Bài giảng Phương trình vi phân

Nội dung text: Bài giảng Phương trình vi phân

1. - GVHD : Lê Ngọc Cường - Lớp HP : 1016FMAT0211
2. Mục lục: v Các dạng phương trình vi phân cấp 1 và ví dụ. • Phương trình vi phân cấp 1 biến số phân li. • Phương trình vi phân có dạng y’= f(x). • Phương trình đẳng cấp cấp 1. • Phương trình tuyến tính cấp 1. • Phương trình Bernoulli. v Các dạng phương trình vi phân cấp 2 và ví dụ. • Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được. • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng. v Ứng dụng của phương trình vi phân. • Mô hình ô nhiễm môi trường.
3. Các khái niệm cơ bản: • Định nghĩa: Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập (hay các biến độc lập) hàm chưa biết và đạo hàm của hàm số đó. • Cấp của phương trình vi phân: là cấp cao nhất của đạo hàm của hàm số có mặt trong phuong trình đó. -Dạng tổng quát của PTVP cấp n với biến độc lập x, biến phụ thuộc y là trong đó không được khuyết . • Nghiệm của phưng trình vi phân: Cho một PTVP cấp n, mọi hàm số, khả biến đến cấp n mà khi thay vào phương trình đó cho ta đồng nhất thức đều gọi là nghiệm của PTVP đó.
4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 1.Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 có dạng : + Dạng tổng quát F(x, y, y’) =0 + Dạng chính tắc y’= f(x) 2. Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm : - Cho PTVP cấp 1:y’=f(x,y) nếu f(x,y) liên tục trên miền mở D với Mo(xo,yo) D tồn tại nghiệm y=f(x) Thỏa mãn yo=y(xo). Nếu f(x)liên tục trên D thì nghiệm đó là duy nhất 3.Điều kiện ban đầu của PTVP: Nếu gọi là điều kiện ban đầu
5. 2.Các loại phương trình vi phân cấp 1 2.1 Phương trình có dạng y’= f (x) Phương pháp giải: tích phân 2 vế ta được 2.2 Phương trình vi phân cấp 1 biến số phân li: a. Dạng: f(x)dx = g(y)dy b. PP: tích phân 2 vế ta được vd: tích phân 2 vế ta được là nghiệm của phương trình.
6. 2.3 Phương trình đẳng cấp cấp 1: a.Dạng (1) cách làm: Đặt Thay y’ vào phương trình (1) ta được vd: gpt Đặt
7. Thay y’ vào phương trình ta được Thay ta có: Trường hợp là nghiệm của (1) .
8. b.Phương trình đưa về phương trình đẳng cấp - Dạng - Cách giải: + Xét định thức + Đặt: Khi đó ta có Đặt .Ta giải giải PT đẳng cấp + Nếu định thức thì Đặt đưa về PT vế phải không chứa
9. Ví dụ: GPT Ta có: Đặt: Khi đó ta có: (*) Đặt:
10. 2.4 Phương trình tuyến tính cấp 1 a. Dạng: (*) Nếu thì phương trình được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất. Nếu thì phương trình (*) được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 không thuần nhất. Nghiệm tổng quát của phương trình b. Cách giải: tuyến tính cấp 1 (*) có dạng:
11. Cách giải: Bước 1: giải pt thuần nhất: ( y=0 không phải nghiệm của phương trình đã cho) Bước 2: Coi D=D(x) thay y’ vào PT: được:
12. Ví dụ: GPT (*) Xét phương trình thuần nhất: Coi D=D(x) Thay y’ vào (*) ta được: (1)
13. 2.5 Phương trình Bernouli a) Dạng (*) b)Cách giải:+, (*) là pt tuyến tính cấp 1 +, (*) có dạng Đây là pt tuyến tính cấp 1 thuần nhất + chia cả 2 vế (*) có dạng Đặt (*) +,y=0 là nghiệm của pt
14. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 1.Định nghĩa Phương trình vi phân cấp 2 tổng quát có dạng: hay Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 là hàm
15. Tìm nghiệm phương trình vi phân cấp 2: thỏa mãn điều kiện đầu: x, a, b các số cho trước 2. Các dạng toán của phương trình vi phân cấp2: a. Dạng - Cách giải :tích phân 2 lần b- Dạng: - Cách giải: Hạ bậc bằng cách đặt
16. 3. Phương trình dạng: a- Dạng: b- Cách giải: Hạ bậc bằng cách đặt -Vd:
17. Vd: giải pt: (1) Đặt (1) Vậỵ phương trình có nghiệm
18. 4.Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 : Phương trình tuyến tính cấp 2 có dạng tổng quát là các hằng số a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng số: (*) Phương trình được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (*).
19. * Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phân biệt Nghiệm tổng quát của ptrinh (*) là: * Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép Nghiệm tổng quát của p trình (*) là: * Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là:
20. b)Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất với hệ số hằng số: Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: là nghiệm tổng quát của phương trình Với thuần nhất: là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất:
21. Cách tìm nghiệm riêng Trường hợp üNếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng: üNếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng: Lúc này: üNếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng: Khi đó:
22. vd: tìm nghiệm tổng quát (1) Nghiệm tổng quát của pt (1) có dạng: Bước 1: Tìm Phương trình đặc trưng có nghiệm kép Bước 2: Tìm Ta có: α=2 là ko là nghiệm của phương trình đặc trưng là nghiệm riêng của (1) Lấy thế vào(1) Vậy nghiệm TQ là:
23. Trường hợp ü Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì ü Nếu α ± iβ là nghiệm của phương trình đặc trưng thì
24. VD1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Bước 1: Tìm Phương trình đặc trưng có nghiệm phức là: Bước 2: Tìm
25. Ta có: là nghiệm của phương trình đặc trưng nên Lấy thế vào phương trình đầu ta tính được Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đầu là:
26. Trường hợp nguyên lí chồng chất nghiệm: là nghiệm riêng của phương trình: Với là nghiệm riêng của phương trình: Khi đó: Là nghiệm của phương trình
27. Phần 3:ứng dụng của phương trình vi phân Mô hình ô nhiễm môi trường • Gọi y là hàm lượng . Hàm lượng tăng theo quy x: lượng mà nhà máy thải ra vào khí quyển luật: (1) : tham số biểu diễn tỉ phần C hấp thụ bởi MTTN •Giả sử thải ra khí quyển tăng theo quy luật: (2) (a,b, β: hằng số dương) β: biểu diễn tỉ phần bị hạn chế bớt do hoạt động chống ô nhiễm của các quốc gia Mô hình này là 1 hệ 2 PTVP cấp 1, ta có biểu diễn chúng dưới dạng PTVP cấp 2.
28. Đạo hàm 2 vế phương trình (1) ta có: (3) Thế (2) vào (3)  Xét phương trình thuần nhất, tìm nghiệm =
29. Nghiệm của phương trình thuần nhất: Sử dụng hệ số bất định : (t) = • nghiệm phương trình • nghiệm kép : = nghiệm của PT :
30. • Nghiệm phức ( ) Nghiệm tổng quát: y(t) = .( 3 trường hợp y(t)= 0 khi ( số âm)