›
›

Bài giảng môn Toán cao cấp - Chương 3: Hàm số-Giới hạn hàm số

pdf 32 trang phuongnguyen 4010
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn Toán cao cấp - Chương 3: Hàm số-Giới hạn hàm số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_mon_toan_cao_cap_chuong_3_ham_so_gioi_han_ham_so.pdf

Nội dung text: Bài giảng môn Toán cao cấp - Chương 3: Hàm số-Giới hạn hàm số

  1. PHẦN II. ĐẠO HÀM, VI PHÂN Chương 3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương 5. HÀM NHIỀU BIẾN chương 6. TÍCH PHÂN chương 7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 55
  2. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x) Y theo qui tắc f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Ký hiệu: f : X Y x f(x) x y f(x) • Đơn ánh: x1, x2 X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2) • Toàn ánh: Với mỗi y Y, x X: y = f(x) • Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh • Nếu f: X Y là song ánh thì f-1: Y X là ánh xạ ngược của f 56
  3. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa hàm số: Với X,Y  R, ta gọi ánh xạ f:X Y là một hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x). x: biến độc lập y: biến phụ thuộc. Tập X: miền xác định Tập f(X) = {f(x): x X}: miền giá trị của f 57
  4. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng mxđ X: • f = g: f(x) = g(x),  x X • f g = f(x) g(x), x X • fg = f(x)g(x), x X • af = af(x), x X • f/g = f(x)/g(x), x X, g(x) 0 58
  5. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) đồng thời u = g(x). Khi đó f = f[g(x)] là hàm số hợp của biến độc lập x thông qua biến trung gian u. Ký hiệu fog. Ví dụ: Tìm gof, goh, fog, hog với g = lg2x, f = sinx, h=ex Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: X Y là một song ánh thì f-1: Y X được gọi là hàm số ngược của f. • Đồ thị của f, f-1 đối xứng nhau qua đường y = x. 59
  6. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số đơn điệu: • f gọi là tăng (giảm) trên (a,b) nếu: x1,x2 (a,b): x1 f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2)) • f gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a,b) nếu: x1,x2 (a,b): x1 f(x1) f(x2)) • Hàm số tăng hoặc giảm trên (a,b) được gọi đơn điệu. Hàm số bị chặn: • f gọi bị chặn nếu M: |f(x)| M, x • f gọi bị chặn trên nếu M: f(x) M, x • f gọi bị chặn dưới nếu m: f(x) m, x 60
  7. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: T ≠ 0: f(x+T) = f(x),  x X Số T0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số f. Ví dụ: • Hàm số y= sinx, y = cos(x) với chu kỳ cơ sở là T0 = 2 . • Hàm số y = tg(x), y = cotgx với chu kỳ cơ sở là T0 = . 61
  8. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số chẵn, lẻ: f có miền xác định X, với x, -x X. • f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x X • f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x X Ví dụ: f(x) = cosx + x- x2 Hàm số chẵn g(x) log( x x2 1) Hàm số lẻ Ghi chú: • Hàm số chẵn đối xứng qua Oy • Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ 62
  9. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ 1. Hàm số luỹ thừa: y = x , với R • N: mxđ R • nguyên âm: mxđ x ≠ 0. • có dạng 1/p, p Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ • là số vô tỉ: qui ước chỉ xét y = x tại mọi x 0, > 0 và tại mọi x > 0 nếu 0, không đi qua góc toạ độ nếu < 0. 63
  10. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 2. Hàm số mũ: y = ax (a > 0, a ≠ 1) • Hàm số mũ xác định với mọi x. • Hàm số mũ tăng khi a > 1. • Hàm số mũ giảm khi a < 1. • Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ. 64
  11. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3. Hàm số logarit: y = logax, a > 0, a ≠ 1 • Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0. • Hàm số logax tăng khi a > 1 • Hàm số logax giảm khi a < 1 • Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị x • Hàm số y = logax là hàm số ngược của số y = a 65
  12. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Một số tính chất của logax: loga(x1x2) = loga(x1) + loga(x2) x1 loga ( ) loga (x1) Loga (x2) x2 α logax = αlogax b alog a b logc b log a b logc a 66
  13. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 4. Hàm số lượng giác: • y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2 • y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2 • y = tgx, mxđ  x ≠ (2k+1) /2, hàm lẻ, chu kỳ • y = cotgx, mxđ  x ≠ k , k Z, hàm lẻ, chu kỳ 67
  14. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 5. Hàm số lượng giác ngược: • Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị [- /2, /2] và là hàm số tăng. • Hàm số y = arccosx: Miền xác định [-1,1] và miền giá trị [0, ] là hàm số giảm • Hàm số y = arctgx: Miền xác định R và miền giá trị (- /2, /2) và là hàm số tăng. • Hàm số y = arccotgx: Miền xác định R và miền giá trị (0, ) là hàm số giảm. 68
  15. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ • Định nghĩa: Các hàm số hằng số, luỹ thừa, mũ, logarit, lượng giác và các hàm số ngược được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản. • Định nghĩa: Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là hàm số sơ cấp. Ví dụ: f(x) là hàm số sơ cấp, g(x) không là hàm sơ cấp 2 sin( x 2 ) 3 g(x) x f(x) log3 x2 2 69
  16. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3. GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa lân cận: • x thuộc lân cận của x0 >0 nhỏ bất kỳ: 0 x0 x0 0 lớn bất kỳ: x > M • x thuộc lân cận của - N<0 nhỏ bất kỳ: x < N 70
  17. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn: Cho hàm f(x) xác định trên một khoảng chứa x0 (riêng tại x0, f(x) có thể không tồn tại). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x x0, nếu  > 0,  > 0: 0 < x – x0 <  f(x) – L < . Ký hiệu: lim f(x) L x x0 Ví dụ, Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng lim (2x 1) 7 x 3 Định lý: Nếu f là hàm số sơ cấp xác định trong lân cận của điểm x thì: 0 lim f(x) f(x0 ) x x0 71
  18. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa giới hạn một bên: • Bên phải:  > 0,  > 0: x0 0,  > 0: x0 -  < x < x0 f(x) – L <  lim f(x) L x x0 Định lý: lim f(x) L lim f(x) lim f(x) L x x0 x x0 x x0 x khi x 0 Ví dụ, Tìm giới hạn f(x) khi x 0 f(x) 1- x khi x 0 72
  19. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa giới hạn lân cận : lim f(x) L x nếu  > 0, N > 0 đủ lớn: x > N f(x) - L 0, N < 0 đủ nhỏ: x < N f(x) - L <  1 Ví dụ, chứng minh rằng lim 0 x x 73
  20. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 2. Giới hạn vô hạn của hàm số: lim f(x) x x0 M > 0 lớn tuỳ ý,  > 0: 0 M lim f(x) x x0 N 0: 0 < x – x0<  f(x) < N 1 Ví dụ: chứng minh lim x a (x a)2 74
  21. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3. Các tính chất của giới hạn hàm số: Định lý: nếu lim f(x) = A và lim g(x) = B thì • lim (f ± g) = A ± B • lim (fg) = AB • lim (f/g) = A/B (B ≠ 0) • lim fg = AB • lim C = C • lim [Cf(x)] = CA Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, / , - , 0. , 1 , 0, 00 thì phải biến đổi để khử chúng. 75
  22. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Ví dụ: Tìm x3 8 a) lim x 2 x 2 x3 3x 8 b) lim x x2 2 c) lim (x3 3x2 1) x 76
  23. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Giả sử g(x) f(x) h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0. Nếu lim g(x) lim h(x) L lim f(x) L x x x x0 x x0 0 Ví dụ: Tìm lim x 4 sin 2(1/ x) x 0 Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì limf(u) = f(L) = f(limu) x 2 1 Ví dụ: Tìm lim sin x 2 2x x 77
  24. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 4. Một số giới hạn đặc biệt: x sin x 1 lim 1 lim 1 e x 0 x x x x a 1 1/ x lim lna lim 1 x e x 0 x x 0 ln(1 x) lim 1 x 0 x • Hàm số lũy thừa: 0 : lim x ; lim x 0 x x 0 0 : lim x 0; lim x x x 0 78
  25. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ • Hàm mũ: a 1 : lim ax ; lim ax 0 x x 0 a 1 : lim ax 0; lim ax x x • Hàm logarit: a 1 : lim logax ; lim logax x x 0 0 a 1 : lim logax ; lim logax x x 0 • Hàm ngược lượng giác: lim arctgx ; lim arctgx x 2 x 2 lim arccotgx 0; lim arccotgx x x 79
  26. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Ví dụ: Chứng minh: tgx arcsin x arctgx lim 1 lim 1 lim 1 x 0 x x 0 x x 0 x x x 3 3 x x 2 Ví dụ: Tìm: lim lim x x x x 1 4. Vô cùng bé và vô cùng lớn: Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé (vô cùng lớn) trong một quá trình nếu limf(x) = 0 (limf(x) = ) 80
  27. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình và lim(f/g) = A, nếu: • A = 0: f là VCB bậc cao hơn g. Ký hiệu: f(x) = 0g(x) • A = : f là VCB bậc thấp hơn g • A (hằng số 0, ): f, g là hai VCB cùng bậc • A = 1: f, g là hai VCB tương đương. Ký hiệu f(x)~g(x) • Nghịch đảo của VCB (VCL) là VCL (VCB) 81
  28. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Nếu f, g là hai VCB, nếu f~f1, g~g1 thì lim(f/g) = lim(f1/g1) Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g là VCB bậc cao hơn f trong cùng quá trình thì f + g ~ f Ví dụ: Chứng minh sin 2x arcsin 2 x arctg 2x 2 lim x 0 3x 3 sin x x ~ x2 x3 Khi x 0+ 82
  29. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu: lim f(x) f(x0 ) x x0 Liên tục một bên: • Liên tục phải: lim f(x) f(x0 ) x x0 • Liên tục trái: lim f(x) f(x 0 ) x x0 Định lý: f liên tục tại x0 khi và chỉ khi f liên tục phải và liên tục trái tại x0 83
  30. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại x0. Hàm số f(x) gián đoạn tại x0 trong các trường hợp sau: - f không xác định tại x0 - f xác định tại x0 nhưng lim f(x) ≠ f(x0) khi x x0 - không tồn tại lim f(x) khi x x0 Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x0 = 0 x 1 khi x 0 f(x) x 1 khi x 0 1 f(x) 84 x
  31. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó, Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b. 85
  32. C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại x0: kf (k hằng số), f+g, fg, f/g (g(x0)≠0). Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u0 và f liên tục tại u0 thì limf(u(x)) = f(lim u(x)) = f(u0) Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] và f(a)f(b) < 0 thì x0 (a,b): f(x0) = 0. Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a,b] 86