Bài giảng Toán cao cấp - Chương 6: Hàm hai biến - TS. Nguyễn Phúc Sơn

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 6: Hàm hai biến - TS. Nguyễn Phúc Sơn

1. Chương 6: HÀM HAI BIẾN Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 19 tháng 11 năm 2014 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
2. Hàm hai biến Ví dụ: f (x, y) = x + y − xy là một hàm hai biến. Ví dụ: z = x 2 − 2y là một hàm hai biến. Bài toán đầu tiên: Tìm miền xác định của hàm hai biến. 2 Miền xác định D này là một tập con của mặta phẳng R . Tìm miền xác định D của hàm số f (x, y) = x 2 + y 2 − 1. Khi ta cố định 1 biến, ví dụ y = y0 thì hàm 2 biến f (x, y0) bây giờ chỉ phụ thuộc biến x nên trở thành hàm một biến. Tìm miền xác định Dx khi y = y0 = 2. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
3. Đạo hàm riêng và vi phân cấp 1 ∂f Đạo hàm riêng theo x, ký hiệu hay z0 (x, y) ∂x x Coi y là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến x như trường hợp một biến ∂f Đạo hàm riêng theo y, ký hiệu hay z0 (x, y) ∂y y Coi x là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến y như trường hợp một biến Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
4. Vi phân cấp 1 Khi hàm z = f (x, y) có cả hai đạo hàm riêng tại (x, y) thì đại lượng 0 0 df (x, y) = dz(x, y) = zx (x, y)dx + zy (x, y)dy được gọi là vi phân cấp 1 của hàm z = f (x, y). Nếu z = f (x, y) có cả hai đạo hàm riêng trên toàn miền D thì ta có ký hiệu thu gọn ∂z ∂f dz = z0 dx + z0 dy hay df = dx + dy x y ∂y ∂y Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
5. Đạo hàm và đạo hàm riêng của hàm hợp 2 biến x và y phụ thuộc t z = f (x(t), y(t)). Dùng đạo hàm hàm hơp ta có dz ∂z dx ∂z dy = + dt ∂x dt ∂y dt hay 0 0 0 0 0 z (t) = zx · x (t) + zy · y (t), ∀t Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
6. Đạo hàm và đạo hàm riêng của hàm hợp 2 biến z = f (x(u, v), y(u, v)) Ở đây x và y là hai hàm theo biến u và v. Dùng đạo hàm hàm hợp, ta có ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + và = + ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v hay 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 zu = zx · xu + zy · yu và zv = zx · xv + zy · yv Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
7. Đạo hàm riêng và vi phân cấp 2 0 Nếu z = f (x, y) khả vi trên D thì các đạo hàm riêng cấp 1 zx 0 và zy cũng là hàm 2 biến trên D. 0 Lấy đạo hàm riêng của zx ta được ∂2z z2 hay . x 2 ∂x 2 ∂2z z2 hay . xy ∂x∂y 0 Lấy đạo hàm riêng của zy ta được ∂2z z2 hay . yx ∂y∂x ∂2z z2 hay . y 2 ∂y 2 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
8. Vi phân cấp 2 Vi phân cấp 2 là 2 2 2 2 2 2 2 2 d z = d f = zx 2 dx + zxy dxdy + zyx dydx + zy 2 dy Khi z = f (x, y) thuộc lớp C2 (có đạo hàm riêng cấp 2 và các hàm này liên tục) thì 2 2 zxy = zyx Do đó, 2 2 2 2 2 2 2 d z = d f = zx 2 dx + 2zxy dxdy + zy 2 dy Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
9. Hàm ẩn và đạo hàm riêng của hàm ẩn Bắt đầu với 1 phương trình liên hệ x và y F (x, y) = 0 Trong măt phẳng 2 chiều, đây là đồ thị của một đường cong. Ta muốn trả lời câu hỏi: y có thể viết được dưới dạng 1 hàm số theo biến x, y = y(x) hay không ? 0 Kiểm tra Fy (x, y) 6= 0. Nếu điều kiện này thỏa thì câu trả lời là có và khi đó 0 0 Fx y (x) = − 0 Fy Ngoài ra, ¢ 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 d Fx (Fxx + Fxy y (x))Fy − (Fyx + Fyy y (x))Fx y (x) = − 0 = − 0 2 dx Fy (Fy ) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
10. Hàm ẩn hai biến Phương trình dạng: F (x, y, z) = 0 Câu hỏi đặt ra là: Có giải được tường minh z = f (x, y) hay không ? Điều kiện là: 0 Fz (x, y, z) 6= 0 Tượng tự trường hợp 1 biến, đạo hàm riêng của z là 0 0 Fx zx = − 0 Fz 0 0 Fy zy = − 0 Fz Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
11. Cực trị (tự do) địa phương của hàm hai biến Khái niệm z = f (x, y) đạt cực tiểu tự do (địa phương) tại (x0, y0) nếu f (x, y) > f (x0, y0) với mọi (x, y) xung quanh (x0, y0) (trong một lân cận của (x0, y0). z = f (x, y) đạt cực đại tự do (địa phương) tại (x0, y0) nếu f (x, y) < f (x0, y0) với mọi (x, y) xung quanh (x0, y0) (trong một lân cận của (x0, y0). Giá trị z0 = f (x0, y0) được gọi giá trị cực tiểu/cực đại (địa phương) của hàm số f . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
12. Cách tìm cực trị địa phương Bước 1: Tìm các điểm dừng của hàm z = f (x, y) bằng cách tìm nghiệm của hệ: ( 0 zx (x, y) = 0 0 zy (x, y) = 0 Gọi nghiệm của hệ là (x0, y0). Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 tại (x0, y0) 2 2 2 A = zx 2 (x0, y0), B = zxy (x0, y0), C = zy 2 (x0, y0), Tính định thức Hessian AB 2 ∆ = = AC − B BC Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
13. Cách tìm cực trị địa phương Nếu ∆ 0 thì (x0, y0) là điểm cực trị Nếu A > 0 thì (x0, y0) là cực tiểu (địa phương) (ma trận ∆ xác định dương) Nếu A < 0 thì (x0, y0) là cực đại (địa phương) (ma trận ∆ xác định âm) Nếu ∆ = 0 thì không kết luận được Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
14. Cực trị có điều kiện của hàm 2 biến Bây giờ, ta xét hàm số z = f (x, y) với điều kiện ràng buộc bổ sung φ(x, y) = 0 Hàm z = f (x, y) đạt cực tiểu có điều kiện tại (x0, y0) nếu φ(x0, y0) = 0 và f (x0, y0) < f (x, y) với mọi (x, y) thỏa φ(x, y) = 0 xung quanh (x0, y0). Tương tự ta có thể định nghĩa cực đại có điều kiện. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
15. Nhân tử Lagrange Hàm Lagrange giúp đưa một bài toán cực trị có điều kiện về bài toán cực trị không có điều kiện. L = L(x, y) := f (x, y) + λφ(x, y) trong đó, λ là một tham số đưa thêm vào Điểm cực trị tư do của L chính là điểm cưc trị có điều kiện của hàm z = f (x, y). Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
16. Các bước tìm cực trị bằng phương pháp nhân tử Lagrange Bước 1: Coi λ cũng là 1 ẩn số như x và y, giải hệ sau:  0 0  zx (x, y) + λφx (x, y) = 0  0 0 zy (x, y) + λφy (x, y) = 0  φ(x, y) = 0 Tính định thức Hessian (bordered Hessian) 2 2 L L φ0 xx xy x ¨ ¨ ¨ ¨ 2 2 0 2 0 2 2 0 0 2 0 2 H = Lyx Lyy φy = −Lxx φy +2Lxy φx φy −Lyy φx 0 0 φx φy 0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
17. Các bước tìm cực trị bằng phương pháp nhân tử Lagrange Nếu H 0 thì (x0, y0) là điểm cực đại có điều kiện của hàm z = f (x, y) Nếu H = 0 không kết luận được gì. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
18. Cực trị tuyệt đối của hàm hai biến 2 Cho D là một miền trong mặt phẳng R . Nếu f (x0, y0) < f (x, y), ∀(x, y) ∈ D thì giá trị m = f (x0, y0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của f trên D và (X0, y0) là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D. Tương tự với giá trị lớn nhất của f trên D. Nếu D đóng và bị chặn, f liên tục thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f . Một số miền D đóng và bị chặn thông dụng: (c là hằng số) Hình chữ nhật D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} D = {(x, y) | f (x, y) ≤ c} D = {(x, y) | f (x, y) ≥ c} D = {(x, y) | f (x, y) = c} Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
19. Ý nghĩa của đạo hàm riêng trong kinh tế Giá trị cận biên: (theo x) Khi cố định giá trị y = y0, chúng ta muốn biết hàm z thay đổi thế nào khi x tăng thêm 1 đơn vị từ x0 lên x0 + 1 ? Đại lượng này Mzx = ∆zx được gọi là giá 0 trị z- cận biên của x và có thể được xấp xỉ bằng zx (x0, y0). Tương tự, ta có giá trị z-cận biên của y, 0 Mzy = ∆zy ≈ zy (x0, y0) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
20. Ý nghĩa của đạo hàm riêng trong kinh tế (tt) Hệ số co giãn: (theo x) Đây là tỉ số so sánh % thay đổi của z khi x tăng 1% giá trị. Công thức ∂z (x0, y0)  ≈ ∂x zx z0 x0 Tương tự, hệ số co giãn theo y ∂z (x , y ) ∂y 0 0  ≈ zy z0 y0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
21. Hàm thuần nhất và phân tích hiệu quả của quy mô sản xuất Định nghĩa hàm thuần nhất Hàm z = f (x, y) được gọi là thuần nhất bậc k nếu với mọi t > 0 f (tx, ty) = tk f (x, y) Hiệu quả quy mô sản xuất Hàm sản xuất Q = Q(K, L) trong đó K là vốn và L là lao động. Giả sử cả hai yếu tố đầu vào đều tăng t lần, ta muốn so sánh giữa Q(tK, tL) và tQ(K, L) Nếu Q(tK, tL) tQ(K, L) thì hiệu quả tăng theo quy mô. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
22. Hàm thuần nhất và phân tích hiệu quả của quy mô sản xuất Hàm Cobb-Douglas Q(K, L) = aK αLβ thuần nhất bậc k = α + β, nghĩa là Q(tK, tL) = tk Q(K, L) Khi đó, hiệu quả sản xuất có thể được đánh giá qua bậc thuần nhất k. Nếu 0 1 thì hiệu quả tăng theo quy mô Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
23. Sự lựa chọn của người tiêu dùng Giả sử có 2 loại hàng x và y mà người tiêu dùng muốn mua. Giá tương ứng là p1 và p2. Ngân sách mua sắm m. Ta có một hàm lợi ích (utility) U = U(x, y) là mục tiêu cần tối ưu. Bài toán cực trị có điều kiện max U(x, y) sao cho p1x + p2y = m Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
24. Hàm cầu Marshall Túi hàng hóa (x, y) làm tối ưu hàm lợi ích chính là lượng hàng hóa mà người tiêu dùng muốn mua, do đó cũng chính là lượng cầu. Lời giải của bài toán tối ưu trên x =x ¯(p1, p2, m) y =y ¯(p1, p2, m) được gọi là lượng cầu Marshall. Khi p1, p2 và m thay đổi, x¯ và y¯ được gọi là hàm cầu Marshall. Lưu ý: x¯ và y¯ làm cho U(¯x, y¯) đạt cực đại. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
25. Tối ưu hóa chi phí tiêu dùng Không phải người tiêu dùng nào cũng sử dụng toàn bộ thu nhập để mua sắm. Người ta có thể đặt trước một mức lợi ích mong muốn U0, sau đó đi tìm cách mua sắm với túi hàng (x, y) sao cho chi phí C = p1x + p2y nhỏ nhất Bài toán: Tìm cực tiều C = p1x + p2y với điều kiện U(x, y) = U0, U0: hằng số. Hàm cầu Hick: Nghiệm của bài toán trên x =x ˆ(p1, p2, U0) được gọi là lượng cầu Hick tương ứng với p1, p2, U0 cho trước. Tên khác: hàm cầu lợi ích không đổi Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
26. Tìm đầu vào của hàm sản xuất để có lợi nhuận tối đa Đặt C0: chi phí cố định. wK : giá thuê vốn. wL: công lao động. Hàm sản xuất Q = Q(K, L). Mục tiêu: Tối đa lợi nhuận. Hàm chi phí: TC = wK K + wLL + C0. Hàm doanh thu TR = p · Q(K, L) Hàm lợi nhuận π = TR − TC. Đây là bài toán cực trị tự do. Ta giải bằng các tìm điểm dừng, rồi xét điều kiện để điểm dừng cực đại. Điều kiện điểm dừng: ( 0 0 ( 0 πK = pQK − wK = 0 pQK = wK 0 0 ⇐⇒ 0 πL = pQL − wL = 0 pQL = wL Ta có nhận xét gì về điều kiện này ? Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
27. Tối đa sản lượng trong điều kiện ngân sách không đổi Chi phí cố định B = wK K + wLL. Tối đa doanh thu TR = p · Q(K, L). Đây là bài toán tối ưu TR, cũng có nghĩa là tối ưu Q(K, L) với điều kiện B = wK K + wLL. Nghiệm tối ưu là lượng cầu Marshall K = K¯ (wK , wL, B), L = L¯(wK , wL, B) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
28. Lượng sản phẩm cố định, tối thiểu chi phí Đơn đặt hàng cố định Q = Q0. Tìm K và L để tối thiểu hóa chi phí C = wK K + wLL Đây là bài toán tối ưu có điều kiện. Nghiệm tối ưu là lượng cầu Hick K = Kˆ (wK , wL, Q0), L = Lˆ(wK , wL, Q0) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN