Bài giảng môn Toán cao cấp - Chương 6: Tích phân

Nội dung text: Bài giảng môn Toán cao cấp - Chương 6: Tích phân

1. C6. TÍCH PHÂN 1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH: Định nghĩa: - Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên D nếu F’(x) = f(x) với mọi x D - Tập hợp các nguyên hàm của f(x) được gọi là tích phân bất định của f(x). Ký hiệu: f(x)dx F(x) C Trong đó, F(x): Nguyên hàm C: Hằng số dx: vi phân của biến x 146
2. C6. TÍCH PHÂN Các tính chất cơ bản: (f(x) g(x))dx f(x)dx g(x)dx kf(x)dx k f(x)dx f(x)dx ' f(x) 147
3. C6. TÍCH PHÂN dx Một số công thức: cot gx C 2 dx x C sin x 1 dx x tgx C x dx C ( -1) 2 1 cos x dx x x dx arcsin C arccos C ln x C 2 2 a a x a x x dx 2 x a ln x x b C a dx C 2 ln a x b dx 1 x 1 x sin xdx cosx C arctg C arccot g C a2 x2 a a a a dx 1 a x cos xdx sin x C ln C 2 2 a x 2a a x 148
4. C6. TÍCH PHÂN Một số phương pháp tính tích phân: 1. Phương pháp đổi biến: x2 Ví dụ: Tính xe dx tgxdx 2. Phương pháp tích phân từng phần: udv uv vdu x Ví dụ: Tính lnxdx xe dx 149
5. C6. TÍCH PHÂN P(x) Tích phân hàm hữu tỉ: Bậc của tử nhỏ hơn mẫu. Q(x) P(x) A A A 1 2 m (x a)m (x a) (x a)2 (x a)m P(x) B x C B x C B x C 1 1 2 2 n n (x2 bx c)n (x2 bx c) (x2 bx c)2 (x2 bx c)n Với b2 – 4c < 0 ; trong đó m, n là số nguyên dương. Xác định Ai, Bj, Cj được thực hiện bằng đồng nhất thức 1 1 xdx Ví dụ: Tính dx dx 2 x a (x a)m (x x 1) 150
6. C6. TÍCH PHÂN Tích phân hàm vô tỉ: Sử dụng phương pháp đổi biến chuyển về hàm hữu tỉ. dx Ví dụ: Tính 1 3 x 1 151
7. C6. TÍCH PHÂN 2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH: Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định, liên tục và không âm trên [a,b], chia [a,b] thành n đoạn: a = x0 < x1 < xn = b Gọi k = xk – xk-1, trong mỗi [xk,xk-1] ta lấy ck bất kỳ và lập tổng: n Sn  f(ck ) k k 1 n Nếu tồn tại hữu hạn I lim Sn lim  f(ck ) k n n k 1 Giới hạn này không phụ thuộc vào cách chi [a,b] và cách lấy điểm ck thì y = f(x) khả tích trên [a,b] và I được gọi là tích phân xác định của f trên [a,b]. b Ký hiệu: f(x)dx 152 a
8. C6. TÍCH PHÂN Một số tính chất cơ bản: b a f(x)dx f(x)dx a b b c b f(x)dx f(x)dx f(x)dx, a c b a a c b b b (f(x) g(x))dx f(x)dx g(x)dx a a a b b kf(x)dx k f(x)dx, k R a a 153
9. C6. TÍCH PHÂN Công thức Newton – Leibnitz: Cho f liên tục trên [a,b] và F là nguyên hàm của f thì: b b f(x)dx F(x) a F(b) F(a) a Phương pháp tính tích phân xác định: Sử dụng các phương pháp tích phân bất định. Ví dụ: Tính tích phân: 2 1e2x 2ex e 1 xdx dx ln2 xdx 2x 0 0 e 1 1 154
10. C6. TÍCH PHÂN 3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG: Tích phân suy rộng loại 1 (có cận vô hạn): Cho hàm số f(x) xác định trên [a,+ ) và f khả tích trên [a,t] với mọi t > a. t f(x)dx lim f(x)dx B a t a B được gọi là tích phân suy rộng của f trên [a,+ ). Nếu B hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ và ngược lại ta nói là phân kỳ 155
11. C6. TÍCH PHÂN Tương tự có các dạng khác như sau: b b f(x)dx lim f(x)dx t t c f(x)dx f(x)dx f(x)dx c Ví dụ: Xét các tích phân suy rộng sau: xdx e xdx 2 0 0 x 1 156
12. C6. TÍCH PHÂN Tích phân suy rộng của các hàm không âm: Định lý: Cho f(x) và g(x) là hai hàm không âm trên [a,+ ) và f(x) ≤ g(x), khi đó: g(x)dx hội tụ thì f ( x ) dx hội tụ a a f(x)dx phân kỳ thì g ( x ) dx phân kỳ a a Ví dụ: Xét tính hội tụ và phân kỳ: e x sin2 xdx 0 157
13. C6. TÍCH PHÂN Định lý : Cho f(x), g(x) là hai hàm không âm trên [a,+ ) f(x) lim k, k (0, ) x g(x) f(x)dx, g(x)dx cùng hội tụ hoặc phân kỳ a a Ví dụ: Xét tính hội tụ và phân kỳ: 3 x2 dx 1 x 1 158
14. C6. TÍCH PHÂN Tích phân loại 2 (của hàm không bị chặn): Cho hàm số f(x) liên tục trong khoảng [a,b) và lim f(x) t b b t f(x)dx lim f(x)dx B a t b a được gọi là tích phân suy rộng của f trên [a,b] Nếu B hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ. Tương tự ta có định tích phân suy rộng loại 2 trong trường hợp f(x) không bị chặn khi gần điểm a và f(x) không bị chặn đồng thời tại a và b. 159
15. C6. TÍCH PHÂN Ví dụ, Tính tích phân 0 dx 2 dx 2 2 1x 0 x 160
16. C6. TÍCH PHÂN Định lý: Cho f(x) và g(x) là hai hàm liên tục không âm trên [a,b), f(x) ≤ g(x), không bị chặn tại b và lim f(x) lim g(x) x b x b b b g(x)dx hội tụ thì f ( x ) dx hội tụ a a b b f(x)dx phân kỳ thì g ( x ) dx phân kỳ a a 161
17. C6. TÍCH PHÂN Định lý: Cho f(x) và g(x) là hai hàm liên tục không âm trên [a,b) có: f(x) lim f(x) lim g(x) lim k, k (0, ) x b x b x b g(x) b b g(x)dx f(x)dx cùng hội tụ hoặc phân kỳ a a 162
18. C6. TÍCH PHÂN 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG: Ứng dụng tích phân bất định: Tìm hàm mục tiêu từ hàm giá trị biên. Tìm hàm chi phí: Cho biết hàm chi phí biên một sản phẩm của doanh nghiệp và chi phí cố định là 50. MC 3x2 2x 5 Tìm hàm doanh thu và hàm cầu: Cho biết hàm doanh thu biên. MR 500 Q2 163
19. C6. TÍCH PHÂN Tìm hàm lợi nhuận: Cho biết hàm lợi nhuận biên theo sản lượng và nếu chỉ bán 50 sản phẩm thì lỗ 13.500$. MP 5Q 500 Ứng dụng tích phân xác định: Phân tích lợi nhuận: Lợi nhuận biên của 1 sản phẩm MP 0,0005x 12,2 a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi lượng bán tăng từ 100 lên 101 đơn vị? b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi lượng bán tăng từ 100 lên 110 đơn vị? 164
20. C6. TÍCH PHÂN Chi phí trung bình: Cho hàm chi phí theo thời gian t (tháng) của doanh nghiệp trong thời gian 3 năm. Tìm chi phí sản xuất trung một tháng trong kỳ kinh doanh này. TC 0 ,006 t 2 0 ,02 t 13 ,15 Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cung và hàm cầu: Hàm cầu: P = -0,3x + 10 Hàm cung: P = 0,1x + 2 Hãy tìm thặng của người tiêu dùng và thặng dư của người sản xuất tại điểm cân bằng. 165