Bài giảng môn Toán cao cấp - Chương 5: Hàm nhiều biến

Nội dung text: Bài giảng môn Toán cao cấp - Chương 5: Hàm nhiều biến

1. C5. HÀM NHIỀU BIẾN 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2, xn) (xi R, i = 1, n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. n R = {x = (x1, x2, xn): xi R, i = 1, n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x. 118
2. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Khoảng cách 2 điểm: n x = (x1,x2, xn), y = (y1,y2, yn) R : n 2 d(x, y)  (xi yi ) i 1 n Lân cận: Cho x0 R và số r > 0. n Tập S(x0, r) = {x R : 0 < d(x,x0) < r} được gọi là một lân cận của x0. 119
3. C5. HÀM NHIỀU BIẾN n Điểm trong: Điểm x0 R được gọi là điểm trong của D n  R nếu D chứa một lân cận của x0. n Điểm biên: Điểm x0 R được gọi là điểm biên của D  n R nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x D, y D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D. Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D. Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D. 120
4. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Hàm 2 biến: D  R2, một ánh xạ f: D R, được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: f : (x, y) z f(x, y) • D: miền xác định • f(D) = {z D: z = f(x,y), (x,y) D} gọi là miền giá trị Ví dụ: Tìm miền xác định: z = 2x – 3y +5 z 1 x2 y2 z = ln(x + y -1) Hàm n biến: D  Rn, một ánh xạ f: D R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: f : (x1,x2 , xn ) z f(x1, x2 , xn ) 121
5. C5. HÀM NHIỀU BIẾN 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M0(x0,y0), có thể không xác định tại M0. Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M0(x0,y0), nếu:  > 0,  > 0: d(M,M0) f(M) – L <  2 2 d(M, M0 ) (x - x0 ) (y - y0 ) lim f(M) L lim f(x, y) L lim f(x,y) L M M0 (x,y) (x0 ,y0 ) x x0 y y0 122
6. C5. HÀM NHIỀU BIẾN • Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. sin( x 2 y2 ) xy Ví dụ: lim lim 2 2 (x ,y ) (0,0) x 2 y2 (x ,y ) (0,0) x y 123
7. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu lim f(x, y) f(x0 , y0 ) (x,y) (x0 ,y0 ) Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D  R2 thì: • Tồn tại số A>0: |f(x,y)| ≤ A • f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3) 124
8. C5. HÀM NHIỀU BIẾN 3. ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x0,y0) D. Nếu cho y = y0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M0. Ký hiệu: f z f' (x , y ), (x , y ), (x , y ) x 0 0 x 0 0 x 0 0 Đặt xf = f(x0 + x, y0)-f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M0. ' xf fx lim x 0 x 125
9. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y. ' yf fy lim y 0 y Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n 3). Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: z x4 5x 3y2 2y4 u xy 126
10. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2. 2 2  f  f ''  f  f '' fxx (x, y) fyx (x, y) x x x2 y x yx 2 2  f  f ''  f  f '' fxy (x, y) fyy (x, y) x y xy y y yy Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3, 127
11. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Định lý (Schwartz): Nếu trong lân cận nào đó của M0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0. Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n 3) 128
12. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) có các đạo hàm riêng theo u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng theo x,y thì: z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y Ví dụ: Tính z = exy+lnxcos(x2+xy+y2) 129
13. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Vi phân toàn phần: Nếu hàm z = f(x,y) được gọi là khả vi tại (x0,y0) nếu tồn tại A,B sao cho: f(x0+ x,y0+ y) - f(x0,y0)=A x + B y + 0 x + 0 y Biểu thức df = A x + B y được gọi là vi phân toàn phần Định lý: Nếu f(x,y) khả vi tại (x0,y0) A = f’x(x0,y0), B=f’y(x0,y0) Công thức tính xấp xỉ: f(x0+ x,y0+ y) f(x0,y0) + f’x(x0,y0) x + f’y(x0,y0) y Tương tự ta có thể mở rộng cho hàm n biến (n 3) 130
14. C5. HÀM NHIỀU BIẾN 3. ĐẠO HÀM HÀM ẨN Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0. Ví dụ: xy – ex + ey = 0 131
15. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: F y' f'(x) x Fy Ví dụ: Tính y’ nếu: F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – ex + ey = 0 132
16. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z) = 0. Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến: z F z Fy x x Fz y Fz Ví dụ: tính zx, zy nếu xyz = cos(2x+3y+4z) 133
17. C5. HÀM NHIỀU BIẾN 4. CỰC TRỊ Cực trị tự do: Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận của M0 sao cho f(M) f(M0), M (f(M) f(M0), M ). f(M0) gọi chung là cực trị. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 Điều kiện cần để có cực trị: Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0 134
18. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại những điểm thỏa zx = zy = 0, ta gọi định thức Hessian: zxx zxy H zyx zyy zxx zxy Đặt: H1 zxx, H2 zyx zyy • Nếu |H1|>0, |H2|>0: z đạt cực tiểu • Nếu |H1| 0: z đạt cực đại Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8, 135
19. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x1,x2 xn). Tại những điểm thỏa fx1 = fx2 = fxn = 0, giả sử tại đó tồn tại f f các đạo hàm riêng cấp 2, đặt ij xixj Ta có định thức Hessian: f11 f12 f1n f11 f12 f21 f22 f2n H1 f11, H2 , Hn f21 f22 fn1 fn2 fnn • Nếu |H1|>0, |H2|>0, |Hn|>0 : z đạt cực tiểu n • Nếu |H1| 0, (-1) |Hn|>0 : z đạt cực đại Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4z 136
20. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Cực trị có điều kiện: Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c (c: hằng số) gọi là cực trị có điều kiện. Định lý: Nếu M0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên. Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì: Lx fx gx 0 Ly fy gy 0 L c g(x,y) 0  là nhân tử Lagrange, điểm M0(x0,y0) của hệ trên gọi là điểm dừng. 137
21. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1. z 1 x2 y2 Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2, xn) với điều kiện g(x1,x2, xn) = c. Hàm Lagrange L = f + (c-g) L1 f1 g1 0 L2 f2 g2 0 L f g 0 n n n L c g 0 138
22. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện: Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M0, xét định thức Hessian đóng: 0 gx gy H2 gx Lxx Lxy gy Lyx Lyy H2 0 ( H2 0): f đạt cực đại (cực tiểu) có điều kiện Ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số: f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = 1 139
23. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x1,x2, xn) với điều kiện g(x1,x2, xn) = c. Hàm Lagrange: L = f + (c-g). Xét tại điểm dừng M0, ta xét định thức Hessian đóng: 0 g1 g2 gn g1 L11 L12 L1n Hn g2 L21 L22 L2n gn Ln1 Ln2 Lnn H2 0, H3 0 Hn 0 : f đạt cực tiểu n H2 0, H3 0 ( 1) Hn 0 : f đạt cực đại 140
24. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z với điều kiện x2 + y2 + z2 = 1 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trên một miền đóng và bị chặn: Cho miền D có biên cho bởi phương trình g=c, ta có qui tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất như sau: • Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị của f với điều kiện g=c • Tìm các điểm dừng của f thuộc D • fmax, fmin là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị trên. 2 2 Ví dụ, tìm fmax, fmincủa hàm f(x,y) = x + 2y – x trong miền x2 + y2 1 141
25. C5. HÀM NHIỀU BIẾN 4. MỘT VÀI ỨNG DỤNG Giá trị biên: Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp: Q 30K2 / 3L1/ 3 Giả sử doanh nghiệp sử dụng 27 đơn vị tư bản và 64 đơn vị lao động, hãy tìm giá trị biên và cho nhận xét. 142
26. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Hệ số co giãn: Ví dụ: Cho hàm cầu tổng quát của một sản phẩm thịt bò: Q1 = 7.300 – 6P1 + 2,5P2 + 0,2Y Trong đó : P1 : Giá thịt bò P2: Giá thịt heo Y: Thu nhập 1) Tính hệ số co giãn của sản phẩm Q1 theo thu nhập và theo giá của sản phẩm có liên quan khi Y = 20.000, P1 = 300, P2 = 200. 2) Nếu giá thịt heo tăng 10% thì nhu cầu thịt bò thay đổi bao nhiều phần trăm? 143
27. MỘT SỐ ỨNG DỤNG Bài toán cực trị tự do: Ví dụ, DN sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm cầu: Q1 = 15 – 1/5P1, Q2 = 20 – 1/3P2 2 2 với hàm tổng chi phí: TC = Q1 + 4Q1Q2 + Q2 DN cần sản xuất bao nhiêu để đạt lợi nhuận tối đa. Bài toán max, min: Ví dụ, chi phí sản xuất của hai loại hàng hóa là C = 2x2 + xy + y2 + 1000 Tìm mức sản xuất x,y để chi phí tối thiểu với điều kiện x + y = 200 144
28. C5. HÀM NHIỀU BIẾN Cực trị có điều kiện: Một công ty cần phải cung ứng cho khách hàng 5.000 sản phẩm. Công ty có 2 xí nghiệp sản xuất sản phẩm này với chi phí như sau : 2 Xí nghiệp 1 : C1 = 0,01x + 70x + 9.300 2 Xí nghiệp 2 : C2 = 0,01y + 72y + 5.200 Công ty cần phân bổ số lượng sản phẩm như thế nào để chi phí sản xuất thấp nhất. 145