›
›

Bài giảng Toán 2 - Chương 2: Ma trận

ppt 38 trang phuongnguyen 60
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán 2 - Chương 2: Ma trận", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_toan_2_chuong_2_ma_tran.ppt

Nội dung text: Bài giảng Toán 2 - Chương 2: Ma trận

  1. Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng TOÁN 2 Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 1
  2. Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 2
  3. NỘI DUNG : I/ LÝ THUYẾT : 1. Một số định nghĩa. 2. Các phép toán trên ma trận. II/ BÀI TẬP : III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN : Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 3
  4. I/ LÝ THUYẾT Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 4
  5. 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1. Một số định nghĩa : a/ Một ma trận A cỡ mn x trên trường K (K là thực hay phức) là một bảng chữ nhật gồm m hàng, n cột có dạng sau: a11 a 12 a 1n a a a A = 21 22 2n m x n  am1 a m 2 a m n Người ta thường ký hiệu Aa m x n= ( i j ) Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 5
  6. 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA Ở đây : Các số a i=1, 2,  , m ; j = 1, 2 ,  , n ij ( ) là các phần tử nằm ở hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A. b/ Tập hợp các ma trận A cỡ mn x trên trường K được ký hiệu là MKmn x ( ) c/ Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0. Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 6
  7. 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA x1 x d/ A = 2 được gọi là ma trận cột. nx 1 xn e/ A 1 x n=( x 1 x 2 x n ) được gọi là ma trận hàng. f/ Nếu mn= thì A được gọi là ma trận vuông. x Ký hiệu : MK n ( ) là tập hợp các ma trận vuông cỡ nn , gọi chung là tập hợp các ma trận vuông cấp n. Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 7
  8. 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA a11 0 0 0 0a 0 0 g/ Ma trận A = 22 n x n  0 0 0  ann (a ij =0  i j i , j = 1, 2,  , n) được gọi là ma trận chéo. Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 8
  9. 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1 0 0 0 1 0 h/ Ma trận I = n x n  0 0 1 a i j=1  i = j , a i j = 0  i j i , j = 1, 2, , n được gọi là ma trận đơn vị cấp n. Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 9
  10. 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA a11 a 12 a 1n 0 aa i/ Ma trận A = 22 2n n x n  00 ann được gọi là ma trận tam giác trên. Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 10
  11. 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA a11 00 aa 0 Ma trận A = 21 22 n x n  an1 a n 2 a n n được gọi là ma trận tam giác dưới. Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 11
  12. 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA j/ Ma trận − Aa = ( − ij ) được gọi là ma trận đối của A. k/ Ma trận A = ( a i j ) được gọi là ma trận liên hợp của A. Nếu A M m x n ( R ) thì A = A Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 12
  13. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 2. Các phép toán trên ma trận : a/ Ma trận bằng nhau : Cho hai ma trận cùng cỡ m x n là Aa m x n = ( i j ) và Bb m x n= ( i j ) Ta nói : A= B ai j = b i j  i = 1, 2,  , m jn= 1, 2, , Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 13
  14. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN b/ Ma trận chuyển vị : Cho ma trận A m x n = ( a i j ) Ta gọi ma trận là ma trận chuyển vị T của ma trận A nếu như A = (a j i ) Như vậy ma trận A T có cấp n x m Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 14
  15. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN a11 a 12 a 1n a a a Nếu A = 21 22 2n m x n  am1 a m 2 a m n a11 a 21 am 1 a a a thì AT = 12 22m 2 n x m  a1n a 2 n a m n T Ta dễ dàng nhận thấy ( AAT ) = Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 15
  16. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Cho ma trận AMK n ( ) . Khi đó : T Nếu AA = , tức là ai j = a j i (i, j =1, 2, , n) thì A được gọi là ma trận đối xứng. T Nếu AA =− , tức là ai j = −a j i (i, j =1, 2, , n) thì A được gọi là ma trận phản đối xứng. Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 16
  17. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN c/ Nhân ma trận với một số : Cho ma trận A m x n = (ai j) Ta có : . ABm x n = m x n với bi j= . a i j  i = 1, 2,  , m jn= 1, 2, , Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 17
  18. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Dễ dàng nhận thấy : 1. AA= (−1) . AA = − 0. A = 0 ,  ma trận A . 0= 0 ,  K ( .AAK) =( ) ,  ,  Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 18
  19. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN d/ Cộng hai ma trận : Cho 2 ma trận cùng cỡ m x n là Aa m x n= ( i j ) và Bb m x n= ( i j ) Ta có : ABC m x n += m x n m x n với c i j= a i j + b i j ,  i = 1, 2,  , m jn= 1, 2, , Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 19
  20. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Dễ thấy rằng với các ma trận cùng cỡ thì ABBA+ = + ABCABC+( +) =( +) + α(A + B) = α.A+ α.B , α K (α + β)A = α.A+ β.A , α,β K AAA+00 = + = T TT ( ABAB+ ) = +  Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 20
  21. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Ví dụ 1 : 213 Cho A 2x 3 = 4 6 1 1 4 3 B 2x 3 = 0 1 6 Tính 3A + 2B Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 21
  22. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Ta có : 2 1 3 1 4 3 3AB+ 2 = 3. + 2. 4 6 1 0 1 6 6 3 9 2 8 6 =+ 12 18 3 0 2 12 8 11 15 = 12 20 15 Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 22
  23. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN d/ Nhân hai ma trận : Cho 2 ma trận A m x n==( a i j) , B n x p( b i j ) ABC m x n . n x p = m x p Ở đây : CCm x p= ( i j ) n im= 1, 2, , với Ci j=  a i k. b k j , k=1 jp= 1, 2, , Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 23
  24. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 1 2 2 3 VD 2 : Cho AB 2 xx 2== , 2 2 3 4 1 4 Tính A.B và B.A 4 11 Ta có : ABC. == 2 x 2 10 25 11 16 BAD. == 2 x 2 13 18 Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 24
  25. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 1 2 1 2 3 VD 3 : Cho AB 2 xx 2== , 2 3 3 4 1 4 6 Tính A.B và B.A 3 10 15 Ta có : ABC. == 2 x 3 7 22 33 B.A không tồn tại Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 25
  26. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Nhận xét : Phép nhân ma trận không có tính giao hoán. Nếu A.B = B.A ta nói tích hai ma trận có tính giao hoán. Nếu A và I là hai ma trận vuông cấp n thì A.I = I.A = A Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 26
  27. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Phép nhân ma trận có tính chất sau : ( ABCABCABC ) ==( ) ABCABAC ( +) = + (BCABACA+) = + T ( ABBA ) = TT Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 27
  28. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Từ phép nhân ma trận ta có thể định nghĩa lũy thừa của một ma trận vuông như sau: Cho AMK n ( ) . Ta định nghĩa : 0 AI n x n= n x n AAAAk =. k laàn Ap. A q= A p+ q , p , q N q ( AAp) = p. q Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 28
  29. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN a 1 VD 4 : Cho ma trận A 2 x 2 = 0 a Tính A n với n = 2, 3, Ta có : aa2 2 aa323 AAA2 ==. , AAA32== . 2 3 0 a 0 a ann n. a −1 Dễ dàng quy nạp được n A = n 0 a Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 29
  30. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN VD 5 : 21− Cho A 2 x 2 = 32− Tính fA( ) với f( x) = x32 −3 x + 4 x + 2 Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 30
  31. 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Ta có : f( A) = A32 −3 A + 4 A + 2 I 32 2− 1 2 − 1 2 − 1 1 0 fA( ) = −3 + 4 + 2 3− 2 3 − 2 3 − 2 0 1 2 −1 1 0 2 −1 1 0 = −3 + 4 + 2 3 − 2 0 1 3 − 2 0 1 11− 6 = 18− 13 Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 31
  32. II/ BÀI TẬP Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 32
  33. II/ BÀI TẬP MA TRẬN 11ii − BÀI 1 : Cho AB== , −ii11 − − Tính AB và BA. 11 n BÀI 2 : Cho A = . Tính A 11 11− 22 BÀI 3 : Cho A = −11 22 Tính AAAA2, 3 , 2nn , 2+ 1 Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 33
  34. II/ BÀI TẬP MA TRẬN BÀI 4 : Cho A và B là hai ma trận đối xứng. 1 0−− 2 3 1 2 AB= 0 3 − 1 , = − 1 1 − 2 −2 − 1 2 2 − 2 0 a/ A.B và B.A có phải là ma trận đối xứng. b/ Có nhận xét gì về A.B và B.A Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 34
  35. II/ BÀI TẬP MA TRẬN BÀI 5 : Giải các phương trình ma trận. 3−− 2 1 2 a/ X . = 5−− 4 5 6 3− 1 5 6 14 16 b/ . X . = 5− 2 7 8 9 10 Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 35
  36. III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 36
  37. III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN 00 22i − BÀI 1 : AB = , BA = 00 −−22i nn−−11 n 22 BÀI 2 : A = nn−−11 22 BÀI 3 : An = A ,  n = 1, 2, 3,  Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 37
  38. III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN BÀI 4 : a/ A.B và B.A không phải là ma trận đối xứng. b/ AB= ( BA)T BÀI 5 : 32− 12 a/ X = b/ X = 54− 34 Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 38