Bài giảng Toán 3: Nhập môn đại số tuyến tính

Nội dung text: Bài giảng Toán 3: Nhập môn đại số tuyến tính

1. Bài Giảng Toán 3 NHẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. Tuần 2: MA TRẬN • Khái niệm ma trận • Các phép toán ma trận và tính chất • Ma trận nghịch đảo, phương pháp tìm ma trận nghịch đảo. • Các câu lệnh trong Matlab ứng dụng vào bài học
3. 1. Khái niệm ma trận 1. Một bảng số gồm mn số thực được xếp thành m hàng và n cột được gọi là một ma trận m n: a11 a12  a1n a a  a 21 22 2n    am1 am2  amn . Dùng những chữ cái A, B, C, để đặt tên cho ma trận. aij là phần tử nằm ở hàng i và cột j. Với ma trận A, ký hiệu phần tử nằm ở hàng i và cột j là (A)ij hoặc A(i, j).
4. a1 j a Là cột thứ j 2 j a mj
5. 2. Các phép toán ma trận
6. >> A=[3 4; 1 2] A = >> A*B ??? Error using ==> mtimes 3 4 Inner matrix dimensions must agree. >> B*A 1 2 ans = >> >> B=[1 2; 4 5; 3 6] 5 8 17 26 B =
7. Lấy hàng 1 của M nhân cột 1 của N ta có chi phí nguyên liệu thô trong mùa hè là 1870 $.
8. 2. Ma trận nghịch đảo 2 1 2 −1 2 −1 2 1 1 0 Vì . = . = 3 2 −3 2 −3 2 3 2 0 1
9. >> A=[1 2;3 4] >> inv(B)*inv(A) A = ans = >> inv(A)*inv(B) 1 2 >>12.5000 inv(A*B) -5.5000 ans = 3 4 -10.7500 4.7500 ans = 11.5000 -8.5000 >> B=[5 6; 7 8] -7.7500 5.7500 12.5000 -5.5000 B = -10.7500 4.7500
10. 2) Giả sử tồn tại x khác vectơ không sao cho Ax = 0. Khi đó A không khả nghịch
11. >> A=[1 2; 1 2] A = 1 2 >> inv(A) Warning: Matrix is singular to working precision. 1 2 ans = Inf Inf Inf Inf
12. 3. Tìm ma trận nghịch đảo bằng pp Gauss-Jordan
13. Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 1 1 1 A = 0 1 1 0 0 1
14. >> A=[1 1 1; 0 1 1; 0 0 1] A = >> inv(A) 1 1 1 0 1 1 ans = 0 0 1 1 -1 0 0 1 -1
15. 4. Phép khử dùng ma trận Định nghĩa Ma trận khử (ma trận sơ cấp) Eij là ma trận mà ta thay vị trí hàng i cột j của ma trận đơn vị bằng một số -l nào đó. 1 0 Ví dụ: E = là một ma trận khử 21 − 2 1 Thay -2 vào vị trí (2,1) của ma trận đơn vị Ma trận hoán vị Pij là ma trận mà ta đổi vị trí của hai hàng i và j của ma trận đơn vị. Ví dụ: 0 1 là một ma trận hoán vị. P21 = 1 0 Đổi chỗ hàng 1 và hàng 2 của ma trận đơn vị
16. Ví dụ 2 1 0 0 P = 0 0 1 0 1 0 có được bằng cách đổi chỗ h2 và h3 của ma trận đơn vị
17. 5. Ma trận chuyển vị Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp mxn. Ma trận chuyển vị của A được ký hiệu là AT, là ma trận có cột thứ j là hàng thứ j của ma trận A. (j = 1, 2, m)
18. >> A=[2 3; 3 4; 4 5] >> (A*B)' A = ans = >> A'*B' 2 3 7 10 13 ??? Error using ==> mtimes 3 4 2 3 4 Inner matrix 4 5 dimensions must agree. >> B'*A' >> B=[2 1; 1 0] ans =
19. Định nghĩa: Ma trận A được gọi là ma trận đối xứng nếu A = AT. Ví dụ: Hai ma trận sau là hai ma trận đối xứng 1 2 − 4 1 3 và 2 0 1 3 4 − 4 1 0 Nhận xét: Ma trận A là đối xứng khi và chỉ khi T nó là ma trận vuông và (A)ij =(A )ji với mọi i, j
20. 6. Một số câu lệnh trong Matlab ứng dụng vào bài học • Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A: inv(A) • Giải hệ phương trình có dạng ma trận A.x = b x = inv(A) * b Hoặc x = A\b • Tìm ma trận chuyển vị của ma trận A A’ • Tổng, hiệu, tích của hai ma trận A+B; A-B; A*B
21. >> A=[1 0; 2 3] >> inv(A) A = ans = >> A\b1.0000 >> 0 A' 1 0 -0.6667 0.3333 2 3 ans = ans = >> b=[1;5] 1 1 2 1 0 3
22. Tổng kết các ý chính trong tuần 2 1. Khái niệm ma trận, các phép toán ma trận và tính chất. 2. Ma trận nghịch đảo. Phương pháp Gauss- Jordan tìm ma trận nghịch đảo. 3. Ma trận khử, ma trận hoán vị. 4. Ma trận chuyển vị.