Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương - TS. Nguyễn Phúc Sơn

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương - TS. Nguyễn Phúc Sơn

1. Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 19 tháng 11 năm 2014 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
2. Định nghĩa Định nghĩa ánh xạ tuyến tính n m Ánh xạ f : R −→ R được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau n 1 f (u + v) = f (u) + f (v) với mọi u, v ∈ R n 2 f (αu) = αf (u) với mọi u ∈ R , với mọi α ∈ R Tính chất 1 f (0) = 0 (lưu ý: 2 vectors 0 này khác nhau) n 2 f (−u) = −f (u), ∀u ∈ R 3 f (α1u1 + ··· + αk uk ) = α1f (u1) + ··· + αk f (uk ), ∀ui ∈ n R , ∀αi ∈ R Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
3. Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Giả sử ánh xạ f có công thức f (x1, , xn) = (a11x1 +···+a1nxn , , am1x1 +···+amnxn) Đặt   a11 a1n  . . .  A =  . . .  am1 amn A được gọi là một biểu diễn ma trận của ánh xạ f (thường được gọi là dạng ma trận của f ) Khi đó, f (u)T = AuT Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
4. Định nghĩa Định nghĩa giá trị riêng của ma trận Cho ma trận vuông cấp n   a11 a1n  . . .  A =  . . .  an1 ann Cho λ là 1 biến số. Ma trận   a11 − λ . . . a1n  . . .  A − λIn =  . . .  an1 annλ được gọi là ma trận đặc trưng của ma trận A Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
5. Định nghĩa (tt) Định nghĩa giá trị riêng của ma trận (tt) Định thức χ(λ) = |A − λIn| là 1 đa thức theo biến số λ và được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Ta đinh nghĩa các giá trị riêng của ma trận A là các nghiệm của đa thức đặc trưng χ(λ) Tính chất của đa thức đặc trưng χ(λ) là đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất (của λn) bằng (−1)n. Hệ số của λn−1 bằng n−1 n−1 (−1) trace(A) = (−1) (a11 + ··· + ann) Hệ số tự do χ(0) = |A| Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
6. Đa thức ma trận n Cho đa thức p(x) = anx + ··· + a1x + a0. Thay ma trận vuông A vào trong đa thức như sau: n p(A) = anA + ··· + a1A + a0In Lưu ý: Hệ số tự do a0 phải được thay bằng a0In thì phép cộng mới có nghĩa. p(A) là 1 ma trận cấp n và được gọi là đa thức ma trận. Định lý: Với mọi ma trận vuông A thì χ(A) = 0. Ở đây 0 là ma trận vuông cấp n. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
7. Định nghĩa vector riêng Định lý Số λ0 là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi tồn tại 1 vector X 6= 0 (viết dạng cột) sao cho AX = λ0X Vector X như trên được gọi là 1 vector riêng của ma trận A. Từ định nghĩa, ta có (A − λ0In)X = 0 Như vậy, để tìm vector riêng X ứng với giá trị riêng λ0, ta giải hệ phương trình thuần nhất trên. Nhắc lại, nghiệm của hệ thuần nhất lập thành 1 không gian vector. Do đó, tập hợp các vector riêng ứng với 1 trị riệng xác định λ0 cũng lập thành 1 không gian vector. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
8. Chéo hóa Nhận xét: Nếu A là ma trận đường chéo   λ1 0  . .  A =  . .  0 . . . λn thì đa thức đặc trưng χ(λ) = (λ1 − λ) ····· (λn − λ). Từ đó, λi , 1 ≤ i ≤ n chính là các giá trị riêng của A. Ta có thể chọn vector riêng ứng với trị riêng λi như sau T vi = (0, , a, , 0) với a 6= 0 đặt ở vị trí thứ i. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
9. Chéo hóa (tt) Định nghĩa Ma trận vuông A chéo hóa được nếu ta có thể tìm được ma trận C khả nghịch sao cho C −1AC là ma trận đường chéo. Khi đó, ma trận C được gọi là ma trận làm chéo hóa A, còn ma trận chéo D = C −1AC được gọi là dạng chéo của A. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
10. Chéo hóa (tt) Phương pháp chéo hóa ma trận vuông A 1 Giải phương trình đa thức đặc trưng χ(λ) = 0 để tìm trị riêng. 2 Ứng với từng trị riêng λ0, tìm 1 cơ sở cho không gian nghiệm (A − λ0In)X = 0 (gồm các vector riêng ứng với λ0) 3 Nếu tổng số vector trong tất cả các cơ sở của tất cả các không gian nghiệm ở bước 2 nhỏ hơn n thì A không chéo hóa được 4 Nếu tổng số vectors cơ sở này đúng bằng n thì A chéo được và ma trận C chính là các vectors cơ sở dựng thành cột Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
11. Định nghĩa Dạng toàn phương của n biến số x1, , xn là biểu thức dạng n n X X f = aij xi xj i=1 j=1 trong đó, aij là các hằng số cho trước Ví dụ f = ax2 + bxy + cy 2 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
12. Ma trận của dạng toàn phương Để có thể thành lập dạng ma trận tương ứng với dạng toàn phương thì ta phải tách riêng các hệ số theo quy tắc san bằng Ví dụ: f = ax2 + bxy + cy 2 được “san bằng" thành b b f = ax2 + xy + yx + cy 2 2 2 nghĩa là tách đôi hệ số sao cho aij = aji Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
13. Ma trận của dạng toàn phương (tt) Định nghĩa ma trận Dạng toàn phương tổng quát tương ứng với ma trận sau   a11 a1n  . . .  A =  . . .  an1 ann với aij là các hệ số của xi xj Lưu ý: A là môt ma trận đối xứng Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
14. Biểu diễn dạng toàn phương qua ma trận f có thể được viết dưới dạng sau: f = X T AX trong đó,   x1  .  X =  .  xn Hạng của dạng toàn phương là hạng của ma trận tương ứng với nó. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
15. Dạng toàn phương chính tắc Định nghĩa Dạng toàn phương chính tắc là dạng đặc biệt sau 2 2 f = b1y1 + ··· + bnyn Nói cách khác, ma trận của dạng này là   b1 0 0  0 b2 0  A =    . . .   . . .  0 0 bn Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
16. Đưa 1 dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc Định lý (Luật quán tính) Bất kỳ dạng toàn phương f nào cũng có thể đưa được về dạng chính tắc bằng cách đổi biến. Tuy nhiên, dạng chính tắc là không duy nhất và phụ thuộc vào cách đổi biến. Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong một dạng chính tắc của f là hằng số và không phụ thuộc vào cách đổi biến. Chỉ số của dạng toàn phương Đặt Chỉ số dương s(f ) là số các hệ số dương trong 1 dạng chính tắc của f . Chỉ số âm t(f ) là số các hệ số âm trong 1 dạng chính tắc của f . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
17. Đưa dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc (tt) Nhận xét: s(f ) + t(f ) = rank(f ) Dùng hằng đẳng thức (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2, ta có thể biến đổi dạng toàn phương f tùy ý về dạng chính tắc. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
18. Dạng toàn phương có dấu xác định Định nghĩa Dạng toàn phương f là nửa xác định dương hay không âm nếu f (x1, , xn) ≥ 0, ∀x1, , xn ∈ R Dạng toàn phương f là xác định dương nếu f không âm và f (x1, , xn) = 0 ⇔ x1 = ··· = xn = 0 Dạng toàn phương f là nửa xác định âm hay không dương nếu f (x1, , xn) ≤ 0, ∀x1, , xn ∈ R Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
19. Dạng toàn phương có dấu xác định (tt) Định nghĩa (tt) Dạng toàn phương f là xác định âm nếu f không dương và f (x1, , xn) = 0 ⇔ x1 = ··· = xn = 0 Các trường hợp trên, ta bảo f xác định dấu, ngược lại, ta bảo f đổi dấu Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
20. Cách xác định dấu Phương pháp 1 Đưa f về dạng chính tắc, xác đinh s(f ), t(f ) và rank(f ). 2 Nếu t(f ) = 0, nghĩa là s(f ) = rank(f ) thì Nếu s(f ) = rank(f ) = n thì f xác định dương Nếu s(f ) = rank(f ) 0 và s(f ) > 0 thì f đổi dấu. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương