›
›

Bài giảng Toán 2 - Chương 6: Các tích vectơ trong không gian R3

ppt 29 trang phuongnguyen 50
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán 2 - Chương 6: Các tích vectơ trong không gian R3", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_toan_2_chuong_6_cac_tich_vecto_trong_khong_gian_r3.ppt

Nội dung text: Bài giảng Toán 2 - Chương 6: Các tích vectơ trong không gian R3

  1. Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  2. CHƯƠNG 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3 Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  3. 1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ – CÁC VUÔNG GÓC * Các trục Ox, Oy, Oz vuông góc với z nhau từng đôi một và tạo thành một tam diện thuận (Khi một người đứng theo hướng dương trục Oz chân tại O y O, nhìn góc xoay hướng dương trục Ox đến hướng dương trục Oy là ngược chiều kim đồng hồ). x * Các vectơ đơn vị chỉ hướng dương của các trục tương ứng là:i , j, k Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  4. 1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ – CÁC VUÔNG GÓC (tt) * Trong không gian R3 lấy hai điểm M1(x1, y1, z1) và M2(x2, y2, z2), ta có vectơ từ điểm M1 đến M2 là: M1M2 = (x2 − x1)i + (y2 − y1) j + (z2 − z1)k = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) * Khoảng cách giữa M1 và M2 bằng độ dài của vectơ M1M2 2 2 2 d(M1,M 2 ) = M1M2 = (x2 − x1) + (y2 − y1) + (z2 − z1) Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  5. 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ a VÀ b * Trong không gian R3, lấy hai vectơ a = (a1, a2, a2) và b = (b1, b2, b3). Tích vô hướng của 2 vectơ a và b là một số và được ký hiệu là: (a, b) Ở đây: (a,b) = a . b .cos = a1b1+a2b2+a3b3 Với là góc hợp giữa hai vectơ và (0 ). Ta có các bất đẳng thức sau: + Bất đẳng thức Cauchy – Shwarz: (a,b) a . b . + Bất đẳng thức tam giác: (a+b) a + b . Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  6. 3. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ a VÀ b * Trong không gian R3, lấy hai vectơ a = (a1, a2, a2) và b = (b1, b2, b3). Tích có hướng của 2 vectơ a và b là 1 vectơ và được ký hiệu là: a × b Vectơ này được xác định như sau: * Có độ dài bằng a . b .sin ( là góc hợp giữa 2 vectơ a và b ) * Có phương vuông góc với mặt phẳng chứa a và b * Có hướng sao cho ba vectơ a , b và a × b tạo thành một tam diện thuận. Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  7. 3. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ a VÀ b (tt) Chú ý: * a xb bằng diện tích hình bình hành dựng trên hai vectơ đó i j k * a b = a1 a2 a3 b1 b2 b3 = (a2b3 −a3b2, a3b1 −a1b3, a1b2 −a2b1) * a b = −b a * (a b) = ( a) b = a ( b) Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  8. 3. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ a VÀ b (tt) Chú ý (tt): a (b + c) = a b + a c * * a b = 0 a và b tỷ lệ. Ví dụ 1: Trong không gian R3 cho ba điểm A(1,–1,2), B(–1,0,3) và C(0,2,1). Tính diện tích của tam giác ABC. Ta có: AB = (−2,1,1) AC = (−1,3,−1) AB AC = (−4,−3,−5) Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  9. 3. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ a VÀ b (tt) Nhận xét: AB AC là diện tích của hình bình hành dựng trên hai vectơ AB và AC . 1 1 Do đó: S ABC = AB AC = 50 2 2 Ví dụ 2: Trong không gian R3, lấy hai vectơ a và b . Biết a = b = 5 và góc giữa hai vectơ a và b là . Tính diện 4 tích của tam giác có cạnh là các vectơ a - 2b và 3a + 2b 1 Ta có: S = (a − 2b) (3a + 2b) 2 1 = 8 (a b) 2 1 = 8 a b sin = 50 2 2 4 Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  10. 3. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ a VÀ b (tt) Ví dụ 3: Tính diện tích của tam giác và đường cao BD của tam giác ABC. Trong đó A(1,–1,2), B(5,–6,2), C(1,3,– 1). Ta có: AB = (4,−5,0) AC = (0,4,−3) AB AC = (15,12,16) 1 25 Vậy: S = AB AC = ABC 2 2 Cạnh AC của tam giác có độ dài là AC = 5 Đường cao BD của ABC là 5. Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  11. 4. TÍCH HỖN HỢP CỦA 3 VECTƠ a,b,c * Trong không gian R3 cho ba vectơ a = (a1, a2, a2), b = (b1, b2, b3) và c = (c1, c2, c3) . Tích hổn hợp của 3 vectơ a, b, c là 1 số và được ký hiệu là: (a, b, c) Tính chất: * (a,b,c) = Thể tích của hình hộp dựng trên 3 vectơ a, b, c a1 a2 a3 *(a,b,c) = b1 b2 b3 c1 c2 c3 *(a,b,c) = 0 a,b,c cùng phẳng. Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  12. 4. TÍCH HỖN HỢP CỦA 3 VECTƠ a , b , c (tt) Tính chất (tt): *(a,b,c) = −(b,a,c) * ( a + b,c,d) = (a,c,d) + (b,c,d) * Thể tích của tứ diện ABCD bằng 1/6 thể tích của hình hộp dựng trên 3 vectơ AB, AC, AD Ví dụ 1: Chứng minh rằng 4 điểm A(1,2,-1), B(0,1,5), C(-1,2,1) và D(2,3,1) cùng nằm trên một mặt phẳng. Ta có: AB = (−1,−1,6) AC = (−2,0,2) AD = (1,−1,4) Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  13. 4. TÍCH HỖN HỢP CỦA 3 VECTƠ a , b , c (tt) Ví dụ 1 (tt): −1 −1 6 Nhận xét: (AB, AC, AD) = − 2 0 2 = 0 1 −1 4 Vậy AB, AC, AD thuộc cùng một mặt phẳng. Tức là 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một mặt phẳng. Ví dụ 2: Tính thể tích của tứ diện ABCD với các đỉnh là A(2,-3,5), B(0,2,1), C(-2,-2,3) và D(3,2,4). Ta có: AB = (−2,5, 4) AC = (−4,1, 2) AD = ( 1,5,−1) Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  14. 4. TÍCH HỖN HỢP CỦA 3 VECTƠ a , b , c (tt) Ví dụ 2 (tt): Thể tích của hình hộp dựng trên ba vectơ này là: V = (AB, AC, AD) = 36 Mà thể tích của tứ diện ABCD là bằng 1/6 thể tích hình hộp dựng trên 3 vectơ nên thể tích của tứ diện ABCD bằng 6. Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD với các đỉnh là A(1,1,1), B(2,0,2), C(2,2,2) và D(3,4,-3). Tính chiều cao hạ từ đỉnh D của tứ diện. Ta có: AB = (1,−1, 1) AC = (1, 1, 1) AD = (2, 3,−4) Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  15. 4. TÍCH HỖN HỢP CỦA 3 VECTƠ a , b , c (tt) Ví dụ 3 (tt): 1 Nhận xét thể tích tứ diện ABCD = (AB, AC, AD) = 2 6 1 1 S = AB AC = (−2,0,2) = 2 ABC 2 2 1 Do thể tích tứ diện ABCD = diện tích đáy x đường cao 3 Đường cao hạ từ đỉnh D là: 3 V 3 2 h = = = 3 2 S ABC 2 Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  16. 5. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG a/ Đường thẳng: Cho là đường thẳng đi qua điểm M (x ,y ,z ) và song 0 0 0 0 song với vectơ v = (m,n, p) Vậy sẽ bao gồm tất cả các điểm M(x,y,z) sao cho M0M // v x − x y − y z − z Vậy M Δ 0 = 0 = 0 m n p Nếu ký hiệu các tỷ số trên là t, ta được phương trình tham số của đường thẳng là: x = x0 + mt y = y0 + nt z =z0+pt Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  17. 5. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG a/ Đường thẳng (tt): Khoảng cách từ điểm P đến đường thẳng được tính bởi công thức: M0P v d = v Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm P(2,1,3) đến đường thẳng : x −1 y + 2 = = z 5 4 Ta có: v = (5,4,1), M0(1,−2,0) Vậy M0P = (1,3,3) Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  18. 5. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG a/ Đường thẳng (tt): i j k M0P v = 1 3 3 = (−9,14,−11) 5 4 1 2 2 2 M0P v 9 +14 +11 d = = v 52 + 42 +12 b/ Mặt phẳng: Cho P là mặt phẳng qua điểm M0(x0,y0,z0) và vuông góc với vectơ n =(A, B, C) Khi đó mặt phẳng P sẽ bao gồm tất cả các điểm M(x,y,z) có tính chất M0M n Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  19. 5. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG b/ Mặt phẳng (tt): M0M ⊥ n A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 M(x,y,z) M0(x0,y0,z0) Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng P được viết ở dạng: Ax + By + Cz + D = 0. Trong đó: n= (A, B, C) là pháp vectơ của mặt phẳng. Khoảng cách từ điểm M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 và được tính bởi công thức sau: Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  20. 5. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG b/ Mặt phẳng (tt): Ax + By + Cz + D d = 0 0 0 A2 + B2 +C2 Ví dụ 1: Tìm phương trình của mặt phẳng đi qua M(2,3,0) và song song với mặt phẳng 5x – 3y – z – 4 = 0. Nhận xét: Pháp vectơ của mặt phẳng cần tìm cũng là pháp vectơ của mặt phẳng 5x – 3y – z – 4 = 0, tức là n = (5,-3,-1) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 5(x – 2) – 3(y – 3) – 1(z – 0) = 0 hay là 5x – 3y – z – 1 = 0. Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  21. 5. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG b/ Mặt phẳng (tt): Ví dụ 2: Cho đường thẳng (d): x − 2 y −1 z − 3 = = 2 3 1 Tìm tọa độ của H là chân đường vuông góc hạ từ gốc O xuống (d). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua gốc O và vuông góc với (d). Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2,3,1) Phương trình của (P) là: 2x + 3y + z = 0. Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  22. 5. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG b/ Mặt phẳng (tt): Ví dụ 2 (tt): x = 2 + 2t Phương trình tham số của đường thẳng là: y =1+ 3t z = 3 + t Mà H chính là giao điểm của (P) và (d) 2(2 + 2t) + 3(1 + 3t) + (3 + t) = 0 5 t = − 7 4 8 16 Vậy H ,− , 7 7 7 Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  23. BÀI TẬP CHƯƠNG 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3 Bài 1: Cho a = (1,2,1), b = (2,3,5). Tìm a × b Bài 2: Trong không gian R , cho hai vectơ a và b. Biết 3 rằng a =1, b = 2, góc giữa 2 vectơ là 3 Tính a b ; (2a + b) (a + 2b) Bài 3: Cho tứ diện ABCD, trong đó A(1,0,2), B(3,-2,2), C(4,2,6) và D(3,5,-2). Tính thể tích của tứ diện. Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  24. BÀI TẬP CHƯƠNG 6 (tt) Bài 4: Tìm đỉnh thứ tư của tứ diện ABCD nếu biết A(-1,10,0), B(0,5,2), C(6,32,2), V = 29 và D nằm trên trục Oy. Bài 5: Cho điểm A(1,2,4). Từ điểm A hạ các đường vuông góc với các mặt tọa độ. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua chân các đường vuông góc nói trên. Bài 6: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A(1,7,-5) và cắt các trục tọa độ (Phần dương) theo các đoạn chắn bằng nhau. Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  25. PHẦN ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN Bài 1: a × b = (7, -3, -1) Bài 2: a b = 3 (2a + b) (a + 2b) = 3 3 Hướng dẫn: (2a + b) (a + 2b) = 3(a b) Ở đây ta sử dụng tính chất (2a × a ) = 0 vì 2a và a tỷ lệ và tính chất (a × b) = -(b × a) Bài 3: Thể tích tứ diện V = 16 Hướng dẫn: 2 − 2 0 1 1 V = (AB,AC,AD) = det 3 2 4 =16 6 6 2 5 − 4 Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  26. PHẦN ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN Bài 4: Đỉnh thứ tư của tứ diện là D(0,0,0) hoặc D(0,29,0). Hướng dẫn: D nằm trên Oy nên có tọa độ là D(0,m,0). Ta có: AB = (1,−5,2) AC = (7,22,2) AD = (1,m −10,0) 1 1 Mà V = (AB, AC, AD) = 12m −174 =16 6 6 m = 0 hoặc m = 29. Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  27. PHẦN ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN Bài 5: Phương trình mặt phẳng đi qua chân các đường vuông góc là: 4x + 2y + z – 8 = 0. Hướng dẫn: Gọi M1, M2, M3 là chân các đường vuông góc hạ từ điểm A xuống các mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz. Ta có: M1(1,2,0), M2(1,0,4), M3(0,2,4). Phương trình mặt phẳng đi qua M1, M2, M3 là: x −1 y − 2 z − 0 0 − 2 4 = −8x − 4y − 2z +16 = 0 −1 0 4 Hay viết rút gọn là: 4x + 2y + z – 8 = 0 Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  28. PHẦN ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN Bài 6: Phương trình mặt phẳng cần tìm là: x + y + z – 3 = 0. Hướng dẫn: Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: x y z + + −1 = 0 a a a Mặt phẳng này đi qua A(1,7,-5) nên 1 7 5 + − −1 = 0 a = 3 a a a Mặt phẳng cần tìm là: x + y + z – 3 = 0. Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3
  29. Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3