Bài giảng Phương pháp tính

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp tính

1. BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI BỘ MÔN: KHOA HOC̣ MÁ Y TÍNH KHOA: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BÀI GIẢNG Phƣơng pháp tính TÊN HỌC PHẦN : Phƣơng pháp tính MÃ HỌC PHẦN : 17201 TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : ĐẠI HỌC CHÍNH QUY DÙNG CHO SV NGÀNH : CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HẢI PHÒNG - 2008
2. 11.1. Tên học phần: Phương pháp tính Loại học phần: 2 Bộ môn phụ trách giảng dạy: Khoa học máy tính Khoa phụ trách: CNTT Mã học phần: 17201 Tổng số TC: 3 TS tiết Lý thuyết Thực hành/Xemina Tự học Bài tập lớn Đồ án môn học 60 45 15 0 0 0 Điều kiện tiên quyết: Sinh viên phải học xong các học phần sau mới được đăng ký học phần này: Đại số; Giải tích 1; Giải tích 2 Mục tiêu của học phần: Trang bị cho sinh viên các kiến thức cần thiết trong việc giải số các bài toán ứng dụng thường gặp trong kỹ thuật và tăng cường khả năng lập trình của sinh viên cho các bài toán đó. Nội dung chủ yếu Trình bày các khái niệm sai số; cách tính gần đúng nghiệm của phương trình; cách tính gần đúng đạo hàm và tích phân; phép nội suy hàm và giải gần đúng phương trình vi phân thường. Nội dung chi tiết của học phần: PHÂN PHỐI SỐ TIẾT TÊN CHƢƠNG MỤC TS LT TH/Xemina BT KT Chƣơng 1. Sai số 10 8 2 0 1.1. Khái niệm số gần đúng và sai số 1 1.2. Cách viết số xấp xỉ 2 1.3. Sự quy tròn số và sai số quy tròn 2 1 1.4. Các quy tắc tính sai số 2 1 1.5. Sai số phương pháp và sai số tính toán 1 1 Chƣơng 2. Giải gần đúng phƣơng trình 15 10 4 1 2.1. Đặt vấn đề 1 2.2. Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm 1 2.3. Phương pháp chia đôi 2 1 2.4. Phương pháp lặp 2 1 2.5. Phương pháp dây cung 2 1 2.6. Phương pháp tiếp tuyến (Newton) 2 1 Chƣơng 3. Xấp xỉ hàm 12 9 3 0 3.1. Đa thức nội suy. Lược đồ Hoócne 2 3.2. Đa thức nội suy Lagrange 2 1 3.3. Đa thức nội suy Newton 2 1 3.4. Phương pháp bình phương bé nhất 3 1 Chƣơng 4. Đạo hàm số. Tích phân số 12 8 3 1 4.1. Tính gần đúng đạo hàm 4 1 4.2. Tính gần đúng tích phân xác định 4 2 Chƣơng 5. Giải gần đúng phƣơng trình vi phân 11 7 3 1 5.1. Đặt vấn đề 1 5.2. Phương pháp Euler, Euler cải tiến 3 2 5.3. Phương pháp Runger-Kutta 3 1
3. PHÂN PHỐI SỐ TIẾT TÊN CHƢƠNG MỤC TS LT TH/Xemina BT KT Tổng số tiết: 60 42 15 3 Nhiệm vụ của sinh viên : Tham dự các buổi thuyết trình của giáo viên, tự học, tự làm bài tập do giáo viên giao, tham dự các buổi thực hành, các bài kiểm tra định kỳ và cuối kỳ. Tài liệu học tập : - Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội, 1996. - Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính, NXB Giáo dục Hà Nội, 2006. - Dương Thủy Vỹ, Giáo trình Phương pháp tính, NXB KH&KT Hà Nội, 2006. Hình thức và tiêu chuẩn đánh giá sinh viên: - Hình thức thi cuối kỳ : Thi viết. - Sinh viên phải đảm bảo các điều kiện theo Quy chế của Nhà trường và của Bộ Thang điểm: Thang điểm chữ A, B, C, D, F Điểm đánh giá học phần: Z = 0,3X + 0,7Y.
4. Chƣơng 1: Sai số 1.1. Sai số tuyêṭ đố i và sai số tƣơng đố i 1.Sai số tuyêṭ đố i Trong tính gần đúng ta làm viêc̣ vớ i các giá tri ̣gần đúng của các đaị lươṇ g. Cho nên vấn đề đầu tiên cần nghiên cứ u, là vấn đề sai số. Xét đại lượng đúng A có giá tri ̣gần đúng là a. Lúc đó ta nói “ a xấp xỉ A” và viết “ a A ”. Trị tuyêṭ đối a A gọi là sai số tuyêṭ đối của a ( Xem là giá tri ̣gần đúng của A). Vì nói chung ta không cần biết số đúng A, nên không tính đươc̣ sai số tuyêṭ đối của a. Do đó ta tìm cách ước lượng sai số đó bằng số dương ∆a nào đó lớ n hơn hoăc̣ bằng : ∆a (1.1) Số dương ∆a này gọi là sai số tuyêṭ đối giớ i haṇ của a. Rõ ràng nếu ∆a là sai số tuyêṭ đối giớ i haṇ của a thì moị số ∆’ > ∆a có thể xem là sai số tuyêṭ đối giớ i haṇ của a. Vì vậy trong những điều kiện cụ thể người ta chọn ∆a số dương bé nhất có rhể được thoả mãn những (1.1) Nếu số xấp xỉ a của A có sai số tuyêṭ đối giớ i haṇ là ∆a thì ta quy ướ c viết A = a ∆a (1.2) với nghĩa của( 1.1) tứ c là: a - ∆a A a + ∆a (1.3) 2. Sai số tƣơng đố i: a A a A Tỉ số  gọi là sai số số tương đối của a (so vớ i A). Nói a A chung tỉ số đó không tính đươc̣ vì A nói chung không biết . Ta goị tỉ số: a a = ( 1.4) a Gọi là sai số tương đối gới hạn của a. Ta suy ra: ∆a = a a ( 1.5) 1
5. Các công thức (1.4) và (1.5) cho liên hê ̣giữa sai số tương đối và sai số tuyêṭ đối . Biết ∆a thì ( 1.4) cho phép a , biết a thì ( 1.5) cho phép tính ∆a . Do ( 1.5) nên ( 1.2) cũng có thể viết : A= a ( 1 a ) (1.6) Trong thưc̣ tế ngườ i ta xem ∆a là sai số tuyệt đối và lúc đó a cũng gọi là sai số tương đối. 3. Chú thích Sai số tuyêṭ đối không nói lên đầy đủ “ Chất lươṇ g” của môṭ số xấp xi,̉ thưc̣ tế “ Chất lươṇ g” đươc̣ phản ánh qua sai số tương đối. Lấy thí du:̣ đo hai chiều dài A và B được a = 10 m vớ i ∆a = 0,05 m và b = 2m Vớ i ∆b = 0,05m. Rõ ràng phép đo A thưc̣ hiêṇ “ Chất lươṇ g” hơn phép đo B. Điều đó không phản ánh qua sai số tuyêṭ đối vì chúng bằng nhau, mà qua sai số tương đối: 0,05 0,05 a = 0,5% 0,5 .10 thì nói s là chữ số đá ng nghi. 2
6. Như vâỵ là ta đa ̃ gắn khái niêṃ sai stôú yêṭ đối vớ i khái niêṃ chữ số đáng t.i n Thí dụ: Cho a = 65,827 vớ i ∆a thì các chữ số 6, 5, 8, 2 là đáng tin, còn các chữ số 7, 4 là đáng nghi. Nếu ∆a = 0,0067 thì các chữ số 6, 5, 8, là đáng tin còn các chữ số 2, 7, 4 là đáng nghi. Rõ ràng nếu s là đáng tin thì tất cả những chữ số có nghĩa đứng ở bên trái nó cũng là đáng tin và nếu s là đáng nghi thì tất cả những chữ số có nghĩa ở bên phải nó cũng đáng nghi. 3. Cách viết số xấ p xi ̉ Cho số a là giá tri ̣xấp xỉ của A vớ i sai số tuyêṭ đối giớ i haṇ là ∆a. Có hai cách viết số xấp xỉ a. Cách thứ nhất là viết kè m theo sai số như ở công thứ c (1.2) hoăc̣ ( 1.6) . Cách thứ hai là viết theo quy ướ c: Mọi chữ số có nghĩa là đáng tin. Môṭ số viết theo cách thứ hai có nghiã là nó có sai số tuyêṭ đối giớ i haṇ không lớ n hơn môṭ nử a đơn vi ̣ở hà ng cuối cù ng. Các bảng số cho sẵn như bảng lôgarít, v v thườ ng in các số xấp xỉ theo quy ướ c này. 1.3. Sai số quy tròn 1. Hiêṇ tƣơṇ g quy tròn số và sai số quy tròn. Trong tính toán khi găp̣ môṭ số có quá nhiều chữ số đáng nghi ngườ i ta bỏ đi môṭ vài chữ số ở cuối cho goṇ , viêc̣ làm đó goị là quy trò n số. Mỗi khi quy tròn môṭ số ngườ i ta taọ ra môṭ sai số mớ i goị là sai số quy trò n nó bằng hiệu giữa số đa ̃ quy tròn và số chưa quy tròn. Trị tuyệt đối của hiệu đó gọi là sai số quy tròn tuyêṭ đối càng bé càng tốt, ta choṇ quy tắc sau đây: quy trò n sao cho sai số quy tròn tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng được giữ lại cuối cùng, tứ c là 5 đơn vi ̣ở hà ng bỏ đi đầu tiên, cụ thể là, nếu chữ số bỏ đi đầu tiên 5 thì thêm và o chữ số giữ laị cuối cù ng môṭ đơn vi, ̣ còn nếu chữ số bỏ đi đầu tiên < 5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng. Thí dụ: Số 62,8274 quy tròn đến chữ số lẻ thâp̣ phân thứ ba (tứ c là giữ laị các chữ số từ đầu đến chữ số lẻ thâp̣ phân thứ b) sẽ thành số 62,827; cũng số đó quy tròn đến chữ số lẻ thập phân thứ hai sẽ thành 62,83; và cũng số đó quy tròn đến ba chữ số có nghiã (tứ c là chỉ giữ laị ba chữ số có nghiã ) sẽ thành 62,8. 2. Sai số củ a số đã quy tròn. 3
7. Gải sử a là số xấp xỉ của số đúng A với sai số tuyệt đối giới hạn là ∆a . Giả sử ta quy tròn a thành a’ thì a' a là sai số quy tròn tuyêṭ đối. Số lươṇ g ốa thoả mãn: ốa’ ( 1.8) Gọi là sai số quy tròn tuyệt đối giới hạn, cũng gọi là sai số quy tròn tuyệt đối cho goṇ . Hãy tính sai số tuyệt đối giới hạn ∆a’ của a’. Ta có: a’ - A = a’ - a + a - A Do đó: a' A a' a + a A ốa’ + ∆a Vâỵ ta có thể lấy ∆a’ = ∆a + ốa’ (1.9) Rõ ràng ∆a’ > ∆a tứ c là viêc̣ quy tròn số làm tăng sai số tuyêṭ đối giớ i haṇ . 3. ảnh hƣở ng củ a sai số quy tròn Thí dụ: Xét đại lượng A = ( 2 - 1 )10 . áp dụng công thức nhị thức niutơn (Newton) ta có công thứ c đúng: ( 2 - 1)10 = 3363 - 2378 2 ( 1.10) Vớ i: 2 = 1,41421356 Bây giờ ta tính hai vế của (1.10) bằng cách thay 2 bở i cá số quy tròn (xem bảng 1.1): Bảng 1.1 ơ 2 Vế trái Vế phải 1,4 0,0001048576 33,8 1,41 0,00013422659 10,02 1,414 0,00014791200 0,508 1,41421 0,00014866399 0,00862 1,414213563 0,00014867678 0,0001472 Sư ̣ khác biêṭ giữa các giá tri ̣tính ra của hai vế chứ ng tỏ rằng sai số quy tròn có thể có những tác dụng rát đáng ngại trong các quá trình tính toán. Ta nói quá trình tính A bằng vế trái của (1.10) là quá trình tính ổn định, quá trình tính A bằng vế phải của (1.10) là quá trình tính không ổn định. 4
8. 1.4. Các quy tắc tính sai số 1. Mở đầu. Xét hàm số u của hai biến số x và y : u = f( x,y) (1.11) Cho biết sai số về x và y, hãy lập công thức tính sai số về u. Để tránh nhầm lâñ trướ c hết ta nhắc laị ý nghiã của các ký hiêụ : ∆x, ∆y, ∆u chỉ các số gia của x, y, u Dx, dy, du chỉ các vi phân của x, y, u ∆x, ∆y, ∆u lại là các sai số tuyệt đối của x, y, u. Theo điṇ h nghiã (1.1) ta luôn có: x ∆x ; y ∆y (1.12) Ta phai tim: ∆ để có ∆ ̉ ̀ u u u 2. Sai số củ a tổng u = x + y Ta có: ∆u = ∆x + ∆y Ta suy ra: u x + y Do đó theo ( 1.12) ta có: u ∆x + ∆y Ta choṇ : ∆x+y = ∆x + ∆y (1.13) Để có: u ∆u . Vâỵ có quy tắc: Sai số tuyêṭ đối ( Giớ i haṇ ) của một tổng bằ ng tổng cá c sai số tuyêṭ đối (Giớ i hạn) của các số hạng. Chú thích. Xét trường hợp u = x- y vớ i x và y cùng dấu . Lúc đó: u x y u = = u x y Cho nên nếu x y rất bé thì sai số tương đối giớ i haṇ rất lớ n. Do đó trong tính toán người ta tìm cách tránh phải trừ các số gần nhau. 5
9. 3. Sai số củ a tích u = xy Ta có: ∆u du = ydx + xdy y∆x + x∆y u y x + x y y ∆x + x ∆y Ta suy ra: ∆u = ∆x + x ∆y y x u x y x y Do đó: u = = = u xy x y Tứ c là có: xy = x + y ( 1.14) Vâỵ có quy tắc: Sai số tương đối (Giớ i haṇ ) của một tích bằng tổng các sai số tương đối (Giớ i haṇ ) của các số hạng của tích. Đặc biệt ta có: n  (x ) = nx ; n nguyên dương ∆ (1.15) 4. Sai số củ a thƣơng x/y y ≠ o Tương tư ̣ như trườ ng hơp̣ tích ta có quy tắc: Sai số tương đối của môṭ thương bằ ng tổng cá c sai số tương đối của cá c haṇ g số haṇ g : x/y = x +y ( 1.16) 5. Công thƣ́ c tổng quá t: Cho : u = f( x1, x2, ,xn) n f Ta có sai số tuyêṭ đối : ∆u = ∆xi ( 1.17)   n 1 xi Và từ đó ta suy ra sai số tương đối u theo điṇ h nghiã (1.4) Thí dụ: Tính sai số tuyệt đối (giớ i haṇ ) và sai số tương đối (giớ i haṇ ) của thể tích cầu: 1 V= đd3 6 Nếu đườ ng kính d = 3,7 0,05 cm và đ = 3,14. Giải . Xem đ và d là đối số của hàm V, theo (1.14) và (1.15) ta có: v = đ + 3d 6
10. đ = 0,0016/314 = 0,0005 d = 0,05/3,7 =0,0135 Suy ra: V = 0,0005 + 3.0,0135 = 0,04 1 3 3 Măṭ khác: V= đd = 26,5 cm 6 3 Vâỵ có: ∆V = 26,5 .0,04 = 1,06 1,1cm V= 26,5 1,1 cm3 1.5. sai số tính toá n và sai số phƣơng phá p 1. Mở đầu Khi giải gần đúng môṭ bài toán phứ c tap̣ ta phải thay bài toán đa ̃ cho bằng môṭ bài toán đơn giản hơn có thể giải đươc̣ thông qua viêc̣ thưc̣ hiêṇ các phép tính thông thường bằng tay hoặc máy tính điện tử. Phương pháp thay bài toán phứ c tap̣ bằ ng bà i toá n đơn giản như thế goị là phương phá p gần đú ng. Sai số do phương pháp gần đúng taọ ra goị là sai số phương pháp. Để giải bài toán đơn giản ta phải thực hiện các phép tính thông thường, ta luôn luôn phải quy tròn các kết quả trung gian. Sai số taọ ra bở i tất cả các lần quy tròn như vâỵ goị là sai số tính toán. Sai số cuối cùng là tổng hơp̣ của hai loaị sai số phương pháp và tính toán nói trên. 2.Thí dụ a) Hãy tính tổng: 1 1 1 1 1 1 A = - + - + - 13 23 33 43 53 63 Giải. A là tổng của 6 phân số. Ta có thể tính trưc̣ tiếp A mà không phải thay nó bằng một tổng đơn giản hơn . Vì vậy ở đây không có sai số phương pháp. Để tính A ta hãy thực hiện các phép chia dến ba chữ số lẻ thập phân và đánh giá các sai số quy tròn tương ưng: 1 1 = = 1,000 vớ i  1 = 0 13 1 1 1 = = 0,125 vớ i  2 = 0 23 8 7
11. 1 1 4 = = 0,037 vớ i  3 = 4.10 33 27 1 1 4 = = 0,016 vớ i  4 = 4.10 43 64 1 1 = = 0,008 vớ i  5 = 0 53 125 1 1 4 = = 0,005 vớ i  6 = 4.10 63 216 Vâỵ A a =1,000 - 0,125 + 0,037 - 0,016 + 0,008 - 0,005 = 0,899 1 1 1 A a = 1 - 0,125 + 0,037 13 23 33 1 1 1 - 0,016 + 0,008 - 0,005 43 53 63 1 1 A a 1 + 0,125 13 23 1 1 1 + 0,037 + 0,016 + 0,008 33 43 53 1 + 0,005  + +  +  +  + = 9.10 4 63 1 2 3 4 5 6 Do đó a = 0,899 là giá trị gần đúng của A với sai số tính toán 9.10 4 : Ta viết A = 0,899 9.10 4 ( 1.18 ) b) Hãy tính đại lượng` 1 1 1 1 B = - + - + 1 n 1 + 13 23 33 n3 Vớ i sai số tuyêṭ đối không vươṭ quá 5.10 3 Giải . Vế phải của B là hơp̣ lý. Nhưng vế phải lá môṭ “ tổng vô haṇ số haṇ g”, ta không thể côṇ g hết số này đến số khác maĩ đươc̣ . Do đó để tính B ta phải sử dụng một phương pháp gần đúng, cụ thể là thay B bằng tổng của n số hạng đầu: 8
12. 1 1 1 B = - + + 1 n 1 n 13 23 n3 Bài toán tính Bn đơn giản hơn bài toán tính B. Lúc đó B Bn là sai số phương pháp, và số n phải được chọn sao cho sai số phương pháp ấy cộng với sai số tính -3 toán vẫn còn nhỏ hơn 5.10 . Ta có : 1 1 1 B B = n n 1 3 n 2 3 n 1 3 (theo lí thuyết về chuỗi số đan dấu), vớ i n = 6 ta thấy : 1 1 B B 3.10 3 6 73 334 Ta chú ý rằng B6 = A đa ̃ tính ở trên (xem 1.18): 4 B6 = A = 0,899 9.10 Vâỵ có thể lấy B 0,899. Để xét sai số ta có : B - 0,889 = B - B6 + A - 0,899 B 0,899 B B6 A 0,899 B 0,899 3.10 3 9.10 4 4.10 3 Vâỵ ta đa ̃ tính đươc̣ B 0, 899 vớ i sai số tuyêṭ đối không vươṭ quá 4.10 3 Chú ý rằng : trong sai số tổng hơp̣ cuối cùng có phần của sai số phương pháp và có phần của sai số tính toán, cho nên ta phải khéo phân bố sao cho sai số cuối cùng nhỏ hơn sai số cho phép. 1.6. phụ lục 1 Sƣ ̣ ổn đinh củ a môṭ quá triǹ h tính 1. Mở đầu Xét một quá trình vô hạn (tứ c là gồm vô số bướ c) để tính ra một đại lượng nào đó. Ta nói quá trình tính là ổn điṇ h nếu sai số tính toán tứ c là các sai số quy tròn tính luỹ lại không tăng vo hạn. Nếu sai số đó tăng vô haṇ thì ta nó i quá trình tích là không ổn điṇ h. 9
13. Rõ ràng nếu quá trình tính không ổn định thì khó có hi vọng tính được đại lượng cần tính vớ i sai số cho phép. Cho nên trong tính toán ki ̣nhất là các quá trình tính không ổn điṇ h. Để kiểm tra tính ổn điṇ h của môṭ quá trình tính thườ ng ngườ i ta giả sử sai số chỉ xảy ra tại một bước, sau đó cho phép tính đều làm đúng không có sai số, nếu cuối cùng sai số tính toán không tăng vô haṇ thì xem như quá trình tính ổn điṇ h. 2.Thí dụ Xét quá trình tính y i 1 =qy i , ( 1.19 ) y 0 và q cho trước . Giả sử tại bước i xác định nào đó khi tính y i ta phaṃ môṭ sai số  i (đây không phải là kí hiệu của sai số tương đối như trướ c đây), nghĩa là thay cho y i ta chỉ thu đươc̣ ~ . Giả sử : y i ( 1. 20 ) yi y i ~ Sau đó thay cho y i+1 ta có y i + 1 vớ i : ~ ~ y i + 1 = q y i = > 0 Lấy( 1.21) trừ (1.19) vế vớ i vế ta đươc̣ : i + 1 - yi+1 = q q yi yi ~ i + 1 - yi+1 = q ( ) y i yi Tiếp theo ta có: ~ = q ~ y i 2 y i 1 = q yi 2 yi 2 Bằng phép trừ như trên ta laị có: ~ - = q( ~ - ) y i 2 yi 2 y i 1 yi 1 = q2 ( ~ - ) y i yi Môṭ cách tổng quát ta có: 10
14. ~ - = qn ( ~ - ) y i n yi n y i yi ~ = q n ~ ` y i n yi n y i yi Như vâỵ , nếu ơ bươc i ta mắc môṭ sai số ~y =  và sau đó mọi phép ̉ ́ y1 tính đều làm đúng thì ở bước i+ n ta se ̃ mắc sai số ~ = q n y i n yi n Ta thấy có hai trườ ng hơp̣ cần phân biêṭ; n 1. Trườ ng hơp̣ q 1 lúc đó q ~  vơi moị n y i n yi n ́ nghĩa là sai số tính toán bị chặn ( không tăng vô haṇ ). Vâỵ quá trình tính ổn điṇ h. n n 2.Trườ ng hơp̣ 1 - Lúc đó tăng khi n và , nên sai số khi n Vâỵ quá trình tính không ổn điṇ h Trong thưc̣ tế , măc̣ dù quá trình tính là vô haṇ , ngườ i ta cũng chỉ làm môṭ số hữu hạn bước, nhưng vâñ phải đòi hỏi quá trình tính ổn điṇ h mớ i hy voṇ g môṭ số hữu haṇ bướ c có thể đaṭ đươc̣ mứ c đô ̣chính xác mong muốn. Bài tập o o 1. Khi đo môṭ góc ta đươc̣ các giá tri ̣sau: a = 21 37’3’’ ; b = 1 10’’ Hãy tính sai số tương đối của các số xấp xỉ đó biết rằng sai số tuyêṭ đối trong các phép đo là 1’’ 2. Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số xấp xỉ sau đây cho biết sai số tương đối của chúng: a = 13267 ; a = 0,1% b = 2,32 ; b = 0,7% 3. Hãy xác định số các chữ số đáng tin trong các số đáng tin trong các số a với sai số tuyêṭ đối như sau: -2 a = 0,39410; a = 0,25 .10 11
15. b = 38,2543 ; = 0,25 .10 -2 b 4. hãy xác định số những chữ số đáng tin trong các số a với sai số tương đối như sau: -2 a = 1,8921 ; a = 0,1.10 b = 22,351; b= 0,1. 5. Hãy quy tròn các số dưới đây (xem là đúng) vớ i ba chữ số đáng tin và xác điṇ h sai số tuyêṭ đối và sai số tương đối  của chúng: a) 2,1514; b)0,16152; c)0,01204; d) - 0,0015281. 6. Hãy xác định giá trị của hàm số dưới đây cùng với sai số tuyệt đối và sai số tương đối ứ ng vớ i những giá tri ̣của các đối số cho vớ i moị chữ số có nghiã đều đáng tin : a) u = ln ( x + y2 ) ; x = 0,97 ; y = 1,132 b) u = (x + y2)/z ; x = 3,28; y= 0,932 ; z= 1,132. 7. Tính tổng S sau đây với ba chữ số lẻ thập phân đáng tin : 1 1 1 1 1 1 1 S = + + + + + + 11 12 13 14 15 16 17 1 1 1 8. Tính số e: e = 1 + + + + + 1! 2! n! -4 vớ i sai số tuyêṭ đối không quá 10 Trả lời -4 -3 1. a = 0,13.10 ; b = 0,28.10 2 -1 2. a = 0,13.10 ; b = 0,16.10 3. a) 2; b) 4. 4. a) 3; b)1. 5. a)2,15; = 0,14.10-2;  = 0,65.10-3 b) 0,162; = 0,48.10-3;  = 0,3.102 c) 0,0120; = 0,4.10-4;  = 0,33.10-2 d) -0,00153; = 0,19.10-5;  = 125. 10-2 -2 -2 6. a) u = 0,81; u = 0,27. 10 ; u = 0,33. 10 -2 -2 b) u = 3,665; u = 0,7. 10 ; u = 0,20. 10 7. S = 0,511. 12
16. 8. e = 2,7183 0,0001. 13
17. Chƣơng 2: Tính gần đúng nghiệm thực của một phƣơng trình 2.1. nghiêṃ và khoảng phân li nghiệm 1. Nghiêṃ thƣc̣ củ a phƣơng triǹ h môṭ ẩn Xét phương trình một ẩn : f(x) = 0 (2.1) trong đó : f là môṭ hàm số cho trướ c của đối số x. Nghiêṃ thưc̣ của phương trình (2.1) là số thực thoả mãn (2.1) tứ c là khi thay vào x ở vế trái ta được: f( ) = 0 (2.2) 2. ý nghĩa hình học của nghiệm a ve ̃ đồ thi c̣ ủa hàm số: y= f(x) (2.3) y trong môṭ hê ̣toa ̣đô ̣vuông góc oxy (hình2-1). giả sử đồ thị cắt trục hoành tại một điểm M thì điểm M này có tung đô ̣y = 0 và hoành độ x = . thay chúng M vào (2.3) ta được: x 0 = f( ) (2.4) Hình 2-1 Vâỵ hoanh đô ̣ của giao điểm M chính ̀ f y là một nghiệm của (2.1) M Trướ c khi ve ̃ đồ thi ̣ta cũng có thể thay g phương trình (2.1) bằng phương trình tương đương : g(x) = h(x) (2.5) x rồi ve đồ thi ̣cua 2 hàm số (hình 2-2) ̃ ̉ y = g(x), Hình 2.2 y = h(x) (2.6) Giả sử hai dồ thị ấy cắt nhau tại điểm M có hoành độ x = thì ta có: g( ) = h( ) (2.7) 14
18. Vâỵ hoành đô ̣ của giao điểm M của 2 đồ thi (̣ 2.6) chính là một nghiệm của (2.5), tứ c là của (2.1). 3. Sƣ ̣ tồn taị nghiêṃ thƣc̣ củ a phƣơng triǹ h (2.1) Trướ c khi tìm cách tính gần đúng nghiêṃ thưc̣ của phương trình (2.1) ta phải tư ̣ hỏi xem nghiệm thực ấy có tồn tại hay không. Để trả lờ i ta có thể dùng phương pháp đồ thị ở mục 2 trên. Ta cũng có thể dùng điṇ h lý sau: Điṇ h lí 2.1 - Nếu có 2 số thưc̣ a và b (a<b) sao cho f(a) và f(b) trái dấu tức là f(a).f(b) < 0 (2.8) đồng thờ i f(x) liên tuc̣ trên [a, b] thì ở trong khoảng [a, b] có ít nhất một nghiêṃ thưc̣ của phương trình (2.1). Điều đó có thể minh hoa ̣trên đồ thi ̣ (hình 2 - 3). Đồ thị của hàm số y = f(x) tại a x b là môṭ đườ ng liền nối hai y B điểm A và B, A ở dướ i , B ở trên truc̣ hoành, nên phải cắt truc̣ hoành tại ít nhất môṭ điểm ở trong khoảng từ a đến a x b. Vâỵ phương trình (2.1) có ít nhất b môṭ nghiêṃ ơ trong khoang [a, b]. ̉ ̉ A Hình 2-3 4. Khoảng phân ly nghiệm (còn gọi là khoảng cách ly nghiêṃ hay khoảng tách nghiêṃ ) Điṇ h nghiã 2.1 - Khoảng [a, b] nào đó gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình (2.1) nếu có chứ a môṭ và chỉ môṭ nghiêṃ của phương trình đó. Để tìm khoảng phân ly nghiêṃ ta có điṇ h lý: 15
19. Điṇ h lý 2.2 - Nếu [a, b] là một khoảng trong đó hàm số f(x) liên tuc̣ và đơn điêụ , đồng thờ i f(a) và f(b) trái dấu, tứ c là có (2.8) thì [a, b] là một khoảng phân ly nghiêṃ của phương trình (2.1). Điều này có thể minh hoạ bằng đồ thị ( hình 2 - 4). Đồ thị của hàm số y = f(x) cắt truc̣ hoành tại một và chỉ một điểm ở trong [a, b]. Vâỵ [a, b] chứ a môṭ và chỉ môṭ y B nghiêṃ của phương trình (2.1). Nếu f(x) có đạo hàm thì điều kiện đơn điêụ có thể thay bằng điều kiêṇ a x không đổi dấu của đạo hàm vì đạo hàm b không đổi dấu thì hàm số đơn điêụ . ta A có: Hình 2-4 Điṇ h lý 2.3 - Nếu [a, b] là một khoảng trong đó hàm f(x) liên tuc̣ , đaọ hàm f’(x) không đổi dấu và f(a), f(b) trái dấu thì [a, b] là một khoảng phân ly nghiêṃ của phương trình (2.1) Muốn tìm các khoảng phân ly nghiêṃ của phương trình (2.1) thườ ng ngườ i ta nghiên cứ u sư ̣ biến thiên của hàm số y = f(x) rồi áp duṇ g điṇ h lý 2.3. 5. Thí dụ Cho phương trình f(x) = x3 - x - 1 = 0 (2.9) Hãy chứng tỏ phương trình này có nghiệm thực và tìm khoảng phân li nghiêṃ . Giải : Trướ c hết ta xét sư ̣ biến thiên của hàm số f(x). Nó xác định và liên tục tại mọi x, đồng thờ i 16
20. 1 f’(x) = 3x2 - 1 = 0 tại x = 3 Ta suy ra bảng biến thiên x - -1/ 3 1/ 3 + f’(x) + 0 - 0 + f(x) M + - m 1 1 1 trong đó : M = f (- ) = - + - 1 0 Hình 2-5 Vâỵ khoảng [1, 2] chứ a nghiêṃ của phương trình (2.9) Nhưng vì phương trình này chỉ có môṭ nghiêṃ nên chính nghiêṃ ấy phân ly ở trong [1, 2]. Tóm lại, phương trình (2. 9) có một nghiệm thực duy nhất , phân ly ở trong khoảng [1, 2]. 17
21. 2.2. phƣơng phá p chia đôi 1. Mô tả phƣơng phá p Xét phương trình (2.1) vớ i giả thiết nó có nghiêṃ thưc̣ đa ̃ phân ly ở trong khoảng [a, b]. Lấy môṭ x [a, b] làm giá trị gần đúng cho thì sai số tuyệt đối < b - a. Để có sai số nhỏ ta tìm cách thu nhỏ dần khoảng phân ly nghiêṃ bằng cách chia đôi liên tiếp các khoảng phân ly nghiệm đã tìm ra. Trướ c hết ta chia đôi khoảng [a, b], điểm chia là c = (a + b)/2. Rõ ràng khoảng phân ly nghiêṃ mớ i se ̃ là [a, c] hay [c, b]. Ta tính f(c). Nếu f(c) = 0 thì c chính là nghiêṃ đúng . Thườ ng thì f(c) 0. Lúc đó ta so sánh dấu của f(c) vớ i dấu của f(a) để suy ra khoảng phân ly nghiệm thu nhỏ. Nếu f(c) trái dấu f(a) thì khoảng phân ly nghiêṃ thu nhỏ là [a, c]. Nếu f(c) cùng dấu với f(a) thì khoảng phân ly nghiêṃ thu nhỏ là [c, b]. Như vâỵ sau khi chia đôi khoảng [ a, b] ta đươc̣ khoảng phân ly nghiêṃ thu nhỏ là [a, c] hay [c, b], ký hiệu là [a1, b1], nó nằm trong [a, b] và chỉ dài bằng nửa khoảng [a, b] tứ c là : 1 b1 - a1 = (b - a). 2 Tiếp tuc̣ chia đôi khoảng [a1,, b1] và làm như trên ta sẽ được khoảng phân ly nghiêṃ thu nhỏ mớ i, kí hiệu là [a2, b2], nó nằm trong [a1, b1] tứ c là trong [a, b] và chỉ dài bằng nửa khoảng [a1,, b1] : 1 b2 - a2 = (b1 - a1 ) = (b - a) 22 Lăp̣ laị viêc̣ làm trên đến lần thứ n ta đươc̣ khoảng phân ly nghiêṃ thu nhỏ n thứ n, kí hiệu là [an, bn], nó nằm trong [a, b] và chỉ dài bằng 1/2 của [a, b] : (b a) an bn ; bn - an = 2n Vâỵ có thể lấy an làm giá trị gần đúng của , lúc đó sai số là: 18
22. (b a) a b a (2.10) n n n 2n cũng có thể lấy bn làm giá trị gần đúng của , lúc đó sai số là: bn bn an (2.11) Do đó vớ i n đủ lớ n, an hay bn đều đủ gần . Khi n thì an , bn . Nên ta nói phương pháp chia đôi hôị tu.̣ Chú thích: Trong quá trình chia đôi liên tiếp rất có thể găp̣ môṭ điểm chia taị đó giá trị của f bằng không. Lúc đó ta được nghiệm đúng: hoành độ của diểm chia đó. 2. Thí dụ Xét phương trình (2.9) Ta đa ̃ chứ ng minh rằng phương trình này chỉ có môṭ nghiêṃ thưc̣ đa ̃ phân ly ở trong khoảng [1, 2]. Vâỵ : [1, 2] và f(1) = 1 - 1 - 1 0 Ta chia đôi khoảng [1, 2] điểm chia là 3/2. 3 3 2 3 f = - - 1 > 0 trái dấu f(1). Vâỵ [1, 3/2]. 2 2 2 Ta chia đôi khoảng [1, 3/2], điểm chia là 5/4. Ta có f(5/4) 0, trái dấu f(5/4). Vâỵ [5/4, 11/8]. Ta chia đôi khoảng [5/4, 11/8], điểm chia là 21/16. Ta có f(21/16) 0, trái dấu f(21/16). Vâỵ [21/16, 42/32]. 19
23. Ta dừ ng quá trình chia đôi taị đây và lấy 21/16 = 1,3125 hay 43/32 = 1,34375 làm giá trị gần đúng của thì sai số không vượt quá 1/25 = 1/32 = 0,03125. Vì ta đã chia đôi 5 lần và đô ̣dài khoảng [1,2] là 2 - 1 = 1, ( xem công thứ c (2.10) và (2.11)). 3. Sơ đồ tó m tắ t phƣơng triǹ h chia đôi 1) Cho phương trình f(x) = 0 2) ấn định sai số cho phép . 3) Xác định khoảng phân ly nghiệm [a, b] 20
24. 4) Tính c = (a+b)/2, tính f(c) Đ S f(c)f(a)< 0 Thay b=c Thay a=c Tính e = b - a S e <  Đ Kết quả : a - a <  b - b <  21
25. 2. 3. Phƣơng phá p lăp̣ 1. Mô tả phƣơng phá p Xét phương trình (2.1) vớ i giả thiết nó có nghiêṃ thưc̣ phân li ở trong khoảng [a,b]; Trướ c hết ta chuyển phương trình(2.1) về daṇ g: X = (x) (2.12) Và tương đương với (2.1) Sau đó ta choṇ môṭ số x0 nào đó [a,b] làm xấp xỉ đầu rồi tính dần dãy số xn theo quy tắc: xn = (xn-1), n = 1,2 (2.13) x0 cho trướ c [a,b] (2.14) Quá trình tính này có tính lặp đi lặp lại nên phương pháp ở đây gọi là phương pháp lăp̣ , hàm gọi là hàm lăp̣ . 2. Sƣ ̣ hôị tu:̣ Điṇ h nghiã 2.2 - Nếu daỹ xn khi n thì ta nói phương pháp lặp (2.13) (2.14) hôị tu.̣ Khi phương pháp lăp̣ hôị tu ̣thì xn càng gần nếu n càg lớ n. Cho nên ta có thể xem xn vớ i n xác điṇ h là giá tri ̣gần đúng của . Nếu phương pháp lăp̣ không hôị tu ̣thì xn có thể rất xa . Vì vậy chỉ có phương pháp lặp hội tụ mới có giá trị. Để kiểm tra xem môṭ phương pháp lăp̣ có hôị tu ̣hay không ta có điṇ h lý sau: Điṇ h lý 2.4 - Xét phương pháp lăp̣ (2.13)(2.14) giả sử 1) [a,b] là khoảng phân li nghiệm của phương trình (2.1) tứ c là của (2.12): 2)Mọi xn tính theo (2.13) (2.14) đều [a,b]: 3) Hàm (x) có đạo hàm thoả mãn: | ’(x)| q <1, a<x<b (2.15) Trong đó q là môṭ hằng số. 22
26. Thế thì phương pháp lăp̣ (2.13) (2.14) hôị tu ̣ xn khi n (2.16) Chứ ng minh: Trướ c hết vì là nghiệm của (2.12) nên có = ( ) Đem đẳng thứ c này trừ (2.13) vế vớ i vế ta đươc̣ : - xn = ( ) - (xn-1) (2.17) Ta se ̃ áp duṇ g công thứ c Lagrangiơ vào vế phải của đẳng thứ c trên. Trướ c hết ta nhắc laị công thứ c Lagrangiơ: Công thứ c Lagrangiơ - Cho hàm số F(x) liên tuc̣ trên [a,b], có đạo hàm trong (a,b) thì tồn tại số c (a,b), tứ c là c = a+ (b-a), 0< <1 sao cho: F (b) - F(a) = F’(c) (b-a) áp dụng công thức Lagrangiơ vào (2.17) ta đươc̣ : - xn = ’â( - xn-1) (2.18) Vớ i c= a+ ( - xn-1) (a,b) Theo giả thiết (2.15) ta có | ’(c)| q < 1. Do đó (2.18) cho: | - xn| = | ’(c)| | - xn-1| q| - xn-1| Vâỵ có: | - xn| q | - xn-1| (2.19) Bất đẳng thứ c này đúng vớ i moị n. Do đó có | - xn| q | - xn-1| | - xn-1| q | - xn-2| | - x2| q| - x1| | - x1| q| -x0| Nhân các bất đẳng thứ c này vế vớ i vế ta đươc̣ n | - xn| q | - x0| (2.20) 23
27. n Vì x0 và đa ̃ xác điṇ h, q 0 khi n do chỗ 0 0 ta có thể choṇ x0 [a,b] môṭ cách bất kỳ, còn nếu ’(x) < 0 thì phải chọn x0 theo quy tắc: x0 = a khi a < < (2.21) x0 = b khi < < b Muốn biết thuôc̣ nử a khoảng nào ta chỉ viêc̣ tính f ( ) rồi so sánh dấu của nó với dấu của f(a). Kết quả này ta có thể suy từ công thứ c (2.17) 4. Đá nh giá sai số: Giả sử ta tính theo (2.13) (2.14) n lần và xem xn là giá trị gần đúng của . Khi sso sai số | x - | có thể đánh giá bằng công thứ c (2.20) và nhận xét | - x0| < b - a: n | - xn| q (b - a) (2.22) Nhưng công thứ c này thườ ng cho sai số quá lớ n so vớ i thưc̣ tế: Sau đây ta chứ ng minh hai công thứ c đánh giá sai số sát hơn: a) Công thứ c đá nh giá sai số thứ nhất: Từ (2.19) ta suy ra: | - xn| q | -xn-1| = q {| - xn +xn - xn-1|} Do đó: | - xn | q{| - xn| + |xn - xn-1|} 24
28. Vì 0 q 0. Chia bất đẳng thứ c trên cho (1-q) ta đươc̣ công thứ c: q | - xn| | xn - xn-1| (2.23) 1 q Đó là công thứ c đánh giá sai số thứ nhất mà ta muốn tìm cho phương pháp lăp̣ . b) Công thứ c đá nh giá sai số thứ hai: Công thứ c này tổng quát hơn, nó có thể áp dụng để tính sai số của nhiều phương pháp khác nhau. Đó là nôị dung của điṇ h lý 2.5 dướ i đây. Điṇ h lý 2.5. Xét phương trình F (x) = 0 (2.24) Có nghiệm X [c,d] và X là một số [c,d] đươc̣ xem là giá tri ̣gần đúng của X. Lúc đó ta có: F(X ) | X - X | (2.25) m Trong đó m là môṭ số dương thoả mañ : |F'(x)| m > 0, c < x<d (2.26) Chứ ng minh: Theo giả thiết ta có F(X) = 0 nên có: F ( ) = F ( ) - F(X) áp dụng công thức Langragiơ (2.18) vào vế phải ta được: F ( ) = F' â ( - X) Trong đó: C = X +  ( - X) (c,d). Theo giả thiết (2.25) ta có: |F ( )| = |F'( C )| X X m X X Từ đó ta suy ra kết luâṇ (2.25). Bây giờ ta áp duṇ g điṇ h lý 2.5 để đánh giá sai số của phương pháp lặp giải gần đúng phương trình (2.1). Ta đa ̃ biết là nghiệm phân ly trong khoảng [a, b] và xn [a, b]. Vâỵ công thứ c (2.25) cho: 25
29. f x a x n (2.27) n m Trong đó m là số dương xác điṇ h bở i: f xn m 0 tại x (a, b). Công thứ c 2.27 là công thức đánh giá sai số thứ hai cho phương pháp lặp. 5. Ví dụ: Xét phương trình 2.9 ở Đ2.1. Ta đa ̃ chứ ng minh đươc̣ rằng nó môṭ nghiêṃ thưc̣ phân ly ở trong khoảng [1, 2]. Bây giờ ta dùng phương pháp lăp̣ để tính gần đúng nghiêṃ đó. Muốn thế trướ c hết ta phải tìm đươc̣ hàm lăp̣ (x) thích hơp̣ để phương pháp lăp̣ hôị tu,̣ tứ c là (x) phải thoả mãn những giả thiết của điṇ h lý 2.4. Từ (2.9) ta có thể viết: x = x3 - 1 (2.28) Và đặt: (x) = x3 - 1. Nhưng lúc đó: '(x) = 3x2 3 tại mọi x [1, 2] Vớ i hàm chọn như vậy phương pháp lặp không có hy vọng hội tụ. Bây giờ ta viết (2.9) ở dạng: x3 = x + 1. x = (x + 1)1/3 Và đặt: (x) = (x + 1)1/3 (2.29) Lúc đó: 1 2 / 3 1 1 '(x) x 1 3 3 3 x 1 2 Nên: 1 0 < '(x) tại mọi x [1, 2] 3 26
30. Như vâỵ hàm (x) cho bở i (2.29) thoả mãn giả thiết của định lý 2.4 và chú thích ở công thức (2.2.1). Do đó để bắt đầu quá trình tính lặp ta chọn x0 là một số bất kỳ [1, 2] chẳng haṇ x0 = 1. Sau đó ta tính xn theo công thứ c lăp̣ (2.13). Dướ i đây là môṭ số giá tri ̣xn xem là giá tri ̣gần đúng của cùng với sai số đánh 1 giá theo công thức (2.23) trong đó q = . 3 x0 = 1 x1 = 1,25992106; x1 0,13 x2 = 1,312293837; x2 0,027 x3 = 1,322353819; x2 0,005 x4 = 1,324268745; x2 0,00096 x5 = 1,324632625; x5 0,000182 Kết quả này có quá nhiều chữ số đáng nghi. Ta quy tròn nó đến bốn chữ số lẻ thập phân bằng cách viết: 1,3246 x5 x5 1,3246 1,3246 x5 x5 1,3246 1,3246 0,000182 0,00003265 Do đó: 1,3246 0,00025 Vâỵ có: = 1,3246 0,00025. So vớ i phương pháp chia đôi thì phương pháp lăp̣ ở đây hôị tu ̣nhanh hơn nhiều. 6. Chú ý: Trong thưc̣ tế ngườ i ta dừ ng quá trình tính khi: xn xn 1 < sai số cho phép . 7. Tóm tắt phƣơng pháp lặp: 1. Cho phương trình: f(x) = 0. 2. ấn định sai số cho phép . 27
31. 3. Xác định khoảng phân ly nghiệm [a, b]. 4. Tìm hàm lặp hội tụ . 5. Chọn xấp xỉư đầu x0. 6. Tính: Xn = (xn-1) n = 1,2,3, cho tớ i khi |xn - xn-1| < thì dừng 7) Kết quả xn. q Vớ i sai số | - xn |  1 q Trong đó q là số dương < 1 thoả mãn | ' (x)| q< 1 Tại mọi x (a,b). 28
32. 2.4. Phƣơng phá p Niutơn (tiếp tuyến) 1. Mô tả phƣơng pháp ý chủ đạo của phương pháp Niutơn là tìm cách thay phương trình (2.1). phi tuyến đối vớ i x, bằng môṭ phương trình gần đúng, tuyến tính đối vớ i x. Trướ c hết ta nhắc laị công thứ c Taylo: Công thứ c Taylo Cho hàm số F (x) xác điṇ h và có đaọ hàm đến cấp n+1 tại x0 và ở lân cận x0. Thế thì có công thứ c sau đây goị là khai triển Taylo bâc̣ n của F (x) tại x0: 2 n (x x0 ) (x x0 ) n F (x) = F (x0)+ (x - x0)F'(x0) + F''(x0) + + F (x ) 2! n! 0 (x x ) n 1 + 0 .F (n 1) (c) (2.30) (n 1)! C = x0 + ( x - x0), 0< <1 (2.31) Công thứ c này có giá tri ̣taị x ở lân câṇ x0. Công thứ c (2.31) muốn nói rằng c là môṭ số trung gian giữa x0 và x. Bây giờ xét phương trình (2.1) vớ i giả thiết nó có nghiệm thực phân ly ở trong khoảng [a,b]. Giả sử hàm f có đạo hàm f'(x) 0 tại x [a, b] và đạo hàm cấp hai f''(x) tại x (a, b). Ta choṇ x0 [a, b] rồi viết khai triển Taylo bâc̣ nhất của f tại x0. 1 2 f(x) = f(x0) + (x - x0)f'(x0) + (x x ) f ''(c) 2 0 x [a, b], c = x0 + (x - x0) (a, b). Như vâỵ phương trình (2.1) viết: f(x0) + (x - x0)f'(x0) + = 0 Ta bỏ qua số haṇ g cuối cùng và đươc̣ phương trình: f(x0) + (x - x0)f'(x0) = 0 Như vâỵ , ta đa ̃ thay phương trình (2.1) bằng phương trình (2.32) đơn giản hơn nhiều vì (2.32) tuyến tính đối vớ i x. 29
33. Đương nhiên viêc̣ thay thế đó chỉ là gần đúng. Gọi x1 là nghiệm của (2.32), f x0 ta có: x1 = x0 - (2.33) f ' x0 Từ x1 ta tính môṭ cách tương tư ̣ ra x2, v.v và một cách tổng quát, khi đa ̃ f xn biết xn ta tính xn+1 theo công thứ c: xn 1 xn (2.34) f ' xn x0 chọn trước [a, b]. (2.35) và xem xn là giá trị gần đúng của nghiệm . Phương pháp tính xn theo (2.34) (2.35) gọi là phương pháp Niutơn. Chú ý 1 - Vì phương trình (2.32) dùng để thay cho phương trình (2.1) là tuyến tính đối vớ i x nên phương pháp Niutơn cũng goị là phương pháp tuyến tính hoá. Chú ý 2 - Nhìn (2.34) (2.35) ta thấy phương pháp Niutơn thuôc̣ loaị phương f x pháp lặp với hàm lặp: (x) = x - (2.36) f ' x Chú ý 3 - Về măṭ hình hoc̣ thì f'(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thi ̣ hàm y = f(x) tại x0. Xét một trường hợp cụ thể. Ta ve ̃ đồ thi ̣trong hình 2-6. Cung đồ thi ̣AB cắt truc̣ hoành taị M có hoành đô ̣chính là nghiêṃ . Để tính gần đúng ta thay môṭ cách gần đúng cung AB bơi tiếp tuyến taị B, B co hoanh đô ̣x , y ̉ ́ ̀ 0 B tiếp tuyến này cắt truc̣ hoành taị P, P có hoành độ x1 và ta xem x1 là giá trị gần đúng của . a M p q x Để tính x1 ta viết phương trinh̀ tiếp tuyến taị B: vớ i x0 = b ta có: A Y - f(x0) = f'(x0)(X - x0) Tại P ta có: X = x1, Y = 0, nên có: -f(x0) = f'(x0)(x1 - x0) Hình 2.6 30
34. Từ đó ta suy ra (2.33). Cho nên phương pháp Niutơn còn có tên là phương pháp tiếp tuyến. 2. Sƣ ̣ hôị tu ̣và sai số: Mục đích của ta là tính gần đúng . Điều đó chỉ có thể thưc̣ hiêṇ đươc̣ bằng phương pháp Niutơn nếu xn ––> . Khi n . Ta có kết quả (không chứ ng minh) sau: Điṇ h lý 2.6. Giả sử [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình (2.1), f có đaọ hàm f', f'' vớ i f và f' liên tuc̣ trên [a, b], f' và f" không đổi dấu trong (a, b). Xấp xỉ đầu x0 chọn là a hay b sao cho f(x0) cùng dấu với f". Khi đó xn tính bởi (2.34) (2.35) hôị tu ̣về khi n , cụ thể hơn ta có xn đơn điều tăng tớ i nếu f'f" 0. Dừ ng laị ở bướ c tính thứ n xác điṇ h ta đươn cṿ àx xem xn là giá trị gần đúng củ a. Về sai số, áp dụng định lý 2.5, ta có: f x x n (2.37) n m Vớ i: 0 0, f" > 0 f' < 0, f" < 0 Hình 2-7a Hình 2-7b 31
35. y y A B a x1 x2 b x b a x1 x2 x B A f' > 0, f" 0 Hình 2-7c Hình 2-7d 3. Ví dụ: 1. Hãy tính căn bậc hai dương của một số dương a. Muốn thế ta xét phương trình: f(x) = x2 - a = 0 (2.39) Rõ ràng nghiệm dương của phương trình (2.39) phân li ở trong khoảng [1, 3] chẳng haṇ . Trong khoảng đó f'(x) = 2x > 0, f"(x) = 2 > 0. Vâỵ ta có thể áp dụng định lý 2.6. Công thứ c tính (2.34) viết: 1 a xn 1 xn (2.40) 2 xn Vớ i a = 2, ta có: 2 f(2) = 2 - 2 > 0 cùng dấu với f" nên ta chọn x0 = 2. Vớ i x0 ấy công thức tính (2.40) cho: x1 = 1,5 x2 = 1,417 x3 = 1,41421 Vì 2 1,414213562 , nên ta thấy rõ phương pháp Niutơn hôị tu ̣rất nhanh. 32
36. 2. Lại xét phương trình (2.9). Ta đa ̃ chứ ng minh đươc̣ nó có nghiêṃ thưc̣ phân li ở trong khoảng [1, 2]. Trong khoảng đó: f'(x) = 3x2 - 1 3 - 1 = 2 > 0 f"(x) = 6x 6 > 0 3 Vâỵ có thể áp duṇ g điṇ h lý 2.6. Để choṇ x0 ta tính f(2) = 2 - 2 - 1 = 5 > 0 cùng dấu với f". Vâỵ choṇ x0 = 2. Do đó có công thức tính: 3 xn xn 1 xn 1 xn 2 3xn 1 x0 2 Sau đây là môṭ số kết quả tính xn kèm theo sai số tính theo (2.37): Bảng 2.1 n xn sai số 0 2 1 1,545454545 2 1,359614916 3 1,325801345 4 1,324719049 0,0000024 5 1,324717950 2.10-10 4. Chú ý: Trong thưc̣ tế thườ ng ngườ i ta dừ ng quá trình tính khi: xn xn 1 sai số cho phép . 5. Sơ đồ tó m tắ t phƣơng phá p tiếp tuyến: 1. Cho phương trình f(x) = 0. 2. ấn định sai số cho phép . 3. Tìm khoảng phân ly nghiêṃ [a, b] trong đó f' và f" không đổi dấu. 33
37. 4. Chọn x0. 5. Tính: f x0 x1 x0 f ' x0 Tính e = x x 1 0 S e <  Thay x = x 0 1 Đ Kết quả: a x1 Sai số: f x x 1 1 m Trong đó: 0 < m f '(x) , x a, b 34
38. 2.5. Phƣơng phá p dây cung 1. Mô tả phƣơng phá p: Trong phương pháp Niutơn tứ c là phương pháp tiếp tuyến ở 2.4. Ta đa ̃ thay cung đồ thi ̣AB của hàm y = f(x) bở i tiếp tuyến ve ̃ taị A hay B. Bây giờ ta thay cung AB bở i dây cung AB rồi lấy hoành đô ̣x1 của giao điểm P của dây cung với trục hoành làm giá trị gần đúng của nghiệm (hình 2.8). Y f (a) X a Phương trình dây cung AB viết: f (b) f (a) b a Tại giao điểm P ta có Y = 0, y X = x1, nên có: B f (a) x a 1 f (b) f (a) b a p Từ đó suy ra: a (b a) f (a) x1 = a (2.41) x1 b x f (b) f (a) hay: A af (b) af (a) x1 = (2.42) Hình 2.8 f (b) f (a) Phương pháp tính x1 như vâỵ goị là phương pháp dây cung. Sau khi tính đươc̣ x1 ta có thể xét xem khoảng phân ly nghiêṃ mớ i là [a,x1] hay [x1, b] rồi tiếp tuc̣ áp duṇ g phương pháp dây cùng vào khoảng phân ly nghiêṃ mớ i, nhỏ hơn khoảng cũ. Và cứ thế tiếp tuc̣ ta se ̃ đươc̣ các giá tri ̣x2, x3, , x4, ngày càng gần . Sai số có thể tính bằng công thứ c (2.27). 2. Ví dụ: Lại xét phương trình (2.9). Khoảng phân ly nghiệm đã biết là [1, 2]. Ta có: a = 1; f(a) = f(1) = 13 - 1 - 1 = -1 0. 35
39. 1.5 2.( 1) Vâỵ (2.42) cho: x1 = 1,167 5 ( 1) Tiếp tuc̣ ta có: f(x1) = -0,58 < 0 Vâỵ khoảng phân li nghiêṃ mớ i là [1,167; 2]. Bây giờ áp duṇ g (2.42) vớ i a = 1,167, b = 2. Ta được: x2 = 1,253. Sai số tính theo (2.27) là 0,15. Ta thấy rằng phương pháp dây cung hôị tu ̣châṃ hơn phương pháp Niutơn. 3. Sơ đồ tó m tắ t phƣơng phá p dây cung 1) Cho phương trình f(x) = 0. 2) ấn định sai số cho phép . 3) Tìm khoảng phân ly nghiêṃ [a, b]. 4) af (b) bf (a) Tính x1 = f (b) f (a) f(x1)f(a) < 0 Đ S Thay b = x1 Thay a = x1 Thay e = b - a e <  S Đ Kết quả: a x1 36
40. f (x ) Sai số: a x 1 1 m Trong đó: 0 < m < f '(x) , x (a,b) Bài tập 1. Giải gần đúng phương trình: x - sinx = 0,25. Bằng phương pháp lăp̣ vớ i kết quả có hai chữ số lẻ thâp̣ phân đáng tin. 2. Dùng phương pháp Niutơn tính nghiêṃ dương của phương trình: 1,8x2 - sin10x = 0 -5 Vớ i sai số tuyêṭ đối không quá 10 . 3. Dùng phương pháp Niutơn tính gần đúng nghiệm của các phương trình -5 sau vớ i sai số tuyêṭ đối không quá 10 . a) x2 - sin x = 0 b) x2 - cos x = 0 x 1 c) 2lgx - 1 0 d) lgx - 0 2 x 2 e) xlgx - 1,2 = 0 4. Dùng phương pháp lặp hãy tính gần đúng nghiệm dương lớn nhất của phương trình: x3 - x - 1000 = 0 -5 Vớ i sai số tuyêṭ đối không quá 10 . Trả lời 1. 1,17 2. = 0,29810 0,00001 3. a) 0,0; 0,78724 b) -0,43843; 0,43840 c) 0,39754 d) 1,89665 e) 2,74065 4. 10,03333 37
41. Chƣơng 3 Tính gần đúng nghiệm của một hệ đại số tuyến tính 3.1. Mở đầu 1. Dạng tổng quát của một hệ đại số tuyến tính Môṭ hê ̣đaị số tuyến tính có thể có m phương trình n ẩn. ở đây ta chỉ xét những hê ̣có n phương trình ẩn: a11x1 + a12x2 + + a1nxn = f1 (3.1) a21x2 + a22x2 + + a2nxn = f2 an1x1 + an2x2 + + annxn = fn Trong đó: aij là hệ số của ẩn xj của phương trình i, fi là vế phải của phương trình thứ i. Giả sửa đã biết aij và fi ta phải tìm các ẩn xj. Ma trâṇ (3.2) Gọi là ma trâṇ hê ̣số của hê ̣(3.1). Các vectơ: (3.3) Được gọi l à vectơ vế phải và vectơ ẩn của hệ. Sau này để tiết kiêṃ giấy, thay cho cách viết trên ta có thể viết. T t f = (f1, f2, fn) , x = (x1, x2, , xn) . Biết rằng tích của ma trâṇ A vớ i vectơ x, viết là Ax, là một vectơ có tọa độ thứ i là: Đó chính là vế trái của phương trình thứ i của hê ̣(3.1) Vâỵ hê ̣(3.1), có thể viết ở dạng vectơ hay dạng ma trận như sau: 38
42. Ax - f (3.4). 2. Sƣ ̣ tồn taị và duy nhấ t nghiêṃ củ a hê ̣ Gọi định thức của ma trận A là định thức của hệ, viết là : = det (A). Nếu = 0 ta nói ma trâṇ A suy biến và hê ̣(3.1), tứ c là (3.4) là hệ suy biến. Gọi i là định thức suy từ bằng cách thay côṭ thứ i bở i côṭ vế phải. Ta có điṇ h lý sau: Điṇ h lý 3.1. (Crame): Nếu 0 tứ c là nếu hê ̣không suy biến thì hê ̣(3.1) có nghiệm duy nhất cho bởi công thức: 3. Chú thích: Kết quả này rất goṇ và rất đep̣ về măṭ lý thuyết nhưng tính nghiêṃ bằng công thứ c (3.5) rất đắt nghiã là mất rất nhiều công, số các phép tính sơ cấp (+, -, x, : ) cần thiết là vào cỡ (n + 1)! n. Ký hiệu số đó là Nc(n) ta có: NC(n) (n + 1)!n 14 Vớ i n = 15 ta có NC(15) 3.10 . Đây là môṭ số rất lớ n. Sau đây ta trình bày một phương pháp khác tiết kiệm được công tính rất nhiều. đó là phương pháp Gaoxơ. 39
43. 3.2. phƣơng phá p Gaoxơ (Gauss) 1. Phƣơng phá p Gaoxơ Phương pháp gaoxơ dùng cách khử dần các ẩn để đưa hê ̣đa ̃ cho về môṭ hê ̣ có dạng tam giác trên rồi giải hệ tam giác này từ dưới lên trên, không phải tính môṭ điṇ h thứ c nào. Lấy môṭ thí dư ̣ đơn giản: xét hệ 2x1 + x2 = 1 4x1 + 6x2 = 3 Khử x1 khỏi phương trình thứ hai ta được 2x1 + x2 = 1 4x2 = 1 Hê ̣này có daṇ g tam giác. Giải nó từ dưới lên ta được x2 = 0,25 x1 = (1 - x2)/2 = 0,375 Ta thấy rằng cách giải bài toán cũng khá đơn giản. Nhưng nếu hê ̣có nhiều phương trình nhiều ẩn thì vấn đề trở nên phứ c tap̣ hơn nhiều. Để trình bày phương pháp gaoxơ cho dê ̃ hiểu ta chỉ xét hê ̣gồm 3 phương trình 3 ẩn để suy ra các thứ c tính, các công thức này suy rộng được cho trường hơp̣ n phương trình n ẩn Xét hệ: a11x1 + a12x2 + a13x3 = a14 (3.6a) a21x1 + a22x2 + a23x3 = a24 (3.6b) a31x1 + a32x2 + a33x3 = a34 (3.6c) Hê ̣tam giác mà ta mong muốn có daṇ g x1 + b12x2 + b13x3 = b14 (3.7) x2 + b23x3 = b24 x3 = b34 40
44. Các số hạng ở vế phải ta viết là ai4 và bi4 là cốt để viết các công thức sau này tiện lợi. Quá trình khử để đưa hệ (3.6) về daṇ g (3.7) gọi là quá trình xuôi ; quá trình giải hệ (3.7) gọi là quá trình ngược. 2. Quá trình xuôi. Bướ c 1: Khử x1. Giả sử a11 ở (3.6a) 0 ta goị nó là tru ̣thứ nhất và chia phương trinh̀ (3.6a) cho a11, ta đươc̣ (3.9) Ta dùng (3.8) để khử x1 khỏi các phương trình (3.6b) và (3.6c). Để khử x1 khỏi (3.6b), ta nhân (3.8) vớ i a21 (hê ̣số của x1 ở 3.6b): a21x1 + a21 Rồi lấy phương trình (3.6b) trừ phương trình này ta đươc̣ : Để khử x1 khỏi (3.6c) ta cũng làm tương tư:̣ Nhân (3.8) vớ i a31 (hê ̣số của x1 ở 3.6c)). Rồi lấy (3.6c) trừ phương trình này: Đến đây hai phương trình (3.10) và (3.12) không chứ a x1 nữa. 41
45. Chúng tạo thành một hệ gồm hai phương trình hai ẩn x2 và x3, tứ c là có số ít đi một so với số ẩn của hệ ban đầu. Ta lăp̣ laị viêc̣ làm trên để khử x2 khỏi (3.12). Bướ c 2: Khử x2. Giả sử ở (3.10) 0, ta goị nó là tru ̣thứ hai và chia (3.10) cho . Nhân (3.14) vớ i ở (3.12) (hê ̣số của x2 ở (3.12)). Lấy (3.12) trừ phương trình này: (3.16) (3.17) Phương trình (3.16) không có x2 nữ Bướ c 3: (bướ c cuối cùng đối vớ i hê ̣3 ẩn) Giả sử ở (3.16) 0. Ta chia (3.16) cho (3.18) (3.19) Bây giờ ta ghép các phương trình (3.8) (3.14) và (3.18 lại ta sẽ được hệ tam giác dạng (3.7) (3.20a) (3.20b) (3.20c) 3. Quá trình ngƣợc. Giải hệ tam giác. 42
46. Từ (3.20c) ta có x3, thay x3 ấy vào (3.20b) ta có x2, rồi thay x3, x2 ấy vào (3.20a) ta có x1: Vâỵ là hê ̣(3.6) đa ̃ giải xong mà không phải tính môṭ điṇ h thứ c nào. 4. Thí dụ: Xét hệ : 2x1 + 4x2 + 3x3 = 4 (3.22a) 3x1 + x2 - 2x3 = - 2 (3.22b). 4x1 + 11X2 + 7x3 = 7 (3.22c) a) Quá trình xuôi : Bướ c 1: Khử x1. Chia (3.22a) cho a11 = 2 (hê ̣số 0 của x1 ở (3.22a)): x1 + 2x2 + 1,53 = 2 (3.23) Nhân (3.23) vớ i 3 (hê ̣số của x1 ở (3.22b)) rồi trừ khỏi (3.22b). - 5x2 - 6,5x3 = - 8 (3.24) Nhân (3.23) vớ i 4 (hê ̣số của x1 ở (3.22c)) rồi trừ khỏi (3.22c) 3x2 + x3 = 1 (3.25) Ta đươc̣ hê ̣2 phương trình 2 ẩn x2, x3 : (3.24) (3.25). Bướ c 2: Khử x2 khỏi (3.25). chia (3.24 cho -5 (hê ̣số 0) của x2 ở 3.24): x2 + 1,3x3 = 1,6 (3.26). Nhân (3.26) vớ i 3 hê ̣số của x2 ở (3.25)) rồi trừ khỏi (3.25): - 2,9x3 = - 5,8 (3.27). Bướ c 3: (bướ c cuối cùng của quá trình xuôi): Chia (3.27) cho (-2,9) (hê ̣số của x3 ở đó): x3 = 2 (3.28). Ghép các phương trình (3.23) (3.26) (3.28) lại: x1 + 2x2 + 1,5x3 = 2 43
47. x2 + 1,3x3 = 1,6 x3 = 2 Vâỵ xong quá trình xuôi. b) Quá trình ngược : Giải hệ tam giác (3.23) (3.26) (3.28) từ dướ i: x3 = 2 x2 = 1,6 - 1,3x3 = - 1 x1 = 2 - 2x2 + 1,5x3 = 1 Vâỵ nghiêṃ của hê ̣là x1 = 1 ; x2 = -1 ; x3 = 2. Quá trình tính toán ở trên có thể ghi tóm tắt vào bảng 3.1. Hê ̣số của x1 Hê ̣số của x2 Hê ̣số của x3 Vế phải Phương trình 2 4 3 4 (3.22a) 3 1 -2 -2 (3.22b) 4 11 7 7 (3.22c) 1 2 1,5 2 (3.23) -5 -6,5 -8 (3.24) 3 1 1 (3.25) 1,3 1,6 (2.26) -2,9 -5,8 (3.27) 1 2 2 (3.28) -1 1 5. Chọn trụ tối đa Trong quá trình xuôi của phương pháp gaoxơ ta đa ̃ phải giả thiết a11 0, 0, 0. Nếu môṭ trong các hê ̣số đố bằng không thì quá trình tính không tiếp tuc̣ đươc̣ . Lúc đó ta phải thay đổi cách tính. Giả sử khi khử x1 ở các phương trình ở dướ i, ta nhìn các hê ̣số a21, a31, của x1 ở các phương trình ở dướ i, 44
48. nếu có cái nào khác không ta có thể lấy nó thay cho vai trò của a11bằng cách hoán vị hai phương trình. Nếu cả ba hê ̣số a11, a21, a31 đề bằng không thì hệ đã cho suy biến. Ta chú ý thêm rằng khi chia cho môṭ số thì sai số tính toán càng bé khi số chia có tri ̣tuyêṭ đối càng lớ n. Vì vậy để hạn chế bớt sai sối tính toán ta chọn trong các số a11, a21, a31 số có tri ̣tuyêṭ đối lớ n nhất làm tru ̣thứ nhất goị là trụ tối đại thứ nhất để khử x1. Khi khử x2 và x3 ta cũng làm tương tư.̣ Sau đây ta tính theo cách làm đó trên thì dụ đã xét ở trên (xem bảng 3.2) Bảng 3.2 Hê ̣số của x1 Hê ̣số của x2 Hê ̣số của x3 Vế phải 2 4 3 4 3 1 -2 -2 4 11 7 7 4 11 7 7 3 1 -2 -2 2 4 3 4 1 2,75 1,75 1,75 -7,25 -7,25 -7,25 - 1,5 -0,5 0,5 1 1 1 1 2 1 -1 1 1 Chú ý là khi khử x1 vì 4 = max {|2|, |3|, |4|} nên ta đa ̃ hoán vi ̣dòng thứ nhất vớ i dòng thứ ba ở bảng trên trướ c khi làm các đôṇ g tác để khử x1. 6. Chú ý: Cách nhớ các công thức tính . Xét các công thức (3.11) và (3.9). Chúng cho phép tính theo aij. Đaṭ aij = các công thức đó cho: 45
49. Môṭ cách tương tư,̣ các công thức (3.13) và (3.9) cho: Hai công thứ c này có thể viết chung thành môṭ : Vị trí của các phần tử ở vế trái sắp xếp thành một hình chữ nhật Hình chữ nhật này có đỉnh trên bên trái là (trụ thứ nhất) đỉnh dướ i bên phải là (đó là phần tử cần biến đổi thành Sau khi đa ̃ xác điṇ h đươc̣ hình chữ nhâṭ trên thì công thứ c tính đa ̃ viết ở trên phát biểu thành lời như sau: aij (mớ i) bằng aij (cũ), trừ tích của ai1(cũ) nhân vớ i a1j (cũ) chia cho a11(cũ); hay là phần tử (mớ i) nằm ở góc dướ i bên phải bằng phần tử (cũ) nằm ở góc dướ i bên phải trừ tích của phần tử (cũ) nằm ở góc dướ i bên trái nhân vớ i phần tử (cũ) nằm ở góc trên bên phải chia cho phân tử (cũ) nằm ở góc trên bên trái (tứ c là phần tử tru ̣cũ). Quy tắc này goị là quy tắc hình chữ nhâṭ. Nó giúp ta dễ nhớ cách tính . Cách tính dưạ vào (3.17) và (3.15) thông qua cũng có thể nhớ theo quy tắc tương tư ̣ 46
50. Quy tắc hình chữ nhâṭ có thể giúp ta dê ̃ nhớ cách tính theo như sau: 7. Khố i lƣơṇ g tính và công thƣ́ c tính đố i vớ i môṭ hê ̣n ẩn. Phương pháp Gaoxơ có thể áp duṇ g cho môṭ hê ̣đaị số tuyến tính gồm n phương trình n ẩn. Số các phép tính + , - , x, : phải làm để giải một hệ n phương trình n ẩn là : Vớ i n = 15 thì NG(15) = 2570. Số này ít hơn rất nhiều so vớ i NC(15) (xem mục 3 (3.1)). Các công thức tính cho một hệ n phương trình n ẩn phức tạp, ta chỉ nhắc rằng chúng vâñ ở daṇ g (3.8) (3.10) (3.12) v.v nhưng giá tri ̣cuối cùng của j ở (3.9) (3.11) (3.13) v.v phải là n + 1. 8. Sơ đồ tóm tắt phương pháp Gaoxơ. Xét hệ n phương trình n ẩn. a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + + annxn = bn Khi áp duṇ g thường người ta sử dụng phương pháp Gaoxơ có chọn trụ tối đaị. Cho nên sau đây se ̃ trình bầy sơ đồ tóm tắt phương pháp Gaoxơ có choṇ tru ̣ tối đaị. 47
51. Quá trình xuôi: Vớ i k lần lươṭ là 1, 2, , n - 1. Tìm r để: . Nếu = 0 thì dừng quá trình tính và thông bá:o hê ̣suy biến nếu thì đổi chỗ vớ i , j = k, , n vớ i Tính : i = k + 1 , k + 2, , n j = k + 1, k + 2, , n Sau quá trình xuôi ta đươc̣ hê ̣tam giác phát triển: mà ta viết lại gọn hơn bằng cách bỏ các chỉ số trên thành l11x1 + l12x2 + + l1nxn = c1 l22x2 + + l2nxn = c2 lnnxn = cn vớ i Do đó ta có Quá trình ngược: Nếu lnn = 0 thì dừng quá trình tính và thông báo: hê ̣suy biến. 48
52. Nếu lnn 0 thì tính xn = cn/lnn xn-1 = (cn-1 n xn)/ln - 1 n-1 x1 = (c1 - l12x2 - - l1n-1xn-1)/l11 9. Chú thích: Phương pháp Gaoxơ cũng cho phép tính điṇ h thứ c, chẳng haṇ , vớ i điṇ h thứ c cấp 3, ta có theo muc̣ 2 (3.2). Cụ thể, theo thí du ̣ở 4 (3.2). Phương pháp Gaoxơ cũng cho pohép tính ma trâṇ nghic̣ h đoả, nhưng chúng ta không trình bày ở đây. 49
53. 3.3. phƣơng phá p lăp̣ đơn 1. Mô tả phƣơng phá p Phương pháp Gaoxơ thuôc̣ loaị phương pháp đúng, thứ c là nếu các phép tính sơ cấp làm đúng hoàn toàn thì cuối cùng ta đươc̣ nghiêṃ đúng của hê.̣ Ngườ i ta còn nói nó thuôc̣ loaị phương pháp trưc̣ tiếp. Ngoài ra còn một loại phương pháp khác goị là phương pháp lăp̣ . ở đây ta chỉ nói sơ về phương pháp lăp̣ đơn. Xét hệ (3.1) đa ̃ viết ở daṇ g vectơ (xem công thứ c 3.4): Ax = f (3.29) Ta chuyển hê ̣này về môṭ hê ̣tương đương có daṇ g x = Bx + g (3.30) Trong đó ma trâṇ B và vectơ g suy từ A và f cách nào đó, giả sử: Sau đó ta xây dưṇ g công thứ c tính lăp̣ x(m) = Bx(m-1) + g (3.31) (0) x cho trướ c (3.32)_ Ta chú ý rằng (m) Phương pháp tính x theo (3.31) (3.32) gọi là phương pháp lặp đơn. Ma trâṇ B goị là ma trâṇ lăp̣ . 2. Sƣ ̣ hôị tu ̣ T Điṇ h nghiã 3.1. Giả sử = ( 1, 2, , n) là nghiệm của hệ (3.30) (tứ c là của hệ (3.29)). Nếu 50
54. i khi m ∞, i = 1, 2 , , n thì ta nói phương pháp lăp̣ (3.31) (3.32) hôị tu.̣ Điṇ h nghiã 3.2 - Cho vectơ T Z = (Z1, Z2, , Zn) thì mỗi đại lượng sau: ||Z||0 : = max {|Zi|} ||Z||1 : = |Z1| + |Z2| + + |Zn| 1/2 ||Z||2 : = ( Gọi là một độ dài mở rộng của vectơ Z, ngườ i ta còn goị nó là chuẩn của Z. Chúng có tính chất giống như độ dài thông thường của một vectơ, hay tri ̣ tuyêṭ đối của môṭ số thưc̣ : Vớ i p = 0 hay 1 hay 2 ta đều có 1) ||z||p 0, ||z||p = 0 z = vectơ không 2) ||z||p = || ||z||p ,  là một số thực. 3) ||u + v||p ||u||p + ||v||p Hê ̣quả - Phương pháp lăp̣ (3.31) hôị tu ̣khi và chỉ khi: (m) ||x - ||p 0 khi m ∞ (3.34). Đối với ma trận vuông B = (bij) ta điṇ h nghiã chuẩn của ma trâṇ B: , p = 0,1, thỏa mãn ba tính chất giống ba tính chất của chuẩn của vectơ. 1) ||B||p 0, ||B||p = 0 B là ma trâṇ không; 2) ||kB||p = |k| ||B||p , k là môṭ số thưc̣ . 51
55. 3) ||B + C||p ||B||p + ||C||p , C là ma trâṇ cùng cấp vớ i B. Ngoài ra còn tính chất thứ tư: 4) ||BZ||p ||B||p ||Z||p , Z là vectơ có số chiều bằng cấp của B. Điṇ h lý 3.2 - nếu ||B||p < 1 (3.35) (0) thì phương pháp lặp (3.31) (3.32) hôị tu ̣vớ i bất kỳ xấp xỉ đầu x nào, đồng thờ i sai số có đánh giá (3.36) (3.37) Trong đó: p = 0 nếu < 1 p = 1 nếu < 1 Chứ ng minh: Vì là nghiệm của hệ (3.29) tứ c là hê ̣(3.30) nên = B + g Lấy (3.31) trừ đẳng thứ c này vế vớ i vế ta đươc̣ : x(m) - = B(x(m-1) - ). Do đó: Vâỵ có: (3.38) Tương tư:̣ 52
56. Nhân các bất đẳng thứ c này vế vớ i vế và giản ướ c các thành phần giống nhau ở hai bên ta đươc̣ : Cho m thì 0 0. Ta suy ra: Đó là đánh giá (3.36) Bây giờ từ (3.31) ta có Trừ hai đẳng thứ c này vế vớ i vế ta đươc̣ 53
57. Do đó: Vâỵ : Ta suy dần ra: Thay vào vế trái của (3.36) ta đươc̣ (3.37). 3. Thí dụ Xét hệ: Giải: Hê ̣này có daṇ g (3.29). Ta phải đưa nó về daṇ g (3.30) sao cho điều kiêṇ hôị tu ̣(3.35) đươc̣ thỏa mañ . Từ ba phương trình của hê,̣ bằng cách giải phương trình thứ nhất đối vớ i x1, phương trình thứ hai đối vớ i x2, phương trình thứ ba đối vớ i x3: Vâỵ có x = Bx + g Vớ i Để kiểm tra điều kiêṇ (3.35) ta tính 54
58. Do đó ||B||o = max{0,08 ; 0,08 ; 0,0} = 0,08 < 1 Vâỵ theo điṇ h lý 3.2 phương pháp lăp̣ đơn (0) (0) T Hôị tu ̣vớ i x chọn trước. Ta choṇ x = (0,0,0) . Kết quả tính ghi thành bằng 3.3 Bảng 3.3 m 0 1 2 3 4 0 2 1,92 1,9094 1,90923 0 3 3,19 3,1944 3,19495 0 5 5,04 5,0446 5,04485 Để đánh giá sai số ta tính: = max {0,00017 ; 0,00055; 0,00025} = 0,00055 áp dụng công thức (3.36) vớ i p = 0 ta thu đươc̣ Vâỵ có: 1 = 1,90923 0,00005 2 = 3,19495 0,00005 3 = 5,04485 0,00005. 4. Sơ đồ tó m tắ t phƣơng phá p lăp̣ đơn 1) Cho hê ̣phương trình tuyến tính Ax = b. 55
59. 2) ấn định sai số cho phép ,  > 0 3) Đưa hê ̣Ax = b về hê ̣tương đương. x = Bx + g. Sao cho điều kiêṇ (3.35) thỏa mãn. 4) Chọn x(0) (tuỳ ý. 5. Tính m = 0, 1, 2, Cho tớ i khi Thì dừng quá trình tính. Kết quả: x(m) . Vớ i sai số  56
60. 3.4. Phụ lục 2 Về môṭ hê ̣đaị số tuyến tính không ổn điṇ h Bây giờ ta nêu môṭ hiêṇ tươṇ g đăc̣ biêṭ đáng chú ý khi giải gần đúng môṭ hê ̣phương trình đaị số tuyến tính. Xét hai hệ cụ thể: x + 2y = 2 (3.39) 2x + 3,9y = 2 x + 2y = 2 (3.40) 2x + 4,1y = 2 Nghiêṃ của hê ̣(3.39) là x = -38, y = 20 Nghiêṃ của hê ̣(3.40) là = 42, = - 20 Ta thấy rằng hai hê ̣(3.39) và (3.40) chỉ khác nhau ở một hệ số 3,9 và 4,1 vớ i |4,1 - 3,9| = 0,2, nhưng nghiêṃ của chúng khác nhau khá xa. | - x| = |42 - (-38)| = 80 | - y| = |-20 - 20| = 40 Hiêṇ tươṇ g “sai môṭ li đi môṭ dăṃ ” này là môṭ hiêṇ tươṇ g không ổn điṇ h trong tính toán. Ngườ i làm tính cần phai biết để đề phòng. Bài tập 1. Dùng phương pháp Gaoxơ giải hệ tính tới ba chữ số lẻ thập phân. 2. Dùng phương pháp Gaoxơ giải các hệ a) 57
61. b) 1,5x1 - 0,2x2 + 0,1x3 = 0,4 - 0,1x1 + 1,5x2 - 0,1x3 = 0,8 - 0,3x1 + 0,2x2 - 0,5x3 = 0,2 Các phép tính lấy đến 5 chữ số lẻ thâp̣ phân. 3. Giải hệ sau đây bằng phương pháp lặp đơ, ntính lặp ba lần và cho biết sai s:ố 1,02x1 - 0,05x2 - 0,10x3 = 0,795 - 0,11x1 + 1,03x2 - 0,05x3 = 0,849 - 0,11x1 - 0,12x2 + 1,04x3 = 1,398 4. Giải hệ: Bằng phương pháp lăp̣ đơn cho tớ i khi Và đánh giá sai số. Trả lời: 1. x1 = 1,642 ; x2 = - 2,789 ; x3 = 12,672 2. a) x1 = 0,5 ; x2 = 1,3 ; x3 = 2,5 b) x1 = 0,980 ; x2 = 0,53053 ; x3 = - 0,40649 3. x1 = 0,980 ; x2 = 1,004 ; x3 = 1,563 -3 Với sai số tuyệt đối nhỏ hơn 1,1.10 nếu choṇ xấp xỉ đầu : x(0) = (0,80 ; 0,85; 1,40) 4. x1 = 0,9444 ; x2 = 1,1743 ; x3 = 1,1775. -4 Vớ i sai số theo chuẩn || . ||0 bé hơn 0,5 . 10 . 58
62. Tài liêụ tham khảo: - [1] Lê Đình Thiṇ h, Phương phá p tính, NXB KH&KT Hà Nôị, 1995. - [2] Phạm Kỳ Anh, Giải tớch số, NXB ĐHQG Hà Nôị, 1996. - [3] Dƣơng Thủ y Vỹ , Giỏo trỡnh Phương pháp tính , NXB KH &KT Hà Nôị, 2006. - [4] Cao Quyết Thắ ng, Phương phá p tính, Khoa Sau Đaị hoc̣ , Đaị hoc̣ Hàng hải, 1994. 59