhận xét :  Khác với nguyên hàm ( là một hàm số xác định ) , tích phân bất định là một biểu thức , nó biểu thị một họ các hàm số là các nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân.  Ứng với một giá trị xác định của hằng số C, ta được một hàm số xác định – là nguyên hàm của hàm đưới dấu tích phân. Đồ thị của các hàm số này trên hệ tọa độ Oxy là các đường cong “ đồng dạng ” – tịnh tiến theo trục oy . Và như vậy mỗi điểm M(x,y) trên Oxy ( mà x (a , b) ) sẽ chỉ có một đường cong y = F(x) + C0 đi qua . y y = F(x) + C1 y = F(x) + C2 y = F(x) + Cn 0 x 2.Các tính chất của tích phân bất định
  52. d f x dx f x dx ' f x dx f x d F x F x C Giả sử f(x) và g(x) đều có nguyên hàm . Khi đó với mọi ,  R thì [ f(x) +  g(x) ]dx = f(x)dx + g(x)dx Nếu f(x)dx = F(x) + C thì f(u) du = F(u) + C với u = u(x). 1 1 Ví dụ: Tính I =cos5xdx cos5xd(5x) sin 5x . 5 5 2. Bảng các tích phân bất định cơ bản. x 1 1. x dx C, 1 . 1 6. cosxdx = sinx +C 1 2. dx 2 x C x 7. sinxdx = cosx +C 1 1 3. dx ln x C 8. dx = tgx +C x cos2x x x 1 4. e dx e C 9. dx cotgx+C sin2 x a x 5. a xdx C, a 0,a 1 . 1 10. dx arcsinx +C= arccosx +C ln a 2 1 x 1 11. dx arctgx +C arccotgx+C x2 1 1 b 16. x2 bdx x. x2 b ln x x2 b C 1 12. dx ln x x2 b C 2 2 2 2 x b 1 a x 17. a2 x2 dx x. a2 x2 arcsin C 1 1 x 2 2 a 13. dx arctg C x2 a2 a a dx 1 x a 18. ln C 1 x x2 a2 2a x a 14. dx arcsin C 2 2 a x a 4. Ví dụ minh họa. Áp dụng công thức cơ bản tính các tích phân sau: (x x)(1 x) x x x 7 1 6 13 6 7 1. dx dx x 6 x 6 dx x 6 x 6 C 3 3 x x 13 7 dx 1 1 2. (x a) k dx . C (x a)k (1 k) (x a)k 1 dx 3. 2 2 a x
  53. dx 1 1 1 1 a x 4. dx ln C 2 2 a x 2a a x a x 2a a x dx 1 1 5. 2 2 2 2 dx tgx cotgx C sin x cos x sin x cos x III. Các phương pháp tính tích phân bất định. 1. Phương pháp đổi biến số. 1.1 Đổi biến t = (x) với (x) là hàm khả vi liên tục. Phương pháp : Giả sử ta cần tính f x dx - Đổi biến t = (x). - Lấy vi phân dt = ’(x)dx và biểu diễn f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt. - Khi đó : f x dx g(t)dt Ví dụ 1: (1) I = x2 x3 1.dx đặt x3+1 = t => dt = 3x2 dx I = 1 t.dt 2 t t C 2 (x3 1)3 C 3 9 9 2 (2) I = ex 1xdx đặt x2 – 1 = t 2 I = 1 et dt 1 et dt C 1 ex 1 C 2 2 2 sin 2xdx (3) I = đặt t = cos2 x => dt = 2sinxcosx dx = sin2x dx cos4 x 1 dt I arctg t C t2 1 (4) I = dx đặt t = ln(x+x2 1 ) => dt = dx 2 2 x 1 x 1 I = dt = t + C = ln(x + x2 1 ) + C Tổng quát I = dx = lnx + x2 b + C 2 x b 10 (5). Tính I = 1 5x2 x3dx (HD: Đặt t = 1 – 5x2) e2x (6) Tính dx (HD: Đặt t = 4 1 ex ) 4 x 1 e 1.2 Đổi biến x = (t) Phương pháp:
  54. - Đặt x = (t) trong đó (t) là hàm đơn điệu, khả vi liên tục đối với t trên một khoảng (a, b) nào đó. Khi đó ta có hàm ngược t = (x) - Lấy vi phân hai vế dx = ’(t)dt. - Khi đó f x dx f  t  ' t dt Ví dụ: (1) dx (a>0) Đặt x = a.t x2 a2 dx (2) (a> 0) Đặt x = a.sint, t [ , ] 2 2 a x 2 2 (3) a2 x2 dx Đặt x = asint, t [ , ] 2 2 dx a (4) dx Đặt x = t 0,  , 2 2 x x a cost 2 2 a hoặc x = , t ,0  0, sint 2 2 dx (5) Đặt x = atgt, t ( , ). 3/ 2 x2 a2 2 2 a x (6) dx Đặt x = a.cos2t, t [0, ] a x 2 Nhận xét: - Sau khi đổi biến ta phải quay trở lại biến ban đầu. - Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa các căn thức a2 x2 ,x2 a2 thì sử dụng các a phép đổi biến tương ứng: x = a.sint, t [ , ](hay x = acost); x = , t 0,  , 2 2 cost 2 2 a hoặc x = , t ,0  0, ; sint 2 2 - Nếu biểu thức dưới dấu tích phân chứa căn thức dạng a2 x2 thì có thể đổi biến dạng x et e t et e t = a.tgt, t ( , ) hoặc x = a. sh(t) ; ( hàm sh(t) ; ch(t) ; và luôn có 2 2 2 2 ch2t - sh2t = 1 , (sht)’ = cht , (cht)’ =sht ) - Nếu hàm dưới dấu tích phân là f(x)= R ex ,e2x , ,enx thì có thể đổi biến t = ex.(ở đây R là hàm hữu tí) 2. Phương pháp tích phân từng phần. Nội dung: Giả sử u(x), v(x) là các hàm có đạm hàm liên tục thì ta có:
  55. udv = u.v – vdu Phương pháp: - Giả sử cần tính f x dx - Chọn u = u(x) và từ đó suy ra v. Tính du và biểu diễn f(x)dx = udv. - Áp dụng công thức tích phân từng phần Một số trường hợp sử dụng phương pháp tích phân từng phần: Nhóm 1: gồm những tích phân mà hàm dưới dấu tích phân có chứa thừa số là một trong các hàm sau: lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, (arctgx)2, (arccosx)2, ln(φ (x)) . Khi đó ta chọn u là một trong các hàm số đã chỉ ra còn dv là phần còn lại của biểu thức dưới dâu tích phân. Nhóm 2: gồm những tích phân mà hàm dưới dấu tích phân có dạng Pn(x)cosbx hoặc ax Pn(x)sinbx, hoặc Pn(x)e trong đó Pn(x) là đa thức bậc n, a, b là hằng số. Khi đó ta đặt u = Pn(x) và dv là phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân. Sau mỗi lầ tích phân từng phần bậc đa thức sẽ giảm đi một đơn vị. Nhóm 3: gồm những tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân có dạng: eaxsinbx, eaxcosbx, sin(lnx), cos(lnx) . Có thể chọn u = eax hoặc u = sinax, u = cosbx, u = sin(lnx) Sau hai lần tích phân từng phần ta lại thu được tích phân ban đầu với hệ số nào đó. Đó là phương trình tuyến tính với ẩn là tích phân cần tìm. Ví dụ 1: Tính x. arctg( x )dx Giải: Tích phân đã cho thuộc nhóm 1. 1 dx 2 3 Đặt u = arctg x , dv = xdx . Khi đó du = . , v x 2 . x 1 2 x 3 Do đó 2 3 1 x 2 3 1 1 I = x 2 .arctg x dx = x 2 .arctg x 1 dx 3 3 1 x 3 3 1 x 2 3 1 = x 2 .arctg x x ln 1 x C 3 3 Ví dụ 2: Tính I = arcos2 xdx 2arccosx Giải: Đặt u = arccos2x, dv = dx. Khi đó: du = dx, v x . Áp dụng công thức tích phân 1-x2 từng phần ta có:
  56. xarccosx I = x.arccos2x 2 dx x.arccos2x 2.J 2 1-x xdx Để tính tích phân J ta đặt u = arccosx, dv = . Khi đó: 1 x2 dx xdx d(1 x2 ) du = , v 1 x2 C và ta chỉ cần lấy v = - 1 x2 . 2 2 2 1 x 1 x 2 1 x Vậy J = 1 x2 arcosx - dx 1 x2 arcosx - x C' Vậy I = x.arccos2x 2 1 x2 arccosx -2x +C' Ví dụ 3: Tính I = x2 sin 3xdx . Giải: Tích phân đã cho thuộc nhóm 2. 1 Đặt u = x2, dv = sin3xdx. Khi đó: du = 2xdx, v = cos3x . Áp dụng công thức: 3 1 2 1 2 I = x2cos3x+ xcos3xdx x2cos3x+ J . 3 3 3 3 1 Tính J. Đặt u = x, dv = cos3x. Khi đó: du = dx, v = sin3x . Vậy 3 1 2 1 1 1 2 2 I = x2cos3x+ x sin 3x sin 3xdx x2cos3x+ x sin 3x cos3x+C . 3 3 3 3 3 9 27 Ví dụ 4: Tính I = e2xcos3xdx HD: Đây là tích phân thuộc nhóm 3. Đặt u = e3x hoặc u = cos3x Ví dụ 5: Tính I = sin ln x dx HD: Đặt u = sin(lnx) và dv = dx xdx Ví dụ 6: a) Tính I = sin2 x dx * b) Tính:In = n N , a > 0 (x 2 a 2 )n c) Tính x2 bdx a) HD: Tích phân này không thuộc bất cứ nhóm nào trong ba nhóm đã nêu. Tuy nhiên ta có dx thể tính bằng cách đặt u = x và dv = . Khi đó du = dx và v = -cotgx. sin2 x
  57. b) Đặt u(x) = 1 , dv = dx. Khi đó: (x2 a2)n x x 2dx In = + 2n. (x 2 a 2 )n (x 2 a 2 )n 1 x dx dx = + 2n a 2 2 2 n 2 2 n 2 2 n 1 (x a ) (x a ) (x a ) x 2 = + 2n.In – 2na . In+1 (x 2 a 2 )n 1 x 1 2n Vậy I . I n 1 2na 2 (x 2 a 2 )n 2na 2 n dx Áp dụng công thức truy hồi ta có thể tính I3 qua I2 , I2 qua I1, với I1= . x2 a2 c) Đặt u = x2 b và dv = dx Chú ý: Đối với các tích phân dạng: P (x)e xdx, e x Mcosx+Nsinx dx, ngoài phương n pháp tích phân từng phần, ta có thể tính dựa theo nhận xét sau: - P (x)e xdx có dạng P (x)e xdx = Q (x).e x C trong đó Q (x) là đa thức bậc n. n n n n - e x Mcosx+Nsinx dx có dạng e x Mcosx+Nsinx dx e x Acosx+Bsinx + C. Để xác định các hệ số của đa thức Qn(x) và các hệ số A, B ta lấy đạo hàm hai vế của từng đẳng thức và cân bằng hệ số của đa thức, cosβx, và sin βx ở cả hai vế. Ví dụ 1: Tính I = e 2xcos3xdx . Giải: Ta có I = e 2xcos3xdx = e 2x (Acos3x+Bsin 3x) C Đạo hàm hai vế theo x: e 2xcos3x = 2.e 2x Acos3x+Bsin3x e 2x ( 3sin 3x 3Bcos3x) C' cos3x = 2 Acos3x+Bsin3x ( 3Asin 3x 3Bcos3x) 2 A 2A 3B 1 13 Cân bằng hệ số của cos3x, sin3x ở hai vế, ta có hệ: 3A 2B 0 3 B 13 2 3 Vậy I = e 2x ( cos3x+ sin 3x) C 13 13 Ví dụ 2: Tính I = x2.e3xdx Giải: Ta có I = x2.e3xdx = ax2 bx c e3x C . Đạo hàm hai vế, ta có:
  58. I x2e3x [ ax2 bx c .e3x ] C' 3x 2 e 3ax 3b 2a x b 3c Cân bằng hệ số hai vế ta có a = 1/3, b = -2/9, c = 2/27. Vậy 2 3x 1 2 2 2 3x I = x .e dx = x x e C 3 9 27 IV. Tích phân một số hàm số sơ cấp. 1. Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ. 1.1 Định nghĩa 1: Các phân thức hữu tỷ đơn giản là các phân thức có dạng A (1) A, a : const, k N* x a k A ln x a C khi k 1 A Khi đó dx k A 1 k (x a) (x a) C khi k 1 1-k A (2) với p2 - 4q 1) (x2 px q)k Ax B p p2 Đối với Ik = dx thì ta đổi biến t = x + , a q khi đó tích phân (x2 px q)k 2 4 dt được đưa về dạng Ik = . (t2 a 2 )k t 1 2k 3 Sử dụng công thức truy hồi : I I k 2a 2 (k 1)(t 2 a 2 )k 1 a 2 2k 2 k 1
  59. dt 1 t Với I arctg C 1 t 2 a 2 a a Thông thường ta chỉ xét đối với k = 2. 1.2 Định nghĩa 2: Phân thức hữu tỉ chính quy ( tối giản) Pn (x) Phân thức hữu tỉ gọi là chính quy ( tối giản) nếu n là phân thức chính quy
  60. P (x) R (x) + Nếu n > m => Thực hiện phép chia đa thức ta có : n E(x) k , với k 0. (2) 2 u2 khi a < 0 Khi đó hai tích phân trên trở về một trong 4 dạng tích phân sau dx ln x x 2  C 2 x  dx x arcsin C 2 2 x x x2   x2  ln(x x2  ) C 2 2 x 2 x2 2 x 2 x2 arcsin C 2 2 Ví dụ: Tính các tích phân sau:
  61. dx dx 1 d(2x 3)  = 2 2 2 2 2 2 4x 12x 5 (2x) 2.2x.3 3 5 3 2x 3 4 1 = ln 2x 3 4x 2 12x 5 C 2 dx dx 1 d(2x 1)  = 2 2 2 2 2 8 4x 4x (2x) 2.2x 1 1 8 3 .2x 1 1 2x 1 = arcsin C 2 3 1 2  9x2 12x 5dx (3x)2 2.3x.2 22 22 5 dx 3x 2 1 d(3x 2) = 3 1 3x 2 2 1 1 2 = 3x 2 1 ln 3x 2 3x 2 1 C = 3 2 3 2 3x 2 1 = 9x 2 12x 5 ln 3x 2 9x 2 12x 5 C 6 6 2 2 2 3 9 9 1 37 3 3  7 4x 6xdx 2x 2.2x. 7 dx 2x d 2x = 2 4 4 2 4 2 2 37 3 2 2x 1 1 3 37 3 2 2x 2x 4 arcsin C 2 2 2 4 2 2 37 2 4x 3 37 4x 3 = 7 4x 2 6x arsin C 8 8 37 P x 2.3 Tích phân dạng n dx, P x là đa thức bậc n 1. 2 n ax bx c Phương pháp: Để tính tích phân trên ta có thể sử dụng công thức: P x dx n dx Q x ax2 bx c  (*) 2 n 1 2 ax bx c ax bx c Trong đó Qn-1 là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của Pn(x) một bậc và  là hằng số chưa biết. Để xác định các hệ số của Qn-1 , và  ta thực hiện như sau: Lấy đạo hàm hai vế của (*), ta có:
  62. Pn x 2 2ax+b  Q'n 1 x ax bx c Qn 1(x). ax2 bx c 2 ax2 bx c ax2 bx c 2 b Hay Pn (x) Q'n 1 x . ax bx c Qn 1(x). ax+  ( ) 2 Cân bằng các hệ số của x ở hai vế ta tìm được các hệ số của đa thức Qn-1 và  .Bài toán trở về tính tích phân dạng 2.2 Ví dụ: 5x 3 dx  dx a. x2 2x 5  2 2 x 2x 5 x 2x 5 12x3 16x2 9x 2 dx  dx ax2 bx c 4x2 4x 2  2 2 4x 4x 2 4x 4x 2 dx 2.4 Tích phân dạng m 2 (x ) ax bx c Phương pháp: Đặt x – = 1 ta đưa tích phân trên về dạng 2.3. t dx Ví dụ: 1. Tính 2 (x 3) 5x 2x 1 dx 2. 2 2 (x 2) x 2x 5 2.5 Tích phân dạng I = (Ax+B) ax2 bx c dx Phương pháp: + Ta có ax2 bx c ' 2ax+b A A Ab + Biến đổi: Ax + B = 2ax+b -b B 2ax+b B 2a 2a 2a A 2 Ab 2 + Khi đó I = ax bx c.(2ax+b)dx B ax bx cdx 2a 2a 3/2 A 2 2 Ab 2 = . . ax bx c B ax bx cdx 2a 3 2a Ví dụ: Tính các tích phân sau 1. (5x 1) 4x2 4x 5dx 2. (3x 2) 4x2 4xdx 3. Tích phân các hàm lượng giác dạng: R(sinx, cosx)dx
  63. 3.1 Phương pháp chung Đặt t = tgx => dx 2dt 2 t 2 1 2 sin x 2t ; cos x 1 t 1 t 2 1 t 2 Ví dụ: (1) dx đặt t = tgx => dx 2dt sin x 2 t 2 1 (2) dx đặt t = tgx => dx 2dt 2sin x cos x 1 2 t 2 1 (3) sin x cos x 2 dx 2sin x cos x 1 HD: Biến đổi theo dạng: a sin x b cos x c 1 1 1 dx a 2 sin x b2 cos x c2 a sin x b cos x c B(a cos x b sin x) C Đặt 1 1 1 = A + 2 2 + a 2 sin x b2 cos x c2 a 2 sin x b2 cos x c2 a 2 sin x b2 cos x c2 Trong đó A, B, C xác định theo phương pháp cân bằng hệ số hai vế sau khi đã quy đồng mẫu số. 3.2 Một số trường hợp đặc biệt Nếu R(sinx, cosx) là hàm lẻ đối với sinx. R(-sinx, cosx) = - R(sinx, cosx) Đặt t = cosx Ví dụ: 3 3 (1) sinx.cos 2xdx = - t2dt = - t C cos x C 3 3 cos2 x 1 (2) I = dx : Đặt t = cosx => dt = - sinx dx sin x t 2 1 2 1 1 do đó I = dt 1 dt 1 dt 2 t 1 (t 1).(t 1) t 1 t 1 t 1 cosx 1 => I = t + ln + C => I = cosx + ln + C t 1 cosx 1 Nếu R(sinx,cosx) là hàm lẻ đối với cosx: R(sinx,- cosx) = - R(sinx, cosx) Đặt t = sinx Ví dụ:
  64. cos3 x  dx sin 2 x sin x.cos x  dx đặt t = sin2x + 4 > 0 => dt = 2sinxcosxdx sin 2 x 4 R(sinx, cosx) là hàm chẵn đối với sinx và cosx tức R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx). Đặt t = tgx (hoặc t = cotgx) Ví dụ: sin 2 x  dx cos4 x sin3 x  dx cos7 x R(sinx, cosx) = sinmx. cosnx trong đó m, n chẵn và m.n >0 Ta dùng công thức hạ bậc 1 cos2x 1 cos2x 1 cos2x ; sin 2 x ; cos xsinx sin 2x 2 2 2 Ví dụ: sin 2 xcos2 xdx 1 sin 2 2xdx 1 (1 cos4x)dx 1 x 1 sin 4 x C 4 8 8 32 Dạng sinax.cosbxdx 1 sin(a b)x sin(a b)xdx 2 sinax.sinbxdx 1 cos(a b)x cos(a b)xdx 2 cosax.cosbxdx 1 cos(a b)x cos(a b)xdx 2 Ta dùng công thức biến đổi tích thành tổng BÀI TẬP : PHẦN TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1. Dùng bảng tích phân bất định cơ bản tính các tích phân sau: (1 x)2 (1 x)2 1) dx 1) dx x x x x 2) (a x bx )2 dx 2) (a x bx )2 dx (1 x)2 (1 x)2 3) dx 3) dx x(1 x2 ) x(1 x2 ) mdx mdx 4) 4) 2 2 3 (a bx) 3 (a bx)
  65. dx 1 x2 1 x2 5) 9. dx (ĐS: 4 1 sin x 1 x dx 6) (x 0) 2 2 arcsinx+ln x+ 1+x C ) x x 1 dx 1 x 1 1 1 x2 1 x2 7.4 (ĐS:). ln arctgx + C 10. dx 4 x 1 4 x 1 2 x 1 1 2x2 1 8. dx (ĐS: arctgx- C ). (ĐS: ln x x2 1 ln x x2 1 C ) 2 2 x 1 x x x4 x 4 2 1 11. dx (ĐS: ln x C ) x3 4x4 23x 1 e2x 30. ecosx sinxdx (ĐS: ecosx C ) 12. dx (ĐS: ex 1 C ) x e 1 2 31. ex .cosexdx (ĐS: sin ex C ) 1 x 3x 32. dx (ĐS: tg C ) 22x 1 2 2 2 x 13.dx (ĐS: 2 2 C ) 1 cosx 2 x 2 ln 2 3 1 33. dx sinx cosx dx 1 lnx 14. (ĐS: arctg C ) 1 x x 2 ln2 x 2 2 (ĐS: ln tg C ) 2 2 8 3 ln2 x 3 5 1 cosx 1 3 34. dx (ĐS: C ) 15. dx (ĐS: ln x ) 3 2 x 5 (x sinx) 2 x sinx x 2x e e x x sin 2x 16. x dx (ĐS: e 2ln e 1 C ) 35. dx 2 1 e 1 4sin x exdx 17. (ĐS: ln(1 + ex)+C). 1 2 x (ĐS: 1 4sin x C ) 1 e 2 2 x 1 sinx sinx 18. sin dx (ĐS: x C ) 36. dx 2 2 2 2 1-2sin x 19. cot g 2 xdx (ĐS: - x – cotgx +C). (ĐS: ln cosx+ 1+cos2 x C ) 2. Sử dụng phương pháp đổi biến số hãy tính các tích các tích phân sau
  66. 2x 1) sin(2 3x)dx e 4 x x 3 15. dx (I 3e 4 4 (e 1) C) , 4 x 3 4 3 e 1 21 2) x (1 2x ) dx Chỉ dẫn:Đặt ex +1 = t4. dx 3) 16. (x 1) x 1 ln x dx (I 2 1 ln x ln ln x 2ln 1 ln x 1 C) xdx 4) x ln x 4 x 1 arctg x dx 2 17. . (I arctg x C) . sin 4xdx 1 x 5) x cos2 2x 4 2 18. e3x e2x dx (I (ex 1)3/ 2 C) 3x 5 3 6) dx dx x 19 (I 2arctg ex 1 C) x 7) tg 3 xdx e 1 2x arcsin2x 3 2 20. dx (I C) 8) x a x dx x 1 4 ln 2 x2 x 9) dx HD: Đặt x = sin t, t ; (x 2)3 2 2 dx 1 x x 1 dx 22. (I sin arctg C) 10) 3/ 2 2 x 1 x2 x2 a2 a a dx 11) (x sin2 t) 2 HD: Đặt x = atgt, t ; x x 2 2 (x 1)dx dx 1 1 12) (t 1 xex ) 23. (I C,t arcsin ) x 3/ 2 x(1 xe ) x2 1 cost x x2 1 13) dx 1 4 Đặt x = , t 0,0 t ) x 1 sin t 2 2 dx 2 14) x dx x 24. HD: Đặt x = asin t 2 2 1 e a x dx 2 15. 2 , ( Đặt x=atgt) a x x 2 2 2 2 ĐS : (I arcsin a x C) x a 2 a 2 dx 25. x2 a2 x2 dx HD: Đặt Đặt x = asin t 21. 3/2 , 2 1 x a x 26. dx , ĐS : ( I tg(arcsinx) C) a x a x HD: Đặt x = a.cos2t hoặc t = a x x3dx 27. , HD: Đặt t = 2 x2 . 2 2 x 3. Dùng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau:
  67. 1) x2arctgxdx 2) (x2 2x 3)cos3xdx 3) x3 ln2 xdx 4) (x3 2x2 1)e 2xdx arcsin x 5) dx 6) e 2x (cos3x sin 4x)dx x2 arctgx 7) sin 3 x dx 8) dx x2 (1 x2 ) xearctgx 9) dx 10) x2 sin(ln x)dx 3 (1 x2 ) 2 x ln(x 1 x2 ) arcsin x 11) dx 12) 2 2 3 1 x (1 x ) 4. Tính tích phân các hàm hữu tí sau: 2x2 x 3 5x3 17x2 18x 5 1) dx 2) dx x3 3x2 3x 2 (x 1)3 (x 2) x 1 2xdx 3) dx 4) (x2 1)(x2 9) (1 x)(1 x2 )2 xdx (3x 1)dx 5. 6. 2 2 x 1 x 1 x x2 1 3x2 5x 12 3x 5 7. dx 8. dx 2 2 2 x 3 x 1 x2 2x 2 2.x4 5x2 2 dx 9. dx 10. 3 2 2x x 1 x x 1 x2 x 1 5. Tính tích phân các hàm lượng giác sau dx cos2 xdx sin 2x 1) 2) 3) dx 3 5sin x 3cos x sin2 x 4sin x cos x cos3 x sin2 x 1 cos5 x dx dx 4) dx 5) 6) sin x 3sinx+4cosx+5 3 cos5x sin 5x x x 2sinx+3cosx 7) cot g 2 xdx 8) sin xsin sin dx 9) dx 2 3 sin2 xcosx+9cos3 x 6. Tính tích phân các hàm vô tỷ
  68. 1 4 x 6 x 1) dx 2) dx 1 x 1 3 x dx 1 x dx 3) 4) 1 2x 4 1 2x 1 x x dx dx 5) 3 6) 2 2 3 2 (1 x ) x x 1 5x 1 4x 2 7) dx 8) dx 2 2 4x 4x 2 9x 12x 3 9) 3x 7 x2 4x 5dx 10) 3x 4 4x2 4xdx 3x3 2x 1 4x3 5x2 3x 1 11) dx 12) dx 2 2 x 4x 13 4x 4x dx dx 13. 14.6) 2 2 2 x 2 x 4x 3 (x 1) x x 1 BÀI 2: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. Định nghĩa tích phân xác định 1. Bài toán diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên [a,b].Giả sử y = f(x) không âm trên [a,b]. Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trên [a,b], các đường thẳng x = a, x = b và trục ox. y f(i ) 0 a xi-1 i xi+1 b x Ta xây dựng công thức tính diện tích hình thang cong trên Chia [a,b ] thành n đoạn nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia: xo = a < x1 < x2 < < xn-1 < xn = b. Trên mỗi đoạn nhỏ [xi, xi+1] lấy điểm tuỳ ý  i x i , x i 1  i 0.n -1 Diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh: x i x i 1 x i , f( i ) với i 0.n -1 là Si f ( i ). x i Khi đó diện tích S của hình thang cong xấp xỉ bằng tổng diện tích các hình chữ nhật Si.
  69. n 1 n 1 S  Si  f ( i ). x i i 0 i 0 n 1 Nếu số điểm chia n sao cho max x i 0 thì tổng  f (i ). x i dần tới diện tích S - i 0 diện tích hình thang cong. n 1 Vậy S lim  f ( i ). x i n i 0 2. Định nghĩa tích phân xác định Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a,b ].  Chia [a,b ] thành n đoạn nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia: a = xo < x1 < x2 < < xn-1 < xn = b.  Gọi tên và độ dài đoạn [xi-1 , xi ] là xi  Trên mỗi đoạn nhỏ [xi-1, xi] lấy điểm tuỳ ý i xi 1, xi i 1, n Mỗi phép chia đoạn [a, b] và cách lấy điểm i như vậy được gọi là phép phân hoạch đoạn [a, b] n  Lập tổng In  f (i ). xi - In được gọi là tổng tích phân thứ n của f(x) i 1 Nếu lim I I và không phụ thuộc phép phân hoạch [a, b] thì I được gọi là tích phân n n (max xi 0) b xác định của hàm f(x) trên [a, b], ký hiệu là: f (x)dx = I a b n 1 f (x)dx lim I lim f ( ). x n n n  i i a i 0 (max xi 0) (max xi 0) Khi đó hàm f(x) là hàm khả tích trên [a, b]. [a, b]: Khoảng lấy tích phân. a: cận dưới. b: cận trên. x: biến lấy tích phân. Định lí: (Điều kiện khả tích) Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a, b] đều khả tích trên đó 2 Ví dụ: Dùng định nghĩa tích phân tính xdx . 1 Giải:
  70. 2 Có f(x) = x liên tục [1,2] f(x) = x khả tích trên [1,2]. Vậy tồn tại xdx 1 Chia đều [1,2] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia: i 1 x 1 i 0 , n => x x x i n i i 1 i n Chọn i  xi n n 1 i 1 1 1 2 n 1 n(n - 1) I f ( ). x 1 . 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 n  i i  2 i 1 i 0 n n n n n n 2n n 1 3 2 3 Suy ra lim In lim (1 ) Vậy xdx n n 2n 2 1 2 3 1 ví dụ Tính I dx 2 1 x 1 Giải : do hàm 2 liên tục trên [1 , 3] => khả tích trên [1 , 3 ] => tồn tại lim In => chọn x n một cách chia đoạn [1 , 3 ] và cách lấy các điểm i thuận lợi : o Chia đều [1 , 3] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm 2i 2 xi = 1 + => x n i n o Chọn các điểm i = xi 1.xi => i [xi-1 , xi] 2 n 1 2 n 1 2 n 1 1 1 Lập tổng I = o n  2   i 1 i 1 i 1 n i n xi 1xi n xi 1 xi xi xi 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 In =  = i 1 xi 1 xi x0 x1 x1 x 2 x n 1 x n 1 1 1 2 In = - = 1 - x0 x n 3 3 2 3 1 2 => lim I = vậy dx n 2 n 3 1 x 3 Chú ý: Nếu hàm f(x) xác định trên [a, b] và có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại 1 trong [a, b] thì f(x) khả tích trên [a,b]. Các hàm số sơ cấp đều khả tích trên mọi đoạn con thuộc miền xác định của nó. 3. Tính chất của tích phân xác định.
  71. b 1. f (x)dx 0 , a b b 2. f (x)dx = f (t)dt a a b c b 3. Với bất kì c (a, b) ta có: f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c a b 4. f (x)dx = f (x)dx b a b b b 5. [ f (x) g(x)]dx = f (x)dx +  f (x)dx với , là các hằng số, f(x), g(x) là những a a a hàm khả tích trên [a, b]. 6. Giả sử f(x), g(x) là những hàm khả tích trên [a, b]. Nếu f(x) g(x) với  x [a, b] thì b b f (x)dx g(x)dx a a 7. Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. min f (x) m, Max f (x) M . Khi đó: [a,b] [a,b] b m(b-a) f M(b-a)(x)dx a 8. (Định lý giá trị trung bình). Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. Khi đó tồn tại ít nhất 1 điểm c [a,b] sao cho: 1 b f(c) = f (x)dx b a a Giá trị f(c) được gọi là giá trị trung bình của f(x) trên đoạn [a , b ] II. Các phương pháp tính tích phân xác định 1. Tích phân xác định với cận trên thay đổi x Định lý : Nếu hàm f(x) liên tục trên [a , b ] thì hàm (x) f (t) dt sẽ là một nguyên a hàm của f(x) trên [a , b ] ( tức là  (x) = f(x)  x [a , b] ) 2 Công thức Newton- Leibnit. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên b b [a, b] thì: f (x)dx = F(b) - F(a) ( ký hiệu là F x ) a a
  72. Chú ý Điều kiện về tính liên tục của f(x) không thể thiếu trong khi áp dụng công thức Newton- Leibnit Ví dụ: 4 /4 2 1. Tính cos xdx = sinx 0 = 0 2 1 1 1 2. Tính dx arctgx 2 0 0 1 x 4 1 1 12 1 1 2 1 3. Tính x 2 x2 dx (2 x2 )13 0 26 0 26 26 26 1 1 xdx ln(x2 x 1) 1 1 dx 4. 2 x x 1 2 2 1 2 3 1 1 1 (x ) 2 4 1 ln3 1 2x 1 ln3 ln3 = - arctg 2 3 3 1 2 3 3 6 3 2 6 3 Nhận xét: + Trường hợp f(x) có hữu hạn điểm gián đoạn loại 1 trong đoạn lấy tích phân thì ta lấy tích phân trên từng đoạn nhỏ liên tục và áp dụng công thức Newton- Leibnit + Cần phân biệt hai khái niệm: tích phân bất định là một họ hàm số còn tích phân xác định là một giá trị xác định. + Nếu f(x) liên tục trên (a , b) và nguyên hàm của nó là F(x) liên tục trên [a , b] thì b 1 1 1 f (x)dx = F(b) - F(a) , ví dụ I dx , có hàm liên tục trên (0 , 1) và nguyên a 0 x x 1 hàm của nó là 2 x liên tục trên [0 , 1], nên I 2 x 2 0 2. Phương pháp tích phân từng phần. Công thức: Giả sử hàm u = u(x), v = v(x) là hai hàm khả vi liên tục trên [a, b]. Khi đó: b b udv = uv b - vdu a a a Ví dụ: Tính các tích phân sau: e 1 e 1. I ln x dx ln x dx ln x dx , 1/e 1/e 1 ta tính tích phân bất định ln xdx x.ln x x ln x dx x ln x dx x ln x x C 1 e 1 1 1 => I = x ln x x x ln x x 0 1 ln + eln e e 0 1  1/e  1 e e e 2 => I = 2 e
  73. 2 2 2 2. I x cos xdx xsinx /2 x sinx dx xsinx /2 sinx dx  0  0 0 0 0 2 /2 => I = xsinx sinx dx cosx 2 1  0 0 0 2 2 3 3 1 3 1 3. I = xarctgxdx x2arctgx x2 arctgx dx 0 0 2 2 0 1 1 3 x2 1 1 3 1 => I = 3arctg 3 dx 3arctg 3 1 dx 2 2 2 2 0 1 x 2 2 0 1 x 3 1 3 3 2 3 2 3 => I arctgx Vậy I = 2 2 2 0 2 2 6 3 2 3 2 3 3 x x 3 x 4. I = arcsin dx x.arcsin x arcsin dx 0 1 x 1 x 0 1 x 0 3 3 1 x 3. arcsin x. . dx = 2 x 1 x 0 1 1 x 1 x 3 1 x x. 1 x . 2 x 2 1 x dx 0 1 x 1 3 x 1 3 x 1 1 . dx dx 2 0 (1 x) x 2 0 (1 x) x (1 x) x 3 1 3 1 dx dx 0 2 x 0 2(1 x) x 3 3 4 x arctg x 3 3 0 0 3 3 4 Vậy I = 3 3 3 Phương pháp đổi biến số. 3.1 Phương pháp đổi biến t = (x) trong đó (x) thoả mãn là hàm khả vi liên tục, đơn điệu trên [a, b]. Khi đó: b (b) f ( (x)) (x)dx = f (t)dt a (a) Ví dụ. 9 1. Tính: x. 3 1 xdx , Đặt t= 3 1 x 1
  74.  2 1 x 2. Tính dx .Đặt t = tg 0 3 cos x 2 1 dx 3. Tính , Đặt t = x2 1 2 2 x x 1 1 4. Tính x15. 1 3x8 dx , Đặt t = 1 3x8 0 3/ 4 dx 1 5. Tính , Đặt t = . 2 0 x 1 x 1 x 1 Chú ý : Điều kiện đơn điệu của hàm f(x) là không thể thiếu khi đổi biến t = (x) 2 Ví dụ khi tính I cosxsin 2 xdx nếu đặt t = cosx ( không thỏa mãn tính đơn điệu trên 4 0 0 2 1 2 3 1 1 1 , và khi đó I = I t 1 t dt (1 t ) 4 2 1 3 1 3 6 2 2 2 kết quả không đúng ) Nếu đặt t = sinx - thỏa mãn tính đơn điệu trên , khi đó 4 2 2 1 1 1 1 1 1 I cosxsin 2 xdx t 2dt t3 = -kết quả đúng 1 3 1 3 6 2 4 2 2 3.2 Phương pháp đổi biến x = (t) Xét phép đổi biến x = (t) trong đó (t) là hàm thỏa mãn các điều kiện ( ) a + (t) có đạo hàm liên tục trên [ , ] với () b + Khi t biến thiên trên [α , β ] thì x biến thiên trên [a, b]. b (b) Khi đó: f (x)dx = f ((t)) (t)dt a (a) Ví dụ 1: Tính các tích phân sau : 4 1. 4 x2 dx . Đổi biến x = 2sint 0 1 dx 2. . Đặt x = tgt 3/ 2 0 1 x2 Ví dụ 2 : Chứng minh rằng :
  75. a a a. Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f x dx 2 f x dx nếu f(x) là hàm số chẵn và a 0 a f x dx 0 nếu f(x) là hàm số lẻ. a a T T b. Nếu f(x) là hàm số tuần hoàn chu kì T > 0 thì f x dx f x dx a 0
  76. III. Ứng dụng của tích phân xác định. 1. Tính diện tích hình phẳng. *) Diện tích hình thang cong. Hình thang cong giới hạn bởi các đường x = a, x = b, (a 2x2 - 6x + 4 = 0 => x1 = 1 và x2 = 2 => diện tích hình phẳng là 2 2 S 2x 2 6x 4 dx 2x 2 6x 4 dx 1 1 2 2 3 2 1 = x 3x 4x ( đơn vị điện tích) 3 1 3 y 2 8x Ví dụ . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 x 4y Giải
  77. Xác định tọa độ giao điểm hai đường cong trên qua việc giải hệ phương trình : y 2 8x => lấy p.t 2 thay vào p.t. 1 => x4 = 16 . 8 x => x = 0 và x = 4 3 2 2 x 4y y 2 8x => M (0 , 0) và M (4 3 2 , 4 3 4 ) từ hệ biến x trong khoảng [0 , 4 3 2 ] , 1 2 2 x 4y biến y trong khoảng [0 , 4 3 4 ], do đó từ p.t : y2 = 8x => y = 8x và p.t 2 : y = x2/4 Do đó công thức tính diện tích của hình phẳng : 4 3 2 x 2 S 8x dx = 0 4 Chú ý : Có thể tính diện tích h. phẳng lấy tích phân theo biến y : p.t đường cong a) x = y2 / 8 , do x trong khoảng [0 , 4 3 2 ] nên p. t đường cong b) là x =2 y 4 3 4 y2 => công thức tính d.t hình phẳng : S 2 y dy 4 8 Sinh viên tự làm các ví dụ sau: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường 1 a). y = ln x , y = 0, x = , x = e e b). y = -3x2 +12x - 9, y = 2x2 - 8x + 6 x y 0 c ) 2 y 2x x 2. Thể tích vật thể tròn xoay  Một vật thể tròn xoay tạo ra khi quay xung quanh trục ox hình thang cong được giới hạn bởi các đường x = a, x = b ; ( a < b ) ; y = f(x), y = 0, . b Khi đó thể tích của nó được tính bởi công thức: V= f 2 (x)dx a  Tương tự: Một vật thể tròn xoay tạo ra khi quay xung quanh trục oy một hình thang cong được giới hạn bởi các đường x = g(y), x = 0, y = a, y = b ( a < b) Khi đó thể tích của nó được tính bởi công thức:
  78. b V= g2 (y)dy . a  Vật thể tròn xoay được tạo bởi khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f1(x), y = f2(x), (0 ≤ f1(x) ≤ f2(x)), x = a, x = b được tính bởi công thức: b V= [f 2 (x) f 2 (x)]dx 2 1 a Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi: y = 3x, y = 3, x = 0 y 3 1 0 1 x 1 Có thể tích của vật tròn xoay : V 32 32x dx 0 y = x2 - 4x + 3, y = 0, x = 0. y 3 0 1 3 x 3 2 Có thể tích của vật tròn xoay : V x 2 4x 3 dx 0 1. y= x2 - 6x + 8, y = 0. 4. y = 2x – x2, y = 0 5. y x2 ; y 12 4x; y 0 ; x 0 6. y 9 x2 ; 9x 2y 18 0 3. Độ dài đường cong
  79. - Giả sử cung đường cong AB có phương trình y = f(x) với f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b]. Khi đó độ dài cung AB là: b 2 LAB = 1 f (x)dx . a x x t - Giả sử cung đường cong AB có phương trình dạng tham số , t  ,   . y y t Khi đó độ dài đường cong AB là:  2 2 LAB = x '(t) y ' t dx . Chú ý : Có vi phân cung ds dx2 dy2 y x0 x0+ x 2 2 Có s = x y => ds dx2 dy2 do vậy 2  Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số => ds = x '(t) 2 y ' t dt  Nếu đường cong cho bởi phương trình: y = f(x) - ( khi đó coi như dạng tham số : 2 x = t ; y = f(t) ) => ds = 1 y ' x dx Do đó độ dài của cung AB là LAB = ds => có các công thức trên AB Ví dụ : Tính độ dài dây cung cong của đường cong sinh bởi các đường: a) y ex ;0 x 1. ex 1 1 b) y ln , 0 x . ex 1 2 1 1 c) x y2 y, 1 y e 4 2 d) x a.cos3t ; y sin3t, a 0, 0 t 2 4. Diện tích xung quanh của mặt tròn xoay.
  80. - Xét mặt tròn xoay sinh ra do cung đồ thị hàm số y = f(x), x [a,b] quay xung quanh trục ox trong đó f(x) là h/s liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a,b]. Khi đó diện tích xung b quanh của mặt tròn xoay là: S = 2 f (x) 1 f 2 (x)dx a - Tương tự, diện tích mặt tròn xoay sinh ra do cung đồ thị hàm số x = φ(y), y [c,d] quay d quanh trục Oy là: S= 2 (y) 1 '2 (y)dy c y b 0 a x Ví dụ1: Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay sinh bởi đường y= sinx, 0 x  khi quay quanh trục Ox. Ví dụ 2: Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay sinh bởi đường 1 1 x y2 ln y, 1 y e khi quay quanh Oy 4 2 BÀI 3: TÍCH PHÂN SUY RỘNG VỚI CẬN VÔ HẠN 1. Định nghĩa. a. Khoảng lấy tích phân là [a, + ) Giả sử hàm số f(x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a,b],(a < b) b Nếu tồn tại lim f (x)dx hữu hạn thì giới hạn đó gọi là tích phân suy rộng loại 1 b a của hàm số f(x) trong khoảng [a,+ ) và ký hiệu là f (x)dx và khi đó a b f (x)dx được gọi là hội tụ và f (x)dx =lim f (x)dx . b a a a b Nếu không tồn tại lim f (x)dx hữu hạn thì f (x)dx được gọi là phân kỳ. b a a b. Khoảng lấy tích phân là ( - , a]
  81. a a Tương tự: f (x)dx = lim f (x)dx b b c. Khoảng lấy tích phân là ( - , + ) a f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx (a R) a f (x)dx khi và chỉ khi cả 2 tích phân suy rộng ở vế phải đều hội tụ. Chú ý : - Tích phân suy rộng là giới hạn của tích phân xác định hiểu theo nghĩa thông thường khi cho cận lấy tích phân dần tới vô cùng. Do vậy muốn tính tích phân suy rộng ta có thể dùng công thức Newton – Leibnitz để tính, sau đó cho cận lấy tích phân dần tới vô cùng. Công thức Newton – Leibnitz cho tích phân suy rộng: b b f (x)dx lim f (x)dx lim F x lim F b F a : F x b b a b a a a Tương tự: a a f (x)dx F a lim F b : F x b f (x)dx F F : F x - Đối với tích phân suy rộng ta cũng có thể thực hiện phép đổi biến số và qui tắc tích phân từng phần. Ví dụ1: 1) e xdx e x e 1 =1 Hội tụ 0 0 dx 2) ln x = + Phân kỳ. 1 1 x dx b1 1 b1 1 3) lim ; x 1 1 b 1 1 1 1 dx +) Nếu 1 thì = + Phân kỳ. 1 x dx 1 +) Nếu > 1 thì = Hội tụ. 1 x 1 dx Vậy hội tụ nếu > 1 và phân kỳ nếu 1. 1 x
  82. dx Ví dụ 2: Tính : I 2 2 x x 2 Giải: dx  x   b  1 2 Ta có I ln lim ln( ) I ln 4 ln 2. b  (x )(x )  x    b  3 3 Ví dụ 3: Tính I = 3x2 1 e 3xdx . (HD: Tích phân từng phần hai lần) 1 1 Ví dụ 4: Tính I = dx (HD: Đặt t = x2 3 ) 2 1 x x 3 Chú ý: Một số tích phân suy rộng sau khi đổi biến số trở thành tích phân xác định arctgx Ví dụ 5: Tính I dx 3 0 (1 x 2 ) 2   Giải: Đặt arctgx = z ta có I z coszdz (zsin z cosz)     dx Ví dụ 6: Tính: I 5 10 1 x 1 x x 1 Giải: Đặt t = . Khi x = 1 thì t = 1, khi x thì t 0 .Vậy ta có x5 1 0 d 5 0 1 x 1 dt 1 1 I ln t t 2 t 1 5 2 5 2 5 2 1 1 1 1 t t 1 1 5 5 1 x x 1 2 2 1 2 ln ln ln 1 5 3 3 2 3 5 3 2. Tính chất TC 1: Nếu f (x)dx hội tụ thì lim f (x) =0. x a Nhận xét: Nếu không thỏa mãn điều kiện lim f (x) = 0 thì f (x)dx phân kỳ. x a Ví dụ: 2x 1 2x 1 2 dx phân kỳ vì lim 0 x 1 3x 2 3x 2 3 sin xdx phân kỳ vì không tồn tại lim sinx x 1 TC 2:
  83. Sự hội tụ hay phân kì của các tích phân f (x)dx và f (x)dx (với a’ > a) là như nhau. a a' TC3:  Nếu, f (x)dx hội g (tụx) thìdx kf (x) lhộig(x )tụ dx a a a và f (x) g(x) dx = k f (x)dx + l g(x)dx a a a  Nếu trong hai tích phân f (x)dx , g(x)dx có một tích phân hội tụ, một tích phân phân a a kì thì f (x) g(x) dx phân kì. a 3. Ý nghĩa hình học của tích phân suy rộng Nếu f (x)dx hội tụ thì trị số của nó chính là diện tích của hình thang cong vô hạn được a giới hạn bởi y = f(x), y = 0, x = a 4.Các tiêu chuẩn so sánh. 4.1.Tiêu chuẩn 1: Giả sử hai hàm số f(x), g(x) xác định trên [a,+ ), khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a,b] và thoả mãn: 0 f(x) g(x)  x a. Khi đó: +) Nếu g(x)dx hội tụ thì f (x)dx hội tụ. a a +) Nếu f (x)dx phân kỳ thì g(x)dx phân kỳ. a a Ví dụ. dx 1 1 dx 1. hội tụ vì . , x 1 và hội tụ. 3 3 3 3 1 x ln x x ln x x 1 x ln xdx ln x 1 dx 2. phân kỳ vì lnx > 1  x 3 nên và là phân kì. 1 x x x 1 x ln xdx 3. hội tụ . 2 1 x HD: Sử dụng bất đẳng thức  0 cho trước ta luôn có lnx < xα với x có giá trị đủ lớn. 1 ln x 1 3 Chọn α = , ta có lnx < x1/2 nên , 1 . Vậy tích phân hội tụ. 2 x2 x3/ 2 2 4.2 Tiêu chuẩn 2: Giả sử f(x), g(x) xác định trên [a,+ ), khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a,b] và thoả mãn f(x) 0, g(x) 0  x a.