Bài giảng Toán 2 - Chương 4: Hạng của một ma trận& ma trận nghịch đảo

Nội dung text: Bài giảng Toán 2 - Chương 4: Hạng của một ma trận& ma trận nghịch đảo

1. CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 1
2. 1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A Mmxn(K) là phép biến đổi có một trong các dạng sau: a/ hi ↔ hj (Ci ↔ Cj) (Đổi chỗ 2 hàng hay 2 cột với nhau) b/ hi → α.hj (Ci → α.hi), α ≠ 0 (Nhân một hàng hay một cột với 01 số khác không) c/ hi → hi + βhj (Ci → Ci + βCj) (Thêm vào một hàng hay một cột bội số của hàng khác hoặc cột khác) Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 2
3. 1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN (tt) Ký hiệu: A → B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên A Ví dụ: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 h2 h3 h3→2.h3 A = 4 5 6 ⎯ ⎯ ⎯⎯ → 7 8 9 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 7 8 9 7 8 9 4 5 6 8 10 12 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 3
4. 2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG Cho ma trận A Mmxn(K) Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu như: a/ Các hàng khác không (có ít nhất một phần tử nằm trên hàng nào đó khác không) nằm trên các hàng bằng không. b/ Với hai hàng khác không, phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên. Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 4
5. 2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt) Ví dụ: 1 2 3 4 5 2 1 0 4 3 0 0 1 4 6 A = 0 0 3 1 4 B = 0 0 0 0 3 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 Là những ma trận bậc thang Chú ý: Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Ta minh họa bởi ví dụ sau: Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 5
6. 2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt) 1 2 0 1 4 1 2 0 1 4 2 4 1 −1 2 h2 →h2 −2h1 0 0 1 − 3 − 6 A = ⎯ h⎯4 →⎯h4 −⎯3⎯h1 → 0 1 −1 2 − 5 0 1 −1 2 − 5 3 5 2 − 2 11 0 −1 2 − 5 −1 1 2 0 1 4 1 2 0 1 4 0 1 −1 2 − 5 0 1 −1 2 − 5 ⎯ h⎯2 ⎯⎯h3 → ⎯ h⎯4 →⎯h4 +⎯⎯h2 → 0 0 1 − 3 − 6 0 0 1 − 3 − 6 0 −1 2 − 5 −1 0 0 1 − 3 − 6 1 2 0 1 4 0 1 −1 2 − 5 ⎯ h⎯4 →⎯h4 −⎯⎯h3 → 0 0 1 − 3 − 6 0 0 0 0 0 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 6
7. 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN a/ Định nghĩa: Cho ma trận A Mmxn(K). Ta nói ma trận A có hạng bằng p (ký hiệu là r(A) = p) nếu như A chứa một ma trận con cấp p có định thức khác không, còn mọi định thức con cấp p+1 đều bằng không. Nói một cách khác, hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của nó. * Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 7
8. 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng của ma trận có các tính chất sau: . r(A) = r(AT) . r(Amxn) ≤ min{m,n} . r(A+B) ≤ r(A) + r(B) . r(A.B) ≤ min{r(A),r(B)} . Cho ma trận A Mmxn(K) X Mn(K), detX ≠ 0 Y Mm(K), detY ≠ 0 Khi đó: r(A) = r(A.X) = r(Y.A) Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 8
9. 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng của ma trận có các tính chất sau (tt): . Nếu A → B (Ma trận B nhận được từ A qua một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp) Khi đó: r(A) = r(B) . Nếu A Mn(K) thì: + r(A) = n detA ≠ 0 + r(A) < n detA = 0 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 9
10. 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) c/ Định lý: Cho A Mmxn(K) là một ma trận bậc thang có p hàng khác không. Khi đó: r(A) = p Nhận xét: Từ định lý này ta thấy, để tìm hạng của một ma trận, thì ta biến đổi sơ cấp trên ma trận đã cho để đưa nó về dạng bậc thang. Khi đó ta dễ dàng suy ra hạng của ma trận. Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 10
11. 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận 1 4 − 5 1 4 − 5 0 2 − 4 h3→h3−3h1 0 2 − 4 A = 3 1 7 ⎯ h⎯5→⎯h5⎯−2⎯h1→ 0 −11 22 0 5 −10 0 5 −10 2 3 0 0 − 5 10 1 4 − 5 1 4 − 5 h3→h3+11h2 1 0 1 − 2 h4 →h4 −5h2 0 1 − 2 h2 → h2 ⎯ ⎯ ⎯2⎯ → 0 −11 22 ⎯ h⎯5→⎯h5⎯+5h⎯⎯2 → 0 0 0 0 5 −10 0 0 0 r(A) = 2 0 − 5 10 0 0 0 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 11
12. 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) Ví dụ 2: Tìm hạng của ma trận sau theo tham số a 1 2 3 4 2 3 4 5 A = 3 4 5 6 4 5 6 a 1 2 3 4 1 2 3 4 h2 →h2 −2h1 h3 →h3 −3h1 h3 →h3 −2h2 h →h −4h 0 −1 − 2 3 h →h −3h 0 −1 − 2 − 3 A ⎯ ⎯4 ⎯4 ⎯⎯1 → ⎯ ⎯4 ⎯4 ⎯⎯2 → 0 − 2 − 4 − 6 0 0 0 0 0 − 3 − 6 a −16 0 0 0 a − 7 1 2 3 4 Biện luận: 0 −1 − 2 3 h3 h4 . a = 7 thì r(A) = 2 ⎯ ⎯ ⎯⎯ → 0 0 0 a − 7 . a ≠ 7 thì r(A) = 3 0 0 0 0 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 12
13. 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO a/ Định nghĩa ma trận phụ hợp Cho A = (aij) Mn(K), khi đó ta gọi ma trận T A A A 11 12 1n A21 A22 A2n P = là ma trận phụ hợp của ma trận A A An1 An2 Ann i+j Ở đây: Aij = (–1) det(Cij) là phần bù đại số của phần tử aij. Cij là ma trận có cấp (n–1) nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ hàng thứ i và cột thứ j. Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 13
14. 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) * Ma trận phụ hợp PA có tính chất sau: A.PA = PA.A = (detA).In 1 1 0 Ví dụ: Cho ma trận A = 1 1 1 Hãy tìm ma trận phụ hợp PA 0 2 1 1 1 1 1 A = (-1)1+1. = −1; A = (-1)1+2. = −1; 11 2 1 12 0 1 Cuối cùng ta tính được ma trận T −1 −1 2 −1 −1 1 PA = −1 1 − 2 PA = −1 1 −1 1 −1 0 2 − 2 0 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 14
15. 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) b/ Định nghĩa ma trận nghịch đảo Cho ma trận A Mn(K) * A được gọi là ma trận không suy biến nếu det(A ) ≠ 0 * A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại B Є Mn(K) sao cho: A.B = B.A = In Lúc này, B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và được ký hiệu là B = A–1 –1 –1 Do vậy ta có: A.A = A .A = In Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 15
16. 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) c/ Định lý Cho ma trận A Mn(K) A không suy biến A khả nghịch và lúc này 1 A−1 = .P det A A d/ Ma trận nghịch đảo có các tính chất sau: Cho A, B Mn(K). Khi đó: . Nếu A không suy biến thì A–1, AT cũng không suy biến và (A–1)–1 = A và (AT)–1 = (A–1)T . Nếu A và B không suy biến thì A.B cũng không suy biến và (A.B)–1 = B–1.A–1 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 16
17. 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) 1 2 Ví dụ 1: Cho A = . Tìm A–1 3 4 Nhận xét: detA = – 2 ≠ 0. Vậy A khả nghịch. 1+1 1+2 Ta có: A11 = (–1) .4, A12 = (–1) .3 2+1 2+2 A21 = (–1) .2, A22 = (–1) .1 T 4 − 3 4 − 2 PA = = − 2 1 − 3 1 −1 1 1 4 − 2 Vậy A = .PA = − det A 2 − 3 1 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 17
18. 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) 1 2 − 3 Ví dụ 2: Cho A = 3 2 − 4 . Tìm A–1 2 −1 0 Nhận xét: detA = 1 ≠ 0 nên tồn tại A–1 Ta có: A11 = –4 A12 = –3 A13 = –7 A21 = 3 A22 = 6 A23 = 5 A31 = –2 A32 = –5 A33 = –4 T − 4 − 8 − 7 − 4 3 − 2 PA = 3 6 5 = − 8 6 − 5 − 2 − 5 − 4 − 7 5 − 4 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 18
19. 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) − 4 3 − 2 Vậy 1 A-1 = .PA = − 8 6 − 5 detA − 7 5 − 4 e/ Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng Ta còn có một thuật toán khác để tìm A–1 chỉ qua các phép biến đổi sơ cấp trên hàng như sau: PBĐBĐ (A | I) ⎯ trên⎯ ⎯hàng⎯ →(I | A−1) Chú ý: Phương pháp này tiện cho việc tính A–1 mà ma trận A có cấp cao. Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 19
20. 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) 1 2 − 3 Ví dụ 3: Cho A = 3 2 − 4 . Tìm A–1 2 −1 0 Ta viết 1 2 − 3 1 0 0 3 2 − 4 0 1 0 2 −1 0 0 0 1 1 2 − 3 1 0 0 h2 →h2 −3h1 h →h −2h ⎯ ⎯3 ⎯3 ⎯⎯1 → 0 − 4 5 − 3 1 0 0 − 5 6 − 2 0 1 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 20
21. 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Ví dụ 3 (tt): 1 2 − 3 1 0 0 h →h −h ⎯ ⎯2 ⎯ 2⎯⎯3→ 0 1 −1 −1 1 −1 0 − 5 6 − 2 0 1 h1→h1−2h2 1 0 −1 3 − 2 2 h →h +5h ⎯ ⎯3 ⎯ 3⎯ ⎯2 → 0 1 −1 −1 1 −1 0 0 1 − 7 5 − 4 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 21
22. 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Ví dụ 3 (tt): h1→h1+h3 1 0 0 − 4 3 − 2 h →h +h ⎯ ⎯2 ⎯ 2⎯⎯3→ 0 1 0 − 8 6 − 5 0 0 1 − 7 5 − 4 − 4 3 − 2 −1 A = − 8 6 − 5 − 7 5 − 4 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 22
23. BÀI TẬP CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Bài 1: Tìm hạng của ma trận 1 4 − 5 1 0 4 − 2 1 2 2 1 5 −1 0 2 − 4 2 1 5 0 1 a / A = 3 1 7 b/ A = −1 − 2 2 − 6 1 0 5 −10 − 3 −1 − 8 1 −1 2 3 0 1 2 − 3 7 − 2 1 −1 1 2 4 2 2 3 5 7 c / A = 3 − 4 5 2 10 5 − 6 7 6 18 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 23
24. BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) 1 −1 2 1 2 Bài 2: Cho ma trận A = 2 − 2 m + 5 m +1 1 −1 2 m −1 Tìm điều kiện của m để r(A) = 3 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 Bài 3: Cho ma trận A = 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 a 1 0 Hãy biện luận r(A) theo tham số a Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 24
25. BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) 1 1 1 1 2 3 −1 4 Bài 4: Cho ma trận A = −1 1 0 2 2 2 3 m Tìm điều kiện của m để A khả nghịch 1 2 1 1 −1 2 Bài 5: Cho ma trậnA = 2 4 2 2 3 m 3 −1 4 3 0 m +1 Tìm điều kiện của m để A khả nghịch Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 25
26. BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) 1 2 − 3 Bài 6: Cho ma trận A = 3 2 − 4 2 −1 0 Tìm A–1 Bài 7: Giải phương trình ma trận 1 2 − 3 1 − 3 0 A = 3 2 − 4 . X = 10 2 7 2 −1 0 10 7 8 –1 Bài 8: Cho A Mn(K), detA = 4. Hãy tính detA , det(A.AT) Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 26
27. BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 9: Tìm A–1 bằng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng 1 1 1 a / A = 0 1 1 0 0 1 1 1 1 b/ A = 1 1 −1 1 −1 1 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 27
28. ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Bài 1: Tìm hạng của ma trận a/ r(A) = 2 b/ r(A) = 3 c/ r(A) = 3 Bài 2: Để r(A) = 3 thì điều kiện là m ≠ 2 và m ≠ – 1 Bài 3: r(A) = 5, a Hướng dẫn: Do detA ≠ 0 không phụ thuộc vào a 13 Bài 4: Để ma trận A khả nghịch điều kiện là m 7 13 Hướng dẫn: A khả nghịch detA ≠ 0 m 7 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 28
29. ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 5: Không tồn tại m để ma trận A khả nghịch Hướng dẫn: Đặt 1 2 1 1 −1 2 B = 2 4 2 C = 2 3 m 3 −1 4 3 0 m +1 Ta có: A = B.C detA = detB.detC Mà detB = 0 (Do ma trận B có 2 hàng tỷ lệ) Vậy detA = 0, m Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 29
30. ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) − 4 3 − 2 Bài 6: −1 A = − 8 6 − 5 − 7 5 − 4 Hướng dẫn: detA = 1 ≠ 0, vậy tồn tại A-1 Ta có: − 4 3 − 2 PA = − 8 6 − 5 − 7 5 − 4 Mà − 4 3 − 2 −1 1 −1 A = .PA A = − 8 6 − 5 det A − 7 5 − 4 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 30
31. ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 7: 6 4 5 X = 2 1 2 3 3 3 Hướng dẫn: Ta có A.X = B A-1.A.X = A-1.B X = A-1.B Mà − 4 3 − 2 -1 A = − 8 6 − 5 (Đã làm ở bài 6) 6 4 5 − 7 5 − 4 −1 X = A .B = 2 1 2 3 3 3 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 31
32. ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) 1 Bài 8: detA-1 = , det(A.AT) = 16 4 Hướng dẫn: Ta có: A.A-1 = In -1 det(A.A ) = detIn = 1 detA.detA-1 = 1 -1 1 1 detA = = det A 4 Ta có: det(A.AT) = detA.detAT Mà detAT = detA Do đó det(A.AT) = 16 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 32
33. ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 9: Tìm A-1 bằng phép biến đổi sơ cấp theo hàng Hướng dẫn: 1 1 0 1 −1 0 2 2 −1 −1 1 1 a / A = 0 1 −1 b/ A = 0 − 2 2 0 0 1 1 1 − 0 2 2 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 33