Bài giảng Phương trình vi phân

125 trang phuongnguyen 2520

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương trình vi phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_phuong_trinh_vi_phan.pdf

Nội dung text: Bài giảng Phương trình vi phân

Muïc luïc 1 Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 5 1.1 Môû ñaàu 5 1.1.1 Caùc khaùi nieäm 5 1.1.2 Baøi toaùn Cauchy 7 1.2 Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 7 1.2.1 Phöông phaùp xaáp xæ Picard 7 1.2.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 9 1.3 Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân . . 12 1.3.1 Caùc ñònh nghóa: 12 1.3.2 YÙ nghóa hình hoïc cuûa phöông trình vi phaân: 13 1.4 Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 14 1.4.1 Phöông trình vôùi bieán soá phaân ly: . . . 14 1.4.2 Phöông trình vi phaân thuaàn nhaát: 16 1.4.3 Phöông trình vi phaân toaøn phaàn: 18 1.4.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp I: . 20 1.4.5 Phöông trình Bernoully 22 1.4.6 Phöông trình Darboux . 23 1.4.7 Phöông trình Riccati: . 24 2 Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm 27 2.1 Caùc PTVP chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm daïng ñaëc bieät 27 2.1.1 F chæ phuï thuoäc vaøo y 27 2.1.2 Daïng coù theå giaûi ra ñoái vôùi y hay x: 28 2.1.3 F khoâng phuï thuoäc vaøo y 29 2.2 Tröôøng hôïp toång quaùt − Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange 29 2.2.1 Tham soá hoaù toång quaùt: 29 2.2.2 Phöông trình Clairaut . 31
2 Muïc luïc 2.2.3 Phöông trình Lagrange . 32 2.3 Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I 33 2.3.1 Söï toàn taïi nghieäm kyø dò 33 2.3.2 Tìm nghieäm kyø dò theo p−bieät tuyeán . 34 2.3.3 Tìm nghieäm kyø dò theo C−bieät tuyeán . 36 3 Phöông trình vi phaân caáp cao 39 3.1 Phöông trình vi phaân caáp cao . 39 3.1.1 Caùc khaùi nieäm: 39 3.1.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm: 40 3.1.3 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao giaûi ñöôïc baèng caàu phöông: 40 3.1.4 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao coù theå haï caáp: . . 43 3.1.5 Tích phaân trung gian vaø tích phaân ñaàu: 45 3.2 Lyù thuyeát toång quaùt veà phöông trình vi phaân tuyeán tính. 46 3.3 Ñònh thöùc Wronski - Nghieäm toång quaùt 47 3.3.1 Ñoàng nhaát thöùc Abel . . 50 3.3.2 Phöông phaùp bieán thieân haèng soá tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát . 51 3.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng 53 3.4.1 Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát heä soá haèng 53 3.4.2 Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát: 55 4 Heä phöông trình vi phaân caáp I 61 4.1 Heä phöông trình vi phaân caáp I toång quaùt. . . . 61 4.1.1 Caùc ñònh nghóa: 61 4.1.2 Lieân heä giöõa heä phöông trình vaø phöông trình vi phaân caáp cao: 62 4.1.3 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 63 4.1.4 Caùc phöông phaùp giaûi heä phöông trình vi phaân: 64 4.2 Moät soá ñònh lyù cô baûn cuûa phöông trình vi phaân 67 4.2.1 Söï toàn taïi nghieäm: . . 67 4.2.2 Thaùc trieån nghieäm vaø söï toàn taïi toaøn cuïc: 68 4.3 Heä phöông trình vi phaân tuyeán tính 69 4.3.1 Heä tuyeán tính thuaàn nhaát: 70 4.3.2 Heä PTVP tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát: 72 4.4 Heä PTVP tuyeán tính heä soá haèng soá. 73 4.4.1 Phöông trình ñaëc tröng 73
Muïc luïc 3 4.4.2 Heä nghieäm cô baûn . . 74 5 Phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân 79 5.1 Caùc phöông phaùp giaûi tích giaûi gaàn ñuùng PTVP. 79 5.1.1 Xaáp xæ Picard. 79 5.1.2 Phöông phaùp chuoãi Taylor 81 5.2 Caùc phöông phaùp soá giaûi PTVP. 82 5.2.1 Phöông phaùp chuoãi Taylor 84 5.2.2 Phöông phaùp Euler vaø Euler caûi tieán. . 85 5.2.3 Caùc phöông phaùp Runge−Kutta. 86 5.2.4 Caùc phöông phaùp ña böôùc (multi-step): 89 5.3 Phöông trình vi phaân vaø phaàn meàm tính toaùn MAPLE. 90 5.3.1 Giôùi thieäu chung: . . . 90 5.3.2 Veõ ñöôøng cong tích phaân vaø tröôøng caùc höôùng 91 5.3.3 Giaûi phöông trình vi phaân baèng MAPLE. 91 5.3.4 Giaûi gaàn ñuùng phöông trình vi phaân baèng MAPLE . . . 92 6 Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân 99 6.1 Khaùi nieäm chuoãi luyõ thöøa. . . 99 6.2 Nghieäm cuûa phöông trình vi phaân döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa. . 101 6.2.1 Caùc ví duï. 102 6.2.2 Ñieåm kyø dò cuûa phöông trình vi phaân. . 105 6.3 Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm. 110 6.3.1 Sô löôïc veà khai trieån tieäm caän. 110 6.3.2 Daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm gaàn ñieåm kyø dò khoâng chính qui.111 6.3.3 Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm: 114 6.3.4 Sô löôïc veà phöông phaùp WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) . . 114 A Bieán ñoåi Laplace vaø phöông trình vi phaân. 117 A.1 Bieán ñoåi Laplace. 117 A.2 Giaûi phöông trình vi phaân baèng pheùp bieán ñoåi Laplace: 119 Taøi lieäu tham khaûo 123
4 Muïc luïc
Chöông 1 Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 1.1 Môû ñaàu Trong raát nhieàu lónh vöïc öùng duïng, chuyeån ñoäng cuûa moät heä ñöôïc moâ hình hoaù bôûi caùc phöông trình vi phaân, töùc laø phöông trình coù chöùa caùc ñaïo haøm cuûa aån haøm caàn tìm. Chaúng haïn, trong cô hoïc coå ñieån (ñònh luaät Newton), trong thieân vaên hoïc (söï chuyeån ñoäng cuûa caùc haønh tinh), trong hoaù hoïc (caùc phaûn öùng hoaù hoïc), trong sinh hoïc (söï phaùt trieån cuûa daân soá), trong ñieän töû Trong haàu heát caùc lónh vöïc nhö theá, baøi toaùn chung nhaát laø moâ taû nghieäm cuûa caùc phöông trình naøy (caû veà ñònh tính laãn veà ñònh löôïng). 1.1.1 Caùc khaùi nieäm Phöông trình vi phaân thöôøng laø phöông trình coù daïng F (x, y, y,y, ,y(m))=0 (1.1) trong ñoù y = y(x) laø aån haøm caàn tìm vaø nhaát thieát phaûi coù söï tham gia cuûa ñaïo haøm (ñeán caáp naøo ñoù) cuûa aån. Thoâng thöôøng ta xeùt caùc phöông trình vôùi aån haøm laø haøm soá moät bieán thöïc y = y(x) xaùc ñònh treân khoaûng môû I ⊂ R naøo ñoù; khi ñoù haøm F trong ñaúng thöùc treân xaùc ñònh trong moät taäp môû G cuûa R × Rm+1. Trong tröôøng hôïp aån haøm caàn tìm laø vector-haøm T (haøm vôùi giaù trò vector) y(x)=(y1(x), ,yn(x)) , F laø moät aùnh xaï nhaän giaù trò trong Rn vaø (1.1) ñöôïc hieåu laø heä phöông trình vi phaân. Trong tröôøng hôïp aån haøm caàn tìm laø haøm nhieàu bieán thì phöông trình vi phaân coøn goïi laø phöông trình ñaïo haøm rieâng Ta noùi moät phöông trình vi phaân coù caáp m neáu m laø caáp lôùn nhaát cuûa ñaïo haøm cuûa aån coù maët trong phöông trình. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I coù daïng toång quaùt F (x, y, y)=0 (1.2)
6 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I trong ñoù F (x, y, z) ñöôïc giaû thieát lieân tuïc cuøng vôùi caùc ñaïo haøm rieâng cuûa noù treân mieàn G ⊂ R3. Vôùi moät soá ñieàu kieän naøo ñaáy, phöông trình vi phaân caáp I coù theå vieát ñöôïc döôùi daïng sau, goïi laø daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm y = f(x, y) (1.3) vôùi f lieân tuïc trong moät mieàn D ⊂ R2. Ví duï: Caùc phöông trình 2 ey + y cos x =1 2 y − 2xy =lnx ∂2u ∂2u + =0 ∂x2 ∂y2 laàn löôït laø phöông trình vi phaân thöôøng caáp I, caáp III vaø phöông trình ñaïo haøm rieâng caáp II. Xeùt phöông trình (1.1), haøm giaù trò vector y : I → Rn (I =(a, b) laø khoaûng naøo ñoù cuûa R) laø nghieäm cuûa phöông trình (1.1) neáu noù coù caùc ñaïo haøm lieân tuïc ñeán caáp m treân I vaø thoaû maõn F (x, y(x),y(x),y(x), ,y(m))(x)=0 vôùi moïi x ∈ I (1.4) Trong tröôøng hôïp phöông trình vi phaân caáp I, nghieäm laø moät haøm thöïc moät aån y = y(x) maø khi thay vaøo (1.2), ta ñöôïc moät ñaúng thöùc ñuùng. Ví duï: Deã kieåm tra raèng hoï haøm (phuï thuoäc vaøo hai tham soá tuyø yù) y = C1 cos x + C2 sin x laø nghieäm cuûa phöông trình vi phaân y + y =0 Ví duï:(Saên moài vaø moài) Söï phaùt trieån cuûa hai quaàn theå ñoäng vaät (chaúng haïn, x = x(t) laø soá con meøo vaø y = y(t) laø soá con chuoät) ñöôïc moâ taû bôûi (heä) phöông trình Volterra−Lotka sau ñaây y = y(α − βx),x = x(γy − δ) (1.5) vôùi α, β, γ vaø δ laø nhöõng haèng soá cho tröôùc. Ñeå tìm nghieäm cuûa phöông trình naøy ta coù theå xem y nhö laø haøm theo x, phöông trình coù theå vieát döôùi daïng dy y(α − βx) (γy − δ) (α − βx) = hay dy = dx dx x(γy − δ) y x Nghieäm cuûa phöông trình naøy cho bôûi γy − δ ln y = α ln x − βx + C trong ñoù C laø haèng soá tuyø yù. Hình 1.1 moâ taû caùc ñöôøng möùc cuûa nghieäm khi α = β = γ =1,δ =2.
1.2. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 7 Xz 3 2 1 1234y Hình 1.1: Nghieäm cuûa phöông trình Volterra−Lotka. 1.1.2 Baøi toaùn Cauchy Ta nhaän xeùt raèng noùi chung, nghieäm cuûa moät phöông trình vi phaân phuï thuoäc vaøo moät hay nhieàu tham soá tuyø yù naøo ñoù; noùi caùch khaùc ta coù töøng hoï nghieäm. Ñeå xaùc ñònh nghieäm cuï theå naøo ñoù, noùi chung ta caàn theâm moät hay vaøi ñaëc tröng khaùc veà nghieäm (tuyø theo caáp cuûa phöông trình vi phaân). Chaúng haïn, x3 laø (hoï) nghieäm cuûa y = 3 + C phöông trình 2. Deã thaáy x3 laø nghieäm (duy nhaát) thoaû ñieàu kieän . y = x y = 3 +1 y(0) = 1 Ta xeùt baøi toaùn sau ñaây ñaët ra ñoái vôùi phöông trình (1.2), goïi laø baøi toaùn Cauchy (coøn goïi laø baøi toaùn giaù trò ban ñaàu): Tìm nghieäm y(x) cuûa phöông trình (1.2) thoaû y(x0)=y0 (1.6) trong ñoù (x0,y0) ∈ D ñöôïc goïi laø caùc ñieàu kieän ban ñaàu. Caâu hoûi töï nhieân ñaët ra laø vôùi ñieàu kieän ban ñaàu (1.6), coù hay khoâng vaø bao nhieâu nghieäm thoaû maõn ñieàu kieän naøy. Traû lôøi caâu hoûi naøy töùc laø giaûi baøi toaùn Cauchy ñoái vôùi phöông trình (1.2). Ta löu yù raèng khoâng phaûi luùc naøo baøi toaùn Cauchy cuõng coù nghieäm, vaø khi coù nghieäm cuõng khoâng nhaát thieát coù duy nhaát nghieäm. Trong muïc sau ta seõ phaùt bieåu vaø chöùng minh moät ñònh lyù giaûi quyeát troïn veïn baøi toaùn Cauchy cho phöông trình vi phaân caáp I. 1.2 Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 1.2.1 Phöông phaùp xaáp xæ Picard Ta xeùt baøi toaùn Cauchy ñoái vôùi phöông trình caáp I daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm: y = f(x, y),y(x0)=y0 (1.7)
8 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I trong ñoù f xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân mieàn môû D ⊂ R2. Giaû söû y(x) laø nghieäm cuûa baøi toaùn (1.7), tích phaân hai veá cuûa phöông trình trong (1.7) ta ñöôïc phöông trình tích phaân cho y(x) laø x y(x)=y0 + f(t, y(t))dt (1.8) x0 Roõ raøng moãi nghieäm cuûa (1.7) cuõng laø nghieäm cuûa (1.8) vaø ngöôïc laïi, moãi nghieäm cuûa (1.8) ñeàu khaû vi lieân tuïc (töùc laø thuoäc lôùp C1) treân moät khoaûng I naøo ñoù vaø thoaû phöông trình (1.7). Pheùp laëp Picard−Lindelo¨f. Veà maët toaùn töû, nghieäm cuûa phöông trình tích phaân (1.8) chính laø lôøi giaûi cuûa baøi toaùn ñieåm baát ñoäng cuûa caùc aùnh xaï co trong khoâng gian metric ñaày ñuû (ôû ñaây ta xeùt khoâng gian caùc haøm khaû vi lieân tuïc treân I) maø lôøi giaûi coù theå cho bôûi phöông phaùp xaáp xæ lieân tieáp Picard−Lindelo¨f sau ñaây. Xeùt daõy caùc haøm xaùc ñònh moät caùch ñeä qui bôûi y0(x)=y0 (hay moät haøm naøo ñoù) x k+1 0 k vôùi ∈ N y (x)=y + x0 f(t, y (t))dt, k Boå ñeà 1.2.1. Giaû söû f lieân tuïc treân hình chöõ nhaät D = {(x, y)/|x − x0|≤a, |y − y0|≤b} b Ñaët M := max(x,y)∈D |f(x, y)| vaø h := min a, . Khi ñoù vôùi moïi x ∈ I := [x0 − M h, x0 + h] ta coù |yk(x) − y0|≤b, vôùi moïik Noùi caùch khaùc, caùc haøm yk khoâng ñi ra khoûi hình chöõ nhaät D. Chöùng minh: Ta coù, vôùi x0 − h ≤ x ≤ x0 + h: x x |yk − y0| = f(t, yk−1(t))dt ≤ |f(t, yk−1(t))| dt ≤ M |x − x0|≤Mh ≤ b x0 x0 Ví duï: Xeùt phöông trình y = −y2, vôùi y(0) = 1. Nghieäm chính xaùc cuûa noù laø 1 y = . Vaøi xaáp xæ ñaàu tieân trong pheùp laëp Picard-Lindelo¨f laø y0 =1, y1 =1− x, x +1 3 2 x y2 =1− x + x − (xem Hình 1.2). Ta nhaän thaáy caùc xaáp xæ yk hoäi tuï nhanh khi x 3 beù, vôùi caùc giaù trò x lôùn pheùp laëp laø phaân kyø.
1.2. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 9 Y (x) 0 Y2 (x) Y4 (x) Y1 (x) Y (x) 3 1234 Hình 1.2: Pheùp laëp Picard−Lindelof cho phöông trình y = −y2, vôùi y(0) = 1 1.2.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm Trong phaàn naøy ta seõ phaùt bieåu vaø chöùng minh ñònh lyù cô baûn cuûa lyù thuyeát phöông trình vi phaân, khaúng ñònh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy. Ñònh nghóa 1.2.1. Cho haøm f(x, y) xaùc ñònh treân mieàn D ⊂ R2. Ta noùi f thoaû ñieàu kieän Lipschitz treân D theo bieán y neáu toàn taïi haèng soá döông L (goïi laø haèng soá Lipschitz) sao cho: |f(x, y1) − f(x, y2)|≤L |y1 − y2| , vôùi moïi (x, y1), (x, y2) ∈ D Nhaän xeùt: Ñieàu kieän Lipschitz laø yeáu hôn so vôùi ñieàu kieän giôùi noäi cuûa ñaïo haøm ∂f ∂f ∂f rieâng treân D. Thaät vaäy, giaû söû lieân tuïc vaø ≤ M. Khi ñoù, aùp duïng ñònh ∂y ∂y ∂y lyù Lagrange cho haøm f(x, y) theo bieán y ta ñöôïc ∂f f(x, y1) − f(x, y2)=(y1 − y2) [x, y1 + θ(y2 − y1)] ∂y Töø ñoù suy ra ñieàu kieän Lipschitz. Ñònh lyù 1.2.2 (Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm). Giaû söû haøm soá f(x, y) trong (1.3) lieân tuïc vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz theo bieán y treân hình chöõ nhaät D = {(x, y)/ |x − x0|≤a, |y − y0|≤b} Khi ñoù nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy (1.7) laø toàn taïi vaø duy nhaát trong ñoaïn I := − , vôùi b vaø | |. [x0 h, x0 + h] h := min(a, M ) M := max(x,y)∈D f(x, y) Chöùng minh: Chöùng minh chia laøm hai böôùc:
10 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I Söï toàn taïi: Ta chöùng minh raèng pheùp laëp Picard hoäi tuï ñeàu treân I ñeán moät nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy. Tröôùc tieân ta chöùng minh, baèng qui naïp raèng k+1 k |x − x0| |yk+1(x) − yk(x)|≤ML , vôùi moïi x ∈ I (k +1)! x Vôùi , baát ñaúng thöùc treân chính laø k−1 ≤ | − 0|, baát ñaúng thöùc k =0 x0 f(t, y (t))dt M x x naøy ñuùng. Giaû söû ta coù ñieàu ñoù vôùi k − 1, khi ñoù vôùi x0 ≤ x ≤ x0 + h ta coù x |yk+1(x) − yk(x)| = [f(t, yk(t)) − f(t, yk−1(t))] dt x0 x x ≤ |f(t, yk(t)) − f(t, yk−1(t))| dt ≤ L |yk(t) − yk−1(t)| dt x0 x0 x ≤ L |yk(t) − yk−1(t)| dt x0 x k k+1 |x − x0| |x − x0| ≤ MLk dt = MLk x0 k! (k +1)! (vôùi x0 − h ≤ x ≤ x0 ta ñaùnh giaù töông töï). Xeùt daõy haøm {yk(x)} treân I, ta coù |yk+p(x) − yk(x)|≤|yk+p(x) − yk+p−1(x)| + |yk+p−1(x) − yk+p−2(x)| + ···+ |yk+1(x) − yk(x)| k+p k+1 M (L |x − x0|) (L |x − x0|) ≤ + ···+ L (k + p)! (k +1)! j ≤ M (Lh) L j≥k+1 j! j Chuoåi soá ∞ (Lh) laø hoäi tuï, neân phaàn dö cuûa noù maø xuaát hieän trong bieåu thöùc cuoái j=0 j! cuøng coù theå laøm cho beù tuyø yù khi k ñuû lôùn. Theo tieâu chuaån Cauchy, daõy {yk(x)} hoäi tuï ñeàu treân I ñeán haøm y(x). Ñeå chöùng minh y(x) laø nghieäm chæ caàn qua giôùi haïn trong ñaúng thöùc x yk+1(x)=y0 + f(t, yk(t))dt x0 Vì daõy haøm {yk(x)} hoäi tuï ñeàu, f lieân tuïc (ñeàu) treân hình chöõ nhaät D neân daõy haøm {f(t, yk(t))} hoäi tuï ñeàu treân I ñeán haøm f(t, y(t)). Do ñoù coù theå chuyeån giôùi haïn qua daáu tích phaân ñeå ñöôïc ñaúng thöùc (1.8). Vaäy y(x) chính laø nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy (1.7).
1.2. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 11 Tính duy nhaát: Giaû söû baøi toaùn Cauchy (1.7) coøn coù nghieäm z(x), khi ñoù ta coù x y(x) − z(x)= [f(t, y(t)) − f(t, z(t))] dt x0 Suy ra x |y(x) − z(x)| = [f(t, y(t)) − f(t, z(t))] dt ≤ 2M |x − x0| x0 Laëp laïi caùc böôùc qui naïp nhö treân, ta deã daøng chöùng minh ñöôïc raèng vôùi moïi soá töï nhieân k: k+1 |x − x0| |y(x) − z(x)|≤2MLk , vôùi moïi x ∈ I (k +1)! Cho k −→ +∞ ta coù |y(x) − z(x)| =0treân I. Nhö vaäy, moät caùch ñòa phöông, nghieäm y(x) laø duy nhaát. Nhaän xeùt: Ñieàu kieän Lipschitz laø quan troïng, ngay caû khi f(x, y) lieân tuïc treân R2. Chaúng haïn xeùt phöông trình y =2 |y|,y(0) = 0 Ta thaáy ngay y ≡ 0 laø moät nghieäm. Ngoaøi ra coøn coù voâ soá nghieäm khaùc (xem hình 1.3) laø (x − C)2 neáu x ≥ C 0 neáu x ≥ C y(x)= vaø y(x)= 0 neáu x ≤ C −(x − C)2 neáu x ≤ C Noùi caùch khaùc, tính duy nhaát nghieäm bò vi phaïm. Nhaän xeùt: Thöïc chaát chöùng minh laø duøng nguyeân lyù aùnh xaï co trong caùc khoâng gian metric ñuû. Ñònh nghóa 1.2.2. Cho khoâng gian metric E vôùi metric d. AÙnh xaï T : E → E ñöôïc goïi laø aùnh xaï co neáu toàn taïi soá α ∈ (0, 1) sao cho vôùi moïi caëp phaàn töû x, y ∈ E ta ñeàu coù d(Tx,Ty) ≤ αd(x, y) Ñònh lyù 1.2.3 (Nguyeân lyù aùnh xaï co). Moïi aùnh xaï co T trong khoâng gian metric ñuû ñeàu coù duy nhaát moät ñieåm baát ñoäng. Töùc laø ñieåm x∗ ∈ E sao cho T (x∗)=x∗
12 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 1 -3 -2 -1 123 -1 Hình 1.3: Nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy y =2 |y|,y(0) = 0 1.3 Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân 1.3.1 Caùc ñònh nghóa: Veà maët hình hoïc, baøi toaùn Cauchy cho phöông trình vi phaân caáp I coù theå hieåu laø tìm nghieäm y = y(x) cuûa (1.3) maø ñoà thò cuûa haøm soá y = y(x) (coøn goïi laø ñöôøng cong tích phaân cuûa phöông trình vi phaân) ñi qua ñieåm (x0,y0). Noùi caùch khaùc, baøi toaùn Cauchy laø tìm ñöôøng cong tích phaân cuûa phöông trình (1.3) ñi qua ñieåm (x0,y0) ∈ D cho tröôùc. Ñònh nghóa 1.3.1. Giaû söû D ⊂ R2 sao cho veá phaûi cuûa phöông trình (1.3) xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân D. Haøm soá y = y(x, C) phuï thuoäc lieân tuïc vaøo haèng soá C ñöôïc goïi laø nghieäm toång quaùt cuûa (1.3) neáu: a) Vôùi moãi ñieàu kieän ban ñaàu (x0,y0) ∈ D ta luoân giaûi ñöôïc C döôùi daïng C = ϕ(x0,y0)(∗) trong ñoù ϕ laø haøm lieân tuïc. b) Haøm y = y(x, C) thoaû maõn phöông trình (1.3) vôùi moãi giaù trò cuûa C cho bôûi (∗) khi (x0,y0) chaïy khaép D. Khi ñoù heä thöùc ϕ(x, y)=C (hoaëc chính haøm ϕ(x, y)) ñöôïc goïi laø tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình (1.3). Ví duï: Phöông trình y + y =0coù nghieäm toång quaùt laø y(x)=Ce−x vôùi C laø haèng soá tuyø yù. Ñònh nghóa 1.3.2. • Nghieäm cuûa phöông trình (1.3) maø taïi moãi ñieåm cuûa noù tính chaát duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy ñöôïc thoaû maõn ñöôïc goïi laø nghieäm rieâng. • Nghieäm cuûa phöông trình (1.3) maø taïi moãi ñieåm cuûa noù tính chaát duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy bò vi phaïm ñöôïc goïi laø nghieäm kyø dò.
1.3. Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân 13 Nhaän xeùt: Töø ñònh nghóa nghieäm toång quaùt, ta suy ra raèng vôùi moãi ñieàu kieän ban ñaàu (x0,y0) ∈ D, ta luoân tìm ñöôïc C0 = ϕ(x0,y0) sao cho y = y(x, C0) laø nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy töông öùng. Noùi caùch khaùc, baèng caùch choïn caùc giaù trò thích hôïp cho haèng soá, ta coù theå thu ñöôïc caùc nghieäm rieâng tuyø yù cuûa phöông trình, khoâng keå caùc nghieäm kyø dò. Giaûi (hay coøn goïi laø tích phaân) moät phöông trình vi phaân laø tìm taát caû caùc nghieäm (bieåu thöùc nghieäm toång quaùt) cuûa phöông trình ñoù hoaëc nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu cho tröôùc. Ví duï: Tìm nghieäm rieâng y(x) cuûa phöông trình y =3y + x thoaû ñieàu kieän y(0) = 1. x 1 Ta deã kieåm tra raèng nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø y = − − +Ce3x. 3 9 Ñeå tìm nghieäm rieâng thoaû ñieàu kieän nhö treân ta chæ caàn thay caùc giaù trò ban ñaàu vaø tính C. 1 1=y(0) = − + Ce0 9 10 x 1 10 Suy ra C = , nghieäm caàn tìm laø y = − − + e3x. 9 3 9 9 1.3.2 YÙ nghóa hình hoïc cuûa phöông trình vi phaân: Xeùt phöông trình vi phaân (1.3), vôùi f(x, y) lieân tuïc treân mieàn môû trong R2. Taïi moãi ñieåm M(x, y) thuoäc mieàn naøy, ta gaùn cho noù moät höôùng vôùi heä soá goùc laø dy k = = f(x, y) dx Khi ñoù ta thu ñöôïc moät tröôøng caùc höôùng xaùc ñònh bôûi (1.3), vaø dó nhieân höôùng cuûa tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong taïi moãi ñieåm truøng vôùi höôùng cuûa tröôøng taïi ñieåm ñoù. Giaûi moät phöông trình vi phaân daïng (1.3) veà maët hình hoïc laø tìm taát caû caùc ñöôøng cong sao cho taïi moãi ñieåm cuûa noù höôùng cuûa tieáp tuyeán truøng vôùi höôùng cuûa tröôøng. Ngöôïc laïi, cho tröôùc hoï ñöôøng cong y = ϕ(x, C)(∗) phuï thuoäc vaøo tham soá C sao cho qua moãi ñieåm chæ coù duy nhaát moät ñöôøng cong cuûa hoï ñi qua. Ta seõ laäp phöông trình vi phaân nhaän hoï ñöôøng cong naøy laøm nghieäm toång quaùt nhö sau. Ñaïo haøm hai veá cuûa phöông trình treân theo x, ta ñöôïc dy ∂ϕ = (x, C) dx ∂x Töø phöông trình (∗), vôùi moãi (x, y) ta luoân tìm ñöôïc duy nhaát giaù trò C = C(x, y). Thay C vaøo ñaúng thöùc treân ta nhaän ñöôïc ∂ϕ y = (x, C(x, y)) =: f(x, y) ∂x
14 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 2 y(x) 1 –3 –2 –1 1x 2 3 –1 –2 –3 y Hình 1.4: Tröôøng höôùng cuûa phöông trình y = − x vaø ñaây laø phöông trình vi phaân caàn tìm. Ví duï: Tìm phöông trình vi phaân cuûa hoï ñöôøng cong sau: y = Cx2 Ñaïo haøm hai veá theo x ta ñöôïc y =2Cx. Khöû C ta thu ñöôïc phöông trình vi phaân: y y =2 x 1.4 Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I Trong baøi naøy ta seõ giôùi thieäu moät soá daïng phöông trình vi phaân caáp I maø coù theå tích phaân ñöôïc theo nghóa coù theå vieát bieåu thöùc cuûa nghieäm toång quaùt döôùi daïng töôøng minh hoaëc phuï thuoäc tham soá. Löu yù raèng ta khoâng coù phöông phaùp giaûi toång quaùt cho phöông trình vi phaân, thaäm chí caáp I. 1.4.1 Phöông trình vôùi bieán soá phaân ly: Phöông trình vi phaân caáp I daïng M(x)dx + N(y)dy =0 (1.9) ñöôïc goïi laø phöông trình vôùi bieán soá phaân ly (hay coøn goïi phöông trình taùch bieán).
1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 15 Caùch giaûi: Caùc haøm M(x),N(y) ñöôïc giaû thieát lieân tuïc treân caùc khoaûng naøo ñoù. Khi ñoù chæ caàn tích phaân hai veá cuûa (1.9) ta thu ñöôïc tích phaân toång quaùt cuûa noù laø M(x)dx + N(y)dy = C Ví duï: Giaûi phöông trình y2y = x(1 + x2). Phöông trình naøy coù daïng taùch bieán y2dy − x(1 + x2)dx =0 Tích phaân hai veá ta thu ñöôïc nghieäm toång quaùt laø: y3 x2 x4 − − = C 3 2 4 Nhaän xeùt: Phöông trình daïng M1(x)N1(y)dx + M2(x)N2(y)dy (1.10) cuõng ñöa ñöôïc veà daïng (1.9) vôùi bieán soá phaân ly, baèng caùch chia hai veá cho M2(x)N1(y) (vôùi giaû thieát bieåu thöùc naøy khaùc 0) M1(x) N2(y) dx + dy =0 M2(x) N1(y) Do ñoù tích phaân toång quaùt laø M1(x) N2(y) dx + dy = C M2(x) N1(y) Ví duï: Giaûi phöông trình x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy =0 Chia hai veá cho (1 + x2)(1 + y2) ta ñöôïc xdx ydy + =0 1+x2 1+y2 Tích phaân hai veá ta ñöôïc xdx ydy + = C 1+x2 1+y2 töùc laø 1 2 1 2 1 ln(1 + x )+ ln(1 + y )=C := ln C1 2 2 2 2 2 Vaäy tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø (1 + x )(1 + y )=C1 trong ñoù C1 laø haèng soá tuyø yù.
16 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 1.4.2 Phöông trình vi phaân thuaàn nhaát: Haøm soá f(x, y) ñöôïc goïi laø thuaàn nhaát baäc m neáu vôùi moïi t>0 ta coù f(tx, ty)=tmf(x, y) Phöông trình vi phaân y = f(x, y) ñöôïc goïi laø thuaàn nhaát (hay coøn goïi ñaúng caáp) neáu haøm soá ôû veá phaûi laø haøm thuaàn nhaát baäc 0, töùc laø f(tx, ty)=f(x, y) vôùi moïi t>0. y y Nhaän xeùt: Neáu ñaët u := ta coù f(x, y)=f(±|x| , |x| )=f(±1, ±u)=:g(u). x |x| Caùch giaûi: dy du Ñaët y = xu,tacoù = x + u. Töø ñoù dx dx du x + u = g(u) dx hoaëc döôùi daïng taùch bieán du dx = g(u) − u x Tích phaân hai veá ta ñöôïc du x =ln g(u) − u C hay du x = C exp vôùi C =0 g(u) − u y Thay u = vaøo bieåu thöùc treân ta tìm ñöôïc tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn x nhaát. Ví duï: Giaûi phöông trình (x2 + y2)dx + xydy =0 Ta coù theå vieát phöông trình ñaõ cho döôùi daïng dy y x = − − dx x y Veá phaûi cuûa phöông trình naøy laø haøm thuaàn nhaát. du 1 Ñaët y = xu ta coù x + u + u + =0, hay töông ñöông vôùi dx u dx udu = − x 1+2u2 Tích phaân phöông trình naøy ta ñöôïc x 1 ln = − ln(1 + 2u2) C 4
1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 17 y Thay u = vaøo ñaúng thöùc naøy ta ñöôïc nghieäm x C4x2 x4 = x2 +2y2 vôùi C =0 . Phöông trình ñöa veà thuaàn nhaát: Caùc phöông trình daïng dy ax + by + c = f( ) dx a1x + b1y + c1 coù theå ñöa veà daïng thuaàn nhaát baèng pheùp bieán ñoåi x = ξ + x0 y = η + y0 trong ñoù x0 vaø y0 ñöôïc choïn sao cho: ax0 + by0 + c =0 a1x0 + b1y0 + c1 =0 Khi ñoù dη aξ + bη = f dξ a1ξ + b1η η a + b ξ η = f η = g a1 + b1 ξ ξ vaø ñaây chính laø phöông trình daïng thuaàn nhaát. Ví duï: Giaûi phöông trình (2x − 4y +6)dx +(x + y − 3)dy =0. Tröôùc heát ta xeùt heä phöông trình sau 2x0 − 4y0 +6=0 x0 + y0 − 3=0 Heä naøy coù nghieäm laø x0 =1,y0 =2. Tieáp ñeán ta thöïc hieän pheùp ñoåi bieán x = ξ +1 y = η +2 Khi ñoù phöông trình ñaõ cho ñöôïc bieán ñoåi thaønh phöông trình thuaàn nhaát: (2ξ − 4η)dξ +(ξ + η)dη =0 Ñeå giaûi phöông trình naøy ta ñaët η = uξ thì thu ñöôïc (2 − 3u + u2)dξ + ξ(1 + u)du =0
18 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I Phöông trình naøy chaáp nhaän nghieäm u =1vaø u =2. Ñeå tìm nghieäm toång quaùt ta chia 2 veá cho 2 − 3u + u2: dξ (1 + u)du + − 2 =0 ξ 2 3u + u dξ 3 2 ⇔ + − du =0 ξ u − 2 u − 1 Tích phaân 2 veá ta ñöôïc 3 |u − 2| ln |ξ| +ln =lnC1 (u − 1)2 (u − 2)3 hay ξ = C (u − 1)2 Trôû laïi bieán x, y ban ñaàu ta coù nghieäm toång quaùt (y − 2x)3 = C(y − x − 1)2 cuøng vôùi hai nghieäm y = x +1vaø y =2x töông öùng vôùi u =1vaø u =2. 1.4.3 Phöông trình vi phaân toaøn phaàn: Phöông trình vi phaân daïng P (x, y)dx + Q(x, y)dy =0 (1.11) ñöôïc goïi laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn neáu veá traùi cuûa noù laø vi phaân toaøn phaàn cuûa haøm naøo ñoù, töùc laø toàn taïi haøm U(x, y) sao cho dU(x, y)=P (x, y)dx + Q(x, y)dy Khi ñoù tích phaân toång quaùt cuûa (1.11) cho bôûi U(x, y)=C Nhaän xeùt: Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå phöông trình (1.11) laø phöông trình vi phaân toaøn phaân laø ∂P ∂Q = ∂y ∂x Vaø khi ñoù haøm U(x, y) coù theå tìm döôùi daïng: x y U(x, y)= P (x, y)dx + Q(x0,y)dy x0 y0 x y (1.12) hay U(x, y)= P (x, y0)dx + Q(x, y)dy x0 y0
1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 19 trong ñoù (x0,y0) laø moät ñieåm naøo ñoù sao cho caùc tích phaân treân toàn taïi. Ví duï: Giaûi phöông trình (x3 + xy2)dx +(x2y + y3)dy =0. Ta coù P (x, y)=x3 + xy2 vaø Q(x, y)=x2y + y3 neân ∂P ∂Q =2xy = ∂y ∂x Heä thöùc naøy chöùng toû raèng phöông trình ñaõ cho laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn vôùi haøm U(x, y) coù theå choïn laø x y U(x, y)= (x3 + xy2)dx + (0.y + y3)dy 0 0 x4 x2y2 y4 hay U(x, y)= + + 4 2 4 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø 2 2 2 2 (x + y ) =4C1 := C hay x2 + y2 = C vôùi C ≥ 0 Thöøa soá tích phaân: Coù nhöõng tröôøng hôïp phöông trình (1.11) chöa phaûi laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn, nhöng coù theå tìm ñöôïc haøm soá µ(x, y) sao cho phöông trình sau trôû thaønh phöông trình vi phaân toaøn phaàn: µ(x, y){P (x, y)dx + Q(x, y)dy} =0 Haøm µ(x, y) nhö theá ñöôïc goïi laø thöøa soá tích phaân cuûa phöông trình (1.11). Ñieàu kieän ñeå µ laø thöøa soá tích phaân laø µ phaûi thoaû maõn phöông trình: ∂ ∂ (µP )= (µQ) ∂y ∂x Hay töông ñöông ∂µ ∂µ ∂P ∂Q Q − P = µ − (∗) ∂x ∂y ∂y ∂x Khoâng coù phöông phaùp toång quaùt ñeå giaûi phöông trình ñaïo haøm rieâng naøy. Tuy nhieân trong moät vaøi tröôøng hôïp ñaëc bieät ta coù theå tìm ñöôïc µ. Tröôøng hôïp I: µ chæ phuï thuoäc vaøo x. Giaû söû µ>0, khi ñoù chia hai veá cuûa (∗) cho µ, ta ñöôïc ∂P − ∂Q d ln µ ∂y ∂x = =: ϕ dx Q
20 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I Vaäy tröôøng hôïp naøy chæ thoaû maõn khi veá phaûi cuûa ñaúng thöùc treân khoâng phuï thuoäc vaøo y. Vôùi ñieàu kieän naøy, thöøa soá tích phaân cho bôûi: µ(x)=exp ϕ(x)dx Tröôøng hôïp II: µ chæ phuï thuoäc vaøo y. Laøm töông töï nhö treân, thöøa soá tích phaân cho bôûi: µ(y)=exp ψ(y)dy ∂Q − ∂P ∂x ∂y trong ñoù ψ(y):= ñöôïc giaû thieát khoâng phuï thuoäc vaøo x. P Ví duï: Tìm thöøa soá tích phaân roài giaûi phöông trình (2xy+x2y+y3/3)dx+(x2 +y2)dy = 0. Ta coù P (x, y)=2xy + x2y + y3/3 vaø Q(x, y)=x2 + y2 neân ∂P − ∂Q 2 2 ∂y ∂x 2x + x + y − 2x = =1 Q x2 + y2 Do ñoù coù theå choïn µ(x)=exp( dx)=ex ñeå cho phöông trình ex[(2xy + x2y + y3/3)dx +(x2 + y2)dy]=0 laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn. Tích phaân phöông trình naøy theo coâng thöùc (1.12) ta ñöôïc tích phaân toång quaùt yex(x2 + y2/3) = C 1.4.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp I: Trong muïc naøy ta xeùt lôùp caùc phöông trình vi phaân maø bieåu thöùc laø tuyeán tính ñoái vôùi aån vaø ñaïo haøm cuûa noù. Caùc phöông trình nhö theá ñöôïc goïi laø phöông trình vi phaân tuyeán tính. Daïng toång quaùt cuûa PTVP tuyeán tính laø y + p(x)y = q(x) (1.13) trong ñoù p(x),q(x) laø caùc haøm lieân tuïc treân khoaûng (a, b) naøo ñoù. Neáu q(x) ≡ 0, ta coù PTVP tuyeán tính thuaàn nhaát: y + p(x)y =0 (1.14) Caùch giaûi: Ta coù theå tìm nghieäm y cuûa (1.13) döôùi daïng tích y = u(x)v(x) (phöông phaùp Bernoully). Thay vaøo phöông trình (1.13) ta ñöôïc uv + uv + p(x)uv = q(x) (1.15)
1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 21 Ta choïn haøm v sao cho v + p(x)v =0 (1.16) töùc laø giaûi phöông trình thuaàn nhaát töông öùng (1.14). Phöông trình naøy coù theå vieát döôùi daïng taùch bieán dv = −p(x)dx v Tích phaân hai veá ta ñöôïc ln |v| = − p(x)dx +ln|C1| , vôùi C1 =0 hay |v| = |C1| exp − p(x)dx Dó nhieân v =0cuõng laø nghieäm cuûa (1.14), neân nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát laø v(x)=Ce− p(x)dx (1.17) Baây giôø coù theå laáy v(x)=e− p(x)dx, khi ñoù phöông trình (3.3.3) trôû thaønh uv = f(x) Töø ñoù ta coù q(x) u = dx + C v(x) Thay bieåu thöùc cuûa u, v vaøo y ta thu ñöôïc nghieäm toång quaùt cuûa (1.13) laø y = e− p(x)dx q(x)e p(x)dxdx + C (1.18) trong ñoù C laø haèng soá tuyø yù. Ví duï: Tìm nghieäm cuûa phöông trình vi phaân y +3xy = x ñi qua ñieåm (0, 4). Ta coù p(x)=3x neân p(x)dx =3x2/2. Do ñoù nghieäm toång quaùt laø 2 2 y = e−3x /2 xe3x /2dx + C 2 1 2 1 2 = e−3x /2 e3x /2 + C = + Ce−3x /2 3 3 11 Thay x =0vaø y =4vaøo ñaúng thöùc treân, ta tìm ñöôïc C = vaø nghieäm rieâng caàn tìm 3 laø: 1 11 2 y = + e−3x /2 3 3
22 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 1.4.5 Phöông trình Bernoully Phöông trình coù daïng y + p(x)y = yαg(x) (1.19) trong ñoù α laø soá thöïc naøo ñoù, ñöôïc goïi laø phöông trình Bernoully1. Ñeå giaûi phöông trình naøy ta ñöa veà giaûi phöông trình tuyeán tính (1.13) ñaõ xeùt trong muïc tröôùc. Roõ raøng vôùi α =0hay α =1thì (1.19) ñaõ coù daïng phöông trình tuyeán tính. Neáu α =0 vaø α =1 thì ñaët z = y1−α Khi ñoù z =(1− α)y−αy Chia hai veá cuûa (1.19) cho y−α, roài thay bieåu thöùc cuûa z vaø z vaøo ñaúng thöùc ñoù ta ñöôïc phöông trình vi phaân tuyeán tính theo z: z +(1− α)p(x)z =(1− α)g(x) (1.20) Nhaän xeùt: Chuù yù raèng ta phaûi xeùt rieâng tröôøng hôïp y =0tröôùc khi chia hai veá cho yα ñeå traùnh laøm maát nghieäm naøy. √ Ví duï: Giaûi phöông trình xy − 4y = x2 y Roõ raøng ñaây laø phöông trình Bernoully vôùi α =1/2 vaø y =0laø moät nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. Giaû söû y =0 , chia hai veá cho xy1/2 ta ñöôïc −1/2 4 1 y y − y 2 = x x 1 1 −1/2 Ñaët z = y 2 ta ñöôïc z = y y . Thay vaøo phöông trình ñaõ cho, ta coù 2 2 x z − z = x 2 AÙp duïng coâng thöùc nghieäm toång quaùt (1.18), ta tìm ñöôïc nghieäm laø 1 z = x2 ln |x| + C 2 Do ñoù phöông trình ñaõ cho coù nghieäm toång quaùt laø 2 1 y = x4 ln |x| + C 2 vaø nghieäm y =0. 1I.Bernoully (1667 1746) laø nhaø toaùn hoïc Thuïy só.
1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 23 1.4.6 Phöông trình Darboux Phöông trình Darboux2 laø phöông trình vi phaân daïng A(x, y)dx + B(x, y)dy + H(x, y)(xdy − ydx)=0 (1.21) trong ñoù A, B laø caùc haøm thuaàn nhaát baäc m vaø H laø haøm thuaàn nhaát baäc nù. Chuù yù raèng neáu n = m − 1 thì phöông trình Darboux chính laø phöông trình thuaàn nhaát. Trong tröôøng hôïp toång quaùt, ta luoân luoân ñöa phöông trình Darboux veà phöông trình Bernoully. Thaät vaäy, ñaët y = z.x, ta coù y dy = xdz + zdx, xdy − ydx = x2d = x2dz x Do ñoù phöông trình (1.21) coù theå vieát laïi daïng y y y y xmA(1, )dx + xmB(1, )dy + xnH(1, )x2d =0 x x x x Hay, sau khi chia 2 veá cho xm vaø thu goïn, ta coù [A(1,z)+zB(1,z)] dx + xB(1,z)+H(1,z)xn+2−m dz =0 Vôùi giaû thieát xB(1,z)+H(1,z)xn+2−m =0 , ta coù theå vieát phöông trình cuoái cuøng döôùi daïng dx B(1,z) H(1,z) + x = − xn+2−m dz A(1,z)+zB(1,z) A(1,z)+zB(1,z) Ñaây laø phöông trình Bernoully cuûa aån x = x(z) xem nhö haøm theo z. Ví duï: Giaûi phöông trình xdx + ydy + x2(xdy − ydx)=0 Ñaây laø phöông trình Darboux, ñaët y = xz ta ñöôïc xdx + xz(xdz + zdx)+x4dz =0 hay (1 + z2)dx +(xz + x3)dz =0 Töø ñoù ta coù dx z 1 + x = − x3 dz 1+z2 1+z2 Ñaây laø phöông trình Bernoully, giaûi phöông trình naøy (sau khi ñöa veà phöông trình tuyeán tính baäc I) ta ñöôïc nghieäm laø 1 = C(1 + z2)+(1+z2) arctan z + z x2 Trôû laïi bieán ban ñaàu, ta coù nghieäm toång quaùt cho bôûi y C(x2 + y2)+(x2 + y2) arctan + xy − 1=0 x vôùi C laø haèng soá tuyø yù. 2J.G.Darboux (1842−1917) laø nhaø toaùn hoïc Phaùp
24 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 1.4.7 Phöông trình Riccati: Phöông trình Riccati3 toång quaùt laø phöông trình vi phaân daïng y = p(x)y2 + q(x)y + r(x) (1.22) trong ñoù p(x),q(x) vaø r(x) laø caùc haøm lieân tuïc treân khoaûng (a, b) naøo ñoù. Nhaän xeùt: Phöông trình Riccati khoâng phaûi bao giôø cuõng giaûi ñöôïc baèng pheùp caàu phöông (töùc laø coù theå bieåu dieãn nghieäm döôùi daïng höõu haïn caùc pheùp laáy tích phaân cuûa caùc haøm töôøng minh naøo ñoù!). Trong vaøi tröôøng hôïp ñaëc bieät nhö p(x) ≡ 0 hay r(x) ≡ 0 ta ñöa veà phöông trình tuyeán tính hoaëc phöông trình Bernoully. Tuy nhieân ta coù keát quaû sau cho pheùp tích phaân phöông trình Riccati neáu bieát moät nghieäm naøo ñoù cuûa noù. Meänh ñeà 1.4.1. Neáu bieát moät nghieäm cuûa phöông trình Riccati (1.22) thì coù theå ñöa noù veà phöông trình Bernoully. Chöùng minh: Goïi moät nghieäm cuûa (1.22) laø y˜, töùc laø y˜ = p(x)˜y2 + q(x)˜y + r(x) Ta ñaët y =˜y + z, trong ñoù z laø aån môùi. Thay vaøo phöông trình (1.22) ta ñöôïc y˜ + z = p(x)˜y2 +2p(x)˜yz + p(x)z2 + q(x)˜y + q(x)z + r(x) Töø ñoù suy ra z − [2p(x)˜y + q(x)]z = p(x)z2 vaø ñaây laø phöông trình Bernoully. Ví duï: Giaûi phöông trình y +2y(y − x)=1 Ñaây laø phöông trình Riccati. Deã thaáy y = x laø moät nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. Baây giôø, ñaët y = x + z ta ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng z +2z(z + x)=0 Ñaây laø phöông trình Bernoully vôùi α =2. Ñaët u = z−1 ta ñöôïc u − 2xu =2 Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình naøy theo (1.18) laø 2 2 u = ex 2e−x dx + C Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø 2 e−x y = x + , vaø y = x C +2 e−x2 dx 3J.F.Riccati (1676−1754) laø nhaø toaùn hoïc YÙ
1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 25 BAØI TAÄP 1. Giaûi caùc phöông trình vi phaân taùch bieán: (a) (xy2 +4x)dx +(y + x2y)dy =0 (b) 2x 1 − y2 + yy =0 (c) y = ex+y x2y − y (d) y = y +1 2. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình vi phaân thuaàn nhaát sau y (a) y = − 1 x 2xy (b) y = x2 − y2 (c) (y2 − 3x2)dy +2xydx =0 y (d) xy = y ln x 3. Tích phaân caùc phöông trình vi phaân sau ñaây: (a) (x − 2y +9)dx =(3x − y +2)dy 2 y +2 (b) y =2 x + y − 1 4. Kieåm tra caùc phöông trình sau laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn vaø giaûi chuùng y (a) dx +(y3 +lnx)dy =0 x (b) eydx +(xey − 2y)dy =0 (c) 2xydx +(x2 − y2)dy =0 (d) [(x +1)ex − ey] dx = xeydy 5. Tìm thöøa soá tích phaân roài giaûi caùc phöông trình vi phaân sau (a) (x + y2)dx − 2xydy =0 (b) (y2 − 6xy)dx +(3xy − 6x2)dy =0 (c) y(1 + xy)dx − xdy =0 (d) xy ln ydx +(x2 + y2 y2 +1)dy =0 6. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình vi phaân tuyeán tính sau (a) y − 4y = x − 2x2 (b) xy + y = ex
26 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 1 (c) y − y tan x = cos x (d) y2dx − (2xy +3)dy =0 7. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình Bernoully sau (a) 3y + y =(1− 2x)y4 (b) yy + y2 = x 2 √ (c) y + y = e 2 y 8. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình Lagrange vaø Clairaut sau ñaây (a) y = xy +12 (b) xy − y =lny (c) y = xy + y2 +1 (d) yy =2y 2x +1 9. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình Lagrange vaø Clairaut sau ñaây (a) y = xy +12 (b) xy − y =lny (c) y = xy + y2 +1 (d) yy =2y 2x +1
Chöông 2 Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm Trong chöông naøy ta seõ khaûo saùt caùc phöông trình vi phaân caáp moät daïng toång quaùt F (x, y, y)=0 (2.1) trong ñoù F laø haøm ba bieán lieân tuïc trong moät taäp môû G ⊂ R3 cuøng vôùi caùc ñaïo haøm rieâng cuûa noù, ngoaøi ra ∂F khoâng ñoàng nhaát baèng khoâng. ∂y 2.1 Caùc PTVP chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm daïng ñaëc bieät Ta seõ khaûo saùt moät soá daïng phöông trình vi phaân caáp I daïng chöa giaûi ra ñaïo haøm ñaëc bieät maø coù theå giaûi baèng caàu phöông. 2.1.1 F chæ phuï thuoäc vaøo y Xeùt phöông trình daïng F (y)=0 (2.2) Giaû söû F (xem nhö haøm cuûa bieán y) lieân tuïc vaø coù moät soá höõu haïn caùc khoâng ñieåm (chaúng haïn khi F laø ña thöùc). Khi ñoù moãi nghieäm cuûa y = y(x) cuûa phöông trình (2.2) phaûi thoaû y(x)=k, vôùi k laø moät khoâng ñieåm cuûa F . Do ñoù y(x)=kx + C vôùi C laø haèng soá tuyø yù; vaø ta coù y − C F ( )=0 (2.3) x
28 Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm y − C Ngöôïc laïi, neáu coù ñaúng thöùc (2.3) vôùi moät giaù trò C naøo ñoù thì k := phaûi laø x nghieäm cuûa F =0. Khi ñoù y = kx + C, y = k do ñoù F (y)=0. Noùi caùch khaùc, coâng thöùc (2.3) cho ta nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho. 2 Ví duï: Giaûi phöông trình y − y +2=0. 2 y − C y − C Phöông trình naøy coù nghieäm laø − +2=0. x x 2.1.2 Daïng coù theå giaûi ra ñoái vôùi y hay x: Giaû söû (vôùi vaøi ñieàu kieän naøo ñoù) phöông trình (2.1) coù theå giaûi ra ñöôïc y hay x. Chaúng haïn, y = f(x, y) (2.4) dy Khi ñoù, ñaët p = y = vaø xem p nhö tham soá, ta ñöôïc dx y = f(x, p) Vi phaân hai veá cuûa ñaúng thöùc naøy ta ñöôïc ∂f(x, p) ∂f(x, p) dy = dx + dp ∂x ∂p Thay dy = pdx ta ñöôïc phöông trình vi phaân daïng M(x, p)dx + N(x, p)dp =0 Xem x nhö laø haøm cuûa p vaø giaû söû phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laø x = g(p, C). Khi ñoù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình (2.4) ñöôïc cho döôùi daïng tham soá x = g(p, C) y = f(x, p) Töông töï nhö theá, caùc phöông trình daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi x x = h(y,y) cuõng giaûi ñöôïc baèng caùch ñöa vaøo tham soá p nhö treân.
2.2. Tröôøng hôïp toång quaùt − Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange 29 2.1.3 F khoâng phuï thuoäc vaøo y Xeùt phöông trình F (x, y)=0 (∗) Neáu coù theå giaûi ra ñöôïc y daïng y = f(x) Khi ñoù nghieäm toång quaùt cuûa (∗) laø y = f(x)dx + C. Tröôøng hôïp ta khoâng giaûi ra ñöôïc y nhöng coù theå tìm moät pheùp tham soá hoaù phöông trình (∗) goàm x = ϕ(t) y = ψ(t) sao cho F (ϕ(t),ψ(t)) = 0 Khi ñoù dy ψ(t)=y = =⇒ dy = ψ(t).ϕ(t)dt dx Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình (∗) cho bôûi daïng tham soá x = ϕ(t) y = ψ(t)ϕ(t)dt + C Ví duï: Giaûi phöông trình ln y +cosy − x =0 Tham soá hoaù y = t, x =lnt +cost ta coù 1 dy = tdx vaø dx =( − sin t)dt t Suy ra y = (1 − t sin t)dt = t − sin t + t cos t + C Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø x =lnt +cost y = t − sin t + t cos t + C 2.2 Tröôøng hôïp toång quaùt − Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange 2.2.1 Tham soá hoaù toång quaùt: Trong phaàn naøy ta xeùt moät soá phöông trình vi phaân chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm F (x, y, y)=0 (2.5)
30 Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm nhöng coù theå tham soá hoaù ñöôïc döôùi daïng x = ϕ(u, v),y= ψ(u, v) vaø y = χ(u, v) sao cho F [ϕ(u, v),ψ(u, v),χ(u, v)] = 0 Vi phaân x vaø y theo u, v roài thay vaøo ñaúng thöùc dy = ydx ta coù ∂ψ ∂ψ ∂ϕ ∂ϕ du + dv = χ(u, v) du + dv ∂u ∂v ∂u ∂v Xem u nhö laø haøm cuûa v ta coù phöông trình ∂ϕ − ∂ψ du χ = ∂v ∂v dv ∂ϕ ∂ψ − χ ∂u ∂u Ñaây laø daïng phöông trình ñaõ giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm, giaû söû coù nghieäm laø u = ξ(v, C) Ta thay vaøo bieåu thöùc cuûa x vaø y ta ñöôïc nghieäm toång quaùt döôùi daïng tham soá cuûa phöông trình (2.5) laø x = ϕ[ξ(v, C),v] y = ψ[ξ(v, C),v] 2 2 x Ví duï: Giaûi phöông trình y = y − yx + 2 x2 Ta coù theå tham soá hoaù phöông trình baèng caùch ñaët x = x, y = p vaø y = p2 − px + 2 (xem x vaø p laø hai tham soá). Khi ñoù, vi phaân ñaúng thöùc cuoái ta ñöôïc dy =(x − p)dx +(2p − x)dp dp Ñeå yù raèng dy = pdx, töø ñaúng thöùc treân, neáu 2p − x =0 ta coù =1, suy ra p = x + C. dx Do ñoù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø x2 y = + Cx + C2 2 x x4 Neáu 2p − x =0ta coù p = , thay vaøo bieåu thöùc tham soá hoaù ta coù nghieäm y = , 2 2 nghieäm naøy laø nghieäm kyø dò.
2.2. Tröôøng hôïp toång quaùt − Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange 31 2.2.2 Phöông trình Clairaut Phöông trình Clairaut laø lôùp caùc phöông trình vi phaân daïng y = xy + f(y) (2.6) trong ñoù, noùi chung, f laø moät haøm phi tuyeán. Ta seõ tìm nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình naøy baèng caùch ñaët p = y. Khi ñoù y = px + f(p) Vi phaân hai veá ñaúng thöùc naøy, vôùi chuù yù raèng dy = pdx ta ñöôïc pdx = pdx + {x + f (p)} dp hay {x + f (p)} dp =0 Töø ñoù ta suy ra dp =0hay x + f (p)=0. Neáu dp =0thì p = C, thay vaøo (2.6) ta ñöôïc nghieäm toång quaùt y = Cx + f(C)(∗) vaø ñaây laø moät hoï ñöôøng thaúng. Neáu x + f (p)=0, cuøng vôùi (2.6), ta thu ñöôïc moät nghieäm cho döôùi daïng tham soá x = −f (p) y = −pf (p)+f(p) Ngöôøi ta chöùng minh raèng neáu f (p) lieân tuïc vaø khaùc khoâng thì nghieäm cho döôùi daïng tham soá laø bao hình cuûa hoï ñöôøng thaúng (∗). 2 Ví duï: Xeùt phöông trình y =(x − 1)y − y Ñaây laø phöông trình Clairaut vôùi f(t)=−t2 − t. Thay theá y bôûi C ta ñöôïc nghieäm toång quaùt laø hoï ñöôøng thaúng y = C(x − 1) − C2 Ñeå tìm nghieäm kyø dò, töùc laø bao hình cuûa hoï ñöôøng thaúng treân ta xeùt heä x =2C +1 y = C(x − 1) − C2 (x − 1)2 Khöû C töø heä phöông trình naøy ta ñöôïc bao hình laø parabol y = (xem Hình 4 2.1).
32 Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm 3 0 -3 3 -3 Hình 2.1: Nghieäm cuûa phöông trình Clairaut vôùi f(t)=−t2 − t. 2.2.3 Phöông trình Lagrange Phöông trình vi phaân caáp I maø laø tuyeán tính ñoái vôùi x vaø y daïng y = ϕ(y)x + ψ(y) (2.7) ñöôïc goïi laø phöông trình Lagrange1. Giaû söû ϕ(y) = y, neáu khoâng phöông trình ñaõ cho laø phöông trình Clairaut maø ta ñaõ xeùt treân ñaây. Cuõng töông töï nhö tröôøng hôïp phöông trình Clairaut, ta ñaët p = y . Khi ñoù phöông trình (2.7) trôû thaønh y = ϕ(p)x + ψ(p)(∗) Vi phaân hai veá theo x ta ñöôïc dy dp p = = ϕ(p)+{ϕ(p)x + ψ(p)} dx dx Xem p laø bieán soá ñoäc laäp ta coù phöông trình tuyeán tính maø aån laø x = x(p) nhö sau: dx ϕ(p) ϕ(p) + x = dp ϕ(p) − p p − ϕ(p) Tích phaân phöông trình tuyeán tính naøy theo phöông phaùp ñaõ bieát ta ñöôïc nghieäm toång quaùt x = h(p, C), vôùi C laø tham soá tuyø yù. Keát hôïp vôùi (∗) ta coù nghieäm toång quaùt cuûa (2.7) cho döôùi daïng tham soá tham soá hoaù theo tham soá p: y = ϕ(p)h(p, C)+ψ(p) x = h(p, C) 1J.L.Lagrange (1736 − 1813) laø nhaø toaùn hoïc noåi tieáng ngöôøi Phaùp.
2.3. Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I 33 Nhaän xeùt: Chuù yù raèng öùng vôùi caùc giaù trò cuûa tham soá p = pi (trong ñoù pi laø nghieäm cuûa phöông trình ϕ(p) − p =0) ta cuõng nhaän ñöôïc caùc nghieäm cuûa phöông trình (2.7). Tuyø theo töøng tröôøng hôïp nghieäm naøy coù theå laø nghieäm kyø dò hoaëc khoâng. 2 Ví duï: Giaûi phöông trình y = xy − y. Ñaët p = y, khi ñoù y = xp2 − p Vi phaân hai veá cuûa ñaúng thöùc naøy theo x vôùi chuù yù dy = pdx, sau khi thu goïn ta ñöôïc (p2 − p)dx +(2px − 1)dp =0 Giaû söû p2 − p =0 ta coù dx 2 1 + x = dp p − 1 p(p − 1) Giaûi phöông trình naøy ta ñöôïc: C + p − ln p x = (p − 1)2 Thay vaøo bieåu thöùc cuûa y ta ñöôïc nghieäm toång quaùt daïng tham soá: C+p−ln p x = (p−1)2 (C+p−ln p)p2 − y = (p−1)2 p Caùc nghieäm öùng vôùi p =0vaø p =1laø y =0vaø y = x − 1 töông öùng. 2.3 Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I 2.3.1 Söï toàn taïi nghieäm kyø dò Trong chöông tröôùc ta ñaõ ñeà caäp ñeán söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm ñoái vôùi PTVP caáp I daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm dy = f(x, y) dx Trong muïc naøy ta xeùt tröôøng hôïp PTVP caáp I daïng toång quaùt F (x, y, y)=0 (2.8) Noùi chung ta khoâng luoân luoân vieát phöông trình naøy döôùi daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm. Ñieàu ñoù cho thaáy raèng tính chaát duy nhaát nghieäm cuûa phöông trình vi phaân (2.8), vôùi ñieàu kieän ban ñaàu (x0,y0), khoâng phaûi luùc naøo cuõng ñöôïc baûo ñaûm. Noùi 2 caùch khaùc, qua ñieåm (x0,y0) ∈ R coù theå coù nhieàu nghieäm cuûa (2.8) ñi qua.
34 Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm Ví duï: Phöông trình Clairaut (2.6) vôùi f(t)=−t2 − t coù nghieäm kyø dò laø parabol − 2 (x 1) (xem hình 2.1). Taïi moãi ñieåm doïc theo parabol naøy coù toàn taïi moät nghieäm 4 khaùc maø ñoà thò laø ñöôøng thaúng tieáp xuùc vôùi parabol noùi treân taïi ñieåm ñoù. Ñònh lyù sau ñaây khaúng ñònh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm trong tröôøng hôïp toång quaùt. Ñònh lyù 2.3.1. Neáu haøm F (x, y, p) thoaû caùc ñieàu kieän sau: i) F (x, y, p) lieân tuïc cuøng vôùi caùc ñaïo haøm rieâng cuûa noù trong laân caän cuûa (x0,y0,p0) ∈ R3 (töùc laø F thuoäc lôùp C1 trong laân caän ñieåm naøy) ii) F (x0,y0,p0)=0 ∂F iii) (x0,y0,p0) =0 ∂p 1 thì phöông trình (2.8) coù duy nhaát moät nghieäm y = y(x) lôùp C trong laân caän cuûa x0 thoaû ñieàu kieän ban ñaàu: y(x0)=y0 sao cho y (x0)=p0 Chöùng minh: Caùc giaû thieát trong ñònh lyù treân chính laø caùc giaû thieát cuûa ñònh lyù haøm aån, do ñoù phöông trình (2.8) xaùc ñònh duy nhaát haøm p = f(x, y) lôùp C 1 sao cho p0 = f(x0,y0). Khi ñoù ta coù phöông trình vi phaân daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm dy = f(x, y) dx trong ñoù f khaû vi lieân tuïc. Tính chaát naøy maïnh hôn ñieàu kieän Lipchitz neân theo ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm (cho phöông trình ñaõ giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm), ta thaáy coù toàn taïi duy nhaát moät nghieäm y = y(x) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu y(x0)=y0. 2.3.2 Tìm nghieäm kyø dò theo p−bieät tuyeán Ñònh lyù treân cho thaáy nghieäm kyø dò coù theå xaûy ra khi caùc ñieàu kieän cuûa ñònh lyù khoâng thoaû maõn. Roõ raøng vôùi haøm F = F (x, y, p) khaû vi lieân tuïc, nghieäm kyø dò chæ coù theå xaûy ra neáu taïi ñoù ∂F =0 ∂p Ta goïi M ⊂ R3 laø sieâu maët cho bôûi phöông trình F (x, y, p)=0vaø giaû söû π : M −→ R2, π(x, y, p)=(x, y) laø pheùp chieáu töï nhieân theo toaï ñoä p. Khi ñoù caùc ñieåm kyø dò cuûa aùnh xaï π cho bôûi heä phöông trình   F (x, y, p)=0 ∂F (∗)  =0 ∂p
2.3. Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I 35 Khöû p töø heä phöông trình naøy ta thu ñöôïc moät phöông trình daïng Φ(x, y)=0 (2.9) Phöông trình naøy xaùc ñònh moät ñöôøng cong trong R2, ñöôïc goïi laø ñöôøng cong bieät laäp (discriminant) hay p−bieät tuyeán cuûa phöông trình (2.8). Vaäy ñeå tìm nghieäm kyø dò theo p−bieät tuyeán tröôùc heát ta tìm p− bieät tuyeán cho bôûi heä (∗), sau ñoù thöû xem bieät tuyeán coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình (2.8) hay khoâng. Cuoái cuøng trong soá caùc nghieäm naøy choïn ra caùc nghieäm maø doïc theo noù tính duy nhaát bò vi phaïm; ñoù chính laø nghieäm kyø dò. 2 Ví duï: Tìm nghieäm kyø dò cuûa phöông trình y =2xy − y Ta coù bieät tuyeán cho bôûi y =2xp − p2, 2x − 2p =0 Töø ñoù bieät tuyeán laø parabol y = x2 trong maët phaúng (x, y). Tuy nhieân, y = x2 laïi khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho, neân phöông trình khoâng coù nghieäm kyø dò. 2 2 x Ví duï: Tìm nghieäm kyø dò cuûa phöông trình y = y − xy + 2 Ta coù p−bieät tuyeán cho bôûi x2 y = p2 − xp , 2p − x =0 2 x2 Töø ñoù ta coù bieät tuyeán laø parabol y = vaø cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. 4 Ngoaøi ra nghieäm toång quaùt cuûa noù laø (xem ví duï trang 30) x2 y = Cx + C2 + 2 2 x0 Do ñoù vôùi moïi ñieåm (x0,y0) treân parabol naøy, i.e. y0 = , ta xeùt phöông trình theo 4 C: 2 2 2 x0 2 x0 y0 = Cx0 + C + hay C + x0C + =0 2 4 x0 Phöông trình naøy luoân coù nghieäm C = − , töùc laø luoân coù nghieäm thöù hai ñi qua 2 (x0,y0). x2 Vaäy y = laø nghieäm kyø dò cuûa phöông trình ñaõ cho. 4
36 Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm Hình 2.2: Maët cho bôûi phöông trình p2 − x =0 2.3.3 Tìm nghieäm kyø dò theo C−bieät tuyeán Ñoái vôùi nhöõng phöông trình maø tích phaân toång quaùt cuûa noù cho bôûi Φ(x, y, C)=0 (2.10) ta coù theå tìm nghieäm kyø dò cuûa noù thoâng qua vieäc tìm caùc C− bieät tuyeán, töùc laø ñöôøng cong trong R2 xaùc ñònh baèng caùch khöû C töø heä Φ(x, y, C)=0 ∂Φ (2.11) (x, y, C)=0 ∂C Nhaän xeùt: Coù theå kieåm tra khoâng khoù (xem [1]) raèng neáu C− bieät tuyeán laø bao hình cuûa hoï ñöôøng cong (2.10) thì noù laø moät nghieäm kyø dò cuûa phöông trình (2.8). Do ñoù ñeå tìm nghieäm kyø dò cuûa (2.8) tröôùc heát ta tìm C−bieät tuyeán cuûa noù. Bieät tuyeán ñoù laø ñöôøng cong R(x, y)=0nhaän ñöôïc baèng caùch khöû C töø heä (2.11). Sau ñoù , thöû xem coù nhaùnh naøo cuûa C− bieät tuyeán laø bao hình cuûa hoï ñöôøng cong (2.10) hay khoâng; neáu coù, ñoù chính laø nghieäm kyø dò cuûa phöông trình. Chuù yù: Neáu haøm Φ trong (2.10) coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp I theo x vaø y bò chaën vaø khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng thì C−bieät tuyeán laø bao hình cuûa hoï nghieäm toång quaùt (2.10); noùi caùch khaùc C−bieät tuyeán laø nghieäm kyø dò. 4 2 8 3 Ví duï: (xem [1]) Tìm nghieäm kyø dò cuûa phöông trình Lagrange x − y = y − y 9 27 Phöông trình Lagrange naøy coù tích phaân toång quaùt laø (y − C)2 =(x − C)3. Do ñoù bieät tuyeán cho bôûi heä (y − C)2 =(x − C)3 2(y − C)=3(x − C)2
2.3. Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I 37 Khöû C ta ñöôïc 4 y = x, y = x − 27 4 Chæ coù y = x − laø bao hình neân noù laø nghieäm kyø dò. Coøn ñöôøng thaúng y = x chöùa 27 caùc ñieåm kyø dò cuûa nghieäm toång quaùt (xem Hình 2.3). Y=x - 4/27 x Y= 4 2 8 3 Hình 2.3: Nghieäm kyø dò cuûa phöông trình x − y = y − y 9 27
38 Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm BAØI TAÄP 1. Giaûi caùc phöông trình vi phaân sau ñaây 2 (a) y − (x + y)y + xy =0 3 2 (b) y − yy − x2y + x2y =0 3 (c) xy =1+y 3 (d) y + y3 =3yy 2. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình Lagrange vaø Clairaut sau ñaây (a) y = xy +12 (b) xy − y =lny (c) y = xy + y2 +1 2 (d) yy =2y x +1 3. Tìm nghieäm kyø dò cuûa caùc phöông trình vi phaân sau ñaây: 2 (a) xy − 2yy +4x =0 4 (b) y =4y(xy − 2y)2 (c) yy(yy − 2x)=x2 − 2y2 (d) 2y − 3y1/3 =0
Chöông 3 Phöông trình vi phaân caáp cao Chöông naøy trình baøy moät soá kieán thöùc toång quan veà phöông trình vi phaân caáp cao vaø lyù thuyeát toång quaùt veà phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao. 3.1 Phöông trình vi phaân caáp cao 3.1.1 Caùc khaùi nieäm: Phöông trình vi phaân thöôøng caáp n laø phöông trình coù daïng F (x, y, y,y, ,y(n))=0 (3.1) trong ñoù F laø moät haøm xaùc ñònh (lieân tuïc) treân taäp môû naøo ñoù cuûa Rn+2 vaø nhaát thieát phaûi coù söï tham gia cuûa ñaïo haøm caáp n cuûa aån y(n). Vôùi moät vaøi giaû thieát thích hôïp, ñònh lyù haøm aån cho pheùp vieát phöông trình (3.1) döôùi daïng sau ñaây, ñöôïc goïi laø daïng ñaõ giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm: y(n) = f(x, y, y, ,y(n−1)) (3.2) Döôùi daïng naøy ta coù theå ñöa vieäc nghieân cöùu moät phöông trình caáp cao veà nghieân cöùu (heä) phöông trình vi phaân caáp I. Thaät vaäy, baèng caùch ñöa theâm vaøo caùc aån môùi y1 := y, (n−1) y2 := y , , yn := y ta thu ñöôïc   y1 = y2   (3.3)   yn−1 = yn  yn = f(x, y1, ,yn) T T Xem y := (y1, ,yn) , f(x, y):= y2, ,yn,f(x, y1, ,yn) laø caùc vector-haøm ta coù theå vieát laïi (3.3) döôùi daïng ñôn giaûn y = f(x, y) (3.4)
40 Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao 3.1.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm: Töông töï nhö tröôøng hôïp phöông trình vi phaân caáp I, baøi toaùn Cauchy ñoái vôùi phöông trình vi phaân caáp cao (3.1) ñaët ra nhö sau: Tìm nghieäm y(x) cuûa phöông trình (3.1) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu: (n−1) (n−1) y(x0)=y0,y(x0)=y0, ,y = y0 (3.5) (n−1) n trong ñoù x0 ∈ I ⊂ R vaø Y0 := (y0,y0, ,y0 ) ∈ R coá ñònh, cho tröôùc. Ñeå phaùt bieåu ñònh lyù khaúng ñònh söï toàn taïi lôøi giaûi cuûa baøi toaùn Cauchy ta caàn khaùi nieäm sau: Cho vector-haøm f(x, y) xaùc ñònh treân mieàn G ⊂ R × Rn. Ta noùi f thoaû ñieàu kieän Lipschitz treân G theo y neáu toàn taïi haèng soá döông L (goïi laø haèng soá Lipschitz) sao cho: ||f(x, y1) − f(x, y2)|| ≤ L||y1 − y2||, vôùi moïi (x, y1), (x, y2) ∈ G Ta löu yù raèng ñieàu kieän Lipschitz khoâng phaûi laø heä quaû cuûa tính lieân tuïc. Chaúng haïn √ haøm f(x, y)= y lieân tuïc nhöng khoâng thoaû ñieàu kieän treân. ù Ñònh lyù 3.1.1 (Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho PTVP caáp cao). Giaû söû vector- haøm f(x, y) trong (3.4) lieân tuïc vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz theo y treân mieàn n G = {(x, y) ∈ R × R / |x − x0|≤a, ||y − y0|| ≤ b} Khi ñoù baøi toaùn Cauchy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu (3.5) coù moät nghieäm duy nhaát treân ñoaïn − , vôùi b vaø || ||. I := [x0 h, x0 + h] h := min(a, M ) M := max(x,y)∈G f(x, y) Chöùng minh: Töông töï nhö trong tröôøng hôïp PTVP caáp I, chæ caàn thay giaù trò tuyeät ñoái bôûi chuaån trong Rn. Nhaän xeùt: Ta cuõng ñònh nghóa caùc loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân caáp cao töông töï nhö trong chöông I. Chaúng haïn, nghieäm kyø dò cuûa (3.2) laø nghieäm maø taïi moãi ñieåm cuûa noù tính chaát duy nhaát nghieäm bò vi phaïm. Ta goïi nghieäm toång quaùt cuûa (3.2) laø hoï caùc haøm ϕ(x, C1, ,Cn) phuï thuoäc (moät caùch lieân tuïc) vaøo n haèng soá tuyø yù C1, ,Cn. Vôùi moãi boä giaù trò cuûa n tham soá naøy ta nhaän ñöôïc moät nghieäm rieâng cuûa phöông trình. x −x Ví duï: Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình y = y laø y(x)=C1e + C2e . Noù phuï thuoäc vaøo hai haèng soá tuyø yù C1 vaø C2. 3.1.3 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao giaûi ñöôïc baèng caàu phöông: a) Phöông trình F (x, y(n))=0 Phöông trình naøy chæ phuï thuoäc vaøo bieán ñoäc laäp vaø ñaïo haøm caáp cao nhaát. Trong tröôøng hôïp coù theå giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm: y(n) = f(x)
3.1. Phöông trình vi phaân caáp cao 41 ta coù theå tích phaân lieân tieáp theo x vaø thu ñöôïc (n−1) x y = f(x)dx + C1 x0 (n−2) x x 1 − 0 2 y = x0 dx x0 f(x)dx + C (x x )+C x x C1 − n−1 y = dx f(x)dx + (n−1)! (x x0) + x0 x0 n laàn C2 − n−2 ··· − + (n−2)! (x x0) + + Cn−1(x x0)+Cn Ví duï: Phöông trình y(n) =0coù nghieäm laø ña thöùc toång quaùt caáp n − 1 n−1 n−2 y(x)=c1(x − x0) + c2(x − x0) + ···+ cn−1(x − x0)+cn Trong tröôøng hôïp khoâng giaûi ra ñöôïc y(n) nhöng coù theå tham soá hoaù x = ϕ(t),y(n) = ψ(t) khi ñoù ta coù dy(n−1) = y(n)dx = ψ(t)ϕ(t)dt Vì vaäy (n−1) y = ψ(t)ϕ (t)dt = ψ(t, C1) Laëp laïi quaù trình treân sau n böôùc, ta thu ñöôïc nghieäm toång quaùt cho döôùi daïng tham soá x = ϕ(t), y = ψm(t, C1, ,Cn) b) Phöông trình F (y(n−1),y(n))=0: Caùch giaûi: Neáu coù theå giaûi ñöôïc y(n) = f(y(n−1)) thì, baèng caùch ñaët z := y(n−1), coù theå vieát laïi phöông trình döôùi daïng sau: z = f(z) Ñaây laø phöông trình vi phaân caáp I theo z, giaû söû nghieäm laø z = g(x, C), ta trôû laïi tröôøng hôïp treân vôùi phöông trình y(n−1) = g(x, C) vôùi C laø tham soá.
42 Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao Neáu coù theå tham soá hoaù y(n−1) = ϕ(t),y(n) = ψ(t) thì töø dy(n−1) = y(n)dx ta suy ra dy(n−1) ϕ(t)dt dx = = y(n) ψ(t) Do ñoù ϕ(t)dt x = = ϕ1(t, C1) ψ(t) vaø ta trôû laïi tröôøng hôïp treân vôùi (n−1) x = ϕ1(t, C1),y = ϕ(t) Ví duï: Giaûi phöông trình y = y +1 Ñaët z = y ta coù phöông trình z − z =1. Phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laø x z = C1e − 1 Do ñoù, ta ñöôïc phöông trình x y = C1e − 1 Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø 2 x x y(x)=C1e − + C2x + C3 2 c) Phöông trình F (y(n−2),y(n))=0: Ñoái vôùi daïng phöông trình naøy ta ñaët z = y(n−2) vaø vieát laïi phöông trình theo z F (z, z)=0 Neáu töø phöông trình naøy coù theå giaûi ñöôïc z = f(z) thì ta coù 2zz =2f(z)z hay d((z)2)=2f(z)dz Töø ñoù ta tìm ñöôïc z = ± 2 f(z)dz + C1 Ñaây laø phöông trình vi phaân caáp I vôùi aån laø z = z(x) vôùi nghieäm toång quaùt coù daïng Φ(x, z, C1,C2)=0
3.1. Phöông trình vi phaân caáp cao 43 Thay z = y(n−2) vaøo phöông trình naøy ta trôû laïi tröôøng hôïp a). Ví duï: Giaûi phöông trình y(4) = y. Ñaët z = y ta thu ñöôïc phöông trình z = z Phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laø x −x z = C1e + C2e Trôû laïi aån y ta coù phöông trình x −x y = C1e + C2e maø nghieäm toång quaùt cuûa noù laø x −x y = C1e + C2e + C3x + C4 3.1.4 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao coù theå haï caáp: Ta seõ xeùt moät soá daïng phöông trình caáp cao maø coù theå ñöa veà phöông trình caáp thaáp hôn baèng caùch ñoåi bieán. a) Phöông trình daïng F (y,y, ,y(n))=0: Phöông trình naøy khoâng chöùa bieán ñoäc laäp x. Ta ñaët p = y. Khi ñoù dy y = p = dx dp dp y = = p dx dy d dp dp dp d dp y = p = + p dx dy dx dy dx dy 2 dp d2p = p + p2 dy dy2 dp dn−1p y(n) = g p, , , dy dyn−1 Thay caùc bieåu thöùc treân vaøo phöông trình ban ñaàu ta thu ñöôïc phöông trình vi phaân caáp n − 1 theo aån p = p(y) G(y,p,p, ,p(n−1))=0 Giaû söû phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laø Φ(y,p,C1, ,Cn−1)=0
44 Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao ta thay p = y thì thu ñöôïc phöông trình daïng F (y,y)=0maø laø phöông trình vi phaân caáp I. 2 Ví duï: Giaûi phöông trình (1 + y2)yy =(3y2 − 1)y Ñaët p = y nhö ñaõ trình baøy, phöông trình ñöa veà daïng dp (1 + y2)yp =(3y2 − 1)p2 dy Chia 2 veá cho p (vôùi giaû thieát p =0 ) vaø vieát laïi döôùi daïng phöông trình taùch bieán dp 3y2 − 1 = dy p (1 + y2)y Nghieäm toång quaùt cuûa noù laø py = C1 (1 + y2)2 Thay p = y, ta coù phöông trình yy = C1 (1 + y2)2 Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình cuoái cuøng laø 1 − =2C1x + C2 1+y2 b) Phöông trình thuaàn nhaát ñoái vôùi aån haøm y vaø caùc ñaïo haøm cuûa noù: T a noùi phöông trình vi phaân F (x, y, y, ,y(n))=0laø thuaàn nhaát theo aån haøm y vaø caùc ñaïo haøm cuûa noù neáu F laø haøm thuaàn nhaát (baäc m naøo ñoù) theo caùc bieán y,y, ,y(n). Töùc laø F (x, ty, ty, ,ty(n))=tmF (x, y, y, ,y(n)) Ñoái vôùi lôùp caùc phöông trình naøy ta coù theå haï caáp baèng caùch ñaët y = uy Khi ñoù ta coù y = uy y = yu + uy = y(u + u2) y = y(u +3uu + u3) y(n) = y.g(u, u, ,u(n−1)) Nhôø tính thuaàn nhaát, phöông trình ñaõ cho coù theå vieát laïi daïng ymF (x, 1,u,u + u2, ,g(u, u, ,u(n−1))) = 0
3.1. Phöông trình vi phaân caáp cao 45 Ñaây laø phöông trình caáp n − 1 cuûa aån haøm u = u(x), giaû söû coù nghieäm toång quaùt laø u = u(x, C1, ,Cn−1) Khi ñoù töø y = uy ta coù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ban ñaàu laø y =exp u(x, C1, ,Cn−1)dx +ln|Cn| = Cn exp u(x, C1, ,Cn−1)dx Ví duï: Giaûi phöông trình x2yy =(y − xy)2. Ñaây laø phöông trình thuaàn nhaát (caáp 2) theo y vaø caùc ñaïo haøm cuûa noù. Ñaët y = uy gioáng nhö treân, ta coù y = y(u + u2) Thay vaøo vaø ruùt goïn cho y2 (giaû söû y =0 ) ta ñöôïc phöông trình tuyeán tính baäc nhaát: x2u +2xu − 1=0 vôùi nghieäm toång quaùt laø x + C1 u = x2 Trôû laïi aån haøm y vôùi u = y/y ta ñöôïc nghieäm toång quaùt laø − C1 y = C2xe x Dó nhieân nghieäm y =0cuõng chöùa trong nghieäm toång quaùt naøy. 3.1.5 Tích phaân trung gian vaø tích phaân ñaàu: Xeùt phöông trình vi phaân caáp n F (x, y, y,y, ,y(n))=0 (3.6) Giaû söû coù toàn taïi heä thöùc daïng (k) Φ(x, y, y , ,y ,Ck+1, ,Cn)=0 (∗) sao cho Φ phuï thuoäc vaøo n − k haèng soá tuyø yù Ck+1, ,Cn vaø khoâng phuï thuoäc vaøo caùc ñaïo haøm caáp >k(nhöng nhaát thieát phaûi coù maët y(k)). Neáu töø heä n − k phöông trình nhaän ñöôïc baèng caùch laáy vi phaân heä thöùc (∗) theo x n − k laàn vaø chính heä thöùc ñoù ta coù theå nhaän ñöôïc phöông trình ñaõ cho (baèng caùch khöû caùc tham soá) thì heä thöùc (∗) ñöôïc goïi laø tích phaân trung gian cuûa phöông trình (3.6). Neáu k = n − 1, töùc laø heä thöùc chæ chöùa moät tham soá C Φ(x, y, y, ,y(n−1),C)=0 thì ta goïi laø tích phaân ñaàu. Nhaän xeùt: Tích phaân trung gian thöïc chaát laø moät phöông trình vi phaân caáp k ñaõ chöùa saün n − k haèng soá tuyø yù Ck+1, ,Cn. Nghieäm toång quaùt cuûa noù coøn chöùa k haèng soá môùi laø C1, ,Ck; töùc laø chöùa taát caû n haèng soá, vaø ñoù cuõng laø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ban ñaàu (3.6). Vaäy tích phaân trung gian cho pheùp ñöa vieäc giaûi phöông trình vi phaân caáp cao veà giaûi phöông trình caáp thaáp hôn.
46 Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao Phöông trình daïng F (x, y(k), ,y(n))=0 Baèng caùch ñoåi aån z = y(k) ta coù theå vieát phöông trình döôùi daïng F (x, z, z, ,z(n−k))=0 Giaû söû ñaõ tìm ñöôïc tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình naøy Φ(x, z, Ck+1, ,Cn)=0. Khi ñoù, ta coù tích phaân trung gian cuûa phöông trình ñaõ cho laø (k) Φ(x, y ,Ck+1, ,Cn)=0 Ñaây laø phöông trình vi phaân caáp k, nghieäm cuûa noù cho ta tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình ban ñaàu. Ví duï: Giaûi phöông trình y − xy + y =0. Ñaët z = y ta thu ñöôïc phöông trình z − xz + z =0 maø nghieäm toång quaùt laø z = C1(x − 1). Töø ñoù ta coù tích phaân ñaàu y = C1(x − 1) Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø C1 3 C1 2 y = x − x + C2x + C3 3 2 3.2 Lyù thuyeát toång quaùt veà phöông trình vi phaân tuyeán tính. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp n coù daïng (n) (n−1) p0(x)y + p1(x)y + ···+ pn−1(x)y + pn(x)y = g(x) (3.7) trong ñoù caùc pj(x) vaø g(x) laø caùc haøm (thöïc) naøo ñoù theo bieán x. Neáu g(x) ≡ 0 thì phöông trình (3.7) ñöôïc goïi laø phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát. Söï toàn taïi nghieäm: Giaû söû caùc haøm pj(x) vaø g(x) laø lieân tuïc treân khoaûng I =(a, b) vaø ngoaøi ra p0(x) =0 vôùi moïi x ∈ I. Khi ñoù ñònh lyù toàn taïi nghieäm cô baûn khaúng ñònh raèng coù toàn taïi duy nhaát moät mghieäm lieân tuïc y(x) cuûa phöông trình (3.7) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu (n−1) (n−1) y(x0)=y0,y(x0)=y0, ,y (x0)=y0 taïi ñieåm x0 ∈ I.
3.3. Ñònh thöùc Wronski - Nghieäm toång quaùt 47 Daïng toaùn töû cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính: Kyù hieäu laø toaùn töû ñaïo haøm d vaø ñaët: D dx n n−1 L = p0D + p1D + ···+ pn−1D + pn (3.8) L ñöôïc goïi laø toaùn töû vi phaân caáp n vaø khi ñoù (3.7) vieát laïi döôùi daïng sau, goïi laø daïng toaùn töû cuûa phöông trình (3.7) L(y)=g Ñaëc bieät, khi g ≡ 0, phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát töông öùng vieát moät caùch ñôn giaûn L(u)=0 (3.9) Nhaän xeùt: L laø toaùn töû tuyeán tính treân khoâng gian caùc haøm (khaû vi) vì L(αu + βv)= αL(u)+βL(v), vôùi u, v laø hai haøm khaû vi vaø α, β laø hai soá tuyø yù. Do ñoù giaûi phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát laø tìm khoâng gian con ker(L). Meänh ñeà 3.2.1. Giaû söû u1 vaø u2 laø hai nghieäm tuyø yù cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (3.9). Khi ñoù, vôùi C1,C2 laø hai haèng soá baát kyø, C1u1 + C2u2 cuõng laø nghieäm cuûa (3.9). Chöùng minh: Ta coù L(C1u1 + C2u2)=C1L(u1)+C2L(u2)=0. Heä quaû 3.2.1. Taäp taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình (3.9) coù caáu truùc khoâng gian vector. 3.3 Ñònh thöùc Wronski - Nghieäm toång quaùt Ñònh nghóa 3.3.1. Ta noùi caùc haøm u1(x),u2(x), ,un(x) laø ñoäc laäp tuyeán tính treân (a, b) neáu khoâng toàn taïi caùc haèng soá C1,C2, ,Cn khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng sao cho C1u1 + ···+ Cnun ≡ 0 vôùi moïi x ∈ (a, b) Ngöôïc laïi, caùc haøm u1(x),u2(x), ,un(x) ñöôïc goïi laø phuï thuoäc tuyeán tính treân (a, b) neáu coù theå choïn ñöôïc caùc haèng soá Cj khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng sao cho ñaúng thöùc treân xaûy ra vôùi moïi x ∈ (a, b). Meänh ñeà 3.3.1. Neáu u1(x),u2(x), ,un(x) laø caùc haøm khaû vi ñeán caáp n − 1 vaø phuï thuoäc tuyeán tính treân (a, b) thì ñònh thöùc u1(x) u2(x) ··· un(x) u1(x) u2(x) ··· un(x) . . . . =0 vôùi moïi x ∈ (a, b) (3.10) . . . (n−1) (n−1) (n−1) u1 (x) u2 (x) ··· un (x)
48 Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao Ñònh nghóa 3.3.2. Ñònh thöùc ôû veá traùi cuûa (3.10) ñöôïc goïi laø ñònh thöùc Wronski cuûa n haøm u1(x),u2(x), ,un(x) vaø thöôøng ñöôïc kyù hieäu laø W (x) hay W [u1, ,un] Chöùng minh: Theo giaû thieát cuûa meänh ñeà, coù toàn taïi caùc haèng soá Cj khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng sao cho C1u1 + ···+ Cnun ≡ 0 vôùi moïi x ∈ (a, b) Ñaïo haøm ñaúng thöùc naøy theo bieán xn− 1 laàn, ta thaáy caùc Cj thoaû maõn heä phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát sau (vôùi x coá ñònh naøo ñoù)   C1u1(x)+···+ Cnun(x)=0  C1u1(x)+···+ Cnun(x)=0  ··· ··· ··· ···  (n−1) (n−1) C1u1 (x)+···+ Cnun (x)=0 Vì heä thuaàn nhaát naøy coù nghieäm khoâng taàm thöôøng neân ñònh thöùc cuûa ma traän cuûa heä phaûi baèng khoâng. Heä quaû 3.3.1. Neáu W (x) =0 taïi x naøo ñoù thuoäc (a, b) thì heä haøm {u1(x),u2(x), ,un(x)} ñoäc laäp tuyeán tính treân (a, b). Ví duï: Heä haøm {1,x,x2, ··· ,xn−1} laø ñoäc laäp tuyeán tính treân khoaûng baát kyø vì n−1 1 x ··· x n−2 01··· (n − 1)x W (x)=. . . . =1.1!2! (n − 1)! =0 vôùi moïi x ∈ R . . . . . . 00··· (n − 1)! Ví duï: Heä haøm {ek1 ,ek2 , ··· ,ekn } laø ñoäc laäp tuyeán tính treân khoaûng baát ky neáu caùc soá k1,k2, ,kn laø khaùc nhau töøng ñoâi moät. Ñònh lyù 3.3.2. Giaû söû caùc haøm pj(x) laø lieân tuïc vaø p0(x) =0 treân khoaûng (a, b). Khi ñoù n nghieäm u1(x),u2(x), ,un(x) cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (3.9) laø ñoäc laäp tuyeán tính neáu vaø chæ neáu ñònh thöùc Wronski W [u1(x),u2(x), ,un(x)] = 0, ∀x ∈ (a, b). Chöùng minh: Neáu W [u1(x),u2(x), ,un(x)] =0 , ∀x ∈ (a, b) thì theo heä quaû treân, caùc nghieäm u1(x),u2(x), ,un(x) laø ñoäc laäp tuyeán tính. Ngöôïc laïi, giaû söû coù x0 ∈ (a, b) maø W (x0)=0. Khi ñoù heä tuyeán tính thuaàn nhaát sau coù nghieäm khoâng taàm thöôøng   C1u1(x0)+···+ Cnun(x0)=0  C1u1(x0)+···+ Cnun(x0)=0  ··· ··· ··· ···  (n−1) (n−1) C1u1 (x0)+···+ Cnun (x0)=0
3.3. Ñònh thöùc Wronski - Nghieäm toång quaùt 49 Goïi (C1, ,Cn) laø moät nghieäm nhö theá vaø ñaët u(x)=C1u1(x)+···+ Cnun(x). Roõ raøng u(x) cuõng laø moät nghieäm cuûa cuûa (3.9) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu u(x0)=0,u(x0)= (n−1) 0, ,u (x0). Maët khaùc nghieäm taàm thöôøng u ≡ 0 cuõng thoaû ñieàu kieän naøy. Do ñoù, theo ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm ta phaûi coù C1u1(x)+···+ Cnun(x) ≡ 0 töùc laø caùc u1(x),u2(x), ,un(x) laø phuï thuoäc tuyeán tính: traùi giaû thieát. Ñònh nghóa 3.3.3. Heä goàm n nghieäm u1(x),u2(x), ,un(x) ñoäc laäp tuyeán tính treân (a, b) cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát caáp n ñöôïc goïi laø heä nghieäm cô baûn cuûa phöông trình ñoù. Ñònh lyù 3.3.3 (Caáu truùc nghieäm cuûa phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát). Giaû söû {u1(x),u2(x), ,un(x)} laø heä nghieäm cô baûn cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (3.9). Khi ñoù nghieäm toång quaùt cuûa (3.9) coù daïng u(x)=C1u1(x)+···+ Cnun(x) (3.11) trong ñoù C1, ,Cn laø caùc haèng soá tuyø yù. Chöùng minh: Roõ raøng vôùi C1, ,Cn laø caùc haèng soá baát kyø, veá phaûi cuûa (3.11) laø nghieäm cuûa (3.9). Ngöôïc laïi, giaû söû v(x) laø nghieäm cuûa (3.9) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu (vôùi x0 ∈ (a, b) naøo ñoù) (n−1) (n−1) v(x0)=v0,v(x0)=v0, ,v (x0)=v0 ta xeùt heä phöông trình   C1u1(x0)+···+ Cnun(x0)=v0  C1u1(x0)+···+ Cnun(x0)=v0  ··· ··· ··· ···  (n−1) (n−1) (n−1) C1u1 (x0)+···+ Cnun (x0)=v0 Vì caùc u1(x),u2(x), ,un(x) laäp thaønh heä nghieäm cô baûn neân W (x0) =0 , töùc laø ñònh thöùc cuûa ma traän heä soá cuûa heä phöông trình treân khaùc khoâng. Vì theá, coù toàn taïi (vaø 0 0 duy nhaát) caùc soá C1 , ,Cn maø laø nghieäm cuûa heä naøy. Ñaët 0 0 u(x)=C1 u1(x)+···+ Cnun(x) thì u(x) cuõng laø nghieäm cuûa (3.9) thoaû cuøng ñieàu kieän ban ñaàu nhö v(x). Do ñoù u(x) ≡ v(x). Ñònh lyù 3.3.4 (Nghieäm cuûa phöông trình tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát). Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát (3.7) baèng toång cuûa moät nghieäm rieâng y0(x) naøo ñoù cuûa noù vaø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng.
50 Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao Chöùng minh: Giaû söû y(x) laø nghieäm tuyø yù cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát L(y)=g vaø {u1(x),u2(x), ,un(x)} laø heä nghieäm côû baûn cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng. Theo giaû thieát ta coù L(y0)=g; töø ñoù suy ra L(y − y0)=0. Noùi caùch khaùc, y − y0 laø nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng. Theo ñònh lyù 3.3.3, toàn taïi caùc haèng soá C1, ,Cn sao cho y −y0 = C1u1(x)+···+Cnun(x)=:u(x). Vì vaäy, y = y0 +u(x). Ví duï: Cho phöông trình y +4y = ex. Deã thaáy cos 2x vaø sin 2x laø hai nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng y +4y =0. Moät nghieäm rieâng cuûa phöông trình ñaõ cho ban ñaàu laø 1 x. Do ñoù nghieäm toång quaùt cuûa phöông y0 = 5 e trình ñaõ cho laø 1 x y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + e 5 trong ñoù C1,C2 laø hai haèng soá tuyø yù. Meänh ñeà 3.3.2 (Nguyeân lyù choàng chaát nghieäm). Giaû söû y1,y2 laø nghieäm rieâng cuûa phöông trình L(y)=g1,L(y)=g2 töông öùng. Khi ñoù y := y1 + y2 laø nghieäm rieâng cuûa phöông trình L(y)=g vôùi g := g1 + g2. Nhaän xeùt: Meänh ñeà naøy giuùp ta tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát trong tröôøng hôïp haøm g(x) ôû veá phaûi coù daïng toång cuûa caùc haøm ñôn giaûn. Ví duï: Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình y + y = x +cos3x. Ta tìm caùc nghieäm rieâng cuûa caùc phöông trình y + y = x vaø y + y =cos3x. Deã thaáy phöông trình thöù nhaát coù nghieäm rieâng laø y1 = x; coøn phöông trình thöù hai coù moät nghieäm rieâng (xem muïc 3.4.2) laø − 1 . Do ñoù moät nghieäm rieâng cuûa y2 = 8 cos 3x phöông trình ñaõ cho laø 1 y = x − cos 3x 8 3.3.1 Ñoàng nhaát thöùc Abel Ta seõ chæ ra sau ñaây bieãu dieãn ñôn giaûn cuûa ñònh thöùc Wronski cuûa heä nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính {u1(x),u2(x), ,un(x)} cuûa phöông trình thuaàn nhaát (3.9). Ñaïo haøm W (x) theo x ta coù: u1(x) u2(x) ··· un(x) ··· u1(x) u2(x) un(x) dW . . . = . . . . dx (n−2) (n−2) (n−2) ··· u1 (x) u2 (x) un (x) (n) (n) (n) u1 (x) u2 (x) ··· un (x)
3.3. Ñònh thöùc Wronski - Nghieäm toång quaùt 51 (thöïc ra, veá phaûi sinh ra caùc ñònh thöùc maø coù hai doøng gioáng nhau neân baèng khoâng). Ngoaøi ra, do (n) (n−1) p0uk = −p1uk −···−pn−1uk − pnuk neân coù theå vieát laïi dW p1 = − W dx p0 töùc laø x p1 W (x)=W (x0)exp{− dx} (3.12) x0 p0 ôû ñaây W (x0) laø giaù trò cuûa ñònh thöùc Wronski taïi x0 ∈ (a, b) naøo ñoù (p0 ñöôïc giaû söû luoân khaùc khoâng treân (a, b)). Heä thöùc (3.12) ñöôïc goïi laø ñoàng nhaát thöùc Abel1. Töø heä thöùc naøy coù theå thaáy raèng neáu W (x) trieät tieâu duø chæ taïi moät ñieåm thì seõ ñoàng nhaát baèng khoâng. Tìm phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát bieát heä nghieäm cô baûn cuûa noù: Ñeå ñôn giaûn, ta xeùt tröôøng hôïp PTVP caáp II. Cho tröôùc heä nghieäm cô baûn {y1,y2},ta seõ tìm phöông trình vi phaân daïng y + p(x)y + q(x)y =0 nhaän y1,y2 laøm nghieäm. Neáu y laø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình naøy thì y1 y2 y W [y1,y2,y]= y1 y2 y =0 y1 y2 y Khai trieån ñònh thöùc naøy theo coät cuoái ta ñöôïc: y1 y2 y1 y2 y1 y2 y − y + y =0 y1 y2 y1 y2 y1 y2 3.3.2 Phöông phaùp bieán thieân haèng soá tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát Nhö ñaõ bieát, nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát baèng toång cuûa moät nghieäm rieâng cuûa noù vaø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng. Vaán ñeà ñaët ra laø tìm nghieäm rieâng naøy. Moät trong nhöõng phöông phaùp thöôøng duøng ñeå giaûi quyeát baøi toaùn naøy laø phöông phaùp bieán thieân haèng soá ñeå tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát bieát nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát. 1Cuõng ñöôïc goïi laø coâng thöùc Ostrogradski−Liouville.
52 Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao Giaû söû u1(x),u2(x), ,un(x) laø caùc nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính cuûa phöông trình thuaàn nhaát L(u)=0 Khi ñoù, nghieäm toång quaùt cuûa noù laø u(x)=C1u1(x)+···+ Cnun(x). Baây giôø xem caùc haèng soá C1,C2, ,Cn nhö laø caùc haøm theo bieán x, ta tìm caùc haøm naøy sao cho y(x)=C1(x)u1(x)+···+ Cn(x)un(x) thoaû maõn phöông trình khoâng thuaàn nhaát (n) (n−1) L(y)=y + p1(x)y + ···+ pn−1(x)y + pn(x)y = g(x) (3.13) Moät caùch toång quaùt ta thay y(x) cuøng vôùi caùc ñaïo haøm ñeán caáp n cuûa noù vaøo phöông trình treân ñeå tìm caùc haøm Cj(x). Vì ta chæ coù moät phöông trình vi phaân trong khi coù n aån laø caùc haøm Cj(x) neân ta coù theå choïn theâm n − 1 heä thöùc khaùc giöõa caùc Cj(x) mieãn laø ñuû ñeå giaûi caùc haøm naøy. Cuï theå, ta seõ choïn caùc Cj(x) thoaû n − 1 heä thöùc sau:  ···  C1u1(x)+ + Cnun(x)=0  C1u1(x)+···+ Cnun(x)=0  ··· ··· ··· ···  (n−2) (n−2) C1u1 (x)+···+ Cnun (x)=0 Vaø khi ñoù, caùc ñaïo haøm cuûa y trôû thaønh y = C1u1(x)+···+ Cnun(x), y = C1u1(x)+···+ Cnun(x), · · ·················· (n−1) (n−1) (n−1) y = C1u1 (x)+···+ Cnun (x) Vì theá (n) (n) (n) y = C1u (x)+···+ Cnu (x) 1 n ∗ (n−1) (n−1) ( ) + C1u1 (x)+···+ Cnun (x) Nhö vaäy, y seõ thoaû phöông trình (3.13) mieãn laø (n−1) (n−1) C1u1 (x)+···+ Cnun (x)=g(x)(∗∗) Vì caùc haøm u1(x),u2(x), ,un(x) laø ñoäc laäp tuyeán tính neân heä n phöông trình (∗) vaø (∗∗) ñuû ñeå xaùc ñònh duy nhaát C1(x), ,Cn(x) theo u1(x),u2(x), ,un(x). Töø ñoù ta tìm ñöôïc C1(x), ,Cn(x). Ví duï:(n =2) Cho phöông trình y + p(x)y + q(x)y = g(x) Giaû söû y1,y2 laø hai nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính treân khoaûng I cuûa phöông trình y + p(x)y + q(x)y =0. Tìm nghieäm rieâng döôùi daïng yr = C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x). Ta coù yr = C1y1 + C1y1 + C2y2 + C2y2. Ta choïn C1,C2 sao cho tröôùc heát: C1y1 + C2y2 =0
3.4. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng 53 Khi ñoù yr = C1y1 + C2y2 + C1y1 + C2y2 . Thay vaøo phöông trình ñaõ cho ta coù: C1y1 + C2y2 = g(x) Do ñoù ta coù heä C1y1 + C2y2 =0 C1y1 + C2y2 = g(x) Giaûi heä naøy vôùi aån laø C1,C2 ta ñöôïc y2g y1g C1 = − vaø C1 = W [y1,y2] W [y1,y2] trong ñoù W [y1,y2]=y1y2 − y1y2 luoân khaùc khoâng treân I. Tích phaân caùc phöông trình naøy ta thu ñöôïc nghieäm rieâng y2g y1g yr(x)=−y1(x) dx + y2(x) dx W [y1,y2] W [y1,y2] 3.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng Trong muïc naøy ta xeùt caùc phöông trình vi phaân tuyeán tính vôùi heä soá laø caùc haèng soá. Daïng toång quaùt cuûa chuùng laø (n) (n−1) y + A1y + ···+ An−1y + Any = g(x) (3.14) vaø daïng thuaàn nhaát töông öùng (n) (n−1) y + A1y + ···+ An−1y + Any =0 (3.15) 3.4.1 Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát heä soá haèng Ta vieát laïi phöông trình (3.15) döôùi daïng toaùn töû n n−1 (D + A1D + ···+ An−1D + An)y =0 (3.16) d vôùi D nhö thöôøng leä kyù hieäu cho toaùn töû (aùnh xaï) tuyeán tính . Goïi kj,j = 1,n laø dx caùc nghieäm (phöùc) cuûa phöông trình n n−1 λ + A1λ + ···+ An−1λ + An =0 (3.17) maø ñöôïc goïi laø phöông trình ñaëc tröng cuûa (3.15). Khi ñoù, moät caùch hình thöùc coù theå vieát (3.16) döôùi daïng (do tính chaát giao hoaùn cuûa D vaø pheùp nhaân vôùi haèng soá) (D − k1)(D − k2) (D − kn)y =0
54 Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao Phöông trình naøy ñöôïc thoaû maõn ñoái vôùi moãi nghieäm cuûa caùc phöông trình vi phaân baäc nhaát sau (D − k1)y =0, (D − k2)y =0, , (D − kn)y =0 Nghieäm toång quaùt cuûa moãi phöông trình naøy laø kj x yj = Cje k1x k2x knx Boå ñeà 3.4.1. Taäp caùc haøm e ,e , ,e laø ñoäc laäp tuyeán tính treân R neáu caùc kj khaùc nhau töøng ñoâi moät. Chöùng minh: Ñònh thöùc Wronski cuûa n haøm naøy laø k x k x k x e 1 e 2 ··· e n k1x k2x knx k1e k2e ··· kne W (x)= . . . . . . . . . . kn−1ek1x kn−1ek2x ··· kn−1eknx 1 2 n 11··· 1 k1 k2 ··· kn = e(k1+···+kn)x . . . . . . . . . . kn−1 kn−1 ··· kn−1 1 2 n (k1+···+kn)x = e (ki − kj) =0 i>j (ñeå yù ñònh thöùc sau cuøng laø ñònh thöùc Vandermon). Heä quaû 3.4.2. Neáu caùc kj khaùc nhau töøng ñoâi moät thì nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình (3.15) laø k1x knx y = C1e + ···+ Cne Tröôøng hôïp phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm phöùc: Giaû söû caùc heä soá A1, ,An ñeàu thöïc vaø phöông trình ñaëc tröng (3.17) coù nghieäm phöùc kr = α + iβ. Khi ñoù noù cuõng coù nghieäm phöùc ks = α − iβ maø laø lieân hôïp phöùc vôùi kr. Vì vaäy, duøng heä thöùc Euler, ta coù krx ksx αx Cre + Cse = e {Cr(cos βx + i sin βx)+Cs(cos βx + i sin βx)} αx = e (C˜r cos βx + C˜s sin βx) trong ñoù C˜r, C˜s laø nhöõng haèng soá tuyø yù (coù theå phöùc). Ví duï: Xeùt phöông trình y − 2y +5y =0, phöông trình ñaëc tröng λ2 − 2λ +5=0 coù hai nghieäm phöùc lieân hôïp laø k1,2 =1± 2i. Do ñoù nghieäm toång quaùt laø y = x e (C1 cos 2x + C2 sin 2x).
3.4. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng 55 Tröôøng hôïp phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm boäi: Neáu phöông trình ñaëc tröng nhaän a laø nghieäm (thöïc) boäi m, khi ñoù veá traùi cuûa phöông trình (3.16) chöùa nhaân töû daïng (D − a)m. Ta xeùt phöông trình vi phaân caáp m töông öùng (D − a)my =0 Nghieäm cuûa phöông trình naøy coù theå tìm döôùi daïng y = eaxV (x) trong ñoù V (x) laø haøm caàn xaùc ñònh. Ta coù: (D − a)meaxV (x)=(D − a)m−1eaxDV (x) =(D − a)m−2eaxD2V (x) = ···= eaxDmV (x) Do ñoù y = eaxV (x) laø nghieäm cuûa (3.15) neáu DmV (x)=0. Vaäy V (x) phaûi laø ña thöùc baäc m − 1 theo x vaø nghieäm caàn tìm laø m−1 ax y =(C1 + C2x + ···+ Cmx )e Trong tröôøng hôïp nghieäm boäi a = α + iβ laø soá phöùc thì phöông trình ñaëc tröng (giaû söû caùc heä soá ñeàu thöïc) cuõng coù nghieäm boäi laø α − iβ vôùi cuøng soá boäi nhö a. Khi ñoù ta khi ñoù veá traùi cuûa phöông trình (3.16) chöùa nhaân töû daïng (D − α + iβ)m(D − α − iβ)m. Laäp luaän töông töï ta cuõng tìm ñöôïc nghieäm laø m−1 ax m−1 ax y =(C1 + C2x + ···+ Cmx )e cos βx +(C1 + C2x + ···+ Cmx )e sin βx vôùi 2m haèng soá tuyø yù. (4) Ví duï: Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình y +2y +y =0laø y =(C1 +C2x)cosx+ (C3 + C4x)sinx. 3.4.2 Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát: Trong muïc tröôùc ta ñaõ bieát caùch tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát baèng phöông phaùp bieán thieân haèng soá töø caùc nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng. Trong moät soá tröôøng hôïp maø haøm g(x) ôû veá phaûi cuûa phöông trình (3.14) coù daïng ñaëc bieät, ta coù theå tìm ñöôïc nghieäm rieâng cuûa noù theo phöông phaùp sau ñaây (taïm goïi laø phöông phaùp heä soá baát ñònh). αx Tröôøng hôïp I: g(x)=e Pm(x) (ôû ñaây Pm(x) laø ña thöùc baäc m) a) Neáu α khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng thì nghieäm rieâng coù theå tìm döôùi daïng αx yr = e Qm(x)
56 Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao b) Neáu α laø nghieäm boäi k cuûa phöông trình ñaëc tröng thì nghieäm rieâng coù theå tìm döôùi daïng k αx yr = x e Qm(x) trong ñoù Qm(x) laø ña thöùc toång quaùt baäc m maø ta phaûi xaùc ñònh caùc heä soá cuûa noù. Ví duï: Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình y − 3y +2y =(3− 4x)ex Phöông trình ñaëc tröng laø λ2 − 3λ +2=0 coù hai nghieäm laø λ1 =1vaø λ2 =2, trong ñoù α =1laø nghieäm ñôn cuûa noù neân nghieäm rieâng coù daïng x yr = xe (Ax + B) Thay vaøo phöông trình ñaõ cho vaø caân baèng caùc heä soá ta thu ñöôïc heä −2A =4 2A − B =1 x Giaûi ra ta ñöôïc A =2vaø B =1, khi ñoù nghieäm rieâng laø yr = xe (2x +1). Cuoái cuøng, x 2x x nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø y = C1e + C2e + xe (2x +1). Tröôøng hôïp II: g(x)=eαx{P (x)cosβx + Q(x)sinβx} (ôû ñaây P (x),Q(x) laø hai ña thöùc naøo ñoù) a) Neáu α + iβ khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng thì nghieäm rieâng coù theå tìm döôùi daïng αx yr = e {R(x)cosβx + S(x)sinβx} b) Neáu α + iβ laø nghieäm boäi k cuûa phöông trình ñaëc tröng thì nghieäm rieâng coù theå tìm döôùi daïng k αx yr = x e {R(x)cosβx + S(x)sinβx} trong ñoù R(x),S(x) laø hai ña thöùc coù baäc baèng max{deg(P ), deg(Q)} maø caùc heä soá cuûa chuùng ñöôïc tìm nhôø phöông phaùp heä soá baát ñònh. Ví duï: Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình y + y =4x sin x Phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm laø ±i vaø α + iβ = i laø nghieäm ñôn (boäi 1) cuûa noù neân nghieäm rieâng coù daïng yr = x[(Ax + B)cosx +(Cx + D)sinx]
3.4. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng 57 Thay vaøo phöông trình ñaõ cho vaø caân baèng caùc heä soá ta ñöôïc    −  −  2A =2  A = 1 − C B =0 ⇔ B =0    D + A =0  C =0 2C =0 D =1 Vì theá, nghieäm rieâng laø yr = x(−x cos x +sinx) vaø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø y = C1 cos x + C2 sin x + x(sin x − x cos x) Chuù yù: Neáu g(x) khoâng coù caùc daïng ñaëc bieät treân nhöng coù theå vieát thaønh g(x)=g1(x)+···+ gm(x) maø moãi gj coù daïng ñaëc bieät nhö treân thì ta tìm nghieäm rieâng döôùi daïng yr = y1 + ···+ y2 trong ñoù yj laø nghieäm rieâng töông öùng vôùi gj. Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình y − y =5ex − sin 2x. Ta laàn löôït tìm nghieäm rieâng cuûa caùc phöông trình y − y =5ex vaø y − y = x − sin 2x theo phöông phaùp treân. Keát quaû ta ñöôïc hai nghieäm rieâng laø y1 =5xe vaø 1 1 y2 = sin 2x− cos 2x. Do ñoù nghieäm rieâng cuûa phöông trình ñaõ cho laø yr = y1 +y2 = 5 10 1 1 5xex + sin 2x − cos 2x. 5 10
58 Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao BAØI TAÄP 1. Giaûi caùc phöông trình vi phaân caáp cao sau ñaây: (a) x − ey + y =0 2 (b) y +2yy =0 y (c) y = x − x 2 (d) y + x2 =1 2 (e) y = ay(1 + y ) 2. Giaûi caùc phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp II bieát moät nghieäm rieâng cuûa noù (a) x2(ln x−1)y−xy+y =0, bieát raèng noù coù moät nghieäm rieâng daïng y(x)=xα (b) (2x − x2)y +(x2 − 2)y +2(1− x)y =0,y(1) = 0,y(1) = 1, bieát raèng noù coù moät nghieäm rieâng daïng y(x)=ex (c) (2x − x2)y +2(x − 1)y − 2y = −2, bieát raèng noù coù hai nghieäm rieâng daïng y1(x)=1vaø y2(x)=x (HD: Neáu phöông trình thuaàn nhaát y + p(x)y + q(x)y =0coù moät nghieäm rieâng khaùc khoâng y1(x) thì moät nghieäm rieâng khaùc ñoäc laäp tuyeán tính vôùi y1(x) laø 1 − p(x)dx ) y2(x)=y1(x) 2 e dx y1(x) 3. Giaûi caùc phöông trình tuyeán tính heä soá haèng sau ñaây (a) y − 7y +6y =sinx (b) y +9y =6e3x (c) y − 9y +20y = x2e4x (d) y − 3y = e3x − 18x (e) y + y = x2 cos2 x − 18x (f) y − 4y +4y = e2x cos2 x 4. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình vi phaân sau ñaây: ex (a) y − y = ex +1 (b) y + y =tanx √ (c) y +2y + y =3e−x x +1 1 (d) y +5y +6y = e2x +1 5. Tìm phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát caáp II bieát heä nghieäm cô baûn: (a) {x3,x4}
3.4. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng 59 (b) {x, xex} 6. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình vi phaân sau ñaây: (a) y − 4y − y +4y =0 (b) y(4) − 5y +4y =0 (c) y − 2y +4y =0 7. Giaûi caùc baøi toaùn giaù trò ban ñaàu (a) y − 4y = −7e2x + x, vôùi y(0) = 1,y(0) = 3 (b) y +4y =34cosx +8, vôùi y(0) = 3,y(0) = 2 (c) y + y =5sin2 x, vôùi y(0) = 2,y(0) = −4 8. Vôùi caùc giaù trò naøo cuûa caùc soá thöïc a, b thì phöông trình y + ay + by =0 (a) coù moïi nghieäm trieät tieâu taïi ∞ (b) coù moïi nghieäm giôùi noäi treân (0, +∞) (c) coù moïi nghieäm tuaàn hoaøn treân R (d) moãi nghieäm ñeàu coù voâ soá khoâng ñieåm. − 1 p(x)dx 9. Chöùng toû raèng vôùi pheùp ñoåi aån y = ze 2 coù theå ñöa phöông trình y + p(x)y + q(x)y =0veà daïng z + Q(x)z =0. AÙp duïng vaøo giaûi phöông trình y − 2xy + x2y =0
60 Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao
Chöông 4 Heä phöông trình vi phaân caáp I Trong chöông naøy ta seõ nghieân cöùu caùc heä phöông trình vi phaân caáp I, ñaëc bieät laø caùc heä phöông trình vi phaân tuyeán tính maø caáu truùc nghieäm cuûa noù töông töï nhö tröôøng hôïp phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao. 4.1 Heä phöông trình vi phaân caáp I toång quaùt. 4.1.1 Caùc ñònh nghóa: Heä phöông trình vi phaân toång quaùt laø heä goàm caùc phöông trình chöùa bieán ñoäc laäp, caùc haøm (nghieäm) caàn tìm vaø nhaát thieát phaûi chöùa caùc ñaïo haøm cuûa chuùng theo bieán ñoäc laäp. Neáu chæ xuaát hieän caùc ñaïo haøm caáp I cuûa caùc aån, ta noùi heä ñoù laø heä phöông trình vi phaân caáp I. Ta noùi moät heä goàm n phöông trình vi phaân caáp I laø coù daïng chuaån taéc (daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm) neáu coù theå vieát döôùi daïng:   dy1  = f1(x, y1, ,yn)  dx   dy2 = f2(x, y1, ,yn) dx (4.1)  ·····················    dyn  = fn(x, y1, ,yn) dx trong ñoù x laø bieán ñoäc laäp, y1, ,yn laø caùc aån caàn tìm. Heä phöông trình chuaån taéc treân coù theå vieát laïi döôùi daïng thu goïn nhö sau y = f(x, y) (4.2) T T T trong ñoù y =(y1, ,yn) , y =(y1, ,yn) vaø f =(f1, ,fn) . Ñònh nghóa 4.1.1. Moãi nghieäm cuûa heä (4.1) laø moät boä goàm n haøm y1 = ϕ1(x), ,ϕn(x) khaû vi lieân tuïc treân khoaûng I ⊂ R maø khi thay vaøo (4.1) thì ñöôïc ñaúng thöùc ñuùng.
62 Chöông 4. Heä phöông trình vi phaân caáp I 4.1.2 Lieân heä giöõa heä phöông trình vaø phöông trình vi phaân caáp cao: Vôùi moät soá giaû thieát naøo ñoù, vieäc giaûi heä phöông trình (4.1) coù theå ñöa veà giaûi phöông trình vi phaân caáp cao döïa treân phöông phaùp khöû sau ñaây. Ñaïo haøm hai veá cuûa phöông trình ñaàu tieân cuûa heä (4.1), ta ñöôïc ∂f1 ∂f1 ∂f1 y1 = + y1 + ···+ yn ∂x ∂y1 ∂yn Thay caùc yj bôûi caùc bieåu thöùc cuûa noù, ta coù theå vieát y1 nhö laø haøm cuûa x, y1, ,yn y1 = F1(x, y1, ,yn) Laïi laáy ñaïo haøm hai veá ñaúng thöùc naøy theo x, ta coù ∂F1 ∂F1 ∂F1 y1 = + y1 + ···+ yn ∂x ∂y1 ∂yn =: F2(x, y1, ,yn) Tieáp tuïc quaù trình treân cho ñeán ñaïo haøm caáp n cuûa y1 ta ñöôïc heä   y1 = f1(x, y1, ,yn)   y1 = F1(x, y1, ,yn)  ·····················   (n)  y1 = Fn−1(x, y1, ,yn) Trong heä naøy ta xeùt n − 1 phöông trình ñaàu tieân vôùi n − 1 aån laø y2, ,yn. Vôùi moät vaøi ñieàu kieän naøo ñoù (ñeå giaû thieát cuûa ñònh lyù haøm ngöôïc ñöôïc thoaû maõn) ta coù theå (n−1) giaûi ñöôïc (duy nhaát) caùc y2, ,yn nhö laø haøm theo caùc bieán x, y1,y1, ,y1 . Thay bieåu thöùc cuûa chuùng vaøo phöông trình cuoái cuøng cuûa heä, ta coù (n) (n−1) y1 = Fn(x, y1,y1, ,y1 ) Ñaây laø phöông trình vi phaân caáp n daïng ñaõ giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm. Giaûi phöông trình (n−1) naøy ñeå tìm y1, roài tính caùc ñaïo haøm y1, ,y1 . Töø ñoù ta tính ñöôïc caùc y2, ,yn. Ngöôïc laïi, cho tröôùc phöông trình vi phaân caáp n daïng y(n) = f(x, y, y, ,y(n−1)) ta coù theå ñöa veà moät heä phöông trình vi phaân caáp I daïng chuaån taéc baèng caùch ñaët y1 = y,yj = yj−1   y1 = y2  y2 = y3  ···············  yn = f(x, y1,y2, ,yn)
4.1. Heä phöông trình vi phaân caáp I toång quaùt. 63 Ví duï: Giaûi heä sau dx dy = y, = x dt dt Ñaïo haøm hai veá cuûa phöông trình ñaàu roài keát hôïp vôùi phöông trình sau ta ñöôïc phöông trình d2x − x =0 dt2 töø ñoù nghieäm toång quaùt laø −t t x = x(t)=C1e + C2e ø Töøø phöông trình thöù nhaát ta tính ñöôïc −t t y = y(t)=−C1e + C2e 4.1.3 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm Ñoái vôùi heä phöông trình vi phaân caáp I, baøi toaùn Cauchy ñöôïc phaùt bieåu moät caùch töông töï nhö tröôøng hôïp moät phöông trình: Tìm nghieäm y1(x), ,yn(x) cuûa heä (4.1) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu 0 yj(x0)=yj ,j=1, 2, ,n (4.3) 0 0 trong ñoù caùc giaù trò x0 ∈ I,y1, ,yn cho tröôùc, goïi laø giaù trò ban ñaàu. Ñeå yù raèng khoâng phaûi bao giôø ñònh lyù Cauchy cuõng coù (duy nhaát ) nghieäm. Ñònh lyù sau ñaây giaûi quyeát baøi toaùn naøy ñoái vôùi heä chuaån taéc. Ñònh lyù 4.1.1 (Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm). Giaû söû caùc haøm f1(x, y), ,fn(x, y) n+1 0 0 trong (4.1) laø lieân tuïc treân moät taäp môû G ⊂ R chöùa (x0,y1, ,yn) vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz theo bieán y. Khi ñoù trong moät laân caän naøo ñoù cuûa x0 coù toàn taïi moät nghieäm y1(x), ,yn(x) thoaû baøi toaùn Cauchy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu ñaõ cho vaø nghieäm ñoù laø duy nhaát. dy T Chöùng minh: : Vieát laïi heä döôùi daïng = f(x, y), trong ñoù y := (y1, ,yn) vaø dx T f := (f1, ,fn) vaø laäp laïi caùc böôùc chöùng minh nhö trong ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát cho phöông trình vi phaân caáp I. Nhaän xeùt: Thay cho ñieàu kieän Lipschitz ta coù theå yeâu caàu (maïnh hôn) raèng haøm f(x, y) coù caùc ñaïo haøm rieâng theo bieán y bò chaën. Ñònh nghóa 4.1.2. Giaû söû taäp G thoaû maõn taát caû caùc giaû thieát cuûa ñònh lyù 4.1.1. Khi ñoù n haøm yj = yj(x, C1, ,Cn) j =1, 2, ,n (∗) phuï thuoäc vaøo n tham soá C1, ,Cn vaø coù caùc ñaïo haøm rieâng theo x ñöôïc goïi laø nghieäm toång quaùt cuûa heä (4.1) neáu:
64 Chöông 4. Heä phöông trình vi phaân caáp I 0 0 • Vôùi moãi (x0,y1, ,yn) trong G, töø heä (∗) coù theå giaûi ñöôïc (duy nhaát ) caùc haèng soá C1, ,Cn. • Taäp hôïp n haøm trong (∗) laø nghieäm cuûa heä (4.1) vôùi moãi boä giaù trò cuûa caùc tham soá C1, ,Cn giaûi ra ñoái vôùi moãi (x, y1, ,yn) ∈ G. Ñònh nghóa 4.1.3. Nghieäm cuûa heä maø taïi moãi ñieåm cuûa noù thoaû maõn caùc ñieàu kieän cuûa ñònh lyù 4.1.1 ñöôïc goïi laø nghieäm rieâng cuûa heä. Ngöôïc laïi, nghieäm cuûa heä maø tính chaát duy nhaát nghieäm bò vi phaïm ñöôïc goïi laø nghieäm kyø dò. Ví duï: Kieåm tra raèng heä caùc haøm −x −3x y1(x)=C1e + C2e −x −3x y2(x)=C1e +3C2e +cosx laø nghieäm toång quaùt cuûa heä y1(x)=−y2 +cosx y2(x)=3y1 − 4y2 +4cosx − sin x Ta coù f1(x, y1,y2)=−y2 +cosx vaø f2(x, y1,y2)=3y1 − 4y2 +4cosx − sin x, do ñoù chuùng coù caùc ñaïo haøm rieâng lieân tuïc treân R3. 3 Vôùi moãi (x, y1,y2) ∈ R , ta luoân coù theå giaûi ñöôïc (duy nhaát) caùc C1,C2, cuï theå 1 x − C1 = 2 e (3y1 y2 +cosx) 1 −3x − − C2 = 2 e (y2 y1 cos x Ngoaøi ra, töø caùc haøm ñaõ cho, ta coù −x −3x y1(x)=−C1e − 3C2e −x −3x y2(x)=−C1e − 9C2e − sin x neân chuùng thöïc söï laø nghieäm cuûa heä noùi treân. 4.1.4 Caùc phöông phaùp giaûi heä phöông trình vi phaân: Ñöa heä veà phöông trình caáp cao: Nhôø moái lieân heä chaët cheõ giöõa heä phöông trình vi phaân caáp I vaø phöông trình vi phaân caáp cao, ta coù theå ñöa vieäc giaûi heä phöông trình vi phaân veà giaûi phöông trình vi phaân caáp cao, nhö ví duï treân. Ta xeùt moät ví duï khaùc Ví duï: Tìm nghieäm cuûa heä chuaån taéc y1 = −y2 +cosx y2 =3y1 − 4y2 +4cosx − sin x
4.1. Heä phöông trình vi phaân caáp I toång quaùt. 65 Ta ñöa heä phöông trình ñaõ cho veà phöông trình vi phaân caáp II vôùi aån laø y1. Ñaïo haøm hai veá phöông trình ñaàu tieân ta ñöôïc y1 = −y2 − sin x = −(3y1 − 4y2 +4cosx − sin x) = −3y1 +4y2 − 4cosx Thay y2 töø phöông trình thöù II ta ñöôïc: y1 +4y1 − 3y1 =0 Phöông trình thuaàn nhaát naøy coù nghieäm toång quaùt laø −x −3x y1 = C1e + C2e Töø phöông trình thöù nhaát ta tìm ñöôïc −x −3x y2 = C1e +3C2e +cosx Heä goàm y1,y2 cho nghieäm (toång quaùt) cuûa heä phöông trình treân. Phöông phaùp laäp toå hôïp tích phaân: Cho heä phöông trình vi phaân caáp I dyi = fi(x, y1, ,yn), vôùi i =1, 2, ,n dx Ñeå giaûi heä naøy ta coù theå tìm moät phöông trình heä quaû (chaúng haïn toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc phöông trình treân) cuûa heä ñaõ cho, deã laáy tích phaân hôn, vaø ñöôïc goïi laø toå hôïp tích phaân cuûa heä phöông trình ñaõ cho. Ví duï: Baèng caùch laäp toå hôïp tích phaân, giaûi heä sau dx dy = y, = x dt dt Laáy hai phöông trình ñaõ cho coäng vaø tröø vôùi nhau ta ñöôïc d(x + y) d(x − y) = x + y vaø = −(x − y) dt dt Giaûi töøng phöông trình, ta thu ñöôïc heä t −t x + y = C1e vaø x − y = C2e Vaø töø ñaây ta tìm ñöôïc nghieäm x(t), y(t). Nhaän xeùt: Moãi toå hôïp tích phaân coù theå vieát döôùi daïng Φ(x, y1, ,yn)=C
66 Chöông 4. Heä phöông trình vi phaân caáp I vaø phöông trình naøy (hoaëc veá traùi cuûa noù) ñöôïc goïi laø tích phaân ñaàu cuûa heä. Neáu tìm ñöôïc k toå hôïp tích phaân cuûa heä   Φ1(x, y1, ,yn)=C1   Φ2(x, y1, ,yn)=C2    Φk(x, y1, ,yn)=Ck vaø neáu k tích phaân ñaàu naøy ñoäc laäp, thì coù theå ñöa veà giaûi heä n − k phöông trình. Tröôøng hôïp k = n, khi ñoù n tích phaân ñaàu ñoäc laäp cho ta nghieäm toång quaùt cuûa heä. Ví duï: Tích phaân heä phöông trình sau ñaây dx dy dz = z − y, = x − z, = y − x dt dt dt Coäng caùc phöông trình vôùi nhau ta ñöôïc d(x + y + z) =0 dt Phöông trình naøy cho moät tích phaân ñaàu laø ϕ1 = x + y + z = C1 Baây giôø nhaân caùc phöông trình vôùi x, y, z laàn löôït roài coäng laïi, ta ñöôïc d(x2 + y2 + z2) =0 dt töø ñaây ta cuõng thu ñöôïc tích phaân ñaàu 2 2 2 ϕ2 = x + y + z = C2 Ta deã kieåm tra raèng ϕ3 = xy + yz + yx = C3 cuõng laø moät tích phaân ñaàu nhöng boä ba goàm caùc tích phaân ñaàu ϕ1,ϕ2,ϕ3 khoâng ñoäc laäp tuyeán tính neân khoâng theå cho nghieäm toång quaùt cuûa heä. Baây giôø töø hai tích phaân ñaàu ñaàu tieân, ta giaûi ñeå tìm x, y: 1 2 2 x = C1 − z − 2C2 − C +2C1z − 3z 2 1 1 2 2 y = C1 − z + 2C2 − C +2C1z − 3z 2 1 Thay caùc bieåu thöùc naøy vaøo phöông trình cuoái dz 2 2 = 2C2 − C +2C1z − 3z dt 1 ta tìm ñöôïc nghieäm √ 3z − C1 − 3 arcsin 2 3t = C 6C2 − 2C1 Keát hôïp vôùi hai tích phaân ñaàu ϕ1,ϕ2 ta tìm ñöôïc nghieäm toång quaùt cuûa heä.
4.2. Moät soá ñònh lyù cô baûn cuûa phöông trình vi phaân 67 4.2 Moät soá ñònh lyù cô baûn cuûa phöông trình vi phaân 4.2.1 Söï toàn taïi nghieäm: Trong ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy, ñieàu kieän Lipschitz khoâng theå boû ñöôïc. Ñònh lyù sau ñaây khaúng ñònh söï toàn taïi (nhöng khoâng duy nhaát!) cuûa nghieäm khoâng duøng ñieàu kieän Lipschitz. n Ñònh lyù 4.2.1 (Peano). Xeùt hình hoäp A = {(x, y) ∈ R × R /|x − x0|≤a, ||y − y0|| ≤ b} n vaø giaû söû f : A → R lieân tuïc. Ñaët M =maxA ||f(x, y)|| vaø α =min(a, b/M). Khi ñoù baøi toaùn Cauchy y = f(x, y), y(x0)=y0 coù ít nhaát moät nghieäm treân [x0 − α, x0 + α]. Nhaän xeùt: Tröôùc heát haõy löu yù raèng ta khoâng theå söû duïng phöông phaùp laëp Picard vì khoâng coù lyù do baûo ñaûm daõy xaáp xæ ñoù hoäi tuï. Thay vaøo ñoù, ngöôøi ta xaây döïng caùc nghieäm xaáp xæ (ñòa phöông) bôûi tieáp tuyeán cuûa noù ∼ y(x + h) = y(x)+h.f(x, y(x)) Vôùi h cho tröôùc ta xaây döïng daõy {xn,yn}n≥0 xaùc ñònh bôûi: yn+1 = yn + hf(xn,yn),xn+1 = xn + h. (4.4) Ta goïi yh(x) laø haøm tuyeán tính töøng khuùc qua caùc ñieåm (xn,yn); ñoà thò cuûa noù ñöôïc goïi laø ña giaùc Euler. Boå ñeà 4.2.2. Vôùi caùc giaû thieát trong ñònh lyù 4.2.1 vaø vôùi h := α/N (N ∈ N), ña giaùc Euler thoaû (x, yh(x)) ∈ A vôùi moïi x ∈ [x0,x0 + α]. Ngoaøi ra, ||yh(x) − yh(x )|| ≤ M|x − x | vôùi moïi x, x ∈ [x0,x0 + α] Chöùng minh: Qui naïp theo n. Giaû söû ñieàu ñoù ñuùng vôùi n, ta coù ||yn+1 − yn|| ≤ hM neân, vôùi n +1≤ N ta ñeâu coù ||yn+1 − y0|| ≤ (n +1)hM ≤ αM ≤ b Ñieàu naøy chöùng toû (x, yh(x)) ∈ A vôùi moïi x ∈ [x0,x0 + α]. Baát ñaúng thöùc trong meänh ñeà laø hieån nhieân ñuùng vì yh(x) laø tuyeán tính töøng khuùc vaø coù “heä soá goùc” bò chaën bôûi M. Ñeå chöùng minh ñònh lyù ta caàn khaùi nieäm sau: n Ñònh nghóa 4.2.1. Hoï haøm fλ : I → R ñöôïc goïi laø ñoàng lieân tuïc neáu vôùi moïi >0, coù toàn taïi moät δ>0 (khoâng phuï thuoäc vaøo caû laãn λ) sao cho ∀λ, ∀x, x (|x − x | <δ=⇒||fλ(x) − fλ(x )|| <) n Ñònh lyù 4.2.3 (Arzela−Ascoli). Cho hoï caùc haøm fλ :[a, b] → R ñoàng lieân tuïc vaø bò chaën ñeàu treân [a, b]. Khi ñoù hoï haøm {fλ} coù chöùa moät daõy con {gn(x)} hoäi tuï ñeàu ñeán moät haøm g(x) lieân tuïc treân [a, b]. Chöùng minh: Xem giaùo trình giaûi tích haøm.
68 Chöông 4. Heä phöông trình vi phaân caáp I Chöùng minh ñònh lyù Peano: Xeùt ña giaùc Euler yh(x) vôùi h = α/N, Daõy naøy bò chaën vaø ñoàng lieân tuïc (theo Boå ñeà 4.2.2) neân theo ñònh lyù Arzela−Ascoli, hoï haøm yh(x) coù chöùa moät daõy con hoäi tuï ñeàu veà haøm lieân tuïc y :[a, b] → Rn Ta chæ ra raèng haøm giôùi haïn naøy chính laø nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy. Ta xeùt x ∈ [x0,x0 + α] (treân [x0 − α, x0] ta xeùt töông töï), kyù hieäu k = k(h) laø chæ soá sao cho x ∈ [xk,xk+1], vôùi xk = x0 + kh. Khi ñoù, treân ñoaïn con naøy ta coù yh(x) − y0 = hf(x0,y0)+···+ hf(xk−1,yk−1)+(x − xk)f(xk,yk) vôùi caùc caëp giaù trò (xj,yj) laø caùc xaáp xæ baèng phöông phaùp Euler (xem (4.4)). Vì f lieân tuïc neân khaû tích, vaø coù theå vieát x f(t, y(t))dt = hf(x0,y(x0)) + ···+ hf(xk−1,y(xk−1)) + (x − xk)f(xk,y(xk)) + r(h) x0 vôùi r(h) → 0 khi h → 0. Tính lieân tuïc ñeàu cuûa f treân A vaø söï hoäi tuï ñeàu cuûa daõy con cuûa {yh(x)} ñeán y(x) cho pheùp ta ñaùnh giaù ||f(x, yh(x)) − f(x, y(x))|| < vôùi h ñuû beù. Khi ñoù töø caùc ñaúng thöùc treân ta coù x yh(x) − y0 − f(t, y(t))dt ≤ |x − x0| + ||r(h)|| ≤ α + ||r(h)|| x0 Cho h → 0 ta thaáy haøm y(x) thoaû maøn phöông trình tích phaân x y(x)=y0 + f(t, y(t))dt x0 maø nghieäm cuûa noù chính laø lôøi giaûi cuûa baøi toaùn Cauchy. Nhaän xeùt: Ñònh lyù Peano hoaøn toaøn khoâng chöùa thoâng tin veà söï duy nhaát nghieäm. 4.2.2 Thaùc trieån nghieäm vaø söï toàn taïi toaøn cuïc: Ta quan taâm ñeán baøi toaùn keùo daøi nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy y = f(x, y) vôùi y(x0)=y0. Ñònh nghóa 4.2.2. Haøm f : U → Rn (vôùi U laø môû trong R × Rn) ñöôïc goïi laø thoaû ñieàu kieän Lipschitz ñòa phöông treân U neáu taïi moãi (x0,y0) ∈ U ñeàu toàn taïi laân caän V ⊂ U sao cho f thoaû ñieàu kieän Lipschitz treân V . Nhaän xeùt: Neáu haøm f lôùp C1 treân U thì thoaû ñieàu kieän Lipschitz ñòa phöông.
4.3. Heä phöông trình vi phaân tuyeán tính 69 Boå ñeà 4.2.4. Neáu f :→ Rn lieân tuïc vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz ñòa phöông treân U thì vôùi moïi (x0,y0) ∈ U ñeàu toàn taïi moät khoaûng môû Imax =(ω ,ω+) x0 sao cho: • Baøi toaùn Cauchy y = f(x, y) vôùi y(x0)=y0 coù nghieäm duy nhaát treân Imax n • Neáu z : I → R laø moät nghieäm naøo ñoù cuûa baøi toaùn Cauchy naøy thì I ⊂ Imax vaø z = y|I. Chöùng minh: Chæ caàn ñaët Imax = ∪{I/I môû chöùa x0 vaø baøi toaùn Cauchy coù nghieäm treân I} n Sau ñoù xaùc ñònh haøm y : Imax → R theo caùch sau: Vôùi x ∈ Imax, x phaûi thuoäc moät I naøo ñoù, maø treân ñoù baøi toaùn Cauchy coù nghieäm. Khi ñoù, ta gaùn y(x) bôûi giaù trò cuûa nghieäm ñoù taïi x. Phaàn coøn laïi, ta caàn chæ ra nghieäm nhö theá laø xaùc ñònh toát vaø duy nhaát. Chi tieát daønh cho baïn ñoïc. Ñònh lyù 4.2.5. Giaû söû f : U → Rn lieân tuïc vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz ñòa phöông treân U. Khi ñoù moãi nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy ñeàu coù moät thaùc trieån ñeán bieân cuûa U. n Chính xaùc hôn, giaû söû y : Imax → R laø nghieäm qua (x0,y0) ∈ U, khi ñoù vôùi moïi com- pact K ⊂ U ñeàu toàn taïi x1,x2 ∈ Imax vôùi x1 x0 sao cho (x2,y(x2)) ∈/ K. Xeùt tröôøng hôïp ω+ < ∞, giaû söû coù toàn taïi compact K maø (x, y(x)) ∈ K vôùi moïi x ∈ (x0,ω+).Vìf bò chaën treân K neân x ||y(x) − y(x )|| = f(t, y(t))dt ≤ M|x − x | < x neáu x, x ñuû gaàn ω+. Ñieàu naøy daãn ñeán toàn taïi limx→ω+ y(x)=y+; vaø roõ raøng (ω+,y+) ∈ K ⊂ U do K compact. Theo ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm, coù toàn taïi nghieäm cuûa baøi toaùn y = f(x, y), y+(ω+)=y+ trong laân caän cuûa ω+. Ñieàu naøy voâ lyù vì Imax laø cöïc ñaïi. Chöùng minh töông töï cho tröôøng hôïp x1. 4.3 Heä phöông trình vi phaân tuyeán tính Trong muïc naøy ta seõ khaûo saùt caùc heä phöông trình vi phaân tuyeán tính daïng   dy1  = a11(x)y1 + a12(x)y2 + ···+ a1n(x)yn + g1(x)  dx  dy2 ··· = a21(x)y1 + a22(x)y2 + + a2n(x)yn + g2(x) (4.5)  dx  ·······································   dyn = an1(x)y1 + an2(x)y2 + ···+ ann(x)yn + gn(x) dx
70 Chöông 4. Heä phöông trình vi phaân caáp I trong ñoù x laø bieán ñoäc laäp vaø y1, ,yn laø caùc aån haøm caàn tìm, caùc haøm aij(x) vaø gi(x) laàn löôït ñöôïc goïi laø caùc heä soá vaø heä soá töï do cuûa heä. Chuùng ñöôïc giaû thieát lieân tuïc treân khoaûng I =(a, b) ⊂ R naøo ñoù. Teân goïi heä phöông trình tuyeán tính laø do veá phaûi laø caùc haøm baäc nhaát theo caùc aån haøm y1, ,yn. Duøng kyù hieäu ma traän, coù theå vieát heä (4.5) döôùi daïng thu goïn y = A(x)y + g(x) (4.6) t trong ñoù A(x)=(aij(x)) laø ma traän haøm caáp n × n, g(x)=(g1(x), ,gn(x)) laø vector coät. Neáu g(x) ≡ 0, ta noùi heä treân laø heä tuyeán tính thuaàn nhaát , neáu ngöôïc laïi, ta noùi heä khoâng thuaàn nhaát. Ñònh lyù sau ñaây laø moät tröôøng hôïp rieâng cuûa ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm toång quaùt ñoái vôùi baøi toaùn Cauchy. Ñònh lyù 4.3.1 (Toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm). Giaû söû caùc heä soá aij(x) vaø gi(x) laø caùc haøm lieân tuïc treân khoaûng I x0. Khi ñoù heä phöông trình (4.6) coù duy nhaát moät nghieäm y = y(x) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu (4.3) treân I. 4.3.1 Heä tuyeán tính thuaàn nhaát: Ta seõ moâ taû kyõ hôn khoâng gian nghieäm cuûa heä thuaàn nhaát maø, vôùi kyù hieäu ma traän coù theå vieát laïi döôùi daïng y = A(x)y (4.7) Tröôùc heát haõy nhaän xeùt raèng taäp taát caû caùc nghieäm cuûa moät heä thuaàn nhaát coù caáu truùc khoâng gian vector (treân R). Ñeå xaây döïng nghieäm toång quaùt cuûa heä (4.7), ta tìm n nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính laäp thaønh cô sôû cuûa khoâng gian nghieäm cuûa noù. Heä n nghieäm nhö theá luoân toàn taïi, chaúng haïn, ta laáy n nghieäm yi(x)=(yi1(x), ,yin(x)), t vôùi i = 1,n maø thoaû ñieàu kieän ban ñaàu yi(x0)=ei =(0, ,0, 1, 0, ,0) , trong ñoù soá 1 ôû vò trí thöù i. Kyù hieäu R(x, x0) laø ma traän maø caùc vector coät cuûa noù laø caùc nghieäm ñaëc bieät naøy, khi ñoù R(x, x0) ñöôïc goïi laø giaûi thöùc cuûa heä phöông trình (4.7). Meänh ñeà sau cho ta vaøi tính chaát ñôn giaûn cuûa giaûi thöùc: Meänh ñeà 4.3.1. Giaû söû A(x) laø ma traän caùc haøm lieân tuïc treân moät ñoaïn naøo ñoù I x0. Khi ñoù: i) R(x0,x0)=In ii) R(x, x0)=R(x, x1)R(x1,x0) −1 iii) R(x, x0) khaû nghòch, vaø R(x, x0) = R(x0,x) Baây giôø, giaû söû yi(x)=(yi1(x), ,yin(x)), vôùi i = 1,n laø n nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính naøo ñoù cuûa heä (4.7). Ta kyù hieäu Φ(x) laø ma traän maø caùc coät cuûa noù laø n nghieäm naøy. Khi ñoù Φ(x) laø ma traän khaû nghòch vaø ñöôïc goïi laø ma traän cô baûn cuûa heä, trong khi ñònh thöùc cuûa noù cuõng goïi laø ñònh thöùc Wronski cuûa n nghieäm naøy. Ta kieåm tra khoâng khoù raèng