Bài giảng môn Toán cao cấp - Chương 4: Đạo hàm-Vi phân

Nội dung text: Bài giảng môn Toán cao cấp - Chương 4: Đạo hàm-Vi phân

1. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định trong (a,b), x0 (a,b). Đạo hàm của f tại x0 được định nghĩa và ký hiệu: f (x) f(x0 ) f'(x0 ) lim x x0 x x 0 Gọi x = x – x0: Số gia của x tại x0 y = f(x0 + x) – f(x0): Số gia của y tại x0 y dy df y' lim , x 0 x dx dx 87
2. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm một phía: f(x0 ) - Đạo hàm bên phải: f'(x0 ) lim x 0 x f(x0 ) - Đạo hàm bên trái: f'(x0 ) lim x 0 x + - Định lý: f’(x0) tồn tại f’(x0 ) = f’(x0 ) Định lý: Nếu f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0. Ví dụ: Xét đạo hàm và tính liên tục của f = |x| tại x0 = 0 88
3. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm trên khoảng, đoạn: - f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx Ý nghĩa của đạo hàm: • Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0 • Đường cong liên tục • Sự biến động của y khi x tăng lên 1 đơn vị 89
4. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: • (u + v)’ = u’ + v’ • (u.v)’ = u’v + v’u ' u u'v v'u • (v 0) => (ku)’ = ku’ (k hằng số) v v2 Ví dụ, tìm đạo hàm: y = x2 + sinx, y = x2sinx Đạo hàm của hàm số hợp: Cho u = u(x) có đạo hàm tại x0, hàm y = f(u) có đạo hàm tại u thì hàm hợp f(u) có đạo hàm tại x0 và y’x = y’u.u’x Ví dụ, Tìm đạo hàm y = sin2x 90
5. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Cho y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược 1 -1 (f 1)' x = f (y) thì: y ' fx Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 91
6. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN (c)’ = 0 1 Đạo hàm (log a x)' -1 x ln a các hàm số (x )’ = x 1 x x (ln x)' sơ cấp cơ (a )’ = a lna x x x 1 bản: (e )’ = e (arcsin x)' (sinx)’ = cosx 1 x2 1 (cosx)’ = -sinx (arccos x)' 1 2 (tgx )' 1 x 2 1 cos x (arctgx )' 1 1 x2 (cot gx )' 1 sin 2 x (arc cot gx )' 1 x2 Ví dụ, tính đạo hàm y = u(x)v(x) 92
7. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d2y d2f , dx2 dx2 Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). dny dnf , dxn dxn 93
8. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Tìm đạo hàm cấp n: 1. y = ex 2. y = ax 3. y = lnx 4. y = x Một vài công thức: y sin x y(n) sin( x n ) 2 y cos x y(n) cos( x n ) 2 94
9. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n (n) k (n k ) (k) (0) (0) (uv)  Cnu .v trong đó u = u, v = v k 0 95
10. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. VI PHÂN Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại x0 nếu tồn tại A sao cho  f = A. x + 0 (x). Biểu thức df = A. x được gọi là vi phân của f tại x0. Định lý: f(x) khả vi tại x0  f có đạo hàm và f’(x0) = A. Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv u vdu udv d 2 v v 96
11. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức tính xấp xỉ: Nếu f(x) khả vi tại x và khi | x| gần 0 ta có: f(x+ x) – f(x) f’(x) x hay f(x+ x) f(x) + f’(x) x Ví dụ: Tính gần đúng (15,8)1/4 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu dny = y(n)dxn được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. 97
12. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f(b) f(a) f'(c) b a Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). 98
13. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x (a,b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f(b) f(a) f'(c) g(b) g(a) g'(c) Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x. 99
14. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x0 thì x D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho: f'(x ) f"(x ) f(x) f(x ) 0 (x x ) 0 (x x )2 0 1! 0 2! 0 f(n)(x ) f(n 1)(c) 0 (x x )n (x x )n 1 n! 0 (n 1)! 0 Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrange f(n 1)(c) R (x) (x x )n 1 n (n 1)! 0 100
15. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN • Đa thức Taylor: n (k) f (x0) k Pn(x)  (x x0 ) k 0 k! Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin f'(0) f"(0) f(n)(0) f(n 1)(c) f(x) f(0) x x2 xn xn 1 1! 2! n! (n 1)! 101
16. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x (a,b) f(x) f'(x) lim f(x) lim g(x) 0 lim lim L x a x a x a g(x) x a g'(x) Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: lim f(x) lim g(x) 0 lim f(x) lim g(x) x x x a x a lim f(x) lim g(x) x x • Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần. 102
17. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. Dạng 0/0, / Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0) x sin x tgx x arctgx lim lim lim 2 x 0 x3 x 0 x sin x x 1 x Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng / ) ln x xn lnx lim lim lim n x x 0 cotgx x x x e 103
18. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. Dạng 0. , - : Chuyển chúng về dạng 0/0, / . Ví dụ: 1 lim x5 ln x lim (4 x2 )tg( x / 4) lim ( tgx ) x 0 x 2 x / 2 cos x 3. Dạng vô định: 00, 1 , 0: Ta xét limfg = elimg.lnf (f > 0) Ví dụ: 2 1 2 lim x x lim x1 x lim (cot gx)ln x x 0 x 1 x 0 104
19. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN CỰC TRỊ Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x) f(x0) (f(x) f(x0)). Chiều biến thiên của hàm số: Định lý: Cho f khả vi trong (a,b): 1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x (a,b) thì f tăng. 2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x (a,b) thì f giảm. 105
20. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện cần của cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0. Ví dụ: Xét đạo hàm tại x = 0: y = x3 , y = |x| Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f: a) Không tồn tại f’(x) b) f’(x) = 0 Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f. 106
21. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện đủ của cực trị: Định lý 1: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0. b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0. c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0. 3 Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: y (x 1). x2 107
22. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Quy tắc 1 tìm cực trị: 1.Tìm miền xác định 2. Tính f’(x). Tìm f’(x)=0 và không tồn tại f’(x). 3. Lập bảng biến thiên. 4. Suy ra điểm cực trị. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: y (x 1). 3 x2 108
23. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý 2: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0. a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu. b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại. Quy tắc 2 tìm cực trị: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0. 1. Tìm miền xác định 2. Tính f’(x). Tìm nghiệm f’(x)=0, xi. 3. Tính f’’(x) và f’’(xi) 4. Dựa vào dấu của f’’(xi) suy ra cực trị. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: y = x – ln(1+x) 109
24. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT: Cho f(x) xác định trên D: • M được gọi là giá trị lớn nhất của y=f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = M. • M được gọi là giá trị nhỏ nhất của y=f(x) trên tập D nếu f(x) ≥ m với mọi x D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = m. 110
25. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số trên [a,b]: 1. Tính f tại các điểm tới hạn trong [a,b] và f(a), f(b) 2. fmax (fmin) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị tìm được. 3 2 Ví dụ: tìm fmax ,fmin của f(x) = x – 3x +1 trên [-1, 1] 111
26. MỘT SỐ ỨNG DỤNG Biến kinh tế: Q Quantity Sản lượng QS Quantity Supplied Lượng cung QD Quantity Demanded Lượng cầu P Price Giá cả C Cost Chi phí TC Total Cost Tổng chi phí R Revenue Doanh thu TR Total Revenue Tổng doanh thu Pr Profit Lợi nhuận K Capital Tư bản L Labour Lao động FC Fix Cost Định phí VC Variable Cost Biến phí 112
27. MỘT SỐ ỨNG DỤNG Hàm số kinh tế: • Hàm sản xuất : Q = f(K,L) • Hàm doanh thu: TR = PQ • Hàm chi phí : TC = f(Q) = VC(Q) + FC • Hàm lợi nhuận : = TR - TC Thuê mặt bằng, 50.000đ/ngày Ví dụ: Một quán bún bình dân, điện nước hãy tính mỗi ngày bán bao Bún 300đ/tô nhiêu tô thì có lời với giá bán Gia vị 200đ/tô 5.000đ/tô và chi phí như sau: Thịt bò, heo 2.000đ/tô Nhân viên 500đ/tô 113
28. MỘT SỐ ỨNG DỤNG Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế: • Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi của sản lượng khi tăng lao động hay vốn lên một đơn vị. Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho nhận xét khi L=100 cho bởi hàm sản xuất sau: Q 5 L 114
29. MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Chi phí biên MC: (Marginal Cost) Hàm chi phí: TC = TC(Q) MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn vị. Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét. TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100 115
30. MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue) Hàm doanh thu: TR = PQ MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng hay giá tăng thêm 1 đơn vị. • Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là: Q = 1.000 – 14P Tìm MR khi p = 40 và p = 30 116
31. MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit) Hàm lợi nhuận: = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)) Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi nhuận khi giá hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị. 117
32. MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Hệ số co giãn: (Elasticity) • Lượng thay đổi tuyệt đối: x • Lượng thay đổi tương đối: x x • Hệ số co dãn: Đo lường sự thay đổi tương đối của y phụ thuộc vào sự thay đổi tương đối của x. y y y x y x x yx .  yx lim . y' (x) x x x y x 0 x y y • Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 30 – 4P – P2. Tìm hệ số co dãn tại điểm P = 3. 118
33. MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Tối đa hóa lợi nhuận: Hàm chi phí: TC = TC(x) Hàm cầu: x = QD = f(P) Giả sử thị trường độc quyền: Hàm lợi nhuận: = TR – TC = Px – TC(x) d d(TR TC) 0 0 dx dx d2 d2 (TR TC) 0 0 dx2 dx2 119
34. MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp thông tin: Định phí: FC = 600 Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6x Hàm cầu: x = -8/7 P + 100 Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. 120