›
›

Bài giảng Toán 2 - Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

ppt 51 trang phuongnguyen 50
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán 2 - Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_toan_2_chuong_5_he_phuong_trinh_tuyen_tinh.ppt

Nội dung text: Bài giảng Toán 2 - Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

  1. Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  2. CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  3. 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM a/ Định nghĩa: * Hệ thống m phương trình tuyến tính, n ẩn là hệ thống có dạng: a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 (1) am1x1 + am2x2 + + amn xn = bm Trong đó: aij, bi (i=1, , m; j=1, , n) là những số cho trước thuộc trường k còn x1, , xn là các ẩn của hệ. Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  4. 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt) * Ma trận a a a 11 12 1n a a a A = 21 22 2n am1 am2 amn được gọi là ma trận của hệ (1) a a a b * Ma trận 11 12 1n 1 a a a b A = 21 22 2n 2 B am1 am2 amn bm được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1) Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  5. 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt) b/ Chú thích: * Nếu đặt x b 1 1 x2 b2 X = ; B = xn bm thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận như sau: A.X = B * Nếu B = 0 thì hệ (1) được gọi là hệ phương trình thuần nhất. Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  6. 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt) b/ Chú thích (tt): * Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu hệ này có ít nhất một nghiệm; ngược lại hệ không tương thích nếu hệ này không có nghiệm. * Hệ thuần nhất AX = 0 luôn luôn tương thích vì nó có ít nhất một nghiệm là X = 0 và nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  7. 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER a/ Định nghĩa: Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn và ma trận của hệ không suy biến. Tức là hệ có dạng: a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 (2) an1x1 + an2x2 + + annxn = bn Trong đó A = (aij) Mn(K) và detA 0 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  8. 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt) b/ Định lý Cramer: Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất cho bởi công thức: A(i) x = ,i = 1, 2, , n i A Trong đó: A(i) là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột b 1 B = bn Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  9. 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt) Chú thích: * Nếu B = 0 thì hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất là X = 0. * Vậy hệ thuần nhất AX = 0 (Ở đây m = n) có nghiệm không tầm thường detA = 0. Ví dụ: giải hệ phương trình sau 2x1 − x2 − 2x3 = 5 4x1 + x2 + 2x3 =1 8x1 − x2 + x3 = 5 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  10. 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt) Ví dụ (tt) : Ta có: 2 -1 - 2 detA = 4 1 2 =18 8 -1 1 Nhận xét: detA 0. Vậy đây là hệ phương trình Cramer nên có nghiệm duy nhất cho bởi công thức: A(i) x = , i =1, 2, 3 i A Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  11. 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt) Ví dụ (tt) : 5 −1 − 2 A(1) = 1 1 2 = 18 5 −1 1 2 5 − 2 2 −1 5 A(2) = 4 1 2 = 18 A(3) = 4 1 1 = −36 8 5 1 8 −1 5 Vậy nghiệm của hệ là x1 = 1 x2 = 1 x3 = −2 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  12. 3. ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ a/ Định lý Kronecker – Capeli (Đối với hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình n ẩn) Hệ phương trình (1) có nghiệm r(A) = r(AB) b/ Chú ý: * Hệ p.trình (1) có nghiệm duy nhất r(A) = r(AB) = n. * Hệ p.trình (1) có vô số nghiệm r(A) = r(AB) < n. (lúc này số ẩn tự do của hệ là n – r(A)) * Hệ phương trình (1) vô nghiệm r(A) < r(AB). Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  13. 3. ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt) Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m mx + y + z =1 x + my + z =1 x + y + mz =1 Ta có: m 1 1 det A = 1 m 1 = (m + 2)(m −1)2 1 1 m Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  14. 3. ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt) Ví dụ (tt): m 1 a/ Trường hợp: det A 0 m −2 hệ có nghiệm duy nhất 1 x = m + 2 1 y = m + 2 1 z = m + 2 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  15. 3. ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt) Ví dụ (tt): b/ Trường hợp m = 1: Hệ đã cho tương đương với hệ gồm 1 phương trình x + y + z = 1 Lúc này r(A) = r(AB) = 1 Vậy hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn tự do x =1− t1 − t2 y = t1 , t1 , t2 R z = t2 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  16. 3. ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt) Ví dụ (tt): c/ Trường hợp m = – 2: Hệ đã cho trở thành − 2x + y + z =1 x − 2y + z =1 x + y − 2z =1 Ta tính được: r(A) = 2 < r(AB) = 3 Do đó trường hợp: m = – 2 hệ vô nghiệm Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  17. 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0 (3) am1x1 + am2x2 + + amn xn = 0 Hệ này viết lại ở dạng ma trận là: A.X = 0 Với A Mmxn(K), x Mnx1(K) * Hệ thuần nhất luôn có nghiệm tầm thường là: x = (0, 0, . . ., 0)T. Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  18. * Vấn đề ta quan tâm ở đây là khi nào hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường (X 0) a/ Định lý: Hệ thuần nhất (3) có nghiệm không tầm thường r(A) < n (Số ẩn của hệ) b/ Hệ nghiệm cơ bản: Nếu r(A) = r < n thì hệ phương trình (3) có vô số nghiệm trong đó có n – r ẩn tự do. Do đó nghiệm tổng quát của hệ là: Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  19. 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt): x1 = 1(t1,t2 , ,tn−r ) x =  (t ,t , ,t ) 2 2 1 2 n−r (*) xr =  r (t1,t2 , ,tn−r ) ; ở đây: t1, t2, , tn-r tuỳ ý x = t r+1 1 xn = tn−r Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  20. 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt): Trong (*) lần lượt cho: t1 = 1, t2 = 0, , tn-r = 0 t1 = 0, t2 = 1, , tn-r = 0 t1 = 0, t2 = 0, , tn-r = 1 Thì ta sẽ được (n – r) nghiệm là: x1, x2, , xn - r Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  21.  1k 2k rk Trong đó nghiệm x có dạng: x = 0 k k 1 0 Ở đây: Số 1 nằm ở hàng thứ r + k 1k = (0, 0, , 1, , 0) với vị trí thứ k bằng 1. Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  22. 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt): Các nghiệm x1, x2, , xn – r được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất. Ví dụ 1: Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình thuần nhất sau đây x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 x1 + 3x2 − x3 + x4 = 0 2x1 + 5x2 + 3x3 − 2x4 = 0 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  23. 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) Xét: 1 2 4 − 3 h2 →h2 −h1 1 2 4 − 3 h3 →h3 −2h2 A = 1 3 −1 1 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 0 1 − 5 4 2 5 3 − 2 0 1 − 5 4 1 2 4 − 3 h →h −h ⎯ ⎯3 ⎯3 ⎯⎯2 → 0 1 − 5 4 0 0 0 0 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  24. 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) Hệ đã cho tương đương với hệ x1 + 2x2 = −4x3 + 3x4 x2 = 5x3 − 4x4 Ở đây r(A) = 2 < n = 4 nên hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn số tự do và nghiệm tổng quát có dạng: x1 = −14t1 +11t2 x2 = 5t1 − 4t2 x3 = t1 x4 = t2 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  25. 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) Ví dụ 1 (tt): Lần lượt cho t1 = 1, t2 = 0 và t1 = 0, t2 = 1, ta có 2 nghiệm cơ bản của hệ là: −14 11 5 − 4 x = và x = 1 1 2 0 0 1 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  26. 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) Ví dụ 2: Với điều kiện nào của thì hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường? Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản của hệ trong trường hợp ấy? x1 + αx2 + 2x3 = 0 2x1 + x2 + 3x3 = 0 4x1 − x2 + 7x3 = 0 Ta có: 1 α 2 A = 2 1 3 = −2( +1) 4 −1 7 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  27. 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) Nhận xét: Hệ này có nghiệm không tầm thường detA = 0 = –1 Với = –1: 1 −1 2 h2 →h2 −2h1 1 −1 2 h3 →h3 −4h1 A = 2 1 3 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 0 3 −1 4 −1 7 0 3 −1 1 −1 2 h3 →h3 −h2 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯ → 0 3 −1 0 0 0 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  28. 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) Ví dụ 2 (tt): x1 = x2 − 2x3 Vậy với = –1 hệ tương đương với hệ: 3x2 = x3 Ở đây r(A) = 2 < n = 3 nên hệ có vô số nghiệm với 1 ẩn tự do và nghiệm tổng quát có dạng: 5 x = − t 1 3 1 x2 = t ; t tùy ý 3 x3 = t Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  29. 5. Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính * Nội dung của phương pháp này là dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các phương trình của hệ đã cho để đưa nó về một hệ tương đương, đơn giản, dễ tìm nghiệm. * Một phép biến đổi sơ cấp trên một hệ phương trình tuyến tính là phép biến đổi có một trong các dạng sau: a/ Đổi chỗ 2 phương trình của hệ cho nhau. b/ Nhân 1 phương trình của hệ với một số khác không. c/ Thêm vào một phương trình bội số của phương trình khác. Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  30. Nhận xét: Các phép biến đổi sơ cấp nói trên chính là các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận mở rộng của hệ. * Nội dung của phương pháp Gauss là dùng các phép biến đổi sơ cấp nói trên để đưa ma trận mở rộng của hệ đã cho về một ma trận có dạng bậc thang. Ở dạng đó ta biết phương trình có nghiệm hay không và việc tìm nghiệm cũng không khó khăn so với các phương pháp khác. Ta trình bày phương pháp Gauss qua một số ví dụ sau. Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  31. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 2 3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 = −3 − 2x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = 5 3x1 + 3x3 −10x4 = 8 Ma trận mở rộng của hệ là: 1 − 2 3 − 4 2 3 3 − 5 1 − 3 A = B − 2 1 2 − 3 5 3 0 3 −10 8 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  32. 5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ 1 (tt): h →h −3h 1 − 2 3 − 4 2 2 2 1 h3 →h3 +2h1 h →h −3h 0 9 −14 13 − 9 ⎯ ⎯4 ⎯ 4 ⎯⎯1 → 0 − 3 8 −11 9 0 6 − 6 2 2 1 − 2 3 − 4 2 h h3 0 − 3 8 −11 9 ⎯ ⎯2 ⎯⎯ → 0 9 −14 13 − 9 0 6 − 6 2 2 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  33. 5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ 1 (tt): 1 − 2 3 − 4 2 h3 →h3 +3h2 h →h +2h 0 − 3 8 −11 9 ⎯ ⎯4 ⎯ 4 ⎯⎯2 → 0 0 10 − 20 18 0 0 10 − 20 20 1 − 2 3 − 4 2 h →h −h 0 − 3 8 11 9 ⎯ ⎯4 ⎯ 4 ⎯⎯3 → 0 0 10 − 20 18 0 0 0 0 2 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  34. 5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ 1 (tt): Ma trận cuối có dạng bậc thang, trong đó phương trình cuối có dạng: 0.x1 + 0.x2 + 0.x3 + 0.x4 = 2. Vậy hệ đã cho là vô nghiệm. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình x1 + x2 − 2x3 = 6 2x1 + 3x2 − 7x3 =16 5x1 + 2x2 + x3 =16 3x1 − x2 + 8x3 = 0 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  35. 5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ma trận mở rộng của hệ là: 1 1 − 2 6 h →h −2h 1 1 − 2 6 2 2 1 h3 →h3 −5h1 2 3 − 7 19 h →h −3h 0 1 − 3 4 A = ⎯ ⎯1 ⎯4 ⎯⎯1 → B 5 2 1 16 0 − 3 11 −14 3 −1 8 0 0 − 4 14 −18 1 1 − 2 6 1 1 − 2 6 h3 →h3 +3h2 h →h +4h 0 1 − 3 4 h →h −h 0 1 − 3 4 ⎯ ⎯4 ⎯ 4 ⎯⎯2 → ⎯ ⎯4 ⎯ 4 ⎯⎯3 → 0 0 2 − 2 0 0 2 − 2 0 0 2 − 2 0 0 0 0 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  36. 5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ 2 (tt): Ma trận cuối có dạng bậc thang, trong đó: 2x3 = −2 x2 = 4 + 3x3 x1 = 6 − x2 + 2x3 Hệ có nghiệm duy nhất là: x1 = 3 x2 = 1 x3 = −1 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  37. 5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1 x1 + 3x2 − x3 + x4 = −2 2x1 + 5x2 − 4x3 + 6x4 = −1 Ma trận mở rộng của hệ là: 1 2 − 3 5 1 AB = 1 3 −1 1 − 2 2 5 − 4 6 −1 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  38. 5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ 3 (tt): 1 2 − 3 5 1 h2 →h2 −h1 h3→h3−2h1 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯ → 0 1 2 − 4 − 3 0 1 2 − 4 − 3 1 2 − 3 5 1 h →h −h ⎯ ⎯3 ⎯3 ⎯⎯2 → 0 1 2 − 4 − 3 0 0 0 0 0 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  39. 5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ 3 (tt): Hệ đã cho tương đương với hệ: x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1 x2 + 2x3 − 4x4 = −3 Ta chọn ẩn số tự do là x3, x4. Lúc này hệ có vô số nghiệm và nghiệm tổng quát có dạng: x1 = 7 + 7t1 −14t2 x2 = −3 − 2t1 + 4t2 ; t1, t2 tùy ý x3 = t1 x4 = t2 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  40. BÀI TẬP CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1: Giải các hệ phương trình sau x1 − 2x2 + x3 + x4 = 1 a / x1 − 2x2 + x3 − x4 = −1 x1 + x2 − 2x3 = 6 x1 − 2x2 + x3 + 5x4 = 5 2x1 + 3x2 − 7x3 =16 c / 5x1 + 2x2 + x3 =16 x1 +x2−3x3 = −1 3x1 − x2 + 8x3 = 0 2x1 + x2 − 2x3 = 1 b / x1 + x2 + x3 = 3 x1 + 2x2 − 3x3 = 1 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  41. BÀI TẬP CHƯƠNG 5 (tt) Bài 2: Giải các hệ phương trình thuần nhất sau (Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản) x1−x3 + x5 = 0 x2−x4 + x6 = 0 a / x1 − x2 + x5 − x6 = 0 x − x + x = 0 2 3 6 x1 − x4 + x5 = 0 x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 b / x1 + 3x2 − x3 + x4 = 0 2x1+5x2 + 3x3 − 2x4 = 0 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  42. BÀI TẬP CHƯƠNG 5 (tt) Bài 3: Giải hệ phương trình sau bằng quy tắc Cramer x + y − 2z = 6 2x + 3y − 7z =16 5x + 2y + z =16 Bài 4: : Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss x1 + 2x2 + x3 = 8 2x1 − x2 + 3x3 + x4 = 4 x2 + 3x3 + x4 =15 3x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 = 6 a / b/ 3x − x − x − 2x = 6 4x1 + x3 + x4 =11 1 2 3 4 3x − x + 3x − x = 6 x1 +x2+5x4 = 23 1 2 3 4 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  43. BÀI TẬP CHƯƠNG 5 (tt) Bài 5: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m x1 + 2x2 + 3x3 + mx4 = m + 2 x1 + x2 + x3 + mx4 = m +1 2x1 + 3x2 + 4x3 + 2mx4 = 2m + 3 3x1 + 4x2 + 2x3 + 3mx4 = 3m +1 2 x1 + x2 + 2x3 + 2mx4 = m + m + 2 Bài 6: Giải hệ sau bằng cách dùng ma trận nghịch đảo 2x1 − 3x2 + x3 = −7 x1 + 4x2 + 2x3 = −1 x1−4x2 = −5 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  44. PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5 Bài 1: Giải các hệ phương trình sau a/ r(A) = r(AB) = 2 < n = 4 Hệ có vô số nghiệm Nghiệm tổng quát có dạng: x1 = t1 x2 = t2 ; t1, t2 R x3 = −t1+2t 2 x4 =1 b/ r(A) = 3 < r(AB) = 4 Hệ vô nghiệm x1 = 3 c/ r(A) = 3 = r(AB) Hệ có nghiệm duy nhất là: x2 = 1 x3 = −1 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  45. Bài 2: a/ r(A) = r(AB) = 3 < n = 6 Hệ có vô số nghiệm (Có 3 ẩn số tự do) x1 = t1 − t2 x4 = t1 Nghiệm tổng quát có dạng: x2 = t1 − t3, x5 = t2 x3 = t1 x6 = t3 với t1, t2, t3 tùy ý 1 −1 0 1 0 −1 1 0 0 Ba nghiệm cơ bản là:x1 = , x2 = , x3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  46. PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5 Bài 2 (tt): b/ r(A) = r(AB) = 2 < n = 4 Hệ có vô số nghiệm (Có 2 ẩn số tự do) x1 = −14t1 +11t2 x2 = 5t1 − 4t2 x3 = t1 x4 = t2 −14 11 5 − 4 Hai nghiệm cơ bản của hệ là: x = , x = 1 1 2 0 0 1 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  47. PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5 Bài 3: detA = 2 (1) x = 3 detA = 6 (2)  Hệ có nghiệm duy nhất là: y = 1 detA = 2 (3) z = −1 detA = −2 Bài 4: x1 =1 a/ r(A) = r(AB) = 4 x2 = 2 Hệ có nghiệm duy nhất là: x3 = 3 x4 = 4 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  48. PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5 Bài 4 (tt): x1 = 2 b/ r(A) = r(AB) = 4 x2 = 0 Hệ có nghiệm duy nhất là: x3 = 0 x4 = 0 Bài 5: Trường hợp m 0, r(A) = r(AB) = 4 Hệ có nghiệm duy nhất là: 2 x1 = −m + m +1 x = −1 2 x3 =1 x4 = m Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  49. PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5 Bài 5 (tt): Trường hợp m = 0, r(A) = r(AB) = 3 < n = 4 Hệ có vô số nghiệm (Có 1 ẩn tự do) x1 = 1 x2 = −1 , t tùy ý x3 = 1 x4 = t Bài 6: Hệ này viết lại dưới dạng ma trận là: A.X = B Nghiệm của hệ là X = A-1.B, với Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  50. PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5 Bài 6 (tt): 4 − 2 − 5 1 3 A−1 = 1 − − 2 2 5 11 − 4 2 2 −1 Nghiệm của hệ là X = 1 − 2 x1 = −1 Tức là: x2 = 1 x3= −2 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  51. Kết thúc chương 5 - Toán 2 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH