Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Phép tính tích phân hàm một biến số

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Phép tính tích phân hàm một biến số

1. 10/13/2012 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Đ1. Tớch phõn bất định Tớnh chất Đ2. Tớch phõn xỏc định Đ3. Ứng dụng của tớch phõn xỏc định 1) k.f(x)dx kf(x),dxk Ă Đ4. Tớch phõn suy rộng 2) f (x)dx f()xC Đ1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH d 3) f(x)dx fx() 1.1. Định nghĩa dx • Hàm số được gọi là một nguyờn hàm của trờn Fx() fx() 4) [f(x) g(x)]dx f(x)dxg()xdx . khoảng (ab;) nếu F (x) f(x), x(ab;). Ký hiệu f()xdx (đọc là tớch phõn). Nhận xột • Nếu Fx() là nguyờn hàm của fx() thỡ F()xC cũng là nguyờn hàm của fx(). ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số dxx1 MỘT SỐ NGUYấN HÀM CẦN NHỚ 11) arctan C xa22 aa 1) a.dx axC , a Ă 12) dxx 1 arcsin Ca,0 x 22 a 2) xdxC , 1 ax 1 dx1 xa 13) ln C dx dx 22 3) ln xC; 4) 2 xC xa 2axa x x dxx x 14) lntan C xx x a sin2x 5) edx eC; 6) adxC lna dxx 7) ; 8) 15) lntan C cosxdx sin xC sinxdx cosxC cosx 24 dx dx dx 2 9) tan xC; 10) cotxC 16) ln x x aC 2 2 2 cos x sin x xa ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số dx dx VD 1. Tớnh I . VD 2. Tớnh I . 2 2 4 x xx 6 12 x 12 x A. IC ln ; B. IC ln ; Giải. Biến đổi: 42 x 42 x 111 11 . 12x 12x 2 C. IC ln ; D. IC ln . xx 6 (x 2)(x 3)5 xx 32 22x 22x 111 dxx12 Vậy I dx Giải. I ln. CA 5 xx 32 x 22 2 42x 113x lnx 3 lnx 2 CC ln . 5 52x 1
2. 10/13/2012 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 1.2. Phương phỏp đổi biến dx VD 4. Tớnh I . a) Định lý 2 xx3 ln Nếu f(x)dx F()xC với ()t khả vi thỡ: dx Giải. Đặt t ln x dt f( (t)) (t)dtF ( (tC)). x dttxln I arcsin CC arcsin . dx 2 VD 3. Tớnh I . 3 t 33 xxln1 dx Giải. Đặt dx . VD 5. Tớnh I . t ln1x dt xx(3 3) 2xxln1 2 Giải. Biến đổi xdx . Vậy . I I 2 dt 2t C 2ln1xC xx33( 3) ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 1.3. Phương phỏp từng phần Đặt 32 t x dt3xdx a) Cụng thức 1dt 111 I dt u(x)v (x)dx u(x)v(x)u(x)v()xdx 3 t(t 3)93 tt 11tx3 hay udv uvvdu. ln CC ln . 9t 39x 3 3 VD 6. Tớnh I xln xdx . 2 ux ln dxx Giải. Đặt duv , dvxdx x 2 112 11 I xln xxdx x22ln.x xC 22 24 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 7. Tớnh x . Chỳ ý I dx 2x Đối với nhiều tớch phõn khú thỡ ta phải đổi biến trước khi lấy từng phần. x Giải. Biến đổi I x.2 dx . VD 8. Tớnh 3sinx . x I cos xedx ux 2 Đặt du dxv, dv 2 x dx ln2 Giải. Biến đổi 2sin x . I (1sinx)ecos xdx Đặt 2 t . x.21 x x.22 xx t sinx I (1)tedt I 2 x dx C . ln2ln2 ln2 ln22 ut 1 2 du 2tdt Đặt t dv etdt ve 2
3. 10/13/2012 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số tt2 b) Cỏc dạng tớch phõn từng phần thường gặp I e(1 t)2 tedt • Đối với dạng tớch phõn P()xe x dx , ta đặt: tt2 e(1 t) 2t()de u P(x),.dve xdx t2 tt e(1 t) 22te edt • Đối với dạng tớch phõn P(x)ln xdx , ta đặt: tx2sin2 e(t 1) C e(sinxC 1) . u lnx,dvP(x).dx ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Đ2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tớnh chất 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số fx() xỏc định trờn [ab;]. bb 1) k.f(x)dx kf(x),dxk Ă Ta chia đoạn thành đoạn nhỏ bởi cỏc điểm chia [ab;] n aa . bbb x0 a x11 xnn xb 2) Lấy điểm tựy ý ( ). [f(x) g(x)]dx f(x)dxg()xdx  kkk[xx 1;] kn 1, n aaa aba Lập tổng tớch phõn:  f( )()xx. kkk 1 3) f(x)dx 0;f(x)dx f()xdx k 1 Giới hạn hữu hạn (nếu cú) được gọi aab I lim bcb max(xxkk 1)0 k 4) f(x)dx f(x)dx f(x)dx,c[ab;] là tớch phõn xỏc định của trờn đoạn . fx() [ab;] aac b b Ký hiệu là I f(x).dx 5) f(x) 0,x [a;b] f(x)0dx a a ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số bb 2.2. Cụng thức Newton – Leibnitz 6) f(x) g(x),x [a;b] f(x)dxg()xdx aa Nếu fx() liờn tục trờn [ab;] và Fx() là một nguyờn hàm bb 7) a b f(x)dxf()xdx tựy ý của fx() thỡ: aa b b 8) m f(x) M, x[ab;] f(x)dx F(x) F(b)Fa(). a b a m(b a) f(x)dx M()ba a 9) Nếu fx() liờn tục trờn đoạn [ab;] thỡ b c [a;b]: f(x)dx f(c)()ba. a 3
4. 10/13/2012 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Nhận xột b 4) Để tớnh ta dựng bảng xột dấu của để 1) Cú hai phương phỏp tớnh tớch phõn như Đ1. f()xdx fx() a tỏch fx() ra thành cỏc hàm trờn từng đoạn nhỏ. 2) Hàm số fx() liờn tục và lẻ trờn [ ;] thỡ: f(x)0dx . Đặc biệt bb f(x)dx fx()dx nếu f(x) 0, x(ab;). 3) Hàm số fx() liờn tục và chẵn trờn [ ;] thỡ: aa f(x)dx 2f()xdx . 0 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 3 dx VD 1. Tớnh I . VD 2. Tớnh I xcos xdx . 2 1 xx 25 0 ux 3 Giải. Đặt dx du dx,vxsin Giải. Biến đổi I . dv cosxdx 2 1 4 (x 1) I xsinx sinxdxx cos2 . Đặt 00 t x 1 dtdx 0 2 2 1 dtt1 VD 3. Tớnh 23. I arctan . I x1.sin xdx 2 0 4 t 2280 1 Giải. Do hàm số f(x) xx231.sin liờn tục và lẻ trờn đoạn [ 1;1] nờn I 0. ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Đ3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VD 1. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng S giới hạn bởi 3.1. Tớnh diện tớch S của hỡnh phẳng cỏc đường yx 2 và yx 4. a) Biờn hỡnh phẳng cho bởi phương trỡnh tổng quỏt 1 2 A. S ; B. S 15 15 4 8 C. S ; D. S . 15 15 S S Giải. Hoành độ giao điểm: x24 x xx 1,0 b d 01 2424 4 S f(x)f()xdx S g(y)gy()dy S (x x)dx (x x).dxC 21 21 15 a c 10 4
5. 10/13/2012 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Cỏch khỏc VD 2. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng S giới hạn bởi cỏc đường 2 và . Hoành độ giao điểm x24 x xx 1,0 xy yx 2 11 Giải. Biến đổi: 2424 S x xdx 2 xxdx 22 x yxy 10 . 1 y x 22xy 4 2(x24 x).dxC 15 Tung độ giao điểm: 0 y2 y 2 yy 1,2 2 2 21231 27 S (y 2) ydy y 2.yy 236 1 1 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 3. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng S giới hạn bởi b) Biờn hỡnh phẳng cho bởi phương trỡnh tham số x 2x cỏc đường ye 1, ye 3 và x 0. Hỡnh phẳng giới hạn bởi đường cong cú phương trỡnh 1 ln41 1 ln2 1 với thỡ: A. ln4 ; B. ; C. ; D. ln2 x x(t),yyt() t [ ;] 2 2 2 2  Giải. Hoành độ giao điểm: eexx 13 2 S y(tx). (t).dt e2x exx 2 0 ex 2 ln2. xy22 ln2 ln2 VD 4. Tớnh diện tớch hỡnh elip S:1 . 1 22 S (e22x ex 2)2dx exx ex ab 0 20 Giải. Phương trỡnh tham số của elip là: 11 x atcos ln4 ln4 A. ,t [0;2]. ybtsin 22 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 22 3.2. Tớnh độ dài l của đường cong 2 S bsint.( asint)dtabsin tdt a) Đường cong cú phương trỡnh tổng quỏt 00 2 ằ 1 cos2t Cho cung AB cú phương trỡnh y f(x),x[ab;] thỡ: abdt ab. 2 b 0 l 1[f (x)].2 dx ABằ a x 2 VD 5. Tớnh độ dài cung parabol y từ gốc tọa độ 2 1 O(0; 0) đến điểm M 1; . 2 5
6. 10/13/2012 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Giải. Ta cú: b) Đường cong cú phương trỡnh tham số 11 22 ằ l 1 (y )1dx xdx Cho cung AB cú phương trỡnh tham số 00 x xt() ,t [ ;] thỡ: 1 yyt() 1 22 x1 x ln1 xx  2 22 0 l [x (t)][y(t)].dt ABằ 21 ln12. 22 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số VD 6. Tớnh độ dài cung C cú phương trỡnh: 3.3. Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay a) Vật thể quay quanh Ox xt 2 1 . ,t 0;1 Thể tớch V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi 2 y ln1 tt y f(xy), 0, xa , xb quay quanh Ox là: Giải. Ta cú: b 2 1 V [f(x)].dx 22 l [x (t)][y(t)] dt a 0 VD 7. Tớnh thể tớch V do hỡnh phẳng S giới hạn bởi 22 y lnxy,0, x 1, xe quay xung quanh Ox. 1 t 1 . e dt 1 e 22 Giải. V lnxdx (xxxln) . 0 tt 11 1 1 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số xy22 b) Vật thể quay quanh Oy VD 8. Tớnh V do (E):1 quay quanh Ox. ab22 Thể tớch V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi Giải. Ta cú: x gy(), x 0, yc và yd quay quanh Oy là: 222 xyb222. d 1 y ax 2 a2ba22 V [g(y)].dy c a b2 4 Vậy V a2 x22dx ab . 2 VD 9. Tớnh thể tớch V do hỡnh phẳng S giới hạn bởi a a 3 y 2x xy2,0 quay xung quanh Oy. 6
7. 10/13/2012 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Giải. Parabol 2 Chỳ ý y 2xx được viết lại: Thể tớch V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi y 2x x22 (xy 1)1 y fx(), y 0, xa và xb quay xung quanh Oy cũn được tớnh theo cụng thức: x 1 1 yx,1 . b x 1 1 yx,1 V 2xf(x)dx (*). a 1 22 VD 10. Dựng cụng thức (*) để giải lại VD 9. Vậy V 1 1 y 11 ydy 2 2 0 34 2 28xx Giải. V 2 x(2x x)dx 2. 1 1 88 3 0 343 4 1 ydyy (1) . 0 33 0 0 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Đ4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG Đ4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG • Khỏi niệm mở đầu Cho hàm số f(x) 0,xa [;) (b ). Khi đú, Cho hàm số . Khi đú, diện tớch hỡnh f(x) 0, x[ab;] diện tớch S cú thể tớnh được cũng cú thể khụng tớnh được. phẳng giới hạn bởi đồ thị y fx() và trục hoành là: Trong trường hợp tớnh được hữu hạn thỡ: b b S f()xdx . S f(x)dxlimf()xdx . b a aa ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Đ4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG • Định nghĩa tương tự: 4.1. Tớch phõn suy rộng loại 1 bb 4.1.1. Định nghĩa f(x)dx limf(x);dx a a • Cho hàm số fx() xỏc định trờn [a;) , khả tớch trờn b mọi đoạn [a;b]()ab . f(x)dx limf(x).dx b b a a Giới hạn (nếu cú) của f()xdx khi b được gọi a là tớch phõn suy rộng loại 1 của trờn . • Nếu cỏc giới hạn trờn tồn tại hữu hạn thỡ ta núi fx() [a;) tớch phõn hội tụ, ngược lại là tớch phõn phõn kỳ. b • Nghiờn cứu về tớch phõn suy rộng (núi chung) là Ký hiệu là: f(x)dx limf(x).dx b khảo sỏt sự hội tụ và tớnh giỏ trị hội tụ (thường là khú). aa 7
8. 10/13/2012 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số dx Vậy VD 1. Khảo sỏt sự hội tụ của tớch phõn I . Giải x 1 1 Đ Với 1: I (hội tụ). • Trường hợp α = 1: 1 b dx b Ix lim lim ln (phõn kỳ). Đ Với 1: I (phõn kỳ). bb x 1 1 • Trường hợp α khỏc 1: b b dx 1 1 Ix limlim bb 1 1 1 x 1 1 1 ,1 lim1b 1 b 1 , 1. ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 0 Chỳ ý dx VD 2. Tớnh tớch phõn I . • Nếu tồn tại limF(xF) () , ta dựng cụng thức: 2 x (1) x 0 0 dx 1 Giải. I lim lim1. f(x)dx Fx(). 2 a aa 1 x a a(1) x a • Nếu tồn tại , ta dựng cụng thức: limF(xF) () dx x VD 3. Tớnh tớch phõn I . b 2 b 1 x f(x)dx Fx(). b dx b Giải. Ix limlim arctan • Tương tự: bb 2 a aa a1 x . f(x)dx Fx(). limarctanba limarctan ba 22 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 4.1.2. Cỏc tiờu chuẩn hội tụ 10 VD 4. Xột sự hội tụ của tớch phõn I e x dx . a) Tiờu chuẩn 1 1 Giải. Với thỡ • Nếu 0 f(x) g(x),xa [;) và x [1;) 10 xx10 x 10 x x ee g()xdx hội tụ thỡ f()xdx hội tụ. xx10 . a a edxedx 11 • Cỏc trường hợp khỏc tương tự. 1 Mặt khỏc, e xxdxe (hội tụ). 1 e 1 Vậy tớch phõn đó cho hội tụ. 8
9. 10/13/2012 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số b) Tiờu chuẩn 2 c) Tiờu chuẩn 3 • Cho f(x),gx() liờn tục, luụn dương trờn [a;) • Nếu f()xdx hội tụ thỡ f()xdx hội tụ (ngược lại fx() a a và lim k . Khi đú: khụng đỳng). x gx() • Cỏc trường hợp khỏc tương tự. ỉ Nếu 0 k thỡ: và cựng hội tụ hoặc phõn kỳ. VD 5. Xột sự hội tụ của tớch phõn I e x cos3xdx . f()xdx g()xdx a a 1 xx Giải. ecos3xdx edx (hội tụ) I hội tụ. ỉ Nếu k 0 và g()xdx hội tụ thỡ f()xdx hội tụ. 11 a a ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Chỳ ý k Nếu thỡ ỉ Nếu thỡ f()xdx phõn kỳ. f(x): g(xx)() phaõn kyứ g()xdx a a và cú cựng tớnh chất. f()xdx g()xdx • Cỏc trường hợp khỏc tương tự. a a dx VD 7. Xột sự hội tụ của tớch phõn dx . VD 6. Xột sự hội tụ của tớch phõn I . I 23 1 sin xx 1 12 xx 1 1 1 Giải. Ta cú: Giải. Đặt fx() , gx() ta cú: 23 x 3 11 dx 12 xx : ()x và phõn kỳ. 3 1 sin xxx x fx() x 1 dx 1 và hội tụ I hội tụ. Vậy I phõn kỳ. gx()223 3 12 xx 1 x ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 11 VD 8. Điều kiện của để dx hội tụ là: • Do : nờn: I 3 3 t 1 1 xx.ln1 t 3 A. ; B. 3 ; C. ; D. 1. 3 2 2 2 dt I hội tụ hội tụ Giải. Đặt 3 tx ln 1 t 1 1 dtdtdt I . 3 33 13 A. 0t 101tt 11 3 1 • dt là tớch phõn thụng thường nờn hội tụ. 3 0 t 1 9
10. 10/13/2012 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 2 4.2. Tớch phõn suy rộng loại 2 (x 1)dx VD 9. Điều kiện của để I hội tụ? 4 4.2.1. Định nghĩa 1 23xx • Cho hàm số fx() xỏc định trờn [ab;) và khụng xỏc định Giải tại b, khả tớch trờn mọi đoạn [ab; ]( 0). 2 (x 1)dx dx b  • Với 4: : I hội tụ. 42 Giới hạn (nếu cú) của f()xdx khi  0 được gọi là 1123x xx a tớch phõn suy rộng loại 2 của fx() trờn [ab;). dx Ký hiệu: • Với 4: I : hội tụ I hội tụ  Ă. 2 bb  1 2x f(x)dx limf(x).dx  0 aa ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số • Định nghĩa tương tự: b VD 10. Khảo sỏt sự hội tụ của dx . bb Ib ,0 x f(x)dx limf()xdx (suy rộng tại a); 0  0 Giải a a  • Trường hợp α = 1: b bb  dx b (suy rộng tại , ). I lim lim lnxb ln limln  . f(x)dx limf()xdx a b   0  0 x 00  aa   • Trường hợp α khỏc 1: • Nếu cỏc giới hạn trờn tồn tại hữu hạn thỡ ta núi bb tớch phõn hội tụ, ngược lại là tớch phõn phõn kỳ. b dx 11 I lim limxdxxlim  0  001   x ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 1 1 b 1 11 ,1 3 lim b  1 VD 11. Tớnh tớch phõn 3dx .  0 I 1 , 1. 2 1 19 x 6 Vậy A. I ; B. I ; C. I ; D. I . b1 3 3 6 Đ Với 1: I (hội tụ). 1 1 1 Đ Với : (phõn kỳ). 3 1 I dx(3) 3 Giải. I arcsin3xB . 2 1 3 1 1 (3)x 6 6 10
11. 10/13/2012 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số e 2 dx dx VD 12. Tớnh tớch phõn I . VD 13. Tớnh tớch phõn I . 3 2 2 1 xx.ln 1 xx Giải. Ta cú: Giải. Đặt tx ln 22 112 1 dx 11 dt 3 3 . I dx I tdtt 33 x(x 1)1 xx 3 2 0 11 00t 2 11 lim dx  0 1  xx 1 2 x 1 limln .  0 x 1  ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 4.1.2. Cỏc tiờu chuẩn hội tụ Giải. Khi x 0 thỡ Cỏc tiờu chuẩn hội tụ như tớch phõn suy rộng loại 1. xx11 Chỳ ý : . 1 b b x(x 1)(2xx)222 Nếu f(x): g(x)()xb thỡ f()xdx và g()xdx x 1 a a 1 dx cú cựng tớnh chất (với b là cận suy rộng). I hội tụ hội tụ 1 2 0 1 x 2 VD 14. Tớch phõn suy rộng xdx I 11 x(xx 1)(2) 1 C . 0 22 hội tụ khi và chỉ khi: 1 1 A. 1; B. ; C. ; D. Ă . 2 2 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số 111 1 dxdxdx VD 15. Tớch phõn suy rộng x 1 Do : hội tụ nờn I dx 2 1 2 0(xx 1)sin 00x 0 (xx 1)sin x 2 phõn kỳ khi và chỉ khi: 1 x dx I phõn kỳ phõn kỳ. A. ; B. 1 ; C. 1 ; D. . 2 1 Ă 0 (xx 1)sin 2 2 111 x dxxdxdx Mặt khỏc, . 11 : 1 xdxdx 2 x Giải. I . 0(xx 1)sin 002 22 x 00(x 1)sinx(xx1)sin 11 Vậy I phõn kỳ 1 B . 22 11
12. 10/13/2012 ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Chỳ ý 1 x 1 • Cho với là cỏc tớch phõn suy rộng VD 16. I dx phõn kỳ khi và chỉ khi: I II12 I,,II12 2 ta cú: 0 xxsin 1 1 1 1) I và I hội tụ I hội tụ. A. ; B. ; C. ; D. Ă. 1 2 4 4 2 phaõn kyứ phaõn kyứ I1 () I1 () 2) hoặc Giải. Ta cú: I2 0 I2 0 11 thỡ I phõn kỳ. xdxdx . I II12 22 phaõn kyứ phaõn kyứ 00xsinxxxsin I1 () I1 () 3) hoặc I 0 I 0 2 2 thỡ chưa thể kết luận I phõn kỳ. ỉ Chương 5. Phộp tớnh tớch phõn hàm một biến số Mặt khỏc: 111 1) dxdxdx . I2 : 23 3 0xsinxx00 x 2 1 2) xdx . I1 0 2 0 xxsin Vậy phõn kỳ với mọi . I II12 Ă D 12