Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - TS. Lê Minh Quý

70 trang phuongnguyen 5650

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - TS. Lê Minh Quý", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_phuong_phap_phan_tu_huu_han_ts_le_minh_quy.pdf

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - TS. Lê Minh Quý

Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Cơ Khí Bộ Môn Cơ Học Vật Liệu Bài Giảng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Người soạn: TS. Lê Minh Quý Thời lượng: 30 Tiết Hà Nội-2010
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 Chương 1 Giới Thiệu Chung 1.1 Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là gì? Phương pháp số dùng để phân tích các bài toán về kết cấu & môi trường liên tục. Được sử dụng để giải các bài toán sau: Bài toán về kết cấu (tĩnh học/ động lực học, ứng xử tuyến tính/phi tuyến); Bài toán về truyền nhiệt; Bài toán về cơ học chất lỏng; Bài toán về truyền âm; Bài toán về điện từ trường; Được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành kỹ thuật: cơ khí, hàng không, xây dựng, ô tô, Các kiến thức liên quan: Cơ học môi trường liên tục, sức bền vật liệu, lý thuyết đàn hồi, Đại số tuyến tính, phương pháp số. Ngôn ngữ lập trình, cấu trúc dữ liệu Một số phần mềm về PTHH: ANSYS, MARC, ABAQUS -1.1-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 1.2 Bài toán lò xo 1.2.1 Hệ có một lò xo a a b b q1 q2 q1 q2 q1 q2 a a a a f1 1 2 f2 f1 1 2 f2 f1 1 2 f2 += O x O x O x Hình 1.1 Hệ có một lò xo Xét một lò xo có độ cứng C, toàn bộ lò xo được gọi là một phần tử có hai đầu được đánh số là 1 và 2 được gọi là chỉ số nút. Giả sử ta cần tìm quan hệ giữa chuyển vị q1, & q2 tại các nút 1 và 2 (được gọi là chuyển vị nút) với các lực tập trung f1 và f2 tại các nút đó (được gọi là lực nút). Trường hợp a: lò xo cố định tại nút 1. a a f1 f2 a (1.1) f2 Cq2 Trường hợp b: lò xo cố định tại nút 2. b b f1 f2 b (1.2) f1 Cq1 Áp dụng nguyên lý chồng chất lực, lời giải của bài toán lò xo chịu tác dụng của các lực nút f1 và f2 là tổ hợp của trường hợp a và b. a b f1 f 1 f 1 C q1 q 2 a b (1.3) f2 f 2 f 2 C q1 q 2 Quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút được viết dưới dạng ma trận như sau: 1 1 q1  f1  C   (1.4) 1 1 q2  f2  e 1 1 với k C (1.5) 1 1 k e  là ma trận độ cứng của phần tử lò xo. q1  q  là véc tơ chuyển vị nút. q2  f1  f  là véc tơ lực nút của lò xo. f2  -1.2-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 1.2.2 Hệ gồm nhiều lò xo q1 q1 q2 q2 Q1 Q2 Q3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 123f1 1 2 f2 f1 2 3 f2 F F F = + 1 2 3 1 2 1 2 O x Hình 1.2 Hệ gồm hai lò xo Xét hệ gồm hai lò xo có độ cứng C1 và C2 chịu lực như hình vẽ 1.2. Lò xo 1 được gọi là phần tử 1, lò xo 2 được gọi là phần tử 2. Mỗi phần tử có 2 nút. Ký hiệu tổng thể cho cả hệ: 3 nút đánh số 1, 2, 3. T Véc tơ chuyển vị nút: {Q}={Q1, Q2, Q3} T Véc tơ lực nút: {F}={F1, F2, F3} Ký hiệu địa phương cho mỗi phần tử: Mỗi phần tử có 2 nút đánh số nút 1 và nút 2. e e q1  Véc tơ chuyển vị nút của phần tử thứ e là: q e  q2  e e f1  Véc tơ lực nút của phần tử thứ e là: f e  f 2  Quan hệ véc tơ chuyển vị nút và lực nút trong phần tử 1(áp dụng kết quả trong mục 1.2.1): 1 1 1 1 q1  f1  C1 1  1 (1.6) 1 1 q2  f2  1 1 Chú ý Q1 q 1 và Q2 q 2 , và viết lại hệ phương trình trên dưới dạng sau: 1 1 0 Q  f 1  1 1 C 1 1 0 Q f 1 1 2  2  (1.7) 0 0 0 Q3  0  Quan hệ véc tơ chuyển vị nút và lực nút trong phần tử 2 (áp dụng kết quả trong mục 1.2.1): -1.3-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 2 2 1 1 q1  f1  C2 2  2  (1.8) 1 1 q2  f2  2 2 Chú ý Q2 q 1 và Q3 q 2 , và viết lại hệ phương trình trên dưới dạng sau: 0 0 0 Q1  0  2 C 0 1 1 Q f1 2 2   (1.9) f 2 0 1 1 Q3  2  Kết hợp (1.7) và (1.9) ta có: CC 0 1 1 1 Q1  f1  1 2 CCCC Q f f 1 1 2 2 2  2 1  (1.10) 2 0 CC2 2 Q3  f2  F 1 1  f1  Q1  1 2 Chú ý: F F2  f2 f1  và Q Q2 , ta có phương trình cân bằng 2 F3  f2  Q3  của cả hệ (quan hệ giữa véc tơ lực nút và chuyển vị nút): KQF   KKK11 12 13 CC1 1 0 K KKK CCCC  21 22 23 1 1 2 2 (1.11) KKK31 32 33 0 CC2 2 [K] là ma trận độ cứng của cả hệ được xây dựng từ ma trận độ cứng của các phần tử. Trong thực hành tính toán, ma trận [K] được xây đựng dựa vào bảng ghép nối phần tử. Bảng ghép nối phần tử Chỉ số chuyển vị nút địa phương Phần tử 1 2 Chỉ số chuyển vị nút tổng thể (1) 1 2 (2) 2 3 Từ bảng ghép nối trên, ma trận [k1] (2 hàng 2 cột) được mở rộng thành ma trận [K1] (3 hàng 3 cột) như sau: 11 kk11 12 0 kk11 kKk111 11 12 k10 11 21 22 (1.12) kk 21 22 000 -1.4-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 Ma trận [k2] (2 hàng 2 cột) được mở rộng thành ma trận [K2] (3 hàng 3 cột) như sau: 00 0 kk22 kK22 11 12 0 k2k2 22 11 12 (1.13) kk21 22 22 0 kk21 22 12 KK K 11 Kk11 11;; Kk 12 12 K 13 0; K kKkkKk112;;2; 21 21 22 22 11 23 12 22 K31 0; Kk 32 21; Kk 33 22 ; Áp dụng phương pháp trên ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút, và tính ma trận độ cứng cho hệ gồm nhiều lò xo. 1.3 Bài toán thanh chịu kéo hoặc nén q q q q 1 2 1 2 f1 1 2 f2 f1 1 2 f2 O x O x Hình 1.3 Thanh được coi như lò xo có độ cứng C=AE/L Xét kết cấu gồm thanh có mô đun đàn hồi E, tiết diện ngang A, chiều dài L chịu lực như hình 1.3. Kết cấu gồm một phần tử có hai nút. f Ứng suất trong thanh là:  2 (1.14) A q Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị: 2 (1.15) L Quan hệ ứng suất và biến dạng:  E (1.16) Từ (1.14), (1.15), và (1.16) suy ra quan hệ giữa lực nút tại nút 2 và chuyển vị tại nút đó là: AE f A AE  q (1.17) 2 L 2 Đối chiếu với mô hình lò xo, ta có thể coi thanh là lò xo có độ cứng C=AE/L. Từ (1.5) suy ra ma trận độ cứng của phần tử thanh: -1.5-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 e AE 1 1 k (1.18) L 1 1 Ví dụ 1.1 A B C 121 P=10N 12 L1 L2 Chỉ số nút tổng thể x 2 O 23 12 1 1 232 Chỉ số nút địaphương Q1 Q2 Q3 Hình 1.4 Tính trục bậc nhờ PTHH 2 Cho trục bậc có kết cấu & chịu lực như hình 1.4. Biết: A1=20mm ; 2 A2=10mm ; L1=L2=100mm; E=200GPa. Tính chuyển vị tại các nút, ứng suất và biến dạng trong từng phần tử, và phản lực liên kết. Bước 1: Rời rạc hoá kết cấu Chia kết cấu thành 2 phần tử được đánh số nút và số phần tử như hình 1.4. Bước 2: Tính ma trận độ cứng của phần tử 14AE11 11 44 kNmm 10 / L1 11 4 4 24AE22 11 22 kN 10 / mm L2 11 2 2 -1.6-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 Bước 3: Ghép phần tử & tính ma trận độ cứng của kết cấu [K] KKK11 12 13 KKKK  21 22 23 KKK31 32 33 Bảng ghép nối phần tử Chỉ số chuyển vị nút địa phương Phần tử 1 2 Chỉ số chuyển vị nút tổng thể (1) 1 2 (2) 2 3 Từ bảng ghép nối trên ta có 11 Kk11 11;; Kk 12 12 K 13 0; K kKkkKk112;;2; 21 21 22 22 11 23 12 22 K31 0;Kk 32 21 ; Kk 33 22 ; 440 4 K 46 210/ Nmm 022 Bước 4: Quy đổi ngoại lực về nút R1 là phản lực tại ngàm ở nút 1. T {F}=[R1 0 10] Bước 5: Hệ phương trình PTHH  440 QR11 104 4 6 2Q 0  2   022 Q3 10 Bước 6: Áp dụng điều kiện biên Q1=0, ta loại bỏ dòng 1 cột 1 của hệ trên ta có hệ 2 phương trình 2 ẩn số: 4 62 Q2 0 10   22 Q3 10 -1.7-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 Kết Quả Chuyển vị: -3 -3 Q1=0; Q2=0,25x10 mm; Q3=0,75x10 mm. Phản lực liên kết tại ngàm (nút 1) m RKQKQ 10N 11 jj 122 j 1 Biến dạng trong mỗi phần tử qq11 QQ12  16 12 2,5 10 LL1 qq22 QQ23  26 12 510; LL2 Ứng suất trong mỗi phần tử 11 E0,5 N / mm222 ;  E1 N / mm2 ; Lời giải theo phương pháp PTHH trùng với lời giải chính xác theo phương pháp của sức bền vật liệu. Chú ý: Tương tự như cách thiết lập ma trận độ cứng của phần tử lò xo và phần tử thanh, ta có thể thiết lập ma trận độ cứng của phần tử trục chịu xoắn và dầm chịu uốn (xem như bài tập). Ma trận độ cứng phần tử của lò xo, thanh chịu kéo nén, trục chịu xoắn, và dầm chịu uốn được thiết lập dựa trên điều kiện cân bằng về lực và liên tục về chuyển vị. Phương pháp trên không áp dụng được cho các bài toán phức tạp hơn. Khi đó, ma trận độ cứng phần tử được xây dựng trên các khái niệm về hàm dạng, hàm nội suy và nguyên lý di chuyển khả dĩ. -1.8-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 1.4 Hàm dạng và hàm nội suy 1.4.1 Hàm dạng P(x,y,z) y r(x,y,z) r(,,) z o x Hình 1.5 Vị trí một điểm được xác định bởi véc tơ định vị Biểu diễn hình học: Véc tơ định vị {r}=[x, y, z]T của một điểm bất kỳ của phần tử Ve được xác định là hàm của các tham số ,  và  qua việc đổi biến như sau: xx  ,, ryy  ,,  zz  ,, Xấp xỉ hình học: Toạ độ (x,y,z) của một điểm bất kỳ được xác định bởi các toạ độ nút (xi, yi, zi) và các hàm dạng N i ,, : nnn xNx iiii;;y N y zNizi iii 111 4 (x4, y4, z4) u4, v4, w4 3 1 (x1, y1, z1) (x3, y3, z3) u1, v1, w1 u3, v3, w3 y 2 (x2, y2, z2) u2, v2, w2 z x o Hình 1.6 Phần tử tứ diện 4 nút trong bài toán 3 chiều -1.9-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 Nút  (- 1, 1) (1, 1) 4 3  y o Phầntử 12 x o (-1, -1) (1, -1) Hình 1.7 Phần tử thực & phần tử quy chiếu hình chữ nhật 4 nút. Hệ toạ độ O được gọi là hệ toạ độ quy chiếu. Bằng phép biến đổi nói trên, mọi phép tính toán trên phần tử thực Ve được tiến hành trên phần tử quy chiếu Vr trong hệ toạ độ O. x O O  x1 x2 1=-1 2=1 x1 x x2 1  1 Hình 1.8 Phần tử thực & phần tử quy chiếu một chiều 2 nút Ví dụ 1.2: Tìm hàm dạng của phần tử quy chiếu một chiều 2 nút như trên hình 1.8. Toạ độ là x của phần tử một chiều được biểu diễn bởi các toạ độ x1 của nút 1 và x2 tại nút 2 như sau. n x  Nxi  i i 1 n là tổng số nút của phần tử (n=2). Giả sử hàm dạng N i  là hàm bậc nhất của  thì ta có: x 12 1 và 2 là hằng số cần tìm. Tại các nút 1 và nút 2 ta có: -1.10-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1  x 11 2 1 12 2x 2 x21 xx 1221 x Suy ra: 12 ; 21 21 Thay các biểu thức của 1 và 2 vào biểu thức của x ta có: 1 x 21x 12 x 21 11   Thay  =-1;  =1 ta có: NN12  ; 1 2 22 1.4.2 Hàm nội suy Xấp xỉ chuyển vị: Véc tơ chuyển vị {q}=[u, v, w]T tại một điểm bất kỳ của mỗi phần tử được xác định bởi các chuyển vị nút (ui, vi, wi) và các hàm nội suy Ni. nn n uNuvNvwNw ii;;ii i i i 1i 1i 1 Các hàm nội suy là các đa thức chọn trước mà biến là các toạ độ x, y, z sao cho: Đạo hàm bậc nhất phải hữu hạn. Chuyển vị phải liên tục trên biên của các phần tử khi xét từ phần tử này qua phần tử khác. Bằng việc dùng hệ toạ độ quy chiếu, nên x,y,z biểu diễn theo , và  , do đó các hàm nội suy Ni được chọn là hàm của ,  và . Dùng phần tử đẳng thông số (NNi  i ), xấp xỉ hình học & xấp xỉ chuyển vị được viết như sau: nnn x NxyNyzNzii ,, ; ii ,, ; i ,, i iii 111 nn n uN ii ,, uvN ; ii  ,, vwN ; i ,, w i i 1i 1i 1 Các hàm dạng và hàm nội suy là các đa thức của , ,  có các đặc n tính sau: NNiiii ,, 1; i  jj ,  ,  j 0; Ni i 1;(j ); i 1 Ví dụ 1.3: Tìm hàm dạng của phần tử quy chiếu một chiều 2 nút như trên hình 1.8 bằng cách áp dụng tính chất của hàm dạng. -1.11-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 Toạ độ là x của phần tử một chiều được biểu diễn bởi các toạ độ x1 của nút 1 và x2 tại nút 2 như sau. x NxN12 12 x Giả sử hàm dạng N i  là hàm bậc nhất của  thì ta có: Nabii  ii;1, 2. Ta có hệ các phương trình sau: Na1 11 11b1 Na1 211 00 b Na2 12 00b2 Na2 222 11 b Giải 4 phương trình trên ta có: 11 11 abab ;; ; 11222 222 11   Suy ra: NN12  ; 22 Viết hàm dạng N i  dưới dạng sau: 1 i Nii  ;1,2. 2 1.5 Nguyên lý di chuyển khả dĩ Trong mọi di chuyển khả dĩ công của ngoại lực, Wext, bằng tổng thế năng biến dạng, Wint, và công của lực quán tính, Wdyn (bỏ qua lực cản nhớt). WWWext int dyn Trong các bài toán tĩnh học Wdyn=0. 1.6 Mô hình bài toán đàn hồi tĩnh Cho kết cấu được mô tả bởi miền V có biên là S có điều kiện biên: Chuyển vị đã biết trên biên Su. Ứng suất đã biết trên biên S: -1.12-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 xxxyxzx  nf sx   nn yx yy yz  yf sy  zx zy zz  nf z sz  T {fs}=[fsx, fsy, fsz] là véc tơ lực mặt tác dụng lên biên S. T {n}=[nx, ny, nz] là véc tơ đơn vị pháp tuyến ngoài của biên S. SS u S & SSu   T Chịu tác dụng của lực thể tích {fv}=[fvx, fvy, fvz]  f Nút s S V y y S u Phầntử x x o o a) b) Hình 1.9 Mô hình bài toán: a) kết cấu thực; b)rời rạc hoá kết cấu bằng phần tử hữu hạn 1.7 Sơ lược về giải bài toán kết cấu bằng phương pháp PTHH Bài toán đặt ra là tìm chuyển vị, biến dạng, ứng suất tại mọi điểm của kết cấu mô tả ở hình 1.9. Lời giải tìm đuợc nếu biết chuyển vị tại mọi điểm của kết cấu (bài toán có vô hạn ẩn hay vô hạn số bậc tự do). Cách giải theo phương pháp PTHH được tóm tắt như sau: Chia kết cấu thành một số hữu hạn các miền con được gọi là các phần tử. Các phần tử được kết nối với nhau bởi một số hữu hạn các nút. Trong mỗi phần tử: -1.13-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 . Chuyển vị tại một điểm bất kỳ được biểu diễn thông qua chuyển vị tại các nút và các hàm nội suy Ni đã chọn trước. . Biểu diễn biến dạng và ứng suất qua các chuyển vị nút. . Thiết lập ma trận độ cứng & ma trận khối lượng (với bài toán động lực học) cho mỗi phần tử. . Quy đổi ngoại lực về các nút. Ghép nối các phần tử và xây dựng phương trình cân bằng cho cả kết cấu dưới dạng: M QKQF    [K] & [M] thứ tự là ma trận độ cứng ma trận khối lượng tổng thể của kết cấu. {Q}: véc tơ chuyển vị nút của kết cấu cần tìm. {F}: véc tơ lực nút của kết cấu. Bài toán đàn hồi tĩnh (Wdyn=0): KQ  F Bài toán tìm tần số riêng trong dao động tự do: MQ   KQ  0 Áp dụng điều kiện biên để giải hệ phương trình trên. Bài Tập 1.1. Tính chuyển vị tại nút 2 và 3 của hệ gồm 2 lò xo trình bày trong mục 1.2.2 biết: Q1=0; C1=C; C2=2C; F2=F; F3=2F. 1.2. Áp dụng phương pháp xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử lò xo và thanh chịu kéo hãy thiết lập ma trận độ cứng của phần tử trục chịu xoắn. 1.3. Áp dụng phương pháp xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử lò xo và thanh chịu kéo hãy thiết lập ma trận độ cứng của phần tử dầm chịu uốn. 1.4. Tìm hàm dạng của phần tử quy chiếu một chiều 3 nút: 1=-1, 1=0, 1=1. -1.14-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 1.5. Tìm hàm dạng của phần tử quy chiếu hình tam giác có các nút như sau: nút1 (1=0, 1=0), nút 2 (2=1, 2=0), nút 3 (3=0, 3=1). 1.6. Tìm hàm dạng của phần tử quy chiếu hình chữ nhật 4 nút như hình vẽ 1.7. -1.15-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 Phụ Lục Chương I 1.P.1 Quan hệ biến dạng-chuyển vị u, v, w: chuyển vị tại một điểm nào đó thuộc kết cấu tương ứng theo các phương Ox, Oy, Oz của hệ trục tạo độ Đề Các Oxyz. Véc tơ chuyển vị tại một điểm: quvw  T Ten sơ biến dạng: uuvu11 w x2 y xzx 2  xx xy xz 11 uv  v  vw  yx yy yz 22y xy   zy zx zy zz 11 uw  vw  w 22 zx  zy  z Vì ten sơ biến dạng đối xứng nên chỉ có 6 thành phần độc lập do đó trong phương pháp PTHH dùng véc tơ biến dạng  Biểu diễn véc tơ biến dạng  qua chuyển vị:  u 00 xx  xx xx  v 00 yy  yy yy w 00 u  zz zz zz     v  xy 2 xy uv 0 yyxx  w  yz 2 yz vw 0   zx 2 zx  zy  zy uw 0   zzx  x  00 x 00 y 00 z Đặt D 0 yx 0  zy 0 zx Quan hệ biến dạng-chuyển vị dưới dạng ma trận -1.16-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1  D  q 1.P.2 Quan hệ ứng suất–biến dạng yy xy zy yx yz   xx  zx y xz zz z x o Hình 1.10 Các thành phần ứng suất  xxxyxz Ten sơ ứng suất  yx yy yz  zx zy zz Vì ten sơ ứng suất đối xứng nên chỉ có 6 thành phần độc lập do đó trong phương pháp PTHH dùng véc tơ ứng suất: T  xx yy zz xy yz zx Quan hệ ứng suất –biến dạng dưới dạng ma trận cho vật liệu đàn hồi tuyến tính:  C  Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính, đồng nhất, & đẳng hướng, ma trận độ cứng [C] có dạng: 10   00 100 0 E 1000  C 112  0000.50  0 000 00.50  000 0 00.5  E,  thứ tự là mô đun đàn hồi & hệ số Poisson của vật liệu. -1.17-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 2 Chương 2 PTHH Trong Bài Toán Thanh Bài toán thanh đã được đề cập đến trong chương I, trong chương này ma trận độ cứng phần tử thanh được xây dựng nhờ nguyên lý di chuyển khả dĩ. 2.1 Ma trận độ cứng của phần tử thanh hai nút 2.1.1 Chọn hàm nội suy P x1 e x2 1 2 x ≤x ≤ x L1 L2 L3 1 2 x ξ 1 2 3 x ξ1=-1 ξ2=1 12 3 4 1 −1 ≤ξ≤1 2 Q1 Q2 Q3 Q4 Hình 2.1 Mô hình PTHH của bài toán thanh với phần tử thực & phần tử quy chiếu một chiều Chọn trục Ox trùng với trục của thanh, trong bài toán thanh lực tác dụng có phương trùng với trục của thanh. Chia thanh thành các phần tử được đánh số nút (1, 2, 3, , m) và số phần tử (1, 2, 3, , m-1) như hình 2.1. Các chỉ số này gọi là các chỉ số trong hệ tổng thể hay chỉ số toàn cục. Có m nút và m-1 phần tử. Mỗi phần tử có 2 nút đánh số là 1 và 2 được gọi là chỉ số nút địa phương. Toạ độ tại nút 1 và 2 trong hệ toạ độ địa phương tương ứng là x1 và x2. T eee⎡⎤ T Véc tơ chuyển vị nút của phần tử: {qqquu} ==⎣⎦12[] 12 -2.1-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 2 T {Q} là véc tơ chuyển vị nút của cả kết cấu:{QQQ} = [ 12 Qm ] Thông số của mỗi phần tử: • chiều dài Le=x2-x1. • tiết diện ngang Ae. • mô đun đàn hồi Ee. Chọn phần tử quy chiếu có 2 nút như trên hình 2.1. Chọn hàm nội suy như sau (phần tử đẳng thông số): 11−+ξ ξ NN12()ξξ==; () 22 Toạ độ x tại một điểm được biểu diễn bởi các toạ độ x1 tại nút 1 và x2 tại nút 2 như sau: 2 1 x ==−++∑ Nxi ()ξξξ⎣⎦⎡⎤()()1112x i=1 2 Chuyển vị tại một điểm được biểu diễn bởi các chuyển vị nút u1 tại nút 1 và u2 tại nút 2 như sau: 2 1 uNu==−++∑ ii()ξξ⎣⎦⎡⎤()()11 u12ξ u i=1 2 Gọi [NNN] = [ 12] ; Biểu diễn véc tơ chuyển vị {q}={u} tại một điểm bất kỳ qua chuyển vị nút và hàm nội suy dưới dạng ma trận: ⎧⎫u ⎧⎫qe qNN===1 NN1 Nqe {} [][][]12⎨⎬ 12 ⎨⎬e {} ⎩⎭u2 ⎩⎭q2 2.2.2 Biểu diễn biến dạng qua chuyển vị nút ⇒ Quan hệ biến dạng-chuyển vị dưới dạng ma trận: ⎧⎫∂∂∂uu⎧⎫ξ {}εε== {xx } ⎨⎬⎨ = ⎬ ⎩⎭∂∂∂xx⎩⎭ξ ee ee ∂u −+qq12 ∂ξ 22 ∂u −qq12+ = ; ==⇒ε xx == ∂ξ 2 ∂−x xx21 Le ∂xLe e ⎧⎫∂u 1 ⎧q1 ⎫ {}εε== {xx } ⎨⎬ =−[]11 ⎨⎬e ⎩⎭∂x Le ⎩⎭q2 1 Đặt []B =−[]11 Le -2.2-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 2 [B]: ma trận biến dạng chuyển vị. ⎧⎫∂u e ⇒ {}εε== {xx } ⎨⎬ =[]Bq{} ⎩⎭∂x 2.2.3 Biểu diễn ứng suất qua chuyển vị nút e {σε} ==[CCB]{ } [ ][ ]{q} e {σσ} =={ xx } {EEBq εxx } =[ ]{ } 2.2.3 Biểu thức ma trận độ cứng phần tử ⇒ Gọi {δ qe} là véc tơ chuyển vị nút khả dĩ của phần tử. T eee⎡⎤ T {δδδδδqqquu} ==⎣⎦12[] 12 ⇒ Thế năng biến dạng của một phần tử trong di chuyển khả dĩ: T δδεσWde = V int ∫ {}{} Ve T T ε = B qe δεTT= δ qBe δδWqBCBqee= T edV mà { } [ ]{ }⇒{} { } [] ⇒ int ∫ { } [][][]{ } Ve T ⎛⎞T δδWqee= ⎜⎟ BCBdVqe int {}⎜⎟∫ [][][] {} ⎝⎠Ve ⎡⎤e T Đặt ⎣⎦kEBBd= ∫ [][]V Ve T eee⎡⎤ e ⇒δδWqkqint = {}⎣⎦ {} ⇒ [ke] là ma trận độ cứng của phần tử: • [ke] phụ thuộc vào bản chất vật liệu & hình dạng hình học của phần tử. • [ke] là ma trận vuông đối xứng có 2 hàng và 2 cột. • [ke] là ma trận suy biến: det[ke]=0. xx− L AL dx==21 dξ e dξ dV== A dxee dξ mà 22⇒ e 2 1 e T 1 ALee ⎡⎤−1 ⎡⎤kEBBdVE==[][] e [] −11dξ ⇒ ⎣⎦ ∫∫L2 2 ⎢⎥1 Ve e −1 ⎣⎦ -2.3-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 2 AE ⎡⎤11− ⎡⎤k e = ee ⎣⎦ ⎢⎥ Le ⎣⎦−11 Ví dụ 2.1 x=0 ξ =-1 1 1 1 2L 2 ξ2=1 2 ξ 3 x=2L x Hình 2.3 Mô hình hoá PTHH thanh chịu tác dụng của trọng lượng bản thân với phần tử thực & phần tử quy chiếu Cho trục có kết cấu như hình 2.3 chịu tác dụng của trọng lực bản thân. Cho: Tiết diện A, chiều dài 2L, mô đun đàn hồi E, khối lượng riêng ρ. Lực thể tích [N/m3]: f=ρg (g: gia tốc trọng trường) Bước 1: Rời rạc hoá kết cấu Chia kết cấu thành 2 phần tử, mỗi phần tử có 2 nút, được đánh số nút và số phần tử như hình 2.3. Bước 2: Tính ma trận độ cứng của phần tử 12AE ⎡⎤11− ⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤kk==⎢⎥ L ⎣⎦−11 -2.4-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 2 Bước 3: Ghép phần tử & tính ma trận độ cứng của kết cấu [K]. Bảng ghép nối phần tử Chỉ số chuyển vị nút địa phương Phần tử 1 2 Chỉ số chuyển vị nút tổng thể (1) 1 2 (2) 2 3 11 Kk11== 11;; Kk 12 12 K13 =0; K ==+=kKkkKk112;;2; 21 21 22 22 11 23 12 22 K31 ==0; Kk32 21; Kk33 = 22 ; ⎡⎤⎡KKK11 12 13 110− ⎤ ⎢⎥⎢AE ⎥ []KKKK==21 22 23 −12− 1 ⎢⎥⎢L ⎥ ⎣⎦⎣⎢⎥⎢KKK31 32 33 011− ⎦⎥ Bước 4: Quy đổi ngoại lực về nút Lực thể tích tác dụng lên trục là: f=ρg. Véc tơ lực nút của phần tử do lực thể tích gây ra là: e T ⎧⎫N1 fvv==[]NfdVg{} ρ ⎨⎬ dV {}∫∫N VVee⎩⎭2 xx− L AL mà dx==21 dξ e dξ ⇒ dV== A dxee dξ 22 e 2 1 T AL ⎧11−ξ ⎫⎧AL ⎫ fNfdVge ==ρξ dg =ρ do đó: {}vv∫∫[]{} ⎨ ⎬⎨⎬ V e 42−1 ⎩⎭11+ξ ⎩⎭ Với e=1, 2. Gọi R1 là phản lực tại ngàm ở nút 1. Véc tơ lực nút của cả kết cấu là: ⎧⎫12 ⎧RgAL11 ⎫ ⎧ρ + R ⎫ AL ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ {}Fg=+=ρρ⎨⎬20 ⎨ ⎬ ⎨gAL ⎬ 2 ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎭10 ⎩ ⎭ ⎩ρgAL 2 ⎭ -2.5-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 2 Bước 5: Hệ phương trình PTHH ⎡⎤⎧⎫⎧⎫110−+QgALR11ρ 2 AE ⎪⎪⎪ ⎪ ⎢⎥−−=12 1QgALρ ⎢⎥⎨⎬⎨2 ⎬ L ⎪⎪⎪ ⎪ ⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎢⎥011− QgAL3 ρ 2 Bước 6: Áp dụng điều kiện biên Q1=0, ta loại bỏ dòng 1 cột 1 của hệ trên ta có hệ 2 phương trình 2 ẩn số. AE ⎡⎤21− ⎧⎫Q2 ρgAL ⎧2⎫ ⎢⎥⎨⎬= ⎨⎬ L ⎣⎦−11⎩⎭Q3 2 ⎩1⎭ Kết Quả ⇒ Chuyển vị: 32ρρgL22gL QQ==0; ; Q = 122EE 2 ⇒ Phản lực liên kết tại ngàm (nút 1): m 2 ρρgAL AE3 gLρ gAL Rg= −2ρ AL RKQKQ11==−=−−∑ jj 122 ⇒ 1 j=1 22LE 2 ⇒ Biến dạng trong mỗi phần tử: 11 2 2 −+qq −+QQ123ρρgL −+qq −+QQ23 gL εε12==12 =; =1 2 = = LLE1222 L LE ⇒ Ứng suất trong mỗi phần tử: 3ρ gL ρ gL σε11==EE; σε2 == 2 22 ⇒ So sánh với kết quả của lời giải theo Sức Bền Vật liệu: 2gLρ ⎛⎞ x ⎛⎞x ux()=− x1⎜⎟ ;σρxx () x =− 2gL1⎜⎟ E4L⎝⎠ ⎝⎠2L Exact FEM ) ) x x ( ( u Exact σ FEM 012012 x/L x/L a) b) Hình 2.4 Chuyển vị a) & ứng suất b) tính theo FEM & Sức Bền Vật Liệu -2.6-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 2 2.2 Ma trận độ cứng của phần tử thanh ba nút 1 2 3 x 1 2 3 ξ x1 x2 x3 ξ1=-1 ξ2=0 ξ3=1 x1 ≤x ≤ x3 −1 ≤ξ≤1 Hình 2.5 Phần tử thực và phần tử quy chiếu một chiều 3 nút Phần tử thanh 2 nút chỉ cho kết quả chính xác trong trường hợp thanh chịu tác dụng của lực tập trung. Trong trường hợp lực phân bố ta nên dùng phần tử thanh 3 nút. Xây dựng ma trận độ cứng của phần tử thanh có ba nút được coi như bài tập. Bài Tập 2.1. Xây dựng ma trận độ cứng của phần tử thanh ba nút như hình 2.5. 2.2. Quy đổi lực phân bố có cường độ f tác dụng dọc theo trục thanh về các nút. 2.3. Giải ví dụ 2.1 dùng 1 phần tử thanh ba nút. So sánh với kết quả khi dùng 2 phần tử 2 nút. -2.7-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 3 Chương 3 PTHH Trong Hệ Thanh Phẳng 3.1 Mô hình PTHH cho hệ thanh phẳng P4 P P2 6 4 8 2 4 6 3 1 7 11 5 9 y 1 7 2 3 6 5 10 x o Hình 3.1 Mô hình hệ thanh phẳng bằng PTHH ⇒ Hệ thanh phẳng: • Các thanh nằm trong cùng một mặt phẳng. • Các thanh liên kết với nhau bởi các khớp quay (bỏ qua ma sát tại các khớp). • Tải trọng & phản lực liên kết đặt tại các khớp nối. • Các thanh chỉ chịu kéo hoặc nén. ⇒ Mỗi thanh là một phần tử. ⇒ Trong hệ Oxyz, nút i có 2 chuyển vị ui & vi theo 2 phương Ox & Oy ký hiệu theo cách ghi chỉ số tổng thể: Qu21ii− ==; Q2 ivi ⇒ Véc tơ chuyển vị nút của cả kết cấu là: T {QQQ} = [ 12 Qm ] ⇒ Hệ toạ độ Oxy cố định không phụ thuộc vào phương của các thanh trong hệ thanh. ⇒ Hệ toạ độ O*x* trùng với trục của thanh. Các đại lượng trong hệ toạ độ O*x* được đánh dấu *. -3.1-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 3 x* x* * * y fx2 y e q2 f y2 q4 f e 2 x2 2 q3 f * e q* f y1 x1 q2 1 θ θ 1 1 e fx1 x q1 x a) b) Hình 3.2 Lực nút a) và chuyển vị nút b) được biểu diễn trong các hệ toạ độ ⇒ Mỗi thanh là một phần tử có 2 nút là nút 1 & 2 theo cách ghi chỉ số địa phương. ⇒ Chuyển vị tại nút 1 & 2 của phần tử trong hệ toạ độ O*x* được ký hiệu thứ tự là qq12& . ⇒ Véc tơ chuyển vị nút của phần tử trong hệ O*x* là: * * ⎧⎫q1 {}q = ⎨⎬* ⎩⎭q2 ⇒ Trong hệ Oxy, mỗi phần tử có 4 bậc tự do, véc tơ chuyển vị nút của phần tử là T e⎡⎤ eeee {q} = ⎣⎦ qqqq1234 ee • qq12& là chuyển vị của nút 1 thứ tự theo các phương Ox và Oy. ee • qq34& là chuyển vị của nút 2 thứ tự theo các phương Ox và Oy. ⇒ Gọi θ là góc lệch của thanh (phương O*x*) so với trục Ox. ⇒ Đặt c ==cosθ & s sinθ . Ta có: ee ee qq11=+cs; q 2 qq 23 =+ c q 4s e ⎧⎫q1 * ⎪⎪e * ⎧⎫qq⎡⎤cs00⎪⎪ ⇒ {}q ==⎨⎬12⎨⎬ * ⎢⎥00cs e ⎩⎭qq23⎣⎦⎪⎪ ⎪⎪e ⎩⎭q4 -3.2-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 3 ⎡⎤cs00 * e Đặt []T = ⎢⎥⇒ {qTq} = [ ]{ } ⎣⎦00cs ⇒ Quan hệ biến dạng & chuyển vị nút: qq − 11 ε ==21 ⎡ qcee +−+=−+− qss qc ee q⎤⎡ qee q c q ee q s⎤ ⎣()()34 12⎦⎣()() 31 42⎦ LLee Le ⇒ Quan hệ ứng suất & chuyển vị nút: E σε==E ⎡⎤qqcqqsee − +− ee ⎣⎦()()31 42 Le 3.2 Ma trận độ cứng phần tử ⇒ Ma trận độ cứng phần tử trong hệ toạ độ O*x*: AE ⎡⎤11− ⎡⎤k* = ee ⎣⎦ ⎢⎥ Le ⎣⎦−11 * e ⇒ Gọi {}δq& {δq} thứ tự là véc tơ chuyển vị nút khả dĩ của phần tử trong hệ toạ độ O*x* & Oxy. {}δδqTq* = [ ]{}e ⇒ Năng lượng biến dạng của phần tử trong di chuyển khả dĩ: TT ee ⎡⎤ T ⎡⎤* e δδWqkqqTkTqint =={}⎣⎦ {}{ δ} []⎣⎦ []{} e ⇒ ⎣⎦⎡⎤k : ma trận độ cứng của phần tử trong hệ Oxy. e T * ⇒ ⎣⎦⎡⎤kTk= [] ⎣⎦⎡⎤ []T ⎡⎤ccscc22−−s ⎢⎥ AE cs s22−− cs s ⎡⎤k e = ee⎢⎥ ⎣⎦ L ⎢⎥−−ccsccs22 e ⎢⎥22 ⎣⎦⎢⎥−−cs s cs s -3.3-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 3 Ví dụ 3.1 y L , A, E 3 2 23 LL2 = 2 3 1 2 x 1 P L1=L, A, E Hình 3.3 Tính chuyển vị của hệ thanh phẳng gồm hai thanh ⇒ Cho hệ thanh phẳng gồm hai thanh có kết cấu & chịu lực như hình 3.3. Các thanh có tiết diện A và mô đun đàn hồi E, chiều dài L1 & L2. Bước 1: Rời rạc hoá kết cấu & chọn hàm nội suy ⇒ Chia kết cấu thành 2 phần tử (mỗi thanh là một phần tử) được đánh số nút và số phần tử như hình 3.3. ⇒ Mỗi phần tử có 4 bậc tự do trong hệ toạ độ Oxy, véc tơ chuyển vị nút của phần tử là T e⎡⎤ eeee {}q= ⎣⎦ qqqq1234 ⇒ Số bậc tự do của cả hệ là 6, véc tơ chuyển vị nút của cả hệ là: T {}Q= [ QQQQQQ123456] ⇒ Đã biết QQQQ1256===0 , tìm Q3 & Q4. -3.4-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 3 Bước 2: Tính ma trận độ cứng của phần tử ⇒ Phần tử 1: θθ= 0cos1;sin0 ⇒=cs = =θ =0 ⎡⎤10− 10 ⎢⎥0000 1 AE ⎢⎥ ⎣⎦⎡⎤k = L ⎢⎥−10 1 0 ⎢⎥ ⎣⎦0000 ⇒ Phần tử 2: θθ=⇒==−==1500 c cos 3 2 ; s sinθ 1 2 ⎡⎤3333 ⎡ 33 3 33 3 ⎤ ⎢⎥−− ⎢ −− ⎥ ⎢⎥4444 ⎢ 8888⎥ ⎢⎥31 3 1 ⎢ 333 3⎥ ⎢⎥−−⎢ −−⎥ 2 AE ⎢⎥44 4 4AE ⎢ 88 8 8⎥ ⎣⎦⎡⎤k == LL2 ⎢⎥333 3⎢ 333333⎥ ⎢⎥−−−⎢ −⎥ ⎢⎥44 4 4⎢ 8 8 8 8⎥ ⎢⎥31 31 ⎢ 3333⎥ ⎢⎥−− ⎢ −− ⎥ ⎣⎦4444 ⎣ 8888⎦ Bước 3: Ghép phần tử & tính ma trận độ cứng của kết cấu [K] ⎡⎤KKKKKK11 12 13 14 15 16 ⎢⎥KKKKK ⎢⎥22 23 24 25 26 ⎢⎥KKKK33 34 35 36 []K = ⎢⎥ ⎢⎥KKK44 45 46 ⎢⎥KK ⎢⎥55 56 ⎣⎦⎢⎥Sym K66 Bảng ghép nối phần tử Chỉ số chuyển vị nút địa phương Phần tử 1 2 3 4 Chỉ số chuyển vị nút tổng thể (1) 1 2 3 4 (2) 3 4 5 6 11 1 1 Kk11== 11;;;0 Kk 12 12 Kk 13 = 13 Kk14 = 14 K15 =; K16 =0; 11 1 Kk22== 22;; Kk 23 23 Kk24 = 24 ; K25 == 0; K26 0; 12 12 2 2 KkkKkk33=+ 33 11;;; 34 =+ 34 12 Kk 35 = 13 Kk 36 = 14 ; 12 2 2 KkkKk44=+ 44 22;; 45 = 23 Kk 46 = 24 ; 22 Kk55== 33;; Kk 56 34 2 Kk66= 44 ; -3.5-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 3 Bước 4: Quy đổi ngoại lực về nút ⇒ R1 & R2 thứ tự là phản lực theo phương Ox & Oy tại nút 1. ⇒ Tại nút 2 ngoại lực tác dụng theo phương Ox bằng 0, theo phương Oy là –P. ⇒ R5 & R6 thứ tự là phản lực theo phương Ox & Oy tại nút 3. ⇒ Véc tơ lực nút của hệ là: T {}F =−[RR120 PRR56] Bước 5: Hệ phương trình PTHH ⎡⎤101000− ⎢⎥ ⎢⎥000000 ⎢⎥33 3 33 3 ⎧⎫0 ⎧R1 ⎫ ⎢⎥−+−−101 ⎪⎪0 ⎪R ⎪ ⎢⎥8888⎪⎪⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ EA ⎢⎥3333⎪⎪Q3 ⎪0 ⎪ ⎢⎥00 −−⎨ ⎬⎨= ⎬ Q −P L ⎢⎥888 8⎪ 4 ⎪⎪ ⎪ ⎢⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ 33 3 33 3 0 R5 ⎢⎥00−−⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢⎥888 8⎩⎭0 ⎪⎩⎭R6 ⎪ ⎢⎥3333 ⎢⎥00 −− ⎣⎦8888 Bước 6: Áp dụng điều kiện biên QQQQ1256= ===0 . ⇒ Loại bỏ dòng 1, 2, 5,và 6 và cột 1, 2, 5,và 6 của hệ trên ta có hệ 2 phương trình 2 ẩn số. ⎡⎤33 3 ⎢⎥1+− EA 88⎧⎫Q3 ⎧⎫0 ⎢⎥⎨ ⎬⎨= ⎬ L ⎢⎥33⎩⎭Q4 ⎩⎭−P ⎢⎥− ⎣⎦88 Kết Quả PL ⎛⎞8 PL ⇒ Chuyển vị: QQ34=− 3;=− 3⎜⎟ + 3 EAE⎝⎠3 A ⇒ Phản lực liên kết tại các gối tựa: R125===3;PR 0; R− 3; PR6=P ⇒ Lời giải theo phương pháp PTHH trùng với lời giải chính xác của Sức Bền Vật Liệu. -3.6-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 Chương 4 PTHH Trong Bài Toán Dầm 4.1 Rời rạc hoá kết cấu & chọn hàm nội suy y P x f 1 2 3 Q Q Q Q z 12341 3 5 7 Q2 Q4 Q6 Q8 a) b) e e e e f q1 q3 1 f3 e e x ξ1= -1 ξ2=1 e x1 x2 e e x1 2 f2 f q e 4 2 q4 1 2 1 2 1 2 ξ c) d) e) Hình 4.1 a) Kết cấu dầm; b) Mô hình PTHH; c) Biểu diễn lực nút của phần tử; d) Biểu diễn chuyển vị nút của phần tử; e)Phần tử quy chiếu ⇒ Chỉ xét dầm có mặt cắt ngang đối xứng với mặt phẳng tải trọng. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt. ⇒ Chia dầm thành các phần tử, mỗi phần tử có 2 nút gồm 4 bậc tự do, dùng phần tử quy chiếu 2 nút như trên hình 4.1. ⇒ Toạ độ x tại một điểm được biểu diễn bởi các toạ độ x1 tại nút 1 và x2 tại nút 2 và các hàm dạng NN1(ξ ) & 2(ξ ) như sau: 11−ξ +ξ x =+NxN12(ξ) (ξ) x với NN12()ξξ==; () 12 22 T e⎡ eeee⎤ ⇒ Véc tơ chuyển vị nút của phần tử là {q} = ⎣ qqqq1234⎦ ee • qu11=& q 21=ϕ thứ tự là độ võng của trục dầm và góc xoay của mặt cắt ngang của dầm tại nút 1. ee • qu32=& q 42=ϕ thứ tự là độ võng của trục dầm và góc xoay của mặt cắt ngang của dầm tại nút 2. T e⎡ eeee⎤ ⇒ Véc tơ lực nút của phần tử là: { f } = ⎣ ffff1234⎦ ee • f1& f3 thứ tự là lực nút theo phương Oy tại nút 1 và nút 2. ee • f2& f4 thứ tự là mô men đối với trục Oz tại nút 1 và nút 2. -4.1-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 e e Q2i-1 y q1 q3 Q x e e 2j-1 e e Q q2 q 2i Q2j 1 2 4 i j z f e f e F2j-1 y 1 3 F2i-1 e e x e e f2 f4 F2i F2j 1 2 i j z a) b) Hình 4.2 Lực nút và chuyển vị nút biểu diễn trong: a) hệ địa phương của phần tử và b) hệ tổng thể của kết cấu ⇒ Véc tơ chuyển vị nút của cả kết cấu: T {QQQ} = [ 12 Qm ] ⇒ Trong hệ tổng thể, chuyển vị tại nút i gồm: • Q21i− là độ võng của trục dầm; • Q2i là góc xoay của mặt cắt ngang của dầm. ⇒ Véc tơ lực nút của cả kết cấu: T {F} = [FF12 Fm ] ⇒ Trong hệ tổng thể, lực nút tại nút i gồm: • F21i− là lực tác dụng theo phương Oy. • F2i là mô men đối với trục Oz. ⇒ m là tổng số chuyển vị nút của kết cấu. (số bậc tự do của kết cấu). Số phần tử là m/2-1; số nút m/2. ⇒ Độ võng của trục dầm được xác định từ các chuyển vị nút & hàm nội suy Ni (ξ ) như sau: 4 eeee e v()ξϕϕ=+ NvN11 21 + NvN 32 + 42 = NqNqNqNq 11 + 22 + 33 + 44 =∑ Nqii i=1 Đặt [NN] = [ 123 N N N4] e ⇒ Dưới dạng ma trận: vNq(ξ ) = [ ]{ } ⇒ Từ đó xác định được góc xoay của mặt cắt ngang của dầm: -4.2-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 dv dv dξ 2 4 dN qe i ϕξ()== =∑ i dx dξ dx Le i=1 dξ ⇒ Độ võng tại nút 1 (ξ1=-1): vv111=−=−+−()11 N( ) vN21( 1)ϕ +−+− N32( 1) vN4( 1)ϕ2 ⇒ NN12()−=11;10;10;1 () −= N 3( −=)( N 4 −=)0; ⇒ Tương tự đối với góc xoay tại nút 1 ta có: 2 ⎡ ''' '⎤ ϕϕ11=−=()1111⎣vN1() −+ϕ1 N2 () −+ vN23 () −+ϕ2 N4 () −1⎦ Le '' '' ⇒ NNLNN12()−=10; () −= 1e 2; 34(−= 10;)( −= 10); ⇒ Tổ hợp điều kiện về độ võng và góc xoay tại các nút ta có các điều kiện sau đối với các hàm nội suy Ni (ξ ) ' ' ' ' N1 N1 N2 N2 N3 N3 N4 N4 ξ1=−1 1 0 0 Le/2 0 0 0 0 ξ2=1 0 0 0 0 1 0 0 Le/2 ⇒ Với mỗi hàm nội suy Ni (ξ ) có 4 phương trình để xác định các hệ số của nó, do đó ta tìm Ni (ξ ) dưới dạng đa thức bậc 3 như sau: 23 Nabiii=+ξ + c iξξ + d i 11 N1=−()()ξξ2 2 +=−+ 23 ξξ3 1 44( ) LL N11=−eeξξ22() −=−−+ 1 ξξξ3 2 88() () 112 N1=+()()ξξ 2 −=+− 23 ξξ3 ⇒ 3 44() LL N111=−++=−−++eeξ 22()ξξξξ3 4 88() () -4.3-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 4.2 Ma trận độ cứng của phần tử 4.2.1 Biểu diễn ứng suất qua chuyển vị nút A-A Qy f e e 1 f3 y A x e x x e x1 2 e f2 f 4 M z 12 z A Hình 4.3 Mặt cắt ngang của dầm trong hệ Oxyz và các thành phần nội lực 2 M z dv M z ⇒ Theo Sức Bền Vật Liệu: σ xx =− y & = J dx2 EJ dv2 dϕ σ =−yE =− yE ⇒ xx dx2 dx 4 dv dv dξ 2 e dNi mà ϕξ()== =∑qi dx dξ dx Le i=1 dξ dddϕϕξ 4 4 dN2 yE qe i ⇒ ==−22∑ i dx dξ dx Le i=1 dξ 4 4 dN2 yE qe i Do đó σ xx =− 22∑ i Lde i=1 ξ ⎡⎤dN22 dN dN2 dN2 ⎡⎤N '' = 123 4 Ký hiệu: ⎣⎦⎢⎥2222 ⎣⎦ddddξξξξ '' 1 ⎡⎤LLee ⎡⎤⎣⎦N =−−⎢⎥33133ξξ() ξξ()+1 22⎣⎦2 4Ey σσ==−⎡⎤Nq'' e ⇒ {} {xx } 2 ⎣⎦{} Le 4.2.2 Biểu diễn biến dạng qua chuyển vị nút 14y εε== σ =−⎡⎤Nq'' e {} {}xx {}xx 2 ⎣⎦{} ELe -4.4-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 4.2.3 Biểu thức ma trận độ cứng phần tử ⇒ Gọi {δ qe} là véc tơ chuyển vị nút khả dĩ của phần tử. T eeeee⎡⎤ {δδδδδqqqqq} = ⎣⎦1234 ⇒ Năng lượng biến dạng của phần tử trong di chuyển khả dĩ: T δδεσWde = V int ∫ {}{} Ve T 4y T T δε=− δ qNe ⎡⎤'' mà {} 2 {}⎣⎦ Le 16EET TTT ⎛⎞16 δδWee== y2 q⎡⎤⎡⎤ N'' N '' q ee dV δ q⎜⎟ y2⎡⎤⎡⎤ N '' N '' dV qe ⇒ int 4 ∫∫{}⎣⎦⎣⎦ {} {}⎜⎟4 ⎣⎦⎣⎦ {} LLe e Ve ⎝⎠Ve 16E T ⎡⎤e 2'''' ⎡⎤⎡⎤ kyNN= 4 dV ⇒ ⎣⎦L ∫ ⎣⎦⎣⎦ là ma trận độ cứng của phần tử. e Ve J= ∫ y2dA là mô men diện tích của tiết diện ngang của dầm đối với Ae trục Oz. L và dx= e dξ 2 x2 1 16EETT8 J ⎡⎤k e ==y2dA⎡⎤⎡⎤ N '''' N dx ⎡⎤⎡⎤ N'''' N dξ ⇒ ⎣⎦ LL43∫∫⎣⎦⎣⎦ ∫ ⎣⎦⎣⎦ eeAxe 1 −1 ⎡⎤9933LL ξξξξ22ee()31−− ξξ()31+ ⎢⎥48 4 8 ⎢⎥ 22 ⎢⎥LLLeee3 2 1 ⎢⎥()13−−ξξξξ()3 − 1() 9 − 1 e 8EJ 4816 ⎡⎤kd= ⎢⎥ξ ⎣⎦ L3 ∫ 9 3L e −1 ⎢⎥ξξ2 −+e ()31ξ ⎢⎥48 ⎢⎥2 L 2 ⎢⎥Sym e ()31ξ + ⎣⎦⎢⎥16 ⎡⎤12 6LLee− 12 6 ⎢⎥22 EJ 64LL− 62 LL ⎡⎤k e = ⎢⎥ee ee ⇒ ⎣⎦ 3 Le ⎢⎥−−12 6LLee 12 − 6 ⎢⎥22 ⎣⎦62LLee− 64 LL ee -4.5-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 4.3 Quy đổi ngoại lực về lực nút ⇒ Giải phóng liên kết của kết cấu (như ngàm, gối tựa ), và coi lực liên kết như ngoại lực tác dụng. ⇒ Để quy đổi ngoại lực về lực nút ta cần tính công của ngoại lực trong di chuyển khả dĩ. 4.3.1 Quy đổi lực và mô men tập trung ⇒ Khi chia phần tử, chọn điểm đặt lực hoặc mômen tập trung làm nút. ⇒ Nút thứ i của kết cấu có lực tập trung P2i-1 (tương ứng với độ võng Q2i-1) và mô men tập trung M2i (tương ứng với góc xoay Q2i). ⇒ {δQ} là véc tơ chuyển vị nút khả dĩ của kết cấu: T {δδQQ} = [ 12 δ Q δ Qm ] ⇒ Công của ngoại lực & momen tập trung trong di chuyển khả dĩ: m P T δδδWQPQPex t ==∑ i i {}{} i=1 ⇒ Với {P} là véc tơ lực nút chứa tất cả các thành phần ngoại lực tập trung & momen tập trung tác dụng lên các nút của kết cấu: T {}PP= [ 12 P Pm ] ⇒ Khi thực hành tính toán, tại nút có lực hoặc mô men tập trung, ta cộng thêm giá trị của lực hoặc giá trị của mô men tập trung vào thành phần véc tơ lực nút tổng thể tương ứng với nút đó. 4.3.2 Quy đổi lực phân bố ⇒ Phần tử dầm chịu lực phân bố đều có cường độ f . Công của lực phân bố trong di chuyển khả dĩ là: x2 LL11f δW ef ==f δδξδξvdx eef vd = vd ex t ∫∫22 ∫ x1 −−11 T T mà vNq= [ ]{ e} ⇒δδvqN= { e} [] -4.6-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 11 Lf TTTTLf⎛⎞ δWqNdqNef ==eeδξe e dξ ⇒ ex t ∫∫{}[] {} ⎜⎟[] 22−−11⎝⎠ ⇒ Véc tơ lực nút {f e}của phần tử do lực phân bố gây ra: 1 22T e fLee⎛⎞T ⎡⎤fL fLe fLe fLe {}fNd==⎜⎟∫ [] ξ ⎢⎥− 221⎝⎠−1 ⎣⎦2212 y Le fLe/2 fLe/2 x fL2 2 e fLe 12 12 z f Hình 4.4 Quy đổi lực phân bố về lực nút 4.4 Tính nội lực qe qe f e A 1 A 3 1 y Qy x e x e x x 1 2 e e 1 q2 f2 q4 Mz z 12 1 A A a) ξ ξ1= -1 ξ2=1 ξ ξ1= -1 1 2 1 b) Hình 4.5 Mặt cắt ngang của dầm để tính nội lực trong: a) phần tử thực và b) phần tử quy chiếu ⇒ Tính mô men uốn: dv2 EJ MEJ==⎡⎤ 6q31Lq6q31Lqξξeee +−−++ ξξ e z1e22⎣⎦()23 ()e4 dx Le ⇒ Tính lực cắt: dM 6EJ Q=− =⎡⎤ −2qLq2qLqeeee − + − y13 ⎣⎦e23e4 dx Le -4.7-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 4.5 Ví dụ 4.5.1 Ví dụ 4.1 P EJ A 1 2 C B Q Q1 Q3 5 L 123 L Q Q2 Q4 6 a) b) Hình 4.6 Dầm chịu lực tập trung: a) Kết cấu thực & b) mô hình PTHH Cho dầm có kết cấu & chịu lực như hình 4.6. Tính độ võng tại giữa dầm và góc xoay của mặt cắt ngang tại vị trí gối tựa. Lời giải: Chia dầm thành 2 phần tử như hình 4.6. ⇒ Ma trận độ cứng của phần tử 1 & 2 là: ⎡⎤12 6LL− 12 6 ⎢⎥22 EJ 64LL− 62 LL ⎡⎤⎡⎤kk12==⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ L3 ⎢⎥−−12 6LL 12 − 6 ⎢⎥22 ⎣⎦62LL− 64 LL T ⇒ Véc tơ chuyển vị nút của kết cấu là: {}Q= [] QQQQQQ123456 ⇒ Gọi R1 & R5 thứ tự là phản lực gối tựa tại nút 1 & nút 3. Véc tơ T lực nút của kết cấu là: {}FR0P0R0=−[]15 ⇒ Hệ phương trình của cả kết cấu: ⎡⎤KKKKKKQ11 12 13 14 15 16⎧ 1 ⎫⎧R1 ⎫ ⎢⎥KKKKKQ⎪⎪⎪0 ⎪ ⎢⎥22 23 24 25 26⎪ 2 ⎪⎪ ⎪ ⎢⎥KKKKQ33 34 35 36⎪⎪⎪ 3 ⎪⎪−P⎪ ⎢⎥⎨ ⎬⎨= ⎬ ⎢⎥KKKQ44 45 46⎪ 4 ⎪⎪0 ⎪ ⎢⎥KKQ⎪ ⎪⎪R ⎪ ⎢⎥55 56⎪ 5 ⎪⎪5 ⎪ ⎣⎦⎢⎥Sym KQ66⎩⎪⎪ 6 ⎭⎩⎭0 ⇒ Hệ phương trình PTHH sau khi đã tính đến điều kiện biên Q1=Q5=0. ⎡⎤KKKKQ22 23 24 26⎧ 2 ⎫⎧ 0 ⎫ ⎢⎥⎪⎪⎪ ⎪ EJ KKK33 34 36⎪⎪⎪⎪ Q 3 −P ⎢⎥⎨⎬⎨⎬= 3 ⎢⎥ L KKQ44 46⎪⎪⎪⎪ 4 0 ⎢⎥⎪⎪⎪⎪ ⎣⎦Sym KQ66⎩ 6 ⎭⎩⎭0 -4.8-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 Bảng ghép nối các phần tử Chỉ số chuyển vị nút địa phương Phần tử 1 2 3 4 Chỉ số chuyển vị nút tổng thể (1) 1 2 3 4 (2) 3 4 5 6 11 1 Kk22== 22;; Kk 23 23 Kk24 = 24 ; K26 =0; 12 12 2 KkkKkk33=+ 33 11;; 34 =+ 34 12 Kk 36 = 14 ; ⇒ 12 2 KkkKk44=+ 44 22;; 46 = 24 2 Kk66= 44 ; 22 ⎡⎤4620LLL− ⎧⎫Q2 ⎧ 0 ⎫ ⎢⎥⎪⎪⎪ ⎪ EJ 24 0 6L ⎪⎪⎪Q3 −P ⎪ ⎢⎥⎨⎬⎨= ⎬ ⇒ L3 ⎢⎥82LL22Q 0 ⎢⎥⎪⎪⎪4 ⎪ 2 ⎪⎪⎪ ⎪ ⎣⎦Sym 4L ⎩⎭Q6 ⎩⎭0 ⇒ Chú ý do kết cấu có tính đối xứng nên Q2=-Q6. Giải ra ta có: PLP23L PL2 QQ==−=−===0; ; Q; QQQ 0; 0; 1246EJ 3EJ 4564EJ ⇒ Để tính phản lực gối tựa (R1=R5), ta dùng phương trình thứ nhất của hệ [K]{Q}={F}: 6 11 P RKQKQKQKQkQkQ0.Q1==++=++∑ 1i i 12 2 13 3 16 6 12 2 13 3 6 = i1= 2 Mz PL Qy 2 P x x 0 0 L 2L L2L -P a) b) Hình 4.7 Mô men uốn a) và lực cắt b) tính theo phương pháp PTHH PLP ⇒ Nội lực trong phần tử 1: MQzy=+()ξ 1; =− ; 42 PLP ⇒ Nội lực trong phần tử 2: MQzy=−()1;ξ =; 42 -4.9-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 4.5.2 Ví dụ 2 f 1 2 C A B Q Q Q EJ 1 1 233 5 LL Q2 Q4 Q6 a) b) Hình 4.8 Dầm chịu lực phân bố: a) Kết cấu thực & b) mô hình PTHH 1 2 f f fL L L fL/2 fL/2 23 fL/2 fL/2 fL/2 fL/2 1 1 2 1 2 fL2 12 fL2 12 fL2 12 fL2 12 fL2 12 fL2 12 Hình 4.9 Quy đổi lực nút do lực phân bố gây ra trên toàn kết cấu Cho dầm có kết cấu & chịu lực như hình 4.8. Tính độ võng tại giữa dầm và góc xoay của mặt cắt ngang tại vị trí gối tựa. Lời giải: Chia dầm thành 2 phần tử như hình 4.8. Bài toán này chỉ khác ví dụ 4.1 về điều kiện đặt lực. Ta tính véc tơ lực nút của cả hệ, các phần khác hoàn toàn giống ví dụ 4.1. ⇒ Véc tơ lực nút của phần tử 1 & 2 do lực phân bố gây ra là: 22T *1 *2 ⎡⎤fL fL fL fL {}{}ff==−−⎢⎥ − ⎣⎦212212 ⇒ Gọi R1 & R5 thứ tự là phản lực gối tựa tại nút 1 & nút 3. ⇒ Véc tơ lực nút của phần tử 1 là: 22T 1 ⎡⎤fLfLfLfL {}fR=−⎢⎥1 − − ⎣⎦212212 ⇒ Véc tơ lực nút của phần tử 2 là: 22T 2 ⎡⎤fLfLfLfL {}fR=−⎢⎥ −5 − ⎣⎦212212 -4.10-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 ⇒ Véc tơ lực nút {F} của kết cấu được tính dựa vào bảng ghép nối các phần tử: fL fL2 FfR==−11;; Ff ==− Ff =+=− 1 f2 fL; 1211212 2 331 fL fL2 Fff=+=120; Ff =2 =− R; Ff =2 = ; 442 53 521 64 2 Bảng ghép nối các phần tử Chỉ số chuyển vị nút địa phương Phần tử 1 2 3 4 Chỉ số chuyển vị nút tổng thể (1) 1 2 3 4 (2) 3 4 5 6 ⇒ Véc tơ lực nút của kết cấu là: T ⎡⎤fL fL22fL fL {}FR=−⎢⎥15 − −fL0 R− ⎣⎦⎢⎥212 212 ⇒ Hệ phương trình của cả kết cấu: ⎡⎤KKKKKKQ11 12 13 14 15 16⎧ 1 ⎫⎧RfL1 − 2⎫ ⎢⎥KKKKKQ⎪⎪⎪− fL2 12 ⎪ ⎢⎥22 23 24 25 26⎪ 2 ⎪⎪ ⎪ ⎢⎥KKKKQ33 34 35 36⎪⎪⎪ 3 ⎪⎪− fL ⎪ ⎢⎥⎨ ⎬⎨= ⎬ ⎢⎥KKKQ44 45 46⎪ 4 ⎪⎪0 ⎪ ⎢⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ KKQ55 56 5 RfL5 − 2 ⎢⎥⎪ ⎪⎪2 ⎪ ⎣⎦⎢⎥Sym KQ66⎩⎪⎪ 6 ⎭⎩⎭fL 12 ⇒ Hệ phương trình PTHH sau khi đã tính đến điều kiện biên Q1=Q5=0. ⎡⎤KKKKQ22 23 24 26⎧ 2⎫⎧ F 2 ⎫ ⎢⎥⎪⎪⎪⎪ EJ KKK33 34 36⎪⎪⎪⎪ Q 3 F 3 ⎢⎥⎨⎬⎨⎬= 3 ⎢⎥ L KKQ44 46⎪⎪⎪⎪ 4 F 4 ⎢⎥⎪⎪⎪⎪ ⎣⎦Sym KQF66⎩ 6⎭⎩ 6 ⎭ 22 2 ⎡⎤4620LLL−−⎧⎫Q2 ⎧fL 12⎫ ⎢⎥⎪⎪⎪⎪ EJ 24 0 6Lf⎪⎪⎪Q3 − L ⎪ ⎢⎥⎨⎬⎨= ⎬ ⇒ L3 ⎢⎥82LL22Q 0 ⎢⎥⎪⎪⎪4 ⎪ 22⎪⎪⎪ ⎪ ⎣⎦Sym 41L⎩⎭Q6 ⎩ fL 2⎭ -4.11-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 ⇒ Chú ý do kết cấu có tính đối xứng nên Q2=-Q6. Giải ra ta có: fLf345 L fL3 QQ==−=−===0; ; Q; QQQ 0; 0; 1232EJ 34EJ 4563EJ ⇒ Để tính phản lực gối tựa (R1=R5), ta dùng phương trình thứ nhất của hệ [K]{Q}={F}: 6 fL 11 Rf= L RKQKQKQKQkQk1 −=∑ 1i i = 12 2 + 13 3 + 16 6 = 12 2 + 13Q 3 ⇒ 1 2 i1= ⇒ Phần tử 1: 43 2 fL ⎛⎞ξ 2 11 7 fL vM=−⎜⎟ − −ξξ + + ;4zy=() +3ξ;Q=−fL; 24EJ ⎝⎠ 4 4 2 12 ⇒ Phần tử 2: 43 2 fL ⎛⎞ξ 2 11 7 fL vM=−⎜⎟ −ξξ − + ;4zy=() −3ξ Q = fL 24EJ ⎝⎠ 4 4 2 12 ⇒ Kết quả chính xác: fL⎛⎞1 43 vxxLxMfxLxQfx=−+−⎜⎟;2zy =−(); =− (L); 382EJ ⎝⎠ 7 fL2 2 fL fL 12 2 z y M fL2 Exact Q Exact FEM FEM 12 -fL 012 012 x/L x/L a) b) Hình 4.10 Mô men uốn a) và lực cắt b) tính theo phương pháp PTHH và Sức bền Vật Liệu x/L x/L 012 012 fL3 Exact (x) 3EJ FEM ϕ v(x) 5 fL4 fL3 0 − − Exact 24EJ 3EJ FEM a) b) Hình 4.11 Góc xoay a) và chuyển vị b) tính theo phương pháp PTHH và Sức bền Vật Liệu -4.12-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 4.5.3 Ví dụ 4.3 EJ f 1 2 A C B Q Q Q5 121 3 3 LL Q Q2 Q4 6 a) b) Hình 4.12 Dầm chịu lực phân bố: a) Kết cấu thực & b) mô hình PTHH Cho dầm có kết cấu chịu lực như hình 4.12. Tính độ võng tại giữa đoạn BC và góc xoay của mặt cắt ngang tại vị trí gối tựa. Lời giải: Chia dầm thành 2 phần tử như hình 4.12. ⇒ Ma trận độ cứng của phần tử 1 & 2 là: ⎡⎤12 6LL− 12 6 ⎢⎥22 EJ 64LL− 62 LL ⎡⎤⎡⎤kk12==⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ L3 ⎢⎥−−12 6LL 12 − 6 ⎢⎥22 ⎣⎦62LL− 64 LL ⇒ Gọi R1 & R2 thứ tự là phản lực & mô men liên kết tại ngàm (nút 1). R3 & R5 thứ tự là phản lực liên kết tại nút 2 & 3. Véc tơ lực nút do các phản lực liên kết tác dụng lên kết cấu là: T {P}=[ R123RR0 R 50] ⇒ Véc tơ lực nút của phần tử 2 do lực phân bố gây ra là: 22T 2 ⎡⎤fLfLfLfL {}f =−⎢⎥ − − ⎣⎦212212 ⇒ Véc tơ lực nút do lực phân bố gây ra trên toàn kết cấu là: 22T * ⎡⎤fL fL fL fL {F }=⎢⎥ 0 0 −− − ⎣⎦212212 ⇒ Véc tơ lực nút của kết cấu là: 22T * ⎡⎤fLfLfLfL {}F=P+{F}=R {} ⎢⎥123RR−−R5 − ⎣⎦212212 ⇒ Véc tơ chuyển vị nút của kết cấu là: T {}Q= [] QQQQQQ123456 ⇒ Hệ phương trình của cả kết cấu: -4.13-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 ⎡⎤KKKKKKQ11 12 13 14 15 16⎧ 1 ⎫⎧R1 ⎫ ⎢⎥KKKKKQ⎪⎪⎪R ⎪ ⎢⎥22 23 24 25 26⎪ 2 ⎪⎪ 2 ⎪ ⎢⎥KKKKQ33 34 35 36⎪⎪⎪ 3 ⎪⎪RfL3 − 2⎪ ⎢⎥⎨ ⎬⎨= 2 ⎬ ⎢⎥KKKQ44 45 46⎪ 4 ⎪⎪− fL 12 ⎪ ⎢⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ KKQ55 56 5 RfL5 − 2 ⎢⎥⎪ ⎪⎪2 ⎪ ⎣⎦⎢⎥Sym KQ66⎩⎪⎪ 6 ⎭⎩⎭fL 12 ⇒ Viết hệ phương trình PTHH sau khi đã tính đến điều kiện biên Q1=Q2=Q3=Q5=0. EJ ⎡⎤⎧⎫⎧KKQ F⎫ 44 46 4= 4 3 ⎢⎥⎨⎬⎨⎬ L ⎣⎦⎩⎭⎩KKQ46 66 6 F 6 ⎭ Bảng ghép nối các phần tử Chỉ số chuyển vị nút địa phương Phần tử 1 2 3 4 Chỉ số chuyển vị nút tổng thể (1) 1 2 3 4 (2) 3 4 5 6 12 2 2 ⇒ K44=+kk 44 22 ;; K46 = k 24 K66 = k 44 22 2 EJ ⎡⎤⎧82LL⎧⎫Q4 − fL12⎫ ⇒ 3 ⎢⎥22⎨⎬⎨= 2 ⎬ L ⎣⎦⎩24LL⎩⎭Q6 fL12⎭ fL33 5fL ⇒ Giải ra ta có: Q;Q=− = 4656EJ 168EJ ⇒ Để tính chuyển vị tại điểm giữa đoạn BC, ta quay về phần tử 2: 22 22 q12434== 0;qQ;q == 0;qQ;6 4 2 vNqNQNQ()ξξξξ==+∑ ii ()2446 () () i=1 Điểm giữa đoạn BC tương ứng với ξ=0, do đó: L fL33 L5 fL fL4 vNQNQ()00=+=−−=−2446 () () 0 8 56EJ 8 168EJ 168EJ ⇒ Áp dụng số: E=200GPa=2.105 N/mm2; J=4.106 mm4; L=1000 mm f=12 N/mm; -4 -4 Q4=-2,679.10 rad; Q6=4,464.10 rad; v(0)=-0.0893 mm -4.14-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 5 Ch−¬ng 5 PTHH Trong KÕt CÊu Khung Ph¼ng ⇒ KÕt cÊu khung ph¼ng: • Gåm c¸c thanh liªn kÕt cøng víi nhau trong mét mÆt ph¼ng; • C¸c thanh cã thÓ cã ph−¬ng kh¸c nhau; • Mçi mét thanh cã thÓ chÞu kÐo (hoÆc nÐn) vµ uèn ®ång thêi. 3 * * 2 2 q2 q5 1 3 y* * e = -1 =1 1 4 x* 12q4 ξ1 ξ2 y * 1 2 ξ x z* * q1 * q3 q6 z a) b) c) Hình 5.1 Kết cấu khung phẳng a), b) phần tử thực trong hệ O*x*y*z* và c) phần tử quy chiếu. 5.1 Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu kéo nén và uốn * * f * f * f2 f5 2 5 y* f * x* 124 12 12 * = + f * * z* * 1 * * * f1 f4 f3 f6 f3 f6 Hình 5.2 Thanh chịu kéo (hoặc nén) và uốn đồng thời ⇒ Dùng phần tử thực và phần tử quy chiếu 1 chiều 2 nút. ⇒ XÐt kÕt cÊu gåm 1 phÇn tö thanh chÞu kÐo nÐn vµ uèn ®ång thêi. V× kÕt cÊu lµm viÖc trong miÒn ®µn håi vµ biÕn d¹ng bÐ, nªn ¸p dông nguyªn lý ®éc lËp t¸c dông cña lùc, lêi gi¶i bµi to¸n sÏ lµ tæ hîp cña lêi gi¶i bµi to¸n thanh chÞu kÐo nÐn & thanh chÞu uèn. ⇒ VÐc t¬ chuyÓn vÞ nót cña phÇn tö lµ: * * * * * * * T {}q= [] q1 q2 q3 q4 q5 q6 ⇒ VÐc t¬ lùc nót cña phÇn tö lµ: * * * * * * * T {}f= [] f1 f2 f3 f4 f5 f 6 -5.1-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 5 ⇒ Quan hệ giữa chuyển vị nút và lực nút trong bài toán kéo nén: ⎡ AE AE ⎤ − ⎧ * ⎫ ⎧ * ⎫ ⎢ L L ⎥ q1 f1 ⎢ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ AE AE * * ⎢− ⎥⎩q4 ⎭ ⎩ f 4 ⎭ ⎣ L L ⎦ • f&f14 thứ tự là lực nút theo phương O*x* của nút 1 & nút 2. • q&q14 thứ tự là chuyển vị theo phương O*x* của nút 1 & nút 2. ⇒ Viết lại hệ phương trình của bài toán kéo nén dưới dạng sau: ⎡ AE AE ⎤ * * 0 0 − 0 0 ⎧q1 ⎫ ⎧ f1 ⎫ ⎢ L L ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 0 0 0 0 0 0⎥ 0 0 ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎢ 0 0 0 0 0 0⎥ = ⎢ AE AE ⎥⎨ * ⎬ ⎨ * ⎬ − 0 0 0 0 ⎪q4 ⎪ ⎪ f 4 ⎪ ⎢ L L ⎥ ⎢ ⎥⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ 0 0 0 0 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎣⎢ 0 0 0 0 0 0⎦⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⇒ Quan hệ giữa chuyển vị nút và lực nút trong bài toán uốn: ⎡ 12EJ 6EJ 12EJ 6EJ ⎤ − ⎢ 3 2 3 2 ⎥ L L L L ⎧q* ⎫ ⎧ f * ⎫ ⎢ 6EJ 4EJ 6EJ 2EJ ⎥ 2 2 ⎢ ⎥⎪ * ⎪ ⎪ * ⎪ 2 − 2 L L L L ⎪q3 ⎪ ⎪ f 3 ⎪ ⎢ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎢ 12EJ 6EJ 12EJ 6EJ ⎥ * * − − − ⎪q5 ⎪ ⎪ f 5 ⎪ ⎢ 3 2 3 2 ⎥ L L L L ⎪q* ⎪ ⎪ f * ⎪ ⎢ 6EJ 2EJ 6EJ 4EJ ⎥⎩ 6 ⎭ ⎩ 6 ⎭ ⎢ − ⎥ ⎣ L2 L L2 L ⎦ • f&f25 thứ tự là lực theo phương O*y* của nút 1 & nút 2. • q&q25 thứ tự là chuyển vị theo phương O*y* của nút 1 & nút 2. • f&f36 thứ tự là mô men đối với trục O*z* của nút 1 & nút 2. • q&q36 thứ tự là góc xoay của mặt cắt ngang của thanh của tại nút 1 & nút 2 xung quanh trục O*z*. -5.2-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 5 ⇒ Viết lại hệ phương trình của bài toán uốn dưới dạng sau: ⎡0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎢ 12EJ 6EJ 12EJ 6EJ ⎥ 0 0 − ⎧ 0 ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎢ 3 2 3 2 ⎥ L L L L ⎪q * ⎪ ⎪ f * ⎪ ⎢ 6EJ 4EJ 6EJ 2EJ ⎥⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎢0 0 − ⎥ * * 2 2 ⎪q3 ⎪ ⎪ f 3 ⎪ ⎢ L L L L ⎥ = 0 0 0 0 0 0 ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎢ 12EJ 6EJ 12EJ 6EJ ⎥ 0 − − 0 − ⎪q * ⎪ ⎪ f * ⎪ ⎢ L3 L2 L3 L2 ⎥⎪ 5 ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎢ ⎥ * * 6EJ 2EJ 6EJ 4EJ ⎩⎪q6 ⎭⎪ ⎩⎪ f 6 ⎭⎪ ⎢0 0 − ⎥ ⎣ L2 L L2 L ⎦ ⇒ Tổ hợp các hệ phương trình của bài toán kéo nén và bài toán uốn, và viết lại quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút dưới dạng ma trận ta có: * [k]{ q}= { f } ⇒ [k*] là ma trận độ cứng của phần tử khung trong hệ O*x*y*z*: ⎡ AE AE ⎤ 0 0 − 0 0 ⎢ L L ⎥ ⎢ 12EJ 6EJ 12EJ 6EJ ⎥ ⎢ 0 0 − ⎥ ⎢ L3 L2 L3 L2 ⎥ 6EJ 4EJ 6EJ 2EJ ⎢ 0 0 − ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ k * = L L L L []⎢ AE AE ⎥ ⎢− 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L L ⎥ 12EJ 6EJ 12EJ 6EJ ⎢ 0 − − 0 − ⎥ ⎢ L3 L2 L3 L2 ⎥ ⎢ 6EJ 2EJ 6EJ 4EJ ⎥ ⎢ 0 0 − ⎥ ⎣ L2 L L2 L ⎦ -5.3-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 5 5.2 Ma trận độ cứng trong hệ Oxy y x* x* x f e f * qe q* * 5 4 * 5 4 f5 q5 f e qe y* e 2 4 y* e 2 4 f * q * 2 f1 2 q1 θ * * θ f2 q2 1 e 1 qe f1 1 a) b) Hình 5.3. Lực nút a) và chuyển vị nút b) được biểu diễn trong các hệ toạ độ ⇒ Gọi θ là góc lệch của thanh (phương O*x*) so với trục Ox. ⇒ Đặt c ==cosθ & s sinθ . ⇒ Áp dụng phép quay hệ trục toạ độ ta có quan hệ chuyển vị nút trong hệ Oxy & O*x*y* là: * e * e ⎧q1 ⎫ ⎡ c s 0⎤⎧q1 ⎫ ⎧q4 ⎫ ⎡ c s 0⎤⎧q4 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q* =⎢ − s c 0⎥ qe q* =⎢ − s c 0⎥ qe ⎨ 2 ⎬ ⎢ ⎥⎨ 2 ⎬ và ⎨ 5 ⎬ ⎢ ⎥⎨ 5 ⎬ ⎪ * ⎪ ⎢ ⎥⎪ e ⎪ ⎪ * ⎪ ⎢ ⎥⎪ e ⎪ ⎩q3 ⎭ ⎣ 0 0 1⎦⎩q3 ⎭ ⎩q6 ⎭ ⎣ 0 0 1⎦⎩q6 ⎭ ⇒ Tổ hợp 2 hệ trên ta có: * e ⎧q1 ⎫ ⎡ c s 0 0 0 0⎤⎧q1 ⎫ ⎡ c s 0 0 0 0⎤ ⎪ * ⎪ ⎢ ⎥⎪ e ⎪ ⎢ ⎥ q − s c 0 0 0 0 q − s c 0 0 0 0 ⎪ 2 ⎪ ⎢ ⎥⎪ 2 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪q* ⎪ ⎢ 0 0 1 0 0 0⎥⎪q e ⎪ ⎢ 0 0 1 0 0 0⎥ ⎨ 3 ⎬ = ⎢ ⎥⎨ 3 ⎬ []T = ⎢ ⎥ * 0 0 0 c s 0 e ⎪q4 ⎪ ⎢ ⎥⎪q4 ⎪ §Æt ⎢ 0 0 0 c s 0⎥ ⎪ * ⎪ ⎢ ⎥⎪ e ⎪ ⎢ ⎥ q5 0 0 0 − s c 0 q5 0 0 0 − s c 0 ⎪ * ⎪ ⎢ ⎥⎪ e ⎪ ⎢ ⎥ ⎩⎪q6 ⎭⎪ ⎣⎢ 0 0 0 0 0 1⎦⎥⎩⎪q6 ⎭⎪ ⎣⎢ 0 0 0 0 0 1⎦⎥ * e ⇒ {qTq} = []{ } * e ⇒ Tương tự ta có:{ f } = [Tf]{ } -5.4-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 5 * * ⇒ Thay các biểu thức của {q } & { f } vào hệ phương trình: [k ]{ q}= { f *} * ee ⇒ Ta có: ⎣⎦⎡⎤kTq[ ]{ } = [ Tf]{ } −1 * ee −1 T ⇒ [TkTq] ⎣⎦⎡⎤[ ]{}{= f } Vì [TT] = [ ] nên: T * ee []TkTq⎣⎦⎡⎤ []{ } = { f} ⇒ Quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút trong hệ Oxy là: ee e ⎣⎦⎡⎤kq{ } = { f} ⇒ Ma trận độ cứng của phần tử trong hệ Oxy là: e T * ⎣⎦⎡⎤kTk= [] ⎣⎦⎡⎤ []T ⎡ AE 12EJ ⎛ AE 12EJ ⎞ 6EJ ⎛ AE 12EJ ⎞ ⎛ AE 12EJ ⎞ 6EJ ⎤ c 2 + s 2 − cs −s −c 2 + s 2 − + cs − s ⎢ 3 ⎜ 3 ⎟ 2 ⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ 2 ⎥ ⎢ L L ⎝ L L ⎠ L ⎝ L L ⎠ ⎝ L L ⎠ L ⎥ AE 12EJ 6EJ ⎛ AE 12EJ ⎞ ⎛ AE 12EJ ⎞ 6EJ ⎢ s 2 + c 2 c ⎜− + ⎟cs −⎜ s 2 + c 2 ⎟ c ⎥ ⎢ L L3 L3 ⎝ L L3 ⎠ ⎝ L L3 ⎠ L2 ⎥ ⎢ 4EJ 6EJ 6EJ 2EJ ⎥ ⎢ ⎥ 2 s − 2 c []k e = ⎢ L L L L ⎥ ⎢ AE 12EJ ⎛ AE 12EJ ⎞ 6EJ ⎥ c 2 + s 2 ⎜ − ⎟cs s ⎢ L L3 L L3 L2 ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ AE 12EJ 6EJ ⎢ s 2 + c 2 − c⎥ ⎢ L L3 L2 ⎥ ⎢ 4EJ ⎥ ⎢ Sym ⎥ ⎣ L ⎦ Ví dụ 5.1 y f 2 x 1 3m 23 z 1 (Q ,Q,Q) L1=L2=8m (Q1, Q2, Q3) (Q4, Q5, Q6) 7 8 9 a) b) Hình 5.4 Khung chịu lực phân bố: a) Kết cấu thực & b) mô hình PTHH Cho hệ khung phẳng gồm hai thanh có kết cấu & chịu lực như hình 5.4. Cho: A=0,006 m2; J=0,0002 m4; E=200 GPa; f= 4 kN/m. Tính chuyển vị tại chỗ gấp khúc. -5.5-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 5 Bước 1: Rời rạc hoá kết cấu ⇒ Chia kết cấu thành 2 phần tử (mỗi thanh là một phần tử) được đánh số nút và số phần tử như hình 5.4. ⇒ Mỗi phần tử có 6 bậc tự do trong hệ toạ độ Oxy, véc tơ chuyển vị nút của phần tử là T eeeeeee⎡⎤ {}qq= ⎣⎦123456 q q q q q ⇒ Số bậc tự do của cả hệ là 9, véc tơ chuyển vị nút của cả hệ là: T {}QQQQQQQQQQ= [ 123456789] ⇒ Đã biết QQQQQQ123789===0, tìm Q4, Q5 & Q6. Bước 2: Tính ma trận độ cứng của phần tử ⇒ Phần tử 1: cs==cosθ 0,927 ; == sinθ 0,375 ⎡129,066 51,790− 1,405 − 129,066− 51,790 − 1,405⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 21,871 3,477− 51,790− 21,871 3,477 ⎥ 1 6 ⎢ 20 1,405− 3,477 10 ⎥ []k =10 × ⎢ ⎥ ⎢ 129,066 51,790 1,405 ⎥ ⎢ 21,871− 3,477⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ Sym 20 ⎦⎥ n i⇒ Phần tử 2: s θθ= 0 ⇒=cs ; = = 1θ =0 s 0co ⎡150 0 0− 150 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0.9375 3,75 0− 0.9375 3,75 ⎥ 2 6 ⎢ 20 0− 3,75 10 ⎥ []k =10 × ⎢ ⎥ ⎢ 150 0 0 ⎥ ⎢ 0.9375− 3,75⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢Sym 20 ⎦⎥ ⇒ Bước 3: Hệ phương trình PTHH sau khi loại bỏ điều kiện biên ⎡ KKK44 45 46 ⎤⎧Q4 ⎫ ⎧F4 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ KK ⎥ Q = F ⎢ 55 56 ⎥⎨ 5 ⎬ ⎨ 5 ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎣⎢Sym K66 ⎦⎥⎩Q6 ⎭ ⎩F6 ⎭ -5.6-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 5 Bảng ghép nối phần tử Chỉ số chuyển vị nút địa phương Phần tử 1 2 3 4 5 6 Chỉ số chuyển vị nút tổng thể (1) 1 2 3 4 5 6 (2) 4 5 6 7 8 9 1 2 1 2 1 2 K44= k 44 + k11; K45= k 45 + k12 ; K46= k 46 + k13 ; 1 2 1 2 K55= k 55 + k22 ; K56= k 56 + k23 ; 1 2 K66= k 66 + k33 ; ⇒ R1, R2, R3 là phản lực tại ngàm ở nút 1, véc tơ lực nút của phần tử 1 là: 1 T {}fR= [ 123 R R 000] ⇒ R7, R8, R9 là phản lực tại ngàm ở nút 2, véc tơ lực nút của phần tử 2 là: T 22⎡⎤2 ⇒ {f0} =−⎣⎦ fL2fL12R − 78 RfL2RfL12− 9 + 2 ⇒ F0;F45==−=− fL2;F 6 fL12; ⎡⎤279 51,8 1,4⎧ Q4 ⎫⎧ 0 ⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ 1063×=⎢⎥ 51,8 22,8 0,27 Q− 16× 10 ⇒ Áp dụng số ta có: ⎢⎥⎨⎬⎨5 ⎬ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎣⎦⎢⎥1, 4 0, 27 40⎩ Q6 ⎭⎩− 21, 33⎭ ⇒ Sinh viên tự tính kết quả. -3 -3 -3 Q4= .10 m; Q5= .10 m; Q6= .10 rad; -5.7-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 Chương 6 PTHH Trong Bài Toán Phẳng 6.1 Quan hệ ứng suất biến dạng ⇒ Kết cấu phẳng, hay còn gọi là kết cấu 2 chiều (kết cấu 2D) được đặc trưng bởi chiều dày t và tiết diện S của mặt phẳng trung bình (mặt phẳng chia kết cấu làm 2 phần có chiều dày bằng nhau là t/2). y y x x z t σ=σ=σ=zz zx zy 0 S a) b) Hình 6.1 Ví dụ về bài toán ứng suất phẳng: a) kết cấu thực & b) mô hình ⇒ Bài toán ứng suất phẳng : thường được áp dụng cho các kết cấu có chiều dày nhỏ so với kích thước của tiết diện S. PTHH dùng cho bài toán ứng suất phẳng có chiều dày bằng chiều dày t của kết cấu. εxz=ε yz =ε zz =0 y y S x x z a) b) Hình 6.2 Ví dụ về bài toán biến dạng phẳng: a) kết cấu thực & b) mô hình ⇒ Bài toán biến dạng phẳng: thường được áp dụng cho các kết cấu có chiều dày rất lớn so với kích thước của tiết diện S. PTHH dùng cho bài toán biến dạng phẳng có chiều dày bằng đơn vị. -6.1-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 ⇒ Quan hệ ứng suất và biến dạng trong trường hợp tổng quát: ⎧⎫σεxx ⎡⎤2μλ+ λ λ 000⎧xx ⎫ ⎪⎪σε⎢⎥λμλλ2+ 000⎪ ⎪ ⎪⎪yy ⎢⎥⎪yy ⎪ ⎪⎪σεzz ⎢⎥λλμλ2+ 000⎪zz ⎪ ⎨⎬⎢= ⎥⎨ ⎬ ⎪⎪⎢σ xy 000μ 00⎥⎪2ε xy ⎪ ⎪⎪⎢σ 00000μ ⎥⎪2ε ⎪ ⎪⎪⎢yz ⎥⎪yz ⎪ ⎩⎭⎪⎪σ zx ⎣⎦00000μ ⎩⎪2ε zx ⎭⎪ EEν ⇒ μ & λ là các hằng số Lamé: μλ==G ;;= 21()++ν ()()1νν 1− 2 6.1.1 Bài toán ứng suất phẳng ⇒ Trong bài toán ứng suất phẳng ta có : σxz=σ yz =σ zz =0 ⎧⎫⎡σμλλλxx 20+ 00⎤⎧ ε xx ⎫ ⎪⎪⎢σλμλλ20+ 00⎥⎪ ε ⎪ ⎪⎪⎢yy ⎥⎪ yy ⎪ ⎪⎪⎢02λλμλ+ 000⎥⎪ ε zz ⎪ ⎨⎬⎢= ⎥⎨ ⎬ ⇒ ⎪⎪⎢σμxy 000 00⎥⎪2ε xy ⎪ ⎪⎪⎢000000μ ⎥⎪2ε ⎪ ⎪⎪⎢ ⎥⎪yz ⎪ ⎩⎭⎣000000μ⎦⎩⎭⎪2ε zx ⎪ ⇒ ε=ε=xz yz 0; λε+λε+μ+λε=xx yy (2) zz 0; λν ⇒ ε=−zz () ε+ε=−xx yy () ε+εxx yy 21μ+λ −ν ⎧ ε ⎫ ⎧⎫σ ⎡⎤20μλ+ λ λ xx xx ⎪ ε ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎪ yy ⎪ ⎪⎪σ yy λμλλ20+ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨⎬= ⎢⎥⎨ λ ⎬ 0 ⎢⎥λλμλ20+ −+()εεxx yy ⎪⎪ ⎪2μλ+ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎪ ⎪ ⎩⎭σ xy ⎣⎦000μ ⎪⎩⎭2ε xy ⎪ ⇒ Quan hệ ứng suất biến dạng trong bài toán ứng suất phẳng: ⎡⎤ ⎧⎫σμxx ⎢⎥20()+ λλ⎧εxx ⎫ ⎪⎪ 2μ ⎢⎥⎪ ⎪ ⎨⎬σλμyy =+20()λ⎨εyy ⎬ 2μλ+ ⎢⎥ ⎪⎪σ ⎢⎥22μλ+ ⎪ ε⎪ ⎩⎭xy ⎢⎥00 ⎩xy ⎭ ⎣⎦2 ⎧⎫σνxx ⎡⎤10⎧εxx ⎫ ⎪⎪ E ⎢⎥⎪ ⎪ ⎨⎬σνyy = 10⎨εyy ⎬ hoặc: 1−ν 2 ⎢⎥ ⎪⎪ ⎢⎥⎪ ⎪ ⎩⎭σ xyx⎣⎦000,50,52− νε⎩y⎭ -6.2-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 6.1.2 Bài toán biến dạng phẳng ⇒ Trong bài toán biến dạng phẳng ta có: εxz=ε yz =ε zz =0 ⎧⎫σ xx ⎡⎤2μλ+ λ λ 000⎧εxx ⎫ ⎪⎪σ ⎢⎥λμλλ2+ 000⎪ ε⎪ ⎪⎪yy ⎢⎥⎪yy ⎪ ⎪⎪σ zz ⎢⎥λλμλ2+ 000⎪ 0⎪ ⇒ ⎨⎬⎢= ⎥⎨ ⎬ ⎪⎪⎢σ xy 000μ 002⎥⎪ε xy ⎪ ⎪⎪⎢σ 000000μ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪⎢yz ⎥⎪ ⎪ ⎩⎭⎪⎪σ zx ⎣⎦000000μ ⎩⎭ λ ⇒ σxz =σ yz =0; σzz =λ() ε xx +ε yy =() σxx +σ yy 2()λ+μ Eν hoặc:σ zzx=+()(εεxyy= νσσxx+yy) ()()112+−νν ⎧⎫σμλλεxx ⎡⎤20+ ⎧xx ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ σλμλε=+⎢⎥20 ⇒ ⎨⎬yy ⎢⎥⎨yy ⎬ ⎪⎪⎢⎥⎪ ⎪ ⎩⎭σ xyx⎣⎦00με⎩ 2y⎭ ⎧⎫σνxx ⎡⎤10− ν⎧εxx ⎫ ⎪⎪ E ⎢⎥⎪ ⎪ ⎨⎬σνyy =−10ν⎨εyy ⎬ ⇒ ()()112+−νν⎢⎥ ⎪⎪ ⎢⎥⎪ ⎪ ⎩⎭σ xyx⎣⎦000,52−νε⎩y⎭ 6.1.3 Quan hệ ứng suất biến dạng trong bài toán phẳng ⇒ Tổ hợp 2 trường hợp ứng suất phẳng & biến dạng phẳng ta có quan hệ ứng suất biến dạng trong bài toán phẳng: ⎧⎫σεxx ⎡⎤CC120 ⎧xx ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ σε= ⎢⎥CC0 ⎨⎬yy ⎢⎥21 ⎨yy ⎬ ⎪⎪⎢⎥⎪ ⎪ ⎩⎭σ xyx⎣⎦00G ⎩ 2ε y⎭ 21Ga()− ν C1ν E CCG12===;;; ()11−−ν aaνν()− 2()1+ν Trong đó : a=0 với bài toán ứng suất phẳng & a=1 với bài toán biến dạng phẳng. ⎧⎫σεεxx ⎧⎫⎧⎫xx xx ⎡CC120 ⎤ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ σσ===;; εε ε &CCC⎢ 0⎥; Đặt: {} ⎨⎬yy {} ⎨⎬⎨⎬yy yy [] ⎢ 21 ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎢ ⎥ ⎩⎭σγεxy ⎩⎭⎩⎭xy 20xy ⎣ 0G⎦ ⇒ {σ} = [C]{ε} -6.3-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 6.2 Phần tử tam giác ba nút 6.2.1 Hàm dạng và hàm nội suy y y η q5 3 (x3, y3) 3 (0, 1) q6 q3 2 (x2, y2) ξ q q1 4 1 (x1, y1) 2 x q x 1 2 (0, 0) (1, 0) a) b) c) Hình 6.3 a) Ví dụ về rời rạc hoá kết cấu bằng phần tử tam giác 3 nút; b) Phần tử thực; c) Phần tử quy chiếu. ⇒ Toạ độ (x,y) của một điểm thuộc phần tử được xác định bởi các toạ độ nút (xi, yi) & các hàm dạng N i (ξ,η) : x =+NxNxN12()ξη,,,() ξη + 3( ξη) x 123 yN=+12()ξη,,, y12 N() ξη y + N 3() ξη y3 ⇒ Tại nút 1 (ξ1=η1=0) ta có: x112=+NxNxN12(0,0) ( 0,0) + 3( 0,0) x3 Suy ra: NN12(0,0) == 1;( 0,0) 0; N 3( 0,0) = 0; ⇒ Kết hợp với các điều kiện tại nút 2 & 3 ta có các điều kiện sau để xác định hàm dạng: Hàm Nút N 1 N 2 N 3 Nút 1 (ξ1=η1=0) 1 0 0 Nút 2 (ξ2=1; η2=0) 0 1 0 Nút 3 (ξ3=0; η3=1) 0 0 1 ⇒ Với mỗi hàm dạng Ni (ξ ) có 3 phương trình để xác định các hệ số của nó, do đó ta tìm Ni (ξ ) dưới dạng đa thức bậc nhất của ξ & η như sau: Nabci =+iiξ + iη ⇒ NNN12(ξ,1ηξηξηξ) =− − ;( ,) = ;3( ξη ,) =η; -6.4-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 ⇒ Dùng phần tử đẳng thông số, hàm nội suy được chọn như hàm dạng: NNi ≡ i . ⇒ u & v thứ tự là chuyển vị theo các phương Ox & Oy. ee q&q2i− 1 21 thứ tự là chuyển vị tại nút i theo phương Ox & Oy. ⇒ Véc tơ chuyển vị {q}=[u, v]T tại một điểm của phần tử được xác định bởi các chuyển vị nút & các hàm nội suy Ni: e e e eee uN=++=−−++112335(ξ,,,1ηξηξηξηξ) qN( ) qN( ) q( ) q 13 qη q5; e e e eee vN=++=−−++122436()ξη,,,1 qN () ξη qN () ξη q ( ξ η ) q 24 ξ q η q6; ⎡⎤N012 N0 N0 3 ⇒ Đặt []N = ⎢⎥ ⎣⎦0N0N0N123 T eeeeeee⎡⎤ ⇒ {qqqqqqq} = ⎣⎦123456 ⇒ {qNq} = [ ]{ e} 6.2.2 Phép biến đổi Jacobi ⇒ Xét đạo hàm của hàm hợp: ffx,yfx,,y,= ( ) =ξηξη( ( ) ( )) ∂f ∂∂ fx ∂∂ fy ∂ f ∂∂ fx ∂∂ fy =+;; =+ ∂ξ ∂∂xyξ ∂∂ξ ∂η ∂∂ xyη ∂∂η ⎧⎫⎡∂∂∂fxy ⎤⎧∂f ⎫ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪∂ξ ∂ξ ∂ξ ⎪∂x ⎪ ⇒ ⎨⎬= ⎢⎥ ⎨⎬ ⎪⎪∂∂∂fxy⎢⎥ ⎪∂f ⎪ ⎢⎥ ⎩⎭⎣⎪⎪∂η ∂η ∂η ⎦ ⎪⎩⎭∂y ⎪ ⇒ Ký hiệu: xxx&yyyij=− i j ij =− i j ; Chú ý: xx&yyij= −= ji ij− ji ⎡⎤∂∂ξ∂∂ξxy⎡⎤xy21 21 Đặt: []J ==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦∂∂η∂∂ηxy⎣⎦xy31 31 Ta có: det[ J] == 2A x21 y 31 − x 31 y 21 ; A: là diện tích phần tử tam giác. −1 1 ⎡⎤y31 -y 21 ⇒ []J= ⎢⎥ det[] J ⎣⎦-x31 x 21 ∂f ⎧⎫∂∂∂ff⎧⎫ ⎧ f∂f⎫ ⎧⎫ yy− ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪31 21 ⎪ ⎪⎪∂x −1 ⎪⎪∂ξ 11⎡⎤y31 -y 21 ⎪⎪∂ξ ⎪ ∂ξ ∂η ⎪ ==J = ⇒ ⎨⎬∂f [] ⎨⎬ ⎢⎥⎨⎬ ⎨ ⎬ ⎪⎪ ⎪⎪∂∂f det[] J ⎣⎦-x31 x 21 ⎪⎪ f det[] J ⎪ ∂f∂ f ⎪ −+xx31 21 ⎩⎭⎪⎪∂y ⎪⎪⎩⎭∂η ⎩⎭⎪⎪∂η ⎩⎪ ∂ξ ∂η⎭⎪ ⇒ Vi phân diện tích: dA=ξ dxdy=det[ J] d dη -6.5-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 6.2.3 Biểu diễn biến dạng & ứng suất qua chuyển vị nút ⇒ Áp dụng phép biến đổi Jacobi ta tính được đạo hàm của chuyển vị u & v theo x & y như sau: ⎧⎫∂u ⎧⎫∂∂uu ⎧⎫∂v ⎧ ∂∂vv⎫ ⎪⎪yy31− 21 ⎪ yy31− 21 ⎪ ⎪⎪∂x 1 ⎪ ∂ξ ∂η ⎪ ⎪⎪⎪∂x ⎪⎪1 ∂ξ ∂η ⎪ ⎨⎬= ⎨ ⎬ & ⎨ ⎬⎨= ⎬ ⎪⎪∂u det[] J ⎪ ∂∂uu⎪ ⎪∂v ⎪⎪det[] J ∂∂vv⎪ −+xx31 21 −+xx31 21 ⎩⎭⎪⎪∂y ⎪⎩⎭∂ξ ∂η⎪ ⎪⎩⎭∂y ⎪⎪⎩⎭∂ξ ∂η⎪ ⇒ Véc tơ biến dạng tại một điểm của phần tử: ⎧⎫∂u ⎪⎪ ⎪⎪∂x ⎧⎫⎧εεxx xx ⎫ ⎧ yq23 1++ yq 31 3 yq 12 5 ⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪∂v1⎪ ⎪ {}ε=⎨⎬⎨ εyy = εyy ⎬⎨ = ⎬ = ⎨ xq32 2+ xq 13 4 + xq 21 6 ⎬ ∂ydetJ[] ⎪⎪⎪γε2x ⎪⎪ ⎪ ⎪q+++++yqxqyqxqyq⎪ ⎩⎭⎩xy xy ⎭⎪⎪∂∂uv ⎩⎭32 1 23 2 13 3 31 1 21 5 12 6 ⎪⎪+ ⎩⎭∂∂yx T ⇒ Véc tơ chuyển vị nút của phần tử là: {}q= [] qqqqqq123456 ⎡y0y0y023 31 12 ⎤ 1 ⎢ ⎥ ⇒ Đặt []B0x0x0= 32 13 x21 det[] J ⎢ ⎥ ⎣⎢xyxyxy32 23 13 31 21 12 ⎦⎥ ⇒ Quan hệ giữa véc tơ biến dạng và véc tơ chuyển vị nút: {ε=} [Bq]{ } ⇒ Quan hệ giữa véc tơ ứng suất và véc tơ chuyển vị nút: {σε} ==[]CCB{ } [ ][ ]{q} 6.2.4 Ma trận độ cứng của phần tử ⇒ Ta có:{}δεTT= {} δ qB[ ]T ⇒ Thế năng biến dạng của một phần tử trong di chuyển khả dĩ: TTTT⎛⎞T δδεσδWde ==VqBCBqdVqB =δ⎜⎟CBdVq int ∫∫{}{} {}[][][]{} { }⎜⎟∫[][][] {} VVee ⎝⎠Ve e T ⇒ Ma trận độ cứng của phần tử: ⎡⎤⎣⎦kBCB= ∫ [ ] [ ][ ]dV Ve eeT ⎡ ⎤ ⇒ δδWqkint = {}⎣ ⎦ {q} T ⇒ Véc tơ lực nút của phần tử là: {}f= [] ffffff123456 -6.6-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 ⇒ Công do lực nút (ngoại lực được quy đổi về nút) gây ra trong di chuyển khả dĩ là: e T δδWqex t = { } { f} ⇒ Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ, ta có phương trình cân bằng cho kết cấu có một phần tử là: TT eeδδqkq⎡⎤e = q f ⎡⎤kqe = f δWWint = δ ext ⇒δδWWint= ext ⇒{ } ⎣⎦{ } { } { }⇒ ⎣⎦{ } { } ⇒ Tính ma trận độ cứng của phần tử: 1 1−ξ ⎡⎤ke == BTT C B dV t B C B dA = tdet J BT C B dξ dη ⎣⎦∫∫[][][]ee [][][] [] ∫∫ [][][] VAee 00 u1 v1 u2 v2 u3 v3 2 Cy123 Cx23223 y Cy13123 y Cx21323 y Cy11223 y Cx22123 y + + + + + + 2 Gx 23 Gx32 y 23 Gx32 x 13 Gx32 y 31 Gx21 x 32 Gx32 y 12 2 Cx123 Cx23231 y Cx11332 x Cx23212 y Cx12132 x + + + + + 2 Gy23 Gx13 y 23 Gy23 y 31 Gx21 y 23 Gy12 y 23 2 Cy Cx21331 y Cy11231 y Cx22131 y 113 + + + + 2 Gx13 Gx13 y 31 Gx13 x 21 Gx13 y 12 e te ⎣⎦⎡⎤k = 2 4A Cx113 Cx21312 y Cx11321 x + + + 2 Gy13 Gx21 y 31 Gy12 y 31 2 Cy112 Cx22112 y Sym + + 2 Gx12 Gx21 y 12 2 Cx121 + 2 Gy21 21Ga()− ν C1ν E CCG12===;;; ()11−−ν aaνν()− 2()1+ν a=0 với bài toán ứng suất phẳng, a=1 với bài toán biến dạng phẳng. -6.7-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 6.3 Phần tử tứ giác bốn nút 6.3.1 Hàm dạng và hàm nội suy η q7 4(x4,y4) (-1, 1) (1, 1) q8 y 4 3 q5 3 (x , y ) x 3 3 q6 ξ o q q 3 1 2 (x2, y2) 1 (x1, y1) q4 12 q2 (-1, -1) (1, -1) a) b) Hình 6.4 Phần tử tứ giác bốn nút: a) Phần tử thực, b) Phần tử quy chiếu. ⇒ Toạ độ (x,y) của một điểm thuộc phần tử được xác định bởi các toạ độ nút (xi, yi) & các hàm dạng N i (ξ,η) : 44 x ==∑∑NxyNii()ξη,;ii()ξη,y; ii==11 ⇒ Điều kiện để xác định hàm dạng: Hàm Nút N 1 N 2 N 3 N 4 1 (ξ1=-1; η1=-1) 1 0 0 0 2 (ξ2=1; η2=-1) 0 1 0 0 3 (ξ3=1; η3=1) 0 0 1 0 4 (ξ4=-1; η4=1) 0 0 0 1 ⇒ Với mỗi hàm dạng Ni có 4 phương trình để xác định các hệ số của nó, do đó ta tìm Ni dưới dạng đa thức của ξ & η như sau: Nabci =+iiξ + iηξ + d iη 1 ⇒ Nii ()ξη,11;1=+()() ξξii + ηη =,4; 4 ⇒ Dùng phần tử đẳng thông số, hàm nội suy được chọn như hàm dạng: NNi ≡ i . ⇒ u & v thứ tự là chuyển vị theo các phương Ox & Oy. -6.8-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 ee q&q2i− 1 2i thứ tự là chuyển vị tại nút i theo phương Ox & Oy. ⇒ Véc tơ chuyển vị {q}=[u, v]T tại một điểm của phần tử được xác định bởi các chuyển vị nút & các hàm nội suy Ni: eeee uN=+++1123354(ξη,,,,) qN( ξη) qN( ξη) qN( ξη) q7 eeee vN=+++12243648()ξη,,,, qN () ξη qN () ξη qN () ξη q ⎡⎤N1234 0 N 0 N 0 N 0 ⇒ Đặt: []N = ⎢⎥ ⎣⎦0 N123 0 N 0 N 0 N4 T ee⎡⎤ e e e e e e e & {}qq= ⎣⎦12345678 q q q q q q q e ⇒ {qNq} = []{ } 6.3.2 Phép biến đổi Jacobi ⇒ Xét đạo hàm của hàm hợp: ffx,yfx,,y,= ( ) =ξηξη( ( ) ( )) ∂f ∂∂ fx ∂∂ fy ∂ f ∂∂ fx ∂∂ fy =+;; =+ ∂ξ ∂∂xyξ ∂∂ξ ∂η ∂∂ xyη ∂∂η ⎧⎫⎡∂∂∂fxy ⎤⎧⎫∂f ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪∂ξ ∂ξ ∂ξ ⎪⎪ ⎪∂x ⎪ ⇒ ⎨⎬= ⎢⎥ ⎨⎬ ⎪⎪∂∂∂fxy⎢⎥ ⎪∂f ⎪ ⎢⎥ ⎩⎭⎣⎪⎪∂η ∂η ∂η ⎦⎩⎭ ⎪∂y ⎪ ⇒ Ký hiệu: xxx&yyyij=− i j ij =− i j ; Chú ý: xx&yyij= −= ji ij− ji ⎡⎤∂∂ξ∂∂ξxy Đặt: []J = ⎢⎥ ⎣⎦∂∂η∂∂ηxy ⎡⎤J11 J 12 1 ⎡⎤x121 ()−η + x134 ( +η) y121 ( −η)( + y134 +η) ⇒ []J ==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦J21 J 22 4 ⎣⎦x141 ()−ξ + x132 () +ξ y141 () −ξ + y132 () +ξ −1 1 ⎡⎤ J22 -J 12 ⇒ []J = ⎢⎥ det[] J ⎣⎦-J21 J 11 ⎧⎫∂f ⎧⎫∂∂ff⎧⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪∂x −1 ⎪⎪∂ξ 1 ⎡⎤ J22 -J 12 ⎪⎪∂ξ ==J ⇒ ⎨⎬∂f [] ⎨⎬ ⎢⎥⎨⎬ ⎪⎪ ⎪⎪∂∂f-det[] J ⎣⎦J21 J 11 ⎪⎪f ⎩⎭⎪⎪∂y ⎪⎪⎩⎭∂η ⎪⎪⎩⎭∂η ⇒ Vi phân diện tích: dA=ξ dxdy=det[ J] d dη -6.9-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 6.3.3 Biểu diễn biến dạng và ứng suất qua chuyển vị nút ⇒ Áp dụng phép biến đổi Jacobi ta tính được đạo hàm của chuyển vị u & v theo x & y như sau: ⎧⎫∂u ⎧⎫∂u ⎧⎫∂v ⎧⎫∂v ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪∂x 1 ⎡⎤ J22 -J 12 ⎪∂ξ ⎪ ⎪∂x ⎪⎪1 ⎡⎤ J22 -J 12 ∂ξ ⎪ = = ⎨⎬∂u ⎢⎥⎨⎬ & ⎨∂v ⎬⎨⎢⎥⎬ ⎪⎪det[] J ⎣⎦-J21 J 11 ⎪∂ u ⎪ ⎪ ⎪⎪det[] J ⎣⎦-J21 J 11 ∂ v ⎪ ⎩⎭⎪⎪∂y ⎩⎭⎪∂η⎪ ⎪⎩⎭∂y ⎪⎪⎩⎭∂η⎪ ⇒ Véc tơ biến dạng tại một điểm của phần tử: ⎧∂u ∂ξ ⎫ ⎧⎫⎧εεxx xx ⎫⎧⎫ ∂∂ux ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪∂u ∂η⎪ {}ε=⎨⎬⎨ εyy = εyy ⎬⎨ = ∂vy ∂⎬ =[] A ⎨ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪∂v ∂ξ ⎪ ⎩⎭⎩γε∂∂+∂∂xy 2uyvxxy ⎭⎩⎭() ⎩⎭⎪∂v ∂η⎪ ⎡⎤ J22 -J 12 0 0 1 ⎢⎥ []A= 0 0 -J21 J 11 Với det J ⎢⎥ []⎢⎥ ⎣⎦−−J21 J 11 J 22 J 12 ⎧⎫∂∂ξu ⎪⎪ ⎪⎪∂∂ηu e mà ⎨⎬= []Gq{} ⎪⎪∂∂ξv ⎩⎭⎪⎪∂∂ηv ⎡⎤−−η(1 ) 0 1−η 0 1+η 0 -(1 +η ) 0 ⎢⎥ 1 −−ξ(1 ) 0 −+ξ (1 ) 0 1 +ξ 0 (1 −ξ ) 0 Với []G = ⎢⎥ 4 ⎢⎥0(1)01−−η −η 010-(1 +η +η) ⎢⎥ ⎣⎦0(1)0(1)0101− −ξ − +ξ +ξ −ξ ⇒ Quan hệ giữa véc tơ biến dạng và véc tơ chuyển vị nút: {ε=} [][]AGq{ e} =[] Bq{ e} (Với [BAG] = [ ][ ] ) ⇒ Quan hệ giữa véc tơ ứng suất và véc tơ chuyển vị nút: {σε} ==[CCB]{ } [ ][ ]{qe} 6.3.4 Ma trận độ cứng của phần tử ⇒ Ta có:{δε}TT= { δ qB} [ ]T ⇒ Thế năng biến dạng của một phần tử trong di chuyển khả dĩ: TTTTT ⎛⎞ δδεσδW ee==dV q B C B qe dV=δ qe⎜⎟ B C B dV qe int ∫∫{}{} {}[][][]{} { }⎜⎟∫[][][] {} VVee ⎝⎠Ve ⇒ Véc tơ lực nút của phần tử là: -6.10-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 T ⎡⎤ {}fffffffff= ⎣⎦12345678 f&f2i− 1 2i thứ tự là chuyển vị tại nút i theo phương Ox & Oy. ⇒ Công do lực nút (ngoại lực được quy đổi về nút) gây ra trong di chuyển khả dĩ là: e T δδWqex t = { } { f} ⇒ Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ, ta có phương trình cân bằng cho kết cấu có một phần tử là: ⎛⎞ eeTTT e δWW= δ δδWWee= δδqBCBdVqq⎜⎟[][][] = {}f int ext ⇒int ext ⇒{}⎜⎟∫ {}{ } ⎝⎠Ve ⎛⎞T ⎜⎟B CBdVqe = f ⎡⎤ee ⇒ ⎜⎟∫ [][][] {}{}⇒ ⎣⎦kq{ } = { f} ⎝⎠Ve ⇒ Ma trận độ cứng của phần tử: 1 1 ke = BT C B dV= t BT C B dA= tdet J BT C B dξ d η []∫[][][]e ∫ [][][]e ∫∫ [][][][] Ve Ae −−1 1 6.3.5 Phần tử hình chữ nhật bốn nút η y ξ=xa 4 3 η=yb 4 (-1, 1) 3 (1, 1) x ξ 2b o o 122a 1 (-1, -1) 2 (1, -1) a) b) Hình 6.5 Phần tử thực a), phần tử quy chiếu b) của phần tử hình chữ nhật 4 nút 8 bậc tự do ⎡⎤1111−η −η +η +η −−0000 ⎢⎥aaaa ⎢⎥ 11− ξ+ 1ξ+ 1ξ 1−ξ []B0=−⎢⎥ 0 − 0 0 4b⎢⎥ bb b ⎢⎥ 1111111−ξ −η +ξ −η +ξ +η −ξ 1 +η ⎢⎥−−− − ⎣⎦⎢⎥b abababa -6.11-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 tab ⎡⎤k.e = e [] ⎣⎦ 12 4C a 2 3c −4C a 2 3d −2C a 2 3c 2C a 2 3d 1 1 1 − 1 − + ab + ab − ab − ab 2 2 2 2 4G b 2G b 2G b 4G b 4C b2 3d 2C b2 3c −2C b2 3d −4C b2 1 − 1 − 1 1 + ab − ab − ab − 4G a 2 4G a 2 2G a 2 4G a 2 4C a 2 3c 2C a 2 3d −2C a 2 3c 1 − 1 1 + ab − ab − ab 4G b2 4G b2 2G b2 4C b2 3d −4C b2 3c −2C b2 1 − 1 1 + ab + ab − 2 2 2 []= 4G a 2G a 2G a 4C a 2 3c −4C a 2 3d 1 1 + ab + ab 4G b2 2G b2 4C b2 3d 2C b2 1 − 1 + ab − 4G a 2 4G a 2 4C a 2 3c 1 − Sym + ab 4G b2 4C b2 1 + 4G a 2 E 21Ga()− ν C1ν GC==;;;;12 C == cH 2+=GdH2−G; 21()+−νν()1 −aaν()1 − ν a=0 với bài toán ứng suất phẳng, a=1 với bài toán biến dạng phẳng. 6.4 Một số vấn đề về phần tử phẳng 6.4.1 Phân loại phần tử phẳng ⇒ Theo hình học: phần tử tam giác & tứ giác. ⇒ Theo bản chất bài toán cơ học: ứng suất phẳng, biến dạng phẳng, & đối xứng trục. ⇒ Theo bậc đa thức của hàm dạng: bậc nhất, bậc 2, bậc 3 ⇒ Theo loại hàm dạng: Lagrange, serendipity, & hierarchical. -6.12-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 6.4.2 Hàm dạng của phần tử phẳng ⇒ Hàm dạng kiểu Lagrange: pp ⎛⎞ii⎛⎞ j j N,()ξη = N ()() ξ N η =⎜⎟∑∑ αξ⎜⎟ αη ⎝⎠i0==⎝⎠ j0 pp • N&()ξ=∑ αξii N() η=∑ αηj j là các đa thức Lagrange của ξη& i0==j0 • p là bậc của đa thức. • Khai triển các đa thức trên theo tam giác Pascal được hàm dạng của các phần tử quy chiếu hình tam giác và hình vuông. p=1 1 ξη p=2 ξξηη22 ξξηξηη32 2 3 p=3 ξξηξηξηη43 223 4 Hình 6.6 Đa thức Lagrange và phần tử tam giác biểu diễn trên tam giác Pascal p=1 1 ξη 22 p=2 ξξηη ξξηξηη32 2 3 ξξηξηξη43 223η4 Hình 6.7 Đa thức Lagrange và phần tử hình vuông biểu diễn trên tam giác Pascal -6.13-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 ⇒ Hàm dạng kiểu serendipity: Cách xây dựng hàm dạng theo đa thức Lagrange không áp dụng được cho một số phần tử, chẳng hạn phần tử chữ nhật 8 nút. Khi đó hàm dạng được thiết lập bằng cách sử dụng tính chất của hàm dạng. NNiii(ξη,1;&,) ==i(ξ jj η) 0;i( ≠j) ⇒ Các phần tử bậc cao (p≥2) có thể dùng để rời rạc hoá miền phẳng có biên là đường cong. η 5 5 4 4 6 y 6 x 2 3 ξ 1 1 2 3 7 6 5 6 5 7 η y 8 4 8 ξ 4 x 3 1 2 1 2 3 Hình 6.8 Phần tử thực có cạnh là đường cong 6.4.3 Hàm dạng của một số phần tử phẳng thông dụng η η N;N12=λ =ξ N21;N412= λλ−() =ξλ 3 5 N;3 =η λ= 1 −ξ−η N21;N434= ξξ−() =ξη 4 6 N21;N456= ηη−() =ηλ ξ ξ 1 2 1 2 3 η N31322;N931212=λ()() λ− λ− = λξ() λ− 7 6 N934=λξξ−() 312; N=ξξ−()() 3132 ξ− 2 8 N956=ξηξ−() 312; N9=ξηη−() 312 9 5 10 ξ N31322;N931278=η()() η− η− = ηλ() η− 1 2 3 4 N991=ηλλ−() 312; N0= 542 ξηλ Hình 6.9 Hàm dạng của một số phần tử tam giác -6.14-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 7 5 η ξ αβ==14 12 Nii ()ξη,11=+ α ( ξξii )() + ηη = 1,4 1 3 7 6 5 N i ()ξη,1=+−++ α ( ξξii ηη )()()11 ξξ i ηη i ()i =1, 3, 5, 7 η 2 N i ξη,11=− β ξ + ηη ξ () ()()i 8 4 ()i = 2,6 2 N i ()ξη,11=+ β ( ξξi )() − η ()i = 4,8 1 2 3 7 6 5 2 N12= αξ (1 −ξ ) η (1 −η ); N =−β (1 −ξ )(1 −η ) η η 2 ξ N34=−αξ (1)(1);N +ξη −η =βξ (1)(1) +ξ −η 2 8 9 4 N56= αξ (1 +ξ )(1 +η ) η ; N =β (1 −ξ )(1 +η ) η N78= −αξ (1 −ξ )(1 +η ) η ; N =−βξ (1 −ξ )(1 −η ) η 22 N(1)(1);9 =−ξ−η 1 2 3 10 9 8 7 22 Ni =+ξξ+ηηξ+η− (1ii )(1 )(9 9 10) 32; η ()i= 1, 4, 7, 10 11 ξ 6 2 Ni =+ξξ−η+ηη 9(1ii )(1 )(1 9 ) 32; 12 ()i= 5,6,11,12 5 2 Ni =+ηη−ξ+ξξ 9 (1ii )(1 )(1 9 ) 32; ()i= 2, 3, 8, 9 1 2 3 4 Hình 6.10 Hàm dạng của một số phần tử tứ giác -6.15-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 6.5 Quy đổi lực mặt và lực thể tích về nút ⇒ { fv} & { fs} thứ tự là véc tơ lực thể tích & lực mặt tác dụng lên phần tử phẳng: ⎪⎪⎧⎫fvx ⎪⎪⎧⎫fsx {}ffvs==⎨⎬;;{} ⎨⎬ ⎩⎭⎪⎪fvy ⎩⎭⎪⎪fsy ⇒ Công của lực thể tích và lực mặt trong di chuyển khả dĩ là: δδWqef =+TTf dV δ q f dA ex t ∫∫{ } { v } { } { s } VAee TTT mà {qNq} = [ ]{ e}⇒{}δδqqN= { e} [] TT δδWqNef =+e TTf dVδ qe N f dA ex t ∫∫{ } []{}v { } []{}s VAee ⎛⎞ ef e T ⎜⎟TT δδWqex t =+{} [] NfdVNfd{}v []{}s A ⎜⎟∫∫ ⎝⎠VAee ee ⇒ Gọi { fv}& { fs} thứ tự là véc tơ lực nút do lực thể tích và lực mặt gây ra: f ee==NfdVfTT; NfdA {}vvs∫∫[]{} { } [ ] { s} VAee ef eTT e e e e ⇒ δδWqffex t =+={}({ v}{ s }) {δ qf} { } ⇒ Trong đó {f e} là véc tơ lực nút do lực thể tích và lực mặt được quy đổi về nút: eee {}fff=+{}vs{ } Ví dụ 6.1: Quy đổi lực tác dụng lên một cạnh của phần tử tam giác 3 nút (lực mặt). ⇒ Phần tử tam giác có các nút i, j, k tương ứng với các nút 1, 2, 3 theo ký hiệu chỉ số địa phương. Ngoại lực tác dụng lên cạnh i-j của phần tử có cường độ phân bố là hàm của s (s là toạ độ địa phương trên cạnh i-j). ⎪⎪⎧⎫fsx ()s {}fs = ⎨⎬ ⎩⎭⎪⎪fsy ()s -6.16-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 η fs(s) j(2) 3 (0, 1) s y i(1) 2 ξ 1 k(3) x (0, 0) (1, 0) Hình 6.11 Lực phân bố tác dụng lên một cạnh của phần tử tam giác ⇒ Vì η=0 trên cạnh 1-2 nên ta có: ⎡⎤10−ξ ξ 000 []N = ⎢⎥ ⎣⎦01−ξ 0 ξ 00 ⎡⎤10−ξ ⎧(1−ξ ) fsx (s)⎫ ⎢⎥ ⎪ ⎪ 01−ξ 1−ξ f s ⎢⎥ ⎪()()sy ⎪ ⎪ ⎪ T ⎢⎥ξ 0 ⎪⎪⎪⎧⎫fssx () ξ fssx () ⎪ []Nf{}s ==⎢⎥⎨⎬⎨ ⎬ 0 ξ fs ⇒ ⎢⎥⎩⎭⎪⎪sy () ⎪ξ fssy () ⎪ ⎢⎥00 ⎪0 ⎪ ⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎣⎦00 ⎩⎭⎪ 0 ⎪ ⎧⎫(1−ξ ) fsx ⎪⎪ ⎪⎪()1−ξ fsy L 11⎪⎪ e TT T⎪⎪ξ fsx {}fss===[]N{} fdAtN[]{} fdstLN s[]{} fd sξ = tL⎨⎬ dξ ⇒ ∫∫∫ ∫ξ f Ae 00 0⎪⎪sy ⎪⎪0 ⎪⎪ ⎩⎭⎪⎪0 ⇒ Chỉ 2 nút của cạnh có lực tác dụng mới có lực quy đổi. Nút còn lại lực quy đổi bằng 0. ⇒ Khi fssx ()== fsx const & fssy ( ) == fsy const thì ta có: e Lt T {}fffffs= ⎡⎤ sxsysxsy00 2 ⎣⎦ -6.17-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 ⇒ Ví dụ 6.2: Quy đổi lực thể tích tác dụng lên toàn bộ phần tử tam giác 3 nút có cường độ phân bố là hàm của x & y: ⎪⎪⎧⎫fvx ( xy, ) {}fv = ⎨⎬ ⎩⎭⎪⎪fvy ()x,y 1 1−ξ fNfdVAtNfe ==TT2dξdη Ta có véc tơ lực nút quy đổi: {}vv∫∫∫[]{} []{}v Ve 00 ⎡⎤N110 ⎧ N fxyvx ( , )⎫ ⎪ ⎪ ⎢⎥0,N N fxy ⎢⎥1 ⎪ 1 vy ()⎪ ⎪ ⎪ T ⎢⎥N220 ⎧⎫⎪ fvx ()xy,,⎪⎪ Nfvx () xy ⎪ Nf== Trong đó: []{}v ⎢⎥⎨ ⎬⎨ ⎬ ⎢⎥0xN2 ⎪⎪⎩⎭fvy (),y⎪Nf2 vy () xy,⎪ ⎢⎥N 0 ⎪N fxy(), ⎪ ⎢⎥33⎪ vx ⎪ ⎣⎦⎢⎥0,N3 ⎩⎭⎪N3 fxyvy ()⎪ ⇒ Khi fxyfvx (),==vx c onst & fvy ( x,y) == fvy c onst thì ta có: e At T {}fv= ⎡⎤ ffffff vxvyvxvyvxvy 3 ⎣⎦ 23 12 12 16 16 12 23 12 16 16 Hình 6.12 Quy đổi lực phân bố đều (có tổng độ lớn bằng 1) trên một cạnh của một số phần tử tam giác và tứ giác về nút. 14 14 13 13 13 14 14 14 14 13 13 14 13 13 13 14 13 13 Hình 6.13 Quy đổi lực thể tích phân bố đều (có tổng độ lớn bằng 1) trên toàn bộ phần tử về nút cho một số phần tử tam giác và hình chữ nhật -6.18-