›
›

Bài giảng Toán 3

ppt 239 trang phuongnguyen 2110
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán 3", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_toan_3.ppt

Nội dung text: Bài giảng Toán 3

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN BÀI GIẢNG
  2. Chương I: Hàm số nhiều biến Số tiết: 10 lý thuyết + 5 bài tập, thảo luận 1.1. Khái niệm mở đầu 1.2. Đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến số 1.3. Cực trị của hàm số nhiều biến số
  3. 1.1. Khái niệm mở đầu 1.1.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Định nghĩa Ta gọi hàm số của n biến số xác định trên D, ký hiệu f: D → R, là quy luật cho ứng mỗi x = (x1, x2, , xn) D với u = f(x1, x2, , xn) R. Ví dụ: f: R2 → R xx12+ x==(,) x12 x f( x) 22 xx12+
  4. 1.1.2. Miền xác định của hàm số nhiều biến số Miền xác định của hàm số u = f(M), ký hiệu Df, là tập các điểm M để f(M) có nghĩa. Ví dụ . Trong R2, với f(x, y) = 1 −− x22 y thì 2 2 Df = {(x, y): x + y 1}. x Trong R3, với f(x, y, z) = thì 1− x2 − y 2 − z 2 2 2 2 Df = {(x, y, z): x + y + z < 1}.
  5. 1.1.3. Tập hợp trong Rn n Giả sử M(x1, x2, , xn) và N(y1, y2, , yn) R n 2 • Khoảng cách: d(M, N) =  (xkk− y ) . k1= n •  - lân cận của M tập U(M) = {N R : d(M, N) < }. • Lân cận của M, ký hiệu U(M), là mọi tập hợp chứa một U(M) nào đó của M • M được gọi là điểm trong của tập E nếu tồn tại U(M) nằm trọn trong E. •Tập E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.
  6. • Ta gọi quả cầu mở tâm M0 bán kính r là tập: n ` E = {N R : d(M0, N) < r} • Ta gọi là mặt cầu tâm M0 bán kính r là tập n E = {N R : d(M0, N) = r} • Ta gọi quả cầu đóng tâm M0 bán kính r là tập n E = {N R : d(M0, N) r} • Tập hợp E được gọi là bị chặn nếu tồn tại quả cầu nào đó chứa nó
  7. 1.1.4. Giới hạn của hàm số nhiều biến số Định nghĩa 1: Hàm f(M) có giới hạn là L khi M → M0 khi và chỉ khi  > 0,  = (, M0) > 0 sao cho d(M0, M) 0,  = (, M0) > 0 sao cho d(M0, M) . Định nghĩa 3: Hàm f(M) có giới hạn là − khi M → M0 khi và chỉ khi  > 0,  = (, M0) > 0 sao cho d(M0, M) -.
  8. • Ví dụ: Tính giới hạn xy2 lim a) x→0 xy22+ y→0 xy2 b) lim x→0 xy42+ y→0
  9. 1.1.5. Tính liên tục của hàm số nhiều biến số Định nghĩa. Giả sử f(x) xác định trong lân cận của điểm M0 D. Ta nói f(x) liên tục tại M0 nếu tồn tại giới hạn lim f ( M ) = f(M0). MM→ 0 Với M0(x0, y0), khi đó: ▪ số gia của đối: x = x – x0, y = y – y0, ▪ số gia riêng theo biến x: xf = f(x0 + x, y0) – f(x0, y0 ), ▪ số gia riêng theo biến y: yf = f(x0, y0 + y) – f(x0, y0 ), ▪ số gia toàn phần: f = f(x0 + x, y0 + y) – f(x0, y0 ).
  10. • f(M) liên tục trong D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D. Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm xy x+ y 0 f(x, y) = xy+ 0 x+= y 0
  11. 1.2. Đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến số 1.2.1. Đạo hàm riêng Cho u = f(x, y) xác định trong miền D và M0(x0, y0) D. Nếu cố định y = y0 mà hàm một biến của x là f(x, y0) khả vi tại x = x0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M0. f u Ký hiệu: f '(x ,y ), (x ,y ), (x ,y ), tức là x 0 0 x 00 x 00 f f(x+ x,y) − f(x,y) (x ,y )= lim 0 0 0 0 . x 00 →x0 x • Đạo hàm riêng của f đối với y tại M0 và được ký hiệu là f u f '(x ,y ) hay (x ,y ) hoặc (x ,y ). y 0 0 y 00 y 00 vd
  12. • Định lý: Giả sử hàm số f(x,y) khả vi tại (x0,y0) và có các đạo hàm riêng tại (x0,y0). Khi đó công thức đạo hàm toàn phần là: ff fxyuv',,,,( )( ) =+( xyu) ( xyv) 0 0xy 0 0 0 0
  13. 1.2.2. Đạo hàm của hàm số hợp Cho : R2  D  (x, y) → (u(x, y), v(x, y)) R2, f: R  (u, v) → f(u, v) R. Khi đó fo : D  (x, y) → f( (x, y)) = f(u(x, y),v(x, y)) được gọi là hàm hợp của f với . Ví dụ:
  14. ff Định lý: Nếu f có các đạo hàm riêng , liên tục uv trong D và các hàm u, v có các đạo hàm riêng u  u  v  v ,,, trong D, thì tồn tại các đạo hàm riêng x  y  x  y ff , trong D và xy f  f  u  f  v =+ x  u  x  v  x f  f  u  f  v =+ y  u  y  v  y
  15. uu''xy • Đặt A = gọi là matrận vv''xy Jacobicủa u,v đối với x,y
  16. Ví dụ Cho f = eulnv, với u = xy, v = x2 + y2. f  f 1  u  v  u  v =elnv,uu = e , = y, = 2x, = x, = 2y. u  v v  x  x  y  y Do đó xy fu u 1 xy 2 2 2xe xy 2 2 2x =(e ln v) y + e 2x = ye ln(x + y ) +2 2 = e yln(x + y ) + 2 2 , xv x++ y x y xy fu u 1 xy 2 2 2ye xy 2 2 2y =(e ln v) x + e 2y = xe ln(x + y ) +2 2 = e xln(x + y ) + 2 2 yv x++ y x y
  17. 1.2.3. Vi phân toàn phần Ta nói f(x, y) khả vi tại (x0, y0) nếu có thể biểu diễn f = A x + B y + x +  y, trong đó: A và B là những hằng số chỉ phụ thuộc x0 và y0, và  dần tới 0 khi cả x và y dần tới 0. Ký hiệu: df = A x + B y, và gọi là vi phân toàn phần của f tại (x0, y0). Hàm f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D. Rõ ràng, nếu f khả vi tại (x0, y0) thì nó liên tục tại (x0, y0).
  18. Định lý : Nếu các đạo hàm riêng của f(x, y) liên tục tại (x0, y0) thì f(x, y) khả vi tại (x0, y0) và df = fx'(x0, y0) x + fy'(x0, y0) y. 1.02 Ví dụ Tính gần đúng arctg . 0.95
  19. 1.2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn a) Khái niệm hàm ẩn Cho phương trình F(x, y) = 0, trong đó F: R2  U → R. Nếu với mỗi giá trị x = x0 I, có một (hay nhiều) y0 sao cho F(x0, y0) = 0 thì ta nói phương trình F(x, y) = 0 xác định một (hay nhiều) hàm ẩn y theo x I. Nói khác đi, x I, (x, f(x)) U và F(x, f(x)) = 0. Ví dụ : 22 Từ phương trình xy+=1, ta có y = −1x2 . Từ xy + yx = a (x > 0, y > 0, a > 0) ta không thể tìm được dạng tường minh của hàm ẩn, mặc dù nó có thể tồn tại.
  20. b) Đạo hàm hàm ẩn dy dy F'x Fxy '+= F ' 0. Vì F'y 0, ta có =− . dx dx Fy ' Ví dụ: z 2 3 F(x, y, z) = e + xy + x + z – 1 = 0. Ta có Fx' = y + 2x, z 2 Fy' = x, Fz' = e +3z . Vì Fz' 0 z, nên phương trình trên xác định một hàm ẩn z = f(x, y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng 2x+ y x z '= − ,z ' = − . xyez++ 3x 2 e z 3z 2
  21. 1.2.5. Đạo hàm theo hướng và gradien. Cho u = u(x, y, z) xác định trong D  R3. Qua điểm M0(x0, y0, z0) D, vẽ một đường thẳng định hướng có véc tơ đơn vị là l . Định lý: Nếu hàm số u = u(x, y, z) khả vi tại M0(x0, y0, z0) thì tại điểm đó nó có đạo hàm theo mọi hướng l , và ta có u u(M)  u(M)  u(M) ( M )=0 cos + 0 cos  + 0 cos  l 0 x  y  z , trong đó cos , cos, cos là các thành phần của l .
  22. Građiên (gradient): Ta gọi građiên của u(x, y, z) tại M0, ký hiệu gradu(M0 ), là véc tơ u(M)  u(M)  u(M) gradu(M)=0 i + 0 j + 0 k 0 x  y  z với i, j, k tương ứng là các véc tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz. Định lý 1.2.8. u Nếu u(x, y, z) khả vi tại M0 thì ()()M= ch grad u M l 00l
  23. 1.2.6. Đạo hàm và vi phân cấp cao a) Đạo hàm riêng cấp cao Cho hàm z = f(x, y) và các đạo hàm riêng cấp một fx', fy'. Đạo hàm riêng cấp hai:  f 22 f   f  f =22 =fxx ", = = f yy " x  xxy  y  y  f 22 f   f  f = =fxy ", = = f yx " y  x  y  x  x  y  x  y Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai được gọi là các đạo hàm riêng cấp ba, vv
  24. Ví dụ:
  25. Định lý 1.2.6. (Schwarz). Nếu trong lân cận nào đó của điểm M0(x0, y0), hàm z = f(x, y) có các đạo hàm riêng fxy", fyx" và các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0 thì fxy"(x0, y0) = fyx"(x0, y0). b) Vi phân cấp cao Xét hàm z = f(x, y). Vi phân toàn phần của nó là dz = fx'dx + fy'dy nếu tồn tại thì cũng là những hàm của x, y. Ta gọi vi phân toàn phần của dz (nếu tồn tại), được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của z, ký hiệu là d2z, tức là 2 d z = d(dz) = d(fx'dx + fy'dy). Vi phân của vi phân cấp hai là vi phân cấp ba, vv
  26. 1.2.6. Hàm thuần nhất Giả sử D  Rn có tính chất:  (x1, x2, , xn) D (tx1, tx2, , txn) D t > 0. Hàm f(x1, x2, , xn) được gọi là thuần nhất bậc k nếu k f(tx1, tx2, , txn) = t f(x1, x2, , xn) t > 0. Công thức Euler. n f Hàm f(x1, x2, , xn) là thuần nhất bậc k  xi = kf. i1= xi
  27. Ví dụ:
  28. 1.3. Cực trị của hàm số nhiều biến số 1.3.1. Cực trị không điều kiện của hàm số nhiều biến số 2 Cho z = f(x, y) xác định trong D  R và U(M0) là một lân cận nào đó của M0(x0, y0) D. Ta nói, • hàm f đạt cực đại tại M0 nếu f(M) f(M0) với mọi M U(M0).
  29. Định lý 1.3.1. (điều kiện cần của cực trị). Tại điểm cực trị M0, nếu các đạo hàm riêng cấp một của hàm z = f(x, y) tồn tại thì chúng bằng 0, tức fx’ = fy’ = 0 tại M0. Ta gọi điểm tới hạn của hàm f là những điểm mà tại đó, hoặc không tồn tại các đạo hàm riêng, hoặc chúng tồn tại và bằng 0.
  30. Định lý 1.3.2. (dấu hiệu của cực trị) Giả sử z = f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm M0(x0, y0) và tại đó 2 fx' = fy' = 0. Đặt  = (fxy”) – fxx”fyy”, khi đó, • Nếu  0, đạt cực đại nếu fxx” 0 thì f không đạt cực trị tại M0. • Nếu  = 0 thì tại M0, hàm f có thể đạt cực trị hoặc không. TH  = 0, xét dấu f. • Nếu f 0 thì M0 là điểm cực tiểu, • Nếu f không xác định dấu thì M0 không là điểm cực trị.
  31. Ví dụ:
  32. 1.3.2. Cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến số Ta gọi cực trị của hàm z = f(x, y) với x và y bị ràng buộc bởi g(x, y) = 0 là cực trị có điều kiện. Định lý 1.3.3. . (điều kiện cần của cực trị cho hàm hai biến) Giả sử z = f(x, y) đạt cực trị tại M0(x0, y0) với điều kiện g(x, y) = 0. Thêm vào đó, • Các hàm số f(x, y) và g(x, y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong lân cận M0, • Tại M0, các đạo hàm riêng gx', gy' không đồng thời bằng 0. f' f'x y Khi đó tại M0, = . gxy ' g '
  33. Ví dụ:
  34. Định lý 1.3.4. (điều kiện cần của cực trị cho hàm ba biến) Giả sử z = f(x, y) đạt cực trị tại M0(x0, y0, z0) với điều kiện g(x, y, z) = 0. Thêm vào đó, • Các hàm số f(x, y, z) và g(x, y, z) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong lân cận M0, • Tại M0, các đạo hàm riêng gx', gy', gz’ không đồng thời bằng 0. f' fxz 'y f ' Khi đó tại M0, ==. gx ' g y ' g z '
  35. Ví dụ:
  36. Phương pháp nhân tử Lagrange cho hàm hai biến Tìm , x0, y0 thoả mãn hệ ba phương trình f '(x,y)+  g '(x,y) = 0 x 0 0 x 0 0 . f'(x,y)y 0 0+  g'(x,y) y 0 0 = 0 g(x00 ,y )= 0 Ví dụ:
  37. 1.3.3. Các giá trị max và min của hàm số nhiều biến số trong miền đóng bị chặn Ví dụ:
  38. Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC Số tiết: 04 lý thuyết + 02 bài tập, thảo luận 2.1. Ứng dụng trong hình học phẳng 2.2. Ứng dụng trong hình học không gian
  39. 2.1. Ứng dụng trong hình học phẳng 2.1.1. Tiếp tuyến của đường cong Đường cong (L): F(x, y) = 0. Điểm chính quy: Nếu Fx'(x0, y0) và Fy'(x0, y0) không đồng thời bằng 0 thì điểm M0(x0, y0) L được gọi là điểm chính quy. Điểm kỳ dị: trái lại gọi là điểm kỳ dị. Phương trình tiếp tuyến của đường L tại điểm chính quy M0 là: (x – x0)Fx'(x0, y0) + (y – y0)Fy'(x0, y0) = 0 Ví dụ:
  40. 2.2. Ứng dụng trong hình học không gian: 2.2.1. Hàm véc tơ: 2.2.1.1: Định nghĩa: Cho XR Ánh xạ: r : X→ R3 t r( t ) gọi là hàm véc tơ của biến số t xác định trên X + Nếu x(t), y(t), z(t) là ba thành phần của r(t) và i, j, k là các véc tơ đơn vị tương ứng với các trục Ox, Oy, Oz thì r(t)=++ x(t)i y(t)j z(t)k
  41. Đặt OM = r(t) thì M = (x(t), y(t), z(t)). Khi t biến thiên trên X thì quỹ tích của M là một đường cong trong R3, gọi là tốc đồ của hàm véc tơ r(t) và ta nói đường cong có pt tham số là: x= x(t) y= y(t) z= z(t) 2.2.1.2: Giới hạn, liên tục, khả vi: + Ta nói hàm véc tơ có giới hạn là a khi t→ t0 nếu  > 0, (, t0) > 0 : |t – t0| <  r(t)− a  Ký hiệu: lim r(t)= a tt→ 0
  42. + Hàm véc tơ r(t) được gọi là liên tục tại tX 0 nếu lim r(t)= r(t0 ) tt→ 0 + Cho hàm véc tơ xác định trên X, tX 0 , cho t0 một số gia t . Giới hạn nếu có của tỉ số: r r(t+ t) − r(t ) =00khi t → 0 tt Gọi là đạo hàm của tại t . KH 0 r (t0 ) dr(t0 ) hay Và nói khả vi tại t dt 0
  43. Ta có: r x(t+ t) − x(t) y(t + t) − y(t) y(t + t) − y(t) =0 0i + 0 0 j + 0 0 k t t t t + Nếu các hàm số x(t), y(t), z(t) khả vi tại t0 thì r(t) khả vi tại t0 và ta có: r(t)0=++ x(t)i 0 y(t)j 0 z(t)k 0
  44. 2.2.2. Tiếp tuyến và pháp diện của đường cong tại một điểm: Trong không gian, cho đường cong L có phương trình tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t). Phương trình véc tơ của nó là r(t)=++ x(t)i y(t)j z(t)k Giả sử điểm M0(x(t0), y(t0), z(t0)) L. Giả sử x'(t0), y'(t0) và z'(t0) không đồng thời bằng 0, khi đó r '(t) 0. Điểm M(x, y, z) nằm trên tiếp tuyến của L tại M0 khi và chỉ khi véc tơ đồng phương với véc tơ r '(t) tức MM0 là x− x(t) y − y(t) z − z(t) 0== 0 0 x'(t)0 y'(t) 0 z'(t) 0 gọi là pt tiếp tuyến của (L) tại M0
  45. *) Mọi đường thẳng đi qua M0 và vuông góc với tiếp tuyến của L tại M0 được gọi là pháp tuyến của L tại M0. + Nếu L có tiếp tuyến tại M0 thì nó có vô số pháp tuyến tại M0, chúng cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với tiếp tuyến tại M0, mặt phẳng ấy được gọi là pháp diện của L tại M0. + Điểm M(x, y, z) nằm trên pháp diện ấy khi và chỉ khi M00 M⊥ r (t ) hay (x− x(t0 ))x'(t 0 ) + (y − y(t 0 ))y'(t 0 ) + (z − z(t 0 ))z'(t 0 ) = 0 Pt trên gọi là phương trình pháp diện của L tại M0.
  46. Ví dụ: Viết pt tiếp tuyến và pháp diện của đường: xt= 2 yt= 3 zt= tại t0 = 3
  47. 2.2.3. Độ cong: Cho đường cong L trong không gian có phương trình x = x(t), y = y(t), z = z(t). Khi đó độ cong của đường cong (L) tại M được ký hiệu và xác định bởi công thức: x y 2 y z 2 z x 2 ++ x y y z z x C(M) = 3 (x 2++ y 2 z 2 ) 2
  48. Ví dụ: Tính độ cong của đường xe= t −t ye= z= t 2 tại điểm bất kỳ
  49. 2.2.4. Mặt cong: Cho mặt S có phương trình F(x, y, z) = 0 và điểm M0 thuộc S. Đường thẳng M0T được gọi là tiếp tuyến của mặt S tại M0 nếu nó là tiếp tuyến tại M0 của một đường cong nào đó trên mặt S và đi qua M0. Tại mỗi điểm M0 trên mặt S có vô số đường cong thuộc S đi qua, vì vậy có thể có vô số tiếp tuyến với mặt s tại M0. T M0 S
  50. Định lý: G/s M0 là một điểm chính quy của mặt S ( tức là tại đó F’x, F’y, F’z không đồng thời bằng 0). Khi đó tập hợp tất cả các tiếp tuyến của mặt cong S tại M0 là một mặt phẳng đi qua M0, mặt phẳng đó gọi là tiếp diện của S tại M0 + Đường thẳng qua M0 vuông góc với tiếp diện của S tại M0 gọi là pháp tuyến của S tại M0.
  51. Đặt n= ( F(M),F(M),F(M)x 0 y 0 z 0 ) + Nếu M0 là điểm chính quy thì n0 và mọi tiếp tuyến của mặt S tại M0 đều vuông góc với n *) Do đó pt mặt phẳng tiếp diện là: F(M)(xx 0− x) 0 + F(M)(y y 0 − y) 0 + F(M)(z z 0 − z) 0 = 0 *) Pt pháp tuyến tại M0 là: x− x y − y z − z 0== 0 0 F(M)x 0 F(M) y 0 F(M) z 0
  52. Ví dụ: Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong S có phương trình x2−+= 4y 2 2z 2 6 tại M0(2; 2; 3)
  53. n0 Chú ý: Xét điểm M(x, y, z) S. Nếu gọi ,  và  tương ứng là các góc tạo bởi véc tơ pháp tuyến n của S tại M với ba trục toạ độ Ox, Oy và Oz thì véc tơ n0 = (cos , cos  , cos  ) được gọi là véc tơ pháp tuyến đơn vị của S tại M Đồng thời cos , cos, cos được gọi là các cosine chỉ phương của . Khi đó ta có n0 F' F' cos =x ,cos  = y , 2 2 2 2 2 2 F'F'F'F'F'F'x+ y + z x + y + z F' cos= z . 2 2 2 F'F'F'x++ y z
  54. Nếu mặt S được cho bởi z = f(x, y) thì bằng cách đặt F(x, y, z) = z – f(x, y), ta có n= ( − fxy , − f ,1) −f' −f' 1 n= x ,y , 0 1f'f'+2 + 2 1f'f' + 2 + 2 1f'f' + 2 + 2 x y x y x y
  55. Chương III 1.1. Tích phân phụ thuộc tham số 1.2. Tích phân kép 1.3. Tích phân bội ba
  56. 1.1 Tích phân phụ thuộc tham số 1.1.1 Trường hợp tích phân xác định b Xét tích phân I(t)= f (x,t)dx a trong đó f(x, t) xác định trên [a, b] [c, d] và khả tích theo x trên [a, b] với mọi t [c, d]. Vế phải phụ thuộc vào t, nên ta gọi (1.1) là tích phân phụ thuộc tham số. Định lý 1.1.1: Nếu hàm số f(x, t) liên tục trên [a, b] [c, d] thì I(t) liên tục trên [c, d].
  57. • Định lý 1.1.2: Nếu hàm số f(x, t) liên tục trên [a, b] [c, d] thì d db bd I(t)dt= [ f(x,t)dx]dt= [ f (x,t)dt]dx c ca ac • Định lý 1.1.3: Giả sử với mọi t cố định trong (c, d), hàm f(x, t) liên tục theo x trên [a, b] và ft’(x, t) liên tục trên [a, b] [c, d]. Khi đó(1.3) b ' I(t) = ft (x,t)dx a
  58. Ví dụ 1: Tính tích phân 1 dx Jt()= 22 0 xt− Ví dụ 2: Tính 1 dx Ia= ( ) 22 0 ( x++1)( x a) với a>0, a 1
  59. 1.1.2 Trường hợp tích phân suy rộng • Xét tích phân suy rộng + I(t)= f(x,t)dx (1) a trong đó f(x, t) xác định trên [a, + ] [c, d]. Khái niệm tích phân suy rộng hội tụ Tích phân trên được gọi là hội tụ nếu (1) tồn tại nghĩa là: b I(t)= lim f (x,t)dx với b > a. b→+ a
  60. Tức là:  > 0, B = B(, t) > 0 : b > B + |I(t) – Ib(t)| = f (x,t)dx  b Khái niệm tích phân suy rộng hội tụ đều Tích phân (1.7) được gọi là hội tụ đều nếu sự tồn tại của B ở trên chỉ phụ thuộc vào . Tức là  > 0, B = B() > 0 : b > B + |I(t) – Ib(t)| = f (x,t)dx <  t [c, d]. b
  61. • Định lý 1.1.4: Nếu |f(x, t)| g(x) (x, t) [a, + ] [c, d] và + g(x)dx hội tụ thì tích phân (1) hội tụ đều trên [c,d]. a
  62. • Ví dụ: + dx Xét sự hội tụ của tích phân: Jt()= 22 1 xt+ + I() t= x−− eax dx 1 với a > 0, 1
  63. 1.2 Tích phân kép 1.2.1 khái niệm tích phân kép • Bài toán tính thể tích vật thể hình trụ Giả sử f(x, y) liên tục và không âm trong miền đóng bị chặn D với biên L. Tính thể tích của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt z = f(x, y) và mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa trên L (Hình 1.1). f(x , y ) z k k z = f(x, y) O L S y Mk k x
  64. z f(xk, yk) z = f(x, y) O L S y Mk k Ta làm như sau: x Hình . • Chia miền D thành n mảnh nhỏ tuỳ ý là S1, S2, , Sn • Gọi diện tích tương ứng của chúng là S1, S2, , Sn. • Trên mỗi mảnh Sk lấy điểm Mk(xk, yk) tuỳ ý. Khi đó thể tích V của vật thể xấp xỉ với . n  f (xk , y k ) S k k1= Sự xấp xỉ càng chính xác nếu n càng lớn. Vì vậy thể tích V được định nghĩa bằng giới hạn (nếu có) của tổng trên khi n dần ra vô hạn. Giới hạn đó không phụ thuộc cách chia miền D và cách lấy các điểm Mk.
  65. Định nghĩa tích phân kép • Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền đóng bị chặn D  R2. • Chia D thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau, D = S1S2 Sn, Với k = 1, 2, , n, lấy tuỳ ý Mk(xk, yk) Sk và ký hiệu Sk = |Sk| (số đo diện tích của Sk) n n→+ • Nếu  f (Mkk ) S ⎯⎯⎯⎯→ I (hữu hạn) k1= (không phụ thuộc: cách chia D, cách chọn các điểm Mk)(1.10) thì giới hạn đó gọi là tích phân kép của f(x, y) trên miền D, ký hiệu là I= f (x, y)dS D
  66. • Trong đó: D là miền lấy tích phân dS là yếu tố diện tích f(x, y) là hàm dưới dấu tích phân, f(x, y)dS là biểu thức dưới dấu tích phân. • Đặc biệt nếu f(x,y)=1 thì I= dS là diện tích miền D D • Vì tích phân kép không phụ thuộc cách chia miền D, nên ta có thể chia D bởi hai họ đường thẳng song song với các trục Ox và Oy, vì thế dS = dxdy. Vậy ta thường viết I= f(x,y)dxdy thay cho I = f (x, y)dS . D D
  67. • Các tính chất của tích phân kép Tích phân kép cũng có các tính chất tương tự như tích phân xác định như: 1) [f(x,y)+ g(x,y)]dxdy= f (x, y)dxdy + g(x, y)dxdy D D D 2) kf (x, y)dxdy = k f (x, y)dxdy với k là hằng số D D 3) f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy D D1 D2 với D1 và D2 là phân hoạch của D. 4) Nếu f(x, y) g(x, y) (x, y) D thì f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy D D
  68. 1.2.2 Cách tính tích phân kép trong tọa độ Đêcác a) Miền lấy tích phân là hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ D = [a, b] [c, d]. • Định lý 1.2.1: Giả sử f(x, y) khả tích trên D = [a, b] [c, d]. Khi đó: • Nếu x [a, b], hàm f(x, y) khả tích trên [c, d] thì d I(x) = f (x, y)dy khả tích trên [a, b] và c b bd f (x, y)dxdy = I(x)dx = ( f(x,y)dy)dx D a ac (1.11)
  69. = • Nếu y [c, d], hàm f(x, y) khả tích trên [a, b] thì b J(y) = f (x, y)dx khả tích trên [c, d] và a d db f (x, y)dxdy = J(y)dy = ( f (x, y)dx)dy D c ca • Hệ quả: Nếu f(x, y) liên tục trên D = [a, b] [c, d] thì bd db f (x, y)dxdy = ( f(x,y)dy)dx = ( f (x, y)dx)dy D ac ca • Chú ý: Nếu f(x, y) = f1(x)f2(y) thì bd f (x, y)dxdy = f12 (x)dx f (y)dy D ac
  70. Miền lấy tích phân là miền bị chặn Định lý : Giả sử f(x, y) là hàm khả tích trên D. y = y2(x) y Trường hợp 1: y = y1(x) D = {(x, y) : a x b, y1(x) y y2(x)} x a Hình . b Khi đó b b y2 (x) f (x, y)dxdy = I(x)dx = ( f (x, y)dy)dx D a a y1 (x) y d x = x (y) Trường hợp 2: 2 x = x (y) D = {(x, y) : c y d, x (y) x x (y)} 1 1 2 c x Khi đó Hình . d d x2 (y) f (x, y)dxdy = J(y)dy = ( f (x, y)dx)dy D c c x1 (y)
  71. • Chú ý: Nếu miền D có thể mô tả được bằng cả hai dạng D = {(x, y) : a x b, y1(x) y y2(x)} và D = {(x, y) : c y d, x1(y) x x2(y)} trong đó y1(x) và y2(x) là các hàm khả tích trên [a, b] và x1(y) và x2(y) là các hàm khả tích trên [c, d]. Khi đó ta có công thứ đổi thứ tự tích phân: b y2 (x) d x2 (y) f (x, y)dxdy = ( f (x, y)dy)dx = ( f (x, y)dx)dy D a y1 (x) c x1 (y)
  72. 1.2.3 Đổi biến trong tích phân kép Xét phép đổi biến x = x(u, v), y = y(u, v) thoả mãn: • Các hàm x(u, v) và y(u, v) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong miền đóng D’ của mặt phẳng O’uv. • Các công thức (1.16) xác định một song ánh từ miền D’ sang miền D của mặt phẳng Oxy. • Định thức Jacobi khác không trong D’ '' D(x, y) xxuv J  = 0 (u, v) D’. (1.17) D(u,v) '' yyuv • Khi đó f (x, y)dxdy = f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv . D D'
  73. 1.2.4 Tính tích phân kép trong tọa độ cực ( Áp dụng khi miền D là hình tròn hay một phần hình tròn) x= r cos cos − rsin • Đặt Jr = = y= rsin sin rcos Rõ ràng J chỉ bằng 0 tại mỗi gốc O(0, 0). Theo công thức (1.17) ta có: f (x, y)dxdy = f (rcos ,rsin )rdrd (1.18) D D' • Chú ý: Từ cách đặt ta phải tìm miền D’ (r, ) tương ứng.
  74. Ví dụ 1: 22 Tính I= 1−−x y dxdy D 22 Với D= (x , y ) : x+= y 1 Ví dụ 2: 22 Tính J= ( x+ y) dxdy D 22 với D= (x , y ) : x+ y = 2 x , x 0, y 0
  75. 1.2.5 Ứng dụng của tích phân kép a) Tính thể tích vật thể Vật thể hình trụ có đáy là miền D, mặt trên được mô tả bởi z = f(x, y), đường sinh song song với Oz. Thể tích của vật thể này được tính theo công thức V = f (x, y)dxdy D Ví dụ: Tính thể tích của hình trụ có đáy trên có phương trình x+ y + z = 4 ,đáy dưới có phương trình x22+= y2 x
  76. b) Tính diện tích hình phẳng Diện tích hình phẳng D được tính theo công thức S = dxdy Ví dụ 1: D yx2 = 3 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi 2 xy= 3 Ví dụ 2: xy22 Tính diện tích miền D= ( x,: y) + x 24
  77. c) Tính diện tích mặt Giả sử mặt cong S được mô tả bởi phương trình z = f(x, y) với (x, y) D. Khi đó: Diện tích mặt cong S là 22 SD= 1 + z x + z y dxdy D Ví dụ: Tính diện tích của phần mặt nón z =+ x 22 y nằm trong mặt trụ (x , y ) : x22+= y 2 y
  78. 1.3 Tích phân bội ba 1.3.1 Khái niệm tích phân bội ba Cho hàm số f(x, y, z) xác định trên miền đóng bị chặn V R3. • Chia V thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau V = V1V2 Vn • Đặt Vk = |Vk| (thể tích của Vk) • Với k = 1, 2, , n, lấy tuỳ ý Mk(xk, yk, zk) Vk • Lập tổng n Sn=  f (M k ) V k k1= Cho n → + sao cho max Vk → 0 mà sn → I không phụ thuộc vào cách chia và cách chọn điểm Mk thì I được gọi là tích phân bội 3 của f(x,y,z) trên V. Kí hiệu: I= f(x,y,z)dV V
  79. • Trong đó: V là miền lấy tích phân dV là yếu tố thể tích f(x, y, z) là hàm dưới dấu tích phân Nếu tích phân (1) tồn tại, ta nói hàm f(x, y, z) khả tích trên V. Vì không phụ thuộc cách chia, nên ta có thể chia V bởi các mặt phẳng song song với các mặt phẳng toạ độ, tức là dV = dxdydz. Do đó f (x, y,z)dV = f (x, y,z)dxdydz V V Đặc biệt: nếu f(x,y,z)=1 thì dV là thể tích miền V. V
  80. 1.3.2 Cách tính tích phân bội 3 trong tọa độ Đềcác Tương tự như tích phân kép, tính tích phân bội ba ta đưa về tích phân bội 2 và bội Sau đây là một số trường hợp cụ thể. • V = { (x, y) D  Oxy, z1(x, y) z z2(x, y)} Thế thì z2 (x,y) f (x, y,z)dxdydz = dxdy f (x, y,z)dz V D z1 (x,y) • V = {a x y, y1(x) y y2(x), z1(x, y) z z2(x, y)} Thế thì b y22 (x) z (x,y) f (x, y,z)dxdydz = dx dy f (x, y,z)dz V a y(x)11 z(x,y)
  81. • Ví dụ: Tính I= xydxdydz V z= xy với xy+=1 V = z 0 01 x
  82. 1.3.3 Đổi biến trong tích phân bội ba Xét phép đổi biến: x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) thoả mãn: • Các hàm x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng trong miền đóng V’ của không gian O’uvw. • Định thức Jacobi khác không trong V’ x''' x x D(x, y,z) u v w J ==''' D(u,v,w) yu y v y w 0 ( u,v,w) V' ''' zu z v z w
  83. • Khi đó: f (x, y,z)dxdydz V = f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|dudvdw V' b) Đổi biến trong tọa độ trụ ( Phạm vi áp dụng: Miền V được giới hạn bởi mặt nón, mặt trụ, mặt paraboleliptic) Công thức đổi biến: z Đặt x= rcos M(x, y, z) z y= rsin y r zz= O x
  84. r 02 =V ' chú ý rằng r 0 z − z + Ta có: cos − rsin 0 J= sin r cos 0 = r 0 0 1 =dxdydz rdrd dz Do đó: f (x, y,z)dxdydz = f (rcos ,rsin ,z) rdrd dz V V'
  85. Ví dụ1: Tính I=+ x22 y dxdydz V x2+= y 2 z 2 với V = z =1 Ví dụ 2: Tính J= zdxdydz V x22+ y2 z Với V = 01 z
  86. c) Đổi biến trong tọa độ cầu (Áp dụng đối với miền V có dạng hình cầu hay một phần hình cầu) xrsincos= Công thức: Đặt r yrsinsin= =V ' zrcos=  z Chú ý rằng M(x, y, z) r 0 r  02 y O −  + x N(x, y, 0)
  87. • Ta có định thức Jacobi sin cos r cos  cos − rsin  sin J= sin  sin r cos  sin rsin  cos = − r2 sin  cos − rsin  0 Do vậy f (x, y,z)dxdydz V = f (r cos sin  ,rsin sin  ,r cos  ) r2 sin  drd d  V'
  88. • Ví dụ: Tính I= x2 + y 2 + z 2 dxdydz V trong đó V là x2+ y 2 + z 2 z Ví dụ 2: Tính J= zdxdydz V với x2+ y 2 + z 2 = 4 x 0 V = y 0 z 0
  89. 1.3.4 Ứng dụng tích phân bội ba a) Thể tích vật thể Thể tích vật thể được giới hạn bởi miền V là: Vvt = dV V Ví dụ: Tính thể tích vật thể được giới hạn bởi các mặt sau: z=+ x22 y z =1
  90. b) Trọng tâm vật thể Xét vật thể được giới hạn bởi miền V. Vật thể có khối lượng riêng (,,)x y z • Khi đó khối lượng của vật thể là: m= (,,) x y z dxdydz V • Trọng tâm của vật thể tính theo công thức: 1 xG = x (,,) x y z dxdydz m V 1 y= y (,,) x y z dxdydz G m V 1 z= z (,,) x y z dxdydz G m V
  91. Chương 2 2.1. Tích phân đường loại một 2.2. Tích phân đường loại hai 2.3. Tích phân mặt loại một 2.4. Tích phân mặt loại hai
  92. 2.1 Tích phân đường loại một 2.1.1. Định nghĩa – Cho hàm số f(x, y) xác định trên cung phẳng AB  R2. – Chia AB thành n cung nhỏ không dẫm lên nhau, AB = AA01AA12 AAn− 1 n , – Đặt sk = AAk− 1 k – Trên cung AAk− 1 k chọn tuỳ ý Mk(xk, yk) n – Lập tổng Sn=  f (Mkk ) s k1= – Cho n → + sao cho max →Sk 0 mà SIn → không phụ thuộc: cách chia AB , cách chọn các điểm Mk thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại một của f(x, y) dọc theo AB, ký hiệu là I= f (x, y)ds (2.1) AB
  93. 1.1.2 Cách tính • Tìm phương trình của đường cong AB a) Giả sử cung AB = {(x, y): a x b, y = y(x)}. Thế thì b f (x, y)ds =+ f(x,y(x)) 1 y'2 (x)dx AB a b) Nếu được cho bởi phương trình tham số AB = {(x, y): t , x = x(t), y = y(t)},  Khi đó: 22 f (x,. y)ds =+ f(x(t),y(t)) x' (t) y' (t)dt AB
  94. 1.2.3 Trường hợp đường lấy tích phân thuộc không gian • Tích phân đường loại một của hàm f(x, y, z) dọc theo cung AB trong không gian cũng được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng. Nếu AB có phương trình tham số: x = x(t) y = y(t) với t , z = z(t Ta có:  f (x, y,z)ds = f(x(t),y(t)) x'2 (t) + y' 2 (t) + z' 2 (t)dt AB
  95. 2.2 Tích phân đường loại 2 2.2.1 Định nghĩa Cho hàm số P(x, y) và Q(x, y) xác định trên cung phẳng AB • Chia thành n cung nhỏ không dẫm lên nhau, AA AB = 01  AA12  AAn− 1 n • Với k = 1, 2, , n, lấy tuỳ ý Mk(k, k) AAk− 1 k , ký hiệu xk, yk là chiếu của AA k − 1 k lên 2 trục 0x,0y. n • Lập tổng Sn=  [P(k ,  k ) x k + Q(  k ,  k ) y k ] k1= • Cho n → + sao cho max xy ,0 → mà (hữu hạn) kk SIn →
  96. không phụ thuộc: cách chia AB , cách chọn các điểm Mk thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại hai của hai hàm P(x, y) và Q(x, y) dọc theo , ký hiệu là I=+ P(x, y)dx Q(x, y)dy AB Chú ý: Tích phân đường loại hai cũng có các tính chất tương tự như tích phân xác định. • Nếu ta đổi chiều lấy tích phân thì tích phân đổi dấu, tức là P(x, y)dx+ Q(x, y)dy= − P(x, y)dx + Q(x, y)dy BA AB • Nếu đường lấy tích phân L là kín, ta có thể dùng ký hiệu P(x,y)dx+ Q(x,y)dy • . L
  97. 2.2 Cách tính Trường hợp AB = {(x, y): x , y = y(x)} xB P(x,y)dx+ Q(x,y)dy = [P(x,y(x))+ Q(x,y(x))y'(x)]dx (2.8) AB xA • Trường hợp AB = {(x, y): t , x = x(t), y = y(t)} tB P(x,y)dx+ Q(x,y)dy= [P(x(t),y(t))x'(t)+ Q(x(t),y(t))y'(t)]dt AB tA (2.9)
  98. 2.2.3 Công thức Green • Giả sử D là miền liên thông bị chặn với biên trơn từng khúc L (có thể gồm nhiều đường cong kín rời nhau). Nếu các đạo hàm riêng cấp một của P(x, y) và Q(x, y) liên tục trong D thì QP P(x,y)dx+ Q(x,y)dy = (− )dxdy L D xy • Hệ quả: Diện tích S của miền bị chặn D với biên kín L được tính theo công thức 1 S=− xdy ydx 2 L
  99. xdx+ ydy Ví dụ 1: Tính I = 22 L 1++xy xy22 với L là đường elip có pt: +=1 49 xdx+ ydy Ví dụ 2: Tính I = 22 AB 1++xy Với AB là ¼ đường elip : thuộc góc phần tư thứ 3, từ điểm A(-2, 0) đến B(0, -3)
  100. 2.2.4 Điều kiện để tích phân đường loại hai không phụ thuộc đường lấy tích phân Định lý 2.2.1. Nếu hai hàm P(x, y) và Q(x, y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong miền đơn liên D thì bốn mệnh đề sau tương đương: QP 1. = xy 2. Pdx+ Qdy = 0 với mọi đường cong kín L nằm trong D L 3. Pdx+ Qdychỉ phụ thuộc hai mút A và B, không phụ thuộc AB vào cung AB  D. 4. Biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của một hàm u(x, y) nào đấy trong miền D.
  101. Hệ quả 1: Nếu Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của một hàm u(x, y) thì Pdx+ Qdy = u(B) – u(A), với mọi AB  D. AB Hệ quả 2: Nếu D = R2 thì Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x, y) cho bởi x y u(x, y) = P(x, y0 )dx + Q(x, y)dy + C (2.12) x0 y0 x y hoặc u(x, y) = P(x, y)dx + Q(x0 , y)dy + C (2.13) x0 y0
  102. Ví dụ: CMR biểu thức: (4x2 y 3+ x 4 ) dx + (4 x 3 y 2 + ey + 1) dy Là vi phân toàn phần của một hàm số u(x,y) nào đó, tìm hàm u(x,y)
  103. 2.2.5 Trường hợp đường lấy tích phân thuộc không gian Với P(x, y, z), Q(x, y, z) và R(x, y, z) là các hàm xác định trên AB  R3, ta định nghĩa tích phân đường loại hai I = P(x,y,z)dx +Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz AB Cách tính: Giả sử AB = {(x, y, z) : t , x = x(t), y = y(t), z = z(t)}. Khiđó P(x, y,z)dx++ Q(x, y,z)dy R(x, y,z)dz AB tB = [P.x '(t) + Q.y'(t) + R.z'(t)]dt tA
  104. 2.3 Tích phân mặt loại 1 • Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên mặt cong S • Chia S thành n mảnh nhỏ dời nhau kí hiệu bởi S1,S2, ,Sn • Đặt S k là diện tích của mảnh Sk • Trên mỗi mảnh Sk lấy tùy ý điểm Mk(xk,’yk,zk) n • Lập tổng In=  f (Mkk ) S k1= • Cho n → + sao cho max → 0 mà In I không phụ thuộc vào cách chia và cách chọn Mk thì I được gọi là tích phân mặt loại một của f(x,y,z) trên S kí hiệu là: I= f(x,y,z)dS S
  105. 2.3.2 Cách tính: Nếu mặt S có phương trình z = z(x,y), D= ch S ()xoy 22 ds=1 + Zxy + Z dxdy Khi đó: 22 fxyzds(,,)= fxyzxy (,,(,))1 + Zxy + Z dxdy SD Tương tự cho trường hợp mặt S có phương trình x = x(y, z) và y = y(x, z)
  106. Ví dụ: Tính I= ( z + 2 x + 4 y ) ds S Trong đó S là các mặt của hình chóp giới hạn bởi các mặt phẳng toạ độ và mặt phẳng xz +y + =1 24
  107. 2.4. Tích phân mặt loại 2: 2.4.1. Khái niệm về mặt định hướng: 2.4.2. Định nghĩa tích phân mặt loại 2: ✓ G/s S là mặt cong hai phía có pt biểu diễn là z = z(x, y). Trên S ta cố định một phía, chẳng hạn phía ngoài. - D= ch S ()xoy
  108. -Chia S thành n mảnh nhỏ tuỳ ý không dẫm lên nhau: (S1), (S2), .,(Sn). -Gọi ()() D ii = ch S có diện tích tương ứng là Di ()xoy -Trên mỗi mảnh (Si) lấy một điểm Mi(xi, yi, zi) tuỳ ý. n -Lập tổng In=  f(,,) x i y i z i D i i=1 -Quy ước: Di mang dấu (+) nếu góc hợp bởi pháp tuyến tại Mi với trục oz là góc nhọn. Ngược lại mang dấu (-)
  109. -Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn n limIn= lim f ( x i , y i , z i ) D i nn→ → i=1 ((mmaxdi→→ 0) axdi 0) -(di là đường kính của mảnh Si) Không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách chọn điểm Mi thì g/h đó gọi là tp mặt loại 2 của hàm số f(x,y,z) lấy theo phía ngoài mặt S. Kí hiệu: n f( x , y , z )dxdy= lim f ( xi , y i , z i ) D i (1) S n→ i=1
  110. Tương tự: + Nếu mặt S có pt x = x(y, z) thì ta có tp mặt loại 2 được đ/n tương tự là: f( x , y , z )dydz (2) S + Nếu mặt S có pt y = y(x, z) thì ta có tp mặt loại 2 được đ/n tương tự là: f( x , y , z )dxdz (3) S
  111. Tổng quát: Nếu có ba hàm số P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) xác định trên mặt S và có (1), (2), (3) thì tp mặt loại 2 lấy theo phía ngoài mặt S có dạng tổng quát là: P(,,)(,,) x y zdydz+ Q x y z dxdz+R(x,y,z)dxdy S
  112. Chú ý: Ta nói trong miền VR 3 xác định một trường véc tơ nếu ứng với mỗi điểm M(x, y, z) Vcó một véc tơ FM()gốc tại M với các toạ độ P(M), Q(M), R(M) là những hàm số của M. -Cho trường véc tơ với các thành phần P(M), Q(M), R(M) với M( x, y, z) và một mặt định hướng S: z = z(x, y). Khi đó thông lượng của trường véc tơ F qua mặt S là: = (Pcos +Qcos  +Rcos  )ds S
  113. Trong đó c os ,cos  ,cos  là cosin chỉ hướng của véc tơ pháp tuyến tại M ==(,,,nox),  =( n oy),  ( n oz) Với: -z -z ccos  =x ,, os = y 2 2 2 2 11 +z x + z y + z x + z y 1 cos = 22 1 +zz xy +
  114. 2.4.3. Cách tính: P(,,)(,,) x y zdydz+ Q x y z dxdz+R(x,y,z)dxdy S = Pxyz(,,)(,,)(,,) dydz++ Qxyz dxdz Rxyz dydx SSS =III1 + 2 + 3
  115. Trong đó: I1 = P(,,) x y z dydz, S: x=x(y,z) S I1 = P x( y , z ), y , zdydz D Với: D = chS . Lấy dấu (+) nếu pháp tuyến ()yoz tương ứng của S hợp với trục ox một góc nhọn, ngược lại lấy dấu (-). Tương tự với I2, I3.
  116. Ví dụ 1: Tính I= xyzdxdy Trong đó S là mặt Sngoài của hình cầu xác định bởi: x2+ y 2 + z 2 =1 xy 0, 0 Ví dụ 2: Tính : I=− () y z dydz+(z-x)dxdz+(x-y)dxdy S S là phía ngoài của mặt nón: x2+ y 2 = z 2,0 z h
  117. 2.4.4.Công thức Stokes (Liên hệ giữa đường loại 2 và ích phân mặt loại 2) Giả sử S là mặt định hướng trơn từng mảnh có biên là đường kín L trơn từng khúc. Nếu các hàm P(x, y, z), Q(x, y, z) và R(x, y, z) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trên S thì ta có Pdx++ Qdy Rdz = L RQPRQP      = (− )dydz + ( − )dzdx + ( − )dxdy, S y  z  z  x  x  y chiều lấy tích phân trên L là chiều sao cho một người đi dọc theo chiều ấy nhìn thấy phần mặt S kề với mình ở bên trái.
  118. Chú ý: + Cho trường véc tơ FFM = () có các thành phần P(M), Q(M), R(M). Người ta gọi tp đường: Pxyzdx(,,)(,,)(,,)++ Qxyzdy Rxyzdz L Là lưu số của trường véc tơ F dọc theo L
  119. + Ta gọi véc tơ xoáy hay rôta của F là véc tơ ký hiệu là: RQPRQP      rotF = −,, − − y  z  z  x  x  y =(RQPRQP y − z ,, z − x x − y )
  120. 2.4.5 Công thức Ostrogradsky: ( Mối liên hệ giữa tp mặt loại 2 và tích phân bội 3) Giả sử V là miền giới nội trong R3 với biên là mặt kín S . P(x,y,z), Q(x,y,z) và R(x,y,z) là ba hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong V. Khi đó ta có : PQR   (+ + )dxdydz = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy VSx  y  z
  121. Ví dụ: Tính: I= xydydz+xzdxdy+yzdxdz S Trong đó S là phía ngoài hình chóp giới hạn bởi các mặt: x 0, y 0, z 0 x+ y + z =1
  122. •Chú ý: Nếu véc tơ có các toạ độ là P(M), Q(M), R(M) thì tổng PQR x ++ y z gọi là dive của F Ký hiệu: divF= Px + Q y + R z
  123. Chương 3 3.1. Phương trình vi phân cấp 1 3.2. Phương trình vi phân cấp 2 3.3. Hệ phương trình vi phân
  124. 3.1. Phương trình vi phân cấp 1: 3.1.1. Đại cương về phương trình vi phân cấp 1: F( x , y , y )= 0, hoặc y = f(,) x y Nghiệm tổng quát dạng: y = y(x, C) Nghiệm riêng dạng: y = y(x, C0), Tích phân tổng quát dạng: (x , y , C )= 0 Tích phân riêng dạng: (x , y , C0 )= 0
  125. Định lý 3.1.1 (sự tồn tại và duy nhất nghiệm) Cho phương trình y' = f(x, y). Giả sử f(x, y) liên tục trong một miền D nào đó của mặt phẳng Oxy và (xo, yo) D. Khi đó trong một lân cận nào đó của điểm x = xo, tồn tại ít nhất một nghiệm y = y(x) thoả mãn pt trên sao cho y nhận giá trị yo tại x = x0. Nếu f’y(x, y) cũng liên tục trong miền D thì nghiệm ấy là duy nhất.
  126. 3.1.2 Phương trình khuyết: - Phương trình khuyết y: F (x, y') = 0. Phương trình giải ra được đối với y': y' = f(x). Tích phân hai vế, được y = f(x)dx = F(x) + C, với F(x) là một nguyên hàm của f(x). Phương trình giải ra được đối với x: x = f(y'). Đặt y' = t. Ta được phương trình tham số của đường tích phân: x = f(t); y = tf'(t)dt = tf(t) – F(t) + C, trong đó F(t) là một nguyên hàm của f(t)
  127. – Phương trình có thể tham số hoá: x = f(t), y' = g(t). y = g(t)f'(t)dt = h(t) + C, trong đó h(t) là một nguyên hàm của g(t)f'(t). Ví dụ 1: Giải phương trình: y + sinx = cosx 2 Ví dụ 2: Gpt: y +yx + 1 − = 0
  128. - Phương trình khuyết x: F( y , y )= 0 + Dạng : y = f() y + Dạng: y= f() y + Dạng tham số hoá: y== f( t ), y g ( t )
  129. 3.1.3 Phương trình phân li: Đ/n : f(x)dx = g(y)dy Ví dụ: Giải phương trình: (x2− yx 2 ) y + y 2 + xy 2 = 0 Chú ý: pt dạng: yf = (ax+by+c) Đặt z = ax + by +c 2 Ví dụ: Giải pt: y =+() x y
  130. 3.1.4 Phương trình thuần nhất ( pt đẳng cấp): Đ/n: Dạng: y = f(,) x y Cách giải: Đưa về dạng: y y == f(,) x y x y dy du Đặt: u= y = u. x = u + x x dx dx du du u + x = ()() u x = u − u dx dx
  131. du dx + Nếu (uu )− 0 = ()u− u x Là pt phân li biến số dy y + Nếu (u )− u = 0 ( u ) = u = dx x =y Cx
  132. Chú ý: Nếu pt dạng: a1 x++ b 1 y c 1 yf = a2 x++ b 2 y c 2
  133. ab11 Xét: = ab22 xu=+ Nếu 0 đặt: trong đó ,= c onst yv=+ abc1 + 1 + 1 = 0 Được xác định từ hệ: abc2 + 2 + 2 = 0 dy dv = dx du
  134. Nếu: a1 b 1 dy () a 2 x++ b 2 y c 1 =0 = = = f a2 b 2 dx a 2 x++ b 2 y c 2 =+ ()a22 x b y Đặt z = a2x + b2y, đưa về pt phân ly biến số dy x+− y 3 Ví dụ: Giải pt: = dx x−− y 1
  135. 3.1.5 Phương trình tuyến tính cấp 1: Đ/n: Dạng: y += P()() x y Q x P(x), Q(x) liên tục trong (a; b) nào đó. -Nếu Q(x) = 0, ta có pt: y += P( x ) y 0 Gọi là pt vp tt thuần nhất.
  136. Cách giải: + B1: Giải pt thuần nhất t/ư: y += P( x ) y 0 dy dy = −P( x ) y = − P ( x ) dx , ( y 0) dx y y − P() x dx lny = P ( x ) dx + ln C = e C y = Ce− P() x dx ()
  137. + B2: Tìm nghiệm tổng quát của pt vptt cấp 1 − P() x dx dưới dạng: y= C() x e y = C( x ) e−− P()() x dx + C ( x )( − P ( x )) e P x dx Thay y và y’ vào pt vptt cấp 1 ta được: Cx ()()() eC−− x P P( x )( x dxP e)− x dx +=P()()() x C x eQ− P x() x dx =CxQ ()() x e P() x dx P() x dx =+C()() xQ x edxC
  138. Thay vào (*) ta có nghiệm tổng quát của pt là: −−Pxdx()()() Pxdx Pxdx y=+ C e e Q() x e dx
  139. Ví dụ 1: Giải pt: 2 y +=2 xy e−x x Với điều kiện: y x=0 =1 Ví dụ 2: Giải pt: (c osy).y = x - siny 2 Ví dụ 3: Giải pt: 2ydx+ ( y − 6 x ) dy = 0
  140. 3.1.6. Phương trình Bernoulli Đ/n: y' + p(x)y = q(x)y , ( 0 và 1) Cách giải: Phương trình luôn có nghiệm y = 0. Với y 0, chia hai vế cho y , ta được y– y' + p(x) y1- = q(x). Đặt z = y1 – , ta có z' = (1 – )y – y', phương trình trên trở thành: z' + (1 – )p(x)z = (1 – )q(x), là pt vptt cấp 1. Ví dụ 1: Giải phương trình: y y'+= x24 y x
  141. Ví dụ 2: Giải pt: dy (x23 y+= xy) 1 dx
  142. 3.1.7. Phương trình vi phân toàn phần Đ/n: P(x,y)dx + Q(x, y)dy = 0 trong đó P(x, y), Q(x, y) là những hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong một miền đơn liên D thoả mãn điều kiện PQ = yx Khi đó Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của một hàm số u(x, y) nào đó.
  143. Cách giải: Nếu D = R2, hàm số u(x, y) được cho bởi công thức: x y u(x,y)= P(x,y0 )dx + Q(x,y)dy + C xy00 x y u(x,y)= P(x,y)dx + Q(x0 ,y)dy + C xy00 (x0, y0) là điểm tại đó P và Q liên tục Ví dụ: Giải phương trình: (7x + 3y)dx + (3x + 5y)dy = 0
  144. Chú ý : G/s cho pt P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, nhưng PQ yx Khi đó ta có thể đưa pt trên về ptvp tp bằng cách tìm một hàm số  (x, y) sao cho pt: (x,y)P(x,y)dx +  (x,y)Q(x,y)dy = 0 là pt vi phân toàn phần Khi đó được gọi là thừa số tích phân
  145. Ví dụ: Giải pt: (2xy22− y)dx + (y + x + y)dy = 0 Bằng cách tìm thừa số tích phân có dạng (y)
  146. 3.1.8 Phương trình Clairaut: Đ/n: y=+ xy f (y ) Cách giải: Đặt yt = y = tx + f (t) dy dt dt =t + x + f (t) dx dx dx dt =t + x + f (t) dx dt t = t + x + f (t) dx
  147. dt x + f (t) = 0 dx dt + Nếu =0 t = C (C = const) dx y = Cx + f(C) + Nếu x+ f(t)  = 0 x = − f(t) Nghiệm có dạng tham số là: x=− f (t) y= tx + f(t) = − tf(t) + f(t)
  148. Ví dụ: Giải pt: 1 y=+ xy y
  149. 3.1.9 Phương trình Lagrange: Đ/n: y=+ xf (y ) g(y ) Cách giải: Đặt yt = y = f (t)x + g(t) dy dt dt =f(t) + xf(t) + g(t) dx dx dx dt t = f (t) + xf (t) + g (t) dx dt xf (t) + g (t) = t − f (t) dx
  150. dx xf(t) + g(t) = dt t− f (t) f (t) g (t) xx − = t−− f (t) t f (t) Đây là pt vp tt cấp 1 hàm x biến t Nghiệm tq dạng tham số phụ thuộc vào t
  151. 3.2. Phương trình vi phân cấp 2: 3.2.1. Các khái niệm chung: Đ/n: F(x, y, y’, y”) = 0 Hoặc: y” = f(x, y, y’) - Nghiệm tổng quát của pt dạng: y = y(x, C1, C2) 0 0 - Nghiệm riêng dạng: y = y(x, C 1, C 2) - Tích phân tổng quát dạng: (x , y , C12 , C )= 0 00 - Tích phân riêng dạng: (x , y , C12 , C )= 0
  152. 3.2.2 Phương trình khuyết: a) Phương trình dạng: F( x , y )= 0 Cách giải: Đặt y = p y = p =F( x , p ) 0 Là pt vp cấp 1 hàm p biến x - Nếu giải ra: p= (,)(,) x C1 y = x C 1 dx + C 2 - Nếu giải ra: xy = () đặt y = p y = p Ta được nghiệm dạng tham số là: xt= () tp= y= (,,) t C12 C
  153. Ví dụ 1: Giải phương trình: y −=sinx 0 Ví dụ 2: Giải phương trình: x=+2 y y 2
  154. b) Phương trình dạng: F( x , y , y )= 0 Cách giải: y = p y = p =F( x , p , p ) 0 Là pt vp cấp 1 hàm p biến x Ví dụ : Giải phương trình: y yx =+ x
  155. c) Phương trình dạng: F( y , y , y )= 0 Cách giải: Đặt y == p( p p ( y )) dy dp dy dp y = = = p = p. p dx dy dx dy =F( y , p , p . p ) 0 Là pt vp cấp 1 hàm p biến y
  156. Ví dụ: Giải phương trình: y.0 y + y 23 + y =
  157. 3.3 Phương trình vi phân tuyến tính Là phương trình có dạng: y”+p(x)y’+q(x)y=f(x) (1) trong đó p(x), q(x), f(x) là những hàm số liên tục. Phương trình thuần nhất tương ứng là: y” +p(x)y’ +q(x)y = 0 (2)
  158. 3.3.1 Giải phương trình thuần nhất Định nghĩa Hai hàm số y1(x) và y2(x) được gọi là độc lập tuyến y( x) y( x) tính trên đoạn [a, b] nếu định thức 12 0 y'' x y x trên [a,b] 12( ) ( ) Định thức trên được gọi là định thức Wronsky Định lý: Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm riêng y1(x),y2(x) độc lập tuyến tính thì nghiệm tổng quát của (2) là: y = C1y1(x) + C2y2(x)
  159. Chú ý: Nếu biết một nghiệm riêng y1(x) 0 của phương trình tuyến tính thuần nhất (2) ta có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) độc lập tuyến tính với y1(x) dưới dạng y2(x) = y1(x)u(x). Ta có thể tìm nghiệm y2(x) thông qua công thức: e− P() x dx y21()() x= y x dx yx2() Ví dụ: 1 Giải phương trình: y’’- 3y’+2y = 0 x Dễ thấy y1 =e là một nghiệm riêng của phương trình.
  160. 3.3.2 Phương trình tổng quát Định lý1: Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất bằng nghiệm riêng cộng với nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng Định lý 2: (nguyên lý chồng chất nghiệm) Cho ba phương trình y” + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) + f2(x) (12) y” + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) (1) y” + p(x)y’ + q(x)y = f2(x) (2) Nếu y1(x) và y2(x) tương ứng là các nghiệm riêng của phương trình (1) và (2) thì y = y1(x) + y2(x) là nghiệm riêng của phương trình (12).
  161. Cách giải phương trình tổng quát: Phương pháp biến thiên hằng số: Giả sử nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) là: y = C1y1 + C2y2 (3) trong đó C1, C2 là hằng số tuỳ ý. Tìm một nghiệm riêng của pt không thuần nhất (1) dưới dạng (3) bằng cách xem C1 và C2 là các hàm của x. Tính y’, y’’ và thay vào phương trình (1) ta có C1 và C phải thoả mãn hệ hai phương trình sau: C1 y 1+= C 2 y 2 0 2 C1 y 1+= C 2 y 2 f( x) Định thức của hệ luôn khác không. Vì thế hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất Ví dụ: Giải phương trình y’’-3y’+2y = x
  162. Quy trình tìm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất Bằng cách nào đó tìm được một nghiệm riêng y1(x) của phương trình thuần nhất Tìm một nghiệm riêng của phương trình thuần nhất dạng y2(x) = y1(x).u(x) Bằng phương pháp biến thiên hằng số tìm một nghiệm riêng yR(x) của phương trình không thuần nhất Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất sẽ là: y(x) = yR(x) + C1y1(x) + C2y2(x).
  163. 3.4 Phương trình tuyến tính có hệ số không đổi Phương trình tuyến tính có hệ số không đổi có dạng: y” + py’ + qy = f(x) (1) Phương trình thuần nhất tương ứng là: y” + py’ + qy = 0 (2) trong đó p và q là các hằng số. Giải phương trình thuần nhất Xét phương trình thuần nhất y” + py’ + qy = 0 trong đó p, q là hai hằng số. Tìm nghiệm riêng của nó dưới dạng y = ekx, trong đó k là hằng số nào đó. Ta được (k2 + pk + q)ekx = 0 k2 + pk + q = 0 Phương trình được gọi là phương trình đặc trưng của (1)
  164. Giả sử k1 và k2 là hai nghiệm của phương trình đặc trưng, có thể xảy ra ba trường hợp: Hai nghiệm thực phân biệt k1 k2: kx2 Nghiệm tổng quát của (2) là: y = C1 + C2 e Nghiệm kép k1 = k2 = k: kx1 Nghiệm tổng quát của (2) là y = (C1 + C2x) e Nghiệm phức liên hợp k1 = + i, k2 = – i: x Nghiệm tổng quát của (2) là y = e (C1cosx + C2sinx)
  165. Giải phương trình không thuần nhất: Xét phương trình y” + py’ + qy = f(x) trong đó p, q là hai hằng số. x a) Trường hợp 1: f(x) = e Pn(x), trong đó Pn(x) là một đa thức bậc n, là một hằng số. Nếu không phải là nghiệm của ptrình đặc trưng Ta tìm một nghiệm riêng dạng x y* = e [Qn(x)], với Qn(x) là một đa thức bậc n. Nếu là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng Ta tìm một nghiệm riêng dạng x y* = e [x.Q=(x)], với Q=(x) là một đa thức bậc n. Nếu là nghiệm kép của phương trình đặc trưng Ta tìm một nghiệm riêng dạng x 2 y* = e [x .Qn(x)], với Qn(x) là một đa thức bậc n.
  166. b) Trường hợp 2: f(x) = cosx.[Pm(x)] + sinx.[Pn(x)], trong đó Pm(x) và Pn(x) là các đa thức bậc tương ứng là m và n, còn  là hằng số. Nếu i không là nghiệm của phương trình đặc trưng: Ta tìm một nghiệm riêng dạng: y* = Ql(x) cosx + Rl(x)sinx với Ql(x) và R l(x) là các đa thức bậc l = max(m, n). Nếu i là nghiệm của phương trình đặc trưng: Ta tìm một nghiệm riêng dạng: y* = x[Ql(x) cosx + Rl(x) sinx] với Ql(x) và Rl(x) là các đa thức bậc l = max(m, n).
  167. 3.5 Phương trình Ơle Là phương trình có dạng xy2 ''+ axy'+by=f( x) Hoặc (ax+b)y’’+c.(ax+b)y’+d.(ax+b)y=f(x) Cách giải: Đặt x=et dy dy Ta có: y'= = e−−tt = y '. e dx dt t 2 d dy d y dy −−22tt y''= = 2 − e =( ytt '' − y '' ) e dx dx dt dt Thay y’, y’’ vào phương trình ban đầu ta được phương trình tt hệ số hằng
  168. Ví dụ 1: Giải phương trình x2y’’-xy’+y=0 Ví dụ 2: Giải phương trình x2y’’-2xy’+2y=0 Chú ý: Đối với phương trình (ax+b)y’’+c.(ax+b)y’+d.(ax+b)y=f(x) Ta đặt: (ax+b)=et Ví dụ: Giải phương trình (1+x)2y’’+(1+x)y’+y=0
  169. 3.5 Hệ phương trình vi phân 3.5.1 Đại cương Hệ n phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một là hệ có dạng y1 '= f 1 (x, y 1 , y 2 , , y n ) y2 '= f 2 (x, y 1 , y 2 , , y n ) yn '= f n (x, y 1 , y 2 , , y n ) trong đó x là biến độc lập, các hàm phải tìm là y1, y2, , yn.
  170. Định lý: ( Về sự tồn tại nghiệm) Cho hệ pt vi phân (1). G/s các hàm số fi(x, y1, y2, yn) cùng với các đạo hàm riêng fi (x , y12 , y , , yn ), i== 1, n ; j 1, n y j liên tục trong một miền D trong Rn+1. . G/s 0 0 0 (x0 , y 1 , y 2 , , yn ) D . Khi đó trong một lân cận nào đó của điểm x0 hệ (1) có nghiệm duy nhất thoả mãn: y= y0, y = y 0 , , y = y 0 1x= x0 1 2 x = x 0 2 n x = x 0 n
  171. * Nghiệm tổng quát của hệ pt vp cấp 1 là bộ gồm n hàm số yi== i( x , C12 , C , , C n ), C i c onst * Nghiệm riêng của hệ pt vi phân cấp 1 là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho Ci những giá trị cụ thể 0 . Ci
  172. Cách giải: • Phương pháp khử: Một hệ pt vi phân cấp một chuẩn tắc đều có thể đưa về một pt vi phân cấp cao đối với một hàm số chưa biết bằng cách khử những hàm số chưa biết còn lại từ những pt của hệ. Giải pt vi phân cấp cao đó, rồi tìm những hàm số chưa biết còn lại thông qua các pt của hệ.
  173. Ví dụ 1: Giải hệ pt: 3x y =− e z (1) 3x z =−2 e y (2) Ví dụ 2: Giải hệ pt: y =−4 y 2 z (1) z =+ y z (2)
  174. • Phương pháp tổ hợp: - Tổ hợp các pt trong hệ thành một pt đơn giản, sau đó kết hợp với các pt trong hệ để tìm ra nghiệm. dx x Ví dụ 1: Giải hệ pt: = (1) dt x+ y dy y = (2) dt x+ y
  175. Ví dụ 2: Giải hệ pt: dx x = (1) dt23 x+ y x t=0 =1 dy y y = 2 = (2) t=0 dt23 x+ y
  176. 3.5.2 Hệ phương trình vp tuyến tính hệ số hằng số: Đ/n: Hệ pt vp tt hệ số hằng số là hệ pt có dạng: dy 1 =a y + a y + + a y dx 11 1 12 2 1nn dy2 =a21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2nn y dx () dy n =a y + a y+ + a y dx n1 1 n 2 2 nn n
  177. Cách giải: + Lập pt đặc trưng: AI−= 0 a11 a 12 a 1n a a a A = 21 22 2n an12 a n a nn với I là ma trận đơn vị tương ứng với A
  178. AI−= 0 a11−  a 12 a 1n a a−  a =21 22 2n 0 an12 a n a nn −  =i (in 1, )
  179. Trường hợp 1: Nếu ij ()ij - Ứng với  i thay vào pt đặc trưng ta tìm được véc tơ riêng tương ứng ( 12i, i , , ni ) -Khi đó hệ có n nghiệm là: 1x  1 x  1 x y11= 11 e, y 21 = 21 e , , ynn 1 = 1 e 2x  2 x  2 x y12= 12 e, y 22 = 22 e , , ynn 2 = 2 e nx  n x  n x y1n= 1 n e, y 2 n = 2 n e , , y nn = nn e hệ trên gọi là hệ nghiệm cơ bản
  180. Khi đó nghiệm tổng quát của hệ là: y1= C 1 y 11 + C 2 y 12 + + Cnn y 1 y2= C 1 y 21 + C 2 y 22 + + Cnn y 2 yn= C1 y n 1 + C 2 y n 2 + + C n y nn
  181. Ví dụ : Giải hệ pt: dy =+43yz dx dz =+34yz dx
  182. Trường hợp 2: Nếu pt đặc trưng có các nghiệm thực  12 ,  , ,  s , lần lượt bội m1, m 2 , , mss ( m 1+ m 2 + m = n ) Ta tìm nghiệm của hệ dưới dạng: 12xx s x y1= P 11( x ) e + P 12 ( x ) e + + P 1s ( x ) e y= P( x ) e12xx + P ( x ) e + + P ( x ) es x 2 21 22 2s 12xx s x yn= P n12( x ) e + P n ( x ) e + + P ns ( x ) e Trong đó Px ik () , ( k == 1, s ,,) i 1 n là các đa thức bậc mk - 1
  183. Ví dụ : Giải hệ pt: dy =−5yz dx y x=0 = 2 dz z =1 =+yz3 x=0 dx
  184. Trường hợp 3: Nếu pt đặc trưng có các nghiệm phức, - Muốn tìm nghiệm tổng quát của hệ dưới dạng thực thì ta làm giống như t/h 1, áp dụng công thức Euler lấy các nghiệm riêng là phần thực , phần ảo của nghiệm riêng phức tương ứng.
  185. Ví dụ : Giải hệ pt: dy =−yz5 dx dz =−2yz dx
  186. Chương 4 Chuỗi số dương Chuỗi hàm số Chuỗi Fourier
  187. 4.1 Đại cương về chuỗi số 4.1.1. Định nghĩa Cho dãy số u1, u2, , un, Biểu thức u1 + u2 + + un + được gọi là chuỗi số và được kí hiệu là  un . n1= Các số un với n = 1, 2, được gọi là số hạng tổng quát thứ n. ✓ Tổng Sn=u1+u2+ +un được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi ✓ Nếu Sn dần tới một giới hạn hữu hạn S khi n → , ta nói rằng chuỗi số hội tụ và có tổng S, ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ. ✓ Hiệu Rn = S – Sn được gọi là phần dư thứ n của chuỗi số. Nếu chuỗi số hội tụ thì Rn → 0 khi n → .
  188. Tính chất: Giả sử  u n và  v n là 2 chuỗi hội tụ và có tổng là S và T. n=1 n=1 Khi đó: Chuỗi số  ( uv nn + ) hội tụ và có tổng là S+T n=1 Chuỗi số   u n hội tụ và cố tổng là  S với  n=1
  189. Điều kiện cần để chuỗi hội tụ Nếu chuỗi hội tụ thì số hạng tổng quát u dần tới 0 khi  un n n=1 n → + Ví dụ: Chuỗi phân kì vì u =1 0 khi 1 n n → n=1 4.1.2 Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số ( tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi số hội tụ  un n=1 p  > 0,  N  n >0 : |S – S | = q n 0 p q  un 0 nq=+1 Ví dụ: Chuỗi  1 là phân kì n=1 n
  190. 4.2 Chuỗi số dương 4.2.1 Định nghĩa Chuỗi số dương là chuỗi có dạng  u n với un 0 4.2.2 Tiêu chuẩn so sánh n=1 Tiêu chuẩn 1: Cho hai chuỗi số dương và vn n=1 thoả mãn un vn, n no N. Khi đó: Nếu chuỗi số vn hội tụ thì chuỗi hội tụ n=1 Nếu chuỗi số phân kỳ thì chuỗi phân kì
  191. Tiêu chuẩn 2: Cho hai chuỗi số dương  v n và un n=1 n=1 u Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn limn = k 0 n→ vn thì hai chuỗi số đấy cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
  192. Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: 1 1 1) 2)  n  n=1 2 n n=1 n 1 1 4) ln 1+ tg 3) tg  n n=1 2n n=1 3
  193. 4.2.3 Các quy tắc khảo sát tính ht của chuỗi số: Quy tắc Đalămbe: Cho chuỗi số dương  u n . G/s Ta có: u n=1 lim n+1 = k n→ thì: un + Nếu k 1chuỗi phân kỳ.
  194. Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: 23n + 1)  n n=1 3 n 4 2)n ! n=1 n
  195. Quy tắc Cauchy: Cho chuỗi số dương  u n . G/s Ta có: n=1 n lim ukn = thì: n→ + Nếu k 1chuỗi phân kỳ.
  196. Ví dụ: Xét sự hội tụ của các chuỗi sau: n2 n +11 1)  n n=1 n + 22 1 2)nnn sin n=1 2n
  197. Quy tắc so sánh với tích phân: Cho chuỗi số dương .G/s f(x) là một hàm un n=1 đơn điệu giảm và liên tục trên [1, +∞) sao cho f(n) = un, n = 1, 2, .Khi đó tích phân suy rộng + f() x dx và chuỗi số cùng hội tụ hoặc 1 cùng phân kỳ.
  198. Ví dụ : Xét sự hội tụ của chuỗi số sau: 1 1)  n=1 n 1 2)  2 n=2 nnln
  199. 4.2.4 Chuỗi có số hạng với dấu bất kỳ: a) Chuỗi đan dấu: Định nghĩa: Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng n−1 (−1) un trong đó un là các số cùng dấu. Để n=1 đơn giản ta luôn luôn xem un > 0 với mọi n. n−1 Định lý Leibniz: Cho chuỗi đan dấu (−1) un n=1 Nếu dãy số {un} là dãy đơn điệu giảm và limun = 0 n→ thì chuỗi hội tụ và có tổng nhỏ hơn u1
  200. Ví dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi sau: n+1 21n + (−1) n=1 nn(+ 1)
  201. b) Chuỗi có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ: Xét chuỗi số  u n với các số hạng un có dấu bất kỳ. n=1 Định lý: Nếu chuỗi u hội tụ thì chuỗi  n un n=1 n=1 cũng hội tụ.
  202. Định nghĩa: Xét chuỗi số  u n trong đó un có dấu bất kỳ. n=1 Chuỗi được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu hội tụ.  un n=1 Chuỗi được gọi là bán hội tụ nếu hội tụ nhưng phân kỳ
  203. Ví dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau: n−1 1 1)(− 1) n=1 n cos n 2) 2 ( = const ) n=1 n
  204. c)Một số tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối: Tính chất 1: + Nếu chuỗi số  u n hội tụ n=1 tuyệt đối và có tổng S thì chuỗi số suy từ nó bằng cách thay đổi thứ tự các số hạng và bằng cách nhóm tuỳ ý một số số hạng lại cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng là S + Còn nếu chuỗi số bán hội tụ thì ta có thể thay đổi thứ tự của các số hạng của nó để chuỗi số thu được hội tụ và có tổng bằng một số bất kỳ cho trước hoặc trở nên phân kỳ
  205. Định nghĩa: Cho hai chuỗi  u n và  v n , n=1 n=1 người ta gọi tích của chúng là chuỗi số  w n n=1 n trong đó wn=  u k v n− k k=0
  206. Tính chất 2: v Nếu hai chuỗi  u n và  n hội tụ n=1 n=1 tuyệt đối và có tổng là S1 và S2 thì tích của chúng cũng là một chuỗi hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng S1S2
  207. 4.4 Dãy hàm số 4.4.1 Miền hội tụ Định nghĩa: Giả sử f1, f2, ,fn là những hàm số thực xác định trên tập X. Với mỗi x X, {fn( x)} là những dãy số thực. Nếu dãy số thực {f(x)} hội tụ ta nói rằng dãy {fn} hội tụ tại x. Điểm x được gọi là điểm hội tụ của dãy. Tập tất cả các điểm hội tụ của dãy được gọi là miền hội tụ của dãy. n Ví dụ: Xét dãy hàm fn(x)= x xác định trên R.
  208. 4.4.2 Định nghĩa • Giả sử f1, f2, , fn là những hàm số xác định trên tập X. Ta nói rằng dãy hàm số {fn} hội tụ điểm đến hàm f trên X nếu với  xXta đều có limfn ( x ) = f( x) n→ Hay:  >0, x X, n0 N, n n0: fn(x)– f(x) 0, n0 N, n n0: fn(x)– f(x) < , x X
  209. 4.4.3 Các tính chất của dãy hàm số hội tụ đều: Tính chất 1: G/s dãy các hàm số fxn()liên tục và hội tụ đều trên X tới hàm f(x) thì f(x) là một hàm số liên tục trên tập X.
  210. Tính chất 2: G/s dãy hàm số fx n ()  liên tục và hội tụ đều trên đoạn [a; b] tới hàm f(x). Khi đó bb lim fn ( t ) dt= f ( t ) dt n→+ aa Tính chất 3: G/s trên [a; b] ➢ Dãy hàm số fx n ()  khả vi liên tục và hội tụ tới hàm f(x), ➢ Dãy các đạo hàm fx n ()  hội tụ đều tới hàm g(x). Khi đó trên [a; b], hàm số f(x) khả vi và f ()() x= g x
  211. 4.5 Chuỗi hàm số: a) Định nghĩa: Chuỗi hàm số là chuỗi có dạng  uxn () n=1 trong đó un(x) là các hàm số xác định trên X Tại x = x0 chuỗi hàm trở thành chuỗi số uxn ()0 n=1 Nếu tại x0 mà chuỗi số hội tụ thì ta nói x0 là điểm hội tụ của chuỗi hàm Nếu tại x0 mà chuỗi số phân kỳ thì ta nói x0 là điểm phân kỳ của chuỗi hàm
  212. - Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm ấy. n + Gọi Sn() x= u k () x = u12 () x + u () x + + u n () x k=1 là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm . Khi đó: chuỗi hàm số uxn ()được gọi là hội tụ tại n=1 điểm nếu dãy hàm số Sx() hội tụ tại điểm x , xX0 n  0 và được gọi là hội tụ trên tập X nếu nó hội tụ tại mọi điểm xX0 + Giới hạn S(x) của Sx n ()  gọi là tổng của chuỗi hàm
  213. * Cách tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: b1: Xét chuỗi Sử dụng các dấu hiệu Đalămbe hay  uxn () n=1 Cauchy tìm được khoảng hội tụ của chuỗi, g/s là (a; b) b2: Xét tại các mút x = a, x = b biết được tại đó chuỗi hội tụ hay phân kỳ. Kết luận : Miền hội tụ của chuỗi = khoảng hội tụ + điểm hội tụ tại các mút ( nếu có)
  214. Ví dụ: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm sau: xn 1)  n=1 n nn 3nx+− 1 1 2)  n=1 nx++21 n + 1 2x− 1 3)  n n1= 2 x1+
  215. b) Hội tụ đều: Định nghĩa: Chuỗi hàm số  ux n () được n=1 gọi là hội tụ đều trên X tới hàm S(x) nếu dãy hàm số Sx n ()  hội tụ đều trên X tới hàm S(x), nghĩa là:   0,n00 N : Sn ( x ) − S ( x )   , n n , x X
  216. * Tiêu chuẩn Cauchy: Chuỗi hàm số  ux n () được gọi là hội tụ đều n=1 trên X khi và chỉ khi.   0,nNSxSx00 :nm ( ) − ( )   , nmnxX , * Tiêu chuẩn Weierstrass: Cho chuỗi hàm . Nếu có một chuỗi số dương  a n hội tụ sao cho n=1 unn(),, x a  n N  x X thì sẽ hội tụ đều trên X
  217. Ví dụ : Xét sự hội tụ của chuỗi: (−1)n−1 1) 22 , xR n=1 nx+ xn 2) ,x  − 1;1 n=1 nn
  218. c) Tính chất của các chuỗi hàm hội tụ đều: Tính chất 1: Cho chuỗi hàm số . Nếu u (x) là uxn () n n=1 những hàm số liên tục trên tập X và hội tụ đều trên X tới hàm S(x) thì S(x) là một hàm số liên tục trên X. Chú ý : Nếu S(x) không liên tục trên X thì chuỗi không hội tụ đều trên X
  219. Tính chất 2: Cho chuỗi hàm số . Nếu các số hạng u (x) là uxn () n những hàm số liên tụcn=1 trên [a; b] và nếu chuỗi hàm số hội tụ đều trên [a; b] tới hàm S(x) thì b b b Sxdx()()()== uxdx uxdx nn a a nn==11 a
  220. Tính chất 3: Cho chuỗi hàm số  ux n () n=1 Giả sử: ✓ Chuỗi hội tụ trên (a, b) tới S(x) ✓ Các số hạng un(x) liên tục cùng với đạo hàm của chúng trên (a; b) . ✓Chuỗi uxn ()hội tụ đều trên (a; b) n=1 Khi đó: Tổng S(x) khả vi trên (a; b) và ta có S()()() x==  unn x u x nn==11
  221. Ví dụ: Cho chuỗi hàm số  1 n=1 n() n+ x Khảo sát sự hội tụ của nó trên miền x>0. Có thể nói gì về sự liên tục và khả vi của tổng chuỗi hàm số đó
  222. 4.2.2 Chuỗi luỹ thừa: a) Định nghĩa: Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng nn2 ann x= a0 + a 1 x + a 2 x + + a x + n=0 trong đó an = const Chú ý: Chuỗi luỹ thừa là một trường hợp riêng của chuỗi hàm nên mọi t/c đúng cho chuỗi hàm thì cũng đúng cho chuỗi luỹ thừa
  223. b) Định lý Abel: axn Chuỗi luỹ thừa  n hội tụ tại xx = 0 0 n=0 thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x thoả mãn xx 0 Hệ quả: Chuỗi luỹ thừa phân kỳ tại xx= 1 thì nó phân kỳ tại mọi x thoả mãn xx 1 Chú ý : Tại x = 0 chuỗi luôn hội tụ
  224. Nhận xét: Từ định lý Abel ta thấy tồn tại một số R (0 R + ) sao cho chuỗi luỹ thừa hội tụ tuyệt đối trong khoảng (-R; R), phân kỳ trong các khoảng (-∞; R) và ( R ;+ ∞) .Tại x = R và x = -R chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Số R như vậy được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
  225. Quy tắc tìm bán kính hội tụ: Cho chuỗi luỹ thừa n . Khi đó bán axn n=0 kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa là: a R = lim n n→ a n+1 1 R=lim n→ n a n
  226. + Nếu R = ∞ thì chuỗi hội tụ với mọi x thuộc khoảng (- ∞; + ∞) + Nếu R = 0 thì chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0 + Nếu R ≠ 0 và R ≠ ∞ thì chuỗi hội tụ trong khoảng ( -R; R ). Tại các mút x = R và x = -R còn phải xét thêm. Miền hội tụ = ( -R; R ) + các mút (nếu có)
  227. Ví dụ : Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm: n + 2 1)  xn n=1 nn(+ 1) n n +1 2n 2) (x − 2) n=1 21n + 1 3) sin (x − 4)n  n n=1 2
  228. c) Các tính chất của chuỗi luỹ thừa: Tính chất 1: Chuỗi luỹ thừa hội tụ đều trên mọi đoạn [a; b] nằm trong khoảng hội tụ của nó. Tính chất 2: Tổng của chuỗi luỹ thừa là một hàm số liên tục trong khoảng hội tụ của nó. Tính chất 3: Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi luỹ thừa trên mọi đoạn [a; b] nằm trong khoảng hội tụ của nó. Tức là: bb a xnn dx= a x dx nn aa nn==00
  229. Tính chất 4: Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi luỹ thừa tại mọi điểm nằm trong khoảng hội tụ của nó. Tức là: nn ann x= ( a x ) nn==00
  230. Ví dụ: Tính tổng: S( x )= 1 + 2 x + 3 x21 + + nxn− + d) Khai triển một hàm số thành chuỗi luỹ thừa: - Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm mọi cấp ở trong một lân cận nào đó của x0 thì hàm đó có thể khai triển được thành một chuỗi dưới dạng: f ()() x f x 2 f( x )= f ( x ) +00( x − x) +( x − x ) + 01! 0 2! 0 (nn) ( ) f()() x00nn f x (x− x00) + = ( x − x ) ( 1) nn!!n=0
  231. Chuỗi (1) gọi là chuỗi Taylor của hàm số f(x) tại lân cận x = x0. Nếu x0 = 0 thì ta có: f (0) f (0) f (n) (0) f( x )= f (0) + x + x2 + xn + 1! 2!n ! f (n)(0) =  xn (2) n=0 n! Chuỗi (2) gọilà chuỗi Macloranh của hàm số f(x)
  232. * Điều kiện khai triển: Theo công thức Taylor, nếu hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp (n + 1) ở lân cận điểm x0 thì f(x) = Pn(x) + Rn(x) trong đó: fx () f()() x= f x +0 ( x − x ) + 001! (n) f ()() x2 f x n 00( x−+ x) + ( x − x ) 2! 0 n! 0 (n+1) f () n+1 R( x) = ( x− x ) n (!n +1) 0 Trong đó ξ là một điểm nào đó giữa x và x0
  233. Định lý 1: G/s trong một lân cận nào đó của điểm x0 hàm số f(x) có đạo hàm mọi cấp, và nếu limRxn ( ) = 0 n→ f (n+ 1)() R( x)()=− x x n+1 n (n +1)! 0 Với ξ là một điểm nào đó giữa x và x0 thì có thể khai triển f(x) thành chuỗi Taylor trong lân cận đó.
  234. Định lý 2: Nếu trong một lân cận nào đó của ()n điểm x0 hàm số f(x) có đạo hàm mọi cấp, fx () luôn bị chặn bởi cùng một số trong lân cận ấy thì hàm số f(x) có thể khai triển được thành chuỗi Taylor
  235. * Khai triển một số hàm số sơ cấp thành chuỗi luỹ thừa: (Khai triển Macloranh) x x2 xn x n 1)ex = 1 + + + + =  1! 2!nn !n=0 ! x3 x 5 x 2n− 1 2) sinxx= − + + +( − 1)n−1 + 3! 5! (2n − 1)! x21n− = ( −1)n−1 , x ( − ; + ) n=1 (2n − 1)!
  236. x2 x 4 x 2n 3)cx os= 1 − + + +( − 1)n + 2! 4! (2n )! x2n = ( −1)n , x ( − ; + ) n=1 (2n )! (− 1) 4) (1+x ) = 1 + x + x2 + + 2! ( − 1)( − 2) ( −n + 1) xxn +  1 n!
  237. x2 x 3 x 4 5) ln(1+xx ) = − + − + + 2 3 4 xxnn +( −1)nn−−11 + = ( − 1) , x 1 nnn=1 x3 x 5 x 7 6)arctgx= x − + − + + 3 5 7 xx2nn−− 1 2 1 +( −1)nn−−11 + = ( − 1) , x 1 2nn−− 1n=1 2 1
  238. Ví dụ 1 : Khai triển Taylor hàm số f(x) = lnx tại x = 1 Ví dụ 2: Khai triển Macloranh hàm số eexx+ − 1)f ( x ) == chx 2 35x − 2)fx ( ) = xx2 −+43