Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Không gian vector - TS. Nguyễn Phúc Sơn

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Không gian vector - TS. Nguyễn Phúc Sơn

1. Chương 2: Không gian vector Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 19 tháng 11 năm 2014 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector
2. Không gian Rn 2 3 Ví dụ quen thuộc : R và R . Thời của Euclid: biểu diễn hình học. Thời sau Descertes: biểu diễn đại số Từ biểu diễn đại số, ta có thể mở rộng lên không gian n R , n > 3 Định nghĩa n Không gian R là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự u = (a1, , an) với ai là số thực, với mọi i. Lưu ý là để thuận tiện cho việc tính toán thì vector u cũng có thể   a1 a2 được viết dưới dạng cột u =   trong đó, a được gọi là các  .  i  .  an thành phần của vector u và n là số chiều. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector
3. Định nghĩa (tt) Vector 0: 0 = (0, , 0). Vector đối của u: −u = (a1, , an) 3 Phép cộng và phép nhân vô hướng tương tự như trong R . Các tính chất cơ bản như: kết hợp, giao hoán, etc. hoàn toàn 3 tương tự R Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector
4. Định nghĩa n Cho u, u1, ,un là các vector trong R . u được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vector u1, ,un nếu tồn tại các số thực α1, ,αn sao cho u = α1u1 + ··· + αnun Cách tìm tổ hợp tt Giả sử  u = (b1, , bn)   u1 = (a11, , a1n) .  .   um = (am1, , amn) Giải hệ sau T T T (u1 , , um | u ) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector
5. Cách tìm (tt) Viết dưới dạng ma trận:   a11 a21 am1 b1 a12 a22 am2 b2    . . . . .   . . . . .  a1n a2n amn bn Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector
6. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa Họ các vectors u1, , um được gọi là họ độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức α1u1 + ··· + αmum = 0 ta suy ra được α1 = ··· = αm = 0 nghĩa là phương trình x1u1 + ··· + xmum = 0 có nghiệm duy nhất α1 = ··· = αm = 0 Họ các vector không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector
7. Cách xác định độc lập/phụ thuộc Đặt ma trận   u1  .  A =  .  um Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng tính r(A). Nếu r(A) = m thì độc lập tuyến tính Nếu r(A) < m thì phụ thuộc tuyến tính Trường hợp đặc biệt: nếu A vuông thì ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Khi đó, Nếu det(A) 6= 0 thì độc lập tuyến tính Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector
8. Cơ sở Định nghĩa n Tập hợp B trong R được gọi là một cơ sở nếu B độc lập tuyến n tính và bất kỳ vector v ∈ R đều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong B. Ở đây thứ tự của các vectors trong B là quan trọng. Tính chất n Mọi cơ sở của R đều có đúng n vectors. Nếu B độc lập tuyến tính và có đúng n vectors thì B là cơ sở n của R . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector
9. Số chiều Định nghĩa Số vector trong 1 cơ sở của không gian vector được gọi là số n chiều của không gian đó. Ký hiệu dim R = n. Nhận xét n Trong R bất kỳ tập nào có nhiều hơn n vectors đều phụ thuộc tuyến tính. Lưu ý Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất tạo thành 1 không gian vector có số chiều đúng bằng bậc tự do của nghiệm. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector
10. Định nghĩa n Mọi vector v ∈ R đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector trong B v = α1u1 + ··· + αnun Khi đó, bộ thứ tự [v]B = (α1, . . . , αn) được gọi là tọa độ của v trong cơ sở B.Tọa độ cũng có thể được viết dưới dạng cột   α1 T  .  [v]B =  .  αn Cách tìm: Giải hệ phương trình. Ở đây ma trận hệ số vuông nên có thể dùng quy tắc Cramer. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector