Bài giảng Toán 2 - Chương 1: Số phức

Nội dung text: Bài giảng Toán 2 - Chương 1: Số phức

1. Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng TOÁN 2 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 1
2. CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 2
3. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. Dạng đại số của số phức: a/ Định nghĩa: • Dạng đại số của số phức là: z = a + i b Ở đây : a : được gọi là phần thực của số phức z , ký hiệu là Re(z) b : được gọi là phần ảo của số phức z , ký hiệu là Im(z) i : được gọi là đơn vị ảo với i2 = −1 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 3
4. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: • Tập hợp số phức ta ký hiệu là C hay còn gọi là mặt phẳng phức. y Ở đây : b z Trục Ox : được gọi là trục thực Trục Oy : được gọi là trục ảo x O a Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng phức. Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z được gọi là môđun của số phức z và ký hiệu là z hoặc mod(z) Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 4
5. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: • z = a − i b được gọi là số phức liên hợp của z b/ Các phép toán: z1 = a1 + i b1 Cho hai số phức z2 = a2 + i b2 a1 = a2 z1 = z2 b1 = b2 z1 + z2 = (a1 + a2 )+ i (b1 + b2 ) z1x z2 = (a1 + i b1 ) x (a2 + i b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 )+ i (a1 b2 + a2 b1 ) Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 5
6. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: Ở đây : Ta nhân tương tự như trong trường hợp số phức với chú ý i2 = −1 Dễ nhận thấy z = a + i b thì z. z = a2 + b2 1 1 a − i b và = = z a + i b (a + i b) (a − i b) a b = + i − a2 + b2 a2 + b2 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 6
7. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: z a + i b (a + i b ) (a − i b ) 1 = 1 1 = 1 1 2 2 z2 a2 + i b2 (a1 + i b1 ) (a2 − i b2 ) a1 a2 + b1 b2 a2 b1 + a1 b2 = 2 2 + i 2 2 a2 + b2 a2 + b2 ( ĐK: z 2 0 ) Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 7
8. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: Từ định nghĩa của các phép toán, ta dễ dàng chứng minh các công thức sau: z + z = (a + i b) + (a − i b) = 2 a = 2 Re (z) z − z = (a + i b) − (a − i b) = 2 i b = 2 i Im(z) z1+z2 = z1 + z2 z1− z2 = z1 − z2 z1. z2 = z1. z2 z z 1 = 1 z z Toán 2 2 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 8
9. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: VD1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng đại số 1+ 3 i z = 1+ i Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp 1 − i ta được (1+ 3 i) (1− i) 4 + 2 i z = = =1+ i (1+ i) (1− i) 2 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 9
10. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: VD2: Cho f (z) = z3 − (2 + i) z2 + (2 + i) z − 2i a/ Tính f (i) b/ Giải phương trình f (z) = 0 Giải: a/ Dễ dàng tính được f (i) = 0 b/ z = i là 1 nghiệm của phương trình nên ta phân tích được f (z) = (z − i) (z2 − 2z + 2) = 0 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 10
11. 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: Nhận xét : Phương trình z 2 − 2 z + 2 = 0 có 2 nghiệm là 1 i ở đây ' = −1 = i2 Kết luận : Phương trình f ( z ) = 0 có 3 nghiệm là z = i , z = 1 i Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 11
12. 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: 2. Dạng lượng giác của số phức: a/ Định nghĩa: y z Cho số phức z = a + i b , z 0 b r Gọi r là khoảng cách từ x gốc toạ độ O tới z O a và là góc hợp giữa hướng dương của trục thực với bán kính vectơ của điểm z . Khi đó ta có : z = a + i b = r (cos + i sin ) Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 12
13. 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: • Biểu thức z = r ( cos + i sin ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z Ở đây : r = z = a2 + b2 chính là mođun của số phức z được gọi là acgumen của số phức z , ký hiệu arg (z) b b Ta có : tg = = arctg a a Chú ý : chọn sao cho b và sin cùng dấu Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 13
14. 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: VD : Số phức z = −1− i 2 2 Ta có: z = r = (−1) + (−1) = 2 −1 5 tg = =1 = hoặc = −1 4 4 5 Ta chọn = 4 5 5 Vậy z = −1− i = 2 cos + i sin 4 4 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 14
15. 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: b/ Các phép toán: Cho hai số phức z1 = r1 (cos 1 + i sin 1 ) z2 = r2 (cos 2 + i sin 2 ) r1 = r2 z1 = z2 , k Z 1 = 2 + k2π z1 x z2 = r1.r2 cos ( 1 + 2 ) + i sin ( 1 + 2 ) z r 1 = 1 cos ( − ) + i sin ( − ) 1 2 1 2 , z2 0 z2 r2 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 15
16. 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: Từ các phép toán này ta có thể chứng minh được các công thức sau: r (cos + isin )k = rk (cosk + isink ) ( 1 ) k Z Công thức (1) được gọi là công thức Moivre ei = cos + isin ( 2 ) Công thức (2) được gọi là công thức Euler Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 16
17. 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: Vậy số phức z = r (cos + i sin ) = r ei Biểu thức z = r e i được gọi là dạng mũ của số phức z VD : Tính ( 1+ i) 8 π π Ta có : ( 1+ i) = 2 cos + i sin 4 4 ( 1+ i) 8 = 24 (cos2π + i sin2π) = 24 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 17
18. 3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC: 3. Khai căn của số phức: n Ta giải phương trình z = với z C Giả sử α = r (cos + i sin ) α C Ta đặt z = ρ (cosθ + i sin θ) Khi đó ta có zn = ρn (cos nθ + i sin nθ) = r (cos + i sin ) ρn = r ρ = n r + k2π nθ = + k2π θ = , k Z n Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 18
19. 3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC: Vậy nghiệm của phương trình z n = là n + k2π + k2π ( ) zk = r cos + i sin n n ở đây k = 0 , 1 , , n − 1 là ta có đủ nghiệm của phương trình. Vậy phương trình z n = có đúng n nghiệm cho bởi công thức (*) với k = 0 , 1 , , n − 1 và chúng được gọi là các căn bậc n của số phức Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 19
20. 3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC: VD: Tìm Ta có : 1 = cos 0 + i sin 0 k2π k2π vậy 3 1 = cos0 + i sin 0 = cos + i sin 3 3 với k = 0 , 1 , 2 3 Vậy 1 là ε0 = cos 0 + i sin 0 =1 2π 2π 1 3 ε = cos + i sin = − + i 1 3 3 2 2 4π 4π 1 3 ε = cos + i sin = − − i 2 3 3 2 2 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 20
21. 4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ: 4. Định lý cơ bản của đại số: a/ Định lý: Phương trình bậc n, n Z n n−1 an x + an−1x + + a1x + a0 = 0 (an 0) có đúng n nghiệm kể cả nghiệm thực, nghiệm phức và nghiệm bội của nó. VD: Phương trình bậc 5 3 2 (x −1) . (x +1)= 0 có đúng 5 nghiệm là x = 1 (nghiệm bội 3) và x = i Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 21
22. 4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ: b/ Định lý 2: Cho phương trình bậc n với hệ số thực n n−1 f (x) = an x + an−1x + + a1x + a0 = 0 ai  , i = 0 , 1 , 2 , . . . , n ở đây an 0 Nếu x = α là nghiệm của phương trình thì x = cũng là nghiệm của phương trình này. Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 22
23. 4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ: VD : Giải phương trình z4 + 4z3 +11z2 +14z +10 = 0 Biết phương trình này có 1 nghiệm là z1 = −1+ i Nhận xét : z1 = −1+ i là nghiệm của phương trình vậy z2 = −1− i cũng là nghiệm của phương trình Ta có : (z − z1 ) (z − z2 ) = (z +1− i) (z +1+ i) = z2 + 2z + 2 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 23
24. 4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ: Chia đa thức ta được z4 + 4z3 +11z2 +14z +10 = (z2 + 2z + 2) (z2 + 2z + 5) Ta đi giải phương trình z2 + 2z + 5 = 0 '= 1− 5 = −4 = 4 i2 vậy phương trình này có 2 nghiệm là −1 2 i Kết luận : Phương trình z4 + 4z3 +11z2 +14z +10 = 0 z1 = −1 i có 4 nghiệm là z3 = −1 2 i Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 24
25. PHẦN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 25
26. BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 1: Viết số phức sau dưới dạng đại số 5 − 2 + i 1+ i a/ z = b/ z = 4 − 3 i 1− i BÀI 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác a/ z = −1 b/ z = −2 + 2 i c/ z = − 3 − i Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 26
27. BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 3: Tính căn bậc 2 của số phức sau : 8 +16 i z = ( kết quả biểu diễn i − 2 dưới dạng đại số) BÀI 4: Giải phương trình a/ z2 = z b/ ( 1+ i) z 2 + ( 3 − i) z − 4 + 6 i = 0 c/ 4 z 4 − 24 z3 + 57 z 2 +18 z − 45 = 0 biết z = 3 + i 6 là 1 nghiệm của phương trình này Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 27
28. BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 5: 2 + 3 i 1998 Cho số phức z = . Tính z 3 − 2 i BÀI 6: π i Cho số phức z = e 3 Tìm dạng lượng giác của số phức z +1 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 28
29. PHẦN HƯỚNG DẪN VÀ KẾT QUẢ BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 29
30. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 1: − 2 + i 11 2 a/ z = = − − i 4 − 3 i 25 25 HD: Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp (4 + 3 i) 5 1+ i 5 b/ z = = i = i 1− i HD: Trong dấu ngoặc nhân tử và mẫu với số phức liên hợp ( 1+ i ) Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 30
31. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 2: a/ z = −1 = 1 . (cos π + i sinπ) HD: a = −1 , b = 0 Ta có r = 1 , tg = 0. Chọn = 3 π 3 π b/ z = −2 + 2 i = 2 2 cos + i sin 4 4 HD: a = −2 , b = 2 3 Ta có r = 2 2 , tg = −1. Chọn = 4 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 31
32. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC 7π 7π c/ z = − 3 − i = 2 cos + i sin 6 6 HD: a = − 3 , b= −1 1 Ta có r = 2 , tg = 3 7 Chọn = 6 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 32
33. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 3: ε0 = 3 − i 8 +16 i 3 có 3 giá trị là ε1 = 2 i i − 2 ε2 = − 3 − i 8 +16 i HD: z = 3 = 3 − 8 i = 2 3 − i i − 2 π π z = 2 3 cos − + i sin − 2 2 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 33 a/
34. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 4: a/ z2 = z z = 0 , z = 1 Phương trình này có 4 nghiệm là 1 3 z = − i 2 2 HD: Đặt z = a + i b a = a2 − b2 z2 = z − b = 2ab Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 34
35. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC b/ ( 1+ i ) z 2 + ( 3 − i ) z − 4 + 6 i = 0 z = 1− i Phương trình này có 2 nghiệm là z = −2 + 3 i HD: Δ = 48 −14 i = (7 − i)2 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 35
36. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC c/ 4 z 4 − 24 z3 + 57 z 2 +18 z − 45 = 0 z = 3 i 6 Phương trình này có 4 nghiệm là 3 z = 2 HD:  z − ( 3 + i 6)  z − ( 3 − i 6) = z 2 − 6z +15 4z4 − 24z3 + 57z2 +18z − 45 = (z2 − 6z +15) (4z2 − 3) Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 36
37. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 5: 1998 1998 2 + 3 i z = = −1 3 − 2 i HD: 2 + 3 i (2 + 3 i) (3 + 2 i) = = i 3 − 2 i 13 1998 1998 4 499 2 z = i = ( i ) . i = −1 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 37
38. ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC π i BÀI 6: z = e 3 π π Vậy z +1 = 3 cos + i sin 6 6 π i π π 1 3 HD: z = e 3 = cos + i sin = + i 3 3 2 2 3 3 3 1 π π z +1 = + i = 3 + i = 3 cos + i sin 2 2 2 2 6 6 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 38