›
›

Bài giảng Toán 2 - Chương 3: Định thức của một ma trận vuông

ppt 46 trang phuongnguyen 50
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán 2 - Chương 3: Định thức của một ma trận vuông", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_toan_2_chuong_3_dinh_thuc_cua_mot_ma_tran_vuong.ppt

Nội dung text: Bài giảng Toán 2 - Chương 3: Định thức của một ma trận vuông

  1. Toán 2
  2. I/ LÝ THUYẾT : 1. Định nghĩa. 2. Định thức của một số ma trận đặc biệt. 3. Tính chất của định thức. 4. Tính định thức bằng khai triển Laplace. II/ BÀI TẬP : III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN : Toán 2
  3. 1. ĐỊNH NGHĨA 1. Định nghĩa : Cho ma trận AMK n ( ) Định thức của ma trận A là 1 số và được ký hiệu là det ( A ) hay A a/ Định thức cấp 1 : Aa= ( 11 ) Ta định nghĩa : det Aa= 11 Toán 2
  4. 1. ĐỊNH NGHĨA b/ Định thức cấp 2 : aa11 12 A = aa21 22 Ta định nghĩa : detA=− a11 . a 22 a 12 . a 21 c/ Định thức cấp 3 : a11 a 12 a 13 A= a a a 21 22 23 a31 a 32 a 33 Ta khai triển định thức theo hàng 1 Toán 2
  5. 1. ĐỊNH NGHĨA Khi đó : 1++ 1a22 a 23 1 2 a 21 a 23 detA= a11 .1.( −) + a 12 .1.( − ) a32 a 33 a 31 a 33 13+ aa21 22 +−a13 .( 1) . aa31 32 Chú ý : Để tính định thức của một ma trận vuông ta có thể khai triển định thức theo hh 12 , , hoặc cc 12, , Toán 2
  6. 1. ĐỊNH NGHĨA d/ Định thức cấp n : a11 a 12 a 1n a a a A = 21 22 2n an1 a n 2 a n n Ta khai triển định thức theo hàng 1 1++ 1 1 n detA= a11 .( − 1) .det( C 11) + + a 1nn .( − 1) .det( C 1 ) Toán 2
  7. 1. ĐỊNH NGHĨA Ở đây : Cij là ma trận vuông cấp (n – 1) có được từ ma trận A bằng cách bỏ hàng thứ i và cột thứ j Đặt : ij+ AC i j=−( 1) det ( i j ) A ij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij Toán 2
  8. 1. ĐỊNH NGHĨA VD 1: Tính định thức của ma trận 2 1 0 A =− 3 1 2 4 5 0 Khai triển định thức theo cột 3 ta được 21 A =2.( − 1)23+ . = − 2( 6) = − 12 45 Toán 2
  9. 2. ĐỊNH THỨC CỦA MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT : 2. Định thức của một số ma trận đặc biệt : a/ Định thức của ma trận đường chéo : a11 0 0 0 0a 0 0 A = 22 0 0 0 ann Lần lượt khai triển định thức theo hàng 1 ta sẽ được kết quả : detA= a11 . a 22 ann Hệ quả : det(In ) = 1 Toán 2
  10. 2. ĐỊNH THỨC CỦA MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT : b/ Định thức của ma trận tam giác trên : a11 a 12 a 1 n 0 a a A = 22 2n 0 0 ann Lần lượt khai triển định thức theo cột 1 ta sẽ được kết quả : detA= a11 . a 22 ann Toán 2
  11. 2. ĐỊNH THỨC CỦA MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT : c/ Định thức của ma trận tam giác dưới: a11 0 0 aa 0 A = 21 22 an1 a n 2 a n n Lần lượt khai triển định thức theo hàng 1 ta sẽ được kết quả : detA= a11 . a 22 ann Toán 2
  12. 3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC : 3. Tính chất của định thức : a/ detAA= det T b/ Nếu ta đổi chỗ 2 hàng (hay 2 cột) của định thức thì định thức đổi dấu. c/ Nếu ma trận A có 2 hàng (hay 2 cột) giống nhau thì d/ Nếu ma trận A có 2 hàng (hay 2 cột) tỷ lệ thì detA = 0 Toán 2
  13. 3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC : f/ Nếu ma trận A có 1 hàng ( hay 1 cột ) bằng không thì detA = 0 g/ Thừa số chung của 1 hàng hay 1 cột có thể đem ra khỏi định thức. h/ Định thức không đổi nếu ta thêm vào 1 hàng (hay 1 cột) một tổ hợp tuyến tính của các hàng khác (hoặc cột khác). i/ Cho A và B là 2 ma trận vuông cùng cấp. Khi đó : det( ABAB .) = det .det Toán 2
  14. 3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC : a11+ b 11 a 12 + b 12 a 13 + b 13 j/ A= a21 a 22 a 23 a31 a 32 a 33 a11 a 12 a 13 b 11 b 12 b 13 = a21 a 22 a 23 + a 21 a 22 a 23 a31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 Toán 2
  15. 3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC : a11 + b11 a12 a13 k/ A = a21 + b21 a22 a23 a31 + b31 a32 a33 a11 a12 a13 b11 a12 a13 = a21 a22 a23 + b21 a22 a23 a31 a32 a33 b31 a32 a33 Toán 2
  16. 3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC : Ví dụ 2 : Tính định thức 1 2 3 4 −−2 3 3 2 A = 3 5 7 2 1 3 5 4 Ta sẽ đưa ma trận A về dạng ma trận tam giác trên Toán 2
  17. 3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC : 1 2 3 4 h→+ h2 h 2 2 1 0 1 9 10 A ___ h3→− h 33 h 1 0− 1 − 2 − 10 h4→− h 4 h 1 0 1 2 0 Toán 2
  18. 3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC : 1 2 3 4 h→+ h h 3 3 2 0 1 9 10 ___ h4→− h 4 h 2 0 0 7 0 0 0−− 7 10 1 2 3 4 h→+ h h 4 4 3 0 1 9 10 ___ =−70 0 0 7 0 0 0 0− 10 Toán 2
  19. 3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC : Ví dụ 3 : Tính định thức 1 a b+ c A=+ 1 b a c 1 c a+ b 1 a+ b + c b + c c2→+ c 2 c 3 A ___ 1 a+ b + c a + c = 0 1 a+ b + c a + b Do cột 1 và cột 2 tỷ lệ với nhau. Toán 2
  20. 3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC : Ví dụ 4 : Không tính định thức, chứng minh rằng: 2 3 1 A = 2 7 8 5 5 0 là một số chia hết cho 15 Toán 2
  21. 3. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC : 9 15 9 h1→ h 1 + h 2 + h 3 A ___ 2 7 8 5 5 0 Đặt thừa số chung ở hàng 1 là 3 và thừa số chung ở hàng 3 là 5. Ta được : 3 5 3 A = 3 x 5 2 7 8 Điều phải chứng minh 1 1 0 Toán 2
  22. 4. TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG KHAI TRIỂN LAPLACE : IV. Tính định thức bằng khai triển Laplace : a/ Định lý Laplace : Định thức của ma trận A bằng tổng của các tích mọi định thức con rút ra từ k hàng (hoặc k cột) với phần bù đại số tương ứng của nó. b/ Nhận xét : Từ định lý trên ta nhận thấy khi tính detA, ta nên khai triển định thức theo k hàng (hay k cột) nào đó có càng nhiều số không càng tốt. Toán 2
  23. 4. TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG KHAI TRIỂN LAPLACE : Ví dụ 5 : Tính định thức 1 1 1 0 0 0 2 3 4 0 0 0 3 6 10 0 0 0 A = 4 9 14 1 1 1 5 15 24 1 5 9 0 24 38 1 25 81 Toán 2
  24. 4. TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG KHAI TRIỂN LAPLACE : Khai triển định thức theo 3 hàng đầu ta được 1 1 1 1 1 1 A = 2 3 4 .( − 1)S . 1 5 9 = 128 3 6 10 1 25 81 Ở đây : s =(1 + 2 + 3) +( 1 + 2 + 3) Toán 2
  25. 4. TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG KHAI TRIỂN LAPLACE : Ví dụ 6 : Tính định thức 0 0 2 1 4 0 0 3 1 2 A = 0 0 1 2 1 2 3 1 4 6 3 2 1 3 2 Toán 2
  26. 4. TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG KHAI TRIỂN LAPLACE : Khai triển định thức theo 3 hàng đầu ta được 2 1 4 23 A = 3 1 2 .( − 1)S . = − 65 32 1 2 1 Ở đây : s =(1 + 2 + 3) +( 3 + 4 + 5) Toán 2
  27. 4. TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG KHAI TRIỂN LAPLACE : Ví dụ 7 : Tính định thức 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3 5 2− 1 0 0 A = 4 7 3 1 0 0 6 5 2 3 1 1 2 3 4 1 1 2 Toán 2
  28. 4. TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG KHAI TRIỂN LAPLACE : Khai triển định thức theo 2 hàng đầu ta được 2− 1 0 0 1 2 3 1 0 0 A =− .( 1)S . 2 1 2 3 1 1 4 1 1 2 Ở đây : s =(1 + 2) +( 1 + 2) Toán 2
  29. 4. TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG KHAI TRIỂN LAPLACE : Tiếp tục khai triển định thức sau theo 2 hàng đầu ta được 1 2 2− 1 1 1 A = .1.( −)Sk .1.( −) = − 15 2 1 3 1 1 2 Ở đây : k =(1 + 2) +( 1 + 2) Toán 2
  30. Toán 2
  31. II/ BÀI TẬP ĐỊNH THỨC : BÀI 1 : Cho 1 0 0 2− 1 3 A =− 3 1 0 , B = 0 2 4 2 1 3 0 0 1 Tính det( 3.AB . ) Toán 2
  32. II/ BÀI TẬP ĐỊNH THỨC : BÀI 2 : Tính định thức : 1− 1 2 3 0 1− 1 0 A = 3 1 0− 1 0 2 1 0 Toán 2
  33. II/ BÀI TẬP ĐỊNH THỨC : BÀI 3 : Cho 10 m Am=− 2 1 2 2 1 0 2 Tìm điều kiện của m để A 0 Toán 2
  34. II/ BÀI TẬP ĐỊNH THỨC : BÀI 4 : Tính định thức : x x'' ax+ bx A=+ y y ' ay by ' z z'' az+ bz Toán 2
  35. II/ BÀI TẬP ĐỊNH THỨC : BÀI 5 : Tính định thức : 1− 1 2 1 3 2 3− 1 1 0 A = −1 2 1 0 0 −2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 Toán 2
  36. II/ BÀI TẬP ĐỊNH THỨC : BÀI 6 : Cho 1 2 3 1 2 3 A = 0 2 3 . 1 2 0 0 0 3 1 0 0 Tính det A Toán 2
  37. II/ BÀI TẬP ĐỊNH THỨC : BÀI 7 : Giải phương trình : 1 x 2 x x2 1 2 4 4 = 0 1−− 1 2 1 2 3 1− 1 Toán 2
  38. Toán 2
  39. III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN BÀI 1 : det( 3.AB .) = 324 HD : det( 3.ABAB .) = 33 .det .det n Nhớ công thức det( .AAnn) = .det Toán 2
  40. III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN BÀI 2 : detA = 30 HD : Đưa ma trận A về dạng bậc thang. Hoặc tính định thức bằng cách khai triển Laplace theo hàng 2 và hàng 4. BÀI 3 : ĐK: m 0 Toán 2
  41. III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN BÀI 4 : detA = 0 HD : Tính định thức bằng cách tách cột 3. Ta sẽ được tổng của 2 định thức cấp 3. BÀI 5 : detA = 6 BÀI 6 : detA =− 36 HD : detABC= det .det = 6.( − 6) = − 36 Toán 2
  42. III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN BÀI 7 : Nghiệm của phương trình này là x = 2 và x = -1 HD: Phương trình này là phương trình bậc 2 theo biến x Dễ dàng nhận thấy nghiệm của phương trình này là x = 2 và x = -1 Do với x = 2 hàng 1 và hàng 2 giống nhau nên định thức bằng 0. với x =− 1 hàng 1 và hàng 3 giống nhau nên định thức bằng 0. Toán 2
  43. Toán 2
  44. Toán 2